Zadaci iz Linearne algebre (2003/4)

Transcript

1 Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje jedinstveno odredjeni q Z i r N, 0 r < n takvi da važi m = nq + r. Tada pišemo m r(mod n) i kažemo da je m kongruentno sa r po modulu n. 2 Grupe Definicija 2.1 Neka je G skup sa binarnom operacijom : G G G. Struktura (G, ) je grupa ako važi: i) operacija je asocijativna, tj. važi a (b c) = (a b) c za sve a, b, c G; ii) postoji element e G takav da a e = a = e a za svaki a G; iii) za svaki a G postoji element b G takav da je a b = e = b a. Element e se naziva jedinični element (ili neutral) grupe, a element b inverzni element elementa a i označava se sa b = a 1. Primedba 2.1 Pored notacije iz Definicije 2.1 često se koristi i tzv. multiplikativna notacija, tj. množenje se označava sa, inverz elementa a sa a 1, a jedinični element sa 1. Druga česta notacija je aditivna notacija. U njoj se množenje (koje je zapravo sabiranje, pa otud i naziv aditivna) označava sa +, inverz elementa a sa a, a jedinični element sa a) Dokazati da je jedinični element e grupe G jedinstven. b) Dokazati da je za svaki a njegov inverzni element b = a 1 jedinstven, tj. da je u grupi definisana unarna operacija inverza 1 : G G. 2.2 Dokazati da u grupi (G, ) važi: a) (a b) 1 = b 1 a 1, a, b G; b) (a m ) n = a mn, a G, m, n Z. 2.3 Ispitati da li su sledeće strukture grupe (F := F/{0}): a) (N 0, +); b) (Z, +); c) (Z, ); d) (Z, ); e) 2Z := {2k kz} (parni celi brojevi); f) nz := {nk kz} (grupa brojeva deljivih sa n); g) (Q, +); h) (Q, ); i) (R, +); j) (R, ); k) (C, +); l) (C, ); m) (G, ), G := {a n n Z}, a R/{0, 1, 1}. n) (R +, ), a b := a b ; o) (R +, ), a b := a 2 b 2. jedinice). 2.4 Dokazati da je struktura (G n, ), G n := {z C z n = 1} Abelova grupa (tzv. grupa n-tih korena 2.5 Dokazati da je za svako n N struktura (Z n, + n ) Abelova grupa, gde je Z n := {0, 1,..., n 1}, a + n b = a + b(mod n) (tzv. grupa ostataka modula n). 2.6 Na skupu Z n definišimo operaciju n relacijom a n b = ab(mod n). Dokazati da je struktura (Z n, n) grupa ako i samo ako je n prost broj.

2 2.7 Dokazati da je skup S n svih permutacija skupa od n elemenata grupa u odnosu na kompoziciju permutacija (tzv. grupa permutacija). Koliki je red grupe S n? 2.8 Dokazati da je skup D n svih simetrija pravilog n-tougla grupa u odnosu na kompoziciju preslikavanja. Koliki je red grupe D n? 2.9 a) Dokazati da je skup H = {±1, ±i, ±j, ±k} grupa u odnosu na operaciju definisanu tablicom: 1 i j k 1 1 i j k i i 1 k j j j k 1 i k k j i 1 Pri množenju levi činilac čitamo iz kolone, a desni iz vrste, recimo i j = k, ali j i = k. Grupa H naziva se grupa baznih kvaterniona. b) Označimo H = {a + bi + cj + dk a, b, c, d R} (identifikujemo a a1). Dokazati da je H Abelova grupa u odnosu na sabiranje + definisano sa (a + bi + cj + dk) + (a + b i + c j + d k) := (a + a ) + (b + b )i + (c + c )j + (d + d )k. c) Dokazati da je skup H grupa u odnosu na množenje koje je definisano tablicom pod a) i linearno je. Grupa H se naziva multiplikativna grupa nenula kvaterniona Dokazati da je skup jediničnih kompleksnih brojeva C 1 = {z C z = 1} grupa u odnosu na množenje kompleksnih brojeva Dokazati da je skup matrica {( cos φ sin φ SO(2) := sin φ cos φ ) } φ R grupa u odnosu na množenje matrica (tzv. grupa rotacija ravni) Dokazati da je skup G = R R grupa u odnosu na operaciju definisanu sa (a, b ) (a, b) := (a a, a b + b ) Dokazati da je skup preslikavanja aff(r) = {f a,b a 0, a, b R}, f a,b (x) := ax + b, x R, grupa u odnosu na kompoziciju preslikavanja (tzv. grupa afinih preslikavanja prave). Definicija 2.2 Broj elemenata G grupe G naziva se red grupe. Za elemenat a G najmanje n N za koje je a n = e naziva se red elementa a i obeležava sa n = ord (a). Ako takav n ne postoji pišemo ord (a) =. Definicija 2.3 Neka je (G, ) grupa. Skup H G je podgrupa grupe G ako je (H, ) grupa. Pišemo H < G Neka je G grupa. Za elemenat a G obeležimo a := {a n n Z} Dokazati da je a podgrupa od G reda ord (a). Definicija 2.4 Grupa a naziva se cilična podgrupa generisana elementom a. Ako postoji a G takav da je G = a tada se G naziva ciklička grupa, dok je a je njen primitivni element Odrediti red svakog elementa i njime generisanu cikličnu grupu grupe: a) (Z 5, + 5 ); b) (Z 6, + 6 ); c) (Z 7, + 7 ); d) (Z 5, 5); e) H; f) S 3 ; g) D 3 ; h) G 5 ; i) (Z, +). Koje od tih grupa su cikličke?

3 2.16 Neka je red grupe konačan. a) Dokazati da red elementa deli red grupe. b) Dokazati da red podgrupe deli red grupe Neka je C n = a ciklična grupa reda n. Dokazati da je element b = a k primitivan ako i samo ako je (k, n) = Odrediti primitivne elemente i sve podgrupe u Z Odrediti red svih elemenata u S 3 i sve podgrupe u S Dokazati da su skupovi Tra(R) := {f 1,b b R}, Hom(R) := {f a,0 a R }, podgrupe grupe aff(r) iz Zadatka 2.13 (tzv. podgrupe translacija i homotetija afine prave, redom). Definicija 2.5 Neka su (G, ) i (H, ) grupe. Preslikavanje h : G H se naziva homomorfizam ako važi f(a b) = f(a) f(b), a, b G. Homomorfizam f koji je 1-1 naziva se monomorfizam, koji je na naziva se epimorfizam, a koji je bijekcija naziva se izomorfizam. Sa algebarske tačke gledišta izomorfne grupe smatramo jednakim Dokazati da su grupe G n i (Z n, + n ) izomorfne Pokazati da su grupe (R +, ) i (R, +) izomorfne Dokazati da su je grupa Z izomorfna svojoj pravoj podgrupi nz Dokazati da su grupe C 1 i SO(2) iz Zadataka 2.10 i 2.11 izomorfne Dokazati da su grupe G i aff(r) iz Zadataka 2.12 i 2.13 izomorfne. Postoji li matrična grupa izomorfna ovim dvema grupama? 2.26 Dokazati da je svaka ciklična grupa izomorfna sa Z ili sa Z n za neko n N. ZaDatak 2.1 Naći sve podgrupe grupe Z Neka je f : G H monomorfizam (izomorfizam) grupa. Dokazati da je ord (f(a)) = ord (a). Da li to važi ako je f epimorfizam? ZaDatak 2.2 Da li je grupa svih korena jedinice ciklična? 2.28 Dokazati da postoji epimorfizam grupe Z n na grupu D n. Šta je jezgro tog homomorfizma? Šta dobijamo primenom prve teo Dokazati da postoji epimorfizam grupe (R, +) na grupu C 1. reme o homomorfizmu? 2.30 Dokazati da su grupe S 3 i D 3 izomorfne. Da li im je izomorfna grupa Z 6? 2.31 Koje su od grupa D 4, H i Z 8 izomorfne? 2.1 Neka je (G,, e) grupa. Za svako g G definišimo konjugaciju sa f g (x) := g 1 x g. Dokazati: a) f g je bijekcija; b) f g (x y) = f g (x) f g (y); c) f g (x 1 ) = f g (x) 1 ; d) f g (e) = e. 2.2 Ako u grupi G važi x 2 = e za svako x G tada je ta grupa komutativna. Dokazati. 3 Prsteni i polja 3.1 Dokazati da je struktura (Z n, + n, n), n N prsten. 3.2 Dokazati da je struktura (Z p, + p, p), p N, polje ako i samo ako je p prost broj. 3.3 Da li je struktura (H, +, ) polje?

4 4 Vektorski prostori Definicija 4.1 Vektorski prostor nad poljem F je struktura (V, +, ) takva da (množenje izostavljamo): (V1) (V, +) je Abelova grupa; (V2) α(u + v) = αu + αv; (V3) (α + β)u = αu + βu; (V4) α(βu) = (αβ)u; (V5) 1u = u, za sve u, v V i sve α, β F. Polje F se naziva polje skalara, a operacija se naziva množenje vektora skalarom. 4.1 Dokazati da za svaki prost broj p i svaki broj n N postoji vektorski prostor nad poljem Z p koji ima tačno p n vektora. Definicija 4.2 Neka je (V, +, ) vektorski prostor nad poljem F. Skup U V je vektorski podprostor prostora V ako je struktura (U, +, ) vektorski prostor. Pišemo U V. 4.2 Neka je P skup svih polinoma p R[x] za koje važi a) p(1) = 0 = p (1); b) p = xp p ; c) p(1) = 0, p (1) = 4. Da li je P podprostor vektorskog prostora R[X]? 4.3 Neka je R N skup svih realnih nizova. Dokazati da je skup A svih nizova (a n ) koji zadovoljavaju relaciju a n+2 = 3a n+1 2a n, n N njegov vektorski potprostor. 4.4 Neka je A M n,n (F) data matrica. Dokazati da je skup Z(A) svih matrica koje komutiraju sa matricom A vektorski podprostor od M n,n (F). Definicija 4.3 Neka su U i V, i = 1,..., n vektorski podprostori prostora V. Suma potprostora U i je skup U U n := {u 1 + u u n u i U i, 1 < i < n}. Suma U = U U n je direktna suma ako je razlaganje u = u 1 + u u n, u i U i, 1 < i < n svakog vektora u U jedinstveno. Tada pišemo U = U 1... U n. Teorema 4.1 Neka je V vektorski postor i U i V, 1 i n. a) Sume U U n i U 1... U n su vektorski potprostori od V. b) Suma U U n je direktna ako sa svako 2 i n važi (U U i 1 ) U i = { 0 }. 4.5 Dokazati da su skupovi P svih parnih funcija i N svih neparnih funkcija podprostori vektorskog prostora funkcija R R := {f : R R}. Da li je R R = P A? 4.6 Dokazati da su podskupovi S 2 (F) M 2 (F) svih simetričnih i A 2 (F) M 2 (F) svih antisimetričnih 2 2 matrica nad poljem F vektorski podprostori od M 2 (F). Da li je M 2 (F) = S 2 (F) A 2 (F)? 4.7 Ako su P, U, W potprostori istog vektorskog prostora V i U P dokazati da važi: P (U + W ) = U + (P W ). Uopštiti na slučaj U 1,..., U n V. 4.8 Ako su U, W V tada je U W V ako i samo ako je U W ili W U. 4.9 Dokazati da su skupovi U = {(x 1,..., x n ) R n x x n = 0} i W = {(x 1,..., x n ) R n x 1 =... = x n } vektorski potprostori od R n i da važi R n = U W Suma potprostora U i W vektorskog prostora V je direktna ako i samo ako je preslikavanje π : U V U + V, definisano sa π((u, v)) := u + v izomorfizam vektorskih prostora. Definicija 4.4 Vektori e 1,..., e n V su linearno nezavisni ako iz α 1 e α n en = 0, α i F sledi α 1 =... = α n = 0. Lineal (ili linearni omotač) Ω(e) skupa e = { e 1,..., e n } je skup Ω( e 1,..., e n ) = Ω(e) := {α 1 e α n en α i F} Ako je Ω( e 1,..., e n ) = V tada n-torku ( e 1,..., e n ) zovemo generatrisa prostora V Da li su vektori a = (6, 2, 3), b = (0, 2, 1) i c = (3, 4, 3) linearno zavisni.

5 4.12 Neka je a = x 2, b = (x + 1) 2, c = (x + 2) 2. Dokazati da je Ω(a, b, c) = R 3 [x] Neka je V vektorski prostor i A, B V. Dokazati da je Ω(A) = Ω(B) ako i samo ako A Ω(B) i B Ω(A) Neka je U V, U V i neka A = V/U. Dokazati da je Ω(A) = V Da li su vektori (1, 0, 7, 4), ( 3, 2, 5, 1), (4, 4, 0, 2), (0, 6, 2, 5) linearno nezavisni u R 4? Ako nisu izraziti jedan od njih preko ostalih Nenula vektori e1,..., e n su linearno nezavisni u vektorskom prostoru V ako i samo ako je suma njihovih linearnih omotača U k = Ω( e k ) direktna Neka su A, B V linearno nezavisni skupvi. Dokazati da je unija A B linearno nezavisna ako i samo ako je Ω(A) Ω(B) = { 0 } Neka je n N i u α = (α + 1,..., α + n) za α F. Dokazati da su svaka 3 od ovih vektora linearno zavisna u F n Ako V vektorski prostor nad poljem F generisan (razapet) jednim vektorom, dokazati da je V = Ω( a ) za svaki nenula vektor a V Dokazati da je svaki aritmetički niz realnih brojeva linearna kombinacija dva linearno nezavisna aritmetička niza iz R N Ako su u = α + x + x 2, v = 1 + αx + x 2, w = 1 + x + αx 2 polinomi u R 3 [x], odrediti sve skalare α za koje su oni linearno nezavisni Dokazati da su vektori (1, a, a 2 ), (1, b, b 2 ), (1, c, c 2 ) linearno nezavisni u F 3 ako i samo ako medju skalarima a, b, c nema jednakih Dati su vektori e 1 = (1, 7, 4, 2), e 2 = (6, 2, 0, 3), f 1 = (9, 19, 12, 9), f 2 = (5, 9, 4, 1) prostora R 4. Dokazati da je Ω( e 1, e 2 ) = Ω( f 1, f 2 ) Odrediti bar jednu bazu linearnog otmotača vektora u R[x]: a1 = x 4 +x 3 +x 2 +x, a2 = x 4 +x 3 x 2 x 1, a3 = 2x 4 +2x 3 1, a 4 = x 4 +x 3 +5x 2 +5x+2, a 5 = x 4 x 3 x 2. vektori: 4.25 Neka je e = (e 1, e 2, e 3, e 4 ) vektorskog prostora V nad poljem R. U odnosu na tu bazu dati su a 1 = e 1 + e 2 + e 3 + e 4, a 2 = e 1 + 2e 2 + 4e 3 + 8e 4, a 3 = e 1 + 3e 2 + 7e e 4 ; b 1 = e 1 2e 3 + 6e 4, b 2 = e 1 e 2 + e 3 e 4, b 3 = e 1 2e 2 + 4e 3 8e 4. Ako je U = Ω(a 1, a 2, a 3 ) i W = Ω(b 1, b 2, b 3 ), odrediti dimenziju i bar jednu bazu prostora: U, W, U + W, U W Neka su U i W vektorski potprostori vektorskog prostora V i neka je e = (e 1,..., e n ) baza prostora U, a f = (f 1,..., f n ) baza prostora W. Dokazati da je skup e f baza prostora V ako i samo ako je V = U W Neka su U, W V. Ako je dim (U + W ) = dim (U W ) + 1, dokazati da je bar jedan od tih potprostora sadržan u drugom Neka su α 1, α 2, α 3 K različiti brojevi i e 1 = (x + α 1 ) 2, e 2 = (x + α 2 ) 2, e 3 = (x + α 3 ) 2 K 2 [x]. Dokazati da polinomi e 1, e 2 i e 3 čine bazu u K 2 [x] Neka su p 0,..., p n polinomi iz K n [x] takvi da je deg (p k ) = k, 0 k n. Dokazati da je (p 0,..., p n ) baza prostora K n [x]. K n [x] Neka je α K fiksiran skalar i f m = (x α) m. Dokazati da je f = (f 0,..., f n ) baza prostora 4.31 Neka je U = {p K 3 [x] p(1) = 0 = p ( 1)}.. Dokazati da je U K 3 [x] i odrediti mu dimenziju i jednu bazu.

6 4.32 Neka je V vektorski prostor nad poljem K i neka je K = q, dim V = n. Odrediti broj baza prostora V, i opštije, odrediti broj linearno nezavisnih sistema od k vektora za k n Dokazati da su sledeći stavovi ekvivalentni: 1) V je konačne dimenzije. 2) Svaki strogo rastući niz U 1 U potprostora iz V je konačan. 3) Svaki strogo opadajući iz potprostora je konačan Neka su U, V, W potprostori datog vektorskog prostora konačne dimenzije takvi da je V W. Ako važi U + V = U + W dokazati da je V = W Neka je U V, dim U = n k, n = dim V. Dokazati da postoji k potprostora U 1, U 2,..., U k od V, dim U i = n 1 takvih da važi U = U 1... U k Neka su U, V, W potprostori datog vektorskog prostora konačne dimenzije. Dokazati da je dim (U + V + W ) dim U + dim V + dim W dim (U V ) dim (U W ) dim (V W ) + dim (U V W ) Pokazati primerom da jednakost ne mora da važi Ako su U, W V takvi da važi dim U + dim W > dim V dokazati da suma U + W nije direktna Ako unija U W vektorskih potprostora U, W V sadrži neki vektorski potprostor P V, dokazati da je tada P U ili P W Dokazati da je dim V = n ako i samo ako je V direktna suma n prostora dimenzije Odrediti bar jednu bazu linearnog omotača vektora (1, 0, 0, 1), (2, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3) u R Odrediti dimenziju i bar jednu bazu prostora U, W, U + W, U W ako je U = Ω(e 1, e 2, e 3 ), W = Ω(f 1, f 2, f 3 ) i: e 1 = 2 5x + 3x 2 + 4x 3, e 2 = 1 + 2x 7x 3, e 3 = 3 6x + 2x 2 + 5x 3 ; f 1 = 2 4x 2 + 6x 3, f 2 = 1 + x + x 2 + x 3, f 3 = 3 + 3x + x 2 + 5x 3 ; 4.42 Odrediti dimenziju i bar jednu bazu vektorskog potprostora prostora R N koji čine svi nizovi (a n ) koji zadovoljavaju a n+2 = 3a n+1 2a n, n N Dokazati da skup svih rešenja sistema jednačina 2x + 3y z + 5t = 0, 3x + y + 2z 9t = 0, x + 5y 4z + 19t = 0, čini vektorski potprostor od R 4 i odrediti jednu bazu tog potprostora Dokazati da je svaki od sistema vektora e = (e 1, e 2, e 3 ), f = (f 1, f 2, f 3 ) baza prostora R 3 i naći veze izmedju koordinata (v) e = (x, y, z) i (v) f = (x, y, z ) ma kog vektora v u te dve baze. e 1 = (1, 2, 1), e 2 = (2, 3, 3), e 3 = (3, 7, 1); f 1 = (3, 1, 4), f 2 = (5, 2, 1), f 3 = (1, 1, 6) Vektori e 1, e 2, e 3 u bazi f = (f 1, f 2, f 3 ) imaju koordinate (e 1 ) f = (1, 1, 1), (e 2 ) f = (1, 1, 2), (e 3 ) f = (1, 2, 3). Dokazati da je skup e = (e 1, e 2, e 3 ) i sam baza i izraziti koordinate (v) e vektora v u bazi e ako su mu koordinate u bazi f (v) f = (6, 9, 14).

7 5 Matrice 5.1 Odrediti broj različitih podmatrica formata (p, q) matrice A M m,n (K). 5.2 Koliko ima različitih blok podela matrici formata (m, n) Neka je A = M (R). Odrediti A n, n N. Da li formula važi za n Z. 5.4 Odrediti k-ti (k N) stepen dijagonalne matrice A = diag (λ 1,..., λ n ). cos φ sin φ 5.5 Neka je A φ = M sin φ cos φ 2 (R), φ R. a) Dokazati da važi A ( phi + θ) = A φ A θ, φ, θ R. b) Dokazati da je skup SO(2) = {A φ φ R} Abelova grupa u odnosu na množenje matrica a) Odrediti sve matrice A M 2 (R) takve da: i) A 2 = ii) A = 14 0 b) Naći B M 2 (R) tako da A 2 = B ima beskonačno mnogo rešenja. 5.7 Ako matrice A, B M n (K) komutiraju, dokazati jednakost (binomna formula): ( ) ( ) (A + B) n = A n n + A n 1 n B B n 1 n 5.8 Neka je A = Odrediti A n, n N. 5.9 Odrediti p(a), p(x) = x 2 4x + 3 R[x], A = [ Dokazati da za svaku matricu A M 2 (R) postoji polinom p R[x], stepena najviše 2, takav da je p(a) = Odrediti A n, n N, gde je A = Neka je A = M 3 (R) a) Dokazati da postoji poinom q R[x], stepena 2, takav da je q(a) = 0. b) Odrediti A n, n N. c) Dokazati daje A invertivilna i odrediti A m m Z Matrica A je jedaka proizvodu BC neke matrice-kolone B i matrice-vrste C ako i samo ako su svake dve njene kolone linearno zavisne. Dokazati Neka su A, B M n (K) takve da je suma komponenata svake od kolona jednaka 1. Dokazati da isto svojstvo važi i za matricu AB Neka je A = M 3 (R). Odrediti A n, n ZZ ] onda one i medjusobno komutiraju. Dokazati Ako matrice A, B M 2 (R) komutiraju sa matricom ]. [ Izračunati [ ] n, n N nad poljem R.

8 5.18 Izračunati [ ] n, n Z nad poljem R Odrediti opšti član nizova zadatih rekurentnim formulama: a) a n+1 = 3a n + b n, b n+1 = 6a n + 8b n, a 0 = 1, b 0 = 2 ; b) a n+1 = 3a n + b n, b n+1 = a n + 3b n, a 0 = 0, b 0 = 2; c) a n+2 = 4a n+1 4a n, a 0 = 1, a 1 = 6; d) a n+2 = 4a n+1 4a n, a 0 = 1, a 1 = 6; e) a n+2 = a n+1 + a n, a 0 = 0, a 1 = 1; f) x n+3 = x n+2 + 4x n+1 4x n, x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = Dokazati da je matrica A = : 2 4 i) inverzibilna nad Z q ; ii) regularna i nije inverzibilna nad Z; iii) nije regularna nad Z 4 i Z Ako je polje K konačno i sa q elemenata, dokazati da je tada i linearna grupa Gl(n, K) konačna i odrediti joj red Naći rang matrice A iz M 3,5 (R): A = Naći rang matrice A u zavisnosti od λ R : A = 1 λ λ Dokazati da su relacije ekvivalentnosti matrica i sličnosti matrica, relacije ekvivalencije Dokazati 1 A e B A B Data je matrica A = M 3,4 (R) a) Odrediti takve invertibilne matrice P i Q da važi P AQ = A 0, gde je A 0 kanonska matrica matrice A. b) Odrediti B M 3,2 (R) i C M 2,4 (R) tako da važi BC = A Primenom elementarnih operacija odrediti inverz matrice M 3 (R) Odrediti inverz matrice iz M 3 (R) (u zavisnosti od λ R) a) 5 λ 3 ; b) Neka su A M m,n (K), B M n,p (K) i C = AB. Dokazati a) ρ (AB) ρ (B); b) ρ (AB) ρ (B), gde je sa ρ označen rang vrsta, a sa ρ rang kolona matrice. 1 Matrice A i B su u relaciji e ako se B od A može dobiti elementarnim operacijama vrsta.

9 5.30 Neka su A, B M m,n (K). Dokazati nejednakosti: ρ(a + B) ρ([a B]) ρ(a) + ρ(b), gde je sa [A B] M m,2n označena matrica dobijena slepljivanjem matrica A i B Dokazati da se svaka matrica ranga k može napisati kao zbir k matrica ranga 1 i ne može se napisati kao zbir manje od k matrica ranga Rang matrice jedak je redu njene najveće invertibilne kvadratne podmatrice Neka je A M m,n (K), ρ(a) = r. Dokazati da postoje matrice B M m,r (K) i C M n,n (K) takve da A = BC Neka je A M n (K), ρ(a) = 1. Dokazati da postoji α K takvo da je A 2 = αa Ako je A =, D =, dokazati da su matrice A i D slične i dorediti bar jednu matricu X takvu da važi X 3 = A Neka je e 1 = (2, 1, 1), e 2 = (1, 0, 1), e 3 = (0, 0, 1). Dokazati da je e = (e1, e 2, e 3 ) baza prostora R 3 i napisati koordinate vektora u = (1, 2 2) u bazi e Neka je A 1 =, A =, A =, A =. Dokazati da 1 1 ove matrice čine bazu prostora M 2 (R) i odrediti [ matricu ] prelaska sa kanonske baze ovog prostora na datu bazu, α β a zatim i koordinate prozivoljne matrice X = M γ δ 2 (R) u datoj bazi Ako su p 1 = 2 + x + x 2, p 2 = 1 + x 2, p 3 = x 2 R 3 [x], dokazati da je p = (p 1, p 2, p 3 ) jedna baza prostora R 3 [x]. Naći matricu prelaska sa kanonske baze na bazu p i obratno, a zatim odrediti koordinate vektora u = 1 + 2x 2x 2 u bazi p Dokazati da je kvadratna matrica nad K inverzibilna ako i samo ako poništava bar jedan polinom p takav da je p(0) U vektorskom prostoru M n (R) dat je skup U svih matrica čiji je zbir komponenti svake vrste i svake kolone jednak 0. Dokazati da je U M n (R) i odrediti mu dimenziju i bar jednu bazu Dokazati da su A i P 2 linearne kombinacije matrica E i P, a zatim odrediti A n, n N, ako je A = x a a a x a, P = a a x Dokazati da trag matrice ima sledeće osobine: a) tr (A + B) = tr (A) + tr (B); b) tr (αa) = αtr (A); c) tr (AB) = tr (BA); d) Slične matrice imaju isti trag; e) tr ((AB) k ) = tr ((BA) k ) Dokazati da jednakost AB BA = E nije ispunjena ni sa koje dve matrice A, B M n (R) Ako je B = P 1 AP, A, B, P M n (K), q K[x]. Dokazati da je q(b) = P 1 q(a)p. [ 5.45 Koristeći ] sličnost matrica odrediti A n ako je matrica A : 17 6 a) ; b) Odrediti sve matrice [ iz M] 2 (R) koje komutiraju sa svim matricama: α β a) iz M 2 (R); b) oblika, αβ R. β α 5.47 Ako za matricu A M n (K) važi A n = 0 za neko n N, dokazati da : a) A nije invertibilna b) E ± A jesu invertibilne.

10 6 Linearna preslikavanja 6.1 Odrediti sve λ K za koje je preslikavanje (α, β) α + λx + βx 2 definiše linearno preslikavanje L : K 2 K[x]. 6.2 Dokazati da je L(α, β, γ) := (α β + 2γ) + (α + β + 2γ)x + γx 2, L : K 3 K 2 [x] linearno preslikavanje. Odrediti matricu A = [L] e,f u odnosu na kanonske baze e, f prostora K 3, K 2, respektivno. 6.3 Ispitati koja od sledećih preslikavanja V W, vektorskih prostora nad poljem R, su linearna i odrediti im matricu u bazama e = (e 1, e 2, e 3 ) i f = (f 1, f 2, f 3 ): a) L(x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) = (x 1 + x 3 )f 1 + (2x 1 + x 3 )f 2 + (3x 1 x 2 + x 3 )f 3 ; b) G(x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) = x 1 f 1 + (x 2 + 1)f 2 + (x 3 + 2)f 3 ; c) F (x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) = (2x 1 + x 2 )f 1 + (x 1 + x 3 )f 2 + x 2 3f Dokazati da postoji jedintven linearan operator vektorskog prostora V sa bazom e = (e 1, e 2, e 3 ) koji prevodi vektore a 1 = 2e 1 +3e 2 +5e 3, a 2 = e 2 +2e 3, a 3 = e 1 redom u vektore b 1 = e 1 +e 2 +e 3, b 2 = e 1 +e 2 e 3, b 3 = 2e 1 + e 2 + 2e Linearni operator L u bazi e = (e 1, e 2, e 3 ) ima matricu L = Odrediti njegovu matricu u bazi f = (f 1, f 2, f 3 ) ako je f 1 = 2e 1 +3e 2 +e 3, f 2 = 3e 1 +4e 2 +e 3, f 3 = e 1 +2e 2 +2e Preslikavanje Φ u bazi a 1 = ( 3, 7), a 2 = (1, 2) ima matricu, a preslikavanje Ψ u 5 3 bazi b 1 = (6, 7), b 2 = ( 5, 6) ima matricu [ ]. Odrediti matricu operatora Φ Ψ u kanonskoj bazi. 6.7 Neka je f = 1+x+x 2 R 2 [x] = V. Definišimo preslikavanje L : V V sa L(p) = 3p+p(1)f. Dokazati da je L linearno preslikavanje i odrediti mu jezgro, sliku, rang i defekt. 6.8 Odrediti defekt i rang i neke baze jezgra i slike linearnog preslikavanja L : R 4 R 3 čija je matrica u standardnim bazama α β 6.9 Dokazati da je množenje sleva matricom M γ δ 2 (K) linearno preslikavanje L : M 2 (K) M 2 (K) i odrediti njegovu matricu u standardnoj bazi Dokazati da su matrice jednog istog linearnog operatora L u dve baze jednake ako i samo ako matrica prelaska jedne od tih baza na drugu komutira sa matricom tog linearnog operatora u jednoj od datih baza Dato je linearno preslikavanje L : R 3 R 3 [x] : L(a, b, c) = (2a + 3b + 7c) + ( 3a + 4b + 2c)x + (4a 2b + 6c)x 2 (3a 2b + 4c)x 3. Odrediti par baza u R 3 i R 3 [x] u kojima preslikavanje ima kanonsku matricu Dokazati da se svako lienarno preslikavanje L : V W ranga k 1 može predstaviti kao suma L L k, k linearnih preslikavanja ranga Neka su F i G linearna preslikavanja vektorskih prostora konačnih dimenzija. Dokazati da je Ker(F ) Ker(G) ako i samo ako postoji linearno preslikavanje L takvo da je G = L F Neka su P i Q vektorski potprostori vektorskih prostora V i W redom, takvi da je dim P + dim Q = dim V. Dokazati da postoji linearno preslikavanje L : V W takvo da je ker L = P i ImL = Q.

11 6.15 Neka je A M n (R) takva da je A 2 = E. Dokazati da važi ρ(e + A) + ρ(e A) = n. ( ) 6.16 Neka je linearno preslikavanje L prostora R 2 u bazi ( a 1 = )(1, 2), a 2 = (2, 3) ima matricu , a preslikavanje G u bazi b = (3, 1), b 2 = (4, 2) ima matricu. Odrediti matricu preslikavanja 6 9 L + G u bazi b 1, b a) Dokazati da linearno preslikavanje L : V W ima inverz L 1 ako i samo ako Ker(L) = { 0 }. b) Ako postoji preslikavanje L 1 je takodje linearno Neka su V i W vektorski prostori i L : V W linearno preslikavanje. Dokazati: a) Ako je U V tada je L(U) W. b) Ako je U W tada je L 1 (U) V. c) Ako su U 1, U 2 V tada je L(U 1 + U 2 ) = L(U 1 ) + L(U 2 ) i L(U 1 U 2 ) = L(U 1 ) L(U 2 ). d) Ako su U 1, U 2 W tada je L 1 (U 1 U 2 ) = L 1 (U 1 ) L 1 (U 2 ). d) Da li za U 1, U 2 V važi L(U 1 U 2 ) = (U 1 ) L(U 2 )? 6.19 Neka su V i W vektorski prostori konačnih dimenzija. Pokazati da skup L(V, W ) = {L : V W L je linearno } svih linearnih preslikavanje prostora V u prostor W ima prirodnu strukturu vektorskog prostora. Odrediti neku bazu i dimenziju prostora L(V, W ) Neka su U V i W vektorski prostori. Dokazati da je skup L(U, V, W ) svih linearnih preslikavanja L : V W takvih da Ker(L) U, potprostor prostora L(V, W ). važi: 6.21 Neka je dim V = n. Dokazati da za svaki U V i svako linearno preslikavanje L : V W dim (L(U)) + δ(l) = dim (U + Ker(L)) Ako su L : U V i G : V W linearna preslikavanja, dokazati da važi a) δ(g L) δ(l) + δ(g); b) ρ(g L) + δ(g) ρ(l) (Silvesterova nejednakost) Neka su F, H, G linearna preslikavanja konačnih rangova za koje je definisana kompozicija H G F. Dokazati da tada važi: ρ(g F ) + ρ(h G) ρ(g) + ρ(h G F ) Ako su L, G : V W linearna preslikavanja dokazati da je tada a) Im(L + G) ImL + ImG; b) ρ(l) ρ(g) ρ(l + g) ρ(l) + ρ(g) Dokazati da za linearna preslikavanja F : U V i G : V W važi: a) Im(G F ) Im(G), b) Ker(F ) Ker(G F ) c) ρ(g F ) ρ(f ), ρ(g) Ako je V = R 3 [x], dokazati da je sa L(p) = (1 4x)p + (x + x 2 )p zadato jedno linearno preslikavanje L : V V i odrediti njegovu matricu u odnosu na standardnu bazu prostora V. Da li je L invertibilno? 6.27 Neka je α, β R, β 0, u 1 (x) = e αx cos(βx), u 2 (x) = e αx sin(βx) i U = Ω(u 1, u 2 ) R R. Dokazati da je sa L(u) = u, u U definisano linearno preslikavanje prostora U. Odrediti mu matricu u nekoj bazi i proveriti invertibilnost. Definicija 6.1 Neka je L : V V linearno preslikavanje i U V. Potprostor U je invarijantan u odnosu na L ako je L(U) U.

12 6.28 Neka je potprostor U V invarijantan u odnosu na linearno preslikavanje L : V V. Neka je e = (e 1,..., e n ) baza potprostora U. a) Odrediti matricu preslikavanja L u bazi (e 1,..., e n, f 1,..., f k ) prostora V. b) Ako je f = (f 1,..., f k ) baza prostora W V takvog da V = U W i ako je i prostor W invarijantan, odrediti matricu preslikavanja L u bazi (e 1,..., e n, f 1,..., f k ) a) Dokazati da je sa L(p) = 3px p x 2 zadato linearno preslikavanje vektorskog prostora R[x]. b) Dokazati da postoji jedinstven prirodan broj n N za koji je potprostor V = R n [x] invarijantan u odnosu na preslikavanje L. c) Ako je L 0 = L V restrikcija preslikavanja L, napisati preslikavanje L 0 u standardnoj bazi prostora V i ispitati njegovu invertibilnost Dat je polinom a = 1 + x + x 2 + x 3. Dokazati da je sa L(p) = 2p + p(1)a definisano linearno preslikavanje L : V V koje poništava neki polinom stepena najviše 2, a zatim odrediti preslikavanje L n, n N Ako je L : V V linearno perslikavanje, dokazati da je n N Ker(L n ) V Neka je V vektorski prostor dimenzije n i L : V V linearno preslikavanje. Dokazati ekviva- lenciju: L 2 = 0, n = 2ρ(L) Ker(L) = Im(L). Definicija 6.2 Linearno preslikavanje L : V V je idempotentno (ili projektor) ako važi L 2 = L Neka je L : V V projektor. a) Dokazati da je i preslikavanje F = Id L projektor. b) Dokazati da je KerF = ImL. c) Dokazati da je V = KerL ImL Ako za linearno preslikavanje L : V V postoji r N takvo da je KerL r+1 = KerL r tada je KerL n = KerL r za svako n r Dokazati da za linearno preslikavanje L : V V važi ImL 2 = ImL ako i samo ako V = KerL + ImL Dokazati da su za linearno preslikavanje L : V V sledeća tvrdjenja ekvivalentna: a) KerL 2 = KerL; b)kerl ImL = { 0 }; c) V = KerL ImL 6.37 Neka je L : V V linearno preslikavanje ranga 1. Dokazati da postoji neki skalar α K takav da važi L 2 = αl Ako su preslikavanja L i F projektori, dokazati da njihova suma L + F projektor ako i samo ako L F = 0 = F L i da u tom slučaju važi Im(L + F ) = ImL + ImF.

13 7 Sistemi linearnih jednačina 7.1 Odrediti polinom p stepena 3 sa realnim koeficientima takav da važi: p( 1) = 0, p(1) = 4, p(2) = 3, p(3) = 16. (Rešenje: p(x) = 2x 3 5x2 + 7.) 7.2 Rešiti sisteme jednačina: Rešenje b): (1 i, 1 + i, 1). x + 5y z = 9 2x + y (2 + i)z = 1 2i 2x y + 3z = 3 x + 2y (1 + 2i)z = i 4x + 9y + z = 15 3x + (4 + i)z = 7 2i 7.3 Odrediti rešenja sistema nad Z 5 : Rešenja: a) (1, 2, 3) b) (1, 2, 4). 3x + 4y + z = 4 x + y + 3z = 0 x + 2y + 2z = 1 2x + 4y + 4z = 1 4x + + z = 2 3x + 3y + 2z = Rešiti sistem jednačina u zavisnosti od parametra: 2x + 2y + 5z + 3t = 5 2x y + 3z t + 2u = 5 6x + y + 5z + 4t = 5 3x + 2y z + 3t + u = 8 4x y + t = λ x + 3y + 4z 4t + u = 3 2x + z + t = 1 7x + 5z + t + 5u = α Rešenja: a) za λ 0 nema rešenja, za λ = 0 dvodimenzioni prostor rešenja; b) za α 18 nema rešenja, za α = 18 dvodimenzioni prostor rešenja. 7.5 Odrediti rešenja sistema u zavisnosti od parametra: x y + z = 1 (λ + 1)x + y + z = 2 λ 4x z = 1 x + (λ + 1)y + z = 2 αx + 2y 5z = 3 x + y + (λ + 1)z = λ λx + y + z + t = 0 x + λy + z + t = 0 x + y + λz + t = 0 x + y + z + λt = 0 Rešenja: a) za λ = 10 sistem nema rešenja, za λ 10 sistem ima jedinstveno rešenje; b) za λ = 0 nema rešenja, za λ = 3 beskonačno mnogo rešenja, za λ 3, λ 0 jedistveno rešenje. c) za λ = 1 trodimenzioni prostor rešenja, za λ = 3 jednodimenzioni prostor rešenja, za λ 3, λ 1 samo trivijalno rešenje.

14 8 Determinante i njihove primene 8.1 Dokazati da za blok matricu važi [ E 0 P 0 a) det = det P = det 0 P 0 E gde su P i R kvadratne matrice. ] [ P Q b) det 0 R ] = det P det R, 8.2 Neka je A antisimetrična matrica neparnog reda, nad poljem R. Dokazati da je det A = Za matricu A odrediti adj A, a zatim proveriti da li je invertibilna i ako je ste odrediti A 1 : a) b) Dokazati da slične matrice imaju iste determinante. 8.5 Da li je inverzibilno preslikavanje L(x, y, z) := (3x 2z, 5y + 7z, x + y + z)? 8.6 Da li je inverzibilno preslikavanje D : V V, D(f) := df dt, gde je V = Ω(1, t, t2,..., t n 1 ) R R potprostor prostora funkcija? 8.7 Da li je inverzibilno preslikavanje D : V V, D(f) := f, gde je V = Ω(e t, e 2t, e 3t ) R R potprostor prostora funkcija? 8.8 U zavisnosti od λ R odrediti da li postoji inverz matrice a) b) λ 3λ λ Rešiti sledeće sisteme jednaǐna Kramerovim pravilom:. αx + y + z = 1, αx + y + z = 1, x + αy + z = 1, x + αy + z = β, x + y + αz = 1; x + y + αz = β 2, 8.10 Dokazati da sistem ima jedinstveno rešenje za α 0, 2, 3 i rešiti sistem u slučajevima α = 0, 2, 3: 2(α + 1)x + 3y + αz = α + 4, (4α 1)x + (α + 1)y + (2α 1)z = 2α + 4, (5α 4)x + (α + 1)y + (3α 4)z = α Neka je δ R i neka su λ 1,..., λ n različiti realni brojevi. Rešiti sistem: x x n = 1, λ 1 x λ n x n = δ, λ 2 1x λ 2 nx n = δ 2,.. λ n 1 1 x λ n 1 n x n = δ n Ako je A M n (K), λ K dokazati det(λa) = λ n det(a) Dokazati da je adj (λa) = λ n 1 adj A za A M n (K) Dokazati a je det(adj A)) = (det A) n Ako je adj A = odrediti matricu A Ako za kvadratne nenula matrice nad poljem K važi ABC = 0, dokazati da determinante bar 2 od tih matrica moraju biti jednake nuli.

15 9 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori 9.1 Sopstveni vektori koji odgovaraju različitim sopstvenim vrednostima su linearno nezavisni. 9.2 Dokazati da za linearni operator L vektorskog prostora V konačne dimenzije postoji baza e prostora V takva da je matrica [L] e dijagonalna ako i samo ako postoji baza tog prostora V sastavljena od sopstvenih vektora preslikavanja L. 9.3 Algebarska višestrukost sopstvene vrednosti λ preslikavanja L je uvek veća od odgovarajuće geometrijske višestrukosti. 9.4 Na vektorskom prostoru R 3 dato je preslikavanje L sa L(x, y, z) = (2x+y, y z, 2y+4z). Odrediti sopstvene vrednosti i neke baze sopstvenih potprostora koje odgovaraju tim sopstvenim vrednostima. Odrediti, ako postoji, bazu u kojoj je matrica preslikavanja L dijagonalna. 9.5 Na vektorskom prostoru R 2 [x] dato je preslikavanje L sa L(p) = p + p(1)(1 + 2x + x 2 ). Odrediti sopstvene vrednosti i odgovarajuće sopstvene vektore tog preslikavanja. Da li je L dijagonalizabilan. 9.6 Odrediti karakteristični i minimalni polinom matrice A. Ispitati da li je matrica A slična nekoj dijagonalnoj i ako je odgovor potvrdan naći odgovarajuću matricu prelaska. a) b) c) d) e) Rešenje: a) Dijagonalizabilan, { 2, 2, 4}. b) Ne, { 2, 2, 4} c) Ne, {3, 3, 3} d) Ne, { 2, 2, 0} c) Ne (nad R), {9, 9i, 9i}. 9.7 U zavisnosti od parametra proveriti da li je matrica slična nekoj dijagonalnoj matrici: cos t sin t 0 a) sin t cos t 0 b) 0 0 c 1 0 c cos t sin b) sin t cos t Neka je λ sopstvena vrednost linearnog preslikavanja L vektorskog prostora V nad poljem K i neka je p K[x]. Dokazati da je p(λ) sopstvena vrednost operatora p(l). 9.9 Neka je L invertibilno linearno preslikavanje vektorskog prostora V konačne dimenzije i λ njegova sopstvena vrednost. Dokazati da je λ 0 i da je λ 1 sopstvena vrednost preslikavanja L (Lema o jezgrima) Neka su su p, q K[x] i L linearno preslikavanje vektorskog prostora V nad K. Dokazati da važi: gde je s = NZS(p, q), r = NZD(p, q). Ker p(l) + Ker q(l) = Ker s(l) i Ker p(l) Ker q(l) = Ker r(l), 9.11 Dokazati da su za linearno preslikavanje L : V V sledeći uslovi ekvivalentni: a) Svaki vektor v V je sopstveni. b) Operator L ima istu matricu u ma kojoj bazi. c) L je skalarni operator, tj. L = αid Neka je L : V V linearno preslikavanje i U V (V je vektorski prostor konačne dimenzije) invarijantan u odnosu na L. Dokazati da karakteristični polinom od L U deli karakteristični polinom od L Odrediti minimalni polinom matrice:

16 9.14 Odrediti karakteristični i minimalni polinom kvadratne matrice reda n nad poljem K u kojoj su svi elementi van dijagonale jednaki α K, a na dijagonali su svi jednaki β K Odrediti karakteristični i minimalni polinom kao i sopstvene vrednosti linearnog preslikavanja L : M 2 (K) M 2 (K) definisanog sa L(X) := AX + XB, A =, B = Neka je L : V V fiksirano linearno preslikavanje, dim V = n. a) Dokazati da je sa Φ L (F ) := LF definisano linearno preslikavanje Φ L : L(V ) L(V ) (L(V ) je prostor linearnih preslikavanja od V ). b) Dokazati da preslikavanja L i Φ L imaju iste sopstvene vrednosti. c) Dokazati: L je dijagonalizabilan ako i samo ako Φ L je dijagonalizabilan. 10 Skalarni proizvod 10.1 a) Proveriti da li je preslikavanje : R 2 R 2 R dato sa (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = x 1 y 1 2x 1 y 2 2x 2 y 1 + 5x 2 y 2 skalarni proizvod. b) Za koje k R je sa (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = x 1 y 1 3x 1 y 2 3x 2 y 1 + kx 2 y 2 zadat skalarni proizvod na R 2? 10.2 Dokazati da je na prostoru matrica M 2 (R) sa A B = tr (A T ) zadat skalarni proizvod. ( ) Izračunati intenzitet matrice A = M (R) kao i ugao koji zaklapaju matrice ( ) ( ) B = i C =, u odnosu na skalarni proizvod iz Zadatka Dokazati da su ortonormirani vektori i linearno nezavisni Pokazati da je na vektorskom prostoru V = R 3 [x] formulom p, q := p(0)q(0) + p (0)q (0) + p(1)q(1) zadat skalarni proizvod, a zatim odrediti bar jednu ortonormiranu bazu ovog prostora u odnosu na dati skalarni proizvod Odrediti neku ortonormiranu bazu potprostora W R 3 [x] svih polinoma p takvih da p ( 1) = 0 u odnosu na skalarni prozvod iz Zadatka Neka je e = (e 1, e 2, e 3 ) baza vektorskog prostora V nad R. a) Dokazati da je sa (αe 1 + βe 2 + γe 3 ) (ae 1 + be 2 + ce 3 ) := 2αa + αb + 4βb + βa + βc + γb + 2γc zadat skalarni proizvod na V. b) Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu u odnosu na ovaj skalarni proizvod. Definicija 10.1 Neka je W potprostor realnog vektorskog prostora V i, skalarni proizvod na V. Ortogonalni komplement prostora W je skup W := {v V v, w = 0, za svaki w W } Dokazati: a) W je potprostor prostora V. b) V = W W. c) (W ) = W Odrediti ortogonalnu projekcijuu i ortogonalnu dopunu vektora a = (1, 1, 0, 2) na potprostor U R 4 generisan vektorima u 1 = (9, 7, 4, 6) i u 2 = (5, 5, 8, 8) Neka je u 1 = (1, 2, 3, 4) i u 2 = (3, 5, 7, 8) R 4 i W = Ω(u 1, u 2 ). Odrediti neku ortonormiranu bazu prostora W i W u odnosu na standardni skalarni prozivod u R Neka je S = {A M 2 (R) A T = A} skup simetričnih i A = {A M 2 (R) A T = A} skup antisimetričnih matrica iz M 2 (R). a) Dokazati da su A i S potprostori od M 2 (R). b) Dokazati da je S = A u odnosu na skalarni prozivod iz Zadatka c) Odrediti neku ortonormiranu bazu prostora S.

17 ( Odrediti ugao koji zaklapa matrica X = 2 0 odnosu na skalarni proizvod iz Zadatka ) sa potprostorom S simetričnih matrica u U vektorskom prostoru polinoma R 3 [x] zadat je skalarni proizvod p, q := p(0)q(0)+p (0)q (0)+ 1 4 p (0)q (0). Odrediti rastojanje polinoma p = 2x + 4x 2 od potprostora U svih polinoma za koje je a(1) + a = Odrediti bazu ortogonalnog komplementa W T potprostora W R 4, gde je W = Ω(a 1, a 2, a 3 ), a 1 = (1, 0, 2, 1), a 2 = (2, 1, 2, 3), a 3 = (0, 1, 2, 1) Odrediti bar jednu ortonormiranu vazu potprostora od R 4 generisanog vektorima e 1 = (1, 1, 1, 1) i e 2 = 1, 1, 1, 1) i dopuniti je do ortonormirane baze celog prostora R Dokazati da za potprostore U, W V važi: a)(u + W ) = U W, b)(u W ) = U + W Neka je e = (e 1,..., e n ) baza prostora V sa skalarnim proizvodom,. Definišimo matricu S e = ( e i, ε j ) M n (R). (ona se zove matrica skalarnog proizvoda. Dokazati: a) Matrica S e je simetrična. b) Sve sopstvene vrednosti matrice S e su realne i strogo veće od nule. c) Skalarni proizvod se može zapisati u obliku x, y = [x] T e S e [y] e, (1) gde su [x] e i [y] e kolone koordinata vektora x, y V. d) Ako je f druga baza prostora v i C = C e f matica prelaska, dokazati da je S f = C T S e C. e) S e = E ako i samo ako je e ortonormirana baza. f) det S e Ako je skup e = (e 1,..., e n ) samo podskup vektora (ne obavezno baza) prostora V tada se matrica S e iz Zadatka zove Gramova matrica skupa e. Dokazati da su vektori e 1,..., e n linearno nezavisni ako i samo ako je det S e Dokazati da svaka simetrična matrica S sa strogo pozitivnim realnim sopstvenim vrednostima, formulom (1) definiše skalarni proizvod Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu u kojoj kvadratna forma ima dijagonalni oblik: a) q(v) = 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 + 2xy + 2xz + 2yz, v = (x, y, z). b) q(v) = 2x 2 + 2y 2 z 2 8xy + 4xz 4yz, v = (x, y, z). Definicija 10.2 Linearno preslikavanje L : V V je simetrično u odnosu na skalarni proizvod, ako važi x, L(y) = L(x), y, za sve x, y V Neke je S e matrica skalarnog proizvoda u bazi e i A = [L] e matrica linearnog preslikavanja u bazi e. Dokazati: a) Preslikavanje L je simetrično ako i samo ako A T S e = S e A. b) Matrica simetričnog preslikavanja u ortonormiranoj bazi e je simetrična. ( ) Neka je L : R 2 R 2 linearno preslikavanje sa matricom A = [L] e = u bazi 2 3 e = (e 1, e 2 ). Ispitati da li na R 2 postoji skalarni proizvod u odnosu na koji je preslikavanje L simetrično. R a) Dokazati da je sa p q = p(1)q(1) + p(0)q(0) p (0)q (0) definisan skalarni proizvod na b) Neka je A = [L] e = α β matrica preslikavanja L : R 3 [x] R 3 [x] u odnosu na kanonsku bazu e = (1, x, x 2 ). Ispitati da li je za neko α, β R to preslikavanje simetrično.

18 Definicija 10.3 Neka je V realan vektorski prostor sa skalarnim proizvodom,. Linearno preslikavanje L : V V je ortogonalno ako čuva normu, tj. v = L(v), v V. Linearno preslikavanje L : V V je izometrija ako čuva skalarni proizvod, tj. u, v = L(u), L(v) za sve u, v V Dokazati da je preslikavanje L : V V ortogonalno ako i samo ako je izometrija Neka je L : V V i e = (e 1,..., e n ) ortonormirana baza od V. Dokazati da su sledeća tvrdjenja ekvivalentna: a) L je ortogonalan. b) L(e) je ortonormirana baza. c) [L] e je ortogonalna matrica ([L] e [L] T e = E) Neka je e = (e 1,..., ε n ) ortonormirana baza prostora V. Dokazati da baza f = (f 1,..., f n ) ortonormirana ako i samo ako je matrica prelaska C = C e f, sa baze e na bazu f, ortogonalna. Definicija 10.4 O(n) := {A M n (R) AA T = E} (ortogonalna grupa); SO(n) := {A O(n) det A = 1} (specijalna ortogonalna grupa) a) Dokazati da je ( cos φ sin φ O(2) = { sin φ cos φ ) ( cos φ sin φ φ [0, 2π)} sin φ cos φ ) φ [0, 2π)}. b) Dokazati da u ortonormiranoj bazi, matrice prvog skupa predstavlju rotacije, a matrice drugog skupa refleksije. Nacrtati. c) Pokazati da je matrice prvog skupa čine grupu SO(2), a da matrice drugog skupa uopšte ne cine grupu Dokazati da su sve izometrije vektorskog prostora R 3 koje čuvaju orjentaciju (grupa SO(n)), rotacije oko neke prave za neki ugao. Teorema 10.1 Za svaku izometriju L : V V realnog vektorskog prostora V sa skalarnim proizvodom postoji ortonormirana baza e = (e 1,..., ε n ) takva da je [L] e = R θ R θ ±1 ( ) cos φ sin φ, R θ := sin φ cos φ za neke uglove θ 1,..., θ k. Matrica [L] e se naziva kanonski oblik izometrije L Odrediti kanonski oblik ortogonalne matrice A i neku bazu u kojoj se on realizuje: a) , b) , c) a) Odrediti neku matricu A O(3) čija je prva kolona v 1 = 1 3 (1, 2, 2)T. b) Odrediti sve matrice A O(3) čija je prva kolona v 1 = 1 3 (1, 2, 2)T Neka su u, v V vektori jediničnih dužina. a) Dokazati da je skup W = {x V x u = x v } vektorski potprostor od V čija je dimenzija dim W = dim V 1. b) Odrediti W.

19 10.32 Neka je V = R 3 [x]. a) Dokazati da je sa (f, g) = 1 f(t)g(t)dt zadat skalarni prozivod na V. 0 b) Odrediti bazu potprostora W ortogonalanog na h(t) = 2t + 1. c) Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu prostora V Neka je W R 4 potprostor zadat kao rešenje sistema jednačina: 2x 1 + x 2 + 3x 3 x 4 = 0, 3x 1 + 2x 2 2x 4 = 0, 3x 1 + x 2 + 9x 3 x 4 = 0. a) Odrediti baze prostora W i W. b) Predstaviti prostor W kao rešenje sistema jednačina. c) Naći ortogonalnu razlaganje a = a + a vektora a = (1, 1, 0, 2), gde a W, a W.