EXERCICIOS DE REFORZO: DETERMINANTES., calcula a matriz X que verifica A X = A 1 B, sendo B =

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "EXERCICIOS DE REFORZO: DETERMINANTES., calcula a matriz X que verifica A X = A 1 B, sendo B ="

Ἀγλαΐη Παυλόπουλος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 EXERCICIOS DE REORZO: DETERMINANTES Pr A, lul riz X que verifi AX A B, sendo B ) Define enor opleenrio e duno dun eleeno nunh riz drd ) Dd riz A : i Clul o rngo, segundo os vlores de λ, de A λi, sendo I riz unidde de orde ii Clul riz X que verifi XA A X ) Esud, segundo os vlores de, o rngo d riz A ) Coinide A o sú invers pr lgún vlor de? ) Deerin unh riz siéri X de orde l que X e o deerinne d riz X se 9 ) Define enor opleenrio e duno dun eleeno nunh riz drd ) Sen I riz idenidde de orde e A, deerin os vlores de λ pr os que A + λi non en invers ) Clul riz X que verifi AX A X, sendo A riz dd no prdo ) Dds s ries A, B, sen B riz rspos de B e I riz idenidde de orde ) Esud, segundo os vlores do práero λ, o rngo de AB + λi ) Clul riz X que verifi: AB X X B 6 Deerin ods s ries B d for que verifiquen B B Se lgunh é inversile, lul sú invers 7 Dd riz A : ) Clul, segundo os vlores de, o rngo de A ) Coinide A o sú invers pr lgún vlor de? Pr, lul A 6

2 8 Dd riz A, esud, segundo os vlores de, o seu rngo 9 Clul, segundo os vlores de, o rngo de A lul o deerinne d riz A A Pr, Sen C, C, C s oluns prieir, segund e ereir, respeivene, dunh riz drd M de orde on de(m) Clul, enunindo s propieddes de deerinnes que uilies, o deerinne d riz us oluns prieir, segund e ereir son, respeivene, C, C C, C + C ) Se A é unh riz l que A + I, sendo I riz idenidde e O riz nul de orde, l é o rngo de A? Clul o deerinne de A Clul A no so de que se unh riz digonl verifindo iguldde nerior ) Dd riz B, lul unh riz X l que BXB B B Dd riz A : ) Se I é riz idenidde de orde, lul os vlores de λ pr os que A + λi non en invers Clul, se eise, riz invers de A I ) Clul riz X l que XA + A X, sendo A riz rspos de A ) Pon un eeplo de riz siéri de orde e ouro de riz nisiéri de orde ) Se M unh riz siéri de orde, on de(m) Clul, rzondo respos, o deerinne de M + M, sendo M riz rspos de M ) Clul unh riz X siéri e de rngo que verifique: X ) Dd riz A, lul os rngos de AA e de A A, sendo A riz rspos de A Pr o vlor, resolve euión riil AA X B, sendo B ) Se M unh riz drd de orde on de(m) e que deis verifi M + M + I, sendo I riz unidde de orde Clul os deerinnes ds ries: M + I e M + I ) Esud, segundo os vlores de o rngo d riz M 8

3 ) Resolve euión riil A X B, sendo A, B 6 Dd riz A : ) Clul os vlores de pr os que A en invers ) Pr, lul riz X que verifi: XA + X A 7 ) Esud, segundo os vlores de, o rngo d riz M ) Pr o vlor, resolve euión riil MX A, sendo A e A riz rspos de A Pr ese vlor de, no vlerá o deerinne d riz M? 8 Sen,, s fils prieir, segund e ereir, respeivene, dunh riz drd M de orde, on de(m) Clul o vlor do deerinne d riz que en por fils,, + 9 Dd M, lul riz Y que verifi MY + M Y I, sendo M riz invers de M e I riz unidde de orde Ah ods s ries A ( ij ), drds de orde res, les que e A + A I, sendo I riz idenidde de orde res e A riz rspos de A, ds que deis sáese que o seu deerinne vle

4 EXERCICIOS DE REORZO: DETERMINANTES (SOLUCIONARIO) Pr A, lul riz X que verifi AX A B, sendo B A eise A AX A B X (A ) B A (A ) X (A ) B Polo no: X ) Define enor opleenrio e duno dun eleeno nunh riz drd ) Dd riz A : i Clul o rngo, segundo os vlores de λ, de A λi, sendo I riz unidde de orde ii Clul riz X que verifi XA A X ) Ddo un eleeno ij dunh riz drd n n, o supriir sú fil e sú olun, oense unh suriz (n ) (n ) e o seu deerinne é un enor de orde n, que se h enor opleenrio do eleeno ij e represénse por M ij Cháse duno de ij o núero A ij ( ) i+jm ij, é diir, é o enor opleenrio o seu signo ou o signo onrrio, segundo i + j se pr ou ipr ) i I A ( λ) + ( λ) ( λ) + ( λ) ( λ)[ λ + λ ] ( λ)( λ + λ ) λ( λ)(λ )

5 Se λ : Se λ : Se λ : Polo no: Pr λ, λ, λ, rngo(a λi) Pr λ, rngo(a λi) Pr λ, rngo(a λi) Pr λ, rngo(a λi) ii XA A X X(A I) A X A(A I) I A 6 (A I) 6 6 X Polo no: X ) Esud, segundo os vlores de, o rngo d riz A ) Coinide A o sú invers pr lgún vlor de? ) Deerin unh riz siéri X de orde l que X e o deerinne d riz X se 9 ) rngo(a) + + Polo prdo i, sáese que eise (A I)

6 6 Polo no: Se ou, enón rngo(a) Se ±, enón rngo(a) ) A A A I A 9 Coo +, pr odo, pódese firr: A I, pr odo ) Por ser unh riz siéri de orde : X endo o produo ds ries: E ondiión sore o deerinne: 9 de(x) 9de(X) de(x) Tense sí un sise de res euións on res inógnis: Polo no: X ) Define enor opleenrio e duno dun eleeno nunh riz drd ) Sen I riz idenidde de orde e A, deerin os vlores de λ pr os que A + λi non en invers ) Clul riz X que verifi AX A X, sendo A riz dd no prdo ) ) Ddo un eleeno ij dunh riz drd n n, o supriir sú fil e sú olun, oense unh suriz (n ) (n ) e o seu deerinne é un enor de orde n, que se h enor opleenrio do eleeno ij e represénse por M ij Cháse duno de ij o núero A ij ( ) i+jm ij, é diir, é o enor opleenrio o seu signo ou o signo onrrio, segundo i + j se pr ou ipr ) A + λi non en invers I A A I ( + λ) ( + λ) ( + λ)[( + λ) ] ( + λ)(λ + λ ) ( + λ)(λ )(λ + )

7 7 Polo no: A + λi non en invers ) AX A X (A I)X A X (A I) A I A + (A I) X Polo no: X Dds s ries A, B, sen B riz rspos de B e I riz idenidde de orde ) Esud, segundo os vlores do práero λ, o rngo de AB + λi ) Clul riz X que verifi: AB X X B ) AB + λi + λ de(ab + λi) λ(λ + )(λ ) + λ λ(λ ) + λ λ Polo no, de(ab + λi) λ Se λ, enón AB + λi Polo prdo ), sáese que eise (A I) ils proporionis il de eros

8 8 Tense sí que: rngo(ab + λi) se λ rngo(ab + λi) se λ ) AB X X B (AB I)X B X (AB I) B Clúlse (AB I) : AB I de(ab I) (AB I) Polo no: X 8 6 Deerin ods s ries B d for que verifiquen B B Se lgunh é inversile, lul sú invers ( ) ou Se : ou Se : ± Polo no, s ries que upren s propieddes do eeriio son:,,, Dess ries, úni que en deerinne disino de ero, e polo no invers, é riz A sú invers é riz Eise (AB I) pois pr λ, rngo(ab I)

9 9 7 Dd riz A : ) Clul, segundo os vlores de, o rngo de A ) Coinide A o sú invers pr lgún vlor de? Pr, lul A 6 ) rngo(a) + ; + ± Polo no: Se ±, enón rngo(a) Se ±, enón rngo(a) ) A A A I A Polo no: A A Se, áse de oer que A I, enón A 6 (A ) I I 8 Dd riz A, esud, segundo os vlores de, o seu rngo A ( + ) Clúlse, por Ruffini, s ríes de + : ± Polo no: A (ríz dore) Se : rngo(a)

10 Se : rngo(a) Se : rngo(a) Se rngo(a) (s res fils son iguis e hi un eleeno non nulo) Resuindo: rngo(a), se,, rngo(a), se ou rngo(a), se 9 Clul, segundo os vlores de, o rngo de A lul o deerinne d riz A A Pr, A ( + ) + ( + ) ( + )( + ) Polo no: A Se : Se : Se : Resuindo: rngo(a) rngo(a) rngo(a), se,, rngo(a) rngo(a), se ou ou Se : A de(a) 6, e poso que de(a) de(a ), de(a ) e deis que o de(a) deerinne dun produo de ries é igul o produo dos deerinnes dess

11 ries e que pr unh riz M de orde, se verifi que de(λm) λ de(m), ense de(a A ) Sen C, C, C s oluns prieir, segund e ereir, respeivene, dunh riz drd M de orde on de(m) Clul, enunindo s propieddes de deerinnes que uilies, o deerinne d riz us oluns prieir, segund e ereir son, respeivene, C, C C, C + C Se se lle h N á riz d que se quere lulr o deerinne: de(n) de( C, C C, C + C ) de( C, C C, C ) de( C, C, C ) *** * * ** de( C, C, C ) de(c, C, C ) 8 Propieddes uilizds: (*) Se unh olun se lle su our olun uliplid por un núero, o deerinne non vrí (**) Se se ulipli d eleeno dunh olun por un núero, o deerinne des riz qued uliplido por ese núero (***) Se se perun dús oluns dunh riz, o deerinne i de signo ) Se A é unh riz l que A + I, sendo I riz idenidde e O riz nul de orde, l é o rngo de A? Clul o deerinne de A Clul A no so de que se unh riz digonl verifindo iguldde nerior ) Dd riz B, lul unh riz X l que BXB B B ) A + I A I [de(a)] de(a) rngo(a) A (A ) ( I) I de(a ) Se A é deis unh riz digonl: A A I ) de(b) eise B BXB B B X B (B + B ) B B + (B ) A I B (B ) 6 (B ) X B + (B )

12 Dd riz A : ) Se I é riz idenidde de orde, lul os vlores de λ pr os que A + λi non en invers Clul, se eise, riz invers de A I ) Clul riz X l que XA + A X, sendo A riz rspos de A ) A + λi I A (λ ) (λ + ) Polo no, A + λi non en invers A I I A ( ) ( ) 9 (A I) 9 9 ) XA + A X X(A I) A E, polo prdo nerior, sáese que A I en invers Polo no: X A (A I) X ) Pon un eeplo de riz siéri de orde e ouro de riz nisiéri de orde ) Se M unh riz siéri de orde, on de(m) Clul, rzondo respos, o deerinne de M + M, sendo M riz rspos de M ) Clul unh riz X siéri e de rngo que verifique: X ) Eeplo de riz siéri de orde : Eeplo de riz nisiéri de orde : ) M siéri ( ij ji ) M M M + M M Enón, endo en on que M é de orde : de(m + M ) de(m) de(m) 8

13 ) X drd e de orde e siéri X rngo(x), e non odos nulos Tense sí: X ) Dd riz A, lul os rngos de AA e de A A, sendo A riz rspos de A Pr o vlor, resolve euión riil AA X B, sendo B ) Se M unh riz drd de orde on de(m) e que deis verifi M + M + I, sendo I riz unidde de orde Clul os deerinnes ds ries: M + I e M + I ) AA AA ( + ) + + >, pr odo núero rel rngo(aa ) ) ( AA rngo(a A) AA AA eise (AA ) (AA ) AA X B (AA ) (AA )X (AA ) B X (AA ) B ) M + M + I M + I M de(m + I) de( M ) ( ) ( ) A E, polo prdo nerior, sáese que A I de(m + I) de((m + I)) de(m + I) 7

14 ) Esud, segundo os vlores de o rngo d riz M 8 ) Resolve euión riil A X B, sendo A, B ) M M Polo no: rngo(m) rngo(m) (ª ª e ª ª) ) A Coo A, eise riz invers de A e ense: A X B X (A ) B (A ) X 6 Dd riz A : ) Clul os vlores de pr os que A en invers ) Pr, lul riz X que verifi: XA + X A ) A ( ) A ou Así, A en invers pr os vlores de disinos de e ) ; XA + X A XA + X A X(A + I) A Pr poder desper X esúdse se riz A + I en invers: I A + eise (A + I) Enón, X A(A + I)

15 Clúlse (A + I) : (A + I) E sí: X 6 7 ) Esud, segundo os vlores de, o rngo d riz M ) Pr o vlor, resolve euión riil MX A, sendo A e A riz rspos de A Pr ese vlor de, no vlerá o deerinne d riz M? ) M M Polo no: rngo(m) rngo(m) (ªC e ªC son de eros) ) olun de orde riz A drdde orde Mriz X é unh riz olun de orde z z z X 6 de(m) de(m ) ( ) de(m ) ( ) 8 8 Sen,, s fils prieir, segund e ereir, respeivene, dunh riz drd M de orde, on de(m) Clul o vlor do deerinne d riz que en por fils,, + Sáese que Enón, pols propieddes dos deerinnes, ense que

16 6 9 Dd M, lul riz Y que verifi MY + M Y I, sendo M riz invers de M e I riz unidde de orde M M MY + M Y I Y (M + M ) e on M + M, oense que Y Ah ods s ries A ( ij ), drds de orde res, les que e A + A I, sendo I riz idenidde de orde res e A riz rspos de A, ds que deis sáese que o seu deerinne vle A A A + A I + A de(a) 8 Enón: A ou A

Σχετικά έγγραφα

EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS

EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. ) Clul os posiles vlores de,, pr que triz A verifique relión (A I), sendo I triz identidde de orde e triz nul de orde. ) Cl é soluión dun siste hooéneo