1 Γενικευµένη µέθοδος Pollard Γενικὴ Αρχή 1.1.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Γενικευµένη µέθοδος Pollard Γενικὴ Αρχή 1.1."

Transcript

1 Παραγοντοποίηση Καθηγητὴς ΝΓ Τζανάκης 12 εκεµβρίου 2007 Στὰ παρακάτω, ὑποτίθεται ὅτι εἶναι ἕνας πολὺ µεγάλος ἀριθµὸς καὶ ἕνας πρῶτος διαιρέτης του, τὸν ὁποῖο δὲν γνωρίζοµε Αὐτὸ ποὺ ἐπιδιώκοµε εἶναι ἡ εὕρεση ἑνὸς µὴ τετριµµένου διαιρέτη τοῦ, ὁ ὁποῖος διαιρεῖται ἀπὸ τὸν Συµβολισµός : Οταν γιὰ κάποιο ἀκέραιο γράφοµε, ἐννοοῦµε ἐκε ῖνο τὸν µοναδικὸ, τέτοιον ὥστε "!$#&% (' Αν ) εἶναι ὁµάδα, *),* συµβολίζει τὴν τάξη της Μία ἁπλῆ παρατήρηση εἶναι ἡ ἑξῆς : Αν /, τότε 012"!$#%3 ' :"!$#&% ' Αὐτὸ ϑὰ τὸ χρησιµοποιηθεῖ ἀρκετὲς ϕορὲς παρακάτω, δίχως νὰ γίνει ἰδιαίτερη µνεία 1 Γενικευµένη µέθοδος Pollard Κατ ἀρχάς, ἐπιλέγοµε µιὰ κατηγορία ὁµάδων διατρέχει τοὺς πρώτους Εἰδικώτερα, γιὰ τοὺς πρώτους, ποὺ διαιροῦν τὸν, καὶ οἱ ὁποῖοι ἀρχικῶς µᾶς εἶναι ἄγνωστοι, γνωρίζοµε µὲν τὸν τῦπο τῆς ὁµάδας )BA, ἄρα καὶ κάποιες σηµαντικὲς ἰδιότητές της, ἀλλὰ ὄχι τὴν ἴδια τὴν ὁµάδα Γιὰ παράδειγµα, µπορεῖ νὰ ξέροµε ὅτι )CAED1FHG A, δίχως ὅµως νὰ ξέροµε τὸν Παρ ὅλ αὐτά, πολλὲς ἰδιότητες τῆς FHG A, γιὰ γενικὸ, µᾶς εἶναι γνωστές Αν γιὰ ἕνα τουλάχιστον πρῶτο διαιρέτη τοῦ ὁ ἀριθµὸς *)BA* ἔχει κάποια καλὴ ἰδιότητα (ϐλ ἀµέσως παρακάτω), τότε ὁ µέγιστος κοινὸς διαιρέτης τοῦ καὶ ἑνὸς ἀριθµοῦ, ποὺ ὑπολογίζεται µέσῳ τῆς *)A* εἶναι µεγαλύτε ϱος τοῦ 1 Αν, δὲν εἶναι ἴσος µὲ τὸν, τότε πετύχαµε ἕνα µὴ τετριµµένο διαιρέτη τοῦ Γενικὴ Αρχή 11 Εστω )CA πεπερασµένη ὁµάδα, I :)CA καὶ συνάρτηση =K)>AMLONQP NR, ἔτσι ὥστε νὰ ἱκανοποιοῦνται οἱ ἑξῆς ἰδιότητες : 1 SIT *)>A* ' 2"!$#&% ' γιὰ κάθε πρῶτο διαιρέτη τοῦ 1

2 2 Αν γιὰ κάποιο N ἱκανοποιεῖται ἡ ' 9 S! #% ', τότε, γιὰ κάθε µὴ µηδενικὸ πολλαπλάσιο τοῦ, SI ' "!$#%3 ' Εστω πεπερασµένο N, 1 καὶ τὸ περιέχει ἕνα τουλάχιστον πολλαπλάσιο τοῦ ἀκεραίου *)CA* 2 Τότε, καθὼς τὸ διατρέχει τὶς τιµὲς τοῦ, ὁ % I ' (' παίρνει, µία τουλάχιστον ϕορά, τιµὴ µεγαλύτερη τοῦ 1 Πράγµατι, ἂν καὶ ὁ εἶναι πολλαπλάσιο τοῦ * )BA *, τότε, ἕνας προφανὴς συνδυασµὸς τῶν (1) καὶ (2) δείχνει ὅτι I ' 2"!$#&% ' Αρα, * % SIT ' (', ποὺ σηµαίνει ὅτι ὁ % SI ' (' εἶναι διαιρέτης τοῦ µεγαλύτερος τοῦ 1 Αν δὲν εἶναι ἴσος µὲ, τότε εἶναι ἕνας µὴ τετριµµένος διαιρέτης τοῦ 11 Κλασικὴ µέθοδος τοῦ Pollard Στὴ Γενικὴ Ἀρχὴ 11, κάνοµε τὶς ἑξῆς συγκεκριµένες ἐπιλογές : )BA,D /5G A, IT DQ!$#% µὲ ὁποιονδήποτε ϑετικὸ ἀκέραιο πρῶτο πρὸς τὸν Ση µειῶστε ὅτι, ἀν πάροµε στὴν τύχη ἕνα καί, ὑπολογίζοντας τὸν % (', τὸν ϐροῦµε, τότε, ἄλλο ποὺ δὲν ϑέλαµε! Πετύχαµε ἄκοπα µὴ τετριµµένο διαιρέτη τοῦ! Επιλέγοµε τώρα τὴ συνάρτηση ὡς ἑξῆς : / G A LON 6 A ' P 2ONR Η ἰδιότητα (1) τῆς Γενικῆς Ἀρχῆς 11 ἱκανοποιεῖται Πράγµατι, πρῶτον * )CA *TD* / A G *D δεύτερον, % < (' D, ἄρα καὶ % < ' D, ὁπότε A 3 :"!$#&% ' Επειδὴ *, ἡ τελευταία ἰσοδυναµία συνεπάγεται ὅτι A S! #% ', δηλαδή, C /5G A * ' S! #%3 ' Η ἰδιότητα (2) τῆς Γενικῆς Ἀρχῆς 11 ἱκανοποιεῖται, ἐπίσης ιότι, ἂν γιὰ κάποιο ϕυσικὸ ἀριθµὸ, A ' S! #% ', τότε "!$#%3 ', ἄρα :"!$#&% ' Συνεπῶς, ἂν εἶναι µὴ µηδενικὸ πολλαπλάσιο τοῦ, ἔστω D! " <0N, τότε $# MD '&% D πολλαπλάσιο τοῦ, ἄρα # B S! #% ', καὶ αὐτὸ συνεπάγεται ὅτι C ' D1 # S! #% ' Επιλέγοµε τώρα D ('*) )* ), / 0)21 3 µὲ 4 3 τοὺς 5 µικρότε ϱους περιττοὺς πρώτους ἀριθµούς, δηλαδή, 6KD87 D:9& ;CD:<, πχ τοὺς πρώτους, ποὺ εἶναι µικρότεροι τοῦ 100 καὶ ἐκθέτες => = 3, ἂς πο ῦµε, 0 ἢ 1, ἐνῶ = D Γενικά, ἂν ὅλοι οἱ πρῶτοι παράγοντες ἑνὸς 1 Στὴν πράξη, ἐµεῖς κατασκευάζοµε τὸ? καὶ πρέπει νὰ εἶναι τέτοιο ὥστε ὁ ὑπολογισµὸς τοῦ Ë FHGILKMGON$?4P νὰ µπορεῖ νὰ γίνει σὲ λογικὸ χρόνο 2 Αὐτὴ εἶναι ἡ καλὴ ἰδιότητα, στὴν ὁποίαν ἀναφερθήκαµε λίγο πρίν 2

3 ἀκεραίου εἶναι µικρότεροι ἀπὸ ἕνα ϕρᾶγµα καὶ οἱ ἐκθέτες τους εἶναι πάρα πολὺ µικροί, τότε ὁ ἀκέραιος χαρακτηρίζεται λεῖος 3 Μὲ αὐτὴ τὴν ὁρολογία, ϑὰ µπορούσαµε νὰ ποῦµε ὅτι τὸ εἶναι τὸ σύνολο τῶν λείων ἀκεραίων, µὲ, ἂς ποῦµε, 100 Θὰ πετύχει ἡ µέθοδος Pollard νὰ ἀνακαλύψει µὴ τετριµµένο διαιρέτη τοῦ, πολλαπλάσιο τοῦ ; Μὲ µεγάλες πιθανότητες ναί, ἂν ὁ εἶναι τέτοιος ὥστε ὁ νὰ εἶναι λεῖος γιὰ τὸ συγκεκριµένο, ποὺ ἐπιλέξαµε Πράγµατι, σ αὐτὴ τὴν περίπτωση, καθὼς τὸ ϑὰ διατρέχει τὸ σύνολο τῶν λείων ἀκεραίων, ϑὰ πέσει σὲ κάποιο πολλαπλάσιο τοῦ, ἔστω Τότε, σύµφωνα µὲ τὸ σχόλιο, ποὺ ἀκολούθησε ἀµέσως µετὰ τὴ Γενικὴ Ἀρχὴ 11, ὁ % C A ' (' εἶναι, µὲ µεγάλες πιθανότητες, µὴ τετριµµένος διαιρέτης τοῦ Παρατηρῆστε ὅτι % C A ' (' D % B (' D (' Μιὰ ἁπλοποίηση : Ἀντὶ τὸ νὰ διατρέχει τὸ ἀρκεῖ νὰ πάρει µόνο τὴν τιµὴ ' 3 1, ὅπου οἱ ( 3 εἶναι οἱ µέγιστες τιµὲς τῶν = = = 3 κατὰ τὴν κατασκευὴ τοῦ συνόλου Ἀντικαθιστοῦµε, δηλαδή, τὸ προηγούµενο ἀπὸ τὸ µονοσύνολο (' 3 1 Αὐτὸ διακαιολογε ῖται ἀπὸ τὸ ὅτι, ἂν τὸ ἀρχικὸ περιέχει ἕνα πολλαπλάσιο τοῦ *)BA*, τότε ὁ ἀριθµὸς ' 3 1 εἶναι πολλαπλάσιο τοῦ *)CA * Στὴν πράξη, ἐπειδὴ ἡ πιθανότητα νὰ διαιρεῖται ἕνας ἀριθµὸς ἀπὸ τὸ τετράγωνο ἑνὸς πρώτου εἶναι πολὺ µικρή (µὲ ἐξαίρεση τοὺς ἀρχικοὺς πολὺ µικροὺς πρώτους), µπορεῖ κανεὶς νὰ πάρει, γιὰ παράδειγµα, D1, D7, D D CD8' καὶ D γιὰ O Παράδειγµα τῆς κλασικῆς Pollard µὲ τὸ Maple 3 smooth 3

4 restart; with(numtheory): Warning, the protected name order has been redefined and unprotected The procedure below computes a^n modulo m dyn:=proc(a,n,m) local delta,x,e; delta:=1; x:=a; E:=N; while E > 0 do if E mod 2 =1 then delta:=(delta*x) mod m; E:=(E1)/2 ; else E:=E/2; fi; x:=xˆ2 mod m; od; delta; end: B:=[]: # set of small primes for i from 2 to 20 do B:=[op(B),ithprime(i)] od: B; 7&M9&M<& 7 <& M'7M' m:= ; 7!<M97M9 <&M< = D I = 7!'9& 9< g:=30; gcd(30,m); s:=2ˆ8: for i from 1 to 10 do s:=s*b[i] od: s; '9 <& <!'<7 d:=gcd(dyn(2,s,m)1,m); if d>1 then print( d is a nontrivial divisor of m; another one is ); d1:=m/d fi; = D!<' ' "!$#% & '( *) ifactor(d1); ' ' ; = D ' 7 ' ' 97 ' This shows that d1 is Bsmooth, which explains why Pollard s method worked in this example ifactor(d11); 4

5 ' ' <7 ' 7 This shows that d11 is not Bsmooth, but never mind! ' 5

6 ; 12 Αναγωγὴ ἐλλειπτικῆς καµπύλης Πρὶν προχωρήσοµε στὴν ἑπόµενη µέθοδο, ἡ ὁποία ἀποτελεῖ µία ἄλλη ἐξειδίκευση τῆς Γενικὴς Ἀρχῆς 11, ἀναφέροµε κάποια πράγµατα σχετικὰ µὲ τὴν ἀναγωγὴ µιᾶς ἐλλειπτικῆς καµπύλης modulo ἕνα πρῶτο 7 Πρὸς τὸ παρόν, ξεχνᾶµε τὸν καὶ τὸ ὅτι ὁ πρῶτος εἶναι διαιρέτης τοῦ Εστω ἡ ἐλλειπτικὴ καµπύλη µὲ ἐξίσωση = D ; C Η προβολικὴ ἐξίσωση τῆς εἶναι D ; L ; καὶ κάθε σηµε ῖο ' D µὲ ϱητὲς συντεταγµένες, ἂν τὸ δοῦµε ὡς προβολικὸ σηµεῖο, µπορεῖ νὰ πάρει τὴ µορφὴ OR, ὅπου οἱ OR εἶναι ἀκέραιο πρῶτοι µεταξύ τους Πχ ἂν ἕνα σηµεῖο τῆς καµπύλης ἦταν τὸ ; ; ', τότε αὐτό, προβολικά, ἰσοῦται µὲ ' ED 7 9 '& T καὶ % 79& '& ' D Αν ὁ πρῶτος εἶναι τέτοιος, ποὺ νὰ µὴ διαιρεῖ τὴ διακρίνουσα ; '< τῆς, τότε καὶ ἡ καµπύλη = D ; L ;, µὲ συντελεστὲς ἀπὸ τὸ σῶµα FA, ἡ λεγόµενη ἀναγωγὴ τῆς 8!$#&%, εἶναι ἐλλειπτικὴ καµπύλη, τῆς ὁποίας τὸ σύνολο τῶν σηµείων FA ' γίνεται πεπερασµένη ὁµάδα, ἂν ἐφοδιασθεῖ µὲ τὴν πράξη, ποὺ ὁρίζεται ἀπὸ τοὺς ἴδιους τύπους µὲ ἐκείνους στὴν περίπτωση τῆς E ', ἀλλά, στοὺς ὁποίους, οἱ ἀριθµητικὲς πράξεις γίνονται! #%& Εστω!1" # ',! D$, τὸ ὁποῖο γράφοµε µὲ προβολικὲς συντεταγµένες! D8 καὶ % 6 ' D1 Θέτοµε! D A A A Προφανῶς,! % FA ' Θέτοµε, ἐπίσης, D T A T A Ἀποδεικνύεται ὅτι ἡ ἀπεικόνιση # ' "! P! & E FA ' εἶναι ἐπιµορφισµὸς ὁµάδων Αυτὸ παίζει πολὺ σηµαντικὸ ϱόλο στὴ µέθοδο παραγοντοποίησης µέσῳ ἐλλειπτικῶν καµπύλων, ποὺ ϑὰ δοῦµε ἀµέσως παρακάτω Συµβολισµός : Εἶναι εὔκολο ν ἀποδειχθεῖ ὅτι κάθε σηµεῖο! D S ' E ', διάφορο τοῦ, ἔχει τὴ µορφὴ! D ' D (' ), * ), ' µὲ 0/ 01 ἀκε ϱαίους, / καὶ % 0/ ' D BD % #1 0/ ' Στὰ παρακάτω ϑὰ λέµε τὸ / πακαὶ ϑὰ τὸ συµβολίζοµε 2H3! ' Ἀφοῦ! D 4(/ 41 4/ A, ϱονοµαστὴ τοῦ! εἶναι ϕανερὸ ὅτι,! D 4! D$ εἴτε 2H3! ' "!$#%3 ' (1) 6

7 D 13 Μέθοδος ecm τῆς Ελλειπτικῆς καµπύλης Πρῶτα ἀπ ὅλα ἐπιλέγοµε µία ἐλλειπτικὴ καµπύλη D, ἡ ὁποία νὰ ἔχει ἕνα σηµεῖο! # ' ἄπειρης τάξεως, τῆς ὁποίας ἡ διακρίνουσα D ; '< εἶναι πρώτη πρὸς τὸν Παρατηρῆστε ὅτι ἐπιλέγονται αὐτοὶ δὲν εἶναι δύσκολοι περιορισµοί, διότι οἱ ἀκέραιοι αὐθαίρετα, µὲ ὅποιον τρόπο ϑέλοµε Λόγῳ τῆς συνθήκης % (' D1, ἡ ἀναγωγὴ τῆς καµπύλης!$#&%, δηλαδή, ἡ καµπύλη = D ;, εἶναι, ἐπίσης, ἐλλειπτική Τώρα, στὴ Γενικὴ Ἀρχὴ 11 κάνοµε τὶς ἑξῆς ἐπιλογές : )BA D FA ', IT D! καὶ γιὰ1" # ', καὶ EON ὁρίζοµε 3 ' ἂν D D 2H ' διαφορετικά Κατ ἀρχάς, παρατηροῦµε ὅτι ἂν $ ' D, τότε D, διότι, ἂν 42H ' 7 D, τότε (ἀφοῦ * ), 2H ' 2H ' 7 D S! #% ' καὶ τώ ϱα, ἀπὸ τὴν (1) ἕπεται ὁ ἰσχυρισµός Η ἰδιότητα (1) τῆς Γενικῆς Ἀρχῆς 11 ἱκανοποιεῖται Πράγµατι, Εστω = D * E FA ' * Τότε, =!D, ἄρα, λόγῳ ὁµοµορφισµοῦ, =! D Επειδὴ τὸ! εἶναι στοιχεῖο ἄπειρης τάξεως στὴν ὁµάδα E ', ἕπεται ὅτι =! D, ἄρα ἡ τελευταία ἰσότητα εἶναι δυνατὸν νὰ συµβαίνει µόνο ἂν 2H=! ' S! #% ' Επειδὴ *, ἡ τελευταία ἰσοδυναµία συνεπάγεται τὴν 42H=! ' :"!$#&% ', ἄρα!3= ' :"!$#&% ' Η ἰδιότητα (2) τῆς Γενικῆς Ἀρχῆς 11 ἱκανοποιεῖται ἐπίσης Πράγµατι, ἔστω ὅτι για κάποιον N ἰσχύει! ' :"!$#&% ' καὶ D! εἶναι ϑετικὸ ἀκέραιο πολλαπλάσιο τοῦ Η ὑποθεση συνεπάγεται ὅτι ὁ παρονοµαστὴς τοῦ! διαιρεῖται διὰ, ἄρα!d Λόγῳ ὁµοµορφισµοῦ, τότε,! D, ἄρα καὶ!d, δηλαδή, D!D! καί, ἐπειδὴ!, ἡ τελευταία ἰσότητα εἶναι δυνατὴ µόνο ἂν 2H! ' S! #% ', δηλαδή, ἂν! ' S! #% ' Η ἐπιλογὴ τοῦ συνόλου γίνεται ὅπως στὴν ἑνότητα 11 Η παρατήρηση, ποὺ ἔγινε ἐκεῖ, γιὰ τὴν ἀναγωγὴ τοῦ συνόλου σὲ µονοσύνολο, ἰσχύει καὶ ἐδῶ Πότε εἶναι δυνατὸν νὰ δουλέψει ἡ µέθοδος τῆς ἐλλειπτικῆς καµπύλης ; Αν ὁ ἀκέραιος * FA ' * εἶναι λεῖος Ποιὰ ἡ διαφορὰ καὶ τὸ πλεονέκτηµα αὐτῆς ἐδῶ τῆς µεθόδου ; Οτι, επιλέγοντας διαφορετικὰ, παίρνοµε µιὰ µεγάλη ποικιλία καµπύλων, ἄρα µεγάλη ποικιλία ὁµάδων E FA ' καί, µὲ µεγάλη πιθανότητα, κάποιας ἀπὸ αὐτὲς τὶς ὁµάδες E FA ' ἡ τάξη ϑὰ εἶναι = ; 7

8 ' ) λεῖος ἀριθµός Ἀκριβέστερα, εἶναι γνωστὸ ὅτι ' 1* FA ' * καί, καθὼς µεταβάλλεται ἡ καµπύλη ' (δηλαδή, καθὼς µεταβάλλονται οἱ συντελεστὲς < ), ἡ τάξη * FA ' * καλύπτει πολὺ καλὰ τὸ διάστηµα ', ἄρα, σ ἕνα τέτοιο µεγάλο διάστηµα κάποια τιµὴ ἐλπίζει κανεὶς ὅτι ϑὰ εἶναι λεία Αν καὶ δὲν ἔχει ἀποδειχθεῖ κάτι τέτοιο, ὅλες οἱ πειραµατικὲς ἐνδείξεις συνηγοροῦν στὸ ὅτι ἔτσι ἔχουν τὰ πράγµατα Σηµαντικὸ σχόλιο Στὸν ὁρισµὸ τῆς συνάρτησης $ ' ϐλέποµε ὅτι ἀ παιτεῖται ὁ ὑπολογισµὸς τοῦ ἀριθµοῦ 42 " ' Στὴν πράξη, εἶναι ἀνέφικτος ὁ ὑπολογισµὸς τοῦ ἀκόµη καὶ γιὰ µετρίου µεγέθους (πχ τῆς τάξεως τοῦ ) καὶ γι αὐτό, κάθε ϐῆµα τοῦ ἀλγορίθµου γιὰ τὸν ὑπολογισµὸ τοῦ γίνεται!$#&% Αὐτὸ εἶναι ἐντελῶς ἀνάλογο µὲ τὴν περίπτωση ὑπολογισµοῦ τοῦ " 7 γιὰ / καὶ µεγάλο ϑετικὸ ἀκέραιο : ὲν ὑπολογίζοµε πρῶτα τὸν " καὶ µετὰ κάνοµε τὴ διαίρεση διὰ, ἀλλὰ σὲ κάθε ϐῆµα τοῦ ἀλγορίθ µου ὕψωσης σὲ δύναµη οἱ πράξεις τοῦ πολλαπλασιασµοῦ γίνονται! #% Επανερχόµενοι στὴν ἐλλειπτικὴ καµπύλη, παρατηροῦµε ὅτι, γιὰ σύνθετο, τὸ σύνολο τῶν ' / L/K, ποὺ ἐπαληθεύουν τὴν D ; Cδὲν ἀποτελεῖ ὁµάδα καὶ ἔτσι δὲν ὁρίζεται πρόσθεση σηµείων τῆς ἐλλειπτικῆς καµπύλης!$#&% Παρ ὅλ αὐτά, µποροῦµε νὰ ἐπεκτείνοµε τὸν ἀλγό ϱιθµο πρόσθεσης σηµείων τῆς ἐλλειπτικῆς καµπύλης σὲ ἕναν ἀλγόριθµο, ὁ ὁποῖος, ἢ ϑὰ ὑπολογίσει γρήγορα τὶς συντεταγµένες τοῦ!$#&%, ἢ ϑὰ ἐπιστρέψει τὸ (πού, ἁπλῶς, σηµαίνει ὅτι 42 " ' D ), ἢ ϑὰ ἐπιστρέψει ἕνα µὴ τετριµµένο διαιρέτη τοῦ Περισσότερα γι αὐτὸν τὸν ἀλγόριθµο καὶ µία ὑλοποίησή του µὲ παράδειγµα στὸ Maple, ϐλ κεφάλαιο Ἀλγόριθµος γιὰ τὸ ἄθροισµα!$#% σηµείων ἐλλειπτικῆς καµπύλης 2 Η µέθοδος τοῦ Pollard Ας ὑποθέσοµε ὅτι 5 εἶναι ἕνας µὴ τετριµµένος διαιρέτης ἑνὸς σύνθετου ϕυσικοῦ ἀριθµοῦ = Εστω S ' / 6 ἕνα πολυώνυµο τουλάχιστον δευτέρου ϐαθµοῦ Η µέθοδος αὐτὴ στηρίζεται στὴν ὑπόθεση ὅτι, ἂν ἐπιλέξει κανεὶς καὶ ὁρίσει ἀναδροµικὰ τυχαῖο CO/ RD S ' (2) ἡ προκύπτουσα συνάρτηση / 3 P / 3 µὲ τὴν ἰδιότητα 3 P 3, 3 P 3, 3 P "; 3, ἔχει τυχαία συµπεριφορά, ἂρα εἶναι πολὺ πιθανὸ ὅτι ὕστερα ἀπὸ ὄχι µεγάλο ἀριθµὸ ἐπαναληπτικῶν ϐηµάτων, ϑὰ ἔχουν ϐρεθεῖ 8

9 ὑποδεῖκτες H, τέτοιοι ὥστε 3 D 3, ἄρα 5 * % S = ', ὁπότε ἐλπίζει κανεὶς ὅτι % S = ' εἶναι µὴ τετριµµένος διαιρέτης τοῦ = Η τυχαία συµπεριφορὰ τῆς συνάρτησης / 3 P / 3, ποὺ προκύπτει µὲ τὴν παραπάνω διαδικασία, στηρίζεται, πρὸς τὸ παρόν, σὲ ἐµπειρικὰ δεδοµένα Η ϕράση «εἶναι πολὺ πιθανὸ ὅτι ὕστερα ἀπὸ ὄχι µεγάλο ἀριθµὸ ἐπαναληπτικῶν ϐηµάτων» στηρίζεται στὴν ἑξῆς Πρόταση 21 Εστω πεπερασµένο σύνολο µὲ πληθάριθµο 5 Εστω ϑετικὸς πραγµατικὸς ἀριθµὸς, τέτοιος ὥστε ὁ OD ' "5 νὰ εἶναι µικρότερος ἀπὸ τὸν 5 Γιὰ κάθε ( καὶ κάθε συνάρτηση I = P ὁρίζοµε τὴν ἀναδροµικὴ ἀκολουθία! µέσῳ τῆς DI ', ὅπου τὸ εἶναι αὐθαίρετο Τότε, τὸ ποσοστὸ τῶν Ϲευγαριῶν ' µὲ τὴν ἰδιότητα τὰ T νὰ εἶναι διαφορετικὰ µεταξύ τους, εἶναι µικρότερο ἀπὸ 4 Γιὰ τὴν περίπτωση ποὺ ἐξετάζοµε, 5 καὶ οἱ συναρτήσεις µας εἶναι τῆς µορφῆς I ' D ' 3, ὅπου εἶναι πολυώνυµο µὲ ἀκέραιους συντελεστὲς καὶ 5 εἶναι (ἄγνωστος σ ἐµᾶς) διαιρέτης τοῦ = Αν ϑεωρήσοµε τὰ ὅπως στὴν (2) καὶ ϑέσοµε KD 3 ' τότε T καὶ DQI ', ἄρα ἐφαρµόζεται ἡ πρόταση 21 Ετσι ὅπως περιγράφεται ἡ µέθοδος αὐτή, ϕαίνεται ἀναγκαῖο, γιὰ κάθε πράξη, αὐτὸ µπορεῖ νὰ ἀποφευχθεῖ ἀρκετὰ εὔκολα = ' γιὰd Στὴν Κάνοµε πρῶτα τὴν ἑξῆς ἁπλῆ παρατήρηση : Αν 3 D 3 γιὰ κάποιους διαφορετικούς, ἐν γένει, δεῖκτες H, τότε 3 D 3 Πράγµατι, λόγῳ τῆς (2) καὶ τῆς ὑποθέσεως "!$#&% 5 ', δείκτη, νὰ ὑπολογίζεται ὁ % S S ' S ' S! #% 5 ' ἄρα 3 D 3 Τώρα, προχωρώντας ἐπαγωγικά, καταλήγοµε στὴ σχέση 3 D 3 γιὰ '& ιαφορετικὰ διατυπωµένη, αὐτὴ ἡ τελευταία σχέση λέει ὅτι : Αν 3 D 3, τότε, γιὰ ὁποιοδήποτε ἄλλο Ϲεῦγος δεικτῶν ( µὲ (RD, ἰσχύει 3 D 3 Επειδὴ τώρα, γιὰ κάθε Ϲεῦγος δεικτῶν ὑπάρχει (ἕνας µοναδικὸς) ἀκέραιος, τέτοιος ὥστε ' ', 5 ἀρκεῖ, γιὰ κάθε νὰ ὑπολογίζοµε τὸν % = ', µόνο γιὰ τὸ D ', ὅπου τὸ πλῆθος τῶν δυαδικῶν ψηφίων τοῦ 4 Proposition V21 στὸ [1] 5 ηλαδή, εἶναι τὸ πλῆθος τῶν δυαδικῶν ψηφίων τοῦ 9

10 ἀριθµός, D 3 Παραγοντοποίηση Fermat καὶ ἡ µέθοδος τῶν συνεχῶν κλασµάτων Εστω = περιττὸς ἀριθµός, ὁ ὁποῖος ἔχει πιστοποιηθεῖ ὡς σύνθετος Ας ὑποθέσοµε ὅτι =8D, γιὰ κάποιους (περιττοὺς) ἀκεραίους Ισχύει ἡ στοιχειώδης ταυτότητα = D ' ' Αν ὁ εἶναι πολὺ κοντὰ στὸν, ὁπότε ὁ = ED ' ' ' εἶναι πολὺ, γιὰ ' µικρός, τότε ὁ ' εἶναι ἕνας ἀκέραιος τῆς µορφῆς =H κάποιο πολὺ µικρὸ ϕυσικὸ ἀριθµὸ, µὲ τὴν ἰδιότητα = ' =D ' τέλειο τετράγωνο Μὲ αὐτὸν τὸν τρόπο ϐρίσκονται ταχύτατα τὰ ', ἄρα καὶ τὰ Παράδειγµα : Εστω Εδῶ =H >D 9'!' καὶ ὑπολογίζοντας 9'!' ' = γιὰ τὶς διάφορες ϕυσικὲς τιµὲς τοῦ, διαπιστώνοµε ὅτι ' ' 9' ' 7 ' = Αρα, ' D " 'MD 9'!9 καί, συνεπῶς, D 97 D 9' Ἀπὸ τὰ παραπάνω συµπεραίνοµε ὅτι, ἂν καταφέροµε νὰ γράψοµε τὸν = ὡς διαφορὰ δύο τετραγώνων, τότε πετύχαµε και τὴν παραγοντοποίησή του Στὴν καὶ ὁ εἶναι πολὺ κοντὰ πράξη, αὐτὸ µπορεῖ νὰ ἐπιτευχθεῖ µόνο ἂν = D στὸν Τί ϑὰ γινόταν ἄν, ἀντὶ µιᾶς σχέσης D: =, ἀναζητούσαµε τέτοια ὥστε = γιὰ κάποιον ἀκέραιο ; Αὐτὸ ϑὰ σήµαινε εὕρεση τέτοιων ὥστε / S! #% = ' Αν καταφέρναµε νὰ ϐρίσκαµε τέτοια µὲ "!$#&% = ', τότε οἱ % S = ' % S = ' εἶναι δύο µὴ τεριµµένοι διαιρέτες τοῦ = Προσπαθοῦµε, λοιπόν, νὰ ϐροῦµε ἕνα σχετικῶς µικρὸ σύνολο ἀποτελούµενο ἀπὸ µικροὺς πρώτους καὶ τὸ, καὶ διάφορους ἀκεραίους '& µὲ τὴν ἰδιότητα Τὸ ἐλάχιστο κατ ἀπόλυτη τιµὴ ὑπόλοιπο τοῦ "!$#&% = ' νὰ εἶναι δηλαδή, νὰ ἐκφράζεται ὡς γινόµενο πρώτων τοῦ Εστω D 4 καὶ ἂς ὑποθέσοµε ὅτι ϐρήκαµε, τέτοια ὥστε "!$#% = ' '& ' ( D 3 ) καὶ ', H "!$#&% ' ' γιὰ 10

11 D * Τότε, ϑέτοντας >D ' καὶ ἐλπίζοµε ὅτι ἡ παραπάνω ἰσοδυναµία τῆς µορφῆς εἶναι τετριµµένη, δηλαδή, ἰσχύει γιὰd '&, ἔχοµε ὅτι S! #% = ' S! #% = ' 31 Η µέθοδος τῶν συνεχῶν κλασµάτων / "!$#&% = ', δὲν Η ϐασικὴ ἰδέα τῆς µεθόδου εἶναι νὰ χρησιµοποιήσει τὰ ἀναγωγήµατα (convergents) τοῦ συνεχοῦς κλάσµατος 6 τοῦ = προκειµένου νὰ ϐρεθοῦν µὲ πιὸ συστηµατικὸ τρόπο ἀκέραιοι µὲ τὶς παραπάνω ἰδιότητες Στηρίζεται στὴν ἑξῆς Πρόταση 31 Εστω πραγµατικὸς ἀριθµὸς καὶ ' ' τὰ ἀναγωγήµατα τοῦ συνεχοῦς κλάσµατος τοῦ * Τότε, γιὰ κάθε, *! Η ἀπόδειξη στηρίζεται στὰ ἑξῆς : (α ) Γιὰ κάθε, οἱ ἀριθµοὶ καὶ ἀπέχουν (ϐ ) Γιὰ ἄρτιο,, ἐνῶ γιὰ περιττό, Ἀπὸ αὐτὰ προκύπτει, εἰδικώτερα, ὅτι Οπότε ' *!! ' ' ' D ' *TD '! ' καὶ D Ας πάροµε τώρα D = Τότε,!! = S! #% = ', ἐνῶ, ἀπὸ τὴν Πρόταση 31, *4! = ' = Αὐτὸ συνεπάγεται ὅτι τὸ ἐλάχιστο κατ ἀπόλυτη τιµὴ ὑπόλοιπο τοῦ!!$#&% = εἶναι κατ ἀπόλυτη τιµὴ ' =, ἄρα, πολὺ πιθανόν, εἶναι ἀριθµός 6 Στὴν ἱστοσελίδα τοῦ Τµήµατος ϑὰ ϐρεῖτε µεταφρασµένη τὴ «Θεωρία Ἀριθµῶν» τοῦ IM Vinogradov, ὅπου ἐκτίθεται πολὺ ἁπλά ἡ ἐντελῶς ϐασικὴ ϑεωρία τῶν συνεχῶν κλασµάτων, ἡ ὁποία µᾶς χρειάζεται ἐδῶ 11

12 Αναφορὲς [1] N Koblitz, A course in Number Theory and Cryptography, Graduate Texts in Math, vol 114, SpringerVerlag, Berlin and New York,

Εὐκλείδεια Γεωµετρία

Εὐκλείδεια Γεωµετρία Εὐκλείδεια Γεωµετρία Φθινοπωρινὸ Εξάµηνο 010 Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Μάθηµα 9 ευτέρα 18-10-010 Συνοπτικὴ περιγραφή Υπενθύµιση τοῦ Θεωρήµατος τοῦ Θαλῆ. εῖτε καὶ ἐδάφιο 7.7 τοῦ σχολικοῦ ϐιβλίου. Τονίσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Θεµελιωδης Θεωρια Αριθµων

Θεµελιωδης Θεωρια Αριθµων Θεµελιωδης Θεωρια Αριθµων Ν.Γ. Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών - Πανεπιστήµιο Κρήτης 30 Σεπτεµβρίου 2008 2 Περιεχόµενα 1 ιαιρετότητα 3 1.1 Βασικὲς προτάσεις.......................... 3 1.2 Μέγιστος κοινὸς διαιρέτης......................

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α ἤ 01ο (01-52) 01-05 Ὁ Λόγος εἶναι Θεὸς καὶ ημιουργὸς τῶν πάντων Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα καὶ ἦταν Θεὸς ὁ Λόγος. Αὐτὸς ἦταν στὴν ἀρχὴ μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Συνόλων - Set Theory

Θεωρία Συνόλων - Set Theory Θεωρία Συνόλων - Set Theory Ἐπισκόπηση γιὰ τὶς ἀνάγκες τῶν Πρωτοετῶν Φοιτητῶν τοῦ Τµήµατος Διοίκησης, στὸ µάθηµα Γενικὰ Μαθηµατικά. Ὑπὸ Γεωργίου Σπ. Κακαρελίδη, Στὸ Τµῆµα Διοίκησης ΤΕΙ Δυτικῆς Ἑλλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux.

Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux. Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux. Μακρῆς Δημήτριος, Φυσικός. mailto: jd70473@yahoo.gr 1. Εἰσαγωγή. Τὸ πολυτονικὸ σύστημα καταργήθηκε τὸ 1982. Δὲν θὰ ἀσχοληθοῦμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ. Ποιήματα

Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ. Ποιήματα Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ Ποιήματα ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Αὒγουστος 2011 12 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Χριαστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ Ποιήματα Τεῦχος 12 - Αὒγουστος 2011 ISSN: 1792-4189 Μηνιαία

Διαβάστε περισσότερα

ICAMLaw Application Server Χειροκίνηση Ἀναβάθμιση

ICAMLaw Application Server Χειροκίνηση Ἀναβάθμιση Εἰσαγωγή Ὁ ICAMLaw Application Server (στὸ ἑξῆς γιά λόγους συντομίας IAS) ἀποτελεῖ τὸ ὑπόβαθρο ὅλων τῶν δικηγορικῶν ἐφαρμογῶν τῆς ICAMSoft. Εἶναι αὐτός ποὺ μεσολαβεῖ ἀνάμεσα: α) στὴν τελική ἐφαρμογὴ ποὺ

Διαβάστε περισσότερα

(Θ. Λειτουργία Ἰωάννου Χρυσοστόμου)

(Θ. Λειτουργία Ἰωάννου Χρυσοστόμου) Οἱ πιστοὶ ὑπὲρ τῶν κατηχουμένων δεηθῶμεν. Ἵνα ὁ Κύριος αὐτοὺς ἐλεήσῃ. Κατηχήσῃ αὐτοὺς τὸν λόγον τῆς ἀληθείας. Ἀποκαλύψῃ αὐτοῖς τὸ εὐαγγέλιον τῆς δικαιοσύνης. Ἑνώσῃ αὐτοὺς τῇ ἁγίᾳ αὐτοῦ καθολικῇ καὶ ἀποστολικῇ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ Τὰ Ἕξι μεγάλα ἐρωτήματα τῆς δυτικῆς μεταφυσικῆς καταλαμβάνουν μιὰ ξεχωριστὴ θέση στὴν ἱστορία τῆς φιλοσοφικῆς ἱστοριογραφίας. Ὁ συγγραφέας του βιβλίου, Χάιντς Χάιμζετ (1886-1975),

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ

ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 2015 ἀριθμ. πρωτ.: 181.- ΑΓΙΟΝ ΠΑΣΧΑ 12 ΑΠΡΙΛΙΟΥ ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ Πρὸς τὸν ἱερὸ Κλῆρο καὶ τὸν εὐσεβῆ Λαὸ τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως

Διαβάστε περισσότερα

Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων

Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων Γεώργιος Κοντόπουλος Ἀκαδημία Ἀθηνῶν 1) Εἰσαγωγή Mία ἀπὸ τὶς μεγαλύτερες ἀνακαλύψεις ὅλων τῶν ἐποχῶν εἶναι τὸ ὅτι οἱ φυσικοὶ νόμοι εἶναι παγκόσμιοι. Δηλαδὴ οἱ ἴδιοι φυσικοὶ νόμοι

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος».

Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος». ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 18 Πρὸς Ἅπαντας τοὺς Ἐφημερίους τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως. Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος». Ἀγαπητοὶ Πατέρες, Ἐξ αἰτίας τοῦ ὅτι παρατηρεῖται

Διαβάστε περισσότερα

ODBC Install and Use. Κατεβάζετε καὶ ἐγκαθιστᾶτε εἴτε τήν ἔκδοση 32bit εἴτε 64 bit

ODBC Install and Use. Κατεβάζετε καὶ ἐγκαθιστᾶτε εἴτε τήν ἔκδοση 32bit εἴτε 64 bit Oἱ ἐφαρμογές Law4 χρησιμοποιοῦν τὸν Firebird SQL Server 32 ἤ 64 bit, ἔκδοση 2.5.x Γιὰ νὰ κατεβάσετε τὸν ODBC πηγαίνετε στό site www.firebirdsql.org στήν δ/νση http://www.firebirdsql.org/en/odbc-driver/

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Stream ciphers Η διαδικασία κωδικοποίησης για έναν stream cipher συνοψίζεται παρακάτω: 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας μας.

Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας μας. ΕΚΚΛΗΣΙΑ & ΕΘΕΛΟΝΤΙΣΜΟΣ ΕΝΟΡΙΑ & ΔΙΑΚΟΝΙΑ ΑΣΘΕΝΩΝ Σεβασμιώτατε, Αἰδεσιμολογιώτατοι, Πρωτοπρεσβύτερος π. Βασίλειος Κοντογιάννης Ἐφημ. ΙΠΠΟΚΡΑΤΕΙΟΥ Γ.Ν.Α. Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X

Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X eutypon32-33 2014/11/30 12:03 page 19 #23 Εὔτυπον, τεῦχος 32-33 Ὀκτώβριος/October 2014 19 Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X Ἰωάννης Α. Βαμβακᾶς Ιωάννης Α. Βαμβακᾶς Παπαθεοφάνους 12 853 00 Κῶς Η/Τ: gavvns

Διαβάστε περισσότερα

Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο

Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο (Μιὰ πρώτη προσέγγιση στὸ θέμα) Εἰπώθηκε, πὼς ὁλόκληρο τὸ Ἅγιον Ὄρος μοιάζει μὲ τὸ Καθολικὸ ἑνὸς ἰεροῦ Ναοῦ καὶ ὅτι ἡ περιοχὴ ἀπὸ τὴν Ἁγία Ἄννα καὶ πέρα εἶναι τὸ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων

Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων Εἰσαγωγὴ Μιὰ ἀπὸ τὶς βασικὲς πρόσθετες δυνατότητες τῆς ἔκδοσης 3 τῶν ἰατρικῶν ἐφαρμογῶν μας, εἶναι ἡ δυνατότητα συσχετισμοῦ ὅσων ψηφιακῶν ἀρχείων ἀπαιτεῖται στὴν

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17 Πρὸς Ἅπαντας τοὺς Ἐφημερίους τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως. ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17 Θέμα: «Περὶ τῆς νομιμότητας τελέσεως τοῦ Μυστηρίου τοῦ Βαπτίσματος ἀνηλίκων». Ἀγαπητοὶ Πατέρες, Σχετικὰ μὲ τὶς προϋποθέσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ

ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ 1 ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ χαλ νωτη γλ σσα Ἡ γλῶσσα εἶναι ἕνα ἀπὸ τὰ σημαντικότερα μέλη τοῦ ἀνθρώπινου ὀργανισμοῦ. Σὲ σύγκριση μὲ ἄλλα ἀνθρώπινα μέλη, ὅπως γιὰ παράδειγμα τὰ χέρια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ. Γιατὶ τὸ Βυζάντιο. Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292.

Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ. Γιατὶ τὸ Βυζάντιο. Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292. Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ Γιατὶ τὸ Βυζάντιο Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292. Κατ ἐπανάληψιν ἔχει ἐπισημανθῆ ὅτι ἐπιβάλλεται νὰ ἀναθεωρήσουμε ἐμεῖς οἱ Ἕλληνες τὴν ὀπτικὴ εἰκόνα ποὺ ἔχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989. Ἡ Θεία Κοινωνία.

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989. Ἡ Θεία Κοινωνία. ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989 Ἡ Θεία Κοινωνία κατ οἶκον Θεσσαλονίκη 2008 Κάποιοι συσχετίζουν κάκιστα τὴν παρουσία τοῦ ἱερέως στό

Διαβάστε περισσότερα

LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò

LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò Μὲ τὴν εὐκαιρία τῆς μνήμης τοῦ Ἁγίου ἐνδόξου Ἀποστόλου καὶ πρώτου Ἁγιογράφου, Εὐαγγελιστοῦ Λουκᾶ (18η Ὀκτωβρίου) καὶ πρὸς τιμήν Του, πραγματοποιήθηκε, μὲ τὴν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

μαθη ματικῶν, ἀλλὰ καὶ τὴ βαθιά του ἐκτίμηση γιὰ τὴ χαϊντεγκεριανὴ ἱστορικὴ κατανόηση τοῦ ἀνθρώπινου κόσμου. Καταγράφοντας ὅλες αὐτὲς τὶς ἐπιδράσεις,

μαθη ματικῶν, ἀλλὰ καὶ τὴ βαθιά του ἐκτίμηση γιὰ τὴ χαϊντεγκεριανὴ ἱστορικὴ κατανόηση τοῦ ἀνθρώπινου κόσμου. Καταγράφοντας ὅλες αὐτὲς τὶς ἐπιδράσεις, ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τὸ βιβλίο αὐτὸ εἶναι προϊὸν μακρόχρονης ἐξέλιξης. Γιὰ εἴκοσι περίπου χρόνια, τὸ ἐνδιαφέρον μου γιὰ τὸν Φρέγκε ἀποτέλεσε μέρος ἑνὸς ὁδοιπορικοῦ ποὺ ξεκίνησε ἀπὸ τὸ Μόναχο καί, μέσω τῆς Ὀξφόρδης

Διαβάστε περισσότερα

Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία

Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία Ἀλήθεια, πόσο σημαντικὸ εἶναι τὸ θέμα τῆς διατροφῆς. Εἴμαστε αὐτὸ ποὺ τρῶμε, λένε μερικοὶ ὑλιστὲς φιλόσοφοι. Καὶ ἐννοοῦν τίποτα παραπάνω. Ἡ λογικὴ αὐτὴ εἶναι λίγο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

μπορεῖ νὰ κάνει θαύματα. Ἔτσι ὁ ἅγιος Νέστωρ, παρότι ἦταν τόσο νέος, δὲν λυπήθηκε τὴν ζωή του καὶ ἦταν ἕτοιμος νὰ θυσιάσει τὰ πάντα γιὰ τὸν Χριστό.

μπορεῖ νὰ κάνει θαύματα. Ἔτσι ὁ ἅγιος Νέστωρ, παρότι ἦταν τόσο νέος, δὲν λυπήθηκε τὴν ζωή του καὶ ἦταν ἕτοιμος νὰ θυσιάσει τὰ πάντα γιὰ τὸν Χριστό. Ο Μ Ι Λ Ι Α ΤΗΣ Α.Θ.ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΤΟΣ ΤΟΥ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΟΥ ΠΑΤΡΙΑΡΧΟΥ κ.κ. Β Α Ρ Θ Ο Λ Ο Μ Α Ι Ο Υ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΠΙΣΚΕΨΙΝ ΑΥΤΟΥ ΕΙΣ ΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΟΥ (25 Ὀκτωβρίου 2013) Ἱερώτατε καὶ φίλτατε ἐν Χριστῷ ἀδελφὲ

Διαβάστε περισσότερα

Ὁ Γάμος. Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι,

Ὁ Γάμος. Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι, Ὁ Γάμος Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι, ὲ λίγες ἡμέρες πρόκειται νὰ ἑνωθεῖτε μὲ τὰ δεσμὰ τοῦ Γάμου διὰ τῶν εὐλογιῶν τῆς Ἁγίας Ἐκκλησίας τοῦ Κυρίου μας. Αὐτὸ τὸ γεγονὸς χρειάζεται ὡς καταλύτη τὸν τελειωτῆ καὶ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι.

Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι. Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι. Σὰ τελευταῖα χρόνια καὶ ἰδιαίτερα μετὰ τὸ ἄνοιγμα τῶν συνόρων τῶν χωρῶν τῆς ἀνατολικῆς Εὐρώπης, ἀλλὰ καὶ γειτόνων χωρῶν

Διαβάστε περισσότερα

Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ. Χριστοῦ, ποὺ ἀποτελεῖ τὴν κορυφαία πράξη τοῦ Θεοῦ νὰ σώσει τὸν

Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ. Χριστοῦ, ποὺ ἀποτελεῖ τὴν κορυφαία πράξη τοῦ Θεοῦ νὰ σώσει τὸν Χριστούγεννα 2013 Ἀρ. Πρωτ. 1157 Πρός τό Χριστεπώνυμο πλήρωμα τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως Χριστὸς γεννᾶται, δοξάσατε. Ἀδελφοί μου ἀγαπητοί, Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ Χριστοῦ,

Διαβάστε περισσότερα

Παραθέτουμε απόσπασμα του άρθρου: ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ ΑΠΙΣΤΕΥΤΟΝ- Οι Ιεχωβάδες και οι Μασόνοι κεφάλαια εις το βιβλίον των θρ

Παραθέτουμε απόσπασμα του άρθρου: ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ ΑΠΙΣΤΕΥΤΟΝ- Οι Ιεχωβάδες και οι Μασόνοι κεφάλαια εις το βιβλίον των θρ Με ένα από τα αγαπημένα της θέματα ασχολήθηκε για μια ακόμη φορά, στο φύλλο 1991 της 27ης Σεπτεμβρίου 2013, η εφημερίδα ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ. Αιτία, το κεφάλαιο του βιβλίου των Θρησκευτικών που διδάσκεται στην

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

BYZANTINA ΣΥΜΜΕΙΚΤΑ 23 (2013) 279-283

BYZANTINA ΣΥΜΜΕΙΚΤΑ 23 (2013) 279-283 Paul Canart, Études de paléographie et de codicologie reproduites avec la collaboration de Maria Luisa Agati et Marco D Agostino, τόμ. I-II [Studi e Testi 450-451], Città del Vaticano 2008, σσ. XXVIII+748+VI+749-1420.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ιστορία Ασύμμετρης Κρυπτογραφίας Η αρχή έγινε το 1976 με την εργασία των Diffie-Hellman

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α κα Μαρία Παπαθανασίου, ἐπίκ. καθηγήτρια ΤΕΙ Ἀθηνῶν 7/2/2005 Ἡ ἱεραρχία τῶν ἀνθρώπινων ἀναγκῶν, σύμφωνα μὲ τὸν Α. Maslow, εἶναι ἡ ἑξῆς:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΙΜΕΝΟ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΙΜΕΝΟ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 23 ΜΑΪΟΥ 2006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΚΕΙΜΕΝΟ Έχει παρατηρηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΤΟ EXCEL I K ΗΜΗΤΡΙΟΥ 17 1. Γράφηµα συνάρτησης µιας µεταβλητής ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Θα σχεδιάσοµε µε το Excel το γράφηµα της συνάρτησης y=sin(x), x [0,2π], για να επιδείξοµε γενικότερα τη

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΥΣΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΤΟ ΓΛΥΠΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΤΗΣ ΕΛΕΝΗΣ ΠΟΤΑΓΑ*

H ΜΥΣΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΤΟ ΓΛΥΠΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΤΗΣ ΕΛΕΝΗΣ ΠΟΤΑΓΑ* H ΜΥΣΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΤΟ ΓΛΥΠΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΤΗΣ ΕΛΕΝΗΣ ΠΟΤΑΓΑ* Κ ΑΠΟΤΕ ΥΠΗΡΧΕ ΜΙΑ ΜΟΝΟ ΤΕΧΝΗ, αὐτὴ ποὺ θὰ ὑπάρχει στοὺς αἰῶνες, ὅσο βέβαια θὰ ὑπάρχουν ἄνθρωποι ἐπὶ τῆς γῆς ἐννοοῦμε τὴν ἱερὴ καὶ τελετουργικὴ

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

Φεύγουμε; Μένουμε; * * * Ἀλλὰ κι ἄλλα αντίθετα παραδείγματα νὰ πάρουμε ἱστορικά.

Φεύγουμε; Μένουμε; * * * Ἀλλὰ κι ἄλλα αντίθετα παραδείγματα νὰ πάρουμε ἱστορικά. Φεύγουμε; Μένουμε; Ἦταν γραμμένο, φίλοι, σὲ τοῖχο: «Μόνη λύση ἡ φυγή»! Ἀπὸ κάτω κάποιος ἄλλος εἶχε γράψει: «Ἡ φυγὴ εἶναι ἧττα»! Καὶ σκέφτηκα. Ἆραγε τί εἶναι ἡ φυγή, λύση ἢ ἧττα; Ἀνδρεία ἢ δειλία; Ἡρωϊσμὸς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΕΝΤΕΡΙΚ ΜΠΑΣΤΙΑ ΥΠΕΡΑΣΠΙΣΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ. Οἱ ἀφανεῖς συνέπειες τῆς κρατικῆς παρέμβασης στὴν πολιτικὴ οἰκονομία. Ι. Τὸ σπασμένο τζάμι.

ΦΡΕΝΤΕΡΙΚ ΜΠΑΣΤΙΑ ΥΠΕΡΑΣΠΙΣΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ. Οἱ ἀφανεῖς συνέπειες τῆς κρατικῆς παρέμβασης στὴν πολιτικὴ οἰκονομία. Ι. Τὸ σπασμένο τζάμι. ΦΡΕΝΤΕΡΙΚ ΜΠΑΣΤΙΑ ΥΠΕΡΑΣΠΙΣΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ Οἱ ἀφανεῖς συνέπειες τῆς κρατικῆς παρέμβασης στὴν πολιτικὴ οἰκονομία Μετάφραση: Θάνος Σαμαρτζῆς Ι. Τὸ σπασμένο τζάμι. Ἤσασταν μήπως παρόντες τότε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn

Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn 1.Γράφουμε τον εκθέτη b στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης i b = b i όπου i= 0 bi {0,1} I==0,1,,l-1.Εφαρμόζουμε έπειτα τον εξής αλγόριθμο: z=1 for I=l-1 downto 0 do z=z modn

Διαβάστε περισσότερα

Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ

Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Ἰανουάριος 2011 5 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ Τεῦχος 5 - Ἰανουάριος 2011 ISSN: 1792-4189 Μηνιαία ψηφιακὴ ἔκδοση τοῦ ἠλεκτρονικοῦ περιοδικοῦ

Διαβάστε περισσότερα

Μὲ τὴν Χάρι τοῦ Κυρίου μας

Μὲ τὴν Χάρι τοῦ Κυρίου μας Ἱερὸ Τελετὴ Λήξεως Μαθημάτων Ἁγιογραφίας τῆς Μητροπόλεώς μας Περίοδος ΣΤ, 2013-2014 Ζωὴ καὶ Δημιουργικὴ Συνέχεια στὴν Ὀρθόδοξη Ἁγιογραφία + Κυριακὴ Ἁγιορειτῶν Πατέρων, 9/22.6.2014 Μὲ τὴν Χάρι τοῦ Κυρίου

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 00 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Αφού ξέρουμε με ακρίβεια τον αριθμό των βασικών πράξεων που εκτελεί ο κάθε αλγόριθμος σε δεδομένα μεγέθους, θα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2015-2016 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ :

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Π. Τ Ε Τ Σ Η Σ Χ Α Λ Κ Ο Γ Ρ Α Φ Ι Ε Σ

Π. Τ Ε Τ Σ Η Σ Χ Α Λ Κ Ο Γ Ρ Α Φ Ι Ε Σ ENTYPO TETSIS FIN:Layout 1 6/4/09 12:59 PM Page 1 Π. Τ Ε Τ Σ Η Σ Χ Α Λ Κ Ο Γ Ρ Α Φ Ι Ε Σ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ-3 ΙΟΥλΙΟΥ 2009 ΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΕΘΝΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΗΣ ΘΟΥΚΥΔΙΔΟΥ 13, ΠλΑΚΑ, ΑΘΗΝΑ ENTYPO TETSIS FIN:Layout

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασικὲσ σπουδὲσ στην ὲλλαδα σημὲρα

Οι κλασικὲσ σπουδὲσ στην ὲλλαδα σημὲρα 63 Οι κλασικὲσ σπουδὲσ στην ὲλλαδα σημὲρα νικολαοσ κονομησ στὴν Ἑλλάδα δυστυχῶς τὸ ἀνήμπορο ἑλληνικὸ κράτος δὲν κατόρθωσε νὰ διαχειρισθεῖ μὲ τὴ δέουσα σοβαρότητα τὴν τεράστια κληρονομιὰ τῆς ἀρχαίας ἑλληνικῆς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 2016 Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 2016 Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 25 εκεμβριου 2016 ἀριθμ. πρωτ. : 793.- ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 2016 Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ Πρὸς τοὺς εὐλαβεῖς Ἱερεῖς καὶ τοὺς εὐσεβεῖς Χριστιανοὺς τῆς καθ ἡμᾶς

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΝΑ ΥΠΟΝΟΜΕΥΣΕΤΕ ΜΙΑ ΧΩΡΑ(Η ΕΞΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΑ- ΤΑΣΚΟΠΟΥ)

ΠΩΣ ΝΑ ΥΠΟΝΟΜΕΥΣΕΤΕ ΜΙΑ ΧΩΡΑ(Η ΕΞΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΑ- ΤΑΣΚΟΠΟΥ) Η ΝΕΑ ΤΑΞΗ ΤΟΥ ΑΝΤΙΧΡΙΣΤΟΥ. ΠΩΣ ΝΑ ΥΠΟΝΟΜΕΥΣΕΤΕ ΜΙΑ ΧΩΡΑ(Η ΕΞΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΑ- ΤΑΣΚΟΠΟΥ) Ἀποσπάσματα ἀπὸ ἄρθρο στὰ «ΕΠΙΚΑΙΡΑ» (28-2-13) ΠΕΡΙΛΗΨΗ. ΑΥΤΗ Η ΑΠΟΚΑΛΥΨΗ ΜΑΣ ΔΕΙΧΝΕΙ ΠΟΙΟΙ ΒΡΙΣΚΟΝ- ΤΑΙ ΑΠΟ ΠΙΣΩ,

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ιατήρηση ορµής Ας θεωρήσοµε δυο υλικά σηµεία και µε µάζες και αντιστοίχως που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες και και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β

Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β Στὴν Ἱερὰ Μονή μας, τῶν Ἁγίων Μαρτύρων Κυπριανοῦ καὶ Ἰουστίνης, στὴν Φυλὴ Ἀττικῆς, μὲ τὴν Χάρι τοῦ Θεοῦ, τὴν εὐχὴ τοῦ ἀσθενοῦντος Σεβασμιωτάτου Πνευματικοῦ Πατρός μας,

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΟΥ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟΥ: Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΕΘΕΛΟΝΤΩΝ

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΟΥ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟΥ: Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΕΘΕΛΟΝΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΟΥ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟΥ: Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΕΘΕΛΟΝΤΩΝ Χρ. Πλατή Κατὰ τὶς δυὸ τελευταῖες δεκαετίες, τὸ σύστημα ὑγείας τῆς χώρας ΠΟΙΕΙ σημαντικὲς ἀλλαγές, τόσο στὸ δομικὸ καὶ ὀργανωτικὸ πεδίο, ὅσο

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ (5-6 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2004, Διορθόδοξον Κέντρον τῆς Ἐκκλησίας τῆς Ἑλλάδος

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ

ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ 127 ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΠΕΡΓΑΜΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ (ΖΗΖΙΟΥΛΑΣ) Εἰσαγωγὴ Ἡ δημιουργία τῆς ἑνωμένης Εὐρώπης εἶναι πάνω ἀπ ὅλα γεγονὸς πνευματικῆς σημασίας. Ἡ πολιτικὴ ἡγεσία

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΘΑΡΣΗ ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΘΗ

ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΘΑΡΣΗ ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΘΗ ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΘΑΡΣΗ ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΘΗ π. Ἰωάννου Ζόζουλακ Κοσμήτορος τῆς Ὀρθόδοξης Θεολογικῆς Σχολῆς τοῦ Πανεπιστημίου Πρέσοβ Σλοβακίας Ἔχουμε συνηθίσει ἐμεῖς οἱ ἄνθρωποι νὰ ἐνεργοῦμε μὲ μηχανικὸ τρόπο, νὰ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου)

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) 1. Εισαγωγή Χαρακτηριστικά της γλώσσας Τύποι δεδοµένων Γλώσσα προγραµµατισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ταλαντώσεις Στο Παράδειγµα 9 είδαµε τη µελέτη της κίνησης υλικού σηµείου µάζας, που βρίσκεται στο ένα άκρο ελατηρίου µε το άλλο άκρο του ελατηρίου σταθερό Θα επανεετάσοµε το ίδιο πρόβληµα εδώ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΝ τελευταῖο καιρὸ παρετηρήθη ἔντονος κίνησις, γιὰ τὴν ἐπίσημη

ΤΟΝ τελευταῖο καιρὸ παρετηρήθη ἔντονος κίνησις, γιὰ τὴν ἐπίσημη Θαῦμα τῆς Ἁγίας Γεροντίσσης Μυρτιδιωτίσσης τῆς Ἀσκητρίας τῆς Κλεισούρας ( 1974) Ἀποδεικτικὸ καὶ Βεβαιωτικὸ τῆς Μοναχικῆς Ἱδιότητος καὶ Ὀνομασίας Αὐτῆς ΤΟΝ τελευταῖο καιρὸ παρετηρήθη ἔντονος κίνησις, γιὰ

Διαβάστε περισσότερα

Ἁγιογραφικὴ Σύναξις Θεσσαλονίκης Α

Ἁγιογραφικὴ Σύναξις Θεσσαλονίκης Α Ἁγιογραφικὴ Σύναξις Θεσσαλονίκης Α Ἐσωτερικὸ Ἱεροῦ Ναοῦ Ἁγίων Ἀποστόλων Κυμίνων Θεσσαλονίκης Μὲ τὴν Χάρι τοῦ Θεοῦ, τὴν εὐχὴ τοῦ ἀσθενοῦντος Σεβασμιωτάτου πνευματικοῦ Πατρός μας, Μητροπολίτου Ὠρωποῦ καὶ

Διαβάστε περισσότερα

eutypon1315 2005/11/25 11:49 page 27 #31

eutypon1315 2005/11/25 11:49 page 27 #31 eutypon1315 2005/11/25 11:49 page 27 #31!)*."$ DA D 0@$)%!"$ >EE 27! "#$%&' ( ) * +,-./&' Ἁγίου Δημητρίου 38 162 31 Βύρωνας Ἀθήνα E-mail: vtrizonis@yahoo.com Abstract Sotiris Zisis (b. 1902, Koulakia,

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα