Curs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45
|
|
- Ευπραξία Ευρυβία Πανταζής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2017) Curs 4 1 / 45
2 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow RPA (2017) Curs 4 2 / 45
3 Analiza structurală a reţelelor Petri Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow RPA (2017) Curs 4 3 / 45
4 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Sifoane Definiţie 1 Fie N = (P,T,F,W) o reţea şi R P o mulţime de locaţii. R se numeşte sifon dacă R R. Un sifon este propriu, dacă R. RPA (2017) Curs 4 4 / 45
5 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Sifoane Definiţie 1 Fie N = (P,T,F,W) o reţea şi R P o mulţime de locaţii. R se numeşte sifon dacă R R. Un sifon este propriu, dacă R. t2 t4 p1 p2 t3 p3 p4 t1 t5 RPA (2017) Curs 4 4 / 45
6 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Sifoane Definiţie 1 Fie N = (P,T,F,W) o reţea şi R P o mulţime de locaţii. R se numeşte sifon dacă R R. Un sifon este propriu, dacă R. t2 t4 p1 p2 t3 p3 p4 t1 t5 {p 1,p 2} = {t 1,t 2}, {p 1,p 2} = {t 1,t 2,t 3} {p 1,p 2} {p 1,p 2} = {p 1,p 2} sifon. RPA (2017) Curs 4 4 / 45
7 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Proprietatea fundamentală sifoanelor Notaţie: fie R P o mulţime de locaţii şi M o marcare. M(R) = p R M(p) RPA (2017) Curs 4 5 / 45
8 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Proprietatea fundamentală sifoanelor Notaţie: fie R P o mulţime de locaţii şi M o marcare. M(R) = p R M(p) Definiţie 2 Fie N = (P,T,F,W) o reţea, R P un sifon propriu şi M o marcare a lui N. R este marcat în marcarea M, dacă M(R) 0. RPA (2017) Curs 4 5 / 45
9 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Proprietatea fundamentală sifoanelor Notaţie: fie R P o mulţime de locaţii şi M o marcare. M(R) = p R M(p) Definiţie 2 Fie N = (P,T,F,W) o reţea, R P un sifon propriu şi M o marcare a lui N. R este marcat în marcarea M, dacă M(R) 0. Propoziţie 1 (Proprietatea fundamentală sifoanelor) Fie N = (P,T,F,W) o reţea şi R P un sifon propriu. Fie M o marcare a reţelei astfel încât M(R) = 0. Atunci, M [M, M (R) = 0. RPA (2017) Curs 4 5 / 45
10 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Exemplu t2 t4 p1 p2 t3 p3 p4 t1 t5 [M 0 = {(0,0,1,0),(0,0,0,1)}, {p 1,p 2 } nu sunt marcate niciodată. RPA (2017) Curs 4 6 / 45
11 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Proprietăţi Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată, R un sifon şi M [M 0. Dacă M 0 (R) = 0, atunci M(R) = 0 Se obţine o condiţie necesară pentru accesibilitate Dacă R sifon pentru care M 0 (R) = 0 şi M(R) 0, atunci M [M 0. t2 t4 p1 p2 t3 p3 p4 t1 t5 R = {p 1,p 2 } sifon cu M 0 (R) = 0 marcarea M = (1,0,0,1) nu este accesibilă. RPA (2017) Curs 4 7 / 45
12 Analiza structurală a reţelelor Petri Capcane Capcane-definiţie Definiţie 3 Fie N = (P,T,F,W) o reţea şi R P o mulţime de locaţii. R se numeşte capcană dacă R R. O capcană este proprie, dacă R. RPA (2017) Curs 4 8 / 45
13 Analiza structurală a reţelelor Petri Capcane Capcane-definiţie Definiţie 3 Fie N = (P,T,F,W) o reţea şi R P o mulţime de locaţii. R se numeşte capcană dacă R R. O capcană este proprie, dacă R. t2 t4 p1 p2 t3 p3 p4 t1 t5 {p 3,p 4 } este capcană. RPA (2017) Curs 4 8 / 45
14 Analiza structurală a reţelelor Petri Capcane Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată, M [M 0 şi R o capcană. Dacă M 0 (R) 0, atunci M(R) 0. Se obţine o condiţie necesară pentru accesibilitate Dată o marcare M şi R capcană cu M 0 (R) 0, dacă M(R) = 0, atunci M [M 0 p1 t1 p3 t4 t3 p2 t2 p4 R = {p 1,p 2,p 3 } capcană, M 0 (R) 0. M = (0,0,0,1,0) [M 0 (M(R) = 0) p5 t5 RPA (2017) Curs 4 9 / 45
15 Analiza structurală a reţelelor Petri Proprietăţi Condiţie necesară pentru viabilitate Propoziţie 2 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată viabilă. Orice sifon R este marcat la M 0. RPA (2017) Curs 4 10 / 45
16 Analiza structurală a reţelelor Petri Proprietăţi Condiţie necesară pentru viabilitate Propoziţie 2 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată viabilă. Orice sifon R este marcat la M 0. t3 p3 p4 p2 t2 p5 t1 p1 t4 {p 3,p 4 } nemarcat în marcarea iniţială, deci reţeaua nu este viabilă. RPA (2017) Curs 4 10 / 45
17 Analiza structurală a reţelelor Petri Proprietăţi Condiţie necesară pentru viabilitate Reciproca nu este adevărată: Sifoane: {p 1,p 2,p 3 } {p 1,p 2,p 3 } Reţeaua nu este viabilă. RPA (2017) Curs 4 11 / 45
18 Analiza structurală a reţelelor Petri Proprietăţi Condiţie suficientă pentru lipsa blocajelor Propoziţie 3 Fie γ = (N,M 0 )o reţea P/T marcată cu W(f) = 1, f F. Dacă orice sifon propriu al lui N include o capcană marcată în M 0, atunci γ este fără blocaje. RPA (2017) Curs 4 12 / 45
19 Analiza structurală a reţelelor Petri Proprietăţi Condiţie suficientă pentru lipsa blocajelor Propoziţie 3 Fie γ = (N,M 0 )o reţea P/T marcată cu W(f) = 1, f F. Dacă orice sifon propriu al lui N include o capcană marcată în M 0, atunci γ este fără blocaje. p3 p1 t1 t2 p4 p2 t4 p5 t3 Sifoane: {p 1,p 3,p 4,p 5}, {p 2,p 3,p 4,p 5}, {p 2,p 3,p 4}, {p 2,p 3} Capcane: {p 2,p 3}, {p 1,p 3,p 4,p 5}, {p 1,p 2,p 3} Reţea fără blocaje. RPA (2017) Curs 4 12 / 45
20 Analiza structurală a reţelelor Petri Proprietăţi Condiţie suficientă pentru lipsa blocajelor Reciproca nu este adevărată: p1 t1 p2 t3 p3 t4 t2 Reţea fără blocaje Sifoane proprii: {p 1,p 2 } nu include nici o capcană! Capcane proprii: {p 3 } RPA (2017) Curs 4 13 / 45
21 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow RPA (2017) Curs 4 14 / 45
22 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Fluxuri de lucru Flux de lucru(workflow): proces complex care se desfăşoară în cadrul unei organizaţii: acţiuni executate într-o anumită ordine date utilizate, prelucrate, produse de acţiuni resurse necesare execuţiei acţiunilor RPA (2017) Curs 4 15 / 45
23 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Fluxuri de lucru Flux de lucru(workflow): proces complex care se desfăşoară în cadrul unei organizaţii: acţiuni executate într-o anumită ordine date utilizate, prelucrate, produse de acţiuni resurse necesare execuţiei acţiunilor Sisteme de administrare a fluxurilor de lucru (WFMS): permit definiţia fluxurilor de lucru şi asigură execuţia acestora RPA (2017) Curs 4 15 / 45
24 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Exemplu RPA (2017) Curs 4 16 / 45
25 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Flux de lucru - noţiuni / componente Caz: instanţă a fluxului de lucru, subiectul operaţiilor din cadrul fluxului de lucru (exemplu: o cerere de decontare); Acţiune: operaţie atomică realizată în cadrul fluxului de lucru; Resursă: execută acţiunile; Work item: acţiune + caz (acţiune care se poate executa pentru un anumit caz); Activitate: acţiune + caz + resursă (acţiune care este executată într-un anumit caz, de către o resursă); Structuri de control al execuţiei: dependenţa logică între acţiuni; RPA (2017) Curs 4 17 / 45
26 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Structuri de control al execuţiei Secvenţă: A B AND-split B AND-join A A AND - split C B AND - join D D C OR-split OR-join B A A OR - Split OR - join C C B RPA (2017) Curs 4 18 / 45
27 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Perspective asupra fluxurilor de lucru Perspectiva proces: acţiuni, ordinea de execuţie Perspectiva resurselor: resurse, modul de organizare, modul în care resursele sunt alocate pentru execuţia acţiunilor Perspectiva datelor: date pentru controlul execuţiei date create/utilizate de către acţiuni RPA (2017) Curs 4 19 / 45
28 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Analiza fluxurilor de lucru Validare: în momentul execuţiei. Verificare: determinarea unor proprietăţi calitative ale procesului, înainte de execuţia/implementarea acestuia: există blocaje? execuţia unui caz se poate încheia cu succes? se pot executa toate acţiunile din proces? Analiza performanţei procesului: numărul de cazuri care pot fi procesate într-o anumită perioadă de timp timpul mediu de procesare al unui caz RPA (2017) Curs 4 20 / 45
29 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Limbaje de specificare a fluxurilor de lucru Sistemele de administrare a fluxurilor de lucru lucrează cu definiţii ale fluxurilor de lucru, exprimate într-un anumit limbaj de specificare Abordări utilizate pentru descrierea proceselor: Limbaje dependente de produsul software Diagrame UML Grafuri BPMN Limbaje bazate pe XML: BPEL, XPDL Algebre de procese Reţele Petri RPA (2017) Curs 4 21 / 45
30 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele Petri în modelarea fluxurilor de lucru Reţele workflow: modelează perspectiva proces, se face abstracţie de resurse şi date modelarea execuţiei unui singur caz Reţele Petri de nivel înalt pentru modelarea celorlalte perspective (perspectiva resurselor şi cea a datelor) RPA (2017) Curs 4 22 / 45
31 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele Petri în modelarea fluxurilor de lucru acţiuni: modelate prin tranziţii caz: punct in reţea precondiţii şi post-condiţii pentru producerea acţiunilor: locaţii work item: tranziţie posibilă într-o anumită stare activitate: tranziţie care se execută structuri de control ale execuţiei: locaţii sau tranziţii RPA (2017) Curs 4 23 / 45
32 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Modelarea structurilor de control A B = A B A AND - split B C = A AND-Split B C D D A AND - split B C = A AND - split B C D D RPA (2017) Curs 4 24 / 45
33 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Modelarea structurilor de control A B AND - join D C A AND - join A B AND - join D B D C C RPA (2017) Curs 4 25 / 45
34 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Modelarea structurilor de control B A AND-Split C AND-join E D AND - split AND-join B A C E D RPA (2017) Curs 4 26 / 45
35 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Modelarea structurilor de control A B OR - split OR - Split = A C B C A B OR - Split = A OR - split B C C RPA (2017) Curs 4 27 / 45
36 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Modelarea structurilor de control B A OR - Split D OR - Split C E RPA (2017) Curs 4 28 / 45
37 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Modelarea structurilor de control A B D C E RPA (2017) Curs 4 28 / 45
38 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Modelarea structurilor de control B A D C E RPA (2017) Curs 4 28 / 45
39 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Modelarea structurilor de control A OR - join C B A OR - join C B RPA (2017) Curs 4 29 / 45
40 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow Definiţia reţelelor worklfow Definiţie 4 O reţea workflow (WF-reţea) este o reţea Petri PN = (P,T,F) astfel încât: 1 P conţine o locaţie input i şi o locaţie output o astfel încât i = şi o =. 2 Pentru orice element n P T, există un drum în PN de la i la n şi un drum de la n la o. RPA (2017) Curs 4 30 / 45
41 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow Reţele workflow t2 p1 p3 i t1 t3 t4 o p2 t4 p4 p4 p2 t1 t2 i p3 t3 p5 t5 o p1 t4 RPA (2017) Curs 4 31 / 45
42 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow Observaţii W(x,y) = 1, pentru orice (x,y) F. Notaţii: Marcarea iniţială, M 0, a unei reţele workflow: M 0 (i) = 1,M 0 (p) = 0, p i. Se notează M 0 = i Marcarea finală a, M f, unei reţele workflow: M f (o) = 1,M f (p) = 0, p o. Se notează M f = o RPA (2017) Curs 4 32 / 45
43 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow Exemplu RPA (2017) Curs 4 33 / 45
44 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow Exemplu RPA (2017) Curs 4 34 / 45
45 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow RPA (2017) Curs 4 35 / 45
46 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Proprietatea de corectitudine logică Tranziţia calc impozit nu se poate produce Cazul nu poate fi procesat RPA (2017) Curs 4 36 / 45
47 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Proprietatea de corectitudine logică Există o secvenţă de execuţie către marcarea finală Există situaţii în care cazul nu poate fi procesat corect RPA (2017) Curs 4 37 / 45
48 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Proprietatea de corectitudine logică recompleteaza client depune cerere inreg date gresite inregistreaza i date OK inreg date Procesul se termină, dar cazul nu este procesat corect. RPA (2017) Curs 4 38 / 45
49 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Corectitudine logică (soundness) în fluxuri de lucru Într-un flux de lucru execuţia unui caz trebuie să se poată termina întotdeauna RPA (2017) Curs 4 39 / 45
50 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Corectitudine logică (soundness) în fluxuri de lucru Într-un flux de lucru execuţia unui caz trebuie să se poată termina întotdeauna Nu există acţiuni inutile (orice acţiune trebuie să se poată produce la un moment dat) RPA (2017) Curs 4 39 / 45
51 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Definiţia proprietăţii de corectitudine Definiţie 5 O reţea workflow PN = (P, T, F) este corectă (sound) ddacă: 1 M [i,o [M (condiţia de terminare corectă) 2 t T, t este pseudo-viabilă RPA (2017) Curs 4 40 / 45
52 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Definiţia proprietăţii de corectitudine Definiţie 5 O reţea workflow PN = (P, T, F) este corectă (sound) ddacă: 1 M [i,o [M (condiţia de terminare corectă) 2 t T, t este pseudo-viabilă inreg. date client nou client depune cerere verif client i preia date calc impozit emite ordin plata o RPA (2017) Curs 4 40 / 45
53 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Definiţia proprietăţii de corectitudine Definiţie 5 O reţea workflow PN = (P, T, F) este corectă (sound) ddacă: 1 M [i,o [M (condiţia de terminare corectă) 2 t T, t este pseudo-viabilă inreg. date client nou client depune cerere verif client i preia date calc impozit calcul impozit cl nou emite ordin plata RPA (2017) o Curs 4 40 / 45
54 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Închiderea unei reţele workflow Definiţie 6 Fie PN = (P,T,F) o WF-reţea. Închiderea reţelei PN este o reţea PN = (P,T,F), astfel încât : P = P T = T {t } F = F {(o,t ),(t,i)} t* PN este reţea tare conexă. i PN o RPA (2017) Curs 4 41 / 45
55 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Proprietăţi Lema 3.1 Fie PN = (P,T,F) o reţea workflow pentru care are loc condiţia de terminare corectă. Atunci au loc: 1 ( M [i )(M o M = o) 2 (P N, i) este mărginită. 3 mulţimea marcărilor accesibile din (P N, i) coincide cu mulţimea marcărilor accesibile din (PN,i). 4 (PN,i) este pseudo-viabilă ddacă (PN,i) este pseudo-viabilă. RPA (2017) Curs 4 42 / 45
56 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Caracterizare soundness Lema 3.2 Fie PN = (P,T,F) o WF-reţea sound. Atunci (PN,i) este reţea viabilă şi mărginită. RPA (2017) Curs 4 43 / 45
57 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Caracterizare soundness Lema 3.2 Fie PN = (P,T,F) o WF-reţea sound. Atunci (PN,i) este reţea viabilă şi mărginită. Demonstraţie: 1 Din Lema 3.1(2) = (PN,i) este mărginită. Cum [i PN = [i PN (Lema 3.1(3)), rezultă (PN,i) mărginită. 2 Se arată că P N este reversibilă şi pseudo-viabilă. RPA (2017) Curs 4 43 / 45
58 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Caracterizare soundness Lema 3.3 Fie PN = (P,T,F) o WF-reţea. Dacă (PN,i) este reţea viabilă şi mărginită, atunci P N este sound. RPA (2017) Curs 4 44 / 45
59 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Caracterizare soundness Lema 3.3 Fie PN = (P,T,F) o WF-reţea. Dacă (PN,i) este reţea viabilă şi mărginită, atunci P N este sound. Demonstraţie: 1 Fie M [i PN. Se arată că există σ T astfel încât M[σ PNo. 2 Se arată ca orice tranziţie este pseudo-viabilă. RPA (2017) Curs 4 44 / 45
60 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Caracterizare soundness Teorema 1 O WF - reţea PN este corectă ddacă (PN,i) este viabilă şi mărginită. RPA (2017) Curs 4 45 / 45
61 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Caracterizare soundness Teorema 1 O WF - reţea PN este corectă ddacă (PN,i) este viabilă şi mărginită. Consecinţă 1 Problema corectitudinii este decidabilă pentru WF-reţele. RPA (2017) Curs 4 45 / 45
62 Proprietatea de corectitudine (soundness) în reţele workflow Caracterizare soundness Teorema 1 O WF - reţea PN este corectă ddacă (PN,i) este viabilă şi mărginită. Consecinţă 1 Problema corectitudinii este decidabilă pentru WF-reţele. Observaţie:O WF-reţea este corectă ddacă: marcarea o este marcare acasă reţeaua este pseudo-viabilă RPA (2017) Curs 4 45 / 45
Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.
Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCurs 12. RPA (2017) Curs 12 1 / 65
Reţele Petri şi aplicaţii Curs 12 RPA (2017) Curs 12 1 / 65 Cuprins 1 Modelare utilizând HCPN 2 Reţele Petri colorate cu durate de timp 3 Reţele Petri imbricate RPA (2017) Curs 12 2 / 65 Modelare utilizând
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραCURS 3. Modelare cu Retele Petri
CURS 3 Modelare cu Retele Petri Sisteme cu Evenimente Discrete Un Sistem cu Evenimente Discrete (SED) este un sistem cu stari discrete, care evolueaza prin evenimente, adica evolutia sa depinde in intregime
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραAsemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραFLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4
FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραCâmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραGrafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016.
Grafuri planare Polinoame cromatice 23 decembrie 2016 Definiţii şi exemple Grafuri planare Un graf G este planar dacă poate fi desenat în plan astfel încât muchiile să nu se intersecteze decât în nodurile
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραSpaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Διαβάστε περισσότερα5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραexistă n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy).
TEOREME CAUCHY În 1810, Cauchy merge la Cherbourg pentru a lucra la fortificaţiile pentru invazia lui Napoleon în Anglia. In această perioadă produce câteva rezultate, inclsiv soluţia unei probleme puse
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραCapitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 14. Asamblari prin pene
Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1
2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραdecembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto
Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de
Διαβάστε περισσότεραII. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.
II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey
Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Mihai Suciu Facultatea de Matematică și Informatică (UBB) Departamentul de Informatică Mai, 16, 2018 Mihai Suciu (UBB) Algoritmica
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραCurs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate
Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραValori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri
Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut
Διαβάστε περισσότερα