ZBIRKA TESTOVA IZ ALGEBRE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ZBIRKA TESTOVA IZ ALGEBRE"

Transcript

1 ZBIRKA TESTOVA IZ ALGEBRE Studenti koji na testu kod pitanja do zvezdica naprave više od tri greške nisu položili ispit! U svakom zadatku dato je više odgovora, a treba zaokružiti tačne odgovore tj. slova ili brojeve ispred tačnih odgovora. U jednom istom zadatku broj tačnih odgovora može biti 0,,,3,...,svi. U nekim zadacima ostavljena su prazna mesta za upisivanje odgovora.

2 KOLOKVIJUM Za relaciju poretka podskup skupa A = {A, B, C}, gde je A = {a, b}, B = {b, c}, C = {a, b, c} i navesti najmanji el: minimalne el: najveći el: maksimalne el: Zaokružiti brojeve ispred bijektivnih funkcija: f : 0, π 0,, fx = tg x f : R R, fx = 3 x 3 f : R R, fx = x 4 f : R [0,, fx = x 5 f : [0, [0,, fx = x 6 f : R R, fx = e x Zaokružiti brojeve ispred tvrdenja koja su tačna u svakoj Bulovoj algebri B, +,,, 0, : a = a a + a = 0 3 a 0 = a = a 5 a + b = a + b Skup kompleksnih rešenja jednačine x = je S = { }. Odrediti realni i imaginarni deo, moduo, argument, i konjugovani broj kompleksnog broja z = i: Rez =, Imz =, z =, argz =, z =. Sledeće kompleksne brojeve napisati u algebarskom obliku: e iπ = e i π = e 0 i = e iπ = e i 3π = Zaokružiti broj ili brojeve ispred struktura koje su komutativne grupe. N, + N, 3 R, + 4 R, 5 {, }, 6 0,, Pri delenju polinoma x 4 + x + sa x + x + nad R, količnik je., a ostatak je Zaokružiti broj ili brojeve ispred jednakosti koje su tačne u skupu kompleksnih brojeva: zz = z Rez = z z 3 Imz = z + z 4 z + z = z + z 5 z + z = z + z 6 z R z = z 7 z z = z z 8 z z = z z 9 z 0 z = z z 0 z = z = z Izračunati: arg 3i = arg6 = 3 arg 9 = 4 argi = 5 arg + i = 6 arg + i 3 = 7 arg0 = Napisati Kejlijeve tablice grupoida Z 3, + i Z 3,, odrediti inverzne elemente i izračunati: =, =, = =, =, + 3 =, + 3 =, + 3 =. Da li je ρ = {,,,, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5,, 5,, 5, 3, 5, 4, 4,, 3, } relacija poretka skupa A = {,, 3, 4, 5}: DA NE, i ako jeste, nacrtati njen Haseov dijagram. Odrediti minimalne:, maksimalne:, najveći: i najmanji: element. Neka je z = 3 + i, u = + i i w = i. Rotacijom tačke z oko tačke u za ugao π, translacijom tačke z za vektor w dobija se tačka, a <wuz = dobija se tačka Zaokružiti brojeve ili broj ispred struktura koje su prsteni ali nisu polja: Z, +, Z 4, +, 3 Q, +, 4 Z 3, +, 5 N, +, 6 C, +, 7 R[t, +, 8 R +, +, U polju Z 5 izračunati = = 3 = = 3 = Ako je p polinom stepena 4 nad nekim poljem F i ako ima tačno jedan koren u tom polju, tada je p: uvek svodljiv uvek nesvodljiv 3 nekada svodljiv a nekada nesvodljiv 4 ništa od prethodnog 5 uvek normalizovan

3 U skupu N = {,,...} date su relacije: ρ = {x, 3x x N}, ρ = {x, y x + y = 0, x, y N}, ρ 3 = {x, x x N}, ρ 4 = {x, y x, y N, xy < 4}, ρ 5 = {x, x x N}, ρ 6 = N N. Iza oznake svake od tih relacija zaokružiti samo ona slova koja označavaju svojstvo relacije koju ona poseduje: R- refleksivnost, S- simetričnost, A- antisimetričnost, T - tranzitivnost. ρ : R S A T ρ : R S A T ρ 3 : R S A T ρ 4 : R S A T ρ 5 : R S A T ρ 6 : R S A T Neka je A najveći podskup od 0, = R + a B najmanji podskup skupa R za koje je funkcija f : A B definisana sa fx = x. Tada je A =, f = 0 i B =. Funkcija f : A B je: sirjektivna ali ne injektivna injektivna ali ne sirjektivna 3 niti injektivna niti sirjektivna 4 bijektivna 5 f : O S, f =, O =, S = Neka je A = {,, 3, 4, 5} i B = {, }. Odrediti broj elemenata sledećih skupova funkcija ako f označava rastuću funkciju f i f označava neopadajuću funkciju f: {f f : A B} =, {f f : A B} =, {f f : A B f } =, {f f : B na B} =, {f f : B A} =, {f f : A A} =, {f f : B A f } =, {f f : A na B} =. Neka je A najveći podskup od R a B najmanji podskup skupa R za koje je f : A B definisana sa fx = lnx + e. Tada je A =, f = i B =. Funkcija f : A B je: bijektivna sirjektivna ali ne injektivna 3 injektivna ali ne sirjektivna 4 niti injektivna niti sirjektivna Zaokružiti broj ili brojeve ispred tvrdenja koje je tačno u Bulovoj algebri B = B, +,,, 0,. xx = x+x xy = x+y 3 xx = x+ 4 xy = x = 5 xy = 0 x = 0 y = 0 6 x = 0 y = 0 xy = 0 7 x = xy + xy 8 x B y B x + y = xy = 0 Zaokružiti asocijativno komutativne grupoide sa neutralnim elementom, koji nisu grupe: {z C Imz = Rez}, + {f f : R R}, 3 N {0}, + 4 Z, 5 {7k k Z}, 6 R[x, Zaokružiti podgrupe grupe R \ {0}, : R \ {0}, + 0,, 3, 0, 4 N, 5 Z \ {0}, 6 Q \ {0}, + 7 0,, 8 {, }, 9 {, 0, }, 0 Q \ {0}, Zaokružiti broj ili brojeve ispred struktura koje su prsteni. Z, +, Z 4, +, 3 Q\{0}, +, 4 0,, +, 5 N, +, 6 C, +, 7 R[t, +, 8 {, }, +, 9 {7k k Z}, +, Zaokružiti oznaku polja za koje važi da je polinom t + t + nesvodljiv nad njima. Q R C Z Z 3 Z 5 Ako je p polinom stepena nad poljem R, tada je p nad poljem R: uvek svodljiv uvek nesvodljiv 3 ništa od prethodnog. Neka je f R[x i fe iα = 0. Zaokruži tačno: a x e iα fx b x e iα fx c x e i α fx d x x cos α + fx; e x x cos α + fx; f x + x cos α + fx; g x x cos α + α fx Ako je A = { + e iψ ψ R} i B = { e iψ ψ R} tada je a A B, b A B, c A B, d A B, e A B, f A B, g A B, h A B =, i A = B. Neka je {, } skup svih korena polinoma fx = x 3 + ax + bx + c nad poljem realnih brojeva. Tada skup svih mogućnosti za c je c { }. Navesti geometrijsku interpretaciju skupova A, B, C, D i sledećih kompleksnih funkcija f : C C, g : C C, h : C C i t : C C, kao i odgovoriti na pitanje injektivnosti i sirjektivnosti funkcija f, g, h i t. fz = zei argz je gz = zi je hz = z + i je 3

4 tz = z je A = {z z i 3 = i} je B = {z z 00 = } je C = {z z i 3 = i} je D = {z z = z} je KOLOKVIJUM Za ravan α : x = 0 napisati jedan njen vektor normale n α =,, i koordinate jedne njene tačke A,, Za koje vrednosti parametra a R je sistem linernih jednačina x y = ax + y = a nad poljem realnih brojeva: neodreden: odreden: 3 kontradiktoran: Za vektore a = 3, 0, 4 i b = 8,, 4 izračunati: a = b = 3 a b = 4 a b = 5 a b = 6 cos < a, b = Koje su od sledećih uredenih n-torki nezavisne za vektorskog prostora R 3 : 0, 0,, 0,, 0,, 0, 0, 0, 0, 0,, 0 3 0, 0,, 0,, 0,, 0, 0,,, 3 4,,,,,, 3, 3, 3 [ 0 0 = 0 [ 0 = = [ 3 5 = Matrice linearnih transformacija fx = x, x, gx, y, z = x, x hx = 3x i sx, y, z = 3x su: M f = M g = M h = M s = Ispod svake matrice napisati broj koji predstavlja njen rang [ 3 3 [ [ [ Odrediti sve vrednosti realnih parametara a i b za koje je sistem linearnih jednačina ax + ay = 0 a y = a kontradiktoran: odreden: 3 puta neodreden: 4 puta neodreden: Neka je ABCD paralelogram, a tačka T težište trougla ABC BD je dijagonala paralelograma. Izraziti vektor AT kao linearnu kombinaciju vektora a = AB i b = BC. AT = Izraziti vektor x = 3, 3, kao linearnu kombinaciju vektora a =, 0,, b = 0,, i c =,, 0: x = U vektorskom prostoru slobodnih vektora, četvorka vektora a, b, c, d je: uvek zavisna nikad baza, 3 može ali ne mora da bude generatorna. U vektorskom prostoru slobodnih vektora, trojka vektora a, b, c je: uvek nezavisna, uvek zavisna, 3 nekad nezavisna a nekad zavisna. [ [ [ [ Koji od vektora su karakteristični vektori za matricu?

5 Ako je matrica A dobijena od matrice A = [a ij nn, a ij R elementarnim transformacijama, tada je: deta = λ deta za neko λ R ranga = ranga 3 A A = I 4 det A 0 det A 0 Koje od tvrdenja je tačno za bilo koje kvadratne matrice A, B, C reda i svaki skalar λ: detab = deta + detb B + CA = BA + CA 3 detλa = λ 3 deta 4 detab = detbdeta 5 AB = A B 6 rangab = rangarangb 7 rangab = rangarangb 8 ABC = ABC Koja od sledećih tvrdnji je tačna za svaka dva slobodna vektora x i a: a x pr a x x b x pr a x a c x pr a x x d x pr a x a eništa od prethodnog Neka su a, b i c proizvoljni vektori. Tada uredena trojka vektora a + b, a + c, b + c je: a uvek zavisna b uvek nezavisna c nekad zavisna, a nekad nezavisna, zavisi od izbor vektora a, b, c. Neka su a, b i c proizvoljni vektori. Tada uredena trojka vektora a + b, a + c, a + b c je: a uvek zavisna b uvek nezavisna c nekad zavisna, a nekad nezavisna, zavisi od izbor vektora a, b, c. Vektri a = a i + a j + a 3 k i b = b i + b j + b 3 [ [ k su kolinearni ako [ i samo ako: a a a rang a 3 a a = b rang a 3 a a c rang a 3 d λ R a = λ b b b 3 b b b 3 b b b b 3 e a b f λ R a = λ b λ a = b g α a + β b = 0 α + β 0 h a i b su zavisni Neka je x = x i + x j + x 3 k proizvoljni vektor i neka je f : R 3 R definisana sa fx, x, x 3 = m x, gde je m = m i + m j + m 3 k dati slobodni vektor. Funkcija f : R 3 R je: linearna transformacija injektivna 3 sirjektivna 4 bijektivna 5 izomorfizam Za svaku linearnu transformaciju f : R R i svako x, y, λ, v R tačno je: x = 0 fx = 0 f0 = 0 3 f0 = 4 fxy = fxfy 5 fxy = x fy 6 fx = ax za neko a R 7 fλ + v = fλ + fv Neka je φ : V R 3 definisana sa φx i+x j+x 3 k = x, x, x 3 tj. φ x = x i, x j, x k, gde su V, R, +, i R 3, R, +, vektorski prostori slobodnih vektora i uredenih trojki. Da li je funkcija φ : V R 3 linearna transformacija injektivna 3 sirjektivna 4 bijektivna 5 izomorfizam Neka je M skup svih kvadratnih matrica čiji svi elementi su iz skupa realnih brojeva R. Tada je: det : M R det : M R 3 det : M R na 4 det : M R 5 det je linearna na Neka je M skup svih matrica čiji svi elementi su iz skupa realnih brojeva R. Tada je: rang : M R rang : M N 3 rang : M N {0} 4 rang : M N {0} 5 rang : M na N {0} Ako je f0 = 0, tada funkcija f: sigurno jeste linearna transformacija sigurno nije linearna transformacija 3 može a ne mora biti linearna transformacija Neka je a, a,..., a n nezavisna u prostoru V, c, c,..., c m generatorna za prostor V i dimv = k. Tada je m k n n k m 3 n m k 4 k m n 5 k n m 6 m n k Neka je r A vektor položaja tačke A, AB = d. Odrediti rb u zavisnosti od r A, a i d, ako je vektor a istog pravca kao i vektor AB, a suprotnog smera od vektora AB. rb = Neka je k torka vektora b, b,..., b k baza prostora V i neka je d, d,..., d l zavisna l torka vektora. Tada je: k l l k 3 k = l 4 l < k 5 l > k 6 ništa od prethodnog Koji od sledećih podskupova U R 3 je potprostor i za one koji jesu napiši desno od njih njihovu dimenziju: U = {x, y, z R 3 x = y = z}, dim U= U = {x, y, z R 3 x + y = 0} dim U= 3 U = {x, y, z R 3 x + y + z = 0} dimu= 4 U = {x, y, z R 3 x = y + z} dim U= 5

6 Neka je a =, 0,, b = 3, 0, 3, c =, 0,, d =, 0,, e = 0,, 0, f =, 0, 0, g =, 0,. Odrediti dimenzije sledećih potprostora V vektorskog prostora R 3 : V = La, b, c dimv = V = La dimv = 3 V = La, b dimv = 4 V = Lb, c, d dimv = 5 V = Lb, c, e dimv = 6 V = La, g dimv = 7 V = Le, f, g dimv = Ako je A kvadratna matrica reda n, tada je: det A = 0 rang A= 0 det A = 0 rang A n, 3 det A = 0 rang A= n 4 rang A= n det A 0, 5 rang A= n det A 0, 6 rang A= n A. Za koje a, b R su f i g linearne transformacije i za one koje jesu, naći odgovarajuću matricu i diskutovati njen rang: f : R 3 R, fx, y, z = y3 ax+b bz, y sina b f : R 3 R, fx, y, z = z bxy, + a x+a KOLOKVIJUM Za relaciju poretka ρ = {,,,, 3, 3, 4, 4,,,, 3,, 4} skupa A = {,, 3, 4} navesti najmanji el: minimalne el: najveći el: maksimalne el: Ako je funkcija f : R R definisana sa fx = ax + ax +, za koje vrednosti parametara a funkcija f je injektivna, sirjektivna, 3 bijektivna. Zaokružiti broj ili brojeve ispred tvrdenja koja su tačna u Bulovoj algebri: a + bc = a + ba + c a + a = a 3 a + a = a 4 a 0 = = 6 a + = U grupi Z 4, + neutralni element je, a inverzni elementi su: 0 =, =, =, 3 = Za kompleksne brojeve z = i i z = i 3 izračunati z + z = z z = z z = arg z z = z + z = Pri delenju polinoma x 3 + sa x + nad R, količnik je, a ostatak je. Neka su f : 0, 0, i g : 0, 0, definisane sa fx = +x i gx = + x. Izračunati: f x = g x = 3 f gx = 4 g fx = Zaokružiti slova ili slovo ispred struktura koje su asocijativni i komutativni grupoidi sa neutralnim elementom. Z, {, 0, }, + 3 N, 4 N {0}, + 5 C, + 6 Q, 7 {, 0, }, Zaokružiti broj ili brojeve ispred tvrdenja koja su tačna u svakom prstenu R, +, : a + bc = a + ba + c R, + je grupa 3 R, je grupa 4 operacija + je distributivna prema 5 ab = 0 a = 0 b = 0 6 a 0 b 0 ab 0 7 a 0 = 0 8 a a = a 9 a + a = 0 U skupu N = {,,...} date su relacije: ρ = {x, x + x N}, ρ = {x, y x + y = 0, x, y N}, ρ 3 = {x, x x N}, ρ 4 = {x, y x, y N, y > }, ρ 5 = {x, x x N}, ρ 6 = N N. Iza oznake svake od tih relacija zaokružiti samo ona slova koja označavaju svojstvo relacije koju ona poseduje: R- refleksivnost, S- simetričnost, A- antisimetričnost, T - tranzitivnost. ρ : R S A T ρ : R S A T ρ 3 : R S A T ρ 4 : R S A T ρ 5 : R S A T ρ 6 : R S A T 6

7 Neka je A = {,, 3, 4}, B = {, 3, 4}, i f = {, 3,, 4, 3, 3}, f = {, 3, 3, 4,, 3, 4, 4}, f 3 = {3, 3,,, 4, 4,, }, f 4 = {3, 3,, 3,, 3, 3, }. Popuniti sa da ili ne: \ f i je funkcija f i je funkcija skupa A u skup B f i : A B f i : A na B f : A na B f f f 3 f 4 Neka je A = {a, b, c}, f : A A i g : A A funkcije definisane sa f = a b c b a c, g = a b c c a b. Tada je a b c a b c a b c a b c a b c f =, g =, f g =, f g =, g f =. Koje od navedenih struktura su polja: R,, + {f k : R R f k x = kx, k R}, +, 3 R \ {0},, + 4 Z, +, 5 Q, +, 6 C,, + 7 C, +, Navesti geometrijsku interpretaciju skupova A, B, C, D, E i sledećih kompleksnih funkcija f : C C i g : C C, kao i odgovoriti na pitanje injektivnosti i sirjektivnosti funkcija f i g. fz = z je gz = I m z je A = {z z i 5 = 3} je B = {z zz = } je C = {z z = z} je D = {z arg z = arg z} je E = {z I m z = R e z} je Zaokružiti slova ispred tačnih iskaza: a A B b C D c D C d B D e D E Neka su z = + i, z = 3 i i z 3 = i. Izračunati: z z 3 z = Da li je ovaj ugao pozitivno orijentisan? DA NE Ako je p nesvodljiv polinom nad poljem R, tada su sve moguće vrednosti za dgp: { } Ako je p svodljiv polinom nad poljem R, tada su sve moguće vrednosti za dgp: { } Odrediti sve vrednosti parametara a, b C za koje je polinom px = ax + b nesvodljiv nad poljem C: Neka je {, } skup svih korena polinoma fx = x 3 + ax + bx + c nad poljem realnih brojeva. Tada skup svih mogućnosti za a je a { }. Neka je A najveći podskup od 0, = R + a B najmanji podskup skupa R za koje je funkcija f : A B definisana sa fx = x. Tada je A =, f = 0 i B =. Funkcija f : A B je: sirjektivna ali ne injektivna injektivna ali ne sirjektivna 3 niti injektivna niti sirjektivna 4 bijektivna 5 f : O S, f =, O =, S = Neka je A = {,, 3, 4, 5} i B = {, }. Odrediti broj elemenata sledećih skupova funkcija ako f označava rastuću funkciju f i f označava neopadajuću funkciju f: {f f : A B} =, {f f : A B} =, {f f : A B f } =, {f f : B na B} =, {f f : B A} =, {f f : A A} =, {f f : B A f } =, {f f : A na B} =. Neka je f R[x i fe iα = 0. Zaokruži tačno: a x e iα fx b x e iα fx c x e i α fx d x x cos α + fx; e x x cos α + fx; f x + x cos α + fx; g x x cos α + α fx Ako je A = { + e iψ ψ R} i B = { e iψ ψ R} tada je a A B, b A B, c A B, d A B, e A B, f A B, g A B, h A B =, i A = B. 7

8 KOLOKVIJUM Vektor normale ravni α : z = x je:, 0,, 0, 3 0,, 0 4, 0, 5,, Koordinate jedne njene tačke su: 6 0, 0, 0 7, 0, 0 8 0,, 0 9 0, 0, 0,, Sistem jednačina ax + ay = a ax ay = a je odreden za: a a 3 a a 4 a 0 neodreden za: 5 a = 6 a = 0 7 a = protivrečan za: 8 a = 9 a = 0 0 a = a = a = Ako je a =,, i b =, 4, 8, tada je: a = b = 3 a b = 4 a b = 5 cos < a b= Ako je: a = 0, 0,, 0,, 0,, 0, 0 b =, 0, 0, 0,, 0 c = 0, 0,, 0,, 0,, 0, 0,,, 3 d =,,,,,, 3, 3, 3, tada su nezavisne u R 3 : a b 3 c 4 d Ako je A = [ [ 0 0 A = [ Ako je A = , B = , tada je: A = [, C = [ 4 3, tada: A = [ 3 det A je 0, det B je 3, 0, 3 3 det C je 5, 5, 5, 5 Format m, n, matrice linearne transformacije hx = 5x je 0,,,0,,; fx, y = x + y je,,,,,; 3 gx, y = x, x y, x + y je,3,3,,,; 4 sx, y = x je,,,,, Ispod svake matrice zaokružiti broj koji predstavlja njen rang [ [ [ [ Neka je ψ : R 3 V definisana sa ψx, x, x 3 = x i + x j + x 3 k tj. ψ x i, x j, x k = x, gde su R 3, R, +, i V, R, +, vektorski prostori uredenih trojki i slobodnih vektora. Da li je funkcija ψ : R 3 V linearna transformacija injektivna 3 sirjektivna 4 bijektivna 5 izomorfizam Neka su x, i, j, k slobodni vektori i i, j, k jedinični medusobno normalni. Tada je: x i i + x j j + x k k = x x i, x j, x k R 3 3 x i + x j + x k = x x 4 x i i + x j j + x k k R 3 5 x i i + x j j + x k k = x x { } Neka je skup A = i, j i {,,..., m} j {,,..., n}. Tada za matricu M mn nad poljem R važi: M mn : A R M mn : A R 3 M mn : A na R 4 M mn : A na R 5 M mn je linearna Vektori a i b nad poljem R su zavisni ako i samo ako je αa + βb = 0 i: α + β = 0 α 0 β 0 3 α + β = 0 4 α, β 0, 0 5 svaki od α i β jednak nuli. Vektori a i b nad poljem R su nezavisni ako i samo ako αa + βb = 0 implicira: α + β 0 α = 0 β = 0 3 α + β 0 4 α, β = 0, 0 5 bar jedan od α i β različit od nule. Vektri a = a i + a j + a 3 k, b = b i + b j + b 3 k i c = c i + c j + c 3 k su komplanarni ako i samo ako: a a a 3 a a a 3 a a a 3 a rang b b b 3 = b rang b b b 3 c rang b b b 3 3 d c c c 3 c c c 3 c c c 3 8

9 a a a 3 b b b 3 c c c 3 = 0 e a b c = 0f α, β R a = α b + β cg α a + β b + γ c = 0 α + β + γ 0h a, b, c je zavisna. Ako je ABCD paralelogram, S presek dijagonala AC i BD, T težište trougla SCD i ako je AB = a i BC = b, tada je: BT = a + 3b BT = a + 4 5b 3 BT = 3 a + 5 6b 4 BT = a + 3 4b 5 BT = a + 5 6b Ako je x = 5, 4, 3, a =, 0,, b = 0,,, c =,, 0 i x = α a + β b + γ c, tada α, β, γ je: 3,,,3, 3 3,, 4,,3 5,3, 6,-,3 7,,3 8,,3 9,3,3 0,,3 Neka je tačka P presk ravni α : n r = n r Q i prave a : r = r A +t a i n a 0. Tada je: r P = r A + r Q r A n a n a. r P = r Q + r A r Q n a n a. 3 r P = r A + r Q r A a n a n. 4 r P = r A r A r Q n a n a. 5 r P = r A + r Q r A n a n n. Neka su a, b i c zavisni vektori. Tada uredena trojka vektora a + b, a + c, b + c je: uvek zavisna uvek nezavisna 3 zavisna ili nezavisna, tj. zavisi od izbora vektora a, b, c. Neka su a, b i c nezavisni vektori. Tada uredena trojka vektora a + b, a + c, a + b c je: uvek zavisna uvek nezavisna 3 zavisna ili nezavisna, tj. zavisi od izbora vektora a, b, c. Za prave m : x = z 5 i n : x 5 4 = z 5 0 važi: a mimoilazne su m n = m n b paralelne su i različite m n m n c poklapaju se m = n d seku se m n = {M} 3 = y 6 = y+ a b ako i samo ako: a b = 0 a b = 0 3 a b 0 4 a b c = 0 5 a = 0 6 a b = a b. Broj svih linearnih transformacija f : R R za koje važi fxy = fxfy je: a 0 b c d 3 e 4 f 5 Neka su matrice A = [a ij nn i B = [b ij nn nad poljem R. Tada postoji λ R takav da je: ranga = rangb deta = λ detb ranga = rangb deta = λ detb 3 deta = λ detb ranga = rangb 4 deta = λ detb ranga = rangb Linearne transformacije su: ravanske simetrije osne simetije 3 projekcije na ravan 4 projekcije na pravu 5 rotacije 6 translacije 7 kose projekcije 8 fx = x + 9 fx, y = 3x + y 0 fx = x, x Par a, b je kolinearan ako je on par: nenula vektora različitih vektora 3 neparalelnih vektora 4 vektora istoga pravca 5 za koji je a b = 0 6 za koji je a b = 0 7 za koji je a = 0 8 zavisnih vektora. Trojka slobodnih vektora a, b, c je komplanarna ako je ona trojka: nije ekvivalencija! nenula vektora različitih vektora 3 paralelnih vektora 4 vektora istoga pravca 5 za koju je a b c = 0 6 za koju je a b = 0 7 zavisnih vektora. 8 vektora čiji pravci su paralelni istoj ravni. Zaokružiti brojeve ispred podskupova U i R 3 koji su podprostori i brojeve koji su ispred njihovih dimenzija. U = {x, y, z R 3 x = y} U = {x, y, z R 3 x = y} 3 U 3 = {x, y, z R 3 x y = 0} 4 U 4 = {x, y, z R 3 x = y = z}5 U 5 = {x, y, z R 3 x + y + z = 0}dim U je: 6 0, 7, 8 dim U je: 9 0, 0, dim U 4 je: 0, 3, 4 dim U 5 je: 5 0, 6, 7 Neka je a =,, 0, b = 3, 3, 0, c =,, 0, d =,, 0, e = 0, 0,, f =, 0, 0, g =,, 0. Zaokružiti broj koji je dimenzija potprostora V vektorskog prostora R 3 : V = Lb, c, d dimv je:,,3 V = Le, f, g dimv je:,,3 3 V = La, b dimv je:,,3 4 V = Le, f, g dimv je:,,3 5 V = Lb, c, e dimv je:,,3 6 V = La, b, c dimv je:,,3 7 V = La, g dimv je:,,3 Ako je A kvadratna matrica reda 3, tada je: rang A= 3 det A 0, det A = 0 rang A= 0 3 det A=0 rang A, 4 det A=0 rang A= 3 5 rang A=3 det A 0, 6 rang A=3 A. 9

10 Koje od tvrdenja je tačno za bilo koje kvadratne matrice A, B, C reda i svaki skalar λ: ABC = ABC B + CA = BA + CA 3 AB = A B 4 A B = B A 5 detab = detbdeta 6 rangab = rangarangb 7 deta B = deta + detb 8 detλa = λ deta Neka su a = a a a 3, n = n n n 3, x = x x x 3 matrice kolone nad poljem R. Tada je: n xa = an x n ax = xn a 3 n a = a n 4 na = an 5 n xa = n xa 6 a n = 0 a n Napomena: λ R [λ A def = λ A = λ A, za svaku matricu A. KOLOKVIJUM Iza oznake svake od datih relacija u skupu N zaokružiti samo ona slova koja označavaju svojstvo relacije koju ona poseduje: R- refleksivnost S- simetričnost A- antisimetričnost T - tranzitivnost. ρ = {,,, } : R S A T ρ = {,,,,, } : R S A T ρ = {,,,,, 3} : R S A T Neka je f funkcija definisana sa f = a b c a b c a b c a b c c a b. Tada je f =, f f =, f f =. Zaokružiti broj ili brojeve ispred tvrdenja koja su tačna u Bulovoj algebri: a + bc = a + ba + c a + a = a 3 a + a = a 4 a + 0 = = 6 a + = Zaokružiti slova ili slovo ispred struktura koja su grupe: Z, + {, 0, }, 3 N {0}, + 4 C, Koje od navedenih struktura su prsteni: N, +, Z, +, 3 Z \ {}, +, 4 Q, +, 5 C, +, 6 C \ {0}, +, Za kompleksne brojeve z = + i i z = + i izračunati z + z = z z = z z = argz = z = Pri delenju polinoma x 4 + x + sa x + x + nad R, količnik je., a ostatak je Neka su f : R R i g : R R definisane sa fx = x i gx = x + 3. Izračunati: g x = f x = 3 f fx = 4 f gx = 5 g fx = Funkcija f : R R + = 0, definisana sa fx = 3 x je: sirjektivna i nije injektivna 3 injektivna i nije sirjektivna 4 nije injektivna i nije sirjektivna bijektivna Skup svih kompleksnih rešenja jednačine z 3 = 8 u algebarskom obliku je {,, }. Za relaciju poretka ρ = {,,,, 3, 3,, 3} skupa A = {,, 3} navesti najmanji el: minimalne el: najveći el: maksimalne el: U skupu A i definisana je relacija ρ i : A = Z, ρ = {x, y x = y }, A = Z, ρ = {x, y xy = 0}, A 3 = C \ {0}, ρ 3 = {x, y argx = argy}, A 4 - skup slobodnih vektora, ρ 4 = { x, y x y = 0}, A 5 - skup slobodnih vektora, ρ 5 = { x, y x y = 0}, Iza oznake svake od tih relacija zaokružiti samo ona slova koja označavaju svojstvo relacije koju ona poseduje: R- refleksivnost S- simetričnost A- antisimetričnost T - tranzitivnost. ρ : R S A T ρ : R S A T ρ 3 : R S A T ρ 4 : R S A T ρ 5 : R S A T 0

11 Naći minimalne i maksimalne elemente i najveći i najmanji elemenat, ukoliko postoje, u skupovima A = {5, 6,, 5}, B = {,, 3, 6, 9}, C = {,, 3, 4, 5}, D = {, 4, 0, 00}, E = {3 n n N} {6} u odnosu na relaciju poretka deli minimalni maksimalni najveći najmanji A B C D E Neka je {, 3} skup svih korena polinoma fx = x 3 + ax + bx + c, gde su a, b, c R. Tada je a { }. Neka je A najveći podskup od R a B najmanji podskup skupa R za koje je f : A B definisana sa fx = lnx. Tada je A =, f = 0 i B =. Funkcija f : A B je: sirjektivna ali ne injektivna injektivna ali ne sirjektivna 3 niti injektivna niti sirjektivna 4 bijektivna Neka je A = {,, 3, 4} i B = {,, 3}. Odrediti broj elemenata sledećih skupova funkcija ako f označava rastuću funkciju f i f označava neopadajuću funkciju f: {f f : A B} =, {f f : A B} =, {f f : B A f } =, {f f : A na B} =, {f f : B A} =, {f f : A A} =, {f f : A B f } =, {f f : A na A} =. Za koje vrednosti realnih parametara a i b formula fx = ax + bx definiše funkciju f : R R definiše injektivnu funkciju f : R R 3 definiše sirjektivnu funkciju f : R R 4 definiše bijektivnu funkciju f : R R 5 definiše rastuću funkciju f : R R 6 definiše neopadajuću funkciju f : R R U Bulovoj algebri B = B, +,,, 0, važi: x + y = x y xy = x + y 3 xy = y = 4 x = y x = y 5 x = y x = y 6 fx = x f : B na B Implikacija xy = x= važi u: N, R, 3 Q, 4 U Bulovoj algebri Algebarska struktura {, 3, 5, 7}, jeste grupa, gde je operacija množenje po modulu: Zaokružiti podgrupe grupe R \ {0}, : R \ {0}, + 0,, 3, 0, 4 N, 5 Z \ {0}, 6 Q \ {0}, + 7 0,, 8 {, }, Zaokružiti brojeve ispred struktura koje su asocijativni grupoidi sa neutralnim elementom: {k k Z}, PN, 3 {a + ai a R}, + 4 Z, 5 {f f : N N}, Zaokružiti slova ili slovo ispred struktura koje su prsteni. Z, +, Q +, +, 3 Z 3, +, 4 Z 4, +, 5 R[t, +, 6 V, +,, gde je V je skup slobodnih vektora 7 R, +, 8 {3k k Z}, +, 9 Z \ {}, +, 0 C, +, Proveriti koje od sledećih ekvivalencija i implikacija su tačne za svaki kompleksni broj z: π arg z π R ez 0 π arg z π R e z 0 z 0 3 π < arg z < π R ez > 0 4 arg z < 0 I m z 0 5 arg z < 0 I m z 0 Ako je α = arg e iα, tada arg + e iα je: α + π α + π 3 α+π 4 α π 5 { α, α} 6 α

12 Navesti geometrijsku interpretaciju skupova A i i kompleksnih funkcija f i : C C, kao i odgovoriti na pitanje injektivnosti i sirjektivnosti funkcija f i. f z = iz je f z = iz je f 3 z = z+z je A 4 = {z z 4 = } je A 5 = {z z 4 = } je A 6 = {z z 4 = i} je A 7 = {z arg z = arg z} je Zaokružiti brojeve koji su koreni odgovarajućih jednačina: z {0,, e i π 3, e i π 3 } z = z, z {0,, e i π 3, e i π 3 } z 3 = z z {0,, e i π 3, e i π 3 } z 4 = z, z {0,, e i π 3, e i π 3 } z 3 =. Zaokružiti oznaku polja za koje važi da je polinom t 4 + t + svodljiv nad njima. Q R C Z Z 3 Z 5 Ako je p polinom stepena nad poljem R, tada je p: svodljiv nesvodljiv 3 ništa od prethodnog KOLOKVIJUM Vektor normale ravni α : z = x je:, 0,, 0, 3 0,, 0 4, 0, 5,, Koordinate jedne njene tačke su: 6 0, 0, 0 7, 0, 0 8 0,, 0 9 0, 0, 0,, Sistem jednačina ax + ay = a ax ay = a je odreden za: a a 3 a a 4 a 0 neodreden za: 5 a = 6 a = 0 7 a = protivrečan za: 8 a = 9 a = 0 0 a = a = a = Ako je a =,, i b =, 4, 8, tada je: a = b = 3 a b = 4 a b = 5 cos < a b= Ako je: a = 0, 0,, 0,, 0,, 0, 0 b =, 0, 0, 0,, 0 c = 0, 0,, 0,, 0,, 0, 0,,, 3 d =,,,,,, 3, 3, 3, tada su nezavisne u R 3 : a b 3 c 4 d [ 0 [ = [ [ 0 = = = [ det = Format m, n, matrice linearne transformacije hx = 5x, x je 0,,,0,,; fx, y, z = x + y je,,,,,3; 3 gx, y, z = x, z je,3,3,,,; 4 sx, y = x + y je,,,,, Ispod svake matrice zaokružiti broj koji predstavlja njen rang [ [ [ [ Neka je ψ : R 3 V definisana sa ψx, x, x 3 = x i + x j + x 3 k tj. ψ x i, x j, x k = x, gde su R 3, R, +, i V, R, +, vektorski prostori uredenih trojki i slobodnih vektora. Da li je funkcija ψ : R 3 V linearna transformacija injektivna 3 sirjektivna 4 bijektivna 5 izomorfizam

13 Neka su x, i, j, k slobodni vektori i i, j, k jedinični medusobno normalni. Tada je: x i i + x j j + x k k = x x i, x j, x k R 3 3 x i + x j + x k = x x 4 x i i + x j j + x k k R 3 5 x i i + x j j + x k k = x x { } Neka je skup A = i, j i {,,..., m} j {,,..., n}. Tada za matricu M mn nad poljem R važi: M mn : A R M mn : A R 3 M mn : A na R 4 M mn : A na R 5 M mn je linearna Vektori a i b nad poljem R su zavisni ako i samo ako je αa + βb = 0 i: α + β = 0 α 0 β 0 3 α + β = 0 4 α, β 0, 0 5 svaki od α i β jednak nuli. Vektori a i b nad poljem R su nezavisni ako i samo ako αa + βb = 0 implicira: α + β 0 α = 0 β = 0 3 α + β 0 4 α, β = 0, 0 5 bar jedan od α i β različit od nule. Vektri a = a i + a j + a 3 k, b = b i + b j + b 3 k i c = c i + c j + c 3 k su nekomplanarni ako i samo ako: a a a 3 a a a 3 a a a 3 a rang b b b 3 = 3 b rang b b b 3 c rang b b b 3 3 d c c c 3 c c c 3 c c c 3 a a a 3 b b b 3 c c c 3 0 e a b c = 0 f α, β R a = α b + β c g α a + β b + γ c = 0 α + β + γ = 0 h a, b, c je nezavisna. Ako je ABCD paralelogram, S presek dijagonala AC i BD, T težište trougla SAB i ako je AB = a i BC = b, tada je: DT = Ako je x = 5,,, a =, 0,, b = 0,,, c =,, 0, napisati x kao linearnu kombinaciju vektora a, b, c. x = Neka je tačka P presk ravni α : n r = n r Q i prave a : r = r A +t a i n a 0. Tada je: r P = r Q + r A r Q n a n a. r P = r A + r Q r A a n a n. 3 r P = r A r A r Q n a n a. 4 r P = r A r A r Q n a n a. 5 r P = r A + r Q r A n a n n. Neka su a, b i c zavisni vektori. Tada uredena trojka vektora a + b, b + c, a + b + c je: uvek zavisna uvek nezavisna 3 zavisna ili nezavisna, tj. zavisi od izbora vektora a, b, c. Neka su a, b i c nezavisni vektori. Tada uredena trojka vektora a + b c, a + b, a je: uvek zavisna uvek nezavisna 3 zavisna ili nezavisna, tj. zavisi od izbora vektora a, b, c. Za prave m : x = z 5 i n : x 5 6 = y 4 = z 5 0 važi: a mimoilazne su m n = m n b paralelne su i različite m n m n c poklapaju se m = n d seku se m n = {M} 3 = y a b ako i samo ako: a b = 0 a b = 0 3 a b 0 4 a b c = 0 5 a = 0 6 a b = a b. Broj svih linearnih transformacija f : R R za koje važi fxy = fxfy je: a 0 b c d 3 e 4 f 5 Neka su matrice A = [a ij nn i B = [b ij nn nad poljem R. Tada postoji λ R takav da je: ranga = rangb deta = λ detb ranga = rangb deta = λ detb 3 deta = λ detb ranga = rangb 4 deta = λ detb ranga = rangb Linearne transformacije su: ravanske simetrije u odnosu na ravan α 0, 0, 0 kose projekcije 3 translacije 4 osne simetije u odnosu na na osu σ 0, 0, 0 5 projekcije na ravan α 0, 0, 0 6 projekcije na pravu σ 0, 0, 0 7 rotacije sa centrom u 0, 0, 0 8 fx = x fx = x, 0 Par a, b je nekolinearan ako je on par: nije ekvivalencija! nenula vektora neparalelnih vektora 3 vektora istoga pravca 4 za koji je a b 0 5 za koji je a b = 0 6 za koji je a 0 7 zavisnih vektora. Trojka slobodnih vektora a, b, c je nekomplanarna ako je ona trojka: nije ekvivalencija! nenula vektora različitih vektora 3 neparalelnih vektora 4 vektora različitog pravca 5 za koju je a b c 0 6 za koju je a b 0 7 nezavisnih vektora. 8 vektora čiji pravci nisu paralelni istoj ravni. 3

14 Zaokružiti brojeve ispred podskupova U i R 3 koji su podprostori i za one koji jesu napisati njihove dimenzije. U = {x, y, z R 3 x = y x = y} U = {x, y, z R 3 x = y} 3 U 3 = {x, y, z R 3 x 3 = y 3 } 4 U 4 = {x, y, z R 3 x = y = 0} 5 U 5 = {x, y R 3 xy = 0} 6 U 6 = {x, y, z R 3 x + y + z = 0} dim U = dim U = dim U 3 = dim U 4 = dim U 5 = dim U 6 = Neka je a =,, 0, b = 3, 3, 0, c =,, 0, d =,, 0, e = 0, 0,, f =, 0, 0, g =,, 0. V = Lb, c, d dimv = V = La, f, g dimv = 3 V = La dimv = 4 V = L0, 0, 0 dimv = 5 V = La, b dimv = 6 V = Le, f, g dimv = 7 V = Lb, c, e dimv = 8 V = La, b, c dimv = 9 V = La, g dimv = Koje od tvrdenja je tačno ako je A kvadratna matrica reda n: a det A = 0 rang A = 0 b rang A = n det A 0. c rang A = 0 det A = 0, d det A = 0 rang A n, e rang A = n det A 0. Koje od tvrdenja je tačno za bilo koje kvadratne regularne matrice A, B, C reda i svaki skalar λ: ABC = CAB B CA = BA CA 3 AB = ABAB 4 AB = B A 5 A B = AB 6 detab = detbdeta 7 rangab = rangarangb 8 detλa = λ 3 deta Neka su a = a a a 3, n = n n n 3, x = x x x 3 matrice kolone nad poljem R. Tada je: a n = 0 a n na = an 3 n a = a n 4 n xa = an x 5 n ax = xn a 6 n xa = n xa Napomena: λ R [λ A def = λ A = λ A, za svaku matricu A. KOLOKVIJUM Za relaciju poretka ρ = {,,,, 3, 3, 4, 4,,,, 3,, 4,, 4, 3, 4} skupa A = {,, 3, 4} navesti najmanji el: minimalne el: najveći el: maksimalne el: Neka su f : R π, π i g : R R definisane sa fx = arctg x i gx = 3 + x. Izračunati: a f x = b g x = cf g x = d g fx = e g f x =, g = a b c d i h = a b c d. Tada je f g = a b c d Neka su f i g funkcije definisane sa f = a b c d c d a b b a d c d c b a, f = a b c d, g = a b c d, f g = a b c d, g f = a b c d. Zaokružiti broj ili brojeve ispred tvrdenja koja su tačna u Bulovoj algebri: ab + bc + ac + a = a + ba + c a + a = a 3 a + a = 0 4 a 0 = = 6 a + = U grupi Z 5 \ {0}, neutralni element je, a inverzni elementi su: =, 3 =, 4 =, Za kompleksne brojeve z = + i i z = + i 3 izračunati z + z = z z = z z = arg z z = z + z = Pri delenju polinoma x 3 3x + 3x sa x nad R, količnik je. Neka su f : 0, 0, i g : 0, 0, definisane sa fx = +x, a ostatak je i gx = + x. Izračunati: f x = g x = 3 f gx = 4 g fx = 4

15 Zaokružiti slova ili slovo ispred struktura koje su asocijativni i komutativni grupoidi sa neutralnim elementom. Z, {, 0, }, + 3 N, 4 N {0}, + 5 C, + 6 Q, 7 {, 0, }, Zaokružiti broj ili brojeve ispred tvrdenja koja su tačna u svakom polju R, +, : a + bc = a + ba + c R, + je grupa 3 R, je grupa 4 operacija + je distributivna prema 5 ab = 0 a = 0 b = 0 6 a 0 b 0 ab 0 7 a 0 = 0 8 a a = a 9 a + a = 0 Funkcija f :, R + definisana sa fx = + x je: sirjektivna i nije injektivna. injektivna i nije sirjektivna. 3 nije injektivna i nije sirjektivna. 4 bijektivna. 5 Nacrtaj grafik Neka je g :, 0 R, gx = x, inverzna funkcija je g x =, g : A R, A = Neka je funkcija f : R \ {} R definisana sa fx = x+ x. Tada je: a f x = Neka je funkcija f : R \ {0} R \ {0} definisana sa fx = 3 x 3. Tada je: f x =, f fx =, fx + =, f x =. Neka je A najveći podskup od R a B najmanji podskup skupa R za koje je f : A B definisana sa fx = arccosx +. Tada je A =, f = 3π 4, f = π 4 i B =, a f : A B je: a bijektivna b sirjektivna ali ne injektivna g injektivna ali ne sirjektivna d niti injektivna niti sirjektivna A = {,, 3}, B = {x, y, z, u}, f = {, x,, y}, f = {, x,, y3, x}, f 3 = {, u,, y, 3, x}. Svako polje obavezno popuniti sa da ili ne. \ f i je funkcija f i : A B f i : {, } B f i : A B f i : A na B f : A B na f f f 3 Funkcija f : π, π 4, definisana sa fx = cos x je: sirjektivna i nije injektivna injektivna i nije sirjektivna 3 nije injektivna i nije sirjektivna 4 bijektivna Funkcija f : π 4, 3π 4 0, definisana sa fx = sin x je: sirjektivna i nije injektivna injektivna i nije sirjektivna 3 nije injektivna i nije sirjektivna 4 bijektivna Funkcija f : π 6, 5π 4 \ { π } R definisana sa fx = tg x je: sirjektivna i nije injektivna injektivna i nije sirjektivna 3 nije injektivna i nije sirjektivna 4 bijektivna U skupu N = {,,...} date su relacije: ρ = {x, x + x N}, ρ = {x, y x + y > 0, x, y N}, ρ 3 = {x, x x N}, ρ 4 = {x, y x, y N, x > }, ρ 5 = {x, x x N}, ρ 6 = N N. Iza oznake svake od tih relacija zaokružiti samo ona slova koja označavaju svojstvo relacije koju ona poseduje: R- refleksivnost, S- simetričnost, A- antisimetričnost, T- tranzitivnost. ρ : R S A T ρ : R S A T ρ 3 : R S A T ρ 4 : R S A T ρ 5 : R S A T ρ 6 : R S A T Koje od navedenih struktura su polja: R,, + {f k : R R f k x = kx, k R}, +, 3 R \ {0},, + 4 Z, +, 5 Q, +, 6 C,, + 7 C, +, Navesti geometrijsku interpretaciju skupova A, B, C, D, E i kompleksnih funkcija f : C C i g : C C, kao i odgovoriti na pitanje injektivnosti i sirjektivnosti funkcija f i g. fz = z je 5

16 gz = I m z je A = { e iψ B = {z zz = } je C = {z z = z} je ψ R} je D = {z arg z = arg z} je E = { + e iψ ψ R} je Zaokružiti slova ispred tačnih iskaza: a A E b C D c D C d B D e A E Neka su z = + i, z = 3 i i z 3 = i. Izraziti u zavisnosti od z, z i z 3 ugao <z z 3 z = i zatim ga efektivno izračunati <z z 3 z = Da li je ovaj ugao pozitivno orijentisan? DA NE Napisati bar jedan polinom nad poljem racionalnih brojeva Q koji je nesvodljiv i koji je stepena: a b Ako je p svodljiv polinom nad poljem Q, tada skup svih mogućih vrednosti za dgp je Odrediti sve vrednosti parametara a, b Q za koje je polinom px = ax + b svodljiv nad poljem Q: Neka je {} skup svih korena polinoma fx = x 3 + ax + bx + c, gde su a, b, c R. Tada skup svih mogućnosti za a je a { }, skup svih mogućnosti za b je b { } i skup svih mogućnosti za c je c { }. Neka je A = {,, 3, 4, 5} i B = {, }. Odrediti broj elemenata sledećih skupova funkcija ako f označava rastuću funkciju f i f označava neopadajuću funkciju f: {f f : A B} =, {f f : A B} =, {f f : A B f } =, {f f : B na B} =, {f f : B A} =, {f f : A A f } =, {f f : B A f } =, {f f : A na B} =. Ako je f R[x, fe iα = 0 i α R \ {kπ k Z}, tada je: a x e iα fx b x e iα fx c x e i α fx d x x cos α + fx; e x x cos α + fx; f x + x cos α + fx; g x x cos α + α fx Ako je f R[x, fe iα = 0 i α R, tada je: a x e iα fx b x e iα fx c x e i α fx d x x cos α + fx; e x x cos α + fx; f x + x cos α + fx; g x x cos α + α fx KOLOKVIJUM Sistem linearnih jednačina x + y + z = y + z = je kontradiktoran, odreden, 3 puta neodreden, 4 puta neodreden. Neka je p prava čija je jednačina x = y+ = z. Napisati jedan vektor pravca prave p: p =,,, i koordinate jedne tačke prave p:,,. Ako je a =,, 0 i b = 0,,, tada je: a = b = 3 a b = 4 a b = 5 < a b= U vektorskom prostoru svih slobodnih vektora, četvorka vektora a, b, c, d je: uvek nezavisna, uvek zavisna, 3 nekad nezavisna a nekad zavisna, 4 generatorna, 5 nikad baza. U vektorskom prostoru slobodnih vektora, a, b, 0 je: uvek nezavisna, uvek zavisna, 3 nekad nezavisna a nekad zavisna, 4 generatorna, 5 nikad baza. 6

17 Koji od sledećih iskaza implicira linearnu zavisnost slobodnih vektora a i b: a b a b 3 a b 4 a b 5 a = 0 b = 0 6 ništa od predhodno navedenog Koje su od sledećih uredenih n-torki nezavisne u vektorskom prostoru R 3 :, 0, 0, 0,, 0,, 3,, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 3 3, 0, 0 4,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 3, 5, 9 Ispod svake matrice napisati broj koji predstavlja njen rang. 0 0 [ [ [ = [ 3 = [ Matrice linearnih transformacija f : R R, fx, y = x+y, x 3y i g : R 3 R, gx, y, z = x, z su: Neka je ψ : R 3 V definisana sa ψx, x, x 3 = x i + x j + x 3 k tj. ψ x i, x j, x k = x, gde su R 3, R, +, i V, R, +, vektorski prostori uredenih trojki i slobodnih vektora. Da li je funkcija ψ : R 3 V linearna transformacija injektivna 3 sirjektivna 4 bijektivna 5 izomorfizam Neka su x, i, j, k slobodni vektori i i, j, k jedinični medusobno normalni. Tada je: x i i + x j j + x k k = x x i, x j, x k R 3 3 x i + x j + x k = x x 4 x i i + x j j + x k k R 3 5 x i i + x j j + x k k = x x Neka je a, b, c uredena trojka nekolinearnih slobodnih vektora. Tada: trojka a, b, c je uvek linearno nezavisna trojka a, b, c je uvek linearno zavisna 3 postoje takvi vektori a, b, c da je trojka a, b, c nezavisna 4 postoje takvi vektori a, b, c da je trojka a, b, c zavisna U vektorskom prostoru slobodnih vektora, par vektora a, b je: uvek nezavisan, uvek zavisan, 3 nekad nezavisan a nekad zavisan. Izračunati vektor položaja r T Odrediti vrednosti parametara a, b R za koje je sistem x + by = ax ay = b tačke T, projekcije tačke,, na pravu p : x = y = z. r T = a kontradiktoran: b odreden: c puta neodreden: d puta neodreden: Skup svih rešenja sistema linearnih jednačina x + y + z = y + z = je {0, t, t t R}, {0, t, t t R}, 3 {0, t, t t R}, 4 {0, 0,, 0,, 0}, Koja od navedenih tvrdenja su tačna u proizvoljnom vektorskom prostoru V, F, +, : x, y V α F αx + y = αx + αy x V x = x 3 x, y V, x + y = y + x 4 x V α, β F α + βx = αx + βx 5 x V α F y V αy = x 6 x V α F αx = αx 7 x V 0 x = 0 Koji od vektora su karakteristični vektori za matricu [ 4 [? Koje od tvrdenja je tačno ako je kvadratna matrica B dobijena od matrice A elementarnim transformacijama. deta = detb deta 0 detb 0 3 RangA = RangB 4 A B = I 5 A = αb za neki skalar α 6 matrice A i B imaju iste karakteristične korene 7 A B [ 3 [ 7

18 Za proizvoljne kvadratne regularne matrice A, B, C reda n > važi: ABC = ABC AB = BA 3 AB = B A 4 detab = deta + detb Neka je u k-dimenzionalnom vektorskom prostoru V, n-torka vektora a,..., a n nezavisna. Tada je: k < n k n 3 k = n 4 k > n 5 k n 6 ništa od prethodno navedenog Neka je a = 0, 0, 0, b =, 0,, c =, 0,, d =, 0,, e =,,, f =, 0, 0, g =, 0,. Odrediti dimenzije sledećih potprostora V vektorskog prostora R 3 : V = La dimv = V = La, b dimv = 3 V = La, b, c dimv = 4 V = Lb, c, d dimv = 5 V = Lb, c, e dimv = 6 V = Le, f, g dimv = Izraziti vektor x = 4, 4, 4 kao linearnu kombinaciju vektora a =, 0,, b = 0,, i c =,, 0: x = Ako za funkciju f iz vektorskog prostora V u samog sebe važi f0 = 0, tada funkcija f: sigurno jeste linearna transformacija sigurno nije linearna transformacija 3 može a ne mora biti linearna transformacija Ako je f : R 3 R linearna, tada važi: f uvek jeste izomorfizam f uvek nije izomorfizam 3 f uvek jeste injektivna 4 f uvek jeste sirjektivna 5 ništa od prethodno navedenog Ako je f : V W linearna transformacija, tada: f bijekcija V i W su izomorfni 3 fv je potprostor od W 4 dimv dimw 5 dimv dimw Za svaku linearnu transformaciju f : R R i svako x, y R tačno je: f = f0 = 0 3 f0 = 4 fxy = fxfy 5 fxy = x fy 6 f x = x 7 fλv = fλ + fv za svako λ R, v R Za koje vrednosti parametara a, b, c R su navedene funkcije linearne transformacije, i za one koje jesu, naći odgovarajuću matricu i diskutovati njen rang: f : R 3 R, fx, y, z = ax + y b, bx z f : R R, fx, y = ax + bxy + cy f : R R 3, fx, y = ax + b, x + a, c x + y Za prave m : x = z 5 i n : x 5 4 = z 5 0 važi: a mimoilazne su m n = m n b paralelne su i različite m n m n c poklapaju se m = n d seku se m n m n 3 = y 6 = y+ KOLOKVIJUM Za relaciju poretka ρ = {,,,, 3, 3, 4, 4,, } skupa A = {,, 3, 4} navesti najmanji el: minimalne el: najveći el: maksimalne el: Neka su f : R R i g : R R definisane sa fx = + x 3 i gx = 3 x. Izračunati: a f x = b g x = cf g x = d g fx = e g f x = Neka su f i g funkcije definisane sa f = a b c d b c d a i g = a b c d d c a b. Tada je f g = a b c d, f = a b c d, g = a b c d, f g = a b c d, g f = a b c d. Zaokružiti broj ili brojeve ispred tvrdenja koja su tačna u Bulovoj algebri: ab + b + a + a = a + ba + a + a = 0 3 a + a = 4 a 0 = 5 0 = 0 6 a + = 0 Za kompleksne brojeve z = i i z = i 3 izračunati z + z = z z = z z = arg z z = z + z = 8

19 Pri delenju polinoma x 3 3x + 3x sa x + nad R, količnik je., a ostatak je Zaokružiti brojeve ispred bijektivnih funkcija: f : R R, fx = 5x + 7 f : R R, fx = x 3 3 f :, 0 [0,, fx = x 4 f : [0, [0,, fx = x 5 f : R 0,, fx = e x 6 f : π, π 0,, fx = sin x Zaokružiti slova ili slovo ispred struktura koje su asocijativni i komutativni grupoidi sa neutralnim elementom. Z, {, 0, }, + 3 N, 4 N {0}, + 5 C, + 6 Q, 7 {, 0, }, U grupi Z 7 \ {0}, neutralni element je, dok je: =, 3 =, 4 =, 5 =, 6 = Zaokružiti broj ili brojeve ispred tvrdenja koja su tačna u svakom polju R, +, : ab+c = ab+ac R, + je grupa 3 R, je asocijativni grpoid 4 operacija je distributivna prema + 5 ab = 0 a = 0 b = 0 6 a 0 b 0 ab = 0 7 a 0 = 0 8 a a = a Funkcija f :, [, definisana sa fx = x je: sirjektivna i nije injektivna. injektivna i nije sirjektivna. 3 nije injektivna i nije sirjektivna. 4 bijektivna. 5 Nacrtaj grafik Neka je g :, 0 R, gx = x, inverzna funkcija je g x =, g : A R, A = Neka je funkcija f : R \ {} R definisana sa fx = x x. Tada je: a f x = Neka je funkcija f : R \ {0} R \ {0} definisana sa fx = x. Tada je: f x =, f fx =, fx + =, f x =. Neka je A najveći podskup od R a B najmanji podskup skupa R za koje je f : A B definisana sa fx = lnx +. Tada je A =, f =, f = 0 i B =, a f : A B je: a bijektivna b sirjektivna ali ne injektivna g injektivna ali ne sirjektivna d niti injektivna niti sirjektivna A = {,, 3}, B = {x, y, z, u}, f = {, x,, y}, f = {, x,, y3, x}, f 3 = {, u,, y, 3, x}, gde su x, y, z, u medusobno različiti elementi. Svako polje obavezno popuniti sa da ili ne. \ f i je funkcija f i : A B f i : {, } B f i : A B f i : A na B f : A B na f f f 3 Funkcija f : π, π 4 0, definisana sa fx = sin x je: sirjektivna i nije injektivna injektivna i nije sirjektivna 3 nije injektivna i nije sirjektivna 4 bijektivna Funkcija f : π 4, 3π 4, definisana sa fx = cos x je: sirjektivna i nije injektivna injektivna i nije sirjektivna 3 nije injektivna i nije sirjektivna 4 bijektivna Funkcija f : π 6, 4π 3 \ { π } R definisana sa fx = tg x je: sirjektivna i nije injektivna injektivna i nije sirjektivna 3 nije injektivna i nije sirjektivna 4 bijektivna U skupu Z = {...,,, 0,,,...} date su relacije: ρ = {x, x + x Z}, ρ = {x, y x + y > 0, x, y Z}, ρ 3 = {x, x x Z}, ρ 4 = {x, y x, y Z, x > }, ρ 5 = {x, x x Z}, ρ 6 = N Z. Iza oznake svake od tih relacija zaokružiti samo ona slova koja označavaju svojstvo relacije koju ona poseduje: R- refleksivnost, S- simetričnost, A- antisimetričnost, T- tranzitivnost. ρ : R S A T ρ : R S A T ρ 3 : R S A T ρ 4 : R S A T ρ 5 : R S A T ρ 6 : R S A T 9

20 Koje od navedenih struktura su polja: R,, + {f k : R R f k x = kx, k R}, +, 3 R \ {0},, + 4 Z, +, 5 Q, +, 6 C,, + 7 C, +, Navesti geometrijsku interpretaciju skupova A, B, C, D, E i kompleksnih funkcija f : C C i g : C C, kao i odgovoriti na pitanje injektivnosti i sirjektivnosti funkcija f i g. fz = ze iφ gz = z je A = { e iψ je B = {z zz = 4} je ψ R} je C = {z z = z} je D = {z arg z = arg z} je E = { + e iψ ψ R} je Zaokružiti slova ispred tačnih iskaza: a A E b C D c D C d B D e A E Neka su z = + i, z = i z 3 =. Izraziti u zavisnosti od z, z i z 3 ugao <z z 3 z = i zatim ga efektivno izračunati <z z 3 z = Da li je ovaj ugao pozitivno orijentisan? DA NE Napisati bar jedan polinom nad poljem racionalnih brojeva Q koji je nesvodljivnad poljem Q i koji je stepena: a 3 b Ako je p svodljiv polinom nad poljem Q, tada skup svih mogućih vrednosti za dgp je Odrediti sve vrednosti parametara a, b Q za koje je polinom px = ax + b svodljiv nad poljem Q: Neka je {,, 3} skup svih korena polinoma fx = x 3 + ax + bx + c, gde su a, b, c R. Tada skup svih mogućnosti za a je a { }, skup svih mogućnosti za b je b { } i skup svih mogućnosti za c je c { }. Neka je A = {, } i B = {,, 3}. Odrediti broj elemenata sledećih skupova funkcija ako f označava rastuću funkciju f i f označava neopadajuću funkciju f: {f f : A B} =, {f f : A B} =, {f f : A B f } =, {f f : B na B} =, {f f : B A} =, {f f : A A f } =, {f f : B A f } =, {f f : A na B} =. Ako je f R[x, fe iα = 0 i α R \ {kπ k Z}, tada: a x e iα fx b x e iα fx c x e i α fx d x x cos α + fx; e x x cos α + fx; f x + x cos α + fx; g x x cos α + α fx Ako je f R[x, fe i π 3 = 0, tada: a x e i π 3 fx b x e i π 3 fx c x e i π 3 fx d x x + fx; e x x + fx; f x + x + fx; g x + x + fx KOLOKVIJUM y + z = Sistem linearnih jednačina y + z = je kontradiktoran, odreden, 3 puta neodreden, 4 puta neodreden. Neka je α ravan čija je jednačina x + y =. Napisati jedan vektor normale ravni α: n α =,, i koordinate jedne tačke ravni α:,,. Ako je a =,, i b =,,, tada je: a = b = 3 a b = 4 a b = 5 < a b= 0

21 U vektorskom prostoru svih slobodnih vektora, trojka vektora a, b, c je: uvek nezavisna, uvek zavisna, 3 nekad nezavisna a nekad zavisna, 4 generatorna, 5 nikad baza. U vektorskom prostoru slobodnih vektora, a, b, 0 je: uvek nezavisna, uvek zavisna, 3 nekad nezavisna a nekad zavisna, 4 generatorna, 5 nikad baza. Koji od sledećih iskaza implicira linearnu nezavisnost slobodnih vektora a i b: a b a b 3 a b 4 a b 5 a = 0 b = 0 6 ništa od predhodno navedenog Koje su od sledećih uredenih n-torki generatorne u vektorskom prostoru R 3 :, 0, 0, 0,, 0,, 3,, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 3 3, 0, 0 4,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 3, 5, 9 Ispod svake matrice napisati broj koji predstavlja njen rang [ 3 3 [ [ [ 0 0 = = 0 0 = [ 3 [ [ = Matrice linearnih transformacija f : R R, fx, y = x, x i g : R 3 R, gx, y, z = x, x su: Neka je ψ : R 3 V definisana sa ψx, x, x 3 = x i+x j +x j, gde su R 3, R, +, i V, R, +, vektorski prostori svih uredenih trojki i svih slobodnih vektora. Da li je funkcija ψ : R 3 V uvek linearna transformacija injektivna 3 sirjektivna 4 bijektivna 5 izomorfizam Neka su x, i, j, k slobodni vektori i i, j, k jedinični medusobno normalni. Tada je: x i i + x j j + x k k = x x i, x j, x k R 3 3 x i + x j + x k = x x 4 x i i + x j j + x k k R 3 5 x i i + x j j + x k k = x x Neka je a, b, c uredena trojka komplanarih slobodnih vektora. Tada: trojka a, b, c je uvek linearno nezavisna trojka a, b, c je uvek linearno zavisna 3 postoje takvi vektori a, b, c da je trojka a, b, c nezavisna 4 postoje takvi vektori a, b, c da je trojka a, b, c generatorna U vektorskom prostoru svih slobodnih vektora, par vektora a, b je: nekad generatoran, uvek nezavisan, 3 uvek zavisan, 4 nekad nezavisan a nekad zavisan. 5 nikad generatoran, 6 nikad baza. Izračunati vektor položaja r T tačke T, projekcije tačke A,, na ravan α : x =. r T = Odrediti vrednosti parametara a, b R za koje je sistem ax + y = ax ay = b a kontradiktoran: b odreden: c puta neodreden: d puta neodreden: Skup svih rešenja sistema linearnih jednačina x y = y z = je {+t, t, t t R}, { t+3, t, t t R}, 3 {, 0,,,, 0}, 4 {t+, +t, t t R}, Koja od navedenih tvrdenja su tačna u bar jednom vektorskom prostoru V, F, +, : x, y V α F αx + y = αx + αy x V x = x 3 x, y V, x + y = y + x 4 x V α, β F α + βx = αx + βx 5 x V α F y V αy = x 6 x V α F αx = αx 7 x V 0 x = 0

22 [ Koji od vektora su karakteristični vektori za matricu 4 [? [ 3 [ Koje od tvrdenja je tačno ako je kvadratna matrica B dobijena od matrice A elementarnim transformacijama. deta = detb deta 0 detb 0 3 RangA = RangB 4 A B = I 5 A = αb za neki skalar α 6 matrice A i B imaju iste karakteristične korene 7 A B Za proizvoljne kvadratne regularne matrice A, B, C reda n > važi: A B C 3 = A B C 3 AB = BA 3 A B = B A 4 deta 3 B = deta 3 detb Neka je u k-dimenzionalnom vektorskom prostoru V, n-torka vektora a,..., a n generatorna. Tada je: k < n k n 3 k = n 4 k > n 5 k n 6 ništa od prethodno navedenog Neka je a = 0, 0, 0, b =, 0,, c =, 0,, d =, 0,, e =,,, f =, 0, 0, g =, 0,. Odrediti dimenzije sledećih potprostora V vektorskog prostora R 3 : V = La dimv = V = La, b dimv = 3 V = La, b, c dimv = 4 V = Lb, c, d dimv = 5 V = Lb, c, e dimv = 6 V = Le, f, g dimv = Izraziti vektor x = 0, 0, kao linearnu kombinaciju vektora a =, 0,, b = 0,, i c =,, 0: x = Ako za funkciju f iz vektorskog prostora V u samog sebe važi f0 = 0, tada funkcija f: sigurno jeste linearna transformacija sigurno nije linearna transformacija 3 može a ne mora biti linearna transformacija Ako je f : V W bijektivna linearna transformacija, tada: f bijekcija V i W su izomorfni 3 fv je potprostor od W 4 dimv dimw 5 dimv dimw Za svaku injektivnu linearnu transformaciju f : R R i svako x, y R tačno je: f = f0 = 0 3 f0 = 4 fxy = fxfy 5 fxy = x fy 6 f x = x 7 fλv = fλ + fv za svako λ R, v R Za koje vrednosti parametara a, b, c R su navedene funkcije linearne transformacije, i za one koje jesu, naći odgovarajuću matricu i diskutovati njen rang: f : R 3 R, fx, y, z = a 3 x + y b, bx z f : R R, fx, y = ax + bxy + cy 3 f : R R 3, fx, y = ax + b, x + a, c + y Za prave m : x = z 5 i n : x 4 4 = z 4 važi: a mimoilazne su m n = m n b paralelne su i različite m n m n c poklapaju se m = n d seku se m n = {M} 3 = y 6 = y+ KOLOKVIJUM Za relaciju poretka ρ = {,,,, 3, 3,,,, 3} skupa A = {,, 3} navesti najmanji el: minimalne el: najveći el: maksimalne el: Neka su f : R R i g : R R + definisane sa fx = x 5 i gx = e x. Izračunati: a f x = b g x = cf g x = d g fx = e g f x = Neka su f i g funkcije definisane sa f = a b c d a b d c i g = a b c d b a c d. Tada je f g = a b c d, f = a b c d, g = a b c d, f g = a b c d, g f = a b c d.

23 Zaokružiti broj ili brojeve ispred tvrdenja koja su tačna u Bulovoj algebri: ab + a + a = a + ba + a + a = 0 3 a a = 4 a 0 = 5 0 = 0 6 a + = 0 Za kompleksne brojeve z = i 3 i z = + i izračunati z z = z z = z z = arg z z = z z = Pri delenju polinoma x 3 + x + x + sa x + nad R, količnik je. Zaokružiti brojeve ispred bijektivnih funkcija:, a ostatak je f : R R, fx = 3x 7 f : R R, fx = x 3 3 f :, 0, 0, fx = x 4 f : [0, [0,, fx = x 5 f : R + 0,, fx = e x 6 f : π, π 0,, fx = cos x Zaokružiti slova ili slovo ispred struktura koje su komutativne grupe. Z, {}, 3 N, 4 N {0}, + 5 { 0}, + 6 {0}, + 7 {, 0, }, U grupi {, 3, 5, 7},, gde je množenje pomodulu 8, neutralni je, 3 =, 5 =, 7 = Zaokružiti broj ili brojeve ispred tvrdenja koja su tačna u svakom komutativnom prstenu R, +, : ab+c = ab+ac R, + je grupa 3 R, je asocijativni grpoid 4 operacija je distributivna prema + 5 ab = 0 a = 0 b = 0 6 a 0 b 0 ab = 0 7 a 0 = 0 8 a a = a Funkcija f :, 6 [, definisana sa fx = x je: sirjektivna i nije injektivna. injektivna i nije sirjektivna. 3 nije injektivna i nije sirjektivna. 4 bijektivna. 5 Nacrtaj grafik Neka je g : 0, R, gx = x, inverzna funkcija je g x =, g : A R, A = Neka je funkcija f : R \ {} R definisana sa fx = x x. Tada je: a f x = Neka je funkcija f : R \ {0} R \ {0} definisana sa fx = x 3. Tada je: f x =, f fx =, fx + =, f x =. Neka je A najveći podskup od R a B najmanji podskup skupa R za koje je f : A B definisana sa fx = arctgx +. Tada je A =, f = π 4, f = π 4 i B =, a f : A B je: a bijektivna b sirjektivna ali ne injektivna g injektivna ali ne sirjektivna d niti injektivna niti sirjektivna f = {x, x + x N}, f = {x, x x N}, f 3 = {,,,, 3, 3}, f 4 = {x +, x x N}. Svako polje obavezno popuniti sa da ili ne. \ f i je funkcija f i : N N f i : N \ {} N f i : N N f i : N na N f i : N N f f f 3 f 4 \ f i : N N f i : N \ {} N f i : N \ {} N f 4 f i : N \ {} na N f i : N \ {} na N Funkcija f : π, 3π 4 0, definisana sa fx = sin x je: sirjektivna i nije injektivna injektivna i nije sirjektivna 3 nije injektivna i nije sirjektivna 4 bijektivna Funkcija f : [ π 4, 3π 4, definisana sa fx = cos x je: sirjektivna i nije injektivna injektivna i nije sirjektivna 3 nije injektivna i nije sirjektivna 4 bijektivna na 3

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.

x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4. Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Linearne algebre (2003/4)

Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, 2004 1 Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

1 Matematička logika. 1.1 Iskazni račun

1 Matematička logika. 1.1 Iskazni račun 1 Matematička logika 1.1 Iskazni račun Iskaz je suvisla rečenica za koju se može utvrditi da li je tačna ili netačna. Iskaze obeležavamo slovima p, q,... Vrednost iskaza v(p) {, }, redom tačno i netačno.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a: Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

x n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...

x n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve... 1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija 18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU PMF UNS x 2 + y j. Pokazati da je krivolinijski integral

PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU PMF UNS x 2 + y j. Pokazati da je krivolinijski integral PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I 7.10.2015. ODJ Neka je u C 2 ([α, β]), u(α) = u(β) = 1 2015 Pokazati da je u(t) 0 za sve t [α, β]. Lu = au + b(t)u + c(t)u rešenje jednačine

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović

SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA Maja i Ljubo Nedović 27. oktobar 2014 Sadržaj 1 Logika, skupovi i relacije 7 2 Funkcije 2 Kombinatorika

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Uvod i vektorski prostori

Uvod i vektorski prostori ЛИНЕАРНА АЛГЕБРА припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.

Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer. UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.

Διαβάστε περισσότερα