3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ
|
|
- Σωφρονία Κουταλιανός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. Διαφορά μετρήσεων από εκτιμήσεις μετρήσεων. Όταν επιλύοµε ένα αντίστροφο πρόβληµα υπολογίζοµε ένα διάνυσµα παραµέτρων est m το οποίο αντιπροσωπεύει µία εκτίµηση της λύσης του αντίστροφου προβλήµατος. Στην περίπτωση του γραµµικού αντίστροφου προβλήµατος που παράµετροι και est δεδοµένα συσχετίζονται µέσω της σχέσης = Gm, η αντικατάσταση της λύσης m στην προηγούµενη σχέση, δεν είναι απαραίτητο ότι θα µας δώσει ξανά το διάνυσµα pre των παρατηρήσεων, αλλά ένα άλλο διάνυσµα το οποίο µπορεί να διαφέρει ως προς τα στοιχεία του από το. Το διάνυσµα των διαφορών (msft) ανάµεσα στις µετρήσεις και στις εκτιµήσεις των µετρήσεων συµβολίζεται µε eκαι έχει διάσταση Ν. Φυσικά e =. pre Στο Σχήµα 3. φαίνεται η σχέση µέτρησης και εκτίµησης µέτρησης για την περίπτωση του υπολογισµού των παραµέτρων µιας ευθείας. Για την τυχούσα µέτρηση στο σηµείο z η ευθεία που χαράζουµε µας δίνει την τιµή είναι. Η αντίστοιχη διαφορά (msft) είναι e. pre ενώ η µετρηθείσα τιµή pre e x Σχήµα 3. ιαφορά µέτρησης και εκτίµησης µέτρησης Στόχος γενικά της διαδικασίας επίλυσης ενός αντίστροφου προβλήµατος είναι να ελαχιστοποιήσει τις διαφορές µε κάποιο ορθολογικό τρόπο, ώστε το αποτέλεσµα των εκτιµήσεων να είναι πολύ κοντά στην πραγµατικότητα, δηλαδή στις πραγµατικές µετρήσεις. Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιούµε την έννοια της νόρµας διανυσµάτων για να έχοµε ένα µέγεθος προς βελτιστοποίηση. 0
2 3. Νόρμες διανυσμάτων Γνωρίζοµε ότι η έννοια της νόρµας x είναι συνυφασµένη µε τις εξής ιδιότητες : x > 0 (3.α) ax = a x (3.β) x+ y x + y (3.γ) Εάν x και y είναι διανύσµατα ισχύουν ακριβώς οι ίδιες σχέσεις. Στην περίπτωση των διανυσµάτων ορίζοµε τις παρακάτω νόρµες που είναι οι διακριτές ανάλογες των νορµών των συνεχών µεταβλητών : L νόρµα : L νόρµα : x = x (3.α) / = x x (3.β).. L n νόρµα : /n x = x n n (3.γ) Επίσης ορίζεται η νόρµα µεγίστου από τη σχέση L νόρµα : x max x (3.δ) = 3.3 Η νόρμα της διαφοράς μετρήσεων και εκτιμήσεων Εάν στη θέση του διανύσµατος x βάλοµε το διάνυσµα e οι νόρµες που ορίσαµε παραπάνω µας δίνουν µία µέτρηση «µήκους» ως προς την διαφορά µετρήσεων και εκτιµήσεων. Ελαχιστοποιώντας µία νόρµα αυτής της µορφής, ελαχιστοποιούµε λοιπόν και µία ποσότητα που σχετίζεται διαφορές µετρήσεων και εκτιµήσεων. Ασφαλώς η ελαχιστοποίηση µιας συγκεκριµένης νόρµας ως προς τις παραµέτρους που προκαλούν τη διαφορά, δεν δίδει το ίδιο αποτέλεσµα µε την ελαχιστοποίηση κάποιας άλλης.
3 Σχήµα 3. Πέρασµα ευθείας από σηµεία µετρήσεων που περιλαµβάνουν και µία ακραία µέτρηση (outler) Έχει λοιπόν ιδιαίτερο ενδιαφέρον να δούµε τη σηµασία κάθε νόρµας ως προς τα χαρακτηριστικά των στοιχείων που την αποτελούν. Ας δούµε το Σχήµα 3.. Αναφέρεται στο πρόβληµα του υπολογισµού παραµέτρων ευθείας όταν υπάρχουν Ν µετρήσεις σε διάφορα σηµεία του άξονα z που συµβολίζονται µε µικρούς κύκλους. o πρόβληµα αυτό το είδαµε στο εδάφιο.3.. Στο σχήµα έχοµε υποθέσει ότι υπάρχει µία µέτρηση (outler) που διαφέρει πολύ από τις υπόλοιπες. Στόχος µας είναι να ελαχιστοποιήσοµε τις διαφορές µετρήσεων και εκτιµήσεων µετρήσεων και για το σκοπό αυτό υπολογίζοµε τις παραµέτρους της ευθείας ελαχιστοποιώντας κάποια νόρµα. Το πώς θα γίνει αυτό θα το δούµε σε άλλο εδάφιο. Εάν χρησιµοποιήσοµε την διακριτή Lνόρµα, παίρνοµε την κόκκινη γραµµή. Εάν χρησιµοποιήσοµε την διακριτή Lνόρµα, παίρνοµε την πράσινη γραµµή και εάν χρησιµοποιήσοµε την L νόρµα παίρνοµε την µπλε γραµµή. Βλέποµε ότι η µπλε γραµµή είναι πιο κοντά στην ακραία µέτρηση, άρα της δίδει ιδιαίτερη σηµασία. Γενικά η νόρµα µεγαλύτερης τάξης δίνει µεγαλύτερη σηµασία σε ακραίες τιµές µετρήσεων. Αντίθετα η νόρµα µικρής τάξης δίνει µικρή αξία σε ακραίες τιµές µετρήσεων. Εάν έχοµε λοιπόν λόγους να πιστεύουµε ότι ακραίες τιµές είναι σηµαντικές και αξιόπιστες, πρέπει να χρησιµοποιούµε νόρµες µεγαλύτερης τάξης. Εάν όµως από την άλλη µεριά θεωρήσοµε ότι οι µετρήσεις είναι τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν κανονική κατανοµή τότε µία νόρµα που δίνει καλά αποτελέσµατα είναι η διακριτή L νόρµα που καλείται και Ευκλείδεια Νόρµα. Για µετρήσεις που ακολουθούν κανονική κατανοµή, είναι απίθανο να έχοµε καταστάσεις όπως αυτή του σχήµατος 3. µε την ακραία µέτρηση, αλλά ακόµη και εάν αυτή υπάρχει, µπορούµε να θεωρήσοµε ότι πρόκειται για τυχαίο λάθος µέτρησης.
4 Εάν λοιπόν χρησιµοποιήσοµε την Lνόρµα, µπορούµε να δούµε ότι για το διάνυσµα e, αυτή είναι ίση µε το γινόµενο E N = = e e e, (3.3) = που χαρακτηρίζεται και ως ολικό λάθος (overall error). Ελαχιστοποιώντας λοιπόν το ολικό λάθος ως προς µία προς µία τις παραµέτρους του γραµµικού αντίστροφου προβλήµατος, µπορούµε να πάροµε εκτιµήσεις της λύσης του που έχουν προκύψει από την αρχή των ελαχίστων τετραγώνων. 3.3 Η λύση ελαχίστων τετραγώνων για το γενικό γραμμικό αντίστροφο πρόβλημα Αναλυτικός υπολογισμός των παραμέτρων Ας θεωρήσοµε το γραµµικό αντίστροφο πρόβληµα που ορίζεται από τη σχέση : = Gm. (3.4) Εάν λύσουµε το πρόβληµα και πάροµε λύσεις και το ολικό λάθος Ε είναι : est m η ανωτέρω σχέση δίνει : obs est = Gm (3.5) E= e e= ( - obs ) ( - obs ) = ( - Gm est ) ( - Gm est ) = N M M est est = Gjm j Gk mk = j= k=. (3.6) Παίρνοντας παράγωγο ως προς κάθε παράµετρο προς υπολογισµό m, q=,... M µπορούµε µετά από πράξεις (άσκηση) να καταλήξοµε στο σύστηµα : est G Gm G = 0. (3.7) Ο πίνακας G G είναι ένας τετραγωνικός πίνακας Μ x M. Εάν ο πίνακας αυτός αντιστρέφεται, τότε µπορούµε να πάροµε τη λύση : est m = G G G, (3.8) q που χαρακτηρίζεται ως λύση ελαχίστων τετραγώνων για το διακριτό αντίστροφο πρόβληµα (3.4). 3
5 3.3. Η λύση ελαχίστων τετραγώνων από την πλευρά της Γραμμικής Άλγεβρας. Θα δούµε τώρα πως µπορούµε να καταλήξοµε στο ίδιο αποτέλεσµα για την λύση ελαχίστων τετραγώνων χρησιµοποιώντας έννοιες της Γραµµικής Άλγεβρας. Ας θεωρήσοµε πάλι το γραµµικό πρόβληµα που ορίζεται από τη σχέση : = Gm (3.4) Παρατηρούµε ότι ο πίνακας G είναι παραλληλόγραµµος µε διαστάσεις ΝxM. Το πρόβληµα αυτό γνωρίζοµε πολύ καλά ότι γενικά δεν έχει λύση. Εάν έχοµε Ν>Μ, και πάροµε ένα νέο διάνυσµα το οποίο να ανήκει στο χώρο των στηλών του G, τότε το αντίστοιχο πρόβληµα έχει λύση. Ποιο όµως θα είναι αυτό το διάνυσµα ; Ασφαλώς µε βάση αυτά που έχοµε πει µέχρι τώρα, θέλοµε το να είναι κατά το δυνατόν πλησιέστερο στο. Γνωρίζοµε ότι αυτό είναι η ορθογώνια προβολή του στο χώρο των στηλών του G, και θα ισχύει : ' est = Gm (3.9) est Τότε όµως το διάνυσµα της διαφοράς - ' = - Gm θα είναι ορθογώνιο στο χώρο των στηλών του G και εποµένως θα ανήκει στον αριστερό µηδενόχωρο του G. Εποµένως θα ισχύει η σχέση : Ανακτήσαµε συνεπώς τη σχέση 3.7. ' est est G ( - ) = 0 G ( - Gm ) = 0 G = G Gm (3.0) Ξέροµε τώρα από την Γραµµική Άλγεβρα ότι για να αντιστρέφεται ο πίνακας G G θα πρέπει ο G να έχει γραµµικά ανεξάρτητες στήλες. Αυτό σηµαίνει ότι οι µετρήσεις πρέπει να γίνονται µε κατάλληλο τρόπο ώστε να εξασφαλίζεται η εν λόγω προϋπόθεση. 4
6 3.4 Παραδείγματα επίλυσης γραμμικών αντιστρόφων προβλημάτων με την αρχή των ελαχίστων τετραγώνων Υπολογισμός ευθείας γραμμής Επανερχόµαστε στο πρόβληµα του υπολογισµού των παραµέτρων µιας ευθείας γραµµής από Ν µετρήσεις. Είδαµε στην εξίσωση.9 το µοντέλο του προβλήµατος που εδώ θα το γράψοµε στη µορφή: = m + m z (3.) και στη µορφή της Γραµµικής Εξίσωσης Gm = παίρνει το σχήµα : z z.. m... = m.... zn N (3.) οπότε z z..... N Σz G G = z z... z = N.. z z (3.3) Σ Σ.. zn και Σ G =... = Σz (3.4) οπότε η λύση ελαχίστων τετραγώνων είναι : m est N Σz Σ = G G G = Σz Σz Σz (3.5) 5
7 Εάν η ορίζουσα του πίνακα G G είναι 0, προφανώς ο πίνακας δεν αντιστρέφεται και δεν έχοµε λύση ελαχίστων τετραγώνων. Από την Γραµµική Άλγεβρα ξέροµε πάντως ότι όταν οι στήλες του πίνακα G, είναι γραµµικά ανεξάρτητες, τότε ο πίνακας G G αντιστρέφεται. Απλή παρατήρηση στην 3. µας υποδηλώνει ότι ειδικά για το συγκεκριµένο πρόβληµα αρκεί οι µετρήσεις να µην έχουν όλες γίνει στο ίδιο σηµείο προκειµένου να υπάρχει λύση Υπολογισμός παραβολής Θεωρούµε τώρα το πρόβληµα του υπολογισµού των παραµέτρων µιας παραβολής από Ν µετρήσεις όπως ακριβώς και στο προηγούµενο πρόβληµα. Εδώ το µοντέλο µας είναι = m + m z + m z (3.6) 3 και στη µορφή της Γραµµικής Εξίσωσης Gm = παίρνει το σχήµα : z z z z m.... m... =. m zn z N N (3.7) Οπότε για το γινόµενο G G παίρνοµε : z z z N z z N z N z z z... Σ Σ z z z G G = = Σz Σz Σz (3.8) z z z Σ Σ Σ... zn zn και για τον όρο G 6
8 ... Σ. z z... z G = = Σz (3.9) N. z z... z Σz N Έτσι η λύση ελαχίστων τετραγώνων είναι η :. N Σ 3 Σz 3 4 Σ N Σz Σz est m = G G G = Σz Σz Σz (3.0) Σz Σz Σz z Ως προς την επιλυσιµότητα του συστήµατος 3.9 και την ύπαρξη της λύσης 3.0, ισχύουν τα αναφερθέντα και στο προηγούµενο παράδειγµα σχετικά µε τις ιδιότητες του πίνακα G Υπολογισμός εξίσωσης επιπέδου στο χώρο. Ας δούµε ένα ακόµη παράδειγµα επίλυσης αντιστρόφου προβλήµατος µε την αρχή των ελαχίστων τετραγώνων. Θέλοµε να υπολογίσοµε τις παραµέτρους της εξίσωσης που παριστάνει ένα επίπεδο στο χώρο..... ( x, y )..... y x Σχήµα 3.3 Υπολογίζοντας τις παραµέτρους της εξίσωσης επιπέδου 7
9 Με αναφορά στο σχήµα 3.3 θα πρέπει να υπολογίσοµε τις παραµέτρους m = [ m, m, m ] µια και το επίπεδο έχει εξίσωση : 3 = m + m x+ m y (3.) 3 Η εξίσωση Gm = παίρνει τη µορφή : x y x y m.... m... =. m xn y N N (3.) Αντίστοιχα έχοµε για το γινόµενο G G : x x... N Σx Σy... x x... x G G = N = x x x y... Σ Σ Σ (3.3) y y... y Σy N Σx y Σy και για τον όρο... xn yn G y y... Σ. x x... x G = N x =. Σ (3.4) y y... y Σy N. N που δίνουν τη λύση ελαχίστων τετραγώνων : Σ x N Σx Σy est m = x x x y G G G = Σ Σ Σ Σ. (3.5) Σy Σx y Σy Σy Επισηµαίνεται για µία ακόµη φορά ότι ο αντίστροφος του πίνακα G Gυπάρχει όταν οι στήλες του Gείναι γραµµικά ανεξάρτητες. εν µπορεί για παράδειγµα οι 8
10 µετρήσεις να γίνονται στο ίδιο σηµείο, αλλά ούτε και να γίνονται µε τρόπο που x = κ y για όλα τα. 3.5 Υπο-ορισμένα προβλήματα Η λύση ελαχίστων τετραγώνων που είδαµε στο προηγούµενο εδάφιο, αναφέρεται σε προβλήµατα που έχουν περισσότερη πληροφορία απ ό,τι χρειάζεται για να δοθεί µοναδική λύση. Τα προβλήµατα αυτά αναφέρονται ως υπερ-ορισµένα (overetermne). Με την έννοια της Γραµµικής Άλγεβρας αναφερόµαστε σε γραµµικά προβλήµατα που ανάγονται σε συστήµατα Ν εξισώσεων µε Μ αγνώστους µε N > M. Με την ίδια λογική, προβλήµατα που έχουν λιγότερες εξισώσεις απ ότι αγνώστους χαρακτηρίζονται υπο-ορισµένα (uneretermne). Στη θεωρία πάντως των αντιστρόφων προβληµάτων, ο χαρακτηρισµός σε υποορισµένα ή υπερ-ορισµένα προβλήµατα σχετίζεται και µε τη διαδικασία λήψης των µετρήσεων, καθώς υπάρχουν προβλήµατα στα οποία ανεξάρτητα από τον αριθµό των µετρήσεων και των παραµέτρων, υπάρχει περισσότερη πληροφορία απ ό,τι χρειάζεται για ορισµένες παραµέτρους και λιγότερη για κάποιες άλλες. Τα προβλήµατα αυτά χαρακτηρίζονται γενικά ως µεικτά. Υπάρχει πάντως µία κατηγορία γραµµικών αντιστρόφων προβληµάτων για τα οποία ισχύει N < M και επί πλέον οι εξισώσεις είναι συνεπείς (consstent). Τα προβλήµατα αυτά χαρακτηρίζονται ως καθαρά υπο-ορισµένα προβλήµατα. Για παράδειγµα θεωρείστε το γραµµικό σύστηµα x+ y+ z= 6 x+ y z= (3.6) Το πρόβληµα υπολογισµού των αγνώστων είναι καθαρά υπο-ορισµένο. Υπάρχουν περισσότερες από µία λύσεις (στην πραγµατικότητα άπειρες) που όλες τους ικανοποιούν τια παραπάνω εξισώσεις και δίνουν µηδενικό ολικό λάθος. οκιµάστε τις λύσεις [,,3] και [ 3,8,]. Και οι δύο ικανοποιούν την 3.6 ακριβώς. Εάν οι λύσεις αυτές αφορούσαν ένα αντίστροφο πρόβληµα, θα είχαµε κάποια δυνατότητα να αποφασίσουµε ποια είναι η καλύτερη ; Με άλλα λόγια, σε ένα καθαρά υπο-ορισµένο πρόβληµα έχοµε κάποιο µηχανισµό για να µας δώσει µία βέλτιστη λύση ; Η απάντηση είναι ότι υπάρχουν διάφορα κριτήρια που µας δίδουν τη δυνατότητα να επιλέξουµε από τις δυνατές λύσεις του γραµµικού συστήµατος στο οποίο ανάγεται το αντίστροφο πρόβληµα εκείνη που είναι πιο κοντά στην αναµενόµενη πραγµατικότητα. Τα κριτήρια αυτά συνοψίζονται στον όρο εκ προοιµίου ή αρχική πληροφορία (a-pror nformaton) που µπορεί να διατυπώνεται µε εναλλακτικούς τρόπους. Για παράδειγµα, ας υποθέσοµε ότι µελετάµε ένα αντίστροφο πρόβληµα που έχει ως στόχο τον υπολογισµό της πυκνότητας υλικών. Η πυκνότητα γνωρίζοµε ότι 9
11 είναι ένα µέγεθος που εκφράζεται µε θετικό αριθµό. Συνεπώς αποκλείονται από τις δυνατές λύσεις εκείνες που µπορεί να δίνουν αρνητικές πυκνότητες. Στο παράδειγµα του συστήµατος 3.6 εάν οι άγνωστοι πρέπει να είναι θετικές ποσότητες, θα πρέπει να αποκλείσουµε την δεύτερη από τις αναφερθείσες λύσεις αφού µας δίνει x< 0 Ένας περιορισµός που µπορεί σε ορισµένες περιπτώσεις να χρησιµοποιηθεί σε αντίστροφα προβλήµατα από φυσικές επιστήµες είναι εκείνος που αναφέρεται στο ελάχιστο µήκος της λύσης. ηλαδή ζητάµε λύσεις που να έχουν όσο το δυνατόν χαµηλές αριθµητικά τιµές. Αυτό µπορεί να εκφραστεί µέσω της ευκλείδειας νόρµας της λύσης που είναι : L Μ = = j= m m m (3.7) Θα δούµε στη συνέχεια περισσότερο σύνθετες περιπτώσεις όπου το µήκος της λύσης συνδυάζεται µε άλλα κριτήρια για να µας δώσει βέλτιστη λύση στο αντίστροφο πρόβληµα. Στην απλή περίπτωση που χρησιµοποιηθεί ο περιορισµός του ελάχιστου µήκους, µπορούµε να διατυπώσουµε ένα γραµµικό αντίστροφο πρόβληµα ως εξής : j Υπολογίστε το διάνυσµα m ισχύει επίσης e = - Gm = 0. est που ελαχιστοποιεί τη νόρµα L= m m, όταν Στην ανωτέρω διατύπωση υπονοούµε ότι έχοµε ένα πρόβληµα καθαρά υπο-ορισµένο και γι αυτό οι λύσεις του προβλήµατος ικανοποιούν ακριβώς το γραµµικό σύστηµα = Gmπου ορίζει το αντίστροφο πρόβληµα. Ένα πρόβληµα αυτής της µορφής λύνεται µε τη χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange. Το πρόβληµα ανάγεται στην ελαχιστοποίηση µιας κατάλληλης αντικειµενικής συνάρτησης που στην περίπτωσή µας ορίζεται ως : N M N M Φ ( m) = L+ λι e = m j + λι Gjm j = j= = j= (3.8) Παραγωγίζοντας τη συνάρτηση ως προς τις παραµέτρους m και ζητώντας την παράγωγο να είναι 0, παίρνοµε ένα σύστηµα ως προς τους πολλαπλασιαστές που επιλυόµενο µας δίνει ένα νέο σύστηµα ως προς τις βέλτιστες λύσεις Ας δούµε την πορεία αυτή :. Παραγώγιση ως προς όλα τα m Φ m m = = = 0 m m m M N M N j j m j λ Gj mq λgq q j= q = j= q = est m. (3.9) 30
12 . Γράφοµε τις ανωτέρω σχέσεις για q=,... Mσε διανυσµατική µορφή : m= G λ (3.30) 3. Επειδή ισχύει παράλληλα και = Gm, αντικαθιστώντας το m από την 3.30 στην αρχική εξίσωση παίρνοµε : = G G λ / (3.3) 4. Εάν ο πίνακας GG που έχει διαστάσεις Μ x Μ αντιστρέφεται, µπορούµε να εκφράσοµε µέσω αυτού τους πολλαπλασιαστές Lagrange. λ= GG (3.3) 5. Με αντικατάσταση της 3.3 στην 3.30 παίρνοµε τη λύση (ελαχίστου µήκους) est m G GG (3.33) = Ως προς την αντιστρεψιµότητα του πίνακα GG, από τη Γραµµική Άλγεβρα γνωρίζοµε ότι αρκεί οι γραµµές του G να είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Αυτό όµως εξασφαλίζεται από την υπόθεση για ένα καθαρά υπο-ορισµένο αντίστροφο πρόβληµα χωρίς ασυνέπειες. ΑΣΚΗΣΗ Επιλύστε το πρόβληµα 3.6 µε την αρχή του ελαχίστου µήκους. 3
3.6 Μεικτά ορισμένα προβλήματα. 2. Γράφοµε τις ανωτέρω σχέσεις για q= 1,... Mσε διανυσµατική µορφή : G λ (3.30)
. Γράφοµε τις ανωτέρω σχέσεις για q=,... Mσε διανυσµατική µορφή : = G λ (3.30) 3. Επειδή ισχύει παράλληλα και d = G, αντικαθιστώντας το από την 3.30 στην αρχική εξίσωση παίρνοµε : d= G G λ / (3.3) 4. Εάν
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα
Πανεπιστήµιο Κρήτης Τµήµα Μαθηµατικών ιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα Σηµειώσεις του Μαθήµατος βασισµένες κυρίως στο Βιβλίο : Geophyscal Data Analyss : Dscrete Inverse heory του Wllam Menke Μιχάλης Ταρουδάκης
Διαβάστε περισσότερα3.9 Πίνακας συνδιακύμανσης των παραμέτρων
Στην περίπτωσή µας έχοµε p= 1περιορισµό της µορφής : που γράφεται ως : ' = m + m z ' (3.47) 1 m Fm 1 = [1 z '] = [ '] = h m. (3.48) Η εξίσωση 3.46 στην περίπτωση αυτή χρησιµοποιώντας τους πίνακες που είδαµε
Διαβάστε περισσότερα6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 6. Διανυσματικοί χώροι παραμέτρων και μετρήσεων. Θα δανειστούµε για µία ακόµη φορά έννοιες της Γραµµικής Άλγεβρας προκειµένου να δούµε πως µπορούµε να χειριστούµε
Διαβάστε περισσότερα7. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
7. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 7. Παραμετροποίηση αντιστρόφων προβλημάτων Τα διακριτά αντίστροφα προβλήµατα όπως έχουµε δει αντιµετωπίζουν σχέσεις παραµέτρων ενός φυσικού προβλήµατος και µετρήσεις
Διαβάστε περισσότερα5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ
5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΟΦΑΕΙΑΣ 5. Η συνάρτηση μέγιστης πιθανοφάνειας Έστω µία τυχαία µεταβλητή η οποία αντιπροσωπεύει την µέτρηση κάποιας συγκεκριµένης ποσότητας µε πραγµατική αλλά άγνωστη τιµή θ σε ένα
Διαβάστε περισσότερα1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.
.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης
Διαβάστε περισσότερα' ' ' ' ' ' ' e G G G G. G M ' ' ' ' G '
µετασχηµατισµό τέτοιο ώστε επιδρώντας στο λάθος πρόβλεψης e, ( e = e) να οδηγεί σε ελαχιστοποίηση του E = e e όταν ελαχιστοποιείται το Ε, να µετασχηµατίζει τον πίνακα G στον πίνακα G που να έχει άνω τριγωνική
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε την περιστροφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα. Εδώ θα εξετάσοµε την εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος γενικώς. Πριν το κάνοµε
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παγκόσµια έλξη ύναµη µεταξύ υλικών σηµείων Σε ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων θεωρούµε δυο σηµειακές µάζες και Η µάζα είναι ακίνητη στην αρχή των αξόνων και η µάζα βρίσκεται στη διανυσµατική
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα
Πανεπιστήµιο Κρήτης Τµήµα Μαθηµατικών ιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα Σηµειώσεις του Μαθήµατος βασισµένες κυρίως στο Βιβλίο : Geophyscal Data Analyss : Dscrete Inverse Theory του Wllam Menke Μιχάλης Ταρουδάκης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραIII.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE
III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότεραIII.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE
III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ιατήρηση ορµής Ας θεωρήσοµε δυο υλικά σηµεία και µε µάζες και αντιστοίχως που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες και και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες
Διαβάστε περισσότεραΟι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.
Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)
Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ
HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και
Διαβάστε περισσότεραΣυστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson
Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ταλαντώσεις Στο Παράδειγµα 9 είδαµε τη µελέτη της κίνησης υλικού σηµείου µάζας, που βρίσκεται στο ένα άκρο ελατηρίου µε το άλλο άκρο του ελατηρίου σταθερό Θα επανεετάσοµε το ίδιο πρόβληµα εδώ
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες
Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων
57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού
Διαβάστε περισσότεραB5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ
B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ 1.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή. Χαρακτηρισμός πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων 3.Συνθήκες για περιορισμένα τοπικά ακρότατα 4.Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί 5.Περιορισμένα
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότερα2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ
. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΝα επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β.
Ενότητα 1 Εξισώσεις Ανισώσεις α βαθμού Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, με βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β. Να επιλύουμε την ανίσωση
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex
Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει
Διαβάστε περισσότερα1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού:
Διαβάστε περισσότεραIII.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ
III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ.Ολικά και τοπικά ακρότατα..εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3.Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Ολικά ακρότατα κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Περισσότερες μεταβλητές.
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραA2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ
A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί
Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότερα(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα
Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες
Διαβάστε περισσότερα1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20
Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων Ισαάκ Η Λαγαρής 1 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιον Ιωαννίνων 1 Με υλικό από το υπό προετοιμασία βιβλίο των: Βόγκλη,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες παραγώγισης ( )
66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ροπή και Σοφορµή Μέρος δεύτερο Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε την περισοφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα Εδώ θα εξετάσοµε την εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος γενικώς Πριν το κάνοµε
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου
Διαβάστε περισσότεραΟ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο
Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση
η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση --8 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση η Υπολογίστε τα κάτωθι όρια: cos α) β) γ) δ) ε) sin 5 α) Εφαρμόζουμε τον κανόνα L Hospital μια φορά (απροσδιοριστία της μορφής /)
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας
Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σκ της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα Χ=(Χ, Χ,, Χ ) από πληθυσμό το
Διαβάστε περισσότερα( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,
Διαβάστε περισσότεραπροβλήµατος Το φίλτρο Kalman διαφέρει από τα συνηθισµένα προβλήµατα ΜΕΤ σε δύο χαρακτηριστικά: παραµέτρων αγνώστων
Φίλτρα Kalman Εξαγωγή των εξισώσεων τους µε βάση το κριτήριο ελαχιστοποίησης της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων. Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ιατύπωση του
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n (1) x g (2)
KΕΦΑΛΑΙΟ Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ισότητες. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση κάτω από
Διαβάστε περισσότεραΑπό το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................
Διαβάστε περισσότεραΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότερα21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn
Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss
Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Διαβάστε περισσότεραMEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότεραQ 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β
Διαβάστε περισσότερα