Jednostavna regresiona analiza

Transcript

1 Profesor Zorca Mladeovć Jedostava regresoa aalza Zorca Mladeovć Struktura predavaja Polaza deja prmer Populacoa uzoračka regresoa prava Metod očh ajmajh kvadrata Korelacja Jedostave eleare zavsost Ekoomsk fakultet, Beograd, 7.

2 Profesor Zorca Mladeovć Polaza deja 3 Osove Regresoa aalza predstavlja osov metodološk okvr ekoometrjskog modelraja. Pretpostavmo da raspolažemo godšjm podacma o potrošj dohotku per capta jede zemlje u perodu od 5 goda. Zadatak: otkrt prrodu jhove međusoe povezaost. Clj regresoe aalze jeste utvrđvaje prrode forme povezaost zmeđu promeljvh. 4 Ekoomsk fakultet, Beograd, 7.

3 Profesor Zorca Mladeovć Ozake Razlkujemo dva tpa promeljvh: Zavsa promeljva: Nezavse promeljve:,,..., k (ukupo k ). Alteratv azv za : zavsa promeljva ezavsa promeljva regresat regresor ojašjavajuća promeljva eksplaatora promeljva U ovom treutku fokusramo se a stuacju kada postoj samo jeda ojašjavajuća promeljva jedostava regresoa aalza. 5 Razlka zmeđu regresoe korelacoe aalze Ako kažemo da su korelsae promeljve, to zač da h tretramo a smetrča ač. Ne sstramo a pravcu uzročost. U regresooj aalz zavsa () ezavsa () promeljva maju potpuo razlčtu pozcju. Promeljva je stohastčkog tpa, što zač da je slučaja promeljva koju karakterše određea raspodela. Promeljva uzma fksrae vredost z poovljeh uzoraka. Oa je stohastčke prrode. Postoj jedosmera pravac uzročost: samo utče a, dok e utče a. 6 Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 3

4 Profesor Zorca Mladeovć Prmer jedostavh regresja Da l je flacja sključvo određea deprecjacjom devzog kursa? Da l vo zvoza zavs od voa dustrjske prozvodje? U kojoj mer je tražja za datm prozvodom određea jegovom ceom? Da l je stopa rasta BDP-a determsaa ostvarem voom demokratje? 7 Prmea jedostave regresje Posmatramo godšje podatke o potrošj dohotku per capta za 5 goda goda Potrošja Dohodak goda Potrošja Dohodak Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 4

5 Profesor Zorca Mladeovć Prmea jedostave regresje (II) Pretpostavljamo da je veza zmeđu potrošje dohotka poztva. Hoćemo da opšemo potrošju kao fukcju od dohotka: Potrošja: zavsa promeljva () Dohodak: ezavsa promeljva () Prv korak: grafčk prkaz parova podataka (, ),,,...,5. Parov: (5, 4),..., (8, 6). 9 Grafčk prkaz: djagram rasturaja (raspršeost) tačaka potrosja dohodak Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 5

6 Profesor Zorca Mladeovć Djagram rasturaja tačaka sa pravom ljom potrosja dohodak Postavljaje prave Namera am je da postavmo pravu tako da ajolje aproksmra skup podataka. Postavt pravu zač odredt jee parametre: + Jedača + je determstčka: za dat vo dohotka uvek zamo vo potrošje. Da l je to realo? Ne. Zato je potreo uključt slučajačla ε u aalzu. Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 6

7 Profesor Zorca Mladeovć Zašto uključujemo slučaja čla? Postoje faktor čj su pojedač utcaj a kretaje zarae zavse promeljve sporadč eregular. Slučaja greška sadrž jhovo zro dejstvo. Slučaja greška je potrea zog epredvdvost ljudskog poašaja. Slučaja greška može zrazt grešku u mereju promeljvh (zaokružvaje sl.). 3 Populacoa uzoračka regresoa prava (jedača) 4 Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 7

8 Profesor Zorca Mladeovć Osov skup (populacja) uzorak /podsećaje Osov skup je skup svh jedca posmatraja. Uzorak je podskup osovog skupa. Uzorak je slučaja ako svaka jedca osovog skupa ma jedaku verovatoću da ude zvučea kao elemet uzorka. To što je eka od jedca osovog skupa postala deo uzorka e meja verovatoću da druga jedca ude zvučea kao elemet uzorka. Defcja uzorka: skup ezavsh jedako raspodeljeh slučajh promeljvh. 5 Populacoa uzoračka regresoa prava (jedača) Populacoa regresoa prava ozačava stvaru stohastčku vezu zmeđu dath promeljvh (sadrž parametre β β): ( ) E β + β ( ) E + ε β + β + ε 6 Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 8

9 Profesor Zorca Mladeovć Populacoa uzoračka regresoa prava (jedača) (II) Uzmajuć u ozr otacju elemeata uzorka populacoa regresoa prava postaje: Uzoračka regresoa prava opsuje vezu prema datom uzorku: Ŷ +,,,..., Ŷ ocejea vredost E ( ) β E ( ) β + β ocea parametra β ocea parametra β + β + ε + ε 7 Populacoa uzoračka regresoa prava (jedača) (III) Stvar vo zavse promeljve je zr ocejeog voa ooga što model je oceo. Razlka zmeđu stvarog ocejeog voa zavse promeljve azva se rezdual (ozaka e ): Ŷ + e,,,...,. Uzoračka regresoa prava (jedača) se korst za doošeje zaključaka o parametrma populacoe regresoe jedače. 8 Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 9

10 Profesor Zorca Mladeovć Metod očh ajmajh kvadrata (Metod ONK) 9 Određvaje pozcje prave (regresoh koefcjeata) Kako određujemo vredost? Krterjum: ramo tako da je prava ajmaje moguće udaljea od tačaka djagrama rasturaja Drugm rečma: da je odstupaje prave od tačaka mmalo Ekoomsk fakultet, Beograd, 7.

11 Profesor Zorca Mladeovć Metod očh ajmajh kvadrata Najčešće koršće metod postavljaja prave zora regresoh koefcjeata jeste metod očh ajmajh kvadrata (ONK). Ideja metoda: mmzrat zr kvadrata odstupaja podataka od prave. Ozake: -stvara vredost u treutku Ŷ -vredost koja je ocejea regresoom pravom e -razlka stvare ocejee vredost, rezdual, - Ŷ Stvara ocejea vredost zavse promeljve Ekoomsk fakultet, Beograd, 7.

12 Profesor Zorca Mladeovć Izvođeje ONK ocea Potreo je mmzrat zr (tzv. rezdualu sumu kvadrata): Šta je e e + e? To je razlka e e e Ŷ Nać mmum ( Ŷ ) je ekvvaleto određvaju mmuma e 3 Izvođeje ocea metoda ONK (II) Kako je S( Ŷ +, možemo defsat fukcju, ) ( Ŷ ) ( ) Potreo je mmzrat fukcju S u odosu a : S ( Iz ():, ) S (, ) ( ( ) ) () () ( ). 4 Ekoomsk fakultet, Beograd, 7.

13 Profesor Zorca Mladeovć Ekoomsk fakultet, Beograd, Izvođeje ONK ocea (III) Možemo psat (3): Iz (3): (4) Iz (): (5) Zamejujemo u (5) zraz za z (4) : : / ) ( ( ) ) ( 6 Izvođeje ONK ocea (IV) Rešavajem po dojamo: Dakle, ocee su: Ocea se može dot a ešto drugačj ač:

14 Profesor Zorca Mladeovć Ekoomsk fakultet, Beograd, Izvođeje ONK ocea: pomoć rezultat ( ) ( ). ) (. ) ( ) ( Izvođeje ONK ocea (VI) podac cetrra, ) ( ) ( ) (

15 Profesor Zorca Mladeovć Ekoomsk fakultet, Beograd, Izvođeje ONK ocea (VII) Drug parcjal zvod su uvek poztv: S, S, S 3 Kakva je terpretacja?, Ocea aga : Prrast zavse promeljve po jedc prrasta ezavse. Ocea sloodog člaa : Nvo zavse promeljve kada je vo ojašjavajuće ula.

16 Profesor Zorca Mladeovć Preczost ocee sloodog člaa Ocea sloodog člaa predstavlja očekvau vredost kada je jedako ul. Trea t pažljv prlkom jee terpretacje poseo kada ema dovoljo podataka koj su lzu -ose. Ukolko je takvh podataka malo oda je ova ocea eprecza. 3 Kakva je terpretacja u kokretom prmeru? Ŷ Ako se dohodak poveća za jedu jedcu očekva rast potrošje je.686 jedca. To je margala skloost ka potrošj. Nvo potrošje pr ultom dohotku je 8.7 jedca. 3 Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 6

17 Profesor Zorca Mladeovć Ekoomsk fakultet, Beograd, Tr posledce metoda ONK: Zr rezduala je uvek ula: Zr prozvoda rezduala ojašjavajuće promeljve je uvek ula: Artmetčke srede stvarh modelom ocejeh podataka su ste: ( ) e Ŷ e ) ( Ŷ e Korelacja

18 Profesor Zorca Mladeovć Pokazatelj kvalteta regresje: koefcjet determacje R Koj deo varjacja zavse promeljve je ojašje modelom, odoso varjacjama ezavse promeljve? Pokazatelj za odgovor: koefcjet determacje R. Ukup varjaltet zavse promeljve: Ukup var jaltet USK ( ) Ukup varjaltet zavse promeljve je zr dve kompoete. Pokazatelj kvalteta regresje: koefcjet determacje R (II) Ukup varjaltet zavse promeljve je zr sledeće dve kompoete:.varjaltet zavse promeljve koj je ojašje modelom: Ojašje var jaltet OSK ( Ŷ ).Varjaltet zavse promeljve koj je ojašje modelom: Neojašje var jaltet Re zdual a suma kvadrata : RSK ( Ŷ ) e ŷ Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 8

19 Profesor Zorca Mladeovć Koefcjet determacje R (III) ( ) ( Ŷ ) + ( Ŷ) ( ) ( Ŷ ) + e + ( Ŷ ) ŷ 3 e + e e Koefcjet determacje R (IV) Dakle, USK OSK + RSK ŷ + Koefcjet determacje predstavlja udeo ojašjeog u ukupom varjaltetu: ŷ Ojasje var jaltet OSK R Ukup var jaltet USK Kako je: OSK USK - RSK, mamo: OSK RSK R USK USK e e Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 9

20 Profesor Zorca Mladeovć Koefcjet determacje R (V) R se uvek alaz u tervalu od do. Ekstreme stuacje: Rezduala suma kvadrata (eojašje varjaltet zavse promeljve)ukup varjaltet zavse promeljve RSK USK, OSK, R OSK/USK Ojašje varjaltet zavse promeljveukup varjaltet zavse promeljve OSK USK, RSK, R OSK/USK Ekstrem slučajev: R R Ekoomsk fakultet, Beograd, 7.

21 Profesor Zorca Mladeovć Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. Kako zračuat rezdualu sumu kvadrata a osovu ocea parametara modela? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + Ŷ e e Kako zračuat rezdualu sumu kvadrata a osovu ocea pametara modela? (II)

22 Profesor Zorca Mladeovć Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. ( ) ( ) ( )( ) ŷ Ŷ Rezme ojašje varjaltet zavse promeljve Alteratva formula za koefcjet determacje prmer e R ( ) e R.... e..,ŷ... +

23 Profesor Zorca Mladeovć Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 3 Koefcjet determacje R koefcjet korelacje r Ocea koefcjeta korelacje zmedju : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) vˆ vˆ ), côv( r,vˆ vˆ ), côv( r Koefcjet determacje R koefcjet korelacje r (II) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R.r.r VARIJABILITET. UKUPNI OBJASNJENI VARIJABILITET

24 Profesor Zorca Mladeovć Koefcjet determacje R koefcjet korelacje r (III).Koefcjet korelacje ma st zak kao ocea aga.kvadrat koefcjeta korelacje je koefcjet determacje. Prmea jedostave regresje Model vredovaja kaptala (egl. skraćeca CAPM) predstavlja polaz okvr fasjske aalze. Modelom se stopa prosa fasjskog strumeta j (R j ) opsuje u fukcj od proseče tržše stope prosa (R m ). Oe stope se uočajeo skazuju u form odstupaja od odgovarajućeg oportutetog troška, koj se mer stopom prosa erzčog fasjskog strumeta (R f ). Ekoometrjsk olk modela je: R + R R R j f β + β ( ) ε m f Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 4

25 Profesor Zorca Mladeovć. Prmea jedostave regresje (II) R j R f β + m f + β ( R R ) ε Parametar aga: eta koefcjet. U zavsost od toga da l je jegova vredost veća l maja od jeda, moguće je procet da l je rzk zog posedovaja datog fasjskog strumeta već l maj od prosečog tržšog rzka. Koefcjet determacje: udeo tržšog rzka u ukupom rzku posedovaja dath akcja Ukup varjaltet zavse velče: mera rzka Ojašje varjaltet: deo rzka koj je ojašje tržšm rzkom Neojašje varjaltet: deo rzka koj je specfča. Prmea jedostave regresje: rezultat Na osovu mesečh podataka u perodu: jauar 998- decemar 8. goda oceje je model vredovaja kaptala za stopu prosa akcja kompaje Mcrosoft: ( R R ) + ε R 33 R j R f m f. Da l je rzk posedovaja ovh akcja jedak opštem tržšom rzku? Da l je ocea sloodog člaa očekvaa? Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 5

26 Profesor Zorca Mladeovć. Prmea jedostave regresje: djagram rasturaja tačaka Stopa prosa akcja kompaje Mcrosoft korgovaa Opšta tržša stopa prosa korgovaa. Prmea jedostave regresje: grafčk prkaz Rezdual Stvaro kretaje zavse promeljve Modelom ocejeo kretaje zavse promeljve Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 6

27 Profesor Zorca Mladeovć. Prmea jedostave regresje Dat su podac paela: godšj podac u perodu -3. goda za sve zemlje sveta BDP per capta Ideks demokratje: Freedom house (,,...,7) Nž deks ozačavaju vše slooda Polt4 (-,...,) Vš deks ozačavaju vše slooda Ocet pojedače modele zavsost BDP per capta ( ) od oa deksa demokratje Podac: tzv. ealasra pael, što zač da postoje 53 edostajuće vredost.. Prmea jedostave regresje: rezultat Ŷ Polt4_deks, R. 7 4 goda 46 zemalja,95 podatka Ŷ Freedomhouse _ deks, R 4 goda 74 zemlje,373 podatka. Dojeeocee emaju tradcoalu terpretacju. Koefcjet determacje je od veceg teresa. 54 Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 7

28 Profesor Zorca Mladeovć. Prmea jedostave regresje: djagram rasturaja tačaka BDP per capta Ideks Freedom House 55. Prmea jedostave regresje: djagram rasturaja tačaka u drugoj varjat..6 Prosek po godama BDP per capta Ideks Freedom House 56 Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 8

29 Profesor Zorca Mladeovć 3. Prmea jedostave regresje Raspolažemo podacma preseka: za dat mesec z 7 prodavca rze hrae (prlagodjeo z Hll, Grffths ad Lm, 8): Ostvarea prodaja hamurgera (u hljadama dolara), Cea hamurgera (u dolarma) Clj: ocea reakcje prodaje hamurgera ( ) a promeu cee hamurgera ( ) prema modelu: Ŷ Prmea jedostave regresje: djagram rasturaja tačaka 9 Ostvarea prodaja u hljadama dolara Cea hamurgera u dolarma 58 Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 9

30 Profesor Zorca Mladeovć 3. Prmea jedostave regresje: djagram rasturaja tačaka sa pravom ljom 9 85 TRAZNJA CENA Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 3

31 Profesor Zorca Mladeovć 3. Prmea jedostave regresje: rezultat Prmeom metoda ONK oceje je model zavsost ostvaree prodaje hamurgera od cee hamurgera: Ŷ Iterpretacja parametra aga Ako se cea poveća za dolar prodaja opada za 787 dolara u toku mesec daa. Ako se cea poveća za cet prodaja opada za 787 dolara. 6 Ekoomsk fakultet, Beograd, 7. 3