Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ & Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΕ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2014 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ & Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΓΓΛΙΚΑ PAPERS IN BOTH GREEK AND ENGLISH

2 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

3 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ , Φαξ: Ιστοσελίδα: IΕ' ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Κυριακή, 06/04/2014 ΔΟΚΙΜΙΟ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ & Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: 60 λεπτά Να συμπληρώσετε προσεκτικά το φύλλο απαντήσεων, επιλέγοντας μόνο μία απάντηση για κάθε ερώτηση. Η συμπλήρωση να γίνει με μαύρισμα στο αντίστοιχο κυκλάκι. Κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με 4 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη απάντηση αφαιρείται 1 μονάδα. Απάντηση σε άσκηση με μαύρισμα σε περισσότερα από ένα κυκλάκια θεωρείται λανθασμένη. Επειδή η διόρθωση θα γίνει ηλεκτρονικά, οποιοδήποτε σημάδι ή σβήσιμο καθιστά την απάντηση λανθασμένη. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το χώρο δίπλα από τις ασκήσεις για βοηθητικές πράξεις. Συστήνεται όπως σημειώνετε τις απαντήσεις στο ειδικό έντυπο απαντήσεων στα τελευταία πέντε λεπτά της εξέτασης αφού βεβαιωθείτε ότι οι απαντήσεις είναι τελικές. Παραδείγματα συμπλήρωσης απαντήσεων: 1. Βρείτε το αποτέλεσμα 2+3=? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2 Σωστή συμπλήρωση: Λανθασμένη συμπλήρωση: 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E

4 Γ Γυμνασίου 15 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2014 Α Λυκείου 1. Η λύση του συστήματος 6χ 2y = 10 και y = 2 + 2x είναι Α. (4,6) Β. (2,1) Γ. (3,4) Δ. ( 2,-2,) Ε. Δεν έχει λύση 2. Αν φ(χ) = (χ 1) 2 3(χ 1) + 5 τότε η τιμή της παράστασης φ(φ(1)) είναι: Α. 1 Β. 5 Γ. 9 Δ. 16 Ε Σε ένα κουτί υπάρχουν 7 άσπρες μπάλες και κάποιες κόκκινες μπάλες. Αν αφαιρέσω από αυτό 4 κόκκινες μπάλες τότε η πιθανότητα επιλογής στην τύχη μιας άσπρης μπάλας θα γίνει 1. Οι κόκκινες μπάλες στο κουτί ήταν 2 Α. 3 Β. 4 Γ. 7 Δ. 10 Ε Αν ε 1 ε 2 με ε 2 : 8kx + 3y = 9 και την ε 1 να περνά από τα σημεία (2,6) και (3,8) τότε η τιμή του k είναι Α. 3 4 Β. 4 3 Γ. 4 3 Δ. 3 4 Ε Δίνονται οι αριθμοί 3, 4, χ, y, 2. Ο μέσος όρος τους είναι το 4 και η διάμεσος τιμή είναι 3. Οι αριθμοί χ και y δεν θα μπορούσαν να είναι Α. 0 και 11 Β. 1 και 10 Γ. 2 και 9 Δ. 3 και 8. Ε. 4 και 7 6. Δύο κύκλοι με κέντρα τα Α και Β έχουν κοινό μόνο το σημείο Δ. Η ΕΖ είναι διάμετρος στον ένα κύκλο και εφαπτομένη στον άλλο. Αν ΑΔ = 8 και ΒΕ = 2 τότε το ευθύγραμμο τμήμα ΖΓ είναι ίσο με Α. 3 Β. 4 Γ. 5 Δ.6 Ε. κανένα από αυτά Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 1

5 Γ Γυμνασίου 15 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2014 Α Λυκείου 7. Δίνεται ορθογώνιο με διαστάσεις x + 4 και x + 2 και εμβαδόν ίσο με 48. H τιμή του x είναι Α. 4 Β. -4 Γ. 10 Δ. -10 Ε Ένας κύβος με πλευρά μήκους 1 αποκόπτεται διαγώνια δημιουργώντας δύο νέα ίσα κομμάτια, εκ των οποίων το ένα φαίνεται στο σχήμα. Η επιφάνεια του ενός από τα νέα κομμάτια είναι : Α Β Γ. 2,5 + 2 Δ. 2 2 Ε Η αντιστοιχία ορίζεται ως Α = 1 Α και η αντιστοιχία ορίζεται ως Α = 1 + Α Η τιμή της παράστασης ((5 ) (3 )) είναι: Α. 8 Β. 13 Γ. 15 Δ. 34 Ε Ο αριθμός των λύσεων της εξίσωσης χ = χ 2 5 είναι Α. 1 Β. 2 Γ. 4 Δ. 5 Ε. καμία 11. Το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο. Το εμβαδόν του σκιασμένου ορθογωνίου είναι: Α. 10 Β. 14 Γ. 16 Δ. 18 Ε Το πλήθος των ζευγών των φυσικών αριθμών (x, y), που είναι λύσης της εξίσωσης 7χ + 3y = 76 είναι: Α. 1 Β. 2 Γ. 3 Δ. 4 Ε Αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις σχέσεις f(n) = n + f(n 1) και f(1) = 1 για κάθε φυσικό αριθμό n 2. Η αριθμητική τιμή του f(9) είναι Α. 10 Β. 19 Γ. 45 Δ. 55 Ε. 75 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 2

6 Γ Γυμνασίου 15 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2014 Α Λυκείου 14. Ο κύκλος ακτίνας 1 και το τετράγωνο έχουν το ίδιο κέντρο (Κ) και θεωρούμε ότι έχουν το ίδιο εμβαδόν. Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι Α. 4 π Β. π 2 Γ. 4 2 π Δ. π 1 Ε. Κανένα από αυτά 15. Αν f(x) = x 2013 (x 1) 2013, τότε f(9) f(3) f(4) είναι ίσο με Α Β. 4 Γ. 3 Δ. 2 Ε Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΓ = ΒΓ = 15, ΡΜ ΒΓ, ΡΤ ΑΓ. Η περίμετρος του ΡΤΓΜ είναι Α. 20 Β. 30 Γ. 40 Δ. 50 Ε. δεν μπορεί να υπολογιστεί 17. Η πιθανότητα ένα δίσεκτο έτος (366 μέρες) να έχει 53 Κυριακές είναι Α Β Γ. 2 7 Δ Ε Αν 2x + 1 = 3 τότε η τιμή της παράστασης x 16x είναι ίση με Α. 81 Β.27 Γ. 18 Δ. 17 Ε. κανένα x Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 3

7 Γ Γυμνασίου 15 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2014 Α Λυκείου 19. Όταν ρώτησαν την Άννα τι γωνία σχηματίζουν οι διαγώνιες των εδρών του κύβου του σχήματος, απάντησε χωρίς να σκεφτεί = Η σωστή απάντηση διαφέρει από την απάντηση της Άννας κατά: Α Β.20 0 Γ Δ Ε Στο διπλανό σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο με πλευρά 6cm, το Ο είναι το κέντρο του τετραγώνου και το EOΖ είναι ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές OΖ = 8cm και ΟΕ = 6cm. To εμβαδόν της επιφάνειας του τριγώνου, που βρίσκεται εκτός του τετραγώνου είναι: Α. 18cm 2 Β.12 cm 2 Γ. 9cm 2 Δ.15cm 2 Ε. κανένα από αυτά 21. Αν α + β = 6 και αβ = 3 τότε α 4 + β 4 είναι ίσο με Α Β. 882 Γ. 918 Δ. 81 Ε. καμία Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 4

8 Γ Γυμνασίου 15 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2014 Α Λυκείου 22. Δίνονται οι αριθμοί 2 5 2, 3 5 3, 4 5 4,, k 5 k, Ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί όλους τους πιο πάνω αριθμούς, είναι: Α. 24 Β. 1 Γ. 2 Δ. 4 Ε To άθροισμα όλων των τιμών του x που ικανοποιούν την εξίσωση (x 2 6x + 6) x2 4 = 1 είναι: Α. 0 Β.6 Γ. 7 Δ.1 Ε Αν η πλευρά ενός τετραγώνου διπλασιαστεί, τότε το εμβαδόν του θα αυξηθεί κατά: Α. 2% Β.100% Γ. 200% Δ.300% Ε.400% 25. H συνάρτηση f(x) ικανοποιεί την εξίσωση (x 2)f(x) + f ( 1 x ) = 1 για κάθε x 0. Η τιμή του f(3) είναι: Α. 5 3 Β. 1 3 Γ. 3 Δ. 1 Ε. 0 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 5

9 CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD 2014 ENGLISH VERSION

10 CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 36 Stasinou street, Off. 102, 2003 Strovolos Nicosia, Cyprus Tel , Fax: Website: 15 th CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD Sunday, 06/04/2014 EXAMS PAPER 9 th Grade C Gymnasium 10 th Grade - A Lyceum TIME: 60 minutes Fill carefully the answer sheet, by choosing only one answer to each question. The selection must be made by shading the right2answer. Every right answer is graded with 4 points. For each wrong answer 1 point will be lost. If a question is answered by shading more than one answer, the answer will be considered wrong. The correction will be electronically, so any mark will be taken wrong. You can use the space next to the questions to make extra notes. It is recommended that you complete the answer sheet in the last five minutes of the exam, with your final answer. Choose only one of the five proposed answers (A, B, C, D or E) and fill the box for right answer. Example of filling the table of answers: 41. Find the result 2+3=? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2 These fillings are correct and these are incorrect 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E

11 9 th & 10 th Grade 15 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2014 (C Gymnasium & Α Lyceum) 1. The solution of the simultaneous equations 6χ 2y = 10 and y = 2 + 2x is Α. (4,6) Β. (2,1) Γ. (3,4) Δ. ( 2,-2,) Ε. No Solution 2. If φ(χ) = (χ 1) 2 3(χ 1) + 5 the value of the expression φ(φ(1)) is Α. 1 Β. 5 Γ. 9 Δ. 16 Ε In a box there are 7 white balls and some red balls. If I take out of the box 4 red balls then the probability to choose a white ball becomes 1. The red balls in 2 the box were Α. 3 Β. 4 Γ. 7 Δ. 10 Ε If ε 1 ε 2 with ε 2 : 8kx + 3y = 9 and ε 1 passing from the points (2,6) and (3,8) then the value of k is Α. 3 4 Β. 4 3 Γ. 4 3 Δ. 3 4 Ε We are given the numbers 3, 4, χ, y, 2. Their mean value is 4 and their median is 3. The numbers χ and y can not be Α. 0 and 11 Β. 1 and 10 Γ. 2 and 9 Δ. 3 and 8. Ε. 4 and 7 6. Two circles with centers A and B touch only at the point Δ. Also ΕΖ is the diameter in one of the circles and tangent to the other. If ΑΔ = 8 and ΒΕ = 2 then the line segment ΖΓ is equal to Α. 3 Β. 4 Γ. 5 Δ.6 Ε. None Cyprus Mathematical Society Page 1

12 9 th & 10 th Grade 15 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2014 (C Gymnasium & Α Lyceum) 7. Α rectangle with dimensions x + 4 and x + 2 and area is equal to 48. The value of x is Α. 4 Β. -4 Γ. 10 Δ. -10 Ε A cube of side length 1 is cut across a diagonal to form two identical wedges, one of which is shown in the diagram. The surface area of the wedge is Α Β Γ. 2,5 + 2 Δ. 2 2 Ε The operation is defined by Α = 1 Α and the operation is defined by Α = 1 + Α. The value of ((5 ) (3 )) is Α. 8 Β. 13 Γ. 15 Δ. 34 Ε The number of solutions of the equation χ = χ 2 5 is Α. 1 Β. 2 Γ. 4 Δ. 5 Ε. None 11. ΑΒΓΔ is a rectangle. The Area of the shaded region is Α. 10 Β. 14 Γ. 16 Δ. 18 Ε The number of pairs of natural numbers (x, y) that are solutions to the equation 7χ + 3y = 76 is Α. 1 Β. 2 Γ. 3 Δ. 4 Ε. 5 Cyprus Mathematical Society Page 2

13 9 th & 10 th Grade 15 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2014 (C Gymnasium & Α Lyceum) 13. A function f has the following properties f(n) = n + f(n 1) and f(1) = 1 for each natural number n 2. The value of f(9) is Α. 10 Β. 19 Γ. 45 Δ. 55 Ε Α circle of radius 1 and a square have the same center (Κ) and consider that have also the same Area. The length of the line segment AB is Α. 4 π Β. π 2 Γ. 4 2 π Δ. π 1 Ε. None 15. If f(x) = x 2013 (x 1) 2013, then f(9) f(3) f(4) είναι ίσο με Α Β. 4 Γ. 3 Δ. 2 Ε In the triangle ΑΒΓ, ΑΓ = ΒΓ = 15, ΡΜ ΒΓ, ΡΤ ΑΓ. The perimeter of ΡΤΓΜ is Α. 20 Β. 30 Γ. 40 Δ. 50 Ε. cannot be calculated Cyprus Mathematical Society Page 3

14 9 th & 10 th Grade 15 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2014 (C Gymnasium & Α Lyceum) 17. The probability that a leap year (366 days) has 53 Sundays is Α Β Γ. 2 7 Δ Ε If 2x + 1 = 3 then the value of x 16x is equal to Α. 81 Β.27 Γ. 18 Δ. 17 Ε. None x 19. When Anna was asked to find the angle between the diagonals, of the sides, of the cube, in the following figure. She answered without thinking = The correct answer differs from Anna s answer by: Α Β.20 0 Γ Δ Ε In the figure, ABCD is a square of side 6cm with centre O. EOz is a rightangled triangle (O = 90 o ) with Oz = 8 cm and OE = 6 cm. The area of the region inside the triangle EOz and outside the square ABCD is Α. 18cm 2 Β.12 cm 2 Γ. 9cm 2 Δ.15cm 2 Ε. None Cyprus Mathematical Society Page 4

15 9 th & 10 th Grade 15 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2014 (C Gymnasium & Α Lyceum) 21. If α + β = 6 and αβ = 3 then α 4 + β 4 is equal to Α Β. 882 Γ. 918 Δ. 81 Ε. None 22. We are given the numbers 2 5 2, 3 5 3, 4 5 4,, k 5 k, The largest number which divides all of them is Α. 24 Β. 1 Γ. 2 Δ. 4 Ε The sum of all the values of x that satisfy the equation (x 2 6x + 6) x2 4 = 1 is Α. 0 Β.6 Γ. 7 Δ.1 Ε The side of a square is doubled. The area is increased by Α. 2% Β.100% Γ. 200% Δ.300% Ε.400% 25. The function f(x) satisfies the equation (x 2)f(x) + f ( 1 ) = 1 for every x x 0. The value of f(3) is Α. 5 3 Β. 1 3 Γ. 3 Δ. 1 Ε. 0 Cyprus Mathematical Society Page 5