Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.

Transcript

1 Τα IIR φίλτρα είναι εαναλητικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοοιούνται αό το σύστηµα για τον υολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε εόµενες χρονικές στιγµές. Για να ειτύχουµε µια ειθυµητή αόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι ασταθή, αν οι όλοι της συνάρτησης µεταφοράς βρίσκονται εκτός του µοναδιαίου κύκλου. Τα IIR δεν έχουν γραµµική αόκριση φάσης στη ζώνη διέλευσης, ός τα µη εαναλητικά FIR φίλτρα µε συµµετρική ή αντισυµµετρική κρουστική αόκριση. Τα IIR φίλτρα µορούν εύκολα να σχεδιασθούν αρχίζοντας αό ένα αναλογικό φίλτρο και κατόιν χρησιµοοιώντας κατάλληλη αεικόνιση του ειέδου- στο είεδο-z. Αρχικά ροσδιορίζεται η H() και στη συνέχεια στο H(z), έτσι ώστε τα ειθυµητά χαρακτηριστικά του αναλογικού φίλτρου να διατηρούνται κατά τον καλύτερο δυνατό τρόο

2 H () W H () αοκοής διέλευσης Ιδανικό βαθυερατό φίλτρο µεεύρος-ζώνης W αοκοής Η γραφική αράσταση της αόκρισης ισχύος σε συνάρτηση µε τη κυκλική συχνότητα. H () log H ( ) αοκοής Μεταβατική ζώνη διέλευσης Μεταβατική ζώνη Πραγµατικό βαθυερατό φίλτρο αοκοής db db Η γραφική αράσταση της αόκρισης ισχύος σε db σε συνάρτηση µε τη κυκλική συχνότητα. -

3 Χαρακτηριστικά χαµηλοερατού αναλογικού φίλτρου ( ) H +ε Zώνη µετάβασης διέλευσης αοκοής A Κανονικοοιηµένη αόκριση ισχύος ενός αναλογικού φίλτρου βασικής ζώνης. ε αράµετρος ταλαντώσεν ζώνης διέλευσης (bnd rile rmeter) συχνότητααοκοήςζώνηςδιέλευσης (bnd uto requeny) Α αράµετρος εξασθένησης ζώνης αοκοής (tobnd ttenution rmeter) συχνότητααοκοήςζώνηςαοκοής (tobnd uto requeny) -3

4 δ + δ H (Ω) + δ δ δ δ + δ διέλευσης Ω P µετάβασης Ω S αοκοής Ω ( ) H +ε A διέλευσης Zώνη µετάβασης αοκοής Αόλυτη αόκριση ισχύος ενός ψηφιακού φίλτρου βασικής ζώνης. Κανονικοοιηµένη αόκριση ισχύος ενός αναλογικού φίλτρου βασικής ζώνης. Deibel R P A S Ω P Ω S Σχετική αόκριση ισχύος ενός ψηφιακού φίλτρου βασικής ζώνης. Ω Η αόκριση συχνότητας του αναλογικού φίλτρου ικανοοιεί τις H ( ) A H ( ) + ε,, -

5 Deibel R P Ω P Ω S Ω ( ) H +ε Zώνη µετάβασης διέλευσης αοκοής A S A Σχετική αόκριση ισχύος ενός ψηφιακού φίλτρου βασικής ζώνης. Κανονικοοιηµένη αόκριση ισχύος ενός αναλογικού φίλτρου βασικής ζώνης. Σχέσεις µεταξύ τν αραµέτρν ψηφιακού - αναλογικού φίλτρου στην + ε H ( ) στην A H ( ) ΟιαράµετροιεκαιΑσχετίζονταιµετις R και A αντίστοιχαστηνκλίµακα db µετις R R log ε + ε A A log A A -5

6 H (Ω) δ + δ δ + δ διέλευσης Ω P µετάβασης Ω S αοκοής Ω ( ) H +ε A διέλευσης Zώνη µετάβασης αοκοής Αόλυτη αόκριση ισχύος ενός ψηφιακού φίλτρου βασικής ζώνης. Κανονικοοιηµένη αόκριση ισχύος ενός αναλογικού φίλτρου βασικής ζώνης. Σχέσεις µεταξύ τν αραµέτρν ψηφιακού - αναλογικού φίλτρου Οιταλαντώσειςδ καιδ σχετίζονταιµετιςεκαιααντίστοιχαµετις δ + δ + δ + δ δ ε A ε δ + δ A δ -6

7 Ιδιότητες της αόκρισης ισχύος αναλογικού φίλτρου Αό τη συνάρτηση µεταφοράς ενός αναλογικού συστήµατος ροσδιορίζεται η αόκριση συχνότητας του συστήµατος αν εριέχεται ο φανταστικός άξονας στο εδίο σύγκλισης ς H ( ) H ( ) έχουµε για το τετράγνο του µέτρου της αόκρισης συχνότητας Σεραφείµ Καραµογιάς ( ) H H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) ήισοδύναµα H ( ) H ( ) H ( ) -7

8 z Παράδειγµα όλν και µηδενικών της H ( ) H ( ) σ Παρατηρούµε ότι οι όλοι και τα µηδενικά είναι τοοθετηµένα συµµετρικά ς ρος το φανταστικό άξονα. Για ραγµατικά φίλτρα οι όλοι και τα µηδενικά είναι συζυγή, δηλαδή, αρουσιάζουν συµµετρία ς ρος τον ραγµατικό άξονα. Αν θέλουµε το αναλογικό φίλτρο να είναι αιτιατό και ευσταθές θα ρέει οι όλοι να βρίσκονταιστοαριστερόηµιείεδο. Έτσιδίνουµεόλουςτουςόλους της H ()H (-) ουβρίσκονταιστοαριστερόηµιείεδοστην H () Αντίθεταταµηδενικάτης H ()µορούνναβρίσκονταιοουδήοτεστοµιγαδικόείεδο. Ειλέγουµεταµηδενικάτης H ()H (-) ουβρίσκονται inide orστοφανταστικόάξονας µηδενικάτης H (), καιέτσιτοφίλτροείναιφίλτροελάχιστηςφάσης. -8

9 ( ) H Χαµηλοερατό Φίλτρο Butterworth, Η αόκριση ισχύος του φίλτρου είναι,5 ) H ( + Για τη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος ισχύουν H ( ) H ( ) H ( ) + ( ) ( ) + ( ) -9

10 ( ) H,,5 Χαµηλοερατό Φίλτρο Butterworth Σεραφείµ Καραµογιάς Η αόκριση ισχύος του φίλτρου είναι ) H ( + H ( ) H ( ) + Οιρίζεςτουολυνύµουτουαρονοµαστή (ήοιόλοιτης H ()H ( ))είναι ( ) ( ) k k ( ) e ϕ e o ϕ+ (k+ e + in ) ϕ e e e (k+ ) (k+ ), k,,, e (k+ + ) -

11 - Οι θέσεις τν όλν στο µιγαδικό είεδο k σ k σ ιαγράµµαταόλνφίλτρν Btterworth η και η τάξης,,,, ) ( + + k e k k ΓιαΝ έχουµε e e e e ΓιαΝ έχουµε 3 in 3 o 3 e + 5 in 5 o 5 e + 7 in 7 o 7 e + 9 in 9 o 9 3 e + k k k k k k3

12 k Οι θέσεις τν όλν στο µιγαδικό είεδο σ k σ ιαγράµµαταόλνφίλτρν Btterworth η και η τάξης 3 σ σ ιαγράµµαταόλνφίλτρν Btterworth 3 η και η τάξης -

13 Έναευσταθέςκαιαιτιατόφίλτρο H () µορείναοριστείανειλέξουµετουςόλουςου βρίσκονται στο αριστερό ηµιείεδο του µιγαδικού ηµιειέδου, δηλαδή, H ( ) ( k ) όλοι στο αριστερό ηµιείεδο Σεραφείµ Καραµογιάς Η συνάρτηση µεταφοράς τν ρτότυν φίλτρν Butterworth βασικής ζώνης ρώτης και δεύτερης τάξης είναι αντίστοιχα H ( H) ( ) σ ( ) + ( + )( + ) σ H () + ( + ) ( ) + ( ) ( + + )

14 Παράδειγµα Να υολογιστεί η τάξη ενός χαµηλοερατού φίλτρου Butterworth το οοίο αρουσιάζει εξασθένιση db στο KHz και db στο 5 KHz Λύση: Για την αράµετρο ταλάντσης ε στη ζώνη διέλευσης έχουµε log db ε,589 + ε Για την αράµετρο εξασθένησης Α στη ζώνη αοκοής έχουµε log A db A R log +ε ( ) H A log A Γιατιςσυχνότητες και έχουµε rd KHz e rd 5KHz e R P A S +ε A -

15 ( ) H +ε A αό τις οοίες έχουµε Γιατηναόκρισηισχύοςστησυχνότητα έχουµε H ( ) + ( ) H + + Γιατηναόκρισηισχύοςστησυχνότητα έχουµε A ε ε A - A - ε η τιµή στρογγυλεύεται στον αµέσς µεγαλύτερο ακέραιο. Έτσι η τάξη είναι Ν. Η τιµή γιατην τάξη του φίλτρου εκφράζεταιµετηβοήθειατουλόγουµετάβασης k. και του αράγοντα διακριτότητας k log 3, 8 log A ε log log A ε ς k k -5

16 Παράδειγµα Ναροσδιοριστείησυνάρτησηµεταφοράς, H (), τουαναλογικούφίλτρουουέχει Λύση: Παρατηρούµε 3,5,5 Οι όλοι της H ( ) H ( ),33 5 σ H H ( ) ( ) H ( ) (3) 3 και, έτσι η συνάρτηση µεταφοράς είναι ( 3 ) ( 3 ) ( H 8 ( ) ( +,5,33 ) ( +,5) ( +,5 + H H ( ) ( ) 3 + (,5) ( +,5) (,5,5 +,5 +,5 ) +,5 +,5 ),33 ) -6

17 Στο ΜATLAB υάρχει η συνάρτηση [z,,k] butt( ) η οοία σχεδιάζει ένα ρτότυο (δηλαδή )αναλογικόφίλτρο Butterworth τάξης καιειστρέφειταµηδενικάστοδιάνυσµα zτουςόλους στο και την τιµή κέρδους στο k. Η συνάρτηση u_butt ου ακολουθεί σχεδιάζει ένα µη κανονικοοιηµένο αναλογικό φίλτρο Butterworth σε άµεση µορφή. H ( ) 3και 6 ( 3 ) (,5) H,5 ( ) 3 +,5 +,5 +,5 untion [b,] u_butt(,omeg); % b Συντελεστές του ολυνύµου του αριθµητή της H() % Συντελεστές του ολυνύµου του αρονοµαστή της H() % Τάξη του φίλτρου Butterworth % Omeg Συχνότητα αοκοής σε rdin/e [z,,k] butt(); *Omeg; k k*omeg^; B rel(oly(z)); b k; b k*b; rel(oly()); [b,] u_butt(3,.5) b

18 Αό τα χαρακτηριστικά του αναλογικού χαµηλοερατού φίλτρου, R, και A θα ροσδιοριστούν η τάξη και η συχνότητα αοκοής της ζώνης διέλευσης φίλτρου Butterworth για, log H ( ) R log + ( ) R για, log H ( ) A log + ( ) A Deibel R P A S Ω P Ω S Λύνοντας τις δύο αραάν εξισώσεις έχουµε R log Σχετική αόκριση ισχύος ενός ψηφιακού φίλτρου βασικής ζώνης. R [( log Ω ( ) H +ε A ) /( ( ) A )] διέλευσης Zώνη µετάβασης A αοκοής Κανονικοοιηµένη αόκριση ισχύος ενός αναλογικού φίλτρου βασικής ζώνης. -8

19 Παράδειγµα Να σχεδιαστεί ένα χαµηλοερατό φίλτρο Butterworth µε χαρακτηριστικά Σεραφείµ Καραµογιάς Λύση:,, R 7dB,,3 και A 6dB log [( log,6 ) /( )] (,,3 ),7,79 3,,3,985, 5 6, 7 6, 6 ειλέγουµε,5, έτσικαταλήγουµεστοφίλτροτουροηγούµενουαραδείγµατος H ( ) ( +,5) (,5 +,5 +,5 ) Η συνάρτηση d_butt ου ακολουθεί σχεδιάζει ένα µη κανονικοοιηµένο αναλογικό φίλτρο Butterworth σε άµεση µορφή αό τα χαρακτηριστικά του. -9

20 untion [b,] d_butt(w,w,r,a) % b Οι συντελεστές του αριθµητή της H() % Οι συντελεστές του αρονοµαστή της H() % w Συχνότητα άκρης της ζώνης διέλευσης σε rd/e; w > % w Συχνότηταακρήςτηςζώνηςαοκοήςσε rd/e; w > w > % R Ταλαντώσειςτηςζώνηςδιέλευσηςσε +db; (R > ) % A Εξασθένισητηςζώνηςαοκοήςσε +db; (A > ) i w < error('η συχνότητα άκρης της ζώνης διέλευσης ρέει να είναι > ') end i w < w error('η άκρη της ζώνης αοκοής ρέει να είναι > της συχνότητας άκρης της ζώνης διέλευσης ') end i (R < ) (A < ) error('pb ταλάντση και/ή SB εξασθένηση ρέει να είναι > ') end eil((log((^(r/)-)/(^(a/)-)))/(*log(w/w))); rint('\n*** Butterworth Filter Order %. \n',) OmegC w/((^(r/)-)^(/(*))); [b,]u_butt(,omegc); -

21 Η συνάρτηση req_m ου ακολουθεί ροσδιορίζει τα χαρακτηριστικά ενός φίλτρου Butterworth. untion [db,mg,h,w] req_m(b,,wmx); % db Το µέτρο σε db στο διάστηµα [ ές wmx] % mg Το µέτρο στο διάστηµα [ ές wmx] % h Η αόκριση φάσης σε rdin στο διάστηµα [ ές wmx] % w διάνυσµα αό 5 δείγµατα συχνότητας στο διάστηµα [ ές wmx] % b Οι συντελεστές του αριθµητή της H() % Οι συντελεστές του αροµανοµαστή της H() % wmx Μέγιστη συχνότητα σε rd/e του διαστήµατος ενδιαφέροντος % w [::5]*wmx/5; H req(b,,w); mg b(h); db *log((mg+e)/mx(mg)); h ngle(h); -

22 Παράδειγµα Να σχεδιαστεί ένα χαµηλοερατό φίλτρο Butterworth µε χαρακτηριστικά,, R 7dB,,3 και A 6 db w.*i; w.3*i; R 7; A 6; Rile ^ (-R/); Attn ^ (-A/); % Σχεδιάση αναλογικού φίλτρου [b,] d_butt(w,w,r,a); % Υολογισµός της αόκρισης συχνότητας: [db,mg,h,w] req_m(b,,.5*i); % Υολογισµός της κρουστικής αόκρισης: [h,x,t] imule(b,); % Plot -

23 Χαµηλοερατό Φίλτρο Chebyhev H ( ) + ε T όουνείναιητάξητουφίλτρου, εείναιοαράγονταςταλάντσηςστηζώνηδιέλευσηςκαι Τ Ν (x) τοολυώνυµο ChebyhevΝ-τάξηςτοοοίοδίνεταιαότη T o oh ( o ( x) ), ( oh ( x) ) ( x), x < x< όου Το ολυώνυµο T (x) µεταξύ < x < ταλαντώνεται µεταξύ του και έτσι το φίλτρο αρουσιάζει ταλαντώσεις ίσου λάτους στη ζώνη διέλευσης. Είσης για < x < ελαττώνεται µονότονα στο µηδέν. x Σεραφείµ Καραµογιάς ( ) H +ε εριττός ( ) H +ε άρτιος A r A r -3

24 Γιαναροσδιορίσουµεένααιτιατόκαιευσταθέςφίλτρο H () ρέειναβρούµετουςόλους του H () H ( )καιναειλέξουµετουςόλουςουβρίσκονταιστοαριστερόηµιείεδογια το H (). Οιόλοιτου H () H ( )είναιοιρίζεςτου + ε T Αν k σ k + k, k,,, είναι οι όλοι στο αριστερό ηµιείεδο του αρα-άν ολυνύµου τότε όου σ ( ) o (k+ ) [ + ] k ( ) in (k+ ) [ + ] k b ( α / α ) b ( α + / α ) k,,, α + ε + και ε -

25 Οι όλοι του φίλτρου βρίσκονται σε έλλειψη µε κύριο άξονα και bδευτερεύοντα άξονα Im 3 b Ηθέσητνόλνγιαέναφίλτρο Chebyhevτρίτηςτάξης Ie Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι H ( ) K ( όου Κ είναι ο αράγοντας κανονικοοίησης ου ειλέγεται έτσι ώστε H ( ), k, + ε k ) εριττɺ ος Στο ΜATLAB υάρχει η συνάρτηση ɺ αρτιος [ z,, k ] heb (, R) η οοία σχεδιάζει ένα κανονικοοιηµένο αναλογικό φίλτρο Chebyhev τάξης µε ταλάντση ζώνης διέλευσης R και ειστρέφει τα µηδενικά στο διάνυσµα z τους όλους στο και την τιµή κέρδους στο k. Η συνάρτηση u_hbl ου ακολουθεί σχεδιάζει ένα µη κανονικοοιηµένο αναλογικό φίλτρο Chebyhev σε άµεση µορφή. -5

26 untion [b,] u_hb(,r,omeg); % b Συντελεστές του ολυνύµου του αριθµητή % Συντελεστές του ολυνύµου του αρονοµαστή % Τάξητουφίλτρου % R Ταλάντσηστηζώνηδιέλευσηςσε db; R > % Omeg Συχνότητα αοκοής σε rdin/e % [z,,k] heb(,r); rel(oly()); n (+); *Omeg; rel(oly()); u (+); k k*u/n; b k; B rel(oly(z)); b k*b; -6

27 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµογιάς Να σχεδιαστεί ένα χαµηλοερατό FIR φίλτρο διακριτού χρόνου µε χαρακτηριστικά Λύση,, 3 R db A 6 db R A 6 ε,588 A 6, 396, καιητάξητουφίλτρουείναι g ( A ) / ε r,9 α,3, log log ε + + ε g+ r +,7 g r b ( ) α / α, 366 ( ) α + / α, 6-7

28 Υάρχουν όλοι Σεραφείµ Καραµογιάς εοµένς H [ ] [ + 8 ± ( b ) in + ],877, 679 [ ] [ 3 + ± ( b ) in + ],7, 559,3 ± ( ) o 8, ± ( ) o 8 8 (,895,3,3895),389 ) K ( ) ( k k ( +,75 +,3895)( +,3 +,3) Ο αριθµητής είναι τέτοιος ώστε H ( ) + ε,895-8

29 untion [b,] d_hb(w,w,r,a); % b Οι συντελεστές του αριθµητή της H() % Οι συντελεστές του αροµανοµαστή της H() % w Συχνότητα άκρης της ζώνης διέλευσης σε rd/e; w > % w Συχνότηταακρήςτηςζώνηςαοκοήςσε rd/e; w > w > % R Ταλαντώσειςτηςζώνηςδιέλευσηςσε +db; (R > ) % A Εξασθένισητηςζώνηςαοκοήςσε +db; (A > ) i w < error('η συχνότητα άκρης της ζώνης διέλευσης ρέει να είναι > ') end i w < w error('η άκρη της ζώνης αοκοής ρέει να είναι > της συχνότητας άκρης της ζώνης διέλευσης ') end i (R < ) (A < ) error('pb ταλάντση και/ή SB εξασθένηση ρέει να είναι > ') end e qrt(^(r/)-); A ^(A/); OmegC w; OmegR w/w; g qrt(a*a-)/e; eil(log(g+qrt(g*g-))/log(omegr+qrt(omegr*omegr-))); [b,]u_hb(,r,omegc); -9

30 Μετατροή φίλτρου βασικής ζώνης σε φίλτρο διέλευσης ζώνης συχνοτήτν Γιατηµετατροήενόςαναλογικούφίλτρουβασικήςζώνηςµεσυχνότητα στοόριοτης ζώνηςδιέλευσης, σεφίλτροζώνηςδιέλευσηςµεσυχνότητες l και u στοκατώτεροκα ανώτερο όριο της ζώνης διέλευσης αντίστοιχα, εκτελούµε το µετασχηµατισµό H BP ( ) H ( ) + u l ( ) u l Παρατηρούµε ότι η τάξη του φίλτρου διέλευσης ζώνης συχνοτήτν ου ροκύτει είναι διλάσια της τάξης του αρχικού φίλτρου βασικής ζώνης. Εφαρµογή Να µετατραεί το ρώτης τάξης φίλτρο Butterworth βασικής ζώνης µε συνάρτηση µεταφοράς H() / ( + ), όου rd/e, σεένααναλογικόφίλτροδιέλευσης ζώνης συχνοτήτνµεσυχνότητεςσταόριατηςζώνηςδιέλευσης l rd / e και u 3 rd / e. -3

31 H(w) Mgnitude Reone o low Butterworth ilter Σεραφείµ Καραµογιάς.5 H(w) Mgnitude Reone o bnd ilter requeny in rd/e requeny in rd/e -3

32 Μετατροή φίλτρου βασικής ζώνης σε φίλτρο διέλευσης υψηλών συχνοτήτν Γιατηµετατροήενόςαναλογικούφίλτρουβασικήςζώνηςµεσυχνότητα στοόριοτης ζώνηςδιέλευσης, σεφίλτροδιέλευσηςυψηλώνσυχνοτήτνµεσυχνότητα l στοόριοτης ζώνης διέλευσης αντίστοιχα, εκτελούµε το µετασχηµατισµό H HP ( ) H ( ) l Μετατροή φίλτρου βασικής ζώνης σε φίλτρο διαφορετικής βασικής ζώνης Γιαναµετατρέψουµεένααναλογικόφίλτροβασικήςζώνηςµεσυχνότητααοκοής,σε ένα άλλο φίλτρο βασικής ζώνης µε συχνότητα αοκοής, εκτελούµε το µετασχηµατισµό H HP ( ) H ( ) -3

33 in (t) (t) out H t t 6 S in S out log H ( )

34 in (t) (t) out H t t 6 S in S out log H ( )

35 in (t) (t) out H t t 6 S in S out log H ( )

36 m in (t) (t) m out H t t 8 M in M out log H ( ) (KHz) 6 8 (KHz) -36

37 m in (t) (t) m out H t t 8 M in M out log H ( ) (KHz) 6 8 (KHz) -37

38 m in (t) (t) m out H t t 8 M in M out log H ( ) (KHz) 6 8 (KHz) -38