Obične diferencijalne jednačine

Transcript

1 3 Običe diferecijale jedačie Običe diferecijale jedačie se često javljaju ri matematičoj aalii hemijsoižejersih rocesa. Tiiči rimeri su: aalia stacioarog reosa tolote i mase ž jedog oordiatog ravca i aalia romee sastava reacioe smeše u tou vremea u idealo mešaim šaržim reatorima. Da se odsetimo da je običa diferecijala jedačia ODJ jedačia u ojoj figurišu ivodi eoate fucije f. Tao je ošti imliciti obli ODJ : F K 3. i ojeg je ead moguće dobiti esliciti obli rešavajem o ajvišem ivo: d d f K 3.a Kažemo da je ODJ 3. -tog reda jer je ajviši ivod oji figuriše u joj reda Diferecijala jedačia 3. važi a eom itervalu vredosti eaviso romeljive a b oji može da bude i besoača. Primeri:. Diferecijala jedačia oja oisuje reos tolote ro id debljie d čije su ostale dve dimeije vrlo velie važi u itervalu d ri čemu je oordiati očeta ostavlje a jedoj od graičih ovršia ida.. Diferecijala jedačia oja oisuje romeu ocetracije reatata u šaržom reatoru važi u besoačom itervalu vremea. ešeje ili itegral diferecijale jedačie Svaa fucija oja adovoljava datu dif. jedačiu - tog reda 3. u itervalu ab redstavlja jeo rešeje. Pri tom oo je ošte ada sadrži tačo roivoljih ostati i i... oje se ovu itegracioe ostate 4

2 Primer: artiularo oje se dobija i ošteg određivajem brojih vredosti itegracioih ostati i isto tolio dodatih uslova oje moraju da adovolje fucija i jei ivodi a graicama a i b oblasti defiisaosti. Ti dodati uslovi se ovu graiči uslovi. Pojavljivaje itegracioih ostati u oštem rešeju ćemo ilustrovati a jedostavom rimeru dif. jedačie 3. reda: 3 d 3 d Prvom itegracijom jedačie dobijamo: d d gde je roivolja ostata. Druga itegracija daje : d d gde je druga itegracioa ostata i oačo rešeje dobijamo još jedom itegracijom: d d i oo sadrži tačo tri itegracioe ostate. 3 Problemi sa očetim i graičim uslovima U avisosti od ostavljeih dodatih uslova u dif. jedačiu -tog reda raliujemo Probleme sa očetim uslovima iitial value roblem od ojih je svih dodatih uslova adato a levoj graici itervala a b i oi se aivaju očeti uslovi. U stadardim roblemima to ači da je adato: a a a K a Probleme sa graičim ili oturim uslovima boudar value roblem ada su ei uslovi dati a levoj graici a a ei a desoj graici b oblasti defiisaosti Kažemo da su graiči uslovi radvojei slit boudar coditios Primeri:. Promea ocetracije reatata oji se troši u eoj homogeoj hemijsoj reaciji roivodi sa vremeom t ri ostatoj temeraturi i gustii reacioe smeše u šaršom reatoru sa idealim mešajem reacioe smeše oisaa je diferecijalom jedačiom. reda: d r t 43

3 sa očetim uslovom: gde je r ira a briu hemijse reacije u fuciji ocetracije reatata i temerature.u itaju je očeti roblem a diferecijalu jedačiu. reda.. o se ista reacija ivodi u iotermom stacioarom cevom reatoru žie L romea ocetracije reatata ž reatora oisaa je diferecijalom jedačiom. reda: D d d d w r < d < sa graičim uslovima: gde su : w w D ula u reator L : L ila i reatora - ulaa ocetracija reatata; D - oeficijet difuije reatata; w bria strujaja reacioe smeše ro reator. U itaju je graiči roblem. L Lieare diferecijale jedačie Diferecijala jedačia oblia d d d d d a a a a F L 3. d d d je lieara dif. jedačia -tog reda. Pretostavlja se da su fucije a K i F ereide a osmatraom itervalu a b. o su secijalo oe ostate oda je 3. jedačia sa ostatim oeficijetima Pogl Kada je F ažemo da je jedačia homogea a iače je ehomogea. Diferecijale jedačia oje emaju obli 3. su elieare. Problemi rešavaja eliearih ODJ - elieari roblemi su ato teži od liearih roblema rešavaje liearih jedačia. Primeri: Diferecijala jedačia d d d d je jeda lieara ehomogea diferecijala jedačia do su jedačie d d d d 44

4 elieare. d d a d d Egistecija i multilicitet rešeja eliearih diferecijalih jedačia. Kao i od eliearih algebarsih jedačia ri rešavaju eliearih diferecijalih jedačia ostoje mogućosti da ema i jedog realog rešeja; ima više rešeja oja adovoljavaju date graiče uslove - multilicitet rešeja. Utvrđivaje uslova a egisteiju jedog ili više rešeja eliearih roblema je vrlo omlesa matematiči roblem. Sigulara rešeja Pri rešavaju eliearih diferecijalih jedačia moguće je u ostuu rešavaja ored jedog ošteg rešeja dobiti još jedo rešeje oje se e može ivesti i ošteg i a jeda set vredosti itegracioih ostati. Tavo rešeje se aiva sigularo. Oo dale e riada familiji rivih oja se dobija varirajem itegracioih ostati u oštem rešeju. Drugim rečima sigularo rešeje adovoljava diferecijalu jedačiu ali e adovoljava adate graiče uslove. Primer sigularog rešeja biće dat u Pogl NEKE JEDNČINE PVOG ED Diferecijale jedačie rvog reda se mogu adati u tri oblia: imliciti: F eslicitii: f sa diferecijalima: P d Q d Jaso je da ostoji samo roblem sa očetim uslovom i oga se određuje itegracioa ostata u oštem rešeju i tao dobija artiularo rešeje. Podsetićemo se dva tia ODJ. reda oji se ored jedačia sa radvajajem romeljivih ajčešće sreću u hem. ižejersim roblemima: homogea i lieara dif. jedačia i uoaćemo se sa iatijevom dif. jedačiom. 45

5 3.. Homogea jedačia Homogea dif. jedačia se može dovesti u obli: d d f 3.3 i smeom: u 3.3a se revodi u jedačiu sa radvajajem romeljivih. Zaista ošto je reultat uvođeja smee je : u u u u d f u i možemo radi itegracije da radvojimo romeljive: f u u d l l 3.4 gde je itegracioa ostata. PIME 3. Naći ošte rešeje diferecijale jedačie: d d Preuređivajem revodimo jedačiu u obli 3.3: Smea 3.3a daje: odoso d d u d d d u u u d u 46

6 advajaje romeljivih: u u d Itegracija: Smea u / i sređivaje daje oačo: u l u l e u u e PIME 3. U idealo mešaom šaržom reatoru se istovremeo odigravaju elemetare reacije: S 3.5 Počete ocetracije učesia u reacijama su: S Potrebo je odrediti veu imeđu ocetracije reatata i steea overije reatata u tou rocesa tj. fuciju gde je 3.5a Pošto su u itaju elemetare reacije ači da su. reda sa briama mol m 3 s : r r Materijali bilasi daju dif. jedačie oje ajedo sa očetim uslovima oisuju romee ocetracija reataata u tou vremea : d d 3.6 Deljejem levih i desih straa jedačia elimiiše se vreme i dobija dif. jedačia oja oisuje ocetracije jedog od reataata u fuciji ocetracije drugog. Tao deljejem druge rvom jedačiom dobijamo dif. jedačiu: 47

7 d d 3.7 ojoj treba ridodati i očeti uslov:. adi lašeg aisivaja umesto i rivremeo ćemo oristiti oae i i uvešćemo arametar α. ešavamo dale dif. jedačiu d d α α > oja je očigledo homogea. Smea 3.3a daje : u αu d oju itegrišemo: α u l l α [ α u] [ α u] l[ α u] α α l α u K K u α α α α Koačo ošte rešeje glasi: K α u α α odoso α α K Preostaje da se odredi itegracioa ostata K i očetog uslova: Tražea fucija je : α K α K α α 48

8 49 [ ] α α α α 3.8 i ije defiisaa a jediiču vredost bedimeioog arametra α. o odos treute i očete ocetracije reatata oačimo sa i gorje fucije dobijamo avisost odosa od steea overije reatata defiisaog jedačiom 3.5a [ ] { } M M M α α α 3.9 Parametar M je molsi odos reataata i a očetu reacije. Preostaje roblem alažeja rešeja dif. jedačie 3.7 a secijala slučaj α ada e važi dobijeo rešeje 3.8. O se može rešiti a dva ačia alažejem graiče vredosti rešeja 3.8 ili 3.9 ada α rešavajem dif. jedačie 3.7 sa α Za rvi metod am treba graiča vredost iraa [ ] { } α α lim lim lim M M oji je a α eodređe /. Najbrže ćemo limes aći oristeći Loitalovo ravilo: [ ] l l lim lim M M M M Dale tražeo rešeje je : l α M M Ostavljamo čitaocu da ovo rešeje ađe a drugi ači tj. rešavajući dif. jedačiu: d d PIME 3.3 aliiraćemo reacioi sistem i rethodog roblema sa ižejerse tače gledišta. adi aalie riosa željeog roivoda i utrošaa reataata u avisosti od trajaja rocesa bilo bi vrlo oriso aći ocetracije reataata ao fucije vremea i t t. To ahteva rešavaje sistema dif. jedačia rvog reda 3.6 oje su

9 elieare i to je teža matematiči roblem. lterativo taj roblem možemo svesti a rešavaje jede diferecijale jedačie oju dobijamo smeom fucije jed. 3.8u rvu dif. jedačiu. eultat je jedačia : d [ α ] α α 3. čijim rešavajem dobijamo t. Preostaje da se smeom u fuciju dobije i t. Međutim iao je u itaju ajjedostaviji ti ODJ. reda jedačia oja radvaja romeljive itegral oga treba rešiti ema aalitičo rešeje tj. e može da se irai reo elemetarih fucija. Preostaje dale da se roblem rešava ribližo ili umeriči. Zato ćemo se sada ograičiti a aaliu rešeja dobijeog u rethodom rimeru. Na sliama 3. i 3. dati su grafici dobijee fucije 3.9 : α M α α {[ M α ] M } a odabrae vredosti arametara α i M. Uočavamo da osmatraa fucija ima egative vredosti a ee vredosti arametara što ema fiičog smisla sobirom da je u itaju odos treute i očete ocetracije reatata. To ači da je sav reatat otroše. Proces se odvija do mometa u ome tj. ostaje jedao uli. Odgovarajuća vredost tj ula fucije α M redstavlja masimalu overiju reatata oja se može ostići sa datim arametrima α i M. α.5.5 α. α α Sl. 3. Grafici fucije α M a α.5 M..5 5

10 α.5 α. α α Sl. 3. Grafici fucije α M a α M..5 Od ratičog je iteresa aći masimale overije reatata a odabrae vredosti arametara i to ćemo uraditi u Mathcad-u Mathcad fajl P3.3: 3.. Lieara jedačia Ošti obli lieare ODJ. reda je : d P Q 3. d P i Q su fucije samo od što čii jedačiu liearom o tražeoj fuciji i jeom ivo.ošti itegral jedačie 3. se dobija ao: P d [ Q e ] P d e 3. PIME 3.4 Naći ošte rešeje jedačie: d d P Q d P d e el e 5

11 Q e P d 4 3 d d e l el PIME 3.5 U šaržom ratoru se odigravaju dve oseutive reacije: S Polae ocetracije su: S Treba aći fucije oje oisuju romee ocetracija i S sa vremeom a slučajeve: a Obe reacije su. reda b Prva reacija je. reda a druga reacija je. reda. Slučaj a Komoeti bilasi su: 4 d : 3.3a d : 3.3b ds S : S 3.3c Imamo sistem ODJ. reda oji se u osmatraom slučaju može rešiti ostuo jeda o jeda dif. jedačia u redosle: rešavajem jed 3.3a oja radvaja romeljive dobijamo fuciju t smeom t u 3.3b dobijamo liearu dif. jedačiu čije rešeje je t oačo smeom t u 3.3c dobijamo dif. jedačiu oja radvaja romeljive čijom itegracijom dobijamo treću fuciju S t Partiularo rešeje. dif. jedačie je: t e t 3.4a i smeom u drugu jedačiu dobijamo liearu dif. jedačiu: d t e Imamo 5

12 P t Q t e t i ošte rešeje t dobijamo i 3. sa t ao itegracioom romeljivom umesto : Q te Tao je ošte rešeje P t e e e t P t e [ t] e [ t] t e t e [ t] I očetog uslova alaimo itegraciou ostatu: što ao smee daje drugu tražeu fuciju: t [ e t e t ] 3.4b Koačo S t dobijamo itegracijom treće jedačie. Umesto da rvo ađemo ošte rešeje a oda artiularo određivajem itegracioe ostate možemo odmah da tražimo artiularo rešeje oje adovoljava dati očeti uslov S rešavajući određei itegral: t S t t t d e d e e t e d S t [ e t e t ] 3.4c Na Sl.3.3 data je sica dobijeih rešeja.vidimo da je ocetracija reatata mootoo oadajuća fucija sa ultom horiotalom asimtotom a ocetracija rajjeg roivoda S mootoo rastuća fucija sa horiotalom asimtotom S. Kocetracija međuroivoda rvo raste a oda oada asimtotsi se ribližavajući uli. o je o željei roivod što je ajčešće slučaj u rasi tj. reacija S je eželjea od ratičog iteresa je aći momeat ada je jegova ocetracija masimala jer je to otimalo vreme trajaja rocesa. Ostavljamo čitaocu da oaže da je taj momeat : 53

13 t ma l 3.5a a masimala ocetracija međuroivoda: ma 3.5b Sl. 3.3 Promee ocetracija omoeata i S u fuciji od vremea Slučaj b ilasi omoeata i glase: Itegracija rve dif. jedačie daje fuciju t : sa ojom druga dif. jedačia ostaje: d : 3.6a d : 3.6b t t 54

14 d t Ošte rešeje dobijamo rimeom 3.: U itegral ćemo uvesti smeu: eultat je : t e t e t 3.7 t d t e t t e a d e e e d gde je : a Smea u 3.7 daje : e a t e t e d e t 3.8 Itegral u irau ema aalitičo rešeje ali ga možemo dobiti u obliu besoačog steeog reda itegracijom Maloreovog reda oditegrale fucije. Tao dobijamo mogućost iračuavaja fucije t sa eom tačošću. Pre ravoja u red i itegacije ivešćemo arcijalu itegraciju radi ojedostavljeja itegrala: d u e a dv a e a v e a e a d a e a a l a Tao je ošte rešeje e a e a d a d 3 a e a a a a l a!! 3 3! a! L 55

15 56 t t a a a a a t t e! l e e 3.9 Itegraciou ostatu određujemo i očetog uslova: : t t! e! e e a a a a a 3.9a Jaso je da su valitativo grafici ocetracija omoeata sliči oima u roblemu a s tim što su horiotale asimtote idetiče jer oe e avise od ietie rocesa već od stehiometrije oja je u oba slučaja ista iatijeva jedačia iatijeva iccati dif. jedačia je elieara dif. jedačia. reda i je ošti obli je: Q P d d 3. U matematičim modelima hem.ižejersih sistema često se javlja secijala slučaj P : Q d d 3. o je oato jedo artiularo rešeje jedačie 3. je ošti itegral se može dobiti smeom: 3. oja je trasformiše u liearu dif. jedačiu o fuciji. Zaista: Q Q P

16 Q P Q P P Q Q P P P P Q P [ ] P Q P d d 3.3 PIME 3.6 Data je dif. jedačia: 5 a Poaati da je jedo artiularo rešeje date jedačie lieara fucija: b a b Naći jeo ošte rešeje. a Smea retostavljeog artiularog rešeja u jedačiu daje : 5 5 a b a b b a b a b 5 a b b a b a b b Imamo 4 Q P Q P eultat je dif. jedačia oja radvaja romeljive: 4 d d 4 e4 4 4 l l 4 l4 4 4 d Koačo i 3. dobijamo tražeo ošte rešeje: e4 4 Partiularo rešeje se u oštem slučaju alai čistim robajem sa eivesim reultatom. Trasformacija u homogeu liearu jedačiu drugog reda U edostatu artiularog rešeja roblem rešavaja iatijeve dif. jedačie 3. se trasformiše u roblem rešavaja homogee lieare dif. jedačie drugog reda smeom:

17 u 3.4 P u Naime iao je u itaju dif. jedačia. reda jeo rešavaje je laše lieara roblem od rešavaja olae jedačie e lieara roblem.eultat smee 3.4 je : U secijalom slučaju 3. smea je i reultujuća jedačia je jedostavija: d u P [ P P Q ] [ P ] u 3.5 d d u 3.4a u d u Q u d d 3.5a PIME 3.7 Za dve oseutive reacije: S i olae ocetracije: S treba aći fucije oje oisuju romee ocetracija i S sa vremeom ao je. reacija. reda a. reacija. reda. ilasi omoeata i glase: d : 3.6a d : 3.6b Kada rešeje. jedačie 3.4a uvedemo u drugu dobijamo jedačiu : d t e oju možemo svesti a secijala slučaj iatijeve jed. 3. ulajajem fatora oji moži vadrat fucije utem smee eaviso romeljive t : d d d d d d d d e 58

18 d d e Imamo Q i reultat smee 3.4a je : u d d u d e u NEKE NELINENE JEDNČINE DUGOG ED Kao što smo već aomeuli aalitičo rešavaje eliearih roblema je u oštem slučaju vrlo složeo i e ostoje a to ošte stadarde metode. Tao se samo ei tiovi eliearih dif. jedačia. reda mogu rešiti aalitiči revođejem u jedostavije robleme i to ajčešće u : dif. jedačiu rvog reda ili dif. jedačiu drugog reda secijalog tia ao što je lieara jed. ili jedačia homogea o eaviso romeljivoj odgovarajućom smeom romeljivih. 3.. Jedačia eslicito e sadrži fuciju Jedačia oja eslicito e sadrži fuciju : se očigledo smeom: revodi u jedačiu. reda F F čijim rešavajem dobijamo rvi ivod fucije ao fuciju od. Preostaje još jegova itegracija da bi dobili tražeu fuciju. Isti ostua se rimejuje i a lieare jedačie. reda. PIME 3.8 Naći ošte rešeje lieare dif. jedačie: 59

19 d d Smea 3.9 daje liearu jedačiu. reda: d d d d čije ošte rešeje alaimo omoću formule 3.: d [ e d d ] e [ e d ] e e e e Još jedom itegracijom dobijamo tražeu fuciju: d e d Možemo eodređei itegral da ameimo određeim u graicama do što će samo ačiti romeu vredosti itegracioih ostati ri jihovom određivaju i graičih uslova: e t Preoajemo fuciju greše. i tao je oačo rešeje: gde je ostata π amejea sa. erf PIME 3.9 ešiti eliearu jedačiu d d d d Smeom dobijamo iatijevu dif. jedačiu 3. sa Q : d d Nju smeom 3.4a 6

20 u u revodimo u liearu jedačiu. reda: d u u d 3.3 oatu u literaturi od imeom Erijeva ir jedačia čije je ošte rešeje u sastavljeo od secijalih Erijevih fucija u obliu besoačih redova. Tao se i rešeje olae jedačie dobija u obliu reda što s obirom a dve rimejee smee uljučuje: oeracije difereciraja reda i deljeja redova radi dobijaja i itegracije dobijeog reda radi dobijaja tražeog rešeja. 3.. Jedačia eslicito e sadrži eaviso romeljivu Jedačia F 3.3 se revodi u jedačiu. reda istom smeom 3.9 ri čemu treba osmatrati ao fuciju od : d d d d d d 3.3 PIME 3. ešiti eliearu jedačiu Uvođejem smea 3.3 dobijamo jedačiu: Oa će biti adovoljea ao je ili : d d 3.33 d d d 3.33a d i ramotrićemo obe mogućosti. Jedačia 3.33a radvaja romeljive i je itegral je: d d Tražeu fuciju dobijamo još jedom itegracijom: 6

21 d l l e 3.34 Drugo rešeje oje dobijamo i uslova je ostata i vidimo da se oo dobija i ošteg rešeja 3.34 sa što ači da ije sigularo. PIME 3. Posmatraćemo stacioaru asorciju gasa u eoretom sloju tečog rastvarača velie debljie teorijsi besoače raćeu reacijom sa rastvaračem. Ovaj roblem je atuela ri simulaciji eih oloa sa mehurovima bubble colum reatori a hemisorciju. Za briu reacije ćemo bog veliog viša tečog reatata ueti: r mol m 3 s gde ostata brie reacije uljučuje ocetraciju tečog reatata oja je ratičo ostata. adi ojedostavljeja roblema uećemo da je međufaa ovršia rava. Potrebo je aći fuciju oja oisuje romeu ocetracije sustace o bii sloja rastvarača. Neohodo je ajre formirati matematiči model rocesa tj. diferecijalu jedačiu i graiče uslove oji defiišu tražeu fuciju.diferecijala jedačia se dobija ao bilas reatata a sloj tečosti ormala a osu besoačo male debljie. Ošti obli bilasa materijalog stacioarog sistema glasi: ula - ila geerisaje u sistemu * Gas Tečost D d d S D d d d S D d d d S Sl Šema u bilas reatata 6

22 Ula u osmatrai sistem sloj tečosti sustace se ostvaruje difuijom oja je osledica romee ocetracije ž -ose ro graiču ovršiu sloja a oiciji. O je oisa difuioim flusom oji je rema Fiovom aou: N D d d S mol s gde je S veličia ovršie. Da se odsetimo da a mius u Fiovom aou daje iformaciju o smeru flusa s obirom da je o o rirodi vetorsa veličia. Tao ao se a N dobije oitiva broja vredost to ači da difuioi flus ima smer ose do egativa vredost flusa uauje a surota smer od usvojeog smera ose. Za flus sustace u osmatraom roblemu dobijamo oitivu vredost jer je ivod egativa što ači da difuje u smeru ose Ila ro graiču ovršiu a oiciji je taođe reultat difuije i dat je istim iraom s tim što se vredost ivoda uima u tači slia. Geerisaje je egativo i redstavlja trošeje reatata u hem. reaciji u osmatraom sloju: Tao je bilas: Geerisaje rv S mol s d d d D S D S S d d d geerisaje ula odoso ao deljeja sa aremiom osmatraog sloja: ila d D > 3.35 d Postavićemo sada i eohode graiče uslove. Na levoj graici ocetracija reatata je jedaa ocetraciji asićeog rastvora osmatrae sustace rastvorljivost * jer se a dodiru gase i teče fae usostavlja termodiamiča ravoteža. Na desoj graici reatat je otroše i ema više reacije. To ači da u toj tači ao i u oblasti > ema i difuije reatata - u surotom bi došlo do aumulacije reatata što je suroto retostavci o stacioarosti rocesa! Dale graiči uslovi glase: 3.35a * 3.35b Kao što ćemo se a osovu rešeja ostavljeog graičog roblema uveriti desa graica može biti oača ao je red reacije maji od ili u besoačosti ocetracijsi rofil ima horiotalu asimtotu a red reacije. U itaju je graiči roblem sa eliearom jedačiom oja e sadrži eaviso romeljivu. Smea 3.3 daje jedačiu. reda oja radvaja romeljive: 63

23 64 D d d sa oštim rešejem: D odale a rvi ivod imamo : D d d ± samo egativa vredost orea ima fiičog smisla s obirom da ocetracija reatata bog trošeja u reaciji oada ri udaljavaju od ida vidi Sl I uslova 3.35b a desoj graici sledi vredost itegracioe ostate:. Druga itegracija daje : d D d D I rvog graičog uslova 3.35a dobijamo drugu itegraciou ostatu: * a je: D * D * Koačo rešeje možemo da riažemo u sledećem obliu: * * > D 3.36 Sada je očigledo da fucija ima ulu samo a < iače je oitiva i teži uli ada. Zači da se u slučaju reacija reda majeg od reatat otroši a eom

24 oačom rastojaju od međufae ovršie što ije slučaj a reacije reda. Tao bi a < bilo oreto formulisati ocetracijsi rofil ao: * * D < 3.36a > PIME 3. U ru ataliatora oblia tae ločice čija debljia L je ato maja od ostale dve dimeije vidi Sl.3.4 odigrava se u stacioarim i iotermsim uslovima ataliovaa gasa reacija - tog reda: g g r r bria reacije a atalitičoj ovršii mol m s s ostata brie ovršise reacije s Pošto su bae ovršie osmatrae tae ločice mogo veće od obode ovršie Sl može se usvojiti da se ocetracija reatata ratičo meja samo o debljii ločice tj. o ravcu ormalom a bae ovršie ločice. Naime u tom ravcu je iteracija sa ooliom - difuija reatata ato veća ego u ostala dva ravca. Potrebo je aći rofil ocetracije reatata u ru ao je oa urojea u gas u ome je ocetracija reatata jedaa. Pretostaviti da je aemarljiv otor difuiji reatata i mase oolog gasa a soljju ovršiu ra. Oboda ovršia L s s O aa ovršia Slia Zro ataliatora oblia tae ločice debljie L Zbog simetričosti ocetracijsog rofila ogodo je oordiati očeta ostaviti a olovii debljie ločice i odrediti rofil samo u olovii ločice. Diferecijala jedačia oja defiiše tražei ocetracijsi rofil dobija se ao bilas reatata a sloj uutar ločice besoačo male debljie.o ao i u rethodom rimeru uljučuje ula i ila reatata difuijom i jegovo trošeje u reaciji oje je u jediičoj aremii ataliatora jedao: 65

25 r r s s mol m 3 s gde je s - secifiča ovršia ataliatora m m 3 ostata brie vaihomogee reacije s Jaso je da će tražea jedačia imati isti obli ao jedačia 3.35 ivedea u rethodom rimeru i glasi: s d D < < L d 3.37 Neohodo je defiisati i graiče uslove. U sredii ločice ocetracija reatata ima muimum a je graiči uslov a levoj graici: d : 3.37a d S obirom a aemarljiv otor difuiji reatata ro ooli gas ema ada ocetracije u soljju ovršiu ra a drugi graiči uslov glasi: L 3.37b : Pre o što ristuimo rešavaju ostavljeog roblema revešćemo diferecijalu jedačiu i graiče uslove u bedimeioi obli što je uobičajea rasa ri rešavaju matematičih modela u hemijsom ižejerstvu. To ostižemo uvođejem bedimeioih romeljivih smeama : 3.38 L d d d d d d d d d d d d d d d L d d d d d L d 3.38a L d ao uvođeja smea u dif. jedačiu 3.37 i graiče uslove 3.37ab oi dobijaju obli: d φ d 3.39 d : d 3.39a : 3.39b gde je φ bedimeioa grua oata od aivom Tilov Thiele mol: 66

26 r L φ L L 3.4 D D D ešeje u slučaju ultog reda reacije je trivijalo: cost. U slučaju reacije rvog reda diferecijala jedačia 3.39 ostaje lieara i to sa ostatim oeficijetima a se rešava ostuom objašjeim u Pogl adi rešavaja jedačie 3.39 a smeom 3.3 revodimo je u jedačiu rvog reda o rvom ivo oja radvaja romeljive: gde je d φ g 3.4 d g 3.4a Partiularo rešeje jedačie 3.4 ćemo dobiti uimajući u obir graiči uslov 3.39a oga osmatramo u obliu : : 3.4 gde je vredost bedimeioe ocetracije u sredii atalitičog ra : 3.43 Umesto da određujemo itegraciou ostatu rešeje ćemo dobiti dobiti itegrišući levu i desu strau jedačie ao radvajaja romeljivih u odgovarajućim graicama: Od dva rešeja d φ g d t φ φ g t g t ±φ g t fiiči smisao ima samo egativo jer ocetracija reatata oada sa rastojajem od sredie ločice. Dale 67

27 d d φ g t 3.44 Itegrišemo tu jedačiu u omoć određeih itegrala uimajući u obir graiči uslov 3.39b: v dv g t φ dv što oačo daje tražeu bedimeiou ocetraciju oordiate u malo euobičajeom imlicitom obliu: u fuciji bedimeioe v dv g t φ odoso ošto je g t t : dv v φ 3.45 Primetimo da aviso romeljiva figuriše u jedačii 3.45 ao gorja graica određeog itegrala. edimeiou ocetraciju u sredii ra oja u toj jedačii figuriše ao doja graica itegrala fucije g t t dobijamo i iste jedačie a rešavajem elieare algebarse jedačie: dv v φ 3.45a Očigledo je da iao smo a rešeje diferecijale jedačie 3.39 dobili aalitiči ira bog emogućosti da itegrale u jedačiama a rešimo aalitiči a redove reacija a dobijaje bedimeioe ocetracije reatata a bedimeioalom rastojaju od sredie ločice eohodo je oristiti umeriči ostua oji uljučuje sledeće umeriče metode: - umeričo iračuavaje određeog itegrala - umeričo rešavaje elieare jedačie. ealiaciju oisaog umeričog ostua u Mathcad-u ćemo demostrirati rimerom reacije. reda uimajući da je vredost Tilovog mola φ Mathcad fajl P3. 68

28 Iračuat bedimeioi ocetracijsi rofil dat je a Sl φ Slia Iračuat bedimeioi ocetracijsi rofil 3..3 Jedačia homogea o eaviso romeljivoj Za diferecijalu jedačiu tog reda F K fuciju F K ažemo da je homogea o ao važi d d d m d d d F λ... λ F... d λ d λ d λ d d d odoso a 3.46 gde je λ bilo ava ostata a m je ceo broj oji se aiva red homogeosti. Treba imati u vi da se defiicija homogeosti asiva a formalom osmatraju fucije F ao fucije argumeata: Lao je oaati: d d d... d d d d d λ λ d d K Jaso je oda da su fucije d a a d cost. K 3.47 homogee o i to ultog reda. Zaista 69

29 a λ d d λ a λ λ d a d d λ a d d d Oda će i bir tavih fucija biti homoge o a je rimer homogee dif. jedačie o -tog reda lieara jedačia: d d d d a a L a a a 3.48 d d d d u literaturi oata od imeom Ojlerova Euler dif. jedačia. Lao je olaeći od Ojlerove jedačie ostruisati eliearu jedačiu homogeu o možejem sabiraa u 3.48 eim fucijama oje e avise od već samo od. Taođe ao sabira se može dodati i ira 3.47 steeova a bilo oji stee jer o ostaje homoge ultog reda. Primer: Sledeća elieara jedačia 3. reda je homogea o : 3 3 d 3 d d e 3 d d d Smea eaviso romeljive u homogeoj jedačii Smeom t e 3.49 dif. jedačia -tog reda homogea o se urošćava jer se trasformiše u jed. istog reda oja e sadrži eaviso romeljivu t; secijalo ao je lieara u liearu jed -tog reda sa ostatim oeficijetima Kad je u itaju elieara jedačia. reda trasformisaa jedačia se dalje smeom 3.3 trasformiše u jedačiu. reda. Dalje ramatraje ćemo ograičiti a jedačie. reda. adi uvođeja smee 3.49 eohodo je da ivedemo irae a rvi i drugi ivod u fuciji ove romeljive: d d d d d d d t e 3.5a 3.5b d d d t d d t d t d t t d d t e e e e e e d d t 7

30 PIME 3.3 Naći ošte rešeje lieare jedačie Ojlerova jed.: d 5 d d d 8 eultat smea 3.5ab je elimiacija eaviso romeljive: d d 6 8 Dobili smo liearu jed.. reda sa ostatim oeficjetima i rešićemo je. Njea araterističa jedačia r 6r 8 ima dva raličita reala orea: r r 4 a je jeo ošte rešeje: t t e e 4t Koačo vraćamo se a origialu eaviso romeljivu smeom tražeo rešeje: t l i tao dobijamo 4 Trasformacija eih jedačia u jedačie homogee o Nelieara jedačia. reda oblia: d d f d d 3.5 se eada smeom u može trasformisati u jedačiu homogeu o. Treba rimetiti da su fucije homogee o reda -. d d d d PIME 3.4 ešiti sledeću dif. jedačiu sa očetim uslovima: d d d d : Poušaćemo smeom homogeu o : u datu eliearu jedačiu da trasformišemo u jedačiu 7

31 d d u d d d u d d d d u d u u d d d u d d d u d t Dobijea jedačia je homogea o i uvodimo smeu e sa ciljem elimiacije eaviso romeljive i jedačie. eultat je elieara jedačia: d u u Njoj sižavamo red omoću smee 3.3: Jedo rešeje u dobijamo i uslova: d u d u d u U itaju je lieara jedačia rvog reda 3. sa i omoću formule 3. dobijamo: P u Q u u u u e u Možemo odmah da odredimo itegraciou ostatu i očetih uslova. Pošto je : d d u d d d u i očetih uslova sledi: 7

32 d a tj. t l : u d Dale a u treba da bude odale sledi. Tao u sledećoj itegraciji: l t u u t e I očetog uslova sledi da je a t u odale dobijamo. t Koačo ao smea: u e : Drugo rešeje dobijamo i uslova dale: u cost. i ošto adovoljava jedačiu ali e i očete uslove u itaju je sigularo rešeje. ZDI 3. ešiti sledeće dif. jedačie: d a d d b 3 c d d d d d e d 3 d Pomoć: tražiti d 3. ešiti dif. jed. 3.6 ao liearu. 3.3 Za reacioi sistem S a Naisati bilase omoeata i S ao je. reacija reda m a druga reacija reda i sabirajem bilasih jedačia oaati da je bir jihovih ocetracija ostata. b Imajući u vi a ivesti S t i t i t u Primeru 3.5 ab. 3.4 Problem alažeja fucije t u Primeru 3.5a smo mogli da rešimo u dva oraa: ađemo fuciju i smeom t dobijemo t. a Naći t a oisai ači 73

33 b Nacrtati odos oji se ove rios roivoda u fuciji od steea overije reatata a α. 3.5 U šaržom reatoru se odigravaju oseutive reacije drugog reda: i bilasi sustaci i su: d d a Poaati da a rios međuroivoda defiisa ao α α α α α važi: b Nacrtati grafi riosa međuroivoda u fuciji od steea overije reatata a. c Odrediti steee overije reatata ri ojima se ostiže masimala rios međuroivoda a. 3.6 Poaati da se smeom 3.3a iatijeva jedačia 3. trasformiše u liearu dif. jedačiu drugog reda 3.4a 3.7 a Poaati da jedo artiularo rešeje dif. jedačie d d e [e4 ] e7 5e3 ima obli a e3 a cost. b Naći jeo ošte rešeje: e3 e e 3.8 Naći ošta rešeja sledećih jedačia: a b c 3.9 ešiti sledeći roblem sa očetim uslovima: l 3. Naći ošta rešeja sledećih jedačia ao i sigulara rešeja ao ostoje. 74

34 a b c d 3. ešiti sledeći roblem sa očetim vredostima: d d d d d d i roveriti da li ima i sigularo rešeje. 3. ešiti sledeće jedačie: 4 a 4 4 b 3.3 U rimeru 3. ivede je ocetracijsi rofil a reaciju reda jed a a Ivesti sledeći ocetracijsi rofil a reaciju rvog reda: * e D rešavajući odgovarajuću dif. jedačiu ao graiču vredost rešeja 3.35 b Iračuati rastojaje od međufae ovršie a ome se otroši sav reatat a sledeće vredosti arametara: q D c Za mol m acrtati ocetracijse rofile a : q D. ;.5 i q ;.5 u osegu 5. Disutovati uticaje arametara i q 3.4 Koristeći dobijei ocetracijsi rofil gasa u Primeru 3. ivesti sledeći ira a briu rastvaraja gasa u tečosti mol/s: W D * d S S D d * S D a a oji se oristi a eserimetalo određivaje veličie međufae ovršie S. 3.5 Za fuciju t oja oisuje romeu ocetracije međuroivoda u tou vremea ri odvijaju oseutivih reacija S u Primeru 3.5b redovi reacija: i iveli smo irae a oji sadrže besoača steei red. a Poaati da se fucija t može iraiti reo itegrale esoecijale fucije: 75

35 e a t e gde je itegracioa ostata : t a a Ei a γ l a e t t [ a e a Ei a γ a ] l b Nacrtati vremese rofile t t i t 3.s.5m mol s 5 s u itervalu [ 3s] mol m 3 a sledeće odate: c Sa dijagrama roceiti ribližo momeat u ome ocetracija međuroivoda ima masimum i iračuati ocetracije sve tri sustace u tom mometu. 3.6 Ivesti radijali brisi rofil gde je d r r w r wsr r 4µ d w sr sredja bria strujaja w sr w r rdr ri lamiarom strujaju jutovsog estišljivog fluida ro cilidriču cev olurečia rešavajem sledećeg graičog roblema: d w dr r r : dw dr r : w µ dw dr dp d cost. < r < 76