STUDIUL MISCARII DE ROTATIE A SOLIDULUI RIGID. ELIPSOIDUL DE INERTIE. AXE PERMANENTE DE ROTATIE

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "STUDIUL MISCARII DE ROTATIE A SOLIDULUI RIGID. ELIPSOIDUL DE INERTIE. AXE PERMANENTE DE ROTATIE"

Ήρα Καλογιάννης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 STUDUL MSCAR DE ROTATE A SOLDULU RGD. ELPSODUL DE NERTE. AXE PERMANENTE DE ROTATE Scopul lucrării În lucrarea de faţă se vor determina momentele de inerţie principale centrale, yy, faţă de aele de simetrie ale unui corp de formă paralelipipedică şi se vor compara aceste valori cu cel obţinute prin calcul. De asemenea, determinând momentul de inerţie în raport cu aa ce coincide cu diagonala de volum a paralelipipedului, se va putea verifica ecuaţia elisoidului de inerţie. Consideraţii teoretice Ecuaţia diferenţială a mişcării de rotaţie a solidului rigid, M = dj / dt (unde M este momentul total al forţelor eterne, iar J - momentul cinetic al rigidului) conţine o mărime tensorială, definită prin relaţia J = ω (ω este vitea unghiulară), care depinde de orientarea aei instantanee de rotaţie în raport cu corpul, fiind, deci, o funcţie de timp. Ataşând corpului rigid un sistem de coordonate, SC, legat de acesta, se pot calcula momentele de inerţie în raport cu aele SC (care sunt, de data aceasta, independente de timp), iar valoarea momentului de inerţie în raport cu orice aă de rotaţie se poate eprima în funcţie de momentele de inerţie corespunătoare rotaţiei în jurul aelor SC. Ecuaţia care eprimă legătura dintre momentele de inerţie sus-menţionate este aceea a unui elipsoid de revoluţie, denumit elipsoid de inerţie. Cunoaşterea ecuaţiei elipsoidului de inerţie permite alegerea unei astfel de orientări a SC, astfel încât rotaţia să aibă un caracter stabil, adică corpul să preinte tendinţa de revenire la situaţia iniţială, în urma aplicării unei perturbaţii eterne. Aceasta înseamnă, cu alte cuvinte, găsirea acelei orientări a SC, în raport cu care ecuaţia elipsoidului de inerţie ia aşanumita formă canonică. Dacă corpul rigid se roteşte în jurul unei ae care nu trece prin centrul său de masă, atunci păstrarea orientării acestei ae (denumită aă permanentă) impune anularea (de către legături) a reultantei forţelor centrifuge. Rolul legăturii îl au în practică lagărele de fiare a aei de rotaţie. Dacă aa de rotaţie trece prin centrul de masă al rigidului, ea se numeşte centrală şi constituie o aă liberă. Cunoaşterea aelor libere de rotaţie este deosebit de imporantă în tehnică, pentru echilibrarea roţilor, rotoarelor de turbine, elicelor, etc.

2 Să considerăm un element de masă dm a rigidului (Fig. ), care eecută o Fig. mişcare de rotaţie pe o traiectorie circulară de raă r în jurul aei oriontale. om nota cu a tg acceleraţia acestui element de masă, determinată de forţa elementară δf (δf este forţa ce revine acestui element de masă dm din forţa totală ce pune în mişcare întregul sistem); epresia acceleraţiei reultă aplicând principiului al dinamicii: dvtg d dω δf = dm a = dm = dm ( ω r )ˆ e = dm r eˆ dt dt dt tg tg tg () Deoarece direcţiile forţelor ce acţioneaă asupra tuturor elementelor de masă din structura corpului A sunt diferite, este dificil să se facă o însumare a lor, pentru a găsi unei ecuaţia diferenţială a mişcării de rotaţie a sistemului. Dacă, însă, se evalueaă momentele elementare ale forţelor (care sunt toate paralele între ele) sau lucrul mecanic produs de acestea (lucrul mecanic fiind o mărime scalară), se poate propune un model teoretic, care să eplice mişcarea şi să permită calcularea diferitelor mărimi fiice de interes. om aplica, în continuare, această ultimă variantă de abordare a problemei. Lucrul mecanic efectuat de forţa de greutate a corpului D determină variaţia energiei cinetice a aceluiaşi corp, precum şi a ansamblului aflat în rotaţie. Având în vedere că toate elementele de masă au aceeaşi viteă unghiulară şi luând în considerare că o parte din acest lucru mecanic se cheltuie pentru învingerea frecărilor inerente în practică (se produce căldură), se poate scrie, pentru o deplasare elementară, o ecuaţie de bilanţ energetic de forma: D () m g dh = ω d ω r dm v dv dm dq + + Notând cu h lungimea firului înfăşurat pe C şi avînd în vedere că vitea liniară a lui D variaă între 0 şi v, iar vitea unghiulară - între 0 şi ω, prin integrare se obţine ecuaţia:

3 ω mv md gh= + +Q (3) unde = A + este momentul de inerţie al ansamblului corp-cadru-cilindru, iar - momentul ansamblului cadru - cilindru. om deduce în continuare epresia momentului de inerţie A ( rămâne constant în timpul eperimentului). Dacă ataşăm corpului un sistem de coordonate SC, ale cărui ae sunt orientate arbitrar în raport cu corpul (Fig. ), direcţia aei de rotaţie (direcţia lui ˆω ) face cu aele SC unghiurile ϕ, ϕ y, ϕ. Raa de rotaţie a elementului dm, are epresia: r = r ( r ϕ) = r ( r ωˆ ) (4) Fig. Momentul de inerţie în raport cu aa dată va fi: ωˆ = r dm [ r ( r ) ] dm = (5) Înlocuind aici: ωˆ = ϕ ˆ+ ϕ yˆ + ϕ ˆ şi r = ˆ+ yyˆ + ˆ y vom găsi, după efectuarea unor calcule simple: = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ ϕ + ϕ ϕ + ϕ ϕ yy y y y y y în care am notat cu: ; = ( r ) dm ; yy = ( r y ) dm (6) = ( r ) dm momentele de inerţie în raport cu aele O, Oy şi O ale SC, iar cu: y = ydm ; y = ydm ; y = ydm (7) momentele centrifugale. Dacă se alege orientarea aelor SC, astfel încât: ϕ ϕ y ϕ X = Y = Z = (8)

4 epresia lui devine: X + Y + Z + XY + XZ + YZ = (9) yy y y Relaţia (9) repreintă ecuaţia unui elipsoid de revoluţie, de aceea se numeşte ecuaţia elipsoidului de inerţie. Dacă se alege originea SC în centrul de masă, iar aele acestuia sunt paralele cu aele de simetrie ale corpului, momentele centrifugale de inerţie se anuleaă (în acest ca elementele de masă sunt distribuite simetric în raport cu aa de rotaţie). Alegând succesiv direcţia aei de rotaţie, astfel încât ea să fie, pe rând, paralelă cu cele trei muchii reciproc perpendiculare ale paralelipipedului A, vom putea, mai întâi, calcula momentele de inerţie, yy,, după care putem verifica ecuaţia: = ϕ + ϕ + ϕ (0) yy y pentru direcţia diagonalei de volum a paralelipipedului, pentru care avem valorile inuşilor directori: a b ϕ = ϕ = ϕ = c () (am notat cu a, b, şi c laturile paralelipipedului). Fiând corpul astfel încât aa de rotaţie să treacă prin CM şi să fie paralelă cu una din muchiile acestuia (pe care o putem nota convenţional cu O), ecuaţia (3) devine: ω mv D mdgh= ( + ) + + Q () Scoţând acum corpul paralelipipedic şi lăsând din nou corpul D să cadă pe distanţa h: ω mv D md gh= + + Q putem, folosind ecuaţiile () şi (3) să calculăm pe. Având în vedere că mişcarea corpului D este uniform accelerată, v = h/t, iar ω = v/r (R este raa cilindrului C) şi admiţând că Q = Q, vom găsi: (3) = k( t t ) (4) R unde: k = ( h m gh Q D ) (5) Cu t şi t s-au notat timpii de cădere a corpului D pe distanţa h în preenţa, respectiv în absenţa corpului A. Repetând eperimentul pentru direcţiile y şi, vom obţine ecuaţii similare relaţiei (4) pentru yy,. Se fieaă apoi corpul, astfel încât diagonala sa mare să constituie aa da rotaţie; se măsoară şi în acest ca timpul de cădere, t. Înlocuind epresiile lui, yy şi în (0) reultă:

5 t at + bt + ct = y (6) De asemenea, se vor verifica valorile momentelor de inerţie, yy, găsite Fig. 3 folosind ecuaţii de tip (4) (în care Q 0) cu valorile aceloraşi mărimi, determinate prin calcul. Calculul acestora (vom lua ca eemplu calculul lui ) se face astfel (vei Fig. 4): b/ a/ c/ c/ a/ b/ = ( r ) dm = ρ ( y + ) ddy d = ρ y dy d d + ρ d d dy = b/ a/ c/ c/ a/ b/ = ρabc m b c b c ( + ) = ( + ) (7) nstalaţia eperimentală. Schema instalaţiei de lucru este preentată în Fig. 4. Se foloseşte, în calitate de rigid, un corp metallic paralelipipedic, A, ce poate fi montat în mai multe moduri într-un cadru metalic, B, ansamblul putându-se roti în jurul une ae fie, oriontale. Mişcarea de rotaţie a întregului ansamblu se produce lăsând să se desfăşoare un fir ce susţine un corp D, fir ce fusese înfăşurat pe cilindrul C, solidar cu aul. Fig. 4

6 Modul de lucru Se măsoară masele corpurilor cu care se lucreaă; "Se măsoară lungimea h a firului care este înfăşurat pe cilindrul C, precum şi dimensiunile a, b, c ale corpului A ; #Se măsoară timpul de cădere al corpului C cu cadrul gol, t, (fără corpul A); $Se fieaă corpul A, astfel încât să se rotească în jurul aei O şi se determină t ; se repetă eperimentul de 0 ori; %Se repetă operaţiile de la punctul 4, pentru a determina duratele t y şi t &Se fieaă corpul A, astfel încât să se rotească în jurul diagonalei de volum şi se determină t; se repetă eperimentul de 0 ori; 'Se completeaă tabelul de date eperimentale. Tabelul Determinarea momentelor de inerţie Nr. det. t t t y t t (kg m ) yy (kg m ) (kg m ) (kgm )... 0 (Se efectueaă calculul erorilor. Analia erorilor de măsură Evaluarea erorilor de măsură a momentelor de inerţie (de eemplu ) se face folosind ecuaţia: md R g = ( t t ) (8) h Aplicând metoda diferenţialei logaritmice vom găsi în final: m R h t t t t = (9) m R h t t t t Se va calcula eroarea relativă totală, ţinând cont de preciia instrumentelor de măsură utiliate.

Σχετικά έγγραφα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia