Μια µικρή υπενθύµιση από τη θεωρία Galois
|
|
- Περικλῆς Κοντόσταυλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Μια µικρή υπενθύµιση από τη θεωρία Galois Oι n-οστές ρίζες της µονάδας αποτελούν µια κυκλική οµάδα τάξεως n. Ένα στοιχείο z θα ονοµάζεται αρχική ρίζα της µονάδας αν είναι µια n-οστή ρίζα της µονάδας και παράγει την παραπάνω οµάδα k Το τυχαίο στοιχείο z της οµάδας θα παράγει και αυτό την οµάδα µόνο αν το k είναι σχετικά πρώτο µε την τάξη της οµάδας. 33
2 Υπάρχουν ακριβώς φ (n) αρχικές ρίζες της µονάδας Αν z, z, L, z 1 φ ( n) είναι όλες οι διακεκριµένες αρχικές ρίζες της µονάδας, τότε το πολυώνυµο (x) x z x z L x z θα ονοµάζεται ( )( Q = ) ( ) n n 1 φ ( n) -οστό κυκλοτοµικό πολυώνυµο. 34
3 Ορισµός ης σηµαντικής οµάδας r Το πολυώνυµο Q r (x) διαιρεί το πολυώνυµο x 1, r Επί του σώµατος F το πολυώνυµο x 1 αναλύεται από το p Q ( x) σε πρώτους παράγοντες τάξης ( p) r Ας είναι h(x) ένας τέτοιος παράγοντας. G Θα συµβολίζω µε την οµάδα P { ( ) } l ea Π x a e 0 modulo ( h(x),p) = a = 1 a o r 35
4 = Στο σώµα F F [ x] h( x) p, η οµάδα παράγεται από τα πολυώνυµα x + 1, x +, K, x + l και είναι υποοµάδα της πολλαπλασιαστικής οµάδας F G Λήµµα : Το πλήθος των θετικών ακέραιων ριζών της εξίσωσης x + x + K + x = v + k 1 k είναι. 1 v k 36
5 Φράγµατα για την τάξη της οµάδας G G + l t 1 Λήµµα : Η τάξη της είναι τουλάχιστον. Απόδειξη : f ( x), g( x) { } ea f ( x), g( x) e 0 a Ας είναι, δύο διαφορετικά πολυώνυµα l του = Π = ( x a) P µε βαθµό µικρότερο από την τάξη t της οµάδας G. a 1 Αν δεν ήταν διαφορετικά και στη θα έπρεπε για το m m τυχαίο m I να ισχύει f ( x) g ( x) G t 37
6 m F x ) m Από τη σχέση των I,G θα είχαµε στο, f ( x ) g( m m m και το πολυώνυµο R( x ) = f ( x ) g( x ) θα είχε ρίζα για κάθε m I m Οι m, r είναι σχετικά πρώτοι και άρα το µας δίνει µια r -οστή αρχική ρίζα της µονάδας. F Στο σώµα και από την επιλογή των f, g, το πολυώνυµο R δε µπορεί να έχει t διακριτές ρίζες (την τάξη δηλαδή του G ). Τελικά τα πολυώνυµα f, g µε βαθµό µικρότερο από την τάξη της οµάδας G, είναι διαφορετικά και στην οµάδα G x 38
7 Επειδή r και διακριτά στοιχεία σχέση τους στο σώµα = φ( ) log < log p > l r n r n r i, j l = φ( r) logn F p, διατηρούν τη Τα x + 1, x +, K, x + l είναι διακριτά πολυώνυµα., δύο Αν h( x) = x a τότε κάποιο από τα x + 1, x +, K, x + l είναι µηδενικό Τουλάχιστον τα l 1 από τα x + 1, x +, K, x + l που παραγουν την G δεν είναι τα µηδενικά πολυώνυµα στο F. 39
8 Οι συνδυασµοί δυνάµεων d, d, K, d 1 l 1 των x + 1, x +, K, x + l που µπορούµε να πάρουµε ώστε η δύναµη να είναι το πολύ t 1 είναι όσες και ακέραιες ρίζες της ανίσωσης d + d + K+ d l < t Το πλήθος ριζών της εξίσωσης d + d + K+ d + d = t 1 1 l 1 l είναι l + t 1 1 t 1 = t + l t 1 Εκτός από το κάτω φράγµα για την τάξη της οµάδας, κάτω από ορσιµένες συνθήκες µπορούµε να πετύχουµε και άνω φράγµα G 40
9 Λήµµα : Αν το n δεν είναι δύναµη του p τότε η G έχει t n λιγότερα από στοιχεία. Απόδειξη : { } i j Θεωρούµε τo υποσύνολο του I = n p i, j 0, I' { } i j = n p 0 i, j t. n Αφού το δεν είναι δύναµη του p, συµπεραίνουµε οτι ( ) I ' = t + 1. Η τάξη του G είναι t, και άρα υπάρχουν τουλάχιστον δύο στοιχεία m, m, του I ' που θα είναι ισότιµα mod r 1 41
10 m1 m r m > x x mod( x 1) Ας είναι m 1 και τότε ισχύει οτι l f ( ) { } ea Αν (x) P = Π x a e 0 a= 1 a ενδοσκοπικό για το f (x) έχουµε οτι f x ( ) m m1 r ( ) = f x mod x m m f ( x) = f x mod x ( 1, p) r ( ) ( 1, p) 1 1 m 1 και αφού το είναι Επίσης το m είναι ενδοσκοπικό για το f (x), και έτσι η m1 m r τελευταία σχέση γίνεται : f ( x) = f ( x) mod( x 1, p). m1 m Τα f ( x), f (x) είναι ισότιµα στο σώµα και το ως στοιχείο του G πρέπει να διαιρεί το πολυώνυµο m1 m R( x) = x x (1) F f (x) 4
11 m1 m Το πολυώνυµο R( x) = x x έχει τουλάχιστον G διακριτές ρίζες στο σώµα F m1 m Το πολυώνυµο R( x) = x x έχει βαθµό t m I n m 1 ( ) t np < 1 (αφού κάθε διαιρέτης του n είναι το πολύ n ) Η επιλογή του f (x) ήταν αυθαίρετη και εποµένως t n G <. 43
12 Η ολοκλήρωση της απόδειξης Λήµµα : Αν ο αλγόριθµος επιστρέψει PRIME τότε ο αριθµός n της εισόδου είναι πρώτος. Απόδειξη : Υποθέτουµε οτι ο αλγόριθµος επιστρέφει PRIME στο 6 βήµα και ας είναι p ένας παράγοντας του n. Από προηγούµενο λήµµα έχουµε οτι αν G = t και t + l l = φ( r) logn, τότε G t 1. ο 44
13 Ισχύουν τα παρακάτω (1) - t > t log n () - l = φ( r) log n t log n * ( G υποοµάδα της Z r ). (3) - t log n 3 (4) - για x > 3 ισχύει x 1 x > x G 1 l 1+ t log n t log n t log n 1 3 log 4 t n t log n n t. 45
14 Από προηγούµενο λήµµα και αν ο δεν είναι δύναµη t n του p ισχύει οτι G < Το n είναι δύναµη του p δηλαδή υπάρχει k µε p k = n. Τότε k = 1 γιατί αλλιώς το 1 ο βήµα του, ο αλγόριθµου θα επέστρεφε COMPOSITE. Ώστε p = n δηλαδή ο είναι πρώτος. n n 46
15 Ανάλυση πολυπλοκότητας Πράξεις µεταξύ αριθµών µε ψηφία µπορούν να υλοποιηθούν σε χρόνο O ~ ( m). Επίσης πράξεις µεταξύ πολυωνύµων βαθµού d και συντελεστών m ψηφίων, µπορούν να υπλοποιηθούν σε χρόνο O ~ ( d m). m Θεώρηµα : Η χρονική ασυµπτωτική πολυπλοκότητα του αλγορίθµου είναι 10,5 O ~ (log n) 47
16 Απόδειξη Στο 1 ο βήµα ο αλγόριθµος απαιτεί O ~ (log 3 n) βήµατα Στο ο βήµα βρίσκουµε ένα, πάνω φραγµένο από O (log 5 n). Για κάθε ένα από τα υποψήφια θα πρέπει να? ελέγξουµε αν n k 1modr. Εξασφαλίζουµε ένα r ελέγχοντας αν n k 1mod r για κάθε k 4 log n, κάτι που απαιτεί O ~ (log n log r) βήµατα. Στο ο βήµα απαιτούνται O ~ (log 7 n) βήµατα. r r 48
17 Στο 3 ο βήµα απαιτείται ο υπολογισµός του µέγιστου κοινού διαιρέτη για r ζευγάρια αριθµών. Κάθε ένας από αυτούς απαιτεί χρόνο O (log n) Για το 4 ο βήµα η πολυπλοκότητα είναι O(log n) Στο 5 ο βήµα έχουµε να κάνουµε φ( r) logn ελέγχους µε πολυώνυµα βαθµού r και συντελεστές O(log n) ψηφίων Κάθε έλεγχος απαιτεί O (log n) πολλαπλασιασµούς και έτσι απαιτούνται στο 5 ο βήµα 3 3 O ~ ( r φ ( r) log n) = O ~ ( r 3 log 10,5 n) = O ~ (log n) πράξεις 49
18 Πρώτοι αριθµοί µε ιστορία αριθµοί Mersenne Ο µοναχός Marin Mersenne ( ) στον πρόλογο του έργου του Cogitata Physica-Mathematica εικάζει οτι όλοι οι αριθµοί της µορφής n 1 που είναι πρώτοι µε n 57 είναι αυτοί για n =,3, 5,7,13,17,19,31,67, 17 και 57 Αν και η εικασία αποδεικνύεται λανθασµένη, δωρίζει το όνοµά του σε αυτούς τους αριθµούς. Οι Fermat(1640), Euler(1750), Lucas(1876), Pervouchine (1883), Powers(αρχές 1900) τροποποιούν τη λίστα στη σωστή =,3,5,7,13,17,19,31,61,89, 107 n και
19 Γνωστοί αριθµοί Mersenne # Εκθέτης p Πλήθος ψηφίων στο δεκαδικό έτος ερευνητής Ανώνυµος Cataldi Cataldi 51
20 Euler Pervushin Powers Powers Lucas Robinson Robinson Robinson Robinson Robinson Riesel Hurwitz Hurwitz Gillies Gillies Gillies Tuckerman 5
21 Noll & Nickel Noll Nelson & Slowinski Slowinski Colquitt & Welsh Slowinski Slowinski Slowinski & Gage Slowinski & Gage Slowinski & Gage Armengaud, Woltman, et. al. (GIMPS) Spence, Woltman, et. al. (GIMPS) Clarkson, Woltman, et. al. (GIMPS, PrimeNet) Hajratwala, Woltman, 53
22 ?? et. al. (GIMPS, PrimeNet) Cameron, Woltman, et. al. (GIMPS, PrimeNet) εν είναι γνωστό αν πράγµατι ο τελευταίος αριθµός είναι ο 39 ος αριθµός Mersenne Τα τελευταία αποτελέσµατα βασίζονται στη διαδικτυακή εφαρµογή Great Internet Mersenne Prime Search του George Woltman 54
23 Ενδιαφέροντα θεωρήµατα Ένας άρτιος αριθµός είναι τέλειος ανν είναι της µορφής n 1 ( n 1) µε n 1 να είναι πρώτος Αν n 1 είναι πρώτος, τότε και ο είναι πρώτος Ας είναι p, q δύο πρώτοι. Αν ο q διαιρεί τον M = p p 1, τότε q = ±1mod8 και q = kp + 1 για κάποιο ακέραιο k. Εστω p πρώτος µε p = 3mod 4. Τότε p +1 είναι επίσης πρώτος ανν ο p + 1 διαιρεί τον M = p 1 p. n 55
24 Πρώτοι αριθµοί µε ιστορία Sophie Germain p Ορισµός : Ένας πρώτος λέγεται Sophie Germain πρώτος αν και ο p + 1 είναι πρώτος. Γύρω στα 185 η Sophie Germain αποδεικνύει την εικασία του Fermat για τους αριθµούς που αργότερα πήραν το όνοµά της n Οι Sophie Germain πρώτοι της µορφής p = k 1 αντιστοιχούν στις δυνάµεις των αριθµών Mersenne που δεν είναι πρώτοι 56
25 Μεγάλοι γνωστοί Sophie Germain πρώτοι # πρώτος πλήθος ψηφίων έτος ερευνητής TwinGen, PRP, Angel, Augustin, Angel, Augustin, Underbakke, Underbakke, Indlekofer, Jarai, Claude Abraham Schoenberger, 57
26 Kremelberg, Rouse, Proth.exe Rouse, Proth.exe Rouse, Proth.exe # Lifchitz, Larvala Charles F. Kerchner Scott, Proth.exe saridis, Proth.exe Axelsson, Proth.exe Rouse, Proth.exe NewPGen, Jobling Narayanan, Proth.exe 58
27 Η εικασία Sophie Germain και ο αλγόριθµος AKS Όπως εκτιµήθηκε από τον Wrench η σταθερά των δίδυµων p( p ) πρώτων είναι c = Π p 3 ( p 1) = K Η εικασία των Hardy-Littlewood ορίζει οτι το πλήθος των αριθµών Sophie Germain στο διάστηµα [ N, N + l] να είναι περίπου N + l N c log ( N + l) log N 59
28 Εικάζεται οτι το πλήθος των Sophie Germain πρώτων µικρότερων από N τείνει ασυµπτωτικά στο N dx c log x log x + 1. ( ) Εικασία για την πυκνότητα των Sophie-Germain πρώτων : Το πλήθος των Sophie Germain πρώτων p < x τείνει x ασυµπτωτικά στο c log x Η εκτίµηση για τη σταθερά των δίδυµων πρώτων δείχνει να δίνει αναπάντεχα καλά αποτελέσµατα 60
29 Πλήθος Sophie Germain πρώτων µικρότερων από N N 1, ,000 10,000, ,000,000 1,000,000,000 10,000,000,000 πραγµατικό Εκτίµηση
30 Πρόταση : Αν ισχύει η εικασία για την πυκνότητα των Sophie Germain πρώτων, η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου κατεβαίνει στο O ~ (log 6 n) Απόδειξη : Λόγω της εικασίας και για κατάλληλη σταθερά θα υπάρχουν τουλάχιστον log n Sophie Germain πρώτοι στο 8log n, c log log(log n) διάστηµα [ ( )] Κάθε ένα από τους πρώτους αυτούς θα είναι εκτός q 1 του διαστήµατος, q 6
31 Αν για έναν τέτοιο q ισχύει οτι o q ( n), τότε ένα άνω φράγµα για τον q είναι τάξης O (log n) Υπάρχει πρώτος r = O ~ (log n) µε o r ( n) 4 log n Στο ο και 5 ο βήµα µειώνεται το πλήθος των πράξεων Η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου είναι πλέον O ~ (log 6 n) 63
32 Αναµενόµενη πολυπλοκότητα για τον AKS Έχουν γίνει σηµαντικές προσπάθειες για να αποδειχθεί η εικασία Sophie Germain P(n) Ο Goldfeld (1969) έδειξε οτι αν συµβολίσουµε µε το µέγιστο πρώτο διαιρέτη του n, τότε πρώτοι αριθµοί µε την c ιδιότητα P( q 1) > q µε c 1 έχουν πυκνότητα στους πρώτους µη µηδενική. Βελτίωση της πρότασης από τον Fouvry 64
33 Λήµµα : Υπάρχουν σταθερές c > 0 και n o N τέτοια που για κάθε x > no και για t 0, 6683 να ισχύει οτι το πλήθος των στοιχείων του συνόλου t { q q πρώτος µε q x και P ( q 1) > q } x είναι µεγαλύτερο ή ίσο από c ln x. q q t q x P ( q 1) > q } Το σύνολο { πρώτος µε και παρουσιάζει θετική πυκνότητα στους πρώτους 65
34 Θεώρηµα : Η αναµενόµενη πολυπλοκότητα του αλγορίθµου είναι 7,5 O ~ (log n) Απόδειξη : 3 Λόγω της πυκνότητα των πρώτων µε P ( q 1) > q µε µεγάλη πιθανότητα, στο ο βήµα του ο αλγόριθµος θα εντοπίζει ένα r = O(log 3 n). 7,5 Η πολυπλοκότητα του AKS πέφτει στο O ~ (log n). 66
35 Η εικασία του Artin και ο αλγόριθµος AKS Η εικασία πυκνότητας του Emil Artin : n 1 Αν και επιπλέον το δεν είναι τέλειο τεράγωνο, τότε το σύνολο όλων των πρώτων για τους οποίους ο n είναι αρχική ρίζα είναι άπειρο n Aν ο δεν είναι δύναµη κάποιου αριθµού µεγαλύτερου από τη µονάδα και επιπλέον αν για το αποτετραγωνισµένο µέρος του n ' ισχύει οτι n ' 1mod4 τότε η πυκνότητα του παραπάνω συνόλου είναι 1 C = 1 = 0, K Artin Π 1 ( 1) k = p p k k 67 n
36 εδοµένου n N που δεν είναι τέλειο τεράγωνο, το πλήθος των πρώτων p m για τους οποίους o ( n) = p p 1 τείνει ασυµπτωτικά στο m C Artin ( n) ln m, όπου C ( n) > 0, 35 Artin Με υπόθεση τη γενικευµένη εικασία του Riemann, η εικασία του Artin αποδείχθηκε από τον Hooley το 1967 Κανείς δεν έχει αποδείξει αυτό το κοµµάτι της εικασίας ακόµα και για σταθεροποιηµένο n. Πρόταση : Αν ισχύει η εικασία του Artin για πρώτους που είναι της τάξης του (log O n), τότε r = O(log n). Η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου γίνεται O ~ (log 6 n) 68
37 Η εικασία των Kayal και Saxena Εικασία : r Αν ένας πρώτος δε διαιρεί το και αν n n r ( x 1) = ( x 1) mod( x 1, n) *, τότε n n πρώτος είτε = 1mod r n Η εικασία έχει ελεγχθεί από τους Neeraj Kayal και Nitin Saxena για r 100 και n
38 Πρόταση : Αν ισχύει η εικασία των Kayal και Saxena τότε η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου µπορεί να γίνει O ~ (log 3 n) Απόδειξη : Επιλέγουµε ένα r που δε θα διαιρεί το n 1, Το γινόµενο των πρώτων που είναι µικρότεροι από είναι τουλάχιστον x e και άρα το r βρίσκεται στο x [,4log n] Η σχέση * είναι ελέγξηµη σε χρόνο O ~ ( r log n ) Η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου γίνεται O ~ (log 3 n) 70
39 Η εξέλιξη του AKS Άυγουστος 00 : ηµοσίευση από τους Agrawl, Kayal και Saxena Πριν το τέλος του 00 και ανεξάρτητα οι Pomerance και Lenstra δηµοσιεύoυν ανεξάρτητα δικές τους σκέψεις στο The cyclotomic ring test of AKS και Primality testing with cyclotomic rings Νοέµβριος 00 : Ο Berrizbeitia δηµοσιεύει εργασία µε τίτλο Sharpening Primes in P for a large family of numbers 71
40 Μετά τους πρώτους µήνες του 003 και µε παρέµβαση του Lenstra διορθώνονται µικρά λάθη και απλοποιείται ο αλγόριθµος σε αυτόν που ήδη παρουσιάστηκε Αρχές του 003 : Ο Cheng Qi προτείνει πιστοποίηση πρώτων στο ECPP µε χρήση µιας επαναληπτικής διαδικασίας από το AKS. Νέα πολυπλοκότητα O ~ (log 4 n) Μάρτιος 003 : Οι Lenstra και Pomerence δηµοσιεύουν εργασία µε τίτλο Primality testing with Gaussian periods. Νέα πολυπλοκότητα για το AKS O ~ (log 6 n) Μάρτιος 003 : Ο Daniel Bernstein, τροποποιεί τον AKS σε ένα randomized αλγόριθµο τάξης O ~ (log 4 n) 7
41 Υλοποίηση του AKS Πολλές προσπάθειες υλοποίησης έχουν δηµοσιευτεί κυρίως σε Mapple, Mathematica και C++ Μαρτιος 003 : Οι Crandall και Παπαδόπουλος µε τη βοήθεια των Lenstra και Pomerence δηµοσιεύουν εργασία µε τίτλο On the implementation of AKS-class primality tests Η πειραµατική πολυπλοκότητα του AKS µετά την παρέµβαση του Lenstra σε υπολογιστή Apple G4 (1 GHz) είναι 6 T C log n µε C 1000clocks 73
42 Γνωστά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Βελτιωµένος (Lenstra) AKS : Για την πιστοποίηση 30- ψήφιου αριθµού απαιτείται σχεδόν µία µέρα Αλγόριθµος Bernstein : Πιστοποίηση 300-ψήφιου αριθµού στον ίδιο χρόνο. Εκτιµάται οτι µε βελτίωση και πάλι σε µια µέρα ένας 700-ψήφιος αριθµός είναι µέσα στις δυνατότητες Οι 10 4 περίπου CPU υπολογισµοί που έχουν γίνει µέχρι σήµερα στην ανθρωπότητα θα έδιναν απάντηση για ένα ψήφιο αριθµό 74
43 Ανοιχτά προβλήµατα για τους φιλόδοξους Υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθµοί; Υπάρχουν άπειροι το πλήθος αριθµοί Mersenne; Η εικασία του Goldbach. Κάθε άρτιος µεγαλύτερος του γράφεται σαν άθροισµα δύο πρώτων. Το πρόβληµα των περιττών του Goldbach: Κάθε περιττός µεγαλύτερος του 5 γράφεται ως άθροισµα τριών πρώτων. Κάθε άρτιος γράφεται ως διαφορά δυο πρώτων. Υπάρχουν άπειροι δίδυµοι πρώτοι; Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της µορφής n + 1; Υπάρχει πάντα πρώτος µεταξύ των n και ( n + 1) ; Υπάρχουν άπειροι Fermat-πρώτοι 1 αριθµοί; 1 Πρώτοι αριθµοί της µορφής n
44 76
ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ PRIMES P. Από τα αριστερά προς τα δεξία Saxena, Kayal και Agrawal. Επιµέλεια : Γεωργίου Κωνσταντίνος.
ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ PRIMES P Επιµέλεια : Γεωργίου Κωνσταντίνος Ιούνιος 003 Από τα αριστερά προς τα δεξία Saena, Kayal και Agawal Η ασχολία της ανθρωπότητας µε τους πρώτους αριθµούς Παράδοση
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ
Κρυπτογραφία Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα [1, n] που
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι Πρώτοι Αριθμοί ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της ΛΑΡΕΝΤΖΑΚΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ Επιβλέπουσα : Λαμπροπούλου Σοφία Αν. Καθηγήτρια
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Ιουνίου ακαδηµαϊκού έτους 29-21 Παρασκευή, 1 Ιουνίου 21 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠαραγωγή μεγάλων πρώτων αριθμών
Παραγωγή μεγάλων πρώτων αριθμών Πώς υπολογίζουμε μεγάλους πρώτους αριθμούς? Μεγάλοι πρώτοι αριθμοί χρειάζονται στην πλειοψηφία των αλγορίθμων Δημοσίου κλειδιού Γιαναεξετάσεικανείςανέναςαριθμόςn είναι πρώτος,
Διαβάστε περισσότεραΕπώνυμοι Ακέραιοι, Αποδείξεις υπάρξεως άπειρων πρώτων και το Θεώρημα του Dirichlet Χριστίνα Ιατράκη Επιβλέπων καθηγητής Ιωάννης Αντωνιάδης Μεταπτυχιακή Εργασία Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραA study of the Golomb Ruler and Sidon Set Problems, and Determination of Large, Near-Optimal Golomb Rulers. Απόστολος ηµητροµανωλάκης
A study of the Golomb Ruler and Sidon Set Problems, and Determination of Large, Near-Optimal Golomb Rulers Απόστολος ηµητροµανωλάκης Ιούνιος 2002, Χανιά Οργάνωση της παρουσίασης 1. Εισαγωγή στους κανόνες
Διαβάστε περισσότεραΗ Ευκλείδεια διαίρεση
1 Η Ευκλείδεια διαίρεση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Αποδεικνύεται ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, β 0, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα και διατυπώνεται ως εξής : Αν α και β ακέραιοι µε β
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ανάλυση και Υλοποίηση Σύγχρονων Αλγορίθμων Εντοπισμού Πρώτων Αριθμών ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Ανάλυση και Υλοποίηση Σύγχρονων Αλγορίθμων Εντοπισμού Πρώτων
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου ακαδηµαϊκού έτους 29-2 Τρίτη, 3 Αυγούστου 2 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότερα3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009
3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το
Διαβάστε περισσότεραMathematics and its Applications, 5th
Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα
Διαβάστε περισσότερα1 Υποθέσεις και Θεωρήµατα
Υποθέσεις και Θεωρήµατα Στο Λύκειο αλλά πολλές ϕορές και στο Πανεπιστήµιο τα µαθηµατικά µας παρουσιάζονται σαν έτοιµο προΐόν. Βλέπουµε συνήθως τη µια πλευρά των πραγµάτων, τη ϕωτεινή πλευρά όπου ϐρίσκονται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης
Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρια Αριθµων Προβληµατα
Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ζωή Παρασκευοπούλου Νίκος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά για Πληροφορική
Μαθηµατικά για Πληροφορική 1ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 2/10/08 2/10/08 1 / 1 Γενικό πλάνο 1 Σχετικά µε το µάθηµα 2 Υποθεσεις -
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις
Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς
Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από
Διαβάστε περισσότερα2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008
2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης
Διαβάστε περισσότερα2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008
2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης Στη µνήµη του δασκάλου µου, Χάρη Βαφειάδη... www.math.uoc.gr/
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ολοκλήρωση
Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x
o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ
Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός
Διαβάστε περισσότερα* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.
Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση
Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε
Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.
Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη
Διαβάστε περισσότεραΕπιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας.
Επιπλέον Ασκήσεις Μαθηµατική Επαγωγή Για κάθε n 1: 2 = n(n + 1(2n + 1 6 Ορέστης Τελέλης telels@unpgr Για κάθε n 1: 3 = n2 (n + 1 2 4 Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Για κάθε n 10: 2 n
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - Θεωρήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα. Η χρυσή τομή. Υποθέσεις - Εικασίες
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροορικής ο Μάθημα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς
Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 20 Επιπλέον Ασκήσεις Για κάθε n 1: n i 2 = n(n + 1)(2n
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε
Διαβάστε περισσότεραa = a a Z n. a = a mod n.
Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση
Διαβάστε περισσότεραF 5 = (F n, F n+1 ) = 1.
Λύσεις Θεμάτων Θεωρίας Αριθμών 1. (α) Να δειχθεί ότι ο πέμπτος αριθμός της μορφής Fermat, δηλαδή ο F 5 2 25 + 1 διαιρείται από το 641. (β) Εστω F n η ακολουθία των αριθμών Fermat, δηλαδή F n 2 2n + 1,
Διαβάστε περισσότερα(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier
Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό
Διαβάστε περισσότερα( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραa 1d L(A) = {m 1 a m d a d : m i Z} a 11 a A = M B, B = N A, k=1
Α44 ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #12 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1 Πλεγµατα Εστω ο διανυσµατικός χώρος R d διάστασης d Ο χώρος R d έρχεται µε ένα εσωτερικό γινόµενο x, y = d i=1 x iy i και τη σχετική νόρµα x = x,
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία και Πολυπλοκότητα
Απόδειξη του Αλγορίθµου Tonelli - Shanks Σχολή Εφαρµοσµένων και Φυσικών Επιστηµών ευτέρα 13 Φεβρουαρίου 2011 Το Πρόβληµα Να ϐρούµε x 1, x 2 Z p τέτοια ώστε: για κάποιο a Z p. x 2 i a (mod p) i 1, 2 (1)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://stes.google.com/ste/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΓ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ
1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των
Διαβάστε περισσότεραΘεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος Α. Μπεληγιάννης
Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 Τµηµα Β ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html 19 Οκτωβρίου 2016 Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγµατα. Τάξη των Συναρτήσεων (1) Παράδειγµα (2) Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ). Ορέστης Τελέλης
Τάξη των Συναρτήσεων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 1. Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ) 2. Να δειχθεί ότι η n 2 δεν είναι O(n). 3. Αληθεύει ότι n 3 =
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 7 Απριλίου 2017 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότερα2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.
Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Διαβάστε περισσότεραa = p 1 p k q 1 q l. p 1 p k = a = q 1 q l. p 2 p k = a/p 1 = q 2 q l =
Κεφάλαιο 3 Πρώτοι Αριθμοί Σύνοψη Σ αυτό το κεφάλαιο εισάγουμε τους πρώτους αριθμούς. Δίνουμε μία απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της αριθμητικής και βασικές εφαρμογές του στο μέγιστο κοινό διαιρέτη
Διαβάστε περισσότεραΤο σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.
1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός
Διαβάστε περισσότεραΠολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
Διαβάστε περισσότεραΑριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης
Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 31 Μαρτίου 2017 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραΑριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA
Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση
Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις σειρές
. ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΟρισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:
Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C
Διαβάστε περισσότεραΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια
Διαβάστε περισσότερα2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Γενικής Παιδείας. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Β' Γενικού Λυκείου Γενικής Παιδείας Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Α1. Στο επόμενο σχήμα βλέπετε τον τριγωνομετρικό κύκλο, τους άξονες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισµού Theory of Computation
1 ο µέρος Θεωρία Υπολογισµού Theory of Computation 1 Υπολογισιµότητα - Computability o Υπολογισιµότητα (Computability) n Τι µπορεί να υπολογιστεί και τι όχι; o Υπολογιστική πολυπλοκότητα (Computational
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 13: Αλγόριθμοι-Μεγάλων ακεραίων- Εκθετοποίηση- Πολλαπλασιασμός πινάκων -Strassen Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΛέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.
Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση
Διαβάστε περισσότεραΓ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).
1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα 2 (15 µονάδες)
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά Προβλήματα και Αλγόριθμοι στην Κρυπτογραφία
Κεφάλαιο 4 Υπολογιστικά Προβλήματα και Αλγόριθμοι στην Κρυπτογραφία Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουμε βασικούς αλγόριθμους που σχετίζονται με έννοιες της Θεωρίας Αριθμών και έχουν άμεση εφαρμογή στην κρυπτογραφία.
Διαβάστε περισσότεραΘεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,
Διαβάστε περισσότερα1 ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ
Δ.Π.Θ. - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2017-2018 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο A Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης 03 ΟΚΤ 2017 ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ
Διαβάστε περισσότερα«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια
Διαβάστε περισσότεραΑπλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες
Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση
Πίνακες Διασποράς Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση κλειδί k T 0 1 2 3 4 5 6 7 U : χώρος πιθανών κλειδιών Τ : πίνακας μεγέθους
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων
Διαβάστε περισσότεραThanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ
thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Ορισμοί α) Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α Αν η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε Β, όπου Β ένα υποσύνολο του Α, θα λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο Β Αν
Διαβάστε περισσότεραΔ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και
Διαβάστε περισσότερα