1 Γενικευµένη µέθοδος Pollard Γενικὴ Αρχή 1.1.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Γενικευµένη µέθοδος Pollard Γενικὴ Αρχή 1.1."

Transcript

1 Παραγοντοποίηση Καθηγητὴς ΝΓ Τζανάκης 12 εκεµβρίου 2007 Στὰ παρακάτω, ὑποτίθεται ὅτι εἶναι ἕνας πολὺ µεγάλος ἀριθµὸς καὶ ἕνας πρῶτος διαιρέτης του, τὸν ὁποῖο δὲν γνωρίζοµε Αὐτὸ ποὺ ἐπιδιώκοµε εἶναι ἡ εὕρεση ἑνὸς µὴ τετριµµένου διαιρέτη τοῦ, ὁ ὁποῖος διαιρεῖται ἀπὸ τὸν Συµβολισµός : Οταν γιὰ κάποιο ἀκέραιο γράφοµε, ἐννοοῦµε ἐκε ῖνο τὸν µοναδικὸ, τέτοιον ὥστε "!$#&% (' Αν ) εἶναι ὁµάδα, *),* συµβολίζει τὴν τάξη της Μία ἁπλῆ παρατήρηση εἶναι ἡ ἑξῆς : Αν /, τότε 012"!$#%3 ' :"!$#&% ' Αὐτὸ ϑὰ τὸ χρησιµοποιηθεῖ ἀρκετὲς ϕορὲς παρακάτω, δίχως νὰ γίνει ἰδιαίτερη µνεία 1 Γενικευµένη µέθοδος Pollard Κατ ἀρχάς, ἐπιλέγοµε µιὰ κατηγορία ὁµάδων διατρέχει τοὺς πρώτους Εἰδικώτερα, γιὰ τοὺς πρώτους, ποὺ διαιροῦν τὸν, καὶ οἱ ὁποῖοι ἀρχικῶς µᾶς εἶναι ἄγνωστοι, γνωρίζοµε µὲν τὸν τῦπο τῆς ὁµάδας )BA, ἄρα καὶ κάποιες σηµαντικὲς ἰδιότητές της, ἀλλὰ ὄχι τὴν ἴδια τὴν ὁµάδα Γιὰ παράδειγµα, µπορεῖ νὰ ξέροµε ὅτι )CAED1FHG A, δίχως ὅµως νὰ ξέροµε τὸν Παρ ὅλ αὐτά, πολλὲς ἰδιότητες τῆς FHG A, γιὰ γενικὸ, µᾶς εἶναι γνωστές Αν γιὰ ἕνα τουλάχιστον πρῶτο διαιρέτη τοῦ ὁ ἀριθµὸς *)BA* ἔχει κάποια καλὴ ἰδιότητα (ϐλ ἀµέσως παρακάτω), τότε ὁ µέγιστος κοινὸς διαιρέτης τοῦ καὶ ἑνὸς ἀριθµοῦ, ποὺ ὑπολογίζεται µέσῳ τῆς *)A* εἶναι µεγαλύτε ϱος τοῦ 1 Αν, δὲν εἶναι ἴσος µὲ τὸν, τότε πετύχαµε ἕνα µὴ τετριµµένο διαιρέτη τοῦ Γενικὴ Αρχή 11 Εστω )CA πεπερασµένη ὁµάδα, I :)CA καὶ συνάρτηση =K)>AMLONQP NR, ἔτσι ὥστε νὰ ἱκανοποιοῦνται οἱ ἑξῆς ἰδιότητες : 1 SIT *)>A* ' 2"!$#&% ' γιὰ κάθε πρῶτο διαιρέτη τοῦ 1

2 2 Αν γιὰ κάποιο N ἱκανοποιεῖται ἡ ' 9 S! #% ', τότε, γιὰ κάθε µὴ µηδενικὸ πολλαπλάσιο τοῦ, SI ' "!$#%3 ' Εστω πεπερασµένο N, 1 καὶ τὸ περιέχει ἕνα τουλάχιστον πολλαπλάσιο τοῦ ἀκεραίου *)CA* 2 Τότε, καθὼς τὸ διατρέχει τὶς τιµὲς τοῦ, ὁ % I ' (' παίρνει, µία τουλάχιστον ϕορά, τιµὴ µεγαλύτερη τοῦ 1 Πράγµατι, ἂν καὶ ὁ εἶναι πολλαπλάσιο τοῦ * )BA *, τότε, ἕνας προφανὴς συνδυασµὸς τῶν (1) καὶ (2) δείχνει ὅτι I ' 2"!$#&% ' Αρα, * % SIT ' (', ποὺ σηµαίνει ὅτι ὁ % SI ' (' εἶναι διαιρέτης τοῦ µεγαλύτερος τοῦ 1 Αν δὲν εἶναι ἴσος µὲ, τότε εἶναι ἕνας µὴ τετριµµένος διαιρέτης τοῦ 11 Κλασικὴ µέθοδος τοῦ Pollard Στὴ Γενικὴ Ἀρχὴ 11, κάνοµε τὶς ἑξῆς συγκεκριµένες ἐπιλογές : )BA,D /5G A, IT DQ!$#% µὲ ὁποιονδήποτε ϑετικὸ ἀκέραιο πρῶτο πρὸς τὸν Ση µειῶστε ὅτι, ἀν πάροµε στὴν τύχη ἕνα καί, ὑπολογίζοντας τὸν % (', τὸν ϐροῦµε, τότε, ἄλλο ποὺ δὲν ϑέλαµε! Πετύχαµε ἄκοπα µὴ τετριµµένο διαιρέτη τοῦ! Επιλέγοµε τώρα τὴ συνάρτηση ὡς ἑξῆς : / G A LON 6 A ' P 2ONR Η ἰδιότητα (1) τῆς Γενικῆς Ἀρχῆς 11 ἱκανοποιεῖται Πράγµατι, πρῶτον * )CA *TD* / A G *D δεύτερον, % < (' D, ἄρα καὶ % < ' D, ὁπότε A 3 :"!$#&% ' Επειδὴ *, ἡ τελευταία ἰσοδυναµία συνεπάγεται ὅτι A S! #% ', δηλαδή, C /5G A * ' S! #%3 ' Η ἰδιότητα (2) τῆς Γενικῆς Ἀρχῆς 11 ἱκανοποιεῖται, ἐπίσης ιότι, ἂν γιὰ κάποιο ϕυσικὸ ἀριθµὸ, A ' S! #% ', τότε "!$#%3 ', ἄρα :"!$#&% ' Συνεπῶς, ἂν εἶναι µὴ µηδενικὸ πολλαπλάσιο τοῦ, ἔστω D! " <0N, τότε $# MD '&% D πολλαπλάσιο τοῦ, ἄρα # B S! #% ', καὶ αὐτὸ συνεπάγεται ὅτι C ' D1 # S! #% ' Επιλέγοµε τώρα D ('*) )* ), / 0)21 3 µὲ 4 3 τοὺς 5 µικρότε ϱους περιττοὺς πρώτους ἀριθµούς, δηλαδή, 6KD87 D:9& ;CD:<, πχ τοὺς πρώτους, ποὺ εἶναι µικρότεροι τοῦ 100 καὶ ἐκθέτες => = 3, ἂς πο ῦµε, 0 ἢ 1, ἐνῶ = D Γενικά, ἂν ὅλοι οἱ πρῶτοι παράγοντες ἑνὸς 1 Στὴν πράξη, ἐµεῖς κατασκευάζοµε τὸ? καὶ πρέπει νὰ εἶναι τέτοιο ὥστε ὁ ὑπολογισµὸς τοῦ Ë FHGILKMGON$?4P νὰ µπορεῖ νὰ γίνει σὲ λογικὸ χρόνο 2 Αὐτὴ εἶναι ἡ καλὴ ἰδιότητα, στὴν ὁποίαν ἀναφερθήκαµε λίγο πρίν 2

3 ἀκεραίου εἶναι µικρότεροι ἀπὸ ἕνα ϕρᾶγµα καὶ οἱ ἐκθέτες τους εἶναι πάρα πολὺ µικροί, τότε ὁ ἀκέραιος χαρακτηρίζεται λεῖος 3 Μὲ αὐτὴ τὴν ὁρολογία, ϑὰ µπορούσαµε νὰ ποῦµε ὅτι τὸ εἶναι τὸ σύνολο τῶν λείων ἀκεραίων, µὲ, ἂς ποῦµε, 100 Θὰ πετύχει ἡ µέθοδος Pollard νὰ ἀνακαλύψει µὴ τετριµµένο διαιρέτη τοῦ, πολλαπλάσιο τοῦ ; Μὲ µεγάλες πιθανότητες ναί, ἂν ὁ εἶναι τέτοιος ὥστε ὁ νὰ εἶναι λεῖος γιὰ τὸ συγκεκριµένο, ποὺ ἐπιλέξαµε Πράγµατι, σ αὐτὴ τὴν περίπτωση, καθὼς τὸ ϑὰ διατρέχει τὸ σύνολο τῶν λείων ἀκεραίων, ϑὰ πέσει σὲ κάποιο πολλαπλάσιο τοῦ, ἔστω Τότε, σύµφωνα µὲ τὸ σχόλιο, ποὺ ἀκολούθησε ἀµέσως µετὰ τὴ Γενικὴ Ἀρχὴ 11, ὁ % C A ' (' εἶναι, µὲ µεγάλες πιθανότητες, µὴ τετριµµένος διαιρέτης τοῦ Παρατηρῆστε ὅτι % C A ' (' D % B (' D (' Μιὰ ἁπλοποίηση : Ἀντὶ τὸ νὰ διατρέχει τὸ ἀρκεῖ νὰ πάρει µόνο τὴν τιµὴ ' 3 1, ὅπου οἱ ( 3 εἶναι οἱ µέγιστες τιµὲς τῶν = = = 3 κατὰ τὴν κατασκευὴ τοῦ συνόλου Ἀντικαθιστοῦµε, δηλαδή, τὸ προηγούµενο ἀπὸ τὸ µονοσύνολο (' 3 1 Αὐτὸ διακαιολογε ῖται ἀπὸ τὸ ὅτι, ἂν τὸ ἀρχικὸ περιέχει ἕνα πολλαπλάσιο τοῦ *)BA*, τότε ὁ ἀριθµὸς ' 3 1 εἶναι πολλαπλάσιο τοῦ *)CA * Στὴν πράξη, ἐπειδὴ ἡ πιθανότητα νὰ διαιρεῖται ἕνας ἀριθµὸς ἀπὸ τὸ τετράγωνο ἑνὸς πρώτου εἶναι πολὺ µικρή (µὲ ἐξαίρεση τοὺς ἀρχικοὺς πολὺ µικροὺς πρώτους), µπορεῖ κανεὶς νὰ πάρει, γιὰ παράδειγµα, D1, D7, D D CD8' καὶ D γιὰ O Παράδειγµα τῆς κλασικῆς Pollard µὲ τὸ Maple 3 smooth 3

4 restart; with(numtheory): Warning, the protected name order has been redefined and unprotected The procedure below computes a^n modulo m dyn:=proc(a,n,m) local delta,x,e; delta:=1; x:=a; E:=N; while E > 0 do if E mod 2 =1 then delta:=(delta*x) mod m; E:=(E1)/2 ; else E:=E/2; fi; x:=xˆ2 mod m; od; delta; end: B:=[]: # set of small primes for i from 2 to 20 do B:=[op(B),ithprime(i)] od: B; 7&M9&M<& 7 <& M'7M' m:= ; 7!<M97M9 <&M< = D I = 7!'9& 9< g:=30; gcd(30,m); s:=2ˆ8: for i from 1 to 10 do s:=s*b[i] od: s; '9 <& <!'<7 d:=gcd(dyn(2,s,m)1,m); if d>1 then print( d is a nontrivial divisor of m; another one is ); d1:=m/d fi; = D!<' ' "!$#% & '( *) ifactor(d1); ' ' ; = D ' 7 ' ' 97 ' This shows that d1 is Bsmooth, which explains why Pollard s method worked in this example ifactor(d11); 4

5 ' ' <7 ' 7 This shows that d11 is not Bsmooth, but never mind! ' 5

6 ; 12 Αναγωγὴ ἐλλειπτικῆς καµπύλης Πρὶν προχωρήσοµε στὴν ἑπόµενη µέθοδο, ἡ ὁποία ἀποτελεῖ µία ἄλλη ἐξειδίκευση τῆς Γενικὴς Ἀρχῆς 11, ἀναφέροµε κάποια πράγµατα σχετικὰ µὲ τὴν ἀναγωγὴ µιᾶς ἐλλειπτικῆς καµπύλης modulo ἕνα πρῶτο 7 Πρὸς τὸ παρόν, ξεχνᾶµε τὸν καὶ τὸ ὅτι ὁ πρῶτος εἶναι διαιρέτης τοῦ Εστω ἡ ἐλλειπτικὴ καµπύλη µὲ ἐξίσωση = D ; C Η προβολικὴ ἐξίσωση τῆς εἶναι D ; L ; καὶ κάθε σηµε ῖο ' D µὲ ϱητὲς συντεταγµένες, ἂν τὸ δοῦµε ὡς προβολικὸ σηµεῖο, µπορεῖ νὰ πάρει τὴ µορφὴ OR, ὅπου οἱ OR εἶναι ἀκέραιο πρῶτοι µεταξύ τους Πχ ἂν ἕνα σηµεῖο τῆς καµπύλης ἦταν τὸ ; ; ', τότε αὐτό, προβολικά, ἰσοῦται µὲ ' ED 7 9 '& T καὶ % 79& '& ' D Αν ὁ πρῶτος εἶναι τέτοιος, ποὺ νὰ µὴ διαιρεῖ τὴ διακρίνουσα ; '< τῆς, τότε καὶ ἡ καµπύλη = D ; L ;, µὲ συντελεστὲς ἀπὸ τὸ σῶµα FA, ἡ λεγόµενη ἀναγωγὴ τῆς 8!$#&%, εἶναι ἐλλειπτικὴ καµπύλη, τῆς ὁποίας τὸ σύνολο τῶν σηµείων FA ' γίνεται πεπερασµένη ὁµάδα, ἂν ἐφοδιασθεῖ µὲ τὴν πράξη, ποὺ ὁρίζεται ἀπὸ τοὺς ἴδιους τύπους µὲ ἐκείνους στὴν περίπτωση τῆς E ', ἀλλά, στοὺς ὁποίους, οἱ ἀριθµητικὲς πράξεις γίνονται! #%& Εστω!1" # ',! D$, τὸ ὁποῖο γράφοµε µὲ προβολικὲς συντεταγµένες! D8 καὶ % 6 ' D1 Θέτοµε! D A A A Προφανῶς,! % FA ' Θέτοµε, ἐπίσης, D T A T A Ἀποδεικνύεται ὅτι ἡ ἀπεικόνιση # ' "! P! & E FA ' εἶναι ἐπιµορφισµὸς ὁµάδων Αυτὸ παίζει πολὺ σηµαντικὸ ϱόλο στὴ µέθοδο παραγοντοποίησης µέσῳ ἐλλειπτικῶν καµπύλων, ποὺ ϑὰ δοῦµε ἀµέσως παρακάτω Συµβολισµός : Εἶναι εὔκολο ν ἀποδειχθεῖ ὅτι κάθε σηµεῖο! D S ' E ', διάφορο τοῦ, ἔχει τὴ µορφὴ! D ' D (' ), * ), ' µὲ 0/ 01 ἀκε ϱαίους, / καὶ % 0/ ' D BD % #1 0/ ' Στὰ παρακάτω ϑὰ λέµε τὸ / πακαὶ ϑὰ τὸ συµβολίζοµε 2H3! ' Ἀφοῦ! D 4(/ 41 4/ A, ϱονοµαστὴ τοῦ! εἶναι ϕανερὸ ὅτι,! D 4! D$ εἴτε 2H3! ' "!$#%3 ' (1) 6

7 D 13 Μέθοδος ecm τῆς Ελλειπτικῆς καµπύλης Πρῶτα ἀπ ὅλα ἐπιλέγοµε µία ἐλλειπτικὴ καµπύλη D, ἡ ὁποία νὰ ἔχει ἕνα σηµεῖο! # ' ἄπειρης τάξεως, τῆς ὁποίας ἡ διακρίνουσα D ; '< εἶναι πρώτη πρὸς τὸν Παρατηρῆστε ὅτι ἐπιλέγονται αὐτοὶ δὲν εἶναι δύσκολοι περιορισµοί, διότι οἱ ἀκέραιοι αὐθαίρετα, µὲ ὅποιον τρόπο ϑέλοµε Λόγῳ τῆς συνθήκης % (' D1, ἡ ἀναγωγὴ τῆς καµπύλης!$#&%, δηλαδή, ἡ καµπύλη = D ;, εἶναι, ἐπίσης, ἐλλειπτική Τώρα, στὴ Γενικὴ Ἀρχὴ 11 κάνοµε τὶς ἑξῆς ἐπιλογές : )BA D FA ', IT D! καὶ γιὰ1" # ', καὶ EON ὁρίζοµε 3 ' ἂν D D 2H ' διαφορετικά Κατ ἀρχάς, παρατηροῦµε ὅτι ἂν $ ' D, τότε D, διότι, ἂν 42H ' 7 D, τότε (ἀφοῦ * ), 2H ' 2H ' 7 D S! #% ' καὶ τώ ϱα, ἀπὸ τὴν (1) ἕπεται ὁ ἰσχυρισµός Η ἰδιότητα (1) τῆς Γενικῆς Ἀρχῆς 11 ἱκανοποιεῖται Πράγµατι, Εστω = D * E FA ' * Τότε, =!D, ἄρα, λόγῳ ὁµοµορφισµοῦ, =! D Επειδὴ τὸ! εἶναι στοιχεῖο ἄπειρης τάξεως στὴν ὁµάδα E ', ἕπεται ὅτι =! D, ἄρα ἡ τελευταία ἰσότητα εἶναι δυνατὸν νὰ συµβαίνει µόνο ἂν 2H=! ' S! #% ' Επειδὴ *, ἡ τελευταία ἰσοδυναµία συνεπάγεται τὴν 42H=! ' :"!$#&% ', ἄρα!3= ' :"!$#&% ' Η ἰδιότητα (2) τῆς Γενικῆς Ἀρχῆς 11 ἱκανοποιεῖται ἐπίσης Πράγµατι, ἔστω ὅτι για κάποιον N ἰσχύει! ' :"!$#&% ' καὶ D! εἶναι ϑετικὸ ἀκέραιο πολλαπλάσιο τοῦ Η ὑποθεση συνεπάγεται ὅτι ὁ παρονοµαστὴς τοῦ! διαιρεῖται διὰ, ἄρα!d Λόγῳ ὁµοµορφισµοῦ, τότε,! D, ἄρα καὶ!d, δηλαδή, D!D! καί, ἐπειδὴ!, ἡ τελευταία ἰσότητα εἶναι δυνατὴ µόνο ἂν 2H! ' S! #% ', δηλαδή, ἂν! ' S! #% ' Η ἐπιλογὴ τοῦ συνόλου γίνεται ὅπως στὴν ἑνότητα 11 Η παρατήρηση, ποὺ ἔγινε ἐκεῖ, γιὰ τὴν ἀναγωγὴ τοῦ συνόλου σὲ µονοσύνολο, ἰσχύει καὶ ἐδῶ Πότε εἶναι δυνατὸν νὰ δουλέψει ἡ µέθοδος τῆς ἐλλειπτικῆς καµπύλης ; Αν ὁ ἀκέραιος * FA ' * εἶναι λεῖος Ποιὰ ἡ διαφορὰ καὶ τὸ πλεονέκτηµα αὐτῆς ἐδῶ τῆς µεθόδου ; Οτι, επιλέγοντας διαφορετικὰ, παίρνοµε µιὰ µεγάλη ποικιλία καµπύλων, ἄρα µεγάλη ποικιλία ὁµάδων E FA ' καί, µὲ µεγάλη πιθανότητα, κάποιας ἀπὸ αὐτὲς τὶς ὁµάδες E FA ' ἡ τάξη ϑὰ εἶναι = ; 7

8 ' ) λεῖος ἀριθµός Ἀκριβέστερα, εἶναι γνωστὸ ὅτι ' 1* FA ' * καί, καθὼς µεταβάλλεται ἡ καµπύλη ' (δηλαδή, καθὼς µεταβάλλονται οἱ συντελεστὲς < ), ἡ τάξη * FA ' * καλύπτει πολὺ καλὰ τὸ διάστηµα ', ἄρα, σ ἕνα τέτοιο µεγάλο διάστηµα κάποια τιµὴ ἐλπίζει κανεὶς ὅτι ϑὰ εἶναι λεία Αν καὶ δὲν ἔχει ἀποδειχθεῖ κάτι τέτοιο, ὅλες οἱ πειραµατικὲς ἐνδείξεις συνηγοροῦν στὸ ὅτι ἔτσι ἔχουν τὰ πράγµατα Σηµαντικὸ σχόλιο Στὸν ὁρισµὸ τῆς συνάρτησης $ ' ϐλέποµε ὅτι ἀ παιτεῖται ὁ ὑπολογισµὸς τοῦ ἀριθµοῦ 42 " ' Στὴν πράξη, εἶναι ἀνέφικτος ὁ ὑπολογισµὸς τοῦ ἀκόµη καὶ γιὰ µετρίου µεγέθους (πχ τῆς τάξεως τοῦ ) καὶ γι αὐτό, κάθε ϐῆµα τοῦ ἀλγορίθµου γιὰ τὸν ὑπολογισµὸ τοῦ γίνεται!$#&% Αὐτὸ εἶναι ἐντελῶς ἀνάλογο µὲ τὴν περίπτωση ὑπολογισµοῦ τοῦ " 7 γιὰ / καὶ µεγάλο ϑετικὸ ἀκέραιο : ὲν ὑπολογίζοµε πρῶτα τὸν " καὶ µετὰ κάνοµε τὴ διαίρεση διὰ, ἀλλὰ σὲ κάθε ϐῆµα τοῦ ἀλγορίθ µου ὕψωσης σὲ δύναµη οἱ πράξεις τοῦ πολλαπλασιασµοῦ γίνονται! #% Επανερχόµενοι στὴν ἐλλειπτικὴ καµπύλη, παρατηροῦµε ὅτι, γιὰ σύνθετο, τὸ σύνολο τῶν ' / L/K, ποὺ ἐπαληθεύουν τὴν D ; Cδὲν ἀποτελεῖ ὁµάδα καὶ ἔτσι δὲν ὁρίζεται πρόσθεση σηµείων τῆς ἐλλειπτικῆς καµπύλης!$#&% Παρ ὅλ αὐτά, µποροῦµε νὰ ἐπεκτείνοµε τὸν ἀλγό ϱιθµο πρόσθεσης σηµείων τῆς ἐλλειπτικῆς καµπύλης σὲ ἕναν ἀλγόριθµο, ὁ ὁποῖος, ἢ ϑὰ ὑπολογίσει γρήγορα τὶς συντεταγµένες τοῦ!$#&%, ἢ ϑὰ ἐπιστρέψει τὸ (πού, ἁπλῶς, σηµαίνει ὅτι 42 " ' D ), ἢ ϑὰ ἐπιστρέψει ἕνα µὴ τετριµµένο διαιρέτη τοῦ Περισσότερα γι αὐτὸν τὸν ἀλγόριθµο καὶ µία ὑλοποίησή του µὲ παράδειγµα στὸ Maple, ϐλ κεφάλαιο Ἀλγόριθµος γιὰ τὸ ἄθροισµα!$#% σηµείων ἐλλειπτικῆς καµπύλης 2 Η µέθοδος τοῦ Pollard Ας ὑποθέσοµε ὅτι 5 εἶναι ἕνας µὴ τετριµµένος διαιρέτης ἑνὸς σύνθετου ϕυσικοῦ ἀριθµοῦ = Εστω S ' / 6 ἕνα πολυώνυµο τουλάχιστον δευτέρου ϐαθµοῦ Η µέθοδος αὐτὴ στηρίζεται στὴν ὑπόθεση ὅτι, ἂν ἐπιλέξει κανεὶς καὶ ὁρίσει ἀναδροµικὰ τυχαῖο CO/ RD S ' (2) ἡ προκύπτουσα συνάρτηση / 3 P / 3 µὲ τὴν ἰδιότητα 3 P 3, 3 P 3, 3 P "; 3, ἔχει τυχαία συµπεριφορά, ἂρα εἶναι πολὺ πιθανὸ ὅτι ὕστερα ἀπὸ ὄχι µεγάλο ἀριθµὸ ἐπαναληπτικῶν ϐηµάτων, ϑὰ ἔχουν ϐρεθεῖ 8

9 ὑποδεῖκτες H, τέτοιοι ὥστε 3 D 3, ἄρα 5 * % S = ', ὁπότε ἐλπίζει κανεὶς ὅτι % S = ' εἶναι µὴ τετριµµένος διαιρέτης τοῦ = Η τυχαία συµπεριφορὰ τῆς συνάρτησης / 3 P / 3, ποὺ προκύπτει µὲ τὴν παραπάνω διαδικασία, στηρίζεται, πρὸς τὸ παρόν, σὲ ἐµπειρικὰ δεδοµένα Η ϕράση «εἶναι πολὺ πιθανὸ ὅτι ὕστερα ἀπὸ ὄχι µεγάλο ἀριθµὸ ἐπαναληπτικῶν ϐηµάτων» στηρίζεται στὴν ἑξῆς Πρόταση 21 Εστω πεπερασµένο σύνολο µὲ πληθάριθµο 5 Εστω ϑετικὸς πραγµατικὸς ἀριθµὸς, τέτοιος ὥστε ὁ OD ' "5 νὰ εἶναι µικρότερος ἀπὸ τὸν 5 Γιὰ κάθε ( καὶ κάθε συνάρτηση I = P ὁρίζοµε τὴν ἀναδροµικὴ ἀκολουθία! µέσῳ τῆς DI ', ὅπου τὸ εἶναι αὐθαίρετο Τότε, τὸ ποσοστὸ τῶν Ϲευγαριῶν ' µὲ τὴν ἰδιότητα τὰ T νὰ εἶναι διαφορετικὰ µεταξύ τους, εἶναι µικρότερο ἀπὸ 4 Γιὰ τὴν περίπτωση ποὺ ἐξετάζοµε, 5 καὶ οἱ συναρτήσεις µας εἶναι τῆς µορφῆς I ' D ' 3, ὅπου εἶναι πολυώνυµο µὲ ἀκέραιους συντελεστὲς καὶ 5 εἶναι (ἄγνωστος σ ἐµᾶς) διαιρέτης τοῦ = Αν ϑεωρήσοµε τὰ ὅπως στὴν (2) καὶ ϑέσοµε KD 3 ' τότε T καὶ DQI ', ἄρα ἐφαρµόζεται ἡ πρόταση 21 Ετσι ὅπως περιγράφεται ἡ µέθοδος αὐτή, ϕαίνεται ἀναγκαῖο, γιὰ κάθε πράξη, αὐτὸ µπορεῖ νὰ ἀποφευχθεῖ ἀρκετὰ εὔκολα = ' γιὰd Στὴν Κάνοµε πρῶτα τὴν ἑξῆς ἁπλῆ παρατήρηση : Αν 3 D 3 γιὰ κάποιους διαφορετικούς, ἐν γένει, δεῖκτες H, τότε 3 D 3 Πράγµατι, λόγῳ τῆς (2) καὶ τῆς ὑποθέσεως "!$#&% 5 ', δείκτη, νὰ ὑπολογίζεται ὁ % S S ' S ' S! #% 5 ' ἄρα 3 D 3 Τώρα, προχωρώντας ἐπαγωγικά, καταλήγοµε στὴ σχέση 3 D 3 γιὰ '& ιαφορετικὰ διατυπωµένη, αὐτὴ ἡ τελευταία σχέση λέει ὅτι : Αν 3 D 3, τότε, γιὰ ὁποιοδήποτε ἄλλο Ϲεῦγος δεικτῶν ( µὲ (RD, ἰσχύει 3 D 3 Επειδὴ τώρα, γιὰ κάθε Ϲεῦγος δεικτῶν ὑπάρχει (ἕνας µοναδικὸς) ἀκέραιος, τέτοιος ὥστε ' ', 5 ἀρκεῖ, γιὰ κάθε νὰ ὑπολογίζοµε τὸν % = ', µόνο γιὰ τὸ D ', ὅπου τὸ πλῆθος τῶν δυαδικῶν ψηφίων τοῦ 4 Proposition V21 στὸ [1] 5 ηλαδή, εἶναι τὸ πλῆθος τῶν δυαδικῶν ψηφίων τοῦ 9

10 ἀριθµός, D 3 Παραγοντοποίηση Fermat καὶ ἡ µέθοδος τῶν συνεχῶν κλασµάτων Εστω = περιττὸς ἀριθµός, ὁ ὁποῖος ἔχει πιστοποιηθεῖ ὡς σύνθετος Ας ὑποθέσοµε ὅτι =8D, γιὰ κάποιους (περιττοὺς) ἀκεραίους Ισχύει ἡ στοιχειώδης ταυτότητα = D ' ' Αν ὁ εἶναι πολὺ κοντὰ στὸν, ὁπότε ὁ = ED ' ' ' εἶναι πολὺ, γιὰ ' µικρός, τότε ὁ ' εἶναι ἕνας ἀκέραιος τῆς µορφῆς =H κάποιο πολὺ µικρὸ ϕυσικὸ ἀριθµὸ, µὲ τὴν ἰδιότητα = ' =D ' τέλειο τετράγωνο Μὲ αὐτὸν τὸν τρόπο ϐρίσκονται ταχύτατα τὰ ', ἄρα καὶ τὰ Παράδειγµα : Εστω Εδῶ =H >D 9'!' καὶ ὑπολογίζοντας 9'!' ' = γιὰ τὶς διάφορες ϕυσικὲς τιµὲς τοῦ, διαπιστώνοµε ὅτι ' ' 9' ' 7 ' = Αρα, ' D " 'MD 9'!9 καί, συνεπῶς, D 97 D 9' Ἀπὸ τὰ παραπάνω συµπεραίνοµε ὅτι, ἂν καταφέροµε νὰ γράψοµε τὸν = ὡς διαφορὰ δύο τετραγώνων, τότε πετύχαµε και τὴν παραγοντοποίησή του Στὴν καὶ ὁ εἶναι πολὺ κοντὰ πράξη, αὐτὸ µπορεῖ νὰ ἐπιτευχθεῖ µόνο ἂν = D στὸν Τί ϑὰ γινόταν ἄν, ἀντὶ µιᾶς σχέσης D: =, ἀναζητούσαµε τέτοια ὥστε = γιὰ κάποιον ἀκέραιο ; Αὐτὸ ϑὰ σήµαινε εὕρεση τέτοιων ὥστε / S! #% = ' Αν καταφέρναµε νὰ ϐρίσκαµε τέτοια µὲ "!$#&% = ', τότε οἱ % S = ' % S = ' εἶναι δύο µὴ τεριµµένοι διαιρέτες τοῦ = Προσπαθοῦµε, λοιπόν, νὰ ϐροῦµε ἕνα σχετικῶς µικρὸ σύνολο ἀποτελούµενο ἀπὸ µικροὺς πρώτους καὶ τὸ, καὶ διάφορους ἀκεραίους '& µὲ τὴν ἰδιότητα Τὸ ἐλάχιστο κατ ἀπόλυτη τιµὴ ὑπόλοιπο τοῦ "!$#&% = ' νὰ εἶναι δηλαδή, νὰ ἐκφράζεται ὡς γινόµενο πρώτων τοῦ Εστω D 4 καὶ ἂς ὑποθέσοµε ὅτι ϐρήκαµε, τέτοια ὥστε "!$#% = ' '& ' ( D 3 ) καὶ ', H "!$#&% ' ' γιὰ 10

11 D * Τότε, ϑέτοντας >D ' καὶ ἐλπίζοµε ὅτι ἡ παραπάνω ἰσοδυναµία τῆς µορφῆς εἶναι τετριµµένη, δηλαδή, ἰσχύει γιὰd '&, ἔχοµε ὅτι S! #% = ' S! #% = ' 31 Η µέθοδος τῶν συνεχῶν κλασµάτων / "!$#&% = ', δὲν Η ϐασικὴ ἰδέα τῆς µεθόδου εἶναι νὰ χρησιµοποιήσει τὰ ἀναγωγήµατα (convergents) τοῦ συνεχοῦς κλάσµατος 6 τοῦ = προκειµένου νὰ ϐρεθοῦν µὲ πιὸ συστηµατικὸ τρόπο ἀκέραιοι µὲ τὶς παραπάνω ἰδιότητες Στηρίζεται στὴν ἑξῆς Πρόταση 31 Εστω πραγµατικὸς ἀριθµὸς καὶ ' ' τὰ ἀναγωγήµατα τοῦ συνεχοῦς κλάσµατος τοῦ * Τότε, γιὰ κάθε, *! Η ἀπόδειξη στηρίζεται στὰ ἑξῆς : (α ) Γιὰ κάθε, οἱ ἀριθµοὶ καὶ ἀπέχουν (ϐ ) Γιὰ ἄρτιο,, ἐνῶ γιὰ περιττό, Ἀπὸ αὐτὰ προκύπτει, εἰδικώτερα, ὅτι Οπότε ' *!! ' ' ' D ' *TD '! ' καὶ D Ας πάροµε τώρα D = Τότε,!! = S! #% = ', ἐνῶ, ἀπὸ τὴν Πρόταση 31, *4! = ' = Αὐτὸ συνεπάγεται ὅτι τὸ ἐλάχιστο κατ ἀπόλυτη τιµὴ ὑπόλοιπο τοῦ!!$#&% = εἶναι κατ ἀπόλυτη τιµὴ ' =, ἄρα, πολὺ πιθανόν, εἶναι ἀριθµός 6 Στὴν ἱστοσελίδα τοῦ Τµήµατος ϑὰ ϐρεῖτε µεταφρασµένη τὴ «Θεωρία Ἀριθµῶν» τοῦ IM Vinogradov, ὅπου ἐκτίθεται πολὺ ἁπλά ἡ ἐντελῶς ϐασικὴ ϑεωρία τῶν συνεχῶν κλασµάτων, ἡ ὁποία µᾶς χρειάζεται ἐδῶ 11

12 Αναφορὲς [1] N Koblitz, A course in Number Theory and Cryptography, Graduate Texts in Math, vol 114, SpringerVerlag, Berlin and New York,

Εὐκλείδεια Γεωµετρία

Εὐκλείδεια Γεωµετρία Εὐκλείδεια Γεωµετρία Φθινοπωρινὸ Εξάµηνο 010 Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Μάθηµα 9 ευτέρα 18-10-010 Συνοπτικὴ περιγραφή Υπενθύµιση τοῦ Θεωρήµατος τοῦ Θαλῆ. εῖτε καὶ ἐδάφιο 7.7 τοῦ σχολικοῦ ϐιβλίου. Τονίσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Πιστοποίηση πρώτου. Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης. Τελευταία ἐνηµέρωση 8/1/ Η πιστοποίηση πρώτου στὴν Κρυπτογραφία

Πιστοποίηση πρώτου. Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης. Τελευταία ἐνηµέρωση 8/1/ Η πιστοποίηση πρώτου στὴν Κρυπτογραφία Πιστοποίηση πρώτου Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Τελευταία ἐνηµέρωση 8/1/2008 1 Η πιστοποίηση πρώτου στὴν Κρυπτογραφία Στὴν Κρυπτογραφία ηµοσίου Κλειδιοῦ κάθε µία ἀπὸ τὶς ἐπικοινωνοῦσες ὀντότητες ἔχει µυστικὸ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Θεµελιωδης Θεωρια Αριθµων

Θεµελιωδης Θεωρια Αριθµων Θεµελιωδης Θεωρια Αριθµων Ν.Γ. Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών - Πανεπιστήµιο Κρήτης 30 Σεπτεµβρίου 2008 2 Περιεχόµενα 1 ιαιρετότητα 3 1.1 Βασικὲς προτάσεις.......................... 3 1.2 Μέγιστος κοινὸς διαιρέτης......................

Διαβάστε περισσότερα

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α ἤ 01ο (01-52) 01-05 Ὁ Λόγος εἶναι Θεὸς καὶ ημιουργὸς τῶν πάντων Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα καὶ ἦταν Θεὸς ὁ Λόγος. Αὐτὸς ἦταν στὴν ἀρχὴ μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Συνόλων - Set Theory

Θεωρία Συνόλων - Set Theory Θεωρία Συνόλων - Set Theory Ἐπισκόπηση γιὰ τὶς ἀνάγκες τῶν Πρωτοετῶν Φοιτητῶν τοῦ Τµήµατος Διοίκησης, στὸ µάθηµα Γενικὰ Μαθηµατικά. Ὑπὸ Γεωργίου Σπ. Κακαρελίδη, Στὸ Τµῆµα Διοίκησης ΤΕΙ Δυτικῆς Ἑλλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Στήν Σελίδα Παρατηρήσεις στὸ κάτω μέρος καταγράφονται / ἐμφανίζονται τυχόν ἐντοπισθέντα περιουσιακά στοιχεῖα (IX, άκίνητα, ἀγροτεμάχια κλπ)

Στήν Σελίδα Παρατηρήσεις στὸ κάτω μέρος καταγράφονται / ἐμφανίζονται τυχόν ἐντοπισθέντα περιουσιακά στοιχεῖα (IX, άκίνητα, ἀγροτεμάχια κλπ) Κάρτα Ἀντιδίκου Στήν Σελίδα Παρατηρήσεις στὸ κάτω μέρος καταγράφονται / ἐμφανίζονται τυχόν ἐντοπισθέντα περιουσιακά στοιχεῖα (IX, άκίνητα, ἀγροτεμάχια κλπ) Ἡ Εἰσαγωγή/Μεταβολή/Διαγραφή γίνεται μέσω τῶν

Διαβάστε περισσότερα

Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux.

Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux. Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux. Μακρῆς Δημήτριος, Φυσικός. mailto: jd70473@yahoo.gr 1. Εἰσαγωγή. Τὸ πολυτονικὸ σύστημα καταργήθηκε τὸ 1982. Δὲν θὰ ἀσχοληθοῦμε

Διαβάστε περισσότερα

Εἰσαγωγὴ. Αὐτόματη Δημιουργία Οἰκονομικῶν Κινήσεων Ἀμοιβῶν. Αὐτόματη Δημιουργία Οἰκονομικῶν Κινήσεων Ἀμοιβῶν. ICAMSoft Law Applications Σημειώ σεις

Εἰσαγωγὴ. Αὐτόματη Δημιουργία Οἰκονομικῶν Κινήσεων Ἀμοιβῶν. Αὐτόματη Δημιουργία Οἰκονομικῶν Κινήσεων Ἀμοιβῶν. ICAMSoft Law Applications Σημειώ σεις Εἰσαγωγὴ Ὅπως γνωρίζουν ὅλοι οἱ χρῆστες τῶν δικηγορικῶν ἐφαρμογῶν μας, τὰ εἴδη τῶν ἐνεργειῶν ποὺ μποροῦν νὰ καταγραφοῦν σὲ μία ὑπόθεση εἶναι 1. Ἐνέργειες Ἐξέλιξης, 2. Οἰκονομικές, 3. Λοιπές Ἐνέργειες &

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ. Ποιήματα

Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ. Ποιήματα Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ Ποιήματα ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Αὒγουστος 2011 12 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Χριαστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ Ποιήματα Τεῦχος 12 - Αὒγουστος 2011 ISSN: 1792-4189 Μηνιαία

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ICAMLaw Application Server Χειροκίνηση Ἀναβάθμιση

ICAMLaw Application Server Χειροκίνηση Ἀναβάθμιση Εἰσαγωγή Ὁ ICAMLaw Application Server (στὸ ἑξῆς γιά λόγους συντομίας IAS) ἀποτελεῖ τὸ ὑπόβαθρο ὅλων τῶν δικηγορικῶν ἐφαρμογῶν τῆς ICAMSoft. Εἶναι αὐτός ποὺ μεσολαβεῖ ἀνάμεσα: α) στὴν τελική ἐφαρμογὴ ποὺ

Διαβάστε περισσότερα

(Θ. Λειτουργία Ἰωάννου Χρυσοστόμου)

(Θ. Λειτουργία Ἰωάννου Χρυσοστόμου) Οἱ πιστοὶ ὑπὲρ τῶν κατηχουμένων δεηθῶμεν. Ἵνα ὁ Κύριος αὐτοὺς ἐλεήσῃ. Κατηχήσῃ αὐτοὺς τὸν λόγον τῆς ἀληθείας. Ἀποκαλύψῃ αὐτοῖς τὸ εὐαγγέλιον τῆς δικαιοσύνης. Ἑνώσῃ αὐτοὺς τῇ ἁγίᾳ αὐτοῦ καθολικῇ καὶ ἀποστολικῇ

Διαβάστε περισσότερα

Χρήση τῶν Στατιστικῶν / Ἐρευνητικῶν Ἐργαλείων τοῦ

Χρήση τῶν Στατιστικῶν / Ἐρευνητικῶν Ἐργαλείων τοῦ ICAMSoft SmartMedicine v.3 Στατιστικά Χρήση τῶν Στατιστικῶν / Ἐρευνητικῶν Ἐργαλείων τοῦ ICAMSoft Applications White Papers Φεβρουάριος 2010 Σελίς: 1 / 14 Στατιστικά ICAMSoft SmartMedicine v.3 Μenu Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ Τὰ Ἕξι μεγάλα ἐρωτήματα τῆς δυτικῆς μεταφυσικῆς καταλαμβάνουν μιὰ ξεχωριστὴ θέση στὴν ἱστορία τῆς φιλοσοφικῆς ἱστοριογραφίας. Ὁ συγγραφέας του βιβλίου, Χάιντς Χάιμζετ (1886-1975),

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ

ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 2015 ἀριθμ. πρωτ.: 181.- ΑΓΙΟΝ ΠΑΣΧΑ 12 ΑΠΡΙΛΙΟΥ ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ Πρὸς τὸν ἱερὸ Κλῆρο καὶ τὸν εὐσεβῆ Λαὸ τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος».

Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος». ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 18 Πρὸς Ἅπαντας τοὺς Ἐφημερίους τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως. Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος». Ἀγαπητοὶ Πατέρες, Ἐξ αἰτίας τοῦ ὅτι παρατηρεῖται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων

Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων Γεώργιος Κοντόπουλος Ἀκαδημία Ἀθηνῶν 1) Εἰσαγωγή Mία ἀπὸ τὶς μεγαλύτερες ἀνακαλύψεις ὅλων τῶν ἐποχῶν εἶναι τὸ ὅτι οἱ φυσικοὶ νόμοι εἶναι παγκόσμιοι. Δηλαδὴ οἱ ἴδιοι φυσικοὶ νόμοι

Διαβάστε περισσότερα

ODBC Install and Use. Κατεβάζετε καὶ ἐγκαθιστᾶτε εἴτε τήν ἔκδοση 32bit εἴτε 64 bit

ODBC Install and Use. Κατεβάζετε καὶ ἐγκαθιστᾶτε εἴτε τήν ἔκδοση 32bit εἴτε 64 bit Oἱ ἐφαρμογές Law4 χρησιμοποιοῦν τὸν Firebird SQL Server 32 ἤ 64 bit, ἔκδοση 2.5.x Γιὰ νὰ κατεβάσετε τὸν ODBC πηγαίνετε στό site www.firebirdsql.org στήν δ/νση http://www.firebirdsql.org/en/odbc-driver/

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Stream ciphers Η διαδικασία κωδικοποίησης για έναν stream cipher συνοψίζεται παρακάτω: 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ PRIMES P. Από τα αριστερά προς τα δεξία Saxena, Kayal και Agrawal. Επιµέλεια : Γεωργίου Κωνσταντίνος.

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ PRIMES P. Από τα αριστερά προς τα δεξία Saxena, Kayal και Agrawal. Επιµέλεια : Γεωργίου Κωνσταντίνος. ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ PRIMES P Επιµέλεια : Γεωργίου Κωνσταντίνος Ιούνιος 003 Από τα αριστερά προς τα δεξία Saena, Kayal και Agawal Η ασχολία της ανθρωπότητας µε τους πρώτους αριθµούς Παράδοση

Διαβάστε περισσότερα

Παρέλαση-Μαντήλα-Δωδεκάποντα*

Παρέλαση-Μαντήλα-Δωδεκάποντα* Ἀξίες -Ἰδανικά -Ἱστορικὴ Μνήμη Παρέλαση-Μαντήλα-Δωδεκάποντα* «Ἡ σεμνότητα καὶ ἡ ταπεινότητα εἶναι προαπαιτούμενο...» α. Στὴν χώρα ποὺ θὰ ριζώσεις νὰ σεβαστεῖς τὴν σημαία της, τοὺς ἀνθρώπους της, τὴν φύση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας μας.

Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας μας. ΕΚΚΛΗΣΙΑ & ΕΘΕΛΟΝΤΙΣΜΟΣ ΕΝΟΡΙΑ & ΔΙΑΚΟΝΙΑ ΑΣΘΕΝΩΝ Σεβασμιώτατε, Αἰδεσιμολογιώτατοι, Πρωτοπρεσβύτερος π. Βασίλειος Κοντογιάννης Ἐφημ. ΙΠΠΟΚΡΑΤΕΙΟΥ Γ.Ν.Α. Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X

Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X eutypon32-33 2014/11/30 12:03 page 19 #23 Εὔτυπον, τεῦχος 32-33 Ὀκτώβριος/October 2014 19 Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X Ἰωάννης Α. Βαμβακᾶς Ιωάννης Α. Βαμβακᾶς Παπαθεοφάνους 12 853 00 Κῶς Η/Τ: gavvns

Διαβάστε περισσότερα

Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο

Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο (Μιὰ πρώτη προσέγγιση στὸ θέμα) Εἰπώθηκε, πὼς ὁλόκληρο τὸ Ἅγιον Ὄρος μοιάζει μὲ τὸ Καθολικὸ ἑνὸς ἰεροῦ Ναοῦ καὶ ὅτι ἡ περιοχὴ ἀπὸ τὴν Ἁγία Ἄννα καὶ πέρα εἶναι τὸ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων

Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων Εἰσαγωγὴ Μιὰ ἀπὸ τὶς βασικὲς πρόσθετες δυνατότητες τῆς ἔκδοσης 3 τῶν ἰατρικῶν ἐφαρμογῶν μας, εἶναι ἡ δυνατότητα συσχετισμοῦ ὅσων ψηφιακῶν ἀρχείων ἀπαιτεῖται στὴν

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ

Κρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ Κρυπτογραφία Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα [1, n] που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17 Πρὸς Ἅπαντας τοὺς Ἐφημερίους τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως. ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17 Θέμα: «Περὶ τῆς νομιμότητας τελέσεως τοῦ Μυστηρίου τοῦ Βαπτίσματος ἀνηλίκων». Ἀγαπητοὶ Πατέρες, Σχετικὰ μὲ τὶς προϋποθέσεις,

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Θέλουν ὅμως ὅλοι τὴν ἀλλαγὴ τῆς ὑπάρχουσας κατάστασης:

Θέλουν ὅμως ὅλοι τὴν ἀλλαγὴ τῆς ὑπάρχουσας κατάστασης: /0L`qshchr^Σχέδιο 0 0/./2.1/00 1906 μ-μ- O`fd 087 Θέλουν ὅμως ὅλοι τὴν ἀλλαγὴ τῆς ὑπάρχουσας κατάστασης: Μά+ θὰ μοῦ πεῖτε+ ποιός τυφλὸς δὲν θέλει τὸ φῶς του+ ποιός ἄρρωστος δὲν θέλει τὴν γιατρειά του καὶ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ

ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ 1 ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ χαλ νωτη γλ σσα Ἡ γλῶσσα εἶναι ἕνα ἀπὸ τὰ σημαντικότερα μέλη τοῦ ἀνθρώπινου ὀργανισμοῦ. Σὲ σύγκριση μὲ ἄλλα ἀνθρώπινα μέλη, ὅπως γιὰ παράδειγμα τὰ χέρια

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Δημήτριος Μπάκας Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ. Γιατὶ τὸ Βυζάντιο. Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292.

Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ. Γιατὶ τὸ Βυζάντιο. Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292. Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ Γιατὶ τὸ Βυζάντιο Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292. Κατ ἐπανάληψιν ἔχει ἐπισημανθῆ ὅτι ἐπιβάλλεται νὰ ἀναθεωρήσουμε ἐμεῖς οἱ Ἕλληνες τὴν ὀπτικὴ εἰκόνα ποὺ ἔχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989. Ἡ Θεία Κοινωνία.

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989. Ἡ Θεία Κοινωνία. ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989 Ἡ Θεία Κοινωνία κατ οἶκον Θεσσαλονίκη 2008 Κάποιοι συσχετίζουν κάκιστα τὴν παρουσία τοῦ ἱερέως στό

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò

LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò Μὲ τὴν εὐκαιρία τῆς μνήμης τοῦ Ἁγίου ἐνδόξου Ἀποστόλου καὶ πρώτου Ἁγιογράφου, Εὐαγγελιστοῦ Λουκᾶ (18η Ὀκτωβρίου) καὶ πρὸς τιμήν Του, πραγματοποιήθηκε, μὲ τὴν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

«Ἁγιογραφικὴ Σύναξις Πατρῶν Α»

«Ἁγιογραφικὴ Σύναξις Πατρῶν Α» Ἕνα δεύτερο σημαντικὸ Ἁγιογραφικὸ βῆμα «Ἁγιογραφικὴ Σύναξις Πατρῶν Α» Μία ἐλπιδοφόρος ἀρχὴ Μὲ τὴν Χάρι τοῦ Θεοῦ, τὴν εὐχὴ τοῦ ἀσθενοῦντος Σεβασμιωτάτου Μητροπολίτου μας Ὠρωποῦ καὶ Φυλῆς κ. Κυπριανοῦ, τὴν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)

Διαβάστε περισσότερα

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. Διαφορά μετρήσεων από εκτιμήσεις μετρήσεων. Όταν επιλύοµε ένα αντίστροφο πρόβληµα υπολογίζοµε ένα διάνυσµα παραµέτρων est m το οποίο αντιπροσωπεύει

Διαβάστε περισσότερα

Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία

Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία Ἀλήθεια, πόσο σημαντικὸ εἶναι τὸ θέμα τῆς διατροφῆς. Εἴμαστε αὐτὸ ποὺ τρῶμε, λένε μερικοὶ ὑλιστὲς φιλόσοφοι. Καὶ ἐννοοῦν τίποτα παραπάνω. Ἡ λογικὴ αὐτὴ εἶναι λίγο

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας.

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας. Επιπλέον Ασκήσεις Μαθηµατική Επαγωγή Για κάθε n 1: 2 = n(n + 1(2n + 1 6 Ορέστης Τελέλης telels@unpgr Για κάθε n 1: 3 = n2 (n + 1 2 4 Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Για κάθε n 10: 2 n

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ. Χριστοῦ, ποὺ ἀποτελεῖ τὴν κορυφαία πράξη τοῦ Θεοῦ νὰ σώσει τὸν

Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ. Χριστοῦ, ποὺ ἀποτελεῖ τὴν κορυφαία πράξη τοῦ Θεοῦ νὰ σώσει τὸν Χριστούγεννα 2013 Ἀρ. Πρωτ. 1157 Πρός τό Χριστεπώνυμο πλήρωμα τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως Χριστὸς γεννᾶται, δοξάσατε. Ἀδελφοί μου ἀγαπητοί, Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ Χριστοῦ,

Διαβάστε περισσότερα

Ν.Γ. Λυκομῆτρος ΘΡΟΪΣΜΑΤΑ ΘΑΝΑΤΟΥ. Ποιήματα

Ν.Γ. Λυκομῆτρος ΘΡΟΪΣΜΑΤΑ ΘΑΝΑΤΟΥ. Ποιήματα Ν.Γ. Λυκομῆτρος ΘΡΟΪΣΜΑΤΑ ΘΑΝΑΤΟΥ Ποιήματα ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Μάιος 2011 9 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Ν.Γ. Λυκομῆτρος ΘΡΟΪΣΜΑΤΑ ΘΑΝΑΤΟΥ Ποιήματα Τεῦχος 9 - Μάιος 2011 ISSN: 1792-4189 Μηνιαία ψηφιακὴ ἔκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι.

Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι. Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι. Σὰ τελευταῖα χρόνια καὶ ἰδιαίτερα μετὰ τὸ ἄνοιγμα τῶν συνόρων τῶν χωρῶν τῆς ἀνατολικῆς Εὐρώπης, ἀλλὰ καὶ γειτόνων χωρῶν

Διαβάστε περισσότερα

Παραθέτουμε απόσπασμα του άρθρου: ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ ΑΠΙΣΤΕΥΤΟΝ- Οι Ιεχωβάδες και οι Μασόνοι κεφάλαια εις το βιβλίον των θρ

Παραθέτουμε απόσπασμα του άρθρου: ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ ΑΠΙΣΤΕΥΤΟΝ- Οι Ιεχωβάδες και οι Μασόνοι κεφάλαια εις το βιβλίον των θρ Με ένα από τα αγαπημένα της θέματα ασχολήθηκε για μια ακόμη φορά, στο φύλλο 1991 της 27ης Σεπτεμβρίου 2013, η εφημερίδα ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ. Αιτία, το κεφάλαιο του βιβλίου των Θρησκευτικών που διδάσκεται στην

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ιστορία Ασύμμετρης Κρυπτογραφίας Η αρχή έγινε το 1976 με την εργασία των Diffie-Hellman

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

μαθη ματικῶν, ἀλλὰ καὶ τὴ βαθιά του ἐκτίμηση γιὰ τὴ χαϊντεγκεριανὴ ἱστορικὴ κατανόηση τοῦ ἀνθρώπινου κόσμου. Καταγράφοντας ὅλες αὐτὲς τὶς ἐπιδράσεις,

μαθη ματικῶν, ἀλλὰ καὶ τὴ βαθιά του ἐκτίμηση γιὰ τὴ χαϊντεγκεριανὴ ἱστορικὴ κατανόηση τοῦ ἀνθρώπινου κόσμου. Καταγράφοντας ὅλες αὐτὲς τὶς ἐπιδράσεις, ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τὸ βιβλίο αὐτὸ εἶναι προϊὸν μακρόχρονης ἐξέλιξης. Γιὰ εἴκοσι περίπου χρόνια, τὸ ἐνδιαφέρον μου γιὰ τὸν Φρέγκε ἀποτέλεσε μέρος ἑνὸς ὁδοιπορικοῦ ποὺ ξεκίνησε ἀπὸ τὸ Μόναχο καί, μέσω τῆς Ὀξφόρδης

Διαβάστε περισσότερα

Ὁ Γάμος. Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι,

Ὁ Γάμος. Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι, Ὁ Γάμος Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι, ὲ λίγες ἡμέρες πρόκειται νὰ ἑνωθεῖτε μὲ τὰ δεσμὰ τοῦ Γάμου διὰ τῶν εὐλογιῶν τῆς Ἁγίας Ἐκκλησίας τοῦ Κυρίου μας. Αὐτὸ τὸ γεγονὸς χρειάζεται ὡς καταλύτη τὸν τελειωτῆ καὶ

Διαβάστε περισσότερα

μπορεῖ νὰ κάνει θαύματα. Ἔτσι ὁ ἅγιος Νέστωρ, παρότι ἦταν τόσο νέος, δὲν λυπήθηκε τὴν ζωή του καὶ ἦταν ἕτοιμος νὰ θυσιάσει τὰ πάντα γιὰ τὸν Χριστό.

μπορεῖ νὰ κάνει θαύματα. Ἔτσι ὁ ἅγιος Νέστωρ, παρότι ἦταν τόσο νέος, δὲν λυπήθηκε τὴν ζωή του καὶ ἦταν ἕτοιμος νὰ θυσιάσει τὰ πάντα γιὰ τὸν Χριστό. Ο Μ Ι Λ Ι Α ΤΗΣ Α.Θ.ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΤΟΣ ΤΟΥ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΟΥ ΠΑΤΡΙΑΡΧΟΥ κ.κ. Β Α Ρ Θ Ο Λ Ο Μ Α Ι Ο Υ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΠΙΣΚΕΨΙΝ ΑΥΤΟΥ ΕΙΣ ΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΟΥ (25 Ὀκτωβρίου 2013) Ἱερώτατε καὶ φίλτατε ἐν Χριστῷ ἀδελφὲ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

BYZANTINA ΣΥΜΜΕΙΚΤΑ 23 (2013) 279-283

BYZANTINA ΣΥΜΜΕΙΚΤΑ 23 (2013) 279-283 Paul Canart, Études de paléographie et de codicologie reproduites avec la collaboration de Maria Luisa Agati et Marco D Agostino, τόμ. I-II [Studi e Testi 450-451], Città del Vaticano 2008, σσ. XXVIII+748+VI+749-1420.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΤΟ EXCEL I K ΗΜΗΤΡΙΟΥ 17 1. Γράφηµα συνάρτησης µιας µεταβλητής ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Θα σχεδιάσοµε µε το Excel το γράφηµα της συνάρτησης y=sin(x), x [0,2π], για να επιδείξοµε γενικότερα τη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α κα Μαρία Παπαθανασίου, ἐπίκ. καθηγήτρια ΤΕΙ Ἀθηνῶν 7/2/2005 Ἡ ἱεραρχία τῶν ἀνθρώπινων ἀναγκῶν, σύμφωνα μὲ τὸν Α. Maslow, εἶναι ἡ ἑξῆς:

Διαβάστε περισσότερα

Τὴν ὥρα ποὺ γραφόταν μία ἀπὸ τὶς πιὸ θλιβερὲς καὶ αἱματοβαμμένες

Τὴν ὥρα ποὺ γραφόταν μία ἀπὸ τὶς πιὸ θλιβερὲς καὶ αἱματοβαμμένες Τιμὴ καὶ εὐγνωμοσύνη Ἰαπωνικὸ πλοῖο πέταξε πανάκριβο μετάξι γιὰ νὰ σώσει Μικρασιάτες* Ἡ ἄγνωστη ἱστορία τοῦ ἐμπορικοῦ καραβιοῦ ἀπὸ τὴν Ἄπω Ἀνατολὴ ποὺ ἔδωσε παράδειγμα ἀνθρωπιᾶς, ἐνῶ οἱ δυτικοὶ «σύμμαχοί»

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΥΣΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΤΟ ΓΛΥΠΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΤΗΣ ΕΛΕΝΗΣ ΠΟΤΑΓΑ*

H ΜΥΣΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΤΟ ΓΛΥΠΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΤΗΣ ΕΛΕΝΗΣ ΠΟΤΑΓΑ* H ΜΥΣΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΤΟ ΓΛΥΠΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΤΗΣ ΕΛΕΝΗΣ ΠΟΤΑΓΑ* Κ ΑΠΟΤΕ ΥΠΗΡΧΕ ΜΙΑ ΜΟΝΟ ΤΕΧΝΗ, αὐτὴ ποὺ θὰ ὑπάρχει στοὺς αἰῶνες, ὅσο βέβαια θὰ ὑπάρχουν ἄνθρωποι ἐπὶ τῆς γῆς ἐννοοῦμε τὴν ἱερὴ καὶ τελετουργικὴ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΟΝΙΑ ΛΑΤΡΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΦΟΣΙΩΣΕΩΣ

ΔΙΑΚΟΝΙΑ ΛΑΤΡΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΦΟΣΙΩΣΕΩΣ Μητροπολίτου Γουμενίσσης, Ἀξιουπόλεως καί Πολυκάστρου ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΔΙΑΚΟΝΙΑ ΛΑΤΡΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΦΟΣΙΩΣΕΩΣ ΑΘΗΝΑ 1987 Προσφώνηση στοὺς Νεωκόρους τῶν Ἱ. Ναῶν τῆς Ἀρχιεπισκοπῆς Ἀθηνῶν, κατὰ τὴ διάρκεια γεύματος ποὺ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn

Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn 1.Γράφουμε τον εκθέτη b στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης i b = b i όπου i= 0 bi {0,1} I==0,1,,l-1.Εφαρμόζουμε έπειτα τον εξής αλγόριθμο: z=1 for I=l-1 downto 0 do z=z modn

Διαβάστε περισσότερα

Φεύγουμε; Μένουμε; * * * Ἀλλὰ κι ἄλλα αντίθετα παραδείγματα νὰ πάρουμε ἱστορικά.

Φεύγουμε; Μένουμε; * * * Ἀλλὰ κι ἄλλα αντίθετα παραδείγματα νὰ πάρουμε ἱστορικά. Φεύγουμε; Μένουμε; Ἦταν γραμμένο, φίλοι, σὲ τοῖχο: «Μόνη λύση ἡ φυγή»! Ἀπὸ κάτω κάποιος ἄλλος εἶχε γράψει: «Ἡ φυγὴ εἶναι ἧττα»! Καὶ σκέφτηκα. Ἆραγε τί εἶναι ἡ φυγή, λύση ἢ ἧττα; Ἀνδρεία ἢ δειλία; Ἡρωϊσμὸς

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Η Α.Θ.Π. ο Οικουμενικός Πατριάρχης κ.κ. Βαρθολομαίος. τίμησε με την παρουσία του τις εκδηλώσεις για τον εορτασμό

Η Α.Θ.Π. ο Οικουμενικός Πατριάρχης κ.κ. Βαρθολομαίος. τίμησε με την παρουσία του τις εκδηλώσεις για τον εορτασμό Θέρμη 25/10/2013 Η Α.Θ.Π. ο Οικουμενικός Πατριάρχης κ.κ. Βαρθολομαίος τίμησε με την παρουσία του τις εκδηλώσεις για τον εορτασμό των 35 χρόνων των Εκπαιδευτηρίων Ε. Μαντουλίδη. Τον εορτασμό των 35 χρόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2015-2016 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ :

Διαβάστε περισσότερα