RAZLICITI PRISTUPI KREDITNOM. - master rad -

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "RAZLICITI PRISTUPI KREDITNOM. - master rad -"

Transcript

1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO MATEMATICKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU RAZLICITI PRISTUPI KREDITNOM SKORING SISTEMU - master rad - Profesor: dr. Zoraa Luža Autor: Jelea Burgjašev Nov Sad, Septembar 009.

2 Razlct prstup redtom sorg sstemu Sadržaj:. Uvod. Osove redtog sorg sstema 3 3. Matematc aparat 5 3. Learo programraje 5 3. Problem separacje lasfacje Separacja pomocu leare površ Separacja pomocu vadrate površ Model lasfacje uz pomoc fucje orsost Klasfacja pomocu leare fucje orsost 3..5 Klasfacja uz pomoc vadrate fucje orsost 3.3 Logt aalza Seleco rterjum Metod masmale verovatoce Newto-Raphso algortam (NRA Testraje hpoteza Kostrusaje tervala povereja Prmea softvera 3.4 Probt aalza Prmea softvera Tobt model Model redtog sorga sstema Prmea problema separacje Dve faze redtog ocejvaja u procesu odobravaja redta Prmea probt tobt modela Prmea logt modela Prmer geetsog programraja Uporedvaje geetsog programraja probt aalze a celom uzoru Uporedvaje geetsog programraja probt aalze a poduzoru Prmea aalze obavjaja podataa (DEA Odabr fasjsh oefcjeata Racuaje sorova uz pomoc DEA Provera valjaost DEA sorova Metod redtog rejtga Zaljuca 6 6. Lteratura 64

3 Razlct prstup redtom sorg sstemu. Uvod Kao se redto tržšte sve vše razvja, sve je veca potreba za dobro razvjem sstemom za zašttu od rza gubtaa, u tu svrhu je uvede redt sorg sstem. U ovom radu su prezetova razlct prstup redtom sorg sstemu oj su razvje prmeom matematcog aparata. Ovaj model se ajcešce srece u baama ada odobravaju redt, pr proce redte sposobost ljeta rza oj taj ljet os. U zavsost od redte polte bae postoje raz prstup ovom problemu, ao što su a prmer mmzacja rza, masmzacja profta l ešto trece. Za razvjaje modela ajcešce se orste statstce eoometrjse tehe, ao što su a prmer logt probt aalza. Metode separacje am služe za lasfacju ljeata u dve grupe: dobre loše, tj. oe oj redovo zmruju svoje obaveze oe oj maju problema u poslovaju pa samm tm ase u otplat redta. Clj je što tacje lasfovat ljete, pošto se tme u sto vreme mmzraju trošov oj astaju pr pogrešoj lasfacj. Prlom separacje pomocu leare, odoso vadrate površ prmejuje se problem learog programraja za mmzacju greše lasfacje. U jedom prmeru cemo uporedvajem geetsog programraja probt aalze poazat da se uporedo sa razvojem redtog tržšta razvjaju preczj model. Kroz date prmere se vd da se u razlctm zemljama prmejuju razlct model prstup redtom sorgu, oj u em slucajevma daju elogce rezultate sa aše tace gledšta, ao što cemo vdet a prmeru Vjetamsog baarsog tržšta. Veca modela se zasva a storjsm podacma, zbog toga je bto da uzora bude što vec da b dobl što bolj realj model. Kao problem može da se jav edovolja olca podataa, jer je redto tržšte još uve u faz razvoja, ao odredea prstrasost modela pošto se posmatraju samo ljet ojma je odobre redt. Ovo su problem ojma se treba bavt u buducost, da b se razvo što pouzdaj realj model. Pojam redtog sorga se uglavom vezuje za aalzu redte sposobost pojedacog ljeta, medutm sve je veca jegova prmea pr ocejvaju rza oj ose frme. Ovaj tp redtog sorga je još uve u faz razvoja još uve je tolo zastuplje u pras, ao cemo roz prmer vdet da o daje dosta precze rezultate.

4 Razlct prstup redtom sorg sstemu. Osove redtog sorg sstema Kada jeda baar pta drugog Koj je sor?, veca ljud ce pomslt da ovaj prv je gledao socu utamcu. Medutm, o samo rade svoj posao, tacje, raspravljaju o tome ol je redt sor ljeta oj podos zahtev za redt. Kredt sorg je statstc metod oj se orst da se oce ol je rz da ce ov ljet oj podos zahtev za redt l vec postojec ljet ast u otplat redta l da uopšte ece bt u staju da splat redt. Drugm recma, redt sorg je metod za odredvaje redtog rza oj os ljet. Korstec storjse podate statstce tehe redt sorg poušava da zoluje efete odredeh aratersta oje ljeta vode u stuacju da e može da otplacuje redt. Rezultat ovog metoda je sor oj baa orst da ragra ljete a osovu rza oj o ose. Na osovu toga ol rz baa žel da prhvat, odreduje se grac sor, tao da ce ljetma oj maju vec sor od gracog bt odobre redt, a o oj maju maj sor ce bt odbje. Da b apravl model, aaltcar aalzraju storjse podate raje odobreh redta, tj. aalzraju ao su se raj ljet poašal pr otplat redta, da b odredl araterste oje su orse pr oce da l je ljet sposoba da redovo otplacuje redt. Samm tm su ljet podelje a dobre loše. Kljeta defšemo da je loš uolo je plato tr uzastope rate, tj. u ašjeju je dužem od devedeset daa. Problem se javlja ada se prav model za relatvo ove prozvode zbog edovoljog obma storjsh podataa a osovu ojh b se razvo model. U tom slucaju se model može pravt a malom uzoru, l a eom slcom prozvodu, al tada rezultat ece bt dovoljo dosled. Dobro apravlje model b trebao da dodel vec sor ljetma oj ce redovo otplacvat redt, a ž sor ljetma oj ce ast u otplacvaju redta. Medutm, jeda model je savrše, pa se dešava da e loš ljet dobju vec sor od eh dobrh ljeata. Razlujemo dva modela redtog sorg sstema:. model oj pomaže aaltcaru da doese odluu da l da odobr redt ljetu l da ga odbje. model oj pomaže u aalzraju poašaja vec postojech ljeata M cemo se u ovom radu fousrat a prv model redtog sorg sstema. Pr oce redte sposobost ljeta orste se dva zvora formacja: prv je aplaco formular oj ljet popujava ada podos zahtev za redt, a drug je redt bro. Kredt bro je sttucja oja poseduje velu bazu podataa o svm ljetma, ao lch podataa tao formacje o uredost otplate redta. Ova formacja se azva redta storja. Kada ljet podos zahtev za redt, redt aaltcar proverava sa redtm broom ava je ljetova redta storja. Ao je redta storja «sromaša», aaltcar može odbt da odobr redt. U stuacj ada aaltcar odluc da odobr redt, sguro ce odredt vecu amatu stopu. Najzastupljej statstc model oj se orste da b se apravo redt sorg sstem su lear model, logt model, probt model model dsrmate aalze. Prva tr modela su stadarde statstce tehe oje a osovu storjsh podataa aratersta ljeta ocejuju verovatocu da ce taj ljet bt loš. 3

5 Razlct prstup redtom sorg sstemu Razla medu ovm modelma je ta što lear model pretpostavlja learu zavsost zmedu verovatoce da ce ljet bt loš aratersta oje se orste u modelu, logt model pretpostavlja da ova verovatoca ma logartamsu raspodelu, a probt model da ma ormalu raspodelu. Dsrmata aalza se od ovh statstch modela razluje po tome što umesto da ocejuje verovatocu da ce ljet bt loš, oa del ljete u dve lase, maje vše rzce. Na jedom prmeru cemo prazat prmeu geetsog programraja u redtom sorg modelraju ao prmeu aalze obavjaja podataa, al ecemo ulazt u detalje, pošto to zlaz z opsega ovog rada. Napomemo da za redt sorg model mogu da se orste raz eparametar model veštace telgecje. Kolo god model bo dobar, o ece sa sgurošcu predvdet ao ce se ljet poašat pr otplat redta, al b pa trebalo da dâ dovoljo tacu oceu verovatoce da ljet sa odredem araterstama ece bt u mogucost da otplat redt. Taode treba uzet u obzr da postoj odredea prstrasost u uzoru, pošto se uzmaju u obzr samo ljet ojma je odobre redt. Ovo se javlja zbog toga što se e za ao b se odbje ljet poašal da m je odobre redt. Predost redtog sorga oje su dovele do jegove sve vece prmee su ao prvo ušteda vremea oje je potrebo da se doese odlua u procesu odobravaja redta, što je vrlo bta aratersta u treutoj espazj redtog tržšta. Taode, ovaj sstem doos odluu a osovu sth rterjuma za sve ljete, ezavso od pola, rase l eog drugog rterjuma oj može dovest do odredee dsrmacje. Da b se ea od ovh aratersta orstla u modelu, moraju da se maju dovoljo ja argumet zašto je oa tolo bta za model. Prvo cemo se upozat sa matematcm aparatom oj orstmo da bsmo razvl model došl do željeh rezultata, a zatm cemo roz prmere objast ove matematce modele. 4

6 Razlct prstup redtom sorg sstemu 3. Matematc aparat 3. Learo programraje Problem learog programraja služ za modelraje tzv. uslove optmzacje u ojoj treba ac optmalo rešeje, tj. oo rešeje za oje se postže ajbolja vredost eog clja a supu svh moguch alteratvh rešeja problema, pr cemu svao rešeje z ovog supa zadovoljava zadate uslove (ograceja. Opšt zadata learog programraja se može sazat u formalzovaom razvjeom oblu ao uz ograceja ma f ( c c c... m a a < a... a b > < a... a b > ( M l race a m a... a m m < b, 0,..., 0 ( 0 ma m f ( c > m a j j j < b,,..., m > 0, j,..., j gde su a j, c, b j,,,.., m, j,,..., zadat real brojev. Fucja f( se azva fucja clja, do se m ograceja z supa ( azvaju jedostavo ograceja. Ograceja ( se azvaju uslov eegatvost. Dopustva oblast supa ( - ( se azva dopustva oblast problema learog programraja, a svaa taca dopustve oblast predstavlja dopustvo rešeje ovog problema. Oo dopustvo rešeje u ome fucja dostže svoj estrem se azva optmalo rešeje problema. Matrca A [a j ] m se cesto azva matrcom ograceja, a b,,,..., m slobodm claom -tog ograceja z sstema (. Ao su sva ograceja u ( stog tpa c (c, c,..., c, b (b, b,..., b m (,,..., tada se problem learog programraja može prazat u matrcovetorsoj form. Ao su sva ograceja tpa jedaost, tada mamo stadard obl learog programraja oj ma sledecu matrco-vetorsu formu: 5

7 Razlct prstup redtom sorg sstemu ma m c T A b ( 0 Pretpostavljamo da ovaj problem zadovoljava sledece dodate uslove:. sv slobod claov b,,,..,m su eegatv, tj. b 0. m < raga m, tj. sve jedace ograceja su learo ezavse Posmatramo sstem learh jedaca: A b Defcja Bazo rešeje sstema (& predstavlja oo rešeje ovog sstema za oje postoj ea mm podmatrca A B matrce A oja je regulara, tj. deta 0 tava da je u ovom rešeju svaa promeljva cja se oloa oefcjeata e alaz u A B jedaa ul. Promeljve oje odgovaraju oloama podmatrce A B se azvaju baze promeljve, a preostale promeljve su ebaze. Sup svh bazh promeljvh c bazu bazog rešeja, do je A B matrca baze. Prmetmo da rešeje ovavog sstema uve postoj pošto je A B regulara podmatrca. Kao je raga m, postoj bar jeda regulara mm podmatrca od A, pa tme bar jedo bazo rešeje sstema (&. Defcja Ao eo bazo rešeje problema (& zadovoljava uslove eegatvost oda oo predstavlja bazo dopustvo rešeje problema (. Defcja Dva baza dopustva rešeja problema (& su suseda ao m se baze razluju samo u jedoj promeljvoj. Jeda od razloga tao rasprostrajee prmee modela learog programraja u pras je postojaje efash procedura za jhovo rešavaje oje sa uspehom rešavaju probleme velh dmezja. Medu jma ajpozatja je Smples metoda. Oa predstavlja algebarsu proceduru oja alaz z bazh dopustvh rešeja problema (& sa odgovarajucm bazama B, 0,,,... tao da je vredost fucje clja u veca od jee vredost u, sve do treuto geersao bazo dopustvo rešeje e zadovolj rterjum optmalost. Krterjum optmalost Ao je c 0, za svao j,,..., tada je optmalo j rešeje problema learog programraja, a f masmala vredost fucje clja. Drugm recma, je optmalo ao se avm povecajem vredost ebazh promeljvh ovog rešeja e može povecat vredost fucje clja. Necemo dublje ulazt u postupa Smples metoda. (& 6

8 Razlct prstup redtom sorg sstemu 3. Problem separacje lasfacje Problem separacje je problem alažeja rterjuma za razdvajaje elemeata u dva dsjuta supa objeata. Osov problem separacje se može defsat a sledec ac: ea su data dva supa objeata A B, pr cemu sup A sadrž m objeata, a sup B sadrž objeata pr tome je sva objeat jeda -dmezoal vetor. Problem separacje se tada svod a proalažeje površ u -dmezoalom prostoru tao da se sve tace oje predstavljaju objete z supa A alaze sa jede strae ove površ, do se sve tace oje predstavljaju objete z supa B alaze sa druge strae površ. 3.. Separacja pomocu leare površ Defšemo sup objeata ao eprazu matrcu realh brojeva, gde svaa vrsta defše pojedac objeat. Objeat se sastoj od realh brojeva oj se azvaju opservacje. Ao matrcu objeata ozacmo sa A, pojedace objete ao vetor vrste a, tada je j-ta opservacja -tog objeta ozacea sa a j. Osov problem leare separacje glas: za data dva supa objeata oja su defsaa matrcama A R m B R, odredt hperrava u prostoru R tao da ao m vrsta matrce A vrsta matrce B posmatramo ao tace u ovom prostoru, tada se oe moraju alazt sa razlcth straa ove rav. Nea su a,,...,m objet oj prpadaju matrc A, a b j, j,.., objet oj prpadaju matrc B. Ao postoje eula vetor c R c 0 R tav da je c T a > c 0,, m c T b j < c 0, j,, tada se H(c,c 0 { R c T c 0 } azva hperrava. Ao 0 0 H(c,c 0 tada važ da je c T 0 c 0 pa je H(c,c 0 { R c T c T 0 c 0 } { R c T ( - 0 c 0 } Izraz c T ( predstavlja ortogoalost vetora c - 0 zbog toga se vetor c azva ormal vetor hperrav H(c,c 0. Ao uvedemo gracu deblje δ zmedu lasa, oda važ: c T a c 0 δ,,...,m c T b j c 0 - δ, j,..., U opštem slucaju ove ejedaost su zadovoljee, al m težmo da oe budu bar prblžo zadovoljee. Poluprostore defšemo a sledec ac: H (c,c 0 { R c T >c 0 } H - (c,c 0 { R c T <c 0 } 7

9 Razlct prstup redtom sorg sstemu c T c 0 c T c 0 (a (b (a Hperrava potpuo razdvaja objete dve razlcte lase; (b Hperrava oja razdvaja objete razlcth lasa e postoj Klasfacja može da se defše ao fucja lasfacje oja svaom objetu dodeljuje broj, odoso sva objeat «smešta» u jedu od lasa, u ovom slucaju u jeda poluprostor. Za objeat A za oj je a H - (c,c 0 ažemo da je pogrešo lasfova objeat prvog reda. Za objeat B j za oj je b j H (c,c 0 ažemo da je pogrešo lasfova objeat drugog reda. Sa y ozacavamo rastojaje a H - (c,c 0 od hperrav H(c,c 0 δ, a sa z j rastojaje b j H (c,c 0 od hperrav H(c,c 0 -δ. Klasfacju vršmo tao što mmzramo težsu sumu rastojaja pogrešo lasfovah objeata, tj. rešavamo sledec problem learog programraja: m y, z m y β j z j c T a y c 0 δ,,...,m c T b j - z j c 0 - δ, j,..., y, z j 0 gde su, β težs oefcjet. Ovaj problem learog programraja ma optmalo rešeje (c, c 0, y,..., y m, z,..., z pr tome je H(c,c 0 hperrava sa ajmajom grešom lasfacje. 8

10 Razlct prstup redtom sorg sstemu c T c 0 δ c T c 0 c T c 0 - δ y z j Pogrešo lasfova objet 3.. Separacja pomocu vadrate površ Poead je moguce da se dva supa objeata razdvoje pomocu rav. Zbog toga se za separacju orste površ oje su eleare, tava je a prmer vadrata separacja. Nea je (,..., T vetor oj predstavlja tacu u -dmezoalom prostoru. Problem vadrate separacje supova A B sastoj se u odredvaju jedstvee vadrate površ: gde su D R, c R, c 0 R, tao da je T D T c c 0 0 a T Da a T c - c 0 > 0,,...,m b j T Db j b j T c - c 0 < 0, j,..., Dva supa A B su vadrato separabla ao samo ao postoje D, c c 0 tav da su gorje jedaost zadovoljee. hperrava elptca površ Hperbolca površ Nee vadrate površ 9

11 Razlct prstup redtom sorg sstemu Sledec problem learog programraja mmzra grešu lasfacje: m y, z m y β j z j a T Da c T a y c 0 δ,,...,m b j T Db j c T b j - z j c 0 - δ, j,..., y, z j 0 gde su D R, c R, c 0 R, y, z j R promeljve oje treba odredt. Promeljve y, z j predstavljaju rastojaje pogrešo lasfovah objeata od vadrate površ Model lasfacje uz pomoc fucje orsost Prvo se podsetmo pojma relacje preferecje fucje orsost. Defcja Bara relacja f a supu X oja ma osobe: reflesvost: X f ompletost:,y X f y y f 3 traztvost:,y,z X f y y f z f z azva se relacja preferecje a supu X. Defcja Nea je f relacja preferecje a supu X. Fucja u: X R za oju važ: f y u( u(y azva se fucja orsost relacje preferecje f. Pošto je fucja lasfacje preda fucja, za razdvajaje objeata oj prpadaju razlctm lasama orst se epreda fucja orsost. Najbolja fucja orsost ee lase se odreduje mmzrajem greše lasfacje. Ao tražmo fucju orsost oja je leara ombacja eh drugh fucja oda problem možemo formulsat ao problem learog programraja. Sada posmatramo problem lasfacje u J lasa. Pretpostavmo da postoj sup objeata I{,.,m} sa pozatm lasfacjama sva objeat je predstavlje tacom z R. Ovaj sup tacaa X{ I} se azva trag sup. Pretpostavmo da razlagaje supa I, { I } J ( j j U J I j I j, j j, I I j defše lasfacju dath m objeata. Kažemo da taca prpada las ao I. Ao je data fucja orsost u( oja je defsaa a supu X{ I} sup pragova U p {u 0, u,, u j-, u j } tada je u 0 - < u <...< u j- < u j ao važ j j { I u j- < u( < u j } 0

12 Razlct prstup redtom sorg sstemu tada fucja u( sup U p defšu razlagaje supa I, { I } J j j a taj ac lasfuju trag sup. Medutm, cešc je slucaj da am je pozata lasfacja,, a da je potrebo proac fucju orsost sup pragova oj defšu ovu { I } J j j lasfacju. Nea u γ ( predstavlja lasu fucja orsost oje su odredee parametrom γ R. Pretpostavmo da je trag sup X{ I} podelje lasama { I } J. Sa j j F(σ, σ - ozaccemo uupu azu za sve pogrešo lasfovae tace. Za trag sup X, sledec problem optmzacje proalaz ajbolju fucju orsost u γ ( u prethodo datoj las fucja: m F( σ, σ γ, u, σ, σ γ u j σ δ u ( u j σ, I j, j,..., J u j u j s, j,..., J σ 0, 0 σ γ R Fucja F(σ, σ - je eopadajuca u odosu a greše lasfacje σ, σ -, I. Velo odstupaje od savršee lasfacje dovod do velh az. Posmatramo learu azeu fucju F m ( σ, σ ( σ σ gde su, 0 oefcjet aze za tac. Ao objeat prpada las I j gorj problem matematcog programraja mplcra da je: σ σ ma γ { 0, u ( u j } γ { 0, u δ u ( } ma j Ao fucja orsost u γ ( u tac 0 j premašuje gorj prag u j, tada je greša σ jedaa razlc zmedu u γ ( gorjeg praga u j. U suprotom σ 0. Slco, ao je vredost fucje orsost u γ ( spod u j- δ tada je aza σ - jedaa razlc zmedu u j- δ u γ (, ace je σ Klasfacja pomocu leare fucje orsost Leara fucja orsost ma sledec obl: c T u ( c c, c R Ao mamo learu azeu fucju learu fucju orsost, tada se lasfacja vrš rešavajuc sledec problem:

13 Razlct prstup redtom sorg sstemu u c,,, ( m σ σ σ σ J j I u c j j,...,,, σ σ J j I u c j j,...,, 0, σ s u u j j m,..., 0,, 0 σ σ R c 3..5 Klasfacja uz pomoc vadrate fucje orsost Posmatramo sledecu vadratu fucju orsost: l l l T T c D c d c D u ' ', ' ( Ova fucja ma elemeata, pošto matrca D' ma elemeata, a vetor c ma oefcjeata. Evvaleta defcja vadrate fucje je sledeca: ' ' ' ', ( ( l l l l c D c d d d u Ao uvedemo ove ozae: ' d d l d d d l l l <, ' ' vadrata fucja orsost može bt zapsaa a sledec ac: l l l c D c d d u ', ( Ao mamo learu azeu fucju vadratu fucju orsost rešavamo sledec problem: m u D c F,,,, ( m σ σ σ σ,...,,, j j l l l J j I u c d d δ σ J j I u c d d j j l l l,...,, 0, σ s u u j j m,..., 0,, 0 σ σ, R c R d,

14 Razlct prstup redtom sorg sstemu 3.3 Logt aalza Regresoa aalza se bav proucavajem odosa zmedu zavse jede l vše ezavsh promeljvh. Zavsa promeljva se uglavom ozacava sa y, a ezavse sa,...,. Jeda od moguch cljeva regresoe aalze je:. da oce sredju odoso ocevau vredost zavse promeljve, pr cemu su date vredost ezavsh promeljvh. da testra hpoteze o prrod zavsost zmedu promeljvh 3. da predvd ocevau vredost zavse promeljve, pr cemu su date vredost ezavsh promeljvh 4. ombovao vše prethodh cljeva Leara regresja je tp regresje oja pretpostavlja da postoj leara zavsost zmedu zavse ezavsh promeljvh. Jedodmezoala leara regresja se orst u slucaju ada mamo jedu zavsu jedu ezavsu promeljvu. Uolo mamo vše ezavsh promeljvh orstmo všedmezoalu regresju. U slucaju jedodmezoale regresje posmatramo sledecu jedacu: y β u,,..., gde su (odseca ocevaa vredost za y uolo je jedao ula β (ocevaa vredost za y uolo se prome za jedu jedcu oefcjet regresje oje treba ocet ao je dato opservacja za y, a u je greša regresje. Da b mogl da ocemo parametre moramo da avedemo eolo pretpostav:. E( u 0,. var( σ, u 3. u u j su ezavse za svao j 4. u j su ezavse za svao j 5. u maju ormalu raspodelu za svao sa ula ocevajem σ varjasom (što sled z.. pretpostave 6. ( 0 7. ( < Sada možemo da zapšemo ao zgleda fucja jedodmezoale regresje: yˆ ˆ βˆ gde je sa apcom ozacea ocevaa vredost, a zamo da je Stohastca verzja gorje jedace je y ˆ βˆ uˆ E( u 0,. 3

15 Razlct prstup redtom sorg sstemu gde û predstavlja ocejeu grešu oja se azva rezdual. Iz ove jedace se dobjaju ocee za parametre regresje β. Tr metode oje se ajcešce orste za oceu parametara su:. metoda ajmajh vadrata. metoda mometa 3. metoda masmale verovatoce Ovm metodama dobjamo eprstrase parametre oj maju ajmaju varjasu u las learh eprstrash ocejeh parametara. M u ovom radu ecemo objašjavat ove metode, sem trece oja se orst pr oce parametara u slucaju logt regresje. U slucaju všedmezoale regresje se posmatra odos zavse y vše ezavsh,..., promeljvh, pa mamo sledec model: y β β... β u,,..., gde je odseca (ocevaa promea u y ao su sv,,... jeda ula, a β parcjal oefcjet orelacje (ocevaa vredost za y uolo dode do jedce promee u pr cemu se pretpostavlja da su sv ostal ev epromeje. Važe ste pretpostave ao u slucaju jedodmezoale regresje, samo što je dodata još jeda oja aže da medu ezavsm promeljvama ema leare zavsost. Aalogo mamo stohastcu jedacu: y βˆ βˆ... βˆ uˆ,,..., ˆ Metod ajmajh vadrata daje ocee za, β,..., β oje su eprstrase maju ajmaju varjasu u las svh learh eprstrash ocejeh parametara. Medutm, dešava se da je zavsa promeljva bara, tj. da uzma samo dve vredost, a prmer uspeh euspeh. Postavlja se ptaje ao se modelra odos ezavsh promeljvh bare zavse promeljve? Odgovor a to ptaje am daje logt regresja. Pretpostavljemo da je Y Beruljeva slucaja promeljva oja uzma vredost 0 l, u zavsost da l je shod dobar l loš. Verovatoca da ce shod bt loš u zavsost od dath ezavsh promeljvh, tj. da ce Y bt jedao, se defše ao π P (Y X, a verovatoca da ce shod bt dobar sa -π P (Y 0 X. Posmatramo odos (odds ove dve verovatoce: P( Y X π odds ( P( Y 0 X π Logartam ovog odosa, tzv. logt je leara fucja ezavsh promeljvh, 0,,,...,: Dale, l( odds( β β... β 0 4

16 Razlct prstup redtom sorg sstemu π l( β β β 0... π Jedostavm espoecjalm trasformacjama dobjamo da je: ep( β 0 β... β π ep( β β... β 0 Ao je promeljva (,,..., p,,,...n, tada je verovatoca poztvog shoda jedaa: π ( ep( p p Pretpostave oje važe od logt regresje su sledece:. Y ma Beruljevu raspodelu sa parametrom π(, tj. β β 0 Y : π ( π (. Njeda promeljva od zacaja je zostavljea jeda promeljva oja ema zacaja je uljucea 3. Logartam ezavsh promeljvh zavsa promeljva su learo ezavse 4. Nema zacaje orelacje zmedu ezavsh promeljvh 3.3. Seleco rterjum U stuacj ada mamo vel broj ezavsh promeljvh oje mogu, a e moraju bt relevate za doošeje pretpostav o zavsoj promeljvoj, orso je mat mogucost reducje modela, tao da u jemu ostau samo promeljve oje am obezbeduju važe formacje o zavsoj promeljvoj. Nje uve trvjalo odluct oju promeljvu treba ostavt u modelu. Masmal model defšemo ao model oj sadrž sve ezavse promeljve oje mogu bt prsute u modelu. Nea predstavlja masmal broj ezavsh promeljvh, tada masmal model ma obl: Y β β... β ε 0 gde su,..., ezavse promeljve, a ε su greše za oje važ da su ezavse, da maju ormalu raspodelu sa ula ocevajem zajedcom varjasom. Kada se defše masmal model, važo je da o sadrž sve ezavse promeljve oje mogu utcat a zavsu promeljvu, al se mora pazt da u model e ude prevše ezavsh promeljvh oje emaju zacaja. Uolo model sadrž prevše ezavsh promeljvh u poredeju sa brojem opservacja, stadarde greše u ocejem parametrma regresje mogu da budu zuzeto vele, što dovod do epreczh rezultata. Taode, što je vec broj ezavsh promeljvh to je vec rz da dode do medusobe orelacje zmedu promeljvh. U opštem slucaju, treba da se 5

17 Razlct prstup redtom sorg sstemu uzme u obzr velca uzora, što je maj uzora, to treba da bude maj masmal model. Postoje raza pravla o tome aav ovaj odos treba da bude. Tao a prmer jedo od tavh pravla aže da b trebalo da bude ajmaje pet opservacja a jedu ezavsu promeljvu, tj. 5. Kada je defsa masmala model, sledec ora je uporedt dva modela odredt oj je od jh bolj. U tu svrhu orstmo selecoe rterjume, cj je zadata da porede masmal model sa reduovam modelom Y β 0 β... β m m β m m... β ε Y β β... β 0 oj se dobja od masmalog modela. Clj je vdet da l reduova model odgovara podacma podjedao dobro ao masmal model, u tom slucaju cemo se odluct da orstmo reduova model umesto masmalog. Sada cemo avest par selecoh rterjuma. R a rterjum. Koefcjet determacje R odreduje olo dobro model odgovara podacma o se racua a sledec ac: gde je S yy R S yy RSS S yy ( Y Y, RSS Y Yˆ ( je suma vadrata rezduala. Ao sa R ozacmo sumu vadrata rezduala masmalog modela, a sa m rezduala reduovaog modela, tada je gde je R j S yy RSS S yy j m m R sumu vadrata RSS j ( Y ˆ ˆ ˆ j0 β j β j... β jj j β ˆ ( gde βˆ j ozacava oceu za parametar β j oja se dobja prmeom metode ajmajh vadrata. Što model bolje odgovara podacma, to je vec R. Dale, jeda od mogucost za poredeje dva modela je da se uporede odgovarajuc oefcjet determacje, pr cemu je model sa vecm oefcjetom determacje preczj. Medutm, ao problem sa javlja cjeca da model sa vecm brojem ezavsh promeljvh ma vec ovaj oefcjet, ezavso od toga aav utcaj te ezavse promeljve maju a zavsu promeljvu. Da b se ovaj problem zbegao uvod se pojam prlagodeog oefcjeta determacje R a oj se dobja a sledec ac: R a ( R 6

18 Razlct prstup redtom sorg sstemu Kao što možemo da vdmo, sa porastom broja promeljvh, e mora da zac da ce R porast. Prema R rterjumu zaljucujemo da treba da se zabere model sa a ajvecm R a. a F-test rterjum. Ideja ovog rterjuma je testrat zacajost -m ezavsh promeljvh m,..., u masmalom modelu, sa cljem da se dobje reduova model. Dale, treba da testramo ultu hpotezu: F-test statsta je data sa: F m H 0 : β m... β 0 ( RSSm RSS /( m RSS /( gde su RSS m RSS defsae sa (. Ao se hpoteza H 0 prhvat, reduova model odgovara podacma podjedao dobro ao masmal, pa samm tm možemo da orstmo reduova umesto masmalog modela. F-test rterjum za seleovaje promeljvh alaz ajmaj podsup ezavsh promeljvh,,.., m tavh da test statsta F m je zacaja. Kada smo se upozal sa selecom rterjumma, možemo da avedemo selecoe metode oje orste ove se rterjume da b odredle da l se u modelu alaz optmala broj promeljvh. Jeda ovava metoda je tzv. elmacja uazad. Ova metoda je u sušt z testova zacajost ezavsh promeljvh. Dale, zaljucujemo da oa orst F-test rterjum. Elmacja uazad pocje sa masmalm modelom u svaom orau elmše promeljvu sa ajvecom p-vredost, pr cemu je uapred odrede vo zacajost. Ova metoda se završava oda ada emamo mogucost vše jedu promeljvu da sljucmo z modela. Druga metoda je metoda uapred, oja a raju treba da da ste rezultate ao elmacja uazad. Ova metoda pocje sa prazm modelom u svaom orau dodaje promeljvu oja je ajzacajja tao sve do se dode do stuacje da se vše ema orst od dodavaja ovh promeljvh. Kombacja ove dve metode je predstavljea u metod po etapama. U prvom orau ove metode se dodaje promeljva promeljva sa ajvecom vredošcu oefcjeta determacje R. Koefcjet determacje ostalh promeljvh se sptuju da se vd da l oe obezbeduju ee dodate formacje za model. Kada je dodata ova promeljva u model, pomocu F-testa se proverava zacajost promeljvh oje se u tom treutu alaze u modelu. Oe promeljve oje ulasom ove promeljve su vše zacaje, zlaze z modela. Može se dest da promeljva oja ušla u model u prethodom orau, u eom od sledech oraa zgub zacaj, u tom slucaju oa zlaz z modela. Ovaj proces se astavlja sve do se e dode do toga da ema vše orst dodavat ove promeljve. 7

19 Razlct prstup redtom sorg sstemu 3.3. Metod masmale verovatoce Kada mamo vše od jedog opažaja za promeljvu, tada am je bto da zamo broj opažaja broj uspeha oje ozacavamo sa y. Tada su {Y,.Y N } ezavse bare promeljve sa ocevajem E(Y π(, gde je... N. Tada je jhova zajedca fucja verovatoce jedaa: N y L( β π ( ( π ( Prmeom metode masmale verovatoce dobjamo ocee za β. Kao što sama rec aže, traž se masmala vredost ove fucje, oja se dobja ada prv zvod zjedacmo sa ulom. Dobjamo sstem elearh jedaca po β oj treba da rešmo: y gde je N N y ˆ π 0,,..., p ( π ˆ ep( p p ep( βˆ βˆ ocea za π(. Za rešavaje ovog sstema orst se e teratv postupa, ajcešce Newto-Raphso algortam. Kada ovaj sstem rešmo po β, svao ovavo rešeje, ao postoj, odreduje jedu rtcu tacu, l mmum l masmum. Krtca taca ce bt masmum ao je matrca drugh parcjalh zvoda egatvo defta, tj. ao je sva elemet a djagoal matrce maj od ule. Ova matrca ce mat elemete sledeceg obla: a b a π ( π L( β Matrca se azva Fsher-ova matrca podataa. β β Matrca ocejeh ovarjas ma sledec obl: côv( β ˆ ( X' dag( πˆ ( πˆ X gde dag ( πˆ ( ˆ π predstavlja N N djagoalu matrcu sa elemetma πˆ ( πˆ a glavoj djagoal. Kvadrat ore elemeata sa glave djagoale ( matrce ovarjas su ocejee stadarde greše oefcjeata βˆ. Rezultat logt regresje mogu da se terpretraju a vše aca. Kao prvo, ao posmatramo jedacu u oblu πˆ l( β β β 0... πˆ 8

20 Razlct prstup redtom sorg sstemu tada se sa jedcm porastom (smajejem ezavse promeljve logartam odosa verovatoca povecava (smajuje za β. Naravo, u slucaju ada su sve ezavse promeljve jedae ul, ovaj odos ce bt jeda ostat β 0. Medutm, ova jedaca može da se trasformše espoecrajem: πˆ ep( β πˆ β... β ep( β ep( β...ep( β 0 0 u ovom slucaju ao poraste za jedu jedcu, oceje odos ce porast ep(β puta. Uolo su sve ezavse promeljve jedae ul, tada ce ovaj odos bt jeda ep(β 0. A ao posmatramo sledecu jedacu: π ˆ ep( p p ep( je lao protumact rezultate logt regresje Newto-Raphso algortam (NRA βˆ βˆ Newto-Raphso algortam je teratv postupa za rešavaje elearh jedaca. Sada cemo poazat ao NRA odreduje vredost βˆ ada se masmzra fucja L(b. Nea je u ( L( β / β,..., L( β / β, a sa H ozacavamo Hesja matrcu oja ma sledece elemete ' p h ab a L( β / β β. Nea je sa u (t H (t ozaceo u H u b (t, što predstavlja t-t poušaj za βˆ. Kora t teratvog procesa (t 0,,,... oj aprosmra L(b u blz b (t Tejlorovm polomom drugog reda je: L( β L( β u ( β β ( β β b ' H ( β β ( t ( t' ( t ( t ( t ( t ( t ( t ( t Rešavajuc L( β / β u H ( β β 0 po b dolazmo do sledece tace, što može da se zapše a sledec ac: b (t b (t (H (t - u (t ( pretpostavljamo da H (t je sgulara matrca. U slucaju logartamse regresje mamo sledec slucaj: ( t L u j ( β ( t β ( t ( y π β j ( t L( β ( t ( t h ab β ( t a bπ ( π β β gde je p (t t-ta aprosmacja za πˆ dobjea uz pomoc b (t a b j 9

21 Razlct prstup redtom sorg sstemu π ( t ep( p p ep( β ( t β ( t Korstmo jedacu ( da b dobl sledecu vredost b (t : β ( t ( t ( t ( t ( t β ( X ' dag( π ( π X X '( y µ ( t ( t gde je µ π. Ova vredost se dalje orst da se dobje p (t tao dalje. Vredost p (t b (t overgraju a oceama oje se dobjaju uz pomoc fucje masmale verovatoce πˆ βˆ. A Hesja H (t overgra a Hˆ X ' dag( ˆ ˆ π ( π X Testraje hpoteza Za testtraje hpoteza orst se Waldov test oj se ajcešce orst da poaže da l efeat postoj l e, tj. o poazuje da l ezavsa promeljva ma statstc zacaja odos sa zavsom promeljvom. Waldov test pored ocee βˆ parametara od zacaja β sa predložem vredostma u ultoj hpotez β 0, pod pretpostavom da ce se razla ove dve vredost aprosmrat ormalom raspodelom, pa se vadrat ove razle aprosmra χ raspodelom. Dale, Waldova statsta ma sledec obl: ( βˆ j β j0 var( βˆ ~ χ βˆ j β j0 l ~ N(0, se ˆ ( βˆ gde se sˆ e( βˆ dobja tao što se uzme verz elemet z ocejee Fsher-ove matrce podataa. Uolo testramo hpotezu za vše parametara u sto vreme, pod pretpostavom da je H 0 : β β 0, Waldova statsta ma sledec obl: [ cov( βˆ ] ( βˆ W ( βˆ β0 ' β0 oja prat χ raspodelu, a broj stepea slobode je jeda ragu matrce ovarjas. Drug test oj se orst za testraje parametara je test odosa verovatoca (lelhood-rato test. Obco se obeležava sa grcm slovom Λ (velm lambda predstavlja odos dve masmale vredost: prva je masmum dobje od parametara pod pretpostavom ulte hpoteze oj se ozacava sa l 0 opšteg masmuma, tj. masmuma dobjeog pod pretpostavom H 0 H taj masmum U A ozacavamo sa l. Odos Λ l 0 / l e može da bude vec od jeda. Wls je poazao da -logλ prat χ raspodelu gde je broj stepe slobode jeda razlc dmezja parametara pod pretpostavama H 0 H H 0. Dale, U A 0

22 Razlct prstup redtom sorg sstemu - logλ - log(l 0 / l - (L 0 - L Trec ac za testraje hpoteza je sor test. To je ajmocj test ada je prava vredost parametra blzu ocejee vredost. Nea je L fucja verovatoce oja zavs od parametra β, tada je sor fucja: Fsher-ova matrca podataa je: L( β u ( β β L( β I ( β β Tada je statsta oja testra hpotezu H 0 : β β 0 data sa: u( β S 0 ( β ~ χ I( β Kostrusaje tervala povereja Nea z a predstavlja z-vredost stadardzovae ormale raspodele oja ma verovatocu a, tj. to je 00(-a% rapodele. Nea χ df (a predstavlja 00(-a% χ raspodele sa df stepe slobode. Tada je terval povereja za Waldov test sup β 0 za oje je: Što daje sledec terval: β ˆ ± SE. z / βˆ β SE 0 < z Za test odosa verovatoca terval povereja je sup β 0 za oje je Podsetmo se da je χ z. ( / / [ L ( β L( βˆ ] < χ ( 0 Do je za sor test terval povereja sup β 0 za oje je u β 0 I( β ( < χ 0 (

23 Razlct prstup redtom sorg sstemu Prmea softvera Uz pomoc statstcog paet Statgraphcs cemo prazat jeda jedostava prmer logt regresje. Pretpostavmo da mamo zavsu promeljvu Loš oja uzma vredost uolo je ljet loš vredost 0 ao je ljet dobar, pet ezavsh promeljvh: Starost: oja poazuje olo ljet ma goda Mušo: bara promeljva oja uzma vredost uolo je ljet mušo Prhod: oja predstavlja ljetove prhode Ožeje: bara promeljva oja uzma vredost uolo je ljet ožeje Vlas staa: bara promeljva oja uzma vredost uolo je ljet vlas staa u ome žv Promeljve oje ulaze u model Kada smo uel ove podate u rad lst, možemo da prmemo logt regresju da vdmo ave cemo rezultate dobt. Prvo dobjamo prozor u ome se alaz tabela sa ocejem parametrma regresje uz pomoc fucje masmale verovatoce, jhovm stadardm grešama ocejem «odds» odosom oj se dobja a sledec ac: odds _ rato ep( βˆ π o predstavlja proceat u ome se povecava odds uolo dode do jedcog π poveca promeljve X. Taode dobjemo tabelu sa rezultatma testa zacajost promeljvh. Kao što možemo da prmetmo, ovaj paet orst test odosa verovatoca da testra zacajost promeljvh u modelu. Na raju mamo rata ops rezultata, ao regresou jedacu.

24 Razlct prstup redtom sorg sstemu Statgrahcs am daje opcju da vdmo ol su 95% terval povereja za ocejee parametre. 3

25 Razlct prstup redtom sorg sstemu Da b vdel da l postoj odredea medusoba orelacja zmedu promeljvh možemo da orstmo opcju za dobjaje orelacoe matrce: Taode, mamo mogucost prmee raje opsah selecoh metoda to metode uapred metode elmacje uazad za aš prmer dobjamo sledece rezultate. Za metod uapred: 4

26 Razlct prstup redtom sorg sstemu A za metod elmacje uazad: 5

27 Razlct prstup redtom sorg sstemu Statgraphcs am omogucava da grafc pražemo ocejeu verovatocu da je ljet loš u odosu a pojedacu ezavsu promeljvu, do ostale ezave promeljve ostaju ostate. M ecemo dat grafe za sve ezavse promeljve, ego samo za jedu, a prmer Vlas staa: Paet Statgrahcs je vrlo orsta softver oj am pored ovh, gore avedeh, omogucava još moštvo drugh aalza a podacma oje am mogu bt od orst. 6

28 Razlct prstup redtom sorg sstemu 3.4 Probt aalza Probt aalza je alteratva logt aalz. Logt probt aalzu su jao slce, samo što logt aalza orst logartam proporcje verovatoca, do probt orst umulatvu ormalu raspodelu. Graf umulatve ormale raspodele ma obl slova S rece se u gracama od 0 do, što je vrlo slco grafu logt fucje. Dale, zaljucujemo da ove dve metode daju vrlo slce rezultate. Logt rva Probt rva 7

29 Razlct prstup redtom sorg sstemu Probt fucja je verza fucja raspodele oja je povezaa sa stadardom ormalom raspodelom. Probt model je specjal obl geeralzovaog learog modela, uglavom se orst u regresj. Nea je Y zavsa promeljva, a X vetor ezavsh promeljvh, tada probt model aže da je: P( Y X Φ( ' β gde je Φ fucja raspodele stadarde ormale raspodele. Parametr β se ocejuju pomocu fucje masmale verovatoce. Všedmezoal probt model je geeralzacja probt modela oj se orst ada treba zajedo da se oce eolo povezah barh promeljvh. Nea su Y Y bare zavse promeljve tao da je Y Y ( Y > 0 ( Y gde je Y Xβ > 0 Y Xβ ε ε gde je X vetor ezavsh promeljvh pretpostavlja se da oe maju ormalu raspodelu sa ula ocevajem, jedcom varjasom oefcjetom orelacje ρ. Logartamsa fucja verovatoce za probt model ma sledec obl: ll N y N y ( y lφ ( l( φ(, ; ρ N y ( y l( φ( φ (, ; ρ gde φ( φ(, ; ρ predstavljaju jedodmezoalu baru stadardu ormalu fucju raspodele. Ova fucja am dalje služ za oceu parametara β, β, ρ uz pomoc fucje masmale verovatoce Prmea softvera I u slucaju probt aalze, zuzeto am je orsta paet Statgraphcs. Korstcemo se prmerom oj smo dal u odelju Kada a date podate prmemo probt aalzu, dobjamo sledece rezultate: 8

30 Razlct prstup redtom sorg sstemu Kada uporedmo ove rezultate sa rezultatma oje smo dobl putem logartamse regresje, možemo da prmetmo da su o vrlo slc. I orelacoa matrca daje slce rezultate: 9

31 Razlct prstup redtom sorg sstemu I u slucaju probt aalze možemo da prmemo selecoe metode. Pr tome, metoda uapred daje sledece rezultate: 30

32 Razlct prstup redtom sorg sstemu Do metoda elmacje uazad u slucaju probt aalze zgleda ovao: 3

33 Razlct prstup redtom sorg sstemu Kada grafc predstavmo, vdmo da su grafc slc logt regresj, što smo vec apomeul u teorjsom delu, a ovo je samo potvrda toj cjec: 3

34 Razlct prstup redtom sorg sstemu 3.5 Tobt model Tobt model je tp regresje sa ogracejem oj odreduje odos zavse y ezavsh promeljvh. Tobt model ma sledec obl: gde je y eopažea promeljva, tao da je: y y, y > 0 0, y 0 y β u, u N (0, σ Cesta modfacja Tobt modela je da se odred prag y L oj je razlct od ule, tada posmatramo sledec slucaj: y y, y y L, y > y y L L Logartamsa fucja verovatoce za tobt model ma sledec obl: l L N y β β ( d ( lσ lφ( ( d l( φ( σ σ gde je φ fucja ormale raspodele, a d je datorsa promeljva: 0, y y, y > y d Uz pomoc fucje masmale verovatoce ocejujemo parametre β. L L 33

35 Razlct prstup redtom sorg sstemu 4. Model redtog sorga sstema 4. Prmea problema separacje Sada cemo a prmeru vdet ao se problem separacje prmejuje a redt sorg sstem. Korstmo se prmerom datm u radu «Credt Cards Scorg wth Quadratc Utlty Fucto» [6]. Nea je zahtev za redtu artcu objeat, a a prmer stava «braco staje» oje se popujava u zahtevu za redt je datorsa promeljva. Pretpostavmo da mamo sup od m objeata ea je sva objeat predstavlje vetorom (,...,,,...,m gde su,..., datorse promeljve. Nea je Ω sup svh moguch vredost -tog datora. U slucaju ada mamo dsreta dator, pretpostavljamo da lasfacja pocje sa ulom prma uzastope cele vredost. Tao a prmer, «braco staje» možemo odrat a sledec ac: 0 razvedea, eudata, udata. U slucaju ada mamo epredu promeljvu, ju možemo zamet supom dsreth datora. Pretpostavmo da želmo da dsretzujemo -tu datorsu promeljvu za objeat (,...,. Nea -t dator prma vredost z tervala (0, t, gde je t ceo broj. Na prmer, za epred dator ao što je «starost», možemo uvest sledecu aprosmacju: gode < >84 od Posmatrae fucje orsost, pogotovo vadrata fucja orsost, mogu bt suvše flesble (tj. mogu mat prevše stepe slobode za sup podataa sa malm brojem tacaa. Uvodeje ograceja, ao što je a prmer ograceje mootoost a datorse promeljve može da smaj preomeru flesblost modela. Za learu fucju orsost, uslov mootoost za datorse promeljve se defše a sledec ac: leara fucja c T u ( c c je rastuca po ao samo ao je c > 0. Na prmer, za problem sorg sstema možemo ametut uslov mootoost za promeljve oje odgovaraju datoru «braco staje»: razvedea eudata udata Za vadratu fucju je mogo teže ametut ograceje mootoost. Posmatramo potlasu mootoh vadrath fucja sa eegatvm elemetma matrce D vetora c. Ovava fucja je mootoa po svaoj promeljvoj a R {(,..., 0, {,...,}}. Da bsmo mogl da orstmo tavu lasu fucja, potrebo je da datorse promeljve budu eegatve rastuce po preferecj. Za ee datore je moguce ametut ograceje mootoost, do je za druge bolje orstt ee druge osobe, ao što su ovesost oavost. Ao 34

36 Razlct prstup redtom sorg sstemu posmatramo epreda dator «starost», pretpostavmo da su sredje gode bolje od mladh starjh ea je preferecja data sa: {0-8} {8-0} {-4} {5-9} {85- } {76-84} {60-75} {56-59} {30-55} Preferecja za gode je odredea pomocu emootoog rterjuma ad celm opsegom goda. Ovo možemo uvrstt u model redtog bodovom sstema a sledec ac: Možemo da pretpostavmo da je fucja orsost oava po datoj promeljvoj. Ovo možemo obezbedt racuajem drugog zvoda po datoj promeljvoj uvodejem sledeceg ograceja u model learog programraja: u( 0 Kodraje dator promeljve «starost» možemo zvest a sledec ac: g o d e < >84 o d Na raju želmo da odredmo pragove u u fucju u( oja lasfuje sup svh zahteva za redt X { I} a sledec ac: Zahtev je odobre ao samo ao je u u( Odlua o zahtevu je odložea ao samo ao je u u( < u Zahtev je odbje ao samo ao je u( < u Razmatramo fucju orsost oja je leara po promeljvama oje su oršcee za odlucvaje, leara l vadrata po datorsm promeljvama. Da bsmo ašl fucju orsost oja lasfuje sup objeata sa mmalom grešom rešavamo raje objašjee probleme learog programraja, u odelju

37 Razlct prstup redtom sorg sstemu 4. Dve faze redtog ocejvaja u procesu odobravaja redta Pr podošeju zahteva za redt, od potecjalog ljeta se zahteva da dostav osove lce podate, vlasštvo ad ucom l eporetom movom, podate o zaposleju, redtu storju staje fasjse atve pasve. Pored ovh podataa dostavljeh od ljeta, baa traž zveštaj o ljetu z redtog broa. Na osovu svh ovh podataa, baa doos odluu o redtoj sposobost ljeta. Ovaj postupa se ajcešce zove espert sstem redte procee. Espert sstem je asje zameje redtm sorg sstemom, oj je matematc model oj orst araterste podosoca zahteva da b zracuao sor ljeta, oj se povezuje sa verovatocom da ljet ece bt u mogucost da vraca redt (probablty of default - PD, l da ragra ljete a osovu jhovog default rza (rza da ece vratt redt. U ovom delu rada, oj se pozva a rad «Two stages credt evaluato ba loa apprasal» [5], cemo vdet da baa u procesu odlucvaja prolaz roz dve faze, pr cemu cemo avest rterjume oj se uzmaju u obzr da b se ocelo da l se splat zvodt drugu fazu odlucvaja, pošto se prva uve zvod. Kao što smo vec apomeul ljete lasfujemo u dve grupe: dobre loše (G B u zavsost od toga da l ce otplatt redt ada o dode a aplatu. Pretpostavlja se da je proceat dobrh G ljeata oj su redto sposob oj ce soro sguro otplatt redt jeda, gde je 0<<. Do je proceat lošh B ljeata oj ce ast u otplat redta verovato ga ece otplatt jeda -. Medutm, ada baa odobrava redt oa e može sa sgurošcu da tvrd ojoj grup ce prpast ljet. Nao što baa prm redt zahtev sa zahtevam doumetma, oa ce doet prelmaru odluu a osovu redtog sorg modela zasovaog a stadardzovam podacma. Ova faza ocee se azva prva faza redte procee (e. Baa zatm može da traž dodate formacje o ljetu tada se prelaz u drugu fazu redte procee (e. Stopu preczost za prvu fazu redte procee cemo ozacavat sa, to je verovatoca da ce ljet z grupe G (odoso B bt taco lasfova u grupu G (odoso B. Al taode postoj - šase da baa lasfuje ljeta z grupe G u grupu B obruto. Trošov rezervsaja (zaštte od gubtaa su jeda proceatu oj se prmejuje a zos odobreog redta. Bae moraju za svaog ljeta da odvoje odrede zos oj ce m barem delmco port gubte uolo ljet e bude u mogucost da otplacuje redt. Pretpostavlja se da su trošov prve faze zaemarljv. Pošto baaa u drugoj faz zahteva dodate formacje o ljetu, pretpostavlja se da ce stopa preczost druge faze bt veca od. Kao u prvoj faz, postoj - šase da ce baa pogrešo lasfovat ljeta. Odlua o tome da l ce se baa odluct za drugu fazu je problem orst trošova. Trošov procee A druge faze stope preczost graju odlucujucu ulogu. Uolo dolaz do velog povecaja preczost u drugoj faz u odosu a prvu fazu, orso je zvodt drugu fazu. Medutm, ao je poma mal, ca ao su trošov A relatvo s, baa ce odluct da je dovoljo eoomco da se zvod druga faza. 36

38 Razlct prstup redtom sorg sstemu Verovatoca da l ce baa sprovest drugu fazu procee zavs od rezultata prve faze. Ao je ljet lasfova ao dobar u prvoj faz, verovatoca da ce baa sprovest drugu fazu je jedaa a G, a uolo je lasfova ao loš verovatoca da ce bt sprovedea druga faza je jedaa a B. Model se sastoj z sledech oraa: Kora : ljet podos zahtev za redt sa zahtevaom doumetacjom Kora : baa sprovod prvu fazu redte procee del ljete a dobre loše Kora 3: baa odlucuje da l da odobr redt a osovu rezultata z prve faze l da astav sa drugom fazom. Ao se sprovod samo prva faze, redt velce D sa amatom stopom ce bt odobre samo ljetma oj su svrsta u grupu G, do ce ljet oj su svrsta u grupu B odbje. Kora 4: baa sprovod drugu fazu redte procee. Kora 5: redte odlue se doose a baz rezultata z druge faze procee, tj. ljet oj su lasfova ao dobr, tj. u grupu G su dobl redt, a o oj su lasfova ao loš, tj. u grupu B su odbje. Pretpostavlja se da je amata stopa veca od proceta trošova rezervsaja. Stopa povracaja bae zavs od vse amate stope (, proceta rezervsaja za evetuale gubte ( velce redta (D. Da b se model pojedostavo pretpostavlja se da je ocevaa stopa povracaja od davaja redta dobrom ljetu (E(r G poztva, a lošem ljetu (E(r B egatva, tj. E(r G D(- > 0 E(r B - D( < 0 Lema Bez upotrebe sstema procee redtog rza, baa daje redt sa amatom stopom, gde se može posmatrat ao amata stopa u savršeo ouretom redtom tržštu oja osgurava da ce ocevaa stopa povracaja za bau bt eegatva. Doaz Bez upotrebe sstema za oceu redtog rza, baa ce odobrt redt ao samo ao je ocevaa stopa povracaja E(r za bau eegatva. E( r E( r G ( E( r B 0 D( ( D( 0 D( 0, D 0 U pras, baa ce uve sprovest prvu fazu da b procela redtu sposobost ljeta. Pretpostavlja se da su trošov sprovodeja prve faze zaemarljv da baa uve zvod ovu fazu. Lema postavlja doju gracu a stopu preczost prve faze. 37

39 Razlct prstup redtom sorg sstemu Lema Pretpostavljamo da su trošov prve faze procejvaja zaemarljv, sledec uslov za stopu preczost prve faze mora da bude zadovolje da b se sprovela prva faza procee: ( ( ( ( U uslovma savršee ourecje a redtom tržštu, je jedao ½. Doaz Da b baa sprovela prvu fazu procee, oceva povracaj oj zavs od procee prve faze E(r e mora da bude vec l jeda ocevaom povracaju E(r bez prmee sstema za ocejvaje. E ( r e E( r D( ( ( D( D( ( D( ( ( ( ( ( ( ( ( U uslovma savršee ourecje, amata stopa. Kada to uvrstmo u dobjamo da je /. Nao što su spuje uslov z Leme Leme, baa ce odluct da l joj se splat da sprovod drugu fazu, l da doese odluu a osovu rezultata z prve faze. Teorema am daje uslov a osovu oga se baa odlucuje za drugu fazu u stuacj ada je ljet lasfova ao dobar u prvoj faz. Do am Teorema daje uslov a osovu oga se baa odlucuje za drugu fazu u stuacj ada je ljet lasfova ao loš u prvoj faz. Teorema Nea je ljet lasfova ao dobar, tj. u grupu G,, ao ( ( ( D je A < AG tada je verovatoca da ce se sprovest druga faza ( ( procee jedaa a, u suprotom je a 0. G G Doaz Ao je ljet u prvoj faz lasfova ao dobar, što ozacavamo sa e G ao je verovatoca zvodeja druge faze procee defsaa sa a G, tada je oceva povracaj za bau ao što se zvede druga faza jeda: E( r e G, e a G ( 0 D A ( a ( ( ( G ( ( ( ( ( ( D ( D ( ( ( ( ( ( 0 D ( ( ( ( ( Baa ce odluct da zvede drugu fazu procee jedo ao povecaje verovatoce sprovodeja druge faze procee ma za posledcu vece ocevae prose, tj. E( r e G, e > 0, u suprotom baa ece sprovest drugu fazu, tj. a G 0. a G 38

40 Razlct prstup redtom sorg sstemu 39 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (, ( > A D a e e r E G G ( ( ( ( ( ( ( (( D A < ( ( ( ( ( A G D A < gde je. Teorema Nea je ljet lasfova ao loš, tj. u grupu B,, ao je ( ( ( ( ( D A A B < tada je verovatoca da ce se sprovest druga faza procee jedaa B a, u suprotom je 0 B a. Doaz Ao je ljet u prvoj faz lasfova ao loš, što ozacavamo sa e B ao je verovatoca zvodeja druge faze procee defsaa sa a B, tada je oceva povracaj za bau ao što se zvede druga faza jeda: 0 ( 0 ( ( ( ( ( ( 0 ( ( ( ( ( ( (, ( B B B a A D D a e e r E Baa ce odluct da zvede drugu fazu procee jedo ao povecaje verovatoce sprovodeja druge faze procee ma za posledcu vece ocevae prose, tj. 0, ( > B B a e e r E, u suprotom baa ece sprovest drugu fazu, tj. 0 B a. 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( (, ( > A D a e e r E B B ( ( ( ( ( ( ( ( ( D A < ( ( ( ( ( A B D A < gde je. Teoreme daju grace trošove druge faze uolo baa odluc da je sprovede. Ao su stvar trošov druge faze procee maj od grach trošova, splat se sprovodt drugu fazu. Brojlac grach trošova A G A B je orst od zbegavaja gubtaa oj se stvaraju davajem redta lošm ljetma, a melac predstavlja proceat ljeata oj su lasfova ao dobr odoso ao loš u prvoj faz.

41 Razlct prstup redtom sorg sstemu U ovom modelu, pretpostavlja se da baa zjedacava amatu stopu sa amatom stopom u uslovma savršee ourecje a tržštu aptala, tj.. Lema 3 A G A B. Ao je < ½ ½ tada je A G A B. Al ao je > ½ ½ tada je Doaz Ao je A, tada je G A B ( ( ( ( ( ( D ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( / ao je < / Dale, ao je / < / tada je AG A B. Ao je A, tada je B A G ( ( ( ( ( ( D ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( / ao je > / Dale, ao je / > / tada je AB A G. Lema 3 poazuje da ao je proceat ljeata oj otplacuju redt maj (vec od oh oj ase u otplat, grac trošov za dobre ljete su vš (ž od th trošova za loše ljete. Teorema 3 Nea je ½, ½, ( ao je A < A G A B, tada je a G a B ( ao je A A G A B, tada je a G a B 0, gde je a ( ( ( D A B. ( ( A G ( ( ( D, ( ( Doaz Ao je / tada je ( ( ( D A G ( ( D ( ( 40

42 Razlct prstup redtom sorg sstemu ( ( ( D A B ( ( D ( ( Pošto je A G A B, ( ao je A < A G A B oda je a G a B a osovu Teoreme Teoreme ( ao je A A G A B, tada je a G a B 0 a osovu Teoreme Teoreme. Teorema 3 poazuje da ada je proceat dobrh lošh ljeata jeda, tada su grac trošov jeda. Teorema 4 Nea je < ½, ½, ( ao je A < A B, tada je a G a B ; ( ao je A B A < A G, tada je a G a B 0; (3 ao je A A G, tada je a G a B 0, gde je ( ( ( D A B. ( ( A G ( ( ( D ( ( Doaz Na osovu Leme 3, ao je < / / tada je AG A B. Zatm, ( ao je A < A B, tada je a G a B a osovu Teoreme Teoreme ( ao je A B A < A G, tada je a G a B 0 a osovu Teoreme Teoreme (3 ao je A A G, tada je a G a B 0 a osovu Teoreme Teoreme Teorema 5 Nea je > ½, ½, ( ao je A < A G, tada je a G a B ; ( ao je A G A < A B, tada je a G 0 a B ; (3 ao je A A B, tada je a G a B 0, gde je ( ( ( D A B. ( ( A G ( ( ( D ( ( Doaz Na osovu Leme 3, ao je > / / tada je AG A B. Zatm, ( ao je A < A G, tada je a G a B a osovu Teoreme Teoreme ( ao je A G A < A B, tada je a G 0 a B a osovu Teoreme Teoreme (3 ao je A A B, tada je a G a B 0 a osovu Teoreme Teoreme 4

43 Razlct prstup redtom sorg sstemu Teoreme 4 5 demostrraju, da u zavsost od odosa dobrh lošh ljeata, baa sprovod optmalu strategju da l da zvede drugu fazu a ( obe grupe, ( samo jedoj grup l (3 a jedoj grup. Ao je proceat ljeata oj otplacuju redt maj od proceta ljeata oj ase u otplat, grac trošov za dobre ljete su vš od oh za loše ljete. U ovom slucaju postoj mogucost (ao je A B A < A G da baa odluc da sprovede drugu fazu samo a dobre ljete. Tada bae teže da sprovedu drugu fazu procee a ljete oj su lasfova ao dobr, u suprotom, amera da se dalje procejuje je mogo slabja. Uolo je proceat dobrh ljeata vš od proceta lošh ljeata, grac trošov ce bt ž od oh za loše ljete. U tom slucaju postoj mogucost (ao je A G A < A B da baa odluc da sprovede drugu fazu samo a loše ljete. Tada bae teže da sprovedu drugu fazu procee a ljete oj su lasfova ao loš, u suprotom, amera da se dalje procejuje je mogo slabja. Sada cemo a ratom umercom prmeru vdet ava je osetljvost rezultata u zavsost od vredost parametara (, D,, Pretpostave: 5%, D $00, 0.6, 0.7 Rezultat a a % 6.5% A G $ 0.89 $ 3.3 A B $.8 $. Pretpostave: 5%, D $00, 0.6, % 6.50% A G $.67 $ A B $ 3.84 $ Kao što vdmo z tabele, ao se pretpostav da je 0.95 da je mala promea u stop preczost, A G A B su veoma s pr cemu je A G ža od A B, što je u saglasost sa Teoremom 5. Ao proceat dobrh ljeata pade spod 0.50 ( 0.40, zajedo sa A G A B se drastco povecava u tom slucaju je A G vece od A B, što je u saglasost sa Teoremom 4. Medutm, u tom slucaju, amata stopa mora da bude zuzeto vsoa (6.5 %. U drugom prmeru vdmo da zacaja apreda u stop preczost rezultra u všm gracm trošovma A G A B, a samm tm je veca težja da se sprovede duga faza procejvaja. 4

44 Razlct prstup redtom sorg sstemu 4.3 Prmea probt tobt modela U pras, veca redth sorg sstema pat od prstrasost pr odabru uzora zbog toga što se model ocejuju a uzoru oj se sastoj od odobreh redta, pr cemu se e uzma u obzr rterjum po ojem se ljet odbjaju. Glav razlog tome je edostata podataa o odbjem ljetma oj su dostup javost. Boyes je zbegao ovu prstrasost tao što je formrao bar probt model sa dva uzastopa dogadaja ao zavse promeljve: odlua da l odobrt redt l e, zavso od toga da l je redt odobre, ljetova sposobost da ga otplat. O je, orstec svoj model, došao da zaljuca da odobravaje redta je u saglasost sa mmzacjom rza da ce ljet bt loš. Za poceta treba ocet eprstrasa redt sorg sstem, tj. bar probt model. U ovom prmeru oršcea je vela baza podataa oja sadrž vel sup fasjsh lch formacja ao o odobrem tao o odbjem ljetma. Sup podataa se sastoj od 3,338 zahteva za redt u jedoj Švedsoj bac u perodu zmedu septembra 994. avgusta 995. gode (pozvamo se a rad «Ba ledg polcy, credt scorg ad value-at-rs» []. Kredt su dava u oblu redth artca. To su revolvg redt tao da emaju odredeo vreme do ada treba da se otplate. U ovom prmeru, redt se lasfuje ao loš uolo je u ašjeju dužem od devedeset daa samm tm je završo u agecj za aplatu redta oj su u problemu. Od poceth 57 promeljvh, oršceo je samo 7 za oacu oceu modelu. Moge promeljve su sljucee z modela zbog odsustva odosa sa promeljvama od zacaja - odlua da l odobrt redt poašaje pr otplat redta. Drug razlog je zuzeto jaa orelacja sa eom drugom promeljvom oja se odos a stu stvar (ao što su a prmer bruto eto prhod, a ova druga ma vecu objašjavajucu moc. Promeljve oje se alaze u oacom modelu jhove defcje su sledece:. Starost olo goda ma ljet. Mušo bara promeljva, uzma vredost ao je ljet mušo 3. Razvede - bara promeljva, uzma vredost ao je ljet razvede 4. Kuca- bara promeljva, uzma vredost ao je ljet vlas uce 5. Vel grad - bara promeljva, uzma vredost ao ljet žv u jedom od tr ajveca grada 6. Broj zahteva broj zahteva za formacje o ljetu oje je redt bro prmo u posledjh 36 mesec 7. Preduzece - bara promeljva, uzma vredost ao ljet ma oporezujuc prhod od regstrovaog posla 8. Prhod prjavlje godšj prhod od plata 9. Razla prhoda razla zmedu godšjh prhoda teuce prethode gode 0. Kaptal - bara promeljva, uzma vredost ao ljet ma oporezujuc prhod od aptala 43

45 Razlct prstup redtom sorg sstemu. Balas odos prhoda uuph redth apacteta, zražeo u procetma. Nula lmt - bara promeljva, uzma vredost ao ljet ema ezmreh obaveza po redtma 3. Lmt uupa odobre zos redta 4. Broj redta broj redta 5. Upotreblje lmt - proceat Lmta oj je soršce 6. Izos redta zos odobreog redta 7. Jemac - bara promeljva, uzma vredost ao ljet ma jemca Od svh 3,338 ljeata, 6899 l 5.7% je odbjeo za redt. Dale, 6439 ljeata je doblo redt. U Tabel su date desrptve statste za gore avedee promeljve. Tabela : Desrptve statste za promeljve oršcee u modelu Promeljve Sredja vredost Odobre ljet (N Odbje ljet (N Stadarda devjacja Mmala vredost Masmala vredost Sredja vredost Stadarda devjacja Mmala vredost Starost Mušo Razvede Kuca Vel grad Broj zahteva Preduzece Masmala vredost Prhod Razla prhoda Kaptal Balas Nula lmt < Lmt Broj redta Upotreblje lmt Jemac Prmetmo da je u ovoj tabel zostavljea promeljva «Izos redta», razlog je taj što oa ema vredost za odbjee ljete, al se alaz u sledecoj tabel u ojoj su predstavljee vredost za odobree ljete. U otobru 996. je urade motorg ljeata ojma je odobre redt došlo se do zaljuca da je 6% l 388 ljeata zapalo u problem emogucost otplacvaja 44

46 Razlct prstup redtom sorg sstemu redta, tj. bl su proslede u agecju za aplatu duga, do su ostal ljet redovo otplacval redt. U Tabel predstavljee su desrptve statste za ove ljete: Tabela : Desrptve statste za odobree redte Promeljve Sredja vredost Loš ljet (N Dobr ljet (N Stadarda devjacja Mmala vredost Masmala vredost Sredja vredost Stadarda devjacja Mmala vredost Starost Mušo Razvede Kuca Vel grad Broj zahteva Preduzece Masmala vredost Prhod Razla prhoda Kaptal Balas Nula lmt < Lmt Broj redta Upotreblje lmt Izos redta Jemac U ovom prmeru orst se bar probt model oj se sastoj od dve smultae jedace. Prva y za odluu da l odobrt redt l e, a druga y za bar rezultat, «dobar» l «loš» ljet. Nea je sa ozacea eopažea promeljva pretpostavljamo da je: y ε y ε za,,..., N gde su j, j,, j vetor ezavsh promeljvh pretpostavlja se da oe maju ormalu raspodelu sa ula ocevajem, jedcom varjasom oefcjetom orelacje ρ. Bara promeljva y uzma vredost ao je redt odobre, a uolo je ljet odbje uzma vredost 0: y 0, odbje( y < 0, odobre( y 0 45

47 Razlct prstup redtom sorg sstemu Bara promeljva y uzma vredost ao je ljet dobar, a 0 uolo je ljet loš: y 0, loš( y < 0, dobar( y 0 Oceje parametr jhove stadarde greše su predstavljee u Tabel 3. Tabela 3: oceje parametr barog probt modela Promeljve P (da je redt odobre P (da je ljet dobar ˆ t - statsta ˆ t - statsta Kostatta Starost Mušo Razvede Kuca Vel grad Broj zahteva Preduzece Prhod Razla prhoda Kaptal Balas Nula lmt Lmt Broj redta Upotreblje lmt Izos redta Jemac ρ gde,, predstavljaju 0%, 5% % vo zacajost. Prmetmo da «Izos redta» e može da se orst ao ezavsa promeljva u prvoj jedac, pošto e postoje podac za ovu promeljvu u slucaju odbjeh ljeata. Utcaj vece promeljvh a verovatocu da ce ljet bt loš je u saglasost sa poltom bae. Tao a prmer «Prhod», «Kuca», «Preduzece», «Broj redta» «Jemac» su vrlo bt fator oj poztvo utcu, do «Nula lmt», «Lmt» «Upotreblje lmt» maju egatva utcaj ada baa doos odluu. Promeljva «Izos redta» ema zacaja utcaj a rz da ce ljet bt loš, do «Lmt» ma mogo vec utcaj. Zato se mora bt obazrv u geeralzacj ovh 46

48 Razlct prstup redtom sorg sstemu rezultata u slucaju ada je odos «Izosa redta» «Lmta» blzu jeda. Al pa, rezultat poazuju da ada se posmatraju maj redt, zos redta e utce a rz oj os taj plasma. Koefcjet orelacje poazuje soro savršeu orelacju zmedu odlue da se odobr redt rza da ce ljet bt loš. Kada se posmatraju rezultat u Tabel 3, dolaz se do sledech zaljucaa: prvo, veca promeljvh oje poztvo utcu a odobravaje redta su medu oma oje smajuju rz da ce ljet bt loš, dale, baa e tež a tome da mmzra rz; taode, rezultat poazuju da zos redta e utce a rz. Dale, bae teže da odobravaju vece redte ca ao su o rzcj da b masmzrale proft, pošto se za rzcje ljete obracuava vša amata stopa, pa je samm tm vša ocevaa stopa prosa. Pored toga da l ce ljet bt loš, za bae je vrlo bto da zaju ada ce se dest da ljet upade u problem prestae da otplacuje redt, tj. da ocee vreme «prežvljavaja redta». Bar Tobt model je vrlo efasa u razdvajaju ljeata oj brzo postau loš oh oj maju duže vreme prežvljavaja l ada e postau loš. Uzet su rezultat z rada «Ba ledg polcy, credt scorg ad the survval of loas» []. Korstmo se vec datm prmerom, jedo što je u modelu umesto promeljve «Starost» uljucea bara promeljva «Ožeje» oja uzma vredost jeda ao je ljet razvede, do u ovom slucaju promeljva «Razvede» zac da je ljet udovac l da je razdvoje. U ovom slucaju, ljet je loš ao as u otplat redta duže od devedeset daa, a dobar ao dalje zmruje svoje obaveze, tj. dalje je atva. Za loše ljete, vreme prežvljavaja predstavlja broj daa zmedu odobravaja redta daa ada je postao loš, do je za dobre ljete vreme prežvljavaja razla zmedu daa ada je odobre redt daa ada je rade motorg, u ovom slucaju 9.otobra 996. Model se sastoj od dve smultae jedace, prva za odluu da l odobrt redt l ga odbt, y, a druga je prrod logartam od vremea prežvljavaja redta (zražeo u dama, t. Nea je sa ozacea eopažea promeljva pretpostavljamo da je: β ε y t β ε za,,..., N ( pretpostavmo da su raspodele dvodmezoale ormale raspodele: ε ε 0 σ ~ N, 0 σ σ Bara promeljva y uzma vredost ao je redt odobre, a uolo je ljet odbje uzma vredost 0: 0, odbje( y < 0 y, odobre( y 0 47

49 Razlct prstup redtom sorg sstemu Za loše redte, može da se uoc taco vreme prežvaljavaja. Do za redte oj se dalje redovo otplacuju u vreme motorga, prežvljavaje je ocejeo pošto e zamo da l ce ada ce ljet postat loš. Tao a prmer, redtu oj je odobre.septembra 994. gode prag za ocejvaje ce bt 768 daa, a za redt oj je odobre 3.avgusta 995. gode o ce bt 434 daa. Ova vredost praga za ocejvaje ce bt ozacea sa t. Dale, pravlo za ocejvaje je sledece: t, ao, t < t t, ao, t t t Bara promeljva d razdvaja sup odobreh redta a dobre loše to a sledec ac, uolo je vreme prežvljavaja redta maje od praga t tada je ljet loš, u suprotom je dobar, tj. 0, ao, t t, ao, t > t d Za ocejvaje parametara orstmo sledecu jedacu: ll N ( y l( Φ( N yd lφ ( β, σ β β t N ; ρ β y ( d lφ( σ σ ( ρ ( t β t β lπ l( σ σ gde Φ( Φ(, ; ρ predstavljaju jedodmezoalu baru stadardu ormalu fucju raspodele, posledja sa oefcjetom orelacje ρ. U Tabel 4 su praza jedodmezoale bare ocee za parametre β β oje su dobjee oršcejem fucje masmale verovatoce. Jedodmezoale ocee za β β se dobjaju ada se pojedaco ocejuju prva druga jedaca u (, pr cemu se pretpostavlja da je ρ 0. Dvodmezoale ocee su dobjee ada su jedace u ( rešavae zajedo, tao da su uzet u obzr efet odabra uzora, taode eophoda je ocea oefcjeta orelacje ρ. Bara probt ocea se dobja ada se u ( umesto druge jedace orst jedaca oja mer default rz, tj. rz da ce ljet bt loš. 48

50 Razlct prstup redtom sorg sstemu Tabela 4: Jedodmezoale bare ocee za parametre; stadarde greše su date u zagradama, a promeljve oje su zacaje a vou zacajost 0% su podebljae Promeljve Kostatta Jedace Odobravaje redta Prežvljavaje redta Nje loš b b a Jedodmezoala Bara Jedodmezoala Bara Bara (0.05 Vel grad (0.07 Mušo (0.08 Razvede (0.040 Kuca 0. 0 (0.08 Ožeje (0.030 Broj zahteva (0.005 Preduzece (0.064 Prhod Razla prhoda ( (0.035 Kaptal (0.05 Nula lmt (0.06 Lmt (0.09 Broj redta Upotreblje lmt Izos redta ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( σ - - ρ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

51 Razlct prstup redtom sorg sstemu U Tabel 4 vdmo da osobe sa vecm prhodom maju vec rz da ce postat loš od osoba sa majm prhodom. Ostale promeljve oje maju oefcjete od zacaja u ovom prmeru su «Broj zahteva», «Nula lmt», «Broj redta», «Lmt» «Upotreblje lmt». Broj zahteva za formacje o ljetu oje redt bro prm je samo za olo je ljetu potreba ov redt, a to samm tm egatvo utce a prežvljavaje tog redta, jer je to ra za da je ljet u problemu. Uolo ljet do sada ema redta, što je predstavljeo promeljvom «Nula lmt», je za da je ljet esusa u otplat redta, što može dovest do toga da brzo ode u default, pa samm tm egatvo utce a vreme prežvljavaja. Za ljete oj vec maju redt se pretpostavlja da vec maju dovoljo sustva u servsraju duga, pa samm tm «Broj redta» «Lmt» poztvo utcu a prežvljavaje redta. Promeljva «Upotreblje lmt» ozacava u om opsegu ljet orst odobre redt, a samm tm utce a smajeje prežvljavaja. Ao posmatramo posledju olou Tabele 4 vdmo da probt parametr oj odreduju verovatocu da ljet bt loš ( maju st za, sem u slucaju promeljve «Kaptal», ao parametr β u tobt modelu oj ocejuje vreme prežvljavaja. Ipa, promeljve ao što su «Mušo», «Razvede», «Kuca», «Vel grad» «Preduzece», oje su zacaje u doošeju odlue emaju utcaja pr aalz rza da ce ljet bt loš t pr aalz vremea prežvljavaja, do promeljva «Broj redta» ma utcaja a prežvljavaje redta, a e gra avu ulogu pr odlucvaju da l treba odobrt redt. Pošto sv sem jedog parametra maju st za u jedac prežvljavaja ao odgovarajuc parametr u barom probt modelu, ove promeljve u sto vreme smajuju, odoso povecavaju ocevao vreme prežvljavaja stopu prosa od redta. Drugm recma, ao baa e tež da mmzra rz da ce ljet bt loš, razlog tome je taj što redt sa vecm rzom maju duže vreme prežvljavaja, a samm tm se oceuju vec pros. Ov rezultat su potvrdl da baa e tež da mmzra rz. Nee promeljve oje povecavaju (smajuju verovatocu da ljetu bude odobre redt u sto vreme smajuju (povecavaju ocevao vreme prežvljavaja (a samm tm pros povecavaju (smajuju verovatocu da ce ljet bt loš. Taode, poazalo se da a odluu bae e utce zos redta. Ovo as vod do zaljuca da baa e tež a tome da masmzra proft, a samm tm vreme prežvljavaja redta. Al sguro je da baa u svojoj poltc ma defsa clj ome tež, a masmzacj l mmzacj eh drugh parametara, ao što su a prmer broj ljeata, proft od odredee vrste prozvoda, l slco. 50

52 Razlct prstup redtom sorg sstemu 4.4 Prmea logt modela Kao se baarso tržšte sve vše šr, e postoj ourecja samo medu domacm baama, ego je oa sve jaca zmedu strah baa. Sve je veca tražja za potrošacm redtma, pa samm tm je eophodo usmert pažju a upravljeje rzom, što as vod do razvjaja dobrog redtog sorg modela ojm se ocejuje redta sposobost ljeta, ola je verovatoca da ce st redovo otplatt. Kredt sorg sstem orst storjse podate o redtma podate o ljetu da odred oje ljetove araterste ajbolje razdvajaju dobre od lošh ljeata. Kada se aprav jeda ovaav model, o se zatm može prmet a ove ljete za oje je pozato sa ojom verovatocom ce postat loš PD (probablty of default. Na osovu ocejeog redtog sorg modela mogu da se zracuaju sorov za svaog ovog ljeta, pr cemu vš sor ozacava maj PD. Ovaj sor zatm treba da se upored sa gracom vredošcu redtog sorg sstema oja odreduje oj zahtev za redt ce bt odobre, a oj odbje, a oju odreduje sama baa u zavsost od toga ol je rz sprema da prhvat. Kao što smo vec vdel postoje raz metod oj mogu da se orste za razvjaje redtog sorg modela, ao što su a prmer probt aalza, dsrmata aalza, leara regresja slco, medutm ovde se orst logartamsa regresja, tj. logt model prmeje a uzora ljeata oj ce Vjetamso fasjso tržšte («A credt scorg model for Vetam's retal bag maret» [5]. Da b mogao da se prme ovaj model prvo treba defsat oje ce araterste da udu u model. Ne postoj avo psao pravlo o broju tpu promeljvh oje ce uc u model. Uglavom se tu alaze araterste oje poazuju fasjse mogucost ljeta ao što se prhod vredost uce oja je u jegovom vlasštvu, a taode promeljve oje to dreto poazuju, ao što su obrazovaje, zatm broj ereta, broj goda a stom poslu slco. Treba obratt pažju a zao oj u em zemljama zabrajuje da se ee araterste, ao što su pol, relgja slco, uljuce u model zbog mogucost dsrmacje. Nao što se ocee oefcjet β uz pomoc metoda ocee masmale verovatoce treba testrat model odredt sa olom preczošcu je oceje model. Ovaj proces se azva valdacja. Uglavom se uzma uzora oj je oršce za zvodeje modela, out-of-sample. Prvo se ocejuju verovatoce da ce ljet bt loš za ovaj uzora. Ov PD-ev se uporeduju sa gracom vredošcu da b odredl da l ce podoslac zahteva bt dobar l loš ljet. Gracu vredost odreduje sama baa, a osovu toga ol rz je sprema da prhvat. Ao a prmer zaberemo da je graca vredost 50%, tada ce ljet cj je oceje PD vec (maj od 50% bt lasfova ao loš (dobar. U ovoj faz se orst matrca lasfacje, gde G g predstavlja broj taco lasfovah dobrh redta, a G b broj dobrh redta oj su pogrešo lasfova. Slco, B b predstavlja broj dobro lasfovah lošh redta, a B g broj pogrešo lasfovah lošh redta. Proceat taco lasfovah redta (PCC služ ao mera preczost. Proceat taco lasfovah dobrh redta 5

53 Razlct prstup redtom sorg sstemu (PCC good je defsa ao odos taco lasfovah dobrh redta uupog broja posmatrah redta. Slco, proceat taco lasfovah lošh redta (PCC bad je defsa ao odos taco lasfovah lošh redta uupog broja posmatrah redta. I a raju, proceat taco lasfovah redta (PCC total je defsa ao odos taco lasfovah redta uupog broja redta. Matrca lasfacje Stvara opažaja O c e v a a o p a ž a j a dobr loš PCC dobr G g G b PCC good G g /(G g G b lo š B g B b PCC bad B b /(B b B g uupo PCC total (G g B g /(G g G b B b B g Baa možda žel da mmzra obe greše, B g G b. Medutm, smajvaje B g dovod do povecaja G b suproto. Iz tog razloga treba razmotrt aav je odos u trošovma (gubcma oj astaju pr pogrešoj lasfacj a osovu tog rterjuma odluct oju grešu treba mmzrat. Sada cemo se upozat sa prmerom vjetamsog baarsog tržšta oje je dalje dosta erazvjeo još uve u mogome zaostaje za razvjem dustrjsm zemljama. Baars sstem dalje pat od edostata aptala, adevate zaštte od moguch gubtaa, se proftablost. Al o se ostato razvja. Da b razvl redt sorg sstem uzet su podac o redtma z jede Vjetamse omercjale bae u perodu zmedu gode. Dobjamo uzora od 56,037 redta. Baa lasfuje ljeta ao lošeg uolo je u ašjeju dužem od 90 daa. Naš uzora sadrž 3.3% lošh ljeata. Pošto uzora sadrž samo formacje o ljetma ojma je redt odobre, o je dovoljo reprezetatva za buduce ljete. Taode, e možemo da predvdmo ao b se odbje ljet poašal da su odobre. Jedo od rešeja je out-of-sample albracja, pr cemu uzora od 56,037 radta delmo a dva poduzora. Pocet uzora sadrž 30,994 redta od cega su 06 (3.3% loš redt hold-out uzora oj sadrž 5,043 redta od cega su 798 (3.% loš redt. Da b se oceo redt sorg sstem, orst se stepeasta metoda uapred. Ova metoda pocje sa modelom oj e sadrž jedu ezavsu promeljvu postepeo dodaje promeljve. U svaom orau, dodaje po jeda promeljva oja ma ajvecu moc u poboljšaju tacost ocejvaja, pr tome se posmatra vo zacajost oj je maj od 5%. Proces se zaustavlja ada se vše e može dodat jeda promeljva sa voom zacajost majm od 5%. Na ovaj ac smo od pocete promeljve, sup svel a 6 ezavsh promeljvh. Da b se osgural da su ovo stvaro ajzacajje promeljve, orst se stepeast metod uazad. Ovaj model u pocetu sadrž promeljve, u svaom orau zbacuje po jedu oja ma ajslabj utcaj ovao dobjamo oach 6 promeljvh ao stepeastom metodom uapred. 5

54 Razlct prstup redtom sorg sstemu Promeljve oje su oršcee u modelu su sledece: Obrazovaje možemo da oceujemo da su obrazovaj ljud mogo stablj, maju vece prhode samm tm ž PD. Pol u em zemljama ova promeljva mora da se sljuc z modela, zbog mogucost dsrmacje. Rego predstavlja deo zemlje u ojoj ljet žv. Smatra se da ljud sa slcm bogatstvom žve a stoj loacj. Dale, geografs rterjum može da poazuje vo fasjsog bogatstva ljeta Vreme a treutoj adres predstavlja broj goda olo ljet žv a stoj adres. Ova promeljva može da ozacava ljetovu zrelost, stablost zbegavaje rza. Medutm, u Vjetamu PD se povecava sa brojem goda a treutoj adres, pošto ljud što vše zaraduju apreduju, teže da žve u što boljm uslovma, pa samm tm cesto mejaju adresu staovaja. Stambeo ptaje poazuje da l je ljet vlas svog doma, zajmljuje sta, l žv sa rodteljma. Braco staje u ašem uzoru verovatoca da ce ljet bt loš je veca od ljud oj su u brau ego za samce. Broj ljud oje ljet zdržava što je vec broj ovh zavsa, to se PD povecava, jer je vece opterceje a ljetove prhode. Telefo mer da l ljet ma uc telefo, a tme olo lao baa može da održava otat sa ljetom. Uolo ljet ema telefo, to mu je vš PD. Svrha redta opsuje ao ce odobrea sredstva bt soršcea Tp olaterala opsuje oj tp obezbedeja porva redt. Vredost olaterala Trajaje redta u Vjetamu trajaje redta predlaže ljet, pa samm tm ova promeljva poazuje olo je ljet sprema da prhvat rz, ao samoocejvaje sposobost otplate redta. Vreme u bac mer olo goda ljet posluje preo te bae. Broj redta racua broj redta olo je ljet prmo od ada je u bac Teuc racu je bara promeljva oja predstavlja da l ljet održava teuc racu Šted racu - je bara promeljva oja predstavlja da l ljet održava šted racu 53

55 Razlct prstup redtom sorg sstemu Tabela : oceje redt sorg model Promeljve Oceje oefcjet Stadarde greše Nvo zacajost Vreme u bac % Pol % Broj redta % Trajaje redta % Šted racu % Rego % Stambeo ptaje % Teuc racu % Vredost olaterala % Broj zavsa % Vreme a treutoj adres % Braco staje % Tp olaterala % Telefo % Obrazovaje % Svrha redta % Kostata % Kao što vdmo u ovoj tabel, od dath 6 promeljvh, vreme u bac je ajzacajj poazatelj, a zatm slede pol, broj redta trajaje redta. Negatv oefcjet oj stoj uz promeljvu pol zac da žee maju maju verovatocu da ce ast sa placajem od mušaraca. Trajaje redta ao mera ljetove spremost prhvataja rza samoocejvaja je jedstveo u Vjetamu. Ovo poazuje da bae e mogu da se pouzdaju samo u sopstvee procee ego se oslajaju a ljetovu pošteu oceu treutog staja. Da b pravlo ocel preczost modela orstmo out-of-sample. Tada je sredja vredost predvdjee verovatoce da ce ljet bt loš jedaa.73% za dobre ljete za razlu od 49.05% za loše ljete. Za loše ljete PD se rece u opsegu od 0.0% do 96.8%, a za dobre od 0.00% do 73.54%. U sledecoj tabel su date vredost oje uazuju a preczost predvdaja modela. Tabela : preczost predvdaja sa gracom vredošcu 0.50 Uoceo Predvdee vredost Dobr Loš PCC Dobr 4, % PCCgood Loš % PCCbad Uupo 97.98% PCCtotal 54

56 Razlct prstup redtom sorg sstemu 4.5 Prmer geetsog programraja Geetso programraje je prošreje tehe geetsh algortama. M ecemo dublje ulazt u ovaj problem, jer to prevazlaz ovre ovog rada, ego cemo samo avest prmer (uzet z rada «Geetc programmg for credt scorg: the case of Egypta publc sector bas» [7] u ome cemo uporedt rezultate oj se dobjaju geetsm programrajem probt aalzom. Korstmo dva tpa modela geetsog programraja: prost model tm model oj je ombacja vše prosth modela cj je clj da se postgu bolj rezultat ego ad se prmejuje pojedac prost model. Za potrebe pravljeja modela oršcea je baza podataa o potrošacm redtma dostavljea od strae Egpatsog baarsog setora. Baza podataa se sastoj od 6 redta, od cega je 85 redt (67.43% dobar, a 4 (3.57% loš. Prvo se prav model a celom uzoru, a zatm se za potrebe testraja tacost ocejvaja sorg sstema orst trag uzora oj sadrž 846 (67% slucajeva, a testraje modela se vrš a uzoru za testraje oj sadrž 46 (33% slucaj. Za uporedvaje rezultata uzeta su u obzr cetr rterjuma: proceat tace lasfacje (PCC, rterjum ocejeh trošova oj astaju pogrešom lasfacjom (OT sa oefcjetom trošova pogreše lasfacje 5:, rterjum OT sa oefcjetom trošova pogreše lasfacje 7:, rterjum OT sa oefcjetom trošova pogreše lasfacje 0:. Sa pojmom proceta pogreše lasfacje matrcom lasfacje smo se upozal u delu 4.3., a sada cemo dat osovu deju rterjuma ocejeh trošova oj astaju pogrešom lasfacjom. Ovaj rterjum daje oceu efasost sorg sstema. Za zracuavaje OT-a orst se sledeca jedaca: OTC(I(G b /TG(TG/TN C(II(B g /TB(TB/TN gde je C(I troša astao pogrešom lasfacjom oja je povezaa sa grešom prvog reda; (G b /TG je verovatoca da ce se apravt greša prvog reda, predstavljea ao odos broja dobrh ljeata oj su oceje ao loš (G b uupog broja dobrh ljeata; TG/TN je verovatoca da je ljet dobar, tj. odos broja dobrh TG uupog broja ljeata TN; C(II je troša astao pogrešom lasfacjom oja je povezaa sa grešom drugog reda; (B g /TB je verovatoca da ce se apravt greša drugog reda, predstavljea ao odos broja lošh ljeata oj su oceje ao dobr (B g uupog broja lošh ljeata; TB/TN je verovatoca da je ljet loš, tj. odos broja lošh TB uupog broja ljeata TN. Gorja jedaca može da se apše a sledec ac: OTC(I(G b /TN C(II(B g /TN 55

57 Razlct prstup redtom sorg sstemu 4.5. Uporedvaje geetsog programraja probt aalze a celom uzoru Tabela sumra stope tace lasfacje ocejee trošove oj astaju pogrešom lasfacjom, to prmeom geetsog programraja probt aalze. Vdmo da GP t (tm model geetsog programraja ma ajvecu stopu tace lasfacje. GP p (prost model geetsog programraja je model oj ajbolje lasfuje dobre ljete (9.89%, a GP t je model oj ajbolje lasfuje loše ljete (74.94%. GP t je zabra model pošto ma ajžu oceu trošova pogreše lasfacje, a taode ma ajbolju stopu tace lasfacje. Tabela : uporedvaja rezultata lasfacje, grešaa ocejeh trošova a celom uzoru M o d e l Ceo uzora Taco lasfo va rezultat Rezultat o grešama O T OT OT G% B % PCC I tpa II tpa ( 5 : ( 7 : (0: PA GP p GP t G dobr ljet; B loš ljet 4.5. Uporedvaje geetsog programraja probt aalze a poduzoru Korst se uzora za testraje da b se testrala moc ocejvaja razvjeog sorg modela. Vdmo da GP t ma ajvšu stopu tace lasfacje. Taode, GP t model prav ajvecu grešu pr lasfacj dobrh ljeata, a GP p pr lasfacj lošh ljeata. U ovom slucaju se je lao odluct oj model je ajbolj, pošto a prmer GP t ma ajvšu stopu tace lasfacje al u sto vreme dosta vsoe trošove pogreše lasfacje. U obzr b mogao doc GP p model pošto ma podošljvo male trošove pogreše lasfacje dosta vsou stopu tace lasfacje. Tabela : uporedvaja rezultata lasfacje, grešaa ocejeh trošova a poduzoru M o d e l Poduzora Taco lasfova rezultat Rezultat o grešama O T OT OT G% B % PCC% I tpa II tpa ( 5 : ( 7 : (0: PA GP p GP t G dobr ljet; B loš ljet 56

58 Razlct prstup redtom sorg sstemu 4.6 Prmea aalze obavjaja podataa (DEA U dosadašjm prmerma smo vdel ao se redt sorg model prmejuje ada se aalzra redta sposobost pojedacog ljeta. U ovom poglavlju cemo se malo upozat sa prmerom redtog sorg sstema u stuacj ada frma podos zahtev za redt. Kao što smo vdel, u slucaju dvdue posmatraju se araterste ao što su starost ljeta, jegovo fasjso staje obaveze slco. U slucaju frm, bt su am podac ao što o jhovoj atv, pasv, rashodma prhodma, a osovu th podataa dolazmo do zaljuca o lvdost te frme, jhovoj proftablost, produtvost, ao o strutur trošova. U baama još uve je zastuplje ovaj tp redtog sorga, pošto je o dalje u faz razvoja, al samo je ptaje treuta ada ce redt sorg pocet da se prmejuje za aalzu redte sposobost frm. U ovom radu cemo predstavt ao se ptem aalze obavjaja podataa dobjaju sorov oj am asje služe za ragraje frm. DEA (Data Evelopmet Aalyss, tj. aalza obavjaja podataa je metoda learog programraja za oceu relatve efasost orgazacoh jedca oje orste vše razlcth puta za stvaraje vše razlcth outputa oa za razlu od predašjh modela ojma trebaju storjs podac da b apravl model, zahteva samo observed (uoce sup ulazh zlazh podataa da b zracuala redt sor. DEA aalza je eparametars metod operacoh stražvaja oj se orst u eoomj za ocejvaje grace prozvodje. Proces se sastoj od šest oraa, od cega se prva tr bave odabrom frm oje ce uc u model datora oj se orste za oceu fasjse stuacje u toj frm, cetvrt ora orst DEA da b se zracual redt sorov frm, pet ora proverava valjaost ovao dobjeh sorova tao što h pored sa oma oj su dobje putem regresje dsrmate aalze, oaco šest ora predlaže metod za redt rejtg uz pomoc raspodele odosa dobrh lošh ljeata. Uzmaju se u obzr frme oje podose zahtev za ov redt l oe oje hoce da promee vec postojec redt lmt. Na pocetu stražvaja posmatrao je 400 frm, al outlajer, tj. frme oje su male oefcjete oj su zacajo odstupal (vše od dve stadarde devjacje od odgovarajuch sredjh vredost su sljucee z modela ostala je 06 frma Odabr fasjsh oefcjeata Za defsaje fasjsh oefcjeata uglavom se orste opšte prhvacee fasjse dmezje ao što su rast prhoda, lvdost, proftablost, produtvost strutura trošova. Tao da se razlct fasjs oefcjet grupšu po ovm dmezjama. U ovom prmeru («A practcal approach to credt scorg» [3] je odabrao šest oefcjeata oj su lasfova ao ulaze zlaze promeljve za DEA. Ulaz podac, tj. oefcjet oj treba da se mmzraju su FE-fasjs trošov u odosu a prodaju, CL-oefcjet obaveza (treute obaveze u odosu a aptal TB-uupo zadužeje u odosu a uupu atvu. Koefcjet fasjsh trošova u odosu a prodaju (FE poazuje sposobost frme da plat svoje trošove, 57

59 Razlct prstup redtom sorg sstemu što poazuje redtu sposobost frme. Koefcjet obaveza (CL je dator stablost struture aptala. Povecaje ovog oefcjeta poazuje establost struture aptala lvdost frm. Uolo se oefcjet uupe zadužeost (TB povecava to poazuje da se proftablost stablost frme smajuju. Izlaz podac oj treba da se masmzraju su oefcjet adevatost aptala (CA oj predstavlja odos aptala frme uupe atve, zatm poazatelj treute lvdost (CR oefcjet porveost amata (IC. Što vše frme porva obaveze z sopstveh sredstava, tj. što je vš CA, to je oa ocejea ao maje rzca. Taode, što je vec CR to je frma vše lvda maja je verovatoca da ce upast u probleme. Koefcjet porveost amata poazuje sposobost frme da placa trošove amata z operatvog prhoda, a samm tm što je ovaj oefcjet vec to je veca proftablost frme Racuaje sorova uz pomoc DEA Kada smo defsal ulaze zlaze promeljve, možemo da prmemo CCR model da b zracual DEA sorove: mθ ε s r s r ε m s uz uslove N j λ j j θ s ;,..., m gde su N λ j yj yr sr ; r,..., s j λ, s, s 0; j, r,, θ θ sor oj poazuje redte sposobost za frmu N broj frm u uzoru λ j težša vredost frme j y rj r-t zlaz oefcjet za frmu j y r r-t zlaz oefcjet za frmu j -t ulaz oefcjet za frmu j -t ulaz oefcjet za frmu s r, s - - dopuse promeljve za r-to ograceje -to ograceje j r DEA sorov su dat u oblu proceta, pr cemu frme sa DEA sorom od 00 predstavljaju ajbolje frme oe prpadaju «DEA efasoj grac». 58

60 Razlct prstup redtom sorg sstemu Provera valjaost DEA sorova Clj ovog oraa je da oce u om procetu se DEA sorov polapaju sa sorovma oj se dobjaju putem regresoe l dsrmate aalze. Leara regresja se orst ao rterjum za testraje objašjavajuce moc dator promeljvh u DEA. Za ovu svrhu, DEA sorov se uzmaju ao zavse, a DEA oefcjet ao ezavse promeljve. Tabela : rezultat regresoe aalze R 0.74; F K o e f c j e t Stadarde greše t- vredost p - vredost Kostata FE CL TB CA CR IC Kao što se vd u Tabel zac oefcjeata oj stoje uz promeljve su oceva (tj. mus uz promeljve oje egatvo utcu plus uz oe oje poztvo utcu sve su statstc zacaje (p vredost je , što poazuje da je DEA algortam uspešo zracuao vredost za ovh šest oefcjeata. Kada vredost oje smo dobl putem regresje uvrstmo u jedacu, mamo: DEA FE 50.9 CL 56.4 TB 47.5 CA 7.4 CR. IC Korstec ovu jedacu može da se zracua leara aprosmacja DEA sora, tao da ada se pojav ov ljet e mora da se poavlja ceo DEA algortam. Dsrmaata aalza se orst da utvrd olo dobro DEA sorov lasfuju frme u dve grupe: dobre loše. Frme su podeljee u dve grupe a osovu DEA sorova. Graca vredost zmedu ovh grupa se odreduje uzmajuc u obzr raspodelu DEA sorova. U ovom prmeru za gracu vredost je uzeta sredja vredost, dale, 58 frme su lasfovae ao dobre, a ostata ao loše. Dsrmata aalza zvod fucju dsrmacje oja uuljucuje pet od šest oefcjeata ao ezavse promeljve (oefcjet IC je sljuce. Table : rezultat dsrmate aalze Progozraa grupa Odabraa grupa dobr loš uupo dobr 400 (84.9% 57 (.0% 497 loš 78 (5.% 46 (89.0% 539 uupo

61 Razlct prstup redtom sorg sstemu Tabela poazuje da je uupo dobro lasfovao 87.0% populacje ((44046/( Dale, greša lasfacje je 3% Metod redtog rejtga DEA sorov ljeta b trebalo da budu lasfova u lase ao što su A, B, C tao dalje. Pošto se DEA sorov recu u tervalu od 0 do 00, može se apravt podela da sorov od 0 do 0 prpadaju jedoj las, od 0 do 40 drugoj las tao dalje. Tabela 3: raspodela ucestalost dobrh lošh frm Klasa dobr loš Uupo % lošh % uupo Ispod % 8.7% % 34.9% % 36.9% % 5.3% % 4.3% Uupo % Rezultat se mogu prazat grafc, tao što je stubcma praza broj dobrh lošh ljeata, a rva prazuje raspodelu DEA sorova < ,00% 40,00% 30,00% 0,00% 0,00% 0,00% dobr loš %uupo Kao što se vd u ovoj tabel, ucestalost lošh ljeata (%lošh opada ao DEA sorov rastu. To zac da ov sorov služe ao veoma ors poazatelj za ragraje ljeata po jhovoj redtoj sposobost. Tao a prmer, lasa može da bude ozacea ao «A», lasa ao «B» tao dalje. Tabela 3 (ao graf poazuje da je rapodela DEA sorova (%uupo sošea a deso, što uazuje a to da mogo frm ma se sorove. A veca omercjalh baaa teže a tome da ragraju ljete tao da dobju ormalu raspodelu. Ovaj clj se postže modfacjom lasa DEA sorova. U Tabel 4 su prazae modfovae lase ojma se postže ormala raspodela. 60

62 Razlct prstup redtom sorg sstemu Tabela 4: modfovaa raspodela ucestalost dobrh lošh ljeata Klasa dobr loš Uupo % lošh % uupo Ispod % 5.0% % 8.4% % 0.% % 0.4% % 5.8% Izad % 0.% Uupo % Kada rezultate predstavmo grafc vdmo da je raspodela DEA sorova stvaro ormala ,00% 5,00% 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% dobr loš %uupo 0 < > 70 0,00% 6

63 Razlct prstup redtom sorg sstemu 5. Zaljuca Kredt sorg sstem e daje objašjeje zašto je e ljet odbje, ego samo daje oceu olo je e ljet rzca upozorava da b tog ljeta trebalo odbt. Medutm, o eresra taj eproftra. Zato je a bac da odluc ol rz žel da prhvat, a rezultat redtog sorga služe ao odredee smerce. Kao što smo vdel roz rad, postoje dva osova prstupa redt sorgu. Prv je pomocu separacje, a drug je putem regresje. Clj am je da što tacje lasfujemo ljete a dobre loše, jer am pogreša lasfacja doos vece trošove oj tom prlom astaju. Uolo eog ljeta oj je dobar lasfujemo ao loš, samm tm ce taj ljet bt odbje tme gubmo proft oj smo mogl da ostvarmo da smo mu odobrl redt. Medutm, mogo je veca greša da ljeta oj je loš lasfujemo ao dobrog odobrmo mu redt, jer tme astaju odrede gubc ada ljet vše e bude u mogucost da otplacuje redt. Zato am je vrlo bto da ove greše svedemo a mmum. Medutm, to je tao jedostavo. Smajeje greše oja astaje pogrešom lasfacjom lošh ljeata dovod do povecaja greše pogreše lasfacje dobrh ljeata obruto. Iz tog razloga treba razmotrt aav je odos u gubcma oj astaju pr pogrešoj lasfacj a osovu tog rterjuma odluct oju grešu treba mmzrat. U procesu mmzacje trošova može da am pomoge metod oj se sastoj z dve faze odlucvaja. Kada baa dobje zahtev za redt, oa doos prelmaru odluu o tome da l ce ljeta svrstat u grupu dobrh l grupu lošh ljeata. Zatm, a osovu procee orst trošova doos odluu da l ce tražt dodate formacje o ljetu a osovu jh doet oacu odluu. Na osovu toga olo se stopa preczost povecala u drugoj faz ol su trošov, baa odlucuje da l joj se splat da zvede drugu fazu l da doese odluu a osovu prve faze cj su trošov zaemarljv oju baa uve zvod da b ocela redtu sposobost ljeta. U daašje vreme, u vec baaa, sve je veca upotreba modela bazrah a regresj, to su ajcešce u prme logt model. Iao deluju vrlo jedostavo razumljvo, da b se apravo dobar precza model mora mu se posvett puo vremea pažje. Vrlo je bto dobro zabrat promeljve oje ce uc u model. Polaz se od velog supa promeljvh, medutm taj broj se a raju drastco smajuje, ajcešce zbog jae orelacje medu promeljvama, zatm zbog toga što ee promeljve predstavljaju stu l slcu stvar al pa jeda od jh ma vec zacaj. Dat prmer am daju vrlo reale logce rezultate. Medutm, ma eh stvar oje as avode a razmšljaje. Tao a prmer, posmatrajuc Tabelu 3 u odelju 4.3 vdmo da veca promeljvh oje poztvo utcu a odobravaje redta su medu oma oje smajuju rz da ce ljet bt loš, što as avod a zaljuca da baa e tež a tome da mmzra rz. Kada uzmemo u razmatraje vreme prežvljavaja redta, vdmo da ee promeljve oje povecavaju verovatocu da ljetu bude odobre redt, u sto vreme smajuju ocevao vreme prežvljavaja redta povecavaju verovatocu da ce ljet bt loš. Tao a prmer, osobe sa vecm prhodom maju vec rz da ce postat loše od osoba sa majm prhodom, do je verovatoca da m bude odobre redt veca. Treba bt vrlo obazrv od ovavh 6

64 Razlct prstup redtom sorg sstemu stuacja uolo je moguce, zbact h z modela. Taode, poazalo se da a odluu bae e utce zos redta, što as vod do zaljuca da baa e tež a tome da masmzra proft, a samm tm vreme prežvljavaja redta. Al sguro je da baa ma eu strategju ojom se vod pr odobravaju redta, bla to mmzacja l masmzacja eh drugh parametara, ao što su a prmer broj ljeata, proft od odredee vrste prozvoda l ešto slco. U prmeru z Vjetama, u oje je redto tržšte još uve u faz razvoja, dolazmo do vrlo zamljvh rezultata. Na prmer, promeljva «Vreme a treutoj adres» oja ozacava broj goda oje je ljet proveo a stoj adres, u vec zemalja ozacava ljetovu stablost zrelost, tao da se tež da ova promeljva bude što veca. Medutm, u Vjetamu je malo drugacja stuacja, tamo se verovatoca da ce ljet bt loš povecava sa brojem goda oje je proveo a stoj adres, pošto ljud što vše zaraduju apreduju teže da žve u što boljm uslovma, pa samm tm cesto mejaju adresu staovaja. U Vjetamu, ljet je taj oj predlaže trajaje redta, o sam procejuje u om rou je sposoba da otplat redt ol rz je sprema da prhvat. Ovo poazuje da bae e mogu da se pouzdaju u sopstveu proceu ego se oslajaju a ljetovu pošteu oceu treutog staja. Uporedvajem geetsog programraja probt aalze vdel smo da am model geetsog programraja daje preczje rezultate. To je samo za da se razvojem redtog tržšta razvjaju preczj pouzdaj model redtog sorga. Iao se za sada redt sorg ajcešce prmejuje u slucaju ada treba da se odred redta sposobost pojedacog ljeta, sve je veca prmea sorga pr oce rza oje ose frme. U tom slucaju možemo da prmemo aalzu obavjaja podataa (DEA, oja am daje dosta tace rezultate, što smo vdel tao što smo rezultate uvrstl u learu regresju dsrmatu aalzu. Taode smo vdel da am DEA sorov služe ao veoma dobr poazatelj pr ragraju ljeata a osovu jhove redte sposobost. Opšte pravlo e postoj, model se razluju od bae do bae, od prozvoda do prozvoda. Pošto se uzmaju storjs podac, a model se perodco ažurra, dešava se da je ea promeljva u jedom perodu bla zacaja, do je u sledecem bla sljucea z modela. 63

65 Razlct prstup redtom sorg sstemu 6. Lteratura. Tor Jacobso, Kasper Roszbach, Ba ledg polcy, credt scorg ad value-at-rs ; Joural of Bag & Face 7 ( Kasper Roszbach, Ba ledg polcy, credt scorg ad the survval of loas ; Sverges Rsba Worg Paper Seres No.54 ( Jae H. M, Youg-Cha Lee, A practcal approach to credt scorg ; Epert System wth Applcatos 35 ( Yepao Che, Ruey-J Guo, Rao-L Huag, Two stages credt evaluato ba loa apprasal ; Ecoomc Modellg 6 ( Th Huye Thah Dh, Stefae Klemeer, A credt scorg model for Vetam s retal bag maret ; Iteratoal Revew of Facal Aalsys 6 ( Vladmr Bugera, Hrosh Koo, Staslav Uryasev, Credt Cards Scorg wth Quadratc Utlty Fucto ; Joural of Mult-crtera Decso Aalyss ( Husse A.Abdou, Geetc programmg for credt scorg: the case of Egypta publc sector bas ; Epert System wth Applcatos (009 64

66 Razlct prstup redtom sorg sstemu Bografja Jelea Burgjašev je rodea gode u Novom Sadu od oca Mladea maje Braslave. Završla je osovu šolu «Jova Popovc» u Novom Sadu. Gmazju «Jova Jovaovc Zmaj», prrodo-matematc smer je završla 003. gode sa odlcm proseom. Studje a Prrodo-matematcom faultetu, Uverztet u Novom Sadu, smer matemata-fasja je upsala 003. gode. Dplomrala je 007. gode sa proseom 9,7. U šolsoj 005/006. god je bla stpedsta Mstarstva prosvete sporta, a u šolsoj 006/007. god prmala stpedju z Foda za mlade talete. Master studje, smer dplomra matematcar-master matemate fasja, upsala 007. gode. Posle dplomraja, 007. gode se zaposlla u Mstarstvu eoomje regoalog razvoja, ao sarad u Setoru za straa ulagaja ocesje. Od avgusta 008. gode rad u Raffese bac, ao mlad sarad u Setoru za Upravljaje rzcma u poslovaju sa malm sredjm preduzecma. 65

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

T E S T 3 jun 2006 Ime prezime index : 1. Potrebno je fitovati eksperimentalne podatke: ( xi, yi

T E S T 3 jun 2006 Ime prezime index : 1. Potrebno je fitovati eksperimentalne podatke: ( xi, yi T E S T 3 u 6 Ime prezme de :. Potrebo e tovat espermetale podate:.... a Rad grače provere adevatost edostave emprse ormule a potrebo e ucrtat orgale l trasormsae esp. podate u dagram. Pogoda zbor dagrama

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ Zadatak U račuarskom etru ostoi soba sa 3 račuara. Soba e mala i u o, ored oih koi treuto rade, može da čeka oš dva korisika. Korisii dolaze ezaviso i slučao, u roseku 4 korisika a sat. Svaki korisik radi

Διαβάστε περισσότερα

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje:

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje: Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: I dio U okviru prvog dela predavaja predviđeo je da studeti savladaju sledeće programske sadržaje: Pojam matrice i operace s matricama Jediiča matrica raspoovaa

Διαβάστε περισσότερα

x pojedinačnih rezultata:

x pojedinačnih rezultata: ovarjaca koefcjet korelacje Sredja vrjedost stadardo odstupaje Prlkom poavljaja mjereja, uz ste (kolko je to moguće uvjete (st mjertelj, mjer strumet, mjera metoda okol uvjet, eke stale fzkale velče, dobt

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Metod najmanjih kvadrata Srednje kvadratno odstupanje empirijske formule Koeficijent determinacije

6.1 Metod najmanjih kvadrata Srednje kvadratno odstupanje empirijske formule Koeficijent determinacije Sadržaj. Uvod u Ecel..... Startovaje Ecela...3.. Rado okružeje...3.3. Rad papr ćelja...3.4. Upsvaje kretaje po ćeljama...5.5. Formatraje ćelja...6.6. Formatraje decmalh brojeva...6.7 Mejaje boje pozade

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Elementi energetske elektronike

Elementi energetske elektronike ELEKTRIČNE MAŠINE Elemen energeske elekronke Uvod Čme se bav energeska elekronka? Energeska elekronka se bav konverzjom (prevaranjem) razlčh oblka elekrčne energje. Uvod Gde se kors? Elemen energeske elekronke

Διαβάστε περισσότερα

Str. 454;139;91.

Str. 454;139;91. Str. 454;39;9 Metod uzorka Predavač: Dr Mirko Savić avicmirko@eccf.u.ac.yu www.eccf.u.ac.yu Statitička maa može da e pomatra a jeda od ledeća dva ačia: potpuo pomatraje, delimičo pomatraje (metod uzorka).

Διαβάστε περισσότερα

Modelovanje sistema automatskog upravljanja u prostoru stanja

Modelovanje sistema automatskog upravljanja u prostoru stanja odelovaje tema atomatkog pravljaja protor taja. ocepcja protora taja atematčk model tema protor taja e predtavlja vd kpa derecjalh l derech jedača prvog reda. Ove jedače opj prošlo adašje bdće poašaje

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ :

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ : BROJNI PRIMER 4 Armrano etonsk temeljn nosač (slka 63), fundran je na dun od D f =15m, u sloju poto-pljenog peska relatvne zjenost D r 75% Odredt sleganje w, nag θ, transverzalnu slu T, moment savjanja

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

1. Uvod u multivarijatnu statistiku. Prof.dr.sc. N. Bogunović Prof.dr.sc. B. Dalbelo Bašić

1. Uvod u multivarijatnu statistiku. Prof.dr.sc. N. Bogunović Prof.dr.sc. B. Dalbelo Bašić Otkrvaje zaja u skuovma odataka Metoda glavh komoeeta Otkrvaje zaja u skuovma odataka Metoda glavh komoeeta FAKULE ELEKROEHNIKE I RAČUNARSVA Uvod u multvarjatu statstku Profdrs N Boguovć Profdrs B Dalbelo

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA. 1. Osnovni pojmovi

STATISTIKA. 1. Osnovni pojmovi STATISTIKA. Osovi pojmovi Matematička statistika se bavi proučavajem skupova sa velikim brojem elemeata, koji su jedorodi u odosu a jedo ili više zajedičkih kvalitatitvih ili kvatitativih svojstava. Kako

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Obrada empirijskih podataka

Obrada empirijskih podataka Obrada emprjskh podataka deskrptva statstka opsvaje podataka z uzorka l populacje u form osovh parametara osove vrste podataka po astaku varjable (upotreba razlčth mjerh ljestvca) se mogu klasfcrat a:.

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Startovanje Excela Radno okruženje Radni papir i ćelija

1.1. Startovanje Excela Radno okruženje Radni papir i ćelija Sadržaj. Uvod u Ecel..... Startovaje Ecela..... Rado okružeje....3. Rad papr ćelja....4. Upsvaje kretaje po ćeljama...4.5. Formatraje ćelja...5.6. Formatraje decmalh brojeva...5.7 Mejaje boje pozade teksta

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika. II deo. Osnovi Statistike. Beleške Prof. Aleksandra Ivića

Verovatnoća i Statistika. II deo. Osnovi Statistike. Beleške Prof. Aleksandra Ivića Verovatoća i Statistika II deo. Osovi Statistike Beleške Prof. Aleksadra Ivića 0.1 Osove statističke veličie Osovi zadatak matematičke statistike sastoji se u tome da se iz jedog dela eke geerale kolekcije

Διαβάστε περισσότερα

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2. Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc

Διαβάστε περισσότερα

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

! # $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 $ 6, ::: ;<$& = = 7 + > + 5 $?# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,. ! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr. sc. Maja Biljan-August Prof. dr. sc. Snježana Pivac Doc. dr. sc. Ana Štambuk 2. IZDANJE. Poglavlje 2.

Prof. dr. sc. Maja Biljan-August Prof. dr. sc. Snježana Pivac Doc. dr. sc. Ana Štambuk 2. IZDANJE. Poglavlje 2. Prof. dr. sc. Maja Blja-August Prof. dr. sc. Sježaa Pvac Doc. dr. sc. Aa Štambuk UPORABA STATISTIKE U EKONOMIJI. IZDANJE Poglavlje. REGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZA Ekoomsk fakultet Sveučlšta u Rjec

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

1. Slučajni dogad aji

1. Slučajni dogad aji VEROVATNOĆA Teorija verovatoće je matematička disciplia koja se bavi izučavajem slučajih pojava, tj. takvih empirijskih feomea čiji ishodi isu uvek strogo defiisai. Osovi model u teoriji verovatoće je

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Linearni operatori. Stepenovanje matrica

Linearni operatori. Stepenovanje matrica Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

SARŽAJ. ATEATIČKE OSOVE OSIGURAJA.. Poj i predet turse tetie.. Zo veiih brojev.3. Rču verovtoće.4. Tbice srtosti.5. Verovtoć život i srti jedog ic.6.

SARŽAJ. ATEATIČKE OSOVE OSIGURAJA.. Poj i predet turse tetie.. Zo veiih brojev.3. Rču verovtoće.4. Tbice srtosti.5. Verovtoć život i srti jedog ic.6. rg Vugdeij AKTUARSKA ATEATIKA - osovi ocept z stvu - Subotic 008. SARŽAJ. ATEATIČKE OSOVE OSIGURAJA.. Poj i predet turse tetie.. Zo veiih brojev.3. Rču verovtoće.4. Tbice srtosti.5. Verovtoć život i srti

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

2. BROJNI SISTEMI I PREVOĐENJE BROJEVA

2. BROJNI SISTEMI I PREVOĐENJE BROJEVA BROJNI SISTEMI I PREVOĐENJE BROJEVA Dgtaln ačuna opeše samo sa bojevma Načn na koj mašna opeše sa ovm bojevma zavs od toga šta ov bojev pedstavljaju (sam sebe, duge bojeve l alfanumečke znakove) u kojem

Διαβάστε περισσότερα

2. BROJNI SISTEMI I PREVOĐENJE BROJEVA

2. BROJNI SISTEMI I PREVOĐENJE BROJEVA BROJNI SISTEMI I PREVOĐENJE BROJEVA Dgtaln ačuna opeše samo sa bojevma Načn na koj mašna opeše sa ovm bojevma zavs od toga šta ov bojev pedstavljaju (sam sebe, duge bojeve l alfanumečke znakove) u kojem

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Statistika sažetak i popis formula

Statistika sažetak i popis formula Stattka ažetak pop formula Dekrptva tattka Artmetčka reda brojeva,,, : + + + = + + 3 + 4 + 5 5 Na prmjer, artmetčka reda brojeva,,3,4,5 je broj = = 3 5 5 Frekvecja ekog podatka je broj pojavljvaja tog

Διαβάστε περισσότερα

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I . Otnik tnsti = 00, kalem induktivnsti = mh i kndenzat kaacitivnsti = 00 nf vezani su aaleln, a između njihvih kajeva je usstavljen steidični nan efektivne vednsti = 8 V, kužne učestansti = 0 5 s i četne

Διαβάστε περισσότερα

5.3. TRIGONOMETRIJSKI NIVELMAN

5.3. TRIGONOMETRIJSKI NIVELMAN Glava 5. Geodetske jedodeoale eže 5.3. TRIGONOMETRIJSKI NIVELMN 5.3.. TRIGONOMETRIJSKO OREðIVNJE VISINSKI RZLIK Odeñvaje vsskh alka a osovu eth uglova, odoso vetkalh uglova ava se tgooetjsko eeje vsa,

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

FREKVENCIJSKE KOMPENZACIJE OPERACIONIH POJAČAVAČA

FREKVENCIJSKE KOMPENZACIJE OPERACIONIH POJAČAVAČA FEKVENIJSKE KOMPENZAIJE OPEAIONIH POJAČAVAČA 4 ZADATAK: Operacioni pojačavač čija je prenosna uncija data iraom: 5 (4) A( s) ( s)( s) oristi se a realiaciju invertujućeg pojačavača (slia 4) odnosno neinvertujućeg

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσιαστές: ??ast?s??? Τσάκας. ?/?t?? t???/?s????p???af???? t??????? ?a??a Se???t?

Παρουσιαστές: ??ast?s??? Τσάκας. ?/?t?? t???/?s????p???af???? t??????? ?a??a Se???t? Παρουσιαστές:??ast?s??? Τσάκας?/?t?? t???/?s????p???af???? t????????a??a Se???t???p????f?????a???????? Master of Applied Science (M.App.Sci)? a?ep?s t?µ?? G?a s?? ί???/?s????p???af???? t??????? Τα κυριότερα

Διαβάστε περισσότερα

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci 3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

( i,j 1,n) = b ij = a ji,

( i,j 1,n) = b ij = a ji, - 34-0 Kvadrate matrice 0 Za kvadratu matricu A reda, tj za matrica A M uvodimo defiicije: Defiicija Ako za kvadratu matricu A važi A T =A, tada se A aziva simetriča matrica Defiicija 2 Ako za kvadratu

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê Ó³ Ÿ. 006.. 3, º 1(130).. 7Ä16 Š 530.145 ˆ ƒ ˆ ˆŒ ˆŸ Š ƒ.. ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê É μ ² Ö Ó μ μ Ö μ μ²õ μ É μ ÌÉ ±ÊÎ É ² ³ É μ - Î ±μ μ ÊÌ ±μ Ëμ ³ μ- ±² μ ÒÌ ³μ ²ÖÌ Ê ±. ³ É ÔÉμ μ μ μ Ö, Ö ²ÖÖ Ó ±μ³

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr

Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr Προς: Μαθητές Α, Β & Γ Λυκείου / Κάθε ενδιαφερόμενο Αγαπητοί Φίλοι Όπως σίγουρα

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

5. KONTROLNE KARTE 5. KONTROLNE KARTE

5. KONTROLNE KARTE 5. KONTROLNE KARTE 5.. OPŠTA TEORIJA KONTROLNIH KARATA Prve primee statističih metoda u otroli valiteta uveo je Malter A. Shewhart (Šjuhart) iz "Be Telephoe Laboratories". U memoradumu izdatom 924. god. Shewhart je dao prvu

Διαβάστε περισσότερα

Regulacioni termostati

Regulacioni termostati Regulacioni termostati model: KT - 165, 90/15 opseg regulacije temperature: 0 90, T85 dužina osovine: 15 mm, opciono 18 i 23 mm dužina kapilare: L= 650 mm 16(4)A 250V - 6(1)A400V promena opsega regulacije

Διαβάστε περισσότερα

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković MATEMATIKA II VEŽBE Dr Boban Marinković 1 Neodredjeni integral dx = x + C, dx x = ln x + C, dx = arcsin x + C, 1 x 2 a x dx = ax ln a + C, cos x dx = sin x + C, dx x 2 a = 1 2 2a ln x a x + a + C, dx x2

Διαβάστε περισσότερα

II ANALIZA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

II ANALIZA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA II ANALIZA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA II 1. UVOD Analza projetovanje savremenh SAU, na današnjem stepen razvoja nae tehne, ao neophodnost spnjavanja veoma strogh zahteva oj se nameć valtet dnamčog

Διαβάστε περισσότερα

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia SWOT 1 Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries ISIGInstitute of International Sociology Gorizia ! " # $ % ' ( )!$*! " "! "+ +, $,,-,,.-./,, -.0",#,, 12$,,- %

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα