Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html."

Transcript

1 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu otto/pn.html

2 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40% TS1 + 20% TS2 + 40%LSA TS1, TS2 - teste scrise Activitate laborator/seminar (LSA): lucrare (30%) proiect (50%) activitatea în timpul seminarului (20%) Referat (opţional): 2 puncte (se adaugă la nota finală) Condiţii minimale: LSA 5, TS1+TS2 7 Nota finală: minim 5.

3 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 3/45 Reţele Petri Reţele Petri: o metodă formală (matematică) folosită pentru modelarea şi verificarea sistemelor (concurente/distribuite)

4 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 3/45 Reţele Petri Reţele Petri: o metodă formală (matematică) folosită pentru modelarea şi verificarea sistemelor (concurente/distribuite) Noţiunea de sistem: A regularly interacting or interdependent group of items forming a unified whole (Webster Dictionary) A combination of components that act together to perform a function not possible with any of the individual parts (IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronic Terms)

5 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 3/45 Reţele Petri Reţele Petri: o metodă formală (matematică) folosită pentru modelarea şi verificarea sistemelor (concurente/distribuite) Noţiunea de sistem: A regularly interacting or interdependent group of items forming a unified whole (Webster Dictionary) A combination of components that act together to perform a function not possible with any of the individual parts (IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronic Terms) Sistemele: alcătuite din componente care interacţionează îndeplinesc o anumită funcţionalitate evenimente şi stări concurenţă, comunicare, sincronizare

6 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 4/45 Reţele Petri Exemple de sisteme: sisteme automatizate de producţie sisteme de control al traficului aerian sisteme de monitorizare şi control în industrie reţele de comunicare sisteme software distribuite etc...

7 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 5/45 Modelarea şi verificarea sistemelor Verificarea sistemelor reale: are drept scop verificarea unor proprietăţi dezirabile, înca din stadiul de proiectare Un model surprinde caracteristici esenţiale ale sistemului Modele (formale) pentru verificarea sistemelor: automate/sisteme tranziţionale algebre de procese logici temporale reţele Petri etc...

8 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962

9 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite

10 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem

11 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă

12 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă semantică formală

13 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă semantică formală expresivitate (concurenţă, nedeterminism, comunicare,sincronizare)

14 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă semantică formală expresivitate (concurenţă, nedeterminism, comunicare,sincronizare) existenţa metodelor de analiză a proprietăţilor

15 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 6/45 Reţele Petri pentru modelarea sistemelor Reţele Petri: Carl Adam Petri, 1962 grafuri bipartite reprezentare explicită stărilor şi evenimentelor dintr-un sistem reprezentare grafică intuitivă semantică formală expresivitate (concurenţă, nedeterminism, comunicare,sincronizare) existenţa metodelor de analiză a proprietăţilor numeroase unelte software pentru editarea/verificarea proprietăţilor reţelelor Petri

16 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 7/45 Reţele Petri Domenii de aplicabilitate: Protocoale de comunicare, reţele Sisteme software si hardware Algoritmi distribuiţi Protocoale de securitate Biologie, Chimie, Medicină Economie (fluxuri de lucru) etc..

17 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 8/45 Retele de tip P/T Definiţie Regula de producere a tranziţiilor (comportament) Proprietăţi

18 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 9/45 Retele de tip P/T - Definiţie Definiţie 1 O reţea Petri este un 4-uplu N = (P,T,F,W) astfel încât : 1. P mulţime de locaţii, T mulţime de tranziţii, P T = ; 2. F (P T) (T P) relaţia de flux; 3. W : (P T) (T P) N ponderea arcelor (W(x,y) = 0 ddacă (x,y) F ). P = {p 1,p 2,p 3 } T = {t 1,t 2,t 3 } F = {(p 1,t 1 ),(t 1,p 2 ),(t 1,p 3 ), (p 3,t 3 ),(t 3,p 1 ),(p 2,t 2 )} p1 t1 p2 2 W(p 1,t 1 ) = 1, W(t 1,p 2 ) = 1, W(t 1,p 3 ) = 1, W(p 3,t 3 ) = 1, W(t 3,p 1 ) = 1,W(p 2,t 2 ) = 2 t3 p3 t2

19 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 10/45 Reţele de tip P/T Dacă x P T, atunci: - Premulţimea lui x: x = {y (y,x) F}; - Postmulţimea lui x: x = {y (x,y) F}. p1 t1 p2 2 t3 p3 t2 - t 1 = {p 1 }, t 2 = {p 2 }, t 3 = {p 3 } - t 1 = {p 2,p 3 },t 2 =,t 3 = {p 1 } - p 1 = {t 3 }, p 2 = {t 1 }, p 3 = {t 1 } - p 1 = {t 1 },p 2 = {t 2 },p 3 = {t 3 }

20 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 11/45 Reţele de tip P/T Definiţie 2 O reţea este pură dacă, pentru orice x P T, x x =. 2 p1 t1 p2 t2 Definiţie 3 O reţea este fără elemente izolate, dacă, pentru orice x P T, x x

21 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 12/45 Marcare a unei reţele de tip P/T Definiţie 4 (Marcare, reţele marcate) Fie N = (P,T,F,W) o reţea P/T. O marcare a lui N este o funcţie M : P N. Fie N = (P,T,F,W) o reţea P/T şi M 0 : P N. Atunci (N,M 0 ) se numeşte reţea Petri marcată. p1 t1 p2 2 t3 p3 t2 M = (1,0,0) Distribuţia punctelor în locaţiile unei reţele = marcarea reţelei (starea sistemului modelat)

22 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 13/45 Reţele Petri Tranziţii: reprezintă acţiuni sau evenimente din sistemul modelat Punctele din locaţii: pot modela resurse/valori booleene Locaţiile input: conţin resurse (reprezentate de punctele din locaţie) care vor fi folosite de către acţiune, precondiţii pentru producerea unui eveniment Ponderea unui arc input: câte resurse de un anumit tip sunt necesare producerii acţiunii Ponderea unui arc output: numărul de resurse de un anumit tip rezultate prin producerea acţiunii

23 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 14/45 Exemplu Model producator consumator: Producatorul (P) poate produce câte un produs (într-un buffer) Un consumator (C) preia câte două produse din buffer Stări producător: producător activ (pregătit să producă), producător în repaus. Evenimente: P produce un produs, C consumă produse, P redevine activ

24 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 14/45 Exemplu Model producator consumator: Producatorul (P) poate produce câte un produs (într-un buffer) Un consumator (C) preia câte două produse din buffer Stări producător: producător activ (pregătit să producă), producător în repaus. Evenimente: P produce un produs, C consumă produse, P redevine activ producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

25 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 15/45 Regula de producere a tranziţiilor Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri, M o marcare a lui N şi t T o tranziţie a lui N.

26 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 15/45 Regula de producere a tranziţiilor Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri, M o marcare a lui N şi t T o tranziţie a lui N. Tranziţia t este posibilă la marcarea M (M[t N ) dacă W(p,t) M(p), pentru orice p t.

27 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 15/45 Regula de producere a tranziţiilor Fie N = (P,T,F,W) o reţea Petri, M o marcare a lui N şi t T o tranziţie a lui N. Tranziţia t este posibilă la marcarea M (M[t N ) dacă W(p,t) M(p), pentru orice p t. Dacă t este posibilă la marcarea M, atunci t se poate produce, rezultând o nouă marcare M (M[t N M ), unde M (p) = M(p) W(p,t)+W(t,p), pentru toţi p P.

28 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 16/45 Exemplu o tanziţie este posibilă dacă locaţiile input conţin suficiente puncte: 2 t1 p3 2 t3 p5 p1 3 2 p2 t2 p4

29 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 16/45 Exemplu o tanziţie este posibilă dacă locaţiile input conţin suficiente puncte: 2 t1 p3 2 t3 p5 p1 3 2 p2 t2 p4

30 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 16/45 Exemplu o tanziţie este posibilă dacă locaţiile input conţin suficiente puncte: 2 t1 p3 2 t3 p5 p1 3 2 p2 t2 p4 Producerea unei tranziţii modifică marcarea reţelei

31 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator:

32 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

33 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

34 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

35 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

36 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

37 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

38 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 17/45 Exemplu I Model producător consumator: producator activ produce p1 t1 p2 buffer 2 t3 revine p3 producator in repaus t2 consuma

39 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse

40 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

41 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

42 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

43 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

44 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

45 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

46 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

47 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

48 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 18/45 Exemplu II Automat care furnizează produse produse A repaus C introduce moneda reincarca ofera produs A respinge moneda monezi introduse produse consumate monezi acceptate A accepta moneda

49 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 19/45 Secvenţe de apariţie a tranziţiilor Regula de producere a tranziţiilor se poate extinde la secvenţe de tranziţii: Definiţie 5 (secvenţe de apariţie) Fie σ = t 1 t 2...t k T şi M o marcare. σ se numeşte secvenţă finită de apariţie, posibilă la M, dacă există marcările M 1,M 2,...,M k astfel încât: Se mai notează: M[σ M k. M[t 1 M 1 [t 2 M 2...M k 1 [t k M k Secvenţa vidă de tranziţii, notată cu ǫ, este secvenţă de apariţie posibilă la orice marcare M a reţelei, şi are loc: M[ǫ M. O secvenţă infinită de tranziţii σ = t 1,t 2,... este secvenţă infinită de apariţie, posibilă la marcarea M, dacă: M[t 1 M 2 [t 2 M 3...

50 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 20/45 Notaţii Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. Se definesc următoarele funcţii: t : P N, t (p) = W(p,t), p P t + : P N, t + (p) = W(t,p), p P t : P Z, t(p) = W(t,p) W(p,t) Dacă σ T este o secvenţă de tranziţii, se defineşte σ : P Z: Dacă σ = ǫ, atunci σ este funcţia identic 0. Dacă σ = t 1,...,t n, atunci σ = n i=1 t i.

51 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 21/45 Secvenţe de apariţie p1 2 3 p2 t1 p3 t 1 (p 1) = 2,t 1 (p 2) = 1,t 1 (p 3) = 0 t + 1 (p 1) = 1,t + 1 (p 2) = 3,t + 1 (p 3) = 1 t 1 (p 1 ) = 1, t 1 (p 2 ) = 2, t 1 (p 3 ) = 1

52 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 21/45 Secvenţe de apariţie p1 2 3 p2 t1 p3 t 1 (p 1) = 2,t 1 (p 2) = 1,t 1 (p 3) = 0 t + 1 (p 1) = 1,t + 1 (p 2) = 3,t + 1 (p 3) = 1 t 1 (p 1 ) = 1, t 1 (p 2 ) = 2, t 1 (p 3 ) = 1 Propoziţie 1 Fie t o tranziţie, σ T şi M,M marcări. Dacă M[t M, atunci M = M + t. Dacă M[σ M, atunci M = M + σ

53 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 22/45 Marcări accesibile Definiţie 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. O marcare M este accesibilă din marcarea M, dacă există o secvenţă finită de apariţie σ astfel încât: M[σ M.

54 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 22/45 Marcări accesibile Definiţie 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. O marcare M este accesibilă din marcarea M, dacă există o secvenţă finită de apariţie σ astfel încât: M[σ M. Marcarea M este accesibilă în γ, dacă M este accesibilă din marcarea iniţială M 0.

55 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 22/45 Marcări accesibile Definiţie 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. O marcare M este accesibilă din marcarea M, dacă există o secvenţă finită de apariţie σ astfel încât: M[σ M. Marcarea M este accesibilă în γ, dacă M este accesibilă din marcarea iniţială M 0. Mulţimea marcărilor accesibile dintr-o marcare M, în γ, se notează [M γ ([M când este clar despre ce reţea este vorba).

56 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 22/45 Marcări accesibile Definiţie 6 Fie γ = (N,M 0 ) o reţea P/T marcată. O marcare M este accesibilă din marcarea M, dacă există o secvenţă finită de apariţie σ astfel încât: M[σ M. Marcarea M este accesibilă în γ, dacă M este accesibilă din marcarea iniţială M 0. Mulţimea marcărilor accesibile dintr-o marcare M, în γ, se notează [M γ ([M când este clar despre ce reţea este vorba). [M 0 γ se numeşte mulţimea marcărilor accesibile în reţeaua γ.

57 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 23/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Propoziţie 2 Fie M o marcare şi σ o secvenţă finită de apariţie, astfel încât M[σ M. Dacă σ este o secvenţă de apariţie (finită sau infinită) posibilă la marcarea M, atunci σσ este secvenţă de apariţie posibilă la M.

58 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 23/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Propoziţie 2 Fie M o marcare şi σ o secvenţă finită de apariţie, astfel încât M[σ M. Dacă σ este o secvenţă de apariţie (finită sau infinită) posibilă la marcarea M, atunci σσ este secvenţă de apariţie posibilă la M. Propoziţie 3 O secvenţă infinită de apariţie σ este posibilă la o marcare M ddacă orice prefix finit al lui σ este posibil la M.

59 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 23/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Propoziţie 2 Fie M o marcare şi σ o secvenţă finită de apariţie, astfel încât M[σ M. Dacă σ este o secvenţă de apariţie (finită sau infinită) posibilă la marcarea M, atunci σσ este secvenţă de apariţie posibilă la M. Propoziţie 3 O secvenţă infinită de apariţie σ este posibilă la o marcare M ddacă orice prefix finit al lui σ este posibil la M. Propoziţie 4 Fie M şi M marcări, σ o secvenţă de apariţie posibilă atât la M cât şi la M, astfel încât: M[σ M şi M[σ M. Atunci M (p) M(p) = M (p) M(p), pentru orice locaţie p P.

60 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 24/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Propoziţie 5 Fie M, M şi L marcări, σ T o secvenţă de tranziţii, posibilă la M. Dacă σ finită şi M[σ M, atunci (M +L)[σ (M +L). Dacă σ infinită şi M[σ, atunci (M +L)[σ Demonstraţie: σ finită: inducţie după σ = n. σ infinită: se arată că orice prefix finit al lui σ este posibil la M +L. M = (2,1,1,0)[t 1 t 2 (1,0,1,2) = M (3,2,2,0)[t 1 t 2?

61 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 25/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Definiţie 7 Fie M şi M două marcări. M M ddacă M (p) M(p), p P. M > M ddacă M M şi p P : M(p) > M (p). Propoziţie 6 Fie M şi M două marcări astfel încât M M. Atunci orice secvenţă de apariţie posibilă la marcarea M este posibilă şi la marcarea M. M M = L marcare astfel încât M = M +L σ infinită: M[σ = M = (M +L)[σ σ finită: M[σ M şi M = (M +L)[σ (M +L)

62 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 26/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Lema 1 Fie N o reţea oarecare, U,V T astfel încât V U =. Dacă σ (U V) astfel încât M[σ M, atunci M[σ U σ V M. t1 p t2 t 1 V şi t 2 U. t 1 t 2 = M[t 1 t 2 M, atunci: M[t 2 t 1 M V U

63 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 26/45 Proprietăţi pentru secvenţe de apariţie Lema 1 Fie N o reţea oarecare, U,V T astfel încât V U =. Dacă σ (U V) astfel încât M[σ M, atunci M[σ U σ V M. Demonstraţie: Fie N o reţea oarecare, t 1,t 2 T astfel încât t 1 V şi t 2 U. Deci t 1 t 2 =. Se arată că: M[t 1 M 2 [t 2 M = M[t 2 M 2 [t 1 M M[t 2 (adică p t 2 : W(p,t 2 ) M(p)). Fie M[t 2 M 2. Se arată că M 2 [t 1. Se arată că M[t 2 M 2 [t 1 M.

64 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0)

65 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) p1 t1 p2 t2 p3 t3 p4 t4 p5 2

66 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) p1 t1 p2 t2 p3 t3 p4 t4 p5 2

67 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) p1 t1 p2 t2 p3 t3 p4 t4 p5 2

68 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) p1 t1 p2 t2 p3 t3 p4 t4 p5 2

69 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) p1 t1 p2 t2 p3 t3 p4 t4 p5 2

70 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

71 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

72 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

73 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

74 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

75 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

76 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 27/45 Exemplu U = {t 1,t 2 }, V = {t 3,t 4 } M = (0,1,0,1,0) σ = t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 M = (1,0,1,0)[t 2 t 4 t 3 t 1 t 4 (0,0,2,0,2) = M M[t 2 t 1 t 4 t 3 t 4 M p1 t1 p2 p3 p4 p5 t2 t3 t4 2

77 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 28/45 Proprietatea de mărginire Fie γ = (M,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 8 (mărginire)

78 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 28/45 Proprietatea de mărginire Fie γ = (M,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 8 (mărginire) O locaţie p este mărginită dacă: ( n N)( M [M 0 )( M(p) n)

79 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 28/45 Proprietatea de mărginire Fie γ = (M,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 8 (mărginire) O locaţie p este mărginită dacă: ( n N)( M [M 0 )( M(p) n) Reţeaua marcată γ este mărginită dacă orice locaţie p P este mărginită.

80 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 28/45 Proprietatea de mărginire Fie γ = (M,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 8 (mărginire) O locaţie p este mărginită dacă: ( n N)( M [M 0 )( M(p) n) Reţeaua marcată γ este mărginită dacă orice locaţie p P este mărginită. Reţeaua N este structural mărginită, dacă există o marcare M astfel încât (N,M) este mărginită.

81 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 28/45 Proprietatea de mărginire Fie γ = (M,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 8 (mărginire) O locaţie p este mărginită dacă: ( n N)( M [M 0 )( M(p) n) Reţeaua marcată γ este mărginită dacă orice locaţie p P este mărginită. Reţeaua N este structural mărginită, dacă există o marcare M astfel încât (N,M) este mărginită.

82 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 29/45 Mărginire-exemple p1 t1 t2 p2

83 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 29/45 Mărginire-exemple p1 t1 reţeaua este mărginită: M(p) 1, p P t2 p2

84 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 29/45 Mărginire-exemple p1 t1 reţeaua este mărginită: M(p) 1, p P t2 p2 p1 t2 t1 p2 p3

85 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 29/45 Mărginire-exemple p1 t1 reţeaua este mărginită: M(p) 1, p P t2 p2 p1 reţeaua este nemărginită: t2 t1 p2 p 2 poate conţine o infinitate de puncte! p3

86 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 30/45 Proprietatea de mărginire Propoziţie 7 O reţea P/T marcată γ = (N,M 0 ) este mărginită ddacă mulţimea [M 0 este finită.

87 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 30/45 Proprietatea de mărginire Propoziţie 7 O reţea P/T marcată γ = (N,M 0 ) este mărginită ddacă mulţimea [M 0 este finită. (= ) Fie n astfel încât ( M [M 0 )( p P)(M(p) n). Numărul maxim de marcări este (n+1) P. ( =) Se consideră n = max{m(p) M [M 0, p P}.

88 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 30/45 Proprietatea de mărginire Propoziţie 7 O reţea P/T marcată γ = (N,M 0 ) este mărginită ddacă mulţimea [M 0 este finită. (= ) Fie n astfel încât ( M [M 0 )( p P)(M(p) n). Numărul maxim de marcări este (n+1) P. ( =) Se consideră n = max{m(p) M [M 0, p P}. Propoziţie 8 Dacă γ = (N,M 0 ) este mărginită, nu există două marcări M 1,M 2 [M 0 astfel încât M 1 [ M 2 şi M 2 > M 1.

89 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 30/45 Proprietatea de mărginire Propoziţie 7 O reţea P/T marcată γ = (N,M 0 ) este mărginită ddacă mulţimea [M 0 este finită. (= ) Fie n astfel încât ( M [M 0 )( p P)(M(p) n). Numărul maxim de marcări este (n+1) P. ( =) Se consideră n = max{m(p) M [M 0, p P}. Propoziţie 8 Dacă γ = (N,M 0 ) este mărginită, nu există două marcări M 1,M 2 [M 0 astfel încât M 1 [ M 2 şi M 2 > M 1. Dacă M 1 [σ M 2 şi M 2 > M 1 = M 2 [σ M 3 (prop. 6) şi M 3 > M 2 (prop. 4). Deci M 3 [σ M 4, M 4 > M 3, etc.

90 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 31/45 Proprietăţi: pseudo-viabilitate Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 9 (pseudo-viabilitate) O tranziţie t T este pseudo-viabilă din marcarea M, dacă există o marcare M [M astfel încât M [t. O tranziţie t T este pseudo-viabilă dacă este pseudo-vaibilă din M 0 (există o marcare accesibilă M [M 0 astfel încât M[t ). O tranziţie care nu este pseudo-viabilă se numeşte moartă. Reţeaua marcată γ este pseudo-viabilă dacă toate tranziţiile sale sunt pseudo-viabile.

91 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 32/45 Exemple p1 p3 p2 t1 t3 p5 t2 p4

92 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 32/45 Exemple p1 p3 p2 t1 t3 p5 t2 p4 t 1 este tranziţie moartă t 2 pseudo-viabilă t 3 este tranziţie moartă

93 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 33/45 Proprietăţi: blocaje Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Definiţie 10 (blocaje) O marcare M a reţelei marcate γ este moartă dacă nu există o tranziţie t T astfel încât M[t. Reţeaua γ este fără blocaje, dacă nu există marcări accesibile moarte.

94 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 34/45 Exemple p1 p3 p2 t1 t3 p5 t2 p4

95 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 34/45 Exemple p1 p3 p2 t1 t3 p5 t2 p4 Marcarea (0,0,0,1,0) este moartă, deci reţeaua are blocaje.

96 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 35/45 Proprietăţi: viabilitate Definiţie 11 (viabilitate) Fie N = (P,T,F,W) o reţea de tip P/T şi γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. O tranziţie t T este viabilă dacă M [M 0, t este pseudo-viabilă din M ( M [M astfel încât M [t ). Reţeaua marcată γ este viabilă dacă orice tranziţie t T este viabilă. reţeaua N este structural viabilă dacă există o marcare M astfel încât (N,M) este viabilă.

97 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 36/45 Exemple p1 t1 p2 2 2 t3 p3 t2 Reţea pseudo-viabilă, viabilă si fără blocaje.

98 Exemple Reţele Petri şi Aplicaţii p. 37/45

99 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 37/45 Exemple t 1,t 2,t 3 : nu sunt viabile t 4,t 5 : viabile reţeaua este pseudo-viabilă

100 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 38/45 Reversibilitate Definiţie 12 Reţeaua marcată γ este reversibilă dacă marcarea sa iniţială este accesibilă din orice marcare M [M 0.

101 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 38/45 Reversibilitate Definiţie 12 Reţeaua marcată γ este reversibilă dacă marcarea sa iniţială este accesibilă din orice marcare M [M 0. p1 t1 p2 2 2 t3 p3 t2

102 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă.

103 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă. Propoziţie 10 Orice reţea marcată viabilă, având cel puţin o tranziţie, este fără blocaje.

104 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă. Propoziţie 10 Orice reţea marcată viabilă, având cel puţin o tranziţie, este fără blocaje. Propoziţie 11 Dacă o reţea fără locaţii izolate este viabilă, atunci orice locaţie poate fi marcată, din orice marcare accesibilă.

105 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă. Propoziţie 10 Orice reţea marcată viabilă, având cel puţin o tranziţie, este fără blocaje. Propoziţie 11 Dacă o reţea fără locaţii izolate este viabilă, atunci orice locaţie poate fi marcată, din orice marcare accesibilă. Propoziţie 12 O reţea marcată reversibilă este viabilă ddacă este pseudo-viabilă.

106 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 39/45 Proprietăţi ale reţelelor Petri Fie γ = (N,M 0 ) o reţea Petri marcată. Propoziţie 9 Orice reţea marcată viabilă este şi pseudo-viabilă. Propoziţie 10 Orice reţea marcată viabilă, având cel puţin o tranziţie, este fără blocaje. Propoziţie 11 Dacă o reţea fără locaţii izolate este viabilă, atunci orice locaţie poate fi marcată, din orice marcare accesibilă. Propoziţie 12 O reţea marcată reversibilă este viabilă ddacă este pseudo-viabilă. Propoziţie 13 O reţea marcată reversibilă este fără blocaje.

107 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 40/45 Exemple Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi viabilă? Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi fără blocaje? Q: orice reţea viabilă este şi reversibilă?

108 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 40/45 Exemple Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi viabilă? Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi fără blocaje? Q: orice reţea viabilă este şi reversibilă? p3 p1 t1 p2 t2 p4

109 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 40/45 Exemple Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi viabilă? Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi fără blocaje? Q: orice reţea viabilă este şi reversibilă? p3 p1 t1 p2 t2 p4

110 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 40/45 Exemple Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi viabilă? Q: orice reţea pseudo-viabilă este şi fără blocaje? Q: orice reţea viabilă este şi reversibilă? p3 p1 t1 p2 t2 p4 Reţea pesudo-viabilă (toate tranziţiile pseudo-viabile). Reţeaua are blocaje (marcarea (0, 0, 1, 1) este moartă). Reţeaua nu este viabilă!

111 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 41/45 Exemple Reţea viabilă, care nu este reversibilă: p1 t1 t2 p3 t3 p4 p2 (1,0,0,0)[t 2 (0,1,1,0)[t 1 (1,0,1,0)[t 3 (1,0,0,1). Marcarea iniţială (1,0,0,0) nu este accesibilă din (1,0,0,1).

112 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate?

113 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate? p1 t1 t2 p2

114 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate? p1 t1 (1,0)[t 1 [t 2 (0,1)[t 1 [t 2 (0,1)... Retea mărginită şi este viabilă t2 p2

115 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate? p1 t1 (1,0)[t 1 [t 2 (0,1)[t 1 [t 2 (0,1)... Retea mărginită şi este viabilă t2 p2 p1 t2 t1 p2 p3

116 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate? p1 t1 (1,0)[t 1 [t 2 (0,1)[t 1 [t 2 (0,1)... Retea mărginită şi este viabilă t2 p2 p1 t2 t1 p2 Retea nemărginită, este viabilă p3

117 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 42/45 Exemple Q: Există o relaţie între proprietatea de mărginire si cea de viabilitate? p1 t1 (1,0)[t 1 [t 2 (0,1)[t 1 [t 2 (0,1)... Retea mărginită şi este viabilă t2 p2 p1 t2 t1 p2 Retea nemărginită, este viabilă p3

118 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5

119 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5

120 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5

121 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5

122 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5

123 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5

124 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5 Reţea nemărginită (locaţia p 4 ), neviabilă (M = (0,0,0,2,1) şi t 1 )

125 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 43/45 Exemple p3 t1 p1 p2 t3 t4 t5 p4 t2 p5 Reţea nemărginită (locaţia p 4 ), neviabilă (M = (0,0,0,2,1) şi t 1 )

126 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 44/45 Mărginire şi viabilitate Teorema 1 Orice reţea conexă (fără elemente izolate) mărginită şi viabilă este tare conexă.

127 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 44/45 Mărginire şi viabilitate Teorema 1 Orice reţea conexă (fără elemente izolate) mărginită şi viabilă este tare conexă. Demonstraţie: Se arată că pentru orice (x,y) F, există un drum de la y la x. Caz 1: x P,y T. Fie V = {t T există drum de la y la t} (y V ) U = {t T nu există drum de la y la t} V U =. x y U V

128 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 44/45 Mărginire şi viabilitate Teorema 1 Orice reţea conexă (fără elemente izolate) mărginită şi viabilă este tare conexă. Demonstraţie: Se arată că pentru orice (x,y) F, există un drum de la y la x. Caz 1: x P,y T. Fie V = {t T există drum de la y la t} (y V ) U = {t T nu există drum de la y la t} V U =. x y U V

129 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 44/45 Mărginire şi viabilitate Teorema 1 Orice reţea conexă (fără elemente izolate) mărginită şi viabilă este tare conexă. Demonstraţie: Se arată că pentru orice (x,y) F, există un drum de la y la x. Caz 1: x P,y T. Fie V = {t T există drum de la y la t} (y V ) U = {t T nu există drum de la y la t} V U =. x t y U V

130 Reţele Petri şi Aplicaţii p. 45/45 Exemple Reţeaua nu este tare conexă nu este viabilă sau mărginită: t1 p1 t2 p2 t3 Reciproca teoremei nu este adevărată: reţeaua este tare conexă, dar nu este viabilă. t2 p1 p2 2 t3

Curs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45

Curs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45 Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2017) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 12. RPA (2017) Curs 12 1 / 65

Curs 12. RPA (2017) Curs 12 1 / 65 Reţele Petri şi aplicaţii Curs 12 RPA (2017) Curs 12 1 / 65 Cuprins 1 Modelare utilizând HCPN 2 Reţele Petri colorate cu durate de timp 3 Reţele Petri imbricate RPA (2017) Curs 12 2 / 65 Modelare utilizând

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui - Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE DEFINIŢIE UNITĂŢI DE MĂSURĂ PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI CONDENSATOARELOR SIMBOLURILE

2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE DEFINIŢIE UNITĂŢI DE MĂSURĂ PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI CONDENSATOARELOR SIMBOLURILE 2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE DEFINIŢIE UNITĂŢI DE MĂSURĂ PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI CONDENSATOARELOR SIMBOLURILE CONDENSATOARELOR 2.2. MARCAREA CONDENSATOARELOR MARCARE

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

In cazul sistemelor G-L pentru care nu se aplica legile amintite ale echilibrului de faza, relatia y e = f(x) se determina numai experimental.

In cazul sistemelor G-L pentru care nu se aplica legile amintite ale echilibrului de faza, relatia y e = f(x) se determina numai experimental. ECHILIBRUL FAZELOR Este descris de: Legea repartitiei masice Legea fazelor Legea distributiei masice La echilibru, la temperatura constanta, raportul concentratiilor substantei dizolvate in doua faze aflate

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Distribuţii ( lab. 4)

Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Distribuţii ( lab. 4) Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Distribuţii ( lab. 4) În practică eistă nenumărate eperienţe aleatoare care au un câmp de evenimente nenumărabil şi implicit sistemul complet de evenimente aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =

Διαβάστε περισσότερα

3 Distribuţii discrete clasice

3 Distribuţii discrete clasice 3 Distribuţii discrete clasice 3.1 Distribuţia Bernoulli Probabil cel mai simplu tip de variabilă aleatoare discretă, variabila aleatoare Bernoulli modelează efectuareaunui experiment în care poate apare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

TEORIA PROBABILITĂŢILOR UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI,

TEORIA PROBABILITĂŢILOR UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI, Ariadna Lucia Pletea Liliana Popa TEORIA PROBABILITĂŢILOR UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI, IAŞI 999 Cuprins Introducere 5 Câmp de probabilitate 7. Câmp finit de evenimente...........................

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic

Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Logică 24. Echivalenta starilor STARILE ECHIVALENTE DIN CIRCUITELE SECVENTIALE Realizarea unui circuit secvenţial

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de logicǎ matematicǎ

Elemente de logicǎ matematicǎ Elemente de logicǎ matematicǎ 9 noiembrie 2004 - Calcul propoziţional - Calculul predicatelor - Proceduri de decizie pt. realizabilitate - Demonstrare de teoreme prin rezoluţie Elemente de logicǎ matematicǎ

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla

2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla 2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla DOMENIUL DE UTILIZARE Capacitate de până la 450 l/min (27 m³/h) Inaltimea de pompare până la 112 m LIMITELE DE UTILIZARE Inaltimea de aspiratie manometrică

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

Curs 5 Semnale stationare si nestationare. Testul unit root

Curs 5 Semnale stationare si nestationare. Testul unit root Curs 5 Semnale stationare si nestationare. Testul unit root Seriile de timp stationare intuitiv inseamna medie si deviatie standard constante in timp. In aplicatii insa intalnim de obicei marimi nemarginite

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE LOGICE CU TB

CIRCUITE LOGICE CU TB CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune

Διαβάστε περισσότερα

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon ursul.3. Mării şi unităţi de ăsură Unitatea atoică de asă (u.a..) = a -a parte din asa izotopului de carbon u. a.., 0 7 kg Masa atoică () = o ărie adiensională (un nuăr) care ne arată de câte ori este

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011 1.0.011 STATISTICA Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 16 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/inde.asp?itemfisiere&id Observati doua

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g. II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ M Manual pentru clasa a 1-a Cuprins ALGEBRÃ 1. Grupuri... 6 1.1. Legi de compoziþie... 6 1.. Proprietãþi ale legilor de compoziþie... 9 1.3. Grupuri... 1.4. Exemple

Διαβάστε περισσότερα

Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Informează dacă există comisioane bancare la retragere numerar într-o anumită țară

Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Informează dacă există comisioane bancare la retragere numerar într-o anumită țară - General Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Informează dacă există comisioane bancare la retragere numerar într-o

Διαβάστε περισσότερα

CU PRIVIRE LA CONDIŢIA DE DERIVABILITATE ÎN REDUCŢIE *

CU PRIVIRE LA CONDIŢIA DE DERIVABILITATE ÎN REDUCŢIE * CU PRIVIRE LA CONDIŢIA DE DERIVABILITATE ÎN REDUCŢIE * Balzer, Moulines şi Sneed oferă într-un proiect recent 1 o discuţie extinsă a celor mai importante relaţii interteoretice globale. Printre ele, reducţia

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα