Universitatea din Craiova Facultatea de Automatică, Calculatoare şi Electronică
|
|
- Σωκράτης Μελετόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII Universitatea din Craiova Facultatea de Automatică, Calculatoare şi Electronică Ing. Daniela COMAN ALGORITMI FUZZY PENTRU CONDUCEREA ROBOŢILOR DIN JOCURILE DE TIP FOTBAL Rezumat al tezei de doctorat Conducător ştiinţific Prof. univ. dr. ing. Mircea IVĂNESCU CRAIOVA 2008
2 CUPRINS (extras) Lista Figurilor.... iii Lista Tabelelor x 1. Introducere Caracteristicile structrurii mecanice pentru roboţii din jocul de fotbal Caracteristicile structurii mecanice a robotului YSR-A Modelul cinematic al robotului YSR-A Raza de rotaţie instantanee Analiza traictoriei circulare Odometria mecanismului diferenţial Modelul dinamic al robotului YSR-A Caracteristicile structurii mecanice a robotului RoboRoos Mecanismul de mişcare omnidirecţional Mecanismul de şutare a mingii Mecanismul de driblare a mingii Reţele Petri Noţiuni introductive Specificaţii de proiectare ale reţelelor Petri pentru structurile de conducere Proiectarea structurilor de conducere prin tehnici de sinteză hibridă Rafinarea operaţiilor prin sinteză descendentă Prezentarea generală a procedurii de rafinare Module standard utilizate în rafinare Ataşarea resurselor prin sinteză ascendentă Prezentarea generală a procedurii de ataşare a resurselor Proprietăţi caracteristice ale structurilor de conducere rezultate din sinteză Funcţiuni de bază şi consideraţii de proiectare ale controlerului Reţele Petri fuzzy Noţiuni fundamentale privind logica fuzzy Tipuri de funcţii de apartenenţă Restrictori Operaţii cu mulţimi fuzzy Proprietăţi generale ale unui sistem de conducere în logică fuzzy Concepte privind reţele Petri fuzzy Reţele Petri pentru reprezentarea regulilor fuzzy (reţele lingvistice) Reţele Petri fuzzy bazate pe reţele de tranziţii şi locuri (noduri) Reţele Petri fuzzy temporale
3 5. Aplicarea reţelelor Petri în arhitectura de conducere a roboţilor din jocul de fotbal Arhitectura de conducere a roboţilor din jocul de fotbal Modelul controlerului pentru atribuirea rolului Modelul controlerului pentru robotul fundaş Modelul controlerului pentru robotul atacant Modelul controlerului pentru robotul portar Controlul mişcării roboţilor din jocul de fotbal Metoda câmpului vectorial Metoda ciclului limită Navigarea folosind metoda ciclului limită Navigarea folosind metoda ciclului limită extinsă Algoritm de conducere fuzzy a unui robot mobil în jocul de fotbal Exemple de aplicare a algoritmului de conducere fuzzy pentru diferite traiectorii dorite Rezultate experimentale Implementarea comenzilor cu model de tip reţea Petri şi a controlerului în logică fuzzy Concluzii finale. Contribuţii originale. Direcţii viitoare de cercetare. 220 Bibliografie
4 Un domeniu interesant şi în curs de dezvoltare, potrivit pentru cercetarea tuturor aspectelor sistemelor inteligente multiagent şi ale roboţilor mobili este cel al roboţilor fotbalişti. Teza este organizată pe opt capitole, la care se adaugă Lista figurilor, Lista tabelelor și Bibliografia. Primul capitol, intitulat Introducere, prezintă o sinteză precum şi valorifică un studiu existent în literatura de specialitate, privind stadiul la zi al realizărilor în domeniul roboţilor din jocurile de fotbal şi precizează direcţiile principale de cercetare în domeniu. Roboţii fotbalişti au atras atenţia cercetătorilor, nu numai prin latura distractivă pe care aceştia o reprezintă, dar mai ales prin multitudinea de probleme care trebuie rezolvate în timp real. Relevant în sprijinul acestei afirmaţii este numărul destul de mare al asociaţiilor de programatori de roboţi fotbalişti, care este în continuă creştere. Astfel au fost amintite următoarele asociaţii internationale: RoboCup (The Robot World Cup Initiative) şi FIRA (Federation of International Robot-soccer Association) organizând diverse competiţii. Scopul final declarat al RoboCup este ca : până în 2050 să dezvolte o echipă de roboţi umanoizi total independenţi care să învingă echipa câştigătoare a cupei mondiale la fotbal, respectând regulamentul oficial al FIFA. Cele două asociaţii diferă atât prin regulile impuse asupra jocului, cât şi asupra roboţilor. Realizarea unui sistem de roboţi mobili fotbalişti necesită conceperea unui modul de percepere a mediului în timp real, cuplat cu un modul decizional şi cu un modul de calcul al traiectoriei. Mai mult, comportamentele robotului pot varia de la comportamente simple, reactive, ca deplasarea spre minge, până la comportamente complexe care să ia în considerare acţiunile şi strategiile coechipierilor şi adversarilor. O arhitectură de succes a unui astfel de sistem implică utilizarea unor algoritmi mai complecşi de detecţie a imaginilor bazate pe echipamente performante, realizarea unui modul cât mai inteligent de evaluare a strategiilor şi al controlului navigaţiei, vizând evitarea obstacolelor la un prim nivel şi elaborarea unor planuri complexe într-un nivel superior, un sistem de comunicaţie radio eficient şi o platformă hardware fiabilă a roboţilor. Componenta de inteligenţă artificială poate fi implementată în mai multe moduri folosind diverşi algoritmi de învăţare, predicţie, comunicare inter-agent şi cooperare. Un aspect important al complexităţii sistemului de roboţi fotbalişti este că aceştia trebuie să controleze nu numai poziţiile proprii, ci şi ale mingii, care este un element dinamic pasiv al mediului. Al doilea capitol, intitulat Caracteristicile stucturii mecanice pentru roboţii din jocul de fotbal, prezintă structura roboţilor YSR-A dezvoltați de firma Yujin Robotics Co. LTD avuţi în vedere în această lucrare precum şi structura roboţilor RoboRoos dezvoltaţi de Universitatea din Queensland. În prima parte sunt prezentate soluţiile constructive posibile, soluţia constructivă cinematică cu 2 roţi motoare şi 2 suport dovedindu-se a fi cea optimă pentru robotul YSR-A, apoi este dezvoltat modelul cinematic al robotului YSR-A. De asemenea se determină ecuaţia cinematică a robotului precum şi raza de rotaţie instantanee iar în funcţie de aceasta sunt prezentate diferitele posibilităţi de mişcare ale robotului. În continuare este prezentată o analiză a traiectoriei circulare a robotului şi odometria mecanismului de mişcare al robotului YSR-A. Se determină curbele caracteristice pentru cele trei componente ale poziţiei x(t), y(t), θ(t) precum şi traiectoria robotului în sistemul de coordonate XY. De asemenea sunt determinate ecuaţiile dinamice ale robotului mobil. În partea a doua a acestui capitol sunt prezentate caracteristicile mecanice majore ale robotului RoboRoos: sistemul de mişcare omnidirecţional, mecanismul de şutare a mingii precum şi mecanismul de driblare a mingii. Sunt prezentate configuraţiile posibile pentru mecanismul de mişcare: configuraţia Y cu amplasamentul roţilor lateral şi longitudinal precum şi configuraţia delta. Soluţia constructivă, cinematică cu 3 perechi de roţi având configuraţia în Y iar amplasamentul roţilor lateral, s-a dovedit a fi cea optimă pentru robotul RoboRoos. Sunt determinate ecuaţiile cinematice ale mecanismului de mişcare omnidirecţional. De asemenea se prezintă mecanismul de şutare a mingii fiind acţionat de un singur motor de curent continuu atât 4
5 pentru a împinge cât şi pentru a retrage dispozitivul de lovirea mingii. Sunt prezentate principalele componente ale mecanismului de şutare a mingii, apoi mecanismul de driblare a mingii, ce realizează controlul şi mişcarea mingii în terenul de joc fără să piardă posesia ei. Capitolul trei, intitulat Reţele Petri, este dedicat în întregime abordării reţelelor Petri. În prima parte sunt prezentate unele noţiuni de bază ce ţin de tematica examinată, notaţiile şi terminologia referitoare la reţelele Petri clasice pentru o orientare mai corectă la descrierea rezultatelor din teză. Pentru facilitarea înţelegerii noţiunilor introduse în primul paragraf este dată descrierea informală a unui exemplu de proces de trimitere primire de mesaje printr-un canal unidirecţional. În afară de definiţia formală a reţelelor Petri este menţionată în mod special regula după care se studiază evoluţia unui sistem şi anume aşa numita regulă de tranziţie. Tot în acest paragraf 1.1 sunt expuse definiţiile proprietăţilor structurale şi dinamice de bază ale reţelelor Petri de tip P/T cum ar fi: mărginirea, viabilitatea, accesibilitatea, reversibilitatea definiţiile proprietăţilor structurale, proprietăţi ce garantează o bună comportare a sistemului modelat indiferent de modul încă necunoscut de gestionare a tuturor resurselor. În continuare este prezentată o tehnică binecunoscută de verificare a proprietăţilor reţelelor Petri şi anume tehnica invarianţilor. Invarianţii asociaţi unei reţele Petri au conotaţii speciale în cadrul analizei proprietăţilor comportamentale ale acesteia şi constituie, de aceea un instrument des întâlnit. Această metodă este utilizată pentru a demonstra proprietăţile dinamice ale reţelelor Petri precum proprietăţile de accesibilitate, mărginire, reversibilitate şi viabilitate. Un avantaj al invarianţilor constă în aceea că ei pot fi construiţi în timpul fazei de proiectare a sistemului, aceasta ajutând la obţinerea unei modelări cât mai eficiente. În finalul acestui capitol sunt prezentate specificaţiile de proiectare ale reţelelor Petri pentru structurile de conducere. Capitolul 4, intitulat Reţele Petri fuzzy, conţine două părţi. În prima parte se prezintă cele mai importante mărimi care caracterizează mulţimile fuzzy, diferite tipuri de funcţii de apartenenţă (triunghiulară, gaussiană, trapezoidală, Bell generalizată, respectiv sigmoidă), a căror alegere depinde de aplicaţiile în care sunt utilizate. Se amintesc câţiva restrictori, modificatori matematici ai funcţiilor de apartenenţă pentru termeni lingvistici. Se precizează operaţiile efectuabile asupra mulţimilor fuzzy, insistându-se asupra conceptului de normă triunghiulară. Comparând tipurile de inferenţă propuse de Mamdani şi Sugeno, se poate considera în general că metoda Mamdani este mai intuitivă şi deci mai potrivită pentru aplicaţiile în care oamenii trebuie să introducă date direct. Un alt avantaj al său constă în larga răspândire şi acceptare de care se bucură. Pe de altă parte, metoda Sugeno este mai eficientă din punct de vedere computaţional, se pretează la tehnicile adaptive şi de optimizare şi este deci mai potrivită pentru analiza bazată pe tehnici matematice. Deşi sunt probleme clasice, ele au fost totuşi punctate, în această primă parte, pentru a evidenţia aspectele de realizare a inferenţei, extrem de necesară atât în aplicarea reţelelor Petri clasice cât şi în aplicarea algoritmului de conducere a robotului mobil. În partea a doua a acestui capitol, se prezintă concepte privind reţelele Petri fuzzy, reţele Petri pentru reprezentarea regulilor fuzzy (reţele lingvistice), reţele Petri fuzzy bazate pe reţele de tranziţii şi locuri precum şi reţelele Petri fuzzy temporale. Sunt prezentate diverse modele de reţele Petri fuzzy astfel: - reţele fuzzy Petri cu baton de adevăr în care o tranziţie reprezintă o operaţie de minim, iar un nod o operaţie de maxim; - reţelele Petri fuzzy cu regulă de producţie fuzzy, unde descrierea cunoştinţelor despre regulile de producţie este realizată prin valori de adevăr, ca un algoritm de deducţie fuzzy; - cu ramuri fuzzy, unde regula de producţie fuzzy este combinată cu batoanele de adevăr fuzzy. 5
6 În continuare sunt prezentate reţele Petri fuzzy lingvistice. Metodele fuzzy aplicate la reţele Petri permit simplificarea regulilor. Dacă în sistemele fuzzy fiecare regulă este verificată la un moment dat de timp, dacă este utilizată, în reţeaua Petri fuzzy se foloseşte o informaţie structurală şi se verifică numai o submulţime de reguli, şi deci apare o economie de timp de calcul. Contrar cu reţelele Petri fuzzy de tip lingvistic sunt prezentate reţelele Petri fuzzy bazate pe reţele de tranziţii şi locuri (noduri) în care se operează cu funcţii de apartenenţă. Acest concept de reţea Petri fuzzy permite ca în noduri să se găsească simultan mai multe batoane, iar tranziţiile pot cauza fluxuri diferite de date. Deci diferite stadii de îndeplinire a procesului de conducere pot fi evaluate după numărul de batoane în noduri. În finalul capitolului sunt prezentate reţelele Petri fuzzy temporale prin introducerea criteriul timpului în reţelele Petri fuzzy. O tranziţie temporală necesită un timp pentru transferul batoanelor de la nodul de intrare la cel de ieşire. Aşadar, folosirea conceptelor fuzzy în automatizarea diverselor procese permite utilizarea cunoştinţelor despre proces, exprimate lingvistic în reguli de conducere. Reţelele Petri fuzzy sunt utilizate eficient în structuri de modele pentru procese în paralel şi de tip asincron. Reţelele Petri fuzzy pot fi folosite pentru reprezentarea regulilor fuzzy la sistemele de conducere fuzzy şi deci pot fi considerate ca modele pentru scopuri de simulare şi conducere a proceselor. În capitolul cinci intitulat Aplicarea reţelelor Petri în arhitectura de conducere a roboţilor din jocul de fotbal este prezentată, în patru etape, utilizarea reţelele Petri în arhitectura de conducere a roboţilor din jocul de fotbal, definindu-se topologia fiecărei reţelei Petri pentru stabilirea rolului fiecărui robot, conform situaţiei de joc precum şi pentru stabilirea acţiunii fiecărui robot în rolul atribuit. În prima etapă este modelat controlerul pentru atribuirea rolului fiecărui robot în funcţie de situaţia de joc iar în următoarele trei etape sunt modelate controlerele pentru fiecare rol atribuit: robot fundaş, robot atacant şi robot portar. În ceea ce priveşte modelul de tip reţea Petri al controlerului pentru atribuirea rolului, acesta a trebuit să surpindă într-o topologie cât mai sintetică strategia echipei. Modelul de tip reţea Petri al controlerului pentru robotul fundaş a trebuit să surpindă într-o topologie cât mai sintetică situaţiile posibile pentru robotul fundaş şi anume: robotul fundaş se află în spatele mingii; robotul fundaş loveşte mingea; robotul fundaş se află în poziţie de autogol; robotul fundaş este în contact cu mingea în spatele său. În ceea ce priveşte modelul de tip reţea Petri al controlerului pentru robotul atacant, acesta a fost conceput astfel încât topologia acestuia să conţină următoarele situaţii în care se poate afla robotul atacant, astfel: robotul atacat se află în spatele mingii; robotul atacant loveşte mingea; robotul atacant este în contact cu mingea în spatele său. În ultima etapă s-a realizat modelul de tip rețea Petri pentru controlerul robotului portar, acesta fiind proiectat pentru a reacţiona la situaţiile caracterizate de distanţa dintre poarta proprie şi minge astfel încât robotul portar să poată blocheze mingea sau să o lovească departe de propria poartă. Controlerul robotului portar a fost proiectat pentru a reacţiona la situaţiile caracterizate de distanţa dintre poarta proprie şi minge. Au fost considerate trei situaţii: distanţă îndepărtată, distanţă medie, în zona porţii. Distanţă îndepărtată a fost considerată distanţa dintre poartă şi minge de aproximativ 50 pixeli, distanţă medie de 20 pixeli iar în zona porţii distanţa este sub 20 pixeli. 6
7 După realizarea construcţiei grafice a fiecarei reţelei de comandă, s-a realizat transpunerea acesteia în formalismul matematic specific, în aşa fel încât structura realizată să fie regăsită în totalitate şi utilizată în evidenţierea dinamicii interne a modelului. Rezultatele obţinute în urma verificării matematice prin metoda invarianţilor asociaţi tranziţiilor şi a celor corespunzători poziţiilor după calculul matricii de incidenţă a fiecărei reţele au fost validate prin simulări efectuate cu software-ul Petri Net Toolbox în mediul MATLAB. A fost validată în acest fel atât topologia fiecărei reţele, evoluţia (dinamica acestora), cât şi proprietăţile structurale şi comportamentale. S-au evidenţiat cu această ocazie o serie de atribute ale modelului: simplitatea acestuia, compactitatea, portabilitatea şi în acelaşi timp flexibilitatea structurii sale. Nu în ultimul rând s-a arătat modul în care reţelele construite se pot constitui în entităţi de tip obiect în cadrul unor arhitecturi ierarhizate. De asemenea, opţiunile speciale ale software-ului Petri Net Toolbox, care îi conferă o mare capacitate de analiză pe lângă o animaţie ce permite identificarea marcajului după execuţia fiecărei tranziţii şi o observare mai uşoară a comportamentului dinamic al reţelei, au făcut posibilă reprezentarea evoluţiei indicatorilor globali de performanţă asociaţi poziţiilor respectiv tranziţiilor fiecărei reţele pentru diverşi parametrii de simulare. În capitolul şase, intitulat Controlul mişcării roboţiilor din jocul de fotbal, se prezintă şi se analizează în prima parte două strategii de conducere a roboţilor şi anume conducerea roboţilor folosind metoda câmpului vectorial şi metoda ciclului limită iar în partea a doua este dezvoltat un algoritm de conducere fuzzy a robotului mobil în jocul de fotbal care să asigure evoluţia robotului mobil pe traiectoria obţinută în etapa de planificare Conducerea roboţilor mobili într-un mediu dinamic este o problemă deosebit de complexă datorită relaţiilor matematice (cinematice şi dinamice) neliniare între diferitele mărimi care caracterizează starea robotului şi modul de descriere a mediului în care acesta evoluează. Probleme deosebite apar la interacţiunea dintre cele trei elemente fundamentale într-o astfel de acţiune şi anume robotul mobil, mediul şi scopul (doleanţele de comportament). Sunt nenumărate cercetările care au ca scop realizarea funcţionării automate a unui robot inserat într-un mediu real, parţial şi aproximativ cunoscut, în care robotul trebuie să ia decizii în funcţie de evoluţia mediului. Ca în orice problemă de conducere a roboţilor mobili sunt parcurse două etape: 1. Determinarea traiectoriei dorite. 2. Asigurarea evoluţiei robotului pe traiectoria planificată. Traiectoria dorită este obţinută folosind metoda câmpului vectorial şi metoda ciclului limită. Metoda câmpului vectorial reprezintă o modificare a câmpului potenţial, robotul mobil putându-se deplasa în raport cu forţa rezultantă compusă dintr-o forţă atractivă generată de ţintă (poziţia dorită) şi o forţă repulsivă generată de obstacolele ce trebuie evitate. Metoda ciclului limită generează o traiectorie pe care un robot o urmează pentru a evita posibile multiple obiecte aflate în mişcare, în timp ce se deplasează în timp real către o poziţie ţintă folosind caracteristicile ciclului limită ale unei funcţii neliniare de ordinul doi ce modelează mişcarea sa. Metoda câmpului de vectori unitari şi metoda ciclului limită garantează ieşirea din minimul local şi este eficientă în evitarea coliziunii cu obstacole aflate în mişcare. În partea a doua a acestui capitol este dezvoltat algoritmul de conducere fuzzy a robotului mobil în jocul de fotbal care să asigure evoluţia robotului mobil pe traiectoria obţinută în etapa de planificare. Se propune o structură de conducere fuzzy, care să ţină cont de tronsonul traiectoriei dorite pe care evoluează robotul, adaptarea funcţiilor de apartenenţă făcându-se în funcţie de mediul de evoluţie. Pentru structura de conducere fuzzy, s-au încercat variante cu 25, 32 şi 72 de reguli, dar s-a optat pentru structura cu 25 de reguli, avându-se în vedere reducerea timpul de calcul. 7
8 Prin intermediul mediului MATLAB, s-a demonstrat că robotul porneşte dintr-o poziţie iniţială oarecare, urmăreşte ţinta fără să-şi piardă controlul, indiferent dacă traiectoria este simplă sau cu bucle. În capitolul şapte intitulat Rezultate experimentale este prezentat un studiu al evoluţiei roboţilor în jocurile de tip fotbal folosind funcţii şi proceduri concepute de autoare în limbajul C. Analiza comparativă a rezultatelor obţinute atât prin simulări cât şi prin implementarea pe sistemul real, privind controlul mişcării în timp real, a confirmat fezabilitatea şi robusteţea sistemului de conducere fuzzy propus. Punctul de plecare în dezvoltarea arhitecturii de comandă bazate pe modelul de referinţă de tip Reţea Petri l-a constituit observaţia referitoare la corespondenţa dintre poziţiile acestuia şi stările în care se găseşte sistemul fizic real, precum şi asocierea tranziţiilor evenimentelor externe care îl pilotează. Aceasta a fost, de altfel, paradigma care a stat la baza elaborării modelelor prezentate în capitolul cinci şi care este în directă corespondenţă cu realitatea. S-au comparat rezultatele obţinute în urma simulării modelelor obţinute prin aplicarea formalismului reţelelor Petri cu cele reale. Analiza comparativă a acestor rezultate a confirmat acurateţea modelelor propuse, validând în acest fel întreaga metodologie elaborată pentru construcţii de acest tip şi recomandând totodată formalismul Reţelelor Petri ca instrument eficient de analiză şi comandă pentru categorii variate de sisteme. În capitolul opt intitulat Concluzii finale. Contribuţii originale. Direcţii viitoare de cercetare se face o trecere în revistă a rezultatelor obţinute, subliniindu-se principalele contribuţii originale şi perspectivele de implementare în reţelele Petri a adversarului precum şi aplicarea logicii fuzzy în reţelele Petri pentru atribuirea rolului, pentru robotul atacant respectiv fundaș. Într-o cercetare viitoare, pornind de la acest studiu, se va realiza o extensie pentru varianta când echipa este formată din cinci roboţi. 8
9 CURRICULUM VITAE Nume: COMAN Prenume: DANIELA Data de naștere: 30 iulie 1973 Adresa: Str. Matei Vasilescu, nr. 38, Drobeta Turnu Severin, România Starea civilă: căsătorită, 1 copil Naționalitatea: Română Locul de muncă: Universitatea din Craiova, Facultatea de Ingineria și Managementul Sistemelor Tehnologice Funcția: Șef lucrări Tel.: (personal); (facultate) Fax: amdcoman@yahoo.com Studii: 1996: Universitatea Politehnica din Timișoara, Facultatea de Mecanică, Departamentul: Mecatronică, Specializarea: Roboți industriali; 1991: Liceul TRAIAN, Drobeta Turnu Severin. Specializări și calificări: 2007: Curs postuniversitar de specializare: Informatică Tehnică, Universitatea din Craiova, Facultatea de Ingineria şi Managementul Sistemelor Tehnologice, Drobeta Turnu Severin, România; 2005: Curs postuniversitar de specializare: Proiectarea şi fabricaţia asistate de calculator, Universitatea din Craiova, Facultatea de Ingineria şi Managementul Sistemelor Tehnologice, Drobeta Turnu Severin, România; 1996: Institutul Universitar de Tehnologie Béthune, Universitatea Artois, Franța, Specializarea: Roboți industriali; 1996: Universitatea Politehnica din Timișoara, Facultatea de Management în Producție și Transporturi, Departamentul: Management. Experiența profesională: 2007 prezent: șef lucrări, Catedra de Inginerie, Facultatea de Ingineria și Managementul Sistemelor Tehnologice, Universitatea din Craiova; : asistent universitar, Departamentul Științe Aplicate Facultatea de Ingineria și Managementul Sistemelor Tehnologice,, Universitatea din Craiova; : inginer, Serviciul Marketing, Șantierul Naval "Severnav" Drobeta Turnu Severin; : profesor debutant, Colegiul "Traian", Drobeta Turnu Severin. Experiența științifică: 3 cărți; 20 lucrări științifice; 8 contracte de cercetare științifice. Discipline predate: Roboți și manipulatoare; Bazele proiectării asistate de calculator; Programarea calculatoarelor și limbaje de programare. Apartenența la societăți științifice și profesionale: Societatea Română de Automatică și Informatică Tehnică, SRAIT; Societatea de Robotică din România, SRR. 9
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 14. Asamblari prin pene
Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραCURS 3. Modelare cu Retele Petri
CURS 3 Modelare cu Retele Petri Sisteme cu Evenimente Discrete Un Sistem cu Evenimente Discrete (SED) este un sistem cu stari discrete, care evolueaza prin evenimente, adica evolutia sa depinde in intregime
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 30. Transmisii prin lant
Capitolul 30 Transmisii prin lant T.30.1. Sa se precizeze domeniile de utilizare a transmisiilor prin lant. T.30.2. Sa se precizeze avantajele si dezavantajele transmisiilor prin lant. T.30.3. Realizati
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραCurs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2017) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραValori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότερα13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραAsist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.
Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραCapitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Διαβάστε περισσότεραStr. N. Bălcescu nr , Galaţi, Cod , România (+40) (+40) valentin
INFORMAŢII PERSONALE ANTOHI VALENTIN MARIAN Str. N. Bălcescu nr. 59-61, Galaţi, Cod 800001, România (+40) 336 13 02 42 (+40) 731 221 001 valentin _antohi@yahoo.com Sexul: Bărbătesc Data naşterii : 01.06.1976
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραCURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Διαβάστε περισσότερα14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor
Διαβάστε περισσότεραLUCRAREA NR. 1 STUDIUL SURSELOR DE CURENT
LUCAEA N STUDUL SUSELO DE CUENT Scopul lucrării În această lucrare se studiază prin simulare o serie de surse de curent utilizate în cadrul circuitelor integrate analogice: sursa de curent standard, sursa
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότερα1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Διαβάστε περισσότεραStudiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic
Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic Varianta iniţială O schemă constructivă posibilă, a unei centrale de tratare a aerului, este prezentată în figura alăturată. Baterie încălzire/răcire
Διαβάστε περισσότεραFLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4
FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραFoarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui
- Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex
Διαβάστε περισσότεραStabilizator cu diodă Zener
LABAT 3 Stabilizator cu diodă Zener Se studiază stabilizatorul parametric cu diodă Zener si apoi cel cu diodă Zener şi tranzistor. Se determină întâi tensiunea Zener a diodei şi se calculează apoi un stabilizator
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραV5433A vană rotativă de amestec cu 3 căi
V5433A vană rotativă de amestec cu 3 căi UTILIZARE Vana rotativă cu 3 căi V5433A a fost special concepută pentru controlul precis al temperaturii agentului termic în instalațiile de încălzire și de climatizare.
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότεραMiscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )
Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραModelare şi simulare Seminar 4 SEMINAR NR. 4. Figura 4.1 Reprezentarea evoluţiei sistemului prin graful de tranziţii 1 A A =
SEMIR R. 4. Sistemul M/M// Caracteristici: = - intensitatea traficului - + unde Figura 4. Rerezentarea evoluţiei sistemului rin graful de tranziţii = rata medie de sosire a clienţilor în sistem (clienţi
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 Amplificatoare elementare
Capitolul 4 mplificatoare elementare 4.. Etaje de amplificare cu un tranzistor 4... Etajul emitor comun V CC C B B C C L L o ( // ) V gm C i rπ // B // o L // C // L B ro i B E C E 4... Etajul colector
Διαβάστε περισσότεραI X A B e ic rm te e m te is S
Sisteme termice BAXI Modele: De ce? Deoarece reprezinta o solutie completa care usureaza realizarea instalatiei si ofera garantia utilizarii unor echipamente de top. Adaptabilitate la nevoile clientilor
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραCorectură. Motoare cu curent alternativ cu protecție contra exploziei EDR * _0616*
Tehnică de acționare \ Automatizări pentru acționări \ Integrare de sisteme \ Servicii *22509356_0616* Corectură Motoare cu curent alternativ cu protecție contra exploziei EDR..71 315 Ediția 06/2016 22509356/RO
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραCONTRIBUŢII LA PRELUCRAREA NUMERICĂ A SEMNALELOR CU FUNCŢII SPLINE
CONTRIBUŢII LA PRELUCRAREA NUMERICĂ A SEMNALELOR CU FUNCŢII SPLINE Rezumat Ing. Liliana STOICA Conducător ştiinţific: Referenţi ştiinţifici: Prof.univ.dr.ing. Alimpie Ignea Prof.univ.dr.ing. Teodor Petrescu
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραAnaliza sistemelor liniare şi continue
Paula Raica Departamentul de Automatică Str. Dorobanţilor 7, sala C2, tel: 0264-40267 Str. Bariţiu 26, sala C4, tel: 0264-202368 email: Paula.Raica@aut.utcluj.ro http://rocon.utcluj.ro/ts Universitatea
Διαβάστε περισσότεραIdentificarea si modelarea sistemelor
Identificarea si modelarea sistemelor Curs An III, Inginerie electrica, EPAE Sem. I I Gh. Livint 1. Introducere în modelarea sistemelor Un sistem este o grupare de elemente pasive şi active organizate
Διαβάστε περισσότερα