Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρων σε ψηφιακά

Transcript

1 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά Η κλασική µέθοδος για το σχεδιασµό ψηφιακών φίλτρν βασίζεται στο µετασχηµατισµό ενός αναλογικού φίλτρου σε ψηφιακό το οποίο να πληροί ορισµένες προδιαγραφές N M b X Y τ τ τ d h x y N M d X Y n h x n y M N d x d d d y d M N n x b n y Οι σχέσεις που περιγράφουν ένα αναλογικό φίλτρο είναι Οι σχέσεις που περιγράφουν ένα ψηφιακό φίλτρο είναι Αντικειµενικός σκοπός κατά το µετασχηµατισµό του αναλογικού φίλτρου σε ψηφιακό φίλτρο είναι ο υπολογισµός της ή της hn από τα α ή h α µε τέτοιο τρόπο ώστε οι βασικές προδιαγραφές του α να διατηρούνται και στο φάσµα e.

2 Μέθοδος Αµετάβλητης Κρουστικής Απόκρισης Στη µέθοδο αυτή η κρουστική απόκριση του προς σχεδίαση ψηφιακού φίλτρου αποτελείται από τα δείγµατα της κρουστικής απόκρισης του αναλογικού φίλτρου h n h n h, n,,, όπουτ είναιηπερίοδοςδειγµατοληψίας. Στηδειγµατοληψίααυτήηαναλογικήκαιη ψηφιακή συχνότητα ικανοποιούν την n ή e e Η απεικόνιση τν σηµείν από το -επίπεδο στο -επίπεδο γίνεται µέσ της σχέσης e Η συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου σχετίζεται µε την αντίστοιχη συνάρτηση του αναλογικού φίλτρου µε τη γνστή από τη δειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτν σχέση π Impule invrine rnformion Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -

3 Η απόκριση συχνότητας του ψηφιακού φίλτρου σχετίζεται µε την αντίστοιχη συνάρτηση του αναλογικού φίλτρου µε τη σχέση e π Από την οποία παρατηρούµε ότι αν π για τότε η απόκριση συχνότητας του ψηφιακού φίλτρου είναι ανάλογη µε αυτή του αναλογικού π, για e Γραφική απεικόνιση τν αποτελεσµάτν της αλλοίσης στη µέθοδο αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης π e π π π - π π Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά

4 Ο µετασχηµατισµός e µετασχηµατίζει τις ηµιλουρίδες πάχους π/τ του -επιπέδου στο εστερικό του µοναδιαίου κύκλου του -επιπέδου π π π π σ Im Μοναδιαίος κύκλος Re π Im π Re σ Τελικά ο µετασχηµατισµός ολόκληρο το -επιπέδου. e Συµπεραίνεται ότι ο µετασχηµατισµός µετασχηµατίζει τις λουρίδες πάχους π/τ του -επιπέδου σε e δεν είναι αµφιµονοσήµαντος. Επειδή το αριστερό ηµιεπίπεδο του -επιπέδου µετασχηµατίζεται στο εστερικό του του - επιπέδου οι ιδιότητες της αιτιότητας και της ευστάθειας του αναλογικού φίλτρου διατηρούνται και στο αντίστοιχο ψηφιακό φίλτρο. Θα πρέπει να τονιστεί ότι η αντιστοιχία e ισχύει µόνο για απλούςπόλουςκαιδενισχύειγιαµηδενικάήγιασύνθετουςπόλους. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -4

5 ιαδικασία Σχεδίασης ίνονταιοιπροδιαγραφέςτουχαµηλοπερατούψηφιακούφίλτρου p,, R p καια και θέλουµε να προσδιορίσουµε την αφού πρώτα σχεδιάσουµε ένα ισοδύναµο αναλογικό φίλτρο και στη συνέχεια απεικονίσουµε αυτό στο ψηφιακό φίλτρο. Επιλέγεται η συχνότητα δειγµατοληψίας και υπολογίζονται οι αναλογικές συχνότητες P p Σχεδιάζεταιένααναλογικόφίλτρο α µεπροδιαγραφές p,, R p καια. Αυτό γίνεταισχεδιάζονταςείτεέναφίλτρο Bueworhείτεέναφίλτρο Chebyhev. Αναπτύσουµετην α σεάθροισµααπλώνκλασµάτν. R p N 4 Μετασχηµατίζουµετουςαναλογικούςπόλους {p } σεψηφιακούςπόλους{ e προσδιορίζουµε το ψηφιακό φίλτρο N e R p [R,p,] reidued,; p expp*; p } και [b,] reiduer,p,; Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -5

6 Παράδειγµα Να µετασχηµατιστεί το αναλογικό φίλτρο µε συνάρτηση µεταφοράς 5 6 σε ψηφιακό φίλτρο χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης στην οποία Τ, Λύση: Η συνάρτηση µεταφοράς του αναλογικού φίλτρου αναλύεται σε απλά κλάσµατα e 5 6 Υπάρχουν δύο πόλοι οι p και p έτσι έχουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου αντικαθιστώντας τους αναλογικούς πόλους p και p σε ψηφιακούς πόλους και e e e,8966,5595,665 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -6

7 Άσκηση ίνεται το αναλογικό φίλτρο του σχήµατος. Να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς του. Με τη µέθοδος αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης να υπολογιστεί το αντίστοιχο ψηφιακό φίλτρο. Να προσδιορισθεί η εξίσση διαφορών και γίνει η υλοποίησήτουσεάµεσηµορφήι. Ναγίνουν οι γραφικές παραστάσεις του µέτρου της απόκρισης συχνότητας του αναλογικού και του ψηφιακού φίλτρου. Λύση: Η συνάρτηση µεταφοράς του αναλογικού φίλτρου είναι Η συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου είναι Η εξίσση διαφορών του ψηφιακού φίλτρου είναι R i υ in C υ o y n e y n x n e x n b e yn Η υλοποίησή του ψηφιακού φίλτρου σε άµεση µορφή Ι. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -7

8 funion [b,] imp_invrd,, % Μέθοδος αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης % b Πολυώνυµο αριθµητή σε ^- του ψηφιακού φίλτρου % Πολυώνυµο παρανοµαστή σε ^- του ψηφιακού φίλτρου % Πολυώνυµο παρανοµαστή σε του αναλογικού φίλτρου % d Πολυώνυµο αριθµητή σε του αναλογικού φίλτρου % Παράµετροςδειγµατοληψίας µετασχηµατισµού % [R,p,] reidued,; p expp*; [b,] reiduer,p,; b relb'; rel'; Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -8

9 d [ ]; [ ]; wmx *pi; w [::]*wmx/; freq,d,w; mg b.^; ; [R,p,] reidue,d; p expp*; [b,] reiduer,p,; b relb'; rel'; e [,w] FREQZb,,'whole'; mg b.^;.5 π π e π π Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -9

10 h h in W π in W W, W W, > W me rd e h n h n h n π n rd e h h h n in n n, > π, π me rd e Σχεδίαση ψηφιακών φίλτρν άπειρης κρουστικής απόκρισης -

11 h h in W π in W W, W W, > W me rd e h n h n h n π 4 n rd e h h h n in n n, > π, π me rd e Σχεδίαση ψηφιακών φίλτρν άπειρης κρουστικής απόκρισης -

12 Μέθοδος ιγραµµικού Μετασχηµατισµού Biliner rnformion Η µέθοδος της αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης για τη σχεδίαση IIR είναι κατάλληλη για βαθυπερατά και ορισµένα ζνοπερατά ψηφιακά φίλτρα. Η µέθοδος του διγραµµικού µετασχηµατισµού δεν θέτει τέτοιους περιορισµούς Από τη συνάρτηση µεταφοράς α του αναλογικού φίλτρου υπολογίζουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου αντικαθιστώντας το µε ή Ησχέσηαυτήµπορείναγραφείκαις Παρατηρούµεότιητελευταίασχέσηείναιγραµµικήςπρος καιςπρος ήδιγραµ- µικήςπρος και. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -

13 Ειδικότερα, στη µέθοδο αυτή θα προσπαθήσουµε να υπολογίζουµε ένα ψηφιακό φίλτρο του οποίου η συµπεριφορά στο πεδίο του χρόνου θα προσεγγίζει αυτή του αναλογικού. Θερούµε το αναλογικό φίλτρο πρώτης τάξης που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσση και έχει συνάρτηση µεταφοράς Από την προφανή ταυτότητα dy y dx d y y y τ dτ y n n y τ dτ n y d µεαντικατάσταση nκαι n όπουτείναιηπερίοδοςδειγµατοληψίαςέχουµε n Προσεγγίζοντας το ολοκλήρµα µε τη µέθοδο του τραπεζίου έχουµε y n y n dy d dy d n n θέτοντας yn y α n και xn x α n καιχρησιµοποιώνταςτηνδιαφορικήεξίσσηέχουµε y n y n n d y n y n x n x Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -

14 παίρνοντας το µετασχηµατισµό- και στα δύο µέλη και λύνοντας ς προς έχουµε d X Y Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε και στην περίπτση όπου η διαφορική εξίσση είναι Ν-στης τάξης. Παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός είναι αντιστρεπτός _ Συγκρίνονταςτηνέκφρασητης µετηναντίστοιχητης α παρατηρούµε d -4 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά

15 Χαρακτηριστικά του ιγραµµικού Μετασχηµατισµού Η σχέση απεικόνισης γράφεται ς r e σ r e r e r r r r o σ r in r o Το αριστερό ηµιεπίπεδο του απεικονίζεται στο εστερικό του µοναδιαίου κύκλου στοεπίπεδο-. Εάν r <, τότεσ< Το δεξιό ηµιεπίπεδο του απεικονίζεται στο εξτερικό του µοναδιαίου κύκλου στο επίπεδο-. Εάν r >, τότεσ> Επίσης ο µετασχηµατισµός απεικονίζει το φανταστικό άξονα του επιπέδου- στο µοναδιαίο κύκλο του επιπέδου-. Εάν r, τότε σ. σ Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -5

16 Παρατηρούµε ότι η ευστάθεια διατηρείται, δηλαδή από ένα ευσταθές αναλογικό φίλτροπαίρνουµεέναευσταθέςψηφιακόφίλτρο. Αν βρίσκεται στο µοναδιαίο κύκλο τότε σ και οι συχνότητες και συνδέονται µε τη σχέση n π π n Μη γραµµική σχέση µεταξύ της αναλογικής και ψηφιακής συχνότητας στο διγραµµικό µετασχηµατισµό Παρατηρούµε ότι όλη η περιοχή συχνοτήτν απεικονίζεται µόνο µία φορά στην περιοχή π π. Είναι λοιπόν για µία ένα-προς-ένα απεικόνιση. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -6

17 Η απεικόνιση είναι µη γραµµική. Παρατηρείται, δηλαδή, µία παραµόρφση ή στρέβλση τν συχνοτήτν, εξαιτίας της µη γραµµικότητας της συνάρτησης της εφαπτοµένης, η οποία πρέπει να λαµβάνεται υπόψη κατά την σχεδίαση. π rn p e p p n p n p Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -7

18 Παράδειγµα Να µετασχηµατιστεί το αναλογικό φίλτρο µε συνάρτηση µεταφοράς 6 5 σε ψηφιακό φίλτρο χρησιµοποιώντας τη µέθοδο του διγραµµικού µετασχηµατισµού απόκρισης στην οποία Τ Λύση: Η συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου βρίσκεται ς,,5,,5 4 και µετά από τις πράξεις έχουµε Στο ΜALAB υπάρχει η συνάρτηση η οποία πραγµατοποιεί το παραπάν µετασχηµατισµό biliner, d, F ] [b, 6-8 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά

19 ίνεται το αναλογικό φίλτρο του σχήµατος. Με τη µέθοδος του διγραµµικού µετασχηµατισµού, να σχεδιαστεί το αντίστοιχο ψηφιακό φίλτρο, του οποίου η συχνότητα αποκοπής ναείναι f, ότανησυχνότηταδειγµατοληψίαςείναι f 5 R i υ in C υ o Η συχνότητα αποκοπής του επιθυµητού ψηφιακού φίλτρου είναι π π f, 4π f 5 Η συχνότητα αυτή του επιπέδου- είναι αντίστοιχη της συχνότητας του επιπέδου- n f n,4π n 9 Ο υπολογισµός αυτός αποτελεί τη λεγοµένη αντιστάθµιση στρέβλσης. Στη συνέχεια θα σχεδιασθεί ένα αναλογικό φίλτρο βασικής ζώνης µε συχνότητα αποκοπής Τοπρτότυπο αναλογικόφίλτροβασικήςζώνηςτοοποίοαντιστοιχείστοαπλό RC κύκλµα έχει συνάρτηση µεταφοράς p Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -9

20 Τα αναλογικό φίλτρο βασικής ζώνης που έχει συχνότητα αποκοπής µεταφοράς LP p 9 9 Η συνάρτηση µεταφοράς του επιθυµητού ψηφιακού φίλτρου είναι LP 9 9,7,7 9,4 έχει συνάρτηση,6 ΗεξίσσηδιαφορώντουφίλτρουκαιοιυλοποιήσειςσεάµεσηδοµήΙκαιΙΙείναι y n,6 y n,4x n,4x n x n,4 y n,4,6 x n,6,4,4 y n Παρατηρούµε ότι το ψηφιακό φίλτρο είναι πρώτης τάξης, όπς και το αντίστοιχο αναλογικό. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -

21 ιαδικασία Σχεδίασης ίνονταιοιπροδιαγραφέςτουχαµηλοπερατούψηφιακούφίλτρου p,, R p καια και θέλουµε να προσδιορίσουµε την αφού πρώτα σχεδιάσουµε ένα ισοδύναµο αναλογικό φίλτρο και στη συνέχεια απεικονίσουµε αυτό στο ψηφιακό φίλτρο. Επιλέγεται η συχνότητα δειγµατοληψίας. Η επιλογή αυτή είναι αυθαίρετη, µπορούµε για ευκολία να λάβουµε. Yπολογίζονται οι αναλογικές συχνότητες p p n p p n Σχεδιάζεταιένααναλογικόφίλτρο α µεπροδιαγραφές p,, R p καια. Αυτό γίνεταισχεδιάζονταςείτεέναφίλτρο Bueworhείτεέναφίλτρο Chebyhev. 4 Τέλος, προσδιορίζουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου θέτουµε και αναπτύσσουµε την συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου σε άθροισµα απλώνκλασµάτντου - Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -

22 Παράδειγµα Νασχεδιάσετε IIR φίλτροβασικήςζώνηςτοοποίοναεξασθενίζειµονοτονικάτιςσυχνότητες. Ηζώνηδιέλευσηςτουφίλτρουναεκτείνεταιµέχριτα 5, ενώηεξασθένισηστηζώνη αυτήναµηνυπερβαίνειτο,5db. Ηµέγιστηεξασθένισηστοόριοτηςζώνηςαποκοπήςνα είναι 5 db, ενώ η συχνότητα στο όριο της ζώνης αποκοπής να είναι 75. Το όλο σύστηµα λειτουργεί µε συχνότητα δειγµατοληψίας K. Η σχεδίαση να γίνει µε βάση το διγραµµικό µετασχηµατισµό. Λύση: Το φίλτρο βασικής ζώνης είναι τύπου Buerworh, αφού πρέπει να παρουσιάζει µονοτονική εξασθένηση για όλες τις συχνότητες. Υπολογίζονται η παράµετρος ταλαντώσεν ζώνης διέλευσης και η παράµετρος εξασθένησης ζώνης αποκοπής του αναλογικού φίλτρου R log,5db ε, A 5dB A, 6 p log ε A Από τις συχνότητες p και του επιθυµητού φίλτρου προσδιορίζουµε τις αντίστοιχες συχνότητες του επιπέδου- αντιστάθµιση στρέβλσης p p n n p,4 n n, 7 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -

23 Ητάξητουφίλτρουείναι N log [ A / ε log p ],6 Η συνάρτηση µεταφοράς του πρτότυπου φίλτρου Buerworh τρίτης τάξης είναι p Μετασχηµατίζουµε το πρτότυπο φίλτρο σε φίλτρο που έχει συχνότητα στο όριο της ζώνης διέλευσης ίση µε p, 4 LP p p, 7 p, 7 5, 5,86,4 Εφαρµόζουµε το διγραµµικό µετασχηµατισµό και έχουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του ζητούµενου IIR ψηφιακού φίλτρου. LP 5, 5,86,4 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -

24 Στο ΜALAB υπάρχει οι συναρτήσεις BUER και CEBY οι οποίες σχεδιάζουν ψηφιακά φίλτρα [b, ] buern,wn BUER Buerworh digil nd nlog filer deign.[b,a] BUERN,Wn deign n Nh order lowp digil Buerworh filer nd reurn he filer oeffiien in lengh N veor B numeror nd A denominor. he oeffiien re lied in deending power of. he uoff frequeny Wn mu be. < Wn <., wih. orreponding o hlf he mple re. [b, ] hebyn,rp, wn CEBY Chebyhev ype I digil nd nlog filer deign.[b,a] CEBYN,R,Wn deign n Nh order lowp digil Chebyhev filer wih R deibel of pe-o-pe ripple in hepbnd. CEBY reurn he filer oeffiien in lengh N veor B numeror nd A denominor. he uoff frequeny Wn mu be. < Wn <., wih. orreponding o hlf he mple re. Ue R.5 ring poin, if you re unure bou hooing R. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -4