משוואות דיפרנציאליות רגילות

Transcript

1 סמי זעפרני משוואות דיפרנציאליות רגילות Ordinary Differential Equations מהדורה אלקטרונית - אוגוסט 28

2 הקדמה הספר הנוכחי צמח מתוך סדרת קורסים בנושא משוואות דיפרנציאליות רגילות בטכניון עבור תלמידים לפקולטות הנדסה. הוא מכסה את החומר הבסיס בנושא זה הדרוש עבור קורסי ההנדסה השונים בטכניון, ועשוי להתאים גם עבור קורסים דומים בנושא זה במוסדות אקדמיים נוספים. הדרך הטובה, היעילה, וכמעט היחידה, ללימוד מתמטיקה היא בשינון החומר יחד עם פתרון תרגילים. בסוף כל פרק נכללה קבוצה מגוונת של תרגילים מתוך רשימה ארוכה של חוברות תירגול ומבחנים שניתנו בקורס זה במהלך השנים בטכניון ובמוסדות שונים להשכלה גבוהה. הבנה כוללת ומעמיקה של החומר תלויה מאוד בכמות התרגילים אותם פותר התלמיד. נשמח לקבל תיקונים, רעיונות, והצעות לשיפור הספר. אין כוונה להפוך אותו לנייר או כל צורת דפוס כלשהי, אלא להמשיך להעשיר אותה בקישורים נוספים לתכנים שונים באינטרנט. אנו מניחים כי לכל התלמידים גישה למכשירים אלקטרוניים המאפשרים צפייה ואינטראקציה עם התכנים המוצגים בו. הבחירה בגופנים מוגדלים נעשתה בכוונה לאפשר קריאה נוחה גם באמצעות טלפונים סלולריים וטבלטים קומפקטיים, וגם עבור מצגות על מסכים גדולים בכיתת הלימוד. אנו מקווים מאוד שהחומר מובא בצורה שתאפשר לך, הקורא, ללמוד אותו בצורה יעילה ומעמיקה ומאחלים לך הצלחה בנסיון זה. סמי זעפרני, אוגוסט 28

3 3 תוכן עניינים פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות מהן משוואות דיפרנציאליות? שימושים של משוואות דיפרנציאליות מודל מתימטי לחיזוי גודל אוכלוסיה 3 מודל מתימטי לתנועת מטוטלת פשוטה מודל מתימטי לנפילה חופשית עם חיכוך אווירי 7 מהירות מילוט של לוויין משדה הכבידה חישוב החזר חודשי קבוע של הלוואת משכנתא מיון של המשוואות הדיפרנציאליות מהו פיתרון של משוואה דיפרנציאלית? פרק :2 משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון שיטת גורם האינטגרציה משפט הקיום והיחידות עבור משוואה ליניארית מסדר ראשון ספל הקפה של ניוטון: פיתרון חישוב החזר חודשי קבוע של הלוואת משכנתא - פיתרון פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון פיתרון משוואות דיפרנציאליות פרידות בסיס תאורטי לשיטת הפרדת המשתנים שיטות הצבה 55 משוואות מטיפוס הומוגני משוואת ברנולי ) (Jacob Bernoulli מנת קווים ישרים משוואות דיפרנציאליות מהצורה c) y = F(ax + by +.3 משוואת ריקאטי ) (Jacopo Riccati משוואות מדויקות

4 4 תוכן עניינים 7 גורמי אינטגרציה עבור משוואות מדויקות משפחות אורתוגונליות של עקומים.6 משפט הקיום והיחידות עבור משוואות מסדר ראשון שדה כיוונים של פונקציה y) f(x, במישור פיתרונות סתומים דיון סכמטי בהוכחת משפט הקיום והיחידות שיטת הקירובים של פיקארד (Picard) שלב : נירמול הבעייה שלב :2 מעבר למשוואה אינטגרלית שלב :3 בניית סדרת קירובים לפיתרון 4 דוגמא לשיטת הקירובים של פיקארד תחום הקיום ויחידות הפיתרון. נספח: משפט הקיום והיחידות עבור משוואה דיפרנציאלית מסדר n פרק :4 משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר > n דיון תאורטי משפט הקיום והיחידות עבור משוואות ליניאריות מסדר. n משוואות הומוגניות ועקרון הסופרפוזיציה אופרטורים דיפרנציאליים Operators) (Differential מערכת יסודית של פיתרונות עבור משוואות הומוגנית מציאת פיתרון על ידי הורדת סדר נוסחת אבל ) Abel, (Niels Henrik פיתרון משוואות ליניאריות הומוגניות עם מקדמים קבועים משוואות לא הומוגניות שיטת השוואת המקדמים שיטת הוריאציה של הפרמטרים משוואת אוילר ) (Leonhard Euler פרק :5 פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות חזרה על נושא טורי חזקות תחום התכנסות של טור חזקות התכנסות במידה שווה של טור חזקות

5 5 22 גזירה ואינטגרציה של טור חזקות פיתוח פונקציה לטור חזקות אריתמטיקה של טורי חזקות פיתרון משוואות דיפרנציאליות על ידי טורי חזקות פרק :6 התמרת לפלס מהי התמרת לפלס? דוגמאות יסודיות התמרת לפלס הפוכה פיתרון משוואות דיפרנציאליות באמצעות התמרת לפלס תכונות נוספות משפטי הזזה פיתרון משוואות דיפרנציאליות באמצעות התמרת לפלס - הרחבה משפט הקונבולוציה טבלת התמרות לפלס בסיסית פרק :7 מערכות של משוואות ליניאריות משפט הקיום והיחידות עבור מערכות של משוואות דיפרנציאליות מסדר משפט הקיום והיחידות עבור מערכות ליניאריות של משוואות מסדר מערכות של משוואות מסדר גבוה 287 רישום מטריציוני פיתרון מערכת ליניארית על ידי שיטת האלימינציה מערכת ליניארית הומוגנית עם מקדמים קבועים נוסחת אבל ) (Niels Henrik Abel שיטות פיתרון מערכת הומוגנית עם מקדמים קבועים ערכים עצמיים בעלי ריבוי אלגברי וגאומטרי זהה > k ערכים עצמיים מרוכבים פשוטים ערך עצמי ממשי בעל ריבוי אלגברי 2 וריבוי גאומטרי ערך עצמי ממשי בעל ריבוי אלגברי 3 וריבוי גאומטרי ערך עצמי מריבוי 3 בעל ריבוי גאומטרי 2.4 מערכת משוואות ליניארית לא הומוגנית

6 6 פרק מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות תודה מיוחדת לפרופסור חגי כתריאל מהמחלקה למתמטיקה במכללת אורט בראודה על כך שנתן את הרשאתו להשתמש בהרצאותיו. חלק גדול מהדוגמאות והתרגילים בשיעור זה לקוח מתוך הקישור הבא odes_part.pdf מהן משוואות דיפרנציאליות?. אלה הן משוואות שבהן הנעלם הוא פונקציה ממשית. במשוואה דיפרנציאליות מעורבת לפחות נגזרת אחת של פונקציה לא ידועה. דוגמא.: א. f (x) = 2x ב. f(x) f (x) = ג. 5f(x) f (x) f (x) + x 2 = ד. = (x) 2 + f (x) 4 + f ה. y + 5xy y sin x = 3e x

7 7 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות ו. t 3 y (t) t 2 y (t) + ty (t) 2y(t) = + ln t y ז. + yy = xy3 ח. חוק הקירור של ניוטון T (t) = k[t (t) C] במשוואה זו, הפונקציה (t) T מתארת את הטמפרטורה של כוס קפה חם בזמן t בחדר שהטמפרטורה שלו היא C (ההנחה היא שהטמפרטורה C קבועה), ו k הוא קבוע פיזיקאלי התלוי בסוג האובייקט שמתקרר. בעייה: ניוטון נכנס לחדר בטמפרטורה של 25 מעלות עם כוס קפה בטמפרטורה התחלתית של 9 מעלות 9) = ().(T לאחר דקות טמפרטורת הקפה היתה 7 מעלות צלזיוס 7) = ().(T מתי טמפרטורת הקפה תגיע ל 3 מעלות? פיתרון: מדובר במשוואה דיפרנציאלית עם תנאי התחלה איור :. coffee Newton s cup of T (t) = k[t (t) 25] T () = 9 כרגע אין לנו שום מושג איך לפתור את הבעייה. לאחר עוד שיעור או שניים נהיה יותר מוכנים לכך. שימושים של משוואות דיפרנציאליות.2 פיזיקה: חוקי תנועה של גופים וחלקיקים, אסטרונומיה, גלים, חום, דינמיקה של זרימת נוזלים וגזים, אלקטרומגנטיות, תרמודינמיקה, חיזוי מזג אוויר ורעידות אדמה, רדיואקטיביות, אנרגיה גרעינית, ועוד...

8 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות 8 תיקשורת : עיבוד אותות, עיבוד תמונות, זרימת מידע )טלפונים סלולריים, כבלים, נתבים, טלויזיה, צגים( אלקטרוניקה : חוקי חשמל, זרם, מתח, קיבול, השראה, אמינות ) (reliability דוגמא :.2 מעבד 4.5 :Skylake מיליארד טרנזיסטורים, ובהערכה גסה בסביבות 2 מיליארד חוטי חשמל, בתוך אריזה שגודלה קטן מ סמ ר. על כל חוט מספר משוואות דיפרנציאליות )זרם, קיבול, התנגדות, השראה, חום, עמידות, השפעות סביבתיות(. כיצד מתמודדים עם 2 מיליארד משוואות דיפרנציאליות מהסוג הבא? ) I(t) = V (t C LI (t) + RI (t) + - C קיבול - L, השראה - R, התנגדות - I(t), זרם בזמן - V (t), t מתח בזמן. t איור :.2 מעבד Skylake של חברת אינטל וזה מבלי לומר מילה על התלויות המסובכות ביניהם )... כל חוט חשמלי במעבד עשוי להיות מושפע על ידי החוטים השכנים לו(. כלכלה : גידול אוכלוסיה, צמיחה, דעיכה, תימחור, אינפלציה, רמת תעסוקה ואבטלה, בנקאות, בורסה ומניות. אקולוגיה : השפעות של שינויים אקולוגיים, גידול ודילול אוכלוסיות בעלי חיים, חיידקים, וירוסים, סוגי תאים. השפעות אקלימיות, מחלות ומגיפות, חיסונים, חיזוי מזג אוויר ושינויים אקלימיים. ) c Samy Zafrany (samyz@technion.ac.il

9 9 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות זוהי רק רשימה חלקית. מידע נוסף ניתן לקבל בקלות על ידי הקלדת הנושא המבוקש בצירוף המילים משוואה דיפרנציאלית בחיפוש. מודל מתימטי לחיזוי גודל אוכלוסיה.2. איור.3: גידול אוכלוסיית העולם 75-2 חיזוי גודל אוכלוסיה חשוב מאוד עבור תיכנון עתידי של תשתיות דיור, תחבורה, שרותי רפואה וכדומה. לכן חשוב מאוד לבנות מודל מתימטי שבאמצעותו ניתן לנבא (בקירוב טוב אם לא במדויק) את גודל האוכלוסיה בכל רגע בעתיד (לפחות הקרוב), ואם אפשר גם את פילוח האוכלוסיה לקבוצות גיל (בעייה קשה יותר). נניח שהאוכלוסיה שלנו מונה מיליון נפש, ובסוף שנת 26 הלישכה המרכזית לסטטיסטיקה דיווחה על 2 לידות ו 5 מקרי מוות. נתעלם בינתיים משינויים הנובעים כתוצאה מהגירה (פנימה והחוצה) ואולי עוד גורמים כגון מצב כלכלי, גיל ממוצע, שינוי במצב שרותי הרפואה, מצבי מלחמה, וכדומה. בינתיים נתחיל עם מודל פשוט ולא מדויק. האם על סמך נתונים אלה נוכל למצוא פונקציה (t) P שמנבאת את גודל האוכלוסיה בזמן t? נניח כי t הוא מספר השנים החל מתחילת 27. שאלה : מה יהיה גודל האוכלוסיה בשנת 257?

10 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות על פי הנתונים קצב הגידול של האוכלוסיה שלנו הוא r = 2 5 =.6 ולכן נוסחה אפשרית לגודל האוכלוסיה בשנה n היא P (n) = ( + r) n התשובה לשאלה היא לכן: P (23) = ( + r) 4 = כלומר, לאחר 4 שנה יחול גידול של קרוב ל 89% באוכלוסיה. שאלה 2: מה יהיה גודל האוכלוסיה לאחר חצי שנה? לאחר שליש שנה? רבע שנה? חודש? יום? שעה?... הנוסחה הקודמת מניחה שגודל האוכלוסיה מתעדכן פעם בשנה בעוד שאנשים נולדים ומתים בכל רגע ורגע באופן רציף לאורך כל השנה. זה נקרא פיתרון דיסקרטי בעוד שאנו מעוניינים בפיתרון רציף שנותן תשובה לכל זמן t, כאשר t הוא מספר ממשי. משוואה שמתארת מודל יותר רציף היא P (t + t) = P (t) + rp (t) t או באופן שקול P (t + t) P (t) t = rp (t) מאחר ו t עשוי להיות קטן כרצוננו, נקבל P (t + t) P (t) lim t t = P (t) = rp (t)

11 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות קיבלנו לכן משוואה דיפרנציאלית P (t) = rp (t) הנגזרת של פונקציית האוכלוסיה (t) P היא אכן הביטוי הכי מדויק למהו קצב גידול האוכלוסיה יותר מאוחר נוכיח כי הפיתרון הכללי של המשוואה הוא כאשר K הוא גודל האוכלוסיה בזמן = t: (*) P (t) = Ke rt P () = Ke r = K = קצב הגידול של האוכלוסיה שחישבנו קודם (.6 = r) אינו מדויק כי הוא הניח מודל גידול דיסקרטי. את הקצב המדויק נוכל לחשב על ידי הצבת = t בנוסחה :(*) P () = e r = 6 r = ln 6 = ולכן נוסחה זו מסתדרת היטב עם התשובה הקודמת לשאלה : P (4) = e 4r = אבל עכשיו נוכל להשתמש בה גם עבור חישוב גידול אוכלוסיה לאחר חצי או רבע שנה P (.25) = e.25r =

12 2 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות תרגיל.: שיעור הילודה בגרמניה בשנת 24 היה.842 ואילו שיעור התמותה היה.29. מה צפוי לקרות לאוכלוסיית גרמניה בשנת 25? (ומי אמור לממן את הפנסיות של המבוגרים?) תרגיל.2: בהמשך לתרגיל הקודם: מתי אוכלוסיית גרמניה תגיע למחצית מגודלה בשנת? 24 לאותה משוואה דיפרנציאלית נגיע גם בתופעות של דעיכה (התפרקות) של חומר רדיואקטיבי (מספר האטומים הרדיואקטיביים בזמן t) חישוב ריבית על הלוואות או פיקדונות בנקאיים, התפרקות של תרופה בגוף, וקצב של ריאקציה כימית (למשל ריאקציה כימית שמייצרת תרכובת C משני חומרים.(B,A תרגיל.3: לחומרים רדיואקטיביים יש נטיה להתפרק עקב אי יציבות של אטומים המכילים עודף נויטרונים בגרעין שנוטים לדחות אחד את השני. מספר האטומים שיתפרקו בכל רגע נתון פרופורציונאלי למספר של כל האטומים הכולל. אם Q(t) היא כמות החומר הרדיואקטיבי בזמן t אז המשוואה הדיפרנציאלית היא Q (t) = rq(t) כאשר r הוא מקדם הדעיכה המתאים לסוג החומר הרדיואקטיבי. המונח חצי חיים (half life) מציין את פרק הזמן הדרוש להתפרקות חצי מהכמות המקורית של החומר הרדיואקטיבי. ידוע שבמקרה של החומר 4 Carbon תקופת חצי החיים היא 5568 שנה. חשב את מקדם הדעיכה r. לקריאה נוספת על דעיכה רדיואקטיבית לחץ על הקישור הבא: Radioactive decay (also known as nuclear decay or radioactivity) is the process by which an unstable atomic nucleus loses energy (in terms of mass in its rest frame) by emitting radiation, such as an alpha particle, beta particle with neutrino or only a neutrino in the case of electron capture, gamma ray, or electron in the case of internal conversion. A material containing such unstable nuclei is considered radioactive. Certain highly excited short-lived nuclear states can decay through neutron emission, or more rarely, proton emission.

13 3 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות מודל מתימטי לתנועת מטוטלת פשוטה.2.2 איור.4: מטוטלת פשוטה (קישור לויקיפדיה) על משקולת כדורית שמסתה m פועלים בעיקרון שני כוחות א. כוח הכבידה שגודלו mg ב. כוח מתיחות השווה ל mg cos θ (מנטרל את כוח הכבידה) ג. הכוח הפועל על m בכוון תנועת המטוטלת הוא mg sin θ ד. בינתיים מתעלמים מכוח החיכוך באוויר שהוא זניח נצא מההנחה המעשית כי הזווית θ היא זווית קטנה ולכן הקשת שעליה נעה המשקולת m קרובה מאוד לקו ישר. נסמן על ידי θ(t) את גודל הזווית שבין החוט לניצב בזמן t. נוסחת הדרך שעושה m היא לכן,L θ(t) ולכן התאוצה של m היא (t).lθ

14 4 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות על פי החוק השני של ניוטון mlθ (t) = mg sin θ (יש לשים לב כי הכיוון החיובי של התנועה הוא משמאל לימין) קיבלנו משוואה דיפרנציאלית (מסדר 2) θ (t) + g L sin θ = בהנחה שהזווית θ קטנה, ההבדל בינה ובין sin θ זניח, ולכן נוכל לפשט את המשוואה להיות ליניארית (קלה יותר לפיתרון) θ (t) + g L θ = נלמד לפתור משוואות דיפרנציאלית ליניאריות בהמשך. הפיתרון הכללי של המשוואה הוא כרגע נציין כי θ(t) = c sin g L t + c 2 cos g L t ω. = g זהו הערך של המחזור (הזמן להשלמת תנודה אחת). נהוג לסמן L לכן הפיתרון הכללי בצורה נוחה יותר הוא θ(t) = c sin ωt + c 2 cos ωt זוהי משפחה דו פרמטרית של אינסוף פיתרונות שונים. אבל כמובן ניתן לבדוק ידנית שכל הפונקציות הללו פותרים את המשוואה על ידי הצבתם במשוואה. שאלה: האם קיים קשר בין מספר הפרמטרים במשפחת הפיתרונות לסדר המשוואה? פינת התיכנות: לתכנתים שבינינו, ניתן לאמת את התוצאות באמצעות שימוש בתוכנת :(Python) SymPy

15 5 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות תיכנות מתימטי בשפת Python אינו חלק או דרישה בקורס אבל עשוי לסייע בהבנת החומר ובפיתרון תרגילים. >>> from sympy import * >>> t, g, L = symbols("t g L", real=true, positive=true) >>> T = symbols("t", cls=function) >>> de = Eq(T(t).diff(t,t) + g/l * T(t)) >>> dsolve(de, T(t)) Eq(T(t), C*sin(sqrt(g)*t/sqrt(L)) + C2*cos(sqrt(g)*t/sqrt(L))) מודל מתימטי לנפילה חופשית עם חיכוך אווירי.2.3 איור.5: נפילה חופשית עם חיכוך אווירי על גוף הנופל נפילה חופשית מגובה מסוים פועלים שני כוחות א. כוח הכבידה הגורם לגוף לנוע לכיוון מרכז כדור הארץ ב. כוח התנגדות אווירי (חיכוך) שפועל בכוון מנוגד לכיוון הנפילה הנחה: עוצמת החיכוך נמצאת ביחס ישיר למהירות הגוף. כלומר: אם y(t) היא פונקציית הדרך של הגוף הנופל, ואם A(t) הוא גודלו של כוח החיכוך הפועל על הגוף בזמן t, אז A(t) = kv(t) = ky (t)

16 6 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות כאשר k הוא קבוע פיזיקאלי שעשוי להיות תלוי בסוג החומר, צורתו, ובצפיפות האוויר. נציין כי הכיוון החיובי הוא כיוון הנפילה (כלפי מטה) ולכן התנגדות האוויר A(t) פועלת בכיוון הפוך. הכוח הכולל הפועל על הגוף שמסתו m בזמן t הוא אם כן F (t) = mg ky (t) על פי החוק השני של ניוטון F (t) = ma(t) = my (t) (.) my (t) = mg ky (t) קיבלנו לכן משוואה דיפרנציאלית אותה נלמד לפתור בהמשך. תרגיל.4: בהקשרים אחרים מקובלת יותר ההנחה שכוח החיכוך פרופורציונאלי לריבוע מהירות הגוף. מה תהיה המשוואה הדיפרנציאלית במקרה זה? פינת התיכנות: בינתיים ניתן לפתור את המשוואה (.) באמצעות שימוש בתוכנת :SymPy >>> from sympy import * >>> t, m, g, k = symbols("t m g k", real=true, positive=true) >>> y = symbols("y", cls=function) >>> de = Eq(m*y(t).diff(t,t) - m*g + k*y(t).diff(t)) >>> dsolve(de, y(t)) Eq(y(t), C + C2*exp(-k*t/m) + g*m*t/k) תוכנת SymPy מציעה לנו אם כן את הפיתרון הכללי הבא: c + c 2 e kt m + mgt k

17 7 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות כצפוי, הפיתרון הכללי הוא משפחה דו פרמטרית של אינסוף פיתרונות שונים. יש להצליב את התוצאה הזו עם התוצאה שנקבל בשיעור שיעסוק בפיתרון משוואות ליניאריות לא הומוגניות. בהרבה מקרים ניתן ללמוד הרבה מהצלבות כאלה. מהירות מילוט של לוויין משדה הכבידה.2.4 איור.6: שיא הודי: שיגור של 4 לווינים באמצעות טיל יחיד מהירות מילוט היא המהירות ההתחלתית המינימלית הדרושה בכדי להשתחרר משדה הכבידה של כדור הארץ בכדי להיכנס למסלול קבוע סביבו (או לברוח לחלל החיצון). מסתבר שמהירות זו אינה תלויה במסת הגוף הנמלט אלא רק במסת הגוף המושך בלבד (כדור הארץ במקרה שלנו). מהירות המילוט עבור גוף על פני כדור הארץ היא..86km/s לתוצאה זו עלינו להגיע על ידי פיתרון משוואה דיפרנציאלית כמובן. הנחות א. לגוף מבנה אירו דינמי שממזער את השפעות החיכוך האווירי ב. תנועת הגוף בכוון ניצב לפני כדור הארץ ג. תנאי מזג אוויר נוחים סימונים

18 8 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות מסת כדור הארץ רדיוס כדור הארץ קבוע הגרביטציה האוניברסלי: M v R v G v G = [m 3 /s 2 kg] m v מסת הלוויין הנמלט t המרחק בין מרכז כדור הארץ והלוויין בזמן y(t) v (v(t) = y (t)) t מהירות הלוויין בזמן v(t) v כוח הגרביטציה הפועל על גוף שמסתו m הנמצא במרחק y(t) ממרכז כדור הארץ נתון על ידי הנוסחה F (t) = GMm y(t) 2 (כיוון התנועה החיובי הוא כלפי מעלה בעוד כוח הכבידה פועל כלפי מטה!) F (t) = m a(t) = my (t) = GMm y(t) 2 על פי החוק השני של ניוטון

19 9 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות קיבלנו משוואה דיפרנציאלית מסדר 2 y (t) = GM y(t) 2 יש לשים לב לכך שהמשוואה אינה תלויה במסת הלוויין m! למשוואה זו יש לצרף שני תנאי התחלה y = GM y() = R y 2 y () = v כאשר R הוא רדיוס כדור הארץ (המיקום ההתחלתי של הלוויין), ו v המהירות ההתחלתית של הלוויין אשר אמורה להבטיח את המילוט שלו מכוח הכבידה. שאלה: האם יש קשר בין סדר המשוואה למספר תנאי ההתחלה? המפתח לפיתרון המשוואה הוא השוויון הבא שמאפשר לנו להוריד את סדר המשוואה מ 2 ל (בהמשך נלמד טכניקות דומות להורדת סדר משוואה). בשלב זה ניתן לדלג על פיתרון המשוואה ולחזור אליו בעוד מספר שיעורים לאחר צבירת נסיון וידע נוסף y (t) = dv dt = dv dy dy dt = v dv dy שמוביל למשוואה דיפרנציאלית חדשה של פונקציית המהירות v(y) (מהירות כפונקצייה של דרך!) vv (y) = GM y 2 שמוביל לפיתרון כללי v(y) 2 = 2GM y + C

20 2 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות הצבת y = R תיתן v(r) 2 = v 2 = 2GM R + C v בלבד ולכן ניתן לחלץ את C C = v 2 2GM R קיבלנו פיתרון פרטי התלוי במהירות ההתחלתית v 2 = 2GM y + v 2 2GM R בכדי להבטיח מהירות מילוט, יש להבטיח כי v(y) עבור כל! y הביטוי 2GM הוא גודל חיובי השואף לאפס כאשר y שואף לאינסוף, לכן y מספיק להבטיח כי v 2 2GM R הצבת הקבועים הפיזיקאליים הידועים R, M, G, מובילה לפיתרון v.86 [km/s] מסקנה: בכדי להבטיח מילוט משדה הכבידה יש לשלוח את הלוויין במהירות התחלתית של לפחות.86 קילומטר לשנייה. בינתיים אפשר להתעלם מהפיתרון (שככל הנראה לא יובן בשיעור הראשון). נחזור לדוגמא זו כשנגיע לנושא של הורדת סדר (אם אשכח, נא להזכיר לי!).

21 2 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות חישוב החזר חודשי קבוע של הלוואת משכנתא.2.5 נניח שלקחנו משכנתא במיליון ש ח בריבית של 4.2% למשך 2 שנה. מהו ההחזר החודשי הקבוע? ומהו הסכום הכולל שנחזיר לבנק בתום תקופת ההלוואה? בינתיים אנו מתעלמים מהשפעות המדד על גודל ההחזר החודשי ומהוצאות שוליות נוספות (עמלות, דמי ניהול, וכדומה) סימונים t v משתנה הזמן (ביחידות של שנים) t גודל ההלוואה בזמן M(t) v r) גודל הריבית כמספר ממשי בקטע [,] (בדוגמא הנוכחית =.42 r v P v גודל ההחזר הקבוע ליחידת זמן (שנתי במקרה שלנו) n v אורך חיי המשכנתא (שנים) הנחת העבודה שלנו היא שהריבית והחזר ההלוואה מתבצעים באופן רציף (למרות שבדרך כלל הריבית מחושבת חודשית, וגם ההחזר הוא חודשי). אי-הדיוק הנובע מכך הוא זניח (לפחות ביחס לנזק המצטבר). בקטע הזמן העובר מ t ל t t, + יש להחסיר את ההחזר הקבוע P, t ולהוסיף את הריבית לתקופה t M(t + t) = [M(t) P t] + [M(t) P t] r t

22 22 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות = 2 t (תשלום חודשי), אז למשל, אם M ( t + ) 2 = M(t) P 2 + M(t) P 2 r 2 M(t + t) M(t) = r[m(t) P t] P t לכן אם נשאיף את t לאפס נקבל משוואה דיפרנציאלית M (t) = r M(t) P שנלמד לפתור בשיעור הבא. בינתיים נציג את הפיתרון הכללי ללא הוכחה: M(t) = Ce rt + P r בכדי למצוא את הפיתרון הפרטי עבור הבעייה הספציפית שלנו, נשתמש בנתונים r =.42, M() =, n = 2 M() = C + P r = נציב בפיתרון הכללי = t ו 2 = t M(2) = Ce 2r + P r = על ידי החסרת שני השוויונים נקבל מייד כי C = M() e 2r

23 23 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות ועל ידי הצבת C בשוויון השני נקבל במקרה הספציפי שלנו נקבל P = rm()e2r e 2r P =.42 6 e 2.42 e 2.42 = זהו ההחזר הקבוע עבור כל שנה. בחישוב חודשי זה יוצא: ההחזר הכולל לבנק יוצא = כלומר הבנק הרויח כ 48% על השקעת כספים שאינם שלו... (וזה עדיין ללא הצמדה למדד, עמלות, וביטוחים למיניהם) הפיתרון שלנו לא כל כך רחוק מהתוצאה שנותן מחשבון המשכנתא של בנק לאומי, וככל הנראה מקור ההבדל הוא במודל הדיסקרטי (שפועל לרעת הלווה?) והמודל הרציף איור.7: מחשבון המשכנתא של בנק לאומי המחשבון של בנק טפחות נותן תוצאה דומה (ככל הנראה מעוגלת לשקלים) נוכל להשתמש בנוסחאות שקיבלנו בכדי ליצור טבלאות תשלומים או גרפים

24 24 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות איור.8: מחשבון המשכנתא של בנק טפחות Year Payment Mortgage תרגיל.5: ברוך מהמכולת השכונתית נכנס לסניף הבנק שלו והעלה רעיון של משכנתא שבה גודל ההחזר השנתי (או החודשי) הולך וקטן בקצב של 5% בשנה. למשל, אם גודל התשלום בשנה הראשונה הוא, ש ח, אז התשלום עבור השנה השניה יהיה 95,, ובשנה ה 2 התשלום יגיע ל (.95) 9 = 35, אם הנתונים הם כמו בתרגיל הקודם, מה תהיה הפעם המשוואה הדיפרנציאלית? מהי טבלת התשלומים השנתית? ומה יהיה ההחזר הכולל לבנק בתום תקופת ההלוואה? בהרצאותיו של פרופסור חגי כתריאל (ראה קישור בתחילת הפרק), חגי מביא

25 25 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות... איור.9: דיאגרמת עמודות עבור גודל המשכנתא וגודל ההחזר בשנים את הציטוטים הבאים שבהם התלמידים מתבקשים לחוות את דעתם בנוגע לקיטעי העיתונות הבאים מתוך הכתבה נוסחת חישוב ריבית המשכנתא שלנו מגיעה לבית המשפט מאת דרור מרמור, גלובס, הדרך שבה נוהגים הבנקים אינה נכונה מבחינה מתמטית, אינה נכונה מבחינה כלכלית ואינה עולה בקנה אחד עם הוראות החוק. כתוצאה מכך גובים הבנקים מהלווים ריבית גבוהה מן המותר לפי הסכמי ההלוואה. את הפצצה הזו הטיל לאחרונה פרופ ירון זליכה, לשעבר החשב הכללי של המדינה, בחוות-דעת שנמסרה לבית משפט בבקשה לאשר תביעה ייצוגית נגד הבנקים על גביית יתר בהלוואות משכנתא. בבסיס הטענה עומדת העובדה שבהסכמי ההלוואה נקבעה במפורש ריבית חוזית (נקראת גם ריבית תעריפית או ריבית נומינלית) שנתית - ולא חודשית. כך לדוגמה, המשמעות של ריבית חוזית שנתית בשיעור של 6% על הלוואה של אלף שקל, היא כי הלוואה שתיפרע בתשלום אחד בתום שנה תישא ריבית בסך 6, שקל. מוקד הוויכוח הוא בחישוב החודשי. לטענת הבנקים, ריבית שנתית של 6% שווה לריבית

26 26 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות חודשית של.5% בחישוב פשוט של 6 חלקי 2 חודשים. זו טעות והטעיה גם יחד, כותב זליכה. ריבית שנתית וריבית חודשית הן שני דברים שונים בתכלית, אשר ההבדל ביניהן יסתכם בגובה תשלום סכום הריבית שיתבקש הלקוח לשלם. לכן, לא ניתן לקבוע בהסכם ריבית שנתית ולדרוש ריבית חודשית בשיעור השווה ל /2 מהריבית השנתית. על-פי החישוב של זליכה, בהינתן הדוגמה שהבאנו פה, ריבית שנתית חוזית של 6% שווה לריבית חודשית בשיעור.487%, בעוד שהיתרה העודפת מגלמת בפועל חיוב בריבית דריבית. ביהמש דחה את הבקשה בהיעדר עילה וקבע כי תכנית שאפתנית להביא לתיקון באופן חישוב הריבית בכלל המוסדות הפיננסים צריכה להבהיר כי הפרקטיקה הנוהגת היא שגויה, וכי העובדה ששיטה מסוימת מתקבלת יותר על דעתם של המבקשים אין בה כדי להקנות לה משקל יתר אל מול שיטת החישוב של הבנקים, העולה בקנה אחד עם החוק ועם עמדת הרגולטור בקשתו של פרופסור ירון זליכה נדחתה על ידי בית המשפט כפי שמתואר בפסק הדין הבא: בית המשפט המחוזי דחה בקשה לאישור תביעה ייצוגית נגד הבנקים מזרחי טפחות, לאומי למשכנתאות והפועלים, בטענה לטעות בחישוב הריבית על הלוואות הדיור שהם גובים. השופטת אסתר שטמר קבעה כי תכנית שאפתנית להביא לתיקון באופן חישוב הריבית בכלל המוסדות הפיננסים צריכה להבהיר כי הפרקטיקה הנוהגת היא שגויה, אולם המבקשים לא עמדו בנטל זה והחישוב כדרך הבנקים עולה בקנה אחד עם החוק ועם עמדת הרגולטור. מיון של המשוואות הדיפרנציאליות.3 המיון הראשוני של המשוואות הדיפרנציאליות מתבצע על פי סדר הנגזרת הכי גבוה שמופיע במשוואה. אם סדר הגזירה הגבוה הוא n, אז המשוואה נקראת משוואה דיפרנציאלית מסדר n. בדרך כלל ככל שסדר המשוואה עולה, כך גם הקושי לפתור אותה עולה, ולכן המיון הראשוני הזה נדרש. במשוואה דיפרנציאלית מעורבת לפחות נגזרת אחת של פונקציה לא ידועה שבדרך כלל נסמן על ידי y(x) (או על ידי.(y(t) הסימן y מסמן שני דברים

27 27 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות בהקשרים שונים: שם הפונקציה כללית (נעלם), וגם את המשתנה התלוי y. הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית מסדר n מוצגת על ידי F (x, y, y, y,..., y (n) ) = בהקשרים מסוימים מותירים קבוע באגף ימין F (x, y, y, y,..., y (n) ) = C צורה כללית זו נקראת גם צורה סתומה form).(implicit בקורסים יסודיים בנושא מקובל להצטמצם לצורה הנורמלית form) (normal שבה ניתן לחלץ את הנגזרת הכי גבוהה כפונקציה של כל שאר הנגזרות ו x y (n) = f(x, y, y, y,..., y (n ) ) לכן הצורה הנורמלית הכללית של משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון שנעסוק בה בקורס היא y = f(x, y) דוגמאות למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון בצורה נורמלית y = א. y = xy 2 xy ב. + x sin xy 3 ג. y = y 3 תרגיל.6: מצא את הסדר של כל אחת מהמשוואות הבאות והבא אותן לצורה נורמלית אם ניתן: א. f (x) = 2x ב. f(x) 5 f (x) = ג. y (y ) 7 + x 2 = 5y ד. (x) f (x) 4 + f (x) 2 + = ln f

28 28 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות y ה. + y 8 y = xy5 ו. 5xy y sin x x 8 y = 3e x המיון השני של משוואות דיפרנציאליות מתבצע על פי האיפיון האלגברי שלה. הצורה האלגברית הכי פשוטה היא הצורה הליניארית: a n (x) dn y dx n + a n (x) dn y dx n + + a (x) dy dx + a (x)y = g(x) או בצורה שקולה (.2) a n (x)y (n) + a n (x)y (n ) + + a (x)y + a (x)y = g(x) משוואה שצורתה (.2) נקראת משוואה ליניארית מסדר n דוגמא.3: המשוואה x 2 y 3xy + 4y = היא משוואה ליניארית מסדר 2. דוגמא.4: המשוואה y + 2e x y + yy = x 4 אינה ליניארית!

29 29 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות מהו פיתרון של משוואה דיפרנציאלית?.4 הדבר השני שעלינו להגדיר הוא מהו פיתרון של משוואה דיפרנציאלית? נתייחס לצורה המפורשת (.3) y (n) = f(x, y, y,..., y (n ) ) פונקציה ϕ(x) נקראת פיתרון של המשוואה (.3) בקטע (β,α) אם לכל נקודה x בקטע (β,α) הפונקציה ϕ(x) גזירה n פעמים ומקיימת את השוויון ϕ (n) (x) = f(x, ϕ (x), ϕ (x),..., ϕ (n ) (x)) נדגיש כי מדובר בקטע פתוח, וקצות הקטע עשויים להיות ±. דוגמא :.5 הפונקציה ϕ(x) = x 2 ln x היא פיתרון של המשוואה x 2 y 3xy + 4y = בקטע (,). ניתן לבדוק זאת פשוט על ידי הצבה דוגמא :.6 הפונקציות ϕ 2 (x) = cos x,ϕ (x) = sin x הן פיתרונות של המשוואה y + y = על כל הישר הממשי (, ). למעשה, כל צירוף ליניארי של (x) ϕ 2 (x) ϕ, פותר את המשוואה ϕ(x) = c sin x + c 2 cos x קל לבדוק זאת על ידי הצבה. מצאנו אם כן אינסוף פיתרונות שונים של המשוואה. קבוצת פיתרונות כזו נקראת גם משפחה דו-פרמטרית של אינסוף פיתרונות.

30 3 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות בהינתן משוואה דיפרנציאלית y (n) = f(x, y, y,..., y (n ) ) נרצה לענות על השאלות הבאות א. האם קיים פיתרון כלשהו למשוואה? ב. אם כן, כמה פיתרונות קיימים? ג. כיצד למצוא את כל הפיתרונות? ד. במידה וקיימים אינסוף פיתרונות כיצד נציג את כולם בצורה מינימלית? פיתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית רגילה הוא לרוב ביטוי מהצורה (.4) F (x, y, c, c 2,..., c n ) = א. כאשר,c n,...,c 2,c פרמטרים חופשיים. ב. לכל בחירה שרירותית של c, n.,.. c, 2 c, מתאים פיתרון ספציפי של המשוואה. הביטוי (.4) מגדיר למעשה משפחה n -פרמטרית של אינסוף פיתרונות. ג. במרבית המקרים הביטוי המתקבל הוא בצורה סתומה ונדרש מאמץ נוסף בכדי להעביר אותו לצורה מפורשת : y(x) = G(x, c, c 2,..., c n ) משפט הפונקציה הסתומה מחדו א 2 מבטיח קיום ויחידות של פיתרון מפורש בתחום הגדרה מסוים אך לא תמיד אפשר לחלץ אותו (רוב הבעיות האלגבריות עדיין אינן פתירות). במקרים כאלה נאלץ להסתפק בפיתרונות סתומים בלבד ולהשתמש בשיטות נומריות ואחרות בכדי לחשב את ערכי הפונקציה בנקודות רצויות, לגזור אותה, לשרטט אותה וכדומה. ד. נציין שמשפחת הפיתרונות (.4) עשויה לפספס חלק מהפיתרונות,

31 3 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות ובמקרים מסוימים יידרשו שתי משפחות כאלה (או יותר) בכדי לבטא את כל הפיתרונות למשוואה. דוגמא.7: פיתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית מסדר 2, עשוי להיראות כך sin(3x + c y) + y 2 e c 2x cos(2x + y) = לא נראה שניתן לחלץ פיתרון מפורש (לפחות לא על פי השיטות המוכרות לנו בשלב זה). תרגילים. מהו הסדר של כל אחת מהמשוואות הדיפרנציאליות הבאות? א. 5f(x) f (x) [f (x)] 3 + x 2 = ב. = (x) 2 + f (x) 4 + f ג. y + 5xy y sin x = 3e x ד. t 3 y (t) t 2 y (t) + ty (t) 2y(t) = + ln t y ה. + yy = xy3 2. לגבי כל משוואה דיפרנציאלית, קבע האם היא ליניארית? א. y + 2x = y ב. y + 2y = y + π ג. ) 2 + y (x + y ) 2 = (x ד. xy ( + x)y + y sin x = e x.3 הוכח כי y(x) = x 2 + C פיתרון של המשוואה הדיפרנציאלית yy = x על כל הישר הממשי

32 32 פרק : מבוא כללי למשוואות דיפרנציאליות רגילות 4. הוכח כי y(x) = xe x פיתרון של המשוואה הדיפרנציאלית y + 2y + y = האם יש פיתרונות נוספים? (נסה לכפול את הפיתרון הקודם). 5. מצא פיתרון כללי של המשוואות הדיפרנציאליות הבאות א. = 5 y ב. < x <,y = 6x 2 + < x <, y x = 2 x 2 + ג. 5 8y (y ) 2 = ד. < x <, y x 2 ה. = 2x ו. y y = + 6. פתור בעיית התחלה y = 6x + 2 y() = 2 y () = 3 ח. y = 6x 2 + y(3) = ז. (y ) 2 = 8y 5 y(2) = ט. בסעיף האחרון, וודא שקיבלת שני פיתרונות שונים!

33 33 פרק 2 משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון הצורה הכללית של משוואה ליניארית מסדר ראשון היא (2.) a (x)y + a 2 (x)y = g(x) או בצורתה הנורמלית (2.2) y + a(x)y = b(x) הנחת עבודה:,a(x) b(x) פונקציות רציפות בקטע (β,α). המשוואה הליניארית הכי פשוטה היא y = g(x) y(x) = ˆ g(x)dx + C ופיתרונה הכללי הוא ˆ y dy = y2 2 היסטוריה: נובמבר 675, 7, לייבניץ רושם בפעם הראשונה את סימן האינטגרל: לפני שניגש לפיתרון הכללי של משוואה (2.2), נדגים את הרעיון של הפיתרון על ידי דוגמא y + x y = 3x

34 34 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון לאחר הכפלת שני האגפים ב x נקבל xy + y = 3x 2 אגף שמאל מזכיר לנו את כלל הגזירה של מכפלת שתי פונקציות מהקורס חדו א [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v x() במקרה שלנו: v(x) = y(x),u(x) = x [xy] = y + xy = 3x 2 xy = x 3 + C ולכן קיבלנו פיתרון כללי (משפחה חד-פרמטרית של אינסוף פיתרונות) למשוואה שלנו: y(x) = x 2 + C x בשלב זה לא ברור אם יש למשוואה שלנו פיתרונות נוספים שאינם נכללים במשפחה הזו. שיטת גורם האינטגרציה 2. הדוגמא הקודמת משרטטת את דרך הפעולה לפיתרון הכללי של משוואה (2.2): נחפש פונקציה µ(x) בעלת התכונה הבאה: (2.3) [µ(x)y] = µ(x)[y + a(y)y] פונקציה µ(x) שמקיימת את השוויון האחרון נקראת גורם אינטגרציה של המשוואה (2.2).

35 35 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון אם נצליח למצוא לפחות גורם אינטגרציה אחד (כמובן אחד יספיק לנו) אז המשוואה (2.2) תהפוך ל [µ(x)y] = µ(x)b(x) שהיא פתירה בקלות. נמשיך לפתח את שוויון (2.3), µ (x)y + µ(x)y = µ(x)y + µ(x)a(x)y µ (x)y = µ(x)a(x)y µ (x) µ(x) = a(x) ולכן ולכן בכדי להמשיך את החיפוש נוסיף הנחת עבודה: > µ(x) בתחום (β,α). כאמור: מטרתנו למצוא את אחד מגורמי האינטגרציה ולא את כולם! לכן אם נצליח למצוא גורם כזה למרות הנחות העבודה המצמצמות בעייתנו תיפתר. תחת הנחת העבודה שגורם האינטגרציה שלנו חיובי בקטע העבודה (β,α), נוכל לרשום ולכן גורם האינטגרציה שלנו הוא [ln µ(x)] = a(x) µ(x) = e a(x) dx (שוב, לביטוי a(x) dx יש אינסוף פיתרונות אבל אחד מהם יספיק עבורנו) מהשוויון [µ(x)y] = µ(x)b(x)

36 36 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון µ(x)y = ˆ µ(x)b(x) dx + C נובע כי ולכן הפיתרון הכללי של המשוואה הליניארית מסדר ראשון (2.2) הוא (2.4) y(x) = [ˆ µ(x) ] µ(x)b(x) dx + C כל הפיתרונות מוגדרים בקטע (β,α) מאחר והפונקציות,a(x) b(x) רציפות בקטע, ובנוסף > µ(x) בכל הקטע. שאלה: האם זהו באמת הפיתרון הכללי? האם ייתכן שקיימים פיתרונות נוספים שלא נכללים בו שאולי ניתן להגיע אליהם באמצעות שיטות אחרות? נוכיח בהמשך שאכן הפיתרון שמצאנו כללי, אך בהחלט קיימים משוואות דיפרנציאליות שבהן לשאלה זו אין תשובה, אך למרות זאת מציאת משפחה אינסופית של פיתרונות היא בכל זאת משהו שאין להקל בו ראש. דוגמא 2.: מצא את הפיתרון הכללי של המשוואה xy + y = x 3 פיתרון: נעבור לצורה נורמלית y + x y = x2 לכן,b(x) = x 2,a(x) = x גורם האינטגרציה הוא µ(x) = e a(x) dx = e x = e ln x = x

37 37 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון y(x) = = x = x µ(x) [ˆ [ˆ ] µ(x)b(x) dx + C ] x 3 dx + C [ x C ] = x3 4 + C x y(x) = x3 4 + C x ולכן ולכן הפיתרון הכללי הוא מומלץ לבדוק כי הפיתרון הכללי שהתקבל, אכן פותר את המשוואה על ידי הצבה פשוטה (במיוחד בבחינות). y (x) = 3x2 4 C x 2 לכן C xy + y = 3x3 4 C x + x3 4 + C x = x3 להלן תרשים גרפי של משפחת הפיתרונות שקיבלנו איור :2. משפחת הפיתרונות של המשוואה xy + y = x 3 שאלה: מהו תחום הקיום של הפיתרון הכללי?

38 38 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון יש לשים לב לפרטים הבאים שיתבררו יותר בהמשך, כשנגיע למשפט הקיום והיחידות א. דרך כל נקודה במישור (בתחום הקיום של המשוואה) עובר פיתרון אחד ב. כל שני פיתרונות שונים אינם נפגשים בשום נקודה ג. משפחת הפיתרונות מכסה את כל המישור (פרט לנקודות שבהן המשוואה לא קיימת) דוגמא 2.2: מצא פיתרון פרטי עבור בעיית ההתחלה הבאה xy + 2y = sin x, ( < x < ) y(π) = פיתרון: נתחיל במציאת הפיתרון הכללי של המשוואה ורק לאחר מכן ננסה למצוא את הפיתרון הפרטי. צורה נורמלית y + 2 x y = sin x x,b(x) = sin x וגורם האינטגרציה הוא x לכן,a(x) = 2 x µ(x) = e a(x) dx = e 2 x = e 2 ln x = x 2 [ˆ y(x) = µ(x) [ˆ = x 2 נציב בנוסחת הפיתרון הכללי (2.4) ] µ(x)b(x) dx + C ] x sin x dx + C = x 2 [ x cos x + sin x + C] = x 2 [sin x x cos x + C]

39 39 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון לכן הפיתרון הכללי של המשוואה הוא y(x) = sin x x 2 cos x x + C x 2 פיתרון פרטי: y(π) = sin π π 2 cos π π + C π 2 = π 2 + C π 2 = לכן C, = π ולכן הפיתרון הפרטי הוא y p (x) = sin x x 2 cos x x π x 2 להלן תרשים גרפי של משפחת הפיתרונות שקיבלנו איור :2.2 משפחת הפיתרונות של המשוואה xy + 2y = sin x

40 4 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון משפט הקיום והיחידות עבור משוואה ליניארית מסדר ראשון 2.2 (2.5) משפט 2.: נתונה משוואה ליניארית מסדר ראשון עם תנאי התחלה y + a(x)y = b(x), (α < x < β) y(x ) = y כאשר א.,a(x) b(x) פונקציות רציפות בקטע (β,α) ב. α < x < β אזי קיימת פונקציה אחת ויחידה y(x) שפותרת את המשוואה בתחום (β,α) ובנוסף.y(x ) = y הוכחה: את קיומו של פיתרון כללי כבר הוכחנו למעלה באמצעות שיטת גורם האינטגרציה. y(x) = [ˆ µ(x) B(x) = ˆ ] µ(x)b(x) dx + C µ(x)b(x) dx נתקדם לפיתרון פרטי. נסמן y(x) = [B(x) + C] µ(x) x = x ונקבל אזי נציב את הנקודה y = µ(x ) [B(x ) + C] C = y µ(x ) B(x ) לכן אם נקח

41 4 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון נקבל פיתרון פרטי y p שמקיים y p (x ) = y y p (x) = µ(x) [B(x) + C ] נותר להוכיח את יחידות הפיתרון. נניח כי z(x) z = הוא פיתרון נוסף של בעיית ההתחלה (2.5), שהתקבל באמצעות שיטה חדשה שלא היתה מוכרת לנו עד היום. אזי z(x) חייב לקיים את השוויון [µ(x)z(x)] = µ(x)[z (x) + a(x)z(x)] שכן הוכחנו למעלה שגורם האינטגרציה µ(x) חייב לקיים שוויון זה עם כל פיתרון של המשוואה b(x) y, + a(x)y = ולכן בהכרח קיים קבוע C כך ש z(x) = [ˆ µ(x) µ(x)b(x) dx + C ] z(x) = µ(x) [B(x) + C ] x = x ונקבל כלומר נציב את הנקודה z(x ) = y = µ(x ) [B(x ) + C ] C = y µ(x ) B(x ) C = y µ(x ) B(x ) ולכן אבל ראינו כי ולכן,C = C ולכן הפונקציה z(x) זהה לפונקציה (x).y p כלומר, (x) y p הוא הפיתרון היחיד לבעיית ההתחלה (2.5). משפטי קיום ויחידות קיימים בעוד כמה סוגי משוואות שנפגוש בהמשך. החשיבות שלהם היא בכך שהם ראשית כל מבטיחים קיום של פיתרון

42 42 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון לבעייה נתונה, ושנית הם מבטיחים את יחידות הפיתרון. בתחומים כמו פיזיקה, ביולוגיה, מזג אוויר, בונים לעיתים קרובות מודלים מתמטיים לשם חיזוי התנהגות עתידית של מערכות שונות. יחידות הפיתרון עומדת בבסיס האפשרות לחיזוי וניבוי. הבנה מדויקת של מה משפט הקיום והיחידות חשובה בכדי להימנע מנפילה מטעויות ובילבולים. נציג כמה דוגמאות. דוגמא 2.3: נתבונן בבעיית ההתחלה xy = 2y y() = לא קשה לבדוק שיש לה אינסוף פיתרונות שונים מהצורה הבאה y(x) = c x 2, < x c 2 x 2, x < יש לשים לב לדברים הבאים א. כל הפיתרונות גזירים ברציפות על כל הישר הממשי! ב. למרות שזו משוואה מסדר ראשון יש לה משפחה דו-פרמטרית של פיתרונות! ג. כל אחד מהפונקציות במשפחה זו מקיים גם את תנאי ההתחלה = ()y, בניגוד לטענת משפט הקיום והיחידות. xy = 2y y() = 3 ד. גם לבעיית ההתחלה יש אינסוף פיתרונות! y(x) = c x 2, < x 3x 2, x <

43 43 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון לכאורה נראה כי דוגמא זו ממוטטת לחלוטין את משפט הקיום והיחידות, עד שרואים כי משפט הקיום והיחידות מתייחס רק למשוואות ליניאריות בצורתן הנורמלית! הצורה הנורמלית של המשוואה שלנו היא y 2 x y = הפונקציה 2 =,a(x) אינה רציפה על כל הישר הממשי כפי שמשפט הקיום x והיחידות דורש! אם נגביל את הבעייה לתחום (,) או לתחום (, ) אז המשפט יתקיים במלואו. למשל, לבעיית ההתחלה xy = 2y, ( < x < ) y() = 3 נשאיר את y p (x) = 3x 2 בתחום (,). קיים פיתרון אחד ויחיד והוא הפרטים לתלמיד.

44 44 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון ספל הקפה של ניוטון: פיתרון 2.3 נחזור למשוואת חוק ההיתקררות של ניוטון שהצגנו בהרצאת המבוא T (t) = k[t (t) C] במשוואה זו, הפונקציה (t) T מתארת את הטמפרטורה של ספל קפה חם בזמן t בחדר שהטמפרטורה שלו היא C (ההנחה היא שהטמפרטורה C קבועה), ו k הוא קבוע פיזיקאלי התלוי בסוג האובייקט שמתקרר. הבעייה: ניוטון נכנס לחדר בטמפרטורה של 25 מעלות עם כוס קפה בטמפרטורה התחלתית של 9 מעלות 9) = ().(T לאחר דקות טמפרטורת הקפה היתה איור :2.3 coffee Newton s cup of 7 מעלות צלזיוס 7) = ().(T מתי טמפרטורת הקפה תגיע ל 3 מעלות? פיתרון: בשלב הנוכחי קל לנו לראות כי מדובר במשוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון עם תנאי התחלה T (t) = k[t (t) 25] T () = 9 רצוי לרשום את המשוואה בצורתה הנורמלית T (t) kt (t) = 25k T () = 9 בבעיות פיזיקאליות רגילות הקבוע הפיזיקאלי k בדרך כלל ידוע מראש, אך במקרה זה ננצל את ההזדמנות להראות כיצד ניתן לגלות אותו על ידי דגימה

45 45 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון אחת פשוטה: = 7 () T. אבל ניגש קודם למציאת הפיתרון הכללי: במקרה הזה,,b(t) = 25k,a(t) = k ולכן גורם האינטגרציה שלנו הוא µ(t) = e a(t)dt = e kt T (t) = [ˆ µ(t) ] µ(t)b(t) dt + C = e kt [ˆ ( 25ke kt ) dt + C = e kt [ 25e kt + C ] ] הפיתרון הכללי הוא = 25 + Ce kt הפיתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית הוא אם כן T (t) = 25 + Ce kt על ידי שימוש בתנאי ההתחלה = 9 () T, והדגימה = 7 () T, נקבל מערכת של שתי משוואות בשני הנעלמים C k, T () = 25 + C = 9 T () = 25 + Ce k = 7 המשוואה הראשונה נותנת = 65 C, והמשוואה השניה תיתן k = ln =.3677 ולכן פונקציית ההתקררות של ספל הקפה היא T (t) = e.3677 t

46 46 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון כאשר t הוא משתנה הזמן בדקות. במבט ראשון רואים כי פונקציית ההתקררות (t) T יורדת באופן אסימפטוטי לטמפרטורת החדר 25. איור 2.4: פונקציית הטמפרטורה של ספל הקפה בין = t ל = 5 t (דקות) בכדי לגלות מתי טמפרטורת הקפה תגיע ל 3, נפתור את המשוואה 3 = 65e.3677 t + 25 = 5 65 t,e.3677 ונקבל ששקולה ל: t =.3677 t ln 5 65 = כלומר, ספל הקפה יגיע לטמפרטורה של 3 לאחר כ 7 דקות (מספיק זמן בכדי לשתות את הקפה לאט ולגלות עוד חוק פיזיקאלי).

47 47 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון חישוב החזר חודשי קבוע של הלוואת משכנתא - פיתרון 2.4 נחזור למשוואת המשכנתא שהצגנו בהרצאת המבוא. נתאר שוב את הבעייה: נניח שלקחנו משכנתא במיליון ש ח בריבית של 4.2% למשך 2 שנה. מהו ההחזר החודשי הקבוע? ומהו הסכום הכולל שנחזיר לבנק בתום תקופת ההלוואה? סימונים t v משתנה הזמן (ביחידות של שנים) t גודל ההלוואה בזמן M(t) v r) גודל הריבית כמספר ממשי בקטע [,] (בדוגמא הנוכחית =.42 r v P v גודל ההחזר הקבוע ליחידת זמן (שנתי במקרה שלנו) years v אורך חיי המשכנתא (שנים) המשוואה הדיפרנציאלית שקיבלנו בהרצאת המבוא היא M (t) = rm(t) P זוהי כמובן משוואות דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון, שבשלב זה אנו מסוגלים לפתור. ראשית כל נרשום את המשוואה בצורה נורמלית M (t) rm(t) = P a(t) = r, b(t) = P ולכן

48 48 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון חישוב גורם אינטגרציה µ(t) = e a(t)dt = e rt M(t) = [ˆ µ(t) ] µ(t)b(t) dt + C [ˆ ( P = e rt e rt ) ] dt + C פיתרון כללי = e rt P r e rt dt + C = P r + Cert קיבלנו את הפיתרון הכללי לחישוב משכנתא בזמן t (ביחידות של שנים!) M(t) = Ce rt + P r בכדי למצוא את הפיתרון הפרטי לבעייה שלנו, נשתמש בנתונים r =.42, M() =, years = 2 נציב בפיתרון הכללי = t ו 2 = t ונקבל מערכת של שתי משוואות בשני הנעלמים C,P M() = C + P r = M(2) = Ce 2r + P r = על ידי החסרת שני השוויונים נקבל מייד כי C = 6 = e2.42

49 49 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון ועל ידי הצבת C בשוויון השני נקבל P = rm()e2r e 2r =.42 6 e 2.42 e 2.42 = זהו ההחזר הקבוע עבור כל שנה. בחישוב חודשי זה יוצא: Monthly Payment = P 2 = ההחזר הכולל של המשכנתא לאחר 2 שנה (ללא הצמדה למדד ועלויות נוספות) הוא Total return = 2 P =, 478, 9.93 החישוב של גודל המשכנתא בכל רגע נתון t (בין = t עד לתום תקופת המשכנתא = 2 t, באופן רציף!) יתבצע כמובן באמצעות נוסחת הפיתרון הפרטי M(t) = Ce rt + P r = e.42t על סמך הנוסחה האחרונה ניתן לבנות דיאגרמות מהסוג הבא איור 2.5: דיאגרמת עמודות עבור גודל המשכנתא וגודל ההחזר בשנים

50 5 פרק 2: משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון קריאה מומלצת Paul Dawkins, DE Complete, p. 24 תרגילים מצא פיתרון כללי עבור כל אחת מהמשוואות הדיפרנציאליות הבאות א. xy y = x ב. y + y = e x ג. xy + y = sin x ד. cot(x) y y cot(x) = ה. = 3 2xy x 2 y ו. xy xy = ( + x 2 )e x ז. ) x 2 )y 2xy = ( + x ( ח. n+ xy ny = e x x y y sin x = tan x 2, < x < π 2 ט. י. y + 2xy = 2x 3 יא. cos(x) y y sin x = sin(x) יב. xy 2y = 2x 4 יג. (2x + )y = 4x + 2y יד. sec(x) y + y tan(x) = טו. = xdy (xy + e x )dx טז. = + xy x 2 y + יז. cos(x)) y = x(y x יח. (2x + y)dy = ydx + 4 ln y dy יט. 2x(x 2 + y)dx = dy כ. (xy ) ln x = 2y כא. (x + y 2 )dy = ydx כב. = x)y (2e y y = y כד. 3x y 2 ( כג. = y sin 2 y + x cot y )

51 5 פרק 3 משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון מטרת הפרק לנסח תנאים מספיקים עבור קיום ויחידות פיתרון של משוואות דיפרנציאליות כלליות מסדר ראשון, שאינן בהכרח ליניאריות. בנוסף לכך נציג שיטות שונות לפיתרון משוואות לא ליניאריות. משוואות לא-ליניאריות הן לרוב מסובכות יותר לפיתרון ממשוואות ליניאריות, ולא קיימת שיטה אחידה לפתור אותם. במרבית המקרים אין בידינו שיטות אנליטיות למציאת פיתרון של משוואה לא-ליניארית. לכן הדרך היחידה להתקדם בנושא היא על ידי פילוח לתתי משפחות בעלות מאפיינים משותפים, ועל ידי פיתוח שיטות פיתרון מיוחדות לכל משפחה ומשפחה. בתחילת הפרק נלמד לפתור מספר משפחות של משוואות לא ליניאריות סדר ראשון שהן יחסית פשוטות: פרידות,(separable) משוואות מטיפוס הומוגני, משוואות ברנולי וריקאטי, משוואות מדויקות equations),(exact ועוד מספר משפחות של משוואות שניתן לפתור באמצעות הצבות פשוטות. חלק ניכר מהמשוואות הלא-ליניארית שאנו פוגשים בפיזיקה ובמדעים אחרים ניתן לפתור באמצעות שיטות מתמטיות לא מסובכות (או לפחות ניתן לקרב אותן למשוואות פתירות על ידי ויתור על דיוק מוחלט). נסיים את הפרק בניסוח כפול של משפט הקיום והיחידות עבור משוואות כלליות מסדר ראשון, ונדון במסקנות ובהיבטים השונים שלו. נציג גם הוכחה סכימתית לא מלאה למשפט (במידה והזמן ירשה).

52 52 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון פיתרון משוואות דיפרנציאליות פרידות 3. הגדרה 3.: משוואה דיפרנציאליות מסדר ראשון (y y = f(x, נקראת משוואה פרידה (separable) אם ניתן לפרק את (y f(x, למכפלת פונקציה של x עם פונקציה של y y = f(x, y) = a(x)b(y) נתחיל עם כמה תרגילים להדגמת הטכניקה ולאחר מכן נציג צידוק תאורטי לטכניקה עצמה. דוגמא 3.: נפתור את המשוואה y = x2 + y 2 dy dx = x2 נעבור לשיטת הסימון של לייבניץ נבצע הפרדת משתנים + y 2 ( + y 2 )dy = x 2 dx ˆ ( + y 2 )dy = ˆ x 2 dx נבצע אינטגרציה נקבל y + y3 3 = x3 3 + C ויתרנו על הקבוע באגף שמאל מאחר וניתן להעביר אותו לקבוע באגף ימין. קיבלנו משפחה חד פרמטרית של פתרונות (בצורה סתומה) y 3 + 3y x 3 = C

53 53 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון דוגמא 3.2: נפתור את בעיית ההתחלה dy dx = 3x2 + 4x + 2 2(y ) y() = הפרדת משתנים 2(y )dy = (3x 2 + 4x + 2)dx (y ) 2 = x 3 + 2x 2 + 2x + C אינטגרציה במקרה הזה ניתן לקבל משפחה חד פרמטרית של פיתרונות בצורה מפורשת y = ± x 3 + 2x 2 + 2x + C y() = ± C = תנאי התחלה קיבלנו פיתרון פרטי מפורש y p (x) = x 3 + 2x 2 + 2x + 4 תרגיל 3.: פתור את בעיית ההתחלה הבאה dy dx = 2x y + x 2 y y() = 2 פיתרון: קל מאוד. הפיתרון הפרטי צריך להיות: y p (x) = 2 ln( + x 2 ) + 4

54 54 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון בסיס תאורטי לשיטת הפרדת המשתנים 3.. נתונה המשוואה הפרידה dy dx = f(x, y) = a(x)b(y) על ידי חילוק שני האגפים בביטוי b(y) נגיע לצורה הבאה (3.) b(y) dy dx = a(x) B(y) = ˆ b(y) dy נסמן נזכיר כי המשתנה y הוא למעשה פונקציה של x, ושלמעשה זהו סימון מקוצר עבור.y(x) לכן השוויון (3.) שקול לשוויון b(y(x))y (x) = a(x) הביטוי (x) b(y(x))y מזכיר לנו כמובן את כלל השרשרת לגזירת הפונקציה המורכבת B(y(x)) לפי המשתנה x d dx B(y) = d dy B(y) dy dx = B (y) y (x) = b(y) y (x) d [B(y)] = a(x) dx לכן השוויון (3.) שקול לשוויון נבצע אינטגרציה (לפי x) על שני האגפים ונקבל B(y) = ˆ a(x) dx

55 55 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון ˆ b(y) dy = ˆ a(x) dx כלומר השוויון האחרון הוא השוויון שבבסיס טכניקת הפיתרון של משוואה פרידה. לאחר חישוב האינטגרלים נקבל פיתרון כללי (בדרך כלל בצורה סתומה). נדגיש שוב, כי אין שום ערובה לכך שמשפחה זו כוללת את כל הפיתרונות של המשוואה! שיטות הצבה 3.2 חלק לא מבוטל מהמשוואות שפוגשים בפיזיקה ומדעים אחרים ניתן לפתור באמצעות הצבות פשוטות. נלמד על כמה מהן בסעיף זה. משוואות מטיפוס הומוגני 3.2. (Homogeneous Differential Equations) משוואות מטיפוס הומוגני הן משוואות שניתן להפוך למשוואות פרידות באמצעות ההצבה v. = y נדגיש כי v הוא פונקציה של x וההצבה בכתיבה x המלאה היא: v(x) = y(x) x דוגמא 3.3: מצא פיתרון כללי למשוואה y = y 4x x y פיתרון: נשתמש בהצבה v = y x בכדי להפוך את המשוואה למשוואה פרידה y y 4x x y = x 4 y x = v 4 v נבטא את y באמצעות v y = xv = y = v + xv

56 56 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון v + xv = v 4 v לכן ולכן x dv dx = v 4 v v = v2 4 הפרדת משתנים v v ( v)dv v 2 4 = dx x ע י שיטת הפירוק לשברים יסודיים (ראה חדו א, סעיף 9.3), קל לקבל ( v)dv v 2 4 = 4 v v + 2 ˆ ˆ 4 v dx dv = v + 2 x 4 ln(v 2) 3 ln(v + 2) = ln x + C 4 פישוט אינטגרציה ולכן ln = ln x + C (v 2) 4(v + 2) 3 4 = Ce x (v 2) 4(v + 2) 3 4 לכן קיבלנו פיתרון כללי e x [ ] (v 2) 3 4 (v + 2) 4 = C נציב v = y x ונקבל פיתרון כללי למשוואה המקורית (y 2x) 4(y + 2x) 3 4 x e x = C בתרשים הבא רואים את שדה הכיוונים של המשוואה בצירוף 5 קווים

57 57 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון אינטגרליים (פיתרונות) y = y 4x x y איור 3.: שדה הכיוונים של המשוואה תרגיל 3.2: דוגמאות נוספות שמומלץ לפתור dy dx = x2 + 3xy + y 2 dy ב. x 2 dx = y2 + 2xy א. x 2

58 58 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון משוואת ברנולי ) (Jacob Bernoulli הצורה הכללית של משוואת ברנולי היא y + p(x)y = q(x)y n היא עולה בהקשר למודלים מתמטיים של תנועת חלקיקים בתוך תווך עם חיכוך בפיזיקה, ומכלילה אותם. בפיזיקה המקרים הנפוצים הם = 2 n או = 3 n אבל השיטה לפיתרון משוואות ברנולי מטפלת גם בערכים לא שלמים של n. ניתן לקרוא על כך בהרחבה בקישורים הבאים דף ויקיפדיה: משוואת ברנולי Bernoulli Equation - HyperPhysics Concepts פיתרון המשוואה יתבצע על ידי חלוקה למקרים שונים. אם = n אז נקבל משוואה ליניארית מסדר ראשון y + p(x)y = q(x) אותה למדנו לפתור בפרק הקודם. y + p(x)y = q(x)y אם = n אז נקבל y + [p(x) q(x)]y = ולכן ושוב קיבלנו משוואה ליניארית (הומוגנית) ואפילו פרידה. אם, n נבצע החלפת משתנה שתהפוך את הבעייה לליניארית v(x) = y(x) n y(x) = v(x) n ולכן נוכל לרשום גם

59 59 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון y (x) = n v(x) n v (x) = n v(x) n n n v(x) n n v (x) + p(x)v(x) n = q(x)v(x) n נגזור את שני האגפים v (x) נציב במשוואה, ונקבל את המשוואה הליניארית n v(x) n n נחלק את שני האגפים בביטוי (3.2) v (x) + ( n) p(x) v(x) = ( n)q(x) דוגמא 3.4: מצא פיתרון כללי למשוואה x 2 y + 2xy y 3 = פיתרון: לא קשה לראות כי מדובר במשוואת ברנולי עם = 3 n y + 2 x y = x 2y3 לכן ההצבה הדרושה כאן היא v = y n = y 2, p(x) = 2 x, q(x) = x 2 נציב בנוסחה (3.2) וקיבלנו משוואה ליניארית v (x) 4 x v(x) = 2 x 2 µ(x) = e 4 x = e 4 ln x = x 4 גורם האינטגרציה

60 6 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון פיתרון כללי v(x) = [ˆ µ(x) = x 4ˆ = 2x 4 ] µ(x)b(x) dx + C x 2 ˆ dx = 4 2x4 x2 x C x 6 dx = 2 5x Cx4 2 5x +Cx4 איור 3.2: משפחת הפיתרונות של המשפחה הפיתרון הכללי של המשוואה הליניארית הוא אם כן v(x) = 2 5x + Cx4 הפיתרון הכללי של המשוואה המקורית (ברנולי) הוא y(x) = [v(x)] 2 = 2 5x + Cx4

61 6 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון נציין כי דוגמא זו מדגימה כי במקרים מסוימים הפרמטר C אינו חופשי לחלוטין, ובמקרה זה נוצר אילוץ שמחייב אותו להיות חיובי. בתרשים 3.2 ניתן לראות גרפים של 4 פונקציות ממשפחת הפיתרונות. מנת קווים ישרים הדוגמא הבאה למשפחת משוואות שבהן שיטת ההצבה עובדת הן משוואות שבהן הפונקציה (y f(x, היא מנה של קווים ישרים y = a x + b y + c a 2 x + b 2 y + c 2 במקרים בהם = 2 c = c מקבלים משוואה הומוגנית שעבורה ההצבה v = y x פותרת את הבעייה. במקרים אחרים נדרשים הצבות שונות. דוגמא 3.5: המשוואה הבאה היא דוגמא פשוטה למנת שני ישרים y = x + 2y + 2x y 2 היא אינה ליניארית, אינה הומוגנית ואינה פרידה. x ˆx = תהפוך אותה להומוגנית אבל ההצבה הפשוטה dy dˆx = ˆx + 2y 2ˆx y ההצבה הקודמת לא תעבוד עבור המשוואה (3.3) y = x + 2y + 2x y 3 במקרה זה נדרשת הצבה יותר כללית ˆx = x + α ŷ = y + β אבל נדרש מאמץ קטנטן בכדי לבחור ערכים מתאימים של β. α,

62 62 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון המטרה שלנו היא להיפטר מהקבועים החופשיים: ˆx + 2ŷ = x + 2y + 2ˆx ŷ = 2x y 3 x α + 2y + 2β = x + 2y + לכן 2x + 2α y β = 2x y 3 קיבלנו מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים α + 2β = 2α β = 3 α = 5 3 β = 3 שפיתרונה הוא לכן ההצבה שאנו זקוקים לה בכדי לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית (3.3) היא ˆx = x 5 3 ŷ = y 3 שתחתיה המשוואה (3.3) הופכת למשוואה הומוגנית (3.4) dŷ dˆx = ˆx + 2ŷ 2ˆx ŷ באופן כללי, כל משוואה מהצורה dy dx = a x + b y + c a 2 x + b 2 y + c 2

63 63 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון dŷ dˆx = a ˆx + b ŷ a 2ˆx + b 2 ŷ ניתן להמיר למשוואה הומוגנית וזאת בתנאי שנוכל לפתור את המערכת a α + b β = c a 2 α + b 2 β = c 2 מערכת זאת פתירה אם ורק אם a b 2 a 2 b או במקרה שהמשוואות תלויות:. a a 2 = b b 2 = c c 2 השיטה תיכשל למשל בדוגמא הבאה dy dx = 5x 2y + 5x 2y + 2 מאחר וכאן תתקבל מערכת בלתי עקבית 5α 2β = 5α 2β = 2 במקרים כאלה, הצבת אחד הישרים תפתור את הבעייה v = 5x 2y + 2 dv dx = 5 2dy dx y dv dx = dx נבטא את y ולכן

64 64 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון לאחר הצבה במשוואה נקבל משוואה פרידה 5 2 dv 2 dx = v v מנת ישרים מקבילים: באופן כללי, משוואה שצורתה dy dx = λax + λby + c ax + by + c 2, (c λc 2 ) ניתן לפתור באמצעות ההצבה v = ax + by + c 2 המשוואה החדשה שתיתקבל תהיה פרידה dv dx = (a + b)v + b(c c 2 ) v נשאיר לקורא להוכיח את הנוסחה. נציין רק שחשוב יותר לזכור את ההצבה. תרגיל 3.3: פתור את המשוואה הדיפרנציאלית dy dx = 4x y + 8x 2y + משוואות דיפרנציאליות מהצורה c) y = F(ax + by באותה צורה ניתן לפתור קבוצות דומות של משוואות דיפרנציאליות מהצורה y = F (ax + by + c) דוגמא 3.6: א. ) 2 + y y = (x + ב. ) + y y = tan 2 (x +

65 65 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון ג x y = 2 + y ד. (x+y)[+ln(x+y)] y = ה. y = + e 2x+2y ו. (x+y) y = sin(2x+2y) sin 2 v = ax + by + c גם כאן ההצבה תהפוך את המשוואה לפרידה שיטות ההצבה שהוצגו בסעיף זה הן רק דוגמאות לרעיון הכללי והרחב של הצבה. יש עוד אין ספור טכניקות דומות, והתלמיד יידרש לפעמים למצוא את ההצבות המתאימות לבעייה גם אם לא נתקל בהן קודם. משוואת ריקאטי ) (Jacopo Riccati 3.3 נסיים את הסעיף באיזכור של משוואת ריקאטי הקלאסית. מאחר והיא אינה כלולה בתוכנית הקורס, נשאיר לתלמיד המתעניין לטפל בפרטים (לא קשה). הצורה הכללית של המשוואה היא dy dx = a(x) + b(x)y + c(x)y2 היא מתאפיינת בכך שאם ידוע פיתרון פרטי שלה (x) y ניתן למצוא פיתרון כללי שלה (לא בהכרח הכי כללי) באמצעות ההצבה y(x) = y (x) + v(x) שמובילה למשוואה ליניארית מסדר ראשון בפונקציה v(x) v + [b(x) + 2c(x)y (x)]v = c(x) נשאיר לתלמיד להגיע לנוסחה זו כתרגיל תרגיל 3.4: מצא פיתרון כללי למשוואה הדיפרנציאלית y = x 2 y x + y2

66 66 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון.y (x) = x אם ידוע לנו הפיתרון הפרטי משוואות מדויקות 3.4 אחת הדרכים היצירתיות להתקדמות בשטח המתמטיקה היא לבצע מהלך הפוך מפיתרון לבעייה Engineering),(Reverse ואז לשנות כיוון מבעייה לפיתרון. נושא המשוואות המדויקות הוא דוגמא מאלפת לגישה זו. משוואה מהצורה F (x, y) = C כאשר הפונקציה מקיימת תנאים מסוימים, מגדירה בצורה סתומה פונקציה F (x, y(x)) = C y = y(x) גזירה סתומה של השוויון האחרון לפי המשתנה הדיפרנציאלית מסדר ראשון x, תניב את משוואה F x + F y y (x) = לא קשה להוכיח את הטענה הבאה. (יש לבדוק את שני הכיוונים של הטענה). טענה: הפיתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית F x + F y y (x) = הוא.F (x, y) = C נוכל להסיק מטענה זו כי אם נתונה לנו משוואה דיפרנציאלית מהצורה ואם קיימת פונקציה (y F,x) כך ש (3.5) A(x, y) + B(x, y) dy dx = F x = A(x, y), F y = B(x, y)

67 67 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון אזי הפיתרון הכללי של (3.5) הוא F (x, y) = C משוואה דיפרנציאלית מהסוג הזה נקראת משוואה מדויקת. דוגמא 3.7: המשוואה הבאה (y 2 + 2xy) + (2xy + x 2 )y = היא משוואה מדויקת, כי עבור F (x, y) = xy 2 + x 2 y מתקיים F x = y 2 + 2xy, F y = 2xy + y 2 ולכן הפיתרון הכללי שלה הוא xy 2 + x 2 y = C הבעייה היא שלא תמיד קל לנחש את הפונקציה (y F,x) ולכן דרוש קריטריון ברור בכדי לקבוע זאת. משפט 3.: יהיו (y B(x, (y,a(x, שתי פונקציות גזירות ברציפות בתחום פשוט קשר (על פי שני המשתנים). אזי המשוואה A(x, y) + B(x, y) dy dx מדויקת אם ורק אם.A y = B x הוכחה: צריך לעבוד על שני כיוונים. כוון : אם המשוואה מדויקת, אז על פי ההגדרה קיימת פונקציה (y F,x) כך ש F x = A(x, y), F y = B(x, y)

68 68 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון ולכן A y = F xy = F yx = B x F xy = F yx נובע מהרציפות של הנגזרות השניות. F (x, y) נוכיח קיומה של פונקציה.A y = B x () F x = A(x, y), (2) F y = B(x, y) השוויון כיוון 2: נניח שמתקיים השוויון כך ש F (x, y) = ˆ A(x, y) dx + h(y) השוויון () גורר ושוויון (2) גורר F y (x, y) = = ˆ y [ˆ ] A(x, y) dx + h(y) A y (x, y) dx + h (y) = B(x, y) הגזירה מתחת לסימן האינטגרל אפשרית בגלל רציפות הנגזרות החלקיות של (y.a(x, לסיום עלינו למצוא פונקציה h(y) המקיימת ˆ h (y) = B(x, y) A y (x, y) dx הבעייה שעשויה להתעורר עם השוויון האחרון היא שאגף שמאל היא פונקציה התלויה ב y בלבד, בעוד שבאגף ימין מעורבות שתי פונקציות שתלויות גם ב x. נוכיח שהפונקציה באגף ימין אינה תלויה ב x כי נגזרתה לפי x מתאפסת: x [ ˆ B(x, y) ] A y dx = B x A y = לכן הפונקציה h(y) קיימת, וקיומה מוכיח שהמשוואה מדויקת. הוכחת המשפט גם מתווה את השיטה לחישוב (y F,x) אם המשוואה מדויקת.

69 69 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון דוגמא 3.8: הוכח כי המשוואה (y cos x + 2xe y ) + (sin x + x 2 e y + 2)y = מדויקת ומצא את פיתרונה הכללי. פיתרון: בדוגמא זו A(x, y) = y cos x + 2xe y, B(x, y) = sin x + x 2 e y + 2 A y = cos x + 2xe y, B x = cos x + 2xe y ולכן קיבלנו כי A y = B x ולכן על פי המשפט, המשוואה מדויקת. נחשב את y) F (x, F (x, y) = = ˆ ˆ A(x, y) dx (y sin x + x 2 e y )dx = y sin x + x 2 e y + h(y) נשאר לחשב את h(y) F y = sin x + x 2 e y + h (y) = B(x, y) = sin x + x 2 e y + 2 לכן = 2 (y) h, ולכן h(y) = 2y (הקבוע לא נחוץ מאחר וממילא הוא נכלל בפיתרון הכללי). קיבלנו לכן את הפיתרון הכללי למשוואה y sin x + x 2 e y + 2y = C הסיכויים לחלץ פיתרון מפורש עבור y(x) ממשוואה זו כנראה קלושים, אבל קיימות שיטות נומריות לחישוב שלהם וגם לשירטוטם באמצעות תוכנות מתמטיות מתקדמות (כגון,Mathematica,Matlab או (Python/Sympy

70 7 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון איור :3.3 קווים אינטגרליים של y sin x + x 2 e y + 2y = C בקטע ] [, tools) (Python/Sympy תרגיל 3.5: בדוק אם המשוואה (2x 3 5y 4 )y = 3x 2 + מדויקת, ואם כן מצא את פיתרונה הכללי. פיתרון: המשוואה מדויקת. הפיתרון הכללי הוא x 3 y 2 + x y 5 = C גורמי אינטגרציה עבור משוואות מדויקות 3.4. בשלב הקודם ביצענו מהלך הפוך מפיתרון כללי למשפחת המשוואות המדויקות. עכשי ננסה לבצע מהלך חוזר של התקדמות בכדי להרחיב את משפחת המשוואות שניתן לפתור בצורה דומה בדרך כלל רוב המשוואות מהצורה A(x, y) + B(x, y) dy dx =

71 7 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון אינן מדויקות. השאלה שנדרשת: האם ניתן להפוך אותן למדויקות באמצעות הכפלתן בגורם כלשהו? הרעיון: ננסה למצוא פונקציה (y µ(x, כך שהמשוואה µ(x, y)a(x, y) + µ(x, y)b(x, y) dy dx = תהיה מדויקת. במידה וקיימת פונקציה כזו, היא נקראת גורם אינטגרציה של המשוואה הדיפרנציאלית שלנו. גורם אינטגרציה חייב לקיים את השוויון (µa) y = (µb) x לאחר הפעלת כלל המכפלה נקבל µ y A + µa y = µ x B + µb x או בצורה שקולה (3.6) (Aµ y Bµ x ) + (A y B x )µ = המשוואה האחרונה היא משוואה דיפרנציאלית חלקית (יש קורס נפרד על משוואות כאלה), שהיא בדרך כלל יותר קשה לפיתרון מהמשוואה המקורית. לכן נוכל לפתור אותה רק עבור מקרים מיוחדים. שני מקרים מיוחדים כאלה הם כאשר הפונקציה (y µ(x, תלויה רק באחד המשתנים, ואז המשוואה (3.6) תהפוך להיות משוואה דיפרנציאלית רגילה. אבל נתחיל דוקא בדוגמא פשוטה שבה µ תלויה בשני משתנים. דוגמא 3.9: המשוואה (3.7) (y 2 + 6x 2 y) + (yx ln x 2xy)y =

72 72 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון אינה משוואה מדויקת כי A y = 2y + 6x, B x = y(ln x + ) 2y וברור לחלוטין כי A. y B x אם נכפיל את המשוואה בגורם האינטגרציה µ(x, y) = xy נקבל משוואה מדויקת ( ) y x + 6x + (ln x 2)y = שפתרונה F (x, y) = ˆ ( y x + 6x) dx = y ln x + 3x 2 + h(y) F y = ln x + h (y) = ln x 2 ולכן.h(y) = 2y הפיתרון הכללי הוא y ln x + 3x 2 + 2y = C זהו מקרה נדיר שבו ניתן לחלץ פיתרון מפורש y(x) = C 3x2 2 + ln x המקרים היותר שכיחים שבהם לא קשה למצוא גורם אינטגרציה הם כאשר µ תלוי במשתנה יחיד. למשל אם µ(x) µ = אז (µa) y (µb) x = µa y = µb x + Bµ (x)

73 73 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון ולכן מהשוויון (µa) y = (µb) x שנדרש עבור גורם אינטגרציה, נובע µa y = µb x + Bµ (x) µ (x) µ(x) = A y B x B קיבלנו את המשוואה יהיה תלוי ב x בלבד! A y B x B התנאי לכך ש ( µ(x קיימת הוא שהביטוי במידה והתנאי מתקיים, נוכל לסמן g(x) = A y B x B µ (x) µ(x) = g(x) g(x) µ(x) = e dx Ay Bx dx = e B והפיתרון של המשוואה הוא אם התנאי לא מתקיים (וקיימת סבירות גבוהה לכך) אפשר לנסות למצוא גורם אינטגרציה מהצורה.µ(y) לא תמיד אחד משניהם קיים, ואז מציאת גורם אינטגרציה הופכת למשימה קשה יותר. דוגמא 3.: מצא גורם אינטגרציה µ(x) עבור המשוואה הדיפרנציאלית y 2 + (x + x sin y)y = לא קשה לבדוק שהמשוואה אינה מדויקת. אבל A y B x B = 2 2 x sin y x + x sin y = 2 ( + ) x sin y x + x sin y = ( ) 2x x + x sin y x + x sin y = 2x

74 74 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון בכדי לגלות את µ(x) יש לפתור את המשוואה µ (x) µ(x) = 2x כמו במקרה של מד ר ליניארית מסדר, גם כאן נניח כי >,µ(x) ולכן אחרי אינטגרציה של שני האגפים נקבל ln µ(x) = 2 ln x + C = ln x + C µ(x) = Ce ln x = C x ולכן נקח את הפיתרון משוואה מדויקת.µ(x) = x לאחר הכפלת המשוואה בגורם זה נקבל y 2 x + ( x + sin y ) y = שפיתרונה לא קשה. באופן דומה, תנאי הכרחי לקיום גורם אינטגרציה µ(y) הוא µ y A + µa y = µb x µ (y) µ(y) = B x A y A = g(y) B x A y יהיה תלוי במשתנה y בלבד, התנאי לקיום µ(y) הוא שהביטוי A שסימננו על ידי.g(y) במידה והתנאי מתקיים, והפיתרון של המשוואה µ (x) µ(x) = g(y) לכן g(y) µ(y) = e dy Bx Ay dy = e A הוא

75 75 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון במידה ולא נמצא גורם אינטגרציה מהצורה µ(x) או,µ(y) אפשר לנחש,µ(x, y) = xm y n,µ(x, y) = x m y n גורמי אינטגרציה מכל מיני צורות כגון וכדומה. תרגיל 3.6: בדוק ש (xy) 2 µ(x, (y = הוא גורם אינטגרציה של המשוואה,µ(x, y) = x m y n 3 + 2y3 x + 2x y + 5y2 dy dx = תרגיל 3.7: מצא תנאי לקיום גורם אינטגרציה מהצורה כאשר n, m, מספרים שלמים, ולאחר מכן פתור את המשוואה (x 3 y 2 y) + (x 2 y 4 x) dy dx = באמצעות גורם אינטגרציה מסוג זה. פיתרון: יש לבדוק את תנאי לקיום השוויון (x m y n A) y = (x m y n B) x לאחר ביצוע גזירות נקבל nx m y n A + x m y n A y = mx m y n B + x m y n B x x m y n n ( y A + A y = x m y n m x B + B x נמשוך גורמים משותפים לכן התנאי לקיום גורם אינטגרציה מהצורה x m y n הוא קיום מספרים שלמים n, m, אשר עבורם מתקיים השוויון הבא ) na y + A y = mb x + B x

76 76 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון נבדוק אם למשוואה שלנו יש גורם אינטגרציה כזה (x 3 y 2 y) + (x 2 y 4 x) dy dx = A = x 3 y 2 y, B = x 2 y 4 x במקרה זה A y = 2x 3 y, B x = 2xy 4 ולכן na y + A y = n(x 3 y ) + 2x 3 y = (n + 2)x 3 y n mb x + B x = m(xy 4 ) + 2xy 4 = (m + 2)xy 4 m לכן השוויון הבא חייב להתקיים לכל הערכים של y x, (n + 2)x 3 y n = (m + 2)xy 4 m וזה יכול לקרות רק עבור 2 = n m! = לכן גורם האינטגרציה שלנו הוא 2 y.µ = x m y n = x 2 נכפול את המשוואה בגורם האינטגרציה ונקבל x x 2 y + y 2 xy 2 dy dx = בדיקה פשוטה מוכיחה שזו אכן משוואה מדויקת, והמשך הפיתרון שלה שגרתי. תרגיל 3.8: באמצעות אותה שיטה, הוכח שגם למשוואה הבאה יש גורם אינטגרציה מהצורה x m y n x 2 y 3 + (x + xy 2 ) dy dx = מצא את גורם האינטגרציה ופתור את המשוואה.

77 77 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון תרגיל 3.9: נתונה המשוואה הדיפרנציאלית A(x, y) + B(x, y)y = B x A y xa yb הוכח שאם הביטוי הוא פונקציה של,xy אז למשוואה קיים גורם אינטגרציה מהצורה µ(x, y) = g(xy) מצא גורם אינטגרציה מהסוג הזה עבור המשוואה (y 2 + 6x 2 y) + (yx ln x 2xy)y = ומצא עבורה פיתרון כללי. פיתרון: נציין כי הביטוי g(xy) הוא סימון מקוצר עבור פונקציה מורכבת,g(u) u = xy (כלומר g היא למעשה פונקציה של משתנה יחיד). לאחר הכפלת המשוואה בגורם האינטגרציה נקבל g(xy)a(x, y) + g(xy)b(x, y)y = על פי המשפט למעלה, התנאי לכך שהמשוואה מדויקת הוא y [g(xy)a(x, y)] = [g(xy)b(x, y)] x נשתמש בכללי הגזירה של פונקציה מורכבת (µa) y = g (xy)xa + g(xy)a y (µb) x = g (xy)yb + g(xy)b x

78 78 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון לכן בכדי שהמשוואה תהיה מדויקת צריך להתקיים השוויון g (xy)xa + g(xy)a y = g (xy)yb + g(xy)b x g (xy)xa g (xy)yb = g(xy)b x g(xy)a y לכן (3.8) B x A y xa yb = g (xy) g(xy) לכן נבדוק אם למשוואה הבאה יש גורם אינטגרציה כזה (y 2 + 6x 2 y) + (yx ln x 2xy)y = ראשית כל נרשום את הביטויים להם אנו זקוקים A = y 2 + 6x 2 y, A y = 2y + 6x 2, B = xy ln x 2xy B x = y + y ln x 2y נציב בשוויון (3.8) ונקבל B x A y xa yb = (y + y ln x 2y) (2y + 6x2 ) x(y 2 + 6x 2 y) y(xy ln x 2xy) = = y + y ln x 2y 2y 6x2 6x 3 y xy 2 ln x + 3xy 2 y ln x 3y 6x 2 xy(y ln x 3y 6x 2 ) = xy

79 79 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון על פי שוויון (3.8) יש למצוא פונקציה g המקיימת g (xy) g(xy) = xy נציב u = xy ונקבל משוואה דיפרנציאלית שגרתית g (u) g(u) = u ln g(u) = ln u = ln u שפיתרונה g(u) = u ולכן גורם האינטגרציה שלנו הוא = (y.µ(x, הבדיקה והפיתרון של xy המשוואה כבר עשינו למעלה (ראה משוואה (3.7) למעלה). תרגיל 3.: על סמך הנוסחה הקודמת, בדוק שלמשוואה הבאה יש גורם אינטגרציה מהצורה g(xy),µ(x, (y = מצא את גורם האינטגרציה, ומצא פיתרון כללי למשוואה 3 + 2y3 x + 2x y + dy 5y2 dx =

80 8 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון משפחות אורתוגונליות של עקומים 3.5 הגדרה 3.2: א. שני עקומים הנחתכים בנקודה ) x), y נקראים אורתוגונליים בנקודה ) (x, y (ניצבים) אם הם נחתכים בנקודה ) (x, y והישרים המשיקים לשני העקומים בנקודה ) (x, y ניצבים אחד לשני. ב. שני עקומים נקראים אורתוגונליים אם הם אורתוגונליים בכל נקודות החיתוך שלהם. איור 3.4: שני עקומים אורתוגונליים מההגדרה משתמעת הדרישה שלשני העקומים יש שיפוע (נגזרת) בנקודה.(x, y ) מקרה קצה בו אחד העקומים יש שיפוע אינסופי מחייב קיום נגזרת אינסופית משני צידי הנקודה. ייתכנו מצבים בהם שני עקומים אורתוגונליים בכמה נקודות חיתוך. g(x) y = אורתוגונליים טענה 3.2: הגרפים של הפונקציות f(x) y, = בנקודה ) (x, y אם ורק אם f (x )g (x ) =

81 8 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון במקרה הקצה בו = ) f (x או = ),g (x הנגזרת של הפונקציה השניה צריכה להיות. דרישה: דרך כל נקודה במישור, קיימת לכל היותר עקומה אחת מכל משפחה שעוברת דרכה. נקודה שבה עוברים כמה עקומים מאותה משפחה נקראת סינגולרית. הגדרה 3.3: משפחות אורתוגונליות של עקומים הן שתי משפחות של עקומים כך שכל עקום מהמשפחה הראשונה אורתוגונלי לכל עקום מהמשפחה השניה. משפחות אורתוגונליות של עקומים נפוצות בהקשרים פיזיקליים, גאוגרפיים, ותחומים שונים. במפות טופוגרפיות (מפות קווי גובה) למשל, המשפחה האורתוגונלית מציינת מסלולי טיפוס או גלישה אופטימליים. מיים הזורמים מראש הר לתחתיתו יזרמו לאורכו של עקום אורתוגונלי לקווי הגובה של ההר איור 3.5: מפה טופוגרפית (קווי גובה) ומסלולי מאמץ מזערי נקודת ראש ההר ונקודת השפל של העמק הן נקודות סינגולריות.

82 82 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון בעייה גאומטרית: נתונה משפחת הפרבולות y, = kx 2 כאשר k מספר ממשי כלשהוא (עבור = k נקבל ישר). מצא את המשפחה האורתוגונלית. פיתרון: איור :3.6 משפחת האליפסות x 2 + 2y 2 = C אורתוגונלית למשפחת הפרבולות y = kx 2 תהי y) (x, נקודה במישור שדרכה עוברת פרבולה.y = kx 2 אזי k = y x 2 והשיפוע של הפרבולה בנקודה זו הוא.2kx = 2y לכן השיפוע של העקום x האורתוגונלי בנקודה (y,x) הוא. x לכן המשפחה האורתוגונלית היא 2y הפיתרון הכללי של המשוואה הפרידה y = x 2y קל להגיע לפיתרון הכללי שלה x 2 + 2y 2 = C שהיא משפחת אליפסות כפי שרואים בתרשים 3.6.

83 83 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון מצא את.(x k) 2 + y 2 = k 2 דוגמא :3. נתונה משפחת המעגלים המשפחה האורתוגונלית. איור :3.7 משפחת המעגלים (x k) 2 + y 2 = k 2 פיתרון: תהי (y,x) נקודה כלשהי השייכת למשפחה. כלומר קיים k כך ש (x k) 2 + y 2 = k 2 יש לבטא את k באמצעות y x, x 2 2kx + k 2 + y 2 = k 2 ולכן k = x2 + y 2 2x בכדי לקבל את השיפוע נבצע גזירה סתומה 2(x k) + 2yy = y = k x y = x 2 +y 2 2x y x = x2 + y 2 2x 2 2xy = y2 x 2 2xy ולכן

84 84 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון המשוואה הדיפרנציאלית עבור המשפחה האורתוגונלית היא dy dx = 2xy x 2 y 2 v = y x תיתן זוהי משוואה הומוגנית. ההצבה x dv dx + v = v 2 v 3 + v dv = dx x v 2 2v v 2 v 3 + v = + v2 v 3 + v 2v2 v 3 + v = v 2v v 2 + ˆ [ v 2v v 2 + ] dv = ln v v 2 + = Cx v v 2 + = ln x + C ולכן פיתרון כללי v = y x ונקבל את המשפחה האורתוגונלית נציב xy x 2 + y 2 = Cx x 2 + y 2 y C = או יותר פשוט אם נחליף את C בביטוי 2c אז נקבל תאור שקול x 2 + (y c) 2 = c 2 זוהי כמובן משפחת מעגלים שמרכזם על ציר y והמשיקים לציר x.

85 85 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון איור :3.8 משפחת המעגלים x 2 + (y c) 2 = c 2 אורתוגונלית למשפחת המעגלים (x k) 2 + y 2 = k 2 תרגיל :3. נתונה משפחת מעגלים.x 2 + y 2 = k 2 מצא משפחת עקומים שחותכת את המשפחה הקודמת בזווית של 45. הדרכה: אם שיפועי שני ישרים הם m, 2 m, אז הזווית שביניהם θ מקיימת tan θ = m 2 m + m m 2 זה נובע מהנוסחה tan(β α) = tan β tan α + tan β tan α כאשר β α, הן הזוויות של הישרים ביחס לציר ה x. לאחר עיבוד הנתונים נקבל משוואה מטיפוס הומוגני עבור המשפחה החותכת y = x + y x y

86 86 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון איור :3.9 משפחת המעגלים x 2 + y 2 = k 2 ומשחפח העקומים שחותכת אותה בזווית של 45 משפט הקיום והיחידות עבור משוואות מסדר ראשון 3.6 דוגמא 3.2: למשוואה הדיפרנציאלית ( + y ) 2 + y 2 = 5 לא קיים שום פיתרון משום שאגף שמאל יהיה תמיד חיובי בלא תלות במהי הפונקציה.y(x) דוגמא 3.3: למשוואה הדיפרנציאלית (y ) 2 + y 2 = קיים פיתרון אחד ויחיד: y(x) (פונקציית האפס). בניגוד למצב השכיח שללא תנאי התחלה יש בדרך כלל אינסוף פיתרונות.

87 87 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון דוגמא 3.4: למשוואה הדיפרנציאלית (y ) 2 + y 2 (y ) 2 = יש בדיוק שני פיתרונות שונים: =,y.y = כאמור חקירה של משוואות בצורה הכללית הסתומה = ) y F,x),y חורגת ממסגרת הקורס. נגביל את עצמנו לצורה הנורמלית בלבד. הצורה הנורמלית הכללית של בעיית התחלה מסדר ראשון היא y = f(x, y) y(x ) = y כאשר על (y f(x, אין שום אילוץ אלגברי ועשויה להיות פונקציה מורכבת מאוד. (3.9) משפט 3.3: נתונה בעיית התחלה מסדר ראשון y = f(x, y) y(x ) = y אם הפונקציות (y f y,x) (y,f(x, רציפות בתוך מלבן נתון במישור: α < x < β, γ < y < δ שמכיל את הנקודה ),(x, y אזי קיים תת קטע h) (x h, x + של הקטע (β,α) שבו קיים פיתרון φ(x) אחד ויחיד של בעיית ההתחלה שלנו. כלומר, φ (x) = f(x, φ(x)), (x h < x < x + h) φ(x ) = y נזכיר כי הביטוי (y f y,x) מציין את הנגזרת החלקית של (y f(x, על פי המשתנה y, ולפעמים מסמנים אותה גם על ידי (y,x). f y בדרך כלל הגודל h עשוי להיות קטן יותר מהגודל },min{x α, β x

88 88 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון אך במקרים אחרים עשוי להיות אפילו. קיימות שיטות לקבל הערכה של הגודל h שנציג בהמשך. הוכחה חלקית של המשפט, שמבליטה את הרעיון הכללי, תוצג בהמשך (במידה ויהיה לכך זמן). ההוכחה המלאה חורגת ממסגרת הקורס וניתן למצוא אותה בספרות העשירה בנושא. חשוב לא לשכוח שהמשפט מבטיח לנו קיום ויחידות של פיתרון בסביבת הנקודה x, אך אינו נותן שום דרך למציאתו (אפילו לא רמז!). אכן ברוב המקרים לא קיימות דרכים אנליטיות למציאת פיתרון. אנו נסתפק בלימוד כמה שיטות ידועות לפיתרון בעיות שכיחות בתחומים מדעיים. דוגמא 3.5: לבעיית ההתחלה יש אינסוף פיתרונות שונים: x 2 y = y 2 y() = (3.) y(x) = x + Cx קל לוודא זאת על ידי הצבה פשוטה. זה לא עומד בניגוד למשפט הקיום והיחידות כי המשוואה בצורתה הנורמלית y = f(x, y) = y2 x 2 אינה מקיימת את תנאי המשפט סביב הנקודה = x. דוגמא 3.6: לבעיית ההתחלה x 2 y = y 2 y() = יש פיתרון טריביאלי שקל לנחש: לבעיית התחלה זו..y(x) הוכח שלא קיים פיתרון נוסף

89 89 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון שים לב כי בבעייה הקודמת, הפיתרון y(x) אינו כלול בפיתרון הכללי שלה (3.). כלומר, מציאת משפחה אינסופית של פיתרונות למשוואה דיפרנציאלית אינה ערובה לכך שהיא כוללת את כל הפיתרונות לבעייה! למרות זאת, מבט קצר בתרשים הגרפי של הפיתרון הכללי מגלה כי הפונקציה C. היא פונקציה גבולית של משפחת הפונקציות כאשר y(x) איור :3. משפחת הפיתרונות של המשוואה x 2 y = y 2 הפיתרון הנוסף שלא נכלל במשפחה נקרא לפעמים מעטפת. אך אין שום ערובה לכך שכל הפיתרונות שלא נכללים הן מהסוג הזה. דוגמא 3.7: לבעיית ההתחלה y = y 3 y() = יש שני פיתרונות שונים בקרן (,]: φ (x) = ( ) x 2 φ 2 (x) = זה לא סותר את משפט הקיום והיחידות כי לפונקציה f(x, (y = y 3 אין

90 9 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון נגזרת חלקית לפי y בנקודה (,) (למעשה f y לא קיימת בנקודה זו). קיים נוסח שני של משפט הקיום והיחידות שמאפשר להעריך את הגודל של הפרמטר h. דוגמא 3.8: בעייה שניתנה בבוחן אמצע סמסטר אביב תשמ ד ( ) א. מצא את כל הפיתרונות של בעיית ההתחלה dy dx = x y e y y() = ב. הסבר בפירוט מדוע חוסר היחידות של הפיתרון אינו סותר את משפט הקיום והיחידות? פיתרון: מדובר במשוואה פרידה שפיתרונה שיגרתי e y y dy = x dx פיתרון כללי 2e y = x2 2 + C על פי תנאי ההתחלה = ()y, נקבל = 2 C, ולכן e y = x2 לכן 4 + קיבלנו פיתרון ראשון y = ln y = ln 2 x2 x הפיתרון השני נעלם לנו בשלב שבו חילקנו את שני האגפים ב y. חילוק כזה מניח כי y ולכן יש לבדוק את הפונקציה = y בנפרד. הבדיקה מראה כי גם = y הוא פיתרון לבעיית ההתחלה, ולכן קיבלנו שני פיתרונות

91 9 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון לבעיית ההתחלה, בניגוד למסקנת משפט הקיום והיחידות. אם קוראים שוב את המשפט היטב, אז רואים כי הפונקציה f(x, y) = x y e y אינה מקיימת את תנאי המשפט בנקודה (,), מאחר ואינה מוגדרת בצד השמאלי של הנקודה = y (המשפט דורש קיום הפונקציה בסביבה מלבנית שבמרכזה הנקודה (,)). לצערנו הרב, גם אם (y f(x, מקיימת את תנאי המשפט ובנוסף יש לה תכונות נפלאות (כמו אינסוף נגזרות רציפות, דיפרנציאביליות, וכדומה) לא תמיד ניתן למצוא את הפיתרון המפורש שמשפט הקיום והיחידות מבטיח לנו. בהרבה מקרים יש צורך בשימוש בשיטות נומריות בכדי להתקרב לפיתרון ברמות דיוק שונות (שנלמד בפרק החמישי של הקורס ועוד שיטות רבות שנלמדות בקורסים של אנליזה נומרית). משפט 3.4: (משפט הקיום והיחידות גירסה 2) נתונה בעיית התחלה מסדר ראשון y = f(x, y) y(x ) = y אם הפונקציות (y f y,x) (y,f(x, רציפות בתוך מלבן סימטרי סביב הנקודה x a < x < x + a y b < y < y + b :(x, y ) ובנוסף לכך קיים קבוע ממשי M כך ש f(x, (y M בכל המלבן, אזי קיים פיתרון אחד ויחיד בתת קטע h),(x h, x + כאשר h = min a, b M

92 92 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון איור 3.: תחום הההגדרה של הפיתרון היחיד המלבן הסימטרי עשוי להיות רצועה אינסופית אם = a או = b. אם = a וגם = b אז המלבן הוא כל המישור הממשי R. 2 בפועל, במקרים רבים, הערך של h עשוי להיות גדול יותר ממה שהמשפט מבטיח. במקרה ש = a וגם = b הערך של h הוא =,h ולכן הנוסח הזה של משפט הקיום והיחידות מאפשר לנו להסיק קיום ויחידות של פיתרון על כל הישר הממשי (מה שקודם לא התאפשר לנו). דוגמא 3.9: לבעיית ההתחלה y = xy + x 2 + y 2 קיים פיתרון אחד ויחיד על כל הישר כי y() = xy א. הפונקציה +x 2 +y 2.R 2 ב. הנגזרת f y מוגדרת ורציפה על כל המישור לכן נוכל לקחת את = b a = = (y f(x, מוגדרת ורציפה על כל המישור הממשי

93 93 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון ג. לכל נקודה,(x, y) R 2 f(x, y) = xy + x 2 + y 2 < h = min a, b M = ד. ולכן תרגיל 3.2: האם קיים פיתרון של המשוואה y = xy + x 2 + y 2 שמקיים = y() וגם = 2 y(2)? תרגיל 3.3: הוכח שלבעיית ההתחלה y = y 2 y() = 8 לא קיים שום פיתרון. האם עובדה זו סותרת את משפט הקיום והיחידות? תרגיל 3.4: הוכח שלבעיית ההתחלה y = y 2 y() = יש שני פיתרונות שונים שמוגדרים על כל הישר הממשי y (x) =, y 2 (x) = cos x האם עובדה זו סותרת את משפט הקיום והיחידות? הערה: הפיתרון הכללי של המשוואה הוא (c y, = sin(x + אבל יש שני פיתרונות מעטפת =,y.y =

94 94 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון תרגיל 3.5: הוכח באמצעות משפט הקיום והיחידות שלבעיית ההתחלה y = y 2 y() = 2 יש פיתרון יחיד בקטע ).( 2, 2 לפני שניגש להוכחה החלקית של משפט הקיום והיחידות, נציג את מושג שדה הכיוונים שמסייע מאוד בהבנת ההתנהגות של פיתרונות למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. שדה כיוונים של פונקציה (y f(x, במישור 3.7 (Directions Field) אחד המושגים הפרקטיים שמסייע בהבנה וניתוח של פיתרון משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון (לא קיים משהו דומה עבור סדר גבוה יותר), הוא מושג שדה כיוונים field).(directions בהינתן משוואה דיפרנציאלית כללית מסדר ראשון בצורה נורמלית y = f(x, y) יכולה להתפרש גאומטרית כתאור של מהו השיפוע (או הכיוון) של פיתרון בנקודה (y,x). הביטוי (x) y מציין את השיפוע הגאומטרי של הפיתרון בנקודה (y,x). במילים אחרות: ניתן לפרש את הביטוי (y y = f(x, ככלל האומר לנו לאיזה כוון יש ללכת בכדי להישאר על הגרף שפותר את המשוואה. ניתן לשרטט וקטור כיוון עבור כל נקודה (y,x) במישור (שבה הפונקציה f מוגדרת), ולקבל מפת כיוונים או שדה כיוונים כפי שמקובל יותר לקרוא לזה, שמציין לאן צריך להתקדם בכל נקודה ונקודה בכדי להימצא על פיתרון של המשוואה. מסיבות נוחות, הוקטור יהיה בגודל קבוע (לאפשר שירטוט נוח וקריא), אבל

95 95 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון השיפוע שלו יהיה שווה (y.f(x, זווית הוקטור (y θ = arctan f(x, תהיה תמיד בקטע ) π ), π 2, וכיוון החץ תמיד יפנה לצד החיובי של ציר ה x. לכן 2 כיוון הזרימה הוא תמיד משמאל לימין. קו אינטגרלי line) (integral הוא קו המתקבל כתוצאה מבחירת נקודה ) x), y במישור ה xy וזרימה לאורך הוקטורים בשדה הכיוונים. לא קשה לראות כי קו אינטגרלי שקול למציאת פיתרון לבעיית ההתחלה. דוגמא 3.2: הצורה הנורמלית של המשוואה הדיפרנציאלית שפתרנו קודם xy + y = x 3 היא y = y x + x2 קיימות שיטות נומריות פשוטות מאוד בכדי לשרטט את שדה הכיוונים של f(x, y) = y x + x2 המאפשרות הצצה מוקדמת לצורה הגאומטרית של הפיתרונות כפי שניתן לראות בתרשים 3.2. איור :3.2 שדה הכיוונים עבור המשוואה y = y x + x2 באופן ציורי ניתן לומר: בכדי למצוא את הפיתרון היחיד שעובר דרך הנקודה

96 96 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון ) x),, y יש לעמוד על נקודה זו ולזרום בכיוון הוקטורים בשדה. כך נראית משפחת הפיתרונות החד פרמטרית של המשוואה איור :3.3 משפחת הפיתרונות של המשוואה xy + y = x 3 דוגמא 3.2: הצורה הנורמלית של המשוואה הדיפרנציאלית xy + 2y = sin x y = 2y x + sin x x f(x, y) = 2y x נראה כך + sin x x היא שדה הכיוונים של y = 2y x + sin x x איור 3.4: שדה הכיוונים עבור המשוואה

97 97 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון כך נראית משפחת הפיתרונות החד פרמטרית של המשוואה איור :3.5 משפחת הפיתרונות של המשוואה xy + 2y = sin x בשתי הדוגמאות הקודמות, יש לשים לב לשני הדברים הבאים א. אין נקודה משותפת בין כל שני פיתרונות. כל הפיתרונות זרים אחד לשני. ב. אם (y,x) נקודה כלשהי במישור ( x) אז קיים בדיוק פיתרון יחיד שעובר דרכה. דוגמא 3.22: מצא פיתרון לבעיית ההתחלה, ומצא מהו תחום ההגדרה המקסימלי שמשפט הקיום והיחידות מסוגל להבטיח עבור הפיתרון שמצאת y(x) = x y = y 2 y() = v מדובר במשוואה פרידה קלה. יש את הפיתרון היחיד: v הנקודה = x היא נקודה סינגולרית למרות שאין לכך שום סימן או רמז בבעייה עצמה, ולכן הפיתרון אינו קיים על כל הישר הממשי, למרות שהפונקציה f(x, (y = y 2 והנגזרת החלקית שלה לפי y קיימות ורציפות על כל המישור!? R 2 f(x, (y זה לא עומד בסתירה למשפט הקיום והיחידות מאחר והפונקציה v אינה חסומה מעל R 2 כפי שנדרש במשפט v הסימנים לבעייה מתגלים כשמנסים להפעיל את משפט הקיום והיחידות בכדי לקבל פיתרון יחיד בתחום קיום מקסימלי ככל הניתן. הערך המקסימלי של הפונקציה f(x, y) = y 2 במלבן b) ( a, a) ( b, +

98 98 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון הוא b) 2.M = ( + לכן ככל שנגדיל את,b נקטין את :h h = min a, b M = min a, b ( + b) 2 נוכל לבחור ערך של a גדול כרצוננו, אך ככל שהערך של b יגדל, הערך b של ישאף לאפס ויקטין את h בצורה דראסטית. קל לבדוק שהערך (+b) 2 b הוא, ולכן הערך הכי גדול של h שנוכל המקסימלי של הביטוי 4 (+b) 2 לקבל הוא.h = 4 v תחום הקיום הכי גדול שמובטח לנו על ידי משפט הקיום והיחידות הוא אם כן ).( 4, 4 v אם נשנה טיפה את תנאי ההתחלה נקבל את הפיתרון: y = y 2 y() = 2 y(x) = 2x v הפעם הנקודה הסינגולרית זזה ל בבעייה עצמה. דוגמא 3.23: נחזור שוב לבעיית ההתחלה הקודמת ראינו שיש לה פיתרון יחיד = 2 x, וגם לזה אין שום סימן או רמז y = y 2 y() = = p(x) y בתחום הקיום ) 4,( 4, שהוא x הגדול ביותר שמשפט הקיום והיחידות היה מסוגל לספק לנו. למרות זאת, הפונקציה (x) y p פותרת את המשוואה על כל הקרן (, ) וקשה לשער שיש פיתרון נוסף בקרן (, ) המקיים = ()y. האם יש דרך להוכיח השערה זו? הדרכה: הנח בשלילה שקיים פיתרון נוסף z(x) לבעיית ההתחלה השונה

99 99 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון x = sup = (x),y p המוגדר בתחום ),(a,.a < נסמן מ x { x a < x <, z(x) } x x 3 בתוך הקטע (,a) x, 2 על פי הגדרת הסופרמום נובע שקיימות נקודות כך ש x 2 x x 3 x 2 x 3 < 4 z(x 2 ) x z(x 3 ) = x השתמש במשפט הקיום והיחידות להוכחה ש הוא פיתרון יחיד בקטע x.z(x 2 ) וקבל סתירה לכך ש x (x 3 4, x ) פיתרונות סתומים 3.8 כפי שראינו בדוגמאות קודמות, שיטות הפיתרון של משוואות דיפרנציאליות לא תמיד מובילות לפיתרון מפורש, ואנו נאלצים במקרים רבים להסתפק בפיתרונות סתומים שאין לנו שום דרך לחלץ מהם פיתרון מפורש. דוגמא 3.24: משפחת הפיתרונות של המשוואה y = 2xy ( + 2y 2 ) ye x2 +y 2 = C נתון על ידי קל לבדוק זאת על ידי גזירה סתומה של השוויון. למרות שאין בידינו פיתרון מפורש, ניתן ללמוד עליו ועל נגזרותיו לא מעט באמצעות גזירה סתומה (גם מסדר גבוה) ומשפטים מתמטיים מתאימים. קיימות שיטות נומריות המתבססות על שדה הכיוונים של המשוואה בכדי

100 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון לחשב ערכים רצויים של הפיתרונות ברמות דיוק גבוהות מאוד. שדה הכיוונים של המשוואה שלנו שורטט באמצעות תוכנת Python של פחות מ 2 שורות קוד. הוא מאפשר לנו לקבל רושם מסוים על צורת הפיתרונות על ידי התבוננות בכיווני הזרימה. 2xy איור 3.6: שדה הכיוונים של + 2y2 כמו-כן קל מאוד היום לכתוב ולהריץ קוד לשם חישוב ציור קווים אינטגרליים ועל ידי כך לחשב כל ערך רצוי של פיתרון בכל רמת דיוק דרושה. 2xy איור 3.7: קווים אינטגרליים בשדה הכיוונים של + 2y2

101 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון דיון סכמטי בהוכחת משפט הקיום והיחידות 3.9 שיטת הקירובים של פיקארד (Picard) נזכיר שוב את המשפט משפט 3.3: (משפט הקיום והיחידות גירסה 2) נתונה בעיית התחלה מסדר ראשון y = f(x, y) y(x ) = y אם הפונקציות y) f y (x, y), f(x, רציפות בתוך מלבן סימטרי סביב הנקודה ) (x, y : x a < x < x + a y b < y < y + b ובנוסף לכך קיים קבוע ממשי M כך ש f(x, (y M בכל המלבן, אזי קיים פיתרון אחד ויחיד בתת קטע h) (x h, x +, כאשר { } b h = min a, M נציג תיאור סכימתי לשיטת הקירובים של המתמטיקאי Émile Picard שהוכיח את משפט הקיום והיחידות באמצעותה. שלב : נירמול הבעייה 3.9. לשם פשטות ונוחות נניח כי בעיית ההתחלה שלנו היא סביב הנקודה ) x), y dy dx = f(x, y) y() = ˆx = x x ŷ = y y ניתן לעשות זאת על ידי הזזת משתנים

102 2 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון לכן נוכל להסתפק בהוכחת משפט הקיום והיחידות מצומצם לנקודה (,) שיראה כך: משפט הקיום והיחידות מצומצם לנקודה (,): נתונה בעיית התחלה מסדר ראשון y = f(x, y) y() = אם הפונקציות y) f y (x, y), f(x, רציפות בתוך מלבן סימטרי: a < x < a b < y < b ובנוסף לכך קיים קבוע ממשי M כך ש f(x, (y M בכל המלבן, אזי קיים פיתרון אחד ויחיד בתת קטע h) ( h,, כאשר { } b h = min a, M איור Charles Émile Picard :3.8 שלב 2: מעבר למשוואה אינטגרלית בשלב השני, אמיל פיקארד הפך את המשוואה למשוואה אינטגרלית כשהסתבר לו שהטיפול בה יהיה הרבה יותר נוח מהמשוואה הדיפרנציאלית. נניח כי קיימת פונקציה φ(t) שפותרת את הבעייה מעל קטע מסוים (h,h ), כלומר φ (t) = f(t, φ (t)), h < t < h φ() = הפונקציה המורכבת φ(t)) f(t, תלויה במשתנה t בלבד ולכן נוכל לרשום ˆ x φ (t)dt = ˆ x f(t, φ(t))dt

103 3 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון אבל על פי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ˆ x φ (t)dt = φ(x) φ() = φ(x) = φ(x) ואנו מקבלים משוואה אינטגרלית φ(x) = ˆ x f(t, φ(t))dt ברור שכל פיתרון של משוואה זו יהיה גם פיתרון למשוואה הדיפרנציאלית המקורית שלנו. מסתבר שיותר פשוט להוכיח את קיומו של פיתרון יחיד למשוואה האינטגרלית מאשר למשוואה הדיפרנציאלית. שלב 3: בניית סדרת קירובים לפיתרון נבנה סדרת פונקציות.φ(x) שאמורה להתכנס לפיתרון {φ n (x)} n= הפונקציה הראשונה בסדרה היא פונקציית האפס φ (x) =, h < x < h הפונקציה (x) φ מקיימת את תנאי ההתחלה = () φ אבל לא בהכרח את המשוואה האינטגרלית (אחרת התהליך מסתיים בהצלחה!). אם (x) φ אינה פותרת את המשוואה, אז מגדירים את הפונקציה הבאה בסדרה φ (x) = ˆ x f(t, φ (t))dt ושוב ברור כי תנאי ההתחלה מתקיים = () φ, ובמידה ו ( x ) φ פותרת את המשוואה, סיימנו. שלב האינדוקציה: אם עבור n מסוים התהליך מסתיים בהצלחה (= φ n

104 4 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון n φ), סיימנו. אחרת נגדיר את האיבר הבא בסדרה (x) φ +n על ידי φ n+ (x) = ˆ x f(t, φ n (t))dt בכל אחד מהשלבים יש לשים לב לחמשת הדברים הבאים: שהרי לא מובטח שהאינטגרל (x) φ n קיימת? א. האם בכלל הפונקציה שמגדיר אותה קיים!? n= {φ n (x)} מתכנסת? ב. האם סדרת הפונקציות φ(x) האם היא פותרת את אם הסדרה מתכנסת לפונקציה גבולית ג. הבעייה? ד. אם הגבול של הסדרה φ(x) הוא אכן פיתרון לבעייה, האם הוא הפיתרון היחיד? ה. מהו תחום ההגדרה של הפיתרון? הוא עשוי להתכווץ במהלך העבודה. נשתדל לבחון את הנקודות הנ ל באמצעות דוגמא ספציפית פשוטה יחסית, שגם מדגימה כיצד לתכנן אלגוריתם למציאת הפיתרון. את ההוכחה המלאה למשפט הקיום והיחידות ניתן למצוא בספרו של אורי אליאש (סעיפים 3.3, 3.4) או בספר של.Boyce/Diprima דוגמא לשיטת הקירובים של פיקארד נפתור את בעיית ההתחלה הבאה באמצעות שיטת הקירובים של פיקארד y = f(x, y) = 3x 2 (y + ) y() = כאמור, הקירוב הראשון בסדרה היא פונקציית האפס φ(x) =, h < x < h קירוב זה אינו פיתרון לבעייה, ולכן צריך להתקדם לקירוב הבא.

105 5 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון הקירוב השני בסדרה הוא φ (x) = ˆ x f(t, φ (t))dt = ˆ x f(t, )dt = ˆ x 3t 2 dt = x 3 φ (x) = x 3 קיבלנו זה עדיין לא פותר את המשוואה. נתקדם לקירוב הבא. הקירוב השלישי בסדרה הוא φ 2 (x) = ˆ x f(t, φ (t))dt = ˆ x f(t, t 3 )dt = ˆ x 3t 2 (t 3 + )dt = x x6 קיבלנו φ 2 (x) = x x6 גם כאן לא מקבלים פיתרון הקירוב הרביעי בסדרה הוא φ 3 (x) = = ˆ x ˆ x f(t, φ 2 (t))dt = ˆ x 3t 2 ( + t t6 )dt = f(t, t t6 )dt ˆ x (3t 2 + 3t t8 )dt = x x6 + 6 x9 קיבלנו φ 3 (x) = x x6 + 6 x9 שכצפוי, לא פותר את הבעייה. על ידי שימוש באינדוקציה ניתן להוכיח כי לכל n טבעי φ n (x) = x3! + x6 2! + x9 3! + + x3n n! +

106 6 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון קל לבדוק כי הטור מתכנס על ידי מבחן המנה עבור טורי חזקות, ורדיוס ההתכנסות שלו הוא כל הישר הממשי. נסמן את הפונקציה הגבולית שלו על y, = e x לא קשה להוכיח כי φ(x) = n= x 3n n! ידי φ(x) מהיכרות עם טור החזקות של הפונקציה φ(x) = e x3 בדיקה פשוטה מוכיחה כי φ(x) היא אכן פיתרון לבעייה. תחום הקיום ויחידות הפיתרון איור 3.9: תחום ההגדרה של (t) φ n מול תחום ההגדרה של (y f(x, בסיור למעלה לא ממש התייחסנו לתחום ההגדרה של הפיתרון ולמה הפיתרון יחיד? מבלי להיכנס לכל הפרטים (שאותם ניתן לקרוא בספרי הלימוד שציינו קודם), ננסה לתת את הרעיונות הכלליים. נתחיל בהתייחסות לנקודה א : התרחיש הגרוע שעשוי להתרחש בשלב מסוים של התהליך הוא שהערך של (t) φ n יחרוג מגבולות המלבן (שהוא למעשה תחום ההגדרה של (y,(f(x, למשל אם עבור t מסוים בקטע (a,a ) יתקיים f(t, φ n (t)) כפי שרואים בתרשים.3.9 ˆ אם זה קורה, אז הביטוי,φ n (t) > b x לא מוגדר, ולכן גם הביטוי ((t) f(t, φ n לא מוגדר! ולכן התהליך ייתקע, ולא נוכל להתקדם לקירוב הבא בסדרה.

107 7 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון בכדי למנוע אפשרות של תרחיש מסוג זה נצטרך להצטמצם לקטע קטן יותר (h,h ) שבו ((x) f(x, φ n אינה חורגת מגבולות המלבן (ראה תרשים 3.9). לשם כך נשתמש בנתון שהפונקציה (y f(x, חסומה במלבן על ידי M. לכן בכל שלב n בתהליך הקירוב (x) φ n יקיים φ n+ (x) = f(x, φ n(x)) M כלומר שיפוע הפונקציה (x) φ n חסום על ידי M ולכן הפונקציה חסומה על ידי הישרים y = Mx ו Mx y = כפי שרואים בתרשים 3.9 φ n (x) Mx מסיבה זו, אם נצטמצם לקטע (h,h ) עבור h = b אז נקבל M f(x, φ n(x)) b לכל x בקטע h) M.( h, אם קורה ש a < b אז כמובן נצטרך לקח h = a בכדי לא לחרוג מגבולות המלבן. לכן ההגדרה המדויקת של h היא h = min a, b M הוכחת ההתכנסות של סדרת הקירובים בקטע (h,h ) מתבצעת על ידי n= {φ n (x)} בטור הפונקציות החלפת סדרה הפונקציות n= [φ n+ (x) φ n (x)] תוך שימוש במבחן M של וויארשטראס, שלמעשה מבטיח התכנסות במידה שווה. הוכחת התכנסות הטור מושגת באמצעות הוכחת אי השוויון φ n+ (x) φ n (x) 2bM nxn n! M n h n n! הוא טור מתכנס, ממבחן M של וויארשטראס נובע n= M n h n n! מאחר והטור

108 8 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון שגם טור הפונקציות שלנו מתכנס. הפרטים המלאים בספרים של אורי אליאש ושל.Boyce/Diprima יחידות הפיתרון: אם φ(x) ו ( ψ(x שני פיתרונות של המשוואה האינטגרלית y(t) = ˆ x f(t, y(t))dt כלומר לכל x בקטע (h,h ) φ(x) = ψ(x) = ˆ x ˆ x f(t, φ(t))dt f(t, ψ(t))dt φ(x) ψ(x) = ˆ x [f(t, φ(t)) f(t, ψ(t))]dt אזי על פי משפט ערך הביניים (חדו א ) קיים ערך ביניים ŷ(t) בין φ(t) ו ( ψ(t כך ש f(t, φ(t)) f(t, ψ(t)) = f y (t, ŷ(t)) [φ(t) ψ(t)] φ(x) ψ(x) = ˆ x φ(x) ψ(x) f y (t, ŷ(t)) [φ(t) ψ(t)]dt ˆ x f y (t, ŷ(t)) φ(t) ψ(t) dt לכן לכן מהרציפות של f y נובע כי f y חסומה על ידי K מסוים, ולכן φ(x) ψ(x) K ˆ x φ(t) ψ(t) dt g(x) = ˆ x φ(t) ψ(t) dt נסמן

109 9 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון אזי ψ(x),g (x) = φ(x) ובנוסף =.g() אי השוויון שלנו הופך להיות g (x) Kg(x) כלומר, g(x) היא פיתרון של בעיית אי השוויון הדיפרנציאלי הבא g (x) Kg(x), g(x) g() = h < x < h כופלים את אי השוויון בגורם האינטגרציה e Kx [ e Kx g(x) ] = e Kx [g (x) Kg(x)] ומבצעים אינטגרציה על שני אגפי האי שוויון בקטע [x,]: ˆ x e Kt [g (t) Kg(t)] = e Kx g(x) קיבלנו כי.g(x) אבל ידוע לנו גם כי.g(x) לכן בהכרח = g(x) לכל x בקטע h).( h, כלומר ψ(x) φ(x) = לכל x בקטע h),( h, ולכן הפיתרון למשוואה הדיפרנציאלית המקורית שלנו הוא יחיד.

110 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון נספח: משפט הקיום והיחידות 3. עבור משוואה דיפרנציאלית מסדר n להשלמת התמונה נסיים את הפרק בניסוח של משפט הקיום והיחידות למשוואות מסדר כלשהו. משפט 3.5: נתונה משוואה דיפרנציאלית מנורמלת מסדר n, בצירוף של n תנאי התחלה y (n) = f(x, y, y, y,..., y (n ) ) y(x ) = α y (x ) = α y (x ) = α 2. y (n ) (x ) = α n כאשר ) n f(x, z, z, z 2,..., z פונקציה רציפה של + n משתנים, בעלת n נגזרות חלקיות רציפות,f zn,...,f z,f z בסביבת הנקודה ) n.(x, α, α,..., α אזי קיימת סביבה h) (x h, x + שבה קיים פיתרון יחיד y(x) עבור המשוואה וכל תנאי ההתחלה, כך שכל הנגזרות (x) y, (x) y,.(x h, x + h) קיימות ורציפות בסביבה y (n) (x),... תרגילים. מצא פיתרון כללי א. xy y = y 3 ב. xyy = x 2 ג. y tan x = y ד. y xy 2 = 2xy y = x+y ו. e s ( + ds ) ה. = dt ז. = )dy (x + )dx + (y ח. = dy cos x dx x

111 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון י. + ( y e x ( + e y )dx + e ט. = dx x2 dy y 2 e x )dy = יא. xy 3 y = x 4 + y 4 y = 3 3 y 2 y(2) = 2. פתור את בעיות ההתחלה הבאות ב. (x 2 )y + 2xy 2 = y() = א. (xy 2 + x)dx + (x 2 y y)dy = y() = ג. xy + y e x = y(a) = b y 2y = x 2 y() = 4 ו. y sin x + y ln y = ד. = ) 2 y( π 2xyy + x 2 y 2 = y() = ה. ח. y y x = x 2 y() = ז. xy + y = 2x +, x > y() = (x 2)dx + (y )dy = y(2) = ( + x 2 )dy 2x(y + 3)dx = y() = y x = y x + x y(4) = 4 ט. י. יא. יב.

112 2 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון y tan x = + y יד..5 = ) 6 y( π y x 2 = x y() = יג. 3. מצא פיתרון כללי xy y = x tan y x y = 2xy ב. א. x 2 + y 2 xy y = (x + y) ln x+y x ג. ( ) x y cos y x dx + x cos y ד. = dy x ה. y y x = x ו. x(y y) = e x ז. xy + (x + )y = 3x 2 e x ח. xy 2y = x 3 + x dy dx = 2y x + 5 2x y 4 ט. = x y sin x y cos י. יא. = (2x+y 3)dx+(x+y )dy מצא פיתרון כללי 4. xy dy = (y 2 + x)dx ב. xy 2 y = x 2 + y 2 א. y + y = xy 3 ד. y) x 2 y = y(x + ג. y + y x = x2 y 2 ו. y + x 3 y = 3y ה. = )ydy (2 9xy 2 )xdx + (4y 2 6x 3 ז. = ydy x 2 y)xdx x 2 + 2( ח. = dy + y 2 sin 2x)dx 2y cos 2 x ( ט. xdx + ydy = xdy ydx יא. x 2 + y 2 ( y + ) + x 2 2xdx y 3 + y2 3x 2 י. = dy y 4 dx+ x + y 2 dy = יב.

113 3 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון יג. xy 2x 2 y = 4y יד. xy 2 y = x 2 + y 3 טו. (x + )(yy ) = y 2 מצא פיתרון כללי למשוואות הבאות על ידי מציאת גורם אינטגרציה 5. מהצורה µ(x) µ = או מהצורה µ(y).µ = = 2xydy (x + y 2 )dx א. = ydy (x 2 + y 2 + x)dx + ב. = xdy y( + xy)dx ג. = y)dy (x 2 y )dx + (x 3 + x 2 cos ד. = x)dy (2xy ln y + y 2 cos x)dx + (x 2 + y sin ה. 6. פתור את המשוואה הבאה באמצעות גורם אינטגרציה מהצורה 2 x + 2 x 2 dx + 2 y y + 2 xy + 2 dy = x µ(x, y) = f(xy) 7. מצא פיתרון כללי א. (x + y)y = y ב. (x 2)y = y 2 ג. y = 2xy + x ד. = )dy (x 2 + 2xy 3 )dx + (y 2 + 3x 2 y 2 ה. y + y cos x = sin x cos x ו. = dx (2e x + y 4 )dy ye x tan x dy ז. dx y = a ח. = )dy (3x 2 + 2xy y 2 )dx + (x 2 2xy 3y 2

114 4 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון ט. = x)dy < x <, y x dx + (y3 + ln י. = )dx x(y 4 x 2 )dy + y(y 4 + x 2 יא. = )dy (3x 2 y + 2xy + y 3 )dx + (x 2 + y 2 ydx יב. < x x + (y3 + ln x)dy =, < y = 3x2 2xy x 2 4y 3 y = 4x + 2y dx dy טו. x) = cos(y יג. יד. טז. = ydy 2x( + x 2 y)dx x 2 3x 2 ( + ln y)dx = (2y x3 y )dy ( ) y dy x dx y = y 2 dx (xy + x 3 )dy = יז. יח. יט. כ. = tan(xy))dy y 2 dx + (xy + 2 כא. 3 xyy = x 6 y 4 + y 2 x 3 dy y(x 2 + y 2 )dx = xy y = x 2 + y 2 כב. כג. כד. (y + xy)dx = xdy כה. xy = x 2 y 2 + y כו. = 3)dy (2x 4y + 6)dx + (x + y

115 5 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון כז. = 3)dy (2x + y + )dx (4x + 2y כח. = 2)y x y + (y x + כט. (y + 2)dx = (2x + y 4)dy y = 2 y + 2 x + y y = y + 2 x tan y 2x x + 2xy + y = y 2 x x 2 y 2 2y + x = 4 y y + y ln 2 y = (x + 2 ln y)y y = x y 2 x y y = 2 y ל. לא. לב. לג. לד. לה. לו. לז. = y (x + y) 2 לח. = 7 2x 3 yy + 3x 2 y 2 + dx x = ( y 2x ) לט. dy מ. 2y xy = e y + מא. = )dx dy + (xy xy 3 y xy מב. = 2 yy x + מג. = yx)dy (xy 4 x)dx + (y + מד. = )dx (y + sin x)dy + (y cos x x 2

116 6 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון מה. yy + y 2 cot x = cos x מו. = x)xdy (e y + 2xy)dx + (e y + מז. y + x 3 y = 3y מח. y x = y x + x מט. = 2y)y (x cos y + sin נ. = 2 (4xy 3)y + y נא. = )dy (2x 2y )dx (y x y = נב. x tan(y) + e 5 sin y נג. = 3 x)y < x <,(x 4 x 4 y + 8. פתור את בעיות ההתחלה הבאות y = (y 2x ) 2 y() = 4 ב. y = y2 x 2 2xy y(2) = 2 א. xy 3y = x 4 e x y() = e ד. ( + x 2 )y xy = 2x y() = ג. xy 2y = x 3 e x y() = ו. y sin x y cos x = y(π) = ה. xy 4y = x 2 y y() = ח. y y tan x = sec x y() = ז. (2x )dy = (y + )dx y(5) = י. y y tan x = y 4 cos x y(π) = ט.

117 7 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון xy + y 2 (2x 2 + xy)y = y() = יב. dy y + dx = dx x y() = יא. y = sin x(y ) 9. האם הפיתרון של בעיית ההתחלה y(2) = חותך את ציר- x? נמק. רמז: נסה לנחש פיתרון קבוע למשוואה. y = sin xy(y 2). נתונה בעיית ההתחלה הבאה y(5) = א. הוכח כי הפיתרון של הבעייה חיובי בכל תחום ההגדרה שלו ב. הוכח כי הפיתרון של הבעייה חסום על ידי = 2 M בכל תחום ההגדרה שלו רמז: נחש שני פיתרונות קבועים לבעייה. נתונה משפחת העקומים.cos y = ke x2 מצא משפחה אורתוגונלית למשפחה הנתונה..2 נתונה משפחת העקומים ln(kx).y 3 = 3 מצא משפחה אורתוגונלית למשפחה הנתונה..3 נתונה משפחת העקומים + x.y 2 = ke x + מצא משפחה אורתוגונלית למשפחה הנתונה..4 נתונה משפחת העקומים < k <,x 2 + y 2 = ky א. מצא משפחה אורתוגונלית למשפחה הנתונה. ב. מצא את העקומים משתי המשפחות שנחתכים בנקודה (2,).

118 8 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון.5 נתונה משפחת העקומים k >,x 2 + (y + k) 2 = k 2 א. מצא משפחה אורתוגונלית למשפחה הנתונה. ב. מצא את המשפחה האורתוגונלית למשפחה: x 2 + y 2 = Cy < C < ג. מצא את העקומים משתי המשפחות האורתוגונליות שנחתכים בנקודה.(, 2) 6. במשפחה האורתוגונלית למשפחת העקומים x 2 + y 2 = 8 ln y + k קיים מעגל אחד ויחיד. מצא את משוואתו והסבר את דרך הפיתרון. 7. מצא עקום מישורי העובר דרך הנקודה (,) וניצב לכל העקומים במשפחה (x + k)y + kx =, < k < 8. נתונה משפחת האליפסות הקנוניות x 2 a 2 + y2 b 2 = אשר רוחבן (בכיוון x) גדול פי שלושה מגובהן (בכיוון y). מצא את משוואת העקום האורתוגונלי למשפחה זו ועובר דרך הנקודה (,2). 9. פתור את בעיית ההתחלה y + ln2 x sin 2 x = y(4) =

119 9 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון מהו תחום ההגדרה של הפיתרון שמצאת? 2. נתונה בעיית ההתחלה y = y2 y y() = 2 sin(x 3 ) א. הוכח כי הפיתרון שמצאת חסום מעל תחום ההגדרה שלו ב. מהם תחומי העליה והירידה של הפיתרון? הדרכה: שים לב כי = y וגם = y הם שני פיתרונות של המשוואה. העזר בתכונת הזרות של משפחת הפיתרונות (תחת תנאי משפט הקיום והיחידות כמובן). 2. נתונה בעיית ההתחלה y 2x = 3 (y x2 2) 2 y() = 3 א. מצא שני פיתרונות שונים לבעייה ב. הסבר מדוע תוצאה זו אינה סותרת את משפט הקיום והיחידות? הדרכה: השתמש בהצבה.v(x) = y(x) x 2 2 בדוק פיתרונות סינגולריים. 22. נתונה בעיית ההתחלה y + y(4y 8)e 4xy = 7x 5 sin(πy) y() = הוכח כי הפיתרון y(x) של הבעייה חסום (מלמעלה ומלמטה) מעל כל תחום ההגדרה שלו. הדרכה: מצא שני פיתרונות קבועים למשוואה.

120 2 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון y = x y + ln [ + (y x) 2] ln 23. נתונה המשוואה הדיפרנציאלית [ ( + y ) ] 2 x = 3 2.φ() הוכח מבלי לפתור את המשוואה, ענה על שתי השאלות הבאות א. נחש שני פיתרונות שונים (x) y 2 (x) y, למשוואה ב. יהי φ(x) פיתרון של המשוואה בקרן (,) המקיים כי φ(x) lim x x = הדרכה: בדוק מתי פונקציית ln מתאפסת? 24. נתונה בעיית ההתחלה y = (2 sin 2 x)(y 2 y 5 ) y() =.25 א. האם קיים פיתרון לבעייה? אם כן, האם הוא יחיד?? lim x ב. אם יש פיתרון, האם קיים עבורו y(x) 25. נתונה המשוואה הדיפרנציאלית הבאה בצירוף תנאי התחלה (6 y 2 ) cos(y)dx + (y 2 + 5y 5)dy = y() = 3 הוכח כי פיתרונה חסום על כל תחום ההגדרה שלו. השתמש במשפט הקיום נסה לנחש שני פיתרונות קבועים. הדרכה: והיחידות..26 נתונה המשוואה הדיפרנציאלית ) y.y = (x 3 + y 3 )(2 cos הוכח שכל פיתרון שלה מתכנס לגבול סופי כאשר x שואף לאינסוף. הדרכה: נסה לנחש אינסוף פיתרונות קבועים...

121 2 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון 27. יהי y(x) פיתרון של בעיית ההתחלה y ( = y ) 2 ( 2x 2 + y ) 2 2x 2x y y() = 2 y(x). x lim x חשב את הגבול בדוק פיתרונות יש להשתמש במשפט הקיום והיחידות. הדרכה: סינגולריים..28 נתונה המשוואה y 2x + 2.y = 2 y 2x e מצא שני פיתרונות מפורשים (כלומר בצורה f(x) y) = של המשוואה המקיימים את תנאי ההתחלה = 7 (3)y, והסבר מדוע זה לא סותר את משפט הקיום והיחידות? 29. נתונה המשוואה הדיפרנציאלית y = y 2, < x < x מצא שני פיתרונות של המשוואה המקיימים = ()y והסבר מדוע זה לא סותר את משפט הקיום והיחידות? 3. יהי y(x) פיתרון של בעיית ההתחלה y = x (2y 4y + ) x 2 + (2y x) y() = α y(x). x lim x < 2 α <. חשב את הגבול ydx (x 2 + y 2 + x)dy = ידוע כי 3. מצא למשוואה

122 22 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון גורם אינטגרציה מהצורה ) 2.f(x 2 + y פתור את המשוואה ובטא את הפיתרון שמצאת בצורה x(y) x. = xdx + (y + 4y 3 x 2 + 4y 5 )dy = 32. מצא למשוואה גורם אינטגרציה מהצורה ) 2.f(x 2 + y מצא את פיתרונה הכללי. 33. נתונה המשוואה הדיפרנציאלית xdy + ydx 3x 3 y 2 dy = ידוע כי למשוואה יש גורם אינטגרציה מהצורה.µ(x, (y = x α y β מצא את גורם האינטגרציה. 34. נתונה המשוואה הדיפרנציאלית x 3 y 3 (2ydx + xdy) (5ydx + 7xdy) = ידוע כי למשוואה יש גורם אינטגרציה מהצורה מצא את β, α, ומצא פיתרון פרטי העובר דרך הנקודה (,)..µ(x, y) = x α y β 35. נתונה המשוואה הדיפרנציאלית (y 4 2x 3 y)dx + (x 4 2xy 3 )dy = ידוע כי למשוואה יש גורם אינטגרציה מהצורה.µ(x, (y = x α y β מצא את β. α, 36. נתונה המשוואה הדיפרנציאלית ( x + y 2)dx + ( 5x 3y 6)dy = ידוע כי למשוואה יש גורם אינטגרציה מהצורה (3y.µ(x, (y = µ(x +

123 23 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון מצא את גורם האינטגרציה..37 יהיו (x),y 2 (x),y שני פיתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית y = F (x, y) בקטע β),(α, כאשר y) F (x, וגם y) F y (x, מוגדרות ורציפות על כל המישור. הוכח שאם קיימת נקודה x בקטע (β,α) שעבורה ) y (x ) < y 2 (x אז (x) y (x) < y 2 לכל נקודה x בקטע. 38. בלון אוויר שרדיוסו ההתחלתי R מאבד אוויר בקצב של (t) 3V סמ ק לשנייה, כאשר (t) V הוא נפח הבלון בזמן t. לאחר כמה שניות נפח הבלון יגיע לשמינית מנפחו ההתחלתי? 39. במיכל מיים בגודל של 5 ליטרים מיים הומסו 2 ק ג מלח באופן אחיד. לתוך המיכל מוזרמים מיים מלוחים בריכוז של. ק ג מלח לליטר בקצב של 25 ליטרים לדקה, ובאותו הזמן אותה כמות נוזל מנוקזת מחוץ למיכל (דרך פתח אחר). חשב את ריכוז המלח לאחר דקות. 4. קצב הגידול של אוכלוסיית העולם בשנים הוא =.2 r לשנה. ידוע כי בשנת 98 אוכלוסיית העולם מנתה 4 מיליארד בני אדם. מה היה גודל האוכלוסיה בשנת 2? במידה וקצב הגידול הזה יישאר נכון גם בעתיד, מה תהיה אוכלוסיית העולם בשנת 25? 4. מצא את משוואת העקום המישורי אשר הנורמל שלו בכל נקודה עובר גם דרך הנקודה (,). 42. טיפת גשם נופלת מענן שנמצא במצב מנוחה, בגובה 2 קילומטרים מעל פני הים. על טיפת הגשם פועלים שני כוחות בלבד: כוח הכבידה של כדור הארץ, חיכוך אווירי בניגוד לכיוון הנפילה שגודלו,kv 2 כאשר k הוא קבוע החיכוך, v(t) מהירות טיפת הגשם בזמן t שניות מאז רגע הנפילה. מצא את נוסחת המהירות של טיפת הגשם, ומתי היא תגיע לפני הים?

124 24 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון.43 מצא את משפחת העקומים המישוריים = y),x >,F (x, כך שכל משיק לעקום נחצה על ידי ציר- x בין נקודת ההשקה P ונקודת החיתוך עם ציר- y. איור 3.2: כל משיק לעקום נחצה על ידי ציר- x בין נקודת ההשקה P ונקודת החיתוך עם ציר- y 44. מצא את משפחת העקומים המישוריים = (y F,,x) כך שעבור כל משיק לעקום, המרחק d בין נקודת ההשקה ונקודת החיתוך עם ציר- x הוא קבוע. 45. לתוך מיכל מיים של ליטר מיים מומסים 3 ק ג מלח בטעות במקום 2 ק ג. בכדי לתקן את הטעות, מנקזים מהמיכל 3 ליטרים של נוזל לדקה דרך פתח תחתון, בקצב קבוע. באותו זמן מזרימים לתוך המיכל 3 ליטרים מיים טהורים לדקה. בהנחה שריכוז המלח במיכל נשאר אחיד לאורך כל התהליך (על ידי עירבוב קבוע), כמה זמן יידרש בכדי להגיע לריכוז הרצוי? 46. מדחום שהיה מאוחסן בטמפרטורה של T מעלות מוכנס לתוך אמבט מיים חמים בטמפרטורה קבועה של T מעלות בזמן = t. א. רשום משוואה דיפרנציאלית עבור פונקציית הטמפרטורה y(t) של המדחום כפונקציה של הזמן t (בדקות). ב. מצא נוסחה מפורשת עבור y(t) אם ידוע שלאחר t דקות המדחום הראה את הטמפרטורה T. יש לבטא את y(t) באמצעות T, T,.t,t,T 47. מצא משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון שפיתרונה הכללי הוא y = (x 2 + C) 3 +

125 25 פרק 3: משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות מסדר ראשון 48. מצא את כל הפונקציות q(x) אשר עבורן למשוואה (x 2 + y)dx + q(x)dy = יש גורם אינטגרציה.µ(x) = x

126 26 פרק 4 משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר > n לאחר עיסוק ממושך במשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון אנו עוברים לטפל במשוואות דיפרנציאליות מסדר גבוה יותר ( > n). נתחיל בהיכרות עם כמה דוגמאות ידועות y 5y + y = e x משוואות ליניאריות מסדר שני עם מקדמים קבועים: v x 2 y + xy + (x 2 n 2 )y = y :Bessel משוואות v ( x 2 )y 2xy + α(α + ) = משוואות לז נדר: v my + cy + ky = F (x) משוואת הקפיץ: v my (t) = mg ky (t) נפילה חופשית עם חיכוך אווירי: v נפתור למשל את המשוואה הפשוטה הבאה y = 6x זוהי משוואה ליניארית מסדר שני. על ידי שתי אינטגרציות פשוטות נקבל את הפיתרון הכללי שלה y = 3x 2 + C y = x 3 + C x + C 2 זוהי אכן משפחה דו פרמטרית של פיתרונות שכוללת את כל הפיתרונות של

127 27 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n המשוואה. מעורבים בה שני קבועים, ולכן בבעיית התחלה יידרשו שני תנאי התחלה:.y (x ) = y,y(x ) = y דוגמא 4.: הפיתרון של בעיית ההתחלה y = 6x y() = y () = 5 הוא 5x.y(x) = x 3 + באופן כללי, הפיתרון הכללי של משוואות דיפרנציאליות מסדר n יכללו n קבועים. דוגמא 4.2: על ידי הורדת סדר, פתור את משוואת הנפילה חופשית עם חיכוך אווירי my (t) = mg ky (t) (שהוצגה בשיעור המבוא של הקורס - ראה פרק ), כאשר - m היא מסת הגוף הנופל איור 4.: נפילה חופשית עם חיכוך אווירי - g קבוע גרביטציה - k קבוע החיכוך פיתרון: אם נסמן (t) v(t) = y (משמעות פיזיקאלית - מהירות), נקבל משוואה ליניארית מסדר ראשון עם מקדמים קבועים v (t) + k m v(t) = g v(t) = mg k + c e kt m שפיתרונה הכללי הוא

128 28 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n y(t) = ˆ v(t) = mgt k + c e kt m + c2 ולכן דוגמא 4.3: פתור את בעיית ההתחלה על ידי הורדת סדר y y = y() = 2 y () = 8 y () = 2 דוגמא 4.4: מצא פיתרון כללי עבור המשוואה x 2 y + 2xy =, < x < דיון תאורטי 4. הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר n הוא a n (x)y (n) + a n (x)y (n ) + + a (x)y + a (x)y = g(x) כאשר כל הפונקציות (x) a i רציפות בקטע פתוח (β,α). כמובן האפשרות ש = α או = β כלולה. כאשר g(x) המשוואה נקראת הומוגנית. אנו נניח גם כי (x) a n אינה פונקציית האפס (אחרת סדר המשוואה הוא n) ולכן נוכל לחלק את המשוואה ב ( x ) a n ולקבל את הצורה הנורמלית y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y = q(x) בפיתרון הכללי של משוואה כזאת יתקבלו n קבועים,c n,...,c 2,c ובכדי

129 29 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n לכפות פיתרון יחיד נזדקק ל n תנאי התחלה. y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y = q(x) y(x ) = α y (x ) = α y (x ) = α 2. y (n ) (x ) = α n משפט הקיום והיחידות עבור משוואות ליניאריות מסדר n 4.2 משפט 4.: נתונה משוואות דיפרנציאלית ליניארית מסדר n עם n תנאי התחלה y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y = q(x) y(x ) = α (4.) y (x ) = α y (x ) = α 2. y (n ) (x ) = α n כאשר א. (x),q(x),p i פונקציות רציפות בקטע β) i =,, 2,..., n,(α, ב. הנקודה x שייכת לקטע: α < x < β ג. הערכים,α n,...,α 2,α,α מספרים ממשיים שרירותיים אזי קיים פיתרון אחד ויחיד φ(x) למשוואה על כל הקטע (β,α) המקיים את כל תנאי ההתחלה. משפט הקיום והיחידות עבור משוואה דיפרנציאלית כללית מסדר n מבטיח קיום פיתרון בסביבה מסוימת (h x),,h x + שעשויה להיות קטנה יותר

130 3 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n מתחום ההגדרה של מקדמי המשוואה (β,α). אבל המשפט הנ ל טוען טענה חזקה יותר: תחום ההגדרה של הפיתרון זהה לתחום ההגדרה של מקדמי המשוואה. הוכחת משפט זה חורגת ממסגרת הקורס ולא תכוסה. תרגיל 4.: באיזה קטעים מובטח לנו שלמשוואה הבאה יהיו פיתרונות? x(x )y + e x y + x 2 y = cos x תרגיל 4.2: מהו הפיתרון היחיד של בעיית ההתחלה הבאה? y + x 3 y + (x 2 )y = y(5) = y (5) = רמז: מדובר במשוואה ליניארית הומוגנית תרגיל 4.3: נניח ש ( x ) y הוא פיתרון של המשוואה (4.2) y + x 3 y + (x 2 )y = y () = המקיים y () = ונניח ש ( x ) y 2 הוא פיתרון שני של (4.2) שמקיים y 2 () = y 2 () = הוכח: אם (x) y 3 הוא פיתרון של המשוואה (4.2) המקיים y 3 () = y 3 () = אז בהכרח (x) y 3 (x) = y (x) + y 2 לכל x ממשי!

131 3 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n תרגיל 4.4: בהמשך לתרגיל הקודם, מה תוכל לאמר על פיתרון (x) y 4 של משוואה (4.2) שמקיים את תנאי ההתחלה y 4 () = 5 y 4 () = 32 טענה 4.2: אם y(x) הוא פיתרון של המשוואה (4.2) המקיים את תנאי ההתחלה y() = a y () = b אז בהכרח (x) y(x) = ay (x) + by 2 לכל x ממשי. משוואות הומוגניות ועקרון הסופרפוזיציה 4.3 כאמור, כאשר אגף ימין של משוואה דיפרנציאלית ליניארית הוא אפס, היא נקראת משוואה הומוגנית y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y = למשוואות הומוגניות יש תכונות מיוחדות שהופכות אותן לנוחות יותר לטיפול. נתחיל בחקירת משוואות ליניאריות הומוגניות ונתקדם בהמשך למשוואות ליניאריות לא הומוגניות.

132 32 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n y (x), y 2 (x),..., y k (x) משפט 4.3: אם היא קבוצה של k פיתרונות של המשוואה ההומוגנית y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y = ואם,c k,...,c 2,c הם k מספרים ממשיים שרירותיים, אזי הפונקציה φ(x) = c y (x) + c 2 y 2 (x) + + c k y k (x) גם היא פיתרון של המשוואה ההומוגנית. הוכחה: נוכיח את המשפט עבור משוואה הומוגנית מסדר 2 y + p (x)y + p (x)y = ההוכחה למקרה הכללי זהה לחלוטין. כאמור, נתון ש φ(x) = c y (x) + c 2 y 2 (x) + + c k y k (x) φ (x) = c y (x) + c 2y 2 (x) + + c ky k (x) φ (x) = c y (x) + c 2y 2 (x) + + c ky k (x) לכן לכן φ (x) + p (x)φ (x) + p φ(x) = [ c y (x) + + c ky k (x)] + p (x) [ c y (x) + + c ky k (x)] + p (x) [c y (x) + + c k y k (x)] = c [ y (x) + p (x)y (x) + p y (x) ] + + c k [ y k (x) + p (x)y k (x) + p y k (x) ] = + + = קיבלנו כי φ(x) גם הוא פיתרון של המשוואה הליניארית ההומוגנית.

133 33 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n כל ביטוי מהצורה φ(x) = c y (x) + c 2 y 2 (x) + + c k y k (x) נקרא צירוף ליניארי או קומבינציה ליניארית. בפירוט יתר אומרים כי הפונקציה φ(x) היא צירוף ליניארי של.{y (x), y 2 (x),..., y k (x)} דוגמא 4.5: קל לבדוק שהפונקציות,cos x,sin x הן פיתרונות של המשוואה y + y = על סמך המשפט האחרון נוכל להסיק שעבור כל שני מספרים ממשיים c,,c 2 גם c sin x + c 2 cos x הוא פיתרון של המשוואה. האם y(x) = c sin x + c 2 cos x הוא הפיתרון הכללי של המשוואה? בהמשך נוכיח שהתשובה לשאלה זו חיובית. אופרטורים דיפרנציאליים Operators) (Differential 4.3. בהוכחה של המשפט האחרון נאלצנו להצטמצם למשוואות ליניאריות מסדר 2 מאחר ואורך שורה של דף סטנדרטי אינו מספיק בכדי להכיל צירופים ליניאריים ארוכים מדי, אז מרוב עצים לא רואים את היער. מצבים כאלה מאלצים אותנו לפתח שיטות סימון שיחסכו במלל רב וישקפו את המבנה הלוגי בצורה יותר קומפקטית. למטרה זו פותח נושא של אופרטורים ליניאריים עם אלגברה מתאימה כחלק תשתיתי של תחום האליזה הפונקציונלית. מדובר בהעתקות בין מרחבי פונקציות. הרעיון הבסיסי הוא להתייחס לסימון d dx כאל העתקה המקבלת כקלט

134 34 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n פונקציה f(x) ומייצרת פונקציה חדשה (x) f d dx [f(x)] = f (x) d [y] = y dx d n n =, 2, 3,..., dx n d n dxn[y] = y(n) או בצורה פשוטה יותר באותו אופן מוגדרים האופרטורים.Dx n D, ולכן x D, n לפעמים האופרטורים האלה מסומנים גם על ידי D, משוואות דיפרנציאליות כמו y 3y + 2y = d2 dx 3 d 2 dx + 2 [y] = נוכל לפעמים לרשום גם בצורה (D 2 3D + 2)[y] = או נוכל לחבר כל שני אופרטורים נתונים ולקבל אופרטור חדש L. לדוגמא: L = d3 dx 3 + d dx נוכל להפעיל את האופרטור החדש L באופן הבא: L[f(x)] = d3 dx + d 3 [f(x)] = d3 dx dx 3[f(x)] + d dx [f(x)] = f (x) + f (x) נוכל לכפול כל אופרטור בביטוי p(x) (כולל קבועים) ולקבל מגוון רחב מאוד

135 35 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n של אופרטורים כגון L = d3 dx d2 dx 2 2 d dx + 7 L 2 = d3 d2 2ex dx3 dx + 2 d 2 dx L 3 = d4 d3 5x dx4 dx 3 d2 3 dx + d 2 x2 dx 4 או בצורה יותר נוחה לקריאה L = D 3 + 5D 2 2D + 7 L 2 = D 3 2e x D 2 + 2D L 3 = D 4 5xD 3 3D 2 + x 2 D 4 אפשר לדמות את האופרטור L גם לסוג של אלגוריתם או סדרת הוראות לביצוע סדרת פעולות על פונקציה נתונה. למשל האופרטור הבאה: א. גזור את הפונקציה שלוש פעמים L 2 מהרשימה הקודמת שקול למעשה לסדרת ההוראות ב. הוסף לתוצאה את מכפלת הנגזרת השנייה ב 2e x ג. הוסף לתוצאה את מכפלת הנגזרת הראשונה ב 2 נפעיל לדוגמא את האופרטור L 3 על הפונקציה y = sin x L 3 [y] = ( D 4 5xD 3 3D 2 + x 2 D 4 ) [y] = y 5xy 3y + x 2 y 4y = sin x 5x( cos x) 3( sin x) + x 2 cos x 4 sin x = sin x + 5x cos x + 3 sin x + x 2 cos x 4 sin x = (x 2 + 5x) cos x

136 36 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n יש לשים לב לכך שהקבוע 7 באופרטור L מתורגם לפעולה 7y. הגדרה 4.: אופרטור L נקרא אופרטור ליניארי אם יש לו את שתי התכונות הבאות א. עבור כל שתי פונקציות,f(x) g(x) L[f + g] = L[f] + L[g] ב. עבור כל פונקציה,f(x) ועבור כל קבוע ממשי c L[cf] = cl[f] ניתן לאחד את שתי הדרישות לדרישה אחת: L הוא אופרטור ליניארי אם ורק אם לכל שתי פונקציות,f(x),g(x) ולכל שני מספרים ממשיים c, 2 c, L[c f + c 2 g] = c L[f] + c 2 L[g] התכונה האחרונה נקראת לפעמים עיקרון הסופרפוזיציה. הגדרה 4.2: אופרטור L נקרא אופרטור דיפרנציאלי אם הוא סכום סופי של אופרטורים מהצורה.p(x) dk dx k דוגמא 4.6: פגשנו כבר למעלה את שלושת הדוגמאות הבאות של אופרטורים דיפרנציאליים L = D 3 + 5D 2 2D + 7 L 2 = D 3 2e x D 2 + 2D L 3 = D 4 5xD 3 3D 2 + x 2 D 4 כאמור אופרטור היא העתקה בין שני מרחבי פונקציות (למעשה מרחבים וקטוריים כפי שהם מטופלים בשדה האלגברה הליניארית). אופרטור

137 37 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n דיפרנציאלי נקרא מסדר n אם סדר הגזירה הכי גבוה שמופיע בו הוא n. המרחב הליניארי עליו הוא פועל מסומן בדרך כלל על ידי (β C n,α) שהוא המרחב של כל הפונקציות הגזירות n פעמים ברציפות מעל הקטע (β,α). הטווח של האופרטור הוא לרוב מרחב הפונקציות הרציפות למקוטעין מעל הקטע β).(α, משפט 4.4: כל אופרטור דיפרנציאלי הוא גם אופרטור ליניארי. הוכחה: המשפט נובע מכך שסכום של אופרטורים ליניאריים נותן אופרטורי ליניארי, ומכך שכל אופרטור דיפרנציאלי הוא סכום של אופרטורים מהצורה.p(x) dn יספיק לכן להוכיח שהאופרטור p(x)d k הוא ליניארי. לשם כך dx n יספיק להוכיח כי ( p(x)d k ) [f + g] = p(x)d k [f] + p(x)d k [g] ( p(x)d k ) [cf] = c p(x)d k [f] שני הדברים נובעים מייד מתכונות הנגזרת. נוכל עכשיו לתת הוכחה מלאה למשפט שהוכחנו קודם עבור משוואות מסדר 2. נצטט אותו שוב משפט 4.5: אם y (x), y 2 (x),..., y k (x) היא קבוצה של k פיתרונות של המשוואה ההומוגנית y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y = ואם,c k,...,c 2,c הם k מספרים ממשיים שרירותיים, אזי הפונקציה φ(x) = c y (x) + c 2 y 2 (x) + + c k y k (x) גם היא פיתרון של המשוואה ההומוגנית.

138 38 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n הוכחה: הפעם נתחיל בהגדרת האופרטור הליניארי L = D n + p n (x)d n + + p (x)d + p (x) תחת הסימון הזה, המשוואה ההומוגנית שלנו מתקצרת מאוד L[y] = הפיתרון של המשוואה הוא למעשה הגרעין של האופרטור L (כזכור, הגרעין של העתקה ליניארית מורכב מכל הוקטורים שההעתקה מעבירה לאפס). את הנתון שהפונקציות (x) y k (x),...,y 2 (x),y מהוות פיתרון של המשוואה נוכל עכשיו לרשום כך L[y] =, L[y 2 ] =,..., L[y k ] = בכדי להוכיח כי הצרוף הליניארי φ(x) = c y (x) + c 2 y 2 (x) + + c k y k (x) גם הוא פיתרון, יספיק להוכיח כי =.L[φ] אבל זה נובע מייד מהעובדה ש L הוא אופרטור ליניארי L[φ] = L[c y (x) + c 2 y 2 (x) + + c k y k (x)] = c L[y (x)] + c 2 L[y 2 (x)] + + c k L[y k (x)] = c + c c k = במונחים של אלגברה ליניארית, טענת המשפט שקולה למשפט הידוע שהגרעין של אופרטור ליניארי הוא למעשה תת מרחב ליניארי של המרחב (β C. n,α) מסתבר שקיים קשר מעניין בין המימד של מרחב הפיתרונות ובין הסדר של המשוואה - הם שווים.

139 39 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n מערכת יסודית של פיתרונות עבור משוואות הומוגנית 4.4 {y (x), y 2 (x),..., y n (x)} הגדרה 4.3: קבוצת פיתרונות תיקרא מערכת יסודית של פיתרונות של המשוואה ההומוגנית y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y = אם כל פיתרון אחר של המשוואה הוא צירוף ליניארי שלה. {cos,x היא קבוצה יסודית של פיתרונות {x sin דוגמא 4.7: הקבוצה למשוואה ההומוגנית y + y = הוכחה: יהי y(x) פיתרון כלשהו של המשוואה ההומוגנית. נסמן c = y() c 2 = y () נגדיר את הפונקציה z(x) = c cos x + c 2 sin x קל לבדוק כי z(x) היא פיתרון של בעיית ההתחלה y + y = y() = c y () = c 2

140 4 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n לכן על פי משפט הקיום והיחידות עבור משוואות ליניאריות מסדר n, z(x) y(x) כלומר:.y(x) = c cos x + c 2 sin x לסיכום: כל פיתרון של המשוואה ההומוגנית הוא צרוף ליניארי של הקבוצה {x,{cos,x sin ולכן זוהי קבוצה יסודית של פיתרונות. במונחים של אלגברה ליניארית, נאמר כי הקבוצה {x {cos,x sin היא בסיס למרחב הפיתרונות של המשוואה ההומוגנית. אבל זה עדיין לא לגמרי מדויק אלא אם נוכיח שזו גם כן קבוצה בלתי תלויה של פיתרונות. במקרה הנוכחי זה ברור, ולכן אכן מדובר בבסיס. המסקנה מהדוגמא הקודמת היא אם כן, שמרחב הפיתרונות של המשוואה ההומוגנית = y y + הוא מרחב וקטורי הנפרש על ידי הבסיס {x,{cos,x sin ולכן המימד שלו הוא 2, בדיוק כמו סדר המשוואה. האם זה מקרי? שאלה: כיצד נבדוק אם קבוצה נתונה של פונקציות היא קבוצה יסודית של פיתרונות עבור משוואה הומוגנית נתונה? v בכדי לא לטבוע בסימנים, נתמקד במשוואה הומוגנית מסדר 2 y + p (x)y + p (x)y =, α < x < β v יהיו (x) y 2 (x),y שני פיתרונות של המשוואה בקטע β).(α, התנאי לכך שהקבוצה {(x) y},(x) y 2 היא קבוצה יסודית של פיתרונות הוא שלכל פיתרון φ(x) נוכל למצוא קבועים c, 2 c, כך ש φ(x) = c y (x) + c 2 y 2 (x) ננסה ללכת בעיקבות הרעיון שפגשנו בדוגמא הקודמת. נבחר נקודה x v

141 4 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n α = φ(x ) α = φ (x ) בקטע (β,α) ונגדיר וננסה לחפש פיתרון מהצורה y(x) = c y (x) + c 2 y 2 (x) y + p (x)y + p (x)y =, α < x < β y(x ) = α y (x ) = α לבעיית ההתחלה אם נצליח להוכיח את קיומם של קבועים c, 2 c, שעבורם y(x) פותר את בעיית ההתחלה הזו, אז על פי משפט הקיום והיחידות עבור משוואות ליניאריות מסדר גבוה, הפיתרון y(x) חייב להיות זהה לפיתרון φ(x) ומשימתנו הושלמה. v על ידי הצבת הנקודה x = x בתנאי ההתחלה נקבל מערכת של שתי משוואות בשני הנעלמים :c 2,c c y (x ) + c 2 y 2 (x ) = φ(x ) c y (x ) + c 2 y 2 (x ) = φ (x ) מלימודי האלגברה הליניארית אנו יודעים שלמערכת קיים פיתרון אחד ויחיד אם ורק אם דטרמיננטת המקדמים אינה מתאפסת y (x ) y 2 (x ) y (x ) y 2 (x ) = y (x )y 2 (x ) y 2 (x )y (x ) v מאחר והנקודה x נבחרה באופן שרירותי, נוכל להסיק שהקבוצה {(x) y},(x) y 2 היא מערכת יסודית של פיתרונות אם ורק אם

142 42 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n הדטרמיננטה אינה מתאפסת בשום נקודה x של תחום ההגדרה W (x) = y (x) y 2 (x) y (x) y 2 (x), α < x < β v הפונקציה (x) W נקראת הורונסקיאן של הקבוצה (x)},{y (x), y 2 על שמו של המתמטיקאי הפולני ( Hoene-Wroński, (Józef Maria שגילה אותה לראשונה. היא לפעמים מסומנת על ידי הביטוי ] 2 W y], y W [y, y 2 ](x) = y (x) y 2 (x) y (x) y 2 (x) הוכחנו אם כן את המשפט הבא. משפט 4.6: נתונה משוואה ליניארית הומוגנית y + p (x)y + p (x)y =, α < x < β כאשר (x) p (x),p פונקציות רציפות בקטע β).(α, קבוצת פיתרונות (x)} {y (x), y 2 היא קבוצה יסודית אם ורק אם הורונסקיאן ] 2 W [y, y אינו מתאפס באף נקודה בקטע (β,α). מסקנה: אם {(x) y},(x) y 2 אינה קבוצה יסודית, אזי הורונסקיאן מתאפס זהותית בכל הקטע (β,α) W [y, y 2 ](x) =, α < x < β דוגמא 4.8: הורונסקיאן של הקבוצה {x {cos,x sin הוא W [cos, sin](x) = cos x sin x sin x cos x = cos 2 x + sin 2 x = ולכן {x {cos,x sin היא קבוצה יסודית של פיתרונות של המשוואה ההומוגנית = y.y +

143 43 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n, x e} הן שני פיתרונות של המשוואה y y = דוגמא :4.9 שתי הפונקציות } x e ההומוגנית הוכח כי המשפחה הדו פרמטרית y(x) = c e x + c 2 e x היא הפיתרון הכללי של המשוואה על כל הישר הממשי (, ). הוכחה: הורונסקיאן של הקבוצה } x {e x, e הוא W [e x, e x ] = e x e x e x e x = = 2 קיבלנו שלכל x ממשי, הערך של הורונסקיאן הוא 2 ולכן על פי המשפט הקודם } x e} x, e היא קבוצה יסודית של פיתרונות. כלומר כל פיתרון של המשוואה = y y הוא צירוף ליניארי של } x {e x, e y(x) = c e x + c 2 e x ולכן זוהי צורתו של הפיתרון הכללי. תרגיל :4.5 הוכח כי y(x) = c x + c 2 xe x הוא פיתרון כללי של המשוואה ההומוגנית הבאה בקרן (,) y x + 2 x y + x + 2 x 2 y = השאלה השנייה שמתבקשת: האם לכל משוואה הומוגנית נורמלית יש קבוצה יסודית של פיתרונות? המשפט הקודם מציע שיטה בכדי לבדוק אם קבוצת פיתרונות היא יסודית, אך אינו מבטיח קיום של קבוצה כזו! המשפט הבא עונה לשאלה זו בחיוב (בינתיים עבור משוואות מסדר 2, אבל בהמשך נפגוש משפט כללי יותר).

144 44 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n משפט 4.7: לכל משוואה ליניארית הומוגנית נורמלית y + p (x)y + p (x)y =, α < x < β קיימת מערכת יסודית של פיתרונות הוכחה: תהי x נקודה מסוימת בקטע (β,α). על פי משפט הקיום והיחידות למשוואות ליניאריות, קיים פיתרון (x) y עבור בעיית ההתחלה y + p (x)y + p (x)y =, y(x ) = y (x ) = α < x < β וקיים פיתרון (x) y 2 עבור בעיית ההתחלה y + p (x)y + p (x)y =, y(x ) = y (x ) = α < x < β נוכיח כי קבוצת הפיתרונות {(x) y},(x) y 2 היא יסודית, על פי מבחן הורונסקיאן. לשם כך תספיק בדיקת הורונסקיאן בנקודה x בלבד W [y, y 2 ](x ) = y (x ) y 2 (x ) y (x ) y 2 (x ) = = מאחר והורונסקיאן אינו מתאפס בנקודה x = x נובע כי (x)} {y (x), y 2 היא קבוצה יסודית מההוכחה עבור = 2 n ברור כיצד תיראה ההוכחה עבור משוואות מסדר = 3 n ומעלה. במונחים של אלגברה ליניארית, קבוצה יסודית נקראת גם קבוצה פורשת set),(spanning ולפעמים גם קבוצת יוצרים. לכן בהקשרים שונים נאמר כי הקבוצה {(x) y},(x) y 2 פורשת את כל הפיתרונות של המשוואה, או מרחב

145 45 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n הפיתרונות של המשוואה נפרש עלי ידי הקבוצה {(x) y}.,(x) y 2 המשפט אינו מתייחס לשאלה האם יש קבוצה אחת כזו או יותר. ברור שאם יש קבוצה יסודית אחת, אז ניתן לייצר ממנה עוד אינסוף קבוצות יסודיות (כיצד?) המשפט גם לא מתייחס לגודל של הקבוצה. הוא מבטיח את קיומה של קבוצה בגודל 2 (עבור משוואה מסדר 2). אך קל מאוד לייצר קבוצות יסודיות בעלות שלוש או יותר פונקציות: פשוט מתחילים עם קבוצה יסודית של שתי פונקציות ומוסיפים לה כל סדרת פונקציות שנחפוץ (שתי הפונקציות הראשונות יפרשו ממילא את כל הפיתרונות ואת הפונקציות הנוספות נוכל לכפול באפסים) שאלה נוספת שעשויה להישאל עבור משוואות מסדר שני: האם תיתכן קבוצה יסודית של פיתרונות בעלת פונקציה אחת בלבד? במקרה זה קל להוכיח שלכל פיתרון (x) y של משוואה ליניארית הומוגנית מסדר 2, ניתן למצוא פיתרון (x) y 2 שאינו כפולה של (x) y באמצעות בישול תנאי התחלה מתאימים. קבוצה יסודית מינימלית (קבוצה פורשת מינימלית) נקראת בסיס. במקרה של משוואה מסדר 2 הבסיס הוא תמיד בגודל 2, ולכן מימד מרחב הפיתרונות הוא 2. תלות ואי תלות ליניארית: מושג חשוב נוסף מתחום האלגברה הליניארית שרלבנטי לענייננו הוא מושג התלות הליניארית. קבוצת פיתרונות c i נקראת תלויה ליניארית אם קיימים קבועים {y (x), y 2 (x),..., y k (x)} שאינם כולם אפס כך ש c y (x) + c 2 y 2 (x) + + c k y k (x) = או באופן שקול: קבוצת פיתרונות (x)} {y (x), y 2 (x),..., y k תלויה ליניארית אם לפחות אחד מאיברי הקבוצה הוא צירוף ליניארי של השאר. מכל הדיון הנ ל נוכל להסיק בקלות את המשפט הבא. בכדי להימנע מבילבול ושגיאות, יש לשים לב כי המשפט מדבר רק על פיתרונות של משוואה ליניארית הומוגנית!

146 46 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n משפט :4.8 קבוצת פיתרונות (x)} {y (x), y 2 (x),..., y n של משוואה ליניארית הומוגנית מסדר n, א. מהווה בסיס עבור מרחב הפיתרונות של המשוואה אם ורק אם הורונסקיאן שלה אינו מתאפס בנקודה כלשהי של תחום ההגדרה. ב. אם הורונסקיאן מתאפס בנקודה כלשהי, אז הקבוצה תלויה ליניארית (ולכן אינה בסיס למרחב הפיתרונות) קיבלנו אם כן מבחן פשוט לבדיקת תלות או אי תלות ליניארית עבור קבוצת פיתרונות של משוואה הומוגנית {y (x), y 2 (x),..., y n (x)} מספיק למצוא נקודה אחת x בתחום הקיום אשר שעבורה הורונסקיאן אינו מתאפס בכדי לקבוע שהקבוצה בלתי תלויה ליניארית. אם הורונסקיאן ] n W [y, y 2,..., y מתאפס בנקודה,x אז הקבוצה תלויה ליניארית. נדגיש שוב שמבחן זה עובד רק עבור קבוצות של פיתרונות של משוואות הומוגניות! כשמדובר בסתם פונקציות, לורונסקיאן אין ממש שימוש. לדוגמא, קל לראות כי שתי הפונקציות הבאות אינן תלויות ליניארית, אבל הורונסקיאן שלהם מתאפס על כל הישר הממשי y (x) =, x x 2, x > y 2 (x) = x 2, x, x > בשלב זה מובטח לנו כי לכל משוואה ליניארית הומוגנית יש קבוצה יסודית של פיתרונות, אך עדיין אין בידינו שיטות למציאתן. בסעיפים הבאים נלמד על שיטות למציאת פיתרונות.

147 47 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n מציאת פיתרון על ידי הורדת סדר 4.5 בהינתן פיתרון אחד למשוואה ליניארית הומוגנית, ניתן למצוא פיתרון שני שהוא בלתי תלוי על ידי הורדת סדר המשוואה. נתחיל בדוגמא. דוגמא 4.: קל לבדוק כי y (x) = e x הוא פיתרון של המשוואה y + 2y + y = רעיון: בדומה לרעיון גורם האינטגרציה שפגשו בשני מקרים קודמים, ננסה למצוא פיתרון שני שהוא מכפלה של הפיתרון הראשון בפונקציה v(x) y 2 (x) = v(x)y (x) (לנסות תמיד אפשר, במקרה הגרוע הנסיון נכשל ועוברים לרעיון הבא) y 2 = v y + vy y 2 = v y + 2v y + vy ולאחר הצבה במשוואה y + p (x)y + p 2 (x)y = נקבל v[y + p (x)y + p 2(x)y ] + v [2y + p (x)y ] + v y = הביטוי הראשון מתאפס כי נותרים עם y הוא פיתרון של המשוואה ההומוגנית, ואנו v [2y + p (x)y ] + v y =

148 48 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n v + p (x) + 2 y v = u = v y u + p (x) + 2 y u = ולאחר נירמול הורדת הסדר תתרחש לאחר ההצבה y זוהי משוואה ליניארית הומוגנית מסדר במשתנה u. p (x) + 2 y ומקבלים משוואה פשוטה מאוד y u = בדוגמא שלנו = ממנה נובע בקלות כי,v(x) = x ולכן.y 2 (x) = xe x קל לבדוק ש } x e} x, xe היא קבוצה יסודית של פיתרונות ולכן הפיתרון הכללי הוא.a e x + a 2 xe x כמובן, הפיתרון הכללי של v(x) אינו מעניין אותנו. אנו זקוקים רק לדגימה אחת בלבד (רצוי פשוטה ככל האפשר). y (x) = x הוא פיתרון של המשוואה דוגמא 4.: נתון כי x 2 y + 3xy + y = מצא את הפיתרון הכללי.

149 49 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n נוסחת אבל ) Abel, (Niels Henrik 4.6 {y (x), y 2 (x),..., y n (x)} משפט 4.9: (נוסחת אבל) אם הן n פיתרונות של המשוואה הליניארית ההומוגנית מסדר n y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y = W (x) =. y (n ) y (x) y 2 (x)... y n (x) y (x) y 2 (x)... y n (x).. (x) y (n ) 2 (x)... y (n ) (x) n אזי הורונסקיאן שלהם מקיים = Ke p n (x)dx עבור קבוע ממשי K. כאשר הקבוצה אינה יסודית (תלויה ליניארית) = K. {y (x), שני יהיו (x)} y 2 הוכחה: נוכיח את המשפט עבור סדר = 2.n פיתרונות של המשוואה. כלומר y + p (x)y + p (x)y = y 2 + p (x)y 2 + p (x)y 2 = נכפול את המשוואה הראשונה ב y, 2 ואת המשוואה השניה ב y y 2 y + p (x)y 2 y + p (x)y 2 y = y y 2 + p (x)y y 2 + p (x)y y 2 =

150 5 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n לאחר החסרת המשוואה השניה מהראשונה נקבל (4.3) (y y 2 y 2y ) + p (x)(y y 2 y 2y ) = כזכור, הורונסקיאן עבור = 2 n הוא W (x) = y y 2 y 2y W (x) = y y 2 y 2y ולכן אם נתבונן שוב במשוואה (4.3) נגלה שהיא משוואה דיפרנציאלית בורונסקיאן W (x) + p (x)w (x) = זוהי למעשה משוואה פרידה מסדר ראשון. לאחר הפרדת משתנים נקבל את הנוסחה W dw W = p (x)dx ˆ ln W (x) = p (x)dx ולכן ולכן (4.4) W (x) = Ke p (x)dx את הקבוע K ניתן לחשב על ידי הצבת נקודה כלשהי x מתחום ההגדרה בהגדרה המטריציונית של (x) W.

151 5 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n לפעמים רושמים את נוסחת אבל בצורה (4.5) W (x) = W (x )e x x p n (t)dt כאשר x היא נקודה כלשהי בתחום הקיום של המשוואה. אבל נוסחה זו תהיה שימושית רק במקרים בהם קל לחשב את ) W x) באמצעות הדטרמיננטה, או למטרת שימוש תאורטי. עבור שימושים שונים, רצוי גם לזכור את המשוואה הדיפרנציאלית המקדימה לנוסחת אבל עבור המקרה הכללי (4.6) W (x) W (x) = p n (x) מהתבוננות בנוסחה (4.4) אנו מקבלים אישור נוסף לעובדה: או ש = (x) W לכל,α < x < β או ש (x) W לכל.α < x < β כאשר β) (α, הוא תחום הקיום של המשוואה. המקרה הראשון קורה כאשר = K, והשני כאשר.K הדבר השני שאנו למדים מנוסחת אבל הוא שהורונסקיאן זהה למעשה עבור כל הקבוצות היסודיות עד כדי הכפלה בקבוע. במקרה של = 2,n הורונסקיאן של שני פיתרונות (x) y 2 (x),y מזכיר לנו את המונה של נוסחת הנגזרת של מנת הפונקציות y 2 (x) y (x) d y 2(x) = y (x)y 2 (x) y (x)y 2(x) dx y (x) y (x) 2 = W (x) y (x) = Ke pn (x)dx 2 y (x) 2 לכן, אם ידוע לנו פיתרון אחד (x) y של המשוואה, נוכל למצוא את הפיתרון השני (x) y 2 על ידי השוויון y 2(x) y (x) = e pn (x)dx y (x) 2

152 52 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n y 2 (x) pn (x)dx y (x) = e y (x) 2 כלומר ולכן (4.7) y 2 (x) = y (x) e p n (x)dx y (x) 2 הנוסחה של אבל תאפשר לנו עכשיו להתקדם הלאה ולפתור משוואות ליניאריות הומוגניות בעלי מקדמים קבועים. פיתרון משוואות ליניאריות הומוגניות עם מקדמים קבועים 4.7 בסעיף הנוכחי נתמקד במשוואה ליניארית הומוגנית מסדר n בעלת מקדמים קבועים (4.8) a n y (n) + a n y (n ) + + a y + a y = כאשר i n,a i, הם קבועים ממשיים. על פי משפט הקיום והיחידות למשוואות ליניאריות תחום הקיום של כל פיתרון של המשוואה הוא על כל הישר הממשי R. הגדרה: הפולינום P (r) = a n r n + a n r n + + a r + a נקרא הפולינום האופייני של המשוואה (4.8). אם r הוא שור ממשי של הפולינום האופייני אזי ניתן לפרק אותו למכפלת שני גורמים P (r) = Q(r)(r r ) כאשר Q(r) הוא פולינום ממשי ממעלה n.

153 53 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n אם נתבונן ברישום האופרטור של המשוואה P (D)[y] = Q(D)(D r )[y] = Q(D) [ (D r )[y] ] = הפיתרון של המשוואה הליניארית (D r )[y] = y r y = c e r x (קל לבדוק). הוא לכן לשורשים הממשיים } k {r, r 2,..., r של הפולינום האופייני (r) P יתאימו הפיתרונות {e r x, e r 2x,..., e r kx } אשר בדיקה פשוטה באמצעות הורונסקיאן (בנקודה = x) מראה שהם בלתי תלויים. תזכורת: תרגיל נפוץ באלגברה ליניארית, הדטרמיננטה של Vandermonde.. r n r n... r r 2... r n r 2 r r 2 n rn n = i<j (r j r i ) ההוכחה מתבצעת באינדוקציה. הבעייה היא שמספר השורשים הממשיים עשוי להיות קטן מ n ולכן נצטרך למצוא פיתרונות נוספים בכדי לקבל מערכת יסודית של פיתרונות. מהיכרות מוקדמת עם סוג זה של משוואות, למדנו כי לפיתרונות היסודיים יש בדרך כלל צורות כגון.cos rx,sin rx,e rx דרך שניה להוכיח את התוצאה האחרונה היא פשוט על הצבת y(x) = e rx

154 54 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n במשוואה הדיפרנציאלית y(x) = e rx y (x) = re rx y (x) = r 2 e rx y (n) (x) = r n e rx. ולכן a n y (n) + a n y (n ) + + a y + a y = (a n r n + a n r n + + a r + a )e rx = דוגמא 4.2: מצא פיתרון כללי עבור y 5y + 6y = פיתרון: הפולינום האופייני כאן הוא = 6 + 5r r. 2 שורשי הפולינום הם {3,2}, ולכן נקבל מערכת יסודית של פיתרונות } 3x e}. 2x, e לכן הפיתרון הכללי של המשוואה y(x) = c e 2x + c 2 e 3x על פי המשפט היסודי של האלגברה, לפולינום האופייני (r) P (שמעלתו n) יש n שורשים, אשר חלקם אולי מרובים, וחלקם מרוכבים (גם המרוכבים עשויים להיות מרובים!). נבדוק כל מקרה לגופו. שורשים ממשיים, כולם ריבוי : אם כל השורשים שונים וממשיים {e r x, e r 2x,..., e r nx } אז נקבל מערכת יסודית של פיתרונות,{r, r 2,..., r n } ובכך סיימנו. שורש מרוכב, ריבוי : במידה ואחד השורשים הוא מרוכב r, = s + it אז גם השורש הצמוד r = s it יופיע ברשימה. אפשר לבדוק שגם הפונקציות e s it e, s+it הן פיתרונות למשוואה, אך הן פונקציות מרוכבות. אבל ניתן

155 55 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n לקבל מהן שני פיתרונות ממשיים בלתי תלויים באמצעות צירופים ליניאריים הבאים e sx cos tx = 2 [ e s+it + e s it] e sx sin tx = 2i [ e s+it e s it] ניתן לבדוק באמצעות הורונסקיאן ששני הפיתרונות האלה בלתי תלויים ליניארית. שורש ממשי ריבוי k גדול מ : אם r שורש מריבוי k אז הפולינום האופייני (r) P ניתן לפירוק באופן הבא Q(r) אינו שורש של הפולינום r P (r) = (r r ) k Q(r) כאשר Q(r) פולינום ממעלה n, k אך (כלומר ).(Q(r לשורש r יתאימו k פיתרונות שונים (ובלתי תלויים) {e r x, xe r x,..., x k e r x } בכדי להוכיח טענה זו נסמן את המשוואה שלנו על ידי =.L[y] קל לראות כי עבור כל r ממשי L[e rx ] = e rx P (r) = e rx (r r ) k Q(r) נגזור את שני האגפים לפי המשתנה r נקבל L[xe rx ] = xe rx (r r ) k Q(r) + e rx [ k(r r ) k Q(r) + (r r ) k Q (x) ] = e rx [ x(r r ) k Q(r) + k(r r ) k Q(r) + (r r ) k Q (x) ] אם נציב r = r נקבל = ] rx.l[xe כלומר y(x) = xe rx הוא פיתרון למשוואה. באופן דומה, אם נמשיך לגזור את השוויון האחרון לפי המשתנה

156 56 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n r, נקבל שכל הפונקציות בקבוצה {e r x, xe r x,..., x k e r x } הן פיתרונות של המשוואה שלנו. שורש מרוכב ריבוי k גדול מ : בגלל שמקדמי המשוואה ממשיים, כל שורש כזה s + it מגיע גם עם הצמוד שלו s. it בדיוק כמו קודם נוכיח כי הקבוצה {e (s±it)x, xe (s±it)x,..., x k e (s±it)x } מהווה קבוצה יסודית של 2k פיתרונות. ממשיים ניתן לחלץ ממנה 2k פיתרונות e sx cos tx, xe sx cos tx, e sx sin tx, xe sx sin tx, x 2 e sx cos tx,. x k e sx cos tx, x 2 e sx sin tx,. x k e sx sin tx דוגמא 4.3: מצא פיתרון כללי עבור y 6y + 9y = פיתרון: הפולינום האופייני של המשוואה הוא (3 r) 2 P. (r) = יש לנו שורש יחיד = 3 r מריבוי.2 ולכן על פי התוצאה שקיבלנו למעלה, } 3x {e 3x, xe הקבוצה יסודית של פיתרונות, ולכן הפיתרון הכללי y(x) = c e 3x + c 2 xe 3x דוגמא :4.4 באופן דומה נוכיח כי } x {e x, xe x, x 2 e היא קבוצה יסודית של

157 57 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n פיתרונות עבור המשוואה y 3y + 3y y = דוגמא 4.5: מצא פיתרון כללי עבור y 6y + 3y = פיתרון: המשוואה כאן היא ממעלה רביעית. לפולינום האופייני P (r) = r 4 6r 3 + 3r 2 = r 2 (r 2 6r + 3) יש שורש ממשי = r בעל ריבוי 2, ושני שורשים מרוכבים r = 3 ± 2i בעלי ריבוי. לכן הקבוצה היסודית שלנו היא {, x, e 3x cos 2x, e 3x sin 2x} ולכן הפיתרון הכללי של המשוואה הוא y(x) = c + c 2 x + c 3 e 3x cos 2x + c 4 e 3x sin 2x דוגמא 4.6: מצא פיתרון כללי עבור y + 2y + y = פיתרון: לפולינום האופייני P (r) = r 4 + 2r 2 + = (r 2 + ) 2 = (r i) 2 (r + i) 2.r 2 = i,r = i לכן הקבוצה יש שני שורשים מרוכבים בעלי ריבוי 2: היסודית שלנו הפעם היא {cos x, x cos x, sin x, x sin x}

158 58 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n לכן הפיתרון הכללי הוא y(x) = c cos x + c 2 x cos x + c 3 sin x + c 4 x sin x דוגמא 4.7: מצא פיתרון כללי עבור y + y = פיתרון: לפולינום האופייני P (r) = r 4 + יש ארבעה שורשים מרוכבים פשוטים,r 4 = = e πi r = e πi 3πi 5πi 7πi 4, e 4, e 4, e 4 על פי הנוסחה e θi = cos θ + i sin θ נקבל את ארבעת השורשים הבאים r = i, r 2 = i, r 3 = i, r 4 = i 2 {e 2 x cos 2 2 x, e 2 2 x sin 2 2 x, e 2 לכן הקבוצה היסודית שלנו היא 2 x cos 2 2 x, e 2 2 x sin 2 2 x} והפיתרון הכללי הוא כרגיל הצירוף הליניארי של ארבעת הפונקציות הללו.

159 59 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n משוואות לא הומוגניות 4.8 משפט 4.: אם (x) y 2 (x) y, שני פיתרונות של משוואה דיפרנציאלית ליניארית y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y = q(x) אז ההפרש (x) y h (x) = y (x) y 2 הוא פיתרון של המשוואה ההומוגנית y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y = הוכחה: נשתמש בסימול האופרטורי L[y] = y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y על פי עקרון הסופרפוזיציה L[y h (x)] = L[y (x) y 2 (x)] = L[y (x)] L[y 2 (x)] = q(x) q(x) = קיבלנו לכן שההפרש (x) y h (x) = y (x) y 2 הוא הפיתרון של המשוואה ההומוגנית. המשפט הבא הוא מסקנה מיידית של משפט זה.

160 6 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n משפט 4.: אם ידוע לנו פיתרון פרטי (x) y p למשוואה הלא הומוגניות y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y = q(x) ואם הפיתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y = c y (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) הוא אז הפיתרון הכללי של המשוואה הלא הומוגנית הוא y p (x) + c y (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) הוכחה: נשתמש שוב בסימול האופרטורי L[y] = y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y את המשוואה הלא הומוגנית נוכל לרשום כך L[y] = q(x) ואת המשוואה ההומוגנית נרשום כך L[y] = נניח שנתון לנו פיתרון פרטי (x) y p של המשוואה הלא הומוגנית L[y p (x)] = q(x) יהי y(x) פיתרון כלשהו של המשוואה הלא הומוגנית L[y(x)] = q(x)

161 6 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n על פי המשפט הקודם (x) y(x) y p הוא פיתרון של המשוואה ההומוגנית, ולכן קיימים קבועים,c n,...,c 2,c כך ש y(x) y p (x) = c y (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) y(x) = y p (x) + c y (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) ולכן המשמעות של המשפט האחרון היא שבכדי לפתור משוואה דיפרנציאלית לא הומוגנית אנו זקוקים לפיתרון פרטי יחיד שלה, ולפיתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית. דוגמא 4.8: מצא את הפיתרון הכללי של המשוואה הלא הומוגנית y + y = 3x על ידי ניחוש פיתרון פרטי שלה. פיתרון: קל לנחש ש y p (x) = 3x הוא פיתרון פרטי של המשוואה. מהסעיפים הקודמים ידוע לנו כי הפיתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית y + y = c cos x + c 2 sin x הוא לכן הפיתרון הכללי של המשוואה הלא הומוגנית הוא y(x) = 3x + c cos x + c 2 sin x מכשיר נוסף שיכול לעזור בפיתרון משוואות לא הומוגניות הוא עיקרון

162 62 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n הסופרפוזיציה: אם הגורם הלא הומוגני q(x) ניתן לפירוק q(x) = q (x) + q 2 (x) + + q k (x) ואם y pi הוא פיתרון פרטי של L[y] = q i (x) y p (x) = y p (x) + y p2 (x) + + y pk (x) L[y] = q(x) אז הסכום הוא פיתרון של דוגמא 4.9: מצא פיתרון כללי למשוואה הלא הומוגנית (4.9) y + y = + x sin x 2 פיתרון: על פי עיקרון הסופרפוזיציה יספיק למצוא שלושה פיתרונות פרטיים עבור המשוואות הבאות () (2) (3) y + y = y + y = x y + y = 3 4 sin x 2 קל לנחש שלושה פיתרונות פרטיים מתאימים () (2) (3) y p (x) = y p2 (x) = x y p3 (x) = sin x 2

163 63 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n ולכן פיתרון פרטי עבור המשוואה הלא הומוגנית (4.9) הוא y p (x) = y p (x) + y p2 (x) + y p3 (x) = + x + sin x 2 ולכן הפיתרון הכללי של המשוואה הלא הומוגנית (4.9) הוא y(x) = + x + sin x 2 + c cos x + c 2 sin x שיטת השוואת המקדמים 4.8. מסתבר שניחוש של פיתרון פרטי עבור משוואות לא הומוגניות בעלי מקדמים קבועים, הוא פשוט יותר במקרים טיפוסיים. L[y] = y (n) + a n y (n ) + + a y + a y = q(x) תהי הטבלה הבאה מציגה את צורת הניחוש של הפיתרון הפרטי המתאים לגורם.q(x) כמובן, יש להציב את (x) y p במשוואה הלא הומוגנית ולמצוא את המקדמים המתאימים. q(x) y p (x) A + A x + A 2 x A m x m x k (B + B x + B 2 x B m x m ) 2 (A + A x + A 2 x A m x m )e αx x k (B + B x + B 2 x B m x m )e αx 3 (A + A x + + A m x m )e αx cos βx x k[ (B + B x + + B m x m )e αx cos βx +(C + B x + + C m x m )e αx sin βx ] 4 (A + A x + + A m x m )e αx sin βx x k[ (B + B x + + B m x m )e αx cos βx טבלה 4.: צורת הניחוש של הפיתרון הפרטי +(C + C x + + C m x m )e αx sin βx ] לכל שורה בטבלה נתאים זוג קבועים β. α, הקבוע α מתאים לגורם e, αx

164 64 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n והקבוע β מתאים לגורם cos βx או.sin βx בשורה של הטבלה, = α, β, = ולכן שורה היא למעשה מקרה פרטי של שורה 3 (אם נציב =,α β = בשורה,3 נקבל את שורה.( בשורה 2 של הטבלה, = β, ולכן שורה 2 היא למעשה מקרה פרטי של שורה 3. לכן אפשר להוריד מהטבלה את שתי השורות הראשונות, אבל מסיבות של נוחות נהוג לכלול אותן הכלל לקביעת k: אם r = α+βi הוא שורש של הפולינום האופייני, אז k הוא הריבוי האלגברי של.r אחרת =.k רצוי להשתמש בשורות 4, 3, אבל אם משתמשים בשורה, אז יש לזכור כי בשורה זו =,α,β = ולכן = i.r = + לכן אם = r הוא שורש של הפולינום האופייני אז k הוא הריבוי האלגברי שלו, אחרת = k. אם משתמשים בשורה 2, אז יש לזכור כי בשורה זו = β, ולכן r = α + i = α לכן אם r = α הוא שורש של הפולינום האופייני אז k הוא הריבוי האלגברי שלו, אחרת =.k דוגמא 4.2: מצא פיתרון כללי של המשוואה y + y = x 2 פיתרון: במקרה זה ברור כי = k, כי = r אינו שורש של הפולינום האופייני = r. 2 + לכן צורת הפיתרון הפרטי כאן היא y p (x) = Ax 2 + Bx + C

165 65 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n הצבת (x) y p במשוואה הלא הומוגנית תיתן y p (x) + y p(x) = Ax 2 + Bx + (C + 2A) A = B = C + 2A = A = B = C = 2 ולכן ולכן וקיבלנו את הפיתרון הפרטי הבא עבור המשוואה הלא הומוגנית y p (x) = x 2 2 מומלץ לבדוק שזהו אכן פיתרון פרטי של המשוואה הלא הומוגנית באמצעות הצבתו במשוואה. הפיתרון הכללי של המשוואה הלא הומוגנית הוא אם כן y(x) = x c cos x + c 2 sin x דוגמא 4.2: מצא פיתרון כללי של המשוואה y y = e x פיתרון: נשתמש בשורה 3 של הטבלה: =,α r = α + βi =.β = הוא שורש של הפולינום האופייני = r, 2 ולכן על פי הטבלה צורת הפיתרון הפרטי היא y p (x) = Axe x

166 66 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n מאחר ו y = e x הוא פיתרון של המשוואה ההומוגנית. y p (x) = Aex + Axe x = A(x + )e x y p (x) = A(x + 2)ex y p (x) y p(x) = 2Ae x = e x = 2 A, ולכן הפיתרון הפרטי הוא לכן y p (x) = 2 xex הפיתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית = y y הוא y(x) = c e x + c 2 e x לכן הפיתרון הכללי של המשוואה הלא הומוגנית הוא y(x) = 2 xex + c e x + c 2 e x דוגמא 4.22: מצא פיתרון כללי למשוואה y 4y = x + 3 cos x + e 2x פיתרון: בכדי לנחש פיתרון פרטי למשוואה הלא הומוגנית רצוי להתחיל בפיתרון כללי של המשוואה ההומוגנית y 4y = שורשי הפולינום האופייני = 4r r 3 הם 2, 2, =,r ולכן הפיתרון הכללי הוא y(x) = c x + c 2 e 2x + c 3 e 2x בשלב הבא ננחש פיתרונות פרטיים עבור שלושת המשוואות הלא הומוגניות

167 67 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n הבאות () (2) (3) y 4y = x y 4y = 3 cos x y 4y = e 2x משוואה : השורה המתאימה בטבלה היא שורה. במקרה הנוכחי יש לקחת = k כי = x הוא פיתרון של המשוואה ההומוגנית. לכן הניחוש הוא y p (x) = x (Ax + B) = Ax 2 + Bx נציב במשוואה () y p (x) = 2Ax + B y p (x) = 2A y p (x) = y p (x) 4y p (x) = 8Ax 4B = x 8 =,A,B = וקיבלנו לכן y p (x) = 8 x2 משוואה 2: השורה המתאימה בטבלה היא שורה ( 3 = α, β). = מאחר ו r = α + βi = i אינו שורש של הפולינום האופייני, יש לקחת = k, ולכן צורת הפיתרון הפרטי היא y p (x) = A cos x + B sin x

168 68 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n נציב במשוואה (2) y p (x) = A sin x + B cos x y p (x) = A cos x B sin x y p (x) = A sin x B cos x y p (x) 4y p (x) = 5A sin x 5B cos x = 3 cos x 3 5 =,B וקיבלנו לכן =,A y p2 (x) = 3 5 sin x משוואה 3: במקרה הזה 2 = r הוא שורש של הפולינום האופייני בעל ריבוי = k, ולכן צורת הפיתרון הפרטי היא y p (x) = Axe 2x נציב במשוואה (3) y p (x) = Ae 2x 2Axe 2x = A( 2x)e 2x y p (x) = 2Ae 2x 2A( 2x)e 2x = A( 4 + 4x)e 2x y p (x) = 4Ae 2x 2A( 4 + 4x)e 2x = A(2 8x)e 2x y p (x) 4y p (x) = 8Ae 2x = e 2x 8 =,A וקיבלנו לכן y p3 (x) = 8 e 2x על סמך עיקרון הסופרפוזיציה הפיתרון עבור המשוואה הלא הומוגנית y 4y = x + 3 cos x + e 2x

169 69 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n הוא y p (x) = y p (x) + y p2 (x) + y p3 (x) = 8 x2 3 5 sin x 8 e 2x ולכן הפיתרון הכללי הוא y(x) = 8 x2 3 5 sin x 8 e 2x + c x + c 2 e 2x + c 3 e 2x דוגמא 4.23: מצא פיתרון כללי למשוואה y (4) y y + y = x sin x פיתרון: נתחיל במציאת הפיתרון הכלל של המשוואה ההומוגנית y (4) y y + y = r 4 r 3 r 2 + r = r 3 (r ) r(r ) = (r 3 r)(r ) = r(r 2 )(r ) = r(r ) 2 (r + ) y(x) = c + c 2 e x + c 3 e x + c 4 xe x פולינום אופייני שורשים:,,, = r פיתרון כללי נשתמש בשורה 4 של הטבלה. במקרה שלנו,q(x) = x sin x ולכן =,α =,β.r = α + βi = i מאחר ו i r = אינו שורש של הפולינום האופייני, יש לקחת = k, ולכן על פי שורה 4 בטבלה צורת הפיתרון הפרטי עבור

170 7 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n המשוואה הלא הומוגנית הוא y p (x) = (Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x יש לחשב את ארבעת הנגזרות הראשונות של (x) y p y p (x) = A cos x (Ax + B) sin x + C sin x + (Cx + D) cos x = (A + D + Cx) cos x + (C B Ax) sin x y p (x) = C cos x (A + D + Cx) sin x A sin x + (C B Ax) cos x = (2C B Ax) cos x (2A + D + Cx) sin x y p (x) = A cos x (2C B Ax) sin x C sin x (2A + D + Cx) cos x = (3A + D + Cx) cos x (3C B Ax) sin x y (4) p (x) = C cos x + (3A + D + Cx) sin x + A sin x (3C B Ax) cos x = (Ax + B 4C) cos x + (Cx + 4A + D) sin x נציב את (x) y p במשוואה הלא הומוגנית ונקבל y p (4) y p y p + y p = = x sin x (3A 6C + D) cos x + (2A + 2C)x cos x + (6A 2B + 4C + 2D) sin x + ( 2A + 2C)x sin x

171 7 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n נקבל מערכת ליניארית של ארבע משוואות בארבעה נעלמים 4A + 2B 6C + 2D = 2A + 2C = 6A 2B + 4C + 2D = 2A + 2C = שפיתרונה הוא A = 4, B = 2, C = 4, D = 3 4 y p (x) = (Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x ולכן = ( x 4 + ) ( x cos x ) sin x 4 הפיתרון הכללי למשוואה הלא הומוגנית y (4) y y + y = x sin x הוא y(x) = ( x 4 + ) ( x cos x ) sin x + c + c 2 e x + c 3 e x + c 4 xe x 4 פינת התיכנות: לתכנתים שבינינו, ניתן לאמת בקלות ש ( x ) y p הוא פיתרון של המשוואה הלא הומוגנית באמצעות שימוש בתוכנת :(Python) SymPy from sympy import * x = Symbol("x") yp = (-x/4 + /2)*cos(x) + (x/4 + 3/4)*sin(x) yp = diff(yp, x) (אחרת בדיקה ידנית עשויה לצרוך הרבה זמן ודיו, ובנוסף מועדת לשגיאות) Version: 9/8/28 a

172 72 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n yp2 = diff(yp, x) yp3 = diff(yp2, x) yp4 = diff(yp3, x) simplify(yp4 - yp3 - yp2 + yp) תרגיל 4.6: מצא פיתרון כללי למשוואה y (4) y y + y = e x y(x) = x2 תשובה סופית: 4 ex + c + c 2 e x + c 3 e x + c 4 xe x שיטת הוריאציה של הפרמטרים עד עכשיו עסקנו במשוואות דיפרנציאליות ליניאריות עם מקדמים קבועים. שיטת הוריאציה של הפרמטרים נועדה לפיתרון משוואות ליניאריות לא הומוגניות בעלות מקדמים משתנים y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y = q(x) כאשר ידוע לנו הפיתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y = נניח כי ידוע לנו הפיתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית y(x) = c y (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) שיטת הוריאציה של הפרמטרים מניחה כי קיים פיתרון פרטי למשוואה הלא הומוגניות שצורתו היא y p (x) = c (x)y (x) + c 2 (x)y 2 (x) + + c n (x)y n (x) כאשר (x) c n (x),...,c 2 (x),c הן n פונקציות שעלינו לגלות (ומכאן נגזר שמה של השיטה: הפרמטרים c, n.,.. c, הופכים למקדמים משתנים).

173 73 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n נדגים את השיטה באמצעות משוואה מסדר שני L[y] = y + p (x)y + p (x)y = q(x) נניח שיש בידנו פיתרון כללי (x) y(x) = c y (x) + c 2 y 2 עבור המשוואה ההומוגנית L[y] = y + p (x)y + p (x)y = נחפש פיתרון פרטי מהצורה y p (x) = c (x)y (x) + c 2 (x)y 2 (x) הנגזרת של (x) y p היא y p (x) = c (x)y (x) + c (x)y (x) + c 2 (x)y 2(x) + c 2 (x)y 2 (x) קיימת דרגת חופש גדולה בבחירת (x) c 2 (x) c, שמאפשרת הוספת אילוץ נוסף c (x)y (x) + c 2 (x)y 2(x) = ולכן נוכל לרשום y p (x) = c (x)y (x) + c 2(x)y 2 (x) הנגזרת השנייה של (x) y p היא y p (x) = c (x)y (x) + c 2 (x)y 2 (x) + c (x)y (x) + c 2(x)y 2 (x)

174 74 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n y במשוואה הלא הומוגנית נציב את p,y p,y p y p + p (x)y p + p (x)y p = (c y + c 2 y 2 + c y + c 2y 2 ) + p (c y + c 2y 2 ) + p (c y + c 2 y 2 ) = c (y + p y + p y ) + c 2 (y 2 + p y + p y 2 ) + c y + c 2 y 2 = c + c 2 + c y + c 2 y 2 = c y + c 2 y 2 = q(x) c (x)y (x) + c 2 (x)y 2(x) = c (x)y (x) + c 2 (x)y 2 (x) = q(x) לסיכום, קיבלנו את המערכת הבאה על פי כלל קרמר לפיתרון מערכת משוואות ליניאריות c (x) = c 2 (x) = y 2 (x) q(x) y (x) y (x) y 2 (x) y 2 (x) y 2 (x) y (x) y (x) y (x) y (x) q(x) y 2 (x) y 2 (x) = y 2(x)q(x) W (x) = y (x)q(x) W (x)

175 75 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n c 2 (x),c קיבלנו נוסחאות פשוטות לחישוב הנגזרות (x) c (x) = y 2(x)q(x) W (x) c 2 (x) = y (x)q(x) W (x) כמובן אינטגרציה פשוטה תיתן את (x).c 2 (x),c נוסחאות דומות מתקבלות גם עבור משוואות מסדר 3 ומעלה. לחילוק בורונסקיאן (x) W אין שום השפעה על תחום הקיום של הפיתרונות מאחר שנתון לנו כי {(x) y},(x) y 2 היא קבוצה בלתי תלויה ליניארית ולכן הורונסקיאן אינו מתאפס בתחום הקיום של המשוואה (β,α). דוגמא 4.24: מצא פיתרון כללי של המשוואה y + y = tan x, ( < x < π 2 ) פיתרון: ראשית כל נציין כי למרות שמקדמי המשוואה קבועים, לא ניתן לפתור את המשוואה באמצעות שיטת השוואת המקדמים. כזכור, הפיתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית = y y + הוא y(x) = c cos x + c 2 sin x ולכן צורת הפיתרון הפרטי עבור המשוואה הלא הומוגנית היא y p (x) = c (x) cos x + c 2 (x) sin x cos x c (x) + sin x c 2 (x) = sin x c (x) + cos x c 2 (x) = tan x יש לפתור את המערכת

176 76 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n נשתמש בכלל קרמר לפיתרון מערכת משוואות ליניאריות c (x) = sin x tan x cos x sin x cos x sin x cos x = sin x tan x = sin x tan x c 2 (x) = cos x sin x cos x sin x tan x sin x cos x = cos x tan x = sin x ברור כי.c 2 (x) = cos x בכדי לקבל את (x) c יש צורך לבצע אינטגרציה c (x) = = ˆ ˆ = sin x ˆ sin x tan x dx = ˆ cos 2 x cos x dx = ˆ ˆ cos x cos 2 x dx = sin x = sin x 2 ln + sin x sin x sin2 x cos x dx ( cos x ) dx cos x cos x dx sin 2 x y p (x) = ( sin x 2 ) +sin x ln cos x cos x sin x sin x לכן = 2 y(x) = 2 cos x ln +sin x sin x ולכן הפיתרון הכללי של המשוואה הלא הומוגנית הוא cos x ln + sin x sin x + c cos x + c 2 sin x

177 77 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n פינת התיכנות: לתכנתים שבינינו, ניתן לאמת בקלות ש ( x ) y p הוא פיתרון של המשוואה הלא הומוגנית באמצעות שימוש בתוכנת :(Python) SymPy from sympy import * x = Symbol("x") yp = -.5*cos(x) * ln((+sin(x))/(-sin(x))) yp = diff(yp, x) yp2 = diff(yp, x) simplify(yp + yp2) (אחרת בדיקה ידנית עשויה לצרוך הרבה זמן ודיו, ובנוסף מועדת לשגיאות) באותו האופן בדיוק נוכל למצוא פיתרון פרטי עבור משוואה דיפרנציאלית ליניארית לא הומוגנית מסדר 3 y + p 2 (x)y + p (x)y + p (x)y = q(x) אם הפיתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית y + p 2 (x)y + p (x)y + p (x)y = y(x) = c y (x) + c 2 y 2 (x) + c 3 y 3 (x) ידוע לנו אז צורת הפיתרון של הפיתרון הפרטי עבור המשוואה הלא הומוגנית תהיה y p (x) = c (x)y (x) + c 2 (x)y 2 (x) + c 3 (x)y 3 (x) לאחר גזירה והוספת שני אילוצים נקבל את המערכת c (x)y (x) + c 2 (x)y 2(x) + c 3 (x)y 3(x) = c (x)y (x) + c 2 (x)y 2 (x) + c 3 (x)y 3 (x) = c (x)y (x) + c 2 (x)y 2 (x) + c 3 (x)y 3 (x) = q(x),c ובאמצעות שימוש בכלל של קרמר נקבל נוסחאות מתאימות עבור (x)

178 78 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n (x).c 3 (x),c 2 לדוגמא, הנוסחה עבור (x) c היא c (x) = y y 2 (x) y 3 (x) y 2 (x) y 3 (x) q(x) y 2 (x) y 3 (x) y (x) y 2 (x) y 3 (x) y (x) y 2 (x) y 3 (x) (x) y 2 (x) y 3 (x) = q(x)[y 2(x)y 3 (x) y 3(x)y 2 (x)] W (x) תרגיל 4.7: מצא פיתרון כללי למשוואה y y = x הדרכה: ניתן לפתור את הבעייה על ידי שיטת השוואת המקדמים וגם על ידי הורדת סדר פשוטה ) y v). = מומלץ בכל זאת לפתור את התרגיל בכדי לתרגל את נושא הוריאציה של הפרמטרים. הפיתרון הסופי שצריך להתקבל הוא y(x) = x2 2 + c + c 2 e x + c 2 e x תרגיל 4.8: מצא פיתרון כללי למשוואה y 4y + 5y = e 2x sin 2 x הדרכה: התשובה הסופית היא y(x) = 29 sin 2 x 5 sin 2x e2x cos 2 x + c + c 2 e x משוואת אוילר ) (Leonhard Euler אחת המשוואות הליניאריות הידועות היא משוואת אוילר a n x n y (n) + a n x n y (n ) + + a y = q(x), ( < x < )

179 79 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n משוואת אוילר חשובה עבור פיתרון משוואת לפלס (אלקטרומגנטיות, חשמל, חום, נוזלים), אבל יש לה גם חשיבות מתודית עקב היותה דוגמא פשוטה לנקודות סינגולריות רגולריות. נקודות סינגולריות רגולריות (קישור לויקיפדיה) x = e t, t = ln x ( < x < ) ההצבה הופכת את משוואת אוילר למשוואה ליניארית בעלת מקדמים קבועים. נדגים זאת על משוואה מסדר 3 y = dy dx = dy dt dt dx = dy dt x = x dy dt y = d dx = x 2 [ d 2 y dt 2 y = x 3 [ d 3 y dt 3 [ x dy ] dt = x 2 dy ] dt 3 dy2 dt 2 dy dt + x dy ] dt d2 y dt 2 לאחר הצבת תוצאות אלה במשוואת אוילר, ברור שכל החזקות x k יתבטלו, ונקבל משוואה ליניארית בפונקציה,y(t) בעלת מקדמים קבועים. ניתן להוכיח באמצעות אינדוקציה מתימטית את הנוסחה האופרטורית הבאה d n y dx = n x d d n dt dt d dt 2 d dt n + [y] בתחום < x < ההצבה היא.x = e t דוגמא 4.25: מצא פיתרון כללי עבור משוואת אוילר הבאה x 2 y 2xy + 2y = x 3 ( < x < )

180 8 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n פיתרון: נעבור למשתנה t באמצעות ההצבה x = e t x 2 y 2xy + 2y = x 2 [ d 2 y x 2 dt 2 dy ] 2x dt x dy dt + 2y(t) = dy2 dt 2 3 dy dt + 2y(t) קיבלנו משוואה חדשה במשתנים t y, y (t) 3y (t) + 2y(t) = e 3t שכמובן ניתן לפתור על ידי שיטת השוואת המקדמים y(t) = 2 e3t + c e t + c 2 e 2t נחזור למשתנים המקוריים y(x) y, = ונקבל y(x) = 2 x3 + c x + c 2 x 2 יוצא שהפיתרונות היסודיים של משוואת אוילר ההומוגנית הם תמיד מהצורה y, = x r ולכן מעתה ואילך לא נשתמש שוב בהצבה x, = e t אלא נחפש ישירות את הפיתרונות היסודיים על ידי הצבת y = x r בביטוי L[y] = a n x n y (n) + a n x n y (n ) + + a y = L[x r ] = x r P (r) שנותנת כאשר (r) P פולינום ממשי ממעלה n. למשל עבור משוואת אוילר מסדר 2 y = x r y y = rx r = r(r )x r 2

181 8 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n L[y] = a 2 x 2 y + a xy + a y ולכן = a 2 x 2 r(r )x r 2 + a xrx r + a x r = a 2 r(r )x r + a rx r + a x r = x r [a 2 r(r ) + a r + a ] = קיבלנו שכאשר = 2 n P (r) = a 2 r(r ) + a r + a = השוויון האחרון נקרא המשוואה האינדיציאלית או המשוואה האופיינית של משוואת אוילר ההומוגנית. במקרה של משוואה הומוגנית מסדר 3, המשוואה האינדיציאלית תהיה P (r) = a 3 r(r )(r 2) + a 2 r(r ) + a r + a = אם לפולינום האינדיציאלי (r) P יש n שורשים ממשיים שונים r, r 2,..., r n אז בסיס למרחב הפיתרונות של המשוואה ההומוגנית יהיה x r, x r 2,..., x r n אם r הוא שורש ממשי בעל ריבוי אלגברי k, אז יתאימו לו k פיתרונות בלתי תלויים x r, x r ln x, x r (ln x) 2,..., x r (ln x) k

182 82 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n אם r = α ± βi הם שני שורשים מרוכבים פשוטים של (r) P, אז יתאימו להם 2 פיתרונות בלתי תלויים x α cos(β ln x), x α sin(β ln x) אם r = α ± βi הם שני שורשים מרוכבים של (r) P בעלי ריבוי אלגברי k, אז יתאימו להם 2k פיתרונות בלתי תלויים x α cos(β ln x), x α sin(β ln x) x α ln x cos(β ln x), x α ln x sin(β ln x) x α (ln x) 2 cos(β ln x), x α (ln x) 2 sin(β ln x). x α (ln x) k cos(β ln x), x α (ln x) k sin(β ln x). תרגילים: מצא פיתרון כללי עבור כל אחת מהמשוואות הבאות א. x 2 y xy + y = x 5 ב x 2x 2 y + 5xy + y = ג. x 2 y 6y = + ln x ד. = 2y x 3 y x 2 y + 2xy ה. = 6y < x <,3(x + 6) 2 y + 25(x + 6)y 6 תשובות סופיות: y(x) = x4 א. + c x + c 2 ln x 6 y(x) = x c x + c 2 x ב. y(x) = ln x c x c 2 x + 3 ג. 2 ד. y(x) = 2 c x + c 2 x ln x + c 3 x 2 ה. 6) (x y(x) = c (x + 6) 8 + c 2

183 83 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n תרגילים מצא פיתרון כללי. = 2y y 2y + ב. = 25y y א. = y y ד. = 6y y 5y + ג. = 3y y (4) + 4y + ו. = y y (4) ה. = y y 3y + 3y ח. = 3y y 2y ז. = 4y y (4) 5y + ט. 2. פתור את בעיות ההתחלה הבאות y + 4y = ב. = y() y 5y + 4y = א. = 5 y() y () = 2 y () = 8 y + y 5y + 3y = y() = y () = y () = 2 ג. מצא פיתרון כללי 3. y 2y 3y = e 4x י. יא. y y = x 2 יב. יג. יד. = 4 7y y 8y + טו. y + y 2y = 3xe x טז. y 5y + 4y = 4x 2 e 2x y + 3y 4y = xe x y y + y = x 3 + 6

184 84 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n y y = 2e x y (4) 2y + y = e x y 4y + 3y = 2 cos(2x) + 35 sin(2x) יז. יח. יט. y + y 2y == cos x 2 7 sin x 2 כ. y + 5y + 6y = 5 sin 4x כא. y 3y + 2y = 2e x cos x 2 כב. y 3y + 2y = 2 sin x כג. y + 4y = 2 cos 2x כד. y + 9y = 8 cos 3x כה. כו. y 2y 8y = e x 8 cos 2x כז. y y = 2x 3e x כח. y + y = 3xe x + x 2 + כט. y 8y + 2y = 5xe 4x sin 2x ל. לא. 3x) y 9y = e 3x (x 2 + sin y + 3y 4y = e 4x + xe x לב. y 4y + 4y = x 2 + e 2 x + sin 2x 4. נתונה משוואה משוואה דיפרנציאלית ליניארית לא הומוגנית בעלת מקדמים קבועים L[y] = q(x) נתון כי שורשי הפולינום האופייני של המשוואה הם r = 2, r 2 = 2, r 3 = 2, r 4 =, r 5 = 3, r 6 = 3, r 7 = 5i, r 8 = 5i, r 9 = 6i, r = 6i רשום את צורת הפיתרון הפרטי עבור כל אחד מהמקרים הבאים א. q(x) = x 2 e 3x ב. q(x) = 7xe 2x ג. = q(x) ד. q(x) = 2 cos 4x sin 4x

185 85 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n ה. q(x) = sin 5x ו. q(x) = 4e 3x x + cos 6x + e x 5. בנה משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית בעלת מקדמים קבועים שפיתרונה הכללי הוא y(x) = c x + c 2 e x + c 3 e 2x 6. פתור את בעיות ההתחלה הבאות y + y = e 2x + x 2 y() = y () = ב. y 2y = e 2x + x 2 y() = 8 y () = א. y 2y + y = x y() = y () = ד. y y = 3(2 x 2 ) y() = y () = y () = ג. y 2y + y = xe x + 4 y() = y () = ו. y 6y + 9y = 5 sin x y() = y () = y () = 2 ה. y + 2y + y = xe x y() = y () = ז..7 נתון כי (x),y 2 (x),y פיתרונות פרטיים של המשוואה y + 4y + 8y = q(x)

186 86 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n כאשר q(x) פונקציה רציפה על כל הישר הממשי R.. x lim y (x) = x א. הוכח כי (x) lim y 2 ב. נתון כי () 2.y () = y הוכח כי ) 2.y ( π 2 ) = y 2( π 8. נתון ששלושת הפונקציות y (x) = e x, y 2 (x) = 2x, y 3 (x) = 3 הן פיתרונות של המשוואה y + a 2 y + a y + a y = מהו הפיתרון הכללי של המשוואה? 9. נתונה המשוואה y (4) + a 3 y + a 2 y + a y + a y = 3e αx וידוע ששורשי הפולינום האופייני הם r =, r 2 =, r 3 =, r 4 = 3 מצא את צורת הפיתרון הפרטי.. נתונה המשוואה = y.y + 3y + 3y + מצא את הפיתרון המקיים.y () =,y () =,y() =. נתונה המשוואה = 4y.y + מצא את הפיתרון המקיים =,y().y () = 2. מצא את הפיתרון הכללי של כל אחת מהמשוואות הבאות לג. x 2 y + xy + 4y = x

187 87 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n x 2 y 3xy + 5y = 3x 2 x 2 y 6y = 5x 3 + 8x 2 x 2 y 2y = sin(ln x) לד. לה. לו. לז. x) 3 + x) 2 y 3( + x)y + 4y = ( + ( y 2y + y = ex x לח. y + y = sin x לט. x) y + 2y + 5y = e x (cos 2 x + tan מ. מא. y + y = sin x + x cos x מב. y (5) + 4y = x + + cos 2x 3. פתור את בעיות ההתחלה הבאות x 2 y 3xy + 3y = y() = ב. x 2 y xy + y = 2x y() = א. y () = y () = 4. מצא את הפיתרון הכללי של כל אחת מהמשוואות הבאות y + y = cot x y + 2y + y = e x x y + 5y + 6y = e 2x + מג. מד. מה. e2x y 4y + 5y = cos x y + y = sin x cos 2 x מו. מז. y + 4y = מח. cos 2x מט. = 3y x 2 y xy

188 88 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n נ. x 2 y 2xy + 2y = x 3 sin x x 2 y xy + y = ln x x + x ln x x 2 y 4xy + 6y = נא. נב. נג. (x 2) 2 y 3(x 2)y + 4y = x x 3 y + xy y = x 3 y 2xy = 6 ln x x 2 y 2y = sin ln x נד. נה. נו. 5. ידוע שלמשוואה הבאה יש פיתרון פרטי בצורת פולינום ממשי ממעלה. מצא את הפיתרון הכללי x 2 y x(x + 2)y + (x + 2)y =.6 נתון שהפונקציה y(x) = x 4 + x 4 ln x היא פיתרון פרטי של המשוואה הדיפרנציאלית x 2 y + a xy + a y = מצא את המקדמים.a,a.7 נתונים שני פיתרונות (x) y 2 (x),y של המשוואה y y + ye 2x = ידוע שהורונסקיאן שלהם מקיים = () W. מצא את (x) W. 8. ידוע ששלושת הפונקציות y (x) = (x + 4) sin x y 2 (x) = (x + 5) sin x y 3 (x) = x sin x + 3 cos x

189 89 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n הן פיתרונות של המשוואה y + p (x)y + p (x)y = q(x) כאשר (x),q(x) p, (x) p, רציפות על כל הישר הממשי R. מצא פיתרון y(x) של המשוואה המקיים y() = y () = והסבר מדוע פיתרון זה יחיד על כל הישר. 9. נתונה המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית והומוגנית y + p (x)y + p (x)y = כאשר (x),p (x),p פונקציות רציפות בקרן ).[, יהיו (x) y 2 (x),y שני פיתרונות של המשוואה, כך ש > (x) y בכל התחום, ו () 2 y. () = y הוכח או הפרך את כל אחת מהטענות הבאות א. אם (3) 2,y (3) = y אז (x) y (x) < y 2 בכל הקרן ) (, ב. אם (3) 2,y (3) < y אז (x) y (x) < y 2 בכל הקרן ) (, ג. אם (3) 2,y (3) > y אז (x) y (x) > y 2 בכל הקרן ) (, 2(x).h(x) = y העזר בורונסקיאן ובמשפט y (x) הדרכה: חקור את הפונקציה ערך הביניים של רול. 2. נתונה המשוואה הדיפרנציאלית ליניארית הומוגנית ממעלה 3 y + p 2 (x)y + p (x)y + p (x)y = כאשר (x),p 2 (x),p (x),p פונקציות רציפות בקטע β),(α, ונתונים שלושה פיתרונות של המשוואה y (x) = xe x, y 2 (x) = (x + )e x, y 3 (x) = x 3

190 9 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n בקטע β).(α, א. איזה נקודה מבין הנקודות הבאות אינה שייכת לקטע (β,α)? x =, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5.α < x < β,x = x ידוע שהפונקציה (x) p 2 מתאפסת בנקודה ב. מצא את הנקודה x. הדרכה: השתדל להקדיש לבעייה לפחות דקות מחשבה בכיוון הורונסקיאן לפני קריאת ההדרכה... א. בדוק באיזה נקודות הורונסקיאן של שלושת הפיתרונות מתאפס? הורונסקיאן של שלושת הפונקציות צריך לצאת W (x) = (5 x)e 2x ב. לאחר חישוב מפורש של הורונסקיאן (x) W, יש להשתמש בנוסחה W (x) W (x) = p n (x) בכדי לחשב את p n (x).x הוא המקדם של (n ).y x(x + )y 2y 2y = 2. נתונה המשוואה א. הראה שהפונקציה = (x) y היא פיתרון של המשוואה. x.y ב. מצא פיתרון 2(x) 2 y של המשוואה המקיים = 3 () נתונה המשוואה y (4) + ay + by + cy + ky = כאשר,k,c,b,a קבועים ממשיים. נתון ש x y (x) = 5x + 3 sin הוא פיתרון של המשוואה. הוכח או הפרך את הטענות הבאות א. =,c k = ב. =,c k =

191 9 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n ג. =,c k = ד. k = a + b + c ה. c = a + b 23. הסבר מדוע הורונסקיאן של המשוואה y (e 3x + cos 5x)y + x 7 y = הוא קבוע? 24. נתון כי y(x) הוא הפיתרון של בעיית ההתחלה y 3y + 2y = y() = ln(4) y () = ln(8) + e x חשב את ()y. 25. נתונה משוואה ליניארית בתוספת פיתרון פרטי ידוע (x) y. מצא את הפיתרון הכללי. y (x) = x,(x 2 + )y 2xy + 2y = y (x) = + x,x 2 (x + )y 2y = y (x) = ex x,xy + 2y xy = y (x) = tan x,y 2( + tan 2 x)y = y 2 (x) = x,y (x) = x,x 2 (2x )y +(4x 3)xy 2xy +2y = y (x) = sin(x 2 ),xy y + 4x 3 y = y (x) = sin x x,y + 2 x y + y =.26 ידוע כי y (x) = e x הוא פיתרון של המשוואה = y.(x )y xy + עשה שימוש בפיתרון זה ובנוסחת Abel בכדי למצוא פיתרון שני שאינו תלוי ב ( x ).y

192 92 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n 27. ידוע כי sin x הוא פיתרון של המשוואה הדיפרנציאלית y (4) 2y + 3y 2y + 2y = מצא את הפיתרון הכללי שלה..28 למשוואה = 48y 6x 3 y 24x 2 y + 48xy ידועים שני פיתרונות פרטיים y (x) = x 2, y 2 (x) = x, < x < מצא את הפיתרון הכללי. 29. למשוואה x 3 y 3x 2 y + 6xy 6y =, < x < ידוע הפיתרון y. (x) = x מצא את הפיתרון הכללי..3 למשוואה = y xy y xy + ידועים שני פיתרונות פרטיים y (x) = x, y 2 (x) = e x מצא את הפיתרון הכללי. הדרכה: מלבד שיטת ההצבה ((x) y) 3 (x) = v(x)y להורדת סדר, ניתן להשתמש בורונסקיאן ובנוסחת אבל למציאת פיתרון שלישי בלתי תלוי. ידוע שלמשוואה ההומוגנית.x 2 y 2y = 2 x.3 נתונה המשוואה: מצא את הפיתרון הכללי של.y(x) = x 2 המתאימה יש את הפיתרון המשוואה..32 נתונה המשוואה:.x 2 y x(x + 2)y + (x + 2)y = 2x 3 ידוע שלמשוואה ההומוגנית המתאימה יש את הפיתרון y. (x) = x מצא את הפיתרון הכללי של המשוואה.

193 93 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n 33. נתונה המשוואה הדיפרנציאלית y + p (x)y + p (x)y = q(x), < x < כאשר (x) p, (x) p, רציפות על כל הישר. ידוע כי y (x) = (x + 3) cos x, y 2 (x) = x cos x, y 3 (x) = 3 sin x הן שלושה פיתרונות של המשוואה. א. מצא את הפיתרון הכללי למשוואה. ב. חשב את (x) p. 34. ידוע שהפונקציה y(x) היא הפיתרון של בעיית ההתחלה x 2 y + 2xy = x cos x, y( π 2 ) = y ( π 2 ) = 2 π < x < חשב את הערך של.y(π).35 יהיו (x),y 4 (x),y 3 (x),y 2 (x),y ארבעה פיתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית y (4) + x y + x 2y + x 3y + x 4y = ידוע כי = 8 ]() 4.W [y, y 2, y 3, y חשב את ](2) 4.W [y, y 2, y 3, y.w (x) = W (x )e x p x n (t)dt הדרכה: השתמש בנוסחה הבחירה של הנקודות x, x, לא קשה בדוק האם קיים פיתרון y(x) עבור המשוואה הדיפרנציאלית y (6) + y (5) y (4) y = 3e x

194 94 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n? lim x המקיים =,y() y(x) =,y () = 37. פתור את בעיית ההתחלה x 2 y 2y = x 2 y() = y () = מהו תחום ההגדרה של הפיתרון? 38. פתור את בעיית ההתחלה x 2 y + xy + 9y = 2 sin(3 ln x) y() = y () = מהו תחום ההגדרה של הפיתרון שמצאת? 39. רשום את צורת הפיתרון הפרטי על פי שיטת השוואת המקדמים (אין צורך למצוא קבועים) עבור המשוואה y 4y = 3x + cos(x) 4. למשוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית בעלת מקדמים קבועים = L[y] יש את הפולינום האופייני P (r) = r 2 (r 2 + 4) 2 (r 2 + 3r 4) מצא את צורת הפיתרון הפרטי עבור המשוואה הלא הומוגנית L[y] = sin 2x + xe x + 2e 4x + 5

195 95 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n 4. יהי y(x) פיתרון של בעיית ההתחלה y xy + 3y = y() = y () = 6 מצא את (6).y 42. נתון שהפונקציה sin(2x) y(x) = 3xe x היא פיתרון של המשוואה y (4) + a 3 y + a 2 y + a y + a y = כאשר,a 3,a 2,a,a הם מקדמים ממשיים קבועים. חשב את.a 2,a = (x) y 2 הן שני פיתרונות π x,y (x) = π + 3 cos x x 43. ידוע שהפונקציות של המשוואה x 2 y + xy + (x 2 )y = q(x), 4 < x < כאשר q(x) פונקציה רציפה בקרן (,). מצא את הפיתרון הפרטי עבור בעיית ההתחלה x 2 y + xy + (x 2 )y = q(x), 4 y(π) = y (π) = < x < 44. רשום צורה כללית של פיתרון פרטי עבור המשוואה x 3 y + xy y = (x + x) ln x 45. באמצעות שיטת הוריאציה של הפרמטרים, מצא נוסחה לפיתרון הכללי של המשוואה y + y = q(x)

196 96 פרק 4: משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר n כאשר q(x) היא פונקציה רציפה כלשהי בקטע נתון. 46. נתונה המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית ההומוגנית y + p(x)y + q(x)y = כאשר,p(x),q(x) פונקציות רציפות על כל הישר הממשי. יהיו (x) y, (x) y, 2 שני פיתרונות בלתי תלויים ליניארית של המשוואה. לגבי כל טענה, אם היא נכונה הוכח אותה, ואם לא, הפרך אותה על ידי דוגמא מתאימה א. הגרפים של (x) y, 2 (x) y, אף פעם אינם נחתכים ב. הגרפים של (x) y, 2 (x) y, עשויים להיחתך, אך אינם יכולים להשיק זה לזה ג. אם > (x) y לכל x ממשי, אז הגרפים של שני הפיתרונות נחתכים לכל היותר פעם אחת ד. הגרפים של (x) y, 2 (x) y, עשויים להיחתך אינסוף פעמים

197 97 פרק 5 פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות חזרה על נושא טורי חזקות 5. חזרה תמציתית על נושא טורי חזקות. נושא זה אמור להיות מכוסה בקורסים של חדו א וחדו א 2 ולכן מובאים עיקרי הדברים ללא הוכחות וללא פירוט רב מידי. השתדלנו לכלול רק נושאים שדרושים לנו עבור פיתרון משוואות דיפרנציאליות. הגדרה 5.: טור פונקציות מהצורה (*) a n (x x ) n = a + a (x x ) + a 2 (x x ) a n (x x ) n + n= נקרא טור חזקות. הנקודה x נקראת מרכז הטור. הקבועים n= {a n } נקראים מקדמי הטור.

198 98 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות איור :5. Maclaurin Colin איור :5.2 Taylor Brook בחלק גדול מהדוגמאות והמקרים מרכז הטור הוא בדרך כלל = x. במקרה זה, יש לטור החזקות צורה יותר פשוטה (**) n= a n x n = a + a x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n + דוגמא 5.: כל פולינום הוא למעשה טור חזקות אשר כל מקדמיו מלבד מספר סופי מתאפס 7x 2 + x 9 = 9 + x 7x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + לכן טור חזקות הוא הכללה של מושג הפולינום למימד אינסופי, ואכן בהקשרים מסוימים, טור חזקות נקרא לפעמים פולינום אינסופי. דוגמא 5.2: טור החזקות הכי מוכר וידוע הוא הטור הגאומטרי x = n= x n = + x + x 2 + x 3 + מרכז הטור הוא =,x ולכל מקדמיו שווים (כלומר, לכל.(a n =,n כזכור הוא מתכנס בקטע הפתוח (, ). תזכורת: דוגמאות בולטות של טורי מקלורן (טורי טיילור סביב = x)

199 99 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות e x = n= x n sin x = ( ) n n= cos x = ( ) n n= n! = + x + x2 2! + x3 3! + x2n+ = x x3 (2n+)! 3! + x5 5! x7 7! + x2n (2n)! = x2 2! + x4 4! x6 6! + arctan x = ( ) n x2n+ = x x3 2n+ n= ln( + x) = n= ( α n n= ( + x) α = = x n= = +x n= n+ xn ( ) n = x x2 3 + x5 5 x7 2 + x3 3 x ) x n = + αx + α(α ) x 2 +, (α R) 2! x n = + x + x 2 + x 3 + ( ) n x n = x + x 2 x 3 + יש לשים לב לכך שנוסחת הטור הגאומטרי היא מקרה פרטי של נוסחת מקלורן שלפניה ( = α, והחלפת x על ידי x ). מתכנס בנקודה =.x תחום התכנסות של טור חזקות 5.. n= ברור כי כל טור חזקות a n x n ככל שקצב הגידול של סדרת המקדמים ההתכנסות של הטור. a n יותר מהיר כך מצטמצם תחום מתכנס בנקודה = x בלבד! n= למשל טור החזקות n n x n.(x מתבדר אם n n x n = (nx) n ) מתכנס עבור כל x ממשי. n= x n לעומת זאת, הטור n! משפט :5. אם טור חזקות a n (x x ) n מתכנס בנקודה,x = x אזי הוא n= מתכנס במידה שווה ובהחלט בכל קטע [r x],r x + עבור כל r המקיים. < r < x x מהמשפט הקודם נובע שתחום ההתכנסות של טור חזקות חייב להיות סימטרי

200 2 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות סביב נקודת המרכז שלו מסקנה: תחום ההתכנסות של טור חזקות אחת מהצורות הבאות: x (מה שמסביר את המונח מרכז ). חייב להיות בעל n= a n (x x ) n א. נקודה בודדת } x} ב. קטע פתוח מהצורה R) (x R, x + ג. קטע סגור מהצורה R] [x R, x + ד. קטע חצי סגור מהצורה R) [x R, x + ה. קטע חצי סגור מהצורה R] (x R, x + ו. כל הישר הממשי (, ) n= x n n מהמשפט הקודם לא ניתן ללמוד דבר על נקודות הקצה של תחום התכנסות סופי. למשל הטור מתכנס בנקודה = x אך מתבדר עבור = x. תחום ההתכנסות שלו הוא (, ] (מרכז הטור הוא = x). המספר R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור ויש לו ערך מתאים בכל אחת מהצורות א ו : בצורה א, = R, ובצורה ו = R. משפט 5.2: (נוסחת קושי האדאמר) רדיוס ההתכנסות של טור החזקות a n (x x ) n הוא n= R = n lim n an (בהנחה שהגבול קיים והמקדמים לא מתאפסים) משפט 5.3: (נוסחת המנה לחישוב רדיוס התכנסות) רדיוס ההתכנסות של טור החזקות a n (x x ) n הוא n= a n R = n lim a n+ (בהנחה שהגבול קיים והמקדמים לא מתאפסים)

201 2 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות בנוסחת האדאמר קושי, במידה והגבול אינו קיים ניתן לקחת את הגבול העליון של הסדרה sup).(lim R = lim sup n n an תרגיל 5.: אם רדיוס ההתכנסות של טור החזקות תוכל לומר על רדיוס ההתכנסות של הטור הוא R, מה n= a n x n? n= na n x n התכנסות במידה שווה של טור חזקות 5..2 כפי שראינו בשיעורים הקודמים, תכונת ההתכנסות במידה שווה מאפשרת לבצע פעולות שימושיות על טורים ולקבל תוצאות חשובות. לכן חשוב להכיר את התנאים שתחתיהם טור חזקות מתכנס במידה שווה. n= משפט :5.4 יהי a n (x x ) n טור חזקות בעל רדיוס התכנסות R א. אם = R אז הטור מתכנס בנקודה x = x בלבד ב. אם = R אז הטור מתכנס במידה שווה בכל קטע סגור סופי [b,a] ג. אם < R < אז הטור מתכנס במידה שווה בכל קטע סגור [b,a] המקיים x R < a < b < x + R n= x n n 2 יש לציין כי המשפט אינו שולל אפשרות של התכנסות במידה שווה בתחומים גדולים יותר. למשל הטור מתכנס נקודתית בקטע הסגור [, ]. המשפט הקודם מבטיח התכנסות במידה שווה בכל תת קטע [b,a] המקיים < a < b <

202 22 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות אך לא קשה לבדוק שהטור מתכנס במידה שווה (וגם בהחלט) בכל הקטע מתכנס נקודתית בקטע הפתוח (, ), x n n=.[, ] לעומת זאת הטור ההנדסי אך אינו מתכנס במידה שווה בכל הקטע (, ). אופטימלית עבורו. ולכן טענת המשפט = f(x) טור חזקות בעל רדיוס התכנסות R. אזי n= משפט :5.5 יהי a n x n f(x) היא פונקציה רציפה בכל נקודה R. < x < R x, אם הטור מתכנס בנקודה x, = R אז f(x) רציפה משמאל בנקודה זו. אם הטור מתכנס בנקודה x, = R אז f(x) רציפה מימין בנקודה זו. גזירה ואינטגרציה של טור חזקות 5..3 משפט 5.6: (אינטגרציה של טור חזקות) יהי f(x) = a n x n טור חזקות בעל רדיוס התכנסות.R n= אזי לכל נקודה x, < R מתקיים ˆ x f(t) dt = ˆ x n= n= a n a n t n dt = n + xn+ א. אותו רדיוס התכנסות R. a n n+ xn+, n= n= מתכנס בנקודת הקצה x, = R אז גם הטור ב. לשני הטורים a n x n n= מתכנס בנקודה זו. ג. אם הטור a n x n a n n+ xn+ n= ד. כנ ל לגבי נקודת הקצה x. = R

203 23 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות + x = דוגמא 5.3: אם נבצע אינטגרציה של הטור ההנדסי n= ln( + x) = n= ( ) n x n = x + x 2 x 3 + נקבל נוסחה פרקטית לחישוב הלוגריתם הטבעי n+ xn ( ) n = x x2 2 + x3 3 x4 4 + תחום ההתכנסות של הטור ההנדסי הוא (, ) אך תחום ההתכנסות של טור הלוגריתם הוא [, ). משפט 5.7: (גזירה של טור חזקות) יהי f(x) = a n x n טור חזקות בעל רדיוס התכנסות.R n= אזי לכל נקודה x, < R מתקיים f (x) = na n x n n= א. אותו רדיוס התכנסות R. a n n+ xn+, n= n= מתכנס בנקודת הקצה x, = R אז גם הטור ב. לשני הטורים a n x n n= מתכנס בנקודה זו. ג. אם הטור a n x n a n n+ xn+ n= ד. כנ ל לגבי נקודת הקצה x. = R כמה n= המשפט האחרון מאפשר לנו למעשה לגזור טור חזקות a n x) x ) n

204 24 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות פעמים שנרצה f(x) = a + a (x x ) + a 2 (x x ) 2 + a 3 (x x ) 3 + a 4 (x x ) 4 + f (x) = a + 2a 2 (x x ) + 3a 3 (x x ) 2 + 4a 4 (x x) na n (x x ) n + f (x) = 2a a 3 (x x ) + 4 3a 4 (x x) n(n )a n (x x ) n 2 + f (x) = 3 2a a 4 (x x) + + n(n )(n 2)a n (x x ) n 3 + כמובן כל הזהויות האלה תקפות בקטע (R,R ) בלבד (כאשר R הוא רדיוס ההתכנסות). בנקודה x (מרכז הטור) מתקבלים השוויונים הבאים: f(x ) = a f (x ) = a f (x ) = 2a 2 f (x ) = 3 2a 3. = f (k) (x ) = k!a k המסקנה מהחישוב האחרון היא שניתן לבטא את מקדמי הטור באמצעות הנגזרות של (x) f (k) בנקודה.x a k = f (k) (x ) k!. משפט 5.8: (נגזרות גבוהות של טור חזקות) יהי f(x) = a n (x x ) n טור חזקות בעל רדיוס התכנסות.R >,R אזי לסכום f(x) יש נגזרת מכל סדר בכל נקודה x. < R את הנגזרת מסדר k של f(x) ניתן לקבל על ידי גזירת הטור איבר איבר k פעמים. בנוסף לכך, קיים הקשר הבא בין הנגזרת מסדר k והמקדם a k של הטור a k = f (k) (x ) k! n=

205 25 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות פיתוח פונקציה לטור חזקות 5..4 f(x) = n= משפט 5.9: (יחידות טור חזקות) אם שני טורי חזקות a n (x x ) n g(x) = n= b n (x x ) n מקיימים g(x) f(x) = עבור כל x בקטע פתוח r),(x r, x + עבור >,r אזי לכל n טבעי,.a n = b n המשמעות של המשפט הקודם היא שאם ניתן בכלל להציג פונקציה f(x) באמצעות טור חזקות סביב נקודה x, אז ניתן לעשות זאת בדרך אחת בלבד! השאלה שעניינה מתימטיקאים כמו טיילור ומקלורן היתה שבהינתן פונקציה המוגדרת בקטע (r x),,r x + האם קיים טור חזקות מתאים שסכומו הוא f(x) לכל x בקטע זה? הגדרה 5.2: תהי f(x) פונקציה מוגדרת סביב נקודה x. כלומר קיים <,r כך שהפונקציה f(x) מוגדרת בקטע r).(x r, x + נאמר כי f(x) ניתנת לפיתוח לטור חזקות בקטע (r x),,r x + אם קיים טור חזקות a n (x x ) n כך ש n= x (x r, x + r) : f(x) = a n (x x ) n n= נשאלת השאלה באילו תנאים ניתן לפתח פונקציה לטור חזקות? נתחיל עם תנאים הכרחיים שעל פונקציה לקיים בכדי שיהיה לה טור חזקות.

206 26 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות משפט 5.: (תנאי הכרחי לקיום טור חזקות) אם פונקציה f(x) ניתנת לפיתוח לטור חזקות סביב נקודה x, אז א. תחום ההגדרה של f(x) חייב להיות סימטרי מסביב x (פרט לקצות הקטע) ב. לפונקציה f(x) יש נגזרת רציפה מכל סדר בכל נקודה פנימית של תחום ההגדרה התנאים הנ ל הכרחיים, אך לא מספיקים! הדוגמא הנגדית הידועה ביותר היא הפונקציה f(x) = e x 2, x, x = f(x) גזירה ברציפות על כל הישר הממשי, ומקיימת = () (n) f לכל סדר גזירה n, ולכן אם יש לה טור חזקות, על פי משפט היחידות הוא חייב להיות טור חזקות שכל מקדמיו אפס, וזה כמובן אבסורד. בכדי לענות על שאלת הקיום נחזור לנוסחת טיילור הידועה לנו מלימודי חדו א : משפט 5.: (נוסחת טיילור) תהי f(x) פונקציה גזירה + n פעמים בסביבת הנקודה,x = x ותהי x נקודה כלשהיא בסביבה זו. אזי קיימת נקודה c בין x ו x כך ש f(x) = f(x )+ f (x )! (x x )+ f (x ) 2! (x x ) f (n) (x ) n! (x x ) n +R n (x) כאשר נקראת נוסחת השארית של לגרנז. R n (x) = f (n+) (c) (n + )! (x x ) n+ לאחר שנזכרנו והבנו מחדש את נוסחת טיילור מחדו א, נוכל לנסח תנאים הכרחיים ומספיקים לקיום טור חזקות.

207 27 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות משפט 5.2: (קיום טור חזקות) תהי f(x) פונקציה גזירה ברציפות אינסוף פעמים בסביבה r) (x r, x + של הנקודה x. לכל n טבעי, תהי (x) R n נוסחת השארית של לגרנז, המתאימה אזי f(x) ניתנת לפיתוח לטור חזקות x. לנוסחת טיילור של f(x) סביב בסביבת x אם ורק אם lim R n n(x) = עבור כל x בסביבה r).(x r, x + אריתמטיקה של טורי חזקות 5..5 הזזת אינדקס סכימה v הזזת אינדקס הסכימה n מתבצעת על פי הכלל הפשוט הבא: בהחלפת אינדקס n באינדקס חדש n + k יש להחסיר k מגבולות הסכימה v למשל: הטור במקרה זה:. 95 n=2 שקול לטור n+5 a n+5 x n=7 a n x n אינדקס הסכימה הוא n 5 n=22 גבולות הסכימה הם: 7, ההזזה היא: = 5 k שקול לטור n 5 a n 5 x הטור a n x n n=7 ההזזה כאן היא: 5 = k v בדרך כלל גבול הסכימה העליון הוא ולפעולת ההזזה אין עליו השפעה. a n+5 x n+5 לכן למשל הטור a n x n שקול לטור n=2 n=7 n= v ברוב המקרים אנו מעוניינים שבטור חזקות סטנדרטי תהייה התאמה בין האינדקס n והחזקה x). x ) n במקרים אחרים אנו מעוניינים ליישר חזקות בין שני טורים שונים. v למשל אם,f(x) = a n (x x ) n אז בפעולת גזירה מאבדים את האיבר

208 28 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות הראשון, ולכן יש לבצע הזזת אינדקס = k f (x) = na n (x x ) n = (n + )a n+ (x x ) n n= v בנגזרת השנייה מאבדים את שני האיברים הראשונים של הטור, ולכן יש לבצע הזזה = 2 k f (x) = (n )na n (x x ) n 2 = (n + )(n + 2)a n+2 (x x ) n n=2 n= n= הכפלת טור חזקות בביטוי x k v על סמך משפטים מתאימים מתורת הטורים האינסופיים, הפעולה הבאה היא חוקית בתחום ההתכנסות של הטור x k n= a n (x x ) n = a n (x x ) n+k תוצאת לוואי של הכפלה כזו היא שחזקת האיבר n גדלה, ולכן מומלץ ליישר את הטור על ידי הזזת אינדקס. n= v דוגמא :5.4 x 3 n= (n + 8)a n x n = (n + 8)a n x n+3 = (n + 5)a n x n n= n=3 התבצעה הזזת אינדקס 3 = k. חיבור וחיסור של טורי חזקות v על סמך משפטים מתאימים מתורת הטורים האינסופיים, הפעולות הבאות חוקיות בתחום ההתכנסות המשותף של הטורים המעורבים n= n= a n (x x ) n + b n (x x ) n = (a n + b n )(x x ) n+k n= n= a n (x x ) n b n (x x ) n = (a n b n )(x x ) n+k n= n=

209 29 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות v דוגמא טיפוסית לשילוב בין כל הפעולות הנ ל שנפגוש בתרגילים שונים של פיתרון משוואות דיפרנציאלית היא x 2 n=3 (n 2)x n+ + n 2 x n+ = n=3 = n=3 n=2 (n 2)x n+3 + n 2 x n+ n=2 (n 2)x n+3 + (n + 2) 2 x n+3 n= = 4x 3 + 9x 4 + 6x 5 + [(n + 2) 2 + (n 2)]x n+3 n=3 = 4x 3 + 9x 4 + 6x 5 + [(n ) 2 + (n 5)]x n n=6 = 4x 3 + 9x 4 + 6x 5 + (n 2 n 4)x n n=6 פיתרון משוואות דיפרנציאליות על ידי טורי חזקות 5.2 y = f(x, y) y(x ) = y באופן כללי, כשנתונה בעיית התחלה הבעייה כמובן היא לגלות את. a n (x x ) n n= y = 2xy y() = y(x) = a n x n n= נחפש פיתרון מהצורה המקדמים a n לכל n טבעי. נתחיל בדוגמא פשוטה צורת הטור שלנו היא

210 2 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות y(x) = y() + y ()! על פי משפט מהסעיף הקודם, הפיתרון הפרטי הוא x + y () 2! x 2 + y () x 3 + 3! ברור כי = y().a = ננסה לחשב את a a = y () = 2 y() = לשם כך נגזור את המשוואה לפי x a. 2 באותו אופן נוכל לחשב גם את ונקבל y = 2y + 2xy y () = 2y() + 2 y () = 2 ולכן a 2 = y () 2! = ולכן ברור שנוכל להמשיך כך ולחשב את כל הנגזרות () (n) y, אבל לא נראה שמציאת נוסחה כללית אפשרית לגילוי בשיטה זו. ננסה להציב את הטור שלנו במשוואה y = n= a n x n = n= na n x n = (n + )a n+ x n n= 2xy = 2x a n x n = 2a n x n+ = 2a n x n n= n= n= השוויון y = 2xy גורר שוויון טורים, ולכן שוויון מקדמים (n + )a n+ = 2a n מדובר בנוסחת נסיגה (רקורסיה) של סדרת המקדמים a n+2 = 2a n n + 2

211 2 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות a =, a = מצאנו כבר כי ולכן a = a = a 2 = 2a 2 = 2 2 a 3 = 2a 3 = a 4 = 2a 2 4 = a 5 = 2a 3 5 = a 6 = 2a 4 6 = a 7 = 2a 5 7 = a 8 = 2a 6 8 = לאחר רישום של כעשרה איברים מתחילה להתבהר נוסחת המקדם הכללי של הטור. עבור n, = 2k נוסחת המקדם היא a n = 2 k k = 2k 2 k k! = k! = n 2! ועבור + 2k n = נוסחת המקדם היא a 2k+ = a n = k!, n = 2k, n = 2k + לכן נוכל לרשום טור החזקות שלנו יראה כך y(x) = + x2! + x4 2! + x6 3! + x8 4! +

212 22 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות במקרה הספציפי, המשוואה y = 2xy היא משוואה פרידה קלה שפיתרונה הכללי הוא y(x) = Ce x2 הפיתרון הפרטי עבור תנאי ההתחלה = ()y הוא.y(x) = e x2 טור מקלורן של e x הוא e x = + x! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + אם נחליף את x ב x 2 בטור האחרון, נקבל את התוצאה שקיבלנו קודם, ולכן אימתנו את התוצאה עבור המקרה הזה. באופן כללי יהיה עלינו להסתמך על משפטים מהסוג הבא בכדי לוודא שקיים פיתרון בצורת טור חזקות. המשפט מנוסח עבור משוואה דיפרנציאלית מסדר 2, אך גירסאות דומות קיימות עבור כל סדר. משפט 5.3: נתונה בעיית ההתחלה y + p(x)y + q(x)y = y(x ) = α y (x ) = β אם הפונקציות,p(x) q(x) ניתנות לפיתוח לטור חזקות סביב הנקודה x בקטע פתוח (R+ x),,r x אז קיים פיתרון אחד ויחיד לבעייה שגם הוא ניתן לפיתוח לטור חזקות מעל אותו קטע. דוגמא 5.5: משוואת Airy פתור את בעיית ההתחלה y xy = y() = y () =

213 23 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות פיתרון: במקרה הנוכחי, =,p(x),q(x) = x וברור ששתי פונקציות אלה הם כבר בצורה של טור חזקות (סופי). נחפש פיתרון מהצורה y(x) = a n x n n= y = (n + 2)(n + )a n+2 x n xy = n= n= a n x n+ = a n x n n= נחשב את חלקי המשוואה y xy = 2a 2 + [(n + 2)(n + )a n+2 a n ]x n = a = a = a 2 = a n+2 = n= a n, n =, 2, 3,... (n + 2)(n + ) לכן קיבלנו נוסחת נסיגה a = נוכל לרשום אותה בצורה יותר נוחה a = a 2 = a n+3 = a n, n =,, 2,... (n + 3)(n + 2) ברור שכל המקדמים מהצורה +3k a 2+3k a, יתאפסו. נשאר לכן לחשב את

214 24 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות המקדמים מהצורה a 3k a = a 3 = a 3 2 = 3 2 a 6 = a = a 9 = a = הפיתרון הפרטי של הבעייה הוא לכן y(x) = + = + x x x k= x 3k (3k ) 3k דוגמא 5.6: פיתרון כללי עבור משוואת Airy בדוגמא הקודמת פתרנו בעיית התחלה, אך לפעמים אנו נדרשים למצוא פיתרון כללי למשוואה y xy = a = <free coefficient> a = <free coefficient> a 2 = a n+3 = על פי הבדיקה שביצענו בדוגמא הקודמת a n, n =,, 2,... (n + 3)(n + 2) נחלק את סדרת המקדמים לתתי הסדרות a. 2+3k a, +3k a, 3k את הצורה

215 25 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות הכללית של סדרת המקדמים a 3k כבר מצאנו בדוגמא הקודמת a = <free coefficient> a 3 = a 2 3 a 6 = a = a a 9 = a = a a 3k =. a (3k ) 3k באותו אופן נמצא את הנוסחה הכללית של סדרת המקדמים +3k a a = <free coefficient> a 4 = a 3 4 a 7 = a = a a = a 7 9 = a a 3k+ =. a k (3k + ) מאחר ו = 2,a כל.a 3k+2 =,k הפיתרון הכללי של משוואת Airy הוא

216 26 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות אם כן y(x) = x a 3k (3k ) 3k + x a 3k k (3k+) k= k= = a k= x 3k (3k ) 3k + a x 3k k (3k+) k= y (x) = x 3k (3k ) 3k k= נסמן y 2 (x) = x 3k k (3k+) k= לכן הפיתרון הכללי שקיבלנו הוא y(x) = a y (x) + a y 2 (x) y () =, y 2 () = לא קשה לראות כי y () =, y 2 () = ולכן הורונסקיאן של y 2 y, אינו מתאפס W [y, y 2 ]() = = לכן קבוצת הפיתרונות {(x) y},(x) y 2 היא קבוצה יסודית של פיתרונות ולכן הפיתרון שקיבלנו הוא אכן הפיתרון הכללי של משוואת.Airy תרגיל 5.2: פתור את בעיית ההתחלה y xy = y() = 3 y () = 2

217 27 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות פיתרון: כמובן אנו מעוניינים בפיתרון בצורת טור חזקות y(x) = a n x n n= a = y() = 3 ברור לנו כי a = y () = 2 y(x) = a k= ולכן על סמך התוצאה הקודמת, הפיתרון הפרטי הוא x 3k (3k ) 3k + a x 3k k (3k+) k= = 3x 3k (3k ) 3k 2x 3k k (3k+) k= k= הערה: אם ממש רוצים, אז אפשר להציג את המקדמים על ידי נוסחאות יותר מקצועיות כמו a 3k = a (3k)! k i= (3i + ) a 3k+ = a (3k + )! k i= (3i + 2) תרגיל :5.3 משוואת Airy מעל נקודה = :x מצא קירוב פולינומיאלי ממעלה 7 עבור בעיית ההתחלה y xy = y() = y () = פיתרון: הפעם יש למצוא שמונה איברים ראשונים של טור חזקות סביב הנקודה = x y(x) = a n (x ) n n=

218 28 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות נחשב נגזרת שנייה y (x) = (n )na n (x ) n 2 = (n + )(n + 2)a n+2 (x ) n n=2 n= בכדי לחשב את המכפלה xy יש לבצע תימרון קטן xy = [ + (x )]y y xy = = n= = n= = n= a n (x ) n + (x ) a n (x ) n n= a n (x ) n + a n (x ) n+ n= a n (x ) n + a n (x ) n n= = a + (a n + a n )(x ) n n= נציב את שתי התוצאות האחרונות במשוואת איירי ונקבל ( ) (n + )(n + 2)a n+2 (x ) n a + (a n + a n )(x ) n n= n= = (2a 2 a ) + [(n + )(n + 2)a n+2 a n a n ] (x ) n n= = a = a = a 2 = a n+2 = a n + a n, n =, 2,... (n + )(n + 2) קיבלנו נוסחת נסיגה

219 29 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות שני השוויונים הראשונים נובעים מתנאי ההתחלה a = y() = a = y () = השוויון השלישי נובע מכך ש =.2a 2 a נוכל לרשום את נוסחת הנסיגה באופן נוח יותר a = a = a 2 = a n+3 = a n + a n+, n =,, 2,... (n + 2)(n + 3) שלא כמו בתרגיל קודם, לא ניתן להפריד המקדמים על פי תתי סדרות a, 3k +3k a, 2+3k a, עקב תלות בשני איברים קודמים שאינם מאותו סוג. a = a = a 2 = a 3 = a + a 2 3 a 4 = a + a a 5 = a 2 + a a 6 = a 3 + a a 7 = a 4 + a = 2 3 = 3 4 = = 5! = = = 5 6 5! ! 6 7 = 7!

220 22 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות הקירוב הפולינומיאלי ממעלה 7 לפיתרון הוא לכן y(x) = x + x3 6 + x4 2 + x5 2 + x6 2 + x7 54 y 2xy + λy = תרגיל 5.4: משוואת Hermite משוואה מהצורה כאשר... 4, =, 2,,λ נקראת משוואת הרמיט.(Hermite) y 2xy + 6y = y() = y () = פתור את בעיית ההתחלה פיתרון: נחפש פיתרון בצורת טור חזקות y(x) = y (x) = y (x) = n= n= n=2 a n x n na n x n (n )na n x n 2 = (n + )(n + 2)a n+2 x n n= 2xy = n= 2na n x n לכן y 2xy + 6y = (n + )(n + 2)a n+2 x n + 2na n x n + 6a n x n n= n= n= = 2a 2 + 6a + [(n + )(n + 2)a n+2 2na n + 6a n ]x n n= =

221 22 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות נקבל נוסחת נסיגה a = a = a 2 = a n+2 = (2n 6)a n, n =, 2, 3,... (n + )(n + 2) שני השוויונים הראשונים נובעים מתנאי ההתחלה a = y() = a = y () = השוויון השלישי נובע מכך ש =.2a 2 + 6a ננסה לבדוק כיצד נראים המקדמים הראשונים של הטור a = a = a 2 = a 3 = (2 6)a 2 3 a 4 = (2 2 6)a a 5 = (2 3 6)a = 2 3 = = ברור שהחל מ 4 = n כל המקדמים מתאפסים, ולכן למעשה קיבלנו טור חזקות סופי (מה שבדרך כלל אנחנו מכנים פולינום) y(x) = x 2x3 3

222 222 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות בדיקה פשוטה מוכיחה כי זהו אכן פיתרון של בעיית ההתחלה שלנו. תרגיל 5.5: משוואת Hermite לא הומוגנית פתור את בעיית ההתחלה הבאה פתור את בעיית ההתחלה y 2xy + 6y = 2 6x y() = 2 y () = פיתרון: השיטה של טורי חזקות ישימה גם עבור משוואות לא הומוגניות. y(x) = a n x n n= נשתמש בתוצאות שקיבלנו בתרגיל הקודם y 2xy + 6y = (n + )(n + 2)a n+2 x n + 2na n x n + 6a n x n n= n= n= = 2a 2 + 6a + [(n + )(n + 2)a n+2 2na n + 6a n ]x n n= = 2 6x a = y() = 2 על פי תנאי ההתחלה a = y () = על ידי השוואת מקדמים נקבל גם 2a 2 + 6a = 2 6a 3 + 4a = 6

223 223 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות לכן נוסחת הנסיגה שלנו היא a = 2 a = a 2 = a 3 = 2 a n+2 = (2n 6)a n, n =, 2, 3,... (n + )(n + 2) כמו בתרגיל הקודם, קל לבדוק שכל שאר המקדמים של הטור מתאפסים ולכן קיבלנו שוב פיתרון שהוא למעשה פולינום y(x) = 2 x 2x 3 קל לבדוק שזה הפיתרון לבעיית ההתחלה שלנו. במשפט הבא. נסיים את הפרק הנוכחי משפט 5.4: תהי x נקודה רגולרית של המשוואה הדיפרנציאלית P (x)y + Q(x)y + R(x)y = (x) P (x) P אם Q(x), R(x), הן פונקציות אנליטיות בנקודה x אז ניתן כלומר ).P (x להציג את הפיתרון הכללי של המשוואה על ידי y(x) = a n (x x ) n = a y (x) + a y 2 (x) n= כאשר a,a קבועים שרירותיים ו (x) y 2 (x),y שני פיתרונות טוריים בלתי תלוויים של המשוואה. רדיוס ההתכנסות של כל הפיתרונות הוא הקטן מבין רדיוסי ההתכנסות של טורי החזקות של. R(x) P (x), Q(x) P (x) הערה: פונקציה f(x) מעל שדה המרוכבים C נקראת אנליטית בנקודה x אם יש לה פיתוח לטור חזקות בסביבת x עם רדיוס התכנסות חיובי.

224 224 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות תרגילים. מצא פיתרון בצורת טור חזקות עבור כל אחת מהבעיות הבאות א. = y + x 2 )y + x 3 ( y 2x 2 y + 4xy = x 2 + 2x + 2 y() = 3 y () = 2 ב. ( x 2 )y 2xy + 2y = y() = y () = ג. ד. + 2 x (x 2 + 4)y + xy = y + xy + (2x )y = y( ) = 2 y ( ) = 2 ה. y 2xy + 8y = y() = y () = ו. ( x 2 )y + 2y = y() = y () = ז. y (x )y y = y() = y () = ח..2 נתונה המשוואה הדיפרנציאלית + x y xy + 5y =

225 225 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות א. מצא פיתרון כללי בצורת טור חזקות. רשום את כל איברי הטור עד החזקה השישית ) 6 x). ב. מצא פיתרון פרטי מלא המקיים =,y().y () = 3 ג. מהו סכום המקדמים a 3 + a 5 כאשר =,y()?y () = 3 3. יהי y(x) הפיתרון של בעיית ההתחלה y 2xy + y = y() = y () = 3 חשב את ).y( 2 4. יהי y(x) הפיתרון של בעיית ההתחלה y xy y = y() = y () = = y(x) עד החזקה השביעית n= חשב את פיתרון טור החזקות a n (x ) n.(x ) 7.5 יהי y(x) = a n x n הפיתרון של בעיית ההתחלה n= y + x 4 y = y() = y () = בדוק את נכונות או אי נכונות הטענות הבאות א. = a ב. a n = ( )n n!6 n

226 226 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות ג. רדיוס ההתכנסות של הטור הוא = R ד. = 5 a = a 2 = a 3 = a 4 = a 3 ה. = 6 a 2 ו. = 7 a ז. y(x) היא פונקציה אי זוגית 6. יהי a n x n טור חזקות שהוא פיתרון לבעיית ההתחלה n= y 2(x 2 + )y 6xy = y() = y () = מצא את נוסחת הנסיגה של הטור, ומצא את ארבעת האיברים הראשונים של הטור שאינם אפס. 7. יהי a n x n טור חזקות שהוא פיתרון לבעיית ההתחלה n= ( x 3 )y + 5xy = y() = y () = חשב את המקדמים.a 5,a 4,a 3.8 יהי a n (x ) n טור חזקות שהוא פיתרון לבעיית ההתחלה n= (x 2 2x)y 2y = y() = y () = מצא את נוסחת הנסיגה של המקדם 2+n a.

227 227 פרק 5: פיתרון משוואות באמצעות טורי חזקות 9. יהי a n x n טור חזקות שהוא פיתרון לבעיית ההתחלה n= y 2xy + my = y() = y () = מצא עבור אילו ערכים של m הפיתרון של המשוואה יוצא פולינום ממעלה סופית, ומהי מעלת הפולינום המתאים לכל ערך m כזה?. בנה פיתרון בצורת טור חזקות סביב הנקודה 2 = x עבור המשוואה = xy y. + רשום את הפיתרונות עבור תנאי ההתחלה הבאים עד החזקה הרביעית א. =,y( 2) y ( 2) = ב. =,y( 2) y ( 2) =. נתון כי הפונקציה sin(3x) y(x) = x 2 היא פיתרון של המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית y (n) + a n y (n ) + + a y + a y = כאשר כל המקדמים a i הם קבועים ממשיים. א. מצא מהו הערך המינימלי של n? ב. מצא בסיס למרחב הפיתרונות של המשוואה עבור הערך של n שמצאת בסעיף הקודם ג. מצא את כל המקדמים של המשוואה

228 228 פרק 6 התמרת לפלס איור Pierre Simon, marquis de Laplace :6. התמרת לפלס היא כלי מתימטי מתקדם ויצירתי שמסייע לפיתרון בעיות מתימטיות שונות, ובין השאר מסייע בפיתרון משוואות דיפרנציאליות מתאימות. בחלק הזה של הקורס נלמד על התכונות הבסיסיות של התמרת לפלס ונשתמש בה עבור פיתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות מסוגים שונים. המשפטים והדוגמאות בסיכום זה מבוססים על שני המקורות הבאים:. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Boyce and Diprima 2. Elementary Differential Equations with Linear Algebra, Ross L. Finney and Donald R. Ostberg מהי התמרת לפלס? 6. התמרת לפלס היא מקרה פרטי של מושג רחב יותר של התמרות אינטגרליות הנלמדות בקורסים מתקדמים בנושא אנליזה פונקציונאלית. התמרה מוכרת אחרת היא למשל התמרת פורייה (Fourier) הנלמדת בקורס מיוחד על טורי פורייה. התמרה אינטגרלית היא למעשה מתודה שבאמצעותה ניתן להמיר פונקציה ממשית f(t) (המקיימת תנאים נדרשים) לפונקציה ממשית אחרת (s) F.

229 229 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace הצורה הכללית של התמרה אינטגרלית היא F (s) = ˆ β α K(s, t)f(t) dt הפונקציה (t K(s, נקראת הגרעין של ההתמרה, ועל גבולות האינטגרציה α, β, להיות מוגדרים בהתאם. בהרבה מקרים, אחד או שני הגבולות אינסופיים ( = α ו/או = β). הפונקציה החדשה (x) F נקראת ההתמרה של.f(x) הרעיון שביסוד שיטת ההתמרה הוא (משוואה f(t). הפעל את ההתמרה על הבעייה הנתונה בנעלם דיפרנציאלית, אינטגרלית, או בעייה מסוג אחר) 2. קבל משוואה חדשה בפונקציה (s) F שהיא קלה יותר 3. פתור את הבעייה החדשה עבור הנעלם (s) F 4. חזור לפונקציה המקורית f(t) על ידי הפעלת ההתמרה ההפוכה על.F (s) דוגמא 6.: נראה למשל איך נראה פיתרון טיפוסי של בעיית התחלה באמצעות התמרת לפלס (את הנוסחאות הדרושות נפתח בהמשך) y y = y() = y () = נפעיל את התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה [y ] [y] = []

230 23 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace בהמשך נוכיח את שלושת הנוסחאות הבאות [y ] = s 2 [y] sy() y () [] = [ e at] = s s a ולכן [y ] [y] = s 2 [y] sy() sy ) [y] = s 2 [y] [y] = (s 2 ) [y] = s [y(t)] = y = [ s(s ) = s s s ] [ ] s = e t קיבלנו ולכן התהליך הזה יובהר היטב בהמשך כשנפתור משוואות דיפרנציאליות באמצעות התמרה לפלס. בינתיים יש להתאזר בסבלנות. נתחיל בתאור התכונות הנדרשות מפונקציה בכדי שתהיה לה התמרת לפלס. התכונה הראשונה נקראת רציפות למקוטעין שמבטיחה אינטגרביליות. הגדרה :6. פונקציה f : [a, b] R נקראת רציפה למקוטעין בקטע b] [a, אם

231 23 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace א. f(t) רציפה בקטע [b,a] מלבד אולי מספר סופי של נקודות: t, t 2,..., t n ב. בכל נקודת אי רציפות, הגבולות מימין ומשמאל קיימים וסופיים. נקודות אי הרציפות t n,...,t 2,t נקראות גם נקודות קפיצה איור 6.2: פונקציה רציפה למקוטעין מעל קטע סופי סגור הגדרה :6.2 פונקציה f : [a, ] R נקראת רציפה למקוטעין בקרן ] [a, אם f(t) רציפה למקוטעין בכל קטע סגור b],[a, כאשר < b.a < הגדרה 6.3: (התמרת לפלס (Laplace Transform תהי f : [, ] R פונקציה רציפה למקוטעין בקרן ].[, התמרת לפלס שתסומן על ידי (s) F או (s) [f] מוגדרת על ידי האינטגרל המוכלל [f] (s) = F (s) = ˆ e st f(t) dt הגרעין של התמרת לפלס הוא K(s, t) = e st

232 232 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace ההגדרה אינה מבטיחה את קיום הפונקציה (s) F. מאחר ומדובר באינטגרל מוכלל יש לוודא כי הפונקציה f(t) מקיימת תנאים מספיקים בכדי להבטיח שהוא מתכנס. הבנת התמרת לפלס מצריכה אם כן חזרה על נושא האינטגרלים המוכללים. פרק של הספר חדו א מטפל בנושא בצורה שתספיק לצרכינו. נזכיר כמה מושגים ומשפטים שאנו זקוקים להם. הגדרה 6.4: אם קיים הגבול f(t) dt I = lim אזי I נקרא האינטגרל b ˆ b a המוכלל של f(t) בקטע (,a] ונסמן אותו ע י I = ˆ a f(t)dt ונאמר כי האינטגרל המוכלל של f(t) בקטע (,a] קיים או מתכנס. אחרת נאמר כי האינטגרל אינו קיים או מתבדר. באופן שקול נוכל לרשום ˆ a f(t)dt = lim b ˆ b a f(t)dt כל הפונקציות הנדונות בפרק זה יהיו רציפות למקוטעין, ולכן אינטגרביליות בכל קטע סגור בו הן מוגדרות. אינטגרביליות על חצי ישר (,a] תידרוש תכונה נוספת שנתאר בהמשך. הגדרה 6.5: תהי f(t) פונקציה אינטגרבילית בקטע [b,a] לכל b, > a כאשר a היא נקודה קבועה. נאמר כי f(t) אינטגרבילית בהחלט בקטע (,a] ˆ אם ˆ האינטגרל המוכלל f(t) dt מתכנס. נאמר גם כי האינטגרל f(t)dt מתכנס בהחלט. a a משפט: (חדו א, פרק, משפט 2) אם f(t) אינטגרבילית בהחלט בקטע (,a] אזי היא אינטגרבילית בקטע זה.

233 233 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace משפט: (מבחן ההשוואה, חדו א, פרק, משפט 4) יהיו f(t) ו ( g(t שתי פונקציות לא שליליות בקטע (,a], ואינטגרביליות בקטע b] [a, עבור כל.b > a נניח כי קיים מספר ממשי b כך שלכל t b מתקיים ˆ a ˆ ˆ a ˆ g(t).f(t) אזי א. אם האינטגרל g(t)dt ב. אם האינטגרל f(t)dt מתכנס אז גם האינטגרל f(t)dt מתבדר אז גם האינטגרל g(t)dt a a מתכנס. מתבדר. משפט 6.: תהי f(t) פונקציה רציפה למקוטעין בקרן (,a]. אם קיימת c כך ש g(t) f(t) לכל t, c ואם ˆקיים האינטגרל המוכלל ˆ נקודה. f(t)dt אזי קיים גם האינטגרל המוכלל g(t)dt ˆ c a אם לעומת זאת g(t) f(t) לכל t c ואם g(t)dt c ˆ a f(t)dt מתבדר. מתבדר, אז גם הוכחה: ההוכחה נובעת מייד ממבחן ההשוואה עבור אינטגרלים מוכללים (חדו א, פרק, משפט 4) וממשפט האינטגרביליות בהחלט (חדו א, פרק, משפט.(2 הגדרה :6.6 נאמר שפונקציה f : [, ) R היא מסדר אקספוננציאלי order) (exponential אם קיימים קבועים חיוביים a, c, K, כך שעבור כל. f(t) Ke at מתקיים,t c במילים אחרות, פונקציה f(t) היא מסדר אקספוננציאלי אם היא חסומה בהחלט על ידי פונקציית חזקה g(t) = Ke at בקרן (,c]. תרגיל :6. הוכח כי הפונקציה f(t) = t n e at sin bt מסדר אקספוננציאלי עבור כל מספר טבעי n, ממשי a, וממשי b.

234 234 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace פיתרון: הוכח כי f(t) חסומה אקספוננציאלית על ידי e 2at t n e at sin bt e 2at lim t t n tn e at קל להוכיח באמצעות כלל לופיטל כי e at = מסתבר שרוב הפונקציות שאנו פוגשים בבעיות פרקטיות הן מהסוג הזה. f(t) = e t2 אינה מסדר אקספוננציאלי Ke at lim = t e t2 תרגיל 6.2: הוכח כי הפונקציה הדרכה: הראה כי לכל a, K, המשפט הבא טוען שאם פונקציה היא מסדר אקספוננציאלי אז למעשה יש לה התמרת לפלס. לכן לרוב הפונקציות הפרקטיות יש התמרת לפלס. משפט 6.2: תהי f(t) פונקציה רציפה למקוטעין בקרן (,]. אם f(t) היא מסדר אקספוננציאלי אז התמרת לפלס של f(t) קיימת עבור כל s, > a כאשר a הוא הקבוע שבהגדרה :6 at. f(t) Ke ˆ הוכחה: עלינו להוכיח שעבור כל s, > a האינטגרל המוכלל e st f(t)dt מתכנס. נשתמש במשפט. לכל t c מתקיים מתכנס ˆ c e st f(t) e st Ke at = Ke (a s)t מהנתון s > a נובע כי < s a ולכן האינטגרל e (a s)t f(t)dt (קל לבדוק על ידי ההגדרה). מתכנס. לכן ממשפט נובע כי גם האינטגרל המוכלל ˆ e st f(t)dt = ˆ c e st f(t)dt + ˆ c e st f(t)dt ˆ c e st f(t)dt מהשוויון

235 235 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace נובעת מסקנת המשפט. ממשפט 2 משתמע שאם f(t) חסומה אקספוננציאלית אז לא רק שהתמרת לפלס [f] קיימת, היא גם מוגדרת על חצי ישר (,a). למעשה ניתן לומר יותר מזה. לכל s > a [f] (s) K s a זה נובע מייד מאי השוויון שפגשנו בהוכחת המשפט e st f(t) Ke (a s)t [f] (s) = ˆ ˆ ˆ e st f(t) dt e st f(t) dt Ke (a s)t dt ולכן = K s a מסקנה: אם f(t) פונקציה רציפה למקוטעין בקרן (,] ומסדר אקספוננציאלי, אז lim [f] (s) = s אינן יכולות להיות התמרות לפלס ממסקנה זו נובע כי פונקציות כגון s s+ של פונקציות רציפות למקוטעין מסדר אקספוננציאלי. עובדה זו תהיה משמעותית כשנגיע לנושא של ההתמרה ההפוכה. נחשב את התמרת לפלס של מספר פונקציות יסודיות.

236 236 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace דוגמאות יסודיות 6.2 t,f(t) = [f] = ˆ e st dt = s, s > t,f(t) = e at [f] = ˆ e st e at dt = ˆ e (s a)t dt = s a, s > a t,f(t) = cos at [f] (s) = ˆ e st cos at dt = lim b ˆ b e st cos at dt I(b) = ˆ b e st cos at dt נסמן

237 237 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace I(b) = נחשב את I(b) על ידי שימוש כפול בשיטת האינטגרציה בחלקים ˆ b e st cos at dt b = a e st sin at + s a ˆ b e st sin at dt = a e sb sin ab + s a a e st cos at s a = a e sb sin ab s a 2e sb cos ab + s a 2 s2 b ˆ b ˆ b a 2 = a e sb sin ab s cos ab + s a 2e sb a s2 2 a 2I(b) a 2 + s 2 e st cos at dt e st cos at dt קיבלנו כי ולכן a 2 I(b) = a e sb sin ab s a 2e sb cos ab + s a 2 I(b) = ae sb sin ab a 2 + s 2 se sb cos ab a 2 + s 2 + s a 2 + s 2 שני האיברים הראשונים של אגף ימין שואפים לאפס כאשר b שואף לאינסוף עבור כל >,s ולכן לכל >,s [f] (s) = lim b I(b) = [cos at] = s a 2 + s 2 נוכל לסכם את התוצאה על ידי הנוסחה הבאה s a 2 + s 2 (s > ) באופן דומה נוכיח את הנוסחה

238 238 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace [sin at] = a a 2 + s 2 (s > ) להלן רשימה חלקית מאוד של נוסחאות שנרחיב בהמשך [] = s s > [ e at] = s a s > a [sin at] = [cos at] = a s 2 + a 2 s > s s 2 + a 2 s > [t n ] = n! s n+ s > התמרת לפלס הפוכה 6.3 (Inverse Laplace Transform) המשפט הבא יטען כי התמרת לפלס היא אופרטור ליניארי חד חד ערכי (במובן מסוים), ולכן יש לה התמרה הפוכה. משפט :6.3 (Lerch) אם,f(t),g(t) פונקציות רציפות למקוטעין ומסדר אקספוננציאלי בקרן (,], ואם [f] = [g] אזי g(t) f(t) = בכל נקודת רציפות < t.

239 239 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace משפט לרך (Lerch) טוען למעשה כי האופרטור הליניארי הוא חד חד ערכי במובן שההבדל בין שתי פונקציות המקור עשוי להיות רק בנקודות אי הרציפות (ולכן זניח). לכן ממשפט לרך נובע כי התמרת לפלס הפיכה, והאופרטור ההפוך נקרא התמרת לפלס הפוכה והוא מסומן על ידי. למשל נוכל לרשום את הנוסחאות הבאות [ [ [ [ s s a a s 2 + a 2 s s 2 + a 2 n! ] ] ] ] s n+ = = e at = sin at = cos at = t n פיתרון משוואות דיפרנציאליות באמצעות התמרת לפלס 6.4 המשפט הבא מספק את הקשר שבין התמרת לפלס למשוואות דיפרנציאליות. אבל קודם נפתור תרגיל שצריך עבור המשפט. תרגיל 6.3: הוכח שאם f(t) פונקציה מסדר אקספוננציאלי, אזי קיים קבוע, f(t) Ke at lim t e st f(t) = s > a כך שלכל a הוכחה: על פי ההגדרה, קיימים קבועים c, a, K, כך ש לכל.t c לכן e st f(t) Ke (a s)t. lim המסקנה נובעת מכלל t אם s > a אזי < s) (a ולכן = (a s)t Ke הסנדביץ.

240 24 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace משפט 6.4: תהי f(t) פונקציה רציפה בקרן (,), בעלת נגזרת רציפה למקוטעין ומסדר אקספוננציאלי בקרן (,]. אזי שתי התמרות לפלס [f] וגם ] f] קיימות, ובנוסף מתקיים השוויון [f ] = s [f] f( + ) באופן כללי: אם,f(t) f (n ) (t),...,f (t),f (t) רציפות, והפונקציה (t) f (n) רציפה למקוטעין ומסדר אקספוננציאלי בקטע (,], אזי [f ] = s [f] f( + ) [f ] = s 2 [f] sf( + ) f ()... [ f (n)] = s n [f] s n f( + ) s n 2 f ( + ) f (n ) ( + ) הוכחה: אם (t) f מסדר אקספוננציאלי אז קיימים קבועים חיוביים a K, כך ש Ke au f (u) Ke au על ידי אינטגרציה פשוטה של כל האגפים ניתן לקבל כי גם f(t) מסדר אקספוננציאלי K ˆ t e au du ˆ t f (u)du K ˆ t e au du K a eau t f(t) f() K a eau t נקבל ההמשך ברור.

241 24 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace להוכחת השוויון הראשון נבצע אינטגרציה בחלקים [f ] = ˆ = e st f(t) e st f (t)dt +s ˆ = s [f] + e st f(t) e st f(t)dt החישוב של הביטוי האחרון צריך להתבצע באמצעות גבולות. נשתמש בתוצאה של התרגיל האחרון e st f(t) = lim t e st f(t) lim t + e st f(t) = lim t + e st f(t) = f( + ) קיבלנו אם כן כי [f ] = s [f] f( + ) את שאר השוויונים ניתן לקבל על ידי שימוש חוזר בנוסחה האחרונה. למשל [f ] = s [f ] f ( + ) = s [ s [f] f( + ) ] f ( + ) = s 2 [f] sf( + ) f ( + ) הערה: אם,f(t) f (t),f (t) וכולי, רציפות בנקודה = t אז הנוסחאות

242 242 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace יראו קצת יותר פשוטות [f ] = s [f] f() [f ] = s 2 [f] sf() f () [f ] = s 3 [f] s 2 f() sf () f () המשמעות הפרקטית של המשפט האחרון היא שהתמרת לפלס מאפשרת לנו להמיר משוואה דיפרנציאלית למשוואה אלגברית שבה לא מעורבת שום נגזרת של הפונקציה, ולכן פשוטה יותר לפיתרון. דוגמא 6.2: נפתור את משוואה דיפרנציאלית עם תנאי התחלה באמצעות התמרת לפלס y y = y() = y () = נפעיל את התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה [y ] [y] = [] [] = s ולכן ידוע לנו כי [y ] [y] = s על פי המשפט האחרון [y ] = s 2 [y] sy() y () = s 2 [y] s 2 [y] [y] = s ולכן

243 243 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace ולכן [y] = s(s ) ניתן לרשום זאת גם כך (שיטת פירוק שברים חלקיים) [y] = s s y = [ s ] [ ] s = e t ולכן השוויון האחרון מסתמך על כך שהתמרת לפלס ההפוכה היא אופרטור ליניארי. זה נובע מייד מכך שהתמרת לפלס היא אופרטור ליניארי חד חד ערכי לאור זאת, נותר לנו להעשיר את טבלת התמרות לפלס באופן כזה שתאפשר לנו לפתור כמה שיותר משוואות. למשפט 4 יש משפט מקביל עבור אינטגרל של פונקציה (שבין השאר שימושי עבור פיתרון משוואות אינטגרליות). תכונות נוספות 6.5 משפט 6.5: תהי f(t) פונקציה רציפה למקוטעין מסדר אקספוננציאלי בקרן (,]. אזי גם הפונקציה f(u)du השוויון = (t) F מסדר אקספוננציאלי ומתקיים ˆ t [F (t)] = [f] s הוכחה: על פי הנתון, קיימים קבועים חיוביים c, a, K, כך שלכל u c f(u) Ke au

244 244 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace ˆ t F (t) = f(u) K ˆ t ˆ t e au = K a eau t < K a eat ˆ t f(u)du f(u) du < K a eat לכן לכן מכאן ש ( t ) F מסדר אקספוננציאלי. ברור כי (t) F רציפה למקוטעין, ולכן יש לה התמרת לפלס: ˆ [F ] = F (t)e st dt = = = ˆ F (t)e st s F (t)e st s F (t)e st s e st F (t)dt נשתמש בשיטת האינטגרציה בחלקים + + ˆ ˆ + s ˆ F (t) e st s dt f(t) e st s dt f(t)e st dt [F ] = ˆ e st F (t)dt F (t)e st = a lim s F (t)e sa = a lim s a + s + F () s ˆ e st dt + [f] s לכן = [f] s a, lim כי F חסומה בתרגיל קודם ראינו כי עבור s מספיק גדול = sa F (a)e אקספוננציאלית. על פי הגדרת (t) F ברור כי = () F.

245 245 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace ניתן להשתמש במשפט האחרון בשביל לקבל נוסאות חדשות של התמרות לפלס דוגמא 6.3: ידוע ש ˆ t cos ax dx = sin at a לכן על ידי שימוש במשפט נקבל [ a ] sin at = s [cos at] = s ( s s 2 + a 2 ) = s 2 + a 2 קיבלנו לכן הוכחה נוספת לנוסחה [sin at] = a s 2 + a 2, s > a דוגמא 6.4: עכשיו נשתמש במשפט האחרון בכדי לחשב את התמרת לפלס של הפונקציה.f(t) = te t על ידי שימוש שגרתי באינטגרציה בחלקים קל לקבל ˆ t s [ te t ] xe x dx = te t e t + = [ te t e t + ] = [ te t] [ e t] + [] ולכן = [ te t] s + s ( ) [ te t] = s s s קיבלנו

246 246 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace לאחר פישוט נקבל [ te t] = (s ) 2, s > במהלך החישוב הסתמכנו על העובדה שהתמרת לפלס היא אופרטור ליניארי. קל להוכיח כי [af] = a [f] [f + g] = [f] + [g] משפטי הזזה 6.6 בחלק הזה נציג שני משפטים שמתייחסים להתמרת לפלס של פונקציה מוזזת. איור 6.3: הזזת פונקציה ב a יחידות ימינה משפט 6.6: (משפט ההזזה הראשון) אם (s) [f] = F אז c) [e ct f(t)] = F (s

247 247 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace הוכחה: נובע ישירות מההגדרה של התמרת לפלס [e ct f(t)] = = ˆ ˆ e st e ct f(t)dt e (s c)t f(t)dt = [f(t)] (s c) = F (s c) כאמור לכל נוסחה של התמרת לפלס קיימת נוסחה מקבילה עבור התמרת לפלס הפוכה (6.) [F (s c)] = e ct [F (s)] או באופן שקול (6.2) [F (s)] = e ct [F (s + c)] דוגמא 6.5: על פי נוסחה שהוכחנו ידוע כי [cos 3t] = s s [ e 2t cos 3t ] = s 2 (s 2) = s 2 s 2 4s + 3 לכן. [ 2s + 3 s 2 4s + 2 ] דוגמא 6.6: חשב את

248 248 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace פיתרון: 2s + 3 s 2 4s + 2 = 2(s 2) + 7 (s 2) = 2 s 2 (s 2) (s 2) על פי התוצאות הקודמות s 2 (s 2) (s 2) = e 2t cos 4t = e 2t sin 4t [ 2s + 3 s 2 4s + 2 ] = 2e 2t cos 4t e2t sin 4t לכן הגדרה 6.7: פונקציית המדרגה u c מוגדרת על ידי u c (t) =, t c, t > c תחום ההגדרה של u a הוא (,] לפעמים משפחת הפונקציות.(Heavyside) נקראות גם פונקציות הביסייד u c המטרה שלשמה הוגדרו הפונקציות הללו היא בכדי לאפשר הרחבת תחום הגדרה של פונקציה שהוזזה ימינה על כל הקרן (,] באמצעות ביטוי מתימטי פשוט: u c (t) f(t c) כפי שניתן לראות בתרשים הבא שים לב כי הפונקציה המוזזת ימינה מוגדרת כאפס בקטע [c,].

249 249 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace איור 6.4: הזזת פונקציה ב c יחידות ימינה והגדרתה כאפס בקטע [c,] משפט ההזזה השני מאפשר לנו לבטא את התמרת לפלס של ביטוי כגון.f(t) באמצעות התמרת לפלס של u c (t)f(t c) או u c (t)f(t) משפט 6.7: (משפט ההזזה השני) תהי f(t) פונקציה רציפה למקוטעין וחסומה אקספוננציאלית בקטע (,c ] ) >.(c אזי (6.3) [u c (t)f(t c)] = e cs [f(t)] [u c (t)f(t)] = e cs [f(t + c)] הוכחה: מההגדרה נובע [u c (t)f(t c)] = = ˆ ˆ c e st u c (t)f(t c)dt e st f(t c)dt [u c (t)f(t c)] = עכשיו נבצע החלפת משתנה: x = t c ˆ e s(x+c) f(x)dx csˆ = e e sx f(x)dx = e cs [f]

250 25 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace הנוסחה השניה נובעת מייד מהנוסחה הראשונה. נסמן [f] F. = את שתי הנוסחאות האחרונות ניתן לרשום עבור התמרת לפלס הפוכה (6.4) [ e cs F (s) ] = u c (t)f(t c) דוגמא :6.7 אם f(t) = u c (t) sin t אז [f] = e st [sin(t + c)] = e st [sin t cos c + sin c cos t] = e st (cos c [sin t] + sin c [cos t]) = e st (cos c = e st (cos c + s sin c) s 2 + s sin c s s 2 + ) דוגמא 6.8: חשב את התמרת לפלס של הפונקציה המתוארת על ידי הגרף הבא איור 6.5: פונקציית מגלשה פיתרון: לא קשה לבדוק שניתן להציג את הפונקציה f(t) כסכום של שלושת

251 25 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace הפונקציות הבאות f (t) = f 2 (t) = u (t) (t ) f 3 (t) = u 2 (t) (t 2) כפי שניתן לראות בתרשים הבא איור :6.6 פירוק פונקציית מגלשה לשלושה פונקציות (t) f 3 (t), f 2 (t), f לכן מהנוסחאות האחרונות יוצא [f] = [f + f 2 + f 3 ] = [f ] + [f 2 ] + [f 3 ] = [] + [ u (t) (t )] + [u 2 (t) (t 2)] = [] + e s [t] + e 2s [t] = s e s s 2 + e 2s s 2 = s e s + e 2s s 2 e 3t s 2 + 6s + דוגמא 6.9: חשב את e 3t [ s 2 = u 3 (t) + 6s + s 2 + 6s + פיתרון: על פי נוסחה (6.4) ]

252 252 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace על פי נוסחה (6.) (יש להציב 3 = a) [ s 2 + 6s + ] = (s + 3) 2 + = e 3t [ s 2 + ] = e 3t sin t בדומה למשפט ההזזה הראשון, המשפט הבא מאפשר לנו לחשב את התמרת לפלס של הפונקציה f(t) t n אם ידועה לנו התמרת לפלס של.f(t) [t n f(t)] = ( ) n F (n) (s) משפט :6.8 אם (s) [f(t)] = F אז הוכחה: נגזור את שני האגפים בשוויון על פי המשתנה s F (s) = ˆ e st f(t)dt F (s) = = d ds = ˆ ˆ s ˆ e st f(t)dt [ e st f(t) ] dt e st tf(t)dt ונקבל = [tf(t)] החלפת סדר האינטגרציה והגזירה שהתבצעה בשלב השני מסתמכת על כך שהפונקציה f(t) e st גזירה ברציפות על פי המשתנה s! (הפונקציה f(t) לא משתתפת במשחק!). הנוסחה הכללית נובעת מהפעלה חוזרת של הנוסחה עבור.n = הנוסחה המקבילה עבור התמרת לפלס הפוכה היא

253 253 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace (6.5) [ F (n) (s) ] = ( ) n t n [F (s)] דוגמא 6.: חשב את התמרת לפלס של.f(t) = t sin t פיתרון: [t sin t] = d [sin t] ds = d ds = ( 2s (s 2 + ) 2 s 2 + ) דוגמא 6.: חשב את התמרת לפלס של,f(t) = t n כאשר n מספר טבעי. פיתרון: [t n ] = [t n ] = dn dsn [] = ( ) n dn ds n ( ) s = ( ) n ( ) n = n! s n+ [t n ] = n! s n+ n! s n+ קיבלנו הוכחה שניה לנוסחה המוכרת (s 2 + ) 2 דוגמא 6.2: חשב את

254 254 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace (s 2 + ) = d 2 2s ds (s 2 + ) 2 = 2 ( ˆ t s 2 + d ds ( ) s 2 + ) פיתרון: לכן מנוסחה (6.5) נובע כי ( d ds ) [ = t s 2 + s 2 + ] = t sin t (s 2 + ) 2 = 2 = 2 ˆ t ˆ t ( t sin t)dt t sin t dt לכן = 2 t cos t + 2 sin t חלק גדול מהפונקציות שבהן נדרשים לחשב התמרות הן מחזוריות (אותות חשמליים או גלים למיניהם בעיבוד אותות). המשפט הבא מטפל בפונקציות מחזוריות ומפשט את חישוב ההתמרה לקטע סופי (מחזור הפונקציה). משפט 6.9: אם f(t) היא פונקציה מחזורית, רציפה למקוטעין, ומסדר אקספוננציאלי, עם מחזור p, אזי (6.6) [f] = ˆ p e st f(t) e ps

255 255 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace הוכחה: על פי ההגדרה [f] = = ˆ ˆ p e st f(t)dt e st f(t)dt + ˆ 2p p e st f(t)dt + + ˆ (n+)p np e st f(t)dt + ˆ = (n+)p n= np e st f(t)dt עבור כל איבר בטור, נבצע החלפת משתנה x = t np (או (t = x + np ונקבל ˆ (n+)p np e st f(t)dt = ˆ p npsˆ p e s(x+np) f(x + np)dx = e e sx f(x)dx (בשלב האחרון השתמשנו במחזוריות של.(f(t) לכן [f] = ˆ (n+)p n= np e st f(t)dt npsˆ = p e n= = = = (ˆ p e sx f(x)dx (ˆ p e sx f(x)dx ˆ p e st f(t)dt e ps e sx f(x)dx ) ) e nps n= e ps דוגמא 6.3: מצא את התמרת לפלס של הפונקציה המתוארת על ידי הגרף הבא

256 256 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace איור 6.7: פונקציית גל מרובע פיתרון: במקרה זה גודל המחזור הוא = 2 p. על פי משפט 9, [f] = ˆ 2 e st f(t) = e 2s ˆ e st dt e s = e 2s s( e 2s ) = s( + e s ) תרגיל 6.4: חשב את התמרת לפלס של פונקציית גל משולש איור 6.8: פונקציית גל משולש פיתרון משוואות דיפרנציאליות באמצעות התמרת לפלס - הרחבה 6.7 בסעיף הקודם באותו שם נחשפנו לטכניקה הפשוטה של פיתרון בעיות התחלה באמצעות התמרת לפלס. בסעיף הנוכחי נרחיב יותר. דוגמא 6.4: פתור את בעיית ההתחלה y + 4y + 3y = 2t + 3e 2t cos 3t y() = y () =

257 257 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace פיתרון: נפעיל את התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה s 2 [y] + + 4s [y] + 3 [y] = 2 3(s + 2) + s2 (s + 2) [y] = s 2 + 4s s 2 (s 2 + 4s + 3) + 3(s + 2) (s 2 + 4s + 3) 2 לכן עכשיו עלינו למצוא את ההתמרה ההפוכה של כל האיברים שבאגף ימין. s 2 + 4s + 3 = (s + 2) = 3 3 (s + 2) [ s 2 + 4s + 3 ] = 3 e 2t sin 3t האיבר הראשון קל: ולכן הטיפול באיבר השני יותר מורכב. ראשית כל נשתמש בשיטת השברים החלקיים בכדי לפרק אותו לשברים יסודיים (מומלץ לחזור שוב על נושא שברים יסודיים בספר חדו א, סעיף 9.3) 2 s 2 (s 2 + 4s + 3) = A s + B s 2 + Cs + D s 2 + 4s + 3 לאחר אירגון לפולינום נקבל (A + C)s 3 + (4A + B + D)s 2 + (3A + 4B)s + 3B = 2

258 258 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace ולכן A + C = 4A + B + D = 3A + 4B = 3B = 2 פיתרון המערכת הליניארית הוא A = 8 69, B = 2 3, C = 8 69, D = 6 69 לכן 2 s 2 (s 2 +4s+3) = 8 69s + 2 3s 2 + 2(4s+3) 69(s 2 +4s+3) = 8 69 s [ s 2 69 s+2 (s+2) 2 +9 ] [ ] (s+2) 2 +9 עכשיו נוכל להתמש בנוסחאות הרגילות של התמרות לפלס הפוכה ולקבל [ ] 2 s 2 (s 2 +4s+3) = t e 2t cos 3t 57 e 2t sin 3t נעבור עכשיו לאיבר השלישי והאחרון 3(s + 2) (s 2 + 4s + 3) = 3 d 2 2 ds ( s 2 + 4s + 3 ) = d 2 ds 3 (s + 2) (s + 2) (s 2 + 4s + 3) 2 = 2 te 2t sin 3t לכן על פי נוסחה (6.5) לאחר סיכום שלושת התוצאות של שלושת האיברם נקבל את הפיתרון של

259 259 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace בעיית ההתחלה שלנו y = e 2t sin 3t e 2t cos 3t + 2 te 2t sin 3t t 8 69 הערה: למרות שהתהליך נראה ארוך ומייגע, הוא עדיין פשוט ביחס לשיטות כמו וריאציה של פרמטרים או השוואת מקדמים. למעשה התהליך מכני לגמרי וניתן לתכנת אותו בקלות: לתכנתים שבינינו, ניתן לאמת את התוצאות באמצעות שימוש בתוכנת SymPy :(Python) >>> from sympy import * >>> s,t = symbols("s,t") >>> func = 2*t + 3*exp(-2*t)* cos(3*t) >>> laplace_transform(func, t, s) ((3*s**2*(s + 2) + 2*(s + 2)**2 + 8)/(s**2*((s + 2)**2 + 9)),, True) >>> rf = 2 / (s**2 * (s**2 + 4*s + 3)) >>> polys.partfrac.apart(rf) 2*(4*s + 3)/(69*(s**2 + 4*s + 3)) - 8/(69*s) + 2/(3*s**2) דוגמא 6.5: עד עכשיו פגשנו בדוגמאות למציאת פיתרון פרטי באמצעות התמרת לפלס. אבל ניתן להשתמש בהתמרת לפלס גם עבור מציאת פיתרון כללי. לשם כך נפתור את המשוואה הליניארית (D α) 2 y = פיתרון: נוכל לרשום את הבעייה בצורה של בעיית התחלה, (D α) 2 y = y() = c y () = c 2

260 26 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace כאשר c ו c 2 קבועים כלשהם. נפעיל את התמרת לפלס על אגף שמאל [ (D α) 2 y ] = [ y 2αy + α 2 y ] = s 2 [y] sy() y () 2α(s [y] y()) + α 2 [y] = s 2 [y] c s c 2 2α(s [y] c ) + α 2 [y] ונשווה עם אגף ימין s 2 [y] c s c 2 2αs [y] + 2αc + α 2 [y] = לכן (s 2 2αs + α 2 ) [y] = c s + c 2 2αc ולכן [y] = c s + c 2 2αc (s 2 2αs + α 2 ) = c s c α (s α) + c 2 c α 2 (s α) 2 = c s α + (c 2 c α) ידוע לנו כי α) 2 (s [ s α ] = e αt, (s α) 2 = te αt y = c e αt + (c 2 c α)te αt = d e αt + d 2 te αt ולכן דוגמא 6.6: אחד היתרונות בשימוש בהתמרת לפלס הוא בכך שהיא מאפשרת לפתור משוואות עם פונקציות לא רציפות או לא גזירות (מה שמאוד

261 26 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace קשה בשיטות אחרות). נדגים זאת על בעיית ההתחלה הבאה y + y = t, t π sin t, t > π y() = A y () = B h(t) = t, t π sin t, t > π h(t) = t + u π (t)(sin t t) פיתרון: נסמן אזי לכן נוכל לרשום את בעיית ההתחלה שלנו בצורה הבאה y + y = t + u π (t)(sin t t) y() = A y () = B נפעיל התמרת לפלס על שני האגפים s 2 [y] As B + [y] = s 2 + e πs [sin(t + π) (t + π)] = ( s e πs s s + π 2 s ) ולכן (s 2 + ) [y] = As + B + ( s e πs s s + π 2 s )

262 262 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace ולכן [y] = As s B s [ s(s 2 +) e πs + (s 2 +) 2 s 2 (s 2 +) + π ] s(s 2 +) y = A [ ] s s B [ ] + [ ] s 2 + s(s 2 +) ולכן u π (t) [ (s 2 +) 2 + s 2 (s 2 +) + π ] s(s 2 +) השתמשנו כמובן בנוסחה (6.3) באיבר האחרון. נחשב כל איבר בנפרד: [ ] s s 2 + = cos t [ ] s 2 + = sin t [ ] s s(s 2 +) = [ s s ] s 2 + = cos t [ ] (s 2 +) 2 = [ 2s ] 2s (s 2 +) 2 = 2 [ s d ( )] ds s 2 + = 2 = 2 ˆ t ˆ t [ ( )] d ds s 2 + = 2 ˆ t x sin x dx = (sin t t cos t) 2 x [ ] (x) dx s 2 + לאחר הצבה וכינוס איברים נקבל y(t) = A cos t + (B ) sin t + t u π (t) [( t 2 + π ) 2 cos t + sin t + t] 2

263 263 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace דוגמא 6.7: פתור את בעיית ההתחלה הבאה, t y + y = q(t) = t, < t 2 y() =, 2 < t < y () = פיתרון: את הפונקציה q(t) פגשנו כבר באיור 6.5 ( פונקציית מגלשה ) בעמוד 25 ומצאנו כי ניתן לבטא את q(t) על ידי q(t) = u (t) (t ) + u 2 (t) (t 2) ובנוסף גם חישבנו את התמרת לפלס של q(t) [q] = s e s s 2 + e 2s s 2 נסמן [y(t)].f (s) = אזי [y + y] = s 2 F (s) sy() y () + F (s) = (s 2 + )F (s) s = s e s s 2 + e 2s s 2 לכן (s 2 + )F (s) = s + s e s s 2 + e 2s s 2 = s2 + s e s s 2 + e 2s s 2

264 264 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace F (s) = s e s s 2 (s 2 + ) + e 2s s 2 (s 2 + ) קיבלנו על ידי שיטת הפירוק לשברים יסודיים קל לגלות כי s 2 (s 2 + ) = s 2 s 2 + F (s) = s e s s 2 + e s s e 2s s 2 e 2s s 2 + ולכן זהו השלב המתאים לחישוב ההתמרה ההפוכה y(t) = [F (s)] = [ ] s [ ] e s + [ ] e s + [ ] e 2s [ e 2s s 2 s 2 + s 2 s 2 + את האיבר הראשון נקבל ישירות מהטבלה הבסיסית [ ] s = את ארבעת האיברים הנותרים נחשב על ידי נוסחת ההזזה (6.4): ] [ e cs F (s) ] = u c (t)f(t c) [ s 2 ] [ ] s 2 + = t = sin t נשתמש בנוסחאות

265 265 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace [ ] e s s 2 [ ] e s s 2 + [ ] e 2s s 2 [ ] e 2s s 2 + = u (t)(t ) = u (t) sin(t ) = u 2 (t)(t 2) = u 2 (t) sin(t 2) לכן ולכן הפיתרון עבור בעיית ההתחלה שלנו הוא f(t) = u (t)(t ) + u (t) sin(t ) + u 2 (t)(t 2) + u 2 (t) sin(t 2) משפט הקונבולוציה 6.8 נסיים את הפרק על התמרת לפלס בתכונה הכי חשובה של ההתמרה הזו. מלב השימוש החשוב שיש למשפט הקונבולוציה עבור פיתרון חישובים, משפט הקונבולוציה יש חשיבות תאורטית בתחום האנליזה הפונקציונלית. נוסחת הקונבולוציה שימושית במיוחד בכדי לחשב התמרות הפוכות של משוואות ליניאריות עם מקדמים קבועים. הגדרה 6.8: יהיו,f(t),g(t) שתי פונקציות רציפות למקוטעין בקרן (,]. הקונבולוציה של שתי הפונקציות מוגדרת על ידי (f g)(t) = ˆ t f(t x)g(x)dx

266 266 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace משפט 6.: יהיו,f(t),g(t) שתי פונקציות רציפות למקוטעין ומסדר אקספוננציאלי, ויהיו F (s) = [f(t)], G(s) = [g(t)] (6.7) [f g] = F (s)g(s) אזי הוכחה: על פי הגדרת התמרת לפלס [(f g)(t)] = ˆ t f(t x)g(x)dx = ˆ ˆ t e st f(t x)g(x)dx dt = ˆ ˆ t e st f(t x)g(x) dx dt האינטגרציה הכפולה מתבצעת מעל התחום המתואר בתרשים הבא איור 6.9: תחום האינטגרציה של אינטגרל הקונבולוציה במישור ה tx עם שני תיאורים שונים על פי התרשים ניתן לראות כי את תחום האינטגרציה ניתן להגדיר בשני אופנים שונים, ולכן את האינטגל הכפול הקודם ניתן לחשב גם באופן הבא: ˆ ˆ x e st f(t x)g(x) dt dx

267 267 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace ˆ ˆ x (ˆ g(x) e st f(t x)dt x ) dx נבצע החלפת משתנה u = t x בביטוי f(t x)dt או ˆ x e st f(t x)dt = ˆ e s(u+x) f(u) du ולכן ˆ t f(t x)g(x)dx = = = ˆ ˆ (ˆ g(x) e s(u+x) f(u) du (ˆ e sx g(x) e su f(u) du (ˆ e su f(u) du ) (ˆ ) ) dx dx e sx g(x) dx ) = [f(t)] [g(t)] הנוסחה המקבילה עבור ההתמרה ההפוכה היא [F (s)g(s)] = [f(t)] [g(t)] ניתן לראות את פעולת הקונבולוציה כמכפלה וקטורית במרחב של הפונקציות הרציפות למקוטעין מסדר אקספוננציאלי בקרן (,] המסומנת על ידי.f g f g = g f טענה:

268 268 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace כלומר פעולת הקונבולוציה הי קומוטטיבית. הוכחה: זה יוצא מייד מהנוסחה (6.7): f g = [F (s)g(s)] = [G(s)F (s)] = g f באותו אופן נוכיח כי פעולת הקונבולוציה אסוציאטיבית ודיסטריבוטיבית f (g h) = (f g) h f (g + h) = f g + f h [ ] תרגיל :6.5 חשב את +) s(s 2 פיתרון: כמובן נוכל לפתור את הבעייה על ידי פירוק לשברים יסודיים, אבל ניתן לעשות זאת גם באמצעות נוסחת הקונבולוציה [ ] s(s 2 +) = [ ] s [ ] s 2 + = sin t = ˆ t sin x dx = cos t פתור את בעיית ההתחלה (D 2 + D 6)y = h(t) y() = y () = בהינתן ש ( h(t פונקציה רציפה למקוטעין ומסדר אקספוננציאלי בקרן.[, ) פיתרון: נפעיל את התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה (s 2 + s 6) [y] = [h]

269 269 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace [y] = y(t) = h(t) [ [h] (s 2)(s + 3) s 2 + s 6 ] לכן ולכן נשתמש בשברים יסודיים בכדי לקבל = (s 2)(s + 3) 5(s 2) = 5(s + 3) 5 e2t 5 e 3t קיבלנו y(t) = ( 5 e2t 5 e 3t ) h(t) = ˆ t [ 5 e2(t x) 5 e 3(t x) ) ] h(t) dx בהינתן הגדרה ספציפית של h(t) נוכל לקבל את הפיתרון הספציפי לבעיה על ידי y(t) = ˆ t [ 5 e2(t x) 5 e 3(t x) ) ] h(t) dx

270 27 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace טבלת התמרות לפלס בסיסית 6.9 תחום התמרת לפלס פונקציה f(t) F (s) s s > e at s a s > a sin at cos at t a s 2 +a 2 s s 2 +a 2 s 2 t n n! s n+ t n at n! e (s a) n+ s > a e at sin bt e at cos bt u c (t) f (t) b (s a) 2 +b 2 s (s a) 2 +b 2 e cs s s > sf (s) f() f (t) s 2 F (s) sf() f () f (t) s 3 F (s) s 2 f() sf () f () n f (n) (t) s n F (s) s n k f (k) () k= u c (t)f(t c) e cs F (s) tf(t) t 2 f(t) ( ) n t n f(t) F (s) F (s) F (n) (s) e at f(t) F (s a) f(at) F ( ) s a a δ c (t) e cs

271 27 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace תרגילים. האם קיימת התמרת לפלס עבור הפונקציה?f(t) = e t2 אם היא קיימת, מצא אותה, ומצא היכן היא מוגדרת. אם לא, נמק מדוע היא אינה קיימת..f(t) = sin t, t 2π 2. מצא את ההתמרת לפלס של, 2π < t.3 הוכח שאם f : [, ) C רציפה למקוטעין ומחזורית,(p > ) p אזי [f] (s) = e ps ˆ p e st f(t) dt.4 תהי f : [, ) R פונקציה מחזורית 4 כך ש f(t) =, t 2, 2 < t 4 [f] (s) = tanh s s הוכח כי 5. חשב את התמרת לפלס של כל אחת מן הפונקציות הבאות: א. e t cos 2t ב. e 4t cosh 2t ג. ) 2 (t 2 + ד. 3 cosh t 4 sinh 5t (t a)(t b) 5 (t + 2) ה. t n sin t ו. ח. 3 2t ז. 6. הבע כל פונקציה ע י פונקציות מסוג הביסייד ומצא אחר כך את התמרות לפלס של:

272 272 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace, t < f(t) =, t < 2 (t 2) 2, 2 t < = f(t) ב., t < 2, 2 t < 3 א., 3 t < f(t) =, t < t 2 2t + 2, t < ג., t < π f(t) = ד. t π, π t < 2π, 2π t < f(t) =, t < 2 t 3, 2 t < 3, 3 t < = f(t) ו., t <, t < ה. (. d sin t [f] (s) חשב את (רמז:.f(t) = ds t.a >, [f] (s) = dn ds n [ s 2 a 2 7. חשב את התמרת לפלס של ] 8. חשב את f אם ידוע כי 9. הוכח את כל אחת מן הנוסחאות הבאות: [A cos(ωt + θ)] (s) = [ sin 2 t ] (s) = [cos at cosh at] (s) = 2 א. 4) s(s 2 + A(s cos θ ω sin θ) ב. s 2 + ω 2 s 3 ג. s 4 + 4a 4

273 273 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace [ (t 2 5t + 6)e 2t] = 6s2 29s + 36 ד. 2) 3 (s. על ידי שימוש בהגדרה והתכונות של התמרת לפלס, חשב את כל אחד מן האינטגרלים הבאים: ˆ ב. t 3 e t sin t dt ˆ ד. x 6 e 3x dx ˆ א. te 2t cos t dt ˆ ג. x 4 e x dx =.f(t) הוכח כי ˆ t sin u u. לכל,t תהי du [f] (s) = s arctan s =.f(t) הוכח כי ˆ t cos u u.2 לכל,t תהי du [f] (s) = ln( + s2 ) 2s =.f(t) הוכח כי ˆ e u t u.3 לכל,t תהי du [f] (s) = ln( + s) s =.f(t) הוכח כי ˆ t e u u.4 לכל,t תהי du [f] (s) = ( s ln + ) s 5. חשב את התמרת לפלס ההפוכה של כל אחת מן הפונקציות הבאות: s 2 (s 2 + ) ב. 3s 4 s 2 4s + 8 א.

274 274 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace s 2 ד. (s 2 + 4) 2 ln ( + s ) 2 s 3 s 4 6 2s 2 + s (s 4)(s 2 + 2s + 2) s 2 3s + 2 ג. ו. ח. י. s ה. 4) 2 (s 2 + ז. 4) 2 (s 2 + s 4 + ט. 6. לכל אחת מהמשוואות הדיפרנציאליות הבאות, מצא פתרון פרטי בקטע (,] המקיים את תנאי ההתחלה המצורפים. y + 3y 4y =, y() = 3, א. 2 = () y y y =, y() =, ב. = () y y + 4y + 4y =, y() =, ג. = () y y + 4y =, y() = 2, ד. = () y y + 4y + 7y =, y() =, ה. = () y ty (t) + 2y (t) + ty(t) =, y() =, ו. = () y 7. חשב את התמרת לפלס של כל אחת מן הפונקציות הבאות: f(t) =, t (t ) 2, t > = f(t) י., t T, t > T ט. f(t) = t, t 7 3 t, 7 < t < 8, 8 t = f(t) יב. t 2, t < 2 4t, t 2 יא. f(t) =, t < 4 4, t 4 = f(t) יד. 5, a t < b, t < a or t b יג.

275 275 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace u (t) + 3u 5 (t) טז. f(t) = t, t < 3 טו. 8 2t, 3 t < 4 f(t) = cos 2t, t < π, π t < = f(t) יח., t < 2, t < 2, 2 t < יז. 8. חשב את ההתמרת לפלס ההפוכה של כל אחת מן הפונקציות הבאות. e 6s s(s 2 + 2s + 4) ב. e s ( e s ) s(s 2 + ) א. 9. לכל אחת מהמשוואות הדיפרנציאליות הבאות, מצא פתרון פרטי בקטע (,] המקיים את תנאי ההתחלה המצורפים. y (t) + 4y (t) + 7y(t) = u (t), y() =, y () = y (t) 2y (t) + y(t) = ( ) [t], y() =, y () = y (t) y(t) = h(t), y() = y () =, y () = כאשר h(t) =, π t 2π אחרת, 2. חשב את ההתמרת לפלס של הפונקציה f(t) = ˆ t (u 2 u + e u ) du 2. לכל אחת מהמשוואות הדיפרנציאליות הבאות, מצא פתרון פרטי בקטע (,] המקיים את תנאי ההתחלה המצורפים. א. = () y y (t) + y(t) = g(t), y() =,

276 276 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace g(t) = t, t <, t כאשר y (t) + 2y (t) 3y(t) = f(t), y() =, = () y ב. כאשר f(t) =, t 2π sin t, t > 2π ג.,y (t) y (t) + 4y (t) 4y(t) = 68e x sin 2x y() =, y () = 9, y () = 37 ד. y (t) + 9y(t) = f c (t), y() = a, y () = b כאשר עבור >,c f c (t) =, t c t c, c < t ה. y () =,y() =,y 2y + 2y = cos t 22. פתור את בעיות ההתחלה הבאות באמצעות התמרת לפלס y + 2y + y = 4e t y() = 2 y () = א. y + y = u 3π (t) y() = y () = ב.

277 277 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace y + 4y = sin t u 2π (t) sin(t 2π) y() = y () = ג. y + y y = t u π 2 (t)(t π 2 ) y() = y () = ד. y + y = y() =, t < π 2, π 2 t < ה. y () = y 6y + 5y = 2 sin 3t y() = y () = 4 ו. y y 2y = y() =, t <, t ז. y () = 2

278 278 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace y y = y() =, t < π 2 sin t, π 2 t ח. y () = y + 3y + 2y = y() =, t <, t ט. y () = y (4) y = u (t) u 2 (t) y() = y () = y () = y () = י. 23. תהי (t) y פתרון של הבעייה y (t) 4y (t) + 4y(t) = f (t), y() =, y () =, (t ) ותהי (t) y 2 פתרון של הבעייה y (t) 4y (t) + 4y(t) = f 2 (t), y() =, y () =, (t ) כאשר נתון ש ( t ),f (t) f 2 לכל,t ושהפונקציות f ו f 2 רציפות וחסומות בקטע ).[, הוכח כי (t) y (t) y 2 עבור כל.t

279 279 פרק 6: התמרת לפלס Transform) (Laplace 24. על ידי שימוש בנוסחת ההתמרה ההפוכה, חשב את ( + s 2 ) 2 s ( + s 2 ) 3 s s (s + 2) 2 (s 2 + 4), < a < ב. ד. ו. ח. cosh a s s cosh s s 3 ( + s 2 ) s + s s(e s + ) א. ג. ה. ז.

280 28 פרק 7 מערכות של משוואות ליניאריות מערכות של משוואות דיפרנציאליות עולות בתחומי הפיזיקה, האלקטרונקה, יחסי גומלין בין אוכלוסיות בתחום האקולוגיה, הביולוגיה, ומדעי החברה, ועוד. מערכת של משוואות דיפרנציאליות היא שיטה מתמטית לייצוג ובניית מודל מתמטי של מערכות שבהן קבוצת גדלים (פונקציות) התלויים ומשפיעים אחד על השני על פי חוקים פיזיקאליים או אחרים. למשל בכדי לבנות מודל של מעגל חשמלי מורכב, יש לייצג את הזרמים, המתחים, הקיבולים, ההשראות,(inductance) והתנגדויות על פני מספר רב של רכיבי המעגל, על ידי פונקציות מתמטיות מתאימות, ולתאר את הקשרים ביניהם באמצעות משוואות דיפרנציאליות שבהן עשויות להופיע הנגזרות של כל הפונקציות השונות במודל. איור 7.: מעגל חשמלי