ρ const. 1.2 PODRUJA STRUJANJA PREMA MACHOVOM BROJU

Transcript

1 . UVOD. NESLAIVO I SLAIVO SRUJANJE Strujanje u kojem je gustoa fluida ρ konstantna je nestlaio. Nasurot tome, strujanje fluida u kojem je gustoa romjenjia nazia se stlaio. U starnosti, sa strujanja su, u eoj manjoj mjeri stlaia; nestlaio strujanje, s otuno konstantnom gustoom, u rirodi se ne dogaa. Meutim, brojni aerodinamiki roblemi mogu se modelirati kao nestlaii bez znaajnije ogreške u reciznosti rezultata. Na rimjer, strujanje homogenih tekuina može se romatrati kao nestlaio; takoer, za einu roblema u hidrodinamici može se retostaiti da je ρ const. Strujanje linoa ri niskim Machoim brojeima je ribližno nestlaio; za Ma < 0,3 uijek se može bez elike ogreške uzeti ρ const. Let sih zrakoloa od oetaka zrakolosta a se do red II sjetski rat, kao i let današnjih malih zrakoloa oe aijacije, takoer redstalja roblem nestlaiog strujanja. Osim toga, ostoji ogromna koliina ekserimentalnih i teorijskih aerodinamikih odataka ažeih za nestlaio strujanje. S druge strane, strujanja s isokim brzinama moraju se romatrati kao stlaia; za taka strujanja gustoa ρ može se mijenjati u širokom rasonu rijednosti. oenito: aerodinamiki roblemi: ρ const. ρ const. Ma < 0,3 ρ const. Ma > 0,3 ρ const. - nestlaio strujanje - stlaio strujanje - ribližno nestlaio strujanje - stlaio strujanje. PODRUJA SRUJANJA PREMA MACHOVOM BROJU Podjela aerodinamikih strujanja naješe se izodi rema rijednosti Machoog broja. Ako je Ma lokalni Macho broj u roizoljnoj toki u strujnom olju, tada je rema definiciji strujanje u toj toki: - odzuno (subsonic) za Ma < - zuno (sonic) za Ma - nadzuno (suersonic) za Ma > Detaljnija odjela dana je na slici. a) odzuno strujanje (subsonic) b) krozuno strujanje s Ma < (isoko odzuno strujanje) (transonic, high subsonic) c) krozuno strujanje s Ma > (transonic) d) nadzuno strujanje (suersonic) e) hierzuno strujanje (hyersonic) Slika. Podjela strujanja rema Machoom broju

2 a) Podzuno strujanje. Strujano olje definira se kao odzuno ukoliko je Macho broj u sakoj toki manji od (Ma < ). Podzuna strujanja imaju glatke strujnice, bez skokoitih romjena u nagibu (Slika.a). Budui da je brzina strujanja u sakoj toki manja od brzine zuka, oremeaji u struji (nr. skretanje struje isred rednjeg brida iza izlaznog brida, koji se šire brzinom zuka) šire se u sim smjeroima i utjeu na cijelo strujno olje. Macho broj slobodne struje zraka Ma manji od, ne mora znaiti i otuno odzuno strujanje reko cijelog aerorofila. Pri rolasku reko aerorofila, brzina strujanja se oeaa iznad brzine slobodne struje, i ako je Ma dooljno blizu, lokalni Macho broj može narasti iznad u odreenim odrujima struje. Oenito se uzima da Ma < 0,8 osiguraa odzuno strujanje reko tankih, zaobljenih tijela. Za debela, tua tijela Ma mora biti još manji da bi se osiguralo otuno odzuno strujanje. Narano, oo je samo kalitatino ooenje i ne može se uzeti kao recizna kantitatina definicija. Nestlaio strujanje može se rikazati kao secijalni granini sluaj odzunog strujanja kada Macho broj teži k 0, Ma 0. b) Krozzuno strujanje. Ukoliko je Ma blizu, strujanje može lokalno ostati nadzuno (Ma > ), kao što se idi na Slici.b. Na gornjoj i donjoj oršini aerorofila ojaljuju se "džeoi" s nadzunim strujanjem, koji restaju kroz slabe udarne aloe iza kojih strujanje oet ostaje odzuno. Ako se Ma oea malo iznad, nastaje zaobljeni normalni udarni al isred aerorofila; iza udarnog ala strujanje je lokalno odzuno (Ma < ), kao što je rikazano na Slici.c. Oo odzuno strujanje otom eksandira do niskih nadzunih rijednosti reko aerorofila. Na izlaznom bridu rofila nastaju slabi udarni aloi, naješe u obliku "ribljeg rea". Strujna olja na Slikama.b i.c karakteriziraju miješana odzuno-nadzuna odruja a treba uzeti u obzir fizikalno onašanje obadije rste strujanja. Ponono se, oenito, može uzeti da se za tanka, itka tijela krozzuno strujanje dogaa ri Machoim brojeima slobodne struje u rasonu 0,8 < Ma <,. c) Nadzuno strujanje. Strujno olje je nadzuno ukoliko je Macho broj u sakoj toki ei od. Nadzuna strujanja esto su karakterizirana ojaom udarnih aloa kroz koje se sojsta strujanja i strujnica mijanjaju skokoito, diskontinuirano (nasurot glatkim, kontinuiranim romjenama u odzunom strujanju). o je rikazano na Slici.d za nadzuno strujanje reko oštrokutnog rofila; strujanje ostaje nadzuno iza kosog udarnog ala koji nastaje na rednjem bridu rofila. Prikazani su i eksanzijski aloi koji se esto ojaljuju u nadzunom strujanju. I odje je ujet Ma >, isto kalitatinog karaktera. Ako se, na rimjer, rema Slici.d, kut rofila θ dooljno oea, kosi udarni al e se odojiti od rednjeg brida rofila, i oblikoat e se jaki zaobljeni normalni udarni al isred rofila, te odruje odzunog strujanja iza udarnog ala. Dakle, otuno nadzuno strujanje je narušeno ukoliko je kut θ dooljno elik ri odreenom Machoom broju Ma. Odajanje udarnog ala može se dogoditi ri bilo kojoj rijednosti Machoog broja eoj od, a rijednost kuta θ ri kojoj se to dogaa oeaa se s oeanjem Ma. Nasurot tome, ako se kut θ smanji do beskonano male rijednosti, strujno olje sa Slike.d rijedit e za Ma, što takoer okazuje da je ujet Ma >, samo orijentacijska rijednost. Kako je lokalna brzina u nadzunom strujanju ea od brzine zuka, oremeaji nastali u nekoj toki struje ne mogu se širiti uzstrujno (kao u odzunom strujanju). Oa osobina je jedna od najažnijih fizikalnih razlika izmeu odzunog i nadzunog strujanja. o je i osnoni razlog zašto se udarni aloi dogaaju u nadzunom strujanju, a ne u odzunom strujanju. d) Hierzuno strujanje. Ako se onono razmotri rofil sa Slike.d sa zadanim, konstantim kutom θ i retostai daljnje oeaanje Machoog broja iznad, udarni aloi se ribližaaju oršini rofila. akoer, oeaa se jakost udarnog ala, što doodi do znaajnog oeanja temerature u odruju izmeu udarnog ala i oršine rofila (udarni sloj). Ako je Ma dooljno elik, udarni sloj ostaje rlo tanak a dolazi do meudjeloanja izmeu udarnog ala i iskoznog graninog sloja na oršini rofila. emeratura u udarnom sloju ostaje dooljno isoka da omoguaa razoj kemijskih reakcija u zraku. Molekule kisika O i dušika N se cijeaju, tj. dolazi do disocijacije molekula lina. Dakle, kad Macho broj Ma dooljno naraste tako da iskozne interakcije i kemijske reakcije ostaju dominantna ojaa u strujanju, tako strujno olje nazia se hierzunim. Odje je, takoer, rijednost Ma > 5 orijentacijskog karaktera. Hierzuna aerodinamika naroito se rouaala u eriodu od 955. do 970. jer se semirska ozila raaju u Zemljinu atmosferu s Machoim brojeima izmeu 5 i 36. Danas je hierzuna aerodinamika samo dio cijelog sektra starnih brzina leta..3 KRAKI PREGLED ERMODINAMIKE Osim romjenjie gustoe, slijedei ažan asekt za stlaio strujanje isokim brzinama je energija. Strujanje isokim brzinama je strujanje s isokom razinom energije. Na rimjer, za struju zraka na standardnim atmosferskim ujetima na razini mora ri brzini jednakoj dostrukoj brzini

3 zuka, unutarnja energija kilograma zraka iznosi, J, dok je kinetika energija,3 0 5 J. Usoraanjem brzine strujanja zraka, kinetika energija se smanjuje, a oeaa se unutarnja energija što doodi do oeanja temerature zraka. Zbog toga je za strujanja isokim brzinama, rlo znaajno rouaanje transformacija energije i romjene temerature. ime se bai znanost o tolini termodinamika, a je ona nezaobilazna rkom razmatranja strujanja isokim brzinama..3. Idealan lin Plin se sastoji od estica (molekula, atoma, iona, elektrona...) koje se iše manje sluajno gibaju. Uslijed elektronske strukture estica, olje sila odreuje rostor izmeu estica. Polje sila jedne estice meudjeluje s oljima sila okolnih estica. Oa olja sila naziaju se meumolekularne sile. Ako je udaljenost izmeu ojedinih estica dooljno elika, utjecaj meumolekularnih sila je malen i može se zanemariti. Plin u kojem se meumolekularne sile mogu zanemariti definira se kao idealan lin. Za idealan lin, eliine stanja tlak, temeratura i gustoa ρ meusobno su oezane jednakošu stanja: ρr, () gdje je R secifina indiidualna linska konstanta koja ima razliite rijednosti za razliite linoe. Za zrak ri standardnim ujetima, ona iznosi R 87,05 J/(kgK) Pri temeraturama i tlakoima koji su karakteristini za mnoge rimjene kod stlaiog strujanja, rosjena udaljenost izmeu estica lina je iše od 0 uta ea od romjera molekula. o je sasim dooljno da bi rijedila retostaka o idealnom linu. Jednakost stanja esto se ojaljuje i u još jednom obliku: R, () gdje je secifini olumen, tj. olumen o jedinici mase, /ρ (m 3 /kg) i ne treba ga miješati s brzinom komonentom brzine u smjeru y koja se takoer obilježaa se..3. Unutarnja energija i entalija Ako se romatra ojedina molekula lina, nr. molekula kisika O u zraku, ta molekula se giba kroz rostor na sluajan nain, oremeno se sudarajui s okolnim molekulama. Zbog sog gibanja kroz rostor, molekula ima kinetiku energiju translacije. Osim translatornog gibanja, molekula može rotirati u rostoru, a e imati kinetiku energiju rotacije. Atomi u molekuli mogu ibrirati narijed-natrag duž i orijeko molekularne osi i tako ridodaati otencijalnu i kinetiku energiju ibracija. Konano, gibanje elektrona oko jezgri molekula ridonosi energiju elektrona. ako je ukuna energija molekule jednaka zbroju njezinih energija translacije, rotacije, ibracija i gibanja elektrona. Ako se otom romatra konani olumen lina koji sadrži eliki broj molekula, zbroj energija sih molekula u tom olumenu definira se kao unutarnja energija lina. Unutarnja energija o jedinici mase lina je secifina unutarnja energija i oznaaa se s e. Sa secifinom unutarnjom energijom oezuje se eliina od naziom secifina entalija koja se oznaaa s h: h e +. (3) Za idealan lin, i secifina unutarnja energija e i secifina entalija h zaise samo o temeraturi : ( ), ( ). e e (4.a) h h (4.b) Ako de i dh redstaljaju deriacije secifine unutarnje energije i secifine entalije, tada za idealan lin rijedi: de cd, (5.a) dh c d, (5.b) gdje su c i c secifine toline ( secifini tolinski kaaciteti) ri konstantnom olumenu (c ) odnosno ri konstantnom tlaku (c ). U jednakostima (5.a) i (5.b) secifine toline c i c takoer mogu biti funkcije temerature. Meutim, za umjereni rason temeratura (za zrak je to za < 000 K),

4 secifine toline se mogu uzeti kao konstantne rijednosti. Idealan lin za koji su c i c konstante nazia se kalorino idealan lin, za koji onda jednakosti (5.a) i (5.b) ostaju: e c, (6.a) h c. (6.b) Za eliki broj raktinih roblema stlaiog strujanja, temeratura se kree u tom umjerenom rasonu, a e se dalje romatrati samo kalorino idealni linoi, dakle, s konstantnim secifinim tolinama. Za neki lin, secifine toline c i c su oezane kroz jednakost: Ako se gornja jednakost odijeli s c, dobia se: c c R. (7) c R. (8) c c Omjer secifinih tolina oznaaa se s c / c. Za omjer secifinih tolina ojaljuje se i oznake k γ. Za zrak ri standardnim ujetima omjer secifinih tolina iznosi 7/5,4. Urštaajui u jednakost (8), slijedi: R c R c. (9) Analogno, dijeljenjem jednakosti (7) s c, dobia se: R c. (0).3.3 Pri zakon termodinamike (Pri glani staak termodinamike) Promatra se odreena masa lina koja se definira kao susta. Zbog jednostanosti, može se romatrati kg lina. Podruje izan sustaa nazia se okolina sustaa. Susta i njegou okolinu dijeli granica sustaa, kao što je rikazano na Slici. Pretostalja se da je susta stacionaran, odnosno da nema romjena s remenom. S δq je oznaena mala koliina toline redana sustau iz okoline kroz granice sustaa. Primjer izora dodane toline može biti zraenje iz okoline koje asorbira masa u sustau rooenje toline uslijed temeraturnog gradijenta kroz granice sustaa. akoer, δw oznaaa rad koji okolina izrši nad sustaom, nr. omicanjem granica sustaa smanjianjem olumena sustaa. Kao što je reeno ranije, susta ima unutarnju energiju e uslijed molekularnog gibanja lina. Dodana tolina i izršen rad nad sustaom uzrokuju romjenu energije i, budui da je susta stacionaran, romjena energije je jednostano de: q + w de. () Slika. ermodinamiki susta Jednakost () redstalja ri zakon termodinamike. o je iskusteno dobien rezultat otren ekserimentima. U jednakosti () e je eliina stanja, a je de konani egzaktni diferencijal i

5 njegoa rijednost zaisi samo o oetnom i zaršnom stanju sustaa. Nasurot tome, δq i δw zaise o rocesu izmeu oetnog i zaršnog stanja sustaa. Za odreenu romjenu unutarnje energije de, oenito ostoji beskonaan broj razliitih naina ( rocesa) na koje tolina može biti doedena rad izršen nad sustaom. Za rouaanje strujanja stlaiog fluida osebno su ažne tri rste rocesa:. Adijabatski roces u kojem nema razmjene toline (niti dooenja niti odoenja toline) izmeu sustaa i okoline;. Poratni reerzibilni roces u kojem se ne dogaaju disiatini fenomeni tj. roces u kojem nema utjecaja iskoznosti, rooenja toline difuzije mase; 3. Izentroski roces je istoremeno i adijabatski i reerzibilni, odnosno to je roces u kojem nema romjene entroije sustaa. Za reerzibilni roces se može okazati da je δw d, gdje je d rlo mala romjena olumena sustaa uslijed omaka granica sustaa, a ri zakon termodinamike (jednakost ) ostaje q d de. ().3.4 Entroija i drugi zakon termodinamike (drugi glani staak termodinamike) Iskusto okazuje da e u rirodi tolina uijek relaziti s tolijeg tijela na hladnije. Meutim, ri zakon termodinamike doušta i obrnuti, otuno nerealan sluaj, se dok je energija sustaa konstantna tijekom rocesa. Narano, riroda omoguaa samo jedan smjer odijanja rocesa rijelaza toline. Da bi se tono utrdio smjer odijanja rocesa, uodi se noa eliina stanja, entroija: qre d s, (3) gdje je s entroija sustaa, δq re mala koliina toline dodana reerzibilno sustau, a je temeratura sustaa. Jednakost (3) definira romjenu entroije sustaa u zaisnosti o reerzibilno dodanoj tolini δq re. Meutim, entroija je eliina stanja i kao taka može se koristiti za bilo koje rocese, oratne neoratne. Veliina δq re može se odnositi i na oetnu i zaršnu toku ireerzibilnog rocesa gdje je staran iznos dodane toline δq. ada se može koristiti alternatini, širi izraz, koji ukljuuje i sluaj oratnog rocesa: q d s + ds irre. (4) U jednakosti (4) dq je starna koliina toline redana sustau tijekom neoratnog rocesa i ds irre je rirast entroije uslijed neoratnih, disiatinih fenomena iskoznosti, rooenja toline i difuzije mase koji se dogaaju unutar sustaa. Oe disiatine ojae uijek oeaaju entroiju: ds irre 0. (5) U izrazu (5) znak jednakosti odnosi se na oratne rocese u kojima se ne dogaaju disiatine ojae u sustau. Kombinirajui izraze (4) i (5), dobia se: Nadalje, ukoliko je roces adijabatski (δq 0), izraz (6) ostaje: q ds. (6) ds 0. (7) Izrazi (6) i (7) su oblici drugog zakona termodinamike, koji objašnjaa u kojem smjeru se odreeni roces može odijati. Proces može tei samo u smjeru u kojem se entroija sustaa i njegoe okoline oeaa u krajnjem sluaju ostaje jednaka. Ako se retostai reerzibilno dodaanje toline sustau u jednakosti (), nakon urštaanja definicije entroije rema jednakosti (3) u jednakost (), dobia se: d s d de d s de + d. (8)

6 Iz definicije entalije (jednakost 3) slijedi: Kombinirajui jednakosti (8) i (9) dobia se: d h de + d + d. (9) ds dh d. (0) Jednakosti (8) i (0) redstaljaju alternatine oblike rog zakona termodinamike izražene omou entroije. Za idealan lin iz jednakosti (5.a) i (5.b) je de c d i dh c d. Urštaanjem oih izraza u jednakosti (8) i (0) dobia se: i d d d s c + () d d ds c. () Ako se iz jednakosti stanja R izrazi / R/ i ursti u izraz () slijedi: d d ds c R. (3) Integrirajui jednakost (3) od oetnog stanja (oznaenog indeksom ) do krajnjeg stanja (oznaenog indeksom ) nekog termodinamikog rocesa, dobia se: Za kalorino idealan lin, R i c su konstante, a slijedi: Analogno, olazei od jednakosti () bit e: d d s s c R. (4) s. (5) s c ln R ln s c ln R ln s +. (6) Jednakosti (5) i (6) su raktini izrazi za izraunaanje romjene entroije kalorino idealnog lina izmeu da stanja. Iz oih jednakosti može se zakljuiti da je entroija funkcija diju termodinamikih eliina, nr: s s(, ), s s(, ) s s(ρ, )..3.5 Izentroski roces Izentroski roces se definira kao roces koji je i adijabatski i oratan. Za adijabatski roces rijedi δq 0, a za oratan roces ds irre 0. Dakle, za adijabatski oratan roces iz jednakosti (4) dobia se da je ds 0 entroija takog rocesa je konstantna. Otuda dolazi izraz "izentroski". Za izentroski roces može se jednakost (5) naisati u obliku: 0 c ln R ln, c ln ln R c R (7) Iz jednakosti (9) je c /R /( ) a se izraz (7) može naisati i kao:

7 (8) Rješaajui na slian nain jednakost (6) za izentrosko strujanje, dobia se: i 0 c ln + R ln, c ln ln R c R. (9) Iz jednakosti (0) je c /R /( ) a s time izraz (9) orima oblik:. (30) Budui da je ρ /ρ /, jednakost (30) može se isati i kao: ρ ρ. (3) Konano, ako se kombiniraju izrazi (8) i (3), mogu se sažeti izrazi za izentrosko strujanje u oblik: ρ ρ. (3) Jednakosti (3) su rlo znaajne: one oezuju tlak, temeraturu i gustou u izentroskom rocesu i rlo esto se koriste. One roizlaze iz rog zakona termodinamike i definicije entroije. Zbog toga su jednakosti (3) u stari energijski odnosi u izentroskom rocesu. Veliki broj raktinih roblema strujanja stlaiog fluida može se smatrati izentroskim, na rimjer, strujanje reko aerorofila kroz raketni motor. U odruju neosredno do oršine aerorofila zida raketne mlaznice oblikuje se granini sloj unutar kojeg djeluju jaki disiatini mehanizmi iskoznosti, rooenja toline i difuzije. Zbog toga se unutar graninog sloja oeaa entroija. Meutim, ako se romatra element fluida koji se giba izan graninog sloja, za njega su disiatini utjecaji rlo mali i mogu se zanemariti. olina se niti doodi niti ododi fluidnom elementu a je strujanje izan graninog sloja adijabatsko. Dakle, element fluida izan graninog sloja rolazi kroz adijabatski oratan roces, odnosno izentroski roces izentrosko strujanje. U eini raktinih rimjena, iskozni granini sloj na ošini je rlo tanak u usoredbi s cijelim strujnim oljem, a se elika odruja strujanja mogu smatrati izentroskima..4 DEFINICIJA SLAIVOSI Se tari u rirodi su stlaie do neke ee manje mjere; kad se na njih djeluje tlakom, njihoa gustoa se mijenja. Oo je osebno izraženo kod linoa, mnogo manje kod tekuina, a gotoo zanemario kod krutih tari. Veliina koja goori koliko neka tar može biti stlaena je secifina karakteristika tari i nazia se stlaiost. Neka se romatra mali element fluida olumena kao što je rikazano na Slici 3. Na stranice elementa fluida djeluje tlak. Ako se tlak u nekom trenutku oea za beskonano mali iznos d, olumen elementa e se romijeniti u odgoarajuem iznosu d. U oom sluaju olumen e se smanjiti a eliina d na Slici 3. ima negatinu rijednost. Prema definiciji, stlaiost t fluida je:

8 d τ. (33) d Fizikalno, stlaiost je ostotna romjena olumena fluidnog elementa o jedinici romjene tlaka. Meutim, kad se fluid stlauje, njegoa temeratura se oeaa zaisno o koliini toline razmijenjene s okolinom kroz granice sustaa. Ako se temeratura fluidnog elementa na Slici 3. održaa konstantnom (nekim mehanizmom razmjene toline), tad se τ definira kao izotermalna stlaiost τ : τ. (34) Slika 3. Definicija stlaiosti Ukoliko nema razmjene toline izmeu fluidnog elementa i okoline i ako se trenje može zanemariti, tada se roces stlaianja dogaa izentroski, a τ se definira kao izentroska stlaiost τ s : τ s. (35) Indeks s oznaaa arcijalnu deriaciju ri konstantnoj entroiji. Veliine τ i τ s su termodinamike karakteristike fluida i njihoe rijednosti za ojedine fluide mogu se ronai u razliitim rirunicima fizikalnih osobina. Oenito, stlaiost linoa je nekoliko redoa eliine ea od stlaiosti tekuina. Utjecaj stlaiosti τ ri odreianju osobina fluida u gibanju je rlo znaajna. Ako se u jednakosti (33) secifini olumen zamijeni recironom rijednošu gustoe, /ρ, dobia se: s dρ τ, (36) ρ d odnosno, kad se fluidu nametne romjena tlaka d, dogodit e se odgoarajua romjena gustoe dρ: dρ τρd. (37) Neka se romatra strujanje fluida, na rimjer, reko aerorofila. Ako je fluid tekuina, ija je stlaiost τ rlo mala, tada je za odreenu romjenu tlaka d, od jedne do druge toke u struji, romjena gustoe dρ zanemario mala. U tom sluaju, može se retostaiti da je gustoa konstantna i da je strujanje tekuine nestlaio. Ako je fluid lin, koji ima eliku stlaiost τ, tada za odreenu romjenu tlaka d, od jedne do druge toke u struji, rema jednakosti (37), romjena gustoe dρ može biti elika. Dakle, gustoa ρ nije konstantna i oenito, strujanje lina je stlaio strujanje. Ukoliko se, meutim, radi o strujanju lina malim brzinama, romjene tlaka kroz strujno olje su male u usoredbi s eliinom tlaka. ako za strujanja lina malim brzina, usrkos isokim rijednostima stlaiosti τ, na romjenu gustoe dρ može resudno utjecati mala rijednost d. ada se takoer može retostaiti da je gustoa konstantna, odnosno da je strujanje lina malim brzinama nestlaio strujanje. Pokazalo se da Macho broj može biti ogodniji kriterij za odreianje stlaiosti strujanja, odnosno, može li se neko strujanje smatrati nestlaiim stlaiim. Macho broj se definira kao omjer lokalne brzine strujanja i lokalne brzine zuka a:

9 Ma. (38) a Kao što je e reeno, kad je Ma > 0,3, strujanje se treba romatrati kao stlaio, a brzina zuka u linu oezana je s izentroskom stlaiošu τ s..5 VAŽNE JEDNAKOSI ZA NEVISKOZNO SLAIVO SRUJANJE Osnone zaisne arijable za neiskozno, nestlaio strujanje su tlak i brzina, a su otrebne samo dije jednadžbe za rješaanje oih diju neoznanica. o su jednadžba kontinuiteta i jednadžba održanja koliine gibanja. Kombiniranjem oih diju jednadžbi dobiaju se Bernoullijea i Lalaceoa jednadžba koje se koriste za rješaanje roblema neiskoznog, nestlaiog strujanja. Kod oakog strujanja retostalja se da su gustoa ρ i temeratura konstantne. Zbog toga nisu otrebne dodatne jednadžbe, odnosno konkretno, nema otrebe za jednadžbom energije. Nestlaio strujanje slijedi isto mehanike zakone i nisu otrebna termodinamika razmatranja. Naroti, za stlaio strujanje, gustoa ρ je arijabla i neoznanica. Zbog toga je otrebna dodatna jednadžba - jednadžba energije - koja, meutim, uodi unutarnju energiju e kao neoznanicu. Budui da je unutarnja energija oezana s temeraturom, i ostaje ažna arijabla. Dakle, za stlaio strujanje ažne su arijable:,, ρ, e i. Za rješaanje oih et arijabli otrebno je et jednadžbi. Pra jednadžba je jednadžba kontinuiteta zakon o održanju mase: u diferencijalnom obliku, za raokutne Descartesoe koordinate: ρ d V + ρ da 0, (39) V ρ + x A ( ρu) ( ρ) ( ρw) + y + z 0, (40) gdje su u, i w komonente brzine u smjeroima osi x, y i z. Za stacionarno ( / 0), jednodimenzionalno strujanje može se koristiti sljedei oblik jednadžbe kontinuiteta: dρ da d ρ A, (4) ρ A m const.. (4) Druga jednadžba je jednadžba zakon održanja koliine gibanja koji roizlazi iz II Newtonoog zakona: d dt ( m ) Fi odnosno ( ) V, (43) ρ dv + ρ da ρfdv da. (44) A Pri lan u gornjoj jednadžbi redstalja romjenu koliine gibanja s remenom unutar romatranog olumena, a drugi lan je romjena koliine gibanja kroz graninu oršinu romatranog olumena. Pri lan s desne strane znaka jednakosti redstalja olumenske sile (graitacijske, elektromagnetske itd), a drugi lan oršinske sile (sile tlaka, sile tangencijalnog narezanja itd). Vektor f je sila o jedinici mase u romatranom olumenu i ima dimenziju N/kg. Vektorska jednadžba održanja koliine gibanja za neiskozan fluid može se za raokutne koordinate naisati u diferencijalnom obliku: V A

10 u u u u Fx + u + + w x y z ρ ρ x, Fy + u + + w x y z ρ ρ y, w w w w Fz + u + + w x y z ρ ρ z. (45) Odje su u, i w komonente brzine u smjeru koordinatnih osi, a F x, F y i F z su sile o jedinici olumena u smjeru koordinatnih osi i njihoa je dimenzija N/m 3. Za stacionarno ( / 0), jednodimenzionalno strujanje neiskoznog fluida, kada se mogu zanemariti olumenske sile, a od oršinskih djeluju samo sile tlaka, jednadžba održanja koliine gibanja u diferencijalnom obliku ostaje: d + d 0 ρ d d + 0. (47) ρ rea jednadžba je jednadžba energije: ( f ) ρ + e + dv ρ e + da ρq dv da + ρ dv (48) V A V A V gdje je q tolina doedena jedinici mase u jedinici remena, J/(kgs). Pri lan u gornjoj jednadžbi je romjena energije s remenom unutar romatranog olumena, a drugi lan je romjena energije kroz graninu oršinu romatranog olumena. Pri lan s desne strane znaka jednakosti redstalja razmijenjenu tolinu, drugi lan je rad sila tlaka, a trei lan je rad olumenskih sila. Preostale dije otrebne jednadžbe su jednadžba stanja idealnog lina ρr te izraz za unutarnju energiju e c. Bernoullijea jednadžba izedena za nestlaio strujanje ne rijedi za stlaio strujanje; ona olazi od retostake konstantne gustoe što ne rijedi za stlaio strujanje..6 DEFINICIJA ZAUSAVNIH UVJEA Neka se romatra fluidni element koji se giba kroz toku u strujnom olju u kojoj su lokalne rijednosti tlaka, temerature, gustoe, brzine i Machoog broja,, ρ, i Ma. Odje su tlak, temeratura i gustoa statike eliine - statiki tlak, statika temeratura i statika gustoa. o su eliine koje bi osjeao romatra koji se takoer giba jednakom brzinom kao i fluidni element. Ukoliko se sada fluidni element adijabatski usori do nulte brzine, eliine, ρ i e se romijeniti. Vrijednost temerature fluidnog elementa koji je adijabatski doeden u stanje miroanja nazia se zaustana ( totalna) temeratura i oznaaa se s 0. Odgoarajua rijednost entalije definira se kao zaustana entalija h 0. Za kalorino idealan lin ona iznosi h 0 c 0. akoer, nekoj toki u strujnom olju u kojoj su statika temeratura i entalija h mogu se ridružiti rijednosti zaustane temerature 0 i zaustane entalije h 0. Ako se u jednadžbu održanja koliine gibanja (45) uedu retostake stacionarnog ( / 0) i jednodimenzionalnog (u ; w 0; / y / z 0) strujanja i ako se može zanemariti sila o jedinici olumena (F x 0), jednadžba (45) ostaje: (46) d d (49) dx ρ dx ρ d d. (50) Kombiniranjem izraza (3) za secifinu entaliju (h e + ), odnosno izraza (9) za deriaciju secifine entalije (dh de + d + d) i I zakona termodinamike, jednadžba (), δq d de, slijedi:

11 q dh d (5) q dh d. (5) ρ Ako se romatrani roces odija adijabatski (bez razmjene toline, δq 0), jednadžba (5) ostaje: d ρdh. (53) Urštaanjem jednadžbe (53) u (50) slijedi: d h + d 0. (54) Integriranjem jednadžbe (54) od neke toke do neke toke duž strujne linije, dobia se: odnosno h h dh + d 0, h h + 0 h + h +. (55) Jednadžba (55) mora rijediti za bilo koje dije toke duž strujne linije, a se može zakljuiti da je:, ako se umjesto h ursti h c : h + const. (56) c + const. (57) Jednadžba (57) nazia se Bernoulli-Lagrangeoa jednadžba. Ako u izrazu (55) retostaimo adijabatsko usoraanje fluidnog elementa do nulte brzine ( 0), tad je entalija h ujedno i zaustana entalija h 0 (h h 0 ). Iz izraza (56) slijedi da je zaustana entalija konstantna duž strujnice: h 0 h + const. (58) Dakle, zaustana entalija, koja je zbroj statike entalije i kinetike energije, se o jedinici mase, ima jednaku rijednost u sakoj toki duž strujnice. Ukoliko se strujnice ine jednoliku slobodnu struju, što je uobiajen sluaj, tada je zaustana entalija h 0 jednaka za se strujnice, odnosno za itao strujno olje. Kako je za kalorino idealan lin h 0 c 0, rema jednadžbi (58) može se zakljuiti da e zaustana temeratura takoer biti konstantna za jednoliko, neiskozno, adijabatsko strujanje kalorino idealnog lina: 0 const. (59) Ukoliko se onono romatra fluidni element koji se, sada izentroski (ds 0), usoraa do stanja miroanja, rezultirajui tlak i gustoa bit e zaustani tlak 0 i zaustana gustoa ρ 0. Kako je izentroski roces ujedno i adijabatski, rezultirajua temeratura bit e zaustana temeratura 0. Ako se u izraz (8) ursti ds 0 i, rema (6.a), de c d, on ostaje: c d d (60) Ako u jednadžbu (), I zakon termodinamike, urstimo dq 0, jer je izentroski roces ujedno i adijabatski; i dh c d, dobia se:

12 c d d (6) Ukoliko se jednadžba (6) odijeli jednadžbom (60), slijedi: c c d d d d. (6) Integriranjem jednadžbe (6) od toke do toke, dobia se: d d, ln ln,, konano const. (63) Jednadžba (63) je još jedan od oblika rije dobiene jednadžbe izentroskog strujanja (3).