Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης"

Transcript

1 Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο αποτελεί ένα σύνολο πρόχειρων σηµειώσεων, κυρίως επί Θεωρητικών Θεµάτων, για τις ανάγκες του µαθήµατος Θεωρία Αριθµών, Εαρινό Εξάµηνο Ακαδηµαϊκού Ετους , και τελεί υπο συνεχή επεξεργασία.

2 2 Περιεχόµενα Μέρος 1. ιαιρετότητα Ακεραίων 3 1. Αρχή Καλής ιάταξης και Μαθηµατική Επαγωγή 3 2. Η m-αδική αναπαράσταση ενός ϕυσικού αριθµού 6 3. Κριτήρια ιαιρετότητας 9 4. Η Εικασία του Bertrand και η Κατανοµή των Πρώτων Αριθµών Η Εικασία του Bertrand Η Κατανοµή των πρώτων αριθµών Ο Αλγόριθµος του Ευκλείδη και το Θεώρηµα του Lamé 19 Μέρος 2. Αριθµητικές Συναρτήσεις 22 Μέρος 3. Ισοτιµίες 23 Μέρος 4. Πρωταρχικές Ρίζες 24 Μέρος 5. Τετραγωνικά Υπόλοιπα 25 Μέρος 6. Βιβλιογραφία 26

3 3 Μέρος 1. ιαιρετότητα Ακεραίων 1. Αρχή Καλής ιάταξης και Μαθηµατική Επαγωγή Στην Θεωρία Αριθµών µεγάλο ϱόλο στην ανάπτυξη της ϑεωρίας αλλά και σε αποδεικτικές µεθόδους διαδραµµατίζουν διάφορες αρχές αξιωµατικού χαρακτήρα. Οι σηµαντικότερες από αυτές τις αρχές είναι οι εξής : (ΑΚ ) Αρχη Καλης ιαταξης: Κάθε µη κενό υποσύνολο του συνόλου N έχει ελάχιστο στοιχείο. (ΑΜΕ) 1 Αρχη Μαθηµατικης Επαγωγης 1 : Εστω S ένα υποσύνολο του συνόλου N για το οποίο ισχύουν τα εξής : (α) 1 S. (β) k N: k S = k + 1 S. Τότε : S = N. (ΑΜΕ) 2 Αρχη Μαθηµατικης Επαγωγης 2 : Εστω P (n) µια πρόταση η οποία εξαρτάται από τον ϕυσικό αριθµό n N, για την οποία ισχύουν τα εξής : (α) Η πρόταση P (1) είναι αληθής. (β) k N: η πρόταση P (k) είναι αληθής = η πρόταση P (k + 1) είναι αληθής. Τότε : η πρόταση P (n) είναι αληθής, n N. (ΑΜ) Αρχη Μεγιστου: Κάθε µη κενό άνω ϕραγµένο υποσύνολο του συνόλου N έχει µέγιστο στοιχείο. Θα δείξουµε ότι οι παραπάνω αρχές είναι µεταξύ τους ισοδύναµες. Θεώρηµα 1.1. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες : 1. (ΑΚ ): Κάθε µη κενό υποσύνολο του συνόλου N έχει ελάχιστο στοιχείο. 2. (ΑΜΕ) 1 : Εστω S ένα υποσύνολο του συνόλου N για το οποίο ισχύουν τα εξής : (α) 1 S. (β) k N: k S = k + 1 S. Τότε : S = N. 3. (ΑΜΕ) 2 : Εστω P (n) µια πρόταση η οποία εξαρτάται από τον ϕυσικό αριθµό n N, για την οποία ισχύουν τα εξής : (α) Η πρόταση P (1) είναι αληθής. (β) k N: η πρόταση P (k) είναι αληθής = η πρόταση P (k + 1) είναι αληθής. Τότε : η πρόταση P (n) είναι αληθής, n N. 4. (ΑΜ): Κάθε µη κενό άνω ϕραγµένο υποσύνολο του συνόλου N έχει µέγιστο στοιχείο. Απόδειξη. (ΑΚ ) = (ΑΜΕ) 1 Υποθέτουµε ότι ισχύει η Αρχή Καλής ιάταξης, και έστω S ένα υποσύνολο του N έτσι ώστε 1 S, και k S = k + 1 S. Υποθέτουµε ότι S N. Τότε το σύνολο N\S είναι µη-κενό. Επόµενως από την αρχή καλής διάταξης έπεται ότι το N \ S έχει ελάχιστο στοιχείο : l = min(n \ S), δηλαδή l N \ S και l x, x N \ S Αν l = 1, τότε 1 N \ S το οποίο είναι άτοπο διότι από την υπόθεση έχουµε 1 S. Άρα l > 1 και εποµένως 1 l 1 < l. Τότε το στοιχείο l 1 ϑα ανήκει στο S διότι διαφορετικά l 1 N \ S κάτι το οποίο είναι άτοπο διότι l 1 < l και το l είναι το ελάχιστο στοιχείο του N \ S. Απο την ιδιότητα (β) του συνόλου S ϑα

4 4 έχουµε τότε : 1 S, και l 1 S = l S. Αυτό όµως είναι άτοπο διότι εκ κατασκευής l N \ S, δηλαδή l / S. Στο άτοπο καταλήξαµε υποθέτοντας ότι S N. Εποµένως ϑα έχουµε S = N, και άρα ισχύει η πρώτη εκδοχή της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. (ΑΜΕ) 1 = (ΑΜΕ) 2 Υποθέτουµε ότι ισχύει η πρώτη εκδοχή της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής και έστω η πρόταση P (n), n N, για την οποία ικανοποιούνται οι συνθήκες του µέρους 3.. Θεωρούµε το ακόλουθο σύνολο S = { n N η πρόταση P (n) } είναι αληθής Προφανώς τότε για το υποσύνολο S ικανοποιούνται οι συνθήκες (α) και (β) του µέρους 2.. Εποµένως ϑα έχουµε ότι S = N, το οποίο σηµαίνει ότι η πρόταση P (n) είναι αληθής για κάθε n N. Άρα ισχύει η δεύτερη εκδοχή της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. (ΑΜΕ) 2 = (ΑΚ ) Υποθέτουµε ότι ισχύει η δεύτερη εκδοχή της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής και έστω S N ένα µη-κενό υποσύνολο του N. Υποθέτουµε ότι το S δεν έχει ελάχιστο στοιχείο. Για κάθε n N, ϑεωρούµε την πρόταση P (n) : για κάθε k N έτσι ώστε 1 k n, ισχύει ότι : k / S Η πρόταση P (1), δηλαδή ο ισχυρισµός ότι 1 / S, είναι αληθής. Πράγµατι, αν 1 S τότε προφανώς το 1 είναι ελάχιστο στοιχείο του S κάτι το οποίο είναι άτοπο διότι το S δεν έχει ελάχιστο στοιχείο. Υποθέτουµε ότι η πρόταση P (n) είναι αληθής, δηλαδή κανένας από τους αριθµούς 1, 2,, n δεν ανήκει στο S. Αν το n + 1 ανήκει στο S, τότε επειδή k / S, όπου 1 k n, έπεται άµεσα ότι το n + 1 είναι ελάχιστο στοιχείο του S κάτι το οποίο είναι άτοπο διότι το S δεν έχει ελάχιστο στοιχείο. Άρα ϑα έχουµε ότι n + 1 / S. Αυτό όµως σηµαίνει ότι η πρόταση P (n + 1) είναι αληθής. Από την δεύτερη εκδοχή της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής, έπεται τότε ότι η πρόταση P (n) είναι αληθής για κάθε n N, και εποµένως n N, 1 k n = k / S. Με άλλα λόγια n N, n / S. Αυτό όµως, επεισδή S N, σηµαίνει ότι S = κάτι το οποίο είναι άτοπο από την αρχική µας υπόθεση. Στο άτοπο καταλήξαµε υποθέτοντας ότι το µη-κενό υποσύνολο S του N δεν έχει ελάχιστο στοιχείο. Άρα το S έχει ελάχιστο στοιχείο και εποµένως ισχύει η Αρχή Καλής ιάταξης. Ετσι έχουµε δείξει ότι οι τρεις πρώτες αρχές (ΑΚ ), (ΑΜΕ) 1, (ΑΜΕ) 2 είναι ισοδύναµες. Ολοκλη- ϱώνουµε την απόδειξη δείχνοντας ότι : (ΑΚ ) = (ΑΜ) = (ΑΜΕ) 2. (ΑΚ ) = (ΑΜ) Υποθέτουµε ότι ισχύει η Αρχή Καλής ιάταξης, και έστω T N ένα µη-κενό και άνω ϕραγµένο υποσύνολο του N. Εστω b N ένα άνω ϕράγµα του T, δηλαδή : b N και t b, t T Ορίζουµε ένα νέο σύνολο, το σύνολο όλων των άνω ϕραγµάτων του T στο N: S = { s N t < s, t T } Το σύνολο S είναι µη κενό διότι t T : t b < b + 1, και άρα b + 1 S. Από την Αρχή Καλής ιάταξης, έπεται ότι το σύνολο S έχει έλάχιστο στοιχείο, έστω ότι αυτό είναι το s 0 : s 0 = min S, δηλαδή s 0 S και s 0 s, s S Από το ορισµό του συνόλου S, έπεται ότι υπάρχει ένα στοιχείο t 0 T έτσι ώστε : s 0 1 t 0. Πράγµατι, αν s 0 1 > t, t T, τότε ϑα είχαµε ότι s 0 1 S κάτι το οποίο είναι άτοπο διότι s 0 1 < s 0 και το s 0 είναι ένα ελάχιστο στοιχείο του S. Άρα πράγµατι υπάρχει ένα στοιχείο t 0 T έτσι ώστε : s 0 1 t 0. Επειδή όµως έχουµε και t 0 < s 0, έπεται ότι ϑα έχουµε s 0 1 = t 0 T. Ισχυριζόµαστε ότι : t 0 = max T, δηλαδή το t 0 είναι µέγιστο στοιχείο του T

5 Πράγµατι, το t 0 ανήκει εκ κατασκευής στο T και επιπλέον επειδή από τον ορισµό του συνόλου S έχουµε t < s 0, t T, έπεται ότι t s 0 1 = t 0, t T. ηλαδή t 0 = max T. (ΑΜ) = (ΑΜΕ) 2 Υποθέτουµε ότι ισχύει η Αρχή Μεγίστου και έστω P (n) µια πρόταση η οποία εξαρτάται από το n N, για την οποία ισχύει ότι η P (1) είναι αληθής, και για κάθε ϕυσικό αριθµό n: P (n) είναι αληθής = P (n + 1) είναι αληθής. Εστω ότι υπάρχει m N έτσι ώστε η πρόταση P (m) δεν είναι αληθής. Ορίζουµε τότε ένα σύνολο T ως εξής : T = { t N η πρόταση P (n) είναι αληθής n N : 1 n t } Επειδή η πρόταση P (1) είναι αληθής, έπεται ότι 1 T και άρα T. Επιπρόσθετα ο ϕυσικός αριθµός m είναι προφανώς ένα άνω ϕράγµα για το σύνολο T. Πράγµατι αν k N και m k, τότε k / T, διότι διαφορετικά αν k T, τότε ϑα είχαµε ότι η P (m) είναι αληθής κάτι το οποίο δεν ισχύει. Ετσι το T είναι ένα µη-κενό και άνω ϕραγµένο υποσύνολο του N. Εποµένως από την Αρχή Μεγίστου, το σύνολο T έχει ένα µέγιστο στοιχείο, έστω ότι αυτό είναι το t 0 : t 0 = max T, δηλαδή t 0 T και t t 0, t T Από τον ορισµό του συνόλου T ϑα έχουµε ότι η πρόταση P (t 0 ) είναι αληθής. Τότε από την υπόθεση ϑα έχουµε και ότι η πρόταση P (t 0 + 1) είναι αληθής. Αυτό όµως σηµαίνει ότι η πρόταση P (n) είναι αληθής για κάθε n N έτσι ώστε : 1 n t 0 + 1, και εποµένως ο αριθµός t ανήκει στο σύνολο T. Αυτό όµως είναι άτοπο διότι t 0 < t και το t 0 είναι µέγιστο στοιχείο τπυ T. Στο άτοπο καταλήξαµε υποθέτοντας ότι υπάρχει m N έτσι ώστε η πρόταση P (m) δεν είναι αλη- ϑής. Άρα η πρόταση P (n) είναι αληθής, n N, και εποµένως ισχύει η δεύτερη εκδοχή της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. 5 Από τώρα και στο εξής ϑα υποθέτουµε ότι ισχύει µια, και εποµένως και οι υπόλοιπες, από τις αρχές του παραπάνω Θεωρήµατος.

6 6 2. Η m-αδική αναπαράσταση ενός ϕυσικού αριθµού Σκοπός της παρούσης ενότητας είναι η απόδειξη του Θεωρήµατος 2.2 που δίνει, δοθέντων ακεραίων n 1 και m 2, την m-αδική αναπαράσταση του n. Χρειαζόµαστε το ακόλουθο λήµµα. Λήµµα 2.1. Εστω m, n ϑετικοί ακέραιοι µε m 2. Τότε υπάρχει µοναδικός µη αρνητικός ακέραιος k ώστε m k n < m k+1. Απόδειξη. Πρώτα δείχνουµε µε µαθηµατική επαγωγή ότι m s 1 + s (2.1) για κάθε ακέραιο s 1. Πράγµατι, για s = 1 ισχύει αφού m 2. Υποθέτουµε ότι για κάποιο s 1 ισχύει m s 1 + s. Τότε m s+1 = m m s m(1 + s) = (1 + s) + (m 1)(1 + s) (1 + s) + 1 = 1 + (s + 1) Εποµένως απο την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η ανισότητα (2.1) ισχύει για κάθε s 1. Σαν συνέπεια της ανισότητας m n > n. Ορίζουµε S = {s N : m s > n}. Αφού όπως δείξαµε n S, το S είναι µη κενό σύνολο ϕυσικών αριθµών. Άρα από την αρχή του ελαχίστου έχει ελάχιστο στοιχείο s 0 το οποίο γράφεται στην µορφή s 0 = k + 1 για κάποιον µη αρνητικό ακέραιο k. Τότε, k / S άρα m k n και k + 1 S άρα n < m k+1. Θα δείξουµε τώρα την µοναδικότητα του k. Υποθέτουµε m k n < m k+1 και m l n < m l+1 για ακέραιους k, l και ϑα δείξουµε ότι k = l. Εστω ότι δεν ισχύει, και έχουµε k < l. Άρα k + 1 l, συνεπώς n < m k+1 m l n που είναι αντίφαση. Στο ακόλουθο Θεώρηµα η έκφραση (2.2) λέγεται m-αδική αναπαράσταση του n και οι ακέραιοι a i είναι τα ψηφία του n µε ϐάση τον m. Θεώρηµα 2.2. Εστω m ένας ακέραιος µε m 2. Κάθε ακέραιος n 1 αναπαρίσταται κατά µοναδικό τρόπο στη µορφή n = a 0 + a 1 m + a 2 m a k m k, (2.2) όπου k είναι ο (µοναδικός) µη αρνητικός ακέραιος για τον οποίο m k n < m k+1 και οι a 0, a 1,..., a k είναι ακέραιοι που ικανοποιούν τις 1 a k m 1 και 0 a i m 1 για κάθε i = 0, 1,..., k 1. Απόδειξη. Πρώτα δείχνουµε την ύπαρξη των k και a 0..., a k. Για k 0 συµβολίζουµε µε P (k) την εξής πρόταση : κάθε ϕυσικός n µε m k n < m k+1 έχει m-αδική αναπαράσταση. Θα αποδείξουµε ότι η P (k) ισχύει για κάθε k 0 µε τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής. Πρώτα δείχνουµε την P (0). Εστω 1 n < m. Θέτουµε a 0 = n. Τότε η a 0 είναι µια m-αδική αναπαράσταση του n. Εστω k 1 και ας υποθέσουµε ότι ισχύουν οι προτάσεις P (0), P (1),..., P (k 1). Θα δείξουµε ότι ισχύει η P (k). Εστω m k n < m k+1. Από την ταυτότητα της διαίρεσης του n µε m k, υπάρχουν a k και r µε 0 r < m k έτσι ώστε n = a k m k + r. (2.3)

7 7 Τότε, 0 < m k r n r = a k m k n < m k+1. ιαιρώντας αυττή την ανισότητα µε m k παίρνουµε 0 < a k < m. Αφού οι m και a k είναι ακέραιοι, ϐλέπουµε ότι 1 a k m 1. Αν r = 0, τότε η n = a k m k είναι µια m-αδική αναπαράσταση του n. Αν r 1 τότε από το Λήµµα 2.1 έχουµε m l n < m l+1 για κάποιον µη αρνητικό ακέραιο l. Αφού r < m k ισχύει l < k. Από την επαγωγική υπόθεση η P (l) ισχύει, άρα ο r έχει µια m-αδική αναπαράσταση της µορφής r = a 0 + a 1 m + + a k 1 m k 1, όπου 0 a i m 1 για κάθε i = 0, 1,..., k 1. Τότε ο n αναπαρίσταται στη µορφή n = a 0 + a 1 m + + a k 1 m k 1 + a k m k. Από το Λήµµα 2.1 κάθε ϕυσικός αριθµός n ανήκει σε κάποιο διάστηµα της µορφής [m k, m k+1 ), άρα προκύπτει ότι κάθε ϑετικός ακέραιος έχει m-αδική γραφή. Τώρα ϑα δείξουµε την µοναδικότητα της m-αδικής γραφής. Υποθέτουµε ότι δεν ισχύει και ϑα καταλήξουµε σε αντίφαση. Εστω n ο ελάχιστος ϑετικός ακέραιος για τον οποιό η m-αδική γραφή δεν είναι µοναδική και n = b 0 + b 1 m + + b s m s (2.4) µια άλλη διαφορετική από την (2.2) m-αδική αναπαράσταση του n, όπου 0 b j m 1 για κάθε j = 0, 1,..., s και b s 1. Αν s k + 1, τότε n < m k+1 b s m s n, το οποίο δεν µπορεί να συµβαίνει. Άρα k s. Με ανάλογο επιχείρηµα δείχνουµε s k. Άρα, k = s. Αν a k < b k, τότε n = a 0 + a 1 m + + a k 1 m k 1 + a k m k (m 1) + (m 1)m + + (m 1)m k 1 + a k m k = (m k 1) + a k m k < (a k + 1)m k b k m k n, το οποίο είναι αδύνατο. Άρα, b k a k. Με ανάλογο επιχείρηµα δείχνουµε ότι a k b k, άρα a k = b k. Τότε n a k m k = a 0 + a 1 m + a 2 m a k 1 m k 1 = b 0 + b 1 m + b 2 m b k 1 m k 1 Αφού n a k m k < n και ο n έχει επιλεγεί σαν ο ελάχιστος ϑετικός ακέραιος που δεν έχει µοναδική m- αδική γραφή έχουµε a i = b i για κάθε i = 0, 1,..., k 1. Αυτό όµως είναι αντίφαση, γιατί υποθέσαµε ότι οι m-αδικές αναπαραστασεις (2.4) και (2.2) του n είναι διαφορετικές µεταξύ τους. Παράδειγµα 2.3. (1) 2-αδική αναπαράσταση του 100: Εχουµε Εποµένως 2 1 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 8, 2 4 = 16, 2 5 = 32, 2 6 = 64, 2 7 > = = = Σαν συνέπεια τα 2-δικά ψηφία του 100 είναι (1, 1, 0, 0, 1, 0, 0).

8 8 (2) 3-αδική αναπαράσταση του 100: Εχουµε 3 1 = 3, 3 2 = 9, 3 3 = 27, 3 4 = 81, 3 5 > 100. Εποµένως 100 = = = Σαν συνέπεια τα 3-δικά ψηφία του 100 είναι (1, 0, 2, 0, 1).

9 9 3. Κριτήρια ιαιρετότητας Εστω a > 1 ένας ϕυσικός αριθµός και έστω η παράσταση του a = a m 10 m + a m 1 10 m a a 0, a m 0 και 0 a i 9, 0 i m στο δεκαδικό σύστηµα. Τότε έχουµε τα ακόλουθα κριτήρια διαιρετότητας : Θεώρηµα 3.1. (1) (2) (3) (4) (5) όπου : (6) (7) (8) (9) 2 a 2 a 0 3 a 3 a 0 + a a m 4 a 4 a a 0 5 a 5 a 0 7 a 7 2a 0 a a = a m 10 m 1 + a m 1 10 m a a 1 9 a 9 a 0 + a a m 10 a a 0 = 0 11 a 11 a 0 a 1 + a 2 a ( 1) m a m 25 a 25 a a 0 Για παράδειγµα, ο 11 διαιρεί τον αριθµό n = , γιατί ο 11 διαιρεί τον = 0 Στην Πρόταση 3.2 αποδεικνύουµε το κριτήριο διαιρετότητας µε το 11. Ενας ενδιαφέρον γενικός τρόπος για την παραγωγή κριτηρίων διαιρετότητας περιγράφεται στην εργασία [Conrad Keith, A Universal "Divisibility" Test] που είναι διαθέσιµη στην ηλεκτρονική διεύθυνση kconrad/blurbs/ugradnumthy/universaldivtest.pdf Πρόταση Για κάθε περιττό ϕυσικό αριθµό n ισχύει : 2. Για κάθε άρτιο ϕυσικό αριθµό n: 3. Εστω a i Z, 0 i m, και n n 1 Τότε ισχύει : a = a m 10 m + a m 1 10 m a a 0 11 a 11 a 0 a 1 + a 2 a ( 1) m a m

10 10 Απόδειξη. 1. Γράφουµε n = 2k + 1 όπου k 0. Εχουµε 10 n + 1 = 10 2k Θα χρησιµοποιήσουµε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής. Ορίζουµε P (k) να είναι η Πρόταση k Εχουµε ότι η P (0) ισχύει, γιατί το 11 διαιρεί το 11. Υποθέτουµε ότι k 0 και ότι η P (k) ισχύει, δηλαδή ότι το 11 διαιρεί το 10 2k Θα δείξουµε την P (k + 1), δηλαδή ότι το 11 διαιρεί το 10 (2(k+1)+1) + 1 = 10 2k Πράγµατι, έχουµε 10 2k = k = (99 + 1) 10 2k = 11 (9 10 2k+1 ) + (10 2k+1 + 1) Χρησιµοποιώντας ότι το 11 διαιρεί το 10 2k έχουµε ότι το 11 διαιρεί 10 2k Άρα η P (k + 1) ισχύει. Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής αυτό που ϑέλουµε να δείξουµε ισχύει για κάθε k Γράφουµε n = 2k όπου k 1. Εχουµε 10 n 1 = 10 2k 1. Θα χρησιµοποιήσουµε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής. Ορίζουµε Q(k) την Πρόταση k 1 Εχουµε ότι η Q(1) ισχύει, γιατί το 11 διαιρεί το = 99. Υποθέτουµε ότι k 1 και ότι η Q(k) ισχύει, δηλαδή ότι το 11 διαιρεί το 10 2k 1. Θα δείξουµε την Q(k + 1), δηλαδή ότι το 11 διαιρεί το 10 2(k+1) 1 = 10 2k+2 1. Πράγµατι, έχουµε 10 2k+2 1 = k 1 = (99 + 1) 10 2k 1 = 11 (9 10 2k ) + (10 2k 1) Χρησιµοποιώντας ότι το 11 διαιρεί το 10 2k 1 έχουµε ότι το 11 διαιρεί 10 2k+2 1. Συνεπώς η Q(k + 1) ισχύει. Άρα σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής αυτό που ϑέλουµε να δείξουµε ισχύει για κάθε k Θέτουµε A = a 0 a 1 + a 2 a ( 1) m a m Εχουµε a = a 0 + a a 1 a 1 + a a 2 a a m 10 m + a m a m = A + a 1 (10 + 1) + a 2 (10 2 1) + a 3 ( ) + + a m (10 m ( 1) m+1 )) Χρησιµοποιώντας τα µέρη 1. και 2. έχουµε ότι ο 11 διαιρεί τον a 1 (10 + 1) + a 2 (10 2 1) + a 3 ( ) + + a m (10 m ( 1) m+1 )) Εποµένως ο 11 διαιρεί τον a αν και µόνο αν διαιρεί τον A.

11 11 4. Η Εικασία του Bertrand και η Κατανοµή των Πρώτων Αριθµών Σκοπός της παρούσης ενότητας είναι η απόδειξη ενός σηµαντικού αποτελέσµατος στην Θεωρία Α- ϱιθµών το οποίο είναι γνωστό ως Εικασία του Bertrand (Bertrand Conjecture ή Bertrand Postulate). Θα δούµε επίσης κάποιες ενδιαφέρουσες συνέπειες στην κατανοµή των πρώτων αριθµών Η Εικασία του Bertrand. Η ακόλουθη Εικασία του Bertrand (Bertrand Conjecture ή Bertrand Postulate) µας δίνει ένα µέτρο της πυκνότητας των πρώτων αριθµών στο σύνολο όλων των ϕυσικών αριθµών. Θεώρηµα 4.1. (Εικασια του Bertrand) Για κάθε ϕυσικό αριθµό n 1, υπάρχει πρώτος p έτσι ώστε : n < p < 2n (4.1) Σχόλιο 4.2. Ο ισχυρισµός της εικασίας του Bertrand επαληθεύεται εύκολα για µικρές τιµές του n: p = 3 αν n = 2 p = 5 αν n = 3 p = 7 αν 4 n 6 p = 13 αν 7 n 12 p = 23 αν 13 n 22 p = 43 αν 23 n 42 p = 83 αν 43 n 82 p = 131 αν 83 n 127 Σχόλιο 4.3. Τον ισχυρισµό ότι για κάθε ϕυσικό αριθµό n 1, υπάρχει πρώτος p έτσι ώστε n < p < 2n, διατύπωσε το 1845 ο Γάλλος Μαθηµατικός Joseph Bertrand ( ), ο οποίος επαλήθευσε το ισχυρισµό για ϕυσικούς αριθµούς Ο ισχυρισµός αποδείχθηκε για κάθε ϕυσικό αριθµό από τον Ρώσο Μαθηµατικό P.L. Chebyshev ( ) το 1850, µε χρήση µεθόδων της Ανάλυσης. Αργότερα δώθηκαν απλούστερες αποδείξεις, για παράδειγµα από τους Erdös και Ramanujan, καθώς και ϐελτιωµένες εκδοχές της εικασίας του Bertrand. Εδώ ϑα παρουσιάσουµε µια παραλλαγή της απόδειξης του Erdös, στην πρώτη εργασία που δηµοσίευσε το Για την απόδειξη του Θεωρήµατος 4.1, η οποία δεν είναι εύκολη, ϑα χρειασθούµε κάποια προκαταρκτικά ϐοηθητικά αποτελέσµατα, τα οποία έχουν ενδιαφέρον και από µόνα τους. Λήµµα 4.4. Εστω n 2 ένας ϕυσικός αριθµός. Εστω p 1, p 2,, p k όλοι οι πρώτοι αριθµοί οι οποίοι είναι µικρότεροι ή ίσοι του n. Τότε : k p i = p 1 p 2 p k 4 n (4.2) i=1

12 12 Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι : για n = 2 έχουµε k = 1 και p 1 = 2 < 4 2 = 4. Για n = 3, έχουµε k = 2 και p 1 = 2 και p 2 = 3. Τότε p 1 p 2 = 2 3 = 6 < 4 3 = 48. Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση (4.2) αληθεύει, όταν n = 2, 3. Η απόδειξη για κάθε n > 3 ϑα γίνει πρώτα στην περίπτωση κατά την οποία ο αριθµός n είναι περιττός και ακολούθως στην περίπτωση κατά την οποία ο n είναι άρτιος. Υποθέτουµε ότι ο αριθµός n είναι περιττός. Θα δείξουµε το Ϲητούµενο µε χρήση Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. Οπως είδαµε παραπάνω, για n = 3 η Ϲητούµενη σχέση ισχύει. Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι για n περιττό και n > 3 ισχύει : k p i = p 1 p 2 p j 4 n, j : περιττός και 3 < j < n j=1 Θα δείξουµε πρώτα ότι ισχύει η Ϲητούµενη σχέση για την περίπτωση n περιττός. Επειδή ο n είναι περιττός έπεται ότι ϑα είναι της µορφής n = 2λ + 1 για κάποιον ϕυσικό αριθµό λ. Τότε n = 2(λ + 1) 2 = λ + 1 και n 1 2 = 2λ 2 = λ Εποµένως αν ο λ είναι άρτιος, τότε ο αριθµός n+1 2 είναι περιττός, και αν ο λ είναι περιττός, τότε ο αριθµός n 1 2 είναι περιττός. Θεωρούµε τον ϕυσικό αριθµό k = n ± 1 2 όπου διαλέγουµε το πρόσηµο έτσι ώστε ο αριθµός k να είναι περιττός. Τότε προφανώς k 3 και ο αριθµός n k 1 είναι άρτιος ως διαφορά περιττών. Εστω p ένας πρώτος αριθµός έτσι ώστε k < p n. Τότε ο p είναι περιττός διότι p > k > 3. Ισχυρισµος: p n! και p k! και p (n k)! Πραγµατικά, επειδή p n, έπεται προφανώς ότι p n!. Επίσης αν p k!, τότε επειδή ο αριθµός p είναι πρώτος, ϑα έχουµε p a όπου a k. Αυτό όµως είναι άτοπο διότι k < p. Ετσι πράγµατι p k!. Παρόµοια ϐλέπουµε ότι p (n k)!, διότι αν p (n k)!, τότε όπως και προηγούµενως ϑα έχουµε p a για κάποιο a µε 1 a n k. Ιδιαίτερα p n k και µάλιστα p n k 1, διότι αν p = n k τότε έπεται ότι ο p είναι άρτιος το οποίο είναι άτοπο. Ετσι k < p n k 1 και εποµένως n 2k + 1. Αυτό είναι άτοπο όπως ϐλέπουµε εύκολα από την επιλογή του k, δηλαδή k = n±1 2. Εποµένως p (n k)!. Ισχυρισµος: p ( ) n k Πραγµατικά από την Ευκλείδεια ιαίρεση ϑα έχουµε : ( ) n n! = = pm + r, k k!(n k)! 0 Τότε επειδή p n!, ϑα έχουµε r < p n! = p ( mk!(n k)! ) + k!(n k)!r = n! p ( mk!(n k)! ) = k!(n k)!r = = p k!(n k)!r

13 13 και επειδή ο p είναι πρώτος και p k! και p (n k)! ϑα έχουµε p r και αυτό είναι δυνατόν µόνο αν r = 0 διότι r < p. Άρα δείξαµε ότι ( ) n p, p P & k < p n k Τότε όµως ϑα έχουµε και : p k<p n ( ) n k και εποµένως k<p n p ( ) n k Επειδή ( ) ( ) n n = k n k και οι παραπάνω διωνυµικοί συντελεστές εµφανίζονται στο διωνυµικό ανάπτυγµα ϑα έχουµε προφανώς ότι (1 + 1) n = 2 2 n 1 p 2 n 1 k<p n Χρησιµοποιώντας την Επαγωγικη Υποθεση, ϑα έχουµε : p n p = p k p k<p n p < 4 k 2 n 1 = 2 n+2k 1 2 2n = 4 n Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η σχέση (4.2) ισχύει για κάθε n περιττό. Μένει να δείξουµε την σχέση (4.2) για την περίπτωση κατά την οποία n είναι άρτιος. Σ αυτή την περίπτωση ο πρώτος p δεν µπορεί να είναι ίσος µε n και τότε επειδή ο n 1 είναι περιττός, από την παραπάνω ανάλυση ϑα έχουµε : p = p < 4 n 1 < 4 n p n p n 1 Εποµένως δείξαµε ότι η σχέση (4.2) ισχύει για κάθε ϕυσικό αριθµό n. Λήµµα 4.5. Εστω n 3 ένας ϕυσικός αριθµός, και έστω p ένας πρώτος αριθµός έτσι ώστε : 2n 3 < p n Τότε : ( ) 2n p n Απόδειξη. Επειδή 3p > 2n, έπεται ότι οι αριθµοί p και 2p είναι τα µοναδικά ακέραια πολλαπλάσια του p τα οποία εµφανίζονται ως παράγοντες του (2n)!. Εποµένως p 2 είναι η µεγαλύτερη δύναµη του p η οποία διαιρεί τον αριθµό (2n)!. Παρόµοια επειδή 2p > n, έπεται ότι p είναι η µεγαλύτερη δύναµη του p η οποία διαιρεί τον αριθµό n! και άρα p 2 είναι η µεγαλύτερη δύναµη του p η οποία διαιρεί τον αριθµό n!n!. Συνδυάζοντας τις παραπάνω παρατηρήσεις έπεται ότι p ( 2n n ) = (2n)! n!n!

14 14 Προχωρούµε τώρα στην απόδειξη τους Θεωρήµατος 4.1. Απόδειξη Θεωρήµατος 4.1: αριθµό n 127. Από το Σχόλιο 4.2 έπεται ότι το Ϲητούµενο ισχύει για κάθε ϕυσικό Υποθέτουµε ότι n 128, και έστω ότι δεν υπάρχει πρώτος αριθµός p έτσι ώστε : n < p < 2n. Εστω ( ) 2n = p r n p 2n ( ) 2n η πρωτογενής ανάλυση του αριθµού n. Τότε : (1) Επειδή, από την υπόθεσή ( µας, ) δεν υπάρχει κανένας πρώτος µεταξύ των n και 2n, έπεται ότι η 2n πρωτογενής ανάλυση του n ϑα είναι της µορφής : ( ) 2n = p r n p n (2) Αν p είναι ένας πρώτος στην παραπάνω πρωτογενή ανάλυση, και ισχύει 2n 3 < p n, τότε από το Λήµµα 4.5, έπεται ότι ϑα έχουµε p ( ) ( 2n n. Τότε η πρωτογενής ανάλυση του 2n ) n ϑα είναι της µορφής ( ) 2n = p r p r n p 2n 2n<p 2n 3 (3) Επειδή όµως αν p είναι ένας πρώτος, όπου 2n < p 2n 3, έπεται ότι ο p είναι η µεγαλύτερη δύναµη του p ( ) ( 2n η οποία διαιρεί τον n. Εποµένως για την πρωτογενή ανάλυση του 2n ) n ϑα έχουµε ( ) 2n = p r p r 2n p n p 2n p 2n 2n<p 2n 3 (4) Επειδή ο αριθµός των πρώτων p 2n είναι µικρότερος από τον αριθµό των περιττών 2n, έπεται ότι ϑα έχουµε ότι αυτός ο αριθµός ϑα είναι µικρότερος από 2n 2 1 = n 2 1. Εποµένως ϑα έχουµε : n 2n (2n) 2 1 (5) Από το Λήµµα 4.4, έπεται ότι p 2n p 2n 3 p < 4 2n 3 (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3), (4), και (5), ϑα έχουµε : ( ) 2n n < (2n) n 3 n ( ) 2n (7) Επειδή ο αριθµός n είναι ο µεγαλύτερος από τους 2n + 1 ορους στο διωνυµικό ανάπτυγµα (1 + 1) 2n, έπεται ότι ( ) ( ) 2n 2n (2n + 1) > (2n) > 2 2n n n p 2n 3

15 15 και άρα 2 2n ( ) 2n 2n < n και η τελευταία σχέση δίνει την σχέση < (2n) n n 3 2 2n 3 < (2n) n 2 (8) Παίρνοντας λογαρίθµους στην τελευταία σχέση και διαιρώντας µε 8n log 2 2 log(2n) < 0 2n 6, ϑα έχουµε : (9) Παραγωγίζοντας την συνάρτηση f(x) = 8x log 2 2 log(2x), ϑα έχουµε : 2n log 2 3 f (n) = n Επειδή f(128) = 8 log 2 > 0 και επειδή f (n) > 0, n 128, έπεται ότι η συνάρτηση f(n) είναι αύξουσα και εποµένως ϑετική για n 128: f(n) = 8n log 2 2 log(2n) > 0 (10) Οι σχέσεις στο (8) και (10) µας οδηγούν σε αντίφαση. Εποµένως η υπόθεση ότι n 128, και δεν υπάρχει πρώτος αριθµός p έτσι ώστε : n < p < 2n, µας οδήγησε σε άτοπο. Άρα υπάρχει παντα ένας πρώτος αριθµός p έτσι ώστε : n < p < 2n, n 1. Υπενθυµίζουµε ότι, όπως έχουµε δείξει στο µάθηµα, ο n-οστός πρώτος αριθµός είναι µικρότερος ή ίσος από τον αριθµό 2 2n 1 : p n 2 2n 1 Το ακόλουθο σηµαντικό Θεώρηµα είναι άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος 4.1, δίνει ένα πολύ καλύτερο ϕράγµα. Θεώρηµα 4.6. Εστω P = { p 1, p 2,, p n, } το σύνολο όλων των πρώτων αριθµών, εφοδιασµένο µε την ϕυσική του διάταξη : p 1 = 2, p 2 = 3,, και p k < p m όταν k < m. Τότε, n N: Απόδειξη. Από το Θεώρηµα 4.1 έπεται ότι, k 2: p n 2 n υπάρχει ένας πρώτος p έτσι ώστε : 2 k 1 < p < 2 k Εποµένως υπάρχουνε το πολύ k 1 πρώτοι αριθµοί, χωρίς να λαµβάνουµε υπ όψιν τον πρώτος 2, οι οποίοι είναι 2 k. Εποµένως υπάρχουν το πολύ k πρώτοι αριθµοί οι οποίοι είναι 2 k. ηλαδή : p n 2 n Επειδή προφανώς p n 2 n, όταν n 1, από το παραπάνω Θεώρηµα, έχουµε ότι : p n 2 n 1, n > 1 Για να ϕανεί πόσο καλύτερο είναι το ϕράγµα p n 2 n του Θεωρήµατος 4.6 από το ϕράγµα p n 2 2n 1 το οποίο έχουµε αποδείξει στην τάξη, διαλέγουµε n = 7. Τότε p 7 = 17, δηλαδή ο 17 είναι ο 7ος πρώτος αριθµός. Επίσης το ϕράγµα του Θεωρήµατος 4.6 είναι x = 2 7 = 128. Από την άλλη πλευρά το δεύτερο ϕράγµα είναι = 2 26 = 2 64 = = 2 (2 7 ) 9 = 2x 9 = 2 (128) 9.

16 Η Κατανοµή των πρώτων αριθµών. Υπενθυµίζουµε ότι η συνάρτηση η οποία µετράει τον α- ϱιθµό των πρώτων αριθµών οι οποίοι είναι µικρότεροι από δοθέντα πραγµατικό αριθµό ορίζεται ως εξής : π : R R, π(x) = { p N p : πρώτος & p x } Το ακόλουθο σπουδαίο Θεώρηµα των Πρώτων Αριθµών αναλύει την ασυµπτωτική συµπεριφορά της συνάρτησης π(x). Θεώρηµα 4.7. ( Θεωρηµα των Πρωτων Αριθµων) lim x π(x) log x x = 1 Σχόλιο 4.8. (1) Από το Θεώρηµα των Πρώτων Αριθµών έπεται ότι το κλάσµα π(x) x προσεγγίζει την τιµή log x 1 όταν ο πραγµατικός αριθµός x τείνει στο άπειρο, δηλαδή όταν µεγαλώνει απεριόριστα. Με άλλα x λόγια οι συναρτήσεις π(x) και log x είναι ασυµπτωτικά ίσες, δηλαδή παίρνουν ίδιες τιµές για µεγάλη τιµή της µεταβλητής x. Αυτό το συµβολίζουµε µε : π(x) x log x, όταν x. (2) Από το Θεώρηµα των Πρώτων Αριθµών προκύπτει ότι αν n είναι ένας αρκετά µεγάλος ϕυσικός αριθµός, και διαλέξουµε τυχαία έναν αριθµό από το 1 µέχρι το n, τότε η πιθανότητα αυτός ο αριθµός να είναι πρώτος είναι ασυµπτωτικά 1 log n, δηλαδή προσεγγιστικά όταν ο αριθµός n είναι µεγάλος αυτή η πιθανότητα είναι περίπου 1 log n. (3) Άτυπα ϑα λέγαµε ότι αν µπορούσαµε να διαλέξουµε τυχαία έναν ϕυσικό αριθµό από το σύνολο N όλων των ϕυσικών αριθµών, τότε η πιθανότητα αυτός ο αριθµός να είναι πρώτος είναι προσεγγιστικά 0. Αυτό το συµπέρασµα µπορεί να διατυπωθεί ακριβέστερα ως εξής. Εστω ότι, για έναν πραγµατικό αριθµό x, ο ϕυσικός αριθµός [x] συµβολίζει τον µεγαλύτερο ακέραιο ο οποίος είναι x. Τότε αποδεικνύεται ότι η πιθανότητα ένας ϕυσικός αριθµός να είναι πρώτος υπάρχει και είναι ίση µε : lim x π(x) [x] = 0 Σχόλιο 4.9. Το Θεώρηµα των Πρώτων Αριθµών ϑεωρείται από τα σπουδαιότερα αποτελέσµατα της Θεωρίας Αριθµών. Η απόδειξη του Θεωρήµατος των Πρώτων Αριθµών είναι αρκετά δύσκολη και ξεφεύγει από τα πλαίσια του µαθήµατος. Το Θεώρηµα αποδείχθηκε ανεξάρτητα, από τον Jaque Hadamard και τον Charles Jean de Vallée-Poussin το 1896 µε αναλυτικές µεθόδους. Το 1948, επίσης ανεξάρτητα, οι Μαθηµατικοί Selberg και Erdös απέδειξαν το Θεώρηµα των Πρώτων Αριθµών µε στοιχειώδεις µεθόδους. Σχόλιο Αν όπως πριν, p n συµβολίζει τον n-οστο πρώτο αριθµό, τότε από το Θεώρηµα των Πρώτων Αριθµών προκύπτει ότι : p n n log n όπου log n συµβολίζει τον ϕυσικό λογάριθµο του n. Μια άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος των Πρώτων Αριθµών είναι το ακόλουθο Πόρισµα το οποίο γενικεύει την εικασία του Bertrand:

17 17 Πόρισµα ɛ > 0, m = m(ɛ) > 0 : n > m(ɛ) : p : πρώτος έτσι ώστε : n < p < (1 + ɛ)n Επιστρέφοντας στην Εικασία του Bertrand, αποδεικνύουµε την ακόλουθη ενδιαφέρουσα εφαρµογή της : Θεώρηµα 4.12 (L. Greenfield and S. Greenfield (1998) ). Αν n είναι ένας ϕυσικός αριθµός, τότε το σύνολο των 2n αριθµών N = {1, 2,, 2n} µπορεί να διαµερισθεί σε n το πλήθος Ϲευγάρια αριθµών {a 1, b 1 }, {a 2, b 2 },, {a n, b n } έτσι ώστε ο αριθµός a i + b i να είναιν πρώτος, 1 i n. Απόδειξη. Η απόδειξη ϑα γίνει µε χρήση Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. (1) Για n = 1, το αποτέλεσµα είναι προφανές, διότι τότε N = {1, 2} και ο αριθµός = 3 είναι πρώτος. (2) Για n > 1, υποθέτουµε ο ισχυρισµός είναι αληθής για κάθε σύνολο {1, 2,, 2m} µε m < n. (3) Για την περίπτωση n, και σύµφωνα µε την Εικασία του Bertrand, υπάρχει ένας πρώτος αριθµός p έτσι ώστε 2n < p 4n. Επειδή προφανώς ο αριθµός 4n δεν είναι πρώτος, έπεται ότι µπορούµε να γράψουµε p = 2n + m, όπου 1 m < 2k, και k n. Θεωρούµε τότε τα Ϲευγάρια (2n, m), (2n 1, m + 1),, (n + k, n + k ) όπου για έναν πραγµατικό αριθµό x: (α ) x = max{m Z m x} συµβολίζει τον µεγαλύτερο ακέραιο x. (ϐ ) x = min{n Z n x} συµβολίζει τον µικρότερο ακέραιο x. Επειδή προφανώς ο αριθµός m δεν µπορεί να είναι άρτιος, έπεται ότι ο m είναι περιττός και άρα ο αριθµός m 1 είναι άρτιος και άρα της µορφής m 1 = 2r, όπου r < n. Τότε τα παραπάνω Ϲεύγη αποδεικνύουν τον ισχυρισµό για το σύνολο {m, m + 1,, 2n}. Επειδή ο ισχυρισµός για το σύνολο {1, 2,, m 1} προκύπτει από την Επαγωγική Υπόθεση, έπεται ο σχυρισµός ισχύει και για το n. Εποµένως ο ισχυρισµός είναι αληθής για κάθε n 1. Το ακόλουθο Θεώρηµα του Erdös γενικεύει την εικασία του Bertrand: Θεώρηµα 4.13 (Erdös). Για κάθε ϕυσικό αριθµό k, υπάρχει ένας ϕυσικός αριθµός N έτσι ώστε για κάθε n > N, υπάρχουν τουλάχιστον k το πλήθος πρώτοι αριθµοί p έτσι ώστε : n < p < 2n. Αναφέρουµε χωρίς απόδειξη τα ακόλουθα αποτελέσµατα τα οποία προκύπτουν από την Εικασία του Bertrand: Θεώρηµα Υπάρχουν σταθερές C, c > 0 έτσι ώστε, x R: c log x x π(x) C log x x

18 18 Θεώρηµα Κάθε ϕυσικός αριθµός n > 6 µπορεί να γραφεί ως άθροισµα διακεκριµµένων πρώτων αριθµών. Τέλος το ακόλουθο είναι ένα ενδιαφέρον πρόβληµα για το οποίο δεν είναι γνωστή η απάντηση : Ανοιχτό Πρόβληµα : (Εικασια του Legendre). Είναι αληθές ότι για κάθε ϕυσικό αριθµό n > 1 υπάρχει πάντα ένας πρώτος αριθµός p έτσι ώστε : n 2 < p < (n + 1) 2 ;

19 19 5. Ο Αλγόριθµος του Ευκλείδη και το Θεώρηµα του Lamé Εστω a, b δύο ϕυσικοί αριθµοί. Τότε όπως γνωρίζουµε, ο µέγιστος κοινός διαιρέτης (a, b) των αριθµών a και b προκύπτει ως το τελευταίο µη-µηδενικό υπόλοιπο στις διαδοχικές διαιρέσεις στον Αλγόριθµο του Ευκλείδη. Εποµένως υπάρχει αλγοριθµικός τρόπος εύρεσης του µέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθµών. Εποµένως για προφανείς λόγους έχει µεγάλη σηµασία να γνωρίζουµε πόσες διαιρέσεις χρειαζόµαστε για τον υπολογισµό του µέγιστου κοινού διαιρέτη µε χρήση του Αλγόριθµου του Ευκλείδη. Ο Γάλλος Μαθηµατικός Gabriel Lamé το 1845 απέδειξε ότι ο αριθµός των διαιρέσεων οι οποίες απαιτούνται στην εφαρµογή του Αλγόριθµου του Ευκλείδη για τον υπολογισµό του µέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθµών είναι το πολύ πέντε ϕορές το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων του µικρότερου από τους δύο αριθµούς. Σκοπός µας στην παρούσα παράγραφο είναι να δώσουµε µια απόδειξη του Θεωρήµατος του Lamé. Η απόδειξη χρησιµοποιεί, µε αναπάντεχο τρόπο, ιδιότητες της ακολουθίας Fibonacci. Θεώρηµα 5.1 (Θεωρηµα του Lamé (1845) ). Εστω a, b N δύο ϕυσικοί αριθµοί. Τότε για τον αριθµό n των διαιρέσεων οι οποίες απαιτούνται για τον υπολογισµό του µέγιστου κοινού διαιρέτη (a, b) των αριθµών a, b µε χρήση του Αλγόριθµου του Ευκλείδη, ισχύει ότι : n 5 (πλήθος δεκαδικών ψηφίων του αριθµού min{a, b} ) Απόδειξη. Αν a = b, τότε προφανώς (a, b) = a = b. Υποθέτουµε ότι a b και χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, έστω a > b. Βήµα 1: Θέτουµε r 0 = a και r 1 = b. Από τον Ευκλείδειο Αλγόριθµο τότε ϑα έχουµε τις ακόλουθες σχέσεις : όπου έχουµε υποθέσει ότι : Τότε γνωρίζουµε ότι : r 0 = r 1 q 1 + r 2 όπου 0 r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 2 + r 3 όπου 0 r 3 < r 2 r 0 = r 1 q 1 + r 2 όπου 0 r 4 < r 3... r n 2 = r n 1 q n 1 + r n όπου 0 r n < r n 1 r n 1 = r n q n (5.1) 0 r i, i = 2, 3,, n & r n+1 = 0 (a, b) = r n και το πλήθος των διαιρέσεων οι οποίες απαιτούνται στην εκτέλεση του Αλγόριθµου του Ευκλείδη για τον παραπάνω υπολογισµό είναι ακριβώς n. { Βήµα 2: Υπενθυµίζουµε ότι η ακολουθία Fibonacci F n ορίζεται ως εξής : }n 1 F 1 = 1, F 2 = 1, F 3 = 2, & F n+1 = F n + F n 1, n 2 Ισχυρισµός: b = r 1 F n+1. Η απόδειξη ϑα γίνει µε χρήση Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής : (1) Το τελευταίο µη-µηδενικό υπόλοιπο r n είναι ένας ϕυσικός αριθµός και άρα r n 1 = F 2. Άρα : r n F 2

20 20 (2) Επειδή r n 1 = r n q n, και επειδή r n < r n 1, έπεται ότι q n 1. Εποµένως q n 2, και τότε r n 1 = r n q n 2r n 2 = F 3. Άρα : (3) Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι : Ιδιάιτερα ϑα έχουµε : r n 1 F 3 r n k+1 F k+1, για κάθε k N έτσι ώστε : 1 k < n r 2 F n & r 3 F n 1 (4) Για k = n, από τις σχέσεις (3.1) ϑα έχουµε : r 1 = r 2 q 2 +r 3. Επειδή ο αριθµός q 2 είναι ϕυσικός, ϑα έχουµε q 2 1 και εποµένως r 1 r 2 + r 3. Τότε µε χρήση της Επαγωγικής Υπόθεσης, ϑα έχουµε : r 1 r 2 + r 3 F n + F n 1 = F n+1 Εποµένως έχουµε δείξει το Ισχυρισµό : b F n+1 και εποµένως έχουµε δείξει ότι : αν n είναι ο αριθµός των διαιρέσεων οι οποίες απαιτούνται στην εκτέλεση του Αλγόριθµου του Ευκλείδη για τον υπολογισµό του µέγιστου κοινού διαιρέτη (a, b), όπου a > b, τότε αναγκαστικά ο µικρότερος αριθµός b δεν µπορεί να είναι µικρότερος από τον (n + 1)-οστό αριθµό της ακολουθίας Fibonacci. Βήµα 3: Θα δείξουµε πρώτα τον ακόλουθο ισχυρισµό. Ισχυρισµός: F n φ n 2, n 3, όπου φ = Υπενθυµίζουµε ότι ο αριθµός φ είναι ϱίζα της εξίσωσης x 2 x 1 = 0 και άρα φ 2 = φ + 1 (1) Για n = 3, έχουµε : F 3 = 2 και φ 3 2 = φ = = , και άρα προφανώς ϑα έχουµε F 3 > φ 3 2 (2) Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι N > 3 και υποθέτουµε ότι : F k > φ k 2, k : 3 < k < n (3) Για k = n, µε χρήση της Επαγωγικής Υπόθεσης, ϑα έχουµε : F n = F n 1 + F n 2 > φ n φ n 2 2 = φ n 3 + φ n 4 = φ n 4( φ + 1 ) = φ n 4 φ 2 = φ n 2 Εποµένως ϑα έχουµε : Βήµα 4: Θα έχουµε διαδοχικά : b F n+1 > φ n 1

21 21 (1) Παίρνοντας λογάριθµους µε ϐάση 10 στην παραπάνω σχέση, ϑα έχουµε : (2) Βλέπουµε εύκολα ότι : log 10 b > (n 1) log 10 φ log 10 φ > 1 5 (3) Εποµένως ϑα έχουµε : log 10 b > 1 5 (n 1) και άρα : n 1 < 5 log 10 b (4) Εστω k το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων του b στην δεκαδική παράσταση του. Τότε προφανώς b < 10 k και άρα : log 10 b < k (5) Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις, ϑα έχουµε : και επειδή ο k είναι ακέραιος, ϑα έχουµε : n 1 < 5k n < 5k Σχόλιο 5.2. Το Θεώρηµα του Lamé δείχνει ότι ο αλγόριθµος του Ευκλείδη για την εύρεση του µέγιστου κοινού διαιρέτη είναι αρκετά ταχύς και αποτελεσµατικός, διότι µας ϐρίσκει τον µέγιστο κοινό διαιρέτη δύο αριθµών σε πολυωνυµικό χρόνο. Σχόλιο 5.3. Υπάρχουν άπειρα Ϲεύγη αριθµών για τα οποία ο αλγόριθµος του Ευκλείδη για την εύρεση του µέγιστου κοινού διαιρέτη τους απαιτεί ακριβώς n ϐήµατα. Πράγµατι, αν F n+1, F n+2 είναι δύο διαδοχικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci, n 1, τότε (F n+1, F n+2 ) = 1 και όπως έχουµε δεί στο µάθηµα για την εύρεση του µέγιστου κοινού διαιρέτη (F n+1, F n+2 ) = 1 απιτούνται ακριβώς n ϐήµατα : F n+2 = F n F n F n+1 = F n 1 + F n 1. F 4 = F F 2 F 3 = F 2 2 Άρα (F n+1, F n+2 ) = F 2 = 1, και όπως ϐλέπουµε στην εκτέλεση του αλγορίθµου απαιτούνται ακριβώς n ϐήµατα.

22 22 Μέρος 2. Αριθµητικές Συναρτήσεις

23 23 Μέρος 3. Ισοτιµίες

24 24 Μέρος 4. Πρωταρχικές Ρίζες

25 25 Μέρος 5. Τετραγωνικά Υπόλοιπα

26 26 Μέρος 6. Βιβλιογραφία

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος Α. Μπεληγιάννης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος Α. Μπεληγιάννης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 Τµηµα Β ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html 19 Οκτωβρίου 2016 Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων:

Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f(n) είναι O( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C και n

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 6 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Βρείτε όλους τους

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Σάββατο 20 Απριλίου 2013 Ασκηση 1. 1) είξτε ότι η

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m ) 302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας.

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας. Επιπλέον Ασκήσεις Μαθηµατική Επαγωγή Για κάθε n 1: 2 = n(n + 1(2n + 1 6 Ορέστης Τελέλης telels@unpgr Για κάθε n 1: 3 = n2 (n + 1 2 4 Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Για κάθε n 10: 2 n

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 20 Επιπλέον Ασκήσεις Για κάθε n 1: n i 2 = n(n + 1)(2n

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ι και Εφαρµογές

Ανάλυση Ι και Εφαρµογές Ανάλυση Ι και Εφαρµογές Σηµειώσεις από τις παραδόσεις Α. Γιαννόπουλος Τµήµα Φυσικής Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 206 Περιεχόµενα Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Φυσικοί, ακέραιοι και ϱητοί αριθµοί.......................

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης Στη µνήµη του δασκάλου µου, Χάρη Βαφειάδη... www.math.uoc.gr/

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 Αποδείξεις. 2.1 Εξαντλητική µέθοδος. Εκδοση 2005/03/22. Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές:

2 Αποδείξεις. 2.1 Εξαντλητική µέθοδος. Εκδοση 2005/03/22. Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές: 2 Αποδείξεις Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές: Εκδοση 2005/03/22 Εξαντλητική µέθοδος ή µέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβληµα έχει πεπερασµένες αριθµό περιπτώσεων τις εξετάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, --3 Μ. Παπαδημητράκης. Τώρα θα δούμε μια ακόμη εφαρμογή του Κριτηρίου του Ολοκληρώματος. Παράδειγμα. Γνωρίζουμε ότι η αρμονική σειρά αποκλίνει στο +, το οποίο φυσικά σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi06/asi06.html Πέµπτη Απριλίου 06 Ασκηση. Θεωρούµε τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα. Τάξη των Συναρτήσεων (1) Παράδειγµα (2) Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ). Ορέστης Τελέλης

Παραδείγµατα. Τάξη των Συναρτήσεων (1) Παράδειγµα (2) Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ). Ορέστης Τελέλης Τάξη των Συναρτήσεων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 1. Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ) 2. Να δειχθεί ότι η n 2 δεν είναι O(n). 3. Αληθεύει ότι n 3 =

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Κεφάλαιο 1 Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα αναπτύξουµε τα ϐασικά στοιχεία από τη ϑεωρία σχέσεων µερικής διάταξης, σχέσεων ισοδυναµίας και διαµερίσεων οι οποίες ορίζονται επί ενός

Διαβάστε περισσότερα