ΓΙΑΤΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΑ ΔΑΚΤΥΛΑ ΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΑΠΛΩΝ 1 ΠΡΟΣΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΩΝ

Transcript

1 Το παρακάτω άρθρο δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Διάσταση το Η πλήρης αναφορά είναι η εξής: Χ. Λεμονίδης (1994). Γιατί και πώς χρησιμοποιούν οι μαθητές τα δάκτυλά τους στην εκτέλεση απλών προσθέσεων και αφαιρέσεων. Περιοδικό Διάσταση, Τεύχος,2-3, σσ ΓΙΑΤΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΑ ΔΑΚΤΥΛΑ ΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΑΠΛΩΝ 1 ΠΡΟΣΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΩΝ Χ. Λεμονίδης Π.Τ.Δ.Ε. Φλώρινας Εισαγωγή Γνωρίζουν οι διδάσκοντες, από την εμπειρία τους, ότι η χρήση των δακτύλων στο νηπιαγωγείο και τις πρώτες τάξεις του δημοτικού είναι γενικά μια ενέργεια που συνδέεται με την αρίθμηση και την αντιστοίχιση ένα-προς-ένα μεταξύ των δακτύλων και των αριθμών. Διαλέξαμε να εξετάσουμε το χώρο των απλών νοερών πράξεων της πρόσθεσης και αφαίρεσης γιατί κατά τη διάρκεια της μάθησης αλλά και για πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα μετά, για τις πράξεις αυτές στις πρώτες τάξεις της στοιχειώδους εκπαίδευσης γίνεται η μεγαλύτερη και τουλάχιστον η πιο εμφανής χρήση των δακτύλων. Γενικά η χρήση των δακτύλων στις δύο πρώτες τάξεις του δημοτικού είναι αποδεκτή και αναμενόμενη από τους διδάσκοντες μιας και προτείνεται σε μερικές περιπτώσεις στη σημερινή διδασκαλία και ως μέθοδος για την εισαγωγή και την εκτέλεση των πράξεων της πρόσθεσης και αφαίρεσης με αρίθμηση. Αντίθετα, η χρήση των δακτύλων στην κοινή γνώμη των διδασκόντων, δεν είναι αποδεκτή, δεν μπορεί να εξηγηθεί και είναι συνυφασμένη με αδυναμία από την πλευρά του μαθητή για την 1 Με τον όρο απλές προσθέσεις και αφαιρέσεις ενοούμε τις πράξεις αυτές που οι δύο όροι τους είναι μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί.

2 εκτέλεση των πράξεων αυτών, όταν αυτή εμφανίζεται στις μεγαλύτερες τάξεις του δημοτικού. Για να μπορέσουμε να καταλάβουμε το γιατί, τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιεί το παιδί τα δάκτυλά του και για ποια χρονική περίοδο διαρκεί αυτό, θα πρέπει να γνωρίζουμε πώς σκέφτονται τα παιδιά όταν εκτελούν νοερά τις απλές προσθέσεις και αφαιρέσεις. Θα πρέπει να ξέρουμε δηλαδή ποιες διαδικασίες ή στρατηγικές χρησιμοποιεί το παιδί και κατά τη διάρκεια ποιων χρονικών περιόδων για τη νοερή εκτέλεση των πράξεων αυτών. Θα πρέπει να ξέρουμε επίσης το πώς εξελίσσονται οι διαδικασίες αυτές ξεκινώντας από τις πρώτες ικανότητες που εμφανίζει το παιδί στην προσχολική ηλικία και συνίστανται στο να μπορεί να προσθέτει και να αφαιρεί με τη βοήθεια υλικών αντικειμένων (χωρίς να έχει δεχτεί κάποια ιδιαίτερη διδασκαλία γι'αυτό) μέχρι να φτάσει στις διαδικασίες που χρησιμοποιεί ο ενήλικος. Σήμερα στις διάφορες έρευνες για τη διαπίστωση των διαδικασιών που χρησιμοποιούν οι μαθητές στις πράξεις της πρόσθεσης και αφαίρεσης εφαρμόζονται κυρίως τρεις μέθοδοι. Η πρώτη μέθοδος είναι αυτή της μέτρησης του χρόνου απάντησης ή χρόνου αντίδρασης και χρησιμοποιείται σήμερα πάρα πολύ από τους ερευνητές λόγω της μεγάλης εξάπλωσης των ηλεκτρονικών υπολογιστών και της εύκολης πρόσβασης σε αυτούς. Η μέθοδος αυτή συνίσταται στο ότι δίνεται στην οθόνη του υπολογιστή η πράξη και ζητείται από το παιδί η απάντηση ή δίνονται πράξεις με τις απαντήσεις τους και ζητείται από το παιδί να εξετάσει αν είναι σωστές ή λάθος. Οι χρόνοι των απαντήσεων μετρούνται από τον ίδιο τον υπολογιστή εάν οι απαντήσεις πληκτρολογούνται σε αυτόν ή σε διαφορετική περίπτωση χρησιμοποιείται χρονόμετρο. Η δεύτερη μέθοδος είναι η μέθοδος της προσωπικής συνέντευξης ή κλινικής εξέτασης. Με τη μέθοδο αυτή παρακολουθείται ατομικά το παιδί όταν εκτελεί μια πράξη και ο εξεταστής του θέτει προσχεδιασμένες ερωτήσεις για να ερμηνεύσει τον τρόπο σκέψης του. Η τρίτη μέθοδος είναι η ανάλυση των τύπων των λαθών που κάνουν τα παιδιά. Με την εξέταση των τύπων των λαθών στις διάφορες πράξεις που δίνονται επιχειρείται να διαγνωσθεί η διαδικασία επίλυσης που χρησιμοποιούν.

3 Οι έρευνες στις οποίες αναφερόμαστε σε αυτήν την εργασία για την εξακρίβωση των διαδικασιών, ποιες από αυτές και σε ποιες χρονικές περιόδους χρησιμοποιούνται είναι οι περισσότερες σε Αμερικανούς μαθητές. Δυστυχώς στην Ελλάδα δεν έχουν πραγματοποιηθεί ακόμη τέτοιες έρευνες για να μπορέσουμε να αναλύσουμε τις συμπεριφορές Ελλήνων μαθητών ή ενηλίκων. Αλλά αν και υπάρχουν διαφορές στα προγράμματα διδασκαλίας αυτές δεν είναι τόσο μεγάλες για να μην μπορέσουμε να δούμε μέσα από τις αναλύσεις των συμπεριφορών των Αμερικανών μαθητών ή ενηλίκων αντιστοιχίες και ανάλογες καταστάσεις και για τους Έλληνες. Έρευνες για την ανεύρεση των διαδικασιών της πρόσθεσης Τις δύο τελευταίες δεκαετίες έγιναν πολλές έρευνες για να βρεθούν οι μηχανισμοί και ο τρόπος με τον οποίο εκτελεί ο άνθρωπος τις απλές πράξεις της πρόσθεσης και αφαίρεσης. Αναπτύχθηκαν λοιπόν, καινούργιες θεωρίες και για τα πειράματα χρησιμοποιήθηκε πολύ η μέθοδος της μέτρησης του χρόνου αντίδρασης των μαθητών. Η μέθοδος αυτή έγινε πολύ προσιτή εξαιτίας της μεγάλης εξάπλωσης των ηλεκτρονικών υπολογιστών, με τους οποίους μπορούμε εύκολα να μετρούμε τους χρόνους αντίδρασης. Μια από τις πρώτες έρευνες όπου χρησιμοποιήθηκε αυτή η μέθοδος για να μελετηθεί πώς το παιδί και ο ενήλικος λύνουν τις στοιχειώδεις προσθέσεις ήταν αυτή των Groen & Parkman (1972). Αυτοί έκαναν την υπόθεση ότι τα άτομα χρησιμοποιούσαν για τις προσθέσεις δύο κατηγορίες μηχανισμών. Την πρώτη κατηγορία την αποκάλεσαν ανακλητική ή αναπαραγωγική στρατηγική. Αυτή συνίσταται στην άμεση ανάκληση των αποτελεσμάτων ή των γεγονότων της πρόσθεσης από την μακρόχρονη μνήμη ή μνήμη μακράς διάρκειας. Για παράδειγμα, οι ενήλικες ξέρουν και απαντούν αυτόματα ότι 5 και 3 κάνει 8. Η δεύτερη κατηγορία απαιτεί μια διαδικασία υπολογισμού για να βρούμε την απάντηση. Αυτή ονομάστηκε ανακατασκευαστική στρατηγική. Σήμερα πολλοί ψυχολόγοι και διδακτικοί (βλέπε J.P. Fischer, 1992) την "ανακλητική" γνώση που ανακαλείται από τη μακρόχρονη μνήμη την ονομάζουν "δηλωτική" (declarative) γνώση και την "ανακατασκευαστική" γνώση, που δεν είναι άμεση και απαιτεί κάποιες διαδικασίες για την κατασκευή της, την ονομάζουν "διαδικαστική" (procedurale) γνώση.

4 Οι Groen & Parkman βρήκαν ότι ένα γραμμικό μοντέλο μπορεί να προβλέπει το χρόνο αντίδρασης για τις απλές νοερές προσθέσεις. Με το μοντέλο αυτό υποστηρίζεται ότι ο χρόνος αντίδρασης που μεσολαβεί μεταξύ της παρουσίασης της πράξης της πρόσθεσης και της απάντησής της από το παιδί μπορεί να προβλεφθεί από μια απλή εξίσωση της μορφής t =αχ+β, όπου β είναι μια σταθερά ανεξάρτητη από τα δεδομένα και εκφράζει το χρόνο που καταναλώνεται μέχρι κάποιος να αρχίσει να σκέφτεται πάνω στην πράξη. Εκφράζει επίσης το χρόνο που καταναλώνεται για να δοθεί η απάντηση. Ο συντελεστής α αντιστοιχεί στο χρόνο που απαιτείται για να αυξηθεί κατά 1 μια δεδομένη ποσότητα. Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό δηλαδή, αν δώσουμε σ ένα μαθητή της Α' δημοτικού να εκτελέσει την πρόσθεση 3+5, αυτός συνήθως αντιμεταθέτει την πράξη (5+3), αρχίζει να αριθμεί από το 5 αυξάνοντας κάθε φορά κατά ένα, μέχρι να προσθέσει 3. Ο χρόνος αντίδρασης λοιπόν, που μετριέται είναι ανάλογος (γραμμική συνάρτηση) με το μικρότερο από τους δύο αριθμούς που προστίθενται. 'Αλλα ενδιαφέροντα αποτελέσματα στα οποία κατέληξαν οι Groen και Parkman ήταν τα εξής: - Η πλειοψηφία των μαθητών της Α' δημοτικού λύνουν τις απλές προσθέσεις των μονοψηφίων αριθμών με αρίθμηση ένα-ένα ξεκινώντας από το μεγαλύτερο αριθμό του ζεύγους μ+ν. Δηλαδή αρχίζουν την αρίθμηση με το μεγαλύτερο από τους δυο προσθετέους, ανεξάρτητα με το ποιος είναι ο πρώτος και ποιος ο δεύτερος και ανεβαίνουν ένα-ένα τόσες φορές όσες μονάδες έχει ο μικρότερος προσθετέος. Προφανώς, αυτή η μέθοδος απαιτεί τα λιγότερα βήματα αύξησης. Σ αυτή τη διαδικασία ο χρόνος αντίδρασης είναι συνάρτηση του μεγέθους του μικροτέρου προσθετέου και γιαυτό η διαδικασία αυτή είναι γνωστή ως μοντέλο του ελαχίστου (min model). Στη συνέχεια, πολλές μελέτες έδειξαν ότι το μοντέλο του ελαχίστου επεκτείνεται και σε προβλήματα με άθροισμα μεγαλύτερο του 18 και σε παιδιά ηλικίας από 4 1 / 2 μέχρι 9 ή 10 χρόνων. - Ωστόσο το μοντέλο του ελαχίστου, δε φαίνεται να εφαρμόζεται όταν έχουμε πρόσθεση με "διπλά" (ζεύγη ίσων ψηφίων: 1+1, 2+2, 3+3,... Από την Α' δημοτικού ακόμη, η άθροιση των παραπάνω ζευγών φαίνεται να γίνεται με άμεση ανάκληση από τη μνήμη. Πράγματι, ο χρόνος

5 επίλυσης γιαυτά τα ζεύγη είναι σχεδόν αμετάβλητος, οποιοδήποτε και αν είναι το μέγεθος των ίσων ψηφίων. - Στους ενήλικες, οι αθροίσεις πραγματοποιούνται στην πλειοψηφία τους με άμεση ανάκληση από τη μνήμη μακράς διαρκείας, εκτός από κάποιες περιπτώσεις που δείχνουν ότι και οι ενήλικες χρησιμοποιούν μερικές φορές την αρίθμηση. Οι διαδικασίες της πρόσθεσης και η εξέλιξή τους Ο Carpenter (1981) βρίσκει ότι πολλά παιδιά στην προσχολική ηλικία (4-5 ετών), προτού ακόμη μάθουν τις αριθμητικές πράξεις, μπορούν να λύνουν προβλήματα του τύπου μ+ν (όπου τα μ και ν μπορεί να είναι μέχρι και 9) εφαρμόζοντας διαδικασίες απαρίθμησης με τη βοήθεια απαριθμήσιμων αντικειμένων. Το παιδί αρχίζει λοιπόν να βρίσκει αθροίσματα χρησιμοποιώντας τη διαδικασία της υλικής απαρίθμησης όλων των αντικειμένων. Μ αυτή τη διαδικασία το παιδί για να προσθέσει μ+ν αναπαριστά με αντικείμενα ή με τα δάκτυλά του τη συλλογή μ μετά τη συλλογή ν και απαριθμεί στη συνέχεια την ολότητα απαριθμώντας όλα τα στοιχεία αρχίζοντας από το 1. Τα δάκτυλα σ'αυτήν τη φάση παίζουν το ρόλο των αντικειμένων. Δηλαδή το παιδί χρησιμοποιεί τα δάκτυλά του για να δώσει υλική υπόσταση στους αριθμούς που πρέπει να αθροίσει. Εδώ γίνεται επίσης μια αντιστοίχιση ένα-προς-ένα μεταξύ δακτύλων και ακολουθίας των φυσικών αριθμών (1, 2, 3,...) ξεκινώντας από την αρχή της ακολουθίας αυτής. Η διαδικασία της υλικής απαρίθμησης δεν εφαρμόζεται από όλα τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας. Για παράδειγμα, οι Carpenter και Moser (1984) βρήκαν ότι σχεδόν το ένα έβδομο από τα παιδιά που εισάγονταν στην πρώτη τάξη δεν μπορούσαν να λύσουν κανένα πρόβλημα πρόσθεσης ακόμη και όταν είχαν στη διάθεσή τους αντικείμενα. Στο διάστημα που μεσολαβεί από την απαρίθμηση των συλλογών μέχρι την άμεση ανάκληση από τη μνήμη έχουμε τις αριθμητικές διαδικασίες που είναι οι εξής τέσσερις: α) Αρίθμηση όλων αρχίζοντας από τον πρώτο, β) Αρίθμηση από τον πρώτο,

6 γ) Αρίθμηση όλων αρχίζοντας από το μεγαλύτερο, δ) Αρίθμηση από το μεγαλύτερο. Ας δούμε ποιες είναι αυτές οι διαδικασίες και πως εφαρμόζονται για μια πρόσθεση π.χ Αρίθμηση όλων αρχίζοντας από τον πρώτο: Το παιδί αριθμεί για τον πρώτο αριθμό (4) αρχίζοντας από το 1 "1, 2, 3, 4" και συνεχίζει αυτή την ευθεία αρίθμηση μέχρι την αρίθμηση και του δεύτερου (7) "5, 6, 7, 8, 9, 10, 11". Η απάντηση είναι ο τελευταίος αριθμός (11) αυτής της αρίθμησης. Αρίθμηση από τον πρώτο: εδώ το παιδί αριθμεί αρχίζοντας από τον πληθάριθμο του πρώτου προσθετέου που δίνεται στο πρόβλημα. Στο παράδειγμα μας, το παιδί θα πει " 4 (παύση)" και θα μετρήσει "5, 6, 7, 8, 9, 10, 11." Η απάντηση είναι 11. Αρίθμηση όλων αρχίζοντας από το μεγαλύτερο: Το παιδί αριθμεί μέχρι το μεγαλύτερο αριθμό (7) αρχίζοντας από το 1 "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7" και συνεχίζει αυτή την ευθεία αρίθμηση μέχρι την αρίθμηση και του μικρότερου αριθμού (4) "8, 9, 10, 11". Η απάντηση είναι ο τελευταίος αριθμός (11) αυτής της αρίθμησης. Αρίθμηση από το μεγαλύτερο: εδώ το παιδί αρχίζει να αριθμεί από τον πληθάριθμο του μεγαλύτερου προσθετέου. Στο παράδειγμα, το παιδί θα μετρήσει "7 (παύση), 8, 9, 10, 11." Η απάντηση είναι 11. Αριθμώντας με τους παραπάνω τρόπους το παιδί για να σταματήσει όταν φτάσει στο αποτέλεσμα θα πρέπει να καταγράψει τον αριθμό των βημάτων που έχουν εκτελεστεί στην διάρκεια της αρίθμησης. Αυτό γίνεται πολύ συχνά με τη χρησιμοποίηση των δακτύλων του χεριού. Εδώ, η χρήση των δακτύλων είναι διαφορετική από αυτήν της προηγούμενης διαδικασίας της υλικής απαρίθμησης όλων. Στην περίπτωση αυτή το παιδί δε χρησιμοποιεί τα δάκτυλά του για να αναπαραστήσει τις δύο συλλογές των αντικειμένων και να απαριθμήσει το πλήθος τους αλλά για να ελέγξει την εξέλιξη της αρίθμησης και να μην ξεπεράσει το αποτέλεσμα όταν το φτάσει. Πιο συγκεκριμένα στο παραπάνω παράδειγμα στις διαδικασίες: Αρίθμηση όλων αρχίζοντας από τον πρώτο και Αρίθμηση από τον πρώτο, το παιδί θα χρησιμοποιήσει 7 δάκτυλα για να υπολογίσει τα 7 βήματα από το

7 5 μέχρι το 11. Ενώ στις διαδικασίες: Αρίθμηση όλων αρχίζοντας από το μεγαλύτερο και Αρίθμηση από το μεγαλύτερο το παιδί θα χρησιμοποιήσει 4 δάκτυλα για να υπολογίσει τα 4 βήματα από το 8 μέχρι το 11. Τα διάφορα πειράματα έδειξαν ότι τα παιδιά αρχίζουν να εκτελούν τις προσθέσεις με τη διαδικασία της υλικής απαρίθμησης όλων, χρησιμοποιούν επίσης τις διαδικασίες της Αρίθμησης όλων αρχίζοντας από τον πρώτο και την Αρίθμηση από τον πρώτο, όπου σέβονται και ακολουθούν τη σειρά μ+ν με την οποία παρουσιάζονται οι όροι. Στη συνέχεια χρησιμοποιούν τις διαδικασίες: Αρίθμηση όλων αρχίζοντας από το μεγαλύτερο και Αρίθμηση από το μεγαλύτερο, οι οποίες είναι πιο έξυπνες και απαιτούν τη χρήση της αντιμεταθετικής ιδιότητας. Γνωρίζουμε όμως, από τις έρευνες του Greco (1962), ότι η κατάκτηση της ιδιότητας αυτής έρχεται πολύ αργότερα στο παιδί. Η πρόωρη χρήση της αντιμεταθετικής ιδιότητας εδώ δε σημαίνει βέβαια μια συνειδητή και λογική γνώση αυτής της ιδιότητας από την πλευρά του παιδιού. Όπως ήδη έχουμε πει, οι ενήλικες όταν πραγματοποιούν μια στοιχειώδη πρόσθεση, τις περισσότερες φορές, ανακαλούν άμεσα τις απαντήσεις από τη μνήμη μακράς διάρκειας (Μ.Μ.Δ) χωρίς να αριθμούν. Υπάρχουν δύο τύποι διαδικασιών που γίνονται νοερά χωρίς αρίθμηση και είναι οι εξής: 'Αμεση ανάκληση από τη μνήμη: εδώ το παιδί ανακαλεί από τη μνήμη μακράς διάρκειας την αριθμητική πράξη "4 και 7 ίσον 11" ή "7 και 4 ίσον 11". Παραγωγή πράξης: το παιδί εδώ παράγει την απάντησή του βασιζόμενο σε μια ή περισσότερες ανακαλούμενες πράξεις (π.χ. "7 και 3 ίσον 10, 10 και 1 ίσον 11" ή "4 και 6 ίσον 10, 10 και 1 ίσον 11"). Εδώ οι περισσότερες πράξεις που ανακαλούνται είναι αθροίσματα του 10 ή αθροίσματα των "διπλασίων". Στη συνέχεια θα εξετάσουμε πότε και πως πραγματοποιείται το πέρασμα από την αρίθμηση στην ανάκληση από τη μακρόχρονη μνήμη. Οι Αshcraft και Fierman (1982) πραγματοποίησαν κάποιες έρευνες για να εξετάσουν αυτό το πέρασμα. Τα αποτελέσματα των ερευνών αυτών έδειξαν ότι στην τρίτη τάξη του δημοτικού τα παιδιά περνούν από μία "ανακατασκευαστική στρατηγική" όπου κυριαρχεί η αρίθμηση σε μια

8 "αναπαραγωγική στρατηγική" που χαρακτηρίζεται από την προσφυγή, αν όχι συστηματική, ωστόσο, πολύ συχνή, στην ανάκληση από τη μακρόχρονη μνήμη. Στην έρευνα αυτή φάνηκε επίσης ότι στην πρώτη δημοτικού τα παιδιά αριθμούν μαζικά ενώ στην τετάρτη δημοτικού η συμπεριφορά τους είναι σχεδόν παρόμοια μ αυτή των ενηλίκων. Οι μαθητές της δευτέρας χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: μερικοί λειτουργούν ακόμη όπως στην πρώτη και άλλοι όπως οι ενήλικες αν και η ταχύτητα απάντησης θα συνεχίζει να μεγαλώνει για αρκετά χρόνια. Στη διάρκεια λοιπόν της στοιχειώδους εκπαίδευσης παρατηρούμε προοδευτικά ένα πέρασμα από μια μέθοδο επίλυσης των απλών προσθέσεων που βασίζεται στην αρίθμηση σε μια άλλη μέθοδο που λειτουργεί ουσιαστικά με την έρευνα και την ανάκληση των πληροφοριών που είναι αποθηκευμένες στη μακρόχρονη μνήμη καθώς επίσης και με την παραγωγή πράξεων. Δεν πρέπει από τα παραπάνω να σχηματίσουμε μια απλοϊκή αντίληψη που διχοτομεί την ανάπτυξη σε: αρίθμηση στην πρώτη δημοτικού, ανάκληση από τη μνήμη μετά την τετάρτη δημοτικού. Διότι, αφενός από την πρώτη τάξη οι μαθητές χρησιμοποιούν την άμεση πρόσβαση στην μνήμη για να λύσουν τις προσθέσεις των "διπλών" (2+2, 3+3,...) - στην πρώτη τάξη λοιπόν μπορεί να κυριαρχεί η αρίθμηση αλλά δεν πρέπει να θεωρήσουμε ότι είναι η μόνη διαδικασία που χρησιμοποιούν οι μαθητές - και αφετέρου βρίσκουμε, στους μεγαλύτερους ακόμη και τους ενήλικες την προσφυγή σε διαδικασίες αρίθμησης. Σε μια έρευνά τους οι Svenson και Sjoberg (1983) παρακολουθούσαν κατά τη διάρκεια των τριών πρώτων χρόνων του δημοτικού μια ομάδα από δώδεκα παιδιά. Στο τέλος κάθε εξαμήνου υπέβαλαν τα παιδιά σε μια εξέταση επίλυσης πενήντα προσθέσεων μ+ν, τέτοιων ώστε μ+ν<13, 1<μ<13 και 1<ν<13. Στην εξέταση αυτή δε μετρήθηκε ο χρόνος απάντησης, όπως γινόταν προηγουμένως, αλλά ρωτήθηκαν τα παιδιά για τη μέθοδο που χρησιμοποιούσαν για την εκτέλεση των προσθέσεων. Τα αποτελέσματα αυτά βέβαια, για να είναι έγκυρα, διασταυρώθηκαν και με άλλα όπου μετριόταν και ο χρόνος απάντησης. Οι Svenson και Sjoberg διαχώρισαν ανάμεσα από πολλές άλλες τρεις μόνο διαδικασίες που είχαν μια συχνότητα τέτοια που μπορούσαν να παρατηρηθούν σε μια μακροχρόνια μελέτη. Αυτές ήταν:

9 - Η Αρίθμηση από το μεγαλύτερο. - Αρίθμηση όπως η προηγούμενη αλλά με τη βοήθεια των δακτύλων. - Η άμεση ανάκληση από τη μνήμη. Η εξέλιξη αυτών των τριών κατηγοριών συμπεριφοράς φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. % Νοερή αρίθμηση 'Αμεση ανάκλ. από τη μνήμη Αρίθμηση με δάκτυλα. 1:1 1:2 2:1 2:2 3:1 3:2 (Svenson και Sjoberg, 1983). τάξη: εξάμηνο Σε αυτήν τη γραφική παράσταση βλέπουμε τα ποσοστά χρησιμοποίησης των διαφόρων διαδικασιών για την εκτέλεση των προσθέσεων ανάλογα με την τάξη και το εξάμηνο που βρίσκονται οι μαθητές. Στο παραπάνω σχήμα όπως ήταν αναμενόμενο παρατηρούμε, μια κανονική αύξηση των ποσοστών των απαντήσεων της άμεσης ανάκλησης από την Μ.Μ.Δ. όσο αυξάνεται η τάξη και το εξάμηνο που βρίσκονται οι μαθητές. Αντίθετα, τα ποσοστά της νοερής αρίθμησης αυξάνουν πολύ γρήγορα και μετά σταθεροποιούνται χωρίς να ελαττώνεται τουλάχιστον για τη χρονική περίοδο που εξετάζεται. Η αρίθμηση με τα δάκτυλα παρουσιάζει μια μεγάλη ανάπτυξη στην διάρκεια της δευτέρας τάξης και έχει στην συνέχεια επίσης μια γρήγορη ελάττωση. Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι, η πρόσθεση μεταξύ μονοψηφίων αριθμών παρ όλη την απλότητά της φαίνεται να ενεργοποιεί ταυτόχρονα γνώσεις αυτοματισμού, (δηλωτικές) όπως η άμεση ανάκληση από τη μνήμη και γνώσεις (διαδικαστικές) που κατασκευάζονται με κάποιες διαδικασίες όπως η αρίθμηση.

10 Μόνο η αναλογία αυτών των δύο ειδών γνώσεων μεταβάλλεται στην διάρκεια της ανάπτυξης του παιδιού. 'Ετσι το παιδί αρχίζει με την υλική διαδικασία της απαρίθμησης όλων προτού να χρησιμοποιήσει διαδικασίες πιο πολύπλοκες που εμπεριέχουν την αντιμεταθετική ιδιότητα. Στην συνέχεια υπάρχει μια σύνθετη εξέλιξη των διαδικασιών και της χρήσης τους μέχρι που φτάνουμε στους ενήλικες, όπου κυριαρχεί η διαδικασία της άμεσης ανάκλησης από την Μ.Μ.Δ. 'Ερευνες για την ανεύρεση των διαδικασιών της αφαίρεσης Από τους πρώτους που ερεύνησαν της διαδικασίες της αφαίρεσης ήταν οι Woods, Resnick και Groen (1975). Αυτοί ενδιαφέρθηκαν να βρουν εάν τα παιδιά χρησιμοποιούσαν μεθόδους της αρίθμησης για την εκτέλεση απλών αφαιρέσεων με μονοψήφιους αριθμούς. Εξέτασαν παιδιά της δευτέρας και πέμπτης δημοτικού σε μια σειρά από απλές αφαιρέσεις μ-ν = ; τέτοιες ώστε 0<μ<9 και 0<ν<8. Τα παιδιά εκτέλεσαν πενήντα τέσσερις πράξεις αυτού του τύπου πατώντας την απάντηση στα πλήκτρα ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή (από 0 έως 9), ο οποίος χρησίμευε ταυτόχρονα για την παρουσίαση των πράξεων και για τη μέτρηση των χρόνων απάντησης. Στην έρευνα αυτή βρέθηκε ότι οι μαθητές χρησιμοποιούσαν τα παρακάτω τρία μοντέλα αρίθμησης για να δώσουν τις απαντήσεις τους: Το μοντέλο ή διαδικασία ελάττωσης, σύμφωνα με το οποίο το παιδί αρχίζει με το μεγαλύτερο αριθμό (το μειωτέο) και μετά μειώνει κατά ένα τόσες φορές όσες μονάδες έχει ο μικρότερος αριθμός (ο αφαιρετέος). Σ αυτό το μοντέλο ο χρόνος αντίδρασης για την απάντηση θα είναι συνάρτηση του μικρότερου αριθμού. Το μοντέλο ή διαδικασία αύξησης, εδώ το παιδί αρχίζει με το μικρότερο από τους δύο αριθμούς και αυξάνει κατά ένα μέχρι να φτάσει στο μεγαλύτερο αριθμό. Ο αριθμός των βημάτων που πραγματοποιεί κατά την αύξηση αυτή θα είναι η απάντηση. Ο χρόνος αντίδρασης σ αυτό το μοντέλο είναι συνάρτηση της διαφοράς του αφαιρετέου από το μειωτέο. Το μοντέλο ή διαδικασία επιλογής συνίσταται στην χρησιμοποίηση, είτε της διαδικασίας ελάττωσης, είτε της διαδικασίας της αύξησης για την πραγματοποίηση της αφαίρεσης. Η επιλογή της μιας από τις δύο αυτές

11 διαδικασίες εξαρτάται από το ποια απαιτεί λιγότερα βήματα. Ο χρόνος αντίδρασης εδώ είναι συνάρτηση του μικρότερου αριθμού, του αφαιρετέου και της διαφοράς. Εάν για παράδειγμα έχουμε την αφαίρεση μ-ν=χ τότε για το χρόνο αντίδρασης t θα έχουμε: t= f(min ν,χ). Τα σημαντικότερα αποτελέσματα από την έρευνα αυτή ήταν τα εξής: - Το μοντέλο της επιλογής είναι αυτό που εφαρμόζει καλύτερα και εξηγεί τα εμπειρικά δεδομένα της έρευνας, δηλαδή όταν τα παιδιά του δημοτικού εκτελούν νοερές αφαιρέσεις εφαρμόζουν τη διαδικασία της επιλογής, δηλαδή διαλέγουν είτε τη διαδικασία της αύξησης είτε της ελάττωσης ανάλογα με το ποια από τις δύο είναι η πιο γρήγορη. - Βρέθηκε επίσης ότι δύο τύποι πράξεων ξεχώρισαν από τις άλλες - τα "διπλά" : 2-2, 6-6, κλπ. - οι πράξεις του τύπου "2ν-ν" : 4-2, 6-3, κλπ. αυτό δείχνει, όπως και για την περίπτωση της πρόσθεσης, ότι αυτές οι πράξεις από τη δευτέρα δημοτικού λύνονται με διαφορετικό τρόπο από τις άλλες. Οι διαδικασίες του ελαχίστου και της επιλογής, αν και φαίνεται να είναι οι κυριότερες που χρησιμοποιούνται στις πρώτες τάξεις του δημοτικού, δεν είναι όμως οι μοναδικές που χρησιμοποιούνται. Οι διαδικασίες της αφαίρεσης και η εξέλιξή τους Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε όλες τις διαδικασίες που χρησιμοποιούν τα παιδιά για να κάνουν νοερά αφαιρέσεις με μονοψήφιους αριθμούς. Τα τρία επίπεδα που περιγράψαμε προηγουμένως για την πρόσθεση υπάρχουν επίσης και για τις λύσεις των προβλημάτων με αφαίρεση. Στο πρώτο επίπεδο της άμεσης μοντελοποίησης και στο δεύτερο επίπεδο της αρίθμησης, έχουμε περισσότερους τύπους διαδικασιών αφαίρεσης. Παρακάτω θα εξετάσουμε αναλυτικά αυτές τις διάφορες διαδικασίες της αφαίρεσης: Υλικές διαδικασίες

12 Διαχωρισμός από: η διαδικασία αυτή συνίσταται στο ότι, το παιδί κατασκευάζει το μεγαλύτερο σύνολο χρησιμοποιώντας αντικείμενα ή τα δάκτυλά του, στη συνέχεια διαχωρίζει από αυτό το μικρότερο σύνολο και μετά απαριθμεί όσα στοιχεία μένουν για να δώσει την απάντηση. Θα εξετάσουμε πως εφαρμόζονται οι διάφορες διαδικασίες της αφαίρεσης στο εξής πρόβλημα: "Η Κατερίνα έχει 11 καραμέλες. Ο Γιάννης έχει 4 καραμέλες. Πόσες καραμέλες περισσότερες έχει η Κατερίνα από το Γιάννη;" Στη διαδικασία Διαχωρισμός από, το παιδί χρησιμοποιώντας αντικείμενα ή τα δάκτυλά του, κατασκευάζει ένα σύνολο που αντιστοιχεί στο μεγαλύτερο αριθμό (11) του προβλήματος και μετά αποσύρει τόσα αντικείμενα όσα δείχνει ο μικρότερος αριθμός (4). Η απάντηση είναι ο αριθμός των αντικειμένων που μένουν (7). Διαχωρισμός μέχρι: αυτή η διαδικασία είναι παρόμοια με τη διαδικασία Διαχωρισμός από με τη διαφορά ότι εδώ διαχωρίζονται από το μεγάλο αρχικό σύνολο τόσα στοιχεία ώστε αυτά που θα μείνουν να είναι ίσα με το μικρότερο όρο που δίνεται στο πρόβλημα. Απαριθμώντας τον αριθμό των αντικειμένων που διαχωρίστηκαν έχουμε την απάντηση. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα, το παιδί κατασκευάζει ένα σύνολο που αντιστοιχεί στο μεγαλύτερο αριθμό (11) μετά αποσύρει αντικείμενα μέχρι να μείνουν τόσα όσα δείχνει ο μικρότερος αριθμός (4), η απάντηση βρίσκεται με την απαρίθμηση των αντικειμένων που αποσύρθηκαν (7). Πρόσθεση ή Συμπλήρωση: το παιδί διαλέγει ένα αριθμό αντικειμένων (4), ίσο με το μικρότερο από τους δύο δεδομένους αριθμούς. Στη συνέχεια, προσθέτει σ'αυτό το σύνολο ένα-ένα αντικείμενα μέχρι να φτάσει σε μια συλλογή ίση με το μεγαλύτερο από τους δεδομένους αριθμούς (11). Μετρώντας τον αριθμό των αντικειμένων που προστέθηκαν έχουμε την απάντηση (7). Αντιπαραβολή: αυτή πραγματοποιείται μόνο όταν υπάρχουν συγκεκριμένα αντικείμενα. Είναι αδύνατον να γίνει νοερά. Μ'αυτή τη διαδικασία αντιπαραβάλλονται και αντιστοιχίζονται ένα προς ένα τα στοιχεία των δύο συνόλων. Απαριθμώντας ότι περισσεύει από αυτήν την αντιπαραβολή έχουμε την απάντηση.

13 Για το πρόβλημα εδώ, το παιδί κατασκευάζει ένα σύνολο που αντιστοιχεί στο μικρότερο αριθμό (4) και ένα σύνολο που αντιστοιχεί στο μεγαλύτερο αριθμό (11) και τα αντιπαραβάλλει αντιστοιχώντας τα στοιχεία του πρώτου συνόλου με μέρος των στοιχείων του μεγαλυτέρου μέχρι να περισσέψει ένα σύνολο. Η απάντηση είναι ο αριθμός των αντικειμένων που παρέμειναν στο μη αντιστοιχιζόμενο σύνολο (7). Αριθμητικές διαδικασίες. Αντίστροφη αρίθμηση από: εδώ το παιδί πραγματοποιεί μια αντίστροφη αρίθμηση αρχίζοντας από το μεγαλύτερο των δύο όρων που δίνονται στο πρόβλημα. Η αντίστροφη αρίθμηση εδώ γίνεται σε τόσους αριθμούς όσος είναι ο μικρότερος όρος. Ο τελευταίος αριθμός που προφέρεται σ'αυτή την αντίστροφη αρίθμηση είναι η απάντηση. Στο παράδειγμα, το παιδί αριθμεί αντίστροφα αρχίζοντας από το 11 και κατεβαίνει 4 λέξεις-αριθμούς "10, 9, 8, 7", ο τελευταίος αριθμός στην αρίθμηση αυτή (7) είναι η απάντηση. Αντίστροφη αρίθμηση μέχρι: σ'αυτή τη διαδικασία πραγματοποιείται η αντίστροφη αρίθμηση ξεκινώντας από το μεγαλύτερο από τους δύο όρους μέχρι να φτάσουμε στον αριθμό που εκφράζει το μικρότερο όρο. Απαριθμώντας τα στοιχεία που χρησιμοποιήθηκαν σ'αυτή την αρίθμηση βρίσκεται η απάντηση. Στο παράδειγμα, το παιδί αριθμεί αντίστροφα αρχίζοντας από το 11 και συνεχίζει μέχρι να φτάσει στο μικρότερο αριθμό 4 "10, 9, 8, 7, 6, 5, 4", η απάντηση είναι ο αριθμός των λέξεων-αριθμών που αριθμήθηκαν (7). Ευθεία αρίθμηση από δεδομένο: εδώ το παιδί εκτελεί μια ευθεία αρίθμηση αρχίζοντας από το μικρότερο από τους δύο δεδομένους αριθμούς (4) και αριθμεί μέχρι να φτάσει το μεγαλύτερο από τους αριθμούς αυτούς (11) "5, 6, 7, 8, 9, 10, 11". Μετρώντας τα βήματα που έκανε σ'αυτή την αρίθμηση έχει την απάντηση (7). Επιλογή: είναι μικτή και συνίσταται στην χρήση είτε της Αντίστροφης αρίθμησης από, είτε της Ευθείας αρίθμησης από δεδομένο.

14 Μ'αυτή τη διαδικασία, το παιδί αποφασίζει και διαλέγει για να λύσει το πρόβλημα τη διαδικασία που χρειάζεται την αρίθμηση των λιγότερων αριθμών. Στο παράδειγμα μας, η διαδικασία Αντίστροφη αρίθμηση είναι πιο σύντομη από την Ευθεία αρίθμηση από δεδομένο. Σε αυτές τις διαδικασίες της αρίθμησης, ο μαθητής χρησιμοποιεί τα δάκτυλά του ως ένα είδος μετρητή που καταγράφει τα βήματα που κάνει στην αντίστροφη αρίθμηση ή στην ευθεία αρίθμηση. Στη διαδικασία δηλαδή της Αντίστροφης αρίθμησης από, στο συγκεκριμένο παράδειγμα, το παιδί θα χρησιμοποιήσει τα δάκτυλά του για να ελέγξει τα τέσσερα βήματα που θα κατεβεί απαγγέλλοντας τους αριθμούς "10, 9, 8, 7". Εδώ βέβαια ξέρει εκ των προτέρων ότι πρέπει να χρησιμοποιήσει 4 δάκτυλα. Στη διαδικασία της Αντίστροφης αρίθμησης μέχρι, το παιδί θα χρησιμοποιήσει τα δάκτυλά του για να καταγράψει πόσα βήματα θα διανύσει κατά τη διάρκεια της αντίστροφης αρίθμησης από το 10 μέχρι το 4. Επίσης στη διαδικασία της Ευθείας αρίθμησης από δεδομένο τα δάκτυλα χρησιμοποιούνται για να καταγράψουν τα βήματα που εκτελούνται κατά την ευθεία αρίθμηση από το 5 μέχρι το 11. Νοερές διαδικασίες. Όπως στην πρόσθεση και για την αφαίρεση έχουμε τις δύο βασικές διαδικασίες: την Άμεση ανάκληση από τη μνήμη των αριθμητικών πράξεων και την παραγωγή πράξεων. Εδώ, οι περισσότερες από τις πράξεις που ανακαλούνται από τη μνήμη βασίζονται στην πρόσθεση. Ας δούμε πώς λειτουργούν αυτές οι διαδικασίες στο παράδειγμά μας. 'Αμεση ανάκληση της αφαίρεσης: το παιδί ανακαλεί άμεσα μια αφαίρεση με τους δύο αριθμούς (4 και 11) από τη μνήμη μακράς διάρκειας "11 μείον 4 ίσον 7". 'Εμμεση ανάκληση της αφαίρεσης: το παιδί ανακαλεί μια έμμεση αφαιρετική πράξη με τους δύο αριθμούς (4 και 11) άμεσα από τη μνήμη μακράς διάρκειας "11 μείον 7 ίσον 4". 'Εμμεση ανάκληση της πρόσθεσης: το παιδί ανακαλεί μια έμμεση προσθετική πράξη με τους δύο αριθμούς (4 και 11) άμεσα από τη μνήμη "4 και 7 ίσον 11".

15 Παραγωγή άμεσης αφαίρεσης: το παιδί βασιζόμενο σε ανακαλούμενες πράξεις, παράγει την απάντησή του αφαιρώντας το μικρότερο αριθμό (4) από το μεγαλύτερο (11). (π.χ. "11 μείον 1 ίσον 10, 10 μείον 3 ίσον 7"). Παραγωγή έμμεσης αφαίρεσης: το παιδί βασιζόμενο σε ανακαλούμενες πράξεις, παράγει την απάντησή του προσδιορίζοντας ποια ποσότητα πρέπει να αφαιρέσει από το μεγαλύτερο αριθμό (11) για να πάρει το μικρότερο αριθμό (4). (π.χ. "11 μείον 1 ίσον 10 και 10 μείον 6 ίσον 4, έτσι η απάντηση είναι 1 και 6, που ισούται με 7"). Παραγωγή έμμεσης πρόσθεσης: το παιδί βασιζόμενο σε ανακαλούμενες πράξεις, παράγει την απάντησή του προσδιορίζοντας ποια ποσότητα πρέπει να προσθέσει στο μικρότερο αριθμό (4) για να πάρει το μεγαλύτερο αριθμό (11). (π.χ. "4 και 6 ίσον 10 και 10 και 1 ίσον 11, έτσι η απάντηση είναι 6 και 1, που ισούται με 7"). Οι Svenson και Sjoberg (1982) ερεύνησαν πώς εξελίσσονται οι διαδικασίες εκτέλεσης της αφαίρεσης παρακολουθώντας δώδεκα παιδιά κατά τη διάρκεια των τριών πρώτων τάξεων του δημοτικού. Τους μαθητές αυτούς τους εξέταζαν σε εξήντα-έξι αφαιρέσεις (μ-ν, με 0<μ<13) στο τέλος κάθε εξαμήνου (εκτός από το πρώτο εξάμηνο της πρώτης τάξης). Αυτοί έπρεπε να εξηγούν στους εξεταστές πώς εκτελούσαν κάθε φορά τις διάφορες αφαιρέσεις. Από την ανάλυση της συμπεριφοράς των παιδιών βρέθηκε ένας αριθμός από διαδικασίες που χρησιμοποιούσαν οι μαθητές και εξετάστηκε η διαχρονική εξέλιξη των διαδικασιών αυτών. % %.50 Αρίθμηση με δάκτυλα..50 Νοερή αντίστροφη αρίθμηση 'Αμεση ανάκλ. από Μ.Μ.Δ. 1:2 2:1 2:2 3:1 3:2 Ευθεία αρίθμηση. 1:2 2:1 2:2 3:1 3:2 τάξη: (Svenson και Sjoberg, 1982)

16 Στο παραπάνω σχήμα βλέπουμε το ποσοστά χρησιμοποίησης των διαφόρων διαδικασιών για την εκτέλεση των αφαιρέσεων ανάλογα με την τάξη και το εξάμηνο που βρίσκονται οι μαθητές. Από την εξέλιξη των διαδικασιών αυτών στο παραπάνω σχήμα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι: - Τα ποσοστά της διαδικασίας της άμεσης ανάκλησης από την Μ.Μ.Δ. αυξάνονται σχεδόν γραμμικά από 25% στο τέλος της πρώτης σε 50% στο τέλος της τρίτης. - Η χρήση των δακτύλων ακολουθεί μια απότομη αύξηση από την πρώτη προς τη δευτέρα τάξη και στη συνέχεια μια απότομη μείωση. - Οι διαδικασίες της αντίστροφης αρίθμησης χρησιμοποιούνται σε υψηλό ποσοστό με αρκετά αυξητικές τάσεις κατά τη διάρκεια των δυο πρώτων τάξεων. Αντίθετα στην τρίτη τάξη έχουμε μείωση των ποσοστών της χρήσης αυτής της διαδικασίας αλλά παρόλα αυτά παραμένει σε αρκετά υψηλό επίπεδο. - Οι διαδικασίες της ευθείας αρίθμησης ξεκινούν με χαμηλά ποσοστά στην πρώτη τάξη συνεχίζουν όμως με μια σταθερή αύξηση στις δύο επόμενες τάξεις. Συμπερασματικά για την εξέλιξη των διαδικασιών εκτέλεσης της αφαίρεσης μπορούμε να πούμε τα εξής: - Σε μια πρώτη φάση χρησιμοποιείται η μέθοδος επίλυσης που βασίζεται σε υλικά αντικείμενα ή τα δάκτυλα. Οι διαδικασίες αυτές περιγράφονται λεπτομερώς παραπάνω. - Στη συνέχεια έχουμε μια συχνή χρήση μεθόδων επίλυσης με αρίθμηση (ευθεία ή αντίστροφη) με ή χωρίς τη βοήθεια των δακτύλων. Η χρήση της αρίθμησης μειώνεται αναλογικά με το πέρασμα του χρόνου αλλά δεν εξαφανίζεται εντελώς ακόμη και στους ενήλικες. - Τέλος, η διαδικασία που χρησιμοποιείται περισσότερο είναι η άμεση ανάκληση από την Μ.Μ.Δ. Βρέθηκε ότι στη διάρκεια μιας χρονικής περιόδου ένας μαθητής συχνά χρησιμοποιεί διαφορετικές διαδικασίες για την εκτέλεση των αφαιρέσεων πράγμα που κάνει δύσκολη τη διαπίστωσή τους. Η εξέλιξη των διαδικασιών εκτέλεσης των νοερών αφαιρέσεων αν και φαίνεται σχεδόν παρόμοια με αυτήν που είδαμε και για την πρόσθεση διαφέρει από αυτήν, γιατί τα φαινόμενα της αφαίρεσης αποδεικνύεται ότι είναι πολύ πιο σύνθετα.

17 Συμπεράσματα-Συζήτηση Τελικά, όπως είδαμε από τα προηγούμενα η εκτέλεση των πράξεων της πρόσθεσης και αφαίρεσης μεταξύ μονοψηφίων αριθμών ενεργοποιεί στον άνθρωπο ταυτόχρονα γνώσεις αυτοματισμού (δηλωτικές) όπως είναι η άμεση ανάκληση από τη μνήμη και γνώσεις (διαδικαστικές) που κατασκευάζονται με κάποιες διαδικασίες όπως η αρίθμηση. Θα πρέπει να πούμε ότι από τη σύγκριση των τεσσάρων απλών πράξεων έχει βρεθεί ότι η πρόσθεση και προπαντός η αφαίρεση εκτελούνται μ'ένα τρόπο περισσότερο διαδικαστικό από την πράξη του πολλαπλασιασμού, της οποίας η μάθηση έχει χαρακτήρα περισσότερο δηλωτικό (βλέπε Χ. Λεμονίδη, 1994). Η αναλογία αυτών των δύο ειδών γνώσεων μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της ανάπτυξης του παιδιού. Το παιδί λοιπόν αρχίζει από την προσχολική ηλικία ακόμη, με τις υλικές διαδικασίες όπως είναι για παράδειγμα η αρίθμηση όλων και στη συνέχεια χρησιμοποιεί τις διαδικασίες της νοερής αρίθμησης που είναι πιο πολύπλοκες και εμπεριέχουν για την πρόσθεση την αντιμεταθετική ιδιότητα. Στην πορεία υπάρχει μια πιο σύνθετη εξέλιξη των διαδικασιών και του τρόπου που χρησιμοποιούνται μέχρι που φτάνουμε στους ενήλικες, όπου κυριαρχεί η διαδικασία της ανάκλησης από τη μακρόχρονη μνήμη. Στην μακρόχρονη αυτή εξέλιξη η χρήση των δακτύλων εμφανίζεται κυρίως στις υλικές διαδικασίες και στις νοερές διαδικασίες της αρίθμησης. Στις υλικές διαδικασίες τα δάκτυλα παίζουν το ρόλο των αντικειμένων και χρησιμοποιούνται από τα παιδιά με τρόπο ώστε να αναπαριστούν υλικά τους αριθμούς που παίρνουν μέρος στην πράξη. Για παράδειγμα, για να εκτελεστεί η αφαίρεση 7-3 με την υλική διαδικασία του Διαχωρισμού από, το παιδί θα αναπαραστήσει με 7 δάκτυλα τον αριθμό 7 στη συνέχεια θα διαχωρίσει από αυτά τα 3 δάκτυλα και μετά θα απαριθμήσει τα δάκτυλα που έμειναν για να βρει τη διαφορά που είναι 4. Στις διαδικασίες όμως της αρίθμησης τα δάκτυλα δε χρησιμοποιούνται με τον ίδιο τρόπο. Εδώ τα δάκτυλα δε χρησιμοποιούνται για την υλική αναπαράσταση των αριθμών, αλλά, παίζουν ένα ρόλο "μετρητή" που λειτουργεί παράλληλα με τις διαδικασίες της ευθείας ή αντίστροφης αρίθμησης και καταμετράει κάθε φορά τα βήματα που γίνονται.

18 Για παράδειγμα, για να εκτελεστεί η αφαίρεση 7-3 με τη διαδικασία της Αντίστροφης αρίθμησης από το παιδί, αριθμεί αντίστροφα αρχίζοντας από το 7 και κατεβαίνει 3 λέξεις-αριθμούς "6, 5, 4", όπου ο τελευταίος αριθμός είναι η απάντηση. Για να ελέγξει λοιπόν το παιδί ότι θα κατεβεί 3 βήματα και όχι περισσότερα ή λιγότερα, χρησιμοποιεί κατά την αντίστροφη αρίθμηση 3 δάκτυλα στα οποία αντιστοιχεί τους αριθμούς 6, 5 και 4. Η χρήση των δακτύλων λοιπόν εμφανίζεται με δύο μορφές: με τη μορφή της υλικής (ή δακτυλικής θα λέγαμε) αναπαράστασης των αριθμών που παίρνουν μέρος στις πράξεις της πρόσθεσης και αφαίρεσης και με τη μορφή του "μετρητή" που λειτουργεί παράλληλα με την ευθεία ή αντίστροφη αρίθμηση. Η πρώτη μορφή της χρήσης των δακτύλων φυσιολογικά εξαλείφεται γρήγορα γιατί τα παιδιά μέσω της διδασκαλίας ανακαλύπτουν και χρησιμοποιούν διαδικασίες πιο αποτελεσματικές όπως αυτές της νοερής αρίθμησης και της άμεσης ανάκλησης από τη μνήμη. Η δεύτερη μορφή όμως της χρήσης των δακτύλων που είναι συνυφασμένη με τις διαδικασίες της ευθείας ή αντίστροφης αρίθμησης όπως είδαμε στις γραφικές παραστάσεις των Svenson και Sjoberg (1982, 1983) παρουσιάζουν μια έξαρση στην πρώτη και δευτέρα τάξη του δημοτικού αλλά από την τρίτη τάξη και μετά παρουσιάζουν μια απότομη μείωση. Αυτή η μείωση βέβαια της χρήσης των δακτύλων από την τρίτη τάξη και μετά δε σημαίνει ότι τα παιδιά σταματούν να χρησιμοποιούν τις διαδικασίες της αρίθμησης, γιατί όπως είδαμε σε πολλές περιπτώσεις ακόμη και οι ενήλικες αριθμούν. Απλώς, με την πάροδο του χρόνου, οι μαθητές αποκτούν μεγαλύτερη εμπειρία και ευχέρεια στην αρίθμηση πάνω στην αριθμογραμμή με αποτέλεσμα να μη χρησιμοποιούν τα δάκτυλά τους και να αριθμούν νοερά. Έτσι το ότι αριθμούν δε γίνεται εμφανές από τη χρήση των δακτύλων. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να τονίσουμε ότι οι μαθητές που παρουσιάζουν μια όψιμη χρήση των δακτύλων τους στις μεγάλες τάξεις του δημοτικού, σημαίνει ότι δεν έχουν μεγάλη ευχέρεια να κινούνται κατευθείαν και αντίστροφα πάνω στην ακολουθία των αριθμών (αριθμογραμμή). Διότι, όπως είδαμε ο δεύτερος τρόπος της χρησιμοποίησης των δακτύλων δεν απαιτεί μόνο την ικανότητα της ευθείας και αντίστροφης αρίθμησης

19 πάνω στην αριθμογραμμή, αλλά, ταυτόχρονα με αυτές τις διαδικασίες θα πρέπει να λειτουργεί ένας "μετρητής" που καταγράφει τον αριθμό των βημάτων. Αυτή η παράλληλη λειτουργία της καταγραφής των βημάτων, όταν ταυτόχρονα εκτελούμε κάποια άλλη ενέργεια στην καθημερινή ζωή, πολλές φορές αναγκάζει και τους ενήλικες να χρησιμοποιούν τα δάκτυλά τους. Ολοι θα έχουμε παρατηρήσει στον εαυτό μας αν για παράδειγμα προσπαθούμε να θυμηθούμε και να μετρήσουμε τα άτομα με τα οποία βρεθήκαμε σε μια συνάντηση στο παρελθόν, ότι αυθόρμητα αρχίζουμε να κινούμε τα δάκτυλά μας για να τα καταμετρήσουμε. Η εξάσκηση λοιπόν των παιδιών στο να αριθμούν κατευθείαν ή αντίστροφα πάνω στην ακολουθία των αριθμών εκτός του ότι είναι απαραίτητη και βοηθάει στην κατανόηση της έννοιας του αριθμού (βλέπε Χ. Λεμονίδη, 1994) βοηθάει επίσης πάρα πολύ τους μαθητές στο να εκτελούν τις πράξεις της πρόσθεσης και αφαίρεσης. Δυστυχώς στο σημερινό πρόγραμμα διδασκαλίας δεν προβλέπεται αρκετός χρόνος για την ευθεία ή αντίστροφη αρίθμηση και γενικά η αρίθμηση μέσα στα πλαίσια της διδασκαλίας του αριθμού είναι υποβαθμισμένη. Αυτό βέβαια είναι αποτέλεσμα μιας δογματικής Πιαζετιανής διδασκαλίας για τον αριθμό (βλέπε Λεμονίδης, 1994) που υποβαθμίζει τις διαδικασίες της αρίθμησης για χάρη άλλων διαδικασιών όπως ταξινόμηση, σειροθέτηση κλπ. τις οποίες υπερτονίζει. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αshcraft, M.H., & Fierman, B.A. (1982). Mental addition in thrird, fourth, and sixth graders. Journal of Experimental Child Psychology, 33, Carpenter, T. P. (1981). Initial instruction in addition and subtraction: A target of opportunity for curriculum development. In Proceedings of the National Science Foundation Directors Meeting, Washington, Carpenter, Τ..P., & Moser, J.M. (1984). The acquisition of addition and subtraction concepts in grades one through three. Journal for Research in Mathematics Education 1984, 15,

20 Fischer, J.P. (1992). Apprentissages numeriques. Nancy: Presses Universitaires de Nancy. Greco, P. (1962). Une recherche sur la commutativite de l'addition. In P. Greco, & A. Morf (Eds.), Structures numeriques elementaires. Paris: P.U.F. Groen J. & Parkman J. M (1972). A chronometric analysis of simple addition. Psychological Review Vol. 79, No 4, p Λεμονίδης Χ. (1994). Περίπατος στη μάθηση της στοιχειώδους αριθμητικής. Εκδόσεις Αδελφών Κυριακίδη Θεσ/νίκη. Svenson, Ο., & Sjoberg, Κ. (1982). Solving simple subtractions during the first three school years. Journal of Experimental Education. Svenson, Ο., & Sjoberg, Κ. (1983). Evolution of cognitive processes for solving simple additions during the first three shcool years. Scandinavian Journal of Psychology, 24, Woods, S.S., Resnick, L.B., & Groen, G.J. (1975). An experimental test of five process models for subtraction. Journal of Educational Psychology, 67,