Curve Fitting Tool. Bibliotecă de modele de regresii cu puncte iniţiale optimizate şi parametri de rezolvare

Transcript

1 Introducere este utilitarul MATLAB care oferă interfeţe grafice şi funcţii pentru linia de comandă pentru atribuirea de funcţii şi suprafeţe seriilor de date. Utilitarul permite realizarea de analize de date exploratorii, pre-procesarea şi post-procesarea datelor, compararea modelelor candidate şi înlăturarea excepţiilor. Pot fi implementate regresii folosind librăriile existente de modele liniare şi neliniare sau pot fi specificate propriile ecuaţii. Librăria oferă parametri de rezolvare optimizaţi şi condiţii iniţiale pentru îmbunătăţirea calităţii fiturilor. Pachetul suportă şi tehnici de modelare neparametrice, cum sunt spline, interpolarea şi netezirea. Caracteristici cheie: Instrumente grafice pentru identificarea curbelor şi suprafeţelor Regresii liniare şi neliniare cu ecuaţii personalizate Bibliotecă de modele de regresii cu puncte iniţiale optimizate şi parametri de rezolvare Metode de interpolare, inclusiv B-splines, splines tensor-produs, etc. Tehnici de netezire, inclusiv splines de netezire, regresii localizate, filtre Savitsky-Golay şi medii alunecătoare Rutine de pre-procesare, inclusiv înlăturarea extremelor şi secţionare, scalare şi ponderarea datelor Rutine de post-procesare, inclusiv interpolare, extrapolare, intervale de încredere, integrale şi derivate Utilizare Pentru deschiderea, introduceţi următoarea comandă în linia de comenzi MATLAB: cftool iar utilitarul se va deschide sub forma unei ferestre noi (vezi Figura 1). Fereastra principală are 5 butoane: Data...: Deschide o fereastră nouă care permite utilizatorului importarea de date din spaţiul de lucru MATLAB în mediul Curve Fitting. Acesta va fi denumit set de date. Fitting...: Această fereastră permite alegerea funcţiei de identificare şi a parametrilor ei. Exclude...: Cu această interfaţă putem exclude anumite puncte de date din setul de date. Plotting...: Aici sunt selectate opţiunile de afişare pentru seturile de date şi graficele generate. Pot fi alese selectiv cele pe care dorim să le reprezentăm grafic. Analysis...: Interfaţă grafică pentru evaluate funcţiei atribuite/fitate setului de date. 1. Data... La apăsarea butonului Data..., se deshide o nouă fereastră (Figura 2) şi putem alege x, y şi variabilele pondere, numele setului de date şi acesta poate fi creat prin apăsarea butonului Create data set. Setul de date va fi afişat în listă şi va putea fi utilizat în paşii următori. Acest scurt exemplu nu include setare unor valori pentru ponderi deoarece variabilele x şi y su fost create. În cazul analizei unor date, cum este măsurarea la un interval de timp finit e.g. la fiecare secundă, parametrul x este unul ales (parametrul liber). Parametrul y este unul măsurat (dependent) care prezintă erori diferite între punctele de date. identificarea normală, fără ponderi, consideră toate punctele egale dar în cazul în 1 din 11

2 Figure 1: Fereastra principală - 2 din 11

3 Figure 2: Crearea unui nou set de date 3 din 11

4 care unele puncte au bare de erori mai mari, relativ la punctele celelalte, asta înseamnă că sunt mai puţin precise şi că identificarea ar trebui să le ia în considerare mai puţin în calcule. Acesta este rolul ponderilor. Punctele de date mai precise primesc ponderi mai mari în raport cu punctele de date mai puţin precise. Modul de a crea ponderile, corelat cu logica expusă mai sus, este ca ponderea unui punct de date să fie inversul pătratului barei de eroare. Exprimată matematic: dacă w i este ponderea şi σ i este eroarea punctului de date i, atunci: w i = 1 σ 2 i (1) 2. Fitting... Pentru a fita datele, trebuie mai întâi deschis editorul Fitting prin apăsarea butonul corespunzător. Se alege New fit..., numele fitului (cel standard fiind compus din fit şi un număr), se alege setul de date predefinit, funcţia de identificare şi se apasă Apply. Există o serie de funcţii de identificare incluse, care sunt grupate după tip: Sumă de sinusoide, Polinomiale, etc. Din fiecare grup trebuie aleasă func ia specifică care se doreşte a fi folosită pentru identificare. În acest caz vom alege o funcţie din grupul Sumă de sinusoide. La apăsarea butonului Apply, este calculat fitul şi rezultatele sunt afişate în zona dedicată a editorului şi reprezentare grafic în fereastra principală a. Figura 3 prezintă utilizarea Fit Editor şi rezultatul opreaţiilor efectuate. Inspecţia vizuală a rezultatului arată că identificarea este bună şi coeficientul de determinare R-square şi R-square ajustat confirmă acest lucru. Putem vedea de asemenea că amplitudinea, a1, este 1, frecvenţa (sau mai exact, ω = 2πf, care este b1 dacă variabila x este timpul) este, de asemenea, 1 şi faza, c1, este 0, identic cu parametrii aleşi la creare vectorului y, y = sin(x). Figure 3: identificarea datelor cu o funcţie y = a1 sin(b1 x + c1) 4 din 11

5 Numerele din paranteză, de lângă valorile parametrilor (coeficienţii) sunt intervalele de încredere - eroarea fitului. Deoarece fitul nostru se potriveşte exact setului de date, aceste valori sunt zero. Această observaţie nu va mai fi valabilă în exemplele ce vor urma. La modul general, algoritmul de identificare porneşte de la nişte valori ale constantelor funcţiei de identificare, a1, b1 şi c1 în acest caz, şi încearcă să conveargă de la aceşti parametri iniţiali, la cei finali. Uneori parametrii iniţiali nu sunt destul de apropiaţi de cei finali pentru a converge la aceştia sau nu converg deloc. Meniul Fit options... permite modificarea acestor parametri. În cazul în care o funcţie de identificare de care avem nevoie nu există în lista de funcţii, putem alege ecuaţii personalizate prin butonul Custom equations şi definirea funcţiei dorite. Save to workspace... va salva datele de identificare în spaţiul de lucru şi de acolo vom putea lucra cu aceste date în linia de comandă. 3. Exclude..., Plotting... şi Analysis... Primele două opţiuni vor deschide ferestre noi care permit eliminarea unor puncte de date din fit (ele există în continuare în setul de date) sau eliminarea unor seturi de date sau fituri din reprezentarea grafică. În meniul de analiză putem obţine valoarea funcţiei fitate în anumite puncte alese şi intervalele de încredere. Pot fi determinate de asemenea primele două derivate şi integrată funcţia. Aceste funcţionalităţi vor fi detaliate în secţiunea de exemple. 4. Reziduuri Accesarea meniului View Residuals Scatter Plot va deschide un nou grafic care va prezenta reziduurile, diferenţa finală dintre punctele de date iniţiale şi fit. Figura 4 ilustrează rezultatele pentru exemplul dat. La analiza reziduurilor este important să vedem că acestea sunt împrăştiate aleatoriu şi uniform în jurul valorii de zero. Asta presupune ca să nu fie pozitive într-o parte a fitului şi negative în altă parte, sau ca valoarea lor nu este mică sau mare în zone diferite. În graficul prezentat, aceste criterii nu există, dar dacă analizăm valoarea reziduurilor, de până la , putem întelege că aceasta reprezintă doar o eroare de aproximare la calculul funcţiei sin deoarece calculele efectuate de calculator nu au precizie infinită. Exemple 1. Fit liniar simplu, cu bare de eroare În acest exemplu vor fi fitate 5 puncte de date cu o funcţie liniară. Introduceţi următoarele comenzi: x=[ ]; y=[ ]; şi barele de erori şi ponderile sunt: err=[ ]; weight=1./err. 2; Se poate observa cum este generată o linie dreaptă, cu panta 1 în care ultimul punct pare a fi greşit. O opţiune este excluderea acestui punct din grafic, dar nu este cea preferată. Vom arăta cum adăugarea ponderilor are un efect similar. În Figura 5 sunt ilustrare două fituri, cu (albastru) şi fără (roşu) ponderi. În editor putem vedea rezultatul calculelor pentru setul de date cu ponderi, denumit fit 2, care arată parametrii de identificare 1 şi 0, după cum era de aşteptat. Atunci când fitul nu este perfect, limita de încredere are valori diferite. Între cele două ferestre sunt listate şi comenzile MATLAB folosite, important fiind în special modul de definire al ponderilor. Erorile trebuie calculate separat, reprezentând în acest caz 10% din valoarea lui x. 5 din 11

6 Figure 4: Graficul cu afişarea reziduurilor 6 din 11

7 Figure 5: identificare cu funcţie liniară: cu (albastru) şi fără (roşu) ponderi. În continuare, deschideţi fereastra de analiză. Alegeţi fit 2 y vs. x with weights şi setaţi punctele de analiză la 0:0.5:10, între 0 şi 10, cu incrementul 0.5. Ulterior alegeţi Evaluate fit at Xi şi For function. Vom adăuga şi Plot results şi Plot data set şi apăsăm Apply. Rezultatul acestor operaţii este prezentat în Figura 6. Se poate vedea cum fitul este relativ precis acolo unde avem puncte de date, dar pe domeniul fără puncte de date acesta începe să fie mai puţin precis. Urmând acelaşi mod de lucru pentru setul de date fără ponderi, vom observa o deteriorare a predicţiei. În continuare va fi realizat un grafic care include şi barele de eroare alături de funcţia de identificare şi limitele de încredere. Salvaţi datele de analiză în spaţiul de lucru cu numele standard analysisresults1 şi comanda Save to Workspace. Faceţi dublu clic pe această variabilă în spaţiul de lucru pentru a afişa conţinutul ei. Introduceţi următoarele comenzi în linia de comandă MATLAB: figure % deschide o nouă fereastră pentru grafice errorbar(x,y,err, ro ) % reprezintă datele sub formă de cercuri, alături de barele de eroare cu roşu hold on % Reprezintă grafic următoarele rezultate, fără a le şterge pe cele vechi plot(analysisresults1.xi, analysisresults1.yfit, b-, analysisresults1.xi, analysisresults1.lower, b:, analysisresults1.xi, analysisresults1.upper, b: ) % reprezită fitul cu o linie albastră continuă şi limitele de încredere cu o linie albastră întreruptă hold off % eliberează figura Figura 7 prezintă rezultatele obţinute. Aceasta conţine şi elemente vizuale suplimentare cum sunt titluri pe grafic şi pe axe, legenda şi o căsuţă de text în care a fost introdus rezultatul calculelor aferente fitării. Elementele pot fi adăugate utilizând instrumentele grafice Plot Tools din figura MATLAB. 2. Fit avansat 7 din 11

8 Figure 6: Fereastra de analiză şi rezultatele obţinute Figure 7: Grafic cu setul de date, bare de eroare, funcţia de identificare şi limite de încredere 8 din 11

9 Acest exemplu prezintă identificarea unui set de date cu o funcţie de tipul sin 2. Funcţia de identificare nu este inclusă în opţiunile standard şi va trebui creată. De asemenea, vor trebui definiţi alţi parametri iniţiali. În acest exemplu este folosit un set de date afectate de zgomot. Acesta este introdus în linia de comandă MATLAB, după cum urmează: x=[0:0.1:2*pi]; y=8*sin(2*pi*0.2*x+1). 2+randn(size(x)); Figura prezintă setul de comenzi MATLAB folosit pentru crearea datelor şi adăugarea unor valori aleatorii. Datele sunt un sin 2 cu amplitudinea 8, frecvenţa 0.2 şi faza 1 iar scopul este obţinerea acestor valori din funcţia de identificare. Figure 8: identificare cu funcţie tip sin 2 Pentru a ajunge la rezultatele ilustrate, trebuie create variabilele în spaţiul de lucru MATLAB, deschis utilitarul şi creat setul de date. Ulterior, va fi creată identificarea folosind New Fit şi o ecuaţie introdusă de la tastatură Custom Equation New Equation Create Custom Equation General Equations. Aici trebuie inseraţi şi parametri iniţiali de identificare, pe care îi vom lăsa deocamdată nemodificaţi. După apăsarea OK, ecuaţia va fi adăugată la lista de ecuaţii personalizate din editor. Aplicare modificărilor va conduce la rezultatele reprezentate mai sus. Acestea însă nu sunt corecte, după cum este indicat şi în zona de rezultate a fitului. Prin apăsarea Fit Options... se va deschide o nouă fereastră unde pot fi modificaţi parametrii de identificare. După identificarea corectă a acestora, afişaţi şi reziduurile pentru a verifica distribuţia lor aleatoare. Referinţe [1] MathWorks, MATLAB box User s Guide, R2011a. 9 din 11

10 Figure 9: Modificarea parametrilor de identificare 10 din 11

11 Figure 10: Rezultate finale cu erori reziduale 11 din 11