POTENCIAL ESCALAR. R R o campo electrostático (1.8) póde expresarse como o gradente dun campo escalar: 1 R

Transcript

1 Apuntes de Electomgnetismo. Cpítulo POTENCIA ECAA Chámse potencil un cmpo, en xenel con sentido solo mtemático, do que se póde deiv un cmpo físico. O cmpo electostático E é unh mgnitude con sentido físico e medible. Peo o seu estudio fcilítse po medio dun cmpo escl mtemático chmdo potencil escl. POTENCIA ECAA bendo que ˆ o cmpo electostático (.8) póde expesse como o gdente dun cmpo escl: E ρ dv ρ dv Ó clcul o gdente ténse en cont que ρ está definido en, e que é unh función solo de. O gdente solo fect, que é únic vible que depende de. O cmpo escl definido ρ dv (.) chámse potencil escl. A elción ente o cmpo electostático e o potencil escl é E (.) Chámnse supeficies equipotenciles s supeficies ns que o potencil tén un vlo constnte. A deivd dieccionl do potencil é ceo en clque diección τˆ tnxente á supeficie: s τˆ τˆ τˆ E ogo o cmpo electostático e s línes do cmpo electostático son nomles en todo punto ás supeficies equipotenciles. Exemplo.: potencil dunh cg puntul Un potencil escl dunh cg puntul q situd en é q qδ dv As supeficies equipotenciles son esféics, con cento n cg, e s línes do cmpo, semiects co extemo n cg. (.) ese máis dinte que póde hbe máis dun.

2 Apuntes de Electomgnetismo. Cpítulo Po se o gdente dun potencil, o cmpo electostático é consevtivo: C E ds (.) sendo C clque cuv ced, e polo tnto E (.5) A elción ecípoc ente o potencil e o cmpo vén dd pols popieddes do gdente: ( ) ( ) E ds A integl de líne elíse ó longo de clque cuv C que vi de. Anque (.) depende solo d distibución de cg ρ, clque outo cmpo escl que se difeencie de nun cmpo escl unifome dí o mesmo cmpo eléctostático: ( ). Como mgnitude con sentido físico é E, e son igulmente válidos. Dise que o potencil escl está indetemindo nunh constnte. Un punto ó que se lle sign bitimente o vlo ceo de potencil: ( ) chámse oixen de potenciles. (.6) Nos csos en que integl (.6) convexe p, pódese supoñe ( ), é dici, pódese tom un oixen de potenciles no infinito e E ds Cndo non ocoe esto, e se pón o oixen de potenciles nun punto, E ds (.7) (.8) Exemplo.: potencil dunh esfe cgd unifomemente e unh esfe de dio con cento en, cunh cg Q distibuid unifomemente no seu volumen. Clculemos o potencil pol integl de líne (.7) do cmpo (.), usndo como cuv de integción unh semiect contid nunh líne de cmpo, dil con especto á esfe, desde hst o infinito: c : [, ] c( ) ˆ (como é hbitul, ). e < : Q Q Q E ds d d e > : E ds Q Q d O potencil é continuo e con deivd continu p todo :

3 Apuntes de Electomgnetismo. Cpítulo Q Q,, (.9) Exemplo.: potencil dunh líne ect cgd unifomemente upoñmos unh líne con densidde de cg unifome coincidindo co eixe dun sistem de coodends cilíndics: ϕ E ˆ ˆ ˆ ˆ ϕ En pimeio lug, po simetí, o potencil non depende de ϕ nin de, e debido esto s equipotenciles son cilindos de dio coxiles co líne e s línes de cmpo diles. Integndo ó longo dunh líne de cmpo obtemos o potencil: d peo, difeenci do exemplo nteio, integl non convexe cndo. ogo debemos poñe o oixen de potenciles distnci finit d líne, obtendo (.) A pes de todo, hi que dici que s distibuciós de cg infinits non existen físicmente, senon que son modelos mtemáticos ideles. Po eso tén inteés obte o potencil como límite do dunh distibución finit (fig. ) que se poid esolve po integción diect. upoñmos de momento que líne vi de. Obtemos: d Fcemos o desenolo de Tylo: x dx d α onde o vlo medio d deivd coesponde ó seu vlo nun punto que cumple < < α ϕ Fig..

4 Apuntes de Electomgnetismo. Cpítulo e levmos o esultdo á expesión do potencil: 5 α α e fcemos e moito mioes c e, temos o límite sintótico Fig.. onde é unh lonxitude ccteístic que mc o límite de vlide do modelo mtemático. P >> o potencil d líne tende ó dunh cg puntul (fig. ), como debe ps con clque distibución finit de cg. e >> o sistem tén simetí de tslción n diección. Exemplo.: potencil de dus línes plels con densiddes de cg oposts. O inteés do sistem de dús línes plels con densiddes de cg oposts xustific o seu estudio con ceto detlle. Consideemos dús línes plels (epesentds en sección n fig. ), de lonxitudes ccteístics e con densiddes de cg unifomes e espectivmente. Nun punto que diste d pimei e d segund tese un potencil e está cotdo, o límite de ( / ) cndo s línes se fn infinits é ceo, esultndo que o potencil ds línes plels infinits é Debido á simetí tslcionl, s supeficies equipotenciles son cilindos plelos ás línes. Deteminemos sú sección tendo en cont que deben cumpli e K (.) sendo K unh constnte que detemin cd equipotencil. Fixemos un eixe no plno ds línes e plelo els, unh distnci D d positiv e D d negtiv. Independentemente de θ : Esto lev dús ecuciós sepds ( D ) ( D ) cosθ D D cosθ K

5 Apuntes de Electomgnetismo. Cpítulo K K D ˆ α E ˆ ˆ ( D ) D D D K que póden se stisfeits con vloes constntes de e D: K D ; K K (.) Polo tnto s supeficies equipotenciles son cilindos de sección cicul, cos eixes e dios clculdos. O cmpo electostático, E expesdo en función de, e os vectoes unitios nests diecciós, qued (.) P obte s línes de cmpo, expesemos en función de e, e clculemos o gdente: Do poducto escl po E Fig.. ˆ α E K ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) E cos E, α onde α é o ángulo que fomn os vectoes unitios, obtense que deivd diecciónl de α n diección de E é ceo. Polo tnto, s línes de E son cuvs de α constnte, é dici, cos de cicunfeenci. Unh simple constucción xeométic pemite deduci o seu dio e distnci y do cento con especto ó plno ds línes: ; y senα tnα N fig. epeséntnse, escl, sección ds línes, con tes equipotenciles coespondentes K (plno de simetí), e, e dús línes de cmpo. Pódese obsev como s línes de E son pependicules ás equipotenciles. ECUACIÓ DE POION E APACE Tendo en cont (.), divexenci de (.) esult ρ E ε Defínese o opedo lplcino dun cmpo escl, e epeséntse po, como divexenci do gdente deste cmpo. Usndo este opedo escibimos ecución de Poisson: que ns exiós libes de cg (ρ ) se educe á ecución de plce: ρ ε (.) 5

6 Apuntes de Electomgnetismo. Cpítulo (.5) Ests ecuciós cumplen s seguintes popieddes, s dús pimeis de demostción inmedit:. Clque combinción linel de soluciós d ecución de plce é out solución.. A sum dunh solución d ecución de Poisson e clque combinción linel de soluciós d ecución de plce é solución d ecución de Poisson.. O potencil escl cumple o teoem de unicidde seguinte: TEOEMA DE UNICIDADE O cmpo electostático nun volumen está poducido pol distibución totl de cg, logo non é suficiente conoce distibución de cg ρ dento do volumen p detemin o cmpo. Outo tnto se póde dici do potencil. O teoem de unicidde dá s condiciós de contono que, p unh densidde de cg ρ conocid, deteminn o potencil no volumen. e un volumen, limitdo pol supeficie ced. upoñmos dous posibles poblems, con densiddes de cg ρ () e ρ (), e sen () e () os potenciles coespondentes. O teoem de unicidde d solución d ecución de Poisson fim que, supoñendo igules densiddes de cg en : ρ () ρ (), (.6) ρ () ρ () ρ () ρ () () () ρ () ρ () Fig.. ) e n supeficie os potenciles coinciden (condición de Diichlet), coinciden en todo o volumen: () () () (). (.7) b) e n supeficie s compoñentes nomles dos gdentes dos potenciles son igules (condición de Neumnn), no volumen os potenciles difeéncinse como moito nunh constnte : () () n ˆ nˆ (.8) En clque dos dous csos, o cmpo electostático no volumen é o mesmo: E () E () (.9) Nótese que en ningún cso se di que () () nin que E () E (). Fó de os potenciles e os cmpos son en xenel distintos, mesmo nos puntos onde densidde de cg se igul. 6

7 Apuntes de Electomgnetismo. Cpítulo Demostción: Fgmos () (). Po se un opedo linel, ρ () ρ ε Clque ds dús condiciós enuncids implic que Como ( ) ( ) e, ( ) dv ( ) d n d ( ) dv ( ) dv Peo o cddo do gdente solo póde se positivo ou ceo. e integdo no volumen é ceo, debe se ceo en csi todo o volumen. ogo, tomndo un punto clque, se ( ), e p clque, podemos constui unh cuv de contid en, n que se veificá () d s ogo, ou se, () (), en clque cso (hipótesis ). e se cumple hipótesis,, o que signific que () (). A condición de Neumnn é máis débil c de Diichlet. Peo nótese que se se cumple, bst que en clque punto d supeficie ou do volumen os potenciles coincidn p que coincidn en todo o volumen. Exemplo.5: potencil dunh cg ns poximiddes dun plno infinito potencil ceo. ρ () ρ () d d d q σ q q e o plno (fig..5), e. Unh cg puntul q está situd no eixe unh distnci d do plno. e exión supeio ó plno ( > ), e infeio ( < ). e en non hi cgs,. Considendo un contono de fomdo pol supeficie e out supeficie situd no infinito, o potencil en todo el é ceo. O potencil stisfi ests condiciós de contono, logo é o coecto. Esto implic tmén que E. Peo o potencil debido á q non se póde nul en todo, polo tnto no plno debe existi unh densidde supeficil de cg σ, que xunto con q de. Ago o poblem é que p clcul σ necesitmos conoce E, e us s condiciós de fontei, peo non podemos clcul o cmpo sin conoce ntes σ. Peo exión está limitd pol supeficie ced que fomn plno e out supeficie consided no infinito. Unh fomd po q e out cg q q n posición d sobe Fig..5 distibución de cg fictici, ρ () o mesmo eixe dí () (po simetí). Po suposto, () ténde ceo no infinito. e ρ ρ () distibución de cg el (q e σ). X que q e σ están fó de, ρ () ρ (). Polo tnto () (). Ademáis () () (os dous son ceo, e esto Expesión mtemátic que signific en todo excepto, como moito, nun conxunto de contido ceo. 7

8 Apuntes de Electomgnetismo. Cpítulo tmén é ceto n supeficie no infinito). ogo, polo teoem de unicidde, () (). Despois desto o cálculo é inmedito: q q Tbllndo en coodends cilíndics: q ( d ) ( d ) O o cmpo electostático tmén é o de dús cgs puntules: q [ ] [ ] ˆ ˆ d ˆ ˆ d E / d d / Po suposto esto non é plicble, poque () (). P < e E siguen sendo ceo. Ago podemos clcul densidde de cg no plno. en exión é exión : σ ε n ( E E ) ˆ ε q E π d [ d ] / Integndo est expesión en todo plno obtense Q q. Pol plicción do teoem de Guss unh supeficie ced que conteñ o plno e o volumen esto e de espe, x que o cmpo que poduce σ e o que poducií cg q en son o mesmo. As cgs ficticis que se utilin p esove poblems stisfcendo s condiciós de contono de poblems eles chámnse cgs imxen. Exemplo.6: potencil de dús supeficies equipotenciles cilíndics cicules e plels σ ρ () l Fig..6 Out ve debemos clcul o potencil ou o cmpo sin conoce distibución de cg el ρ () (fomd pol densidde supeficil σ ns supeficies equipotenciles). Peo sbendo que s equipotenciles de dús línes plels cgds unifomemente con densiddes lineles e son cilindos cicules, o poblem é o inveso deste: tátse de plnte o poblem do exemplo., supoñendo dús línes cgds ficticis de mnei que s equipotenciles coincidd cos supeficies dds (fig. 6). en dús supeficies cilíndics (fig. 6) potenciles espectivos e de igul dio, cos eixes plelos e sepdos unh distnci l. esolvendo s ecuciós (.) p obtemos como solución K l ρ () σ l Ago, conocendo os potenciles ns supeficies, ; l l l D l l K K K 8

9 Apuntes de Electomgnetismo. Cpítulo pemite obte : ( ) K e o potencil, según (.) é C K sendo C unh cet constnte (un potencil unifome cumple ecución de plce). É inmedito ve que p que est solución cumpl s condiciós de contono nos cilindos debemos fce K Obsévse que este potencil non ténde ceo no infinito, menos que. No inteio dos cilindos est solución non é plicble. Peo, ó se ρ e ρ, quí cúmplese ecución de plce, e unh solución comptible cos condiciós de contono é ; OUTA POPIEDADE DO POTENCIA Ademáis ds tes x vists, en exiós sin cg ( ) o potencil cumple s seguintes popieddes xeneles d solución d ecución de plce:. A solución do poblem de Diichlet ou Neumnn minimi integl do cddo do gdente. Ou se, é función máis suve de tódls funciós ψ que cumplen s condiciós de contono: ( ) dv ( ψ ) dv e ψ χ nun volumen limitdo pol supeficie. Pol condición de contono, χ ou n ˆ χ. Ténse [ ( χ )] dv ( ) dv ( χ ) dv ( ) ( χ ) dv A últim integl é ceo. e χ, poque o integndo é ceo. E se χ poque ( ) ( χ ) dv ( χ ) χ dv χ d [ ] χ dv (.) Como integl de ( χ) póde se ceo (se ψ en csi todo ) ou positiv, qued demostdo o teoem. 5. A solución d ecución de plce non tén extemos eltivos estictos no inteio de. Un esultdo xenel de teoí de cmpos pemite escibi ˆ d dv π (.) Deteminción de cmpos, ec..7. 9

10 Apuntes de Electomgnetismo. Cpítulo onde é o potencil expesdo en función do punto cmpo. e unh esfe de dio centd en, con densidde de cg ceo. A últim integl é ceo, obvimente. N pimei: d E d Q O que qued é o vlo medio do potencil sobe supeficie. ogo: (.) Pois ben, se nun punto do inteio de houbese un máximo ou mínimo esticto eltivo, existií un entono de no que fose espectivmente máximo ou mínimo esticto bsoluto. Peo dento deste entono podeímos constui unh supeficie esféic con cento en. Como mín () máx nin o máximo nin o mínimo estictos de póde est en. Polo tnto, os extemos estictos de, se existen, están n supeficie. CONDICIÓ DE FONTEIA DO POTENCIA ECAA upoñmos que n supeficie d fig..7 o cmpo electostático E se mntén cotdo. Aplicndo (.6) dous puntos e ós dous ldos d supeficie, e fcendo tende estes puntos un mesmo punto, (, ), integl de líne ténde ceo. ogo, (.) ou se, o potencil é continuo incluso nunh supeficie de discontinuidde de E. En cmbio o seu gdente, po (.), tén compoñente noml discontinu ments que, po se, n ˆ ( ) ˆ σ ε (.) n ( ) (.5) Existen modelos mtemáticos nos que o potencil é discontinuo nunh supeficie, peo esto esixe que o cmpo E se fg infinito.