Matematički osnovi Z transformacije

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matematički osnovi Z transformacije"

Ἀρφαξάδ Ζάρκος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno u tovnoj obrdi signl, posebnu primenu i nčj imju u teleomunicijm Z-trnsformcij nčelno je omogućen i birn n tovnim Lurentovim redovim dobro proučenim i rmotrenim u Komplesnoj nlii S jedne strne Z-trnsformcij omogućuje disreticiju ontinulnog signl i vice-vers primenom iste trnsformcije (tj njene inverne) mogućno je disretn signl trnsformisti u nlogni-ontinuln signl Mtemtiči posmtrno Z-trnsformcij se globlno govoreći sstoji od dve trnsformcije i to: ) omogućuje d ontinuln funcij (nlogni signl) trnsformišemo u disretn ni vrednosti (digitln signl); b) omogućuje d disretn ni vrednosti (digitln signl) trnsformišemo u ontinulnu funciju (nlogni signl) Nešto precinije opisno Z-trnsformcij je birn n sledećim preslivnjim: o posmtrmo omplesnu funciju f i rvijemo je u Lurentov red u neoj oblsti td se toj funciji može (pod određenim pretpostvm) pridružiti i to n jedinstven nčin ni njenih Lurentovih oeficijent Formlno posmtrno time reliujemo sledeće preslivnje (*) f( ) ( ) ( =, ±, ±,) Jedinstvenost Lurentovog rvoj omogućuje i vice-vers situciju Ao nm je dt ivestn ni omplesnih bojev ( ) ( =, ±, ±,), td u oblsti onvergencije možemo formirti omplesnu funciju f(), sumu ovog red i time niu omplesnih brojev pridružiti n jedinstven nčin ivesnu ontinulnu funciju Formlno gledno time je reliovno sledeće preslivnje (**) ( ) f( ) ( =, ±, ±,) Relcijm (*) i (**) se idejno i nčelno opisuju Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij Definicij Ne je:

2 (i) dt dvostrni ni x:z C (Z je sup celih brojev), (ii) < R < R i prsten R < < R, (iii) red x() onvergir u tom prstenu NAPOMENA: = ) Definicij dvostrnog ni: Svo preslivnje tip x : Z C se niv dvostrni ni (ovde je Z sup celih brojev C sup omplesnih brojev) b) Uobičjno je d se u mtemtičoj nlii rmtrju niovi tip x : N C gde je N sup prirodnih brojev (dle tli je smo u domenu indes) Td se funcij X:C C, definisn s X() ni x i td pišemo X= Z(x) = x() niv se Z-trnsformcij = Kže se još i dvostrn Z-trnsformcij u rliu d je umesto = (jednostrn) PRIMER: Ne je e,< x() = ( < < b > ) b e, Immo ( ) b X() = e + e = = = b = e + e = = = b ( e ) ( e ) = + = = = dto smo b e e e = + = b b e e e e b b Vži smo e < i e < tj u R = e < < e = R (dle mor biti b e < e e < e b ) Pretpostvimo d je dt funcij X() definisn u ivesnom prstenu R < < R i pretpostvimo d je X= Z(x) od neog dvostrnog ni Postvlj se pitnje d li postoji tv ni (dle d je Z(x) = X ), olio ih im i d li se mogu odrediti Odgovor dje sledeć teorem

3 Teorem Ne je X: C C nlitič u prstenu R < < R Td postoji ni x=x(), Z tv d je X= Z (x) Ovj ni je jedinstven i pri tome immo: X() x() = d ( Z) πi gde je Γ bilo oj prost, tvoren i deo po deo glt + Z Γ ontur oj leži u prstenu R < < R DOKAZ: ( npredne studente) I pretpostve (Lurent-ov stv) = = (*) X() C Dle, pri tome su C( Z) jedinstveni i dti formulom: X() (**) C = d ( Z!) + πi Γ+ Z Z = ν ν= u (*) immo: ν X() = c ν ( R < < R ) p s obirom d X() treb d dovolji ν X() = x( ν ) ( R < < R ) immo X() x( ν ) = c ν = d ( ν Z) i Z ν+ π Γ+ Dle, postoji br jedn x( ν) (ovo je dto s gornje formule, jedinstveno je bog tvih ) i smim tim vži tvrđenje i formul! c ν 3

4 NAPOMENA: Prem teoremi o ostcim i prem prethodnoj teoremi immo x() = Res( X()) ( Z) gde su ν svi polovi funcije X() unutr ν = ν onture Γ Prethodnu teoremu možemo shvtiti o dovoljn uslov d ne funcij X:C C bude sli Z-trnsformcije Potrebno je: Ao X nije nlitič X nije Z-sli PRIMER: Ne je X() = gde je < < b < Ispitti d li postoji X() i ( )( b) o postoji odrediti ni x() (Rviti X() u Lurent-ov red u oolini =!) 3 Z dtu X(), x() se dobij o X() rvijemo u Lurent-ov red u oolini = i Uve je npišemo red u obliu x() = ( X() = = ( )( b) b ( )( b) = b b Zbog < < b < immo: (i) > b b b b b) = = = b b = + = = = = = = b b X() = = b b ν+ ν+ ( ) ν = =ν+ ν= =ν ; =, 3, u> b x() = + + b ; =,,,, b U prstenu < < b ili oblsti < < immo nlogne reultte PRIMER : + Ne je X() = 4+ 3 Nći x() u rnim oblstim C-rvni 4

5 Definicij (Definicij inverne Z-trnsformcije) Ao je omplesn funcij X:C formulom u+ x(u) X() d i Γ+ C nlitič u prstenu < R < < R, td je = π gde je ( ) trnsformcij Z-trnsformcije tj x = Z (X) Γ := r R,R definisn invern Svojstv Z-trnsformcije: Linernost: Z(x(n) +α y(n)) = Z(x(n)) +αz(y(n)) Pomernje rgument: Ao je X()=Z(x(n)) td je Z(x(n + p)) = px() 3 Množenje esponencijlnim niom: Ao je X()=Z(x(n)) td je C ( ) n Z( x(n)) = X 4 Inverij rgument: Ao je X()=Z(x(n)) td je Z(x( n)) = X 5 Konjugovno omplesni disretni signl: Ao je X()=Z(x(n)) td je Z(x(n)) = X() 6 Množenje indesom-diferencirnje slie: Ao je X()=Z(x(n)) td je d Z(nx(n)) = X() d 7 Početn vrednost: Ao je X()=Z(x(n)) (gde je x ulni signl!) td je x() = limx() 8 Krjnj vrednost: Tođe ulnim x i X=Z(x) immo o su svi polovi unutr = td je lim X(n) = lim X() n 9 Proivod orginl: Ne je X = Z(x) i Y = Z(y), td je C x x R<< R y y R<< R dτ Z(x(), y()) = X( τ )Y( ) ( =ϕ() ) gde ontur C pripd prstenu τ τ RR < < RR x y x y 5

6 Prsevl-ov teorem: Ne je X= Z(x) i Y= Z(y), td je = d i C gde je C u x()y() = X()Y( ) π x x mx R, min R y < <, y R R Konvolucij: Ne je X= Z(x) i Y= Z(y), td je Z x()y(n ) = X()Y() = 6

Σχετικά έγγραφα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3