ΜΕΡΟΣ Β. º π 2 Ô. Τριγωνομετρία. Διανύσματα

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ º π Ô Τριγωνομετρία ιανύσματα

2 ΕΙΣΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜ. Εφαπτομένη οξείας γωνίας. Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας. Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης.4 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0, 4 και 60. Η έννοια του διανύσματος.6 Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων.7 νάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙ και τα ΙΝΥΣΜΤ. Η Τριγωνομετρία, όπως προδίδει και το όνομά της, ασχολείται με τη μέτρηση των τριγώνων και για την ακρίβεια με τη μέτρηση των στοιχείων των τριγώνων. Είναι ένα από τα σημαντικότερα αντικείμενα των Μαθηματικών που αναπτύχθηκε από πολύ παλιά, από τους αρχαίους Έλληνες, οι οποίοι τη χρησιμοποίησαν με θαυμαστά αποτελέσματα. Ιδιαίτερα εύστοχη ήταν η εκτίμηση του άλλου μαθηματικού D Alembert το 789: «Η τριγωνομετρία είναι η τέχνη να βρίσκεις τα άγνωστα στοιχεία ενός τριγώνου με τα λιγότερα μέσα που διαθέτεις». Εμείς θα περιοριστούμε στη μελέτη των τριγωνομετρικών αριθμών (ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη) οξείας γωνίας. Θα εξετάσουμε τις μεταβολές τους και θα τους χρησιμοποιήσουμε για να λύσουμε αρκετά προβλήματα. Στη συνέχεια, στο δεύτερο μέρος του Κεφαλαίου θα μελετήσουμε τα διανύσματα, μια έννοια γνωστή κυρίως από τη Φυσική. Χρησιμοποιώντας διανύσματα μπορούμε να παραστήσουμε διάφορα φυσικά μεγέθη, όπως τη δύναμη, την ταχύτητα κ.ά., στα οποία εκτός από το μέτρο τους είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε και την κατεύθυνσή τους. Είναι, λοιπόν, πολύ σημαντικό να γνωρίζουμε τα στοιχεία ενός διανύσματος, να μπορούμε να κάνουμε πράξεις μ αυτά, καθώς και να τα αναλύουμε σε συνιστώσες. ρκετές δραστηριότητες από την καθημερινή μας ζωή και αρκετά παραδείγματα από τη Φυσική θα μας βοηθήσουν να κατανοήσουμε πλήρως τη χρήση των διανυσμάτων.

3 Τι είναι η Τριγωνομετρία; H Τριγωνομετρία αναπτύχθηκε αρχικά για τις ανάγκες της στρονομίας και της εωγραφίας, αλλά χρησιμοποιήθηκε στη διάρκεια πολλών αιώνων και σε άλλους κλάδους των Μαθηματικών, στη Φυσική, στη Μηχανική και στη Χημεία. Οι έννοιες του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης μιας γωνίας προέκυψαν από τις παρατηρήσεις των στρονόμων της ρχαιότητας. Οι αρχαίοι Έλληνες πίστευαν ότι τα αστέρια βρίσκονταν πάνω σε μια τεράστια νοητή σφαίρα, στην οποία κινούνταν μόνο οι τότε γνωστοί πλανήτες: Ερμής, φροδίτη, Άρης, ίας, Κρόνος, Σελήνη. Στην προσπάθειά τους να υπολογίσουν τις αποστάσεις μεταξύ των πλανητών που είναι αδύνατον να μετρηθούν άμεσα οι αρχαίοι Έλληνες προσπάθησαν να τις υπολογίσουν από τις γωνίες που σχημάτιζαν μεταξύ τους. Ο ρίσταρχος ο Σάμιος, ο Πτολεμαίος, ο Ίππαρχος και άλλοι, που ασχολήθηκαν με την στρονομία, βρήκαν σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών τριγώνων. Περίπου δύο χιλιάδες χρόνια πριν δημιουργήθηκαν τριγωνομετρικοί πίνακες, δηλαδή πίνακες με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς (ημίτονα, συνημίτονα, εφαπτομένες) γωνιών. Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αυτών αριθμών δεν ήταν καθόλου απλός. Άρχισε να απλοποιείται μετά τον 7ο αιώνα μ.χ. και στις ημέρες μας είναι πανεύκολος με τη χρήση των υπολογιστών τσέπης. Σκοπός αυτών των πινάκων ήταν να διευκολυνθούν οι υπολογισμοί της στρονομίας. Οι εφαρμογές της στρονομίας ήταν πολλές και εντυπωσιακές. Ένα απλό παράδειγμα είναι η ναυσιπλοΐα κατά τη διάρκεια της νύχτας. Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν ένα ναυτικό όργανο, τον αστρολάβο, με τον οποίο μετρούσαν ουσιαστικά γωνίες και με τη χρήση της τριγωνομετρίας υπολόγιζαν αποστάσεις και χάραζαν την πορεία τους. Οι αρχαίοι Έλληνες γνωρίζοντας ότι η η είναι σφαιρική χρησιμοποίησαν την Τριγωνομετρία στη εωγραφία. Ο Πτολεμαίος χρησιμοποίησε τριγωνομετρικούς πίνακες στο έργο του «εωγραφία», ενώ ο Κολόμβος είχε πάντα μαζί του στα ταξίδια του το έργο του Regiomontanus: «Ephemerides Astronomicae». Παρόλο που η Τριγωνομετρία εφαρμόστηκε αρχικά στη σφαίρα, έχει περισσότερες εφαρμογές στο επίπεδο. Η Τριγωνομετρία αποτελεί βασικό πεδίο γνώσης, καθώς συμβάλλει στην κατανόηση του χώρου και των ιδιοτήτων του. Οι εφαρμογές της Τριγωνομετρίας δεν περιορίζονται στη εωμετρία, αλλά επεκτείνονται στις βολές στη Φυσική, στην ανάκλαση στην Οπτική, στις αντοχές υλικών στη Στατική και σε άλλους κλάδους των Φυσικών ή ακόμα και των Κοινωνικών επιστημών.

4 .. Eφαπτομένη οξείας γωνίας Ε Ζ O 0 m 0%  Πıâ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ ÁˆÓÔ μ ( = 90Æ) Ë Î ıâùë appleïâ Ú, ÔÓÔÌ ÂÙ È «apple Ó ÓÙÈ Î ıâùë appleïâ Ú ÙË ÁˆÓ μ» Î È Ë μ «appleúôûîâ ÌÂÓË Î ıâùë appleïâ Ú ÙË ÁˆÓ μ». υποτείνουσα (απέναντι από την ορθή γωνία) A απέναντι κάθετη πλευρά από τη γωνία ƒ ƒ π Η πινακίδα που βρίσκεται στο σημείο Ο πληροφορεί τον οδηγό του αυτοκινήτου πόσο ανηφορικός είναι ο δρόμος 0 Ο. Το ποσοστό 0% ή = 0, σημαίνει ότι σε κάθε m οριζόντιας απόστασης ανεβαίνουμε 0 m. Έτσι, π.χ. στο σημείο είναι Ο = 0 m και ανεβαίνουμε = 0 0, m = m. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Τι παρατηρείτε; Ο = 0 Ο = 00 Ο = 0 Λύση Παρατηρούμε ότι Ε = 0, Ζ =, οπότε οι λόγοι της τρίτης στήλης παραμένουν σταθεροί: = = 0, Ο 0 Ε Ο Ζ Ο = E = Ζ = 0 = = 0, 00 = = 0, 0 A Ο = E Ο = Ζ Ο = προσκείμενη κάθετη πλευρά στη γωνία º ÛÈÎ, appleúôîâèì ÓÔ ÁÈ ÙË ÁˆÓ, Ë μ Â Ó È Ë «apple Ó ÓÙÈ», ÂÓÒ Ë Â Ó È Ë «appleúôûîâ ÌÂÓË» Î ıâùë appleïâ Ú. ν ονομάσουμε ω τη γωνία που σχηματίζει ο ανηφορικός δρόμος με το οριζόντιο επίπεδο, τότε οι Ε Ζ λόγοι,, και γενικά ο λόγος Ο Ο Ο ύψος είναι ο ίδιος για όλα τα σημεία οριζόντια απόσταση

5 Μέρος -.. Εφαπτομένη οξείας γωνίας 7 της ευθείας ΟΖ. Ο σταθερός αυτός λόγος λέγεται εφαπτομένη της γωνίας ω και γράφουμε εφω = 0,. Ειδικά, όταν αναφερόμαστε σε δρόμο, όπως παραπάνω, η εφαπτομένη της γωνίας ω ονομάζεται κλίση του δρόμου. Σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία ω ο σταθερός αυτός λόγος γράφεται ως εξής: ω απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας ω προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας ω ονομάζεται εφαπτομένη της γωνίας ω και συμβολίζεται με εφω. Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά με την προσκείμενη κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται εφαπτομένη της γωνίας ω. O A(x,y) y ω x Σχόλιο : ς θυμηθούμε την κλίση της ευθείας με εξίσωση y = αx, που συναντήσαμε στην παράγραφο.. y Είδαμε ότι ο λόγος x είναι πάντα σταθερός και ίσος με τον αριθμό α για κάθε σημείο της ευθείας με εξίσωση y = αx. Aν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με εξίσωση y = αx με τον άξονα x x, τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο ισχύει: y εφω = = = α Ο x Η κλίση α της ευθείας με εξίσωση y = αx είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας ω, που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x x. Σχόλιο : ια να υπολογίσουμε την εφαπτομένη μιας γωνίας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών 89, που βρίσκεται στο τέλος του βιβλίου (σελ. 4). Σε επόμενη παράγραφο (.) θα μάθουμε να υπολογίζουμε την εφαπτομένη μιας γωνίας χρησιμοποιώντας έναν «επιστημονικό» υπολογιστή τσέπης.

6 8 Μέρος -.. Εφαπτομένη οξείας γωνίας º ƒ ª ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα = cm. ν η μία κάθετη πλευρά έχει μήκος = cm, να υπολογίσετε τις εφαπτομένες των γωνιών και. Λύση: νωρίζουμε ότι: εφ απέναντι κάθετη πλευρά = = και προσκείμενη κάθετη πλευρά A εφ απέναντι κάθετη πλευρά = = προσκείμενη κάθετη πλευρά A Επομένως, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το μήκος της κάθετης πλευράς. πό το Πυθαγόρειο θεώρημα γνωρίζουμε ότι + = και αντικαθιστώντας με = cm και = cm, έχουμε: + = ή + = 69 ή = 69 = 44 Eπομένως, = 44 = (cm). Άρα: εφ = = και εφ = =. cm cm º ƒ ª Nα σχεδιάσετε μια γωνία ω, με εφω =. Λύση: Σύμφωνα με τον ορισμό της εφαπτομένης οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, απέναντι κάθετη πλευρά ισχύει: εφω =. προσκείμενη κάθετη πλευρά Επομένως, για να σχεδιάσουμε μια οξεία γωνία ω με εφω =, αρκεί να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που η μία κάθετη πλευρά του θα είναι ίση με και η άλλη κάθετη πλευρά ίση με. Ô Ì Ù ÛΠÔÚı ÁˆÓ Ô Ì ª ÙÚËÛË appleïâ ÚÒÓ Ô Ì KaÙ ÛΠÙÚÈÁÒÓÔ ρ= ρ = cm cm ω cm ια τη γωνία ω ισχύει: εφω = =.

7 Μέρος -.. Εφαπτομένη οξείας γωνίας 9 º ƒ ª Nα υπολογίσετε το ύψος του κυπαρισσιού του παρακάτω σχήματος χρησιμοποιώντας το μήκος της σκιάς του και τη γωνία ω. Λύση: Στο ορθογώνιο τρίγωνο γνωρίζουμε ότι = 9 m και = ω =. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πλευρά. Ο τριγωνομετρικός αριθμός που συνδέει την απέναντι με την προσκείμενη πλευρά μιας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η εφαπτομένη της γωνίας. Έχουμε λοιπόν: εφ = οπότε = εφ άρα = 9 εφ. Με τη βοήθεια του πίνακα εφαπτομένων βρίσκουμε ότι εφ = 0,47. Άρα, = 9 0,47 = 4,, δηλαδή το ύψος του κυπαρισσιού είναι 4, m. º ƒ ª 4 Ένας τουρίστας ύψους =,80 m «βλέπει» τον πύργο με γωνία και απέχει από αυτόν 4 m. Nα υπολογίσετε το ύψος Ε του πύργου. Λύση: Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ε γνωρίζουμε το μήκος της κάθετης πλευράς = 4 m και μια οξεία γωνία. Επομένως, για να υπολογίσουμε την άλλη κάθετη πλευρά Ε, χρησιμοποιούμε την εφαπτομένη της γωνίας των. απέναντι κάθετη πλευρά Ε Ε Είναι εφ = προσκείμενη κάθετη πλευρά = = 4. πό τον πίνακα εφαπτομένων βρίσκουμε: εφ = 0,6, οπότε η παραπάνω σχέση Ε γίνεται: 0,6 =, οπότε έχουμε: Ε = 4 0,6 = 7,9 (m). 4 Eπομένως, το συνολικό ύψος του πύργου είναι: Ε = + Ε =,8 + 7,9 = 9,7 (m). ƒø π. Στο διπλανό σχήμα είναι εφθ = :, :, :, : Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. θ 00 7

8 40 Μέρος -.. Εφαπτομένη οξείας γωνίας. Στο διπλανό σχήμα είναι: α) εφθ = :, :, :, :. 4 β) εφφ =... 4 :, :, :, :. 4 4 Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. θ φ. Σε κάθε γωνία θ, φ, ω, ψ του διπλανού σχήματος να αντιστοιχίσετε την εφαπτομένη της. ωνία θ φ Εφαπτομένη A θ φ ω ψ ωψ π Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε το μήκος x: (γ) Η (α) (β) x x Ι Θ (δ) x Μ Λ 4 Ζ 0 x Κ Ε 4 Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε την απόσταση των δύο πλοίων. 40 m 4 Ένας τουρίστας βλέπει την κορυφή ενός πύργου από σημείο με γωνία 40 και τη βάση του πύργου με γωνία 8. ν γνωρίζετε ότι = m, να υπολογίσετε το ύψος h του πύργου. Να σχεδιάσετε μια γωνία ω με εφω = 0,7. Ποια στοιχεία μπορείτε να υπολογίσετε σε ορθογώνιο τρίγωνο με μια οξεία γωνία 0, αν η απέναντι κάθετη πλευρά έχει μήκος 4 cm;

9 Μέρος -.. Εφαπτομένη οξείας γωνίας 4 6 Την Καθαρά ευτέρα ο Λάκης και ο Σάκης βλέπουν το χαρταετό του Μάκη με γωνίες και 8 αντίστοιχα. Ο Λάκης και ο Σάκης βρίσκονται σε απόσταση 80 m. Nα βρείτε σε τι ύψος από το έδαφος έχει ανέβει ο χαρταετός του Μάκη, αν γνωρίζουμε ότι τα μάτια του Λάκη και του Σάκη βρίσκονται σε ύψος,40 m. μπάλα ακολουθώντας τη διαδρομή του σχήματος. α) Να εκφράσετε την απόσταση ως συνάρτηση του x. β) Στο τρίγωνο να εκφράσετε την εφθ ως συνάρτηση του x. γ) Στο τρίγωνο Ε να εκφράσετε την εφθ ως συνάρτηση του x. δ) Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω συμπεράσματα των ερωτημάτων (β) και (γ), να αποδείξετε ότι το x είναι λύση της εξίσωσης (90 x) = x. Να προσδιορίσετε τον αριθμό x. 7 Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ένα τραπέζι του μπιλιάρδου. ύο μπάλες και είναι τοποθετημένες έτσι ώστε, Ε = 90 cm, = cm, Ε = cm και Ε = x cm. Ένας παίκτης θέλει να χτυπήσει τη μπάλα με τη

10 .. Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας Το ημίτονο ƒ ƒ π O ω 0 ω ω 0 Ζ υποτείνουσα προσκείμενη 0 Ε απέναντι κάθετη πλευρά Ένα πυροσβεστικό όχημα σταματά μπροστά από ένα κτίριο που φλέγεται, για να κατεβάσει έναν άνθρωπο που βρίσκεται στην ταράτσα του κτιρίου. Η σκάλα του οχήματος έχει μήκος Ο = 0 m και το κτίριο έχει ύψος = 0 m. Ο πυροσβέστης που βρίσκεται στην άκρη της σκάλας παίρνει τον άνθρωπο που κινδυνεύει και η σκάλα αρχίζει να μαζεύεται. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: OA = 0 A = 0 = Ο E O = 40 E = 4 = Ο Ζ O = 0 Ζ = = Ο Τι παρατηρείτε; Λύση Παρατηρούμε ότι οι λόγοι της τρίτης στήλης παραμένουν σταθεροί: 0 Ε 4 Ζ = =, = = και = =. Ο 0 Ο 40 Ο 0 Είναι φανερό ότι ο λόγος αυτός παραμένει σταθερός για κάθε διαδοχική θέση της σκάλας. Επίσης, είναι φανερό ότι η γωνία ω στα ορθογώνια τρίγωνα Ο, ΟΕ, ΟΖ που σχηματίζονται, παραμένει σταθερή. απέναντι κάθετη πλευρά Ο σταθερός αυτός λόγος γράφεται ως: υποτείνουσα ονομάζεται ημίτονο της γωνίας ω και συμβολίζεται με ημω. ηλαδή ημω = απέναντι κάθετη πλευρά υποτείνουσα Επομένως: Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά μίας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου δια την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται ημίτονο της γωνίας ω.

11 Μέρος -.. Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας 4 Το συνημίτονο ν συμπληρώσουμε, τώρα, τον παρακάτω πίνακα για το ίδιο σχήμα: OA = 0 O = 40 O 40 4 = = Ο 0 O = 40 ΟE = OΕ 4 = = Ο 40 O = 0 ΟΖ = 6 OΖ 6 4 = = Ο 0 παρατηρούμε ότι σχηματίζεται και ένας δεύτερος σταθερός λόγος: προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα Ο λόγος αυτός ονομάζεται συνημίτονο της γωνίας ω και συμβολίζεται συνω. Επομένως: Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την προσκείμενη κάθετη πλευρά μίας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου δια την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται συνημίτονο της γωνίας ω. Παρατηρήσεις: συνω = α) νωρίζουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις κάθετες πλευρές, οπότε οι λόγοι: απέναντι κάθετη πλευρά υποτείνουσα προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα και είναι μικρότεροι της μονάδας. Επομένως ισχύουν οι ανισώσεις: 0 < ημω < και 0 < συνω < για οποιαδήποτε οξεία γωνία ω. A ημω Ο β) ν τώρα διαιρέσουμε το ημω με το συνω θα προκύψει συνω = = = εφω, Ο Ο Ο όπως φαίνεται από το ορθογώνιο τρίγωνο Ο του σχήματος της προηγούμενης σελίδας. Άρα: ημω εφω = συνω προσκείμενη κάθετη πλευρά υποτείνουσα º ƒ ª Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές = cm και = 0 cm. Να υπολογίσετε τα ημίτονα και τα συνημίτονα των γωνιών και. Τι παρατηρείτε; cm A 0 cm

12 44 Μέρος -.. Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας Λύση: ια τον υπολογισμό του ημιτόνου ή του συνημιτόνου μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, πρέπει να γνωρίζουμε και το μήκος της υποτείνουσας. πό το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε: = + = + 0 = = 6 οπότε = 6 = cm. Άρα: ημ = απέναντι κάθετη πλευρά στη γωνία 0 = = υποτείνουσα = συν = προσκείμενη κάθετη πλευρά στη γωνία = = υποτείνουσα = ημ = απέναντι κάθετη πλευρά στη γωνία = = υποτείνουσα = συν = προσκείμενη κάθετη πλευρά στη γωνία 0 = = υποτείνουσα = Παρατηρούμε ότι ημ = συν και ημ = συν. 4 4 º ƒ ª Να σχεδιαστεί μία οξεία γωνία ω, με ημω =. Λύση: Σύμφωνα με τον ορισμό του ημιτόνου οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, ισχύει: απέναντι κάθετη πλευρά ημω = υποτείνουσα. Επομένως, για να κατασκευάσουμε οξεία γωνία ω με ημω =, αρκεί να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο η μία κάθετη πλευρά του θα είναι ίση με και η υποτείνουσά του ίση με. o Ì K Ù ÛΠÔÚı ÁˆÓ o Ì ª ÙÚËÛË appleïâ ÚÒÓ o Ì Ù ÛΠÙÚÈÁÒÓÔ ρ = cm ρ = cm ω ια τη γωνία ω ισχύει: ημω = =.

13 Μέρος -.. Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας 4... ƒø π Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο είναι: α) ημθ = β) γ) ημφ = συνθ = φ δ) συνφ = Στο ορθογώνιο τρίγωνο του διπλανού σχήματος ποιος από τους παρακάτω αριθμούς: : συνθ : συνφ : ημφ 8 ισούται με 7 ; 4 Σε ποιο από τα παρακάτω τρίγωνα ισχύει συνθ = 7 ; θ A: : : 7 4 θ 7 4 θ θ 7 7 θ A φ 8 A ν ημθ = και συνθ =, τότε: εφθ =... : 4, :, :, : Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση Να βάλετε σε κύκλο τις τιμές που δε μπορούν να εκφράζουν το συνημίτονο οξείας γωνίας: α) β) γ) δ) ε) στ),4 4 ίνεται το διπλανό σχήμα. Να χαρακτηρίσετε με Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη) τις παρακάτω σχέσεις: α) συνθ = β) συνθ = γ) συνθ = Ε Ε δ) συνθ = ε) συνθ = στ) ημθ = Ε θ ζ) ημθ = η) ημθ = θ) ημθ = A Ε Στο διπλανό σχήμα η γωνία είναι ορθή. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω φράσεις: α) Στο τρίγωνο... είναι: συν... =.... Ε β) Στο τρίγωνο... είναι: ημ... =.... Ζ Ε γ) Στο τρίγωνο... είναι: συν... =. Ε A

14 46 Μέρος -.. Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας π Να υπολογίσετε τα ημίτονα και τα συνημίτονα των οξειών γωνιών στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα. (α) (β) (γ) cm cm, cm 4 cm ίνεται μια οξεία γωνία ω για την οποία ισχύει συνω = 7 cm A 9 cm. Να υπολογίσετε το ημω. 4 ίνεται μια οξεία γωνία ω. Να αποδείξετε ότι: α) + ημω < 7 β) 4 συνω > γ) ημω + συνω < 8 Στο διπλανό σχήμα είναι: Ο= 0 m, Ο = m και Ο = 8 m. Nα υπολογίσετε τις αποστάσεις Ο, και. O θ π ƒπ ª πøª O ÌË ÓÈÛÌfi ÙˆÓ ÓÙÈÎ ı ÚˆÓ A ƒ μ AÛÙÚÔÏ Ô Â Ó È Ó ÛÙÚÔÓÔÌÈÎfi fiúá ÓÔ appleô ÂÊÂ Ú ıëîâ applefi ÙÔÓ ÏÏËÓ ÛÙÚÔÓfiÌÔ ÿappleapple Ú Ô ÙÔ Ô ÈÒÓ apple.ã. ÁÈ Ó ÌÂÙÚ ÛÂÈ ÙÔ Ô ÂÓfi ÛÙÂÚÈÔ apple Óˆ applefi ÙÔÓ ÔÚ ÔÓÙ, Î ıò Î È ÙË ÁˆÓÈ Î applefiûù ÛË Ô ÛÙÂÚÈÒÓ. ÙËÓ appleúòùë ÙÔ ÌÔÚÊ Ô ÛÙÚÔÏ Ô Ù Ó Ó Í ÏÈÓÔ ÛÎÔ, ÛÙÔ Î ÎÏÈÎfi appleï ÛÈÔ ÙÔ ÔappleÔ Ô Ù Ó Ú ÁÌ Ó ÔÈ appleô È ÈÚ ÛÂÈ ÙÔ Û ÌÔ ÚÂ Î È ÌÈ ÎÙ Ó appleô ÂÈ Ó ÙÔ ÌË Ó ( Ú ) ÙˆÓ appleô È ÈÚ ÛˆÓ. ÙÔ Î ÓÙÚÔ ÙÔ ÛÎÔ Ù Ó ÛÙÂÚˆ- Ì ÓÔ Ó Î ÓfiÓ ( Ú Î ), appleô ÌappleÔÚÔ ÛÂ Ó appleâúèûùú ÊÂÙ È Î È Ì ÙÔÓ ÔappleÔ Ô ÁÈÓfiÙ Ó Ë ÛÙfi  ÛË ÙÔ ÛÙÂÚÈÔ. ÚÁfiÙÂÚ ÔÈ ÛÙÚÔÏ ÔÈ ÁÈÓ Ó ÌÂÙ ÏÏÈÎÔ, Ì apple Ú ÛÙ ÛÂÈ applefi ˆ È Îfi Î ÎÏÔ Î È Î appleôèô ÛÙÚÔÓÔÌÈÎÔ ÚÙÂ. Ù Ó ÙÔ Î ÚÈfiÙÂÚÔ fiúá ÓÔ Ó ÛÈappleÏÔ Î Ù ÙÔ ÌÂÛ ˆÓ Î È ÓÙÈÎ Ù ÛÙ ıëîâ applefi ÙÔÓ ÂÍ ÓÙ ÙÔÓ 8Ô ÈÒÓ. ÌÂÚ ÔÈ ÛÙÚÔÏ ÔÈ Â Ó È ÛÙÚÔÓÔÌÈÎ fiúá Ó ÌÂÁ ÛÙË ÎÚ ÂÈ, ÂÊÔ È ÛÌ Ó Ì ÈfiappleÙÚ ÌappleÚÔÛÙ applefi ÙËÓ ÔappleÔ Â Ó È appleúôû ÚÌÔÛÌ ÓÔ Ó appleú ÛÌ. ÚÔÛ ÈÔÚ Ô Ó ÙË ÚÔÓÈÎ ÛÙÈÁÌ Î Ù ÙËÓ ÔappleÔ Ó Û ÁÎÂÎÚÈÌ ÓÔ ÛÙ ÚÈ Ú ÛÎÂÙ È apple Óˆ applefi ÙÔÓ ÔÚ ÔÓÙ Û ÔÚÈÛÌ ÓÔ Ô, Û Ó ıˆ 4Æ 60Æ. ÙË Á ÏÏÈÎ Ù ÌÈÎÚÔÁÚ Ê ÙÔ Ô ÈÒÓ ÙÚÂÈ ÌÔÓ Ô apple Ú ÙËÚÔ Ó ÌÂ Ó Ó ÛÙÚÔÏ Ô Î appleôèô ÛÙ ÚÈ.

15 .. Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης Η χρήση του υπολογιστή τσέπης για τον υπολογισμό του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης μιας γωνίας ω Επειδή ο υπολογισμός του ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης μιας γωνίας δεν είναι απλός, χρησιμοποιούμε συχνά έναν «επιστημονικό» υπολογιστή τσέπης. Ο «επιστημονικός» υπολογιστής περιλαμβάνει τα πλήκτρα sin, cos και tan. To πρώτο υπολογίζει το ημίτονο, το δεύτερο το συνημίτονο και το τρίτο την εφαπτομένη μίας γωνίας (π.χ. των 6 ) ως εξής: α) Πατάμε το πλήκτρο που μετατρέπει τους αριθμούς σε μοίρες. Το πλήκτρο αυτό διαφέρει από υπολογιστή σε υπολογιστή. Συνήθως η ένδειξη που φανερώνει ότι έχουμε πατήσει το σωστό πλήκτρο είναι DEG. β) Πατάμε διαδοχικά τα πλήκτρα: 6 sin ή sin 6 που υπολογίζει το ημ6. γ) Στην οθόνη παρουσιάζεται ο αριθμός 0,89 που είναι το ημ6. δ) νάλογα πατώντας τα πλήκτρα: 6 cos ή cos 6 έχουμε ότι: συν6 = 0,44 και 6 tan ή tan 6 έχουμε ότι: εφ6 =,96. Παρατήρηση: Στο τέλος του βιβλίου (σελ. 4) μπορείτε να βρείτε έναν πίνακα με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών από έως 89, για να τον χρησιμοποιήσετε στις ασκήσεις. Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης οξείας γωνίας ω ς εξετάσουμε τώρα τι συμβαίνει όταν μεταβάλλεται η γωνία ω ενός ορθογωνίου τριγώνου. ƒ ƒ π Χρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή τσέπης ή τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών που βρίσκεται στο τέλος του βιβλίου, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: ημίτονο συνημίτονο εφαπτομένη Λύση ρίσκουμε ότι: ημίτονο συνημίτονο εφαπτομένη 8 0,469 0,88 0, 47 0,7 0,68, ,97 0,7,47 8 0,99 0, 8,44

16 48 Μέρος -.. Mεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης πό τον προηγούμενο πίνακα παρατηρούμε ότι: Ο R ω φ θ R R Ζ Ε Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε: αυξάνεται το ημίτονό της, ελαττώνεται το συνημίτονό της και αυξάνεται η εφαπτομένη της. εωμετρικά, τα παραπάνω συμπεράσματα φαίνονται στα διπλανά σχήματα: Σχηματίζουμε τα ορθογώνια τρίγωνα Ο, ΟΕ, ΟΖ, με σταθερή υποτείνουσα R = Ο = Ο = Ο και θεωρούμε τρεις γωνίες: ω < φ < θ. Παρατηρούμε ότι: < Ε < Ζ. E Ζ Επομένως, διαιρώντας με R έχουμε ότι: R < R < R ή ημω < ημφ < ημθ. Στο ίδιο σχήμα παρατηρούμε ότι: Ο > ΟΕ > ΟΖ. Ο ΟΕ ΟΖ Οπότε: R > R > R ή συνω > συνφ > συνθ. Ο ω φ θ ς θεωρήσουμε ορθογώνια τρίγωνα Ο, Ο, Ο με σταθερή τη μία κάθετη πλευρά Ο και ορθή τη γωνία. Παρατηρούμε ότι, όταν η οξεία γωνία με κορυφή το σημείο Ο μεγαλώνει, δηλαδή: ω < φ < θ, τότε μεγαλώνει αντίστοιχα η απέναντι κάθετη πλευρά: < <. Επομένως: Ο < Ο < Ο ή εφω < εφφ < εφθ. πό τα παραπάνω προκύπτει ότι: ν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα ημίτονα, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες. ν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα συνημίτονα, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες. ν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσες εφαπτομένες, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες. º ƒ ª Στο διπλανό σχήμα είναι Ο = cm, O = 8 cm και θ = cm. Nα υπολογίσετε την απόσταση. O Λύση: Παρατηρούμε ότι στο σχήμα υπάρχουν δύο ορθογώνια τρίγωνα, τα Ο και Ο με κοινή γωνία θ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο έχουμε: ημθ = Ο. Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο έχουμε: ημθ = Ο. 6 Άρα, θα ισχύει ότι: Ο = Ο οπότε: = Ο O ή = 8 = =, (cm).

17 Μέρος -.. Mεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης 49 º ƒ ª Το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζει μια πίστα του σκι με το οριζόντιο επίπεδο είναι ημ = 0,. ν ένας σκιέρ βρίσκεται σε σημείο ύψους = m από το έδαφος, να βρεθεί η απόσταση που θα διανύσει ο σκιέρ ώσπου να φτάσει στο έδαφος. m Λύση: Στο ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) πρέπει να βρούμε την πλευρά (υποτείνουσα) γνωρίζοντας ότι: = m και ημ = 0,. Έχουμε ότι: ημ = ή = ή = ή = 00 m. ημ 0, º ƒ ª Λύση: Ένας παρατηρητής, που βρίσκεται 00 m από την ακτή και 0 m από ένα δέντρο, θέλει να υπολογίσει την απόσταση του πλοίου από την ακτή. Μ ένα γωνιόμετρο (ένα όργανο που μας επιτρέπει να μετράμε γωνίες) σκοπεύει το πλοίο και το δέντρο και βρίσκει τη γωνία =70. ν = 90, να υπολογίσετε την απόσταση. Έστω x = η απόσταση του πλοίου από την ακτή. Στο ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιούμε το συνημίτονο της γωνίας των 70. προσκείμενη κάθετη πλευρά 0 Eίναι: συν70 = υποτείνουσα = = A 00 + x M έναν επιστημονικό υπολογιστή τσέπης βρίσκουμε: συν70 = 0,4, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται 0,4 = x και έχουμε: (00 + x) 0,4 = 0 ή 4 + 0,4 x = 0 ή 0,4 x = 0 4 ή 6 x = 0,4 = 4,8 (m).

18 0 Μέρος -.. Mεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης ƒø π. Nα κυκλώσετε τις σωστές απαντήσεις που αφορούν τις γωνίες των διπλανών ορθογωνίων τριγώνων: α) A: φ < θ : φ = θ : φ > θ β) A: ω < y : ω = y : ω > y (α) φ θ 4 (β) ω 4 y. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ (σωστό) ή Λ (λανθασμένο). ΣΩΣΤΟ ΛΘΟΣ α) ημ < ημ β) συν < συν γ) συν7 < συν7 δ) ημ7 < ημ7 ε) ημ < ημ στ) συν < συν π Να υπολογίσετε το x σε καθένα από τα παρακάτω τρίγωνα: A α) β) x A cm 68 cm x 8 A Σ ένα ιστιοπλοϊκό σκάφος το ύψος του καταρτιού έως το σημείο είναι 8 m. Να βρείτε το μήκος που έχουν τα συρματόσχοινα που στηρίζουν τα πανιά, αν αυτά σχηματίζουν γωνίες και 70 αντίστοιχα με το επίπεδο της θάλασσας. γ) x 0 cm Nα υπολογίσετε το x στα παρακάτω τρίγωνα: α) β) 6 x x 0 4 Ένας μηχανικός θέλει να κατασκευάσει ένα σπίτι με υπόγειο γκαράζ. Το ύψος του γκαράζ πρέπει να είναι =, m και η κλίση της ράμπας θ =. Να βρείτε το μήκος της ράμπας και την απόσταση του σημείου από το σπίτι. γ) 40 x ε) 4 δ) x x 0 8 8

19 Μέρος -.. Mεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης 6 7 Να διατάξετε από τον μεγαλύτερο στον μικρότερο τους τριγωνομετρικούς αριθμούς (χωρίς να τους υπολογίσετε): α) ημ7, ημ6, ημ6 και ημ0 β) συν, συν6, συν0 και συν8 γ) εφ8, εφ, εφ και εφ89 Μια σκάλα ύψους 6 m είναι ακουμπισμένη σε τοίχο ύψους 7 m. ια λόγους ασφαλείας, η γωνία στο έδαφος πρέπει να είναι 7. Να βρείτε την απόσταση όπου πρέπει να τοποθετηθεί η βάση της σκάλας από τον τοίχο, καθώς και την απόσταση από το πάνω μέρος της σκάλας έως το πάνω μέρος του τοίχου. Ένας γεωλόγος θέλει να υπολογίσει την απόσταση από το σημείο, όπου βρίσκεται, μέχρι το σπίτι Μ στην άλλη πλευρά ενός ποταμού. Χρησιμοποιεί ένα γειτονικό σημείο που βρίσκεται σε 8 Η απόσταση = 0 m και με τη βοήθεια ενός γωνιόμετρου βρίσκει ότι Μ = 78 και Μ = 70. Να υπολογίσετε τις αποστάσεις Η και Μ. Η ακτίνα της ης είναι R==67 km και η γωνία Σ είναι 89,0. Να υπολογίσετε με τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος την απόσταση ης - Σελήνης (Σ). Σ ΣΕΛΗΝΗ

20 .4. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0, 4 και 60 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 4 ƒ ƒ π ς θεωρήσουμε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετες πλευρές = = cm. Τότε οι γωνίες της βάσης του είναι = = 4. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημ4, συν4 και εφ4. cm 90 cm 4 4 Λύση πό το Πυθαγόρειο θέωρημα έχουμε: = + = + =, άρα =. Επομένως: ημ4 = = = = ( ) συν4 = = = εφ4 = = = Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0 και 60 ƒ ƒ π 0 0 ς θεωρήσουμε τώρα δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα και με κοινή πλευρά την, οξείες γωνίες = = 0 και υποτείνουσες = = cm, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημ0, συν0, εφ0, ημ60, συν60 και εφ60. cm cm Λύση Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, αφού όλες οι γωνίες του είναι 60, οπότε: = cm και A = = cm. Aπό το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε ότι: ημ = ημ0 = =. ια να υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας = 0, θα υπολογίσουμε πρώτα την πλευρά. πό το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο έχουμε ότι: = = =, οπότε =. Επομένως: συν = συν0 = =.

21 Μέρος -.4. Oι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0, 4 και 60 κόμα: εφ = εφ0 = = = = =. ( ) Επίσης, στο ίδιο σχήμα μπορούμε να υπολογίσουμε το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη της γωνίας = 60 : ημ = ημ60 = =, συν = συν60 = = και εφ = εφ60 = = =. Σύμφωνα, λοιπόν, με τα παραπάνω έχουμε τον πίνακα: ημίτονο συνημίτονο εφαπτομένη º ƒ ª Να αποδείξετε ότι ισχύει η ισότητα: ημ 4 = ημ0. Λύση: νωρίζουμε ότι ημ4 =, οπότε ημ 4 = ( ) = =. 4 Eπίσης, γνωρίζουμε ότι ημ0 =, οπότε ημ0 = =. Επομένως ημ 4 = ημ0 =. º ƒ ª Να αποδείξετε ότι το ύψος και το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α α α, δίνονται από τους τύπους: υ = και Ε =. 4 Λύση: Φέρνουμε το ύψος Μ του ισόπλευρου τριγώνου, οπότε: ημ Μ υ = ημ60 = ή = ή υ = α. α 0 0 Το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου είναι: α () = α υ = α α =. 4 Μ α º ƒ ª Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: = ημ0 + συν60 + συν0 εφ4 + ημ4. α α Λύση: Έχουμε: = ημ0 + συν60 + συν0 εφ4 + ημ4 = = + + = +

22 4 Μέρος -.4. Oι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0, 4 και 60 ƒø π. Σε κάθε αριθμό της στήλης να αντιστοιχίσετε τον ίσο του αριθμό που βρίσκεται στη στήλη. ΣΤΗΛΗ α) συν60 β) ημ4 γ) ημ0 δ) ημ60 ΣΤΗΛΗ i) ii) iii). Aν ημθ = συνθ, όπου θ οξεία γωνία, τότε: : θ = 0 : θ = 4 : θ = 60 : θ = 90 Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. ε) συν4 στ) συν0 iv) v). Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη): ΣΩΣΤΟ ΛΘΟΣ α) ημ60 = ημ0 β) συν60 = γ) ημ4 + συν4 = ημ4 δ) συν0 = ημ60 ε) συν60 = ημ0 4. Στο διπλανό κύβο για τη γωνία θ = A, ισχύει ότι: : συνθ = : συνθ = : συνθ = : συνθ = Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. θ π Να υπολογίσετε τις πλευρές α και β ενός ορθογωνίου τριγώνου στις παρακάτω περιπτώσεις: α) A = 90, = 0, γ = cm. β) A = 90, = 4, γ = 7 cm. Nα αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α) ημ 0 + ημ 4 + ημ 60 =. β) ημ 0 +συν 60 ημ 4 = 0. ίνεται τρίγωνο με πλευρές = cm, = cm, = cm. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. β) Να υπολογίσετε το ημ και το συν. 4 Να βρείτε την τιμή της παράστασης = ημ ω συνω στις παρακάτω περιπτώσεις: α) ω = 0 β) ω = 4 γ) ω = 60

23 Μέρος -.4. Oι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0, 4 και 60 Ένα αεροπλάνο πετά σε ύψος 00m και φαίνεται από τον πύργο ελέγχου του αεροδρομίου με γωνία 0. Ποια είναι η οριζόντια απόσταση Π από τον πύργο ελέγχου; 0 Στο παρακάτω τραπέζιο να υπολογίσετε το μήκος της μεγάλης βάσης m Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε τις αποστάσεις και. 0 Π 8 m Σε μια ρώγα από σταφύλι... ύο σπουργίτια βρίσκονται στην κορυφή δύο στύλων ύψους m και 9 m αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ξεκινούν την ίδια στιγμή και με την ίδια ταχύτητα με στόχο μια ρώγα από σταφύλι που βλέπουν υπό γωνίες 60 και 0 στο έδαφος στο σημείο Ρ. Ποιο από τα δύο σπουργίτια θα φτάσει πρώτο τη ρώγα; 0 7 A Να υπολογίσετε το συνολικό μήκος της τεθλασμένης γραμμής στο παρακάτω σχήμα. A 4 P 8 m 4 0 m 60 Ζ Η Στο παρακάτω σχήμα το σημείο είναι μέσο του. Να υπολογίσετε: α) τη γωνία θ β) την απόσταση Ε θ γ) την απόσταση Ε 0 6 cm ια ν ανέβουμε στον ο όροφο ενός εμπορικού κέντρου χρησιμοποιούμε τις κυλιόμενες σκάλες, όπως βλέπουμε στο σχήμα. Να υπολογίσετε το ύψος του ου ορόφου από το έδαφος. Ε 9 Να υπολογίσετε την περίμετρο του διπλανού σχήματος x x

24 .. Η έννοια του διανύσματος Χαρακτηριστικά στοιχεία ενός διανύσματος Όταν μετράμε ένα μέγεθος, όπως π.χ. το χρόνο που χρειαζόμαστε για να διαβάσουμε αυτή την παράγραφο, γράφουμε τη μέτρηση ως έναν αριθμό που ακολουθείται συνήθως από μία μονάδα μέτρησης. ια παράδειγμα, χρειαζόμαστε 0 δευτερόλεπτα για να διαβάσουμε την παράγραφο αυτή. Χρησιμοποιώντας το σύμβολο t για το χρόνο, γράφουμε: t = 0 (s). Mερικά μεγέθη προσδιορίζονται πλήρως, αν δοθεί μόνο το μέτρο τους. ια παράδειγμα: ο χρόνος, που εκφράζεται σε ώρες, λεπτά, δευτερόλεπτα κ.τ.λ., η θερμοκρασία που εκφράζεται σε βαθμούς Κελσίου, Φαρενάϊτ κ.τ.λ., η μάζα που εκφράζεται σε χιλιόγραμμα, γραμμάρια κ.τ.λ. Tέτοια μεγέθη λέγονται βαθμωτά ή μονόμετρα μεγέθη. Όμως, δεν είναι όλα τα μεγέθη μονόμετρα. Υπάρχουν και άλλα, που εκτός από μέτρο έχουν και κατεύθυνση. Ένα παράδειγμα τέτοιου μεγέθους είναι το παρακάτω: ƒ ƒ π Ο ντώνης συζητά με το αγγέλη για ένα αυτοκίνητο που πέρασε από μπροστά του την ώρα που βρισκόταν σε ένα σταυροδρόμι, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. ντώνης: Άσε, ασίλη, πέρασε από μπροστά μου ένα αυτοκίνητο σαν σίφουνας! Πρέπει να έτρεχε τουλάχιστον με 00 χιλιόμετρα την ώρα. αγγέλης: Καλά, προς τα πού πήγαινε τόσο γρήγορα; Μπορείτε να περιγράψετε την κίνηση του αυτοκινήτου; Ν περίπτερο υ = 80 km/h Λύση ια να προσδιορίσουμε πλήρως την κίνηση του αυτοκινήτου, πρέπει να γνωρίζουμε: α) πό ποιο σημείο ξεκίνησε το αυτοκίνητο. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ότι ξεκίνησε από το περίπτερο. β) Προς ποια κατεύθυνση ή αλλιώς με ποια φορά κινείται; Στο σχήμα φαίνεται ότι κινείται νότια. γ) Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία κινείται. Εδώ, το μέτρο της ταχύτητας είναι 80 km/h. λέπουμε, λοιπόν, ότι δεν αρκεί να γνωρίζουμε μόνο το μέτρο της ταχύτητας (80 km/h) αλλά για να καταλάβουμε προς τα πού κινείται το αυτοκίνητο, χρειάζεται η αρχική του θέση και η κατεύθυνσή του. Μεγέθη, όπως η ταχύτητα, που έχουν μέτρο και κατεύθυνση, ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη.

25 Μέρος -.. Η έννοια του διανύσματος 7 ε Τα διανυσματικά μεγέθη παριστάνονται με διανύσματα που συμβολίζονται με βέλη έχοντας ένα σημείο που είναι η αρχή και λέγεται σημείο εφαρμογής του διανύσματος και ένα σημείο που είναι το πέρας (τέλος) του διανύσματος. Το διάνυσμα, τότε, συμβολίζεται με. ζ η Ένα διάνυσμα έχει τα εξής στοιχεία: α) ιεύθυνση, την ευθεία ε που ορίζουν τα άκρα, ή οποιαδήποτε άλλη ευθεία παράλληλη προς αυτή. β) Φορά, που καθορίζεται από το αν το διάνυσμα έχει αρχή το και πέρας το ( ) ή αρχή το και πέρας το ( ). γ) Μέτρο, το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος, το οποίο συμβολίζουμε με. Το μέτρο είναι πάντοτε ένας αριθμός θετικός ή μηδέν. α Η διεύθυνση μαζί με τη φορά καθορίζουν την κατεύθυνση ενός διανύσματος. Παρατήρηση: Συχνά για ευκολία συμβολίζουμε τα διανύσματα με μικρά γράμματα της ελληνικής αλφαβήτου: α, β, γ,... Τα διανύσματα παίζουν βασικό ρόλο στη Φυσική. Εκτός από τη μετατόπιση και την ταχύτητα άλλα διανυσματικά μεγέθη είναι η επιτάχυνση, η δύναμη, το βαρυτικό, το ηλεκτρικό, το μαγνητικό πεδίο κ.ά. Μέτρο διανύσματος ια να κατανοήσουμε καλύτερα την έννοια του μέτρου του διανύσματος, αρκεί να καταλάβουμε τη διαφορά μεταξύ απόστασης και μετατόπισης. ς δούμε ένα παράδειγμα: ƒ ƒ π Ε Ένα πλοίο του Πολεμικού Ναυτικού συμμετέχει σε μια άσκηση. ποπλέει αρχικά από τη Σαλαμίνα () και σταματάει διαδοχικά σε τέσσερα προκαθορισμένα σημεία ανεφοδιασμού (), (), () και (Ε). ιανύοντας τις αποστάσεις που φαίνονται στον πίνακα, ιαδρομή () () () () () () () (Ε) πόσταση 40 ναυτικά μίλια 0 ναυτικά μίλια 00 ναυτικά μίλια 70 ναυτικά μίλια ποια είναι η συνολική απόσταση που διένυσε το πλοίο και ποια είναι η απόσταση της αρχικής και της τελικής του θέσης;

26 8 Μέρος -.. Η έννοια του διανύσματος Λύση Η συνολική απόσταση που διένυσε το πλοίο είναι: Ε = = 960 ναυτικά μίλια. Η απόσταση της αρχικής και τελικής του θέσης είναι: Ε = 0 ναυτικά μίλια. Η απόσταση είναι βαθμωτό (αριθμητικό) μέγεθος. Λέμε, π.χ. ότι το πλοίο διένυσε απόσταση 960 ναυτικών μιλίων, αλλά δεν ξέρουμε πού πήγε. Ποια είναι όμως η μετατόπιση του πλοίου; Η μετατόπιση είναι διανυσματικό μέγεθος. Λέμε, π.χ. ότι το πλοίο ξεκίνησε από τη Σαλαμίνα και μετατοπίστηκε 40 ναυτικά μίλια προς Νότο, οπότε ξέρουμε ακριβώς από πού ξεκίνησε και πού κατέληξε. Η τελική μετατόπιση του πλοίου εκφράζεται από το διάνυσμα Ε, καθώς μας ενδιαφέρει η αρχική και η τελική θέση του πλοίου. ς προσέξουμε ιδιαίτερα ότι το μέτρο της μετατόπισης Ε είναι Ε = 0 ναυτικά μίλια και δεν έχει καμία σχέση με τη συνολική απόσταση που διένυσε από τη Σαλαμίνα έως το τελευταίο σημείο ανεφοδιασμού (960 ναυτικά μίλια). F F Ίσα και αντίθετα διανύσματα ƒ ƒ π Σε μια μετακόμιση ο Μιχάλης και ο ρηγόρης προσπαθούν να μετακινήσουν ένα θρανίο σπρώχνοντάς το από τα δύο άκρα του, όπως φαίνεται στο σχήμα, σε μια παράλληλη θέση. Τι νομίζετε ότι ισχύει για τις δυνάμεις που εφαρμόζει ο Μιχάλης και ο ρηγόρης στα άκρα του θρανίου; Λύση Όπως καταλαβαίνουμε τα διανύσματα F και F θα είναι ίσα. ύο διανύσματα λέγονται ίσα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και ίσα μέτρα. ς θυμηθούμε ένα παιχνίδι που παίζεται συχνά στις παραλίες ή στις κατασκηνώσεις. ύο ομάδες παιδιών αρχίζουν να τραβάνε ένα σχοινί προς αντίθετη κατεύθυνση, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. κριβώς στη μέση του σχοινιού υπάρχει μια γραμμή. ν μία ομάδα καταφέρει να τραβήξει τον πρώτο παίκτη της άλλης ομάδας μετά τη γραμμή, τότε η ομάδα κερδίζει. λέπουμε ότι οι δυνάμεις που ασκούνται από τις δύο ομάδες,

27 Μέρος -.. Η έννοια του διανύσματος 9 όταν παραμένουν ακίνητες, αλληλοεξουδετερώνονται ή όπως λέμε, είναι αντίθετες. ύο διανύσματα είναι αντίθετα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, ίσα μέτρα και αντίθετη φορά. º ƒ ª ίνεται το διπλανό τετράγωνο. Ποια από τα διανύσματα,,,,,, α) έχουν ίσα μέτρα; β) είναι ίσα; γ) είναι αντίθετα; Λύση: α) νωρίζουμε ότι οι πλευρές ενός τετραγώνου έχουν το ίδιο μήκος. Επομένως, τα διανύσματα,,,, και έχουν ίσα μέτρα. ηλαδή: = = = = =. β) Τα διανύσματα και είναι ίσα, γιατί έχουν ίδια διεύθυνση και φορά και ίσα μέτρα. Ομοίως, τα διανύσματα και είναι ίσα. ηλαδή: = και =. γ) Τα διανύσματα και είναι αντίθετα, γιατί έχουν ίδια διεύθυνση, ίσα μέτρα και αντίθετη φορά. Ομοίως τα διανύσματα και είναι αντίθετα. º ƒ ª Y T Σ Ρ Ν Μ Λ Κ Ο Ε Ζ Η Θ Στο παραπάνω σχήμα οι αποστάσεις μεταξύ όλων των σημείων είναι ίσες με cm. Nα βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων Ο, Ο, Λ, ΘΖ,, Ρ, ΤΛ, ΚΘ, Ν, Ζ και Λ. Ποια από τα διανύσματα αυτά είναι μεταξύ τους ίσα και ποια αντίθετα; Λύση: To μήκος του ευθύγραμμου τμήματος Ο είναι cm. ηλαδή: Ο =. Ομοίως βρίσκουμε: Ο =, Λ =, ΘΖ =, =, Ρ = 9, ΤΛ =, ΚΘ = 9, Ν =, Η = και ΡΚ = 4. Ίσα διανύσματα είναι τα: ΤΛ = Ν = Η και ντίθετα είναι τα: Λ και ΤΛ, Λ και Ν, Ρ = ΚΘ. Λ και Η, και O, Ο και ΘΖ.

28 60 Μέρος -.. Η έννοια του διανύσματος ƒø π Στο διπλανό σχήμα το είναι παραλληλόγραμμο. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές; α) = β) = γ) Ο = Ο δ) Ο = Ο ε) Ο = Ο Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο είναι ρόμβος. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές; α) = β) = γ) Ο = Ο δ) = ε) Ο = Ο Στο διπλανό εξάγωνο όλα τα τρίγωνα διαφορετικού χρώματος είναι ισόπλευρα. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α) = Ε... =... =...Ο β) Ζ =... =... =...Ε γ) = Ε... = Ε... = Ε... Ποια από τα παρακάτω μεγέθη χρειάζονται ένα διάνυσμα για να παρασταθούν; α) βάρος β) ύψος γ) μάζα δ) ταχύτητα Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ζ Ε Ο Ο O π Στο εξάγωνο του διπλανού σχήματος όλες οι πλευρές είναι Ζ ίσες. Ποια από τα διανύσματα του σχήματος είναι ίσα με το διάνυσμα ; Ποια είναι αντίθετα με το ; θ δ Ε πό τα διανύσματα,,, Ε, ΕΖ και Ζ ποια είναι ίσα και ποια αντίθετα; ι κ λ β α γ ε η ζ

29 Μέρος -.. Η έννοια του διανύσματος 6 Τα διανύσματα α και β του παρακάτω σχήματος έχουν ίσα μέτρα. Να εξετάσετε αν τα διανύσματα αυτά είναι ίσα. 6 Σ ένα ισόπλευρο τρίγωνο να σχεδιάσετε με αρχή το σημείο, ένα διάνυσμα αντίθετο του και στη α συνέχεια να σχεδιάσετε με αρχή το σημείο, το διάνυσμα. β Να αποδείξετε ότι το είναι αντίθετο του. 4 Ποια από τα διανύσματα του παρακάτω σχήματος: α) έχουν ίσα μέτρα; β) είναι ίσα; γ) είναι αντίθετα; β ζ α κ γ 7 Στη δοκό έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις F, F,, F, F 4, F. Nα βρείτε ποιες από αυτές: α) έχουν ίδια διεύθυνση β) έχουν αντίθετη φορά γ) είναι αντίθετες δ) είναι ίσες ε) έχουν ίσα μέτρα δ ι F = 7Ν ε θ F 4 = Ν F = 7Ν Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων α, β, γ και δ του σχήματος. F = Ν = 0Ν cm { α β γ δ F = Ν cm { π π : ÙÔ ÛÎ ÎÈ, Ë Û ÏÈÛÛ ÌappleÔÚÂ Ó ÎÈÓËı ÔÚÈ fióùè, Î ıâù Î È È ÁÒÓÈ, fiappleˆ Ê ÓÂÙ È ÛÙÔ Û Ì. ªappleÔÚ ÙÂ Ó ÙÔappleÔıÂÙ ÛÂÙ ÏÏ 4 Û ÏÈÛÛÂ, ÙÛÈ ÒÛÙÂ, Ì Ì Ù Ó appleô ÂÈ Ë ÙÔappleÔıÂÙËıÂ, Ó Î Ï appleùô Ó Î È Ù 64 ÙÂÙÚ ÁˆÓ ÙÔ ÛÎ ÎÈÔ ;

30 .6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων Ε Άθροισμα διανυσμάτων Στη δραστηριότητα της προηγούμενης παραγράφου είδαμε ότι η τελική μετατόπιση ήταν το διάνυσμα Ε. Οι διαδοχικές μετατοπίσεις ήταν τα διανύσματα:,, και Ε, τα οποία λέγονται διαδοχικά διανύσματα, γιατί το τέλος του καθενός είναι η αρχή του επoμένου. Είναι φανερό ότι το άθροισμα των διαδοχικών μετατοπίσεων ισούται με την τελική μετατόπιση, δηλαδή: Ε = Ε. Με τον τρόπο αυτό ορίζεται το άθροισμα διαδοχικών διανυσμάτων. Τι γίνεται, όμως, όταν τα διανύσματα δεν είναι διαδοχικά; ς δούμε ένα διαφορετικό παράδειγμα. ƒ ƒ π F Ο Σέργιος είναι καπετάνιος ενός ιστιοπλοϊκού, που έχει αναμμένη τη μηχανή του και κρατάει σταθερή πορεία. Χωρίς να ελέγξει την κατεύθυνση του ανέμου που φυσάει, σηκώνει το ένα πανί. Το ιστιοπλοϊκό αρχίζει να αλλάζει πορεία, καθώς ο άνεμος φυσά προς άλλη κατεύθυνση, όπως φαίνεται στο σχήμα. ν F είναι η δύναμη που ασκεί στο σκάφος η μηχανή και F η δύναμη που ασκεί στο σκάφος ο άνεμος, προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί το ιστιοπλοϊκό; F F Λύση Έχουμε λοιπόν δύο δυνάμεις F (μηχανή) και F (άνεμος) που ασκούνται στο ιστιοπλοϊκό ταυτόχρονα και θέλουμε να βρούμε τη συνισταμένη δύναμη, όπως λέμε στη Φυσική, δηλαδή το άθροισμα των δύο διανυσμάτων F και F. F F F ολ Μεταφέρουμε παράλληλα το διάνυσμα F, έτσι ώστε να γίνει διαδοχικό με το F, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τότε: F + F = + = + = = F ολ. F Oι δυνάμεις F και F λέγονται συνιστώσες της F ολ. Ένας άλλος τρόπος για να βρούμε το F ολ είναι να δούμε ότι αποτελεί τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου. β Επομένως, έχουμε δύο μεθόδους, για να βρίσκουμε το άθροισμα διανυσμάτων. α δ γ. Η μέθοδος του πολυγώνου Μεταφέρουμε παράλληλα τα διανύσματα που θέλουμε να προσθέσουμε, ώστε να γίνουν όλα διαδοχικά. Το άθροισμα των α, β, γ, θα είναι το διάνυσμα δ, που θα έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου.

31 Μέρος -.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων 6. Η μέθοδος του παραλληλογράμμου α δ Μεταφέρουμε τα διανύσματα α, β, έτσι ώστε να έχουν κοινή αρχή και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο που έχει πλευρές τα διανύσματα α και β. β Η διαγώνιος δ του παραλληλογράμμου που έχει ως αρχή την κοινή τους αρχή είναι το άθροισμα των διανυσμάτων α και β. ιαφορά διανυσμάτων Η διαφορά δύο διανυσμάτων και συμβολίζεται με και ορίζεται ως άθροισμα του με το αντίθετο διάνυσμα του, δηλαδή με το : = + ( ) = +. ια να αφαιρέσουμε δύο διανύσματα, προσθέτουμε στο το αντίθετο του, δηλαδή το. + ια να γίνει αυτό, σχεδιάζουμε ένα διάνυσμα Ε ίσο με το. + = + Ε Ε Το διάνυσμα Ε είναι η διαφορά του από το = +( ) = + = + Ε Ε = Ε ιαφορά δύο διανυσμάτων με κοινή αρχή ια να αφαιρέσουμε δύο διανύσματα με κοινή αρχή, Ο Ο O A προσθέτουμε στο Ο το αντίθετο του Ο, δηλαδή το Ο. Τα διανύσματα Ο και Ο είναι διαδοχικά. Ο + Ο = = Ο + Ο O A Το διάνυσμα είναι η διαφορά του Ο από το Ο Ο Ο = Ο + Ο = Ο + Ο = O A

32 64 Μέρος -.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι η διαφορά Ο Ο δύο διανυσμάτων Ο, Ο με κοινή αρχή Ο, είναι ένα διάνυσμα, με αρχή το πέρας του δευτέρου και πέρας το πέρας του πρώτου. Επομένως για τις διαγωνίους Ο και του διπλανού παραλληλογράμμου ισχύει: Ο = α + β και = α β. α α+ β Το μηδενικό διάνυσμα Το άθροισμα δύο αντίθετων διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος (πέρας) ταυτίζονται. Το διάνυσμα αυτό λέγεται μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται με 0. Eπομένως, το μηδενικό διάνυσμα είναι ένα σημείο, οπότε δεν έχει ούτε διεύθυνση ούτε φορά. Το μέτρο του είναι ίσο με 0. ηλαδή: 0 = 0. Ο β α β º ƒ ª ίνεται τυχαίο τετράπλευρο. Να αποδείξετε ότι: =. Λύση: Έχουμε: Επίσης: = + =. = + =. Επομένως: =. º ƒ ª Τρεις δυνάμεις ασκούνται στο ιστοπλοϊκό του παρακάτω σχήματος: η F από τη μηχανή του, η F από τα πανιά του (αέρας) και το ρεύμα της θάλασσας F. Σε ποιο νησί κατευθύνεται το ιστιοπλοϊκό; Λύση: Το ιστιοπλοϊκό κινείται κατά τη διεύθυνση της συνισταμένης των τριών αυτών δυνάμεων, δηλαδή του αθροίσματος F + F + F. ν σχηματίσουμε το άθροισμα αυτών των δυνάμεων, η συνισταμένη τους δείχνει ότι το ιστιοπλοϊκό κατευθύνεται προς τη Σέριφο.

33 Μέρος -.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων 6 º ƒ ª ίνεται παραλληλόγραμμο. Να προσδιορίσετε το σημείο Μ για το οποίο ισχύει: + Μ + + = 0. Λύση: Έχουμε: + Μ + + = Μ = 0 ή ή + M = 0 ή Μ = 0 Το διάνυσμα Μ ισούται με το μηδενικό διάνυσμα, οπότε η αρχή και το πέρας ταυτίζονται. Επομένως, το σημείο Μ ταυτίζεται με το σημείο. ƒø π. ίνονται τα σημεία,, και, τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία. Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. α) β) γ) δ) ν =, τότε: ν =, τότε: ν =, τότε: = Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Το είναι το μέσο του. Το είναι το μέσο του. = Το ταυτίζεται με το. Το ταυτίζεται με το. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. ε) + + A+ = 0.. ίνονται τέσσερα σημεία,, και. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α) +... = β) = γ) = δ) = Η ισότητα = + είναι σωστή σ ένα μόνο από τα παρακάτω σχήματα. Μπορείτε να βρείτε σε ποιο; : : :

34 66 Μέρος -.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων 4. Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Να κυκλώσετε τις σωστές απαντήσεις. α) β) + = Ο + = Ο Ο Ο γ) Ο + = Ο Ο Ο δ) Ο + = Ο Ο Ο O π Στο παρακάτω σχήμα να σχεδιάσετε τα αθροίσματα: α) α + β β) β + γ γ) α + β + γ Ζ α β γ Ε Να βρεθούν τα αθροίσματα: α) + β) Ε + γ) + δ) + ΖΕ + ίνεται το τετράπλευρο. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: α) + + β) γ) 6 Σε ένα σώμα ασκούνται οι δυνάμεις F, F και F, όπως βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα. Να σχεδιάσετε τη συνισταμένη τους. F 4 ίνεται τετράπλευρο και Μ σημείο της. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: α) + Μ + Μ β) Μ + Μ + + γ) + Μ + + Μ ίνεται παραλληλόγραμμο και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να συγκρίνετε τις διαφορές: Ο α) Ο β) Ο γ) Ο δ) Ο Στο παρακάτω σχήμα τα τετράπλευρα και ΕΖ είναι παραλληλόγραμμα. 7 F F Στο διπλανό σχήμα να σχεδιάσετε τα διανύσματα, Ε, Ζ και Θ, έτσι ώστε να ισχύει: = +, Ε = +, Ζ = + και Θ = + +.

35 Μέρος -.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων Aν Μ είναι το μέσο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ( =90 ), να αποδείξετε ότι: = Μ Μ. Μία βάρκα διασχίζει κάθετα ένα ποτάμι. ν η βάρκα κινείται μόνο από τη μηχανή της, θα έχει ταχύτητα με μέτρο m/s. Η βάρκα παρασύρεται, όμως, από το ρεύμα του ποταμού που έχει ταχύτητα 0,6 m/s. 0 π π : α) Να σχεδιάσετε τις δύο ταχύτητες. β) Να σχεδιάσετε την διεύθυνση που θα πάρει τελικά η βάρκα. ίνεται τετράπλευρο και Μ, Ν τα μέσα των πλευρών και. Να αποδείξετε ότι: Μ + Μ = Ν + Ν. Μ ÙÔ apple Ú Î Ùˆ Û Ì, Ù ÛËÌÂ,, ª,, Â Ó È Ù Ì Û ÙˆÓ appleïâ ÚÒÓ ÙÔ apple Ú ÏÏËÏÔÁÚ ÌÌÔ μ. ªappleÔÚ ÙÂ Ó Û ÌappleÏËÚÒÛÂÙ ÙÔ apple Ú Î Ùˆ È Ó ÛÌ ÙÔÛÙ ÚfiÏÂÍÔ; Κ Ο + = Μ Ν Ο T È Ó ÛÌ Ù ÛÙÔ Ô ÙË Î ÎÏÔÊÔÚ Â ÌÈ applefiïë apple Ú Ô Ó ÍÈ ÁÚ ÌÌ ÌÂÙÚfi. ÚÙË ÙˆÓ ÛÙ ÛÂˆÓ Ê ÓÂÙ È ÛÙÔ apple Ú - Î Ùˆ Û Ì. È Ó ÌÂÙ Ô Ì applefi Ó ÛËÌÂ Ô ÙË applefiïë ÛÂ Ó ÏÏÔ, ÁÈ apple Ú - ÂÈÁÌ applefi ÙÔ ÛËÌÂ Ô ÛÙÔ ÛËÌ Ô, ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ÎÈÓËıÔ Ì ÌÂ È ÊÔÚÔ ÙÚfiappleÔ, ÔÈ ÔappleÔ ÔÈ ÌappleÔÚÔ Ó Ó apple Ú ÛÙ - ıô Ó ÌÂ È Ó ÛÌ Ù : Z = Z ή Λ Ν ΟΝ + = = = = + ΟΛ = Z = Z ή Z = Z ) ªappleÔÚ ÙÂ Ó Ú Ù ÏÏÔ ÙÚfiappleÔ ( ÛÙˆ Î È appleèô Ì ÎÚÈÓÔ ) ÁÈ Ó Î ÓÔ Ì ÙË È ÚÔÌ Z Î È Ó ÙÔ ÁÚ ÂÙ Û ÌÔÚÊ ıúô ÛÌ ÙÔ È Ó ÛÌ ÙˆÓ; ) ªÂ appleôèô ÙÚfiappleÔ ÌappleÔÚ ΠÓÂ Ó ÌÂÙ Â applefi ÙÔ ÛËÌÂ Ô 4 ÛÙÔ ÛËÌÂ Ô ; ÁÚ ÂÙ ÙÈ È ÚÔÌ Ù Û ÌÔÚÊ ıúô ÛÌ ÙÔ È Ó ÛÌ ÙˆÓ. Á) Î ÓÂÙ ÙÈ È ÚÔÌ : Ε 7, 4 Ζ Î È 8 μâ fiûô ÙÔ Ó ÙfiÓ appleâúèûûfi- ÙÂÚÔ ÙÚfiappleÔ!

36 .7. Aνάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες F νάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες Όταν γίνεται σεισμός, ασκούνται δυνάμεις στα διάφορα μέρη των κτιρίων. Ο μηχανικός που κατασκευάζει τα κτίρια, για να εξασφαλίσει την αντοχή τους χρησιμοποιεί τις γνώσεις των επιστημών της «Στατικής» και της «ντοχής Υλικών». Υπολογίζει, λοιπόν, τις δυνάμεις που ασκούνται στα κάθετα και οριζόντια μέρη των κτιρίων (κολόνες και δοκάρια), για να μην πέσουν τα κτίρια. Κατά τη διάρκεια του σεισμού εφαρμόζεται μια πλάγια δύναμη στις κολόνες και τα δοκάρια του κτιρίου, όπως φαίνεται στο σκίτσο. x y A F F F y x Ο μηχανικός ενδιαφέρεται να γνωρίζει χωριστά τις δυνάμεις F, F, που ασκούνται αντίστοιχα στο δοκάρι και την κολόνα. Είναι αναγκαία, λοιπόν, η ανάλυση ενός διανύσματος F σε δύο κάθετα διανύσματα. Η ανάλυση του διανύσματος F στις δύο κάθετες συνιστώσες του F και F, γίνεται ως εξής: Στην αρχή του διανύσματος = F, σχηματίζουμε δύο κάθετες ευθείες x x και y y, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. πό το πέρας φέρνουμε δύο κάθετες: τη στην x x και τη στην y y. Τότε το είναι ορθογώνιο, επομένως: = + και επιπλέον = F και = F. Μέτρα Συνιστωσών ν γνωρίζουμε ότι το μέτρο της δύναμης που προέρχεται από το σεισμό είναι F = 6000 N και σχηματίζει με το οριζόντιο δοκάρι γωνία θ = 0, μπορούμε να υπολογίσουμε τα μέτρα των κάθετων συνιστωσών της F. A θ=0 Fοριζ F Fκαθ ναλύουμε το διάνυσμα σε δύο κάθετες συνιστώσες: = F οριζ και = F καθ. νωρίζουμε ότι: = 6000 N και θ = 0. Στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε ότι: A συνθ = = και ημθ = =. Όμως =, οπότε =. Επομένως:

37 Μέρος -.7. νάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες 69 F οριζ = = συνθ = 6000 = 000 (Ν). F καθ = = ημθ = 6000 = 000 (Ν). ενικότερα, για τα μέτρα των δύο κάθετων συνιστωσών F και F μιας δύναμης F ισχύει ότι: F = F συνθ και F = F ημθ º ƒ ª ίνεται ορθογώνιο. ν = 6, να υπολογίσετε τα μέτρα και. A θ=0 Λύση: A A Έχουμε: συν0 = = και ημ0 = =, άρα = συν0 = 6 = και = ημ0 = 6 =. º ƒ ª Ένα φορτηγό βάρους N, είναι σταθμευμένο σε μία κατηφόρα με γωνία κλίσης 0, όταν ξαφνικά λύνεται το χειρόφρενο! Το διάνυσμα του βάρους του αναλύεται σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες η εξουδετερώνεται από το έδαφος, ενώ η κινεί το φορτηγό στην κατηφόρα. Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης Λύση: Έχουμε: συν60 =, oπότε: = συν60 = = 0000 N.

38 70 Μέρος -.7. νάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες. ƒø π Στο παρακάτω σχήμα αναλύσαμε τα διανύσματα, και ΕΖ σε δύο κάθετες συνιστώσες αλλά τα διανύσματα μπερδεύτηκαν! Μπορείτε να βρείτε ποιες είναι οι σωστές από τις παρακάτω σχέσεις; α β γ δ ε ζ Ζ Ε α) = γ + ζ α + ε α + ζ ε + γ β) = β + γ α + ζ β + ζ ε + δ γ) ΕΖ = γ + δ α + ε α + δ γ + ζ. Μια δύναμη F,μέτρου F = Ν αναλύεται σε δύο κάθετες συνιστώσες F και F. ν F = 4 Ν τότε F =... : Ν : Ν : Ν : 4 Ν Nα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. F F N F 4 N. Μια δύναμη F αναλύεται σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες F και F με μέτρα N και N αντίστοιχα. Τότε F =... : : : 7 : 8 Nα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. N F F F N

39 Μέρος -.7. νάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες 7 π Να αναλύσετε τα παρακάτω διανύσματα σε άθροισμα δύο κάθετων συνιστωσών. O Kωστάκης κάνει τσουλήθρα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. ν το βάρος του Κωστάκη είναι 70 Ν, να βρείτε το μέτρο της δύναμης που τον κάνει να κινείται. 4 Ένας κυνηγός για να φτιάξει μια παγίδα, χρησιμοποιεί δύο σανίδες ίσου μήκους και τις τοποθετεί στο έδαφος, ώστε να σχηματίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. Στην κορυφή του τριγώνου τοποθετεί πέτρα βάρους 00 N. Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που δέχεται κάθε σανίδα από το βάρος της πέτρας; Σε υπόγειο τελεφερίκ οι ράγες σχηματίζουν με το οριζόντιο επίπεδο γωνία 60. Το βάρος του βαγονιού των επιβατών (μαζί με τους επιβάτες) είναι 0000 Ν και σύρεται πάνω στις ράγες από την κορυφή με ένα συρματόσχοινο. Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που πρέπει να ασκείται από το συρματόσχοινο στο βαγόνι, ώστε να κινείται με σταθερή ταχύτητα προς τα πάνω; Ένας σκιέρ γιγαντιαίου άλματος κατεβαίνει την εξέδρα που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία 0. ν το βάρος του έχει μέτρο 800 N, ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που τον μετακινεί κατά μήκος της εξέδρας;

40 apple Ó ÏË Ë ÂÊ Ï Ô Επανάληψη στην Τριγωνομετρία Aν ω είναι μια οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου, τότε: απέναντι κάθετη πλευρά ημω = υποτείνουσα προσκείμενη κάθετη πλευρά συνω= υποτείνουσα απέναντι κάθετη πλευρά εφω = προσκείμενη κάθετη πλευρά ια οποιαδήποτε οξεία γωνία ω ισχύουν: 0 < ημω < 0 < συνω < ημω εφω = συνω Όταν μια οξεία γωνία μεγαλώνει, τότε αυξάνεται το ημίτονό της και η εφαπτομένη της, αλλά ελαττώνεται το συνημίτονό της. ν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα ημίτονα ή ίσα συνημίτονα ή ίσες εφαπτομένες, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες. Τριγωνομετρικοί αριθμοί ημίτονο συνημίτονο εφαπτομένη Επανάληψη στα ιανύσματα ιανυσματικά λέγονται τα μεγέθη που έχουν μέτρο και κατεύθυνση. Τα στοιχεία ενός διανύσματος είναι η διεύθυνση, η φορά και το μέτρο. ύο διανύσματα λέγονται ίσα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και ίσα μέτρα, ενώ δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, ίσα μέτρα και αντίθετη φορά. Άθροισμα διανυσμάτων.. Η μέθοδος του πολυγώνου: Όταν τα διανύσματα γίνουν διαδοχικά.. Η μέθοδος του παραλληλογράμμου: Όταν τα διανύσματα α, β, έχουν κοινή αρχή. α β γ α β δ δ ιαφορά διανυσμάτων. = + ( ) = + ιαφορά διανυσμάτων με κοινή αρχή. Ο Ο = Το μηδενικό διάνυσμα 0 είναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος (πέρας) ταυτίζονται. Το μέτρο του είναι ίσο με 0. νάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες με μέτρα: F = F συνθ F = F ημθ