Verjetnostni račun in statistika
|
|
- Άρχιππος Τομαραίοι
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 FRI, Verjetnostni račun in statistika Aleksandar Jurišić Ljubljana, 1. oktober 2007 različica: 29. november 2007 / 20 : 09
2 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 6 Aleksandar Jurišić FRI, Jadranska 21, soba 5 Predstavitev e-pošta: ajurisic@valjhun.fmf.uni-lj.si WWW: ajurisic asistenti: dr. Oliver Dragičević (oliver.dragicevic@fmf.uni-lj.si), mag. Gregor Šega (gregor.sega@fmf.uni-lj.si) in univ. dip. ing. Boris Cergol (boris.cergol@fri.uni-lj.si)
3 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 7 Verjetnost in statistika [20116] Cilj predmeta: Predstaviti osnove teorije verjetnosti in njeno uporabo v statistiki, predstaviti osnove statistike. Kratka vsebina: Definicija verjetnosti, slučajne spremenljivke in vektorji, diskretne in zvezne porazdelitve, matematično upanje, disperzija in višji momenti, karakteristične funkcije, zaporedja slučajnih spremenljivk in slučajni procesi, osnovna naloga statistike, ocenjevanje parametrov, testiranje statističnih hipotez, analiza variance, kovariance in linearne regresije.
4 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 8 Obveznosti študenta Uspešno opravljena kolokvija. Če ni šlo, je potrebno opraviti pisni izpit iz reševanja nalog. Ko ima enkrat pozitivno oceno iz reševanja nalog, mora v tekočem letu opraviti še izpit iz teorije (lahko je pisni ali ustni - odvisno od števila prijavljenih).
5 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 9 Viri Pri predavanjih se bomo pretežno opirali na naslednje knjige: W. Mendenhall in T. Sincich, Statistics for engineering and the sciences, 4th edition, Prentice Hall, D. S. Moore (Purdue University), Statistika: znanost o podatkih (prevedeno v slovenščino leta 2007). Milan Hladnik: Verjetnost in statistika. Založba FE in FRI, Ljubljana Anuška Ferligoj: Osnove statistike na prosojnicah. Samozaložba, Ljubljana Obstaja obilna literatura v knjižnicah.
6 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 10 Gradiva bodo dosegljiva preko internetne učilnice (moodle). Pri delu z dejanskimi podatki se bomo v glavnem naslonili na prosti statistični program R. Program je prosto dostopen na: proti koncu semestra pa morda tudi Minitab.
7 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 1 Zamenjalna šifra Tomaž Pisanski, Skrivnostno sporočilo Presek V/1, 1977/78, str YHW?HD+CVODHVTHVO-!JVG:CDCYJ(JV/-V?HV( -T?HVW-4YC4(?-DJV/-(?S-VO3CWC%J(-V4-DC V!CW-?CVNJDJVD-?+-VO3CWC%J(-VQW-DQ-VJ+ V?HVDWHN-V3C:CODCV!H+?-DJVD-?+CV3JO-YC (črko Č smo zamenjali s C, črko Ć pa z D)
8 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 2 Imamo 26! = možnosti z direktnim preizkušanjem, zato v članku dobimo naslednje nasvete: (0) Relativna frekvenca črk in presledkov v slovenščini: presledek 173, E A I O N R S L J T V D K M P U Z B G "C H "S C "Z F
9 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 3 (1) Na začetku besed so najpogostejše črke N, S, K, T, J, L. (2) Najpogostejše končnice pa so E, A, I, O, U, R, N. (3) Ugotovi, kateri znaki zagotovo predstavljajo samoglasnike in kateri soglasnike. (4) V vsaki besedi je vsaj en samoglasnik ali samoglasniški R. (5) V vsaki besedi z dvema črkama je ena črka samoglasnik, druga pa soglasnik. (6) detektivska sreča
10 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 4 (0) V - C D J? H W O ( Y 4! / Q : % T N S G Zaključek V --> (drugi znaki z visoko frekvenco ne morejo biti). Dve besedi se ponovita: 03CWC%J(-, opazimo pa tudi eno sklanjatev: D-?+- ter D-?+C.
11 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 5 Torej nadaljujemo z naslednjim tekstom: YHW?HD+C ODH TH O-!J G:CDCYJ(J /-?H (-T?H W-4YD4(?-DJ /-(?S- 03CWC%J(- 4-DC!CW-?C NJDJ D-?+- 03CWC%J(- QW-DQ- J+?H DWHN- 3C:C0DC!H+?-DJ D-?+C 3J0-YC
12 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 6 (3) Kanditati za samoglasnike e,a,i,o so znaki z visokimi frekvancami. Vzamemo: {e,a,i,o} = {-,C,J,H} (saj D izključi -,H,J,C in? izključi -,H,C, znaki -,C,J,H pa se ne izključujejo) Razporeditev teh znakov kot samoglasnikov izgleda prav verjetna. To potrdi tudi gostota končnic, gostota parov je namreč: AV CV HV JV VO?H -D DC JM W- DJ UC CW -? VD
13 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 7 (5) Preučimo besede z dvema črkama: Samoglasnik na koncu 1) da ga na pa ta za (ha ja la) 2) "ce je le me ne se "se te ve "ze (he) 3) bi ji ki mi ni si ti vi 4) bo do (ho) jo ko no po so to 5) ju mu tu (bu) 6) r"z rt
14 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 8 Samoglasnik na za"cetku 1) ar as (ah aj au) 2) en ep (ej eh) 3) in iz ig 4) on ob od os on (oh oj) 5) uk up u"s ud um ur (uh ut) in opazujemo besedi: /-?H ter besedi: J+?H.
15 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 9 J+ ima najmanj možnosti, + pa verjetno ni črka n, zato nam ostane samo še: J+?H DWHN- /-?H iz te (ne gre zaradi: D-?+C) ob ta(e,o) (ne gre zaradi: D-?+C) od te (ne gre zaradi: D-?+C) tako da bo potrebno nekaj spremeniti in preizkusiti še naslednje: on bo; on jo; in so; in se; in je; in ta; en je; od tu...
16 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 10 (6) Če nam po dolgem premisleku ne uspe najti rdeče niti, bo morda potrebno iskati napako s prijatelji (tudi računalniški program z metodo lokalne optimizacije ni zmogel problema zaradi premajhne dolžine tajnopisa, vsekakor pa bi bilo problem mogoče rešiti s pomočjo elektronskega slovarja). Tudi psihološki pristop pomaga, je svetoval Martin Juvan in naloga je bila rešena (poskusite sami!).
17 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 11 Podobna naloga je v angleščini dosti lažja, saj je v tem jeziku veliko členov THE, A in AN, vendar pa zato običajno najprej izpustimo presledke iz teksta, ki ga želimo spraviti v tajnopis. V angleščini imajo seveda črke drugačno gostoto kot v slovenščini. Razdelimo jih v naslednjih pet skupin: 1. E, z verjetnostjo okoli 0.120, 2. T, A, O, I, N, S, H, R, vse z verjetnostjo med 0.06 in 0.09, 3. D, L, obe z verjetnostjo okoli 0.04, 4. C, U, M, W, F, G, Y, P, B, vse z verjetnostjo med in 0.028, 5. V, K, J, X, Q, Z, vse z verjetnostjo manjšo od Najbolj pogosti pari so (v padajočem zaporedju): TH, HE, IN, ER, AN, RE, ED, ON, ES, ST, EN, AT, TO, NT, HA, ND, OU, EA, NG, AS, OR, TI, IS, ET, IT, AR, TE, SE, HI in OF, Najbolj pogoste trojice pa so (v padajočem zaporedju): THE, ING, AND, HER, ERE, ENT, THA, NTH, WAS, ETH, FOR in DTH.
18 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 12 Začetki verjetnosti Ahil in Ajaks kockata, amfora, okrog 530 pr.n.š, Eksekias, Vatikan Naključnost so poznale že stare kulture: Egipčani, Grki,... a je niso poskušale razumeti razlagale so jo kot voljo bogov. Leta 1662 je plemič Chevalier de Mere zastavil matematiku Pascalu vprašanje zakaj določene stave prinašajo dobiček druge pa ne. Pascal si je o tem začel dopisovati s Fermatom in iz tega so nastali začetki verjetnostnega računa. Prvo tovrstno razpravo je napisal že leta 1545 italijanski kockar in matematik Cardano, a ni bila širše znana. Tudi leta 1662 je anglež John Graunt sestavil na osnovi podatkov prve zavarovalniške tabele.
19 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika začetki Leta 1713 je Jakob Bernoulli objavil svojo Umetnost ugibanja s katero je verjetnostni račun postal resna in splošno uporabna veda. Njegov pomen je še utrdil Laplace, ko je pokazal njegov pomen pri analizi astronomskih podatkov (1812). Leta 1865 je avstrijski menih Gregor Mendel uporabil verjetnostno analizo pri razlagi dednosti v genetiki. V 20. stoletju se je uporaba verjetnostnih pristopov razširila skoraj na vsa področja.
20 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 14 Poskusi, dogodki in verjetnost Verjetnostni račun obravnava zakonitosti, ki se pokažejo v velikih množicah enakih ali vsaj zelo podobnih pojavov. Predmet verjetnostnega računa je torej empirične narave in njegovi osnovni pojmi so povzeti iz izkušnje. Osnovni pojmi v verjetnostnem računu so: poskus, dogodek in verjetnost dogodka. Poskus je realizacija neke množice skupaj nastopajočih dejstev (kompleksa pogojev). Poskus je torej vsako dejanje, ki ga opravimo v natanko določenih pogojih. Primeri: met igralne kocke, iz kupa 20 igralnih kart izberemo eno karto.
21 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 15 Dogodki Pojav, ki v množico skupaj nastopajočih dejstev ne spada in se lahko v posameznem poskusu zgodi ali pa ne, imenujemo dogodek. Primeri: v poskusu meta igralne kocke je na primer dogodek, da vržemo 6 pik; v poskusu, da vlečemo igralno karto iz kupa 20 kart, je dogodek, da izvlečemo rdečo barvo. Za poskuse bomo privzeli, da jih lahko neomejeno velikokrat ponovimo. Dogodki se bodo nanašali na isti poskus. Poskuse označujemo z velikimi črkami iz konca abecede, npr. X, Y, X 1. Dogodke pa označujemo z velikimi črkami iz začetka abecede, npr. A, C, E 1.
22 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 16 Dogodek je lahko: Vrste dogodkov gotov dogodek G: ob vsaki ponovitvi poskusa se zgodi. Primer: dogodek, da vržemo 1, 2, 3, 4, 5, ali 6 pik pri metu igralne kocke; nemogoč dogodek N: nikoli se ne zgodi. Primer: dogodek, da vržemo 7 pik pri metu igralne kocke; slučajen dogodek: včasih se zgodi, včasih ne. Primer: dogodek, da vržemo 6 pik pri metu igralne kocke.
23 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 17 Računanje z dogodki Dogodek A je poddogodek ali način dogodka B, kar zapišemo A B, če se vsakič, ko se zgodi dogodek A, zagotovo zgodi tudi dogodek B. Primer: Pri metu kocke je dogodek A, da pade šest pik, način dogodka B, da pade sodo število pik. Če je dogodek A način dogodka B in sočasno dogodek B način dogodka A, sta dogodka enaka: A B B A A = B. Vsota dogodkov A in B, označimo jo z A B ali A + B, se zgodi, če se zgodi vsaj eden od dogodkov A in B. Primer: Vsota dogodka A, da vržemo sodo število pik, in dogodka B, da vržemo liho število pik, je gotov dogodek. Velja: A B = B A ; A N = A ; A G = G ; A A = A B A A B = A ; A (B C) = (A B) C
24 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika Računanje z dogodki Produkt dogodkov A in B, označimo ga z A B ali AB, se zgodi, če se zgodita A in B hkrati. Primer: Produkt dogodka A, da vržemo sodo število pik, in dogodka B, da vržemo liho število pik, je nemogoč dogodek. Velja: A B = B A ; A N = N ; A G = A ; A A = A B A A B = B ; A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) ; A (B C) = (A B) (A C) Dogodku A nasproten dogodek A imenujemo negacijo dogodka A. Primer: Nasproten dogodek dogodku, da vržemo sodo število pik, je dogodek, da vržemo liho število pik. Velja: A A = N ; A A = G ; N = G ; A = A A B = A B ; A B = A B
25 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika Računanje z dogodki Dogodka A in B sta nezdružljiva, če se ne moreta zgoditi hkrati, njun produkt je torej nemogoč dogodek, A B = N. Primer: Dogodka, A da pri metu kocke pade sodo število pik in B da pade liho število pik, sta nezdružljiva. Poljuben dogodek in njegov nasprotni dogodek sta vedno nezdružljiva. Ob vsaki ponovitvi poskusa se zagotovo zgodi eden od njiju, zato je njuna vosta gotov dogodek: A A = N A A = G. Če lahko dogodek A izrazimo kot vsoto nezdružljivih in mogočih dogodkov, rečemo, da je A sestavljen dogodek. Dogodek, ki ni sestavljen, imenujemo osnoven ali elementaren dogodek. Primer: Pri metu kocke je šest osnovnih dogodkov: E 1, da pade 1 pika, E 2, da padeta 2 piki,..., E 6, da pade 6 pik. Dogodek, da pade sodo število pik je sestavljen dogodek iz treh osnovnih dogodkov (E 2, E 4 in E 6 ).
26 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika Računanje z dogodki Množico dogodkov S = {A 1, A 2,..., A n } imenujemo popoln sistem dogodkov, če se v vsaki ponovitvi poskusa zgodi natanko eden od dogodkov iz množice S. To pomeni, da so vsi mogoči A i N, paroma nezdružljivi A i A j = N in njihova vsota je gotov dogodek i j A 1 A 2... A n = G. Primer: Popoln sistem dogodkov pri metu kocke sestavljajo na primer osnovni dogodki ali pa tudi dva dogodka: dogodek, da vržem sodo število pik, in dogodek, da vržem liho število pik.
27 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 21 Verjetnost Opišimo najpreprostejšo verjetnostno zakonitost. Denimo, da smo n krat ponovili dan poskus in da se je k krat zgodil dogodek A. Ponovitve poskusa, v katerih se A zgodi, imenujemo ugodne za dogodek A, število f(a) = k n pa je relativna frekvenca (pogostost) dogodka A v opravljenih poskusih. Statistični zakon, ki ga kaže izkušnja, je: Če poskus X dolgo ponavljamo, se relativna frekvenca slučajnega dogodka ustali in sicer skoraj zmeraj toliko bolj, kolikor več ponovitev poskusa napravimo.
28 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 22 Statistična definicija verjetnost To temeljno zakonitost so empirično preverjali na več načinov. Najbolj znan je poskus s kovanci, kjer so določali relativno frekvenco grba (f(a)): Buffon je v 4040 metih dobil f(a) = 0, 5069, Pearson je v metih dobil f(a) = 0, 5016, Pearson je v metih dobil f(a) = 0, Ti poskusi kažejo, da se relativna frekvenca grba pri metih kovanca običajno ustali blizu 0.5. Ker tudi drugi poskusi kažejo, da je ustalitev relativne frekvence v dovolj velikem številu ponovitev poskusa splošna zakonitost, je smiselna naslednja statistična definicija verjetnosti: Verjetnost dogodka A v danem poskusu je število P (A), pri katerem se navadno ustali relativna frekvenca dogodka A v velikem številu ponovitev tega poskusa.
29 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 23 Osnovne lastnosti verjetnosti 1. Ker je relativna frekvenca vedno nenegativna, je verjetnost P (A) P (G) = 1, P (N) = 0 in A B P (A) P (B) 3. Naj bosta dogodka A in B nezdružljiva. Tedaj velja P (A B) = P (A) + P (B)
30 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 24 Klasična definicija verjetnosti Pri določitvi verjetnosti si pri nekaterih poskusih in dogodkih lahko pomagamo s klasično definicijo verjetnosti: Vzemimo, da so dogodki iz popolnega sistema dogodkov {E 1, E 2,..., E s } enako verjetni: P (E 1 ) = P (E 2 ) =... = P (E s ) = p. Tedaj je P (E i ) = 1/s i = 1,..., s. Če je nek dogodek A sestavljen iz r dogodkov iz tega popolnega sistema dogodkov, potem je njegova verjetnost P (A) = r/s. Primer: Izračunajmo verjetnost dogodka A, da pri metu kocke padejo manj kot 3 pike. Popolni sistem enako verjetnih dogodkov sestavlja 6 dogodkov. Od teh sta le dva ugodna za dogodek A (1 in 2 piki). Zato je verjetnost dogodka A enaka 2 6 = 1 3.
31 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 25 Geometrijska verjetnost V primerih, ko lahko osnovne dogodke predstavimo kot enakovredne točke na delu premice (ravnine ali prostora), določimo verjetnost sestavljenega dogodka kot razmerje dolžin (ploščin, prostornin) dela, ki ustreza ugodnim izidom, in dela, ki ustreza vsem možnim izidom. Primer:
32 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika Za dogodka A in B velja: Še dve lastnosti verjetnosti P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Primer: Denimo, da je verjetnost, da študent naredi izpit iz Sociologije P (S) = 2/3. Verjetnost, da naredi izpit iz Politologije je P (P ) = 5/9. Če je verjetnost, da naredi vsaj enega od obeh izpitov P (S P ) = 4/5, kolikšna je verjetnost, da naredi oba izpita? P (S P ) = P (S) + P (P ) P (S P ) = = = 0, 42
33 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 27 Za dogodke A, B in C velja: P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo še na več dogodkov? Namig: Pravilo o vključitvi in izključitvi za množice A 1, A 2,..., A n : A 1 A 2 A n = n A i i=1 n 1 i 1 <i 2 n A i1 A i2 n + A i1 A i2 A i3 + ( 1) n 1 A 1 A 2... A n 1 i 1 <i 2 <i 3 n
34 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika P (A) = 1 P (A)... Še dve lastnosti verjetnosti Primer: Iz kupa 32 kart slučajno povlečemo 3 karte. Kolikšna je verjetnost, da je med tremi kartami vsaj en as (dogodek A)? Pomagamo si z nasprotnim dogodkom. Nasprotni dogodek A dogodka A je, da med tremi kartami ni asa. Njegova verjetnost po klasični definiciji verjetnosti je določena s kvocientom števila vseh ugodnih dogodkov v popolnem sistemu dogodkov s številom vseh dogodkov v tem sistemu dogodkov. Vseh dogodkov v popolnem sistemu dogodkov je ( ) 32 3, ugodni pa so tisti, kjer zbiramo med ne asi, t.j. ( ) Torej je ( 28 ) 3 P (A) = ( 32 3 ) = 0, 66 ; P (A) = 1 P (A) = 1 0, 66 = 0, 34.
35 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika Še dve lastnosti verjetnosti Posledica. Če so dogodki A i, i I paroma nezdružljivi, velja P ( i I ) = i I P (A i ). Velja tudi za neskončne množice dogodkov.
36 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 30 Aksiomi Kolmogorova Dogodek predstavimo z množico zanj ugodnih izidov; gotov dogodek G ustreza univerzalni množici; nemogoč dogodek pa prazni množici. Neprazna družina dogodkov D je algebra, če velja: A D A D A, B D A B D Pri neskončnih množicah dogodkov moramo drugo zahtevo posplošiti A i D, i I i I A i D Dobljeni strukturi rečemo σ-algebra.
37 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika Aksiomi Kolmogorova Naj bo D σ-algebra v G. Verjetnost na G je preslikava P : D R z lastnostmi: 1. P (A) 0 2. P (G) = 1 3. Če so dogodki A i, i I paroma nezdružljivi, je P ( i I A i ) = i I P (A i ). Trojica (G, D, P ) določa verjetnostni prostor. Iz teh treh aksiomov lahko izpeljemo vse ostale lastnosti verjetnosti (Hladnik, str. 12).
38 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 32 Pogojna verjetnost Opazujemo dogodek A ob poskusu X, ki je realizacija kompleksa pogojev K. Verjetnost dogodka A je tedaj P (A). Kompleksu pogojev K pridružimo mogoč dogodek B, tj. P (B) > 0. Realizacija tega kompleksa pogojev K = K B je poskus X in verjetnost dogodka A v tem poskusu je P B (A), ki se z verjetnostjo P (A) ujema ali pa ne. Pravimo, da je poskus X poskus X s pogojem B in verjetnost P B (A) pogojna verjetnost dogodka A glede na dogodek B, kar zapišemo takole: P B (A) = P (A/B) Pogojna verjetnost P (A/B) v poskusu X je verjetnost dogodka A v poskusu X s pogojem B. Pogosto pogojno verjetnost pišejo tudi P (A/B).
39 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika Pogojna verjetnost Denimo, da smo n krat ponovili poskus X in da se je ob tem k B krat zgodil dogodek B. To pomeni, da smo v n ponovitvah poskusa X napravili k B krat poskus X. Dogodek A se je zgodil ob poskusu X le, če se je zgodil tudi B, t.j. A B. Denimo, da se je dogodek A B zgodil ob ponovitvi poskusa k A B krat. Potem je relativna frekvenca dogodka A v opravljenih ponovitvah poskusa X : f B (A) = f(a/b) = k A B k B = k A B/n k B /n = f(a B) f(b) oziroma P (A/B) = P (A B) P (B) Pogojna verjetnost P B ima prav take lastnosti kot brezpogojna. Trojica (B, D B, P B ), D B = {A B A D} je zopet verjetnostni prostor.
40 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika Pogojna verjetnost Primer: Denimo, da je v nekem naselju 900 polnoletnih prebivalcev. Zanima nas struktura prebivalcev po spolu ( M moški, Ž ženski spol) in po zaposlenosti (Z zaposlen(a), N nezaposlen(a)). Podatke po obeh spremenljivkah uredimo v dvorazsežno frekvenčno porazdelitev, ki jo imenujemo tudi kontingenčna tabela: spol \ zap. Z N M Ž
41 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika Pogojna verjetnost Poglejmo, kolikšna je verjetnost, da bo slučajno izbrana oseba moški pri pogoju, da je zaposlena. P (Z) = P (M/Z) = P (M Z) P (Z) ali neposredno iz kontingenčne tabele, P (M Z) = = P (M/Z) = =
42 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika Pogojna verjetnost Iz formule za pogojno verjetnost sledi: P (A B) = P (B)P (A/B), P (A B) = P (A)P (B/A). Torej velja: P (A)P (B/A) = P (B)P (A/B). Dogodka A in B sta neodvisna, če velja P (A/B) = P (A). Zato za neodvisna dogodka A in B velja P (A B) = P (A) P (B). Za nezdružljiva dogodka A in B velja P (A/B) = 0.
43 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika Pogojna verjetnost Primer: Iz posode, v kateri imamo 8 belih in 2 rdeči krogli, dvakrat na slepo izberemo po eno kroglo. Kolikšna je verjetnost dogodka, da je prva krogla bela (B 1 ) in druga rdeča (R 2 ). 1. Če po prvem izbiranju izvlečeno kroglo ne vrnemo v posodo (odvisnost), je: P (B 1 R 2 ) = P (B 1 ) P (R 2 /B 1 ) = = = 0, Če po prvem izbiranju izvlečeno kroglo vrnemo v posodo (neodvisnost), je: P (B 1 R 2 ) = P (B 1 ) P (R 2 /B 1 ) = = P (B 1 ) P (R 2 ) = = 0, 16.
44 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika Pogojna verjetnost Dogodka A in B sta neodvisna, če je P (A/B) = P (A/B). P (A B C) = P (A) P (B/A) P (C/(A B)) (Tudi to pravilo lahko posplošimo naprej.) Dogodki A i, i I so neodvisni, če je P (A j ) = P (A j / j 1 i=1 A i), j I. Za neodvisne dogodke A i, i I velja P ( i I A i ) = i I P (A i ).
45 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 39 Obrazec za razbitja in večstopenjski poskusi Naj bo H i, i I razbitje gotovega dogodka: i I H i = G in dogodki so paroma nezdružljivi H i H j = N, i j. Zanima nas verjetnost dogodka A, če poznamo verjetnost P (H i ), in pogojno verjetnost P (A/H i ) za i I: A = A (H 1 H 2 H n ) = (A H 1 ) (A H n ). Ker so tudi dogodki A H i paroma nezdružljivi, velja: P (A) = i I P (A H i ) = i I P (H i )P (A/H i ).
46 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 40 Na stvar lahko pogledamo tudi kot na večstopenjski poskus: v prvem koraku se zgodi natanko eden od dogodkov H i, ki ga imenujemo hipoteza (hipoteze sestavljajo popolen sistem dogodkov). Šele izidi na prejšnjih stopnjah določajo, kako bo potekal poskus na naslednji stopnji. Omejimo se na poskus z dvema stopnjama. Naj bo A eden izmed mogočih dogodkov na drugi stopnji. Včasih nas zanima po uspešnem izhodu tudi druge stopnje, verjetnost tega, da se je na prvi stopnji zgodil dogodek H i. Odgovor dobimo iz zgornjega obrazca in mu pravimo Bayesov obrazec: P (H k /A) = P (H k) P (A/H k ) i I P (H i) P (A/H i )
47 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 41 Zgled. Trije lovci so hkrati ustrelili na divjega prašiča in ga ubili. Ko so prišli do njega, so našli v njem eno samo kroglo. Kolikšne so verjetnosti, da je vepra ubil (a) prvi, (b) drugi, (b) tretji lovec, če poznamo njihove verjetnosti, da zadanejo: 0, 2; 0, 4 in 0, 6? Na ta način jim namreč lahko pomagamo pri pošteni delitvi plena (kajti ne smemo pozabiti, da imajo vsi v rokah nevarno orožje).
48 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 42 Sestavimo popolen sistem dogodkov in uporabimo dejstvo, da so lovci med seboj neodvisni, torej P (A B C) = P (A) P (B) P (C). To nam zna pomagati pri računanju verjetnosti hipotez prvi drugi tretji P(H_i) st.kr. P(E/H_i) P(E*H_i) H ,2*,4*,6 =0, H ,8*,4*,6 =0, H ,2*,6*,6 =0, H ,2*,4*,4 =0, H ,2*,6*,4 =0, ,048 H ,8*,4*,4 =0, ,128 H ,8*,6*,6 =0, ,288 H ,8*,6*,4 =0, vsota =1,000 0,464
49 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 43 P (ena krogla je zadela) = 0, , , 288 = 0, 464 = P (E). Ostale verjetnosti računamo za preiskus: P (nobena krogla ni zadela) = 0, 192 = P (N ), P (dve krogli sta zadeli) = 0, , , 032 = 0, 296 = P (D), P (tri krogle so zadele) = 0, , , 288 = 0, 048 = P (T ). Vsota teh verjetnosti je seveda enaka 1.
50 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 44 Končno uporabimo Bayesov obrazec: P (H 5 /E) = P (H 5 E) P (E) P (H 6 /E) = P (H 6 E) P (E) P (H 7 /E) = P (H 7 E) P (E) = = = 0, 048 0, 464 0, 128 0, 464 0, 288 0, 464 = 0, 103 = P (prvi je zadel), = 0, 276 = P (drugi je zadel), = 0, 621 = P (tretji je zadel). Tudi vsota teh verjetnosti pa je enaka 1. Delitev plena se opravi v razmerju 10,3 : 27,6 : 62,1 (in ne 2 : 4 : 6 oziroma 16,6 : 33,3 : 50, kot bi kdo utegnil na hitro pomisliti).
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραKazalo. Predstavitev
Ljubljana, 6. oktober 2008 FRI, Verjetnostni račun in statistika Aleksandar Jurišić različica: 19. januar 2009 / 11 : 51 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. Jurišić 2 in V. Batagelj:
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραBernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov
A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 45 Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov O zaporedju neodvisnih poskusov X 1, X 2,, X n, govorimo tedaj, ko so verjetnosti izidov v enem
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραStatistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo
Statistična analiza opisnih spremenljivk doc. dr. Mitja Kos, mag. arm. Katedra za socialno armacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za armacijo Statistični znaki Proučevane spremenljivke: statistični znaki
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραUL FGG GR B II - Verjetnostni račun in statistika. Poskus, izid. Dogodek. Notes. Notes. Notes. Uvod. Osnovni pojmi.
UL FGG GR B II - Verjetnostni račun in statistika Marjeta Kramar Fijavž, oktober 2014 Uvod Osnovni pojmi Poskus in dogodek Računanje z dogodki Definicije verjetnosti Pogojna verjetnost, neodvisnost dogodkov
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότερα1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk
.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bosta X in Y neodvisni Bernoullijevo porazdeljeni spremenljivki, B(p). Kako je porazdeljena njuna vsota? Označimo Z = X + Y. Verjetnost, da je P (Z = z) za
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA ZA BIOLOGE
MATEMATIKA ZA BIOLOGE Zapiski predavanj Milan Hladnik Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana 2006 KAZALO I. DISKRETNA MATEMATIKA 3 1. Množice, relacije, funkcije 3 2. Kombinatorika in verjetnost 9
Διαβάστε περισσότεραVAJE IZ VERJETNOSTI IN STATISTIKE. Martin Raič
VAJE IZ VERJETNOSTI IN STATISTIKE Martin Raič Datum zadnje spremembe: 0 februar 207 Kazalo Osnove kombinatorike 3 2 Elementarna verjetnost 5 3 Pogojna verjetnost 0 4 Slučajne spremenljivke 7 5 Slučajni
Διαβάστε περισσότερα1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...
ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραp 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραrs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â
rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã
Διαβάστε περισσότεραKunci, jabolka in zlatnina
Kunci, jabolka in zlatnina Marko Razpet, PeF UL Kunci Matematik Fibonacci ali Leonardo iz Pise (r okoli 70, u okoli 240) je znan po svojih delih Liber Abaci, Practica Geometriae, Flos in Liber Quadratorum
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραCM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25
1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή
Διαβάστε περισσότεραΤο άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Διαβάστε περισσότεραP P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ
P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραVerjetnost 2. Oktober Verjetnost 2 Šesto poglavje. Obratna pot do markovskih verig. Od diskretnega časa proti zveznemu. Stabilnost in eksplozije
Oktober 2010 Vsebina 1 2 3 Osnovne sestavine obratne poti Imejmo markovsko o z diskretnim časom Y s števno množico stanj S, z začetno porazdelitvijo π 0 in prehodno matriko Q, ki ima lastnost, da so vsi
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραPOROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL
POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Διαβάστε περισσότεραPostavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013
Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova 10. januar 2013 Osnove biometrije 2012/13 1 Postavitev in preizku²anje hipotez Hipoteze zastavimo najprej ob na rtovanju preizkusa Ob obdelavi jih morda malo popravimo
Διαβάστε περισσότεραMultivariatna analiza variance
(MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami. (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije
Διαβάστε περισσότεραOsnove statistike. Drago Bokal Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru. 1.
Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru 1. marec 2010 Obvestila. http://um.fnm.uni-mb.si/ Prosojnice se lahko spremenijo v tednu po predavanjih.
Διαβάστε περισσότεραΝόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα
Διαβάστε περισσότερα10. poglavje. Kode za overjanje
10. poglavje Kode za overjanje (angl. Authentication Codes) Uvod Računanje verjetnosti prevare Kombinatorične ocene pravokotne škatje (ang. orthogonal arrays, OA) konstrukcije in ocene za OA Karakterizaciji
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραParts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Διαβάστε περισσότερα1. TVORBA ŠIBKEGA (SIGMATNEGA) AORISTA: Največ grških glagolov ima tako imenovani šibki (sigmatni) aorist. Osnova se tvori s. γραψ
TVORBA AORISTA: Grški aorist (dovršnik) izraža dovršno dejanje; v indikativu izraža poleg dovršnosti tudi preteklost. Za razliko od prezenta ima aorist posebne aktivne, medialne in pasivne oblike. Pri
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραHONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραArjana Žitnik. Rešene naloge iz kolokvijev in izpitov pri predmetu
Arjana Žitnik Rešene naloge iz kolokvijev in izpitov pri predmetu DISKRETNA MATEMATIKA 1 Študijsko gradivo za študente 1. letnika Finančne matematike Ljubljana, 2016 NASLOV: Rešene naloge iz kolokvijev
Διαβάστε περισσότεραNekateri primeri sklopov izpitnih vprašanj pri predmetu Naključni pojavi
Nekateri primeri sklopov izpitnih vprašanj pri predmetu Naključni pojavi 1. Izpeljite Binomsko porazdelitev in pokažite kako pridemo iz nje do Poissonove porazdelitve? 2. Kako opišemo naključne lastnosti
Διαβάστε περισσότεραPredikatni račun 1 - vsebina
Predikatni račun 1 - vsebina 1. Domena in predikati; 2. Kvantifikatorji; 3. Sintaksa predikatnega računa; 4. Zaprte izjavne formule; 5. Interpretacija oz. semantika predikatnega računa; 6. Tavtologije
Διαβάστε περισσότεραOsnove sklepne statistike
Univerza v Ljubljani Fakulteta za farmacijo Osnove sklepne statistike doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo e-pošta: mitja.kos@ffa.uni-lj.si Intervalna ocena oz. interval zaupanja
Διαβάστε περισσότεραTabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare
Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Laboratorij za termoenergetiko Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare po modelu IAPWS IF-97 izračunano z XSteam Excel v2.6 Magnus Holmgren, xsteam.sourceforge.net
Διαβάστε περισσότερα(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe
(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe Maša Lah, Sabina Boršić, Klara Drofenik Mentor: Rok Gregorič Matematično raziskovalno srečanje 24. avgust 2016 Povzetek Cilj našega projekta je bil ugotoviti kriterij
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα