I. MATRICES. 1.- Matriz de orden mxn. Igualdade de matrices. 2.- Tipos de matrices

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "I. MATRICES. 1.- Matriz de orden mxn. Igualdade de matrices. 2.- Tipos de matrices"

Βηθεσδά Χριστόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 I. TRICES.- riz de orde mx. Iguldde de mrices U coxuo de m. elemeos du corpo K (e xerl úmeros reis, elemeos do corpo R) disposos e m fils e colums, chámse mriz de dimesiós m. ou mriz do ipo (m, ) O ermo siudo iersecció d fil i e colum j, represése por. Os úmeros uris i e j chámse, respecivmee, ídice de fil e ídice de colum do ermo. ( ) mx m s m fils d mriz, pódese cosiderr como elemeos (vecores) de R, e s colums como elemeos (vecores) de R m. Dús mrices ds mesms dimesiós so iguis se o so ere si os elemeos que ocup o i,,, m mesmo lugr, é dicir: ( ) ( b) b, j,,, m m.- Tipos de mrices ededo ás sús fils e colums: riz fil (ou vecor fil) é que só e uh fil, (j)(,,, ). s dimesiós so. riz colum (ou vecor colum) que só e uh colum, ( riz cdrd: e igul úmero de fils que de colums; se s dimesiós so. dise de orde. Digol pricipl duh mriz cdrd é o coxuo de elemeos les que Digol secudri duh mriz cdrd é o coxuo dos elemeos les que riz recgulr que e disio úmero de fils c de colums, i ). s dimesiós so m. m. riz rspos de é uh mriz ', que se obé cmbido e, fils por colums. Dimesiós.m ededo ós elemeos: riz ul ou mriz cero é quel que e ódolos seus elemeos iguis cero, O (). riz digol é uh mriz cdrd que ódolos elemeos o perecees á digol pricipl so ulos. riz esclr, mriz digol que ódolos elemeos d digol pricipl so iguis. riz uidde, uiri ou mriz ideidde, é uh mriz esclr cos elemeos d digol pricipl iguis ; represeámol por I se é de orde. I /

2 riz rigulr: mriz cdrd e que odos os elemeos por erib (rigulr iferior) ou por debixo (rigulr superior) d digol pricipl so ulos. riz opos é formd polos oposos dos elemeos de mesm orde, ). ( ededo á sú simerí: riz siméric: mriz cdrd que coicide co sú rspos, é dicir ji,, riz isiméric ou hemisiméric: mriz cdrd que coicide co opos d rspos,, e polo o, (obsérvese que ii ) ji.- Sum de mrices e produo por u esclr. Propieddes Sum de mrices: No coxuo m. ds mrices recgulres de dimesiós m., defiimos sum de dús mrices ) e B b ) como lei de composició ier dd por: ( ( m x m m ( B) B ( ) ( b ) ( b ), O coxuo m ds mrices recgulres de dimesiós m. co sum de mrices é u grupo belio respeco d sum de mrices, pois cumpre que: Propiedde sociiv: [ B C] [ B] C Elemeo euro: O O Elemeos oposos: ( ) O Propiedde comuiv: B B diferez de mrices defíese como B ( B) Produo duh mriz por u esclr : Defiimos uh lei de composició exer sobre o corpo dos úmeros reis: R x m m α α α( ) ( α ( ) ), O coxuo m ds mrices recgulres de dimesiós m. co sum de mrices e o produo por u esclr, e esruur de espzo vecoril sobre o corpo dos úmeros reis, x que demis de ser u grupo belio pr sum, cumpre que: ( ) B Disribuiv do produo respeco d sum de mrices: α B α α Disribuiv do produo respeco d sum de úmeros reis: ( α β) α β Lei de sociividde ere úmeros e mrices: α ( β ) (αβ ) Lei de eurlidde do produo exerior:. O úmero é o elemeo uidde dos úmeros reis, e B mrices clquer d mesm dimesió e α e β úmeros reis. I / emáics II ÁLEBR

3 4.- Produo de mrices. Propieddes Dús mrices e B, so muliplicbles es orde, e escríbese.b, se o úmero de fils de B coicide co úmero de colums de. Ness codiciós, se ( ) m e B(b jk ) p mriz C.B é de dimesiós m.p, C(c ik ) mp e cd c ik ve ddo d seguie form:. b k. bk i) i i i cik cik i b k ibk ibk b jk. j bk. s seguies propieddes cúmprese sempre que sex posible efecur os produos idicdos; e priculr, cúmprese o cso de que se re de mrices cdrds de orde. Exemplos - sociividde: ( B) C ( BC),, B, C - Elemeo euro: I l que, I I - Disribuiv: ( B C) B C,, B, C O produo de mrices o é comuivo; e xerl,.. B B : ( 7) ( 7) O coxuo ds mrices cdrds de orde, cos operciós iers sum e produo, e esruur de el uirio o comuivo. Exercicios:. O produo de dús mrices o uls pode dr uh mriz ul. Comproblo cos produos: De.C.B o se deduce ecesrimee que CB. Comproblo cos mrices: 5, B, C Se é uh mriz de clquer orde, exise sempre o produo? Rzo respos s poecis de expoñee posiivo e eeiro duh mriz cdrd defíese de form mricil por: I,,,,..., mriz chámse poeci eésim (-ésim) d mriz. N culidde, o só se rbll co mrices que eñe por elemeos úmeros seó mé lers, plbrs ou fórmuls. N eorí de decisiós, que se plic cividde políic e empresril, uilízse chmd mriz Eisehower: IPORTNCI l bix URENCI l bix Solucior Demorr Delegr rquivr TRICES emáics II I /

4 5.- plicciós ds mrices. Exemplo: rede de esrds duh peque ill pódese represer por u esquem que recibe o ome de grfo e que vil, o poro e igrex prece represedos por puos e cd cmiño por u rco de curv. Pr expresr cuh mriz iformció dd polo grfo, cosrúese uh ábo de dobre erd cos res lugres e cóbrese s css do seguie modo: os dous puos comuícse direcmee os dous puos o se comuic direcmee. Obese dese modo mriz socid o grfo ddo. Dede Vil Igrex Poro Vil Igrex Poro mriz mosr s forms que eñe de comuicrse os res puos d ill rvés douro puo. idic que vil se pode comuicr co vil psdo por ouro puo (o poro) sigific que igrex pode comuicrse co vil rvés douro puo (o poro) idic que o poro o pode comuicrse co vil rvés douro puo sigific que o poro pode comuicrse co poro psdo por dous puos diferees ( igrex e vil) mriz C dá s forms diferees de ir por esrd du puo ouro d ill, be direcmee (mriz ), be rvés douro puo (mriz ) Exercicio: Os cro equipos de resce (, B, C e D) duh rexió de moñ pódese comuicr direcmee d seguie form: O equipo cos equipos B e C; o equipo B co equipo ; o equipo C cos equipos, B e D; o equipo D somee co equipo. ) Debux o grfo socido correspodee. b) Form mriz socid o grfo. c) Form mriz e ierpre os seus elemeos. d) Ierpre mriz. I / 4 emáics II ÁLEBR

5 TRICES emáics II I / 5 EERCICIOS. chr Y 9, Y Y sedo e Y s mrices que verific. Dds s mrices e y x N ) Deermi x e y pr que NN b) Clcul 995 e. Clculr 996 sedo 4. Se e B so dús mrices x de úmeros reis e é digol, pódese firmr que.bb. pr clquer mriz B? Como deberí ser pr que.bb. pr clquer mriz B? 5. Sex mriz. chr N, pr. 6. Dd mriz, deermir, se é posible, u vlor m pr que (-mi) 7. Se é uh mriz cdrd x, l que sex mriz ul. (mriz idempoee) e I é mriz uidde (x), que mriz é B 8. Dds s mrices, se B-I? qr p m C, B,, que codiciós debe cumprir p, q e r pr que s seguies operciós pod ser efecuds e cl é orde d mriz resule? ).C.B b).(bc) 9. Sbedo que mriz o ul verific que λ, deermir u vlor o ulo do úmero rel l que I I ) (λ, sedo I mriz ideidde.. Dise que dús mrices cdrds de orde, e B, comu d c b se.bb.. Obéñse s mrices que comu co mriz B. chr uh mriz B sbedo que sú primeir fil é (, ) e que demis verific B sedo. Sex uh mriz m x. ) Exise uh mriz B l que B é uh mriz fil? Se exise, que orde e? b) Se pode ecorr uh mriz B l que B é uh mriz fil? Se exise, que orde e? c) Busc uh mriz B l que ( ) B sedo. ) Clculr s mrices reis cdrds de orde x, e Y, que verific s seguies ecuciós: C Y B Y ode B e C b) Se e Y so s mrices eriores, clculr mriz (Y)-(Y)(Y)

6 4. Sex mriz e sex u úmero url clquer. Ecorr o vlor de pr cd e chr Buscr uh mriz cdrd (pode exisir vris) que eñ como primeiro elemeo e l que sum sex mriz ul Demosrr que: ( ), Comprobr ( B) B, ( α ) α e ( B ) B cos mrices 7 B Sex uh mriz rbirri. Demosr que é uh mriz siméric e que é uh mriz isiméric. provei ese resuldo pr demosrr que clquer mriz se descompó e sum duh mriz siméric e uh isiméric Se é uh mriz isiméric, demosrr que e so mrices simérics e so mrices isimérics 5 b 9. Dds s mrices 5, B c c se pide: ) Ecorr s codiciós que debe cumprir, b e c pr que se verifique B B b) Pr b c, clculr B 7 9. Sex I e s mrices cdrds seguies: I, 7 Se pide clculr, escribido explicimee s operciós ecesris: ) s mrices e. b) Os úmeros I α I β α e β pr os que se verific: ( ) e Dd uh mriz P, exise uh mriz Q, l que o produo P.Q, ou be o produo Q.P sex uh mriz duh so fil? B. Clculr mriz P P-I, sedo I mriz ideidde de orde e P 8.. Sex P e Q dús mrices cdrds x. Bixo que codiciós se verific iguldde ( P Q)( P Q) P Q? B. Comprobr se se verific iguldde erior pr s mrices P Q 8.. Defiició de produo de mrices B. Dds s mrices, B e C sábese que.b.c é uh mriz de orde x e que B.C é uh mriz de orde 4 x, cl é orde de? usifíqueo. Cosidérse dús mrices e B que verific B e B. Clcule 7 mriz B 7. Demosre que od mriz cdrd -dimesiol pódese escribir como sum duh mriz siméric e our isiméric. I / 6 emáics II ÁLEBR

Σχετικά έγγραφα

EXERCICIOS DE REFORZO: DETERMINANTES., calcula a matriz X que verifica A X = A 1 B, sendo B =

EXERCICIOS DE REFORZO: DETERMINANTES., calcula a matriz X que verifica A X = A 1 B, sendo B = EXERCICIOS DE REORZO: DETERMINANTES Pr A, lul riz X que verifi AX A B, sendo B ) Define enor opleenrio e duno dun eleeno nunh riz drd ) Dd riz A : i Clul o rngo, segundo os vlores de λ, de A λi, sendo