DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

Transcript

1 CHAPTER 5 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI U ovom poglavlju ispituju se neka osnovna svojstva krivih i površi. U svakoj tački prostorne krive može se konstruisati pokretni koordinatni sistem koji se sastoji od tangentnog vektora, normalnog vektora i vektora binormale koji je upravan i na tangentni i na normalni vektor. Praćenjem promena ovih vektora duž prostorne krive dolazi se do pojmova krivine i torzije prostorne krive. Krivina je mera promene tangentnog vektora na krivu, a torzija je mera izvijanja krive izvan ravni. Ustanovljava se da prave linije imaju krivinu nula, a ravanske krive imaju torziju nula. Slično, svakoj glatkoj površi pridružuje se dve površinske koordinatne krive i normalni površinski vektor kroz svaku tačku na površi. Površinske koordinatne krive imaju tangentne vektore koji zajedno sa normalnim površinskim vektorom čine skup baznih vektora. Pomoću ovih vektora definišu se dvodimenzijska površinska metrika i jedan tenzor drugog reda tzv. tenzor krivine. Koordinatne krive imaju tangentne vektore koji zajedno sa površinskom normalom čine koordinatni sistem u svakoj tački površi. Promena ovih površinskih vektora dovodi do pojmova dve različite krivine: normalne krivine i tangentne krivine (geodezijske krivine). Predmet diferencijalne geometrije su relacije koje povezuju ove krivine sa tenzorom krivine, Riman- Tenzorski račun i mehanika koninuuma, Prvo izdanje. By Branislav S. Bačlić ISBN x-xxx-xxxxx-x c 005 John Wiley & Sons, Inc. 147

2 148 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI Kristofelovim tenzorom, kao i druge zanimljive relacije izmedu različitih površinskih vektora i krivina. U ovom poglavlju dat je kratak uvod u teoriju relativnosti gde se opet pojavljuje Riman-Kristofelov tenzor. Svojstva ovog važnog tenzora razmatraju se zadacima na kraju poglavlja. 5.1 PROSTORNE KRIVE I KRIVINA Za trodimenzijsku prostornu krivu x i = x i (s), i = 1,,3, u Rimanovom prostoru V n sa metričkim tenzorom g ij, i parametrom dužine luka s, vektor T i = dxi je tangentni vektor na tu krivu u tački P na krivoj. Vektor T i je jedinični jer je g ij T i T j = g ij dx i dx j = 1. (5.1) Apsolutnim diferenciranjem relacije (5.1) po dužini dobija se g ij T i δt j δs + g δt i ij δs T j = 0, (5.) što implicira da je g ij T j δt i δs = 0. (5.3) Otud je vektor δt i δs upravan na tangentni vektor T i. Ako se definiše jedinični normalni vektor N i na prostornu krivu u istom pravcu kao i vektor δt i δs i napiše N i = 1 δt i κ δs gde κ ima ulogu faktora razmere i naziva se krivina, te izabere tako da je (5.4) g ij N i N j = 1 što implicira g ij δt i δs δt j δs = κ. (5.5) Recipročna vrednost krivine naziva se radijus krivine. Krivina meri brzinu promene tangentnog vektora na krivu sa promenom dužine luka. Apsolutnim diferenciranjem relacije g ij T i N j = 0 po dužini luka s, nalazi se g ij T i δnj δs + g δt i ij δs Nj = 0. (5.6) Posledično, krivina se može odrediti iz relacije g ij T i δnj δs = g ij δt i δs Nj = g ij κn i N j = κ (5.7)

3 PROSTORNE KRIVE I KRIVINA 149 koja definiše znak krivine. Slično, apsolutnim diferenciranjem relacije (5.5) nalazi se da je g ij N i δnj δs = 0. (5.8) Ova jednačina pokazuje da je vektor δnj δs upravan na jedinični normalu Ni. Jednačina (5.3) pokazuje da je T i takode upravan na N i i zato će i svaka linearna kombinacija ovih vektora biti upravna na N i. Jedinični vektor binormale definiše se izborom linearne kombinacije δn j δs + κt j (5.9) te zatim razmerava na jedinični vektor definisanjem B j = 1 ( ) δn j τ δs + κt j (5.10) gde se skalar τ naziva torzija. Znak od τ bira se tako da vektori T i, N i i B i čine desni sistem sa ε ijk T i N j B k = 1, a magnituda od τ se bira tako da je B i jedinični vektor koji zadovoljava g ij B i B j = 1. (5.11) Trijada vektorat i, N i, B i u tački na krivoj formira tri ravni. Ravan koja sadržit i ib i naziva se rektifikaciona ravan. Ravan koja sadrži N i i B i naziva se normalna ravan. Ravan koja sadrži T i i N i naziva se oskulatorna ravan. Recipročna vrednost torzije naziva se radijus torzije. Torzija meri brzinu promene oskulatorne ravni. Vektori T i, N i i B i formiraju desni ortogonalni sistem u tački na prostornoj krivoj i zadovoljavaju relaciju B i = ε ijk T j N k. (5.1) Pomoću jednačine (5.10) može se pokazati da je B i upravno i na vektor T i i na vektor N i jer je g ij B i T j = 0 i g ij B i N j = 0. Ostavlja se čitaocu za vežbu da pokaže da vektor binormale B i zadovoljava relaciju δb i δs = τni. Tri relacije δt i δs = κni δn i δs = τbi κt i (5.13) δb i δs = τni su poznate Frenet-Serret-ove formule u diferencijalnoj geometriji.

4 150 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI 5. POVRŠI I KRIVINA Ovde će se proučiti površi u Dekartovom koordinatnom sistemu, a nakon toga će se rezultati uopštiti na druge koordinatne sisteme. Površ u trodimenzijskom euklikom prostoru mogu se definisati na nekoliko različitih načina: eksplicitno kao z = f(x, y), implicitno kao F(x, y, z) = 0 ili parametarski skupom parametarskih jednačina oblika x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), koji sadrži dva nezavisna parametra u, v koji se nazivaju površinske koordinate. Na primer, jednačine x = asin θ cos φ, y = asin θ sinφ, z = acos θ su parametarske jednačine koje definišu sfernu površ poluprečnika a sa parametrima u = θ i v = φ (videti sliku u trećem poglavlju). Eliminisanjem parametara u, v može se izvesti implicitni oblik zapisa površi, a rešavanjem po z dobija se eksplicitni oblik zapisa površi. Pomoću parametarskog zapisa može se definisati vektor položaja tačke na površi. Vektor položaja se tada zapisuje preko parametara u, v kao r = r(u,v) = x(u,v)ê 1 + y(u,v)ê + z(u,v)ê 3. (5.14) Koordinate (u,v) se nazivaju krivolinijske koordinate tačke na površi. Smatra se da su funkcije x(u,v), y(u,v), z(u,v) realne i diferencijabilne tako da je r u r v 0. Krive r(u,c ) i r(c 1,v) (5.15) sa konstanama c 1 i c definišu dve površinske krive tzv. koordinatne krive, koje se seku na površinski koordinatama (c 1,c ). Familija krivih definisanih jednačinama (5.15) sa ekvidistantnim vrednostima konstanti c i, c i + c i, c i + c i,... definiše r površinsku koordinatnu mrežu. Vektori na površi uzeti na površinskim koordinatama (c 1,c ) su tangentni vektori na koordinatne krive u toj tački i vektori su prirodne baze za svaki vektor koji leži na površi. Stavljanjem (x,y,z) = (y 1,y,y 3 ) i (u,v) = (u 1,u ) vektor položaja se može zapisati preko konvencije o sabiranju u obliku u i r v r = r(u 1,u ) = y i (u 1,u )ê i. (5.16) Tangentni vektori na koordinatne krive u tački P mogu se tada prikazati kao vektori baze E α = r u α = yi u αêi, α = 1, (5.17)

5 POVRŠI I KRIVINA 151 gde su parcijalni izvodi uzeti u tački P gde se na površi seku koordinatne krive. Pomoću ovih vektora baze može se konstruisati jedinični vektor normale na površ u tački P putem izračunavanjem vektorskog proizvoda tangentnih vektora r u = r u i r v = r v. Jedinična normala je tada E ˆn = ˆn(u,v) = 1 E E 1 E = r u r v r u r v (5.18) i takva je da vektori E 1, E i ˆn čine desni koordinatni sistem. Ako se izvrši transformacija iz jednog skupa krivolinijskih koordinata (u, v) u drugi skup (ū, v), preko transformacionih zakona u = u(ū, v), v = v(ū, v), jednačina površi postaje r = r(ū, v) = x(u(ū, v),v(ū, v))ê 1 +y(u(ū, v),v(ū, v))ê +z(u(ū, v),v(ū, v))ê 3 a tangentni vektori na nove koordinatne krive su r ū = r u u ū + r v v ū i r v = r u u v + r v v v. U indeksnoj notaciji ovaj rezultat se može zapisati kao y i ū α = yi u β u β ū α. što je zakon transformacije dvaju sistema baznih vektora na površi. Kriva na površi se definiše relacijom f(u,v) = 0 medu krivolinijskim koordinatama. Alternativni način zapisa krive na površi je zadavanjem parametarskih relacija u = u(t) i v = v(t) u kojima je t parametar. Vektor d r = r du u + r dv v je tangentan na krivu na površi. Element kvadrata dužine luka u površinskim koordinatama je = d r d r = r u α r u β duα du β = a αβ du α du β (5.19) gde a αβ = r, α,β = 1, definiše površinsku metriku. Ovaj element dužine u β luka na površi piše se često kao kvadratna forma u α r A = = E(du) +Fdudv+G(dv) = 1 E (Edu+Fdv) + EG F dv (5.0) E

6 15 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI i naziva se prva osnovna forma površi. Zapaziti da je potrebno da veličine E i EG F moraju biti pozitivni da bi bilo pozitivno definitno. Površinska metrika dvodimenzijske površi definisana je sa a αβ = E E = r u α r u β = yi yi u α, α,β = 1, (5.1) uβ sa konjugovanim metričkim tenzorom a αβ definisanim tako da je a αβ a βγ = δ α γ. Površ je u trodimenzijskom prostoru sa metrikom g ij, a a αβ je dvodimenzijska površinska metrika. Veličine E, F, G u jednačini (5.0) su funkcije površinskih koordinata u, v i odredene su relacijama E = a 11 = r u r u = yi u 1 y i u 1 F = a 1 = r u r v = yi y i u 1 u (5.) G = a = r v r v = yi y i u u Ovde je i na dalje usvojeno da su indeksi pisani grčkim slovima primaju vrednosti 1 i, a indeksi pisani slovima latinice vrednosti 1,,3. Neka se u nekoj tački P na površi konstruiše jedinični normalni vektor ˆn i ravan koja sadrži taj vektor. Zapaziti da postoji beskrajan broj ravni koje sadrže takvu jediničnu površinsku normalu. Za početak bira se samo jedna od takvih ravni, a kasnije će se razmotriti skup takvih ravni. Neka r = r(s) označava vektor položaja koji definiše krivu C dobijenu presekom izabrane ravni i površi, gde je s dužina luka merena duž krive od neke fiksne tačke na krivoj. Treba naći krivinu takve presečne krive. Vektor ˆT = d r, uzet u tački P, je jedinični tangentni vektor na krivu C i leži u tangentnoj ravni na površ u tački P. Ovde je upotrebljeno obično diferenciranje umesto apsolutnog diferenciranja jer se posmatra Dekartov koordinatni sistem. Diferenciranjem relacije ˆT ˆT = 1, po dužini luka s nalazi se ˆT d ˆT d ˆT = 0 što implicira vektor upravan na tangentni vektor ˆT. Kako je koordinatni sistem Dekartov, presečna kriva C se može smatrati prostornom krivom, pa se vektor K = d ˆT, uzet u tački P, definiše kao vektor krivine sa krivinom K = κ i radijusom krivine R = 1/κ. Jedinična normala ˆN na prostornu krivu uzeta je u istom pravcu kao i d ˆT Tada se može pisati K = κ ˆN = d ˆT tako da je krivina uvek pozitivna.. U skladu sa slikom 5.1. definiše se na površi jedinični vektor surface û = ˆn ˆT upravan i na površinski tangentni vektor ˆT i na površinski normalni vektor ˆn, tako da vektori T i, u i i n i formiraju desni sistem. Pravac od û u odnosu na ˆT je u istom smislu kao i površinske tangente E 1 i E. Zapaziti da je vektor d ˆT upravan na tangentni vektor ˆT i leži u ravni koja sadrži vektore ˆn i û. Zato se vekor krivine K može zapisati u komponentnoj formi K = d ˆT = κ (n)ˆn + κ (g) û = K n + K g (5.3)

7 NORMALNA KRIVINA 153 r u n i N i u r u 1 C P T i u = const. u 1 = const. Presecna kriva ravni i površi Figure 5.1. Površinska kriva sa tangentnom ravni i normalnom ravni. gde se κ (n) naziva normalna krivina, a κ (g) se naziva geodezijska krivina, a indekse ovde treba posmatati samo kao oznake. Ove krivine se mogu izračunati na slede način. Iz uslova ortogonalnosti ˆn ˆT = 0 dobija se diferenciranjem po dužini luka s rezultat ˆn d ˆT dˆn + ˆT = 0, te je posledično, normalna krivina odredena skalarnim proizvodom ˆn K dˆn = κ (n) = ˆT = d r dˆn. (5.4) Skalarnim proizvodom û i jednačine (5.3) nalazi se geodezijska krivina kao trostruki skalarni proizvod: κ (g) = û d ˆT = (ˆn ˆT) d ˆT. (5.5) 5.3 NORMALNA KRIVINA Jednačina (5.4) se može izraziti kao kvadratna forma pišući κ (n) = d r dˆn. (5.6) Jedinična normala na površ ˆn i vektor položaja r su funkcije površinskih koordinata u, v, te su im diferencijali d r = r u du + r v dv i dˆn = ˆn u ˆn du + dv. (5.7) v

8 154 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI Neka se definiše kvadratna forma ( ) r r B = d r dˆn = du + u v dv gde su ( ) ˆn ˆn du + u v dv B = e(du) + fdudv + g(dv) = b αβ du α du β (5.8) e = r u ˆn u, ( r f = u ˆn v + ˆn u r ), g = r v v ˆn v, (5.9) a b αβ, α,β = 1, se naziva tenzor krivine, dok je a αγ b αβ = b γ β pridruženi tenzor krivine. Kvadaratna forma iz jednačine (5.8) naziva se druga osnovna kvadratna forma površi. Koeficijenti ove kvadratne forme mogu se izračunati na nekoliko alternativnih načina. Jedinična površinska normala je upravna na tangentne vektore koordinatnih krivih u tački P te važe relacije ortogonalnosti r u ˆn = 0 i r ˆn = 0. (5.30) v Diferenciranjem ovih jednačina po u i v, nalazi se e = r ˆn = r u u ˆn u = b 11 f = r u v n = r u ˆn v = ˆn u r v = b 1 = b 1 (5.31) g = r v n = r v ˆn v = b te se posledično tenzor krivine može izraziti kao b = r ˆn u α u β. (5.3) Kvadratne forme iz jednačina (5.0) i (5.8) omogućuju da se normalna krivina izrazi kao odnos kvadratnih formi. Normalna krivina u pravcu du dv je, iz jednačine (5.6), κ (n) = B A = e(du) + fdudv + g(dv) E(du) + Fdudv + G(dv). (5.33) Ako se jedinični tangentni vektor na krivu napiše u obliku ˆT = d r = r du α u α, a izvod jedinične površinske normale po dužini luka izrazi kao dˆn, tada se normalna krivina može izraziti u obliku κ (n) = ˆT dˆn ( r = u α = b αβdu α du β ˆn u β ) du α du β = ˆn du β u β = b αβdu α du β a αβ du α du β. (5.34)

9 NORMALNA KRIVINA 155 Zapaziti da je tenzor krivine simetrični tenzor drugog reda. U prethodnom razmatranju uzeta je proizvoljna ravan koja sadrži jedinični normalni vektor. Sada će se razmotriti sve takve ravni koje prolaze kroz jediničnu površinsku normalu. Variranjem ravni koja sadrži jediničnu površinsku normalu ˆn u tački P dobijaju se različite presečne krive sa površi. Svaka od tih krivih ima svoju krivinu. Ispitivanjem svih takvih ravni mogu se naći najveća i najmanja normalna krivina provrši. Jednačina (5.33) se može napisati u obliku κ (n) = e + fλ + gλ E + Fλ + Gλ (5.35) gde je λ = dv du. Ova jednačina se na osnovu teorije proporcija može napisati i u obliku κ (n) = (e + fλ) + λ(f + gλ) (E + Fλ) + λ(f + Gλ) = f + gλ F + Gλ = e + fλ E + Fλ. (5.36) Posledično, krivina zadovoljava diferencijalne jednačine (e κe)du + (f κf)dv = 0 i (f κf)du + (g κg)dv = 0. (5.37) Najveća i najmanja krivina javljaju se u pravcima gde je dκ (n) dλ = 0. Izračunavanjem izvoda κ (n) po λ i izjednačavanjem izvoda sa nulom dobija se kvadratna jednačina po λ (Fg Gf)λ + (Eg Ge)λ + (Ef Fe) = 0, (Fg Gf) 0. Dva korena λ 1 i λ ove jednačine zadovoljavaju Eg Ge λ 1 + λ = Fg Gf i λ 1 λ = Ef Fe Fg Gf, (5.38) gde Fg Gf 0. Krivine κ (1), κ () koje odgovaraju korenima λ 1 i λ nazivaju se glavne krivine u tački P. Preko glavnih krivina κ (1) i κ () izražavaju se: (1) glavni radijusi krivine R i = 1/κ i, i = 1,, i () srednja krivina H = 1 (κ (1) + κ () ) i totalna ili Gausova krivina K = κ (1) κ () površi. Zapaziti da koreni λ 1 i λ odreduju na površi dva pravca d r 1 du = r u + r v λ 1 Ako su ovi pravci ortogonalni biće i d r du = r u + r v λ. d r 1 du d r du = ( r u + r v λ 1) ( r u + r v λ ) = 0. Ovo zahteva da je Gλ 1 λ + F(λ 1 + λ ) + E = 0. (5.39)

10 156 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI Ostavlja se čitaocu za vežbu da pokaže da pravci odredeni glavnim krivinama moraju biti ortogonalni. U slučaju kada je Fg Gf = 0 mora biti F = 0 i f = 0 jer su koordinatne krive ortogonalne i G mora biti pozitivno. U ovom specijalnom slučaju još ostaju dva pravca odredena diferencijalnim jednačinama (5.37) za dv = 0 i du proizvoljno, kao i za du = 0 i proizvoljno dv. Iz diferencijalnih jednačina (5.37) nalazi se da ovi pravci odgovaraju glavnim krivinama κ (1) = e E i κ () = g G. Neka λ α = duα označava jedinični vektor na površi koji zadovoljava a αβλ α λ β = 1. Tada se jednačina (5.34) može napisati u obliku κ (n) = b αβ λ α λ β ili se može pisati (b αβ κ (n) a αβ )λ α λ β = 0. Najveća ili najmanja normalna krivina biće u pravcima λ α gde je (b αβ κ (n) a αβ )λ α = 0, te κ (n) mora biti koren jednačine bαβ κ (n) a αβ = 0 ili a αγ b αβ κ (n) δ γ β = b1 1 κ (n) b 1 b κ (n) b 1 = κ (n) b αβa αβ κ (n) + b a = 0. (5.40) Ovo je kvadratna jednačina po κ (n) oblika κ (n) (κ (1) + κ () )κ (n) + κ (1) κ () = 0. Drugim rečima glavne krivineκ (1) iκ () su sopstvene vrednosti matrice sa elementima b γ β = aαγ b αβ. Zapaziti da se iz determinantne jednačine po κ (n) može direktno naći totalna krivina ili Gausova krivina koja je invarijanta data sa K = κ (1) κ () = = a αγ b γβ = b/a. Srednja krivina je takode invarijanta koja se dobija iz b α β H = 1 (κ (1) + κ () ) = 1 aαβ b αβ, gde su a = a 11 a a 1 a 1 i b = b 11 b b 1 b 1 determinante formirane od površinskog metričkog tenzora i komponenata tenzora krivine. 5.4 JEDNAČINE GAUSS-A, WEINGARTEN-A I CODAZZI-A U svakoj tački prostorne krive mogu se konstruisati jedinična tangenta T, jedinična normala N i jedinična binormala B. Izvodi ovih vektora po dužini luka mogu se takode prikazati kao linearne kombinacije baznih vektora T, N, B [vidi na primer, Frenet-Serret-ove formule u (5.13)]. Na sličan način površinski vektori r u, r v, ˆn formiraju bazu, a izvodi ovih baznih vektora po površinskim koordinatama u, v mogu se takode izraziti kao linearne kombinacije baznih vektora r u, r v, ˆn. Na primer, izvodi

11 JEDNAČINE GAUSS-A, WEINGARTEN-AI CODAZZI-A 157 r uu, r uv, r vv mogu se izraziti kao linearne kombinacije od r u, r v, ˆn: r uu = c 1 r u + c r v + c 3ˆn r uv = c 4 r u + c 5 r v + c 6ˆn (5.41) r vv = c 7 r u + c 8 r v + c 9ˆn gde konstante c 1,..., c 9 treba odrediti. Lako je pokazati (vidi zadatak 8 na kraju ovog poglavlja) da se ove jednačine mogu napisati u indeksnoj notaciji kao { } r γ r u α u β = α β u γ + b αβˆn. (5.4) Ove jednačine su poznate pod nazivom Gauove jednačine. Na sličan način se izvodi vektora normale mogu prikazati kao linearne kombinacije površinskih baznih vektora: ˆn u = c 1 r u + c r v ˆn v = c 3 r u + c 4 r v ili r u = ˆn c 1 u + ˆn c v r v = ˆn c 3 u + ˆn c 4 v (5.43) gde su c 1,..., c 4 i c 1,..., c 4 konstante. Ove jednačine se nazivaju Weingartenove jednačine. Lako se pokazuje (vidi zadatak 9 na kraju ovog poglavlja) da se Weingarten-ove jednačine mogu zapisati u sledećem indeksnom obliku ˆn u α = r bβ α u β (5.44) gde je b β α = a αγ b γα mešoviti oblik tenzora krivine drugog reda. Gausove jednačine daju sistem parcijanih diferencijalnih jednačina koje defiinišu površinske koordinate x i kao funkcije krivolinijskih koordinata u i v. Jednačine nisu nezavisne jer moraju biti zadovoljene neki uslovi kompatibilnosti. Naime, zahteva se da mešoviti parcijalni izvodi moraju zadovoljiti 3 r u α u β u δ = 3 r u α u δ u β. Kada se izračuna 3 r u α u β u δ = { } γ r α β u γ u δ + { γ } α β u δ r u γ + b ˆn αβ u δ + b αβ u δ ˆn i upotrebe jednačine Gauss-a i Weingarten-a dobija se [ { 3 r ω } { }{ } ] u α u β u δ = α β γ ω u δ + b αβ b ω r δ α β γ δ u ω [{ } γ + b γδ + b ] αβ α β u δ ˆn.

12 158 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI Formiranjem razlike 3 r u α u β u δ 3 r u α u δ u β = 0 r nalazi se da koeficijenti uz nezavisne vektore ˆn i u moraju biti nule. Izjednačavanjem ω koeficijenta uz ˆn sa nulom dobijaju se Codazzi-eve jednačine { γ α β } b γδ { γ α δ } b γβ + b αβ u δ b αδ = 0. (5.45) uβ Ove jednačine se sreću i pod imenom Mainardi-Codazzi-eve jednačine. Izjednačavanjem koeficijenta uz r u sa nulom nalazi se da je R δ ω αγβ = b αβb δ γ b αγ b δ β ili nakon zamene indeksa dobija kovarijantna forma gde je a ωδ R δ αβγ = R ωαβγ = b ωβ b αγ b ωγ b αβ, (5.46) R δ αβγ = u γ { } δ α β mešoviti Riemann-ov tenzor krivine. { } { }{ } { }{ } δ ω δ ω δ u β + α γ α β ω γ α γ ω β (5.47) PRIMER 54 Pokazati da Gausova ili totalna krivina K = κ (1) κ () zavisi samo od metrike a αβ i iznosi K = R 11 /a gde je a = det[a αβ ]. Rešenje. Pomoću dvodimenzijskog alternirajućeg tenzorae αβ i svojstva determinanti može se pisati e γδ K = e αβ b γ αb δ b β gde je K = γ β = a αγ b αβ. Ako se to pomnoži sa e γζ i izvrši kontrakcija dobija se e γδ e γδ K = e γδ e αβ b γ αb δ β = K K = e γδ e αβ (a γµ b αµ )(a δν b βν ) Medjutim, kako jee γδ a γµ a δν = ae µν bićek = e αβ ae µν b αµ b βν. Pomoću ae µν = ε µν dobija se K = ε µν ε αβ b αµ b µν, a zamenom indeksa K = ε αβ ε ωα b ωβ b αγ i K = ε γβ ε ωα b ωγ b αβ. Sabiranjem poslednja dva rezultata nalazi se 4K = ε βγ ε ωγ (b ωβ b αγ b ωγ b αβ ) = ε βγ ε ωγ R ωαβγ. Kada se obe strane pomnože sa ε στ ε λν dobija se 4Kε στ ε λν = δστ βγ δλν ωαr ωαβγ. Na osnovu zadataka 16 na kraju ovog poglavlja, Riemann-ov tenzor krivine R ijkl je koso-simetričan po (i,j), (k,l) i simetričan je po parovima indeksa (ij), (kl). Posledično, δστ βγ δλν ωαr ωαβγ = 4R λνστ i otud R λνστ = Kε στ ε λν te je specijalni slučaj K ae 1 ae1 = R 11 ili K = R 11 /a. Mnogo jednostavniji

13 GEODEZIJSKA KRIVINA 159 način da se dobije ovaj rezultat je da se posmatra K = b/a i zapazi iz jednačine (5.46) da je R 11 = b 11 b b 1 b 1 = b. Zapaziti da je na površi = a αβ du α du β gde su a αβ površinske metrike. Kako u je a αβ tenzor i zadovoljava ā γδ = a α u β αβ ū, deteminanta ovog izraza daje γ ū δ ā = ā γδ u α u β ū γ ū δ = aj gde je J jakobijan transformacije površinskih koordinata. Ovde tenzor krivine za površinu R αβγδ ima samo jednu nezavisnu komponentu jer je R 11 = R 11 = R 11 = R 11 (vidi zadatke 0 i 1). Iz transformacionog zakona u R α u β u γ u δ εηλµ = R αβγδ ū ε ū η ū λ ū µ sabiranjem po ponovljenim indeksima pokazuje se da je R 11 = R 11 J i posledično R 11 ā = R 11 a = K što pokazuje da je Gausova krivina skalarna invarijanta u V. 5.5 GEODEZIJSKA KRIVINA Vektor krivine K neke krive C na površi je vektorski zbir normalne krivine κ (n)ˆn i geodezijske krivine κ (g) û i leži u ravni koja je upravna na tangentni vektor na površinsku krivu. Geodezijska krivina κ (g) se nalazi iz jednačine (5.5) i može se zapisati kao ( ) κ (g) = û K = û d T = (ˆn T) d T = T d T ˆn. Kada se u ovaj izraz zamene vektori T = d r = r du u + r dv v dt = K = r uu (u ) + r uv u v + r vv (v ) + r u u + r v v,

14 160 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI gde je = d, i iskoriste rezultati iz zadatka 10 na kraju ovog poglavlja, nalazi se geodezijska krivina u obliku [{ } ( { } { }) 1 κ (g) = (u ) 3 + (u ) v ({ } { }) 1 + u (v ) 1 { } 1 EG (v ) 3 + (u v u v )] F. (5.48) Ova jednačina pokazuje da je geodezijska krivina funkcija samo od površinskih metrika E, F, G i izvoda u, v, u, v. Kriva za koju je geodezijska krivina nula naziva se geodezijska kriva. Takve krive su često, ali ne uvek, linije najkraćeg rastojanja izmedu dve tačke na površi. Na primer, veliki krug na sferi koji prolazi kroz dve zadate tačke na sferi je geodezijska kriva. Ako se obriše onaj deo kruga koji pretavlja najkraće rastojanje izmedu dve tačke na krugu ostaje geodezijska kriva koja spaja dve tačke, ali ona tada nije najkraće dužine izmedu tih dvaju tačaka. Za ravanske krive sa u = x i v = y geodezijska krivina se svodi na k (g) = u v u v = dφ gde je φ ugao izmedu tangente T na krivu i jediničnog vektora ê 1. Geodezijske krive na površi geodezijsku krivinu jednaku nuli. Kako je k (g) = 0 duž geodezijske krive, to znači je normala N na površinsku krivu u bilo kojoj tački u istom pravcu kao i normala ˆn na površ. U tom slučaju je r u ˆn = 0 i r v ˆn = 0 što se svodi na d T r u = 0 i d T r v = 0. (5.49) jer vektori ˆn i d T imaju isti pravac. Kako se može pisati T = d r = r du u + r dv v = r uu + r v v dt = r uu(u ) + r uv u v + r vv (v ) + r u u + r v v jednačine (5.49) postaju d T r u = ( r uu r u )(u ) + ( r uv r u )u v + ( r vv r u )(v ) + Eu + Fv = 0 d T r v = ( r uu r v )(u ) + ( r uv r v )u v + ( r vv r v )(v ) + Fu + Gv = 0.

15 TENZORSKI IZVODI 161 (5.50) Pomoću rezultata iz zadataka 4, 5 i 6 sa kraja ovog poglavlja može se eliminisati v i jednačina (5.50) i dobiti d { u } ( du ) { } du { dv 1 + }( ) dv = 0, a eliminisanjem u iz jednačina (5.50) dobija se jednačina d { } ( ) { } { } ( ) v du du + dv dv = 0. U tenzorskom obliku, poslednje dve jednačine mogu se zapisati kao d u α { } α + du β du γ = 0, α,β,γ = 1, (5.51) β γ a gde su u = u 1 i v = u. Jednačine (5.51) su diferencijalne jednačine koje definišu geodezijsku krivu na površi. Videće se da se isti tip jednačina javlja u razmatranju najkraćeg rastojanja izmedu dve tačke u generalisanom koordinatnom sistemu. Videti, na primer, zadatak 18 u drugom poglavlju drugog dela. 5.6 TENZORSKI IZVODI Neka u α = u α (t) označava parametarske jednačine krive na površi definisanoj parametarskim jednačinama x i = x i (u 1,u ). Površinska kriva se može prikazati u prostornim koordinatama sa x i = x i (u 1 (t),u (t)) = x i (t). Potrebno je poetiti se da je za datu krivu C zadatu sa x i = x i (t), apsolutni izvod vektorskog polja A i duž C defonisan kao unutrašnji proizvod kovarijantnog izvoda vektorskog polja sa tangentnim vektorom na krivu. Apsolutni izvod je ili δa i δt δa i δt = A i dx j,j = { } = dai i + A k dxj j k g [ A i { } ] i x j + A k dx j j k g gde indeks g označava da je Kristofelov simbol formiran od prostorne metrike g ij. Ako je A α površinski vektor definisan duž krive C, apsolutni izvod je δa α = A α du β [ { } ] A α α du,β = δt u β + A γ β β γ a

16 16 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI ili δa α δt = daα { } α + A γ duβ β γ a gde indeks a označava da je Kristofelov simbol formiran od površinske metrike a αβ. Slično su formule za apsolutni izvod kovarijantnog prostornog vektora A i i kovarijantnog površinskog vektora A α date sa i δa i δt δa α δt = da i = da α { k i j } dx j A k g { } γ du β A α α β a. Neka se posmatra mešoviti tenzor Tα i koji je kontravarijantan u odnosu na transformaciju prostornih koordinatax i i kovarijantan u odnosu na transformaciju površinskih koordinata u α. Tenzor Tα i je definisan nad površinskom krivom C koja se može posmatarati i kao prostorna kriva. Neka je dalje definisana skalarna invarijanta Ψ = Ψ(t) = TαA i i B α gde je A i paralelno vektorsko polje duž krive C kada se ona posmatra kao prostorna kriva, a B α je paralelno vektorsko polje duž krive C kada se ona posmatra kao površinska kriva. Poetiti se da paralelna vektorska polja moraju zadovoljavati diferencijalne jednačine δa i δt { } = dai k dx j A k i j g = 0 i δb α { } = dbα α + B γ duβ = 0. δt β γ a (5.5) Skalarna invarijanta Ψ je funkcija parametra t prostorne krive jer su i tenzorsko polje i paralelno vektorsko polje uzeti duž krive C. Diferenciranjem funkcije Ψ po parametru t dobija se dψ = dt α i A ib α + Tα i da i Bα + TαA i db α i. (5.53) Medutim vektori A i i B α su paralelna vektorska polja i moraju zadovoljavati relacije date jednačinama (5.5). To implicira da se jednačina (5.53) može napisati u obliku [ dψ = dtα i { } i + T k dx j { } ] γ α k j g T i du β γ A i B α. (5.54) β α a Veličina u uglastim zagradama jednačine (5.54) definiše se kao apsolutni tenzorski izvod po parametru t duž krive C. Ovaj prâvi tenzorski izvod može se pisati u obliku

17 UOPŠTENJA 163 δt i α = dt i α { } i + T k dx j { } γ α k j g T i du β γ β α a. (5.55) Prostorni zapis krive C povezan je sa površinskim zapisom krive C preko definicionih jednačina, te se zato jednačina (5.55) može izraziti u obliku [ δtα i T i { } α i = du β + T k dx j { } ] γ α k j g u β T i du β γ (5.56) β α a Veličina u uglastim zagradama je mešoviti tenzor i definiše se kao tenzorski izvod od Tα i po površinskim koordinatama u β. Tenzorski izvod mešovitog tenzora Tα i po površinskim koordinatama u β zapisuje se sa T i α,β = T i α u β + { i k j } Tα k g dx j u β { γ β α } Tγ. i a U opštem slučaju, za dati mešoviti tenzor T i...j α...β koji je kontravarijantan po transformacijama prostornih koordinata i kovarijantan po transformacijama površinskih koordinata, može se definisati skalarno polje duž krive C kao Ψ(t) = T i...j α...β A i...a j B α...b β (5.57) gde su A i,...,a j i B α,...,b β paralelna vektorska polja duž krive C. Apsolutni tenzorski izvod se tada izvodi diferenciranjem jednačine (5.57) po parametru t. Tenzorski izvodi metričkih tenzora g ij, a αβ kao i alternirajućih tenzora ε ijk, ε αβ i njihovih pridruženih tenzora su svi jednaki nuli. Zato se oni mogu smatrati konstantama tokom procesa tenzorskog diferenciranja. 5.7 UOPŠTENJA U Rimanovom prostor V n sa metrikom g ij i krivolinijskim koordinatama x i, i = 1,,3, mogu se napisati jednačine površi u parametarskom obliku x i = x i (u 1,u ) gde su u α, α = 1, krivolinijske koordinate površi. Kako je dx i = xi u α duα (5.58) mala promena du α na površi rezultuje promenom dx i u prostornim koordinatama. Zato se element dužine luka na površi može izraziti preko krivolinijskih koordinata površi. Taj isti element dužine luka može se izraziti i preko krivolinijskih koordinata prostora. Dakle, kvadrat elementa dužine izražen preko površinskih koordinata je = a αβ du α du β (5.59)

18 164 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI gde je a αβ metrika površi, a taj isti delić posmatran kao prostorni element je = g ij dx i dx j. (5.60) Izjednačavanjem jednačina (5.59) i (5.60) nalazi se g ij dx i dx j x i x j = g ij u α u β duα du β = a αβ du α du β. (5.61) Jednačina (5.61) pokazuje da je površinska metrika u relaciji sa prostornom metrikom x i da se može izračunati iz a αβ = g i x j ij u. U slučaju Dekartovih koordinata ova α u β jednačina se svodi na jednačinu (5.1). U površinskim koordinatama definiše se kvadratna forma A = a αβ du α du β kao prva osnovna kvadratna forma površi. Tangentni vektori na koordinatne krive koje definišu površi su xi u i mogu se posmatrati α bilo kao kovarijantni površinski vektori, bilo kao kontravarijantni prostorni vektori. Takav vektor definše se sa x i α = xi, i = 1,,3, α = 1,. (5.6) uα Svaki vektor koji je linearna kombinacija tangentnih vektora na koordinatne krive naziva se površinski vektor. Površinski vektor A α može se posmatrati i kao prostorni vektor A i. Veza izmedu prostornog zapisa i površinskog zapisa je A i = A α x i α. Površinski zapis A α, α = 1, i prostorni zapis A i, i = 1,,3 definišu isti pravac i magnitudu jer je g ij A i A j = g ij A α x i αa β x j β = g ijx i αx j β Aα A β = a αβ A α A β. Neka se posmatraju dva površinska vektora A α i B β i njihovi prostorni zapisi A i i B i gde su A i = A α x i α i B i = B α x i α. (5.63) Ovi vektori su tangentni na površ te se jedinični normalni vektor na površ može definisati vektorskim proizvodom n i AB sin θ = ε ijk A j B k (5.64) gde su A, B magnitude od A i, B i a θ je ugao izmedu vektora kada se njihova ishodišta poklapaju. Zamenom jednačina (5.63) u jednačinu (5.64) nalazi se n i AB sin θ = ε ijk A α x j αb β x k β. (5.65) Izraženo preko površinske metrike je AB sinθ = ε αβ A α B β, te se jednačina (5.65) može prepisati u obliku (n i ε αβ ε ijk x j αx k β)a α B β = 0 (5.66)

19 UOPŠTENJA 165 što za proizvoljne površinske vektore implicira n i ε αβ = ε ijk x j αx k β ili n i = 1 εαβ ε ijk x j αx k β. (5.67) Jednačina (5.67) definiše jedinični normalni vektor na površ preko tangentnih vektora na koordinatne krive. Ovaj jedinični normalni vektor je u vezi sa kovarijantnim izvodom površinskih tangenata što će se sada pokazati. Korišćenjem rezultata iz jednačine (5.50), tenzorski izvod jednačine (5.59) po površinskim koordinatama, dovodi do x i α,β = x i { } { } i u α u β + x p p q αx q σ β x i σ (5.68) g α β a gde indeksi na Kristofelovom simbolima označavaju metriku iz koje su izračunati. Tenzorski izvod jednačine (5.57) daje rezultat g ij x i α,γx j β + g ijx i αx j β,γ = a αβ,γ = 0, (5.69) a cikličnom promenom indeksa α, β, γ u ovoj jednačini pokazuje se da je g ij x i α,βx j γ = 0. (5.70) Jednačina (5.70) govori da je u protornim koordinatama vektor x i α,β upravan na površinski tangentni vektor x j γ i zato mora imati isti pravac kao jedinična površinska normala n i. Zato mora postojati tenzor drugog reda b αβ takav da je b αβ n i = x i α,β. (5.71) Pomoću relacije g ij n i n j = 1 može se transformisati jednačina (5.71) u oblik b αβ = g ij n j x i α,β = 1 εγδ ε ijk x i α,βx j γx k δ. (5.7) Simetrični tenzor drugog reda b αβ naziva se tenzor krivine, a kvadratna forma B = b αβ du α du β (5.73) naziva se druga osnovna kvadratna forma površi. Može se razmotriti i tenzorski izvod po površinskim koordinatama jediničnog normalnog vektora na površ n i,α = ni u α + { i j k } n j x k α. (5.74) g Tenzorski izvod izraza g ij n i n j = 1 po površinskim koordinatama dovodi do rezultata g ij n i n j,α = 0 koji pokazuje da je vektor n j,α, upravan na n i i mora ležati u tangentnoj

20 166 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI ravni površi. Zato se on može izraziti kao linearna kombinacija površinskih tangentnih vektora x i α i zapisati u obliku n i,α = η β αx i β (5.75) gde se koeficijenti η β α mogu zapisati preko komponenata površinske metrike a αβ i komponenata b αβ na sledeći način. Jedinični vektor n i je upravan na površi te je g ij n i x j α = 0. (5.76) Tenzorski izvod ove jednačine po površinskim koordinatama daje g ij n i βx j α + g ij n i x j α,β = 0. (5.77) Kada se u jednačinu (5.77) zamene relacije iz jednačina (5.57), (5.71) i (5.75) pokazuje se da je b αβ = a αγ η γ β. (5.78) Rešavanjem jednačine (5.78) po koeficijentima η γ β nalazi se η γ β = aαγ b αβ, (5.79) a zamena ovog rezultata u jednačinu (5.75) dovodi do Weingarten-ove formule n i,α = a γβ b γα x i β. (5.80) Ova relacija izražava izvod jedinične normale preko površinske metrike, tenzora krivine i površinskih tangenti. Treća osnovna kvadratna forma površi definiše se sa C = c αβ du α du β (5.81) gde je c αβ definisano kao simetrični površinski tenzor c αβ = g ij n i,αn j,β. (5.8) Primenom Weingarten-ove formule na jednačinu (5.81) može se verifikovati da je c αβ = a γδ b αγ b βδ. (5.83) 5.8 GEODEZIJSKE KOORDINATE U Dekartovom koordinatnom sistemu metrički tenzor g ij je konstantan te su posledično Kristofelovi simboli nula u svim tačkama prostora. To je, naravno, tako jer se

21 GEODEZIJSKE KOORDINATE 167 Kristofelovi simboli izračunavaju preko izvoda metričkog tenzora koji je konstantan. Ako prostor V N nije Dekartov, Kristofelovi simboli se ne anuliraju u svim tačkama prostora. Medutim, moguće je naći koordinatni sistem gde će svi Kristofelovi simboli biti nula u datoj tački P prostora. Takve koordinate se nazivaju geodezijske koordinate tačke P. Neka se posmatra dvodimenzijska površ sa površinskim koordinatamau α i površinskom metrikom a αβ. Ako se izvrši transformacija u neki drugi dvodimenzijski koordinatni sistem, recimo ū α sa metrikom ā αβ, preko transformacionih jednačina oblika u α = u α (ū 1,ū ), α = 1,, (5.84) tada se iz transformacione jednačine (4.7), nakon promene oznaka, može napisati { } δ β γ ā u α ū δ = { } α δ ε a u δ u ε ū β ū γ + u α ū β ū γ. (5.85) Ovo} je relacija izmedu Kristofelovih simbola u dva koordinatna sistema. Ako se anulira u nekoj tački P, tada se u toj istoj tački jednačina (5.85) svodi na { δ β γ ā u α { } α ū β ū γ = δ ε a u δ u ε ū β ū γ (5.86) gde su svi članovi uzeti u tački P. Obrnuto, ako je jednačina (5.86) zadovoljena u tački P, tada u toj tački mora Kristofel symbol { } δ β γ biti jednak nuli. ā Neka se dalje posmatra sledeća specijalna transformacija koordinata u α = u α 0 + ū α 1 { } α ū β ū α (5.87) β γ a gde su u α 0 površinske koordinate tačke P. U novom koordinatnom sistemu tačka P je zadata sa ū α = 0. Diferenciranjem relacije (5.87) može se proveriti da li ona zadovoljava jednačinu (5.86). Izvodi su i u α ū τ = δα τ 1 { } α β τ aū β 1 { } α ū γ τ γ uα =0 (5.88) a u α { } α ū τ ū σ = τ σ a u α =0 (5.89) i uzeti su u ū α = 0. Zaključuje se izvodi iz jednačina (5.88) i (5.89) zadovoljavaju jednačinu (5.86) lokalno u tački P. Zato će u toj naročitoj tački Kristofelovi simboli biti jednaki nuli, te se nove koordinate mogu nazvati geodezijskim koordinatama.

22 168 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI 5.9 RIMAN-KRISTOFELOV TENZOR Riman-Kristofelov tenzor je definisan jednačinom (4.34), a mnoga njegova svojstva se obraduju u zadacima na kraju ovog poglavlja. Ovde se posebna pažnja posvećuje Riman-Kristofelovm tenzoru u dvodimenzijskom prostoru sa metrikom a αβ i koordinatama u α. Riman-Kristofelov tenzor ima oblik R δ.αβγ = u β { δ α γ } u γ { δ α β } + { τ α γ }{ δ β τ } { }{ } τ δ α β γ τ (5.90) gde su Kristofelovi simboli izračunati iz površinske metrike. pridruženi tenzor Gornji tenzor ima R σαβγ = a σδ R δ.αβγ (5.91) koji je koso-simetričan po indeksima (σ,α) i (β,γ) tako da je R σαβγ = R ασβγ i R σαβγ = R σαγβ. (5.9) Pomoću dvodimenzijskog alternirajućeg tenzora definiše se konstanta K = 1 4 εαβ ε γβ R αβγδ (5.93) (vidi primer 54) koja je invarijanta površi i naziva se Gausova krivina ili totalna krivina. U zadacima na kraju ovog poglavlja pokazano je da se Riman-Kristofelov tenzor površine može izraziti preko totalne krivine i alternirajućeg tenzora kao R αβγδ = Kε αβ ε γδ. (5.94) Da bi se izvela neka svojstva srednje krivine H i totalne krivine K, posmatra se drugi izvod tenzora x r α { } { } { } x r α,βγ = xr α,β r δ δ u γ + x r m n α,βx n γ x r δ,β x r α,γ (5.95) g α γ a β γ a koji zadovoljava relaciju x r α,βγ x r α,γβ = R δ.αβγx r δ. (5.96) Pomoću relacije (5.96) mogu se izvesti neke zanimljive veze izmedu tenzora a αβ, b αβ, c αβ, R αβγδ, srednje krivine H i totalne krivine K. Tenzorski izvod jednačine (5.71) može se napisati u obliku x i α,βγ = b αβ,γ n i + b αβ n i,γ (5.97)

23 RIMAN-KRISTOFELOV TENZOR 169 gde je b αβ,γ = b { } { } αβ σ σ u α b σβ b ασ. (5.98) α γ a β γ a Pomoću Weingarten-ove formule, date jednačinom (5.80), može se jednačina (5.97) izraziti u obliku x i α,βγ = b αβ,γ n i b αβ a τσ b τγ x i σ. (5.99) a pomoću jednačina (5.98) i (5.99) može se ustanoviti da važi x r α,βγ x r α,γβ = (b α,βγ b αγ,β )n r a τδ (b αβ b τγ b αγ b τβ )x r δ. (5.100) Izjednačavanjem rezultata iz jednačina (5.96) i (5.100) dolazi se do relacije R δ.αβγx r δ = (b α,βγ b αγ,β )n r a τδ (b αβ b τγ b αγ b τβ )x r δ. (5.101) Množenjem jednačine (5.101) sa n r i korišćenjem rezultata iz jednačine (5.76) dobija se Codazzi-eva jednačina b αβ,γ b αγ,β = 0. (5.10) Množenjem jednačine (5.101) sag rm x m σ i pojednostavljenjem može se izvesti Gausova jednačina površine R σαβγ = b αγ b σβ b αβ b σγ, (5.103) a pomoću ove jednačin može se zapisati jednačina (5.94) kao Kε σα ε βγ = b αγ b σβ b αβ b σγ. (5.104) Drugačiji oblik jednačine (5.104) dobija se pomoću jednačine (5.83) i relacije a αβ = a σγ ε σα ε βγ. Neka čitalac za vežbu pokaže da se tako dolazi do Ka αβ = c αβ a σγ b σγ b αβ. (5.105) Ako se srednja krivina definiše sa H = 1 aσγ b σγ, (5.106) tada se jednačina (5.105) može zapisati u obliku c αβ Hb αβ + Ka αβ = 0. (5.107) Množenjem jednačine (5.107) sa du α du β i sabiranjem nalazi se C H B + K A = 0 (5.108)

24 170 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI o povezuje prvu, drugu i treću osnovnu kvadratnu formu. PRIMER 55. U dvodimenzijskom prostoru Riemann-Christoffel-ov tenzor ima samo jednu nezavisnu komponentu različitu od nule: R 11 (vidi zadatak 1 na kraju ovog poglavlja). Posledično, jednačina (5.104) se može napisati u obliku K ae 1 ae1 = b b 11 b 1 b 1 i rešiti po Gausovoj krivini K. Tako se nalazi K = b b 11 b 1 b 1 a 11 a a 1 a 1 = b a = R 11 a. (5.109) 5.10 KRIVINA POVRŠI Kod površinske krive u α = u α (s), α = 1, koja leži na površi x i = x i (u 1,u ), i = 1,, 3, reč je o dvodimenzijskom prostoru unutar trodimenzijskog prostora. Tako, ako je t α = duα jedinični tangentni vektor na površinskoj krivoj važi a αβ duα du β = a αβ t α t β = 1. Ovaj isti vektor može se prikazati i kao jedinični tangentni vektor na prostornu krivu x i = x i (u 1 (s),u (s)), tj. T i = dxi. Dugim rečima važiće dx g i dx j ij = g ijt i T j = 1. Površinski vektor t α i prostorni vektor T i povezani su relacijom T i = xi u α du α = xi αt α. (5.110) Površinski vektor t α je jedinični tako da je a αβ t α t β = 1. Ako se izvrši prâvo diferenciranje ove jednačine po parametru s, dobija se a αβ t α δtβ δs = 0, što pokazuje da je površinski vektor δtα δs upravan na površinski vektor tα. Neka u α označava jedinični normalni vektor u ravni površi koji je ortogonalan na tangentni vektor t α. Pravac vektora u α bira se tako da je ε αβ t α u β = 1. Zato postoji skalar κ (g) takav da je δt α δs = κ (g)u α, (5.111) gde se skalar κ (g) naziva geodezijska krivina krive. Na sličan način može se pokazati da je δuα δs površinski vektor ortogonalan na tα. Neka je δuα δs = αt α gde skalarnu konstantu α treba odrediti. Prâvim diferenciranjem relacije a αβ t α u β = 0 i pojednostavljenjem nalazi se da je α = κ (g) i zato δu α δs = κ (g)t α. (5.11) Jednačine (5.111) i (5.11) se nazivaju Frene-Seret-ove formule za krivu u odnosu na površ.

25 KRIVINA POVRŠI 171 Apsolutni izvod jednačine (5.110) po parametru s dovodi do δt i δs = δt α xi α δs + du β xi α,β tα. (5.113) Kada se kriva posmatra kao prostorna kriva koriste se Freneove formule (5.13), kada se posmatra kao površinska kriva koriste se Freneove formule (5.111) i (5.11). Na taj način se jednačina (5.113) može zapisati u obliku κn i = x i ακ (g) u α + x i α,βt β t α. (5.114) Pomoću rezultata iz jednačine (5.71) i jednačine (5.114) dobija se κn i = κ (g) u i + b αβ n i t α t β (5.115) gde je u i prostorni vektor ekvivalentan površinskom vektoru u α. Ako je θ ugao izmedu površinske normale n i i glavne normale N i, tada je cos θ = n i N i, te se množenjem jednačine (5.115) sa n i dobija κ cos θ = b αβ t α t β. (5.116) Posledično, veličina κ cos θ ostaje konstantna za sve krive na površi sa istim tangentnim vektorom t α. Ovaj rezltat je poznat pod nazivom Meusnier-ova teorema. Zapaziti da je κ cos θ = κ (n) normalna komponente krivine, a da je κ sin θ = κ (g) geodezijska komponenta krivine. Zato se jednačina (5.116) zapisuje kao κ (n) = b αβ t α t β (5.117) što pretavlja normalnu krivinu površi u pravcu t α. napisati i u obliku Jednačina (5.117) može se κ (n) = b αβ du α du β = B A (5.118) što je odnos kvadratnih formi. Pravci na površi za koje κ (n) ima maksimalnu ili minimalnu vrednost odreduju se iz jednačine (5.118) koja se može prepisati kao (b αβ κ (n) a αβ )λ α λ β = 0. (5.119) Pravac koji daje maksimum ili minimum vrednosti κ (n) mora tada zadovoljavati (b αβ κ (n) a αβ )λ β = 0 (5.10) tako da κ (n) mora biti koren jednačine det(b αβ κ (n) a αβ ) = 0. (5.11)

26 17 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI Razvijeni oblik jednačine (5.11) je κ (n) aαβ b αβ κ (n) + b a = 0 (5.1) gde su a = a 11 a a 1 a 1 i b = b 11 b b 1 b 1. Pomoću definicije date u jednačini (5.106) i rezultata datog jednačinom (5.109), može se jednačina (5.1) zapisati u obliku κ (n) Hκ (n) + K = 0. (5.13) Koreni κ (1) i κ () jednačine (5.13) tada zadovoljavaju relacije i H = 1 (κ (1) + κ () ) (5.14) K = κ (1) κ (). (5.15) Ovde je H srednja vrednost glavnih krivina, a K je Gausova ili totalna krivina koja proizvod glavnih krivina. Lako je proveriti da su H = Eg ff + eg (EG F ) i K = eg f EG F invarijante dobijene iz površinske metrike i tenzora krivine TEORIJA RELATIVNOSTI Isaac Newton i Albert Einstein imali su različit pogled na svet što se tiče opisa gravitacije i kretanja planeta. Ovde se u kratkom uvodu u teoriju relativnosti uporeduju njutnovske jednačine sa relativističkim jednačinama za opis planetarnog kretanja. Prvo se rezimiraju njutnovski sistemi. Njutn je posmatrao planetarno kretanje kao problem više tela, no u cilju jednostavnosti ovde se posmatra problem samo dva tela, recimo Sunca i neke planete pod pretpostavkom da se kretanje odvija u ravni. Njutnov zakon gravitacije tvrdi da se dve mase m i M privlače jedna ka drugoj silom intenziteta GmM ρ, gde je G konstanta, ρ rastojanje izmedu masa, m je masa planete a M masa Sunca. Ako se konstruiše x,y ravan u kojoj leže obe mase tako da je u ishodištu lociran centar mase Sunca, tada jedinični vektor ê ρ = cos φê 1 + sinφê u ishodištu koordinatnog sistema pokazuje u pravcu mase m. Vektor sile kojom masa M privlači masu m dat je relacijom F = GmM ρ ê ρ. (5.16)

27 TEORIJA RELATIVNOSTI 173 y P F D x F y P D x q q a a q a q Figure 5.. Parabolični i eliptični konusni preseci. Jednačina kretanja mase m u odnosu na masu M dobija se iz drugog Njutnovog zakona. Neka ρ = ρê ρ označava vektor položaja mase m u odnosu na ishodište, pa se Njutnov drugi zakon može zapisati u jednom od sledećih oblika F = GmM ρ ê ρ = m d ρ = md V = GmM ρ 3 ρ. (5.17) Na osnovu ovih jednačina može se pokazati da je kretanje mase m opisano konusnim presekom. Treba se poetiti da je konusni presek definisan kao geometrijsko mesto tačaka P(x,y) takvo da mu je rastojanje od fiksne tačke (ili tačaka), zvane fokus (fokusi), proporcionalno rastojanju tačke P od fiksne prave, zvane direktrisa, koja ne prolazi kroz fokus. Konstanta proporcionalnosti naziva se ekscentricitet i obeležava se sa ε. Za ε = 1 dobija se parabola, za 0 ε 1 dobija se elipsa, za ε > 1 dobija se hiperbola, a ako je ε = 0 konusni pesek je krug. U skadu sa slikom 5.., konusni presek se definiše preko odnosa FP PD = ε gde su duži FP = ρ i PD = q ρcos φ. Iz ekscentriciteta ε može se naći radijus ρ i time dobiti zapis konusnog preaeka u polarnim koordinatama ρ = p 1 + εcos φ (5.18) gde je p = qε i naziva se polu-parametar konusnog preseka (zapaziti da je ρ = p za φ = π ). Polarni ugao φ naziva se prâva anomalija orbite. Opštiji oblik gornje jednačine je ρ = p 1 + εcos(φ φ 0 ) ili u = 1 ρ = A[1 + εcos(φ φ 0)], (5.19) gde je φ 0 proizvoljna početna anomalija. Kod orbita koristi se još jedan parametar a, tzv. polu-glavne ose eliptične orbite. Parametri konusnog preseka q, p, ε, a

28 174 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI medusobno su povezani sledećim relacijama p 1 + ε = q = a(1 ε) ili p = a(1 ε ). (5.130) Da se pokaže da jednačina (5.17) dovodi do konusnog preseka za kretanje mase m u odnosu na masu M, pokazaće se da je jedan od oblika rešenja jednačine (5.17) dat jednačinom (5.18). Da se to verifikuje koristiće se sledeći vektorski identiteti: ( d ρ d ρ ρ ê ρ = 0 ) ê ρ dê ρ = 0 ) ( ê ρ ê ρ dê ρ = ρ d ρ = dê ρ. (5.131) Iz jednačine (5.17) nalazi se ( d ρ d ρ ) = ρ d ρ = GM ρ ρ ê ρ = 0 (5.13) što se može integraliti: ρ d ρ = h = const. (5.133) Veličina H = ρ m V = ρ m d ρ je moment količine kretanja mase m, te je h pretavlja moment količine kretanja po jedinici mase. Jednačina (5.133) govori da je u problemu dva tela h konstantno. Kako je h konstantno, biće d ( ) V h = d V h = GM = GM [ ρ êρ = GM ρ êρ i posledično integracija dovodi do V h = GMê ρ + C ( ρ êρ ρ d ρ ) ( ρê ρ ( ρ dê ρ ( ê ρ dê ρ )] + dρ êρ ) ρ = GM dê ρ gde je C vektorska konstanta integracije. Formula za trostruki skalarni proizvod daje ( ρ ( V h) = h ρ d ρ ) = h = GM ρ ê ρ + ρ C

29 TEORIJA RELATIVNOSTI 175 ili h = GMρ + Cρcos φ (5.134) gde je φ ugao izmedu vektora C i ρ. Iz jednačine (5.134) nalzi se ρ = p 1 + εcos φ (5.135) gde su p = h /GM and ε = C/GM. Ovaj rezultat je poznati prvi Kepler-ov zakon i implicira da za ε < 1 masa m opisuje eliptičnu orbitu kada je Sunce u jednom fokusu. Jednačina (5.19) može se izvesti i na drugačiji način. Prikazaće se i taj alternativan način koji će biti kasnije od koristi. Iz jednačine (5.17) nalazi se d ρ d ρ = d ( d ρ d ρ ) = GM d ρ ρ ρ3 = GM d ρ 3 ( ρ ρ). (5.136) Ovu jednačinu korisno je transformisati u sferne koordinate ρ,θ,φ. U sfernim koordinatama tenzorske komponente brzine su V 1 = dρ, V = dθ, V 3 = dφ, a fizičke komponente brzine su V ρ = dρ, V θ = ρ dθ, V φ = ρsin θ dφ, tako da se vektor brzine može zapisati V = d ρ = dρ êρ + ρ dθ êθ + ρsin φ dφ êφ. (5.137) Zamenom jednačine (5.137) u jednačinu (5.136) dobija se [ (dρ ) ( ) d dθ + ρ + ρ sin φ što se može neposredno integraliti u ( dρ ) ( ) dθ + ρ + ρ sin φ ( ) ] dφ = GM ρ 3 ( ) dφ = GM ρ = GM ρ d (ρ ) dρ = GM d E (5.138) gde je E integraciona konstanta. Za specijalni slučaj ravanske orbite treba staviti konstantan ugao θ = π, tako da se jednačina (5.138) svodi na ( ) ( ) dρ dθ + ρ = GM ρ E ( ) ( ) dρ dφ dθ + ρ = GM E. (5.139) dφ ρ ( ) 1 ρ

30 176 DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI Za specijalni slučaj ravanskog kretanja važi i d ρ ρ dφ = ρ = h, (5.140) što se može upotrebiti za eliminisanje dφ iz jednačine (5.139), te dobiti rezultat ( ) dρ + ρ = GM h ρ 3 E h ρ4. (5.141) Smenom ρ = 1 u jednačina (5.141) postaje ( ) du + u GM dφ h u + E h = 0 (5.14) što je oblik koje će se upotrebiti kasnije. Zapaziti da se i u jednačini (5.141) i u jednačini (5.14) mogu razdvojiti promenljive i integracijom dobiti (5.19). Za uvod u teoriju relativnosti nužno je poetiti se još jednog Njutnovog problema: relativnog kretanja dva inercijalna sistema. Neka je reč o dva inercijalna sistema, recimo S i S, prikazna respektivno crvenim i zelenim osama na slici Sistem S se kreće u x pravcu brzinom v u odnosu na sistem S. y y V P 0 0 x x z Figure 5.3. z Relativno kretanje dvaju inercijalnih sistema. Ako su u trenutkut = 0 satovi jednako postavljeni u oba sistema, tada se u trenutku t tačka P( x,ȳ, z) u sistemu S može opisati transformacionim jednačinama x = x + v t y = ȳ z = z t = t ili x = x vt ȳ = y z = z t = t. (5.143) Ove transformacione jednačine njutnovske relativnosti poznate su i pod imenom Galilejove transformacije.

31 TEORIJA RELATIVNOSTI 177 Do Ajnštajna principom relativnosti zahtevano je da brzine budu aditivne i da se pokoravaju Galilejovom pravilu sabiranja brzina V P/R = V P/Q + V Q/R. (5.144) Drugi rečima, brzina tačke P u odnosu na tačku R jednaka je brzini tačke P u odnosu na tačku Q plus brzina tačke Q u odnosu na tačku R. Na primer, osoba (P) koja se kreće na sever brzinom od 3 km/h u vozu (Q) koji se takode kreće na sever ali brzinom od 60 km/h u odnosu na tlo (R) ima brzinu od 63 km/h u odnosu na tlo. Šta se dešava kada je objekat P svetlost koja se kreće u vozu (Q) koji se kreće brzinomv u odnosu na tlo? Da li su brzine tada aditivne? Pitanje ovakvog tipa vodi ka čuvenom Michelson-Morleyevom eksperimentu za koji se smatra da polazište teorije relativnosti. Ajnštajnov odgovor na gornje pitanje bio je NE i zahtevao je da V P/R = V P/Q = c = brzina svetlosti bude univerzalna konstanta. Za razliku od njutnovskih jednačina, Ajnštajn je posmatrao kretanje svetlosti od ishodišta 0 i 0 sistema S i S. Ako se sistem S kreće brzinom v u odnosu na sistem S i ako je u trenutku t = 0 poslat svetlosni signal iz sistema S u sistem S, tada će se on prostirati sfernim talasnim frontom i ležati na sferi x + y + z = c t (5.145) gde jecbrzina svetlosti. Obrnuto, ako je svetlosni signal poslat iz sistema S u trenutku t = 0, on će ležati na sfernom talasnom frontu x + ȳ + z = c t. (5.146) Zapaziti da njutnovske jednačine (5.143) ne zadovoljavaju jednačine (5.145) i (5.146). Ako je y = ȳ i z = z tada prostorne promenljive (x, x) i vremenske promenljive (t, t) moraju biti povezane. Ajnštajn je predložio sledeće transformacione jednačine izmedu ovih promenljivih x = γ(x vt) i x = γ( x + v t) (5.147) gde konstantu γ treba odrediti. Iz diferencijala jednačina (5.147) d x = γ(dx v) i dx = γ(d x + vd t) (5.148) mogu se dobiti odnosi d x γ(dx v) = γ(d x + vd t) dx ili 1 γ(1 + v d x d t ) = γ(1 v ). (5.149) dx Kada je d x d t = dx = c, brzina svetlosti, jednačina (5.149) zahteva da je ) 1 ) 1/ γ = (1 v ili γ = (1 v. (5.150) c c