INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS

Transcript

1 INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS Páina 0 REFLEXIONA E RESOLVE Coller un autobús en marca Na gráfica seguinte, a liña vermella representa o movemento dun autobús que arranca da parada e vai, pouco a pouco, gañando velocidade. e corresponden a pasaeiros que cegan tarde e corren para coller o autobús en marca. 50 m 5 s 0 s 5 s 0 s a) Ao viaeiro acégano en bicicleta. Describe o movemento e calcula a velocidade á que corre. b) Cal é a velocidade aproimada do autobús no momento que o alcanza o pasaeiro? Entra este pasaeiro suavemente no autobús? a) El pasajero llega a la parada 0 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza 5 s después, 0 m más allá. Corrió, por tanto, a m/s. Es decir: 8,6 8,8 km/ b) En el instante s está a 5 m de la parada. En el instante 6 s está a 50 m de la parada. 5 m Velocidad media 7,5 m/s 7 km/ s Las velocidades del pasajero y del autobús son, aproimadamente, iguales en el momento en el que el pasajero accede al autobús; por tanto, accederá suavemente. Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

2 É preferible agardar ou correr tras o autobús? Os viaeiros e, no momento da saída do autobús, estaban a 00 m da parada. O decide agardalo e entrar nel cando pase por alí. O ten un estraño comportamento. Estraño? 00 m 50 m 5 s 0 s 5 s 0 s a) Describe o movemento do pasaeiro. b) Eplica por que o comportamento do pasaeiro é moito máis sensato có do, quen terá moi difícil a entrada no autobús. a) Intenta alcanzar aproimadamente la velocidad que lleva el autobús para acceder a él suavemente. b) El pasajero accede suavemente al autobús (con la misma velocidad, aproimadamente); sin embargo, el no. Carreira de relevos A seguinte gráfica reflicte o comportamento de dous atletas, do mesmo equipo, durante una carreira de relevos: a) Por que nas carreiras de relevos Ò 00 m cada relevista empeza a correr antes de que cegue o seu compañeiro? b) Que pasaría se agarda quieto a cegada do outro?.º relevista c) É razoable que as gráficas dos seus movementos sean tanentes? Como son as súas velocidades no momento. relevista da entrega da testemuña? a) Para que el testigo pase sin brusquedades del que llega al que se va. b) El intercambio sería muy brusco y se perdería tiempo. c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad, aproimadamente. Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

3 UNIDADE Páina 0. Indica a T.V.M. da función y 8 + nos seguintes intervalos: [, ], [, ], [, ], [, 5], [, 6], [, 7], [, 8] f () f () 0 5 T.V.M. [, ] 5 f () f () 5 T.V.M. [, ] f () f () 5 T.V.M. [, ] f (5) f () 5 T.V.M. [, 5] 5 f (6) f () 0 5 T.V.M. [, 6] 6 5 f (7) f () 5 5 T.V.M. [, 7] f (8) f () 5 T.V.M. [, 8] 8 7. Indica a T.V.M. de y 8 + no intervalo variable [, + ]. Comproba, dándolle a os valores aeitados, que se obteñen os resultados do eercicio anterior. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] ( + ) 8 ( + ) ( 6) 6 Dando a los valores,,,, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio anterior. Páina 05. Determina a derivada de y 5 nos puntos de abscisas e 5. f ( + ) f () f'() 5 ( + ) ( + ) ( ) 8 0 ( ) 8 0 f (5 + ) f (5) f'(5) 5 (5 + ) (5 + ) (5 + ) (5 5 ) ( 5 ) Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

4 . Determina a derivada de y nos puntos de abscisas, e 5. f ( + ) f () [/( + )] ( ) f'() [/( )] ( ) f ( + ) f ( ) [/( + )] ( ) f'( ) [/( )] + + ( ) f (5 + ) f (5) [/(5 + )] f'(5) [/( + )] ( + ) +. Determina a derivada de y nos puntos de abscisas,, e. f ( + ) f ( ) [/( + )] ( /) f'( ) /( ) f ( + ) f ( ) [/( + )] ( ) f'( ) /( ) f ( + ) f () [/( + )] f'() ( ) ( + ) f ( + ) f () [/( + )] (/) f'() ( )/ ( + ) ( + ) Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

5 UNIDADE. Determina a derivada de y nos puntos de abscisas,, 0,,, e. f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) ( + ) ( 6) f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) ( + ) 8 0 ( ) f (0 + ) f (0) ( ) f'(0) 0 f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) ( ) f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) ( + ) f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) 8 0 ( + ) f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) ( + 6) Páina 06. Determina a derivada da función f () 5 e comproba que, a partir dela, se poden obter os valores concretos determinados no eercicio resolto e mais no eercicio proposto da páina anterior. f ( + ) f () f'() 5( + ) ( + ) (5 ) 8 0 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 5

6 ( + 5) ( + 5) Sustituyendo por los valores indicados, obtenemos: f'() f'(0) 5 f'() f'() f'(5) 5. Indica a derivada de f ( ). f ( + ) f () f'() ( + ) ( + + ). Indica a derivada de f ( ) e comproba que, a partir dela, se poden obter os valores concretos calculados no eercicio resolto e no eercicio proposto da páina anterior. f ( + ) f () /( + ) /( ) f'() 8 0 ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) 8 0 ( ) ( + ) ( ) Sustituyendo por los valores indicados, obtenemos: f'() f'() f'( ) f'(5). Indica a función derivada de y +. f ( + ) f () f'() ( + ) + ( + ) ( + ) ( ) ( ) Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

7 UNIDADE Páina 08 Indica a función derivada das seguintes funcións:. f () f'() 6 6. f () + f'() +. f () f'() + 5. f () f () / 8 f '() 5/ 5 5. f () sen cos f'() cos sen 6. f () tg f'() + tg cos 7. f () e f'() e + e e ( + ) 8. f () f'() + ln ( + ln ) 9. f () ( + ) log f'() log + ( + ) log + ln ( + ) ln 0. f () + ( f'() ) ( + ) ( ) ( ) ( ) Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 7

8 . f () ( f'() + 6 5) ( ) + +. f () log f'() [/(ln 0)] log ln 0 log ln 0 Páina 09 Indica a función derivada das seguintes funcións:. f () sen ( 5 + 7) f'() ( 5) cos ( 5 + 7). f () (5 + ) (5 + ) / f'() (5 + ) / f () sen ( + ) cos ( + ) f'() [cos ( + ) sen ( + )] 6. f () log log f () 8 f'() ( ln 0 log ) ln 0 7. f () cos ( π) f'() sen 8. f () + f'() + 9. f () e + f'() e + + e + e + ( + ) 8 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

9 UNIDADE sen ( 0. f () + ) f'() cos ( + ) + [ sen ( + )]/ ( ) cos ( + ) + sen ( + ) ( ) Páina 0. Calcula a función derivada de f () + e determina: a) As pendentes das rectas tanentes nas abscisas, e. b) As ecuacións desas rectas tanentes. c) As abscisas dos posibles máimos e mínimos relativos. d) É f () crecente ou decrecente en? f'() 8 a) f'( ), f'() 5, f'() b) y ( + ) ; y 5 ( ) ; y ( ) 8 c) f'() , 8/ d) f'() < 0 8 decreciente Páina LINGUAXE MATEMÁTICA. Na fórmula que serve para determinar a ecuación da recta tanente a una curva nun punto y f(a) + f'(a)( a) di o papel que desempeña cada una das letras que interveñen. O é a variable independente, de que función? f es el nombre de la función; a es la abscisa, el punto de la curva en el cual se traza la tangente; f(a) es la ordenada de ese punto, y f'(a) es la pendiente de la recta tangente, pues f' es el nombre de la función derivada. Las variables e y son la abscisa y la ordenada de un punto genérico (un punto cualquiera) de la recta tangente. es, pues, la variable independiente de la función lineal descrita por la recta tangente a f en el punto de abscisa a. Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 9

10 Páina. Representa estas funcións: a) y + 8 b) y c) y + a) f'() , Máimo en (, 5). Mínimo en (, ) b) f'() ( 6) 0 0 ± + ± 5 Máimo en (, 6) y en (, 99). Mínimo en (0, 90) c) f'() + ( + ) 0 Mínimo en (, 7) Punto de infleión en (0, 0). f () ( + ) 0 Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0) 0 0 Páina 5. Representa as seguintes funcións racionais, seguindo os pasos da páina anterior: a) y + + b) y + c) y d) y e) y + f ) y + 0 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

11 UNIDADE ( + ) ( + ) ( a) f'() + + ) ( + ) ( + ) , ( + ) Máimo en (, 5). Mínimo en (, 7). Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y ( + ) ( + ) ( b) f'() + ) ( + ) ( + ) ( + ) Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0) Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y ( c) f'() + ) + ( + ) ( + ) 8 0 ( + ) Mínimo en (0, 0). Asíntota orizontal: y d) f'() 8 0 ( + ) Máimo en (0, ). Asíntota orizontal: y 0 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

12 ( e) f'() ) ( + ) ( ) + + ( ) ( ) + ± 0 8 ( ) 0,7,7 Máimo en (0,7;,7). Mínimo en (,7; 0,7). Asíntotas verticales: 0, Asíntota orizontal: y f) Dominio Á {0} Asíntota vertical: Asíntota orizontal: 0 es asíntota vertical y ; y es asíntota orizontal Cuando y < ; y cuando 8 +@, y <. Por tanto, la curva está por debajo de la asíntota. Puntos singulares: f'() ( ) + f'()? 0 8 f () no tiene puntos singulares Observamos que f'() < 0 si < 0; y que f'() > 0 si > 0. Luego la función es decreciente en 0) y es creciente en (0, +@). Corta al eje X en (, 0) y (, 0). Gráfica: y 6 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

13 UNIDADE Páina 0 EXERCICIOS E PROBLEMAS PROPOSTOS PARA PRACTICAR Taa de variación media Calcula a taa de variación media desta función nos intervalos: a) [, 0] b) [0, ] c) [, 5] 0 5 f (0) f ( ) a) T.V.M. [, 0] 0 + f () f (0) 0 b) T.V.M. [0, ] 0 f (5) f () 0 c) T.V.M. [, 5] 5 Indica a taa de variación media destas funcións no intervalo [, ] e indica se esas funcións crecen ou decrecen nese intervalo: a) f () / b) f () ( ) c) f () + d) f () Se a T.V.M. é positiva, a función crece. f () f () T.V.M. [, ] f () f () / a) T.V.M. [, ] 8 Decrece b) T.V.M. [, ] 8 Decrece 7 c) T.V.M. [, ] 8 Crece 8 d) T.V.M. [, ] 8 Crece Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

14 Dada a función f (), indica a taa de variación media no intervalo [, + ]. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] Comproba que a T.V.M. da función f () +5 no intervalo [, + ] é igual a +. Calcula a T.V.M. desa función nos intervalos [, ], [;,5], utilizando a epresión anterior. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] ( + + ) T.V.M. [, ] T.V.M. [;,5],5 5 Compara a T.V.M. das funcións f () e g () nos intervalos [, ] e [, ], e di cal das dúas crece máis en cada intervalo. Para f (): T.V.M. [, ] 9 T.V.M. [, ] 7 Para g(): T.V.M. [, ] 8 T.V.M. [, ] 5 En [, ] crece más f (). En [, ] crece más g(). Definición de derivada nun punto 6 Aplicando a definición de derivada, calcula f'( ) e f'(), onde: f () 5 ( + ) 7 + f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) f ( + ) f () f'() Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

15 UNIDADE 7 Indica a derivada das seguintes funcións en, utilizando a definición de derivada: a) f () b) f () ( + ) c) f () / d) f () /( + ) f ( + ) f () a) f'() ( + ) ( + + ) ( + 6) 6 f ( + ) f () b) f'() ( ( + ) + ) 9 ( + ) 9 ( + ) f ( + ) f () /( + ) c) f'() ( + ) f ( + ) f () + + d) f'() 8 0 ( + ) 9 8 Indica o valor do crecemento de f () ( ) nos puntos e, aplicando a definición de derivada. f ( + ) f () ( + ) f'() ( ) 8 0 f ( + ) f () ( + ) 0 f'() Determina a pendente da tanente á curva y 5 + no punto de abscisa, utilizando a definición de derivada. f ( + ) f ( ) ( + ) 5( + ) + 5 f'( ) 8 0 ( 9) Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 5

16 0 Determina a pendente da tanente á curva y no punto de abscisa, aplicando a definición de derivada. f ( + ) f () ( + ) ( + ) f'() ( ) Comproba, utilizando a definición de derivada en cada caso: a) f () 5 8 f'() 5 b) f () 7 8 f'() c) f () + 8 f'() + d) f () 8 f'() f ( + ) f () 5( + ) a) f'() 5 5 f ( + ) f () b) f'() 7( + ) 7 7( + + ) (7 + ) f ( + ) f () c) f'() ( + ) + ( + ) ( + ) ( + + ) + f ( + ) f () + d) f'() ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 8 0 ( + ) 6 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

17 UNIDADE Indica f' nos puntos de abscisas, 0 e. Determina as pendentes das rectas tanentes trazadas neses puntos. 6 f f'( ), f'(0), f'() Indica, na gráfica do eercicio anterior, os puntos nos que a derivada é cero. En, a derivada é positiva ou negativa? E en? f'() 0 en (, ) y en (, 7). En la derivada es positiva. En es negativa. Eiste algún punto nesta función no que a derivada sea negativa? Ordena de menor a maior os valores de f'( ), f'() e f'(0). No, pues es creciente. f'( ) < f'(0) < f'() Regras de derivación Indica a función derivada destas funcións e calcula o seu valor nos puntos que se indican: 5 f() + 6; f'() 6 + 6; f'() 6 f() cos ( + π); 0 f'() sen ( + π); f'(0) 0 7 f() + ; 7 f'() ; f' ( ) 8 f() ; f'() 7 ; f'(0) 7 (7 + ) Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 7

18 9 f() sen + cos ; π f'() ( cos sen ) ; f'(π) 0 f() ; ( + ) f() ( + ) 8 f'() 6( + ) 6 f'( ) ( + ) f() + ; f'() + ; f'() Páina f() ; 8 f'() ; f'(8) ( ) f() sen (π ); f'() sen (π ) + cos (π ) ( ) sen (π ) cos(π ) π f' ( ) f() (5 ) ; f'() 5 (5 ) ; f' ( ) f() ; π f'() 0 ; f'() 5 ( 5) 6 8 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

19 UNIDADE Indica a función derivada destas funcións: 6 a) f() e + e b) f() ( ) a) f'() e + e b) f'() 6 ( ) 7 a) f() b) f() + a) f'() (si? 0) b) f'() + 8 a) f() ( + 6) b) f() sen a) f'() b) f'() ( + 6) cos sen 9 a) f() b) f() 7 + e a) f () ( ) / ; f'() ( ) / ( ) ( ) b) f'() 7 + ln 7 e e ( ) 7 + e (ln 7 ) 0 a) f() + b) f() ln + e a) f'() + b) f'() + e e + ( a) f() ) b) f() e tg + a) f'() ( ) b) f'() e tg + e ( + tg ) e ( tg + + tg ) e ( + tg ) a) f() b) f() cos + e sen ( ) a) f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) b) f'() cos ( sen ) + e sen cos cos ( sen + e sen ) ( ) ( + ) Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 9

20 a) f() b) f() e a) f () ( ) / 8 f'() ( ) / ( ) / b) f'() ( ) ( ) ( ) ( ) e + ( ) e ( ) e e 8 ( ) ( ) ( ) 8 e ( ) 8 ( ) e 8 a) f() sen π b) f() log a) f'() 0 b) f () log log ( ) log log ( ) f'() + ln 0 ( ) ln 0 5 a) f() tg b) f() ln a) f'() tg ( + tg ) 6 tg ( + tg ) b) f'() ln 6 a) f() arc sen b) f() arc tg ( + ) / a) f'() ( /) /9 9 b) f'() + ( + ) + ( + ) 7 a) f() arc cos b) f() arc tg a) f'() / (/) / b) f'() + ( /) ( + (/)) ( + ) 0 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

21 UNIDADE 8 a) f() arc tg b) f() arc cos e a) f'() arc tg ( + ) ( + ) arc tg b) f'() e ( ) e e 9 a) f() + b) f() arc tg + + ) + + a) f'() ( + ) ( ) e ( ( + ) + + b) f'() ( + ) ( ) + [( )/( + )] ( + ) + + [( ) /( + ) ] ( + ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) + Puntos nos que a derivada vale k 0 Determina os puntos nos que a derivada é igual a 0 nas seguintes funcións: a) y + b) y a) f'() Punto (, ) b) f'() 0 8,. Puntos (, ) y (, ) Obtén os puntos onde f'() nos seguintes casos: a) f() + + b) f() +5 a) f'() ; 8 ; f() 0 8 P(, 0) Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

22 b) f'() ; 8 ( +5) ( +5) 8 ( +5) ; f( ) 8 P(, ) 7; f( 7) 8 Q( 7, ) Indica os puntos nos que a derivada de cada una das seguintes funcións é igual a : a) y b) y + c) y + d) y ln ( ) a) f'() 8 8 ; f() 0 8 P(, 0) b) f'() 8 ( +) ( +) 8 8 ( +) ; f( ) 8 P(, ) ; f( ) 8 Q(, ) c) f'() ; f( ) 8 P(, ) d) f'() 8 8 ; f ln 8 P, ln ( ) ( ) Indica os puntos nos que a derivada vale 0 en cada un dos seguintes casos: a) y 8 +5 b) y + 5 c) y d) y + a) f'() ; f() 8 P(, ) b) f'() ; f 8 P, c) f'() ; f(0) 0 8 P(0, 0) ; f( ) 8 Q(, ) ; f( ) 8 R(, ) d) f'() ; f(0) 8 P(0, ) ( +) ( +) ( ) ( 5 ) Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

23 UNIDADE Recta tanente Indica a ecuación da recta tanente á curva y no punto de abscisa. f'() 5; m f'(), f() 0 La recta es y ( ). 5 Escribe a ecuación da recta tanente a y no punto de abscisa. f'() + ; m f'( ), f( ) La recta es y ( + ) Escribe a ecuación da recta tanente a y + + cua pendente sea igual a. f'() + 8 ; f( ) La recta es y ( + ). 7 Indica a ecuación da recta tanente á curva y + en 0. f'() ; m f'(0), f(0) + La recta es y +. Puntos singulares 8 Obtén os puntos singulares das seguintes funcións: a) y + 5 b) y + c) y d) y a) f'() ; f 8 P, b) f'() ( ) ) 0; f(0) 8 P(0, ) ; f() 0 8 Q(, 0) ( c) f'() 8 0 d) f'() 8 0 0; f(0) 0 8 P(0, 0) ; f() 7 8 Q(, 7) ; f() 6 8 P(, 6) ; f( ) 6 8 Q(, 6) Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

24 9 Indica os puntos singulares das seguintes funcións: a) y + b) y + a) f'() ; f() 8 P(, ) ; f( ) 8 Q(, ) b) f'() ; f(0) 0 8 P(0, 0) ( +) ( +) Páina 50 Comproba que as seguintes funcións non teñen puntos singulares: a) y + b) y c) y d) y ln a) f'() no tiene solución. b) f'() 8 0 no tiene solución. c) f'() 8 0 no tiene solución. d) f'() 8 0 no tiene solución. Crecemento e decrecemento 5 Observa os resultados obtidos nos eercicios 5 ao 5 e di se cada una das funcións dadas é crecente ou decrecente no punto que se indica. 5) Creciente. 6) Ni crece ni decrece. 7) Creciente. 8) Decreciente. 9) Decreciente. 0) Decreciente. ) Creciente. ) Decreciente. ) Creciente. ) Creciente. 5) Decreciente. 5 Obtén os intervalos de crecemento e de decrecemento de cada una das seguintes funcións: + a) y b) y 5 c) y + d) y e) y f) y Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

25 UNIDADE a) f'() 8 Creciente en +@). b) f'() 8 Decreciente en +@) c) f'() 8 Crece en, +@. Decrece ( d) f'() 8 Crece en ). Decrece en (, +@). e) f'() 8 Creciente en +@). f) f'() 8 Crece en ) «(, +@). Decrece en (, ). ) ( ) 5 Indica en cada una destas funcións os valores de nos que f' é positiva e nos que f' é negativa. Observa o seu crecemento e decrecemento. A primeira crece se <. a) f' > 0 si < f' < 0 si > b) f' > 0 si < 0 f' < 0 si > 0 c) f' > 0 si ) «(, +@) f' < 0 si é(, ) 5 Dada a función f () , obtén a súa función derivada e estuda o seu signo. Cales son os intervalos de crecemento e de decrecemento de f? Ten f máimo ou mínimo? f'() f' > 0 f' < 0 f' > 0 Crece en ) «(, +@). Decrece en (, ). Máimo en. Mínimo en. Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 5

26 Gráficas de funcións polinómicas e racionais 55 Representa una función y f () da que sabemos: É continua. f () +@; f 8 +@ Ten tanente orizontal en (, ) e en (, 5). Indica se os puntos de tanente orizontal son máimos ou mínimos. (, ) es un mínimo. (, 5) es un máimo. 56 Duna función polinómica sabemos que: f () +@; f () +@ 8 +@ A súa derivada é igual a 0 en (, ) e en (, ). Corta os eies en (0, 0) e en (, 0). Represéntaa graficamente. 6 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

27 UNIDADE 57 Representa a función continua y f () da que sabemos: Nos puntos (, ) e (, ) a tanente é orizontal. As súas ramas infinitas son así: 58 Comproba que a función y ( ) pasa polos puntos (0, ), (, 0) e (, ). A súa derivada anúlase no punto (, 0). Pode ser un máimo ou un mínimo ese punto? f'() ( ) : f(0) 8 pasa por (0, ) f() 0 8 pasa por (, 0) f() 8 pasa por (, ) f'() 0 El punto (, 0) no es ni máimo ni mínimo. 59 Comproba que a función y + ten dous puntos de tanente orizontal, (, ) e (, ); as súas asíntotas son 0 e mais y e a posición da curva respecto das asíntotas é a que se indica na ilustración da dereita. Represéntaa. f() + f'() 0 8, Puntos (, ) y (, ) f () +@; 8 0 f Asíntota vertical en 0. Asíntota oblicua en y Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 7

28 60 Comproba que a función y : + Ten derivada nula en (0, 0). A recta y é una asíntota orizontal. Posición da curva respecto á asíntota: Se y < Se 8 +@, y < Represéntaa. ( f' () + ) ( ) ( + ) f'(0) 0; f (0) 0 ( + ) 8 ±@ + 6 Completa a gráfica duna función da que sabemos que ten tres puntos singulares: ( 5 5,, (0, 0) e (, ) ) e cuas ramas infinitas son as representadas. 8 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

29 UNIDADE Páina PARA RESOLVER 6 0 VALOR (en miles de euros) TEMPO (en anos) Os coces, una vez que se compran, empezan a perder valor: un 0% cada ano, aproimadamente. Esta gráfica mostra o valor dun coce desde que se comprou ata anos máis tarde. Calcula o que se deprecia o coce nos dous primeiros anos, entre os anos e 6, e entre os anos 8 e 0. É constante a depreciación? Depreciación: [0, ] [, 6] [8, 0] La depreciación no es constante. 6 Escribe as ecuacións das rectas tanentes á curva y que sean paralelas á recta 6 y +00. A pendente da recta é o coeficiente de cando y está despeado. f'() 6 8,. Puntos: (, 0) y (, 0) Rectas: y 6 ( + ), y 6 ( ) 6 Escribe as ecuacións das rectas tanentes á función y nos puntos de corte co eie de abscisas. Puntos de corte con el eje de abscisas: 0 8, Puntos: (, 0) y (, 0) f'(), f'(), f'( ) Las rectas son: En, y + 8 En, y + 8 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 9

30 65 a) Cal é a derivada de y + 8 en calquera punto? b) Canto ten que valer para que a derivada de y sea igual a? c) En que punto a recta tanente á gráfica da función y é paralela á recta y + 8? a) f'() b) f'() 6 8 c) En el punto (, ). 66 En que puntos a recta tanente a y ten a pendente igual a 8? f'() 8 8, Puntos (, 0) y (, 0). 67 Escribe as ecuacións das rectas tanentes á curva y que son paralelas á recta + y 0. f'() ( ) ( ) ( ) 8 ( ) 8 0, En (0, 0), y En (, ), y ( ) Indica os puntos de tanente orizontal da función y 9. f'() ,. Puntos (, ) y (, 8). 69 En que puntos de y / a recta tanente é paralela á bisectriz do segundo cuadrante? Eiste algún punto de tanente orizontal nesa función? f'() 8,. Puntos (, ) y (, ). 0 no tiene solu- No eiste ningún punto de tangente orizontal, pues f'() ción. 70 A ecuación da recta tanente a una función f () no punto de abscisa é y + 0. Cal é o valor de f'()? E o de f ()? Indica a pendente desa recta e ten en conta a súa relación coa derivada. + La recta tangente es y ; su pendiente es f'() f () 0 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

31 UNIDADE 7 Aplica as propiedades dos logaritmos para derivar as seguintes funcións: a) f() ln + b) f() ln + c) f() ln e d) f() log ( 5) e) f() log (tg ) f) f() ln a) f() ln ( + ) ln ( ) f'() + b) f() [ln ln ( + )] f'() [ ] [ ] + c) f() ln + ln e ln f'() d) f() log ( 5) log 5 ln ln 0 ( 5) ln 0 ln 0 f'() [ ] ln 0 ( 5) 9 5 e) f() log (tg ) + tg f'() tg ln 0 ( + tg ) tg ln 0 f) f() ln f'() ln + ln + 7 En cada una das seguintes funcións, determina os puntos singulares e, con auda das ramas infinitas, decide se son máimos ou mínimos. Represéntaas: a) y b) y + c) y + d) y e) y f) y + g) y ) y 8 + Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

32 a) f'() 6 f'() 0 ï f (0) 0 8 (0, 0) 8 f () 8 (, ) ( ( ) +@ 8 +@ y b) f'() f'() 0 ï ± f () 0 8 (, 0) f ( ) 8 (, ) ( + ( + ) +@ 8 +@ 6 y c) f'() + f'() 0 ï ï 0 8 f (0) 0 8 (0, 0) 8 f ( ) 7 8 (, 7) ( + ) ( + ) +@ 8 +@ 0 y Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

33 UNIDADE d) f'() 8 + ; f'() 0 ï 6 ± 6 6 ± ï f () 8 (, ) f () 0 8 (, 0) ( 9 + ( 9 + 0) +@ 8 +@ y e) f'() ; f'() 0 ï ± f () 6 8 (, 6) f ( ) 6 8 (, 6) ( ) +@ ( 8 +@ y f) f'() + ; f'() 0 ï 0 8 f (0) 0 8 (0, 0) ï ( ) 8 f 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) ( + g) f'() 5 8 8; f'() 0 ï ( + 8 +@ y y + ï 8 f () 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) ( ( ) +@ @ Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

34 ) f'() 6; f'() 0 ï ï 0 8 f (0) 8 (0, ) 8 f () 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) ( 8 + ) +@ 8 +@ y ( Representa as seguintes funcións determinando os puntos singulares e estudando as súas ramas infinitas: a) y + b) y + c) y d) y e) y f ) y ( + 5) + a) f'() + 0 8, Puntos de tangente orizontal: (, 7 ), (, 0) ( + ) +@ 8 +@ ( + y + b) f'() + ( ) 0 8 0,, Puntos de tangente orizontal: y (, ), (0, 0) y (, ) + ( + 8 +@ ( + Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

35 UNIDADE c) f'() ( + 5) + 0 8, ( ) ( ) Puntos de tangente orizontal: (, ), (, 9 ) 8 +@ y d) f'() ( ) 0 8 ( + ) Punto de tangente orizontal: 8 +@ (, ) y + (, ) 5 ( + 5) e) f'() ( + 5) ( + 5) ( + 5) Punto de tangente orizontal: ( 5, 0 ) 8 +@ ( + 5) ( + 5) y ( + 5) Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 5

36 ( + ) f) f'() + 8 ( + ) 0 8 0, ( + ) ( + ) ( + ) Puntos de tangente orizontal: 8 ±@ (, 6), (0, 0) (asíntota oblicua) y Páina 7 Comproba que estas funcións non teñen puntos de tanente orizontal. Represéntaas e estuda as súas ramas infinitas e os puntos de corte cos eies: a) y b) y c) y + d) y + a) f'() 5? 0 ( + ) Los puntos de corte son: ( 0, ), (, 0) ( ) y Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

37 UNIDADE b) f'() +? 0 Los puntos de corte son: (, 0), (, 0) y c) f'() +? 0 El punto de corte es: (0, 0) y d) f'()? 0 ( ) El punto de corte es: ( 0, ) 6 y ( ) 75 Estuda e representa as seguintes funcións: a) y b) y 6 c) y + d) y ( ) + e) y f ) y + g) y ) y + ( ) i) y + j) y Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 7

38 a) f'() 6 ( 6) Asíntotas verticales:, Y y 6 6 Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. 6 6 X 6 Y b) f'() + ( ) Asíntotas verticales:, y Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. X c) f'() + 7 ( 6 + 5) Asíntotas verticales: 5, Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: ( 6,58; 0,05), (,58;,97) Y,5 + y ,5 6 0,5 6 X,5 8 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

39 UNIDADE d) f'() + 5 ( + ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y Y 5 0 ( ) y + No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son: (, 0), ( 5, ) 6 y X e) f'() + + ( + ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y y + 6 Y No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: 6 6 X ( 0,6; 0,5), (,7; 7,6) 6 y f) y' ( ) Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Su punto de tangente orizontal es: (0, 0) 6 Y 6 y 6 X Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 9

40 g) f'() + 6 ( + ) Asíntotas verticales:, y + Y 6 Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0), (, ) X ) f'() ( ) Asíntotas verticales: Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Su punto de tangente orizontal es: (0, 0) y ( ) 6 Y 6 6 X i) f'() ( + + ) Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas verticales ni oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (, ), (, ) y Y 6 6 X 6 j) f'() ( ) Asíntotas verticales: Y 6 y 5 Asíntotas oblicuas: y + No ay asíntotas orizontales ni puntos de tangente orizontal. 6 X 0 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

41 UNIDADE 76 Indica una función de segundo grao se sabes que pasa por (0, ) e que a pendente da recta tanente no punto (, ) vale 0. Cámalle á función f () a + b + c e ten en conta que f (0), f () e f'() 0. f () a + b + c f'() a + b f (0) 8 c f () 8 a + b + c f'() a + b La función es f () Indica o vértice da parábola y +6 + tendo en conta que nese punto a tanente é orizontal. f'() Punto (, ). 78 Determina a parábola y a + b + c que é tanente á recta y no punto A(, ) e que pasa polo punto B(5, ). f () a + b + c f'() a + b f () 8 a + b + c f'() 8 a + b f (5) 8 5a + 5b + c La función es f () Determina o valor de para o que as tanentes ás curvas y +5 e y +6 sean paralelas e escribe as ecuacións desas tanentes. f() f'() 6 g() g'() + 6 a b 6 c Para f () + 5 la tangente en es: y 0 ( ) + 8 y 0 7 Para g() + 6 la tangente en es: y 0 ( ) y 0 a / b c 80 Indica a, b e c en f () + a + b + c de modo que a gráfica de f teña tanente orizontal en e en 0 e que pase por (, ). f () + a + b + c f'() + a + b Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

42 f'( ) a + b 0 f'(0) 0 8 b 0 f () 8 + a + b + c La función es f () a 6 b 0 c 6 8 Calcula o valor de k para que a tanente á gráfica da función: y 5 + k en pase pola orie de ordenadas. Pendiente de la recta tangente: f'() 5 8 f'() Punto de tangencia: ; y 5 + k 8 (, + k) Ecuación de la recta tangente: y + k ( ) Para que pase por (0, 0), debe verificarse: 0 + k + 8 k CUESTIÓNS TEÓRICAS 8 Calcula a T.V.M. de f () nos intervalos [, ], [, ] e [, ]. Xustifica por que obtés o mesmo resultado. + 5 T.V.M. [, ] 7 T.V.M. [, ] 0 + T.V.M. [, ] 7 T.V.M. para todos. La función es una recta de pendiente. 8 Debua una función que teña derivada nula en e en, derivada negativa no intervalo [, ] e positiva para calquera outro valor de. Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

43 UNIDADE 8 Pon eemplos de funcións f cua derivada sea f'(). Cantas eisten? Eisten infinitas. f () + k, donde es cualquier número. 85 Esta é a gráfica da función y. Por que podemos asegurar que o eie de abscisas é a tanente desa curva en (0, 0)? Ecuación de la tangente en (0, 0): f'() 8 f'(0) 0 8 y 0 + 0( 9) 8 y 0 es el eje de abscisas. 86 Y f Que relación eiste entre f e g? E entre f' e g'? g X 0 f g + f' g' Son rectas paralelas (de igual pendiente). 87 Eiste algún punto da función y en que a tanente sea paralela á recta que pasa polos puntos (0, 0) e (, )? En caso afirmativo, indícao. f'() Pendiente de la recta 5 Punto (, ) 8 88 Demostra, utilizando a derivada, que a abscisa do vértice da parábola y a b + b + c es. a f'() a + b 0 8 b a Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

44 89 Se f'() 0, cal das seguintes afirmacións é correcta? a) A función f ten máimo ou mínimo en. b) A recta tanente en é orizontal. c) A función pasa polo punto (, 0). La correcta es la b). 90 Y Esta é a gráfica de f', a función derivada de f. f' X a) Ten f algún punto de tanente orizontal? b) É f crecente ou decrecente? a) Sí, en, puesto que f'() 0 b) Si < es creciente, pues f' > 0; y si > es decreciente, pues f' > 0. Páina 5 PARA AFONDAR 9 Indica a derivada de f () no punto de abscisa aplicando a definición. f ( + ) f () + f'() ( + ) ( + + ) ( + + ( ) 8 0 ) Indica a ecuación da recta tanente á curva y ln que é paralela á recta y. f'() 8 ; f ( ) La recta es y ( ) ln ln ln ln Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

45 UNIDADE 9 Cales son os puntos singulares das funcións y sen e y cos no intervalo [0, π]? f() sen 8 f'() cos 0 8 π, π π Máimo en (, ) y mínimo en (, ). g() cos 8 g'() sen 0 8 0, π Máimo en (0, ) y mínimo en (π, ). π 9 Ten algún punto de tanente orizontal a función y tg? No, puesto que f'()? 0 para todo. cos 95 Estuda e representa as seguintes funcións: a) y b) y ( + ) + c) y d) y a) f'() +? 0 Y No ay puntos de tangente orizontal. Puntos de corte con los ejes: (, 0), (, 0) Dominio Á {0} Asíntota vertical: 0 X Asíntota oblicua: y b) f'() ( + ) ( + ) 9( + ) 9( + ) ( + ) ( + ) 0 8 0, ( + ),5 Y Mínimo en (,5;,5). Punto de infleión en (0, 0). Puntos de corte con los ejes: (0, 0). X Dominio Á { } Asíntota vertical: Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 5

46 ( ( c) f'() ) ( + ) ) ( + ) Y Mínimo en (, 5). 8 Dominio Á {0} Asíntota vertical: 0 Asíntota oblicua: y 6 X ( d) f'() ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( + + ] + ) ( ) ( ) Mínimo en (0, 0). Puntos de corte con los ejes: (0, 0), (, 0), (, 0) Dominio Á {, } X Asíntotas verticales:, Y 96 O custo total (en dólares) de fabricación de q unidades de certo artigo é: C (q) C (q) q + 5q O custo medio por unidade é: M (q). q a) Cantas unidades se deben fabricar para que o custo medio por unidade sea mínimo? b) Calcula C (q) e M (q) para o valor de q que indicaces na epígrafe a). q a) M(q) + 5q + 75 q (6q + 5)q (q 6q M' (q) + 5q + 75) + 5q q 5q 75 q q 5 8 q 5 unidades q Se deben fabricar 5 unidades. b) C(5) 75; M(5) 5 q q 6 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

47 UNIDADE 97 A función f () 60 indica os beneficios obtidos por una empresa + 9 desde que comezou a funcionar ( f () en miles de euros, en anos). a) Represéntaa graficamente. b) Ao cabo de canto tempo obtén a empresa o beneficio máimo? Cal é ese beneficio? c) Perderá diñeiro a empresa nalgún momento? 60 ( a) f'() + 9) ( + 9) ( + 9) ( + 9) 8 ( no está en el dominio) Máimo en (, 0). f () 0 8 asíntota orizontal: y 0 8 La gráfica sería: b) Beneficio máimo en 8 A los años. El beneficio sería f () 0 miles de euros. c) No perderá dinero ni llegará un momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas, pues f () 0 y f () > 0 para todo > 0. Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 7

48 Páina 5 AUTOAVALIACIÓN. Observa a gráfica da función y f() e responde. Y X a) Cal é a T.V.M. nos intervalos [0, ] e [, ]? b) Ten algún punto de tanente orizontal? c) Para que valores de é f'() > 0? d) Sabemos que a tanente no punto de abscisa 0 é paralela á bisectriz do segundo cuadrante. Canto vale f'(0)? f () f (0) / a) T.V.M. [0, ] 0 f ( ) f ( ) 0 T.V.M. [, ] ( ) + b) Sí, P (, ). c) Si <, f'() > 0. d) La recta y (bisectriz del.º cuadrante) tiene pendiente igual a. Por tanto, f'(0).. Dada f(), proba que f'( ) 7 aplicando a definición de derivada. f'( ) f( ) ( ) ( ) f ( + ) ( + ) ( + ) f ( + ) f ( ) 7 f ( + ) f ( ) Por tanto, f'( ) 7. f ( + ) f ( ) 8 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

49 UNIDADE. Indica a derivada das seguintes funcións: a) y + b) y e c) y cos π d) y ( ) a) f'() b) f'() e + ( )e e c) f'() π cos π ( sen π) π cos π sen π ( ) d) f'() D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Escribe a ecuación da tanente á curva y ln no punto de abscisa. Punto de tangencia:, y ln 0 8 P(, 0) Pendiente de la recta tangente: f'() 8 f'() Ecuación: y 0 + ( ) 8 y 5. Determina os puntos singulares da función y + ( ). Ten máimo ou mínimo relativo esa función? f() + ( ) 8 f'() ( ) ( ) ( ) f'() 0 8 ( ) f() + ( ) Punto singular: (, ) Como f'() ( ) es menor que 0 para cualquier valor de?, f es decreciente en todo su dominio y, por tanto, el punto singular no es máimo ni mínimo Determina os puntos singulares de y da cal coñecemos as súas asíntotas e a posición da curva con respecto a elas. Represéntaa. Y X Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 9

50 f() ( )( ) ( + ) ( ) ( + ) + ( ) f'() ( ) ( ) + + ( ) + f'() ( ) f (0) ; f () 6 0 Los puntos singulares son (0, ) y (, 6). El primero es un mínimo y el segundo, un máimo. Y X 7. Representa a función y + 6. y + 6 es una función polinómica, por ello es continua en Á. Ramas infinitas: 8 +@ ( + 6) +@ ( + Puntos singulares: f'() f'() f () (, 0) f ( ) ( ) ( ) (, ) Los puntos singulares son (, 0) y (, ). 50 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións

51 UNIDADE Esta es su gráfica: Y X 8. Estuda e representa y. f () Dominio de definición: Á {0} Asíntota vertical: 0. Posición Asíntota orizontal: 8@ ; y. Posición 8 0, f () 8 0 +, f () 8 +@, f () < f () < Puntos singulares: ( ) f'() ( ) f'() 0 8 No tiene puntos singulares. Esta es su gráfica: 0. No tiene solución. Y X Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións 5

52 9. Determina os intervalos de crecemento e de decrecemento de: f() f() 8 f'() Buscamos los valores de para los que f'() > 0 8 > 0 Intervalos de crecimiento de f: ) «(, +@) Intervalo de decrecimiento de f: (, ) f'() > 0 f'() < 0 f'() > 0 La función tiene un máimo en y un mínimo en. 5 Unidade. Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións