Dru{tvo matemati~ara Srbije. Republi~ki seminar 2011, Novi Sad, Srbija. Pripremawe u~enika osnovnih {kola za takmi~ewa iz matematike

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Dru{tvo matemati~ara Srbije. Republi~ki seminar 2011, Novi Sad, Srbija. Pripremawe u~enika osnovnih {kola za takmi~ewa iz matematike"

Transcript

1 Dru{tvo mtemti~r Srije Repuli~ki seminr 0, Novi Sd, Srij Pripremwe u~enik osnovnih {kol z tkmi~ew iz mtemtike \or e Brli}, Mtemti~ki institut SANU, Beogrd, Srij Zdrvko Cvetkovski, Evropski univerzitet, Skopqe, Mkedonij Izrni sdr`ji iz nejednkosti Elementrne nejednkosti Elementrne nejednkosti su osnov z izu~vwe drugih slo`enijih nejednkosti Zto je izu~vwe nejednkosti njoqe zpo~eti s elementrnim nejednkostim i ~injeniom d je kvdrt relnog roj nenegtivn reln roj Dokzti d z svki pozitivn reln roj x v`i nejednkost x + x Re{ewe Po imo od o~igledne nejednkosti (x ) 0 i doijmo x x + 0 x + x Deqewem ove nejednkosti s x > 0 doijmo tr`enu nejednkost Znk jednkosti v`i ko i smo ko je x = Smenom x =, > 0 doijmo ekvivlentnu nejednkost + Dokzti d z svk pozitivn reln roj, i v`i nejednkost Re{ewe Po imo od o~igledne nejednkosti ( ) +( ) +( ) 0 i doijmo ( + + ) ( + + ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = Dokzti d z svk pozitivn reln roj, i v`e nejednkosti Re{ewe Immo ( + + ) ( + + ) ( + + ) (++) +++(++) + + +(++) = (++) = = ( + + ) ( + + ) = ( + + ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = 4 Nek su,, i d pozitivni relni rojevi tkvi d je d = 4 Dokzti nejednkost d +

2 Re{ewe Immo + = + = Anlogno doijmo nejednkosti +, Sirwem ovih nejednkosti se doij + i d + d d d = 4 4 = Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = d = 5 Dokzti d z pozitivne relne rojeve, i v`i nejednkost ( + + ) Re{ewe Iz zdtk immo nejednkost z sve pozitivne x, y i z nejednkost x + y + z xy + yz + zx Primenom ove nejednkosti njpre z x =, y = i z =, ztim z x =, y = i z = doijmo: = () + () + () ()() + ()() + ()() = ( + + ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = Nejednkosti izme u sredin Nejednkosti izme u sredin se nezoilzne n mtemti~kim tkmi~ewim visokog rng u osnovnoj, ko i sredwoj {koli Zto je z uspe{no u~estovwe u~enik n tkmi~ewim potreno upoznvwe s ovim nejednkostim kroz dodtni rd, jer grdivo redovne nstve ne pokriv ovu temu Iko u~eniim osnovne{kole nije mogu}e dokzti ove nejednkosti u njopstijem oliku (ez ul`ew u neku oziqniju temu ko regresivn indukij ili Jensenov nejednkost), potreno im je rzvijti ose}j z primenu i uo~vwe ovih nejednkosti, ko i situije kd se one ne mogu upotreiti Slede} teorem koju djemo ez dokz opisuje nejednkosti izme u pozntih sredin Teorem Nek su,,, n pozitivni relni rojevi Brojevi K = n n G = n n, H =, A = n, n n se redom nzivju kvdrtn, ritmeti~k, geometrijsk i hrmonijsk sredin rojev,,, n Td v`i nejednkost n K A G H Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = n Nek su x, y i z pozitivni relni rojevi, tkvi d je x + y + z nejednkost (x )(y )(z ) 8 = Dokzti

3 Re{ewe Dt nejednkost je ekvivlentn nejednkosti Primenom nejednkosti A G doijmo ( ) ( ) ( ) x y z 8 x y z xyz, tj ( ) ( ) ( ) 8 x y z xyz x = y + z yz Anlogno doijmo nejednkosti y zx i z zx Mno`ewem ove tri nejednkosti doijmo tr`enu nejednkost Znk jednkosti v`i ko i smo ko je x = y = z = Nek su,, i d pozitivni relni rojevi Dokzti nejednkost d 6 d( + + d + d) Re{ewe Primenom A G nejednkosti doijmo d 6 6 Anlogno doijmo nejednkosti = d d 6 = d d d d 6 6 d, d, d Sirwem ovih nejednkosti doijmo 6( d 6 ) 6 = d 6 d+ d+ d + d = d(++d+d) Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = d Nek su x, y i z pozitivni relni rojevi Dokzti nejednkost x yz + y zx + z xy x + y + z Re{ewe Primenom A G nejednkosti doijmo Anlogno doijmo nejednkosti Sirwem ovih nejednkosti doijmo x yz + y + z x yz y z = x y z + z + x y i zx xy + x + y z x yz + y zx + z + x + y + z x + y + z, xy

4 odkle sledi tr`en nejednkosti Znk jednkosti v`i ko i smo ko je x = y = z 4 Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Dokzti nejednkost Re{ewe Immo + + = = + + = ( + + ) ( = ( + + ) ( + + ) + ( + + ) = = ) + 4( + + ) = ( + + ) ( + + ) + 4 Primenom K A nejednkosti doijmo + + Primenom A H nejednkosti doijmo ( + + ) = = 9 Kori{}ewem ovih nejednkosti doijmo + + = ( + + ) ( + + ) = + 4 = 7 Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = 5 Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je ( + )( + )( + ) = 8 Dokzti nejednkost Re{ewe Immo (++) = + + +(+)(+)(+) = = } + + {{ + } 8 put 9 9 ( + + ) 8 Iskoristili smo A G nejednkost Dqim sre ivwem doijmo ( + + ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = = Prolemi ekstremnih vrednosti = 4

5 Prolemi ekstremnih vrednosti se nlze u progrmim z tkmi~ew u osnovnoj i sredwoj {koli Blisko su povezni s nejednkostim, jer se tr`i d se odredi minimln, odnosno mksimln vrednost nekog izrz ili funkije, ~esto uz dodtni uslov n promenqivim Ovi prolemi vrirju od jednostvnih do jko te{kih Nj{}e je potreno primeniti n prvi n~in neku od pozntih nejednkosti, iskoristiti dti uslov n promenqivim i potom iskoristiti neku pozntu ~iweniu, k kvdrt relnog roj je jednk 0 smo ko je tj roj 0, znk jednkosti u nejednkosti izme u sredin se dosti`e smo ko su rojevi jednki itd Nek je x reln roj Odrediti minimlnu vrednost izrz x + x Prvo re{ewe Nek su x, y [, + ) i x > y Primetimo d je x + x y ( y = (x y) ) xy Zog x, y immo d je xy 9, p su o izrz u zgrdm nenegtivni Odvde sledi dje f(x) = x+ x rstu} funkij n [, + ) p je minimln vrednost funkije z x = jednk f( ) = 0 Drugo re{ewe Primetimo d je n osnovu A G nejednkosti i x x + x = x 9 + x + 8x 9 x 9 x = + 8 = 0 Jsno je d se minimln vrednost dosti`e ko i smo ko je x = Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + Odrediti minimlnu vrednost izrz Re{ewe Iskoristi}emo A G i A H nejednkost, potom uslov zdtk n slede}i n~in > = ( + + ) = 5 Dkle, minimln vrednost izrz je 5 i dosti`e se ko i smo ko je = = = Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Odrediti minimlnu vrednost izrz Re{ewe Iskoristi}emo njpe A G nejednkost n slede}i n~in = Iskoristi}emo sd K G nejednkost =

6 Dkle, i v`i = 4 Minimln vrednost izrz je 4 i dosti`e se ko i smo ko je = = = Ko{i-[vrov nejednkost Ko{i-[vrov nejednkost je jedn od njv`nijih nejednkosti u mtemtii Wene rojne primene ~ine je veom populrnom n tkmi~ewim, p je doro u~enike {to pre upoznti s wom Ovldti ovom nejednko{}u, s svkog tkmi~r predstvq vi{estruku i dugoro~nu doit Teorem Nek su,,, n i,,, n relni rojevi Td v`i nejednkost ( n)( n) ( n n ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko = = = n n Posledi Nek su,,, n i,,, n > 0 relni rojevi Td v`i nejednkost n n ( n ) ( n ) Znk jednkosti v`i ko i smo ko = = = n n Nek su, i pozitivni relni rojevi Dokzti nejednkost Re{ewe Stvimo d je = +, = +, = + i = +, = + i n wih primenimo nejednkost Ko{i-[vr: = (( + ) + ( + ) + ( + )) ( ) ( ( + ) + + ( + ) + + ( + ) +) = ( + + ) = 9 ( ( + + ) ) 9 + ( ) , Ovim je nejednkost dokzn Znk jednkosti v`i ko i smo ko je + = + = +, tj = = Nek su,, > 0 relni rojevi Dokzti nejednkost

7 Re{ewe Primeni}emo nejednkost Ko{i-[vr-Buwkovskog n trojke ( + ), ( + ), ( + ) i +, +, +: ( (( + ) + ( + ) + ( + )) ( + ) + + ( + ) koj posle kvdrirw postje (( + + )) ) ( + ) ( , ) ( + + ) + Iskoristimo sd pozntu nejednkost ( + + ) ( + + ) i doijmo direktno tr`enu nejednkost Znk jednkosti v`i ko i smo ko je = = Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Dokzti nejednkost Re{ewe Primenimo Ko{i-[vrovu nejednkost n slede}i n~in = (++) Iskoristimosdpozntiidentitet + + = (++)( + + ) i izrz u imeniou postje ( + + )( ) = ( + + )( ) = ( + + )( ( + + )) = ( + + ) Zmenom ovog identitet u imenil doijmo tr`enu nejednkost Izrni sdr`ji iz teorije rojev Teorij rojev je svkko jedn od njstrijih i njpopulrnijih mtemti~kih disiplin Nezoilzn je n mtemti~kim tkmi~ewim jo{ od njrnijih uzrst Reltivn privl~nost formulije ovkvih zdtk ~ini ove zdtke izzovnim tkmi~rim N ove zdtke tre ortiti posenu p`wu jer je to jedn od prvih susret s dokzom u mtemtii Deqivost i prosti rojevi U rdu s tlentim tre ortiti p`wu kko elementrn znw kominovn n rzli~ite n~ine dovode do re{ew Mnogi zdi vezni z deqivost i proste rojeve su veom te{ki, li teorijsko znwe koje je potreno z wihovo re{vwe se njlk{e usvj kod ve}ine u~enik Odrediti sve prirodne rojeve i tkve d su + i + eli rojevi Re{ewe Ne gue}i n op{tosti, mo`emo pretpostviti d je Iz uslov + sledi d je + = ( + )( ) tj + Dkle, +, p immo dv slu~j Ako je = td + i, osdnosno + Kko je + = ( )+ sledi d je tj {,,, } Zto {, 0,, } Proverom doijmo d su (, ) i (, ) re{ew zdtk Ako je = + zmenom u drugi izrz doijmo + + Dqe ( + + ) ( ) = 4 +, p je 4 +, kko je neprn roj to + Zto je + i 0 Ako je 4 td je 4 =, p {,, } Proverom nlzimo d z = i = immo re{ew, odnosno (, ) i (, ) su re{ew zdtk 7

8 Sv re{ew su (kd iskqu~imo pretpostvku ) (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) i (, ) Nek su i prirodni rojevi tkvi d je 00 + = 00 + Dokzti d je roj potpun kvdrt Re{ewe Dtu jednkost }emo zpisti u oliku ( )( + 00( + )) = Dovoqno je dokzti d je NZD(, +00(+)) =, odnosno d nijedn delil (osim ) roj ne deli + 00( + ) Zist, nek je p prost delil roj Kko sledi d p, odvde p jer je p prost roj (Pokzti z ve`u p p ko je p prost roj Iz p i p sledi d p Lko sd sledi d p + tj + = pk z neki prirodn roj k i + 00( + ) = + pk Odvde sledi d p + 00( + ) i NZD(, + 00( + )) = Ovim je dokz zvr{en Odrediti sve proste rojeve p i q tkve d su rojevi p+q i p+7q potpuni kvdrti Re{ewe Nek je p + q = i p + 7q =, td je = ( )( + ) = 6q Brojevi i + su iste prnosti, jer je ( + ) + ( ) = prn roj Kko je n desnoj strni prn roj sledi, d je r jedn od wih prn tj o su prn jer su iste prnosti Odvde 4 ( )( + ) = 6q i mor iti q =, jer je q prost roj i 4 6 Dkle, v`i ( )( + ) = Kko je < + i o su prni, sledi d je = i + = 6 Odvde je = i = 4 Lko nlzimo d mor iti p = i p = q = je jedino re{ewe 4 Odrediti sve proste rojeve p tkve d roj p + im t~no {est delil Re{ewe Ako je p = td je p + = 5, p nm to o~igledno ne ispuwv uslove zdtk Ako je p = td je p + = 0, p nm je ovo jedno re{ewe zdtk Nek je p >, td je p = 6k ± z neki prirodn roj k Primetimo d je Ako je p = 6k + td je p + = p + = (p )(p + ) + p + = (k(k + ) + ) Kko je k(k+)+ 5 to sigurno,,, 4, 6,, 6(k(k+)+), p + predstvqju 7 rzli~itih delil roj p +, p prosti rojevi ovog olik nisu re{ewe zdtk Anlogno z p = 6k pokzujemo d nisu re{ew zdtk Dkle, p = je jedinstveno re{ewe zdtk 5 Odrediti sve prirodne rojeve n koje imju t~no {est delil ~iji je zir 500 Re{ewe Ako n im t~no {est delil, ond je on olik p 5 ili p q z neke proste rojeve p i q Ako je n = p 5 td je + p + p + p + p 4 + p 5 = 500, odvde p( + p + p + p + p 4 ) = 499 8

9 Kko,, 5, 7 i ne dele 499 to je p, li je td sum n levoj strni ve} od 499 i u ovom slu~ju nem re{ew Ako je n = p q td je + p + p + q + pq + p q = 500, odvde ( + p + p )( + q) = 500 = 5 7 Broj + p + p = + p(p + ) je o~igledno neprn Direktno provervmo rzmtrju}i p = 5k, p = 5k ± i p = 5k ± d je + p + p roj koji nije deqiv s 5, tj + p + p = 7 Dkle, p = {to povl~i q = 499 Ovo je i jedino re{ewe, {to utvr ujemo proverom Kongruenije i Ojlerov teorem Kongruenije i rd s kongruenijm su deo stndrdnih progrm z tkmi~ew Svkko d u rdu s tlentim ovoj temi tre posvetiti punu p`wu Ojlerov teorem tj Ml Fermov teorem su od pre nekoliko godin stlno me u predlozim z juniorske olimpijde, p svkko d u pripremm z ov tkmi~ew tre ortiti ovu teoremu Dokzti d roj S = nije potpun kvdrt Re{ewe Immo: Ako je n = 6k + td je n n (mod ) Ako je n = 6k + td je n n (mod ) Ako je n = 6k + td je n n 0 (mod ) Ako je n = 6k + 4 td je n n (mod ) Ako je n = 6k + 5 td je n n (mod ) Ako je n = 6k + 6 td je n n 0 (mod ) Zto je (6k + ) 6k+ + (6k + ) 6k+ + (6k + ) 6k+ + (6k + 4) 6k+4 + (6k + 5) 6k+5 + (6k + 6) 6k (mod ) Odvde sledi S (mod ) Kko kvdrt prirodnog roj ne mo`e d dje osttk pri deqewu s, tvr ewe je dokzno Odrediti posledwe dve ifre roj 9 99 Re{ewe Potreno je odrediti osttk pri deqewu s 00 roj 9 99 Immo d je ϕ(00) = 00 ( ) ( 5) = 40, kko je NZD(9, 00) =, primenom Ojlerove teoreme doijmo 9 40 = 9 ϕ(00) (mod 00) Dqe je 9 9 = (mod 40) i 9 9 = 40k + 9 Odvde je 9 99 = 9 40k+9 = 9 40k (mod 00) Nek je p > 5 prost roj Dokzti d je p 8 (mod 40) Re{ewe Immo d je 40 = 4 5 Kko je p > 5 to je p uzjmno prosto s, 5 i 6 p primenom Ojlerove teoreme doijmo p (mod ), p 4 (mod 5)ip 8 (mod 6) Odvde je p 8 (mod ) i p 8 (mod 5) Dkle, 5 6 p 8 Sd tvr ewe zdtk direktno sledi 9

10 4 Re{iti u skupu elih rojev jedn~inu x + y + z = 00 Re{ewe Lko se proverv d eo roj mo`e dvti osttke 0, ili 8 pri deqewu s 9 Ȯdvde sledi d su mogu}i osti pri deqewu s 9 roj x + y + z ; 0,,,, 6, 7, i 8 Kko je 00 5 (mod 9) dt jedn~in nem re{ew u skupu elih rojev 5 Odrediti sve trojke prirodnih rojev x, y i z tkve d je x + 4 y = 5 z Re{ewe Posmtrju}i dtu jedn~inu (mod 4) doijmo, x 5 z (mod 4), odkle sledi d je x = x z neki prirodn vroj x Posmtrju}i dtu jedn~inu (mod ) doijmo, 5 z 4 y (mod ), odkle sledi d je z = z z neki prirodn roj z Uvrstimo to i zpi{imo jedn~inu u oliku 4 y = (5 z + x )(5 z x ) Primetimo d su 5 z + x i 5 z x prni rojevi, i ko je d = NZD(5 z + x, 5 z x ) to d (5 z + x ) (5 z x ) = x i d =, jer 5 z x i 5 z + x Odvde je 5 z x = i 5 z + x = y Dqe je x = y = ( y )( y + )> Lko dokzujemo d je NZD( y, y + ) = i odvde je y = Sd jednostvno nlzimo d je y =, x = i z = Ovo je jedinstveno re{ewe Izrni sdr`ji iz geometrije Geometrij je po mnogim njlep{i deo mtemtike Rzvij mnoge ve{tine kod u~enik, li ~esto mnogi imju prolem s dokzim u geometriji Rznovr-snost i nestndrdnost idej ~ine zdtke iz geometrije stlno ktuelnim n tkmi~ewim iz mtemtike Uz dekvtn rd s ovim zdim mo`emo rzviti ose}j z geometriju Lepot geometrijskih tvr ew i wihovo otkrivwe su izzovi i inspirij i z njoqe mtemti~re (Teorem o simetrli ugl) Nek je M t~k n strnii BC trougl ABC Dokzti d je AM simetrl unutr{weg ugl A ko i smo ko je BM : CM = AB : CA Re{ewe Nek je M t~k u kojoj simetrl ugl A se~e BC Nek je h visin ABC iz temen A Immo d je BM CM h BM = CM h = P BMA P CMA 0

11 Nek su D, D podno`j norml iz M n AB i BC Immo d je BM CM = P MD BMA AB = P CMA CA MD = AB CA, jer je AMD = AMD (ugostrni-ugo) i MD = MD Ostje d pok`emo ornuti deo tvr ew Nek su D, D podno`j norml iz M n AB i BC Immo d je n osnovu prethodnog del BM CM = P BMA P CMA = AB MD CA MD = AB CA, odkle je MD = MD, ovo povl~i AMD = AMD i BAM = CAM = α (^evijev teorem) Nek su P, Q i R t~ke prvih odre enih ivim BC, CA, AB trougl ABC Prve AP, BQ i CR seku se u jednoj t~ki ko i smo ko je: BP P C CQ QA AR RB = Re{ewe Nek su h i h du`ine norml iz A i M n BC Immo d je P CAM = P CAP P CMP = CP (h h ) P ABM = P BCP P BMP = BP (h h ) Lko se nlzi d je Anlogno, CQ = P BCM QA P ABM P CAM = P ABM, AR = P CAM BR BP P C CQ QA BP (h h ) BR (h h ) = BP CP = BP P C P BCM Mno`e}i ove tri jednkosti doijmo AR RB = P ABM P BCM P CAM = P CAM P ABM P BCM Ostje d pok`emo deo smo ko Nek su t~ke P, Q i R n strnim BC, CA i AB tkve d je BP CQ AR = Nek se prve BQ i CR seku u jednoj t~ki M i nek prv P C QA RB AM se~e strniu BC u t~ki P

12 Td su t~ke P, Q i R n strnim BC, CA i AB tkve d se prve AP, BQ i CR seku u jednoj t~ki M, p je prem gore dokznom delu BP P C CQ QA AR RB = Iz ove dve jednkosti doijmo BP BP, odkle je P P (ne postoje dve t~ke koje dele P C du` u istom odnosu) Nek su P, Q i R t~ke n strnim BC, CA i AB trougl ABC, respektivno Prve AP, BQ i CR seku se u M Dokzti d je P C = MP AP + MQ BQ + MR CR = Re{ewe Nek su h, h du`ine norml iz A i M n BC Immo d je AA P MM P (svi uglovi jednki) i otud MP AP Sd immo d je MP AP = h h = = h h BC h BC h = P BMC P ABC Anlogno, MQ BQ = P CMA P ABC i MR CR = P ARB P ABC Sirju}i ove tri jednkosti doijmo MP AP + MQ BQ + MR CR = P BMC + P CMA + P AMB P ABC = P ABC P ABC = 4 Nek su P, Q i R t~ke n strnim BC, CA i AB trougl ABC, respektivno Prve AP, BQ i CR seku se u M Nek je AP njmw od du`i AP, BQ i CR Dokzti d je AP MP + MQ + MR Re{ewe Immo d je po uslovu zdtk AP BQ i AP CR Kominuju}i to s prethodnim zdtkom doijmo Odvde je = MP AP + MQ BQ + MR CR MP AP + MQ AP + MR AP MP + MQ + MR AP

13 Ovim je tvr ewe zdtk dokzno 5(Meneljev teorem) Nek su P, Q i R t~ke prvih odre enih ivim BC, CA i AB trougl ABC T~ke P, Q i R su kolinerne ko i smo ko je: BP P C CQ QA AR RB = Re{ewe Nek t~ke P, Q i R le`e n prvoj p Nek su A, B, C podno`j norml iz A, B i C n p Immo d je BRB ARA i Anlogno je CC AA = CQ i BB QA CC AR RB = AR BR = AA BB = BP P C Mno`e}i ove tri jednkosti doijmo BP P C CQ QA AR RB = ( BB CC ) CC AA AA BB = Deo smo ko se dokzuje tko {to uo~imo t~ku P u kojoj prv QR se~e BC i postupimo nlogno dokzu z zdtk 6(Pposov teorem) Nek su A, B, C i A, B, C trojke kolinernih t~k u rvni koje nisu sve n istoj prvoj Prve AB i BA seku se u P, BC i CB u Q, CA i AC u R Dokzti d su t~ke P, Q, i R kolinerne Re{ewe Nek je M prese~n t~k prvih AC i BA, N prese~n t~k prvih AC i CB i L prese~n t~k prvih CB i BA Primeni}emo Meneljevu teoremu n trougo LMN Z t~ke C, R i A doijmo MR RN NC CL LA A M = () Z t~ke P, A i B koje tko e le`e n jednoj prvoj doijmo LP P M MA AN NB B L Z prvu koj sdr`i t~ke Q, B i C doijmo NQ QL LB BM MC C N Z prvu koj sdr`i t~ke A, B i C doijmo = () = () NC CL LB BM MA = (4) AN Z prvu koj sdr`i t~ke A, B i C doijmo LA A M MC C N NB B L = (5)

14 Pomno`imo sd relije (), () i () i doijmo odnosno MR RN NC CL LA A M LP P M MA AN NB B L NQ QL LB BM MC C N =, LP P M MR RN NQ QL NC CL LB BM MA AN LA A M MC C N NB B L = Sd iskoristimo relije (4) i (5) i doijmo LP P M MR RN NQ QL = Odvde n osnovu Meneljeve teoreme primewene n trougo LMN i t~ke P, Q i R sledi d su t~ke P, Q i R kolinerne Izrni sdr`ji iz komintorike Komintorik je jedn od njizzovnijih i stlno ktuelnih olsti mtemtike Rzvijju}i komintorni n~in rzmi{qw kod u~enik rzvijmo ne smo wihovu kretivnost, ve} i sposonost d pstrktno misle i r`e usvjju nove sdr`je Iko poso pripremw z ove zdtke predstvq njdu`i i njte`i deo ovog posl, potreno je stlno izlgti u~enike ovim zdim Odredi roj re{ew u skupu nenegtivnih elih rojev jedn~ine x + x + + x k = n Re{ewe Nek immo n + k kvdrti} u vrsti, wih k ojimo u rveno Prerojimo od leve n desno ele kvdrti}e koje se nlze izme u rvenog i slede}eg rvenog kvdrti} Zir ovih k rojev je n+k (k ) = n i svko ojewe is~itv jedno re{ewe jedn~ine k- n+k+ Ornuto, jedno re{ewe jedn~ine zdje lgoritm z ojewe Prvih x kvdrti} ostvimo ele, p slede}i oojimo, p nrednih x ne ojimo, p slede}i oojimo itd Ovim smo uspostvili ijekiju izme u roj re{ew jedn~ine i roj ojew koji je ( n + k k ) 4

15 Odredi roj re{ew u skupu prirodnih rojev jedn~ine x + x + + x k = n Re{ewe Primetimo d ko svkom re{ewu jedvine oduzmemo, doijmo re{ewe jedn~ine y + y + + y k = n k Ornuto je o~igledno t~no, p je tr`eni roj re{ew po prethodnoj formuli ( ) (n k) + k = k ( n k Iz kutije koj sdr`i 0 rzli~itih kugli vr{i se izor 4 kuglie Odrediti roj rzli~itih izor: ) ko je redosled izvu~enih kugli itn i izor se vr{i s vr}wem; ) ko je redosled izvu~enih kugli neitn i izor se vr{i s vr}wem; v) ko je redosled izvu~enih kugli itn i izor se vr{i ez vr}w; g) ko je redosled izvu~enih kugli neitn i izor se vr{i ez vr}w Re{ewe ) 0 4 ) x + x + x + + x 9 + x 0 = 4 ( ) = 0 ( ) 9 v) g) ( ) Tl dimenzij 9 7 poplo~n je figurm dv tip ko n slii Nek je n roj figuri tip kvdrt koji u~estvuju u polo~vwu Odrediti mogu}e vrednosti roj n Re{ewe Ozn~imo s m roj figuri tip ugo Jsno je d je ukupn roj poq n tli 4n + m = 6 Odvde je jsno d je n deqivo s Oojimo 0 poq tle ko n slii Primetimo d figur tip ugo pokriv njvi{e jedno oojeno poqe, figur tip kvdrt t~no jedno oojeno poqe Zto je n + m 0, odnosno n + m 60 Odvde je zog n + 4m = 6, n ) Dkle, n = ili n = 0 su jedine mogu}nosti {to i dokzuju primeri poplo~vw n slikm 5

16 Zdi z smostlni rd Nejednkosti Nek su, i relni rojevi tkvi d je + + Dokzti nejednkost + + Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Dokzti nejednkost Nek su x i y pozitivni relni rojevi ~iji je zir x+y = Dokzti nejednkost x y (x + y ) 4 Nek su, i pozitivni relni rojevi tkvi d je + + = Odrediti mksimlnu vrednost izrz A = Nek su, i pozitivni relni rojevi koji zdovoqvju Dokzti d je Nek su, i pozitivni relni rojevi Odrediti njmwu mogu}u vrednost izrz Teorij rojev Odrediti sve prirodne rojeve k z koje postoji prirodn roj n, tkv d su n + i (n + ) + deqivi s k Odrediti sve proste rojeve i tkve d je roj tko e prost roj Dokzti d jedn~in x + y = 4(x y + xy + ) nem re{ew u skupu elih rojev 4 Odrediti sve proste rojeve p tkve d p p + 5 Nek je p = 4k + prost roj Dokzti d ko p + ond p i p 6 Odrediti sve prirodne rojeve n, tkve d je n + n + 7 potpun ku Geometrij Dokzti d se simetrle unutr{wih uglov trougl seku u jednoj t~ki ( Iskoristiti teoremu o simetrli ugl ) Dokzti d se simetrl jednog spoq{weg ugl i simetrle preostl dv unutr{w ugl seku u jednoj tvki ( Iskoristiti teoremu o simetrli ugl ) 6

17 Nek su A,B i C podno`j visin redom iz temen trouglov A,B, C trougl ABC Dokzti d se prve AA, BB, CC seku u jednoj t~ki, ortoentru trougl ( Dokzti d je ABC AC B ) 4 Nek su k, k, k spoq upisni krugovi trougl koji odgovrju temenim A, B, C redom trougl ABC Krugovi k, k, k dodiruju strnie BC, CA, AB redom u t~km P, Q, R Dokzti d se prve AP, BQ, CR seku u jednoj t~ki, Ngelovoj t~ki trougl ( Iskoristiti jednkost tngentnih du`i iz iste t~ke ) 5 Tngent n opisni krug trougl ABC u temenu A se~e prvu BC u t~ki A T~ke B i C defini{u se nlogno Dokzti d su t~ke A, B, C kolinerne 6 Tngent n opisni krug trougl ABC u temenu A se~e prvu BC u t~ki A, t~k A je sredi{te du`i A A T~ke B i C defini{u se nlogno Dokzti d su t~ke A, B, C kolinerne i d je prv koj ih sdr`i normln n Ojlerovu prvu trougl ( Iskoristiti poteniju n opisni i n Ojlerov krug trougl ) Komintorik Dokzti d postoji roj koji se zpisuje smo pomo}u jedini, koji je deqiv s 0 Dokzti d se u krug polupre~nik r = 9 ne mo`e smestiti 400 t~k tko d svke dve od wih udu n rstojwu ve}em od Iz skup {,,, n} izrno je n + rojev Dokzti d me u wim mogu n}i tkv d: ) jedn deli drugog; ) su uzjmno prosti; v) wihov zir je n ili je izrn roj n 4 Koliko im permutij rojev 0,,,, 9 kod kojih: ) rojevi 0 i susedni; ) rojevi 0 i susedni i 0 je ispred ; v) roj 0 se nlzi ispred (ne ovezno ispred); g) rojevi 0 i nisu susedni? 5 Tl dimenzij 0 0 poplo~n je s dominm U svku vertiklnu dominu upisn je roj vrste u kojoj se nlzi, u svku horizontlnu roj kolone u kojoj se nlzi (Vrste i kolone su numerisne rojevim od do 0) Dokzti d je zir svih npisnih rojev deqiv s 6 D li se tl dimenzij 0 0 poplo~ti plo~in dimenzij 4? 7

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci 3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

x ax by c y a x b y c

x ax by c y a x b y c Γεωμετρία Affine - Εφαρμογές Δόρτσιος Κων/νος, Μαθηματικός mail:kdortsi@sch.gr Τσίντσιφας Γεώργιος, Μαθηματικός mail :gtsintsifas@yahoo.com Εισαγωγή Η Γραμμική Γεωμετρία περιέχει τρία είδη Μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!

!! #!!!$ #$! %!&' & (%!' #!% # *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2! # $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Neodre deni integral

1.1 Neodre deni integral . Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn

Διαβάστε περισσότερα

n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna

n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna Aproksmrnje podtk Aproksmrnje podtk krvuljom Aproksmrnje podtk krvuljom (engl. curve ttng), nzv se još regresjsk nlz (engl. regresson nlss), je postupk uklpnj unkcje u skup točk koje predstvljju određene

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA STVAAJE VEZE C-C PM]U GAAA 2 6 rojne i raznovrsne reakcije * idroborovanje alkena i reakcije alkil-borana 3, Et 2 (ili TF ili diglim) Ar δ δ 2 2 3 * cis-adicija "suprotno" Markovnikov-ljevom pravilu *

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Άλγεβρα Β Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: Γ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Άλγεβρα Β Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: Γ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Άλγεβρα Β Λυκείου Επιμέλεια: Γ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. y y 4 y

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"

! #  $ %& ' %$(%& % &'(!!)!*!&+ ,! %$( - .$'! ! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Vn 1: NHC LI MT S KIN TH C LP 10

Vn 1: NHC LI MT S KIN TH C LP 10 Vn : NHC LI MT S KIN TH C LP 0 Mc ích ca vn này là nhc li mt s kin thc ã hc lp 0, nhng có liên quan trc tip n vn s hc trng lp. Vì thi gian không nhiu (khng tit) nên chúng ta s không nhc li lý thuyt mà

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 12ο. O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του

Μάθημα 12ο. O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του Μάθημα 12ο O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του Γενική και Ανόργανη Χημεία 201-17 2 Η χημεία ΠΠΠ (= προ περιοδικού πίνακα) μαύρο χάλι από αταξία της πληροφορίας!!! Καμμία οργάνωση των στοιχείων.

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Τριφασικοί ηλεκτροκινητήρες DR/DV/DT/DTE/DVE, Ασύγχρονοι Σερβοκινητήρες CT/CV

Τριφασικοί ηλεκτροκινητήρες DR/DV/DT/DTE/DVE, Ασύγχρονοι Σερβοκινητήρες CT/CV Ηλεκτροµειωτήρες \ Βιοµηχανικοί µειωτήρες \ Ηλεκτρονικά κινητήριων µηχανισµών \ Αυτοµατισµοί \ Υπηρεσίες Τριφασικοί ηλεκτροκινητήρες DR/DV/DT/DTE/DVE, Ασύγχρονοι Σερβοκινητήρες CT/CV A6.C01 Έκδοση 07/200

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Στις ΗΠΑ διεξάγονται κάθε χρόνο διάφοροι µαθηµατικοί διαγωνισµοί από τους οποίους ο USAMO, που αποτελεί την εθνική µαθηµατική ολυµπιάδα της χώρας, έχε

Στις ΗΠΑ διεξάγονται κάθε χρόνο διάφοροι µαθηµατικοί διαγωνισµοί από τους οποίους ο USAMO, που αποτελεί την εθνική µαθηµατική ολυµπιάδα της χώρας, έχε Στις ΗΠΑ διεξάγονται κάθε χρόνο διάφοροι µαθηµατικοί διαγωνισµοί από τους οποίους ο USAMO, που αποτελεί την εθνική µαθηµατική ολυµπιάδα της χώρας, έχει τα δυσκολότερα θέµατα. Άλλοι διαγωνισµοί µε σειρά

Διαβάστε περισσότερα

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ »»...» -300-0 () -300-03 () -3300 3.. 008 4 54. 4. 5 :.. ;.. «....... :. : 008. 37.. :....... 008.. :. :.... 54. 4. 5 5 6 ... : : 3 V mnu V mn AU 3 m () ; N (); N A 6030 3 ; ( ); V 3. : () 0 () 0 3 ()

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

*+,'-'./%#0,1"/#'2"!"./+3(,'4+*5#( *9.!/%#+7(,'#%*!.2 :;!"#/5".+!"#$() $!"#%"&'#$() 50&(#5"./%#0,1"/#'2"+*5#(35&* &*,'2-<:):0&3%!.2=#(,1,.%!.

*+,'-'./%#0,1/#'2!./+3(,'4+*5#( *9.!/%#+7(,'#%*!.2 :;!#/5.+!#$() $!#%&'#$() 50&(#5./%#0,1/#'2+*5#(35&* &*,'2-<:):0&3%!.2=#(,1,.%!. # #$%&'#$( *+,'-'./%#0,1/#'2./+3(,'4+*5#(355. 678*9./%#+7(,'#%*.2 :; #/5.+#$( *+,'-'./%#0,1/#'2./+3(,'4+*5#(355. 678*9./%#+7(,'#%*.2 #$% $ #%&'#$( 50&(#5./%#0,1/#'2+*5#(35&* &*,'2-

Διαβάστε περισσότερα

Ζήτηση Προσφορά Ελαστικότητα

Ζήτηση Προσφορά Ελαστικότητα Ζήτηση Προσφορά Ελαστικότητα Ασκήσεις Ζήτηση 1 Η ζήτηση των αγαθών Εκφράζει τις ανάγκες και τις επιθυµίες µιας κοινωνίας για ένα αγαθό. Εξαρτάται από: Την τιµή του αγαθού Το εισόδηµα Τις τιµές των συµπληρωµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα.

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα. Cotton leather paper Με υπερηφάνια σας παρουσιάζουμε μια νέα σειρά χειροποίητων προϊόντων το...cotton leather paper. Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet. Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA. Doktorska disertacija

Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet. Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA. Doktorska disertacija Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA Doktorska disertacija Kragujevac 2007 Sadr`aj Predgovor 2 1 Harmonijski grafovi 5 1.1 Definicija

Διαβάστε περισσότερα

Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή. ΣΔΙ Πάηπαρ, Σμήμα Ηλεκηπολογίαρ Καθ. Π. Βλασόποςλορ

Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή. ΣΔΙ Πάηπαρ, Σμήμα Ηλεκηπολογίαρ Καθ. Π. Βλασόποςλορ Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή Καθ. Π. Βλασόποςλορ 1 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ Πύλερ Καθ. Π. Βλασόποςλορ 2 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ Πύλερ Καθ. Π. Βλασόποςλορ 3 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 9ο. Τα πολυηλεκτρονιακά άτομα: Θωράκιση και Διείσδυση Το δραστικό φορτίο του πυρήνα Ο Περιοδικός Πίνακας και ο Νόμος της Περιοδικότητας

Μάθημα 9ο. Τα πολυηλεκτρονιακά άτομα: Θωράκιση και Διείσδυση Το δραστικό φορτίο του πυρήνα Ο Περιοδικός Πίνακας και ο Νόμος της Περιοδικότητας Μάθημα 9ο Τα πολυηλεκτρονιακά άτομα: Θωράκιση και Διείσδυση Το δραστικό φορτίο του πυρήνα Ο Περιοδικός Πίνακας και ο Νόμος της Περιοδικότητας Πολύ-ηλεκτρονιακά άτομα Θωράκιση- διείσδυση μεταβάλλει την

Διαβάστε περισσότερα

NASTAVNI PROGRAM HEMIJA

NASTAVNI PROGRAM HEMIJA SADRŽAJ NASTAVNI PROGRAM... emij... Mtemtik... ZADACI IZ EMIJE... ZADACI IZ MATEMATIKE...9 Sređivnje lgerskih izrz...9 Kvdrtn jednčin...0 Sistemi jednčin...0 Jednčine... Binomn formul... Kvdrtn funkcij...

Διαβάστε περισσότερα

W ISR i = 5 15 ISR i + 4 15 ISR i 1 + 3 15 ISR i 2 + 2 15 ISR i 3 + 1 15 ISR i 4 W ISR W ISR ) E T hreshold = (1 Ẽ Ẽ + IQR (E) Ẽ IQR(E) E T hreshold = 0.99 e 1 N N i=1 (E i) + 0.01 Ẽ h(t) = H(y )(t)

Διαβάστε περισσότερα

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 ΛΥΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή παραµαγνητικά: 38 Sr, 13 Al, 32 Ge. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 Η ηλεκτρονική δοµή του

Διαβάστε περισσότερα

MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA

MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA I II ARISTOTELOV UNIVERZITET U TESALONIKI INSTITUT ZA NOVOGRČKE STUDIJE Fondacija Manolisa Trijandafilidisa Manolis A. Trijandafilidis MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA Preveo i priredio

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικές Οικονοµίες Κλίµακας, Ατελής Ανταγωνισµός και Διεθνές Εµπόριο

Εσωτερικές Οικονοµίες Κλίµακας, Ατελής Ανταγωνισµός και Διεθνές Εµπόριο Εσωτερικές Οικονοµίες Κλίµακας, Ατελής Ανταγωνισµός και Διεθνές Εµπόριο Καθ. Γιώργος Αλογοσκούφης 1 Προσδιορισµός της Ισορροπίας σε Συνθήκες Μονοπωλίου Κόστος C και Τιμή P P M Μονοπωλιακά Κέρδη Απώλεια

Διαβάστε περισσότερα

jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó

jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó L09 cloj=klk=tsvjmosopa jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó 4 16 27 38 49 60 71 82 93 P Éå Ñê ÇÉ áí dbq=ql=hklt=vlro=^mmif^k`b mo pbkq^qflk=ab=slqob=^mm^obfi ibokbk=pfb=feo=dboûq=hbkkbk

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων. Γιώργος Μπαλόγλου

Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων. Γιώργος Μπαλόγλου Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Γιώργος Μπαλόγλου 4 η Μαθηματική Εβδομάδα, Θεσσαλονίκη, 7- Μαρτίου 0 Μνήμη Λουκά Κανάκη (95-0) υποθετικό κίνητρο: τομή δύο επιπέδων Ας θυμηθούμε ότι ένα επίπεδο E στον τρισδιάστατο

Διαβάστε περισσότερα

1. NEODREÐENI INTEGRAL

1. NEODREÐENI INTEGRAL . NEODREÐENI INTEGRAL Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno

Διαβάστε περισσότερα

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A ΚEΦΑΛΑΙΟ Πίνακες Εστω και είναι το σώµα των πραγµατικών και των µιγαδικών αριθµών αντιστοίχως Στο εξής όταν γράφουµε F θα εννοούµε είτε το είτε το Ορισµός Eστω F = ή και m, Κάθε ορθογώνια διάταξη m A F

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za ispit znanja trigonometrija pravokutnog trokuta

Priprema za ispit znanja trigonometrija pravokutnog trokuta Pipem z ispit znnj tigonometij pvokutnog tokut 1. Zoj duljin ktet pvokutnog tokut jednk je 12 m, jedn kut tokut iznosi 58⁰. Kolik je duljin hipotenuze ovog tokut? + = 12 = 58⁰ =? S oziom d se u zdnim podim

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Χθμικόσ Δεςμόσ (Ομοιοπολικόσ-Ιοντικόσ Δεςμόσ) Οριςμοί, αναπαράςταςη κατά Lewis, ηλεκτραρνητικότητα, εξαιρζςεισ του κανόνα τησ οκτάδασ, ενζργεια δεςμοφ

Χθμικόσ Δεςμόσ (Ομοιοπολικόσ-Ιοντικόσ Δεςμόσ) Οριςμοί, αναπαράςταςη κατά Lewis, ηλεκτραρνητικότητα, εξαιρζςεισ του κανόνα τησ οκτάδασ, ενζργεια δεςμοφ Χθμικόσ Δεςμόσ (Ομοιοπολικόσ-Ιοντικόσ Δεςμόσ) Οριςμοί, αναπαράςταςη κατά Lewis, ηλεκτραρνητικότητα, εξαιρζςεισ του κανόνα τησ οκτάδασ, ενζργεια δεςμοφ Τβριδιςμόσ Υβριδικά τροχιακά και γεωμετρίεσ Γηαίξεζε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ  Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2016 - I. ΜΗΛΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 2016 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 03 - EXAMPLES ALG & COMPL 1 Example: GCD συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτη Μέρα. με πραγματικούς συντελεστές τα ο- ποία ικανοποιούν την ισότητα

Πρώτη Μέρα. με πραγματικούς συντελεστές τα ο- ποία ικανοποιούν την ισότητα 45η ΔΙΕΘΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ IMO 004 ΑΘΗΝΑ ΕΛΛΑΔΑ Επιμέλεια: Ανδρέας Φιλίππου Θεόκλητος Παραγιού Πρώτη Μέρα Πρόβλημα. Έστω ABC ένα οξυγώνιο τρίγωνο με AB =/ AC. Ο κύκλος με διάμετρο την πλευρά BC τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ(Θ)

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ(Θ) ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ(Θ) Ενότητα 8: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Ανθυμίδης Κωνσταντίνος Διδάκτορας Μηχανολόγος Μηχανικός ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ

Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΉΜΩΝ ΑΓΩΓΉΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ, ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ &

Διαβάστε περισσότερα

a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa

a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 2 1 2 3 4 5 0.24 0.24 4.17 4.17 6 a m a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 7 max min m a r 8 9 1 ] ] S [S] S [S] 2 ] ] S [S] S [S] 3 ] ] S

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

!"! #$ % &' ()))*++,

!! #$ % &' ()))*++, !!"! #$ % &' ()))*++, -!./ (0/$$ 1- /!!!2"0/$ 3)4))%)) 05/3/ - /!!. /))/)*+!,*!*+++! !,!,14(67"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!8,!* 7"%/$)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!,9,!*!,%/)

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N I N F O T E K N I K V o l u m e 1 5 N o. 1 J u l i 2 0 1 4 ( 61-70) A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N N o v i

Διαβάστε περισσότερα

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/52779

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

&,'-- #-" > #'$,"/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'"$8 ''#"&$'!&0-##-""#;-# B

&,'-- #- > #'$,/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'$8 ''#&$'!&0-##-#;-# B !"#"# $%"&$' ('#')#''$# * +,-""&$'.-,-"#!&"!##/'#')#''$# ** '$#/0'!0#'&!0"#"/#0"## * 1--'/''00#&'232232223#24 *5 ##-'"-&1-$6'#76#!$#0"$8&9-1$" * '$#&$'!&&1:"-#;6"/'-#

Διαβάστε περισσότερα

K r i t i k i P u b l i s h i n g - d r a f t

K r i t i k i P u b l i s h i n g - d r a f t T ij = A Y i Y j /D ij A T ij i j Y i i Y j j D ij T ij = A Y α Y b i j /D c ij b c b c a LW a LC L P F Q W Q C a LW Q W a LC Q C L a LC Q C + a LW Q W L P F L/a LC L/a LW 1.000/2 = 500

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ( )

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ( ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 8 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Ενδεικτικές Λύσεις θεμάτων μεγάλων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να λύσετε στους ακέραιους την εξίσωση 4 xy y x = xy 6.

Διαβάστε περισσότερα