1.2. Funkcije više realnih promjenljivih opšta svojstva i predstavljanje
|
|
- ebrew Ελευθερόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Funkcije više realnih promjenljivih opšta svojstva i predstavljanje Pojam funkcije on n realnih promjenljivih Definicija Realna funkcija od n (n N) realnih promjenljivih je svako preslikavanje f : X Y, gdje je X R n, Y R. Tačka x X je uređena n torka *) x : = (x 1,..., x n ), (x i R, i = 1, n ), pa je = f (x) = = f ((x 1,..., x n )) = f (x 1, x,..., x n ), pri čemu je Y. Ovo i predstavlja objašnjenje naziva realna funkcija od n realnih promjenljivih. Tom funkcijom preslikavamo proizvoljnu tačku x čije su koordinate x 1,..., x n ( R) u broj f (x 1,..., x n ) ( R) i često pišemo (x 1,..., x n ) a f (x1,..., x n ), ((x 1,..., x n ) X ). Ako je n = 1, preslikavanje f predstavlja realnu funkciju jedne realne promjenljive (mi ćemo, u daljnjem, ako drugačije ne bude naznačeno, pretpostaviti da je n ). Definicija 1... Svako preslikavanje f : X Y ; gdje je X R n, Y R m, pri čemu za x X, f (x) je neka uređena m torka: (ϕ 1(x), ϕ (x)..., ϕ m(x)) Y i ϕ j (x) = ϕ j (x 1,..., x n ) R za j = 1,,..., m, naziva se vektorskom funkcijom od n realnih promjenljivih. Primjer Funkcije definirane na realnom Euklidovom prostoru E formulama (x, ) a x, (x, ) a zovemo prva odnosno druga projekcija. Te se funkcije poopštavaju na realni Euklidov prostor E n (= R n ) tako da je i ta projekcija (i = 1,..., n) zadana izrazom (x 1,..., x n ) a x i. Očito da su te funkcije definirane na cijelom skupu R n, a funkcijska vrijednost može biti svaki realni broj. Graf(ik) realne funkcije f : D K od n realnih promjenljivih je skup G( f ) : = {((x 1,..., x n ), f (x 1,..., x n )) (x 1,..., x n ) D} ( D x K) i isti se često označava i sa Γ ( f ), G f i dr. Funkcije dvije ili više promjenljivih mogu biti zadane formulom (analitičkim izrazom), tablično, grafički i dr. Ako je realna funkcija f od n realnih promjenljivih zadana eksplicitnom formulom, onda se (ako drugačije nije potpuno specificirano / naznačeno) pod domenom D( f ) obično podrazumijeva prirodni domen, tj. skup svih tačaka (x 1,..., x n ) R n za koje svaki od izraza u toj formuli ima smisla (uzima realnu / konačnu / i određenu vrijednost) i koji zadovoljava, eventualno, postavljene uslove, a pod kodomenom se uvijek podrazumijeva skup R (ili, ako je u datom slučaju od interesa sirjektivnost funkcije f, pod kodomenom se podrazumijeva skup Im( f ), tj. skup svih vrijednost funkcije f ), osim kada se posebno istakne drugačije. Grafik G( f ) realne funkcije z = f (x, ) dviju realnih promjenljivih x, je skup svih tačaka X (x,, z) R 3 koje zadovoljavaju sljedeće uslove: ( i ) Svaka tačka X (x,, z) tog skupa ima apscisu i ordinatu koje predstavljaju koordinate neke tačke M(x, ) D( f ) i ima aplikatu z = f ( M ); ( ii ) Svaka tačka X (x,, z) R 3 za koju tačka M(x, ) pripada domenu D( f ), a aplikata je jednaka vrijednosti funkcije f u tački M, pripada grafiku funkcije f. Dakle, geometrijski (grafički) se funkcija (x, ) a z = f (x, ) predstavlja (predočuje) s površi u prostoru R 3 (sl. 1..1). No, analogno kao i u slučaju funkcija jedne promjenljive, ne može se ni svaka realna funkcija dviju realnih promjenljivih grafički predstaviti. *) Umjesto f : X Y, često se piše f : D K, ili f : D R ako je K R. Takođe, umjesto x : = (x 1,..., x n ), pišemo X : = (x 1,..., x n ) ili T : = (x 1,..., x n ).
2 Funkcija z = f (x, ) često se grafički prikazuje i pomoću nomograma ili pomoću nivo linija. Nivo linije ili nivoske linije ili izolinije (izoterme, izobare, ekvipotencijalne linije, ekviskolarne linije i sl.) funkcije f su krive (odnosno, skupovi tačaka) date jednačinama z = f (x, ), z = C (C R). Projekcija nivo linija na ravan Ox su krive date jednačinom *) f (x, ) = C (C R). M Duž svake krive f (x, ) = C 1, f (x, ) = C,..., gdje su C 1, C,... x realne konstante, skalar z ostaje konstantan i mijenja se samo pri Slika prelazu tačke (x, ) s jedne krive na drugu. Mjesta gdje se takve uzastopne krive približavaju, pokazuju da se tu funkcija f brže mijenja. Pomoću ovih krivih može se ispitati oblik površi date jednačinom z = f (x, ). Na mjestima gdje su krive guste, površ ima veći pad, a na mjestima gdje su rijetke, površ ima manji pad. Metod(a) reprezentiranja realne funkcije f od dvije realne promjenljive pomoću (projekcija) nivookih linija u ravni(ni) sastoji se u sljedećem: zada se nekoliko realnih brojeva C 1, C,... i nacrtaju krive (u ravni Ox) f (x, ) = C 1, f (x, ) = C,... z z = f (x,) Realna funkcija od tri i više realnih promjenljivih predstavlja se najzgodnije nomogramom. Funkcija u = f (x,, z) može se predstaviti i nivo površima (nivoskim površima, ekviskalarnim površima): u = f (x,, z), u = C ( R). Za razne vrijednosti realnog parametra C dobijemo razne nivo površi, koje predočuju kako se mijenja vrijednost funkcije ako se mijenjaju nezavisne promjenjljive x,, z. Ako su negdje u prostoru nivo površi (numerisane u jednakim razmacima za vrijednosti od u) guste (rijetke), znači da će se tamo vrijednost od u mijenjati naglo (sporo) ako se vrijednosti od x,, z mijenjaju tako kako to odgovara pomjeranju tačke (x,, z) u smjeru normalnom na nivo površ na tom mjestu. Napomenimo da se realna funkcija od tri i više realnih promjenljivih ne može geometrijski predočiti (predstaviti), jer se za n 3 ne može dati odgovarajuća geometrijska interpretacija Euklidovog prostora R n+1, već se u takvim slučajevima odgovarajući problemi analiziraju analitički na osnovu definicije prostora R m. Primjer 1... Odrediti nivo linije (nivo skupove) i nacrtati grafik realne funkcije f dviju realnih promjenljivih zadane formulom f (x, ) = x +. Rješenje: Nivo linije funkcije z = f (x, ) zadane su jednačinama z = f (x, ), z = C ( R). Njihove projekcije na ravan Ox imaju jednačinu f (x, ) = C (C R), odnosno, u posmatranom slučaju te projekcije su zadane izrazom x + = C (C [, + )), jer se za C < dobije prazan skup. **) Kako je x + =, 1,, M za za za M to za C = projekcija nivo skupa na ravan Ox je otvoreni krug zadan izrazom x + < 1; za C = 1 projekcija nivo skupa na ravan Ox je prsten zadan formulom 1 x + < 4, dok za C = projekcija nivo skupa na ravan Ox predstavlja prsten dat izrazom 4 x + < 9, itd. (sl. 1..). *) Ponekad se na ovaj način definira pojam nivo linije. **) Poteškoće koje nastaju u vezi sa definicijom krive, odnosno površi, kao i uslova za funkciju f, pa da izraz f (x, ) = C (odnosno f (x,, z) = C ) definira krivu (odnosno površ), mogu se u definiciji pojmova nivo linija (odnosno nivo površi) izbjeći upotrebom termina nivo skup umjesto nivo linija (odnosno nivo površi) i, dalje, upotrebom termina skup umjesto naziva krivih (odnosno površi). 1 x x x M < 1, <, < 3, X(x,,z) 13
3 14 Na osnovu toga, zaključujemo da je grafik zadane funkcije amfiteatar sa beskonačno mnogo stepenica (sl. 1..3). z 1 x + = C (C =, 1,,...) 1 3 x Z = x + 1 x Slika 1... Slika Neka svojstva realne funkcije više realnih promjenljivih Niz pojmova, definicija i teorema koji se odnosi na realne funkcije jedne realne promjenljive prenose se bez promjene ili sa neznatnom promjenom na realne funkcije više realnih promjenljivih. Ovdje navodimo samo neke od njih: 1) Funkciju f : D K (D R n, K R) (1..1) možemo posmatrati na svakom podskupu E skupa D. ) Kako je skup vrijednosti funkcije date sa (1..1) podskup skupa R, to ostaju očuvani pojmovi: funkcija ograničena odozgo (ili odozdo), funkcija neograničena odozgo (ili odozdo), ograničena funkcija i neograničena funkcija na skupu E ( D). 3) Ostaju očuvani pojmovi veće, manje i jednako u skupu vrijednosti funkcije zadane izrazom (1..1). 4) Pojam složene funkcije uvodi se na sljedeći način : Neka je u 1 : = u 1 (x), u = u (x),..., u m = u m (x) sistem od m funkcija koje su zadane na nekom skupu E x R n i neka je = f (u 1, u,..., u m ) = f (u) funkcija zadana na nekom skupu E u ( R m ). Funkcija F (x) : = f [u 1 (x), u (x),..., u m (x)] naziva se složenom funkcijom sa međuargumentima u 1, u,..., u m koja je definirana na skupu tačaka E * x E x za koje tačka (u 1 (x), u (x),..., u m (x)) pripada skupu E u. 5) Elementarnim funkcijama nazivaju se sve one realne funkcije više realnih promjenljivih koje se mogu dobiti iz osnovnih elementarnih realnih funkcija više realnih promjenljivih konačnom primjenom algebarskih operacija +,,, : i operacije slaganja (kompozicije) funkcija, pri čemu se pod osnovnim elementarnim funkcijama više promjenljivih podrazumijevaju stepene, eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije (analogno kao i u slučaju realnih funkcija jedne realne promjenljive). Na primjer, funkcija f (x 1, x,..., x n ) posmatrana na skupu tačaka koje pripadaju krivoj (L) zadanoj (parametarski) jednačinama x 1 = x 1 (t ), x = x (t ),..., x n = x n (t ), a koja pripada definicionom području funkcije f, predstavlja složenu funkciju: F(t ) = f (x 1 (t ), x (t ),..., x n (t )) jednog argumenta t. Ako je funkcija F(t ) konstantna na hiperkrivoj (L), onda se ta kriva naziva nivo hiperlinija (ili nivo - linija) funkcije f.
4 15 Funkcija f može biti posmatrana i na skupu tačaka neke hiperpovrši zadane jednačinom F(x 1, x,..., x n ) = koja pripada definicionom području funkcije f. Ako je funkcija f konstantna na nekoj hiperpovrši, onda se ta površ naziva nivo hiperpovrš (ili nivo - površ) funkcije f. Kao i funkcije jedne promjenljive, tako i funkcije od dvije, tri ili n promjenljivih mogu biti racionalne ili iracionalne, algebarske ili transcendentne, eksplicitne, implicitne, jednoznačne ili višeznačne, parne, neparne (u odnosu na sve neprazne podskupove skupa {x 1,..., x n } argumenata x 1,..., x n funkcije f (x 1,..., x n ) ), Granična vrijednost realne funkcije više realnih promjenljivih Pojam i osnovna svojstva esa funkcije više promjenljivih Definicija Okolinom beskonačno daleke tačke naziva se skup svih tačaka x R n d( O R n, x) > r, pri čemu je r proizvoljan broj iz R +. za koje je Kako su R i R n metrički prostori u kojima je definiran pojam okoline tačke kao i pojam konvergencije, to se pojam granične vrijednosti za realnu funkciju više realnih promjenljivih može definirati po Cauchju ili Heineu. Dokazuje se (analogno kao i za ese realnih funkcija jedne realne promjenljive) da su ove dvije definicije ekvivalentne: Definicija (Po Cauchju). Neka je D R n i tačka x = (x 1, x,..., x n ) R n tačka gomilanja skupa D koja mu može, a ne mora pripadati. Neka je funkcija f zadana izrazom (1..1). Kažemo da funkcija f u tački x ima graničnu vrijednost (es) jednaku B R ako za svaku okolinu V(B) tačke B postoji okolina U(x ) tačke x takva da vrijednost funkcije f pripada okolini V(B) za svaku vrijednost argumenta x U(x ), tj. za svaki x D ( U(x )\{x }) (= U o D (x)). Definicija (Po Heineu). Kažemo da funkcija f zadana izrazom (1..1) ima graničnu vrijednost jednaku B ( R ) u tački x ( R n ) ako za proizvoljan niz (x n ), x n D za n N, x n x (x je tačka gomilanja skupa D koja mu može a ne mora pripadati) x n x za n, odgovarajući niz ( f (x n )) ima graničnu vrijednost B. U svakoj od definicija 1.3. i kratko pišemo B = f (x) ili B = f (x1, x,..., x n ). x x Primijetimo da u datim definicijama esa funkcije f tačka x može biti i beskonačno daleka tačka u R n, a B može biti iz proširenog skupa R realnih brojeva. Napomenimo da se često za okolinu pomenute tačke x R n, umjesto kugline okoline, uzima okolina koju čini n dimenzionalni paralelopiped (kvadar) ili n dimenzionalna kocka sa centrom u x. Sve teoreme o graničnim vrijednostima koje važe za funkcije jedne realne promjenljive (njihovi analogoni) važe i za realne funkcije više realnih promjenljivih (jasno, o pojmovima i svojstvima koja imaju smisla za funkcije više promjenljivih). Na primjer, vrijede: teorema o jedinstvenosti granične vrijednosti, teorema o graničnoj vrijednosti složene funkcije, teoreme o nejednakostima za ese, teoreme o algebarskim operacijama sa graničnim vrijednostima, Cauchjev kriterij koji predstavlja potreban i dovoljan uslov postojanja granične vrijednosti. x1 x1 x x M x n x n
5 1.3.. Uzastopni esi 16 U dijelu uveli smo pojam esa funkcije kad argument x = (x 1,..., x n ) teži ka x = (x 1,..., x n ). Drugim riječima, razmatrali smo ponašanje funkcije kad sve koordiante x 1,..., x n vektorskog argumenta x teže istovremeno ka odgovarajućim koordinatama x 1,..., x n tačke x. No, pojavljuje se potreba da se ispita ponašanje funkcija u slučaju kad najprije pustimo da jedna od koordinata teži ka nekoj fiksiranoj vrijednosti, a ostale koordinate se smatraju nepromijenjenim; zatim puštamo da neka druga koordinata teži ka nekoj (obično drugoj) fiksiranoj vrijednosti itd. Ako poslije svega dobijemo neku fiksiranu vrijednost nazivamo je uzastopnim (ili sukcesivnim) esom. Limes, odnosno granična vrijednost u prijašnjem smislu ponekad se zove n esom (ili n terostrukim esom ili simultanim esom). Kad je n =, 3,... kaže se dvojni (ili dvostruki), trojni (ili trostruki) itd. es. Mi ćemo es u ovom smislu u kojem je bio najprije definiran, zvati prosto esom ili graničnom vrijednošću, a es koji sada posmatramo uzastopnim esom. Uzastopni es ispitivaćemo detaljnije u slučaju n =, tj. kad imamo slučajeve funkcija koje zavise od dvije nezavisne (skalarne) promjenljive. U slučaju proizvoljnog n ( N) postupak je sličan, ali uz nešto glomaznije označavanje. Kad funkcija zavisi od dvije nezavisne promjenljive, onda se te promjenljive često označavaju sa x i (umjesto x 1 i x ). Neka je, dakle, (x, ) R, tj. neka je (x, ) neka tačka u x ravni. Označimo sa Q pravougaonik u R (tj. dvodimenzionalni kvadar) definiran izrazom Q = {(x, ) R : x < x < x + a, < < + b}, gdje su a, b > neke pozitivne realne konstante (sl ). Neka je na Q definirana skalarna funkcija f (x, ). Ako uzmemo po volji (, + b) i držimo ga fiksiranim, a +b puštamo da se x mijenja u intervalu (x, x + a), onda je f (x, ) funkcija jednog argumenta x (definirana na (x, x + a)). Uzimajući razne (, + b) dobijemo, uopšte uzev, razne M = (x, ) funkcije argumenta x. Možemo se, prema tome, pitati da li postoji f (x, ). x x +a x Pretpostavimo da za svaki (, + b) postoji i da je Sl konačan f (x, ). Jasno je da ovaj es zavisi od toga koji smo (, + b) uzeli. Znači, taj es je neka funkcija od. Označimo je sa ϕ ( ): ϕ ( ) def. = f (x, ), (, + b). Funkcija ϕ ( ) je definirana na (, + b) pa se možemo pitati da li postoji ϕ ( ). Ako ovaj posljednji es postoji, nazivamo ga uzastopnim esom i označavamo izrazom ( f (x, )) ili f (x, ) (: = L1, ). Naravno, mi možemo u prethodnom razmatranju zamijeniti uloge x i. Možemo, naime, najprije x (x, x + a) držati fiksiranim i posmatrati ψ (x) = f (x, ). Ako ovaj es postoji i ako je konačan za sve x (x, x + a), onda možemo tražiti ψ (x). U slučaju da taj es postoji, dobijemo novi uzastopni es x x ( f (x, )) ili f (x, ) (: = L, 1). x x Odmah se postavlja pitanje odnosa ova dva uzastopna esa L 1, i L, 1, i njihovog odnosa sa esom L : = f (x, ) u običnom smislu, ako ovaj posljednji es postoji. U vezi sa ovim ( x, ) ( x, ) dokazaćemo sljedeću teoremu. x x
6 17 Teorema Neka je na pravougaoniku Q definirana funkcija f (x, ) i neka su zadovoljeni sljedeći uslovi : ( i ) postoji granična (konačna ili beskonačna) vrijednost x L : = f (x, ) = f ( x, ) ; (1.3.1) (, ) ( x, ) ( ii ) za svaki (, + b) postoji konačan es ( po x) ϕ ( ) = f (x, ). (1.3.) Tada postoji i ϕ ( ), tj. postoji uzastopni es f (x, ) i vrijedi L = ϕ ( ) (= f (x, ) ). x x Dokaz: Neka je, npr., L konačan broj. Po pretpostavci f (x, ) L, (x, ) (x, ). Zbog toga za svaki ε > postoji δ = δ (ε ) > takav da za sve (x, ) Q, za koje je x x < δ, < δ, vrijedi f (x, ) L < ε. Smanjujući δ, ako je potrebno, možemo smatrati, i smatraćemo da je δ < a, δ < b. U tom slučaju možemo reći da vrijedi f (x, ) L < ε čim je x (x, x + δ ), (, + δ ). (1.3.3.) Uzmimo po volji (, + δ ) i fiksirajmo ga, a pustimo x da teži ka x (x (x, x + δ )). Tada, na osnovu pretpostavke ( ii ) lijeva strana u (1.3.3) teži ka ϕ ( ) L. Na taj način dobijemo da vrijedi ϕ ( ) L ε < ε, (, + δ ). (1.3.4) Dakle, za svaki ε > postoji δ = δ (ε ) > takav da vrijedi (1.3.4), pa možemo pisati da ϕ ( ) L, kad (ustvari ovdje ). Ovim je tvrdnja u slučaju konačnog L dokazana. Neka je sada L beskonačan, npr. L = +. Tada za svaki E >, zbog f (x, ) + kad (x, ) (x, ), postoji δ = δ (E ) > tako da je f (x, ) > E + 1 čim je x x < δ, < δ i (x, ) Q. Kao i u prethodnom razmatranju, možemo smatrati da je δ < a, δ < b, pa imamo f (x, ) > E + 1 za sve x (x, x + δ ), (, + δ ). (1.3.5) Ako u (1.3.5) smatramo (, + δ ) čvrstim, a putimo da x x dobijemo (po pretpostavci ( ii )), ϕ ( ) E + 1 > E. Znači, za svaki E > postoji δ = δ (E ) > takav da je ϕ ( ) > E čim je (, + δ ). Ovo znači da ϕ ( ) +, (zapravo ) i teorema je dokazana. Da smo umjesto pretpostavke ( ii ) u teoremi uzeli pretpostavku ( ii )' za svaki x ( x, x + a) postoji konačan es ψ (x) = f (x, ), dobili bi, na sličan način, da vrijedi L = teoremi takođe zadovoljen. f (x, ). Pretpostavlja se, naravno, da je uslov ( i ) u Ako su pored uslova ( i ) zadovoljena oba uslova ( ii ) i ( ii )', onda dobijemo f (x, ) = f (x, ) = f (x, ), tj. L = L1, = L, 1. ( x, ) ( x, ) Mi smo u teoremi razmatrali, ustvari, samo desne ese po x i. Jasno je da sve ostaje da vrijedi i u osta slučajevima. Zapravo, lako se vidi da teorema ostaje da važi i kada se funkcija f (x, ) definirana na pravougaoniku Q zamijeni funkcijom f : D K, pri čemu je D R, (K, ρ) metrički prostor *), (x, ) R tačka gomilanja skupa D, s tim da se uslov ( ii ) zamijeni uslovom: postoji okolina V( ) tačke takva da za svaki V( ) postoji f (x, ) = ϕ ( ). Zaista, iz ( x, ) ( x, ) f (x, ) = L slijedi da za svaki ε > postoji takav δ > da < x x < δ, < < δ *) Pri tome treba voditi računa da u proizvoljnom metričkom prostoru ne mora da postoji relacija poretka, pa se u opštem slučaju ne definira pojam beskonačnosti (u takvim prostorima). To znači da se u takvim prostorima ne razmatraju beskonačne granične vrijednosti, a ni pojmovi monotone funkcije (i specijalno, monotonog niza), jer ti pojmovi u takvim prostorima nemaju smisla. x x
7 18 povlači ρ ( f (x, ), L) < ε. Fiksirajmo neki takav i pretpostavimo pri tome da je δ dovoljno mali broj da je ujedno i V( ). Prelazom na es x x u ρ ( f (x, ), L) < ε i koristeći neprekidnost metričke funkcije ρ dobijemo ρ (ϕ ( ), L ) ε, što znači i da je ϕ ( ) = L. Primjeri a) Neka je f funkcija iz R u R definirana formulom f (x, ) : = x x +. Tada je njen prirodni domen D( f ) zadan izrazom D( f ) : = R \{(, )}. Iz f (, ) = f (x, ) za (x, ) (, ) slijedi f (x, ) = i f (x, ) =. Međutim, iz x x f (x, ) = x = kx = x x (1 + k ) 1+ k k slijedi da dvojni es L : = od načina približavanja tačke (x, ) ka (, )). *) x = kx f (x, ) ne postoji (jer zavisi od k, odnosno b) Za realnu funkciju f dviju realnih promjenljivih koja je definirana formulom f (x, ) = 4 4 x = je f (x, ) = 1, f (x, ) = 1, tj. uzastopni esi postoje ali su različiti, pa ne 4 4 x + x x može postojati dvojni es f (x, ). ( x, ) (,) c) Neka je funkcija f : {(x, ) R } R definirana izrazom f (x, ) = + x sin 1. Tada je f (x, ) =, jer vrijedi f (x, ) + x sin ( x, ) (,) 1 x + za D( f ) (x, ) (, ). Međutim, ne postoji uzastopni es f (x, ) jer ne postoji već f (x, ) ( = x 1 ( + x sin )) za x. Otuda slijedi da postojanje pravog (tj. dvojnog) esa ne obezbjeđuje postojanje i jednakost uzastopnih esa. (Veza između uzastopnih i f (x, ) ( x, ) ( x, ) dvojnih esa funkcija više promjenljivih iskazana je teoremom i njenom posljedicom prema kojoj ako postoje uzastopni esi L1, i L, 1 i dvojni es L funkcije f u nekoj tački gomilanja njenog domena, onda je L = L 1, = L, 1.) 1.4. Neprekidnost realne funkcije više realnih promjenljivih Definicija Za funkciju f : D R (D R n ) (1.4.1) kažemo da je neprekidna u tački x D ako je a) tačka x tačka gomilanja skupa D i ispunjen je jedan od sljedeća četiri ekvivalentna uslova **) : 1) f (x) = f (x); ) Za svaki ε > postoji broj δ = δ (ε) > takav ad je f (x) f (x ) < ε za sve vrijednosti argumenta x za koje je d (x, x ) < δ (d metrička funkcija u Euklidovom prostoru R n ); x *) Da ne postoji dvojni es možemo zaključiti i primjenom Heineove definicije esa. Naime, ( x, ) (,) x + 1 dovoljno je posmatrati nizove 1 1, i n 1, koji konvergiraju ka tački (, ) a nizovi vrijednosti n n f, i n 1 1 f, ne konvergiraju ka istoj vrijednosti. n n **) Ekvivalentnost ovih uslova provjerava se analogno kao i u slučaju neprekidnosti realnih funkcija jedne realne promjenljive.
8 19 3) Za proizvoljan niz (x n ), x n D za svaki n N, koji konvergira ka tački x odgovarajući niz ( f (x n )) vrijednosti funkcije f konvergira ka f (x ) za n ; 4) Za svaki ε > postoji broj δ = δ (ε) > takav da je f (K(x, δ )) ( f (x ) ε, f (x ) +ε ), ili b) tačka x je izolovana tačka skupa D (domena od f ). Analogno, ako i u slučaju realne funkcije jedne realne promjenljive, lako se vidi da je definiciji ekvivalentna sljedeća definicija pojma neprekidnosti realne funkcije više realnih promjenljivih: Definicija ' Neka je f : D K realna funkcija od n realnih promjenljivih. Za funkciju f kažemo da je neprekidna u tački x D ako za svaku okolinu V tačke f (x ) postoji okolina U tačke x takva da je f (U ) V, tj. ako za svaki ε > postoji takav δ > da je f (x) f (x ) < ε (*) za svaki x D za koji je *) d (x, x ) < δ, gdje je d euklidska metrika u R n. Napomenimo da se definicija ' pojma neprekidnsoti realne funkcije od n realnih promjenljivih proširuje **) i na pojam neprekidnosti proizvoljne funkcije f : D K, (D X, K Y ), pri čemu su (X, d ) i (Y, ρ) proizvoljno zadani metrički prostori. Definicija Za funkciju f zadanu izrazom (1.4.1) kažemo da je neprekidna na skupu E( D) ako je neprekidna u svakoj tački tog skupa. Teoreme o neprekidnim funkcijama jedne promjenljive prenose se i na funkcije više realnih promjenljivih, kao na primjer teorema o operacijama nad neprekidnim funkcijama, teorema o neprekidnosti složene funkcije, teoreme kojima su data lokalna svojstva neprekidnih funkcija itd. Takođe vrijedi i svojstvo da je svaka elementarna funkcija više realnih promjenljivih neprekidna gdje je i definirana. Z funkcije od n argumenata tačke prekida mogu imati različita svojstva, pa se pitanjem klasifikacije tačaka prekida nećemo ni baviti jer skup tačaka prekida može imati različitu strukturu. Tako, na primjer, tačke prekida mogu obrazovati linije ili površi, pa se nazivaju linijama ili površima prekida. Međutim, pojam tačke otklonjivog prekida i princip produženja po neprekidnsoti prenosi se sa funkcija jedne promjenljive na funkcije više promjenljivih. Pa neka je tačka x funkcije f zadane izrazom (1.4.1) tačka gomilanja. Tada se tačka x naziva singularnom tačkom funkcije f ako x D. Imamo sljedeću klasifikaciju singularnih tačaka: 1) Ako postoji konačan f (x), onda se tačka x naziva singularnom tačkom funkcije f koja se može otkloniti. ) Ako je f (x) = + (ili ), onda se tačka x naziva polom funkcije f. 3) Ako granična vrijednost funkcije f u tački x ne postoji, onda se singularna tačka x naziva esencijalnim singularitetom funkcije f. Ako je x singularna tačka funkcije f koja se može otkloniti, onda, analogno kao i u slučaju tačke prekida koja se može otloniti, postoji funkcija g : D { x } R koja je neprekidna u tački x a definirana je formulom: f ( x), x D, g(x) = f ( x), x = x. Za skup E R n kažemo da je povezan (koneksan) ako proizvoljne dvije njegove tačke možemo spojiti linijom koja se cijela sadrži u skupu E. *) Umjesto za svaki x D za koji je d (x, x ) < δ, gdje je d euklidska metrika u R n može se, ekvivalentno, iskazati za svaki x : = (x 1,..., x n ) D za koji je x i x i < δ za i = 1,..., n, gdje je x : = (x 1,..., x n )( D). **) S tim, da, jasno, u nejednakosti (*) umjesto izraza f (x) f (x ) imamo izraz ρ ( f (x), f (x )).
9 Definicija Za skup E R n kažemo da je otvorena oblast (ili, kraće, oblast) ako je E otvoren povezan skup. Za skup E kažemo da je zatvorena oblast ako je E zatvoren povezan skup u (Euklidovom prostoru) R n. Važe sljedeće teoreme o globalnim svojstvima neprekidnih funkcija koje navodimo bez dokaza, jer se dokazuju analogno kao i za realne funkcije jedne realne promjenljive. Teorema (Prva Weierstrassova teorema). Ako je funkcija f : D R, D R n. (1.4.) neprekidna na zatvorenoj ograničenoj oblasti E ( D), onda je ona ograničena na toj oblasti. Teorema (Druga Weierstrassova teorema). Ako je funkcija f, zadana izrazom (1.4.) neprekidna na zatvorenoj ograničenoj oblasti E ( D), onda postoji najmanje jedan par tačaka ξ,η E takvih da je f (ξ ) = sup { f (x)} i f (η ) = inf { f (x)}. x E Napomenimo da se može govoriti o neprekidnosti realne funkcije više realnih promjenljivih i samo po jednom broju njenih argumenata, tj. ako je ona neprekidna kao funkcija jednog broja argumenata za svaki dozvoljeni zadan skup vrijednosti njenih argumenata, tj. pri fiksiranim osta promjenljivim. Specijalno, za funkciju f : D K (D R n, K R) se kaže da je neprekidna po promjenljivoj x i u tački x = (x 1,..., x n ) D ako je ona neprekidna u tački x i, shvaćena kao funkcija od x i pri fiksiranim osta promjenljivim x j = x j, j i. Lako se vidi, međutim, da funcija f može biti neprekidna po svakoj od promjenljivih ponaosob, ali da pri tom ne bude neprekidna u smislu definicije x Naime, funkcija f : R, ( x, ) (,), R definirana formulom f (x, ) = x +, ( x, ) = (,) je očito neprekidna i po promjenljivoj x i po promjenljivoj u tački (, ) budući da je f (x, ) = = f (, ) = f (, ), ali nije neprekidna u (, ) jer ne postoji f (x, ) (v. primjer a)) x E ( x, ) (,) Definicija Za funkciju f zadanu izrazom (1.4.) kažemo ad je ravnomjerno (ili uniformno) neprekidna na oblasti E( D) ako za svaki ε > postoji broj δ = δ (ε ) > takav da je f (x) f ( ) < δ za sve x, E za koje je d (x, ) < δ, gdje je d euklidska metrika u R n. Važi sljedeća teorema koju navodimo bez dokaza, jer se dokazuje analogno kao i za funkcije jednog argumenta. Teorema (Cantorov stav o ravnomjernoj neprekidnsoti funkcija više promjenljivih). Ako je funkcija f koja je zadana izrazom (1.4.) neprekidna na zatvorenoj ograničenoj oblasti E ( D), onda je ona ravnomjerno neprekidna na toj oblasti. Teorema (Stav o međuvrijednosti funkcija više promjenljivih). Ako je funkcija f koja je zadana izrazom (1.4.) neprekidna na otvorenoj ili zatvorenoj oblasti E( D) i ako su a i b proizvoljni elementi skupa vrijednosti Im( f ), onda za proizvoljnu tačku c između a i b postoji bar jedna tačka ξ E takva da je f (ξ ) = c. x Napomenimo da teoreme vrijede i ako se izostavi svojstvo povezanosti skupa E, tj. ako je E zatvoren i ograničen skup u Euklidovom prostoru R n (ne nužno i povezan). Primjer Ispitati ravnomjernu neprekidnost funkcije f iz R R zadane formulom f (x, ) = x x + arc cosec ( x + -4x-6). Rješenje: Prirodni domen D( f ) funkcije f zadan je izrazom D( f ) = {(x, ) R : x x x + 4x 6 1} = = {(x, ) R : (x 1) + ( + 1) }, u 1 x 1 D( f ) Sl
10 tj. D( f ) je zatvoreni krug u ravni Ox sa centrom u tački (1, 1) radijusa (sl ). 1 Budući da je D( f ) zatvorena i ograničena oblast i da je funkcija f neprekidna na toj oblasti (jer je f (x, ) = f (x ( x, ) ( x,, ) za svaki x : = (x, ) D( f ); neprekidnost funkcije slijedi i iz očite činjenice ) da je f elementarna funkcija pa je ona neprekidna gdje je i definirana), zaključujemo da je zadana funkcija f i ravnomjerno neprekidna na toj oblasti.
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. P r e d a v a n j a z a d r u g u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2008/2009.
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2 P r e d a v a n j a z a d r u g u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2008/2009. godini) Budite zahvalni na savjetima, a ne na pohvalama..2.2. Neka svojstva
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 64 Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA 4 Osnovni pojmovi Činjenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka iskazuju uz pomoć diferencijalnih jednačina
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότερα3.1. Granične vrednosti funkcija
98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραNermin Okičić Vedad Pašić. Metrički prostori
Å Ì Å ÌÁÃ Nermin Okičić Vedad Pašić Metrički prostori 2016 Å Ì Å ÌÁÃ Sadržaj 1 Metrički prostori 1 1.1 Metrika i osobine......................... 2 1.2 Konvergencija u metričkim prostorima.............
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα1. Topologija na euklidskom prostoru R n
1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x
Διαβάστε περισσότερα2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότερα