UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Predmetno poučevanje, matematika in računalništvo

Transcript

1 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Predmetno poučevanje, matematika in računalništvo MARIZA MOČNIK ALGORITEM ZA ŠTETJE MALIH INDUCIRANIH PODGRAFOV IN ORBIT VOZLIŠČ V REDKIH GRAFIH MAGISTRSKO DELO Ljubljana, 2017

2

3 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Predmetno poučevanje, matematika in računalništvo MARIZA MOČNIK ALGORITEM ZA ŠTETJE MALIH INDUCIRANIH PODGRAFOV IN ORBIT VOZLIŠČ V REDKIH GRAFIH MAGISTRSKO DELO MENTOR: prof. dr. JANEZ DEMŠAR Ljubljana, 2017

4

5 ZAHVALA Mentorju prof. dr. Janezu Demšarju Hvala za nasvete, potrpežljivost, čas in strokovno pomoč pri nastajanju magistrskega dela. Moji družini in prijateljem Hvala za podporo in razumevanje. Tisočkrat hvala tebi Matic, da si me spodbujal, mi stal ob strani in vedno verjel vame.

6

7 POVZETEK V magistrskem delu se ukvarjamo z novejšo metodo za analizo omrežij, ki temelji na majhnih povezanih induciranih podgrafih, ki jim rečemo grafki (ang. graphlets). V ta namen na začetku najprej definiramo graf oziroma omrežje, predstavimo standardne družine grafov in nekaj njegovih lastnosti, ki so potrebne za nadaljnje razumevanje magistrskega dela. V nadaljevanju opišemo nekaj pogostih tipov omrežij in se posvetimo analizi omrežij. Osredotočimo se na metodo za analizo omrežij z grafki, kjer definiramo nekaj vrednosti, ki določajo strukturne lastnosti omrežij, njihov izračun pa temelji na grafkih. Dalje predstavimo nekaj algoritmov, ki uporabljajo grafke pri svojem delovanju in nekaj algoritmov, ki grafke štejejo. Izmed teh podrobneje predstavimo algoritem Orca za štetje orbit vozlišč in povezav za grafke na 2- do 5-vozliščih. Na konkretnih primerih opišemo metodo, na kateri algoritem deluje, predstavimo potek samega algoritma ter na konkretnem omrežju pokažemo delovanje programa Orca, ki je implementiran v programskem orodju R. KLJUČNE BESEDE: analiza omrežij, majhni inducirani podgrafi, teorija grafov, Orca, orbite.

8

9 ABSTRACT The thesis deals with a newer method of network analysis which is based on small induced subgraphs or graphlets. First, a definition of a graph or network is provided, then standard graph families and some of their characteristics are presented, which helps the reader understand the thesis more thoroughly. Later in the work, a few frequently used types of networks are described in detail. The main focus is on the method of network analysis using graphlets, and several values that determine the structural characteristics of networks are defined in the course of the thesis. Each calculation of networks is based on graphlets. Furthermore, a few algorithms that use graphlets in order to operate properly, and several algorithms that count graphlets are presented as well. One of such algorithms is called Orca and it is used for counting orbits, nodes and connections for graphlets on 2- to 5-nodes. The method by which the algorithm operates is described, using specific examples. The course of the mere algorithm is presented as well as the function of the programme Orca, which is implemented in R Tools. KEY WORDS: network analysis, small induced subgraphs, graph theory, Orca, orbits.

10

11 Kazalo 1 UVOD 1 2 TEORIJA GRAFOV Osnovni pojmi Standardne družine grafov Lastnosti grafa OMREŽJA Tipi omrežij Naključna omrežja (ang. Random networks) Omrežja brez lestvice (ang. Scall free networks) Omrežja majhnih svetov (ang. Small world netwroks) Analiza omrežij GRAFKI Osnovni pojmi Uporaba grafkov za analizo omrežij Algoritmi z grafki GRAAL FANMOD GraphCrunch RAGE ALGORITEM ORCA Osnovni pojmi Opis metode Primeri enačb za 4-vozliščne grafke Primeri enačb za 5-vozliščne grafke Iskanje polnih grafkov Splošne lastnosti sistema enačb Sestava algoritma Posplošitev algoritma na večje grafke Program Orca ZAKLJUČEK 47 7 LITERATURA 48

12

13 Slike 1 Primer grafa G Primer grafa G na levi strani in podgrafa H na desni strani Primer grafa G na levi strani in induciranega podgrafa H na desni strani Graf G na levi strani in graf G po avtomorfizmu na desni strani Petersenov graf Primer polnega grafa Primer dvodelnega grafa Primer cikličnega grafa Vizualizacija omrežja. [15] Vizualizacija omrežja in graf porazdelitve stopenj omrežja. [2] Vizualizacija kompleksnega omrežja in graf porazdelitve stopenj omrežja. [2] Generiranje omrežja po BA modelu. [2] Grafki z označenimi orbitami vozlišč na 2- do 5-vozliščih Grafki z označenimi orbitami povezav na 3- do 5-vozliščih Primer enostavnega omrežja vozliščni grafki vozliščni grafki vozliščni grafki vozliščni grafki Možni orbite v 3- in 4-vozliščnih grafkih. [17] Grafek G 4 (levo) in grafek G 1 (desno) Grafek G Grafek G 7 levo in grafek G 8 desno Potek računanja števcev orbit Grafek G Grafek G 6, G 7 in G Grafek G Grafki G 19, G 23, G 25 in G Grafek G 19, G 23, G 25 in G Prikaz prve metode (levo) in prikaz druge metode (desno) Različni možni primeri Dodajanje Orce in omrežja v R Izračun orbit vozlišč za 3- in 4-vozliščne grafke Izračun orbit vozlišč za 5-vozliščne grafke do orbite O Izračun orbit povezav do 4-vozliščnih grafkov Izračun orbit povezav za 5-vozliščne grafke do orbite O Izračun zaporedja stopenj in gostote omrežja Vizualizacija omrežja karate Število vozlišč, povezav in gostota omrežja Izračun orbit vozlišč za 3- in 4-vozliščne grafke Izračun orbit povezav za 3- in 4-vozliščne grafke

14

15 1 UVOD Graf je matematična struktura z množico objektov, ki jih imenujemo vozlišča in množico relacij med objekti, ki jim rečemo povezave. Grafom z označenimi vozlišči in povezavami, ki so postavljeni v realen kontekst, pravimo omrežja. Probleme različnih področij lahko predstavimo z grafi oziroma omrežji, kar omogoča lažje razumevanje problema, velikokrat pa nudi tudi lažjo pot do rešitve le-tega. Z analizo omrežij lahko izvemo lastnosti in zakonitosti omrežja, lahko preučujemo vloge točk ali povezav v omrežju, razvrščamo le-te v skupine ali napovedujemo njihov nadaljnji razvoj. Zaradi vse bolj kompleksnih omrežij ki se pojavljajo v današnjem svetu, kot na primer svetovni splet, socialna omrežja itd., se za analizo omrežij razvijajo nove metode in tehnike. V magistrskem delu obravnavamo eno izmed novejših metod za analizo omrežij, ki temelji na malih povezanih induciranih podgrafih oziroma grafkih (ang. graphlets). V ta namen v prvem poglavju ponovimo definicijo grafa, podgrafa in avtomorfizma. Opišemo tudi nekatere standardne družine grafov, obravnavamo premer, gostoto, porazdelitev stopenj in koeficient grozdenja v grafu, saj je poznavanje le-teh lastnosti potrebno v nadaljevanju magistrskega dela. V drugem poglavju se navežemo na omrežja in različne modele, ki za potrebe analize generirajo omrežja z različnimi, prej omenjenimi, lastnostmi. Ločimo modele naključnih omrežij, omrežij brez lestvice in modele omrežij majhnih svetov. Pri naključnih omrežjih so povezave med vsemi pari vozlišč enako verjetne. Pri omrežjih brez lestvice so značilni hubi, to so redka vozlišča z velikim številom povezav. Za omrežja majhnih svetov pa je značilen obstoj kratkih poti med poljubnima dvema vozliščema v omrežju. V naslednjem poglavju podrobneje predstavimo grafke na 2- do 5-vozliščih, ki jih je prvič opisala Nataša Pržulj s sodelavci (2004). Grafke so uporabili za izračun metrik, ki opisujejo strukturne lastnosti omrežja. Na tem mestu vsako izmed treh vrednosti podrobneje opišemo. Vozlišča grafkov so razdeljena v orbite. Enako velja za povezave grafkov. Z grafki je možna tako globalna kot tudi lokalna analiza omrežij. Tako lahko vsako omrežje opišemo z vektorjem, v katerem so komponente število pojavitev vsakega grafka v omrežju. Vsako vozlišče ali povezavo pa lahko opiše vektor, ki šteje število pojavitev vozlišča ali povezave v določeni orbiti grafkov. Obstajajo različni algoritmi, ki temeljijo na grafkih: GRAAL, FANMOD, RAGE itd. Nekateri algoritmi grafke pri svojem delovanju le uporabljajo, drugi pa grafke štejejo. Nekatere algoritme v tem poglavju podrobneje opišemo. 1

16 V petem poglavju se posvetimo algoritmu Orca, ki se uporablja za analizo posameznega vozlišča ali povezave. Algoritem za posamezno vozlišče ali povezavo šteje, kolikokrat se le-ta pojavi v določeni orbiti grafkov na 2- do 5-vozliščih. Orca temelji na sistemu linearnih enačb, katerega neznanke so orbite vozlišč ali povezav k-vozliščnih grafkov. Sistem enačb temelji na ideji, da iz vsakega k-vozliščnega grafka z odstranitvijo enega izbranega vozlišča nastane (k 1)-vozliščni grafek. Na primerih pokažemo izpeljavo nekaterih konkretnih enačb. V nadaljevanju tega poglavja opišemo tudi sestavo algoritma Orca, navedemo pogoje za izbiro ustreznega vozlišča za odstranitev, kar omogoča hitrejše delovanje algoritma. Nato pa izbiro ustreznega vozlišča za odstranitev posplošimo za (k > 5)-vozliščne grafke. Na koncu poglavja na konkretnem omrežju pokažemo delovanje programa Orca v programskem okolju R. 2

17 2 TEORIJA GRAFOV Teorija grafov spada med mlajše veje v matematiki. Njeni začetki segajo v 17. stoletje, vendar se je njen dejanski razvoj začel šele v drugi polovici 20. st, ko je pod avtorstvom Franka Hararyja izšla knjiga Graph Theory. Veliko različnih problemov lahko predstavimo in rešimo s pomočjo teorije grafov. Prav zaradi tega, se ta veja povezuje z različnimi področji, kot so fizika, kemija, družboslovje, pomembno vlogo pa ima tudi v računalništvu. [24] V tem poglavju bomo najprej definirali graf in podali nekaj osnovnih pojmov o tej strukturi. Opisali bomo tudi nekatere pomembnejše družine grafov in navedli nekaj lastnosti grafov, ki jih bomo potrebovali v nadaljnjih poglavjih. 2.1 Osnovni pojmi Graf G = (V, E) je urejen par dveh množic V in E, pri čemer je V neprazna množica vozlišč, E pa je neka podmnožica iz množice parov vozlišč, ki so elementi množice V. Elementi iz množice E predstavljajo povezave. Graf je lahko usmerjen ali neusmerjen. Pri usmerjenem grafu vsako povezavo sestavlja urejen par vozlišč. Pri neusmerjenih grafih pa par vozlišč, ki tvori povezavo, ni urejen. Vsako povezavo lahko zapišemo kot simetrično relacijo u v ali (u, v), pri čemer seveda velja u, v V. Če med dvema poljubnima vozliščema obstaja povezava, pravimo, da sta vozlišči sosednji. [24] Enostaven graf je graf brez zank (povezava vozlišča s samim seboj) in brez vzporednih povezav. Slika 1 prikazuje enostaven neusmerjen graf, z množico vozlišč V = {a, b, c, d, e, f} in množico povezav E = {a b, b d, c d, d e, e f} ali E = {(a, b), (b, d), (c, d), (d, e), (e, f)}. V nadaljevanju obravnavamo vedno le neusmerjene enostavne grafe. Slika 1: Primer grafa G. Stopnja vozlišča je število povezav, v katerih nastopa dano vozlišče. V primeru, ko so stopnje vseh vozlišč v V enake m N, je dani graf G regularen graf stopnje m. Red grafa je število vozlišč v grafu. Pravimo, da je graf reda n = V, kjer je n N. Vsakemu vozlišču v V lahko določimo tudi njegovo soseščino. Soseščino nekega vozlišča v označimo kot množico N(v), v kateri so vsa sosednja vozlišča, torej tista, ki skupaj z vozliščem v tvorijo neko povezavo e E. [28] Graf na Sliki 1 je graf reda 6 in ni regularen. Če v tem grafu izberemo vozlišče d in mu določimo njegovo soseščino, le-to tvorijo vozlišča b, c in e, kar zapišemo kot N(d) = {b, c, e}. 3

18 Naj bo G = (V, E) graf. Zaporedje vozlišč (v 0, v 1, v 2,...v n ), kjer je n = V je sprehod dolžine n, če med dvema zaporednima vozliščema obstaja povezava, torej, če za 1 i n velja (v i 1, v i ). Pri tem je v 0 začetno vozlišče, v n pa končno. Ko med vsakima dvema poljubnima vozliščema v grafu G obstaja nek sprehod, je graf G povezan. Če so v sprehodu vse povezave paroma različne, gre za enostaven sprehod, če so poleg tega različna še vsa vozlišča, gre za pot P n na n vozliščih. Ko je začetno vozlišče enako končnemu, torej v 0 = v n, je dani sprehod obhod. Cikel je obhod, pri katerem sta enaka le začetno in končno vozlišče, medtem ko so ostala vozlišča paroma različna. Cikel z n vozlišči in povezavami označimo s C n. Dolžina najmanjšega možnega cikla v grafu G se imenuje ožina, kar se označi kot o(g). [28] Za nadaljnje razumevanje magistrskega dela je treba definirati še podgraf nekega grafa G. Naj bosta G = (V G, E G ) in H = (V H, E H ) grafa. Če velja V H V G in E H E G, je H podgraf grafa G. [24] Na Sliki 2 je dan graf G z množico vozlišč V G = {a, b, c, d, e, f} in množico povezav E G = {(a, b), (b, d), (b, c), (d, c), (d, e), (c, e), (c, f), (e, f)}. Eden izmed njegovih podgrafov je graf H z množico vozlišč V H = {b, c, d, e, f} in množico povezav E H = {(b, d), (b, c), (d, e), (c, e), (c, f), (e, f)}. Slika 2: Primer grafa G na levi strani in podgrafa H na desni strani. V primeru, ko se v podgrafu ohranijo vsa vozlišča iz grafa, torej V H = V G, je H vpet podgraf grafa G. Če je v grafu H množica vozlišč neka množica V H, za katero velja V H V G in so v množici povezav E H vse pripadajoče povezave na ohranjenih vozliščih iz grafa G, rečemo, da je graf H induciran podgraf grafa G. Torej (u, v) E G {u, v} V H (u, v) E H. [24] Slika 3 prikazuje primer grafa G in enega izmed njegovih induciranih podgrafov. Podgraf skupaj z vozlišči b, d, c, in f, vsebuje tudi vse povezave med temi vozlišči, ki so prisotne v osnovnem grafu G. 4

19 Slika 3: Primer grafa G na levi strani in induciranega podgrafa H na desni strani. Pomemben pojem v teoriji grafov je avtomorfizem. Naj bo G = (V, E) nek graf. Tedaj je avtomorfizem tega grafa vsaka bijektivna preslikava ϕ : V V, ki ohranja sosednosti: za poljuben par vozlišč (u, v), kjer u, v V, mora veljati u v ϕ(u) ϕ(v). Vse take preslikave tvorijo grupo avtomorfizmov, ki jo označimo z Aut(G). Če obstaja avtomorfizem, ki preslika neko vozlišče u v v, pravimo, da pripadata vozlišči isti orbiti. Orbite torej predstavljajo disjunktne podmnožice vozlišč grafa. [24] Poglejmo si primer na Sliki 4. Dan je graf G = (V, E), kjer je V = {a, b, c, d, e} in E = {(a, b), (a, c), (b, c), (c, d), (c, e), (d, e)}. Za dan graf G obstaja avtomorfizem ϕ s preslikavami a b, b a, c c, d e, e d. Vozlišča grafa se razdelijo v tri disjunktne podmnožice oziroma orbite: O 1 = {a, b}, orbita O 2 = {c} in O 3 = {d, e}. Slika 4: Graf G na levi strani in graf G po avtomorfizmu na desni strani. 5

20 2.2 Standardne družine grafov Definiranih je nekaj tipičnih družin grafov. V tem razdelku bomo predstavili najpogostejše družine. Vsako družino bomo podrobneje opisali in podali zgled grafa, ki pripada dani družini. Regularen graf je graf G = (V, E), pri katerem imajo vsa vozlišča v V enako stopnjo. Posebna poddružina regularnih grafov so kubični grafi stopnje 3. Primer kubičnega grafa je Petersenov graf na Sliki 5. [24] Slika 5: Petersenov graf. Polni graf G = (V, E) je enostaven graf reda n, v katerem sta vsaki dve paroma različni vozlišči povezani. Poln graf na n-vozliščih označimo kot K n. Vsak poln graf je tudi regularen in sicer stopnje n 1. Na Sliki 6 je 4 regularen graf K 5. Slika 6: Primer polnega grafa. 6

21 Dvodelen graf je graf G = (V, E), katerega množico vozlišč V lahko razdelimo v dve disjunktni množici A in B, tako da vsaka povezava iz grafa G, torej e E, povezuje eno vozlišče iz množice A in eno vozlišče iz množice B. [24] Na Sliki 7 je dvodelen graf G, z množico vozlišč V = {a, b, c, d, e}. Vozlišča lahko razdelimo v dve disjunktni množici A = {a, b} in B = {c, d, e}, tako da vsaka povezava povezuje po eno vozlišče iz A in B. Slika 7: Primer dvodelnega grafa. Cikličen graf G = (V, E) je povezan regularen graf stopnje 2. Za vsako vozlišče v i V, kjer je i {1..n}; n = V velja, da je povezano z vozliščem v (i+1) mod (n). Cikličen graf na n vozliščih označimo kot C n. Z odstranitvijo ene povezave v cikličnem grafu dobimo pot P n. [24] Slika 8 prikazuje primer cikličnega grafa C 5. Slika 8: Primer cikličnega grafa. 2.3 Lastnosti grafa V naslednjih poglavjih se bomo ukvarjali z omrežji, zato je na tem mestu smiselno definirati še gostoto grafa in nekatere lastnosti, ki določajo globalno strukturo omrežij. Definirali bomo porazdelitev stopenj, koeficient grozdenja in premer grafa. Gostota grafa (D) (ang. density) pove, koliko povezav, glede na število vseh možnih povezav, vsebuje graf. Največje možno število povezav v neusmerjenem grafu G je 1 V ( V 1). Gostota 2 (D) za neusmerjen graf se izračuna kot količnik med številom vseh prisotnih povezav v grafu G, torej E in med največjim možnim številom vseh povezav v grafu. [7] D = 2 E V ( V 1) 7

22 Največja možna vrednost gostote je 1, najmanša pa 0. Bližje je njena vrednost številu 1, bolj gost je graf. Za redke grafe je torej vrednost gostote bližje številu 0. Največjo vrednost gostote D = 1, imajo polni grafi. Mejna vrednost, ki določa ali gre za gost ali redek graf, ni točno določena. Odločitev, za kakšen graf gre, je odvisna od konteksta in situacije, v kateri je dan graf. [7] Poglejmo si gostoto dveh grafov. Prvi je poln graf na Sliki 6, torej graf K 5. Njegova gostota je: D = = = 1 Graf na Sliki 7 s petimi vozlišči in štirimi povezavami pa je redkejši graf. Njegova gostota je: D = = 8 20 = 0, 4 Ena izmed pomembnih strukturnih lastnosti omrežij je porazdelitev stopenj v grafu (DD) (ang. degree distribution). Naj bo G graf, kjer je n število vozlišč v grafu, k pa različne stopnje v grafu G, torej k = {1...(n 1)}. Potem je za vsak k, n k število vozlišč s stopnjo k. Porazdelitev stopenj za vsak k je delež vozlišč stopnje k v omrežju. Gre za funkcijo P (k) = n k n, pri čemer je 0 < P < 1. Vrednosti P (k) izračunamo za vsako stopnjo k, ki se pojavi v grafu. Tako dobimo porazdelitev stopenj vozlišč grafa G.[6] Porazdelitev stopenj grafa na Sliki 7 je: DD = {P (1) = 3, P (2) = 1, P (3) = 1, P (4) = 0} Naslednja lastnost je koeficient grozdenja (C) (ang. clustering coefficient). Le-ta nam poda stopnjo oziroma vrednost, v kolikšni meri so vozlišča v grafu v enem grozdu (ang. cluster) oziroma, koliko so vozlišča skupaj. Ta koeficient je lahko globalni ali lokalni. Pri globalnem koeficientu gre za postavitev celotnega grafa v grozde, pri lokalnem koeficientu pa se vrednost nanaša na eno vozlišče. Lokalni koeficient grozdenja nekega vozlišča pove, v kolikšni meri so sosedje danega vozlišča povezani oziroma, koliko so blizu temu, da bi tvorili poln graf ali klik. Navadno se meri povprečni koeficient grozdenja v grafu, ki sta ga kot alternativo globalnemu koeficientu uvedla Watts in Strogatz. Povprečni koeficient grozdenja se izračuna na podlagi lokalnih koeficientov vseh vozlišč. Po Wattsu in Strogatzu je za vsako vozlišče i, lokalni koeficinet grozdenj C i [14]: C i = n i k i (k i 1), kjer je n i število vseh povezav oblike e = (x, y), za katere velja x, y N(i). Vozlišči vsake povezave e morajo biti sosednji vozlišču i. Spremenljivka k i pa je stopnja vozlišča i. Povprečni koeficient grozdenja za nek graf se določi po spodnjem obrazcu [14]: C = 1 n n C i, kjer je n število vseh vozlišč v grafu. Tretja lastnost, po kateri se grafi razlikujejo je premer (d) (ang. diameter). Premer je navečja razdalja med dvema poljubnima vozliščema v grafu. Za določitev premera je treba najprej poiskati vse najkrajše razdalje med vsakima dvema vozliščema v grafu, nato pa iz danih razdalj poiskati tisto, ki je največja. [14] i=1 8

23 3 OMREŽJA Teorija omrežij uporablja graf kot reprezentacijo relacij med objekti. Primeri omrežij so na primer: možgani, kjer omrežje sestavljajo nevronske celice, ki so vozlišča in povezave med celicami oziroma vozlišči; družabna omrežja, kjer so vozlišča posamezniki/osebe, povezave pa so lahko prijateljstva med posamezniki; omrežje transportnih ali trgovskih poti, kjer so vozlišča mesta, povezave pa poti med mesti, itd. Slika 9 prikazuje vizualizacijo omrežja, kjer so vozlišča pevci ali skupine, ki so po podobnosti glede na so-poslušanost za največ dva koraka daleč. Slika 9: Vizualizacija omrežja. [15] Del teorije omrežij je analiza omrežij, ki se ukvarja s preučevanjem strukturnih lastnosti v omrežjih, z iskanjem vzorcev in podobno. Če bi opazovali omrežje na Facebooku, omrežje letališč, avtocest in omrežje prijateljev, ki kaže, kdo gre s kom največkrat na kavo, bi ugotovili, da se po strukturi razlikujejo. Glede na globalne strukturne lastnosti, ki smo jih opisali v prejšnjem poglavju razlikujemo več tipičnih oblik omrežij. Včasih se zgodi, da omrežje, ki ga želimo analizirati, ni dostopno, zato se poslužujemo simulacij, ki se generirajo po nekem modelu. V tem poglavju bomo podrobneje opisali nekaj tipov omrežij in njihove modele. V nadaljevanju se bomo posvetili še analizi, kjer bomo ločili analizo omrežij glede na področje, kateremu pripadajo. 3.1 Tipi omrežij Ob vsakem tipu omrežja bomo poleg lastnosti, po katerih ga prepoznamo, opisali tudi naključni model, s katerim lahko geneririamo omrežja takšne vrste. 9

24 3.1.1 Naključna omrežja (ang. Random networks) Med naključna omrežja načeloma spadajo vsa omrežja, ki se generirajo po nekem modelu. Vendar se izraz naključna omrežja uporablja le za omrežja generirana po Erdos-Renyjevem modelu (ER). Naključna omrežja omogočajo pridobivanje informacij o lastnostih v tipičnih grafih. Tako lahko na primer za neko omrežje G vprašamo, kolikšna je verjetnost, da se neka možna povezava pojavi v omrežju ali pa, kolikšna je verjetnost, da je to omrežje povezano. [25] ER model je prvi in najenostavnejši za generiranje grafa. Za omrežja, ki nastanejo po Erdos- Renyjevem modelu, je značilno, da so vsa vozlišča v omrežju enakovredna, oziroma imajo enako število povezav, medtem ko posamezna vozlišča z zelo velikim številom povezav ne obstajajo. Gre za statična omrežja, saj že na začetku generiranja v omrežje vstopi določeno število vozlišč, zato model privzame, da je množica vozlišč fiksna. Nadaljnje dodajanje vozlišč po tem modelu ne vpliva na razvoj omrežja. Za generiranje grafa je torej potrebno fiksno število vozlišč N in neka verjetnost p, s katero se ustvari povezava med poljubnima dvema vozliščema. Vsako omrežje je tako oblike G(N, p). Porazdelitev stopenj vozlišč takšnih omrežij sledi Poissonovi funkciji rasti. Premer teh omrežij je d = log N, kjer je z povprečje stopenj vseh vozlišč. Premer narašča počasi logz sorazmerno z naraščanjem števila vozlišč N. Koeficinet grozdenja je enak C = z. [5] N Opisane lastnosti teh omrežij so lepo vidne na primeru na Sliki 10. Dana je simulacija omrežja avtocestnih povezav med večjimi svetovnimi mesti. Vozlišča na grafu so mesta, medtem ko so povezave med vozlišči avtocestne povezave med mesti. Leva slika prikazuje vizualizacijo danega omrežja, desna pa graf funkcije porazdelitev stopenj. Na abscisni osi grafa so razporejene stopnje, na ordinatni pa število vozlišč, ki so stopnje k. Ker gre za omrežje geneririano po Erdos-Renyjevem modelu, imajo vsa vozlišča približno enako število povezav, malo pa je takih vozlišč, ki odstopajo. Ta lastnost je lepo vidna na vizualizaciji omrežja, kot tudi na grafu, saj so skoraj vsa vozlišča zgoščena v zvonu. Nastali krivulji na grafu rečemo krivulja zvona (Bell curve). Čeprav ima Erdos-Renyijev model lepe matematične lastnosti in je temelj za analize standardnih grafov, je v realnem svetu tako, da večina omrežij nima lastnosti in topologije, kot jo imajo omrežja generirana po tem omrežju. [2] Slika 10: Vizualizacija omrežja in graf porazdelitve stopenj omrežja. [2] Omrežja brez lestvice (ang. Scall free networks) Za omrežja brez lestvice je značilno malo število vozlišč z zelo veliko stopnjo, to so takoimenovani hubi, ostala vozlišča pa imajo le nekaj povezav. Ta tip omrežij se generira z modeli, ki temeljijo na načelu prednostne povezanosti (ang. prefferential attachment models), ti pa uporabljajo 10

25 metodo bogati bogatijo (ang. rich get richer), kar privede do potenčne porazdelitve stopenj vozlišč v omrežju. Obstaja več različnih modelov, ki temeljijo na načelu prednostne povezanosti, najbolj znan med njimi pa je Barabasi-Albertov model (BA). Po tem modelu strukturne lastnosti in topologija omrežja temeljijo na dveh zakonih, to sta zakon rasti (ang. growth) in zakon prednostne povezanosti. V nasprotju z modeli naključnih grafov, pri katerih omrežje nastane z vnaprej dano fiksno množico števil vozlišč, po modelu BA omrežje nastaja postopoma z dodajanjem novih vozlišč. Na začetku obstaja majhna množica vozlišč v omrežju, v vsakem trenutku pa v omrežje vstopi novo vozlišče. Tako se omrežje povečuje oziroma raste in je dinamično pri svojem razvijanju. Zakon prednostne povezanosti poskrbi za to, kako se novo vozlišče poveže v omrežje. Ta zakon upošteva idejo bogati bogatijo: verjetnost, da se bo novo vozlišče povezalo z nekim obstoječim vozliščem v omrežju, je sorazmerna s stopnjo obstoječega vozlišča. [5] Kot primer poglejmo omrežje na Sliki 11. Gre za simulirano omrežje letališč med večjimi mesti. Dve letališči sta povezani, če med njima obstaja direkten let. Levo na sliki je vizualizacija omrežja, desno pa graf porazdelitve stopenj vozlišč. Na abscisni osi grafa so stopnje vozlišč, na ordinatni osi pa je število vozlišč vsake stopnje. Iz grafa in vizualizacije opazimo, da je pri tem omrežju prisotno veliko število vozlišč z majhnim številom povezav ter malo vozlišč z velikim številom povezav, to so hubi. Slika 11: Vizualizacija kompleksnega omrežja in graf porazdelitve stopenj omrežja. [2] BA model omrežja generira po naslednjem postopku: dana je množica začetnih vozlišč v omrežju, v vsakem trenutku v omrežje vstopi novo vozlišče skupaj s številom m, ki določa stopnjo novega vozlišča. Novo vozlišče se torej mora povezati z m vozlišči, ki so že v omrežju. Ker je ta povezanost odvisna od stopenj obstoječih vozlišč, obstaja velika verjetnost, da se bo novo vozlišče povezalo s tistimi vozlišči, ki imajo v omrežju večjo stopnjo. S tem se vozliščem, ki imajo veliko stopnjo, stopnja še poveča. Tako nastajajo redka vozlišča z zelo velikim številom povezav, to so hubi, ostane pa veliko vozlišč, ki imajo majhno stopnjo. Porazdelitev stopenj takšnih omrežij sledi zakonu moči (ang. power law). Premer takšnega omrežja je zelo majhen v primerjavi s številom vseh vozlišč v omrežju. Za m = 1 je premer enak d = log n, za vse m 2 pa d = log n log log n, kjer je n N število vseh vozlišč v omrežju. Koeficient grozdenja pa je C = n 0,75. [5] Slika 12 prikazuje primer generiranja omrežja po BA modelu z vrednostjo m = 2. Vsako novo vozlišče, ki vstopi v omrežje (bele barve), se mora povezati z dvema obstoječima vozliščema (črne 11

26 barve). Postopoma se tvori omrežje, kjer nastajajo hubi. [2] Slika 12: Generiranje omrežja po BA modelu. [2] Omrežja majhnih svetov (ang. Small world netwroks) Omrežja majhnih svetov so omrežja z majhnimi razdaljami med poljubnima dvema vozliščema. Pri tem je razdalja definirana kot najkrajša možna pot med dvema vozliščema. Razdalja je odvisna od števila vozlišč v omrežju. V povprečju velja, da je razdalja L log( V ). Ta omrežja so zanimiva, saj poleg majhne razdalje med poljubnima vozliščema, vsebujejo velik koeficient grozdenja, kar pomeni, da so vozlišča blizu temu, da bi tvorila poln graf. Razdalja spada med lokalne strukturne lastnosti omrežja, medtem ko koeficient grozdenja spada med globalne lastnosti. Najbolj znan model, ki generira omrežja malih svetov je Watts-Strogatzov model (WS), ki spada med modele, ki pri generiranju omrežij upoštevajo geografske lastnosti. Imenujemo jih geografski modeli. [5] Watts-Strogatzov model deluje po naslednjem postopku: dana je dvojica parametrov (N, k), kjer je N število vozlišč, ki so postavljeni v krožni obroč (ang. ring lattice), vsako vozlišče ima k povezav z najbližjimi sosednjimi vozlišči, po k povezav na vsaki strani. To je množica tesnih povezav 2 med vozlišči in ima zelo visok koeficient grozdenja. Sledi še prevezovanje (ang. rewiring), kar pomeni, da je za vsako vozlišče u iz obroča, za vsako njegovo povezavo (u, v) verjetnost prevezovanja p. Torej je verjetnost, da se vozlišče v zamenja z vozliščem w, kjer je w naključno izbrano vozlišče iz omrežja, enaka p. Tako se z verjetnostjo p povezava (u, v) zamenja s povezavo (u, w). Pri tem so zanke in dvojne povezave zavržene. Vsako vozlišče ima na začetku enako stopnjo, le-ta se spremeni s prevezovanjem. Porazdelitev stopenj je podobna porazdelitvi stopenj pri naključnih grafih, z močnim poudarkom vrha pri k. Porazdelitev eksponentno pada za velike k-je. Koeficient grozdenja je odvisen le od spremenljivke p in ga dobimo po obrazcu C = (1 p) 3. [5] Model WS je primeren za generiranje veliko realnih omrežij, saj vključuje majhen premer in visok koeficient grozdenja, kar je prisotno pri veliko realnih omrežjih. Tako je na primer ceneje povezati dva usmerjevalnika, ki sta eden blizu drugega; prav tako je pri spoznavanju prijateljev. Večja verjetnost je, da bomo spoznali nekoga, ki živi blizu nas itd. Po drugi strani pa njegova porazdelitev stopenj ne ustreza zakonu moči, ki je prav tako vključena pri večini realnih omrežjih. [5] Čeprav je vsako omrežje posebno, z določenimi globalnimi in lokalnimi strukturnimi lastnostmi, imajo v večini primerov realna omrežja nekatere skupne značilnosti. Naštejmo nekatere izmed teh: večina realnih omrežij ima podoben premer, to je šest. To pomeni, da je med poljubnima dvema vozliščema v omrežju najdaljša razdalja šest; porazdelitev stopenj v večini realnih omežjih 12

27 sledi zakonu moči; v omrežjih se pojavlja veliko število majhnih ciklov in nekaterih specifičnih podgrafov. [10] Realna omrežja torej večinoma vsebujejo lastnosti omrežij brez lestvice in lastnosti omrežij majhnih svetov. Prav zaradi tega je težko določiti model, ki generira tako omrežje, ki se najbolje ujema z realnim omrežjem. 3.2 Analiza omrežij Analiza omrežij je veja podatkovnega rudarjenja, ki z različnimi statističnimi, matematičnimi in drugimi metodami preučuje relacije oziroma odnose med objekti v omrežju. [10] V omrežju je lahko v središču analize le določen objekt, določena skupina objektov ali pa analiza zajema celotno omrežje. Analizo omrežij uporabljajo raziskovalci na različnih področjih, kot so: prometne infrastrukture, v medicini, farmaciji, v trgovini, reklamiranju, sociologiji, psihologiji, v sociologiji in politiki, kjer se na primer, lahko s preučevanjem povezav med politiki analizira proces odločanja na volitvah. [10] Analize omrežij se lahko ločijo glede na področje, v katero spada omrežje. Leskovec navaja naslednje skupine omrežij [16]: INFORMACIJSKA OMREŽJA vsebujejo vsebine-vozlišča ter povezave, ki povezujejo različne vsebine. Med ta omrežja spada World Wide Web, kjer so spletne strani vozlišča, povezava pa povezuje dve povezani spletni strani. Pri tem se navadno opazuje, katera spletna stran se povezuje s katero ali pa, katera spletna stran ima največ povezav, kar privede do koristnih informacij o tem, katera spletna stran je najbolj popularna. Primer je tudi omrežje citiranj, pri katerem je množica vozlišč razdeljena v dve množici. Ena množica vozlišč so avtorji, druga množica pa članki. Povezave se tvorijo le med vozlišči iz različnih skupin in ne znotraj skupin, zato gre za dvodelen graf. Povezava torej povezuje avtorja in članek, katerega je citiral. BIOLOŠKA OMREŽJA so omrežja, ki so prisotna v raziskovanju bioloških pojavov. To so na primer metabolična omrežja, ki prikazujejo povezave med metaboličnimi reakcijami. Če sta dve reakciji povezani, to pomeni, da aktivnost ene sproži aktivnost druge. Sem spadajo tudi nevronska omrežja, ki prikazujejo povezanost nevronskih celic med seboj. Zanimiva so genska omrežja, v katerih se raziskuje soizražanje genov, pri tem se lahko nek gen soizraža z večino ostalih genov, kar pomeni, da je vodilni gen. Poleg tega je pomembna tudi podobnost med geni. Če imamo gen z neznano funkcijo, na podlagi podobnosti, sklepamo, da ima le-ta isto funkcijo kot njemu podoben gen. TEHNOLOŠKA OMREŽJA so na primer električna omrežja, kjer so vozlišča odjemalci elektrike, povezave pa kabli med dvema odjemalcema. Sem spadajo tudi cestna omrežja, kjer so vozlišča mesta, povezava pa obstaja med dvema mestoma, med katerima obstaja cesta. Cestna omrežja raziskujejo z namenom, da bi odkrili katere ceste so pogosto v uporabi, ali pa za razmišljanje o tem, med katerimi mesti je treba še zgraditi cesto. SOCIALNA OMREŽJA sestavlja množica oseb in odnosi med njimi. Ta omrežja se povezujejo s sociologijo, psihologijo in družbenimi pojavi, saj preučujejo odnose med posamezniki ali med družbenimi skupinami. Primer takega omrežja so Facebook, Instagram, prijateljstva 13

28 skupine ljudi, kontakti v telefonskem imeniku itd. [4] Omrežja, v katerih nastopajo osebe, so lahko predstavljena s predznačenimi grafi (ang. signed graphs), pri katerih obstajajo pozitivne in negativne povezave med vozlišči. Pri tem pozitivna povezava vključuje pozitivno relacijo oziroma odnos, kot je na primer prijateljstvo, zavezništvo, medtem ko gre pri negativni povezavi za neko negativno relacijo, kot so sovraštvo, jeza in druge. V označenih grafih obstaja uravnotežena teorija, ki se ukvarja s preučevanjem sprememb odnosov med subjekti zaradi socialnega vpliva. Pri tem je uravnotežen (ang. balanced) graf cikel z vsemi pozitivnimi povezavami. Uravnotežen cikel torej predstavlja množico ljudi, ki ni pripravljena spremeniti mnenja o drugih ljudeh v skupini. [23] 14

29 4 GRAFKI Ena izmed metod analize omrežij je analiza z grafki. V tem poglavju bomo najprej definirali in predstavili grafke na 2- do 5-vozliščih. V nadaljevanju bomo navedli nekaj strukturnih lastnosti omrežij, ki temeljijo na grafkih, nato pa bomo spoznali nekatere algoritme za analizo omrežij z grafki. 4.1 Osnovni pojmi Grafki (ang. graphlets) so majhni povezani inducirani podgrafi, ki služijo kot orodje za raziskovanje globalnih in lokalnih strukturnih lastnosti omrežja ter za analiziranje vlog posameznih vozlišč v omrežju. Grafke je prvič opisala Nataša Pržulj s sodelavci (2004) za analizo PPI omrežja (ang. protein-protein interactions). Na podlagi štetja frekvenc grafkov v štirih PPI omrežjih, so dokazali, da se PPI omrežje najbolje prilega geometrijskemu naključnemu modelu (ang. GEO random model). [22] Analize na podlagi grafkov so omejene na grafke na 2- do 5-vozliščih. Slika 13 prikazuje vseh 30 grafkov na 2- do 5-vozliščih. Grafki so označeni z oznako G i, kjer je i zaporedna številka grafka, torej i {0..29}. Vozlišča 30-tih grafkov so razdeljena v 73 orbit, kar je na sliki označeno z majhnimi številkami poleg vozlišč. Orbite v vsakem grafku so tudi barvno označene. Slika 13: Grafki z označenimi orbitami vozlišč na 2- do 5-vozliščih. Analiza z grafki je lahko globalna ali lokalna. Pri globalni analizi gre za strukturne lastnosti, ki opisujejo celotno omrežje. Število pojavitev grafkov v omrežju omogoča opis globalnih lastnosti omrežja. Tako se lahko vsako omrežje opiše s 30-dimenzionalnim vektorjem, saj je danih 30 grafkov. Vsaka komponenta pove število induciranih pojavitev enega od 30 grafkov v grafu. Lokalna analiza omrežja pa se nanaša na posamezna vozlišča v omrežju. Pri tem se šteje, kolikokrat dano vozlišče nastopa v določenem grafku. Tako se za vsako vozlišče določi topološki podpis vozlišča, 15

30 kar je predstavljeno kot 30-dimenzionalni vektor. Za podrobnejšo analizo vozlišč, kot je na primer odkrivanje vloge vozlišč v omrežju, se uporablja analiza s pomočjo orbit. Tako se lahko posamezno vozlišče v grafu pri analizi z orbitami grafkov opiše s 73-dimenzionalnim vektorjem, ki pove, kolikokrat to vozlišče nastopa v posamezni orbiti induciranega podgrafa. Orbite definirajo vlogo vozlišč v grafkih. Na primer, v zvezdi na petih vozliščih (G 11 ), eno vozlišče predstavlja center, ostala štiri vozlišča pa so listi. Vozlišča v pet vozliščni zvezdi lahko torej pripadajo dvema različnima orbitama O 22 in O 23. Poleg štetja, kolikokrat neko vozlišče nastopa v določenem grafku (30-dimenzionalen vektor), se torej lahko šteje tudi, kolikokrat neko vozlišče nastopa v vlogi centra v pet vozliščni zvezdi oziroma, kolikokrat je vozlišče povezano s štirimi vozlišči, ki niso povezana med seboj in kolikokrat vozlišče nastopa v vlogi lista v takšni zvezdi. Na takšen način vozlišče opiše 73-dimenzionalni vektor. [13] Podobno kot za orbite vozlišč lahko definiramo tudi orbite povezav. Obstaja 68 orbit povezav za grafke na 3- do 5-vozliščih. Vsako povezavo lahko opišemo kot 68-dimenzionalni vektor, ki pove, kolikokrat neka povezava nastopa v določeni orbiti grafka. [13] Slika 14 prikazuje vseh 29 grafkov na 3- do 5-vozliščih z oznakami orbit povezav. Slika 14: Grafki z označenimi orbitami povezav na 3- do 5-vozliščih. Poglejmo si primer majhnega omrežja na Sliki 15. Izberimo si poljubno vozlišče, na primer vozlišče C in poglejmo, v katerih grafkih nastopa. Slika 16 prikazuje vse možne 2-vozliščne grafke, v katerih nastopa vozlišče C, Slika 17 prikazuje 3-vozliščne grafke, Slika 18 4-vozliščne grafke in Slika 19 5-vozliščne grafke, v katerih nastopa vozlišče C. 16

31 Slika 15: Primer enostavnega omrežja. Slika 16: 2-vozliščni grafki. Slika 17: 3-vozliščni grafki. 17

32 Slika 18: 4-vozliščni grafki. Slika 19: 5-vozliščni grafki. Izbrano vozlišče C nastopa štirikrat v 2-vozliščnem grafku G 0 v orbiti O 0, ki ustreza stopnji vozlišča. Poleg tega vozlišče C nastopa sedemkrat v 3-vozliščnih grafkih; šestkrat v grafku G 1 od tega enkrat v orbiti O 1 ter petkrat v orbiti O 2 ; enkrat nastopa še v grafku G 2 v orbiti O 3. V 4-vozliščnih grafkih vozlišče C nastopa kar sedemkrat; trikrat v grafku G 3 in orbiti O 5, poleg tega nastopa dvakrat v grafku G 4 v orbiti O 7 in dvakrat v grafku G 6 v orbiti O 11. V 5-vozliščnih grafkih vozlišče C nastopa dvakrat: enkrat v grafku G 13 v orbiti O 30 in enkrat v grafku G 14 v orbiti O 33. Tako nastaneta dva vektorja, v 1 je 30-dimenzionalni vektor, ki šteje kolikokrat se vozlišče C pojavi v določenem grafku, v 2 pa je 73-dimenzionalni vektor, ki predstavlja, kolikokrat se vozlišče C pojavi v določeni orbiti. v 1 = [4, 6, 1, 3, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0,..., 0] v 2 = [4, 1, 5, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 0,..., 0] 4.2 Uporaba grafkov za analizo omrežij Grafki se uporabljajo za analizo omrežij na različnih področjih, tako v družboslovju kot v naravoslovju. Pri družboslovnih znanostih se uporabljajo za analize socialnih omrežij, kjer se raziskovalci ukvarjajo s povezavami med objekti (vozlišči), s trdnostjo in močjo povezav itd. Pri naravoslovju se analiza z grafki najpogosteje pojavlja pri biologiji, kjer grafki služijo kot orodje za napovedovanje proteinskih funkcij, za analiziranje različnih mrež in v filogeniji, ki je disciplina v biologiji in se ukvarja s shematsko predstavitvijo sorodnosti in povezanosti med objekti ali organizmi. [8] Vse pogosteje pa se analize na podlagi grafkov uporabljajo tudi v računalniških omrežjih in sicer za odkrivanje nezaželjene pošte, analizo protokolov vsak z vsakim (ang. peer to peer), v kemoinformatiki in najpogosteje v bioinformatiki, kamor tudi segajo začetki uporabe grafkov. [1] Leta 2008 sta Milenković in Pržulj predstavila metodo za primerjavo soseščin vozlišč, ki temelji na 18

33 grafkih. Milenković s sodelavci (2010) je raziskoval odnos med rakavimi geni in njihovo omrežno topologijo. Uporabil je različne metode razvrščanja (ang. clustering methods). Med drugim so grafke uporabili za ocenjevanje topološke središčnosti vozlišč. Grafki se uporabljajo tudi za usklajevanje omrežij. [1] Nataša Pržulj s sodelavci (2004) je grafke uporabila pri definiranju novih vrednosti, ki določajo lokalne strukturne lastnosti omrežja. Ti vrednosti sta GDD-ujemanje (ang. GDD-agreement) in RGF-razdalja (ang. RGF-distance). Poleg tega so uvedli še tako imenovani topološki podpis vozlišča, oziroma GDV-podpis (ang. GDV-signature), ki določa topološko podobnost med dvema omrežjema. GDD-ujemanje (ang. graphlet degree distribution agremeent) V poglavju 2.3 smo predstavili tri globalne strukturne lastnosti, v katerih se omrežja lahko razlikujejo. Ena izmed lastnosti je bila porazdelitev stopenj, ki za vsako stopnjo k meri, koliko je vozlišč s to stopnjo v omrežju. Povedano drugače, za vsako stopnjo k, poda število vozlišč, ki se dotikajo k povezav. Pri tem lahko iz definicije povezave opazimo, da je povezava enaka grafku G 0. Potrebno je poiskati porazdelitve stopenj še za ostalih 29 grafkov {G 1...G 29 } na 2- do 5-vozliščih podobno kot za grafek G 0. Tako nastane 30-dimenizionalni vektor. Vsaka komponenta vektorja predstavlja porazdelitev stopenj pripadajočega grafka. Tako je na primer druga komponenta porazdelitev stopenj za grafek G 1. Porazdelitev stopenj za G 1 šteje, koliko vozlišč spada v en grafek G 1, koliko vozlišč spada v dva grafka G 1... koliko vozlišč spada v k grafkov G 1. Na podoben način nastane vseh 30 komponent. Pri tem pa je treba vzeti v vedenje, da na primer pri grafku G 1, ni vseeno ali je dano vozlišče, ki ga gledamo na koncu grafka ali na sredini grafka G 1. Pomembno je torej upoštevati tudi položaj vozlišča v grafku, kar opišejo orbite grafkov. Postopek poteka tako, da se šteje, koliko vozlišč spada v en grafek G 1 in so na končnem položaju, torej v orbiti O 1, koliko vozlišč spada v en grafek G 1 in so na sredini grafka G 1, torej v orbiti O 2, koliko vozlišč spada v dva grafka G 1 in orbito O 1, koliko vozlišč spada v dva grafka G 1 in v orbito O 2 itd. Za vseh 73 orbit se torej šteje, koliko vozlišč pripada določeni orbiti. Tako nastane 73-dimenzionalni vektor, saj je vseh orbit 73. Za vsako orbito j, kjer je j {0...72} obstaja j-ta GDD vrednost, ki je porazdelitev števila vozlišč iz grafa, ki se dotikajo določenega grafka v pripadajoči orbiti k-krat. [21] Z obdelavo j-te vrednosti GDD in nadaljnjo normalizacijo le-te, se med dvema omrežjema izračuna razdalja med 0 in 1. Pri tem 0 pomeni, da imata omrežji identične j-te GDD vrednosti, 1 pa pomeni, da imata omrežji različne j-te GDD vrednosti. Na podlagi izračunane razdalje, se izračuna nova vrednost, to je omrežno j-to GDD-ujemanje (ang. network GDD agreement). Končno GDDujemanje med dvema omrežjema je aritmetična ali geometrijska sredina j-tih GDD-ujemanj. Glede na vrednost GDD-ujemanja, ki je lahko med 0 in 1, se določi, v kolikšni meri sta omrežji enaki ali različni glede lokalne strukture. Vrednost 1 pomeni, da sta dve omrežji popolnoma enaki, 0 pa da sta popolnoma različni glede na to lastnost. [9] RGF-razdalja (ang. relative graphlet frequency distance) Ena izmed lokalnih lastnosti, ki služi za primerjanje podobnosti dveh omrežij je RGF-razdalja (RGF-distance), ki se meri med dvema omrežjema. RGF-razdalja primerja frekvence pojavitve 2- do 5-vozliščnih grafkov v dveh omrežjih. Izračuna se po naslednjem postopku: dani naj bosta omrežji G in H. Določiti je treba RGF-razdaljo med tema dvema omrežjema. Naj bo N i (G) število pojavitev grafka i, i {0...29} v grafu G. Potem je T (G) = 29 i=0 N i(g), število vseh grafkov, ki se pojavijo v omrežju G. RGF-razdalja med G in H je definirana kot D(G, H) = 29 i=0 F i(g) F i (H), kjer je F i (G) = log N i(g) frekvenca i-tega grafka v omrežju T (G) G. Logaritem pri frekvenci grafka se uporablja, ker se lahko frekvence grafkov zelo razlikujejo in 19

34 bi posledično na razdaljo v veliki meri vplivali najpogostejši grafki. Visoka vrednost RGF-razdalje kaže na manjše podobnosti med omrežjema G in H. [9] GDV-podpis (ang. graphlet degree vectors signature) GDV je vrednost, ki je bila prvič uporabljena na bioloških omrežjih z namenom grupiranja vozlišč na temelju podobnosti in napovedovanju bioloških lastnosti še ne grupiranih vozlišč glede na lastnosti, ki jih imajo že grupirana vozlišča. Uporabljena je bila na napovedi proteinskih funkcij, za identifikacijo genov, povezanih z rakom in za odkritje poti, na katerih temeljijo biološki procesi kot na primer razgradnja beljakovin. GDV je 73-dimenzionalni vektor posameznega vozlišča v omrežju in šteje kolikokrat dano vozlišče nastopa v posamezni orbiti grafkov na 2 do 5-vozliščih. 73-dimenzionalni vektor določa podpis vozlišča in opisuje topologijo vozliščne soseščine. Na podlagi GDV-jev vozlišč in nadaljnjih izračunov, se za poljubni dve vozlišči lahko določi podpisno podobnost (ang. signature similarity), ki določa, v koliki meri sta si vozlišči podobni. V nekem grafku sta vozlišči u in v. Za določitev njune podpisne podobnosti je treba najprej izračunati razdaljo D(u, v) med vozliščema (več o izračunu vrednosti D v viru [19]). Na podlagi razdalje se nato izračuna podpisna podobnost S(u, v) = 1 D(u, v). Podpisna podobnost je vrednost med 0 in 1, kjer 0 pomeni, da sta primerjani vozlišči različni, medtem ko vrednosti bližje 1 pomenijo, da imata vozlišči skoraj isti podpis, torej sta vozlišči topološko skoraj enaki. Kot primer poglejmo vozlišči iz grafka G 9, ki pripadata orbiti O 15. Za ti dve vozlišči je razdalja D enaka 0, posledično je vrednost podpisne podobnosti S = 1. Vozlišči imata torej isti podpis in sta topološko gledano enaki. Večja podobnost GDV-podpisa dveh vozlišč, kaže na večjo podobnost soseščin na razdalji večji od 4 za dani dve vozlišči. [19] 4.3 Algoritmi z grafki Obstaja veliko algoritmov za različne globalne in lokalne analize omrežij ter primerjave omrežij, ki temeljijo na grafkih. Pri tem ločimo algoritme, ki grafke le uporabljajo, a samih grafkov ne štejejo. Primera takšnih algoritmov sta GRAAL (Kuchaiev s sodelavci, 2010) in FANMOD (Wernicke in Rasche, 2006). Razvitih pa je kar nekaj algoritmov, ki štejejo grafke. Nekateri izmed teh so: GraphCrunch (Milenković, Ali in Pržulj, 2008), RAGE (Marcus and Shavitt, 2012) in Orca (Hočevar in Demšar, 2013). V tem poglavju bomo podrobneje predstavili omenjene algoritme, razen algoritma Orca, ki je osrednja tema tega magistrskega dela in bo podrobneje opisan kasneje GRAAL GRAAL Graph Aligner (Kuchaiev s sodelavci, 2010) je požrešni algoritem za globalno analizo usklajenosti (ang. alignment) dveh omrežij. Algoritem je dostopen na spletni strani: http: //www0.cs.ucl.ac.uk/staff/natasa/graal/index.html (dostopno ) in temelji na podpisni podobnosti, le-ta pa se meri na podlagi vrednosti GDV. [15] Algoritem išče najcenejšo možno prireditev, ki uskladi dve omrežji. Za dani dve omrežji G in H išče najcenejšo funkcijo, ki vsakemu vozlišču iz omrežja G dodeli natanko eno vozlišče iz omrežja H. Pri tem mora veljati, da nobeni dve vozlišči iz omrežja G nista v paru z istim vozliščem iz omrežja H. Funkcija vrne množico parov vozlišč oblike (x, y), kjer je x V G in y V H. Ker velja V G < V H, nekaj vozlišč iz omrežja H ostane prostih, torej ne spadajo k nobenemu vozlišču iz omrežja G. Algoritem poteka tako, da na začetku ustvari tabelo stroškov usklajevanja vsakega vozlišča iz enega omrežja z vsakim vozliščem iz drugega omrežja. Če sta torej dani dve omrežji G in H, so v stolpcih tabele vozlišča omrežja G in v vrsticah vozlišča omrežja H. Pri določanju stroška 20

35 usklajenosti med dvema vozliščema, algoritem upošteva GDV podpisno podobnost in stopnje vozlišč. GRAAL dodeli težje uteži vozliščem z večjo stopnjo. Torej algoritem najprej uskladi dele omrežja, ki so najpogostejši (glede na povezave). Vsaka izračunana vrednost stroškov uskladitve med vsakima dvema vozliščema iz dveh omrežij, je na intervalu [0, 2]. Če je vrednost v tabeli pri 0, to pomeni, da sta ti dve vozlišči topološko podobni. Če je vrednost bližje 2, to pomeni, da vozlišči topološko gledano nista podobni. [15] Ko je tabela ustvarjena, algoritem išče par vozlišč z najmanjšo vrednostjo/utežjo v tabeli. V primeru, da je več parov z isto vrednostjo, algoritem naključno izbere enega. Ko je par vozlišč (u, v), kjer je u V G, v V H izbran, algoritem okrog obeh vozlišč gradi množice S, tako imenovane sfere na vseh možnih razdaljah r tako, da na primer za vozlišče u velja S G (u, x) = x V G : d(u, x) = r. To pomeni, da se okrog izbranih dveh vozlišč v vsakem omrežju posebej gradi množice vozlišč S(u, r), ki so od izbranega vozlišča u (ali v) oddaljena natanko za razdaljo r. Pri tem je razdalja r, najmanjša možna razdalja med vozliščem u in vozliščem x v sferi na dani razdalji. V nadaljevanju poteka še usklajevanje sfer obeh omrežij na istih razdaljah. Poišče se par vozlišč iz ober sfer na isti razdalji, ki ni bil še usklajevan in je lahko usklajen z najmanjšo ceno. To algoritem naredi za vsaki dve sferi na isti razdalji iz obeh omrežij. Po končanem postopku je še vedno možno, da določena vozlišča iz obeh omrežij ostanejo neusklajena, saj dve sferi na isti razdalji r nimata nujno enakega števila vozlišč. Zato se postopek od izbire dveh vozlišč z najmanjšo vrednostjo iz tabele dalje ponavlja, dokler vsako vozlišče iz enega omrežja G ni usklajeno z natanko enim vozliščem iz H. [15] Nazadnje poteka še ocenjevanje usklajevanja oziroma preverjanje, v kolikšni meri je usklajevanje pravilno. V ta namen obstajajo trije možni postopki: povezavna pravilnost, vozlišča pravilnost in interakcijska pravilnost. Povezavna pravilnost je odstotek povezav iz prvega grafa, ki so pravilno usklajene s povezavo iz drugega grafa. Vozliščna usklajenost je odstotek vozlišč iz prvega grafa, ki so pravilno usklajena s vozlišči iz drugega grafa. Interakcijska pravilnost pa je odstotek interakcij iz prvega grafa, ki je pravilno usklajen z interakcijami iz drugega grafa. Pri tem je treba vedeti, da je pravilno usklajena interakcija dveh povezanih vozlišč (A, B), če funkcija usklajevanja dani povezavi priredi vozlišči v drugem grafu, ki sta prav tako povezani. Ker je za vozliščno in interakcijsko pravilnost potrebna natančna označitev vozlišč, kar v realnih omrežjih ni vedno prisotno, se največkrat uporablja povezavna pravilnost. Večji ko je odstotek pri izračunani pravilnosti, tem večja je topološka podobnost med omrežjema. [15] FANMOD FANMOD (Wernicke s sodelavci, 2006) je orodje za hitro odkrivanje pogostih podgrafov oziroma motivov v omrežju. Algoritem zazna do 8-vozliščne motive. Orodje je prosto dostopno na spletni strani: (dostopno ). Iskanje motivov v omrežju je sestavljeno iz treh korakov [27]: odkriti, kateri motivi in v kakšnem številu se pojavijo v vhodnem omrežju, določiti, kateri izmed teh motivov so med seboj izomorfni ter na podlagi tega oblikovati in grupirati motive v izomorfne razrede, določiti, kateri izomorfni razredi se pojavijo pogosteje v realnem omrežju, kot v naključnih modelih določene vrste. FANMOD temelji na že obstoječih algoritmih. Prvi korak izvede na podlagi algoritma RAND- ESU (Wernicke, 2005), ki zazna in prešteje motive na temelju grafkov. V nadaljevanju uporablja 21

36 algoritem NAUTY (McKay, 1981), ki motive grupira v izomorfne razrede. FANMOD določi frekvenco teh razredov v omrežju in v določenem številu naključno generiranih omrežij, ki jih določi uporabnik. Naključni grafi so generirani na podlagi vhodnega omrežja z zamenjavo povezav na vozliščih. Pri tem uporabnik lahko izbira med različnimi načini zamenjave povezav in s tem ohrani določene lastnosti omrežja. Prednosti orodja FANMOD so analiza barvnih omrežij, grafični uporabniški vmesnik in zmožnost izvoza končne datoteke v različnih formatih. Kot rezultat FANMOD vrne tabelo z motivi in več merami, na primer: frekvenca vsakega motiva v vhodnem (originalnem) omrežju, povprečna frekvenca vsakega motiva v generiranih omrežjih, Z vrednost, ki je razlika med frekvenco vhodnega omrežja in povprečno frekvenco naključnih omrežij, deljena s standardnim odklonom povprečne frekvence. V primeru, ko je za nek motiv Z vrednost visoka, to pomeni, da je motiv pomemben za dano omrežje oziroma, da se v vstopnem omrežju velikokrat pojavi. Pomembna mera v tabeli je tudi p vrednost v razponu od 0 do 1, ki se določi za vsak motiv. Majhna vrednost p-ja določa, da se dani motiv v vstopnem omrežju pojavlja bolj pogosto, kot v generiranih omrežjih. [27] GraphCrunch GraphCrunch (Milenković s sodelavci, 2008) je programsko orodje dosegljivo na spletni strani: (dostopno ). Gre za algoritem namenjen analizi, modeliranju in usklajevanju omrežij. GraphCrunch je program za hiter izračun GDV-podpisov. V originalni različici pogleda vse četvorke in petorke točk v omrežju; če so povezane, preveri, kateri grafek tvorijo. Takšen način iskanja grafkov je počasen, zato v novejši različici uporablja algoritem Orca. GraphCrunch je bil narejen z namenom, da lahko za dano veliko realno omrežje določimo, kateremu izmed modelov omrežij, ki smo jih opisali v poglavju 3.1, se najbolje prilega. [18] GrapChrunch deluje po naslednjem postopku [18]: določi navedene globalne in lokalne lastnosti realnega omrežja, ki ga je uporabnik vnesel v program, glede na realno omrežje uporabnika ustvari naslednje modele omrežij: Erdos-Renyijev naključni model (ER), Scall-free oziroma Barabasi-Albertov model (SF-BA), n-geometrijski model (GEO-n) in druge, primerja, kako tesno se dano omrežje ujema v globalnih in lokalnih strukturnih lastnostih z danimi generiranimi modeli, izračuna statistične podatke glede primerjave iz prejšnje točke. Vsi generirani modeli se generirajo z 1 % vseh vozlišč in 1 % povezav iz danega realnega omrežja. GraphCrunch lahko zaženemo na tri načine: preko orodne vrstice (ang. command-line interface), preko vmesnika pogovornega okna (ang. run-dialog interface) ali preko spletnega vmesnika (ang. on-line web interface). [18] RAGE RAGE (ang. Rapid Graphlet Enumerator for Large Networks) (Marcus in Shavitt, 2011) je prosto dostopno orodje na spletu, ki služi za globalno in lokalno analizo nekega omrežja s pomočjo grafkov. 22

37 RAGE je dostopen na spletni strani (dostopno ). RAGE direktno šteje neinducirane podgrafe oziroma neinducirane motive. Prvotno gre za lokalno analizo vsakega vozlišča v omrežju. Algoritem šteje, kolikokrat se vozlišče pojavi v določenem motivu. Po določitvi le-tega, se lahko za vsako vozlišče iz vrednosti števila neinduciranih podgrafov izračuna še število induciranih podgrafov oziroma grafkov. Poleg tega se s pomočjo teh pridobljenih podatkov lahko določi še, koliko je vseh posameznih grafkov v celotnem omrežju. [17] RAGE šteje neinducirane motive na treh in štirih vozliščih. Slika 20 prikazuje vse možne orbite za tri- in štirivozliščne grafke. [17] Slika 20: Možni orbite v 3- in 4-vozliščnih grafkih. [17] Orodje je sestavljeno iz več algoritmov. Vsak algoritem šteje določeno vrsto neinduciranega motiva. Ti algoritmi so [17]: Algoritem 1 : prešteje, v koliko trikotnikih (m 7 ) nastopa posamezno vozlišče. To naredi tako, da za vsak v V najprej določi množico sosednjih vozlišč N(v), nato pa za vsako povezavo e = (v, v 1 ), kjer je v 1 N(v), preveri, ali obstaja neko vozlišče w, kjer velja w v in w v 1, ki tvori povezavo z vozliščema v in v 1 oziroma preveri obstoj dveh povezav e = (v, w) in e = (v 1, w). V primeru, da takšno vozlišče w obstaja, vozlišča v, v 1 in w tvorijo trikotnik. Algoritem torej šteje, koliko različnih w-jev obstaja, za vsako vozlišče v. Algoritem 2 : prešteje, v koliko ciklih s tetivo (m 2.1 in m 2.2 ), nastopa posamezno vozlišče. Algoritem za vsako povezavo e = (u, v) in vsaki dve vozlišči w, t (N(u) N(v)) iz grafa G, ( ustvari množico vozlišč {u, v, w, t}, ki tvori cikel s tetivo e = (u, v). Obstaja natanko N(u) N(v)\{u,v} ) ( različnih ciklov s tetivo e = (u, v). Natanko N(u) N(v) \{u,v,w} ) teh ciklov 2 s tetivo pa vključuje vozlišče w. Algoritem 3 : šteje trikotnike z dodatno povezavo: za vsako vozlišče v V šteje, kolikokrat se pojavi v neinduciranem grafku m 4.1, m 4.2 in m 4.3. Štetje za m 4.3, poteka tako, da se za vozlišče v preveri vsa njegova soseščina, torej vse trikotnike v soseščini od vozlišča v, v katerih le-to vozlišče ne nastopa. 23 1

38 Algoritem 4 : šteje klike (polni grafi) na 4 vozliščih: za vsako vozlišče v V algoritem šteje, kolikokrat se pojavi v neiduciranem grafku m 1. Za vsaki dve vozlišči se preveri ali sta povezani s povezavo. Algoritem 5 : šteje cikle na 4 vozliščih: za vsako vozlišče v V šteje, kolikokrat se pojavi v neinduciranem grafku m 3. Algoritem 6 : šteje poti na 4 vozliščih. Za vsako vozlišče v V šteje, kolikokrat se pojavi v neinduciranem grafku m 6.1 in m 6.2. Za vsako povezavo iz množice E šteje, kolikokrat nastopi v poteh dolžine 3 na sredini poti. Algoritem 7 : šteje 4-vozliščne zvezde: algoritem za vsako vozlišče v V šteje, kolikokrat se vozlišče pojavi v neinduciranem grafku m 5.1 in m 5.2. Zgoraj navedeni algoritmi služijo kot osnova za globalno analizo omrežja in za analizo posameznega vozlišča z induciranimi grafki. Naj bo N I(m) končno število pojavitev neinduciranih motivov m v grafu G, I(m) pa končno število pojavitev induciranih grafkov m v grafu G. Za vsako vozliče v iz grafa G naj bo NI v (m) število nastopanja vozlišča v v neinduciranem motivu m in I v (m) število nastopanja vozlišča v v induciranem grafku m. Za vsak neinduciran motiv na 3- in 4-vozliščih smo zgoraj zapisali, kako za neko vozlišče v dobimo število nastopanja tega vozlišča v nekem neinduciranem motivu. Iz rezultatov štetja neinduciranih motivov dobimo inducirane grafke na 3- in 4-vozliščih. Pri tem je treba upoštevati, da vsak neinduciran podgraf lahko nastane iz induciranega grafka, katerega vsa vozlišča imajo večjo ali enako stopnjo od vsakega vozlišča v neinduciranem motivu. Navedli bomo, kako iz neiduciranih motivov dobimo grafke, pri tem bomo več povedali pri prvih dveh primerih, ostali pa potekajo podobno. Grafke dobimo tako [17]: Kliki na 4 vozliščih: ker gre za poln graf na štirih vozliščih, ki vedno vključuje vse možne povezave med petimi vozlišči, je le-ta vedno induciran. Za vsako vozlišče v V velja I v (m 1 ) = NI v (m 1 ). 4-vozliščni cikli s tetivo: neinducirani motivi m 2 nastanejo z odstranitvijo ene povezave iz motivov m 1. Število neinduciranih podgrafov m 2 imamo že določeno, kar označimo z NI(m 2 ), a so tu všteti tudi tisti motivi m 2, ki niso nastali iz induciranih motivov m 1. Zato je treba od števila NI(m 2 ) odšteti tiste, ki so prisotni v kakšnem motivu m 1, saj to pomeni, da gre zagotovo za motiv m 2, ki ni induciran. S to razliko ostanejo le inducirani motivi m 2. Število induciranih motivov m 2.1 je I v (m 2.1 ) = NI v (m 2.1 ) 3I v (m 1 ), pri tem je treba upoštevati, da m 2.1 lahko nastane z odstranitvijo ene izmed treh različnih povezav v m 1. Gre za tiste tri povezave, v katerih vozlišče v ne nastopa. Zato je treba odšteti tri različne neinducirane motive m 2.1, ki iz vsakega induciranega motiva m 1 nastanejo. Na podoben način se izpelje še enačba za število induciranih motivov m 2.2, ki je I v (m 2.2n ) = NI v (m 2.2 ) 3I v (m 1 ). Tudi tu je treba upoštevati, da so neinducirani motivi m 2.2 v induciranih motivih m 1 šteti trikrat, torej vsakič ko odmislimo oziroma ne upoštevamo ene izmed povezav, ki vključuje vozlišče v. 4-cikel: m 3 lahko obstane z odstranitvijo ene povezave pri m 2.1 in m 2.2 ali z odstranitvijo dveh povezav pri m 1, kjer so tri možnosti, saj se lahko odstranijo poljubni dve povezavi, da nastane cikel. Sledi: I v (m 3 ) = NI v (m 3 ) I v (m 2.1 ) I v (m 2.2 ) 3I v (m 1 ). Trikotniki z dodatno povezavo: m 4 lahko nastane iz m 1 ali m 2 z odstranitvijo poljubnih dveh povezav iz istega vozlišča pri m 1 ali z odstranitvijo poljubne povezave iz cikla pri m 2. Sledi: I v (m 4.1 ) = NI v (m 4.1 ) 2I v (m 2.1 ) 3I v (m 1 ), I v (m 4.2 ) = NI v (m 4.2 ) 2I v (m 2.1 ) 3I v (m 2.2 ) 6I v (m 1 ) in I v (m 4.3 ) = NI v (m 4.3 ) 2I v (m 2.2 ) 3I v (m 1 ). 24

39 4-vozliščne zvezde: m 5 lahko nastane iz m 1, m 2 in m 4. Iz m 1 dobimo 4-vozliščno zvezdo, če za vsako poljubno vozlišče odstranimo vse povezave, ki niso povezane z danim vozliščem. Obstajajo torej 4 takšna vozlišča. Za vsako vozlišče v iz m 2 s stopnjo večjo ali enako 3, velja, da se odstranijo vse povezave, ki niso povezane s tem vozliščem. Tako nastane 4- vozliščna zvezda. Obstajata dve takšni vozlišči. V m 4 obstaja samo eno vozlišče stopnje 3, z odstranitvijo vseh povezav, ki niso povezane s tem vozliščem, nastane m 5. Sledi: I v (m 5.1 ) = NI v (m 5.1 ) I v (m 4.1 ) I v (m 2.1 ) I v (m 1 ) in I v (m5.2) = NI v (m 5.2 ) I v (m 4.2 ) I v (m 4.3 ) I v (m 2.1 ) 2I v (m 2.2 ) 3I v (m 1 ). Poti dolžine tri: m 6 nastane iz m 1, m 2, m 3 in m 4. V m 1 je vsak par poljubnih vozlišč povezan. S poljubno permutacijo štirih vozlišč dobimo 4! možnosti, ki tvorijo dovoljeno pot. Ker so povezave neoznačene, je vsaka pot šteta dvakrat, zato 4! = 12 razliščnih poti. Z odstranitvijo vseh povezav, ki niso v izbrani poti inducira m 6. Pri m 2 z odstranitvijo tetive in še ene 2 povezave ali z odstranitvijo dveh ujemajočih se povezav, ki nista tetivi, nastane 6 možnih poti, torej 6 grafkov m 6. Z odstranitvijo povezave, ki povezuje vozlišče s stopnjo 3 in vozlišče s stopnjo 2 iz m 4, inducira povezavo. Obstajata dve takšni povezavi. Za pridobitev m 6 iz m 3 pa zadostuje odstranitev ene same poljubne povezave. Obstajajo 4 takšne možne povezave. Sledi: I v (m 6.1 ) = NI v (m 6.1 ) I v (m 4.2 )2I v (m 4.3 ) 2I v (m 3 ) 2I v (m 2.1 ) 4I v (m2.2) 6I v (m 1 ) in I v (m 6.2 ) = NI v (m 6.2 ) 2I v (m 4.1 ) I v (m 4.2 ) 2I v (m 3 ) 2I v (m2.1) 4I v (m 2.2 ) 6I v (m 1 ). 25

40 5 ALGORITEM ORCA Orca (Hočevar in Demšar, 2013) je algoritem za štetje pojavitev nekega vozlišča ali povezave v orbitah grafkov na 2- do 5-vozliščih. V tem poglavju bomo najprej predstavili osnovno idejo algoritma. V nadaljevanju bomo preko različnih konkretnih primerov predstavili metodo, na podlagi katere deluje. Podali bomo tudi opis sistema enačb, kjer bomo zajeli splošen razvoj relacij med orbitami. Predstavili bomo še dokaz, ki dokazuje, da je algoritem možno posplošiti na grafke s poljubnim številom vozlišč. V grobem si bomo ogledali potek celotnega algoritma ter na konkretnem omrežju pokazali delovanje le-tega. 5.1 Osnovni pojmi Štetje grafkov je računsko zahtevno. Nekateri algoritmi opisani v prejšnjem poglavju in drugi obstoječi algoritmi, ki štejejo grafke v omrežjih, temeljijo na direktnem štetju pojavitev vsakega grafka v omrežju. Orca (Orbits counting algorithm) (Hočevar in Demšar, 2013), algoritem, ki ga bomo opisali v tem poglavju, pa temelji na drugačnem prijemu in je bistveno hitrejši kot vsi dosedanji algoritmi. Navezuje se na prijem, ki ga je razvil Kloks s sodelavci (2000). Konstruirali so sistem enačb, s katerimi se izračuna število pojavitev vseh šest 4-vozliščnih induciranih grafkov, pri tem pa je direktno dano število pojavitev le za enega izmed grafkov. Kloks s sodelavci (2011) je ta prijem posplošil za štetje grafkov poljubne velikosti. [11] Pri Orci gre za kombinatorično metodo za štetje grafkov in določanje podpisa vozlišča ali povezave. Algoritem za vsako vozlišče/povezavo zgradi sistem linearnih enačb, v katerih so relacije števcev orbit za grafke določene velikosti. Spodaj je sistem enačb za 4-vozliščne grafke, ki v relacije združuje orbite vozlišč. o o 14 = c(y, z) 1 y,z:y<z,g[{x,y,z}] =G 2 2o o 14 = (c(x, y) 1) + (c(x, z) 1) y,z:y<z,g[{x,y,z}] =G 2 o o 13 = p(y, z) + p(z, y) y,z:y<z,g[{x,y,z}] =G 2 2o o 13 = p(y, x) + p(z, x) y,z:y<z,g[{x,y,z}] =G 2 6o 7 + 2o 11 = (p(y, x) 1) + (p(z, x) 1) y,z:y<z;y,z N(x),G[{x,y,z}] =G 1 o 5 + 2o 8 = 2o 6 + 2o 9 = 2o 9 + 2o 12 = y,z:y<z;y,z N(x),G[{x,y,z}] =G 1 p(x, y) + p(x, z) y,z:y<z;y,z N(y),G[{x,y,z}] =G 1 p(x, y) 1 y,z:y<z;y,z N(y),G[{x,y,z}] =G 1 c(y, z) 26

41 o 4 + 2o 8 = 2o 8 + 2o 12 = y,z:y<z;y,z N(y),G[{x,y,z}] =G 1 p(y, z) y,z:y<z;y,z N(y),G[{x,y,z}] =G 1 c(x, z) 1 Leva stran enačbe je linearna kombinacija spremenljivk o i, ki so definirane v nadaljevanju. Desna stran enačbe pa je število, ki se izračuna na podlagi samega grafa G. Pri tem je c(x, y) število skupnih sosedov vozlišč x in y. Za c(x, y) velja c(x, y) = N(x) N(y). Vrednost p(x, y) pa predstavlja število poti na treh vozliščih, z začetkom poti v vozlišču x, nadaljevanje poti v vozlišču y in zaključek poti v nekem vozlišču z, ki ni povezano z vozliščem x. Vrednost p(x, y) je mogoče izračunati kot p(x, y) = deg(y) 1 c(x, y). [11] 5.2 Opis metode V tem poglavju bomo podrobneje predstavili, kako izpeljemo posamezno enačbo iz sistema linearnih enačb. Naj bo x vozlišče, ki nas zanima v nekem danem grafu G. Potrebno je določiti, kolikokrat se vozlišče x pojavi v določeni orbiti. Za lažje nadaljnje razumevanje naj bo i-ta orbita označena kot O i in število pojavitev vozlišča x v orbiti O i označeno s spremenljivko o i, kjer je i {0...72}. Ko gre za povezave pa je dana neka fiksna povezava (x, y). Pri tem je i-ta orbita, kateri dana povezava pripada, označena kot E i, števec, ki šteje število pojavitev dane povezave v orbiti E i pa je označen kot e i. Če neko vozlišče x nastopa v k-vozliščnem grafku G i, potem zagotovo nastopa tudi v nekem določenem (k 1)-vozliščnem grafku G j. Če iz grafka G i odstranimo vozlišče, ki je od vozlišča x najbolj oddaljeno, dobimo nek (k 1)-vozliščni podgraf, ki je še vedno povezan. Posledično je nastali podgraf izomorfen enemu izmed (k 1)-vozliščnih grafkov G j. [11] Slika 21 prikazuje opisano idejo. Recimo, da želimo opazovati orbito O 6 v 4-vozliščnem grafku G 4 z vozlišči V = {x, y, z, w}, kjer vozlišča x, y, w pripadajo orbiti O 6, vozlišče z pa orbiti O 7. Izberemo eno od vozlišč, ki pripada orbiti O 6, recimo x. Nato izberemo eno vozlišče, ki ga bomo odstranili iz grafka. Če bi odstranili vozlišče z, bi nastal nepovezan graf, zatorej z ni prava izbira. Odstranimo lahko eno izmed vozlišč y in w. Če na primer izberemo vozlišče w in ga odstranimo, nastane povezan podgraf na treh vozliščih x, y in z. Ker je novo nastali podgraf povezan, je torej izomorfen nekemu 3-vozliščnemu grafku, konkretno G 1. Slika 21: Grafek G 4 (levo) in grafek G 1 (desno). 27

42 5.2.1 Primeri enačb za 4-vozliščne grafke Poglejmo si izpeljavo linearne enačbe o o 14 = y,z:y<z;g[{x,y,z}] =G 2 c(y, z) 1, s katero izračunamo o 12 ob že znani vrednosti o 14. Naj graf G vsebuje podgraf G 2 z množico vozlišč V = {x, y, z} na Sliki 22. Vsa tri vozlišča pripadajo isti orbiti in sicer O 3. Naj bo x fiksno vozlišče, katerega orbite računamo. Slika 22: Grafek G 2. V grafek G 2 dodamo novo vozlišče w tako, da bo x v orbiti O 12. Novo vozlišče mora torej imeti dve povezavi in sicer (y, w) in (z, w). Vozlišče w je sosednje vozlišče vozliščema y in z oziroma w N(y, z). Ker w N(y, z) ne izključuje povezave (w, x), je na novo nastali podgraf z vozlišči x, y, z in w lahko izomorfen enemu izmed naslednjih 4-vozliščnih grafkov: G 7 v primeru, ko je vozlišče w povezano le z vozliščema y in z, G 8 v primeru, ko je vozlišče w povezano tudi z vozliščem x, torej z vsemi vozlišči iz grafka G 2. V primeru, ko gre za grafek G 7 je vozlišče x postavljeno v orbito O 12. Ko pa gre za grafek G 8 vozlišče x pripada orbiti O 14. Slika 23 prikazuje možna dva grafka G 7 in G 8. Slika 23: Grafek G 7 levo in grafek G 8 desno. Linearna enačba združuje v relacijo orbiti O 12 in O 14. Ker nas zanima, kolikokrat vozlišče x nastopa v orbitah O 12 in O 14 enačba združuje število pojavitev v določeni orbiti, torej spremenljivki o 12 in o 14. Leva stran enačbe bo oblike: o 12 + o 14 = Na desni strani enačbe pa je vrednost c(y, z) 1 (spomnimo se, da je c(y, z) = N(y, z) ), saj je 28

43 število pojavitev vozlišča x v orbitah O 12 in O 14 enako številu možnih vozlišč w v celotnem grafu G. Ker je vozlišče w skupni sosed vozliščema y in z, lahko število možnih vozlišč w zapišemo, kot število skupnih sosedov vozlišč y in z, torej c(y, z), pri tem je treba upoštevati, da imata vozlišči y in z že v prvotnem grafku G 2 eno skupno vozlišče in sicer vozlišče x, zato je le-tega potrebno odšteti. Sestavimo enačbo o 12 + o 14 = c(y, z) 1 Enačbo je treba preoblikovati, da bo upoštevala tudi druge grafke G 2, v katerih nastopa to vozlišče x. Desna stran enačbe poteka čez vse trikotnike, v katerih nastopa x v celotnem grafu G: y,z:y<z;g[{x,y,z}] =G 2 c(y, z) 1, in je torej vsota vrednosti c(y, z) v vseh parih vozlišč {y, z} V, kjer je y glede na oznake pred z-jem, tako da G[{x, y, z}] = G 2. Čeprav je dan pogoj y < z, pa so v vsoti zaradi simetrij nekateri grafki šteti večkrat, zato je pri spremenljivkah na levi strani treba dodati ustrezne koeficiente: Ko x pripada orbiti O 12, je grafek G 7 štet le enkrat. Vozlišči x in w pripadata isti orbiti, a se njuna permutacija ne upošteva, saj je vozlišče x fiksirano. Vozlišči y in z prav tako pripadata isti orbiti in je med njima načeloma možna permutacija, vendar pogoj y < z to preprečuje. Ko x pripada orbiti O 14, je grafek G 8 štet kar 3-krat. Pri grafku G 8 vsa vozlišča pripadajo orbiti O 14. Ker je vozlišče x fiksirano, so možne le permutacije preostalih treh vozlišč. Skupaj obstaja 6 permutacij, vendar so zaradi pogoja y < z možne le tri, to so (id), (wyz) in (wz)(y). Z dodanimi koeficienti na levi strani enačbe in z urejeno desno stranjo sestavimo naslednjo linearno enačbo o o 14 = c(y, z) 1. y,z:y<z;g[{x,y,z}] =G 2 Na podoben način izpeljemo 10 zgoraj naštetih linearnih enačb z enajstimi spremenljivkami za grafke na štirih vozliščih za izbrano fiksirano vozlišče x. Ker sistem nima polnega ranga, je treba eno izmed spremenljivk o j izračunati direktno. Orca se uporablja predvsem v redkih grafih, v katerih je možno učinkovito iskati polne podgrafe. Zato je najbolj smiselno direktno izračunati spremenljivko, ki se navezuje na orbito grafka, ki pripada polnemu grafku na 4-vozliščih. Ta grafek je G 8, njemu pripadajoča orbita pa O 14. Vse ostale pojavitve v orbitah se izračunajo na podlagi linearnih odvisnosti v sistemu enačb. Kot je razvidno iz zgoraj napisanega sistema enačb, je zaporedje, po katerem se izračunajo vse vrednosti spremenljivk o j naslednje: z direktnim izračunom vrednost dobi spremenljivka o 14, s to spremenljivko se izračuna vrednost o 12 in o 13. Iz o 12 nastane o 8 in o 9, iz o 13 pa o 10 in o 11. Dalje iz o 8 se izračuna o 4 in o 5, iz o 9 pa o 6. Preostane le še o 7, ki se dobi s pomočjo vrednosti o 11. Matrika sistema enačb je trikotna. Koeficienti in spremenljivke so vedno cela števila, zato pri reševanju sistema enačb ne prihaja do zaokrožitvenih napak. [13] 29

44 Shema na Sliki 24 prikazuje opisani vrstni red izračuna. S pomočjo večje orbite, glede na oznake, se izračunajo manjše orbite, saj manj vozliščni grafki nastanejo z odstranitvijo enega izmed vozlišč v več vozliščnem grafku. Slika 24: Potek računanja števcev orbit. Na podoben način izpeljemo tudi enačbe, ki povezujejo orbite povezav. Če želimo izpeljati enačbo e 7 + e 9 + 2e 11 = z:g[{x,y,z}] =G 2 (c(z) 2), moramo v 3-vozliščnem grafku G 2 na Sliki 25 eno povezavo fiksirati in mu dodati novo vozlišče tako, da bo fiksirana povezava v orbiti E 7. Vse povezave grafka G 2 pripadajo orbiti E 1. Recimo, da fiksiramo povezavo (x, y). Slika 25: Grafek G 2. Z dodajanjem novega vozlišča w v grafek, ki bo povezano z vozliščem z, nastanejo tri možni grafki: G 6, ko je vozlišče w povezano samo z vozliščem z, G 7, ko je vozlišče w povezano z vozliščem z in z enim izmed vozlišč x ali y, G 8, ko je vozlišče w povezano z vsemi vozlišči iz grafka G 2. Možnosti so torej tri. Ko gre za grafek G 6 je fiksirana povezava (x, y) v orbiti E 7, ko gre za grafek G 7 pa je dana povezava v orbiti E 9. V primeru polnega grafka G 8, je dana povezava skupaj z vsemi preostalimi, v orbiti E 11. Vse tri možnosti so prikazane na Sliki

45 Slika 26: Grafek G 6, G 7 in G 8. Potrebno je določiti še koeficiente pri spremenljivkah na levi strani enačbe. V grafku G 6 povezava (x, y) pripada orbiti E 7. Vozlišči x in y sicer pripadata isti orbiti, a je zaradi fiksne povezave med njima njuna zamenjava onemogočena. Ostalih možnih simetrij ni. Torej je dani grafek G 6 štet le enkrat. Prav tako je enkrat štet tudi grafek G 7, v katerem povezava (x, y) pripada orbiti E 9. Vozlišči x in z pripadata isti orbiti, a je zaradi fiksacije vozlišča x v povezavi (x, y) njuna zamenjava onemogočena. Podobno velja za vozlišči y in w. Grafek G 8, kjer je povezava (x, y) v orbiti E 11, je štet dvakrat. Vsa vozlišča so v isti orbiti, vendar je zaradi fiksne povezave (x, y) možna le ena permutacija in sicer (zw). Novo dodano vozlišče w je ob dodajanju v grafek G 2 v osnovi povezano z vozliščem z. Tako je desna stran enačbe sestavljena iz števila sosednjih vozlišč vozlišča z. Ker pa vsota poteka po vseh grafkih G 2, v katerih vozlišče x nastopa, je treba upoštevati, da ima le-to vozlišče v vsakem grafku G 2 dve sosednji vozlišči, ki ju je pri sestavljanju končne enačbe potrebno odšteti. Končna enačba, ki povezuje števce omenjenih orbit povezav je e 7 + e 9 + 2e 11 = (c(z) 2). z:g[{x,y,z}] =G Primeri enačb za 5-vozliščne grafke Podobno kot lahko vsak 4-vozliščni grafek sestavimo iz 3-vozliščnega, lahko vsak 5-vozliščni grafek nastane iz nekega 4-vozliščnega grafka, ki mu dodamo vozlišče. Poglejmo si primer enačbe, ki povezuje števce orbit nekega vozlišča. V grafu G naj bo grafek G 6 na štirih vozliščih V = {x, u, v, t}, kot prikazuje Slika

46 Slika 27: Grafek G 6. Dobiti želimo enačbo z orbito O 45. Izbrati je treba fiksno vozlišče, recimo naj bo to x, ki pripada orbiti O 9, vozlišče u pripada orbiti O 11, vozlišči v in t pa spadata v orbito O 10. Grafku na novo dodamo vozlišče w tako, da bo vozlišče x pripadalo orbiti O 45. Vozlišče w torej mora biti povezano z dvema povezavama in sicer z vozliščema v in t. Možnosti za obstoj 5-vozliščnih grafkov so naslednje: G 19, ko je vozlišče w povezano le z vozliščema v in t, G 23, ko je vozlišče w povezano z vsemi vozlišči razen z vozliščem x, G 25, ko je vozlišče w poleg v in t povezano še z vozliščem x, G 26, ko je vozlišče w povezano z vsemi vozlišči iz grafka G 6. V primeru, ko gre za grafek G 19, vozlišče x pripada orbiti O 45, ko gre za grafek G 23, pripada fiksirano vozlišče x orbiti O 56, pri grafku G 25 x spada v orbito O 62 in v grafku G 26 pripada orbiti O 65. Slika 28 prikazuje vse štiri možne grafke. Slika 28: Grafki G 19, G 23, G 25 in G

47 Na levi strani enačbe so spremenljivke oblike o i in relacije med njimi. V tem primeru bo leva stran oblike o 45 + o 56 + o 62 + o 65 =. Desni strani enačbe pripada del, ki je že izračunan, vključuje pa število skupnih sosedov vozlišč, s katerimi se novo vozlišče w v osnovi povezuje. To sta vozlišči v in t. Število skupnih vozlišč je torej c(v, t), pri tem je treba upoštevati, da je že v grafku G 7, prisotno eno skupno vozlišče, to je vozlišče u, ki ga je treba odšteti. Enačba bo oblike o 45 + o 56 + o 62 + o 65 = c(v, t) 1. Enačbo je treba še preoblikovati. Vsota namreč poteka po vseh 4-vozliščnih grafkih v grafu G, ki vključujejo vozlišče x. Zagotoviti je treba, da vsa nastopajoča vozlišča v vsakem 4-vozliščnem grafku ustrezajo pripadajočim orbitam. Torej, treba je podati nekaj pogojev, kar privede do potrebe po oznakah oziroma poimenovanju vozlišč. V konkretnem primeru pogoj v, t / N(x) zagotavlja, da obstajata dve vozlišči, ki nista sosednji vozlišču x. Pogoj v < t, pa zagotavlja vozliščema točno mesto oziroma lego v grafku. S preoblikovanjem desne strani v vsoto dobimo c(v, t) 1. u,v,t:v<t;v,t N(x) G[{x,u,v,t}] =G 7 Določiti je treba še koeficiente pri spremenljivkah na levi strani enačbe, ki nastanejo zaradi naslednjih simetrij: Ko x pripada orbiti O 45 v grafku G 19, je le-ta štet enkrat. Kljub temu, da vozlišči v in t pripadata isti orbiti O 48, njuna menjava ni možna, saj se s tem spremeni vrstni red oznak, ki potem ne zadošča pogoju v < t. Vozlišče x v grafku G 23 pripada orbiti O 56. Pojavitev tega grafka je šteta kar trikrat. Vozlišča v, t in w namreč pripadajo skupni orbiti O 57, med njimi pa so možne nekatere simetrije, seveda ob upoštevanju pogoja v < t. Poleg prvotnega grafka G 23 sta možni še dve permutaciji, torej (tw)(v), (wvt). Vozlišče x v grafku G 25 pripada orbiti O 62. V tem primeru je grafek G 25 štet dvakrat. Enkrat tako, kot je prvoten grafek, drugič pa zaradi možne menjave vozlišč u in w, ki pripadata isti orbiti O 63. Vozlišči v in t pripadata skupni orbiti O 64, vendar njuna menjava ni možna zaradi pogoja v < t. Vozlišče x v grafku G 26 pripada orbiti O 65, grafek je v tem primeru štet dvakrat. Drugič zaradi možne menjave vozlišč u in w, ki pripadata skupni orbiti O 67. Menjava vozlišč v in t v orbiti O 66 ni možna zaradi pogoja v < t. Končna enačba je o o o o 65 = u,v,t:v<t;v,t N(x) G[{x,u,v,t}] =G 6 c(v, t) 1. Na podoben način tako sestavimo 57 linearnih enačb, ki vključujejo 58 spremenljivk, saj so vozlišča pri 5-vozliščnih grafkih razdeljena v 58 orbit. Zopet je potreben direkten izračun ene izmed orbit. Tako kot pri 4-vozliščnih grafkih direktno izračunamo število pojavitev orbite O 72, ki pripada polnemu grafku na 5-vozliščih G 29. Tudi tu so enačbe konstruirane linearno neodvisno, saj je pri nastajanju enačb ena orbita ciljna, ostale pa pripadajo grafkom z večjim številom povezav, 33

48 oziroma, kot je razvidno iz enačb, prva komponenta na levi strani enačbe pripada orbiti (ciljni) z najmanjšim indeksom. Poglejmo si še primer izpeljave enačbe za orbite povezav za nek 5-vozliščni grafek. Opazujmo grafek G 6, s fiksno povezavo (x, u) v orbiti E 6. V grafek dodamo novo vozlišče w, ki naj bo povezano z vozliščema v in t saj želimo, da je povezava (x, u) v orbiti E 38. Možnosti za nastanek 5-vozliščnih grafkov so naslednje: G 19, ko je vozlišče w povezano le z vozliščema v in t, G 23, ko je vozlišče w poleg vozlišč v in t povezano še z vozliščem u, G 25, ko je vozlišče w povezano z volišči v, t in x, G 26, ko je vozlišče w povezano z vsemi vozlišči grafka G 6. Na Sliki 29 so prikazani vsi štiri možni grafki. Ko gre za grafek G 19, je povezava (x, u) v orbiti E 38, ko gre za grafek G 23, dana povezava pripada orbiti E 49. V grafku G 25 je povezava v orbiti E 56. Preostane še grafek G 26, v katerem povezava (x, u) pripada orbiti E 59. Slika 29: Grafek G 19, G 23, G 25 in G 26. Za sestavo enačbe je treba urediti še pripadajoče koeficiente spremenljivkam na levi strani enačbe: Ko je povezava (x, u) v grafku G 19 in v orbiti E 38, je med vozliščema v in t v splošnem možna permutacija, saj pripadata isti orbiti. Vendar je permutacija onemogočena zaradi pogoja v < t. Torej je grafek G 19 v enačbi štet le enkrat. V grafku G 23 pripada povezava (x, u) orbiti E 49. Dani grafek je štet kar trikrat. Vozlišča v, t in w pripadajo isti orbiti. Vendar so zaradi pogoja v < t, možne le tri možnosti. Ena možnost, kot je prikazano na Sliki 29 in dve permutaciji: (tw) in (wvt). Grafek G 25 je štet le enkrat. Kljub temu, da vozlišči v in t pripadata isti orbiti, je zaradi pogoja v < t njuna menjava onemogočena. V isto orbito spadata tudi vozlišči w in u, vendar njuna zamenjava ni možna zaradi fiksne povezave (x, u). Grafek G 26 je štet le enkrat. Pogoj v < t preprečuje zamenjavo vozlišč v in t iz iste orbite. Zaradi fiksne povezave (x, u) je prav tako onemogočena menjava vozlišč u in w, čeprav pripadata skupni orbiti. 34

49 Ob upoštevanju koeficientov in vseh pojavitev povezav v orbitah, je končna enačba e e 49 + e 56 + e 59 = (c(v, t) 1). v,t:v<t (v,t) E v,t N(u) v,t/ N(x) G[{x,u,v,t}] =G Iskanje polnih grafkov Kot že napisano, je pri vsakem sistemu linearnih enačb za k-vozliščne grafke potreben direkten izračun števca orbite, ki pripada polnemu grafku na k-vozliščih. V tem poglavju zato opisujemo hiter algoritem za izračun števila pojavitev nekega vozlišča x v polnem podgrafu. Ena izmed možnih poti, po kateri se direktno izračuna število pojavitev nekega vozlišča v polnem grafku na štirih vozliščih, je metoda s postopnim dodajanjem enega sosednjega vozlišča v grafek. Vozlišče na katerega se štetje nanaša, naj bo vozlišče x 1. Z vsakim korakom dodamo vozlišču x i novo sosednje vozlišče x i+1 in zanj preverimo ali je povezano z že vsemi prej dodanimi vozlišči. Druga, boljša strategija za 4-vozliščne polne grafke je strategija preverjanja sosednjih parov. Tudi tu naj bo dano vozlišče x 1 in ostala vozlišča x 2, x 3 in x 4. Pri tej metodi je treba poiskati skupne sosede povezanih vozlišč x 1 in x 2 in jih dodati v neko množico. Iz dane množice je potem potrebno izbrati par dveh vozlišč, recimo x 3 in x 4 in preveriti ali sta ti dve vozlišči povezani. Da se izognemo večkratnemu štetju istih grafkov, je potreben pogoj x 2 < x 3 < x 4. Ta strategija je primernejša, saj hitreje deluje na redkih grafih, ki vsebujejo malo polnih grafkov. Slika 30 prikazuje obe metodi. [11] Slika 30: Prikaz prve metode (levo) in prikaz druge metode (desno). Opisano metodo je možno posplošiti in je uporabna tudi za štetje polnih grafkov na več vozliščih, ko gre za redke grafe. V splošnem v vsakem koraku za vozlišče x i ohranjamo množico kandidatov vozlišč C i, ki so povezani z vsemi prej dodanimi vozlišči. Izbrati je treba enega kandidata iz množice C i in zanj ustvariti novo množico C i+1, ki vsebuje samo tista vozlišča iz množice C i, ki so povezana tudi z izbranim vozliščem, torej C i+1 = C i N(x i ). [11] 5.3 Splošne lastnosti sistema enačb Izpeljava enačb realno poteka po obrnjenem postopku, kot je opisan postopek v prejšnjem podpoglavju s konkretnimi primeri. Naj bo G i grafek na k-vozliščih. Vsaka enačba se izpelje s točno določeno ciljno orbito. Ciljna orbita že določa, katero bo fiksno vozlišče, ki torej pripada dani orbiti in naj bo označeno z x. Glede na ciljno orbito se izbere ustrezno vozlišče w iz grafa G i, ki ne sme biti fiksirano vozlišče x, poleg tega pa mora biti novo nastali (k 1)-vozliščni podgraf, ki ga dobimo z odstranitvijo vozlišča w, povezan. Glede na izbrano vozlišče w, se v nadaljevanju 35

50 preverja možnosti obstoja še kakšnega k-vozliščnega grafka. [13] Reševanje sistema enačb poteka po določenem vrstnem redu. Z direktnim izračunom se določi števec orbite, ki pripada polnemu grafku. Pri 4-vozliščnih grafkih gre za orbito O 14, izračuna se torej spremenljivka o 14, pri 5-vozliščnih grafkih pa gre za orbito O 72, oziroma za spremenljivko o 72. Izračunana spremenljivka pripada največji orbiti glede na oznake v k-vozliščnem grafku. Orbita O 14 je največja orbita pri 4-vozliščnih grafkih, O 72 pa pri 5-vozliščnih grafkih. Reševanje sistema poteka tako, da se iz večjih (glede na oznake) števcev orbit računajo števci, ki pripadajo manjšim orbitam. Vsaka enačba je splošne oblike a 1 o i1 + a 2 o i a t o it = (c(s 1 ) + c(s 2 ) c(s u ) + C), S:G[S] =G j ;x S cond(s) kjer množica S predstavlja vozlišča grafka G j, na (k 1)-vozliščih, cond(s) pa je množica pogojev, ki določajo obstoj grafka G[S] v prvotnem grafu G. Pogoji dodeljujejo oznake vozlišč in hkrati preprečujejo štetje kakšnega grafka G j večkrat. Vsota poteka po vseh podgrafih G[S], ki so izomorfni grafku G j na (k 1)-vozliščih. Pri štetju orbit v 4-vozliščnih grafkih, vsota poteka po vseh 3-vozliščnih grafkih, pri štetju orbit 5-vozliščnih grafkov, pa vsota poteka po vseh 4- vozliščnih grafkih. Podgraf G[S] mora vsebovati vozlišče x, ki ga pogoji postavijo v neko fiksno orbito. Spremenljivke znotraj vsote so števila skupnih sosedov vozlišč v neki podmnožici S k, za katero velja S k S. Pri tem so v enačbo na desni strani vključene le vrednosti c(s k ), pri katerih za vozlišča iz množice S k velja, da z dodajanjem novega vozlišča w, ki se poveže z vozlišči iz S k nastane k-vozliščni grafek G i. Spremenljivka c(s k ) torej šteje, koliko je možnosti za novo vozlišče w, ki se v grafku G[S] poveže z vozlišči iz množice S k in skupaj tvorijo grafek G i. Ker spremenljivka c(s k ) vključuje tudi skupne sosede, ki so prisotni že v samem grafku G[S], je število le-teh potrebno odšteti. Sosednja vozlišča, ki so torej negativna (se odštejejo) so združena v konstanto C za vsak grafek G[S]. Vrednost c(s k ) je med 1 in 3, saj se dana spremenljivka navezuje na stopnje vozlišč in na število skupnih sosedov vozlišč iz množice S k. Leva stran enačbe predstavlja linearno kombinacijo števcev orbit, v katerih vozlišče x nastopa glede na obstoječe grafke G j z dodanim vozliščem, ki je povezano z vozlišči, ki pripadajo eni izmed podmnožic S k. K spremenljivkam o i so dodani koeficienti zaradi simetrij, ki se pojavijo pri štetju orbit. Hočevar in Demšar [13], sta pripravila sistem z desetimi enačbami, ki vključuje 11 števcev orbit vozlišč 4-vozliščnih grafkov in sistem z sedeminpetdesetimi enačbami, ki povezujejo 58 števcev orbit vozlišč 5-vozliščnih grafkov. Poleg tega sta konstruirala sistem z devetimi enačbami, v katerih nastopa 10 števcev orbit povezav grafkov na štirih vozliščih in sistem s petinpetdestimi enačbami, ki povezuje 56 števcev povezav grafkov na petih vozliščih. Navajata, da je z izbiro drugačnih vozlišč, ki jih želimo odstraniti, po tej metodi in ob pogojih, katerim mora ustrezati vozlišče za odstranitev, nemogoče ustvariti popoln sistem linearnih enačb. [13] 5.4 Sestava algoritma V tem poglavju bomo okvirno predstavili sestavo in potek delovanja algoritma Orca. Algoritem je sestavljen iz dveh delov. Prvi del je vnaprejšnja priprava nekaterih podatkov (c(x, y), p(x, y)...), drugi del pa je določitev števila orbit za vsako vozlišče ali povezavo. V ocenah časovnih zahtevnosti je e število vseh povezav, d pa največja stopnja vozlišča, ki se pojavi v grafu. [13] PREDRAČUN Za vsako vozlišče ali povezavo šteje, kolikokrat se le-ta pojavi v kakšnem polnem grafku: za vsako vozlišče ali povezavo šteje število polnih grafkov, v katerih 36

51 vozlišče ali povezava nastopa. K-vozliščni polni grafki nastanejo iz (k 1)-vozliščnih polnih grafkov, z ohranjanjem množice, v kateri so vsa vozlišča, ki so sosednja z vsemi vozlišči iz (k 1)-vozliščnega polnega grafka. Zgornja meja časovne kompleksnosti tega koraka je O(ed k 2 ). V primerjavi s celotnim časom izvajanja algoritma je čas izvajanja tega koraka v praksi zanemarljiv, ker je v redkih grafih prisotnih malo polnih grafkov. Šteje skupne sosede vsakega povezanega para in vsake tri-vozliščne poti: za vsak par in za vsak trojček povezanih vozlišč izračuna in shrani število skupnih sosedov. Ta korak ima časovno kompleksnot O(ed). Pri 5-vozliščnih grafkih je potreben še izračun števila poti dolžine 2, med vsakim parom vozlišč, za katerega dana pot obstaja. Poleg tega izračuna tudi število skupnih sosedov za vse povezane trojice vozlišč. To zahteva O(ed 2 ) časa. V splošnem torej O(ed k 3 ). ZA VSAKO VOZLIŠČE ALI POVEZAVO Izračuna desno stran enačbe na podlagi prej izračunanih podatkov (število skupnih sosedov) za (k 1)-vozliščne grafke: izračuna desne strani enačb iz sistema linearnih enačb. Za 4-vozliščne grafke vsota teče čez vse tri vozliščne poti ali trikotnike, v katerih dano vozlišče nastopa. Za 5-vozliščne grafke vsota teče po vseh 4-vozliščnih grafkih, v katerih se dano vozlišče pojavi. Desne strani enačb, v katerih vsota teče čez isti grafek, se izračunajo hkrati. Časovna kompleksnost tega koraka je O(edk 3 ). Reši sistem linearnih enačb: reši sistem linearnih enačb, za pridobitev števila orbit. Število vsake orbite se računa po vrsti. Od največje označene orbite proti manjšim glede na oznake. Računanje se začne z orbito, ki pripada polnemu grafku. Sistem enačb je redek, vsaka enačba ima največ, ampak ponavadi manj kot osem neznank. Sistem linearnih enačb je triangularen, koeficienti pri neznankah pa so cela števila. Poleg tega je sistem za vsako vozlišče ali povezavo rešen enkrat. Časovna kompleksnost je enaka O(n) za vozlišča in O(e) za povezave. Skupna časovna kompleksnost celotnega algoritma je O(ed k 2 + ed k 3 + ed k 3 + n) za vsa vozlišča in O(ed k 2 +ed k 3 +ed k 3 +e) za vse povezave. Teoretična časovna kompleksnost je O(ed k 2 ), kar je enako kot pri algoritmih, ki temeljijo na direktnem izračunu števcev orbit. Glede na to, da so grafi, ki jih analiziramo z grafki navadno redki in nimajo veliko polnih podgrafov je čas izračuna le-teh zanemarljiv. To privede do časovne kompleksnosti O(ed k 3 ). Tudi empirične meritve kažejo na časovno kompleksnost sorazmerno z ed k 3, ki je za 4-vozliščne grafke O(ed), za 5-vozliščne grafke pa O(ed 2 ). [13] 5.5 Posplošitev algoritma na večje grafke V prejšnjih podpoglavjih je bil pogoj za izbiro dodatnega vozlišča, oziroma vozlišča, ki smo ga v nekem grafku G j izbrali in označili z w, le ta, da dano vozlišče ni fiksno vozlišče (vozlišče x) ter da z odstranitvijo vozlišča iz grafka, nastane povezan grafek. Glede na izbrano vozlišče w, obstajajo različne enačbe. S pravšnjo izbiro tega vozlišča pa je postopek računanja v prvem delu algoritma (predračun) hitrejši. Za uspešno izvajanje prve faze algoritma, mora izbrano vozlišče w x za k 5 ustrezati naslednjim pogojem [12]: 1. deg(w) k 2; k = V Gj, 2. G j \ {w} je povezan graf, 3. če deg(w) = k 2, sosednja vozlišča od vozlišča w tvorijo povezan graf. 37

52 Z odstranitvijo vozlišča w se lahko zgodi, da grafek razpade na nepovezane podgrafe. Z drugim pogojem se temu izognemo in tako zagotovimo hitrejšo najdbo povezanih grafkov. Za čimhitrejši in enostavnejši izračun desne strani želimo, da štetje skupnih sosedov poteka le za dve ali največ tri vozlišča, kar nam zagotavljata prvi in tretji pogoj. V primeru, ko se zgodi, da je treba šteti skupne sosede (k 2) vozlišč, torej c(u, v, t), morajo biti le-ti povezani. Izognemo se torej štetju skupnih sosedov štirih vozlišč. Zanimivo vprašanje je, ali lahko opisani prijem uporabimo tudi za k-vozliščne grafke, kjer je k > 5. V nadaljevanju bomo pokazali, da obstaja vozlišče w, ki ustreza vsem trem zgoraj navedenim pogojem, za vse grafke na k-vozliščih, kjer velja k 4, ter za vsak x v grafkih, razen za grafek G 5 in za polne grafke. Naj bo L i množica vozlišč na razdalji i od vozlišča x. Potem je l i vozlišče iz množice L i z najmanjšo stopnjo. Naj bo L u zadnja, torej od x-a najdlje oddaljena množica vozlišč. Naj ima vozlišče l u najmanjšo stopnjo izmed vozlišč iz množice L u. Pokazali bomo, da vozlišče l u, razen v nekaj posebnih primerih, ustreza vsem trem zgoraj navedenim pogojem in je torej vozlišče w, ki ga izberemo. [12] Vsako vozlišče v L i, kjer je i > 0, ima vsaj enega soseda iz množice L i 1, saj prvo vozlišče na najkrajši poti od v do x pripada množici L i 1. Posledično velja, da so vse množice L i, kjer je i u, neprazne. Poleg tega velja tudi, da so vozlišča iz množice L i povezana le z vozlišči iz množic L i 1, L i in L i+1. Katerakoli povezava, ki bi vsebovala eno vozlišče iz množice L i in drugo iz množice L j, kjer je j < i 1, bi skrajšala pot od vozlišča x do vozlišča iz množice L i. [12] LEMA 1: Vsako vozlišče v L i ima lahko stopnjo največ (k i). Vozlišče v ni povezano z nobenim vozliščem iz množice L j, kjer je 0 j < i 1. Množica L j je neprazna, saj vsebuje vsaj i 1 nepovezanih vozlišč. Torej je stopnja vozlišča v največ k 1 (i 1) = k i. Posledično, če je deg(l u ) = k 2, potem je u 2. LEMA 2: Če je deg(v) = k 2 in v L 2, potem je v povezan z vsemi vozlišči razen z vozliščem x. Vozlišče iz množice L 2 ni povezano z vozliščem x, prav tako ni povezano samo s seboj, saj zanke niso dovoljene. Da bi bilo vozlišče v stopnje k 2, mora torej biti povezano z vsemi ostalimi vozlišči iz grafka. LEMA 3: Če grafek G ni poln graf, potem velja deg(l u) k 2. Za vsak u > 1 ta lema sledi direktno iz leme 1. Lemo 3 je torej potrebno potrditi le še za u = 1. Lotimo se s protislovjem: privzemimo, da je deg(l 1 ) = k 1. Po definiciji ima vozlišče l 1 najmanjšo stopnjo izmed vozlišč, ki so v množici L 1. Če ima torej vozlišče l 1 stopnjo enako deg(l 1 ) = k 1, imajo tudi vsa ostala vozlišča iz množice L 1 stopnjo enako k 1, saj je to največja možna stopnja za vozlišča iz te množice (sledi iz leme 1). Ker so torej vsa vozlišča iz zadnje množice L u povezana z vozliščem x, saj imajo stopnjo k 1, ima tudi vozlišče x stopnjo deg(x) = k 1. Vsa vozlišča imajo isto stopnjo, torej je grafek G poln graf. [12] Vozlišče l u, ki je najbolj oddaljeno od vozlišča x in ima najmanjšo stopnjo izmed vozlišč na razdalji i, torej iz množice L u, ustreza prvemu pogoju. Prav tako vozlišče l u ustreza drugemu pogoju, saj so vsa vozlišča povezana z vozliščem x na razdalji kvečjemu za u, kjer ni vključeno vozlišče l u. Z odstranitvijo vozlišča l u ostala vozlišča tvorijo povezan graf, saj so vozlišča povezana vsaj preko vozlišča x. Dokazati je treba še, da vozlišče l u zadošča tudi tretjemu pogoju, razen za 38

53 en poseben primer deg(l u ) = k 2 in u = 2 in k 5 in deg(l 1 ) k 2, kjer namesto vozlišča l u, pogojem ustreza vozlišče l u 1. Poglejmo si sedaj ustreznost tretjega pogoja na vseh različnih možnih primerih, pri tem pa upoštevajmo, da po lemi 3 stopnja vozlišča l u ne more biti večja od k 2. Iz leme 1 pa sledi, da u ne more preseči vrednosti 2. V pomoč naj nam bodo slikovni prikazi primerov na Sliki 31 [12]. Slika 31: Različni možni primeri. deg(l u ) < k 2: predpostavka tretjega pogoja ni resnična. deg(l u ) = k 2 in u = 1: ta primer je prikazan pod točko (a) na Sliki 31. Vsa vozlišča v grafu, razen vozlišča x, se nahajajo v množici L 1 in so od vozlišča x oddaljena za dolžino 1. Po definiciji so vozlišča iz množice L i povezana z vsaj enim vozliščem iz množice L i 1. V konkretnem primeru je edino vozlišče v množici L 0 vozlišče x. Torej so vsa vozlišča iz množice L 1 povezana z vozliščem x. Vozlišče x je zagotovo sosednje vozlišče vozlišča l 1, poleg x-a, pa je vozlišče l 1 lahko povezano še z dvema vozliščema iz množice L 1, ki sta povezana tudi z vozliščem x. Sosednja vozlišča od l 1 so torej povezana med seboj vsaj preko vozlišča x. deg(l u ) = k 2 in u = 2 in L 2 > 1: primer prikazuje točka (b) na Sliki 31. Vozlišče l 2 je v množici L 2 vozlišče z najmanjšo stopnjo, torej imajo vsa vozlišča iz množice L 2 enako stopnjo k 2. Iz leme 2 sledi, da je vsako vozlišče iz množice L 2 povezano z vsemi vozlišči v grafku, razen z vozliščem x. Sosednja vozlišča vozlišča l u so v množici N(l u ) = L 1 L 2 \ l u. Ker velja L 2 > 1, v množici L 2 zagotovo obstaja vozlišče v l 2, ki je povezano z vsemi vozlišči razen z vozliščem x. Vozlišče v je torej povezano z vozlišči iz množice L 1 L 2. Sledi, da je množica vozlišč N(l u ) povezana. deg(l u ) = k 2 in u = 2 in L 2 = 1 in k = 4: ustrezen primer je prikazan pod točko (c) na Sliki 31. Množica L 1 vsebuje dve vozlišči, ki sta po definciiji povezani z vozliščem x. Ti dve 39

54 vozlišči sta prav tako povezani z vozliščem l u = l 2 iz množice L 2, saj deg(l 2 ) = 4 2 = 2. Po definiciji vozlišče l 2 ni povezano z vozliščem x. Dana situacija privede do dveh različnih možnih grafov, to sta graf C 4 (grafek G 5 ) in tako imenovani diamant (grafek G 7 ). V primeru, ko gre za graf C 4, vozlišči iz množice L 1 nista povezani, posledično ta graf ne izpolnjuje tretjega pogoja. Medtem ko graf v obliki diamanta izpolnjuje vse tri navedene pogoje. deg(l u ) = 2 in u = 2 in L 2 = 1 in k 5 in deg(l 1 ) = k 1: primer je prikazan pod točko (d) na Sliki 31. Glede na dane lastnosti tega primera, je v množici L 2 le eno vozlišče in sicer l u = l 2. Torej so v množici L 1 vsa ostala vozlišča razen vozlišča l 2 in vozlišča x. Sledi, da je L 1 = k 2. Vsa vozlišča v množici L 1 tvorijo soseščino vozlišča l 2. Vozlišče l 1 iz množice L 1 ima deg(l 1 ) = k 1, potem imajo vsa vozlišča iz množice L 1 takšno stopnjo. Torej je vsako vozlišče iz množice L 1 povezano z vsemi vozlišči iz dane množice, z vozliščem x in z vozliščem l 2. Kljub odstranitvi vozlišča l u bi bila sosednja vozlišča povezana. Tretji pogoj je izpolnjen. deg(l u ) = k 2 in u = 2 in L 2 = 1 in k 5 in deg(l 1 ) k 2: v množici L 0 je vozlišče x, iz lastnosti sledi, da je v množici L 2 le eno vozlišče in sicer vozlišče l 2. V množici L 1 so torej vsaj tri vozlišča. Po definiciji so vsa vozlišča iz množice L 1 povezana z vozliščem x, prav tako so vsa vozlišča iz dane množice povezana z vozliščem l 2. Povezanost poljubnega vozlišča iz množice L 1 z vozliščem iz iste množice ni nujna, saj vsako vozlišče iz množice L 1 že ustreza lastnosti deg(l 1 ) k 2, kar privede do nepovezanosti med vozlišči, ki so sosednji vozlišču l u. Sledi, da vozlišče l u ne ustreza vedno tretjemu pogoju. V tem posebnem primeru za vozlišče l u izberemo vozlišče l 1, torej vozlišče iz množice L 1 z najmanjšo stopnjo izmed vozlišč v tej množici. Preveriti je treba ali izbrano vozlišče, torej l i 1 izpolnjuje vse tri pogoje. Na Sliki 31 sta ločena dva primera: pod točko (e) je primer za deg(l 1 ) < k 2, pod točko (f) pa primer, ko je deg(l 1 ) = k 2. Prvi pogoj je v obeh primerih zagotovo izpolnjen, saj sledi iz samih lastnosti tega posebnega primera. Drugi pogoj je prav tako izpolnjen, saj je graf G \ l 1 povezan, ker so vsa njegova vozlišča iz množica L 1 povezana z vozliščem x, zato se povezanost ohranja vsaj preko tega vozlišča. Vozlišče l 2 je povezano z vsemi vozlišči iz množice L 1, torej tudi z vozliščem l 1. Tretji pogoj je treba preveriti le za situacijo, ko je deg(l 1 ) = k 2. V soseščini vozlišča l 1 je vozlišče x, vozlišče l u = l 2 in vsa vozlišča, z izjemo enega, iz množice L 1. Iz danih pogojev sledi, da mora veljati L 1 3. Sledi, da je v dani množici L 1 zagotovo vsaj eno vozlišče, ki je sosednje vozlišču l 1 in je hkrati povezano z vozliščem x in vozliščem l u = l 2. Vozlišča iz soseščine N(l 1 ) so torej povezana. Tretji pogoj je izpolnjen. Poglejmo še, kako so izpolnjeni trije pogoji za izbiro vozlišča w pri orbitah povezav v grafkih. V tem primeru ne gre za fiksno vozlišče, ampak je dana fiksna povezava (x 1, x 2 ), kjer izbrano novo vozlišče w, ne sme biti enako nobeni izmed krajiščnih točk fiksne povezave. Naj bo x = x 1, pokazati je treba, da vedno obstaja takšno izbrano vozlišče w x 2, ki ustreza vsem trem pogojem. Vozlišče x 1 je torej v množici L 0, posledično spada vozlišče x 2 v množico L 1. Težave se lahko pojavijo v primerih, ko je tudi vozlišče w v množici L 1, saj ne sme sovpadati z vozliščem x 2. V takih primerih je treba pokazati, da sta v množici L 1 vsaj dve različni vozlišči. V nadaljevanju si bomo pogledali primere, v katerih se zgodi dana sitaucija [12]: deg(l u ) < k 2: v obzir je treba vzeti le primer ko je u = 1. Ko velja deg(l u ) < k 2 vsa vozlišča iz množice L 1 zadovoljujejo prvi pogoj. Prav tako je zagotovljen drugi pogoj, saj so 40

55 vsa vozlišča, razen w, povezana vsaj preko vozlišča x. Tretji pogoj se tu ne upošteva. deg(l u ) = k 2 in u = 1: vsa vozlišča iz množice L 1 so torej povezana z vozliščem x, drugi pogoj brez dvoma velja, saj z odstranitvijo kateregakoli vozlišča iz L 1, ostala vozlišča ostanejo povezana vsaj preko vozlišča x. Prav zaradi istega razloga velja tudi tretji pogoj. V množici L 1 zagotovo obstaja vozlišče s stopnjo k 2, torej je v množici L 1 zagotovo par nepovezanih vozlišč. Ker je l u = l 1 vozlišče z najmanjšo stopnjo v množici L 1, imata obe nepovezani vozlišči stopnjo k 2. Izpolnjen je tudi prvi pogoj. deg(l u ) = k 2 in u = 2 in L 2 = 1 in k 5 in deg(l 1 ) k 2: vozlišče l u = l 2 je stopnje k 2, torej je povezano z vsemi vozlišči iz množice L 1. Vsa vozlišča iz L 1 pa so zagotovo povezana tudi z vozliščem x. Zaradi lastnosti deg(l 1 ) k 2, vozlišča iz množice L 1 zagotovo ne tvorijo polnega grafa. Torej v množici L 1 obstaja par vozlišč, ki niso povezana. Izpolnjeni so vsi trije pogoji. 5.6 Program Orca Programski paket Orca je dosegljiv na spletni strani (dosegljivo ). Program je v večini napisan v programskem jeziku C++ z nekaj funkcijami implementiranimi v R. Za delovanje je treba na računalniku namestiti programsko orodje R verzijo 2.15 ali novejšo. Programski paket Orca vključuje štiri funkcije: count4: šteje orbite vozlišč grafkov na štirih vozliščih, count5: šteje orbite vozlišč grafkov na petih vozliščih, ecount4: šteje orbite povezav grafkov na štirih vozliščih, ecount5: šteje orbite povezav grafkov na petih vozliščih. Vse funkcije kot argument sprjemejo graf, ki je shranjen kot objekt iz paketa graf ali kot ex2 povezavna matrika, kjer vsaka vrstica vsebuje par vozlišč z integer indeksi. Graf je lahko shranjen tudi kot podatkovni okvir v enakem formatu. Vse funkcije vrnejo numerično matriko, v kateri so v vsaki vrstici vozlišča ali povezave grafa, v stolpcih pa orbite. Poglejmo si primer uporabe programa na manjšem omrežju Karate kluba (Zachary, 1977), ki je že vključen v paket Orca. Uporabljali smo program R verzijo 3.3. V programsko orodje R najprej naložimo knjižnico orca z ukazom library(orca). Omrežje karate je že vključeno v paketu, zato ga je treba le poklicati z ukazom data(karate). Če želimo izvedeti, koliko povezav ima omrežje, moramo preveriti dimenzijo matrike, kar naredimo z ukazom dim(karate). S pridobljenm zadnjim indeksom v matriki izvemo, koliko je vozlišč v omrežju, zato uporabimo ukaz max(karate). Slika 32 prikazuje izvedbo do sedaj omenjenih ukazov in izpisov v R. Omrežje ima torej 34 vozlišč in 78 povezav. 41

56 Slika 32: Dodajanje Orce in omrežja v R. Poglejmo si sedaj uporabo vseh štirih funkcij na omrežju karate: count4(karate): v spremenljivko orbitev4 shranimo izračun orbit vozlišč do 4-vozliščnih grafkov. Slika 33 prikazuje rezultat za prvih šest vozlišč. Slika 33: Izračun orbit vozlišč za 3- in 4-vozliščne grafke. count5(karate): v spremenljivko orbitev5 shranimo orbite vozlišč za 5-vozliščne grafke. Slika 34 prikazuje rezultat za prvih šest vozlišč do orbite O 30. Slika 34: Izračun orbit vozlišč za 5-vozliščne grafke do orbite O

57 ecount4(karate): v spremenljivko orbitep4 shranimo orbite povezav do 4-vozliščnih grafkov. Rezultat za prvih šest povezav je prikazan na Sliki 35. Slika 35: Izračun orbit povezav do 4-vozliščnih grafkov. ecount5(karate): v spremenljivko orbitep5 shranimo orbite povezav za 5-vozliščne grafke. Rezultat za prvih šest povezav do orbite O 30 prikazuje Slika 36. Slika 36: Izračun orbit povezav za 5-vozliščne grafke do orbite O

58 V programu R lahko z namestivijo paketov network, GGaly, sna, ggplot2 preverimo nekatere osnovne lastnosti omrežja, poleg tega pa lahko naredimo tudi vizualizacijo. Z ukazom degree() dobimo zaporedje stopenj omrežja, kjer ugotovimo, da je 17 največja stopnja, ki se v omrežju pojavi. Lahko preverimo tudi gostoto grafa, kar naredimo z ukazom network.density(). Slika 37 prikazuje izračun zaporedja stopenj in gostote omrežja Karate. Dobimo naslednje rezultate: ZAPOREDJE STOPENJ: Slika 37: Izračun zaporedja stopenj in gostote omrežja. 16, 9, 10, 6, 3, 4, 4, 4, 5, 2, 3, 1, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 5, 3, 3, 2, 4, 3, 4, 4, 6, 12, 17 GOSTOTA GRAFA: V tem primeru gre za majhno omrežje, ki ga lahko vizualiziramo in že tako vidimo nekatere njegove značilnosti. Zavedati se je treba, da štetje orbit postane uporabno pri večjih omrežjih, pri katerih sama vizualzacija ne pokaže veliko. Z ukazom ggnet2(omrezje) pa naredimo vizulizacijo omrežja prikazano na Sliki 38. Iz vizualizacije je lepo razvidno, da je v omrežju veliko vozlišč z majhno stopnjo, če pogledamo zaporedje stopenj gre za vozlišča stopnje 2, 3 ali 4, ter tri vozlišča z večjim številom povezav (17, 16, 12), to so hubi. 44

59 Slika 38: Vizualizacija omrežja karate. Poglejmo si uporabo programa na večjem omrežju. Gre za omrežje Schools Wikipedia, ki ga najdete na spletni strani programa Orca. Ker gre za veliko omrežje nam vizualizacija le-tega ne pove veliko. Iz Slike 39 je razvidno, da ima omrežje 5837 vozlišč in povezav ter gostoto Slika 39: Število vozlišč, povezav in gostota omrežja. Uporabimo funkciji za 4-vozliščne grafke, ki jih ponuja Orca, torej count4() in ecount4(). V spremenljivko ov 4 shranimo izračun orbit vozlišč, v spremenljivko op4 pa izračun orbit povezav. Izračun preverimo za prvih šest vozlišč in prvih šest povezav. Slika 40 prikazuje izračun in izpis za orbite vozlišč, Slika 41 pa za orbite povezav. 45

60 Slika 40: Izračun orbit vozlišč za 3- in 4-vozliščne grafke. Slika 41: Izračun orbit povezav za 3- in 4-vozliščne grafke. 46