SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS

Transcript

1 SISTEMS DE ECUCIÓNS LINEIS Ídice Ecuciós lieis Sistems de ecuciós lieis: otciós Sistems equivletes Clsificció dos sistems lieis Discusió e solució de sistems po Guss Resolució dlgús sistems 7 Método d mti ives 7 Reg de Cme Discusió de sistems: teoem de Rouché Foeius Sistems homoéeos Sistems co pámetos Polems que se esolve fomuldo sistems de ecuciós lieis 7 Sistems mticiis Ecuciós lieis Uh ecució liel co icógits, é uh epesió d fom: ode os i so úmeos eis chmdos coeficietes, que multiplic os i, que so s icógits, co i,,,, e o úmeo el é o temo idepedete Chámse solució duh ecució liel á upl (α, α,, α ) de úmeos eis que o sustituílos s icógits d ecució covete uh iguldde uméic veddei Eemplos: s ecuciós + e + so lieis, peo s ecuciós + e e + 7 o so lieis te (,, ) é solució d ecució liel + posto que + ( ) ; peo, te (,, ) o é solució d ecució liel que + ( ) Sistems de ecuciós lieis: otciós U sistem liel de m ecuciós co icógits é u couto fomdo po m ecuciós lieis co icógits U sistem liel de m ecuciós co icógits escíese d fom:

2 m m m ode os úmeos eis ij so os chmdos coeficietes do sistem, os i os temos idepedetes e os j s icógits do sistem Chámse soluciós do sistem ás upl (α, α,, α ) de úmeos eis que sustituídos s icógits ds ecuciós do sistem s covete tods e idetiddes uméics veddeis Discuti u sistem é detemi o úmeo de soluciós que posúe: uh solució, vis soluciós ou se cece dels Resolve u sistem é top sú solució ou soluciós m Epesió mticil du sistem de ecuciós lieis s mtices d posiilidde de epes u sistem e fom mticil como se idic cotiució: m m m m ode pece mti dos coeficietes do sistem que se desig po, multiplicd pol mti ds icógits X, e o esultdo é mti dos temos idepedetes B iguldde teio simolíse sí: X B demis ds mtices meciods o estudo dos sistems lieis utilise mti mplid do sistem, que esult de geg á mti dos coeficietes uh últim colum fomd polos temos idepedetes: m m m m Tods s mtices tes meciods fomá s mtices socids o sistem oecto de estudo s popieddes ds mtices socids o sistem pemitiá coñece o sistem te o que os topmos, como se veá o logo do desevolvemeto dest quice Epesió vectoil du sistem de ecuciós lieis Os sistems pódese epes chmd fom vectoil como comició liel ds colums d mti dos coeficietes, p ote colum dos temos idepedetes sí: ( i ) + ( i ) + + ( i ) i, co i,,, m

3 Eemplos: Ddo o sistem, epeslo e fom mticil e vectoil 7 Fom mticil: 7 Fom vectoil: Ddo o sistem ecuciós lieis, epeslo medite u couto de P epeslo medite ecuciós, elíse o poduto d mti dos coeficietes pol mti ds icógits, e cotiució idetifícse mti poduto co mti dos temos idepedetes Sistems equivletes Os sistems e teñe po solució úic (, ); dise que so equivletes E el, sistems equivletes so queles que tedo o mesmo úmeo de icógits (o úmeo de ecuciós pode se distito) teñe mesm solució s seguites tsfomciós elids soe u sistem d lug sistems equivletes ) Cmi ode ds ecuciós 9 Po eemplo, os sistems e 9 po solució e so equivletes, mos teñe ) Multiplic ou dividi os dous memos duh ecució po u úmeo distito de ceo ( ) Po eemplo, os sistems e co λ so equivletes 9 9 c) Sustituí uh ecució pol sum dest co outs ecuciós multiplicds po úmeos distitos de ceo Po eemplo, os sistems e so 9 ( ) ( ) 9 equivletes

4 Opése segud ecució do segudo sistem e otese sistem máis sielo que o pimeio ; que é u 7 d) Supimi uh ds ecuciós do sistem que se comició liel douts ecuciós do sistem Po eemplo, os sistems 9 e so equivletes O segudo 9 sistem esult de supimi tecei ecució do pimeio, que é sum ds outs dús Clsificció dos sistems lieis Os sistems de ecuciós lieis tededo os temos idepedetes chámse: Homoéeos: cdo os temos idepedetes i so todos ulos No homoéeos: se lgú dos temos idepedetes i é distito de ceo Segudo s soluciós os sistems pode se: Icomptiles: se o teñe solució Comptiles: se teñe solució Detemidos: se uicmete teñe uh solució Idetemidos: se teñe ifiits soluciós Discusió e solució de sistems po Guss O cuso psdo viuse o método de Guss sedo o método de edució p tt de esolve sistems de ecuciós lieis O método cosiste e plic de fom decud s tsfomciós ), ), c) e d) u sistem de ptid, p ote outo equivlete gdudo sielo de clsific e esolve se te solució U sistem gdudo de m ecuciós co icógits te fom: m Os eemplos seguites clá os psos segui p tsfom sistems e sistems gdudos equivletes, pti dos que se estudá e esolveá o seu cso os sistems de ptid m m Eemplos: Tsfom o sistem e gdudo Sustitúese segud ecució pol sum dest meos o doe d pimei e esult o sistem 7 7

5 Tsfom o sistem clsificlo e, o seu cso, esolvelo u sistem equivlete gdudo, Réstse á segud ecució pimei multiplicd po dous e éstse á tecei ecució pimei multiplicd po cico ªE ªE ªE ªE Súmse á tecei ecució segud multiplicd po cto Otese dest fom u sistem equivlete o de ptid tecei ecució te solució e pemite fim que o sistem é comptile detemido, + +,, solució epésse sí: (,, ) (,, ) O ome poposto ás viles do sistem o é fudmetl p sú discusió e solució e cso de tel, pódese pescidi do ome ds viles do sistem e tll co sú mti mplid Soe est mti plícse de fom decud s tsfomciós elemetis estudds p s mtices, t ote uh mti gdud que seá mti mplid do sistem gdudo equivlete o ddo No eemplo teio pátese d sú mti mplid como segue: ªF ªF ªF ªF ªE + ªE ªF + ªF, p tll Est mti é mti mplid do sistem gdudo seguite equivlete o de ptid:

6 Empése esolvedo últim ecució, cotiució peúltim, t cheg á pimei: Tecei ecució: Segud ecució:, + + Pimei ecució:,, solució (,, ) (,, ), coicide co clculd teiomete Discusió du sistem polo método de Guss Se u sistem de m ecuciós co icógits: ) Se o educilo á fom gdud pece lguh ecució do tipo co, o sistem é icomptile, o te solució ) Se o sucede o teio o sistem é comptile, te solució Se o úmeo de ecuciós o tiviis (elimids s d fom i, se s houese) uh ve escito e fom gdud Se o sistem te solució úic Sistem comptile detemido Se < o sistem te ifiits soluciós Sistem comptile idetemido Sistems homoéeos U sistem é homoéeo se todos os temos idepedetes so ceo Po eemplo, o sistem é homoéeo Os sistems homoéeos teñe pticulidde de que todos so comptiles, polo meos teñe solució,,,, chmd solució impopi ou tivil o discuti u sistem homoéeo polo método de Guss, se o sistem gdudo equivlete é o úmeo de ecuciós o tiviis, pode ocoe: Que se, este cso o sistem te solució úic Sistem comptile detemido Ou e, que se <, o sistem te ifiits soluciós Sistem comptile idetemido Eemplo: Tsfom o sistem homoéeo gdudo, clsificlo e, o seu cso, esolvelo u sistem equivlete Pátese d mti socid o sistem e opése p cosegui uh mti gdud:

7 7 Est é mti mplid socid o sistem gdudo: Como o úmeo de ecuciós o tiviis é dous, meo que o úmeo de icógits, o sistem é comptile idetemido D segud ecució, p evit que s soluciós se epese como fcciós epésse como poduto de polo pámeto λ, isto é: λ, + + λ + λ λ λ λ, λ, + + λ λ λ solució do sistem é: (,, ) (λ, λ, λ) Resolució dlgús sistems Se o sistem liel de ecuciós co icógits: E fom mticil: mti dos coeficietes destes sistems é cdd; se o seu detemite é distito de ceo (mti egul), os sistems so comptiles e detemidos como se veá o suptdo seguite sú solució clculse polo método d mti ives e pol eg de Cme Método d mti ives epesió esumid do sistem teio é ecució mticil X B Se mti é egul te ives úic, o sistem é comptile detemido e solució do sistem é: X B ªF ªF ªF + ªF ªF + ªF

8 Eemplo: Resolve o sistem de ecuciós medite o método d mti ives Sistem e fom mticil: Compóse que mti dos coeficietes te ives, p o que se clcul o seu detemite: O detemite d mti é distito de ceo, clcúlse sú mti ives p despe X epesió X B: X B P ch mti ives d mti clcúlse mti dut: +,, +, +, +,, + Polo tto, mti dut de seá: d() mti ives seá: (d()) t Sustitúese estes vloes epesió X B desevolvid: solució do sistem seá:,, Reg de Cme Ddo o sistem de ecuciós co icógits X B cos codiciós imposts á mti o ptdo teio, solució do sistem é: X B Se se te e cot que o cálculo d mti ives po detemites é (d()) t, sustitúese este vlo epesió teio e qued:

9 X t (d()) Desevólvese p o cso du sistem de tes ecuciós co tes icógits e se ped de eelidde qued: Iguálse os elemetos ds mtices: ; B ; Osévse que o deomido de tods s icógits é o detemite d mti dos coeficietes, O umedo de cd icógit é sum dos podutos dos temos idepedetes do sistem multiplicdos polos dutos ds colums pimei, segud e tecei espectivmete d mti, polo que o vlo ds icógits pódese simoli medite os cocietes dos detemites seguites:,,, s epesiós teioes coñécese co ome de eg de Cme, e di: O vlo de cd icógit du sistem de igul úmeo ecuciós co icógits, e mti dos coeficietes egul, é o cociete de dous detemites, o umedo é o detemite que coespode á mti que esult de sustituí mti colum dos coeficietes d icógit desped polos temos idepedetes, e o deomido é o detemite de estes sistems chámselles sistems de Cme Eemplo: Compo que o sistem é de Cme e esolvelo O sistem te tes ecuciós e tes icógits; vése o vlo do detemite d mti dos coeficietes: + + O sistem poposto é de Cme Resólvese: 9

10 ,, solució é: (,, ) (,, ) Discusió de sistems: teoem de Rouché Foeius Se o sistem X B de m ecuciós e icógits, ode é mti dos coeficietes e mti mplid cos temos idepedetes Teoem de Rouché Foeius: codició ecesi e suficiete p que u sistem de m ecuciós co icógits teñ solució é que o go d mti dos coeficietes,, coicid co go d mti mplid, Demostció: Epésse s mtices, dos coeficietes e mplid, d seguite fom: m m m m Vése que se o sistem te solució etó go() go( ) Escíese o sistem e fom vectoil: m + m + + m + m Como o sistem te solució, eiste úmeos eis s, s,, s que cumpe iguldde teio, polo tto colum dos temos idepedetes d mti é comició liel ds sús pimeis colums, p o cálculo do seu go supímese e qued mti, isto é: go() go( ) Vése o ecípoco: se go( ) go( ) co e m, isto sigific que eiste u meo de ode distito de ceo; supose se ped de eelidde que é o fomdo pols pimeis fils e s pimeis colums Neste suposto s m últims ecuciós so comició liel ds pimeis e o sistem de ptid seá equivlete o seguite:

11 Ás pimeis icógits chmáselles icógits picipis e ás m últims icógits secudis ou pámetos, tsládse os segudos memos ds ecuciós e qued: Este sistem te ecuciós e icógits picipis,,, dmite solució úic p cd vlo uméico que se lle sige os pámetos +, +,,, posto que o detemite d mti dos coeficietes ds icógits picipis é distito de ceo Dito dout fom, estse te u sistem de Cme de ecuciós p cd vlo que se fie os pámetos O teoem teio pemite discuti u sistem polo método dos gos como segue: ) U sistem liel é comptile se go() go( ), pódese peset dús situciós Se, tods s icógits so picipis e o sistem é comptile detemido Se <, etó icógits covétese e pámetos e o sistem é comptile idetemido ) U sistem liel é icomptile se go() go( ) Eemplo: Discuti e, se é posile, esolve os sistems: 7 ), ) 7, c) 7 9 ) Fómse mti dos coeficietes e mplid: Clcúlse os gos ds mtices e mti mplid é de ode cto, o seu go é meo ou igul cto, clcúlse o seu detemite p ve se go é cto O go d mti mplid,, é meo que cto, polo tto meo ou igul tes Fómse meoes de ode dús

12 O meo de ode dús ds dús mtices: O go ds dús mtices é mio ou igul dous Fómse meoes de ode tes ds dús mtices: O go ds dús mtices é tes, coicide co úmeo de icógits O sistem é comptile detemido Elíese como ecuciós picipis s tes pimeis que fom s fils do meo de ode tes distito de ceo plícse eg de Cme o sistem teio:,, solució é: (,, ) (,, ) ) Fómse mti dos coeficietes e mplid: 7 7 O máimo go ds dús mtices é tes; clcúlse os seus gos Comedo polo d mti Meo de ode dús d mti : 7 9 go() Meo de ode tes d mti : 7 go() Estudo d mti mplid O seu go é mio ou igul dous, o meo de ode dús teio é tmé d mti Meo de ode tes d mti : 7 7 go( ) Cúmpese go() go( ) < O sistem é comptile idetemido Elíese como ecuciós picipis s dús pimeis que fom s fils do meo de ode dús distito de ceo

13 7 s icógits picipis seá e cuos coeficietes fom s colums do meo de ode dús distito de ceo 7 plícse eg de Cme o sistem teio: , 9 Se se fi λ, solució epésse sí: (,, ) c) Fómse mti dos coeficietes e mplid: 7 9 9,, O máimo go ds dús mtices é tes; clcúlse os seus gos Comedo polo d mti Meo de ode dús d mti : Meo de ode tes d mti : 7 go() 7 9 go() 9 Estudo d mti mplid O seu go é mio ou igul dous, o meo de ode dús teio é tmé d mti Meo de ode tes d mti : go( ) Cúmpese go() go( ) O sistem é icomptile + Sistems homoéeos Lémse que u sistem homoéeo todos os temos idepedetes so ceo Estes sistems so sempe comptiles, posto que p detemi o go d mti mplid,, supímese colum de ceos dos temos idepedetes e qued mti dos coeficietes, ; polo tto, sempe go() go ( ) Pódese peset do csos: O go ds mtices e é igul úmeo de icógits; o sistem é comptile detemido; dmite como solució úic tivil (,,, ) O go ds dús mtices e é meo que o úmeo de icógits; o sistem é comptile idetemido; te ifiits soluciós

14 Eemplo: t Discuti e esolve o seu cso o sistem seguite: t O sistem é homoéeo; clcúlse o go d mti dos coeficietes, posto que o seu go coicide co d mplid ode de é, o go() O meo de ode dús de, go() O sistem é comptile detemido ipmético s icógits picipis seá e, os seus coeficietes fom s colums do meo de ode dús distito de ceo t t Resólvese po edució, súmse s dús ecuciós t e sustitúese pimei: + t t t Se se fi λ e t μ, solució epésse sí: (,,, t) (λ μ, λ μ, λ, μ) Sistems co pámetos Se u sistem lgús dos coeficietes ds icógits ou temos idepedetes epésse medite viles, estse te u sistem co pámetos Como os pámetos pode tom vloes eis clque, estse e elidde te o estudo de ifiitos sistems Po eemplo, o sistem Osévse que te u pámeto, ; p cd vlo que se lle sige otese u sistem distito Nestes csos tátse de estud comptiilidde ou o de cd u dos sistems que se oté o sustituí o pámeto po u vlo uméico Eemplo: Discuti o seguite sistem p os distitos vloes de e esolvelo cdo se posile: Fómse mti dos coeficietes e mplid: Clcúlse os vloes do pámeto que ul o detemite d mti dos coeficietes do sistem

15 Pimeio cso: go() go ( ) Sistem comptile detemido plícse eg de Cme e otese solució e fució do pámeto ( + )( ) solució epésse sí: (,, ),, Segudo cso: P, fómse o sistem: pimei e tecei ecució o se pode cumpi simultemete p igú vlo ds viles O sistem é icomptile Pódese plic edució: est á pimei ecució tecei, e esolt dá ; como iguldde é fls, chégse á coclusió teio Polems que se esolve fomuldo sistems de ecuciós lieis ligue léic é, como se se, uh potete femet p esolve polems Neste ptdo ttse esolució de polems que pecis dos sistems lieis estuddos est quice Lémse que p esolve u polem medite ále déese segui os psos seguites: Lectu compesiv do polem: Requie fcese cgo d situció que o polem epó medite lectu compesiv

16 Elecció ds icógits: Uh ds cuestiós que dee qued cls d lectu so os vloes que o polem solicit; devditos vloes seá s icógits do polem Elii o míimo úmeo de icógits, tedo e cot que lgús dos vloes solicitdos doit te elciós siels Fomulció: Cosiste e tduci o eucido escito u sistem de ecuciós P iso tese e cot s elciós ete s icógits eliids que o eucido do polem idic Resolució: Pso o que se esolve o sistem eposto Discusió: Compóse que solució otid o esolve o sistem cumpe s ecuciós do mesmo, e que so válids p s codiciós imposts o eucido Eemplo: Uh multiciol de seguos te delegciós e Mdid, Bcelo e Vleci O úmeo totl de ltos eecutivos ds tes delegciós scede P que o úmeo de ltos eecutivos d delegció de Bcelo fose igul o de Mdid teí que tsldse de Mdid Bcelo demis, o úmeo dos de Mdid ecede u á sum dos destidos s outs dús ciddes Ctos ltos eecutivos está destidos e cd cidde? Se,, os ltos eecutivos de Mdid, Bcelo e Vleci, espectivmete s codiciós do polem tdúcese o seguite sistem: Fómse mti mplid do sistem p esolve polo método de Guss ªF ªF ªF ªF ªF ªF O sistem tigul socido á mti seá: Resólvese o sistem: ; ; + + Os eecutivos d multiciol seá: e Mdid, e Bcelo e e Vleci 7 Sistems mticiis os sistems os que s viles so mtices chámselles sistems de ecuciós mticiis Estes sistems esólvese polos mesmos métodos que os sistems co coeficietes e viles eis, posto que p esolvelos plícse s opeciós seguites: Sum de ecuciós p elimi sumdos Poduto duh ecució po u úmeo p igul coeficietes Ests opeciós so s mesms que s utilids esolució de sistems de ecuciós lieis

17 7 Eemplo: Clcul s mtices X e Y soluciós do sistem mticil: Y X Y X Súmse s dús ecuciós e despése mti X: X X Sustitúese X pimei ecució: + Y Despése Y: Y