I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010."

Transcript

1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka ) P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 009/00. godini) Klasifikacija tačaka prekida i singularnih tačaka funkcije Budući da je svaka realna funkcija f jedne realne promjenljive neprekidna u svakoj izolovanoj tački svog domena D (ako takva tačka postoji u D ), to su tačke prekida funkcije f među tačkama domena D koje su ujedno tačke gomilanja skupa D i to bilo one tačke p kod kojih lim f ( ) ne p postoji, bilo one kod kojih taj limes nije jednak vrijednosti f ( p ). Uobičajeno je da se tačke prekida klasificiraju na jedan od dva načina koji su dati dvjema sljedećim definicijama. Definicija 4... Neka je f realna funkcija definirana na skupu D ( R) i 0 D tačka prekida funkcije f. Kaže se da je u tački 0 : ( i ) prekid prve vrste funkcije f ako postoje konačne granične vrijednosti f ( 0 ) i f ( 0 +), pri čemu se zahtijeva postojanje samo prvog (odnosno, samo drugog) od tih limesa ako je 0 samo lijeva (odnosno, samo desna) tačka gomilanja skupa D ; specijalno se kaže da je takav prekid otklonjiv (odstranjiv, uklonjiv ili nebitan) ako je još f ( 0 ) = f ( 0 +), tj. ako postoji (konačan) lim f ( ) ; ( ii ) prekid druge vrste funkcije f ako nije prve vrste (tj. ako bar jedna od graničnih vrijednosti f ( 0 ) i f ( 0 +) ne postoji ili je beskonačna). Termin otklonjiv prekid je očito u vezi sa činjenicom da u slučaju takvog prekida funkcije f u ~ tački 0 D ( D domen od f ) postoji realna funkcija f koja je neprekidna u tački 0 a definirana je formulom f ( ), D \ { }, ~ f ( ) = lim = f ( ), 0. 0 U ovom slučaju kažemo da smo funkciju f na prirodan način produžili (proširili, modificirali) po (principu) neprekidnosti u tački 0. Broj f ( 0 +) f ( 0 ) iz R zovemo skok funkcije f u tački 0. Definicija Neka je f realna funkcija definirana na skupu D ( R) i 0 D tačka prekida funkcije f. Kaže se da je u tački 0 : ( a ) otklonjiv prekid funkcije f ako postoji konačna granična vrijednost lim f ( ) ; ( b ) pol funkcije f ako postoji beskonačna granična vrijednost lim f ( ) = + ( ili ) ; ( c ) esencijalni prekid funkcije f ako granična vrijednost lim f ( ) ne postoji; pri tome se za esencijalni prekid funkcije f u 0 kaže da je esencijalni prekid prve vrste ako postoje konačne granične vrijednosti lim f ( ) i lim f (, a za esencijalni prekid koji nije prve vrste kaže se 0 ) 0 + da je esencijalni prekid druge vrste

2 35 Primjeri a) Funkcija sgn ima u tački = 0 prekid prve vrste (neodstranjiv; funkcija sgn u 0 ima konačan skok), a funkcija (sgn ) u = 0 ima otklonjiv prekid. b) Dirichletova funkcija χ () ima (esencijalni) prekid druge vrste u svakoj tački R. c) Funkcija f α data sa f α sin, ( ) = α, 0, = 0, α R ima otklonjiv prekid u = 0 ako je α R \{}, a funkcija f () je neprekidna u svakoj tački R. d) Funkcija f data sa f () = sin ( 0), f (0) = 0 ima esencijalni prekid druge vrste u = 0, jer ne postoje lim 0 f ( ) i lim 0 f ( (v. sl ). + ) e) Funkcija f definirana sa, f ( t) = t, 0 t <, t 3 ima esencijalni prekid prve vrste u tački t =, a neprekidna je u svakoj tački polusegmenta [0, ) i u svakoj tački segmenta [, 3]; u ovom slučaju se kaže da je f po dijelovima neprekidna (v. sl. 4..7). f (t) g (t) 6 3 Sl Sl f) Funkcija g, data sa g (t) = za 0 < t <, g (t) = t za t 3, je neprekidna u svakoj tački svog domena (poluintervala) (0, 3], kao što se vidi na slici U primjeru e) funkcija f ima svojstvo da je lim + f ( ) = f () ( = lim f ( ) ), pa je takvim funkcijama pogodno dati posebno ime, što i činimo sljedećom definicijom: Definicija Za realnu funkciju f definiranu na skupu D ( R) kažemo da je neprekidna slijeva (zdesna) u tački 0 D ako je lim f ( ) = f ( 0 ) 0 (odnosno lim f ( ) = f ( 0 ) ). 0 + Za tačku 0 iz domena D funkcije f kažemo da je tačka prekida slijeva (zdesna) funkcije f ako f nije neprekidna slijeva (zdesna) u toj tački. U skladu sa definicijom 4..4, funkcija f u primjeru e) je neprekidna zdesna u tački t =, jer je lim t + t = = f (). Međutim, lim t f ( t) = limt = = f (), pa f nije neprekidna slijeva u tački t =. I tačke prekida slijeva (zdesna) funkcije klasificiramo u skladu sa definicijom 4... Naime, ako je 0 tačka gomilanja domena D (koja mu pripada) funkcije f, kažemo da funkcija f ima u tački 0 prekid prve vrste slijeva (zdesna) ako postoji konačan lim f ( ) (odnosno lim f ( ) ali nije 0 ) 0 +

3 jednak f ( 0 ), a ako lijeva (desna) granična vrijednost funkcije f u tački 0 ne postoji ili je beskonačna, onda kažemo da funkcija f ima u tački 0 prekid druge vrste slijeva (zdesna). U primjeru e) funkcija f ima u tački t = prekid prve vrste slijeva, dok funkcija f u primjeru d) ima u tački = 0 esencijalni prekid druge vrste slijeva i zdesna (jer ne postoji lim 0 sin a ni lim 0+ sin ). Očito je da je funkcija f neprekidna u nekoj tački 0 svog domena (koja je i lijeva i desna tačka gomilanja tog domena) ako je neprekidna i slijeva i zdesna u tački 0, tj. ako je f ( 0 ) = f ( 0 + ) = f ( 0 ). U tački 0 kontinuiteta funkcija f ima skok jednak nuli. Tako, npr., funkcija g (t) u primjeru f) je u tački t = neprekidna i slijeva i zdesna pa je i neprekidna u toj tački. No, ta funkcija je neprekidna slijeva u tački t = 3, a neprekidnost zdesna u toj tački nema smisla, jer ta funkcija nije definisana desno od tačke t = 3 (ta tačka nije desna tačka gomilanja domena (, 3] funkcije g ), pa je funkcija g neprekidna u tački t = 3. Primjer Funkcija f α, data sa f α () : = 36 ( 0), f α (0) = α (α R), ima u = 0 prekid tipa pola jer je lim 0 fα ( ) = +, a funkcija f data sa f () = ( 0), f (0) = 0, ima u = 0 esencijalni prekid druge vrste, jer lijevi i desni limesi te funkcije u tački = 0 nisu konačni, a ne postoji lim 0. Singularne tačke realne funkcije f definirane na skupu D ( R) klasificiraju se analogno kao i prekidi u smislu definicije Naime, ako postoji konačan lim f ( ), onda se tačka 0 ( D ) 0 naziva singularnom tačkom funkcije f koja se može otkloniti. Ako je lim f ( ) = + (ili 0 ), onda se tačka 0 ( D ) naziva pol funkcije f. Ako granična vrijednost funkcije f u tački 0 ( D ) ne postoji, onda se singularna tačka 0 naziva esencijalnim singularitetom funkcije f ( i to prve vrste ako postoje konačni lim f ( ) i lim f (, a inače druge vrste). 0 ) 0 + Ako je 0 singularna tačka funkcije f, definirana na skupu D ( R), koja se može otkloniti, onda (kao i u slučaju tačke otklonjivog prekida) uvijek postoji realna funkcija g definirana na skupu D { 0 } koja je neprekidna u tački 0 a definirana je sa f ( ), D, g( ) = lim f ( ), = 0. 0 Primjer a) Funkcija f () : = sin principu produženja po neprekidnosti proširiti do funkcije g date sa sin, g( ) =, ima otklonjiv singularitet u = 0, pa se može po R \ = 0, koja je neprekidna = 0 (a očito i u svakoj tački R\{0}). b) Funkcija f () : = sin ima u = 0 esencijalni singularitet druge vrste, jer 0 ne pripada domenu funkcije f, a ne postoji tački = 0. lim 0 f ( ) {} 0,, niti postoje konačni lijevi i desni limesi te funkcije u Zadatak 4... Data je familija ( f α : α 0 ) funkcija f α : R R definiranih sa

4 37 f α ( ) = α α, ( ), > α, α. Ustanoviti koja je od sljedeće četiri izjave tačna : I. f α nije neprekidna u svakoj tački skupa R niti za jedan α 0 II. f α je neprekidna u svakoj tački skupa R za svaki α 0. III. Postoje dvije vrijednosti od α (α 0) za koje je f α neprekidna u svakoj tački skupa R. IV. Samo je jedna funkcija f α iz date familije ( f α : α 0 ) neprekidna u svakoj tački skupa R. Rješenje: Očito je svaka od datih funkcija f α neprekidna u svakoj tački skupa R\{ α, α } i svaka od tih funkcija je parna. Kako je lim fα ( ) = α α = α, α 0 = lim ( ) = α ( α ) = α α, to iz uslova f α + 0 α ( α ) = f α ( α + ) = f α ( α ) slijedi α α = = α, odnosno α α = 0, odakle je α = 0 α =. Dakle, samo su funkcije f 0 i f (iz zadane familije) neprekidne u svakoj tački skupa R, pa je od navedene četiri izjave tačna samo izjava III Lokalna svojstva neprekidnih funkcija Svako svojstvo neprekidne funkcije koje je u vezi sa ponašanjem te funkcije u nekoj okolini njene tačke neprekidnosti nazivamo lokalno svojstvo (neprekidne funkcije). Izvođenja takvih svojstava se uglavnom zasnivaju na lokalnim svojstvima limesa. Polazeći od odgovarajućih lokalnih svojstava limesa, lako se dobiju osnovna lokalna svojstva neprekidnih funkcija koja su data sljedećim stavovima: Stav 4... Neka je funkcija f : D K (D, K R ) neprekidna u tački 0 D. Tada : ( i ) postoji takva okolina U D tačke 0 da je f ograničena na U D, tj. postoje realni brojevi η, M takvi da ( D ; 0 < η ) ( f () < M ); ( ii ) ako je f ( 0 ) 0, postoji takva okolina U D tačke 0 da je f () istog znaka kao f ( 0 ) za svaki U D ; zapravo postoji takav δ >0 da f ( 0 ) > 0 ; U D ; 0 < δ ) ( f () > f (0 ) ), odnosno f ( 0 ) < 0 ; U D ; 0 < δ ) ( f () < f (0 ) ). Geometrijska interpretacija stava 4... ( ii ) u slučaju f ( 0 ) > 0 je prikazana na sl U tom slučaju se tvrdi da je f () > f (0 ) za svaki dosta blizu broja 0. Drugim riječima dio grafika Γ f funkcije f koji odgovara tačkama 0 nalazi se iznad prave date sa = f (0 ). Stav 4... (Pravila o aritmetičkim operacijama sa neprekidnim funkcijama). Neka su na skupu D ( R ) definirane realne funkcije f, g i neka je svaka od funkcija f, g neprekidna u tački 0 D. Tada su i funkcije f + g, f g, λ f (λ R), f g, f / g (uz dodatnu pretpostavku g ( 0 ) 0 ) i f neprekidne u tački 0. f ( 0 ) = f () Γ f ½ f ( 0 ) ( ) 0 δ δ Iz stava 4... slijede sljedeće neposredne posljedice: Sl. 4...

5 38 Posljedica 4... Neka su f,..., f n funkcije sa D ( R ) u R. Ako je svaka od njih neprekidna u tački 0 D, onda su i funkcije f + + f n i f... f n neprekidne u tački 0. n Posljedica 4... Linearna kombinacija λ (λ i = i R) neprekidnih funkcija f,..., f n u tački 0 neprekidna je funkcija u 0. f i i Iz posljedice 4... slijedi da je skup svih realnih funkcija definiranih na skupu D ( R ) koje su neprekidne u tački 0 D vektorski prostor (nad poljem (R, +, )). Posljedica Za svaki n N funkcija a n je neprekidna u svakoj tački 0 R. Dokaz: Za f = = f n = f iz posljedice 4... dobijemo da je funkcija a ( f ()) n neprekidna u tački 0. Budući da je a neprekidna funkcija u svakoj tački 0 R to je i a n neprekidna funkcija u svakoj tački 0 R. Posljedica Polinom je neprekidna funkcija u svakoj tački skupa R. Dokaz: Neka je P : R R polinom stepena n. Tada je ( R) P () = a 0 n + a n- + + a n- + a 0, gdje su a 0, a,..., a n R. Budući da su a a k k (k =,..., n) i a a 0 neprekidne funkcije u svakoj tački R, to je P kao zbir neprekidnih funkcija u R neprekidna funkcija u R. Stav (Pravilo o neprekidnosti složene funkcije). Neka je f realna funkcija definirana na skupu A ( R ) i neka je g realna funkcija definirana na skupu B ( R ) koji sadrži sliku Im ( f ) funkcije f tako da je kompozicija g f definirana. Ako je funkcija f neperekidna u tački 0 A i funkcija g neprekidna u tački f ( 0 ), onda je složena funkcija h : = g f neprekidna u tački 0. (Kratko, kompozicija dviju neprekidnih funkcija također je neprekidna funkcija.) Dokaz : Neka je W proizvoljna okolina tačke h( 0 ): = g ( f ( 0 )). Tada postoji okolina V tačke f ( 0 ) takva da je g(v B ) W. Za tu okolinu V izaberimo okolinu U tačke 0 takva da je f (U A ) V B. Tada slijedi da je h (U A ) = g ( f (U A )) g (V B ) W, odakle, po definiciji neprekodnosti, slijedi da je funkcija h neprekidna u tački 0, što je i trebalo dokazati. Stav često se primjenjuje prilikom izračunavanja limesa izraza u kojima se pojavljuju neprekidne funkcije, jer je u tom smislu primjena toga stava obično jednostavnija od primjene teoreme o limesu složene funkcije. U tom smislu navedimo sljedeće primjere: Primjer 4... Iz poznatog rezultata 0 ) = lim ( + e i neprekidnosti logaritamske funkcije lim log ( + ) 0 ln a a a log a u tački e slijedi da je = log a e ( = ), (0 < a ). Primjer 4... Neka je funkcije slijedi ln u( lim ) = ln a a ) = a ) =. Tada iz neprekidnosti logaritamske b, a odatle i iz neprekidnosti eksponencijalne funkcije slijedi da je v( ) v( ) ln u( ) c ln b c lim ( u ( )) lim e = e = b. lim u( b (>0) i lim v( c a = a sin Tako, npr. iz lim 0 ( + ) = e ( > 0) i lim 0 = slijedi da je lim sin sin 0 ( + ) = lim 0 (+ ) = e = e.

6 Globalna svojstva neprekidnih funkcija Definicija Za funkciju f : D K (D, K R) kažemo da je neprekidna na skupu S D ako je ona neprekidna u svakoj tački 0 iz S. Skup svih funkcija f : D K (D, K R) koje su neprekidne na skupu D označavat ćemo sa C(D); specijalno, ako je D : = [a, b], skup C(D) označavat ćemo sa C[a, b]. Otuda slijedi da ako je neka funkcija f definirana na skupu širem od [a, b], da bi njena restrikcija f [a, b] pripadala skupu C[a, b] dovoljno je da f bude neprekidna na intervalu (a, b), neprekidna zdesna u tački a i neprekidna slijeva u tački b. Za realnu funkciju f kažemo da je dio po dio neprekidna (ili djelimično neprekidna) na segmentu [a, b]( R) ako postoji konačno mnogo tačaka a = 0 < < < n = b tog segmenta takvih da je f neprekidna na svakom od intervala ( i-, i ) ( i =,..., n), i ima konačne lijeve, odnosno desne limese u njihovim krajevima, tj. ako postoji konačan skup A [a, b] takav da je f neprekidna funkcija u svakoj tački skupa [a, b] \ A i ukoliko je A onda u svakoj tački skupa A funkcija f ima skok prve vrste (tj. ima otklonjiv prekid ili esencijalni prekid prve vrste). Primijetimo da je izvorno neprekidnost lokalno svojstvo funkcije. Neke funkcije mogu biti neprekidne i na svom čitavome domenu, ali je ipak to svojstvo izvedeno iz lokalnog svojstva za svaku pojedinačnu tačku domena. No, za razliku od lokalnih, globalna svojstva neprekidnih funkcija zavise od njihove neprekidnosti na nekom skupu tačaka (npr., segmentu). Globalna svojstva neprekidnih funkcija koja ćemo navesti u sljedećim teoremama bitno zavise od ne samo od neprekidnosti samih funkcija, već i od svojstava skupa na kome su te funkcije definirane. Teorema (Prva Weierstrassova teorema o neprekidnim funkcijama na segmentu ). *) Ako je realna funkcija f neprekidna na segmentu [a, b] ( R), ona je na tom segmentu i ograničena. Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. pretpostavimo da funkcija f nije ograničena na segmentu [a, b]. Tada za svaki prirodni broj n postoji takav broj n [a, b] da je f ( n ) > n. Niz ( n ) tačaka segmenta [a, b] je ograničen, pa prema Bolzano Weierstrassovoj teoremi za nizove u R ima bar jednu tačku gomilanja, odnosno ima podniz ( nk ) koji konevrgira ka 0, pri čemu je očito 0 [a, b]. Zbog neprekidnosti funkcije f slijedi da je limk f ( n k ) = f ( 0), što je nemoguće, jer iz f ( n ) > n slijedi f ( n k ) > n k, odnosno limk f ( n ) = +. Dobijena kontradiikcija dokazuje da je funkcije f k ograničena na segmentu [a, b]. Teorema (Druga Weierstrassova teorema o neprekidnim funkcijama na segmentu). **) Ako je realna funkcija f neprekidna na segmentu [a, b] ( R), ona na tom segmentu postiže svoj infimum i supremum, tj. postoje brojevi m, M R i tačke m, M [a, b] (koje se mogu i poklapati) takvi da je m f () M za svaki [a, b], m = f ( m ) i M = f ( M ). *) Ova teorema je poznata i pod nazivom Weierstrassova teorema o ograničenosti neprekidne funkcije (na segmentu). **) Ovu teoremu je dokazao i s njom se koristio njemački matematičar Karl Weierstrass (85 897), a prema toj teoremi svaka realna neprekidna funkcija na segmentu u R ima najmanju (globalni / totalni minimum) i najveću (globalni / totalni maksimum) vrijednost.

7 40 Dokaz: Neka je m : = inf { f () [a, b] }, M : = sup { f () [a, b] }. Prema teoremi 4.3.., m i M su (konačni) realni brojevi. Dokažimo da postoji tačka M [a, b] takva da je f ( M ) = M, a analogno se dokazuje da postoji tačka m [a, b] takva da je f ( m ) = m. Pretpostavimo, suprotno zaključku teoreme, da takva tačka M ne postoji. Tada je f () < M za svaki [a, b], pa je funkcija g koja je data sa g () : = M f ( ) neprekidna na [a, b]. No, prema teoremi zaključujemo da je funkcija g ograničena na [a, b], tj. da postoji neki realan broj μ R + takav da je g() μ za svaki [a, b]. Otuda je M f () μ, tj. f () M μ za svaki [a, b]. Dakle, dobili smo da je broj M μ, koji je manji od M, majoranta skupa { f () : [a, b] }, suprotno definiciji broja M kao supremuma toga skupa. Time je dokaz teoreme završen. Napomenimo da teoreme i ne vrijede u slučaju da se segment zamijeni s otvorenim ili poluotvorenim intervalom. Takođe napomenimo da ograničena funkcija općenito ne mora dostizati ni svoj maksimum ni svoj minimum. Npr. funkcija f, data sa f () = za 0 < < i f ( ) = f (0 ) = f () =, je ograničena na segmentu [, ], ali ona na [, ] ne dostiže ni svoj totalni minimum 4 ni svoj totalni maksimum. Nadalje, npr. funkcija f data sa f () = Međutim, ona nije ograničena na (0, ), jer kad se približava nuli zdesna onda je neprekidna na (0, ). postaje sve veće i veće i ostaje neograničena. To je dakle slučaj neprekidne funkcije na otvorenom intervalu koja nije odozgo ograničena. Teorema (Bolzanova teorema). *) Neka je f realna i na segmentu [a, b] ( R) neprekidna funkcija. Ako f na rubovima toga segmenta ima suprotne predznake, tj. ako je f (a) f (b) < 0, onda postoji bar jedna tačka c (a, b) takva da je f (c) = 0. Teorema (Bolzano Cauchjeva teorema o međuvrijednostima). Neka je f realna i na segmentu [a, b] ( R) neprekidna funkcija. Ako su i dvije tačke toga segmenta takve da je f ( ) f ( ), onda za ma koji realni broj C između f ( ) i f ( ) postoji bar jedna tačka c između i takva da je f (c) = C, tj. neprekidna funkcija na segmentu prima svaku međuvrijednost. Teorema je ilustrirana na sl u slučaju da je f (a) < 0 i f (b) > 0. Ta teorema tvrdi da grafik neprekidne funkcije f na segmentu mora sjeći apscisnu osu O ukoliko on ima tačke iznad i ispod ose O. Translacijom duž ordinatne ose O teorema se svodi na teoremu i obratno. Dokaz teoreme je sličan dokazu Bolzano Weierstrassove teoreme za nizove. Postupak koji se primjenjuje u dokazu teoreme može se primijeniti i za približno određivanje tačke c, što se koristi pri numeričkom rješavanju jednačina oblika f () = 0, gdje je f neprekidna funkcija (taj postupak je poznat kao metod polovljenja intervala) (v., npr., [M. Merkle], str. 79. i 80). **) Dokaz teoreme se lako izvodi primjenom teoreme na funkciju F () : = f () C. = f () a 0 c b *) Ovu teoremu je dokazao češki matematičar, logičar i filozof Bernhard Bolzano (78 848) 87. godine. **) M. Merkle: Matematička analiza, Akademska misao, Beograd, 00. Osim ovog udžbenika, u pripremi materijala za predavanja iz IM korištene su mnogobrojne naučne i stručne reference, a posebno udžbenici: [] D. Anađević, Z. Kadelburg, Matematička analiza I, Nauka, Beograd, 995. (IV izd.); [] B. A. ЗОРИЧ : Mатематический анализ, Наука, Μосква, I, 98; [3] S. Mardešić, Matematička analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru, I, Školska knjiga, Zagreb, 974; [4] D. Jukić, R. Scitovski : Matematika I, ETF i PTF - Odjel za matematiku, Osijek, 000.

8 4 Napomenimo da se sve četiri teoreme mogu objediniti u ovu teoremu : Ako je f : [a, b] R ([a, b] R) neprekidna funkcija na segmentu [a, b] i ako f nije konstanta na [a, b], onda je slika od f, tj. skup f ([a, b]), također segment. Naime, to je segment [m, M], jer za svaki C [m, M] postoji c [m, M] takav da je C = f (c). Primjer Polinom a f () = je neprekidna funkcija na R. Kako je f ( 5) = 430, f (0) = 05, f () = 9, f (0) = 9775, postoje tačke ( 5, 0), (0, ), 3 (, 0) u kojima se f anulira. Budući da je f polinom trećeg stepena to on ima najviše tri različite nule. Otuda slijedi da je f () 0 za svaki R\{,, 3 }. U intervalima (, ), (, ), (, 3 ), ( 3, + ) funkcija f nema nula, pa u svakom od tih intervala (prema teoremi 4.3.3) ima isti znak. Na Sl osnovu tih informacija o polinomu f skiciramo grafik toga polinoma (sl ). Definicija Za funkciju f : D K (D, K R) kažemo da je uniformno (ravnomjerno, jednoliko) neprekidna na skupu A D ako za svaki ε > 0 postoji δ (=δ (ε ) > 0) koji ne ovisi o takav da za svaki, ' A iz ' < δ slijedi f () f (') < ε. Simbolima se uslov uniformne neprekidnosti zapisuje ovako: ( ε > 0) ( δ > 0) ( ' A) ( A) ' < δ f () f (') < ε. Iz definicije slijedi neposredno da je svaka uniformno neprekidna realna funkcija na skupu A( R) i neprekidna funkcija na tom skupu. Da obrnuto ne vrijedi, pokazuje npr. funkcija f : R\{0} R, data formulom f () =, koja je neprekidna, ali nije uniformno neprekidna (na svom domenu). Zaista, za svaki δ > 0 postoji n 0 N takav da m, n n 0 povlači < δ jer niz konvergira pa je Cauchjev. Zato za m, n n 0, m n n m n, i za tačke =, ' = vrijedi ' < δ, ali je ipak = m n. No, m n primijetimo da je posmatrana funkcija f uniformno neprekidna na skupu [, + ), jer za svaka dva broja ', '' [, + ) važi f ( ) f ( ) = =. Jednostavan kriterijum za ispitivanje uniformne neprekidnosti daje sljedeća važna teorema o uniformnoj neprekidnosti. Teorema (Cantorova teorema). Ako je f : [a, b] K ([a, b] R, K R) neprekidna funkcija na segmentu [a, b], onda je ona i uniformno neprekidna na tom segmentu. Primjer Funkcija f data sa f () = je neprekidna na R, pa je prema Cantorovoj teoremi i uniformno neprekidna na svakom segmentu [a, b] R, a što se lako provjeri i neposredno. Naime, za sve, [a, b] i M : = ma{ a, b } važi f ( ) f ( ) = = + M, ε pa je dovoljno za dati ε > 0 izabrati broj δ : = koji će zadovoljavati uslove definicije uniformne M neprekidnosti. Međutim, posmatrana funkcija f nije uniformno neprekidna na R. Zaista, neka su

9 ( n ') i ( n '') dva niza data sa n ' : = n +, n '' = n, (n N). Tada je n ' n '' = 0 za n, n n a f ( n ') f ( n '') = + > ε za svaki ε (0, ]. n Pojam uniformne neprekidnosti funkcije f može se opisati i koristeći pojam modula neprekidnosti funkcije. Definicija Modulom neprekidnosti funkcije f : D K (D, K R) za dati δ > 0 zove se broj ω f (δ ) dat sa ω f (δ ) : = sup { f (') f ('') : ', '' D, ' '' < δ }. Neposredno iz definicije slijedi da je ω f (δ ) 0 za svaki δ > 0 i da je ω f (δ ) neopadajuća funkcija od δ (> 0). Lako se vidi da vrijedi sljedeća teorema. Teorema Da bi funkcija f : D K (D, K R) bila uniformno neprekidna na skupu D potrebno je i dovoljno da za modul neprekidnosti ω f (δ ) funkcije f na tom skupu važi lim ω ( δ ) = 0. δ 0+ f Primjer Za funkciju f : [0, ] R datu sa f () = imamo da za sve, [0, ], = δ, 0 < δ važi da je f ( ) f ( ) = = ( δ) δ δ, pri čemu se za = dobije f ( ) f ( ) = ( δ) = δ δ. Otuda slijedi da je ω f (δ ) = δ δ za 0 < δ <, pa je limδ 0 + ω f ( δ ) = 0, što povlači da je data funkcija uniformno neprekidna na [0, ]. Zadatak Temperatura zraka izražena u C u nekom gradu od ponoći (t = 0) mijenjala se kao funkcija c ( t ) : = t + 4 t + 0, gdje je t vrijeme u satima. 6 a) Kolika je bila temperatura u 4 sati? b) Za koliko C je temperatura porasla ili opala između 8 h i h? c) Kada će temperatura biti C? Zadatak Dokažite da važi identitet arctg + arctg = arctg + 4 +kπ, gdje je k {, 0, }, a zatim na osnovu toga zaključie da je funkcija arctg uniformno neprekidna na R (Uputa. Dokažite da za svaki ε > 0 vrijedi arctg arctg < ε za sve, R za koje je < < δ = ε ) Neprekidnost funkcije inverzne neprekidnoj strogo monotonoj funkciji, definiranoj na datom segmentu Polazeći od svojstva monotone funkcije f : D K (D, K R) da u svakoj lijevoj (odnosno desnoj) tački gomilanja 0 R skupa D postoji f ( 0 ) (odnosno f ( 0 + )) i od poznatog svojstva da je skup Q racionalnih brojeva svuda gust u skupu R realnih brojeva, dokazuje se da vrijedi sljedeći rezultat. Stav Neka je funkcija f : D K (D, K R) monotona (na skupu D). Tada ona može imati samo prekide prve vrste i to njih najviše prebrojivo mnogo. U slučaju da je funkcija f definirana i monotona na nekom segmentu [a, b] ( R), prethodni stav se može lako dopuniti tako da se dobije sljedeći jenostavan dovoljan uslov za neprekidnost funkcije f.

10 43 Stav Neka je f : [a, b] K ( [a, b] R, K R) monotona funkcija i neka za svaku tačku C koja je između f (a) i f (b) postoji tačka c takva da je f (c) = C (tj. f ( [a, b] ) je segment ). Tada je funkcija f neprekidna na [a, b]. Dokaz : Pretpostavimo, suprotno zaključku, da je funkcija f koja zadovoljava pretpostavku ovog stava prekidna u nekoj tački 0 [a, b]. Neka je, određenosti radi, f neopadajuća funkcija. Tada je f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 + ) i bar u jednoj od te dvije nejednakosti važi stroga nejednakost. Neka je, npr., f ( 0 ) < f ( 0 ). Tada se za proizvoljno izabrani broj C iz intervala ( f ( 0 ), f ( 0 )) dobije da je C između f (a) i f (b) i da pri tome C nije slika niti jedne tačke c iz [a, b], tj. dobije se kontradikcija, što dokazuje stav Primijetimo da za monotone funkcije stav predstavlja obrat Bolzano Cauchjeve teoreme o međuvrijednosti. Kombinacijom te dvije tvrdnje, dobijemo sljedeći potreban i dovoljan uslov neprekidnosti monotone funkcije. Teorema Neka je f : [a, b] K ( [a, b] R, K R) monotona funkcija. Tada je ona neprekidna na [a, b] akko je slika tog segmenta segment sa krajevima f (a) i f (b). Iz definicija pojmova inverzne funkcije i stroge monotonosti neposredno slijedi sljedeće svojstvo: Stav Ako je f : A B (A, B R) strogo monotona funkcija i B = f ( A ), onda postoji inverzna funkcija f : B A i ona je takođe strogo monotona (i to opadajuća ako je f opadajuća, odnosno ratuća ako je f rastuća). Iz stava slijedi da je za postojanje inverzne funkcije neke realne funkcije jedne realne promjenljive dovoljno da ta funkcija bude strogo monotona (pri čemu se podrazumijeva da je na odgovarajući način izabran njen kodomen). Primjer Realna funkcija f definirana izrazom f ( ) = + je strogo monotona (rastuća) funkcija na skupu D( f ) : = [0, + ), pa ako se za kodomen funkcije f uzme njen rang Im ( f ) : = [, + ), onda postoji f : [, + ) [0, + ) (sl. 4.4.). Nađimo f. Ako je Im ( f ), onda postoji jedinstveni D( f ) takav da je = f () = +. Odavde je =, odnosno = ( ) ( ). Prema tome je f ( ) = ( ), ( ), odakle, transkripcijom dobijemo f ( ) = = ( ),, iz čega se vidi da je D( f ) = Im ( f ) = = [, + ). (Skicirajte grafik dobijene inverzne funkcije! ) = + 0 Sl Međutim, za neprekidne funkcije definirane na nekom segmentu stroga monotonost je i potreban uslov za postojanje inverzne funkcije. Preciznije, dokazuje se da vrijedi sljedeći stav. Stav Neka je f : [a, b] K ( [a, b] R, K R) neprekidna i injektivna funkcija. Tada je f strogo monotona na [a, b]. Sljedeća teorema daje dovoljne uslove pod kojima je inverzna funkcija neprekidna, odnosno vrijedi sljedeća teorema o neprekidnosti funkcije inverzne neprekidnoj strogo monotonoj funkciji, definiranoj na datom segmentu. Teorema Neka je f : [a, b] K ( [a, b] R, K R) neprekidna i strogo monotona funkcija i K : = f ([a, b]). Tada je K segment sa krajevima f (a) i f (b), postoji inverzna funkcija f : K [a, b] koja je neprekidna na K i takođe strogo monotona (rastuća ako je f rastuća, odnosno opadajuća ako je f opadajuća).

11 44 Dokaz: Činjenica da je K segment sa krajevima f (a) i f (b) slijedi iz teoreme 4.4., a egzistencija inverzne funkcije f : K [a, b] i njeno svojstvo stroge monotonosti slijedi iz stava Odatle i iz činjenice da je f ( K ) = [a, b] segment, na osnovu teoreme 4.4., zaključujemo da je funkcija f neprekidna na K. Time je dokaz teoreme završen. Primjer Funkcija f : (0, π ) R, data sa f () = ctg, neprekidna je i strogo monotona (opadajuća). Njena inverzna funkcija arc ctg : R (0, π ) je, prema stavu 4.4.3, definirana i strogo monotona (opadajuća). Dokažimo da je funkcija f neprekidna u proizvoljnoj tački 0 R. Neka je 0 : = arc ctg 0 i δ dovoljno mali pozitivan broj takav da je [ 0 δ, 0 + δ ] (0, π ), te neka je ε : = ctg ( 0 δ ), ε : = ctg ( 0 + δ ). Tada f preslikava segment [ε, ε ] koji sadrži tačku 0, f je strogo rastuća i neprekidna, pa je i inverzna funkcija f : = arc ctg neprekidna na [ε, ε ], pa i u tački Elementarne funkcije i njihova neprekidnost U prethodnom poglavlju smo definirali klasu B osnovnih (baznih) funkcija kao skup funkcija koji čine: konstanta ( f () : = c), jedinična (identička) funkcija, eksponencijalan funkcija, logaritamska funkcija, stepena funkcija, trigonometrijske funkcije sin, cos, tg i ctg i inverzne trigonometrijske funkcije arc sin, arc cos, arc tg i arc ctg. Pomoću ove klase B definira se šira klasa funkcija E. Definicija Elementarne realne funkcije jedne realne promjenljive su sve one funkcije koje čine najmanju klasu E realnih funkcija jedne realne promjenljive sa sljedećim svojstvima : ( i ) Ako je f iz B, tj. ako je f osnovna elementarna funkcija, onda je f iz E. f ( ii ) Ako su f, g iz E, onda su i f ± g, f g, iz E, pri čemu su te funkcije definirane na g zajedničkom dijelu domena funkcija f i g, s tim da se za funkciju g f isključuju tačke za koje je g() = 0. ( iii ) Ako su f : A B, g : C D dvije funkcije takve da je Im ( f ) C i f, g iz E, onda je i funkcija g f : A D iz E. U ovoj definiciji smatra se da je domen svake elementarne funkcije najširi (najveći u smislu inkluzije) podskup skupa R na kome je ona definirana, odnosno koji dopušta njen analitički izraz. Primijetimo da se elementarne funkcije mogu definirati kao one funkcije koje se iz osnovnih elementarnih funkcija mogu dobiti konačnom primjenom algebarskih operacija +,,, : i operacije kompozicije (slaganja) funkcija. Primjer Funkcija f definirana izrazom f () = cos (e arc sin (ln ) ) je elementarna funkcija, jer se dobije kao kompozicija osnovnih elementarnih funkcija: logaritamske funkcije ln, inverzne trigonometrijske funkcije arc sin, eksponencijalne funkcije i trigonometrijske funkcije cos. Međutim, Dirichletova funkcija χ nije elementarna, a ni funkcije sgn, nisu elementarne. Primijetimo da je dovoljno u klasu B osnovnih elementarnih funkcija uključiti samo jednu od trigonometrijskih funkcija i samo jednu od inverznih trigonometrijskih funkcija. Npr., dovoljno je za osnovnu trigonometrijsku funkciju uzeti funkciju f () : = cos, a njenu inverznu funkciju f () = arc cos kao osnovnu inverznu trigonometrijsku funkciju, te ostale trigonometrijske i π inverzne trigonometrijske funkcije dobiti kao elementarne funkcije. Tada je, npr., sin = cos ( )

12 (tj. sin je kompozicija funkcija cos i π ), 45 π cos( ) sin tg = = (za svaki R za koji cos cos je cos 0, tj. za (k + ) π, (k Z) ). Slično je i sa ostalim trigonometrijskim i ciklometrijskim funkcijama. Pod elementarnim funkcijama u širem smislu podrazumijevamo sve one realne funkcije jedne realne promjenljive koje se od osnovnih elementarnih funkcija, pored algebarskih operacija +,,, : i operacije kompozicije funkcija, dobijaju i restrikcijom domena ili su dio po dio jednake tako dobijenim funkcijama. Pri tome za funkciju f definiranu na skupu D : = D D D n, gdje su D, D,..., D n dati intervali u R a n N, sa f () = g i () za D i ( i =,..., n ), kažemo da je dio po dio jednaka funkcijama g,..., g n. Primjer Funkcija f definirana sa e, f ( ) = sin, < 0, nije elementarna (u smislu definicije 4.4.), ali jeste elementarna u širem smislu, jer je dio po dio jednaka funkcijama koje se od elementarnih mogu dobiti restrikcijom domena. Ubuduće ćemo pod elementarnim funkcijama ipak, ako nije drugačije rečeno, podrazumijevati samo elementarne funkcije u smislu definicije (tj. elementarne funkcije u užem smislu). Važno zajedničko svojstvo svih elementarnih funkcija (u užem smislu) dato je sljedećom teoremom. Teorema Svaka elementarna funkcija je neprekidna (tj. elementarna funkcija je neprekidna gdje je i definirana). Dokaz: Za osnovne elementarne funkcije neprekidnost je dokazana u prethodnim primjerima ovog poglavlja ili neposredno slijedi iz odgovarajućih svojstava tih funkcija. Zato zaključak ove teoreme slijedi iz pravila o aritmetičkim operacijama sa neprekidnim funkcijama i pravila o neprekidnosti složene funkcije. Primjer Funkcija f definirana sa sin, f ( ) = cos, 0 < 0, ima prekid prve vrste (neotklonjiv) u tački = 0, jer je f (0 ) = 0 = f (0+), a u svim ostalim tačkama R funkcija f je neprekidna jer je dio po dio jednaka funkcijama dobijenim restrikcijama domena osnovnih elementarnih funkcija sin i cos, a što se lako provjeri i neposredno po definiciji neprekidnosti (a i očito je). Elementarne funkcije se klasificiraju na sljedeći način: ) Funkcije koje se mogu obrazovati iz funkcija f () : = i g(): = const konačnom primjenom operacija + i nazivaju se polinomima ili cijelim racionalnim funkcijama. Opšti oblik polinoma je dat sa a P () = a 0 n + a n + + a n, gdje su a 0, a,..., a n proizvoljni realni brojevi (koji ne zavise od ), i n prirodni broj ili nula; brojevi a 0, a,..., a n zovu se koeficijenti polinoma P. Domen polinoma je interval (, + ). Ako je a 0 0 polinom P je n tog stepena, a a 0 je vodeći ili najstariji koeficijent od P. Ako je a 0 = za polinom P kažemo da je normiran. Ako je a 0 = a = = a n = 0, P se zove 0

13 46 nul(a) polinom i označava sa P = 0. Nula polinom je jedini polinom za koji stepen nije definiran / određen. ) Funkcija koja može biti obrazovana iz funkcija f () : = i g(): = const konačnom primjenom operacija +, i : naziva se racionalnom funkcijom. P( ) Svaka racionalna funkcija R () može se smatrati količnikom dva polinoma, tj. R () =, gdje Q( ) je P () = a 0 n + a n + + a n, Q () = b 0 m + b m + + b m. Domen racionalne funkcije je skup svih R koji nisu nule (korijeni) funkcije Q (), tj. za koje je Q () 0. 3) Funkcije koje mogu biti dobijene iz funkcija f () = i g() = const = konačnom primjenom operacija +,, : i operacije izvlačenja korijena nazivaju se algebarskim funkcijama (pri čemu se kod parnih korijena bira njegova aritmetička vrijednost). Algebarske funkcije koje nisu racionalne nazivaju se iracionalnim. 4) Sve ostale elementarne funkcije nazivaju se elementarnim transcendentnim funkcijama. Sve elementarne funkcije se dijele i na dvije klase: racionalne i iracionalne funkcije, dok se sve racionalne dijele na cijele i razlomljene racionalne funkcije, a iracionalne na iracionalne algebarske funkcije i transcendentne funkcije. Primjer Iracionalne algebarske funkcije su f () : =, g () : = + 0, h () : = =, dok je funkcija F () : = ( + 6) = + 6 racionalna (polinom) iako je data iracionalnim izrazom. Primjer Svaka od funkcija f () : = α (α je iracionalni broj), sin, cos, log, arc tg,, e je trancendentna Kompleksne funkcije. Osnovne elementarne kompleksne funkcije. Realne i kompleksne hiperboličke funkcije i inverzne hiperboličke funkcije U ovom kursu nećemo detaljno proučavati kompleksne funkcije koje imaju niz zanimljivih i korisnih svojstava, jer je to predmet dijela matematike koji se zove Kompleksna analiza, a koja se proučava (u određenoj mjeri) u narednim kursevima iz matematike. No, upoznavanje sa kompleksnim funkcijama i njihovim elementarnim svojstvima omogućava da se bolje sagledaju neka svojstva realnih funkcija, a posebno veze između raznih realnih funkcija koje se ne vide u realnom domenu. Definicija Svako preslikavanje f : D K, gdje je D C i K C, a (C, +, ) polje kompleksnih brojeva, zove se kompleksna funkcija kompleksne promjenljive. Ako je pak D R i K C, onda za f : D K kažemo da je kompleksna funkcija realne promjenljive. Polazeći od EULERove formule e i = cos + i sin (, R, i imaginarna jedinica), može se definirati eksponencijalna funkcija u kompleksnom domenu pomoću relacija e z = e + i = e (cos + i sin ), ( z = + i C ). Na realnoj osi, tj. za = 0, kompleksna funkcija a e z se svodi na realnu eksponencijalnu funkciju a e ( R ). Trigonometrijske funkcije, a sin z i a cos z definiraju se jednakostima iz iz e e sin z =, i iz iz e + e cos z =.

14 47 Pomoću eksponencijalnih funkcija e i e mogu se definirati i tzv. hiperboličke (ili hiperbolne) funkcije: sinus hiperbolički, kosinus, tangens, cotangens, sekans i cosekans hiperbolički; što se čini redom na sljedeći način: e e e + e sh e e sh : =, ch : =, th : = = ( R ), ch e + e cth : ch = sh e = e + e e, ( R\{0}), s ech : =, ch cos ech : =, ( R\{0}). sh Neposredno iz definicije hiperboličkih funkcija lako se dobiju identiteti : ch sh =, sh ( + ) = sh ch + ch sh, ch ( + ) = ch ch + sh sh, a lako se dobiju i ostali analogoni identiteta trigonometrijskih funkcija. Grafici hiperbolnih funkcija lako se dobiju iz grafika eksponencijalnih funkcija a e i a e ( R ) (v. sl i 4.6.) i vidi se da po obliku ne liče na grafike odgovarajućih trigonometrijskih funkcija (iako su formule analogne). ch sh 0 Sl cth th 0 cth Sl Kako je iz = i ( + i) = i, iz prethodnih definicija dobije se oblik kompleksnih funkcija sin z i cos z sa razdvojenim realnim i imaginarnim dijelom: sin z = sin ch + i cos sh, cos z = cos ch i sin sh. Osnovni trigonometrijski identitet sin z + cos z = i sve adicione formule za realne funkcije a sin i a cos ( R) važe u neizmijenjenom obliku i u kompleksnom domenu. No, funkcije π z a sin z i z a cos z nisu ograničene u kompleksnoj ravni, jer ako je, npr., z = + i ln (n), gdje je n proizvoljno veliki prirodni broj, onda je sin z = n + > n. Hiperboličke funkcije z a sh z, z a ch z (z C) definiraju se na isti način kao i u realnom domenu, tj. z z e e sh z : =, 4n z z e + e ch z : =. Odavde se dobije da je ch z = cos iz, sh z = i sin iz, što objašnjava sličnost između trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija.

15 48 Logaritamska funkcija može se definirati polazeći od EULERove formule z = r e iϕ, kao log z : = log r + i ϕ. Međutim, ako je z = r e iϕ, onda je i z = r e i (ϕ + kπ ) za svaki k Z, pa se pojavljuje problem zbog neodređenosti argumenta. U kompleksnoj analizi se definira višeznačna funkcija Log z : = log r + i (ϕ + kπ), k Z, a njena glavna vrijednost (glavna vrijednost logaritma) se definira sa log z : = log r + i ϕ, z = r e iϕ, ϕ ( π, π ], gdje je log r logaritam u realnom domenu. 3π i No, glavna vrijednost logaritma nema neka prirodna svojstva logaritma. Npr., ako je z = 6 e 4 i π i 3π π z = 0 e, onda je log z = log 6 + i, log z = log 0 + i, ali je log (z z ) = 4 5π i 4 = log (60 3π i 4 e ) = log (60 e 3π ) = log 60 i log z + log z. 4 Pomoću glavne vrijednosti logaritma i eksponencijalne funkcije, može se definirati i glavna vrijednost stepene funkcije sa proizvoljnim eksponentom: z α = e α log z, (α, z C). Funkcija a sh ( R) je strogo rastuća, pa ima inverznu funkciju, koja se zove area sinus hiperbolički i obično se označava sa Arsh ili arsh, a definirana je relacijom = arsh = sh ( R, R). Jednačina = sh = e e može se riješiti po. Naime, smjenom e = t ( > 0 ) dobije se da je = t, odakle je t t = 0, tj. t = + +, (jer t = + ne zadovoljava uslov t t > 0). Otuda je = arsh = ln ( + + ). Funkcija a ch nije monotona na R, ali je strogo monotona na svakom od razmaka (, 0] i [0, + ). Njene restrikcije na te intervale označimo sa ch i ch +. Inverzne funkcije ovih restrikcija označimo redom sa arch i arch +. One su neprekidne, strogo monotone (prva opadajuća, a druga rastuća), definirane na [, + ). Iz jednačine = ch = e + e dobije se arch = ln ( ), ( ), arch + = ln ( + ), ( ), ili kratko, kao (dvoznačna inverzna funkcija Arch ili arch ) arch = ln ( ± ), ( ). Funkcija th, kao strogo monotona, ima inverznu funkcijui koja se označava sa arth (ili Arth), koja se može izraziti u obliku + arth = ln, ( < ). Funkcija a cth nije strogo monotona na R\{0} ali je bijekcija sa R\{0} na (, ) (, + ) pa ima inverznu funkciju koja se obično označava sa arcth (ili Arcth). Njen analitički izraz se može napisati u obliku + arcth = ln, ( > ). Grafici inverznih hiperboličkih funkcija, koje se još zovu i area funkcije, dobiju se iz grafika

16 hiperboličkih funkcija simetrijom u odnosu na simetralnu prvog i trećeg kvadranta Dekartovog koordinatnog sistema (v. sl i 4.6.3). 49 arsh arch + arth arcth 0 arch arcth Sl Sl Inverzne trigonometrijske funkcije dobiju se u kompleksnom domenu na isti način kao inverzne hiperboličke funkcije u realnom domenu. Tako, npr., w = arc sin z je rješenje jednačine z = sin w = Ako se pri rješavanju ove jednačine uzme glavna vrijednost logaritma, dobije se glavna vrijednost funkcije arkus sinus: e iw e iw arc sin z = ln ( iz + z i. ), (z C). Slično se dobije i glavna vrijednost arkus kosinusa: arc cos z = ln ( z + z ), (z C). i Primijetimo da izvedene formule važe i u realnom domenu (kada je z = R) i tada se svode na realne inverzne trigonometrijske funkcije. Iz ovog kratkog pregleda kompleksnih funkcija vidi se da se sve elementarne funkcije mogu izraziti samo pomoću eksponencijalne i logaritamske funkcije, kako smo naveli i u prethodnom poglavlju. Granična vrijednost (limes) i neprekidnost kompleksne funkcije definira se analogno kao i u slučaju realne funkcije realne promjenljive. Lako se vidi da su funkcije z a z, z a z, z a z, z a Re z, z a Im z neprekidne na C. Zadatak 4.6.*. Data je familija ( f α : α 0) funkcija f α : X Y definiranih formulom { α α, α, f α () : = 4, > α. Ustanovite, za : a) X = Y =R ; b) X = Y =C, koja je od sljedeće četiri izjave tačna: I. Svaka od funkcija f α (α 0) je neprekidna na R. II. Ni jedna od funkcija f α (α 0) nije neprekidna na C. III. Postoje dvije vrijednosti od α (α 0) za koje je f α neprekidna na R. IV. Samo je jedna funkcija f α iz date familije neprekidna na X. * Zadatak sa pismenog ispita iz IM.

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

Skinuto sa

Skinuto sa Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Definicija funkcije

1.1 Definicija funkcije . Definicija funkcije Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematičkoj analizi i centralni objekat svih njenih razmatranja. Definicija Neka je dat skup D R. Ako je svakom x D po nekom zakonu (pravilu)

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo,

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo, Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA Akademska 008-009 godina Sarajevo, 09 0 009 IME I PREZIME STUDENTA

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive.

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj. Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Tijana Šukilović Matematički fakultet, Univerzitet Beograd May 2, 2011, Beograd Sadržaj 1 Racionalne Bézier-ove krive Polinomijalne Bézier-ove krive Algoritam

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nevena Mutlak Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom -master rad- Mentor: prof.dr Marko Nedeljkov Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Postoji veći broj parametara koji karakterišu ponašanje sistema u prelaznom režimu. Ovi parametri pripadaju različitim prostorima u kojima se sistemi

Διαβάστε περισσότερα

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Tijekom ocjenjivanja nacionalnih ispita i ispita državne mature, neovisno o razini, uvidjeli smo neke probleme pri rješavanju zadataka. Ovdje želimo navesti

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

JEDNA NOVA KLASA RELACIJA. Daniel A. Romano 1

JEDNA NOVA KLASA RELACIJA. Daniel A. Romano 1 MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XX (1)(2014), 5-14 Osnove matematike JEDNA NOVA KLASA RELACIJA Daniel A. Romano 1 Sažak: U ovom tekstu, slijedeći koncepte izložene u radovima

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivan Slapničar Marko Matić Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mat1 Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2001. Sadržaj 1 Osnove matematike 3 2 Linearna algebra 4

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 1 Realni i kompleksni brojevi Lekcije iz Matematike 1. 1. Realni i kompleksni brojevi I. Naslov i obja²njenje naslova U lekciji se ponavljaju osnovna svojstva

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje informacionih sistema 39

Projektovanje informacionih sistema 39 Projektovanje informacionih sistema 39 Glava 3 3.0 Osnove relacione algebre - uvod Za manipulisanje podacima i tabelama u relacionim bazama podataka potrebna su osnovna znanja iz relacione algebre. Relaciona

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Lekcije iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama I. Naslov i obja²njenje

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................

Διαβάστε περισσότερα

Milan Merkle. Matematička analiza. Pregled teorije i zadaci. Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje. Beograd, 2001.

Milan Merkle. Matematička analiza. Pregled teorije i zadaci. Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje. Beograd, 2001. Milan Merkle Matematička analiza Pregled teorije i zadaci Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje Beograd, 2001. Sadržaj Obavezno pročitati................................................... xi 1 Uvod u analizu........................................................

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem Dirichletov princip Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem obliku glasi ovako: Dirichletov princip: Ako n + 1 predmet rasporedimo kako

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja

Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja 1. Uvod i motivacija - 1. lekcija Začetci ideje o eliptičkim krivuljama mogu se nazrijeti kod Diofanta (vjerojatno u 3. stoljeću) u postupku rješavanja jednadžba u

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA CILJEVI POGLAVLJA Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da: 1. razumete pojmove slučajna promenljiva, raspored verovatnoća, očekivana vrednost i funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PREDMETNI ISPITNI KATALOG ZA OPĆU MATURU

PREDMETNI ISPITNI KATALOG ZA OPĆU MATURU BOSNA I HERCEGOVINA FEDERACIJA BOSNE I HERCEGOVINE TUZLANSKI KANTON MINISTARSTVO OBRAZOVANJA/NAOBRAZBE, NAUKE/ZNANOSTI, KULTURE I SPORTA/ŠPORTA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA M PREDMETNI ISPITNI KATALOG ZA OPĆU

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija. 1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα