ISPIT MODELI DOŽIVLJENJA

Transcript

1 Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odjel Poslijediplomski stručni studij aktuarske matematike ISPIT MODELI DOŽIVLJENJA Vrijeme trajanja ispita: 12 minuta Ukupan broj bodova: 1 Broj zadataka: 6 Naznačeno je koliko bodova donosi svaki točan odgovor. Odgovore i rješenja zadataka pišite na dobivenim papirima. Na svakom korištenom papiru naznačite na koji se zadatak odnosi i čitko se potpišite. Dozvoljeno je korištenje džepnog kalkulatora, statističkih tablica ili vlastitih formula, i Formulae and Tables for Actuarial Examinations (Institute of Actuaries).

2 1. Stopa smrtnosti osobe iz odredene populacije u dobi 75 je q 75 = (a) Izračunajte.25 p 75 i.25 p uz pretpostavku uniformne razdiobe smrti izmedu cjelobrojnih dobi. (8 bodova) (b) Izračunajte iste vjerojatnosti kao u (a), ali uz pretpostavku konstantnosti intenziteta smrtnosti izmedu cjelobrojnih dobi. (7 bodova) (ukupno 15 bodova) 2. Navedeni Coxov model proporcionalnog hazarda prilagoden je podacima dobivenim opažanjem odredene skupine osiguranika životnih osiguranja: gdje su: λ i (t) = λ (t) exp{.1(x i 3) +.2y i.5z i }, λ i (t) hazard za i-tu osobu u trenutku t λ (t) osnovni hazard u trenutku t x i pristupna dob osobe i y i je 1 ako je osoba i pušač, inače je z i je 1 ako je osoba i žena, a ako je muškarac. (a) Opišite klasu osiguranika na koje se osnovni hazard odnosi. (3 boda) (b) Što možete (na osnovi pretpostavljenog modela) zaključiti o odnosu funkcija doživljenja pušača (muškarca) pristupne dobi 3 i pušačice pristupne dobi 4? (9 bodova) (c) Što možete (na osnovi pretpostavljenog modela) zaključiti o odnosu funkcija doživljenja pušačice pristupne dobi 3 i nepušača (muškarca) pristupne dobi 4? (8 bodova) (ukupno 2 bodova) 2

3 3. Za vrednovanje svojih polica zdravstvenog osiguranja osiguravajuće društvo koristi Markovljev model s tri stanja (1 = zdrav, 2 = bolestan, 3 = mrtav ) kao na slici. Pretpostavlja se da su intenziteti prijelaza σ, ρ, µ, ν konstantni. σ 1 ρ 2 µ ν 3 Promatranje grupe osiguranika tijekom jednogodišnjeg razdoblja dalo je sljedeće rezultate. Opaženo je: 1 prijelaza iz stanja 1 u stanje 2 7 prijelaza iz stanja 2 u stanje 1 2 umrla iz stanja 1 3 umrla iz stanja 2. Ukupno vrijeme provedeno u stanju 1 je 512 godina, a u stanju 2, 2 godina. (a) Napišite funkciju vjerodostojnosti za opažene podatke. (3 boda) (b) Izračunajte procjenu ˆσ od σ metodom maksimalne vjerodostojnosti. (3 boda) (c) Procijenite standardnu pogrešku procjenitelja maksimalne vjerodostojnosti σ od σ. (5 bodova) (d) Postavite diferencijalne jednadžbe i pripadajuće početne uvjete za vjerojatnosti t p 22 x i t p 22 x. (4 boda) (ukupno 15 bodova) 3

4 4. U nekom odredenom istraživanju smrtnosti opaža se broj umrlih d x u dobi x koja je definirana na sljedeći način: x = [ dob na zadnji rodendan na dan 6. travnja koji je neposredno prije datuma izdavanja police ] + [ broj 5. travnja koji su prošli nakon datuma izdavanja police ]. (a) Odredite interval stope na koji se odnosi statistika d x. (3 boda) (b) Izrecite princip korespondencije (suglasnosti). Pomoću tog principa opišite centralnu izloženost riziku Ex c koja odgovara statistici d x. (3 boda) (c) Procjena intenziteta smrtnosti ˆµ = d x E c x procjenjuje parametar µ x+f. Koliki je f? Navedite sve pretpostavke koje ste koristili. (4 boda) (ukupno 1 bodova) 4

5 5. Osiguravajuće društvo istražuje nedavno iskustvo o smrtnosti svojih muških osiguranika rentnog osiguranja. Izvod iz prikupljenih podataka se nalazi u tablici: početna opaženi dob izloženost riziku broj umrlih (x) (E x ) (d x ) (a) Pomoću χ 2 -testa usporedite da li opaženo iskustvo odgovara iskustvu smrtnosti iz tablice a(55) Ultimate Mortality Table for Male Annuitants. Na bazi te tablice su odredene premije za rente navedenog osiguravajućeg društva (OD). Navedite nulhipotezu koja se testira, sprovedite test i komentirajte. (14 bodova) (b) Komentirajte kakve će financijske posljedice biti po OD ako nastavi prodavati rente koje su vrednovane na bazi tablica a(55). (2 boda) (c) Navedite koje su razlike u primjeni testa iz (a) ako opažene stope smrtnosti usporedujemo sa izgladenim stopama q x = a + bqx, s pri čemu parametre a, b treba procijeniti iz podataka, a qx s su standardne stope iz tablice a(55). (4 boda) (ukupno 2 bodova) 5

6 6. K 7 je cjelobrojno buduće tajanje života osobe dobi 7. Neka je Z slučajna varijabla koja predstavlja sadašnju vrijednost osiguranja za slučaj smrti s trajanjem od 2 godina, a koja je izdana muškarcu sadašnje dobi 7. Osigurana svota koja se isplaćuje na kraju godine u kojoj se dogodila smrt (i ako nije isteklo razdoblje trajanja osiguranja) je 1 kn. Osnova za izračun: Smrtnost: English Life Table No. 12 Males Kamatna stopa: 5% godišnje. (a) Odredite funkciju vjerojatnosti (gustoću) od Z i skicirajte njezin graf naznačujući bitne karakteristike razdiobe. (1 bodova) (b) Izračunajte P(Z > 5). (4 boda) (c) Dokažite formulu za varijancu od Z: Var[Z] = 1 2 ( 2 A 1 7:2 (A1 7:2 )2 ) i definirajte sve oznake koje se koriste u toj formuli. Uz koju kamatnu stopu se računa 2 A 1 7:2? (6 bodova) (ukupno 2 bodova) 6

7 Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odjel Poslijediplomski stručni studij aktuarske matematike ISPIT MODELI DOŽIVLJENJA RJEŠENJA ZADATAKA

8 1. (a) Uz pretpostavku uniformne razdiobe smrti izmedu cjelobrojnih dobi: tq 75 = 75+t 75 c ds = ct, < t 1 c = q 75 (za t = 1).25 p 75 = 1.25 q 75 = 1.25 q 75 = = =.98443, p 75 =.75 p p p = 1 q q = 75 = = (b) Uz pretpostavku konstantnosti intenziteta smrtnosti izmedu cjelobrojnih dobi: p 75 = exp{ 1 µ 75+t dt} = e µ = 1 q 75 = µ = ln = p 75 = exp{.25 µ dt} = e.25µ =.9845,.25p = exp{.25 µ dt} = e.25µ = (15) 8

9 2. (a) Muškarci nepušači pristupne dobi 3. (3) Napomena. Osnovni hazard se odnosi na više klasa osiguranika ovisno o izboru mogućih vrijednosti (x i, y i, z i ) nezavisne varijable tako da bude.1 (x i 3) +.2 y i.5 z i =. Na primjer, gornja klasa je opisana vrijednostima (3,, ). Druga mogućnost je: (35,, 1) što odgovara klasi žena nepušačica pristupne dobi 35. Bilo koji od navedenih mogućih odgovora donosi 3 boda. (b) Označimo sa λ i (t) hazard osobe i (i = 1 ili 2) koja pripada klasi opisanoj sa varijablom (x i, y i, z i ), a sa S i (t) njenu funkciju doživljenja, t S i (t) = exp{ λ i (s) ds}. Osoba 1 (pušač pristupne dobi 3) je opisana vrijednostima (3, 1, ) nezavisne varijable, a osoba 2 (pušačica pristupne dobi 4) je opisana sa (4, 1, 1). Slijedi: λ 1 (t) = λ (t)e.2 λ 2 (t) = λ (t)e = λ (t)e.25 λ 1 (t)/λ 2 (t) = e.5 =.9512 S 1 (t) = exp{ t λ 1 (s) ds} = exp{.9512 t λ 2 (s) ds} = S 2 (t).9512 S 1 (t) > S 2 (t) za sve t. (c) Uz oznake kao u (b), ovdje je osoba 1 (pušačica pristupne dobi 3) opisana vrijednostima (3, 1, 1) nezavisne varijable, a osoba 2 (nepušač pristupne dobi 4) opisan je sa (4,, ). Slijedi: λ 1 (t) = λ (t)e.15 λ 2 (t) = λ (t)e.1 λ 1 (t)/λ 2 (t) = e.5 = S 1 (t) = exp{ t λ 2 (s) ds} = S 2 (t) S 1 (t) < S 2 (t) za sve t. (2) 9

10 3. (a) L(σ, ρ, µ, ν) = e 512(σ+µ) e 2(ρ+ν) σ 1 ρ 7 µ 2 ν 3 (3) (b) MLE je rješenje stacionarne jednadžbe (za l = ln L): l σ = σ = ˆσ = =.195. (3) (c) Asimptotska razdioba od MLE: σ σ : N(, ( 2 l σ 2 ) 1 ) = N(, σ2 1 ) ili σ σ : N(, σ ). E[V ] Budući da je standardna pogreška od σ jednaka njenoj standardnoj devijaciji, asimptotski je: s.e.( σ) = s.e.( σ) ˆ = σ 1 ili s.e.( σ) = σ E[V ] ˆσ 1 (ili = ˆσ ) = (d) Diferencijalne jednadžbe za t p 22 x i tp 22 x s pripadnim početnim uvjetima: t t p 22 x = σ tp 21 x (ρ + ν) t p 22 x, p 22 x = 1 t t p 22 x = (ρ + ν) t p 22 x, p 22 x = 1. (15) 1

11 4. (a) x = dob na zadnji rodendan na dan 6. travnja (neposredno prije smrti). Interval stope je kalendarska godina koja počinje 6. travnja i završava sa 5. travnjem. (3) (b) Princip suglasnosti: Osoba živa u trenutku t će biti pod rizikom u dobi x (tj. bit će uključena u Ex) c ako i samo ako bi se njena smrt u trenutku t uračunala u d x. U skladu s time, Ex c = ukupan broj godina u kojima su opažane osobe izložena riziku smrti u dobi x na zadnji rodendan 6. travnja (koji neposredno prethodi eventualnoj smrti). Ili: Ex c = T P x (t) dt, gdje je P x (t) jednak broju opažanih osoba dobi x na zadnji rodendan na dan 6. travnja koji je neposredno prije trenutka t, t (, T ), a (, T ) je razdoblje opažanja. (c) Na početku intervala stope, tj. 6. travnja kalendarske godine, opažana osoba dobi x u skladu s definicijom iz zadatka točne je dobi od x do x + 1. Uz pretpostavku uniformne distribuiranosti rodendana duž kalendarske godine, srednja dob na 6. travnja je x + 1 2, a budući da ˆµ procjenjuje intenzitet smrtnosti na sredini dobnog intervala, dakle µ x+1, imamo da je f = 1. 11

12 5. (a) Nulhipoteza (H ) je: q x = qx s za sve x = 7,..., 75. Uz H, broj umrlih D x : N(E x qx, s E x qx(1 s qx)), s pa se standardizirane devijacije z x računaju po formuli: z x = d x E x q s x E x q s x(1 q s x). Testna statistika: H = 75 x=7 zx 2 : χ 2 (6). Račun: (1+1+1) x E x d x qx s z x zx Opažena vrijednost h = je manja od χ 2.5(6) = pa ne odbacujemo H. (3) S druge strane, sve devijacije su negativne osim prve što upućuje da je opažena smrtnost manja od smrtnosti pretpostavljene tablicom a(55). To χ 2 -test nije indicirao. (b) Ako je prava smrtnost manja od smrtnosti opisane tablicom a(55), OD će trpiti veće štete po policama rentnog osiguranja od očekivanih. (c) Nulhipoteza se od H u (a) razlikuje po tome što umjesto qx s svugdje treba s desne strane jednakosti biti q x, a z x se, isto tako, računa po istoj formuli kao u (a), samo što se svugdje qx s zamijeni sa q x. Testna statistika H je ista (formulom), ali njena asimptotska χ 2 -razdioba ima barem dva stupnja slobode manje od testne statistike u (a). To je zato jer treba procijeniti dva nepoznata parametra a i b iz podataka. (4) (2) 12

13 6. (a) Z = S v K {K7 19}, v = 1/1.5 =.952, S = 1. ImZ = {, Sv, Sv 2,..., Sv 2 }. Funkcija vjerojatnosti (gustoća) od Z: P(Z = ) = P(K 7 2) = 2 p 7 = l 9 l 7 =.56 P(Z = Sv k+1 ) = k p 7 q 7+k = d 7+k l 7, k =, 1,..., 19. Račun za skicu grafa gustoće od Z: k z p Z (z) Skica grafa: (b) Račun: P(Z > 5) = P(v K 7 >.5) = = P(K 7 ln 2 1) = P(K ln ) = = 1 l 84 l 7 = = (c) A 1 7:2 := E[vK {K7 19}], 2 A 1 7:2 := E[v2(K 7+1) 1 {K7 19}], (1+1) pri čemu je 2 A 1 očekivana sadašnja vrijednost osiguranja za slučaj 7:2 smrti s trajanjem od 2 godina i jediničnom osiguranom svotom, koja se računa uz kamatnu stopu (1 + i) 2 1 = = 1.25%. Var[Z] = E[Z 2 ] (E[Z]) 2 = S 2 ( 2 A 1 7:2 (A1 7:2 )2 ). (2) 13