Kazalo. Predstavitev
|
|
- Παναγιώτα Παπαδάκης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ljubljana, 6. oktober 2008 FRI, Verjetnostni račun in statistika Aleksandar Jurišić različica: 19. januar 2009 / 11 : 51 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. Jurišić 2 in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 3 Kazalo 5 Predstavitev Verjetnost in statistika [20116] Obveznosti študenta Viri UVOD Igre na srečo Kaj je statistika? Zamenjalna šifra KOMBINATORIKA (ponovitev) I. VERJETNOST I.1. Poskusi, dogodki in verjetnost I.2. Definicija verjetnosti I.3. Pogojna verjetnost I.4. Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov I.5. Slučajne spremenljivke in porazdelitve I.6. Slučajni vektorji in neodvisnost slučajnih spremenljivk I.7. Funkcije slučajnih spremenljivk/vektorjev in pogojne porazdelitve I.8. Momenti in kovarianca I.9. Karakteristične funkcije in limitni izreki I.10. Uporaba II. STATISTIKA II.1. Osnovni pojmi II.2. Vzorčenje II.3. Cenilke A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. Jurišić 4 in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. Jurišić 5 in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika II.4. Intervali zaupanja II.5. Preizkušanje statističnih domnev II.6. Bivariantna analiza in regresija II.7 Časovne vrste II.8. Načrtovanje eksperimentov III. ZAKLJUČKI III.2. Ramseyjeva teorija III.3. Teorija informacij III.4. Teorije kodiranja, glavni mejniki Aleksandar Jurišić FRI, Jadranska 21, soba 5 Predstavitev e-pošta: ajurisic@valjhun.fmf.uni-lj.si WWW: ajurisic asistenta: mag. Gregor Šega (gregor.sega@fmf.uni-lj.si) in univ. dip. ing. Peter Nose (peter.nose@gmail.com) Verjetnost in statistika [20116] Cilj predmeta: predstaviti osnove teorije verjetnosti in njeno uporabo v statistiki, predstaviti osnove statistike. Kratka vsebina: definicija verjetnosti, slučajne spremenljivke in vektorji, diskretne in zvezne porazdelitve, matematično upanje, disperzija in višji momenti, karakteristične funkcije, zaporedja slučajnih spremenljivk in slučajni procesi, osnovna naloga statistike, ocenjevanje parametrov, testiranje statističnih hipotez, analiza variance, kovariance in linearne regresije.
2 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. Jurišić 7 in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. Jurišić 8 in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 9 Uspešno opravljena kolokvija. Če ni šlo, je potrebno opraviti pisni izpit iz reševanja nalog. Obveznosti študenta Ko ima enkrat pozitivno oceno iz reševanja nalog, mora v tekočem letu opraviti še izpit iz teorije (lahko je pisni ali ustni - odvisno od števila prijavljenih). Viri Pri predavanjih se bomo pretežno opirali na naslednje knjige/skripte: W. Mendenhall in T. Sincich, Statistics for engineering and the sciences, 4th edition, Prentice Hall, D. S. Moore (Purdue University), Statistika: znanost o podatkih (5. izdaja prevedena v slovenščino leta 2007). M. Hladnik: Verjetnost in statistika. Založba FE in FRI, Ljubljana A. Ferligoj: Osnove statistike na prosojnicah. Samozaložba, Ljubljana L. Gonick in W. Smith, The Cartoon guide to Statistics, Obstaja obilna literatura na spletu in v knjižnicah. Gradiva bodo dosegljiva preko internetne učilnice (moodle). Pri delu z dejanskimi podatki se bomo v glavnem naslonili na prosti statistični program R. Program je prosto dostopen na: proti koncu semestra pa morda tudi Minitab. A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. Jurišić 1 in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. Jurišić 2 in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 3 1. Igre na srečo Ste se kdaj vprašali, zakaj so igre na srečo, ki so za nekatere rekreacija ali pa droga, tako dober posel za igralnice? Posamezni hazarderji lahko zmagajo ali pa izgubijo. Nikoli ne morejo vedeti, če se bo njihov obisk igralnice končal z dobičkom ali z izgubo. UVOD Vsak uspešen posel mora iz uslug, ki jih ponuja, kovati napovedljive dobičke. To velja tudi v primeru, ko so te usluge igre na srečo. Igralnica pa ne kocka, pač pa dosledno dobiva in država lepo služi na račun loterij ter drugih oblik iger na srečo.
3 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. Jurišić 4 in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. Jurišić 5 in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 6 Presenetljivo je, da lahko skupni rezultat več 1000 naključnih izidov poznamo s skoraj popolno gotovostjo. Igralnici ni potrebno obtežiti kock, označiti kart ali spremeniti kolesa rulete. Ve, da ji bo na dolgi rok vsak stavljeni euro prinesel približno 5 centov dobička. Igralnice niso edine, ki se okoriščajo z dejstvom, da so velikokratne ponovitve slučajnih izidov napovedljive. 2. Kaj je statistika? Splača se ji torej osredotočiti na brezplačne predstave ali poceni avtobusne vozovnice, da bi privabili več gostov in tako povečali število stavljenega denarja. Posledica bo večji dobiček. Na primer, čeprav zavarovalnica ne ve, kateri od njenih zavarovancev bodo umrli v prihodnjem letu, lahko precej natančno napove, koliko jih bo umrlo. Premije življenjskih zavarovanj postavi v skladu s tem znanjem, ravno tako kot igralnica določi glavne dobitke. Skozi življenje se prebijamo z odločitvami, ki jih naredimo na osnovi nepopolnih informacij... A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. Jurišić 7 in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. Jurišić 8 in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 9 Pogled od zunaj Števila so me pogosto begala, še posebej, če sem imel pred seboj neko njihovo razvrstitev, tako da je tem primeru obveljala misel, ki so jo pripisali Diaraeliju, z vso pravico in močjo: Obstajajo tri vrste laži: laži, preklete laži in statistika. iz Autobiografije Marka Twaina Opisna statistika ena spremenljivka mere centralne tendence mere razpršenosti mere oblike dve spremenljivki mere asociacije Okvirni načrt za statistiko Inferenčna (analitična) statistika točkovno in intervalno ocenjevanje 1- in 2- vzorčno testiranje hipotez kontingenčne tabele regresija
4 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 10 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 11 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 12 preučuje podatke, jih zbira, klasificira, povzema, organizira, analizira in interpretira. Statistika Glavni veji statistike Opisna statistika se ukvarja z organiziranjem, povzemanjem in opisovanjem zbirk podatkov (reduciranje podatkov na povzetke) Analitična statistika jemlje vzorce podatkov in na osnovi njih naredi zaključke (inferenčnost) o populaciji (ekstrapolacija). Populacija vsi objekti, ki jih opazujemo Primer: vsi registrirani glasovalci Tipi podatkovnih množic Vzorec podmnožica populacije Primer: 100 registriranih glasovalcev A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 13 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 14 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 15 Populacija je podatkovna množica, ki ji je namenjena naša pozornost. Tipi podatkov kvantitativni (numerični) Vzorec je podmnožica podatkov, ki so izbrani iz polulacije (po velikosti bistveno manjši od populacije). predstavljajo kvantiteto ali količino nečesa. kvalitativni (kategorije) ni kvantitativnih interpretacij.
5 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 16 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 17 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 18 Kvantitativni (numerični) Oddelek sistemskih inženirjev interval poljubna ničla Enaki intervali predstavljajo enake količine. razmerje smiselna točka nič Operacije seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje so smiselne. Kvalitativni (kategorični) nominalni kategorije brez odgovarjajočega vrstnega reda / urejenosti ordinalni/številski kategorije z urejenostjo relativna kategorija frekvenca frekvenca vrsta število zaposlenih zaposlenih delež učitelji 16 0, 8421 skupne službe 3 0, 1579 skupaj 19 1, 0000 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 19 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 20 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 21 Grafična predstavitev kvalitativnih podatkov stolpčni graf poligonski diagram strukturni krog pogača, kolač skupne službe učitelji Grafična predstavitev kvalitativnih podatkov runs plot (X, Y plot) zaporedje (dot plot) steblo-list predstavitev (angl. stem-and-leaf) histogrami škatla z brki (box plot) Runs Chart
6 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 22 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 23 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 24 Primer zaporedja podatkov (nal. 2.48, str.64) Dot Plot Urejeno zaporedje/ranžirana vrsta Urejeno zaporedje je zapis podatkov v vrsto po njihovi numerični velikosti (ustreznemu mestu pravimo rang). (a) Konstruiraj urejeno zaporedje. (b) Nariši steblo-list diagram. (c) Naredi histogram A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 25 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 26 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 27 Koraki za konstrukcijo steblo-list predstavitve Steblo-list diagram 1. Razdeli vsako opazovanje-podatke na dva dela: stebla (angl. stem) in listi (angl. leaf). 2. Naštej stebla po vrsti v stolpec, tako da začneš pri najmanjšem in končaš pri največjem. 3. Upoštevaj vse podatke in postavi liste za vsak dogodek/meritev v ustrezno vrstico/steblo. 4. Preštej frekvence za vsako steblo. stebla/listi stebla listi rel. ν ν % % % % % % % % % (1) kako zgradimo histogram (2) število razredov (3) frekvenca (4) procenti Histogrami
7 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 28 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 29 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 30 (c,d) Frekvenčna porazdelitev (a) Kako zgradimo histogram (a) Izračunaj razpon podatkov. (b) Razdeli razpon na 5 do 20 razredov enake širine. (c) Za vsak razred preštej število vzorcev, ki spadajo v ta razred. To število imenujemo frekvenca razreda. (d) Izračunaj vse relativne frekvence razredov. (b) Pravilo za določanje števila razredov v histogramu število vzorcev v število množici podatkov razredov manj kot 25 5 ali več kot interval relativna razred razreda frekvenca frekvenca % % % % % % % % A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 31 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 32 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 33 Frekvenčni histogram Procentni histogram Mere za lokacijo in razpršenost - srednje vrednosti - razpon (min/max) - centili, kvartili - varianca - standardni odklon - Z-vrednosti
8 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 34 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 35 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 36 Modus Mediana (M e ) Povprečja Modus (oznaka M 0 ) množice podatkov je tista vrednost, ki se pojavi z največjo frekvenco. Da bi prišli do mediane (oznaka M e ) za neko množico podatkov, naredimo naslednje: 1. Podatke uredimo po velikosti v naraščujočem vrstnem redu, 2. Če je število podatkov liho, potem je mediana podatek na sredini, Povrečje populacije: µ = 1 N (y y N ) = N i=1 N y i 3. Če je število podatkov sodo, je mediana enaka povprečju dveh podatkov na sredini. Oznake: mediana populacije: µ mediana vzorca: m Povrečje vzorca: y = 1 n (y y n ) = n i=1 n y i A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 37 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 38 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 39 Razpon ali variacijski razmik Razpon je razlika med največjo in najmanjšo meritvijo v množici podatkov. 100p-ti centil (p [0, 1]) je definiran kot število, od katerega ima 100p % meritev manjšo ali enako numerično vrednost. Centili... Centili 25. centil se imenuje tudi 1. kvartil. 50. centil se imenuje 2. kvartil ali mediana. 75. centil se imenuje tudi 3. kvartil. Določanje 100p-tega centila: Izračunaj vrednost p(n + 1) in jo zaokroži na najbližje celo število. Naj bo to število enako i. Izmerjena vrednost z i-tim rangom je 100p-ti centil.
9 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 40 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 41 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 42 Škatla z brki (angl. box plot) Mere razpršenosti varianca kvadrat pričakovanega odklona (populacije) vsota kvadratov odklonov deljena s stopnjo prostosti (vzorca) standardni odklon (deviacija) pozitivni kvadratni koren variance koeficient variacije standardni odklon deljen s povprečjem... Mere razpršenosti populacija vzorec varianca σ 2 S 2, s 2 D, V standardni σ S, s odklon A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 43 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 44 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 45 Za vzorec smo vzeli osebje na FRI. Zabeležili smo naslednje število otrok: Varianca in standardni odklon Varianca populacije (končne populacije z N elementi): σ 2 = N (y i µ) 2 Standardni odklon je pozitivno predznačen kvadratni koren variance. i=1 Varianca vzorca (n meritvami): s 2 = n (y i µ) 2 i=1 n 1 = N. n yi 2 i=1 ( n ) 2 y i n 1 i=1 n a 1,..., a n 0 Aritmetična: Geometrična: Sredine A n = a a n n G n = n a 1... a n 1 Harmonična: H n = a 1 a n a 2 Kvadratna: K n = a 2 n n
10 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 46 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 47 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 48 a, b 0 H 2 = 2 1 a + 1 b G 2 = ab A 2 = a + b 2 a 2 + b 2 K 2 = 2 Sredine: H 2 G 2 A 2 K 2 (b a) 2 +4( ab) 2 = (a+b) 2 Sidney H. Kung (iz R.B. Nelsenove knjige Dokazi brez besed ) Potenčna (stopnje k): Velja: ter H n = P n, 1, oziroma za k m:... Sredine P n,k = k a k a k n n G n = lim k 0 P n,k A n = P n,1 in K n = P n,2 H n G n A n K n P n,k P n,m A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 49 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 50 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 51 Normalna porazdelitev Veliko podatkovnih množic ima porazdelitev približno zvonaste oblike (unimodalna oblika - ima en sam vrh): Empirična pravila Če ima podatkovna množica porazdelitev približno zvonaste oblike, potem veljajo naslednja pravila (angl. rule of thumb), ki jih lahko uporabimo za opis podatkovne množice: 1. Približno 68,3% vseh meritev leži na razdalji 1 standardnega odklona od njihovega povprečja. 2. Približno 95,4% meritev leži na razdalji do 2 standardnega odklona od njihovega povprečja. 3. Skoraj vse meritve (99,7%) ležijo na razdalji 3 standardnega odklona od njihovega povprečja. Mere oblike Če je spremenljivka približno normalno porazdeljena, potem jo statistični karakteristiki povprečje in standardni odklon zelo dobro opisujeta. V primeru unimodalne porazdelitve spremenljivke, ki pa je bolj asimetrična in bolj ali manj sploščena (koničasta), pa je potrebno izračunati še stopnjo asimetrije in sploščenosti (koničavosti).
11 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 52 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 53 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 54 Centralni momenti Mera sploščenosti (kurtosis) l-ti centralni moment je m l = (y 1 µ) l + + (y n µ) l. n m 1 = 0, m 2 = σ 2,... Koeficient asimetrije (s centralnimi momenti): g 1 = m 3 /m 3/2 2. Mere asimetrije Razlike med srednjimi vrednostimi so tem večje, čim bolj je porazdelitev asimetrična: KA M0 = (µ M 0 )/σ, KA Me = 3(µ M e )/σ. Koeficient sploščenosti (s centralnimi momenti) K = g 2 = m 4 /m K = 3 (ali 0) normalna porazdelitev zvonaste-oblike (mesokurtic), K < 3 (ali negativna) bolj kopasta kot normalna porazdelitev, s krajšimi repi (platykurtic), K > 3 (ali pozitivna) bolj špičasta kot normalna porazdelitev, z daljšimi repi (leptokurtic). A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 55 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 56 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 57 Normalna porazdelitev Asimetrična v desno Kopasta porazdelitev asimetričnost= 0, sploščenost= 3 (mesokurtic). asimetričnost= 1, 99, sploščenost= 8, 85. asimetričnost= 0, sploščenost= 1, 86 (platykurtic).
12 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 58 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 59 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 60 Špičasta porazdelitev Standardizacija Vsaki vrednosti x i spremenljivke X odštejemo njeno povprečje µ in delimo z njenim standardnim odklonom σ: z i = x i µ. σ Za novo spremenljivko Z bomo rekli, da je standardizirana, z i pa je standardizirana vrednost. Frekvenčni histogram asimetričnost= 1, 99, sploščenost= 8, 85 (leptokurtic). Potem je µ(z) = 0 in σ(z) = 1. A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 61 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 62 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 63 Relativni frekvenčni histogram Histogram standardiziranih Z-vrednosti 3. Zamenjalna šifra Tomaž Pisanski, Skrivnostno sporočilo Presek V/1, 1977/78, str YHW?HD+CVODHVTHVO-!JVG:CDCYJ(JV/-V?HV( -T?HVW-4YC4(?-DJV/-(?S-VO3CWC%J(-V4-DC V!CW-?CVNJDJVD-?+-VO3CWC%J(-VQW-DQ-VJ+ V?HVDWHN-V3C:CODCV!H+?-DJVD-?+CV3JO-YC (črko Č smo zamenjali s C, črko Ć pa z D)
13 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 64 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 65 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 66 Imamo 26! = možnosti z direktnim preizkušanjem, zato v članku dobimo naslednje nasvete: (0) Relativna frekvenca črk in presledkov v slovenščini: presledek 173, E A I O N R S L J T V D K M P U Z B G "C H "S C "Z F (1) Na začetku besed so najpogostejše črke N, S, K, T, J, L. (2) Najpogostejše končnice pa so E, A, I, O, U, R, N. (3) Ugotovi, kateri znaki zagotovo predstavljajo samoglasnike in kateri soglasnike. (4) V vsaki besedi je vsaj en samoglasnik ali samoglasniški R. (5) V vsaki besedi z dvema črkama je ena črka samoglasnik, druga pa soglasnik. (6) detektivska sreča (0) V - C D J? H W O ( Y 4! / Q : % T N S G Zaključek V --> (drugi znaki z visoko frekvenco ne morejo biti). Dve besedi se ponovita: 03CWC%J(-, opazimo pa tudi eno sklanjatev: D-?+- ter D-?+C. A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 67 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 68 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 69 (3) Kanditati za samoglasnike e,a,i,o so znaki z visokimi frekvancami. Vzamemo: Torej nadaljujemo z naslednjim tekstom: YHW?HD+C ODH TH O-!J G:CDCYJ(J /-?H (-T?H W-4YD4(?-DJ /-(?S- 03CWC%J(- 4-DC!CW-?C NJDJ D-?+- 03CWC%J(- QW-DQ- J+?H DWHN- 3C:C0DC!H+?-DJ D-?+C 3J0-YC {e,a,i,o} = {-,C,J,H} (saj D izključi -,H,J,C in? izključi -,H,C, znaki -,C,J,H pa se ne izključujejo) Razporeditev teh znakov kot samoglasnikov izgleda prav verjetna. To potrdi tudi gostota končnic, gostota parov je namreč: AV CV HV JV VO?H -D DC JM W- DJ UC CW -? VD (5) Preučimo besede z dvema črkama: Samoglasnik na koncu 1) da ga na pa ta za (ha ja la) 2) "ce je le me ne se "se te ve "ze (he) 3) bi ji ki mi ni si ti vi 4) bo do (ho) jo ko no po so to 5) ju mu tu (bu) 6) r"z rt
14 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 70 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 71 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 72 Samoglasnik na za"cetku 1) ar as (ah aj au) 2) en ep (ej eh) 3) in iz ig 4) on ob od os on (oh oj) 5) uk up u"s ud um ur (uh ut) in opazujemo besedi: /-?H ter besedi: J+?H. J+ ima najmanj možnosti, + pa verjetno ni črka n, zato nam ostane samo še: J+?H DWHN- /-?H iz te (ne gre zaradi: D-?+C) ob ta(e,o) (ne gre zaradi: D-?+C) od te (ne gre zaradi: D-?+C) tako da bo potrebno nekaj spremeniti in preizkusiti še naslednje: on bo; on jo; in so; in se; in je; in ta; en je; od tu... (6) Če nam po dolgem premisleku ne uspe najti rdeče niti, bo morda potrebno iskati napako s prijatelji (tudi računalniški program z metodo lokalne optimizacije ni zmogel problema zaradi premajhne dolžine tajnopisa, vsekakor pa bi bilo problem mogoče rešiti s pomočjo elektronskega slovarja). Tudi psihološki pristop pomaga, je svetoval Martin Juvan in naloga je bila rešena (poskusite sami!). A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 73 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 74 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 75 Podobna naloga je v angleščini dosti lažja, saj je v tem jeziku veliko členov THE, A in AN, vendar pa zato običajno najprej izpustimo presledke iz teksta, ki ga želimo spraviti v tajnopis. V angleščini imajo seveda črke drugačno gostoto kot v slovenščini. Razdelimo jih v naslednjih pet skupin: 1. E, z verjetnostjo okoli 0,120, 2. T, A, O, I, N, S, H, R, vse z verjetnostjo med 0,06 in 0,09, 3. D, L, obe z verjetnostjo okoli 0,04, 4. C, U, M, W, F, G, Y, P, B, vse z verjetnostjo med 0,015 in 0,028, 5. V, K, J, X, Q, Z, vse z verjetnostjo manjšo od 0,01. Najbolj pogosti pari so (v padajočem zaporedju): TH, HE, IN, ER, AN, RE, ED, ON, ES, ST, EN, AT, TO, NT, HA, ND, OU, EA, NG, AS, OR, TI, IS, ET, IT, AR, TE, SE, HI in OF, Najbolj pogoste trojice pa so (v padajočem zaporedju): THE, ING, AND, HER, ERE, ENT, THA, NTH, WAS, ETH, FOR in DTH. KOMBINATORIKA (ponovitev) Funkcije/preslikave Funkcija f iz množice A v množico B je predpis, ki vsakemu elementu iz množice A priredi natanko določen element iz množice B, oznaka f : A B. Funkcija f : A B je: injektivna (angl. one to one) če za x, y A x y f(x) f(y), surjektivna (angl. on to), če za b B a A, tako da je f(a) = b.
15 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 76 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 77 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 78 Injektivni in surjektivni funkciji pravimo bijekcija. Množicama med katerima obstaja bijekcija pravimo bijektivni množici. Bijektivni množici imata enako število elementov (npr. končno, števno neskončno, itd). Permutacije Permutacija elementov 1,..., n je bijekcija, ki slika iz množice {1,..., n} v množico {1,..., n}. Npr. permutacija kart je običajno premešanje kart (spremeni se vrstni red, karte pa ostanejo iste). Permutacijo lahko opišemo z zapisom: ( ) n π = a 1 a 2... a n kjer je {1, 2,..., n} = {a 1, a 2,..., a n }. To pomeni π(1) = a 1, π(2) = a 2,..., π(n) = a n. Trditev: Če sta množici A in B končni ter je f : A B funkcija iz injektivnosti funkcije f sledi surjektivnost, in obratno, iz surjektivnosti funkcije f sledi injektivnost. Število permutacij n elementov, tj. razvrstitev n-tih različnih elementov, je enako n! := n (oziroma definirano rekurzivno n!=(n 1)!n in 0!=1). Primer: n = 11, ( π 1 = ) A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 79 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 80 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 81 Naj bo A neka množica. Permutacije množice A med seboj množimo po naslednjem pravilu: π = π 1 π 2 je permutacija množice A, ki preslika a A v π 2 (π 1 (a)). Primer: Potem je π 1 = π 2 = π = π 1 π 2 = ( ) ( ) ( ) Cikel je permutacija, za katero je π(a 1 ) = a 2, π(a 2 ) = a 3,..., π(a r ) = a 1, ostale elementi pa so fiksni (tj. π(a) = a). Na kratko jo zapišemo z (a 1 a 2... a r ). Trditev: Vsako permutacijo lahko zapišemo kot produkt disjunktnih ciklov. Primer: π 1 = π 2 = π = Potem je ( ) ( ) ( ) π 1 = ( ) (8 9 11), π 2 = ( ), π = ( ) ( )
16 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 82 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 83 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 84 Transpozicija je cikel dolžine 2. Vsak cikel pa je produkt transpozicij: (a 1 a 2 a 3... a r ) = (a 2 a 3 ) (a 2 a 3 ) (a r 1 a r ), torej je tudi vsaka permutacija produkt transpozicij. Seveda ta produkt ni nujno enolično določen, vseeno pa velja: Trditev: Nobena permutacija se ne da zapisati kot produkt sodega števila in kot produkt lihega števila permutacij. Dokaz: Naj bodo x 1, x 2,..., x n različna realna števila. Poglejmo si produkt: P = i<j(x i x j ). Izberimo indeksa a in b, a < b, in poglejmo v katerih razlikah se pojavita: x 1 x a,..., x a 1 x a, x a x a+1,..., x a x b 1, x a x b, x a x b+1,..., x a x n, x 1 x b,..., x a 1 x b, x a x b, x a+1 x b,..., x b 1 x b, x b x b+1,..., x b x n. Razliko x a x b smo navedli dvakrat, a se v produktu P pojavi samo enkrat. Če na množici indeksov opravimo transpozicijo (a b), razlika x a x b preide v razliko x b x a, torej zamenja predznak, razlike iz prvega in zadnjega stolpca se med seboj zamenjajo, razlike iz srednjega stolpca pa tudi zamenjajo predznake (vendar je le-teh sodo mnogo in zato ne vplivajo na produkt P ). Sedaj pa napravimo na množici indeksov permutacijo π. V tem primeru je produkt P π = i<j(x π(i) x π(j) ). enak ±P. Če uporabimo sodo število transpozicij, potem je P π = P, sicer pa P π = P. Glede na sodo oziroma liho število transpozicij imenujemo permutacijo soda oziroma liha permutacija. A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 85 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 86 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 87 Permutacije s ponavljanjem Permutacije s ponavljanjem so nekakšne permutacije, pri katerih pa ne ločimo elementov v skupinah s k 1, k 2,..., k r elementi - zato delimo število vseh permutacij s številom njihovih vrstnih redov, tj. permutacij: n! k 1!k 2! k r!. Kombinacije Binomski koeficient oz. število kombinacij, tj. število m-elementnih podmnožic množice moči n, je ( ) n n (n 1) (n m + 1) n! = = m 1 2 m m!(n m)!, saj lahko prvi element izberemo na n načinov, drugi na n 1 načinov,..., zadnji na n m+1 načinov, ker pa vrstni red izbranih elementov ni pomemben, dobljeno število še delimo s številom permutacij). k=0 Binomski obrazec - ponovitev Trditev: Za binomske koeficiente velja n ( ) ( ) ( ) ( ) (a+b) n n n n n+1 = a n k b k in + =. k m m+1 m+1 Dokaz: Po definiciji je desna enakost ekvivalentna z n! m!(n m)! + n! (m + 1)!(n m 1)! = (n + 1)! (m + 1)!(n m)!, oziroma po množenju z m!(n m 1)!/n! z 1 n m + 1 m + 1 = n + 1 (m + 1)(n m). Prvi del trditve dokažemo s kombinatoriko (štetje) ali matematično indukcijo.
17 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 88 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 89 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 90 Pascalov trikotnik - ponovitev To so v obliki trikotnika zapisani binomski koeficienti, vsaka vrstica pa ustreza enemu binoskemu obrazcu. I. VERJETNOST I.1. Poskusi, dogodki in verjetnost A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 91 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 92 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 93 Začetki verjetnosti Naključnost so poznale že stare kulture: Egipčani, Grki,... a je niso poskušale razumeti razlagale so jo kot voljo bogov.... začetki Leta 1713 je Jakob Bernoulli objavil svojo knjigo Umetnost ugibanja s katero je verjetnostni račun postal resna in splošno uporabna veda. Njegov pomen je še utrdil Laplace, ko je pokazal njegov pomen pri analizi astronomskih podatkov (1812). Ahil in Ajaks kockata, amfora, okrog 530 pr.n.š, Eksekias, Vatikan Leta 1662 je plemič Chevalier de Mere zastavil matematiku Blaise Pascalu vprašanje: zakaj določene stave prinašajo dobiček druge pa ne. Le-ta si je o tem začel dopisovati s Fermatom in iz tega so nastali začetki verjetnostnega računa. Prvo tovrstno razpravo je napisal že leta 1545 italijanski kockar in matematik Cardano, a ni bila širše znana. Tudi leta 1662 je anglež John Graunt sestavil na osnovi podatkov prve zavarovalniške tabele. Leta 1865 je avstrijski menih Gregor Mendel uporabil verjetnostno analizo pri razlagi dednosti v genetiki. V 20. stoletju se je uporaba verjetnostnih pristopov razširila skoraj na vsa področja.
18 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 94 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 95 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 96 Poskus Verjetnostni račun obravnava zakonitosti, ki se pokažejo v velikih množicah enakih ali vsaj zelo podobnih pojavov. Predmet verjetnostnega računa je torej empirične narave in njegovi osnovni pojmi so povzeti iz izkušnje. Osnovni pojmi v verjetnostnem računu so: poskus, dogodek in verjetnost dogodka. Poskus je realizacija neke množice skupaj nastopajočih dejstev (kompleksa pogojev). Poskus je torej vsako dejanje, ki ga opravimo v natanko določenih pogojih. Primeri: met igralne kocke, iz kupa 20 igralnih kart izberemo eno karto. Dogodki Pojav, ki v množico skupaj nastopajočih dejstev ne spada in se lahko v posameznem poskusu zgodi ali pa ne, imenujemo dogodek. Primeri: v poskusu meta igralne kocke je na primer dogodek, da vržemo 6 pik; v poskusu, da vlečemo igralno karto iz kupa 20 kart, je dogodek, da izvlečemo rdečo barvo. Za poskuse bomo privzeli, da jih lahko neomejeno velikokrat ponovimo. Dogodki se bodo nanašali na isti poskus. Poskuse označujemo z velikimi črkami iz konca abecede, npr. X, Y, X 1. Dogodke pa označujemo z velikimi črkami iz začetka abecede, npr. A, C, E 1. Dogodek je lahko: Vrste dogodkov gotov dogodek G: ob vsaki ponovitvi poskusa se zgodi. Primer: dogodek, da vržemo 1, 2, 3, 4, 5, ali 6 pik pri metu igralne kocke; nemogoč dogodek N: nikoli se ne zgodi. Primer: dogodek, da vržemo 7 pik pri metu igralne kocke; slučajen dogodek: včasih se zgodi, včasih ne. Primer: dogodek, da vržemo 6 pik pri metu igralne kocke. A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 97 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 98 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 99 Računanje z dogodki Dogodek A je poddogodek ali način dogodka B, kar zapišemo A B, če se vsakič, ko se zgodi dogodek A, zagotovo zgodi tudi dogodek B. Primer: Pri metu kocke je dogodek A, da pade šest pik, način dogodka B, da pade sodo število pik. Če je dogodek A način dogodka B in sočasno dogodek B način dogodka A, sta dogodka enaka: (A B) (B A) A = B. Vsota dogodkov A in B, označimo jo z A B ali A + B, se zgodi, če se zgodi vsaj eden od dogodkov A in B. Primer: Vsota dogodka A, da vržemo sodo število pik, in dogodka B, da vržemo liho število pik, je gotov dogodek. Velja: A B = B A ; A N = A ; A G = G ; A A = A B A A B = A ; A (B C) = (A B) C... Računanje z dogodki Produkt dogodkov A in B, označimo ga z A B ali AB, se zgodi, če se zgodita A in B hkrati. Primer: Produkt dogodka A, da vržemo sodo število pik, in dogodka B, da vržemo liho število pik, je nemogoč dogodek. Velja: A B = B A ; A N = N ; A G = A ; A A = A B A A B = B ; A (B C ) = (A B) C A (B C ) = (A B) (A C ) ; A (B C ) = (A B) (A C ) Dogodku A nasproten dogodek A imenujemo negacijo dogodka A. Primer: Nasproten dogodek dogodku, da vržemo sodo število pik, je dogodek, da vržemo liho število pik. Velja: A A = N ; A A = G ; N = G ; A = A A B = A B ; A B = A B... Računanje z dogodki Dogodka A in B sta nezdružljiva, če se ne moreta zgoditi hkrati, njun produkt je torej nemogoč dogodek, A B = N. Primer: Dogodka, A da pri metu kocke pade sodo število pik in B da pade liho število pik, sta nezdružljiva. Poljuben dogodek in njegov nasprotni dogodek sta vedno nezdružljiva. Ob vsaki ponovitvi poskusa se zagotovo zgodi eden od njiju, zato je njuna vosta gotov dogodek: (A A = N) (A A = G). Če lahko dogodek A izrazimo kot vsoto nezdružljivih in mogočih dogodkov, rečemo, da je A sestavljen dogodek. Dogodek, ki ni sestavljen, imenujemo osnoven ali elementaren dogodek. Primer: Pri metu kocke je šest osnovnih dogodkov: E 1, da pade 1 pika, E 2, da padeta 2 piki,..., E 6, da pade 6 pik. Dogodek, da pade sodo število pik je sestavljen dogodek iz treh osnovnih dogodkov (E 2, E 4 in E 6 ).
19 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 100 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 101 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika Računanje z dogodki Množico dogodkov S = {A 1, A 2,..., A n } imenujemo popoln sistem dogodkov, če se v vsaki ponovitvi poskusa zgodi natanko eden od dogodkov iz množice S. To pomeni, da so vsi mogoči I.2. Definicija verjetnosti Opišimo najpreprostejšo verjetnostno zakonitost. Denimo, da smo n krat ponovili dan poskus in da se je k krat zgodil dogodek A. Ponovitve poskusa, v katerih se A zgodi, imenujemo ugodne za dogodek A, število paroma nezdružljivi A i N, A i A j = N in njihova vsota je gotov dogodek i j A 1 A 2... A n = G. Primer: Popoln sistem dogodkov pri metu kocke sestavljajo na primer osnovni dogodki ali pa tudi dva dogodka: dogodek, da vržem sodo število pik, in dogodek, da vržem liho število pik. f(a) = k n pa je relativna frekvenca (pogostost) dogodka A v opravljenih poskusih. Statistični zakon, ki ga kaže izkušnja, je: Če poskus X dolgo ponavljamo, se relativna frekvenca slučajnega dogodka ustali in sicer skoraj zmeraj toliko bolj, kolikor več ponovitev poskusa napravimo. A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 103 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 104 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 105 Statistična definicija verjetnosti To temeljno zakonitost so empirično preverjali na več načinov. Najbolj znan je poskus s kovanci, kjer so določali relativno frekvenco grba (f(a)): Buffon je v 4040 metih dobil f(a) = 0, 5069, Pearson je v metih dobil f(a) = 0, 5016, Pearson je v metih dobil f(a) = 0, Ti poskusi kažejo, da se relativna frekvenca grba pri metih kovanca običajno ustali blizu 0, 5. Ker tudi drugi poskusi kažejo, da je ustalitev relativne frekvence v dovolj velikem številu ponovitev poskusa splošna zakonitost, je smiselna naslednja statistična definicija verjetnosti: Verjetnost dogodka A v danem poskusu je število P (A), pri katerem se navadno ustali relativna frekvenca dogodka A v velikem številu ponovitev tega poskusa. Osnovne lastnosti verjetnosti 1. Ker je relativna frekvenca vedno nenegativna, je verjetnost P (A) P (G) = 1, P (N) = 0 in A B P (A) P (B). 3. Naj bosta dogodka A in B nezdružljiva. Tedaj velja P (A B) = P (A) + P (B). Klasična definicija verjetnosti Pri določitvi verjetnosti si pri nekaterih poskusih in dogodkih lahko pomagamo s klasično definicijo verjetnosti: Vzemimo, da so dogodki iz popolnega sistema dogodkov {E 1, E 2,..., E s } enako verjetni: P (E 1 ) = P (E 2 ) =... = P (E s ) = p. Tedaj je P (E i ) = 1/s i = 1,..., s. Če je nek dogodek A sestavljen iz r dogodkov iz tega popolnega sistema dogodkov, potem je njegova verjetnost P (A) = r/s. Primer: Izračunajmo verjetnost dogodka A, da pri metu kocke padejo manj kot 3 pike. Popolni sistem enako verjetnih dogodkov sestavlja 6 dogodkov. Od teh sta le dva ugodna za dogodek A (1 in 2 piki). Zato je verjetnost dogodka A enaka 2 6 = 1 3.
20 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 106 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 107 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 108 Še dve lastnosti verjetnosti Geometrijska verjetnost V primerih, ko lahko osnovne dogodke predstavimo kot enakovredne točke na delu premice (ravnine ali prostora), določimo verjetnost sestavljenega dogodka kot razmerje dolžin (ploščin, prostornin) dela, ki ustreza ugodnim izidom, in dela, ki ustreza vsem možnim izidom. 4. Za dogodka A in B velja: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Primer: Denimo, da je verjetnost, da študent naredi izpit iz Sociologije P (S) = 2/3. Verjetnost, da naredi izpit iz Politologije je P (P ) = 5/9. Če je verjetnost, da naredi vsaj enega od obeh izpitov P (S P ) = 4/5, kolikšna je verjetnost, da naredi oba izpita? P (S P ) = P (S) + P (P ) P (S P ) = = = 0, A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 109 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 110 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 111 Za dogodke A, B in C velja:... Še dve lastnosti verjetnosti P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C). Kako lahko to pravilo posplošimo še na več dogodkov? Namig: Pravilo o vključitvi in izključitvi za množice A 1, A 2,..., A n : n A 1 A 2 A n = A i n A i1 A i2 i=1 1 i 1<i 2 n n + A i1 A i2 A i3 + ( 1) n 1 A 1 A 2... A n. 1 i 1<i 2<i 3 n 5. P (A) = 1 P (A) Primer: Iz kupa 32 kart slučajno povlečemo 3 karte. Kolikšna je verjetnost, da je med tremi kartami vsaj en as (dogodek A)? Pomagamo si z nasprotnim dogodkom. Nasprotni dogodek A dogodka A je, da med tremi kartami ni asa. Njegova verjetnost po klasični definiciji verjetnosti je določena s kvocientom števila vseh ugodnih dogodkov v popolnem sistemu dogodkov s številom vseh dogodkov v tem sistemu dogodkov. Vseh dogodkov v popolnem sistemu dogodkov je ( ) 32 3, ugodni pa so tisti, kjer zbiramo med ne asi, t.j. ( ) Torej je ( 28 ) 3 P (A) = ( 32 ) = 0, 66 ; P (A) = 1 P (A) = 1 0, 66 = 0, Še dve lastnosti verjetnosti Posledica. Če so dogodki A i, i I paroma nezdružljivi, velja ( ) P A i = P (A i ). i I i I Velja tudi za števno neskončne množice dogodkov.
21 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 112 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 113 Aksiomi Kolmogorova Dogodek predstavimo z množico zanj ugodnih izidov; gotov dogodek G ustreza univerzalni množici; nemogoč dogodek pa prazni množici. Neprazna družina dogodkov D je algebra, če velja: A D A D, A, B D A B D. Pri neskončnih množicah dogodkov moramo drugo zahtevo posplošiti A i D, i I i I A i D. Dobljeni strukturi rečemo σ-algebra.... Aksiomi Kolmogorova Naj bo D σ-algebra v G. Verjetnost na G je preslikava P : D R z lastnostmi: 1. P (A) 0, 2. P (G) = 1, 3. Če so dogodki A i, i I paroma nezdružljivi, je ( ) P A i = P (A i ). i I i I Trojica (G, D, P ) določa verjetnostni prostor. Iz teh treh aksiomov lahko izpeljemo vse ostale lastnosti verjetnosti (Hladnik, str. 12).
Verjetnostni račun in statistika
FRI, Verjetnostni račun in statistika Aleksandar Jurišić Ljubljana, 1. oktober 2007 različica: 29. november 2007 / 20 : 09 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 6 Aleksandar Jurišić
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραOsnove statistike. Drago Bokal Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru. 1.
Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru 1. marec 2010 Obvestila. http://um.fnm.uni-mb.si/ Prosojnice se lahko spremenijo v tednu po predavanjih.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραBernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov
A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 45 Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov O zaporedju neodvisnih poskusov X 1, X 2,, X n, govorimo tedaj, ko so verjetnosti izidov v enem
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραStatistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo
Statistična analiza opisnih spremenljivk doc. dr. Mitja Kos, mag. arm. Katedra za socialno armacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za armacijo Statistični znaki Proučevane spremenljivke: statistični znaki
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότερα1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk
.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bosta X in Y neodvisni Bernoullijevo porazdeljeni spremenljivki, B(p). Kako je porazdeljena njuna vsota? Označimo Z = X + Y. Verjetnost, da je P (Z = z) za
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραUL FGG GR B II - Verjetnostni račun in statistika. Poskus, izid. Dogodek. Notes. Notes. Notes. Uvod. Osnovni pojmi.
UL FGG GR B II - Verjetnostni račun in statistika Marjeta Kramar Fijavž, oktober 2014 Uvod Osnovni pojmi Poskus in dogodek Računanje z dogodki Definicije verjetnosti Pogojna verjetnost, neodvisnost dogodkov
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA ZA BIOLOGE
MATEMATIKA ZA BIOLOGE Zapiski predavanj Milan Hladnik Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana 2006 KAZALO I. DISKRETNA MATEMATIKA 3 1. Množice, relacije, funkcije 3 2. Kombinatorika in verjetnost 9
Διαβάστε περισσότεραOsnove sklepne statistike
Univerza v Ljubljani Fakulteta za farmacijo Osnove sklepne statistike doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo e-pošta: mitja.kos@ffa.uni-lj.si Intervalna ocena oz. interval zaupanja
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότερα1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...
ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Διαβάστε περισσότεραCilji vaje. Osnovni pojmi. Načini grafičnega prikaza podatkov: Načini numeričnega prikaza podatkov: 2. vaja: OPISNA STATISTIKA OB UPORABI MS EXCEL
. vaja: OPISA STATISTIKA OB UPORABI MS EXCEL asist. ejc Horvat, mag. farm. Cilji vaje ačini grafičnega prikaza podatkov: prikaz s stolpci, krogi, trakovi,.. histogram, stolpčni diagram, kvantilni diagram
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE STATISTIKE. FKKT-kemijski tehnologi 1.letnik Miran Černe
OSNOVE STATISTIKE FKKT-kemijski tehnologi 1.letnik 2010 Miran Černe Statistika je način, kako iz množice podatkov izluščiti ustrezne informacije. Izraz izhaja iz latinskih besed STATUS = stanje STATO =
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραSEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραNekateri primeri sklopov izpitnih vprašanj pri predmetu Naključni pojavi
Nekateri primeri sklopov izpitnih vprašanj pri predmetu Naključni pojavi 1. Izpeljite Binomsko porazdelitev in pokažite kako pridemo iz nje do Poissonove porazdelitve? 2. Kako opišemo naključne lastnosti
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραMultivariatna analiza variance
(MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami. (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti
Διαβάστε περισσότεραp 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije
Διαβάστε περισσότερα1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006
1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006 1. Dana je množica predpostavk p q r s, r t, s q, s p r, s t in zaključek t r. Odloči, ali je sklep pravilen ali napačen. pravilen, zapiši
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότερα10. poglavje. Kode za overjanje
10. poglavje Kode za overjanje (angl. Authentication Codes) Uvod Računanje verjetnosti prevare Kombinatorične ocene pravokotne škatje (ang. orthogonal arrays, OA) konstrukcije in ocene za OA Karakterizaciji
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραAnaliza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj
Analiza I (študijsko gradivo) Matija Cencelj 2. maj 2007 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Izjave............................... 5 1.2 Množice.............................. 7 1.3 Relacije..............................
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότερα(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe
(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe Maša Lah, Sabina Boršić, Klara Drofenik Mentor: Rok Gregorič Matematično raziskovalno srečanje 24. avgust 2016 Povzetek Cilj našega projekta je bil ugotoviti kriterij
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Jaka Cimprič
Matematika 1 Jaka Cimprič Predgovor Pričujoči učbenik je namenjen študentom tistih univerzitetnih programov, ki vključujejo samo eno leto matematike. Nastala je na podlagi izkušenj, ki jih imam s poučevanjem
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραVAJE IZ VERJETNOSTI IN STATISTIKE. Martin Raič
VAJE IZ VERJETNOSTI IN STATISTIKE Martin Raič Datum zadnje spremembe: 0 februar 207 Kazalo Osnove kombinatorike 3 2 Elementarna verjetnost 5 3 Pogojna verjetnost 0 4 Slučajne spremenljivke 7 5 Slučajni
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014 2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijska smer: Fizika in matematika SANDRA BOLTA
Διαβάστε περισσότεραTransformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Διαβάστε περισσότερα