TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar"

Transcript

1 TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2017/18

2 Sadrºaj 1 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije 2 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) 3 4

3 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sadrºaj 1 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije 2 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) 3 4

4 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Posmatra se telo koje vr²i sferno kretanje Neka je telo izvr²ilo kona an broj sukcesivnih elementarnih rotacija oko ta ke A ž θ 1, ž θ 2, ž θ 3,... Posmatra se proizvoljna ta ka tela P sa vektorom poloºaja ρ Traºi se UKUPNO elementarno pomeranje koje je rezultat superpozicije kona nog broja elementarnih rotacija

5 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Posle prve elemetarne rotacije ž θ 1 elementarno pomeranje ta ke je dato sa d ρ 1 = ž θ 1 ρ Vektor poloºaja ta ke je tada dat sa: ρ 1 = ρ + d ρ 1 = ρ + ž θ 1 ρ (1)

6 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Posle druge elemetarne rotacije ž θ 2 elementarno pomeranje ta ke je dato sa d ρ 2 = ž θ 2 ρ 1 Vektor novog poloºaja ta ke je tada dat sa: Unose i (1) u (2) dobija se ρ 2 = ρ 1 + d ρ 2 = ρ 1 + ž θ 2 ρ 1 (2) ρ 2 = ρ + ž θ 1 ρ + ž θ 2 ( ρ + ž θ 1 ρ) odnosno, posle sreživanja ρ 2 = ρ + (ž θ 1 + ž θ 2 ) ρ + ž θ 2 (ž θ 1 ρ) (3)

7 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Posle tre e elemetarne rotacije ž θ 3 elementarno pomeranje ta ke je dato sa d ρ 3 = ž θ 3 ρ 2 Vektor novog poloºaja ta ke je tada dat sa: Unose i iz (3) ρ 2 dobija se ρ 3 = ρ 2 + d ρ 3 ρ 3 = ρ + (ž θ 1 + ž θ 2 ) ρ + ž θ 2 (ž θ 1 ρ) + ž θ 3 [ ρ + (ž θ 1 + ž θ 2 ) ρ + ž θ 2 (ž θ 1 ρ)] (4)

8 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Sreživanjem izraza (4) se dobija ρ 3 = ρ + (ž θ 1 + ž θ 2 + ž θ 3 ) ρ + ž θ 2 (ž θ 1 ρ) + ž θ 3 (ž θ 1 + ž θ 2 ) ρ + ž θ 3 ž θ 2 (ž θ 1 ρ) (5)

9 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje)

10 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Posle svake od elementarnih rotacija prira²taj vektora poloºaja ρ je dat sa ρ 1 ρ = ž θ 1 ρ ρ 2 ρ = (ž θ 1 + ž θ 2 ) ρ + ž θ 2 (ž θ 1 ρ) ρ 3 ρ = (ž θ 1 + ž θ 2 + ž θ 3 ) ρ + ž θ 2 (ž θ 1 ρ) + ž θ 3 (ž θ 1 + ž θ 2 ) ρ + ž θ 3 ž θ 2 (ž θ 1 ρ) (6)

11 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Posle tri uzastopne elementarne rotacije ukupno elementarno pomeranje ta ke P je dato sa P P = d ρ = ρ 3 ρ = (ž θ 1 + ž θ 2 + ž θ 3 ) ρ + male veli ine 2. i vi²eg reda (7) Zanemaruju i male veli ine 2. i vi²eg reda, dobija se, indukcijom, za proizvoljan kona an broj ž θ i : d ρ = (ž θ 1 + ž θ 2 + ž θ 3 + ) ρ = n žθ i ρ (8) i=1

12 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje) Ako se izraz (8) napi²e u obliku d ρ = ž θ ρ onda je vektor ž θ dat kao vektorski zbir uzastopnih elementarnih rotacija: ž θ = ž θ 1 + ž θ 2 + ž θ 3 + (9) Vaºi komutativnost u superpoziciji elementarnih rotacija

13 Sabiranje KONAƒNIH rotacija Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije

14 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Sadrºaj 1 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije 2 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) 3 4

15 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Veza izmežu Ojlerovih uglova i vektora ž θ Posmatra se veza izmežu vektora elementarne rotacije ž θ i elementarne promene Ojlerovih uglova dψ, dϑ i dϕ Trenutna osa rotacije je prava oko koje se telo obr e u trenutku t, a takože i kao materijalna prava linija u telu duº koje su u tom trenutku brzine ta aka jednake nuli Vektor elementarne rotacije ž θ je denisan kao vektor koji ima pravac trenutne ose rotacije Vektor ž θ moºe da se razlaºe (kao i svaki vektor) na izabrane koordinatne ose: sistem xyz ili sistem ξηζ ž θ = žθ x ı + žθ y j + žθ z k ž θ = žθ ξ λ + žθ η µ + žθ ζ ν

16 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Veza izmežu Ojlerovih uglova i vektora ž θ

17 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Veza izmežu Ojlerovih uglova i vektora ž θ Imaju i u vidu sabiranje elementarnih rotacija, PROIZVOLJAN vektor elementarne rotacije ž θ moºe da se prikaºe kao vektorski zbir tri elementarne rotacije koje odgovaraju elementarnim prira²tajima Ojlerovih uglova: ž θ = d ψ + d ϑ + d ϕ = dψ k + dϑ n + dϕ ν (10) Relacija (10) se podeli sa dt, pa se dobija veza izmežu vektora ugaone brzine i Ojlerovih uglova: ω = ψ k + ϑ n + ϕ ν (11)

18 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Veza izmežu Ojlerovih uglova i vektora ž θ Imaju i u vidu deniciju Ojlerovih uglova, kao i relacije izmežu jedini nih vektora u fazama tri kona ne rotacije za uglove ψ, ϑ i ϕ, kao i veze izmežu elemenata matrice rotacije i Ojlerovih ugolva, vektor elementarne rotacije (10) moºe da se prikaºe u sistemu inercijalnih osa xyz kao: ž θ = ı(dϑ cos ψ + dϕ sin ψ sin ϑ) + j(dϑ sin ψ dϕ cos ψ sin ϑ) + k(dψ + dϕ cos ϑ) (12)

19 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Veza izmežu Ojlerovih uglova i vektora ž θ Prema tome, koordinate vektora elementarne rotacije u sistemu xyz su žθ x = dϑ cos ψ + dϕ sin ψ sin ϑ žθ y = dϑ sin ψ dϕ cos ψ sin ϑ žθ z = dψ + dϕ cos ϑ (13) Koordinate vektora ugaone brzine u sistemu xyz su onda date sa ω x = ϑ cos ψ + ϕ sin ψ sin ϑ ω y = ϑ sin ψ ϕ cos ψ sin ϑ ω z = ψ + ϕ cos ϑ (14)

20 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Veza izmežu Ojlerovih uglova i vektora ž θ Na sli an na in, vektor elementarne rotacije (10) moºe da se prikaºe u sistemu materijalnih osa ξηζ kao: ž θ = λ(dψ sin ϕ sin ϑ + dϑ cos ϕ) + µ(dψ cos ϕ sin ϑ dϑ sin ϕ) + ν(dψ cos ϑ + dϕ) (15)

21 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije Veza izmežu Ojlerovih uglova i vektora ž θ Prema tome, koordinate vektora elementarne rotacije u sistemu ξηζ su žθ ξ = dψ sin ϕ sin ϑ + dϑ cos ϕ žθ η = dψ cos ϕ sin ϑ dϑ sin ϕ žθ ζ = dψ cos ϑ + dϕ (16) Takože, koordinate vektora ugaone brzine u sistemu ξηζ su date sa ω ξ = p = ψ sin ϕ sin ϑ + ϑ cos ϕ ω η = q = ψ cos ϕ sin ϑ ϑ sin ϕ ω ζ = r = ψ cos ϑ + ϕ (17)

22 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Sadrºaj 1 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije 2 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) 3 4

23 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Denicija ravnog kretanja Ravno (ravansko) kretanje krutog tela je takvo kretanje tela pri kome sve ta ke tela vr²e kretanje paralelno jednoj istoj ravni i pri kome sve ta ke tela koje pripadaju istoj pravoj, normalnoj na ovu ravan, opisuju podudarne putanje, svaka u ravni kojoj pripada Alternativna denicija ravnog kretanja: Ravno (ravansko) kretanje krutog tela je takvo kretanje tela kod koga se tri ta ke tela stalno kre u u istoj ravni (A, B, C π)

24 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Denicija ravnog kretanja Ako su tri proizvoljne ta ke tela A, B, C stalno u istoj ravni π tokom kretanja tela, onda telo moºe da se obr e SAMO oko ose upravne na tu ravan π Sve ta ke tela na normali na ravan π vr²e ISTO kretanje Da bi se pratilo kretanje tela koje vr²i ravno kretanje, dovoljno je da se posmatra kretanje preseka tela sa ravni π Umesto koordinate 3 ta ke (kao kod op²teg kretanja tela), dovoljno je da su poznate koordinate dve ta ke, A i B, koje se stalno kre u u ravni π Telo koje vr²i ravno kretanje ima TRI stepena slobode kretanja n = 3

25 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije)

26 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Broj stepeni slobode kretanja: n = 3 Posmatra se presek tela sa ravni kretanja π i usvajaju se inercijalni i materijalni sistem na slede i na in: Ose Oz i Aζ su stalno mežusobno paralelne Ravni Oxy i Aξη se poklapaju mežusobno i sa ravni kretanja π Ojlerovi uglovi su, prema tome, - z ζ ϑ = 0 - (x, ξ) = ψ + ϕ = θ Generalisane koordinate (za opisivanje poloºaja, odn. kretanja tela): q 1 = x A, q 2 = y A, q 3 = θ

27 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije)

28 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Sadrºaj 1 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije 2 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) 3 4

29 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela

30 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela Kona ne jedna ine ravnog kretanja krutog tela (n = 3) q 1 = x A (t) q 2 = y A (t) q 3 = θ(t) Kona ne jedna ine ta ke tela koje vr²i ravno kretanje r = r A + ρ

31 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela Vektori r A i ρ su, za ravansko kretanje, dati sa r A = x A ı + y A j ρ = ξ λ + η µ Relacije izmežu jedini nih vektora su date sa λ = ı cos θ + j sin θ µ = ı sin θ + j cos θ (18)

32 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela Izraºavanjem λ i µ preko ı i j, posle sreživanja se dobijaju kona ne jedna ine kretanja ta ke tela koje vr²i ravno kretanje ili u matri nom obliku x y z = x = x A + ξ cos θ η sin θ y = y A + ξ sin θ + η cos θ x A y A z A + cos θ sin θ 0 sin θ cos θ T ξ η ζ

33 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Sadrºaj 1 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije 2 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) 3 4

34 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) - alova teorema alova teorema (specijalan slu aj Dalamberove teoreme): Svako kona no pomeranje pri ravnom kretanju moºe da se predstavi kao kona na rotacija oko odrežene ose na ravan kretanja Presek ose ekvivalentne rotacije i ravni kretanja je centar kona ne rotacije Ravno kretanje moºe da se shvati i kao grani ni slu aj sfernog kretanja kada je nepokretna ta ka u (radijus sfere je veliki) Ose ekvivalentne rotacije su mežusobno

35 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) - alova teorema Posmatra se duº AB, kao reprezent ravnog kretanja tela U trenutku t 1 duº (odn. telo) je u poloºaju (I), AB, a u trenutku t 2 duº je u nekom kona no udaljenom poloºaju (II), A B Bez obzira kakvo je stvarno kretanje iz poloºaja (I) u poloºaj (II), to kretanje moºe da se prikaºe kao jedna kona na rotacija oko neke ta ke C (odn. oko ose upravno na ravan kretanja u ta ki C)

36 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) - alova teorema Ta ka A se spoji linijom sa ta kom A, a ta ka B se spoji linijom sa ta kom B Ta ka M je na sredini duºi AA, dok je ta ka N na sredini duºi BB Iz ta ke M se povu e osa simetrije za duº AA, a iz ta ke N osa simetrije na duº BB Presek te dve ose simetrije je ta ka C - centar kona ne rotacije tela (odn. duºi AB)

37 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) alova teorema (centar kona ne rotacije)

38 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) - alova teorema Uo avaju se dva trougla ABC i A B C Ova dva trougla su podudarna, jer su im sve tri stranice iste: - AC = A C... kao udaljenje krajeva duºi od ose simetrije - BC = B C... kao udaljenje krajeva duºi od ose simetrije - AB = A B... pretpostavka o krutom telu Prema tome, i uglovi izmežu odgovaraju ih stranica su isti: ACB = A CB (19)

39 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) - alova teorema Relaciji (19) se doda isti ugao: ACB + BCA = BCA + A CB Posle sabiranja uglova, dobija se jednakost uglova ACA = BCB (20) Relacija (20) zna i da su ta ke A i B, pri datom kona nom pomeranju tela koje vr²i ravno kretanje, dospele u kona an poloºaj posle obrtanja za isti kona an ugao oko zajedni kog centra C

40 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) - trenutni centar rotacije Centar kona ne rotacije se odnosi na proizvoljan kona an interval vremena t Trenutni centar rotacije je grani ni poloºaj centra kona ne rotacije za t dt 0 Presek trenutne ose rotacije i ravni kretanja je trenutni centar rotacije. To je ona ta ka u ravni kretanja oko koje se presek tela u ravni kretanja obr e u posmatranom trenutku, ili ona ta ka tela ija je brzina, u posmatranom trenutku, jednaka nuli

41 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) Ravno kretanje moºe da se posmatra kao sukcesivan niz mnogo elementarnih rotacija oko trenutnih centara rotacije Ose upravno na ravan kretanja u trenutnom centru su trenutne ose rotacije Sve trenutne ose rotacije su mežusobno, odn. upravne na ravan kretanja U tom smislu, ravno kretanje moºe da se posmatra i kao sferno kretanje, pri emu je nepokretna ta ka u beskona nosti na pravcu upravno na ravan kretanja Geometrijsko mesto svih trenutnih osa rotacije kod ravnog kretanja je cilindri na povr², a ne konus, kao kod "pravog" sfernog kretanja

42 Sadrºaj 1 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije 2 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) 3 4

43 - brzina i ubrzanje Ugaona brzina pri ravnom kretanju krutog tela je uvek na ravan kretanja π ω = ω k = ω ν gde je ω(t) = θ(t) Vektor ugaone brzine je izvod ugla θ po vremenu Brzina proizvoljne ta ke tela koje vr²i op²te kretanje, pa prema tome i ravno kretanje, je data sa Ojlerovom relacijom v = v A + ω ρ (21)

44 - brzina i ubrzanje U slu aju ravnog kretanja ω je uvek π, dok je ρ uvek u ravni π: ρ π Skalarni proizvod ω ρ se dobija u obliku λ µ ν ω ρ = 0 0 ω ξ η 0 = ωη λ + ωξ µ Relacija (21) se dobija, u skalarnom obliku u odnosu na sistem xy, kao ẋ = ẋ A ω(ξ sin θ + η cos θ) ẏ = ẏ A + ω(ξ cos θ η sin θ) (22)

45 - brzina i ubrzanje Imaju i u vidu relacije (18) izmežu jedini nih vektora, λ = ı cos θ + j sin θ µ = ı sin θ + j cos θ (23) inverzne relacije su date sa ı = λ cos θ µ sin θ j = λ sin θ + µ cos θ (24)

46 - brzina i ubrzanje Prema tome, brzina referentne ta ke A: v A = ẋ A ı + ẏ A j se dobija, posle sreživanja, kao v A = (ẋ A cos θ + ẏ A sin θ) λ + ( ẋ A sin θ + ẏ A cos θ) µ Sa ovim, relacija (21) se dobija, u skalarnom obliku u odnosu na sistem ξη, kao v ξ = ẋ A cos θ + ẏ A sin θ ωη v η = ẋ A sin θ + ẏ A cos θ + ωξ (25) v ξ i v η sa KVAZIBRZINE - NISU izvodi po vremenu nekih koordinata

47 Sadrºaj 1 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije 2 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) 3 4

48 - brzina i ubrzanje Ugaono ubrzanje pri ravnom kretanju krutog tela ε = ε k = ε ν gde je ε = ω(t) = θ(t) Ugaono ubrzanje kod ravanskog kretanja je 2. izvod po vremenu ugla obrtanja θ: ε = θ Ubrzanje proizvoljne ta ke tela koje vr²i op²te kretanje je dato sa relacijom a = a A + ε ρ + ω ( ω ρ)

49 - brzina i ubrzanje Kako je, kod ravanskog kretanja uvek ρ ω, to se dvostruki vektorski proizvod svodi na ω ( ω ρ) = ω( ω ρ) ω 2 ρ = ω 2 ρ Prema tome, ubrzanje ta ke tela koje vr²i ravansko kretanje je dato sa a = a A + ε ρ ω 2 ρ - ubrzanje referentne ta ke: a A - tangencijalno ubrzanje: ε ρ - normalno ubrzanje: ω 2 ρ (usmereno ka referentnoj ta ki A)

50

51 Skalarni oblik ubrzanja ta ke kod ravanskog kretanja u sistemu inercijalnih osa xy a x = ẍ = ẍ A ε(ξ sin θ + η cos θ) ω 2 (ξ cos θ η sin θ) a y = ÿ = ÿ A + ε(ξ cos θ η sin θ) ω 2 (ξ sin θ + η cos θ) u sistemu materijalnih osa ξη a ξ = ẍ A cos θ + ÿ A sin θ εη ω 2 ξ a η = ẍ A sin θ + ÿ A cos θ + εξ ω 2 η

52 Sadrºaj 1 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije 2 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) 3 4

53 - trenutni centar rotacije Trenutni centar rotacije je ona ta ka u ravni kretanja oko koje se obr e presek tela sa ravni kretanja u tom trenutku Trenutni centar rotacije je ona ta ka tela ija je brzina u tom trenutku jednaka nuli Trenutni centar rotacije je ta ka S(x S, y S ) ili S(ξ S, η S ) Uslov za odreživanje ta ke S je v S = 0, odnosno, v S = v A + ω ρ S = 0 (26)

54 - trenutni centar rotacije Uslovna jedna ina (26) se transformi²e v S = v A + ω ρ S = 0 / ω Dobija se ω v A + ω ( ω ρ S ) = 0 odnosno, razvijanjem dvostrukog vektorskog proizvoda, ω v A + ω( ω ρ S ) ω 2 ρ S = 0

55 - trenutni centar rotacije Kako je ω ρ S = 0, zbog ortogonalnosti vektora, to se dobija re²enje za vektor poloºaja ta ke S u odnosu na referentnu ta ku A: ρ S = ω v A ω 2 Vektor poloºaja trenutnog centra rotacije u osnosu na ta ku O je dat sa r S = r A + ρ S = r A + ω v A ω 2

56 - trenutni centar rotacije Vektorski proizvod ω v A, izraºen u sistemu xyz, iznosi ı j k ω v A = 0 0 ω ẋ A ẏ A 0 = ω ẏ A ı + ω ẋ A j Vektor poloºaja u odnosu na nepokretnu ta ku O, r S = r A + ρ S, dobija se, razlaganjem na prostorne koordinate xy, kao: x S = x A 1 ω ẏa y S = y A + 1 ω ẋa (27)

57 - trenutni centar rotacije Posmatra se poloºaj trenutnog centra rotacije u materijalnom sistemu ξη Uslov za odreživanje ta ke S je v S = 0, odnosno v S = v A + ω ρ S = 0 (28) Vektor brzine referentne ta ke A u sistemu ξη je dat sa v A = (ẋ A cos θ + ẏ A sin θ) λ + ( ẋ A sin θ + ẏ A cos θ) µ

58 - trenutni centar rotacije Skalarni proizvod ω ρ S se dobija u obliku λ µ ν ω ρ = 0 0 ω ξ S η S 0 = ω η S λ + ω ξ S µ Uslovna jedna ina (28) se projektuje na ose materijalnog sistema λ v S = v A + ω ρ S = 0 / µ pri emu se brzina v A posmatra u sistemu ξη

59 - trenutni centar rotacije Dobija se: ẋ A cos θ + ẏ A sin θ ω η S = 0 ẋ A sin θ + ẏ A cos θ + ω ξ S = 0 Re²avanjem se dobijaju materijalne koordinate trenutnog centra rotacije: ξ S = 1 ω (ẋ A sin θ ẏ A cos θ) η S = 1 ω (ẋ A cos θ + ẏ A sin θ) (29)

60 - baza i ruleta Trenutni centar rotacije u sistemu inercijalnih koordinata: x S = x A 1 ω ẏa (30) y S = y A + 1 ω ẋa Trenutni centar rotacije u sistemu materijalnih koordinata: ξ S = 1 ω (ẋ A sin θ ẏ A cos θ) η S = 1 ω (ẋ A cos θ + ẏ A sin θ) (31)

61 - baza i ruleta Jedna ine (30) su parametarske jedna ine (vreme t je parametar) krive linije u sistemu inercijalnih osa Oxy Jedna ine (31) su parametarske jedna ine (vreme t je parametar) krive linije u sistemu materijalnih osa Aξη Geometrijsko mesto ta aka (30) u sistemu nepokretnih osa se zove NEPOKRETNA CENTROIDA ili BAZA (kriva linija u ravni Oxy) Geometrijsko mesto ta aka (31) u sistemu pokretnih osa se zove POKRETNA CENTROIDA ili RULETA (kriva linija u ravni Aξη)

62 - baza i ruleta Baza je geometrijsko mesto ta aka (izraºeno u sistemu Oxy) oko kojih se telo obrtalo tokom ravanskog kretanja Baza je geometrijsko mesto ta aka u prostoru Oxy koje pretstavljaju trenutne centre rotacije Ruleta je kriva linija u telu koja predstavlja geometrijsko mesto ta ka u kojima je, u pojedinim trenucima vremena, brzina bila jednaka nuli Ruleta se pomera u odnosu na Oxy ravan i pri tome se u svakom trenutku vremena po jedna ta ka rulete POKLAPA sa po jednom ta kom baze (to je trenutni centar rotacije u tom trenutku)

63 - baza i ruleta Izmežu baze i rulete postoje slede i odnosi: - U zajedni koj ta ki (u trenutnom centru rotacije u tom trenutku) baza i ruleta imaju zajedni ku tangentu (dodir prvog reda) - Brzine kojima se trenutni centar pomera po jednoj i po drugoj krivoj su mežusobno jednake - Ruleta se kotrlja po bazi bez klizanja

64 - trenutni centar rotacije Kada se poznaje poloºaj trenutnog centra rotacije S, onda moºe da se ta ka S usvoji za novu referentnu ta ku U tom slu aju je brzina referentne ta ke jednaka nuli: v S = 0, pa je brzina bilo koje ta ke tela P, koje vr²i ravansko kretanje, data sa v = ω ρ (32) gde se podrazumeva da se ρ meri od nove referentne ta ke ρ = SP

65 - trenutni centar rotacije Imaju i u vidu relaciju (32), odnosno izraz za brzinu v = ω ρ, moºe da se zaklju i slede e 1 Vektor brzine svake ta ke tela je upravan na pravac potega povu enog iz trenutnog centra rotacije ka toj ta ki 2 Intenzitet brzine ta ke je proporcionalan sa rastojanjem ta ke od trenutnog centra rotacije 3 Smer brzine ta ke zavisi od smera ugaone brzine

66 - trenutni centar rotacije se obi no odrežuje direktno, iz zadatih uslova kretanja i postoje ih veza, a ne izra unavanjem relacija (27) ili (29) Pravac brzine ta ke je upravan na liniju koja spaja ta ku sa trenuntim centrom rotacije Prema tome, ako je poznat pravac brzina dve razli ite ta ke tela, trenutni centar rotacije se nalazi na preseku normala na pravce brzina te dve ta ke Ako je telo koje vr²i ravansko kretanje u nekoj ta ki vezano nepokretnim osloncem, onda je ta ta ka trenutni centar rotacije (odn. telo vr²i rotaciju oko nepokretne ose koja je upravna na ravan kretanja, a nalazi se u toj ta ki, odn. u nepokretnom osloncu)

67

68 - Teorema o tri centra Teorema o tri centra (Aronhold-Kenedijeva teorema): Ako su dve plo e koje vr²e ravno kretanje mežusobno zglobno povezane, onda se trenutni centri rotacija plo a i mežuzglob nalaze na jednoj liniji Posmatraju se dve krute plo e, (1) i (2), koje se kre u u ravni Oxy, pri emu su plo e mežusobno zglobno vezane u ta ki C Pretpostavlja se da su poznati trenutni centri rotacija plo a: ozna eni, redom, sa S 1 i S 2

69 Teorema o tri centra (Aronhold-Kenedijeva teorema)

70 - Teorema o tri centra Posmatra se plo a (1) i neka je ρ 1 vektor poloºaja zajedni ke ta ke C u odnosu na S 1 Ako je ω 1 vektor ugaone brzine plo e (1), onda je vektor brzine ta ke C, posmatrane kao deo tela (1), dat sa v C1 = ω 1 ρ 1 Sli no, ako je ω 2 vektor ugaone brzine tela (2), a ρ 2 vektor poloºaja ta ke C u odnosu na S 2, onda je brzina ta ke C, posmatrane kao deo tela (2), data sa v C2 = ω 2 ρ 2

71 - Teorema o tri centra Ta ka C je zajedni ka za obe plo e, pa brzina ta ke C mora da bude jedinstvena, odn., mora da bude v C1 = v C2 t.j. ω 1 ρ 1 = ω 2 ρ 2 (33) Vektori ugaonih brzina kod ravanskog kretanja moraju da budu upravni na ravan kretanja, tako da je ω 1 = ω 1 k ω2 = ω 2 k Znak ugaone brzine tela (1) je negativan zbog prikazanog pretpostavljenog smera obrtanja (u smeru kazaljke na satu)

72 - Teorema o tri centra Unose i ugaone brzine u relaciju (33) dobija se ω 1 k ρ1 = ω 2 k ρ2 odnosno k (ω 1 ρ 1 +ω 2 ρ 2 ) = 0 (34) Vektorski proizvod (34) e da bude jednak nuli, samo ukoliko je izraz u zagradi jednak nuli: ω 1 ρ 1 + ω 2 ρ 2 = 0 odnosno ρ 1 = ω 2 ω 1 ρ 2 (35) Relacija (34) zna i da su vektori ρ 1 i ρ 2 mežusobno kolinearni, odnosno da se ta ke S 1, C = S 12 i S 2 nalaze na jednom pravcu

73 Sadrºaj 1 Sabiranje elementarnih i kona nih rotacija Ojlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije 2 Denicija ravnog kretanja Kona ne jedna ine kretanja tela i ta ke tela alova teorema (centar kona ne rotacije) 3 4

74 tela koje vr²i ravansko kretanje je ona ta ka tela u kojoj je, u posmatranom trenutku, ubrzanje jednako nuli koje vr²i ravansko kretanje je dato sa a = a A + ε ρ ω 2 ρ Ako je ta ka C trenutni centar ubrzanja, onda je a C = 0

75 Relacija a C = 0 se mnoºi sa leve strane vektorski sa ε, a zatim i sa ω 2 : a C = a A + ε ρ C ω 2 ρ C = 0 / ε ω 2 Dobija se: ε a A + ε ( ε ρ C ) ω 2 ( ε ρ C ) = 0 ω 2 a A + ω 2 ( ε ρ C ) ω 4 ρ C = 0 (36) Sabiranjem jedna ina (36) se dobija ε a A + ε ( ε ρ C ) + ω 2 a A ω 4 ρ C = 0 (37)

76 Dvostruki vektorski proizvod u (37) se razvije ε ( ε ρ C ) = ε ( ε ρ C ) ε 2 ρ C = ε 2 ρ C jer su vektori ε i ρ C mežusobno ortogonalni Sa ovim, relacija (37) postaje ε a A ε 2 ρ C + ω 2 a A ω 4 ρ C = 0 (38) odakle se direktno dobija vektor poloºaja ta ke C: ρ C = ω2 a A + ε a A ω 4 + ε 2 (39)

77 Relacijom (39) je odrežen poloºaj trenutnog centra ubrzanja u odnosu na referentnu ta ku A Sa odreženim poloºajem trenutnog centra ubrzanja C, ta ka C se usvaja za novu referentnu ta ku U tom slu aju je ubrzanje bilo koje druge ta ke tela P dato sa a P = ε ρ P ω 2 ρ P gde je ρ P vektor poloºaja ta ke P u odnosu na ta ku C: ρ P = CP Ukupno ubrzanje se tada sastoji SAMO iz tangencijalnog i normalnog ubrzanja u odnosu na trenutni centar ubrzanja

78

79 Ravno kretanje - primer U prikazanom poloºaju klipnog mehanizma koji se kre e u ravni xy poznati su brzina i ubrzanje klipa A. Odrediti brzinu i ubrzanje ta ke B

80 Ravno kretanje primer: re²enja Mehanizam se sastoji iz dva tela. Telo (1) zaklapa 30 0 sa osom x, a telo (2) je u pravcu ose y Trenutni centar rotacije tela (2) je u osloncu C, a trenutni centar tela (1) je u u pravcu ose y Prema tome, telo (1) vr²i trenutno translatorno kretanje Sve ta ke tela (1), pa i ta ka B, imaju istu brzinu: v B = v A Ugaona brzina tela (2) je, prema tome ω 2 = v B R = v A R

81 Re²enja: Brzine

82 Ravno kretanje primer: re²enja Ta ka B je zajedni ka za oba ²tapa. Imaju i u vidu da je za ²tap (1) poznato ubrzanje ta ke A, onda je to referentna ta ka za telo (1) i ubrzanje ta ke B, posmatrane kao ta ka tela (1), je dato sa a B1 = a A + ε 1 ρ BA (40) U relaciji (40) je uzeto u obzir da je ugaona brzina tela (1) jednaka nuli, a pretpostavljen je smer ugaonog ubrzanja u smeru kazaljke na satu Ako se ta ka B posmatra kao deo tela (2), onda je ubrzanje ta ke B dato sa a B2 = ε 2 ρ BC ω 2 2 ρ BC (41)

83 Ravno kretanjea primer: re²enja Za telo (2) je ta ka C referentna ta ka (jer je to nepokretna ta ka) i ubrzanje je nula Takože je pretpostavljen smer ugaonog ubrzanja tela (2) ε 2 : suprotno od kazaljke na satu (kao i stvaran smer ω 2 ) Ta ka B je zajedni ka ta ka za oba tela, tako da mora da bude a B1 = a B2 (42) Uno²enjem relacija (40) i (41) u jedn. (42), dobija se a A + ε 1 ρ BA = ε 2 ρ BC ω 2 2 ρ BC (43)

84 Re²enj: Ubrzanja Ubrzanje ta ke B se posmatra dvojako: kao ubrzanje ta ke koja pripada ²tapu AB kao ubrzanje ta ke koja pripada ²tapu CB

85 Ravno kretanje Test broj 2: re²enja Projektovanjem jedn. (43) na ose x i y se dobija a A + ε 1 2R sin 30 0 = ε 2 R ε 1 2R cos 30 0 = ω 2 2 R (44) Iz druge od (44) se dobija ugaono ubrzanje tela (1): ε 1 = v2 A R (45) Kao ²to se vidi, ugaono ubrzanje ε 1 je pozitivno, ²to zna i da je stvaran smer kao ²to je pretpostavljen

86 Ravno kretanje primer: re²enja Iz prve od (44) se dobija ugaono ubrzanje tela (2): ε 2 = a A R + v2 A R (46) Kao ²to se vidi, i ugaono ubrzanje ε 2 je pozitivno, ²to zna i da je stvaran smer kao ²to je pretpostavljen Komponente ubrzanja ta ke B (videti sliku sa ubrzanjima), posmatraju i ta ku B kao deo tela (2), su date sa a Bx = ε 2 R = a A v2 A R a By = ω 2 2 R = v2 A R 3 3

87 Ravno kretanje primer: re²enja Prema tome, vektor brzine ta ke B, izraºen u odnosu na sistem Cxy, dat je sa v B = v A ı Vektor ubrzanja ta ke B je dat sa a B = (a A + v2 A R 3 3 ) ı v2 A R j gde su v A i a A poznati pozitivni skalari

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2018/19 Sadrºaj 1 Poloºaj krutog tela u prostoru

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 5 5.1 Krive sa centrom.........................

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Sli cnost trouglova i Talesova teorema

Sli cnost trouglova i Talesova teorema Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 4.1 Ravan u prostoru......................... 5 4.2 Udaljenost ta

Διαβάστε περισσότερα

1 Kinematika krutog tela

1 Kinematika krutog tela M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, IV predavanje, 2017. 1 Kinematika krutog tela Kruto telo je sistem materijalnih tačaka čija se međusobna udaljenost ne menja tokom vremena. Kruta tela

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Br i email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje

Διαβάστε περισσότερα

1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu

1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, II predavanje, 2017. 1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici 1.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 MKE - Linijski

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.

Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer. UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije

Διαβάστε περισσότερα

1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu

1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, III predavanje, 2017. 1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu Posmatrajmo trajektoriju materijalne tačke prikazanu na slici 1. Smatramo

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 Napomene

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija 18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

KLASIƒNI NAUƒNI SPISI GEOMETRISKA ISPITIVANJA IZ TEORIJE PARALELNIH LINIJA. N. I. LOBAƒEVSKOG

KLASIƒNI NAUƒNI SPISI GEOMETRISKA ISPITIVANJA IZ TEORIJE PARALELNIH LINIJA. N. I. LOBAƒEVSKOG S R P S K K M I J N U K KLSIƒNI NUƒNI SPISI KNJIG III MTMTIƒKI INSTITUT KNJIG 3 GOMTRISK ISPITIVNJ IZ TORIJ PRLLNIH LINIJ O N. I. LOƒVSKOG Preveo RNISLV PTRONIJVI RUGO, PRO IRNO IZNJ O G R 1951 Na²ao sam

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA

OTPORNOST MATERIJALA 3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0

Διαβάστε περισσότερα

Elektrodinamika 1. zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com. Pismeni ispit, 18. januar 2016.

Elektrodinamika 1. zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com. Pismeni ispit, 18. januar 2016. Elektrodinamika 1 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 18. januar 016. 1. Zapreminska gustina naelektrisanja u prostoru ima oblik ρ( r) = αδ(ρ + z a )ν(z), gde su ρ i z cilindri

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija 4. Srdjan Vukmirovi. februar Matemati ki fakultet, Beograd

Geometrija 4. Srdjan Vukmirovi. februar Matemati ki fakultet, Beograd Geometrija 4 Srdjan Vukmirovi Matemati ki fakultet, Beograd februar 2015. Sadrºaj 1 Ana geometrija (ponavljanje) 2 Projektivna ravan Realna projektivna ravan RP 2 Realna projektivna prava RP 1 Trotemenik

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U BANJOJ LUCI MAŠINSKI FAKULTET

UNIVERZITET U BANJOJ LUCI MAŠINSKI FAKULTET UNIVERZITET U BANJOJ LUCI MAŠINSKI FAKULTET Dr Valentina Golubović - Bugarski MEHANIKA (Skripta izvodi predavanja) Banja Luka, februar 017. 1 PREDGOVOR Ova skripta priređena su prema važećem nastavnom

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije

Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

ODABRANA POGLAVLJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA Master akademske studije, I semestar

ODABRANA POGLAVLJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA Master akademske studije, I semestar ODABRANA POGLAVLJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA Master akademske studije, I semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 Koncepti analize

Διαβάστε περισσότερα