1. rok 25. jun Transformisati ( u Skolemov standardni oblik sledeće kvantifikatorske formule: 1 ( x)( y) ( z) ( P (x, z) P (y, z) ) )
|
|
- Όφελος Μπουκουβαλαίοι
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ISPITI IZ MATEMATIKE IV održani na Elektrotehničkom fakultetu u Beogradu. 1. rok 25. jun Neka je S = {a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 } i neka je u skupu S definisana relacija tako da je ( a S) a 1 a a 5, dok ostali parovi elemenata nisu uporedivi. 1 Dokazati da je (S, ) mreža. 2 Dokazati da ta mreža nije distributivna. 2. Transformisati ( u Skolemov standardni oblik sledeće kvantifikatorske formule: 1 ( x)( y) ( z) ( P (x, z) P (y, z) ) ) ( u)q(x, y, u) ; ( 2 ( x)( y) ( z)p (x, y, z) ( ( u)q(x, u) ( v)q(y, v) )). 3. Definicija i primer rekurzivne funkcije Odrediti A, B, C, a tako da formula za numeričku integraciju (1) 1 1 ( ) ( ) f(x) dx = A f( 1) + f(1) + B f( a) + f(a) + Cf() + R(f) ima najveći algebarski stepen tačnosti. 2 Pomoću (1) izračunati 1 1 ( ( (1 x 2 ) exp x x 2 3 ) dx. 7) 5. Funkcija f data je tabelom: x f(x) Aproksimirati ovu funkciju I i II Newtonovim interpolacionim polinomom i na osnovu toga izračunati približnu vrednost f (). 6. Modifikacije Newton-Raphsonovog metoda. 7. Izraziti sferne Besselove funkcije J 1/2 (x) i J 1/2 (x) u konačnom obliku pomoću elementarnih funkcija. 8. Polazeći od funkcije generatrise Legendreovih polinoma, izvesti Bonnetovu i Christoffelovu rekurentnu relaciju. 1
2 2 Matematika 4 2. rok 7. septembar Odrediti kompleksnost algoritma za izračunavanje vrednosti determinante reda n a) ako se determinanta izračunava po definiciji, b) ako se determinanta transformiše na trougaoni oblik. 2. Odrediti sve ireducibilne polinome drugog stepena nad poljem GF (3). 3. Definisati sledeće pojmove iz matematičke logike: atom, literal, sastavak, supstitucija, unifikator, rezolventa. 4. Primenom prvog Newtonovog interpolacionog polinoma izračunati sume S n = 3n k=1 k 2, σ n = 3n k=1 ( 1) k 1 k Data je diferencijalna jednačina y = x 2 + y, y() = 1. Razviti algoritam za što preciznije izračunavanje one vrednosti x za koju je y = Aitken-ov δ 2 -metod. 7. Razviti u Fourierov red funkcije x cos(sin x), x sin(cos x). 8. Hermiteovi polinomi. Definicija i rekurentne relacije. 3. rok 28. septembar Dokazati da su sledeće aritmetičke funkcije primitivno rekurzivne: 1 f 1 (x, y) = x + y, 2 f 2 (x, y) = x y, 3 f 3 (x, y) = x y. 2. Primenom principa rezolucije dokazati da iz premise ( x ) ( ( y) ( S(x, y) M(y) ) ( y) ( I(y) E(x, y) )) sleduje zaključak ( x) I(x) ( x) ( y) ( S(x, y) M(y) ). 3. Definicija S-mreže. Navesti primer S-mreže uz odgovarajući dokaz. 4. Funkciju x sgn x aproksimirati interpolacionim polinomom, pri čemu se uzima 5 čvorova sa apscisama 2, 1,, 1, 2. Kolika je maksimalna greška aproksimacije za x (1, 2)?
3 Ispitni zadaci 3 5. Formirati algoritam za nalaženje onog partikularnog rešenja diferencijalne jednačine y + y = xy, na segmentu [, 1], koje zadovoljava početne uslove y() =, y () = Metod gradijenta za rešavanje sistema nelinearnih jednačina. 7. Kako se dobija Besselova diferencijalna jednačina iz rekurentnih formula? 8. Polazeći od funkcije generatrise Čebiševljevih polinoma, izvesti izraz za Čebiševljev polinom. 4. rok 2. februar Odrediti kompleksnost algoritma za utvrd - ivanje da li u datom grafu sa 2n čvorova postoji potpun podgraf a) sa k čvorova (k 3), b) sa n čvorova, c) sa najviše n čvorova. 2. Dat je skup svih ured - enih petorki sastavljenih od simbola i 1 koje sadrže paran broj simbola 1. Ispitati kakav kod obrazuje ovaj skup. 3. Turingova mašina za probleme odlučivanja. Program za Turingovu mašinu i algoritamska rešivost problema. 4. Predložiti metod za precizno izračunavanje integrala 1 1 dx, x(1 x) 3 pri čemu treba pogodnim smenama eliminisati singularitete x = i x = Funkcija f data je tabelom: x f(x) Odrediti ono x za koje f(x) dostiže minimum i izračunati približnu vrednost f min. 6. Izvesti trotačkastu Gauss-Legendreovu formulu. 7. Besselovu funkciju J n (x) prikazati u integralnom obliku i u obliku potencijalnog reda. 8. Dokazati Rodriguesovu formulu za Legendreove polinome.
4 4 Matematika 4 5. rok 8. april Pomoću principa rezolucije dokazati da je formula posledica formula ( x) ( x) ( C(x) D(x) ) ( A(x) ( B(x) C(x) )), ( x) ( A(x) D(x) ). 2. Dat je polinom p = x 2 + x + α nad poljem GF (4). Ispitati za koje je α GF (4) ovaj polinom ireducibilan. 3. Dokazati da je karakteristika konačnog polja prost broj. 4. Predložiti metod za precizno izračunavanje 1 cos x 2 x 5. Data je diferencijalna jednačina y + x 2 y = i početni uslovi y() = i y () = 1. Razviti algoritam za izračunavanje y(.35) i y(.47) sa greškom manjom u svakom koraku od Izvesti Newtonove interpolacione polinome. 7. Dobijanje Besselove diferencijalne jednačine. Kako se ponašaju Besselove funkcije u beskonačnosti? 8. Polazeći od odgovarajuće funkcije generatrise izvesti formulu za Laguerreov polinom L n (x) u kojoj se pojavljuje n-ti izvod jedne funkcije. dx. 6. rok 24. jun Ispitati da li su rekurzivne sledeće aritmetičke funkcije: f 1 (x, y) = x + y ; f 2 (x, y) = xy ; f 3 (x, y) = x y. 2. Proveriti da li je polinom x 4 + x reducibilan nad poljem GF(4) i odrediti nule ovog polinoma u istom polju. 3. Definisati pojam S mreže i pojam A mreže. Navesti, uz obrazloženje, po jedan primer ovih struktura. Koja veza postoji izmed - u S mreža i A mreža? 4. Data je diferencijalna jednačina y = 4y 3, sa početnim uslovima y() =, y () = 1. 1 Za neku vrednost x = a y dostiže maksimalnu vrednost. Razviti postupak za precizno izračunavanje a.
5 Ispitni zadaci 5 2 Za x > a, y opada i postaje nula za neko x = b. Kako se može što tačnije odrediti b? 5. Predložiti metod za numeričko izračunavanje integrala + sin 2x 1 + x 3 dx. 6. Aitkenov δ 2 proces (aktivni i pasivni). 7. Sferne Besselove funkcije. Izraziti J 1/2 (x) i J 1/2 (x) u konačnom obliku pomoću elementarnih funkcija. 8. Hermiteovi polinomi. Definicija, rekurentne relacije i diferencijalna jednačina. 7. rok 13. septembar Koristeći se principom rezolucije dokazati da je formula Q posledica formula P Q, P R, R S i S. 2. Ispitati da li je polinom x ireducibilan nad poljem GF (3). Konstruisati Cayleyevu tablicu multiplikativne grupe polja GF (9). 3. Turingova mašina za probleme odlučivanja. 4. Primenom Runge Kutta metoda četvrtog reda formirati algoritam za nalaženje onog partikularnog rešenja diferencijalne jednačine y = y xy + 2, na segmentu [, 1], koje zadovoljava početne uslove y() =, y () = Predložiti metod za nalaženje najmanjeg pozitivnog korena jednačine 1 sin x = x. 6. Rombergov metod numeričke integracije. 7. Definicija Besselovih funkcija prve vrste celobrojnog indeksa. Izvesti oblike u kojima se mogu izraziti ove funkcije. 8. Laguerreovi polinomi. Funkcija generatrisa i izvod - enje rekurentnih relacija. 8. rok 4. oktobar U multiplikativnoj grupi polja GF(7) odrediti: a) red svakog elementa; b) generatore grupe; c) cikličke podgrupe; d) elemente koji su sami sebi inverzni. 2. Pomoću tablice istinitosti proverava se da li je formula iskazne algebre tautologija. Koliko elementarnih koraka je potrebno učiniti u najnepovoljnijem slučaju ako formula sadrži n iskaznih slova i m operacijskih simbola?
6 6 Matematika 4 3. Definicija rekurzivne funkcije i Churchova teza. 4. Polinom trećeg stepena P 3 (x) tabeliran je na sledeći način: x P 3 (x) Ako se zna da je jedna vrednost polinoma pogrešno izračunata, pronaći ovaj podatak, ispraviti ga i odrediti polinom P 3 (x). 5. Predložiti metod za nalaženje najmanje vrednosti a tako da je e ax 1/(1+x 2 ) za svako x >. 6. Runge Kutta metod drugog reda. 7. Dokazati da je J 4 ( 6 ) + 3J ( 6 ) =, gde J Besselova funkcija prve vrste. 8. Polazeći od eksplicitnog izraza za Čebiševljev polinom, izvesti Čebiševljevu diferencijalnu jednačinu. Koje je opšte rešenje ove jednačine? 9. rok 9. februar Proceniti algoritamsku kompleksnost 3 optimalne heuristike za problem trgovačkog putnika. 2. Proveriti da li u polju GF(p k ) važi relacija (x + y) p = x p + y p. Direktnim izračunavanjem proveriti relaciju u polju GF(7) za x = 1 i y = Formulisati Herbrandovu teoremu i definisati pojmove koji se pojavljuju u formulaciji teoreme. Definisati takod - e Herbrandov domen. Navesti primer primene Herbrandove teoreme. 4. Date su krive y = 2 sin x i y = log x a. Razviti postupak za izračunavanje konstante a tako da se krive dodiruju u tački čija je apscisa bliska 5π/2. 5. Odrediti A, B, a tako da formula 1 1 f(x) dx = A ( f( 1) + f(1) ) + B ( f( a) + f(a) ) + R(f) ima najveći algebarski stepen tačnosti. Primenom dobijene formule izračunati približnu vrednost integrala 1 1 x 2 x dx.
7 Ispitni zadaci 7 6. Principi višekoračnih formula za rešavanje diferencijalnih jednačina. 7. Besselovu funkcije J 5/2 (x) i J 3/2 (x) izraziti pomoću elementarnih funkcija. 8. Izvesti rekurentne relacije za Legendreove polinome. 1. rok 6. april Proceniti kompleksnost algoritma potpune pretrage za rešavanje problema egzistencije potpunog podgrafa sa k čvorova u zadatom grafu. Da li je ovaj algoritam polinomijalan ili eksponencijalan? 2. a) Izvršiti skolemizaciju formule ( x)( y)( z)( u)( v) P (x, y, z, u, v, w). b) Da li postoji unifikator skupa literala c) Odrediti kompoziciju supstitucija {Q(x, y, z), Q(f(y), a, x)}? θ = {f(y)/x, z/y} i δ = {a/x, b/y, y/z}. 3. Definicija linearnog koda. Čemu je jednako kodovsko rastojanje ovakvog koda? Koju relaciju zadovoljavaju generatorske matrice uzajamno dualnih linearnih kodova? 4. Jednačina e z = (5 + 3i)z ima koren u blizini tačke 3 + i. Razviti metod za izračunavanje tog korena sa velikom tačnošću. 5. Data je diferencijalna jednačina y = x 2 y sa početnim uslovima y() = 1, y () =. 1 Primenom Runge Kutta metoda četvrtog reda razviti algoritam za numeričko rešavanje ove jednačine na segmentu [, 1]. 2 Naći prva dva člana razvoja rešenja u Taylorov red u tački x =. 6. Izvesti prvi i drugi Newtonov interpolacioni polinom. 7. Ako su J m (x) i J n (x) Besselove funkcije prve vrste, gde m, n {, 1, 2,...}, dokazati da za svako x važi nejednakost J m (x) + J n (x) a i odrediti a. 8. Polazeći od funkcije generatrise Legendreovih polinoma, izvesti eksplicitan izraz za Legendreov polinom.
8 8 Matematika rok 23. jun Predstaviti kvantifikatorsku formulu ( x) ( y) ( P (x) Q(y) ) ( x)r(x) pomoću skupa sastavaka. 2. Neka je D skup delilaca broja Ispitati da li je (D, ) parcijalno ured - en skup i ako jeste, predstaviti ga Hasseovim dijagramom. 2 Ispitati da li je (D, ) S-mreža i ako jeste, konstruisati odgovarajuću A- mrežu. 3. Opisati rad nedeterminističkog polinomijalnog algoritma za rešavanje problema odlučivanja. Determinisati klasu problema NP i objasniti karakterizaciju ove klase pomoću svedočanstva ispravnosti potvrdnog odgovora. 4. Polinom trećeg stepena P 3 (x) tabeliran je na sledeći način: x P 3(x) x P 3(x) x P 3(x) x P 3(x) Ako se zna da su dva podatka pogrešna, utvrditi koji su to podaci i ispraviti ih. 2 Odrediti polinom P 3 (x) Formirati algoritam za nalaženje onog partikularnog rešenja diferencijalne jednačine y +y = x 2 y na segmentu [, 1] koje zadovoljava početne uslove y() =, y () = 1. 2 Kako bi se našlo opšte rešenje na ovom segmentu? 6. Aitkenov δ 2 proces (aktivni i pasivni). 7. Funkcije f(θ) = sin (1 + sin 2θ) i g(θ) = cos (1 + cos 2θ) razviti u Fourierov red. 8. Funkcija generatrisa i eksplicitni izraz za Čebiševljeve polinome T n(x). Odrediti T (x), T 1 (x) i T 2 (x). 12. rok 14. septembar Konstrukcijom pogodnog svedočanstva istinitosti potvrdnog odgovora, dokazati da sledeći problemi pripadaju klasi NP : a) Problem egzistencije potpunog podgrafa; b) Problem trgovačkog putnika; c) Problem utvrd - ivanja singularnosti kvadratne matrice.
9 Ispitni zadaci 9 2. a) Dokazati da je x n 1 = 1 ako je x GF (n) i x. b) Dokazati da je polinom x n x nad poljem GN(n) identički jednak nuli. c) Konstruisati dva med - usobno različita polinoma nad poljem GF (n) koji imaju iste vrednosti za svaku vrednost nezavisno promenljive. 3. Definicija i primer formalne teorije. 4. Predložiti metod za precizno izračunavanje 1 e x x(1 x) dx Diskutovati ponašanje niza formiranog pomoću iterativne formule x = 1, x k+1 = 1 ( 3x k + 4 ). 5 x 2 k 2 Odrediti niz koji brže konvergira ka nepokretnoj tački, od niza dobijenog gornjom iterativnom formulom. 6. Runge Kutta metod drugog reda. 7. Funkciju x f(x) datu pomoću integrala f(x) = 2 π 1 cos tx dt razviti u 1 t 2 potencijalni red u okolini tačke x =. 8. Polazeći od funkcije generatrise za Laguerreove polinome L n (x), izvesti formulu L n (x) = e x dn dx n (xn e x ). 13. rok 5. oktobar Neka je S = {a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 } i neka je u skupu S definisana relacija tako da je ( a S) a 1 a a 5, dok ostali parovi elemenata nisu uporedivi. 1 Dokazati da je (S, ) mreža. 2 Dokazati da ta mreža nije distributivna. 2. Odrediti sve ireducibilne polinome drugog stepena nad poljem GF (3). 3. Definicija i primer rekurzivne funkcije. 4. Funkcija f data je tabelom: x f(x) Aproksimirati ovu funkciju I i II Newtonovim interpolacionim polinomom i na osnovu toga izračunati približne vrednosti f () i f ().
10 1 Matematika 4 5. Data je diferencijalna jednačina y = x 2 + y, y() = 1. Razviti algoritam za što preciznije izračunavanje one vrednosti x za koju je x 2 + y 2 = Modifikacije Newton Raphsonovog metoda. 7. Izraziti sferne Besselove funkcije J 3/2 (x) i J 3/2 (x) u konačnom obliku pomoću elementarnih funkcija. 8. Hermiteovi polinomi. Definicija i rekurentne relacije. 14. rok 3. maj Neka je {, 1, b}, gde je b prazan simbol, azbuka a {q, q 1, q 2, q +, q } skup stanja Turingove mašine. Konstruisati program za ovu Turingovu mašinu koja ispituje da li je broj jedinica u ulaznom nizu paran. 2. Konstruisati polje GF (4) sa elementima {, 1, α, β}. Ispitati da li su polinomi x 2 + x + α, x 2 + x + β ireducibilni nad poljem GF (4). 3. Skolemizacija formule. Objašnjenje i primeri. 4. Funkciju x x aproksimirati interpolacionim polinomom, pri čemu se uzima 5 čvorova sa apscisama 2, 1,, 1, 2. Integracijom interpolacionog polinoma izračunati približnu vrednost integrala 2 x dx i odrediti grešku Formirati algoritam za nalaženje onog partikularnog rešenja diferencijalne jednačine y +xy = y, na segmentu [, 1], koje zadovoljava uslove y() = 1, y () =. Zatim odrediti prva tri člana razvoja rešenja u Taylorov red u okolini tačke x =. 6. Aitkenov aktivni i pasivni δ 2 -metod za ubrzavanje konvergencije linearnih iterativnih procesa. 7. Funkcije f(x) = cos (1 + cos 2x), g(x) = sin (1 + cos 2x) razviti u Fuorierov red. 8. Izvesti Rodriguesovu formulu za Legendreove polinome.
11 Ispitni zadaci rok 6. jul Koristeći se principom rezolucije dokazati da je sledeća formula valjana: ( x)( y)p (x, y) ( y)( x)p (x, y). 2. Odrediti sve ireducibilne polinome trećeg stepena nad GF(2). 3. Rešavanje problema odlučivanja pomoću Turingove mašine. Kada se kaže da je problem algoritamski rešiv? 4. Razviti operator D po stepenima operatora i primenom izvedene formule izračunati f () na osnovu sledećih podataka x f(x) 18 4 Proveriti dobijeni rezultat formiranjem drugog Newtonovog interpolacionog polinoma. 5. Izvesti Gaussovu kvadraturnu formulu oblika 1 (1 + x )f(x) dx = A 1 f(x 1 ) + A 2 f(x 2 ) + R(f). 1 Pomoću dobijene formule naći približnu vrednost 6. Izvesti Runge Kutta metod drugog reda. 1 (1 + x )e x2 7/18 dx. 7. Primenom rekurentnih formula za Besselove funkcije prve vrste uprostiti izraz J 3 (x) + 3J (x) + 4J (x). 8. Hermiteovi polinomi: Rekurentne relacije i diferencijalna jednačina rok 13. avgust Konstrukcijom pogodnog svedočanstva istinitosti potvrdnog odgovora, dokazati da sledeći problemi pripadaju klasi NP: a) problem egzistencije potpunog podgrafa; b) problem trgovačkog putnika; c) problem utvrd - ivanja singularnosti kvadratne matrice. 2. Neka je X skup svih n-torki elemenata nekog konačnog skupa a d Hammingovo rastojanje. Dokazati da je ured - eni par (X, d) metrički prostor. 3. Opisati proceduru za prevod - enje formule kvantifikatorskog računa u preneksni normalni oblik.
12 12 Matematika Odrediti realne brojeve A, B, C, a tako da kvadraturna formula 1 1 f(x) dx = A ( f(a) + f( a) ) + Bf() + Cf () + R(f) ima najveću algebarsku tačnost. 2 Odrediti algebarski stepen tačnosti. 5. Data je diferencijalna jednačina y = x y 2, sa početnim uslovom y() =. 1 Razviti algoritam za rešavanje ove jednačine na segmentu [, 5], pri čemu greška u svakom koraku mora da bude manja od Naći dva prva (nenulta) člana Taylorovog razvoja partikularnog rešenja u okolini tačke x =. 3 Dokazati da odgovarajuća partikularna kriva za x > ne seče pravu y = i parabolu x = y Drugi Newtonov interpolacioni polinom. π 7. Izračunati integral cos(sin t) cos 2t dt. π Uputstvo: Razviti funkciju cos(sin t) u Fourierov red. 8. Polazeći od funkcije generatrise Hermiteovih polinoma, izvesti izraz za Hermiteov polinom H n (x) u kome se pojavljuje n-ti izvod jedne funkcije. Na osnovu tog izraza eksplicitno odrediti H n (x) za n =, 1, 2, rok 24. septembar Ispitati da li je polinom x ireducibilan nad poljem GF (3). Konstruisati Cayleyevu tablicu multiplikativne grupe polja GF (9). 2. Predstaviti kvantifikatorsku formulu ( x) ( y) (P (x) Q(y)) ( x) R(x) pomoću skupa sastavaka. 3. Definicija i primer rekurzivne funkcije. 4. Razviti operator D 2 po stepenima operatora i primenom izvedene formule izračunati f () na osnovu sledećih podataka x f(x) Data je diferencijalna jednačina y = 1 2y 3, sa početnim uslovima y() =, y () =.
13 Ispitni zadaci 13 1 Razviti algoritam za rešavanje ove jednačine na segmentu [, 1], pri čemu greška u svakom koraku mora da bude manja od Predložiti postupak za precizno nalaženje one vrednosti x (> ) za koju y dostiže prvi maksimum. 3 Naći dva prva (nenulta) člana Taylorovog razvoja partikularnog rešenja u okolini tačke x =. 6. Izvesti trotačkastu Gauss Legendreovu kvadraturnu formulu. 7. Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine 4x 2 y + 4xy + (4x 2 9)y = i izraziti ga pomoću elementarnih funkcija. 8. Polazeći od funkcije generatrise Legendreovih polimoma, izvesti Bonnetovu i Christoffelovu rekurentnu relaciju. 18. rok 15. oktobar Ispitati da li su sledeće funkcije rekurzivne: 1 f 1 (x, y) = x y, 2 f 2 (x) = x!, 3 f 3 (x) = x x. 2. Proveriti da li u polju karakteristike p važi relacija (x + y) p = x p + y p. 3. Definicija i primer formalne teorije. 4. Funkcija f(x) tabelirana je u tačkama x, x 1, x 2, x 3, x 4 sa korakom h. Njene vrednosti u ovim tačkama su redom f, f 1, f 2, f 3, f 4. Izvesti formule za izračunavanje f (x ), f (x ), f (x ), f (x ) pomoću navedenih vrednosti funkcije. 5. Formirati algoritam za precizno izračunavanje površine slike ograničene krivom y = cos x i pravama y = x i y = x. 6. Aitkenov pasivni i aktivni metod. 7. Polazeći od razvoja funkcije generatrise Besselovih funkcija i stavljanjem u taj razvoj t = i, proveriti jednakosti: cos x = J (x) 2 + ( 1) n 1 J 2n (x), n=1 sin x = 2 + ( 1) n 1 J 2n 1 (x). n=1 8. Hermiteovi polinomi. Rekurentne relacije i diferencijalna jednačina.
14 14 Matematika rok 5. novembar Odrediti kompleksnost algoritma za izračunavanje determinante reda n a) ako se determinanta izračunava po definiciji, b) ako se determinanta transformiše u trougaoni oblik. 2. a) Izvršiti skolemizaciju formule ( x) ( y) ( z) ( u) ( v) P (x, y, z, u, v, w). b) Da li postoji unifikator skupa literala {Q(x, y, z), Q(f(y), a, x)}? c) Odrediti kompoziciju supstitucija θ = {f(y)/x, z/y} i δ = {a/x, b/y, y/z}. 3. Dokazati da konačno polje ima p k elemenata, gde je p prost a k prirodan broj. 4. Polinom trećeg stepena tabeliran je na sledeći način: x P 3 (x) Ako se zna da je jedan podatak pogrešan, ispraviti ga i odrediti polinom P 3 (x). 2 Izračunati P 3() pomoću neispravljene, a zatim pomoću ispravljene tablice konačnih razlika. 5. Data je diferencijalna jednačina y + y 2 y x 2 y + 1 = sa početnim uslovima y() = 1, y () =. Primenom Runge Kutta metoda četvrtog reda razviti algoritam za numeričko rešavanje ove jednačine na segmentu [, 1], tako da greška u svakom koraku bude manja od Rombergov metod numeričke integracije. 7. Dokazati jednakosti + J (x) dx = + J 2 (x) dx = + J 4 (x) dx =, gde je J k Besselova funkcija prve vrste. (Primeniti J ν 1 (x) J ν+1 (x) = 2J ν(x) i lim J ν(x) = ). x + 8. Polazeći od formule L n (x) = e x dn dx n (xn e x ) (n =, 1, 2,...) izvesti eksplicitni izraz za Laguerreov polinom L n (x).
15 Ispitni zadaci rok 6. mart Proveriti da li u polju karakteristike p važi relacija (x + y) p = x p + y p. 2. Neka je X skup svih n-torki elemenata nekog konačnog skupa a d Hammingovo rastojanje. Dokazati da je ured - eni par (X, d) metrički prostor. 3. Opisati 3-optimalnu heuristiku za problem trgovačkog putnika. 4. Polinom P n (x) je tabeliran na sledeći način: x P n (x) x P n (x) x P n (x) Ako se zna da je jedan podatak pogrešan, ispraviti ga, pri čemu polinom ima najmanji mogućni stepen. 2 Naći polinom P n (x). 5. Data je diferencijalna jednačina 2y (x) = 1 + 3y 2 sa početnim uslovima y() = y () =. 1 Primenom Runge Kutta metoda četvrtog reda razviti algoritam za rešavanje ove jednačine na segmentu [, 2] sa greškom koja u svakom koraku nije veća od Kako bi se precizno odredila ona vrednost x za koju je y = 2? 6. Newton Raphsonov metod za rešavanje jednačine f(x) = (izvod - enje, brzina konvergencije, geometrijska predstava, nedostaci). 7. Primenom rekurentnih formula Besselovih funkcija prikazati izvode d2 J n dx 2 i d 3 J n dx 3 pomoću linearnih kombinacija funkcija J n 3, J n 2, J n 1, J n, J n+1, J n+2, J n Polazeći od funkcije generatrise Legendreovih polinoma, izvesti rekurentne relacije za ove polinome.
MATEMATIKA 4. - diskretna matematika i specijalne funkcije -
29.6.22. 1. Odrediti kompleksnost algoritma za izračunavanje vrednosti determinante reda n a) ako se primenjuje razvoj detrminante po nekoj vrsti ili koloni, b) ako se determinanta transformiše na trougaoni
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA IV. x y, x y i F(x)=[(2 + 3)x]
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU Katedra za primenjenu matematiku 1.7.1998. MATEMATIKA IV 1. Polazeći od činjenice da su aritmetičke funkcije f 1 (x, y) =x+y,f 2 (x, y) =x yi f 3 (x, y) =x y rekurzivne
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραNUMERIČKI METODI I PROGRAMIRANJE. I Aritmetičke operacije, izrazi i simbolička izračunavanja u Mathematici.
NUMERIČKI METODI I PROGRAMIRANJE I Aritmetičke operacije, izrazi i simbolička izračunavanja u Mathematici. 1. Izračunati u Mathematici izraze: a) 1 2 + 1 3 + + 1 9 b) 2 40 + 3 50 c) 1+ 2 2 ; e π 163 ;
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραNUMERIČKA INTEGRACIJA
NUMERČKA NTEGRACJA ZADATAK: Odrediti približnu vrednost integrala ntegral određujemo pomoću formule: f ( x) = p( x) + R( x) vrednost integrala polinoma R ocena greške a b f ( xdx ) Kvadraturne formule
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραKonstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati:
Staša Vujičić Konstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati: pseudo jezikom prirodnim jezikom dijagramom toka. 2
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραPrediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Διαβάστε περισσότεραNeodred eni integrali
Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi zadaci za kontrolni
Algoritmi zadaci za kontrolni 1. Nacrtati algoritam za sabiranje ulaznih brojeva a i b Strana 1 . Nacrtati algoritam za izračunavanje sledeće funkcije: x y x 1 1 x x ako ako je : je : x x 1 x x 1 Strana
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραUPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu
Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi i strukture podataka - 1.cas
Algoritmi i strukture podataka - 1.cas Aleksandar Veljković October 2016 Materijali su zasnovani na materijalima Mirka Stojadinovića 1 Složenost algoritama Približna procena vremena ili prostora potrebnog
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραSvojstva metoda Runge-Kutta
Svojstva metoda Runge-Kutta KP: y x = fx,y, yx 0 = y 0, x 0 x X. Na segmentu [x 0,X] uzimamo niz ekvidistantnih tačaka x 0 < x 1 < x 2 < < x N < x N+1 = X gde je x n = x 0 +nh, n = 0,1,2,...,N +1, h =
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...
Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II. Dr Boban Marinković
MATEMATIKA II VEŽBE Dr Boban Marinković 1 Neodredjeni integral dx = x + C, dx x = ln x + C, dx = arcsin x + C, 1 x 2 a x dx = ax ln a + C, cos x dx = sin x + C, dx x 2 a = 1 2 2a ln x a x + a + C, dx x2
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότερα