Teorija množic z matematično logiko
|
|
- Λήδα Αβραμίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet Teorija množic z matematično logiko Študijsko gradivo Ljubljana, januar 2006
2 Kazalo Predgovor Logične ekvivalence Logične implikacije Rešeni nalogi iz matematične logike Prva naloga Druga naloga Aksiom ekstenzionalnosti Aksiom o podmnožicah Aksiom o paru Aksiom o uniji Aksiom o uniji družine Lastnosti unije, preseka in razlike Lastnosti komplementa množice Aksiom o potenčni množici Lastnosti potenčne množice Lastnosti kartezičnega produkta Aksiom izbire Ekvipolentne množice Princip indukcije pri končnih množicah Aksiom o neskončnosti Peanova množica Aksiom o kardinalnih številih Aksiom substitucije Aksiom regularnosti Nekaj izpitnih nalog Hebrejska abeceda
3 Predgovor Za akademsko leto 2002/03 mi je bil na Pedagoški fakulteti v Ljubljani zaupan predmet Teorija množic z matematično logiko. Lotil sem se ga po knjigah prof. dr. Nika Prijatelja, ki nam je predmet s podobno vsebino predaval v letih 1964/65 na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo. Takrat smo tak predmet imeli že v prvem letniku. Nekatere vsebine z njegovih predavanj sem si za vselej zapomnil, precej pa sem si jih moral osvežiti. Naloga mi ni bila lahka, saj sem predmet podedoval po profesorjevi hčerki doc. dr. Andreji Prijatelj, ki ga je odlično obvladala, žal pa nas je prerano in za vedno zapustila. Na Pedagoški fakulteti pa je tako naneslo, da se predmet predava šele v zadnjem letniku, kar ima svoje prednosti in slabosti. Prednosti vidim v tem, da študentje od daleč pogledajo na prehojeno matematično pot v prejšnjih treh letih univerzitetnega študija in ponovijo osnove matematike, ki so jih dobili raztresene pri drugih predmetih. Priložnost pa imajo tudi nekoliko popraviti svoje povprečje ocen. Slabost pa je v tem, da dobijo občutek, da so vse to že nekje slišali in predmeta ne jemljejo preveč resno. Pred vami je delovno gradivo, ki je nastajalo zadnja leta, in ki naj bi omogočalo, da se študent laže znajde v poplavi množice znanih in neznanih simbolov, aksiomov, definicij in izrekov. Na koncu je prikazana celotna hebrejska abeceda z angleškimi imeni črk, čeprav bomo uporablali le prvo: `, alef. Ljubljana, oktober 2005 Dr. Marko Razpet 3
4 1 Logične ekvivalence V nadaljevanju so z A, B, C,... označene poljubne izjave, za katere se lahko opredelimo, ali so pravilne (resnične) ali nepravilne (neresnične). Najprej navedimo najosnovnejše logične ekvivalence, ki so tavtologije, torej sestavljene izjave z lastnostjo, da so vselej pravilne, ne glede na pravilnost oziroma nepravilnost atomarnih izjav, ki jih sestavljajo. Z logičnimi ekvivalencami pretvarjamo dano sestavljeno izjavo na drugo enakovredno želeno obliko. Primere bomo srečali v nadaljevanju. A ( A) (1) A = B (A B) (2) A B B A (3) A (B C) (A B) C (4) A B B A (5) A (B C) (A B) C (6) A (B C) (A B) (A C) (7) A (B C) (A B) (A C) (8) A A A (9) A A A (10) (A B) A B (11) (A B) A B (12) A = B A B (13) A B A = B (14) A = B B = A (15) 4
5 (A B) (A = B) (B = A) (16) (A B) (B A) (17) (A B) ( A B) (18) A B ( A B) (19) A B ( A B) (20) (A B) ( A B) (A B) (21) (A B) (A B) ( A B) (22) (A = B) (A B) (23) (A B) (A B) (24) A A (25) A A (26) (A A) (27) 2 Logične implikacije Sedaj pa navedimo najosnovnejše logične implikacije, ki so tudi tavtologije. Z njimi logično sklepamo. A = A B (28) A B = A (29) A A = B (30) (A B) A = B (31) (A = B) A = B (32) (A = B) B = A (33) 5
6 (A B) = (A = B) (34) (A B) = (B = A) (35) (A B) A = B (36) (A B) A = B (37) (A = B) (B = C) = (A = C) (38) (A B) (B C) = (A C) (39) (A = B) = (A C = B C) (40) (A = B) = (A C = B C) (41) (A = B) = ((C = A) = (C = B)) (42) (A = B) = ((B = C) = (A = C)) (43) B = (A A B) (44) B = (A A B) (45) 3 Rešeni nalogi iz matematične logike 3.1 Prva naloga Pretvori izjavo A B C (I) na enakovredno normalno disjunktivno oziroma konjunktivno obliko. Normalna disjunktivna oblika. Najprej z (22) 1 odpravimo znak ekvivalence, nato uporabimo še De Morganovo pravilo (11) in pravilo dvojne 1 Glej seznam logičnih ekvivalenc 6
7 negacije (1): I [(A B) C] [ (A B) C] (A B C) [( A B) C] Sedaj uporabimo distributivnostni zakon (8): I (A B C) ( A C) (B C) Zadnji dve konjunkciji nimata izjave B oziroma A, zato ju razširimo s tavtologijo B B oziroma A A: I (A B C) [ A (B B) C] [(A A) B C] Potem spet uporabimo distributivnostni zakon (8): I (A B C) ( A B C) ( A B C) (A B C) ( A B C) Ker sta druga in zadnja konjunkcija enaki, lahko zaradi (5) in (10) eno od njiju opustimo in končno imamo pred seboj želeno normalno disjunktivno obliko: I (A B C) ( A B C) ( A B C) (A B C) Normalna konjunktivna oblika. Ena od variant reševanja naloge, morda ne najkrajša, kjer s pridom uporabimo nekaj korakov pretvorbe od prej, je tale: I (A B C) [( A C) (B C)] Sedaj v oglatem oklepaju večkrat uporabimo distributivnostni zakon (7) in dobimo: I (A B C) [( A B) ( A C) (B C) ( C C)] Očitno lahko poenostavimo zadnjo disjunkcijo po (10): I (A B C) [( A B) ( A C) (B C) C] 7
8 Po distributivnostnem zakonu (7) je: I (A A B) (A A C) (A B C) (A C) ( B A B) ( B A C) ( B B C) ( B C) (C A B) (C A C) (C B C) (C C) Takoj opazimo, da so 1., 2., 5., 7., 10., 11. in 12 disjunkcija v zgornji konjunkciji tavtologije in jih lahko izpustimo, poleg tega pa še uredimo po abecedi: I (A B C) (A C) ( A B C) ( B C) ( A B C) Očitno veljajo ekvivalence A C A (B B) C (A B C) (A B C) in B C (A A) B C (A B C) ( A B C) Nazadnje je pred nami iskana normalna konjunktivna oblika: I (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) Naloge se lahko lotimo tudi z uporabo logičnih ekvivalence (21) in (7): I [ (A B) C] [(A B) C] ( A B C) (A C) ( B C) Sedaj vključimo v zadnji dve disjunkciji logični protislovji B B oziroma A A: I ( A B C) [A (B B) C] [(A A) B C] Distributivnostni zakon (7) nam da: I ( A B C) (A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) Ker sta 3. in 4. disjunkcija enaki, imamo nazadnje: I ( A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) Druga pot je očitno krajša in preglednejša. 8
9 3.2 Druga naloga Pretvori izjavo ( A B) C = B C (J) na enakovredno normalno disjunktivno oziroma konjunktivno obliko. Normalna disjunktivna oblika. Logične ekvivalence (13) ter (11) in (12) nam dajo: J [( A B) C] (B C) [(A B) C] (B C) Torej imamo že disjunktivno obliko: J (A B) C (B C) Ko zgornje konjunkcije razširimo s tavtologijami A A, B B oziroma C C, dobimo: J [A B (C C)] [(A A) (B B) C] [(A A) B C] Distributivnostni zakon (8) nam prinese: J (A B C) (A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) (A B C) ( A B C) Druga in četrta konjunkciji sta enaki, zato lahko eno izpustimo in imamo želeno obliko: J (A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) (A B C) ( A B C) Normalna konjunktivna oblika. Zapišimo: J (A B) [ C (B C] 9
10 Potem imamo najprej J (A B) [( C B) ( C C)] (A B) ( C B) nato pa takoj J (A C B) ( B C B) Ker je zadnja disjunkcija tavtologija, imamo nazadnje iskano obliko: J A C B 4 Aksiom ekstenzionalnosti (A 1 ) Če je reč a enaka reči b, potem je reč b v množici A, kakor hitro je v A reč a. 5 Aksiom o podmnožicah (A 2 ) Naj bo P lastnost, ki je smiselna za elemente množice A. Tedaj obstaja neka množica E, ki ima za elemente natanko tiste elemente množice A, ki imajo lastnost P. 6 Aksiom o paru (A 3 ) Če sta a in b poljubni različni reči, potem obstaja natanko ena množica A, ki ima svoja edina elementa reči a in b. 7 Aksiom o uniji (A 4 ) Če sta A in B poljubni množici, potem obstaja natanko ena množica C, ki je unija množic A in B. 10
11 7.1 Aksiom o uniji družine (A 4 ) Če je A dana družina množic, potem obstaja natanko ena množica C, ki je unija te družine. 8 Lastnosti unije, preseka in razlike A B = B A, A B = B A (46) (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) (47) A A = A, A A = A (48) A = A, A = (49) (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C) (50) A B A B = B, A B A B = A (51) A \ (A B) = A \ B (52) A (A \ B) = A \ B (53) (A \ B) B = A B (54) (A B) \ B = A \ B (55) 11
12 (A B) \ B = (56) (A \ B) B = (57) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) (58) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) (59) 9 Lastnosti komplementa množice Naj bo S univerzum. Če je A S, naj bo AC komplement množice A. S C =, C = S, (A C ) C = A (60) A A C = S, A A C = (61) A \ B = A B C (62) A B B C A C (63) (A B) C = A C B C, (A B) C = A C B C (64) 10 Aksiom o potenčni množici (A 5 ) K vsaki množici A obstaja natanko ena množica C, ki je njena potenčna množica. 12
13 11 Lastnosti potenčne množice Če je A poljubna dana množica, naj PA označuje njeno potenčno množico. A B = PA PB (65) (PA) (PB) P(A B) (66) (PA) (PB) = P(A B) (67) 12 Lastnosti kartezičnega produkta A B = A = B = (68) A (B C) = (A B) (A C) (69) A (B C) = (A B) (A C) (70) A (B \ C) = (A B) \ (A C) (71) 13 Aksiom izbire (A 6 ) Če je A poljubna družina nepraznih množic, potem je kartezični produkt te družine neprazna množica. 13
14 14 Ekvipolentne množice Množica A je ekvipolentna množici B natanko tedaj, kadar obstaja vsaj ena bijektivna preslikava množice A na množico B. To zapišemo simboločno takole: A B. Pravimo tudi, da imata A in B enako moč. Še v logičnih simbolih: A B f(f B A, f je bijekcija iz A na B). Množica A ima večjo moč kot množica B natanko tedaj, kadar ima množica A vsaj eno podmnožico A 1, ki je ekvipolentna množici B, množica B pa nima nobene podmnožice, ki bi bila ekvipolentna množici A. To zapišemo simbolično v obliki A > B oziroma B < A. Zakon trihotomije, ki je enakovreden aksiomu izbire, trdi, da sta dve poljubni množici A in B primerljivi glede na njuno moč, in sicer velja natanko ena od treh možnosti: A > B ali A < B ali A B. Po Peirceu in Dedekindu je množica S neskončna tedaj in samo tedaj, ko ima vsaj eno pravo podmnožico, ki je z njo ekvipolentna. Če množica ni neskončna, je končna. Po Tarskem je množica S končna tedaj in samo tedaj, kadar ima vsaka neprazna družina podmnožic množice S vsaj en minimalen element glede na relacijo stroge inkluzije. Če množica ni končna, je neskončna. Prazna množica je končna. Množica par V = {a, b} je končna. Podmnožica B končne množice A je končna. Če je A končna množica, potem sta za vsako množico B množici A B in A \ B tudi končni. Unija dveh končnih množic je končna množica. Če je A končna množica, je množica A {x} tudi končna. Unija končne družine samih končnih množic 14
15 je spet končna množica. Vsaka neprazna družina podmnožic končne množice ima vsaj en maksimalen element glede na relacijo stroge inkluzije. 15 Princip indukcije pri končnih množicah Naj bo A dana končna množica, P pa lastnost, ki je smiselna za podmnožice množice A. Če velja lastnost P za prazno množico in če lahko za vsak element x množice A in za vsako podmnožico X množice A sklepamo, da lastnost P velja za X {x}, kakor hitro P velja za X, potem lastnost P velja za vso množico A. Če je A končna množica in f surjektivna funkcija iz množice A na neko množico B, potem je tudi B končna množica. Če je končna množica A ekvipolentna množici B, potem je tudi B končna množica. Končna množica ne more biti ekvipolentna z nobeno svojo pravo podmnožico. Potenčna množica PA končne množice A je končna množica. Če je množica A končna, množica B pa ne, potem ima A manjšo moč kot B. Če sta množici A in B končni, potem sta končni tudi množici A B in A B. 16 Aksiom o neskončnosti (A 7 ) Obstaja vsaj ena množica M, ki ima lastnosti: 1. prazna množica je njen element: M; 2. če je poljubna množica A njen element, potem je množica A {A} tudi njen element: A M A {A} M. Množica M je neskončna. Najmanjša množica, ki ustreza aksiomu (A 7 ), je 15
16 množica IN = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}},...}. Vsaka množica A, ki je ekvipolentna množici IN, je števno neskončna. Če je dana množica A neskončna in je podmnožica neke množice B, potem je tudi množica B neskončna. Če je dana množica A neskončna in ekvipolentna množici B, potem je tudi množica B neskončna. 17 Peanova množica Množica Π je Peanova, če v njej veljajo naslednji aksiomi: 1. V množici Π je neki element, ki ga označimo z Če je x v množici Π, potem obstaja v Π natanko en element x, ki mu pravimo neposredni naslednik elementa x. 3. V množici Π ni nobenega elementa, ki bi imel 0 za svojega neposrednega naslednika. 4. Če sta x in y elementa v Π in velja x = y, potem velja tudi x = y, 5. Če je M v Π taka podmnožica, v kateri je element 0 in element x, kakor hitro je x v M, potem je M = Π. Množica IN je Peanova. Tolmačimo jo kot množico naravnih števil: 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}}. Množica naravnih števil IN = {0, 1, 2, 3,..., n, n,...} 16
17 je števno neskončna. Princip popolne indukcije. Naj bo P lastnost, ki je smiselna za elemente množice IN. Če lastnost P velja za element 0 in če lastnost P velja za n, kakor hitro velja za n, potem lastnost P velja za vsak element n množice IN. Vsaka neskončna množica ima vsaj eno števno neskončno podmnožico. Vsaka neskončna podmnožica kakšne števno neskončne množice je tudi števno neskončna. Unija dveh števno neskončnih množic je števno neskončna množica. Unija končne in števno neskončne množice je števno neskončna množica. Unija števno neskončne družine samih števno neskončnih množic je tudi števno neskončna množica. Množica celih števil Z je števno neskončna. Množica racionalnih števil CQ je števno neskončna. Interval (0, 1] IR ni števno neskončna množica. Če bi namreč bilo samo števno mnogo števil na intervalu (0, 1], bi jih lahko zapisali v decimalni obliki: 0, a 1 1a 1 2a a 1 n... 0, a 2 1a 2 2a a 2 n... 0, a 3 1a 3 2a a 3 n , a n 1a n 2a n 3... a n n Toda števila b = 0, b 1 b 2 b 3... b n..., kjer izberemo b 1 = 1, če a 1 1 1, in b 1 = 2, če je a 1 1 = 1, b 2 = 1, če a 2 2 1, in b 2 = 2, če je a 2 2 = 1, 17
18 b 3 = 1, če a 3 3 1, in b 3 = 2, če je a 3 3 = 1, itd., ni na zgornjem spisku. Torej vsebuje interval (0, 1] več kot števno mnogo števil. Množica algebraičnih števil je števno neskončna množica. Realno ali kompleksno število je transcendentno, če ni algebraično. Če je množica A neskončna, množica B pa končna ali števno neskončna, razlika A \ B pa neskončna množica, potem je A \ B ekvipolentna množici A. Če je A neskončna množica, B pa končna ali števno neskončna množica, potem je A B ekvipolentna množici A. Odprt interval (0, 1) je ekvipolenten intervalu (0, 1]. Interval (0, 1) je ekvipolenten množici vseh realnih števil IR. Funkcija f(x) = ctg(πx) bijektivno preslika (0, 1) na vso realno os IR. Velja: IR > IN. Pravimo, da ima vsaka množica, ki je ekvipolentna množici IR, moč kontinuuma. Vsaka števno neskončna množica ima manjšo moč od moči kontinuuma. Vsa transcendentna števila imajo moč kontinuuma. Množica funkcij IR [0,1] ima moč, ki je večja od moči kontinuuma. Cantorjev izrek pravi, da za vsako množico S obstajajo množice, ki imajo večjo moč kot S. Taka je na primer potenčna množica PS. 18 Aksiom o kardinalnih številih (A 8 ) Vsaki množici A je prirejen neki objekt K(A), kardinalno število množice A, in sicer tako, da pripada dvema ekvipolentnima množicama isto kardinalno število: A B K(A) = K(B). 18
19 Kardinalno število je končno ali neskončno natanko tedaj, ko je množica, kateri je prirejeno, končna ali neskončna. Množica vseh končnih kardinalnih števil je Peanova množica, ki jo smemo imeti za množico naravnih števil IN: 0 = K( ) 1 = K({ }) 2 = K({, { }}) 3 = K({, { }, {, { }}}). K(A) > K(B) A > B. Z relacijo > so kardinalna števila strogo linearno urejena. K(IN) = ℵ 0, K(IR) = ℵ. ℵ > ℵ 0, K(PA) > K(A), PIN IR. Problem kontinuuma. Ali obstaja množica A, za katero bi veljala relacija ℵ > K(A) > ℵ 0? Posplošen problem kontinuuma. Ali obstaja množica A, za katero bi veljala relacija K(PS) > K(A) > K(S), pri čemer je S poljubna neskončna množica? 19
20 19 Aksiom substitucije (A 9 ) Če je A poljubna množica in f poljubna funkcija, definirana na množici A, potem obstaja množica, ki ima za elemente f-slike f(x) elementov x množice A. Če je domena kakšne funkcije f množica A, potem je njena zaloga vrednosti množica. 20 Aksiom regularnosti (A 10 ) Vsaka neprazna množica A ima vsaj en element x tak, da x in A nimata nobenega skupnega elementa. Ne obstaja nobena množica, ki bi imela samo sebe za element. Če bi bilo A A, bi imeli tudi A A {A}. Obstaja, po aksiomu regularnosti, vsaj en x {A} tak, da je {A} x =. To pomeni x = A, ker ima množica {A} en sam element, to je A, torej {A} A =. To pa ne gre, ker je {A} A. 21 Nekaj izpitnih nalog 1. KOLOKVIJ IZ TEORIJE MNOŽIC Z MATEMATIČNO LOGIKO 1. Preverite, ali je sestavljena izjava ((A = B) = B) ((A B) B) tavtologija. 2. Poiščite sestavljeno izjavo F (A, B, C), ki bo imela resničnostno tabelo 20
21 A B C F (A, B, C) Izrazite F (A, B, C) z ekvivalentno izjavo, ki ima dve implikaciji in eno negacijo. Uporabite lahko oklepaje. 3. Dani sta množici A = {1, 2} in B = {2, 3}. Zapišite množice A B, A B, A B in A + B = (A \ B) (B \ A). Nato zapišite potenčne množice vseh zgoraj nastopajočih množic in postavite znak, ki ga lahko izbirate v množici znakov Z = {=,,,,, } tako, da bodo pravilne naslednje relacije: P(A B) PA PB P(A B) PA PB P(A B) PA PB P(A + B) PA + PB 4. Bodita A in B poljubni množici. Dokažite: (A B) (A B) = (A B) (B A) = (A A) (B B). 21
22 Ljubljana, 10. januar 2005 IZPIT IZ TEORIJE MNOŽIC Z MATEMATIČNO LOGIKO 1. Poiščite sestavljeno izjavo F (A, B, C), ki bo imela resničnostno tabelo A B C F (A, B, C) Izrazite F (A, B, C) z ekvivalentno izjavo, ki ima dve implikaciji. Uporabite lahko oklepaje. 2. Dani sta množici A = {a, b, c} in B = {b, c, d}. Zapišite množice A B, A B, in A + B = (A \ B) (B \ A). Nato zapišite potenčne množice vseh zgoraj nastopajočih množic in postavite znak, ki ga lahko izbirate v množici znakov Z = {=,,,,, } tako, da bodo pravilne naslednje relacije: P(A B) PA PB P(A B) PA PB P(A + B) PA + PB 22
23 3. Bodita R in T ekvivalenčni relaciji na množici S. Dokažite, da je R T tudi ekvivalenčna relacija na množici S. 4. Anketirali smo skupino 260 študentov in ugotovili, da so ob študiju vključeni v tri dejavnosti: v šport, v pevske zbore in v jezikovne tečaje. V športu jih sodeluje 64, pri pevskih zborih 94 in na jezikovne tečaje jih hodi 58. Izvedeli smo tudi, da 28 študentov sodeluje pri športu in hodi na jezikovne tečaje, 26 študentov sodeluje v športu in v pevskih zborih, 22 študentov pa sodeluje v pevskih zborih in hodi na jezikovne tečaje. Anketa pa je tudi pokazala, da 14 študentov sodeluje pri vseh treh dejavnostih hkrati. Koliko študentov iz skupine ne sodeluje pri nobeni od omenjenih treh dejavnosti? Koliko študentov iz skupine sodeluje samo v pevskih zborih? Ljubljana, 1. februar KOLOKVIJ IZ TEORIJE MNOŽIC Z MATEMATIČNO LOGIKO 1. V neki knjižnici si izposoja matematične knjige 135 študentov, fizikalne knjige 73 študentov, leposlovne knjige pa 57 študentov. Matematične in fizikalne knjige si izposoja 39 študentov, matematične in leposlovne knjige 22 študentov, fizikalne in leposlovne pa 36 študentov. Matematične, fizikalne in leposlovne knjige hkrati pa si izposoja samo 12 študentov. Koliko študentov si izposoja samo matematične knjige? Koliko študentov si izposoja fizikalne knjige, ne pa leposlovnih? 2. Naj bo IN = {0, 1, 2, 3,...} 23
24 množica naravnih števil. Dokazali smo, da je funkcija f : IN IN IN, ki je dana s predpisom bijekcija. f(m, n) = m + (m + n)(m + n + 1) 2 Poiščite tak urejeni par (m, n) IN IN, za katerega je f(m, n) = Za kontrolo rezultata naredite še preizkus. 3. Naj bo osnovna množica S = IR IR. V S vpeljemo binarno relacijo R takole: Ali je R ekvivalenčna relacija? (x, y)r(u, v) 2x 3y = 2u 3v. relaciji R in kaj je ustrezna faktorska množica? Če je, kaj so ekvivalenčni razredi po, 4. Naj bo spet IN = {0, 1, 2, 3,...} množica naravnih števil. Dokažite, da je funkcija g : IN IN IN, ki je dana s predpisom g(m, n) = 2 m (2n + 1) 1, bijekcija. V kateri zvezi sta množici IN IN in IN? Poiščite tak urejeni par (m, n) IN IN, za katerega je g(m, n) = Za kontrolo rezultata naredite še preizkus. Ljubljana, 26. maj 2005 IZPIT IZ TEORIJE MNOŽIC Z MATEMATIČNO LOGIKO 1. V neki vasi živi 120 fantov, za katere so ugotovili, da v prostem času sodelujejo v treh dejavnostih: igrajo nogomet, hodijo k pevskemu zboru in so člani prostovoljnega gasilskega društva (PGD). Pri nogometu jih 24
25 tako ali drugače sodeluje 39, v pevskem zboru 44 in v PGD 51. Vemo tudi, da 28 fantov igra nogomet in poje v pevskem zboru, 26 fantov sodeluje v PGD in v pevskem zboru, 23 fantov je v PGD in igrajo nogomet. Izkazalo se je, da je 14 fantov hkrati nogometašev, gasilcev v PGD in pevcev v zboru. Koliko fantov ne sodeluje pri nobeni od omenjenih treh dejavnosti? Koliko fantov iz vasi sodeluje samo v PGD? 2. Poiščite sestavljeno izjavo F (A, B, C), ki bo imela resničnostno tabelo A B C F (A, B, C) Izrazite F (A, B, C) z ekvivalentno izjavo, ki ima konjunkcijo, ekvivalenco in negacijo. Uporabljate lahko oklepaje. 3. Naj bo osnovna množica S = IR IR. V S vpeljemo binarno relacijo R takole: Ali je R ekvivalenčna relacija? (x, y)r(u, v) 3(x u) = 4(y v). relaciji R in kaj je ustrezna faktorska množica? Če je, kaj so ekvivalenčni razredi po 4. Naj bo IN = {0, 1, 2, 3,...} 25
26 množica naravnih števil. Dokažite, da je funkcija ψ : IN IN IN, ki je dana s predpisom ψ(m, n) = 2 m (2n + 1) 1, bijekcija. Kaj sta kardinalni števili množic IN IN in IN? Poiščite tak urejeni par (m, n) IN IN, za katerega je ψ(m, n) = 135. Za kontrolo rezultata naredite še preizkus. Ljubljana, 17. junij 2005 IZPIT IZ TEORIJE MNOŽIC Z MATEMATIČNO LOGIKO 1. V nekem mestu živi 600 upokojencev, ki v svojem prostem času obiskujejo največ tri jezikovne tečaje v okviru Društva upokojencev: 200 jih hodi na angleščino, 200 na nemščino in prav tako 200 na španščino. Na angleščino in nemščino jih hodi 110, na angleščino in španščino 70, na nemščino in španščino pa 90. Na vse tri jezikovne tečaje pa jih hodi 50. Koliko upokojencev hodi samo na nemščino? Koliko na noben od naštetih jezikovnih tečajev? 2. Poiščite tako sestavljeno izjavo X = X(A, B), da bo sestavljena izjava tavtologija. (A B) X ( B = A) 3. Naj bo osnovna množica S = IR IR. V S vpeljemo binarno relacijo R takole: Ali je R ekvivalenčna relacija? (x, y)r(u, v) 2(x u) = 7(y v). relaciji R in kaj je ustrezna faktorska množica? 26 Če je, kaj so ekvivalenčni razredi po
27 4. Naj bo IN = {0, 1, 2, 3,...} množica naravnih števil. Poiščite vsaj eno funkcijo ψ, ki bijektivno preslika IN IN IN na IN. Kaj sta kardinalni števili množic IN IN IN in IN? Poiščite tak urejeno trojko (x, y, z) IN IN IN, za katero je ψ(x, y, z) = 365. Za kontrolo rezultata naredite še preizkus. Ljubljana, 16. september
28 22 Hebrejska abeceda ` alef n mem a bet o finalnun b gimel p nun c dalet q samekh d he r ayin e vav s finalpe f zayin t pe g het u finaltsadi h tet v tsadi i yod w qof j finalkaf x resh k kaf y shin l lamed z tav m finalmem 28
29 Vir N. Prijatelj, Matematične strukture I, MK, Ljubljana CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 510.6(075.8)(079.1) (075.8)(079.1) RAZPET, Marko Teorija množic z matematično logiko [Elektronski vir] : študijsko gradivo / Marko Razpet. - Besedilni podatki. - [Domžale : samozal.], 2006 Način dostopa (URL): radivo.pdf. - Opis temelji na verziji z dne ISBN
Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότερα1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006
1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006 1. Dana je množica predpostavk p q r s, r t, s q, s p r, s t in zaključek t r. Odloči, ali je sklep pravilen ali napačen. pravilen, zapiši
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραAnaliza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj
Analiza I (študijsko gradivo) Matija Cencelj 2. maj 2007 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Izjave............................... 5 1.2 Množice.............................. 7 1.3 Relacije..............................
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA ZA BIOLOGE
MATEMATIKA ZA BIOLOGE Zapiski predavanj Milan Hladnik Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana 2006 KAZALO I. DISKRETNA MATEMATIKA 3 1. Množice, relacije, funkcije 3 2. Kombinatorika in verjetnost 9
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo. Logika in Množice. Študijsko gradivo
Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Logika in Množice Študijsko gradivo Primož Šparl Ljubljana, januar 2018 c Primož Šparl Kazalo Uvod 1 1 Osnove matematične
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Jaka Cimprič
Matematika 1 Jaka Cimprič Predgovor Pričujoči učbenik je namenjen študentom tistih univerzitetnih programov, ki vključujejo samo eno leto matematike. Nastala je na podlagi izkušenj, ki jih imam s poučevanjem
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραKateri logični shemi imajo matematični izreki? Matematični izreki imajo logično zgradbo implikacije(a=>b) ali zgradbo ekvivalence(a b)
Matematika za inženirje 1 Vprašanja iz uvodnega poglavja Zapišite,kdaj je pravilna katera od logičnih operacij: disjunkcija, konjunkcija, implikacija in ekvivalenca. -Disjunkcija je pravilna (vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO. Petra MATEMATIKA I
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek, Matevž Črepnjak Visokošolski učbenik z rešenimi nalogami MATEMATIKA I Maribor 03 Naslov publikacije: Visokošolski
Διαβάστε περισσότεραPredikatni račun 1 - vsebina
Predikatni račun 1 - vsebina 1. Domena in predikati; 2. Kvantifikatorji; 3. Sintaksa predikatnega računa; 4. Zaprte izjavne formule; 5. Interpretacija oz. semantika predikatnega računa; 6. Tavtologije
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica
Διαβάστε περισσότεραSklepanje je torej tudi interpretacija stavka predstavljena kot sekvenca instanc pravil.
Poglavje 2 SKLEPANJE Teorija je definirana z množico pravil. Pravila lahko definirajo preverjanje tipov stavka danega jezika, definirajo interpretacijo jezika,... Sklepanje predstavimo s sekvenco aplikacij
Διαβάστε περισσότεραVAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič
VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva Martin Raič OSNUTEK Kazalo 1. Ponovitev 2 2. Ravninska in prostorska geometrija 5 3. Linearna algebra 7 4. Ponavljanje pred kolokvijem 8 M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO)
Διαβάστε περισσότεραLogika in izjavni račun
Logika in izjavni račun 1. Zapiši pravilnostne tabele za negacijo, in, ali, ekskluzivni ali, implikacijo, ekvivalenco, nein in neali. 2. Zapiši prioritetno tabelo logičnih operacij. 3. Tone je izjavil
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραArjana Žitnik. Rešene naloge iz kolokvijev in izpitov pri predmetu
Arjana Žitnik Rešene naloge iz kolokvijev in izpitov pri predmetu DISKRETNA MATEMATIKA 1 Študijsko gradivo za študente 1. letnika Finančne matematike Ljubljana, 2016 NASLOV: Rešene naloge iz kolokvijev
Διαβάστε περισσότεραAFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA
Aleš Vavpetič AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA Ljubljana 2011 ii naslov: AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA avtorske pravice: Aleš Vavpetič izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Aleš Vavpetič, Ljubljana
Διαβάστε περισσότεραLogika in množice c
Logika in množice c226358 Andrej Bauer Davorin Lešnik 2018-02-01 2 Predgovor 4 Kazalo 1 Matematično izražanje 9 1.1 Pisave in simboli..................................... 9 1.2 Izrazi............................................
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότερα1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...
ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων
Διαβάστε περισσότεραPROCESIRANJE SIGNALOV
Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραTadej Star i NALOGE IZ LOGIKE IN MNOšIC Z RE ITVAMI U no gradivo
Univerza v Ljubljani Pedago²ka fakulteta Oddelek za matematiko in ra unalni²tvo Katedra za algebro in analizo Tadej Star i NALOGE IZ LOGIKE IN MNOšIC Z RE ITVAMI U no gradivo Ljubljana, 2015 Predgovor
Διαβάστε περισσότερα1. Optimizacijske naloge
Optimizacijske metode 1. Optimizacijske naloge Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 25. februar 2014 / 03 : 20 V. Batagelj: Optimizacijske metode / 1. Optimizacijske naloge 1 Kazalo 1 Optimizacijske
Διαβάστε περισσότεραUniverza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar
Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper Geometrija Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Koper, 2007 PREDGOVOR Pričujoče študijsko gradivo je povzeto po naslednjih knigah Richard S. Millman, George
Διαβάστε περισσότεραVERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA KATJA SKUBIC VERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 204 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA IN RAČUNALNIŠTVO KATJA SKUBIC Mentor:
Διαβάστε περισσότερα22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?
FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότεραPostavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013
Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova 10. januar 2013 Osnove biometrije 2012/13 1 Postavitev in preizku²anje hipotez Hipoteze zastavimo najprej ob na rtovanju preizkusa Ob obdelavi jih morda malo popravimo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραIZZIVI DRUŽINSKE MEDICINE. U no gradivo zbornik seminarjev
IZZIVI DRUŽINSKE MEDICINE Uno gradivo zbornik seminarjev študentov Medicinske fakultete Univerze v Mariboru 4. letnik 2008/2009 Uredniki: Alenka Bizjak, Viktorija Janar, Maša Krajnc, Jasmina Rehar, Mateja
Διαβάστε περισσότεραFunkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.
II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότεραVerjetnost 2. Oktober Verjetnost 2 Šesto poglavje. Obratna pot do markovskih verig. Od diskretnega časa proti zveznemu. Stabilnost in eksplozije
Oktober 2010 Vsebina 1 2 3 Osnovne sestavine obratne poti Imejmo markovsko o z diskretnim časom Y s števno množico stanj S, z začetno porazdelitvijo π 0 in prehodno matriko Q, ki ima lastnost, da so vsi
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότερα(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe
(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe Maša Lah, Sabina Boršić, Klara Drofenik Mentor: Rok Gregorič Matematično raziskovalno srečanje 24. avgust 2016 Povzetek Cilj našega projekta je bil ugotoviti kriterij
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik BOJANA ZALAR Celje 2009 Izdala: Fakulteta za logistiko Univerze v Mariboru Naslov: Uporaba matematičnih metod
Διαβάστε περισσότερα