ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΕ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2014 Α & Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΕ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 014 Α & Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΓΓΛΙΚΑ PAPERS IN BOTH GREEK AND ENGLISH

2 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

3 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στσίνου 36, Γρφ. 10, Στρόβολος 003 Λευκωσί, Κύπρος Τηλ , Φξ: Ιστοσελίδ: IΕ' ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Κυρική, 06/04/014 ΔΟΚΙΜΙΟ Α, Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: 60 λεπτά Ν συμπληρώσετε προσεκτικά το φύλλο πντήσεων, επιλέγοντς μόνο μί πάντηση γι κάθε ερώτηση. Η συμπλήρωση ν γίνει με μύρισμ στο ντίστοιχο κυκλάκι. Κάθε σωστή πάντηση βθμολογείτι με 4 μονάδες. Γι κάθε λνθσμένη πάντηση φιρείτι 1 μονάδ. Απάντηση σε άσκηση με μύρισμ σε περισσότερ πό έν κυκλάκι θεωρείτι λνθσμένη. Επειδή η διόρθωση θ γίνει ηλεκτρονικά, οποιοδήποτε σημάδι ή σβήσιμο κθιστά την πάντηση λνθσμένη. Μπορείτε ν χρησιμοποιήσετε το χώρο δίπλ πό τις σκήσεις γι βοηθητικές πράξεις. Συστήνετι όπως σημειώνετε τις πντήσεις στο ειδικό έντυπο πντήσεων στ τελευτί πέντε λεπτά της εξέτσης φού βεβιωθείτε ότι οι πντήσεις είνι τελικές. Πρδείγμτ συμπλήρωσης πντήσεων: 1. Βρείτε το ποτέλεσμ +3=? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) Σωστή συμπλήρωση: Λνθσμένη συμπλήρωση: 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E

4 Α & Β Γυμνσίου 15 η Κυπρική Μθημτική Ολυμπιάδ Απρίλιος Ποιο πό τ κόλουθ είνι το ποτέλεσμ της πράξης 0, ; Α.,38 Β. 0,38 Γ. 0,038 Δ. 0,00038 Ε. 0, Στο πρκάτω σχήμ, ένς ιμάντς περνά πό πέντε τροχλίες κι κινείτι σύμφων με τ βέλη. Πόσες τροχλίες γυρίζουν σύμφων με τους δείκτες του ρολογιού; Α. 1 Β. Γ. 3 Δ. 4 Ε Αν, β κι γ είνι κέριοι, η πράστση (β+γ) είνι πάντ ίση με όλ τ πιο κάτω εκτός Α. (+β)γ Β. (γ+β) Γ. (β+γ) Δ. (γ+β) Ε. β+γ 4. Γι κάθε θετικό κέριο ριθμό x ορίζουμε το σύμβολο x, ως κολούθως: x =x+(x 1)+(x )+ ++1 Γι πράδειγμ, 4 = Ποιο είνι το ποτέλεσμ της πράξης 4 40 ; Α. Β. 41 Γ. 4 Δ. 8 Ε Αν κι β είνι ρνητικοί ριθμοί, ποιο πό τ πρκάτω δίνει πάντ ρνητικό ριθμό; Α. β Β. (β) Γ. +β Δ. β Ε. β 6. Δίνοντι οι ριθμοί 30, 31, 3, 33, 34, 35. Αν S είνι το άθροισμ των υπολοίπων της διίρεσης κθενός πό τους ριθμούς υτούς με το 6, ποιο είνι το υπόλοιπο της διίρεσης του ριθμού S με το 6; Α. 0 Β. 1 Γ. Δ. 3 Ε. 5 Κυπρική Μθημτική Ετιρεί Σελίδ 1

5 Α & Β Γυμνσίου 15 η Κυπρική Μθημτική Ολυμπιάδ Απρίλιος Σε μι τάξη 78 μθητών 41 μθητές επέλεξν Γλλικά, μθητές Γερμνικά κι 9 μθητές Γλλικά κι Γερμνικά. Πόσοι μθητές δεν επέλεξν ούτε Γλλικά ούτε Γερμνικά; Α. 6 Β. 15 Γ. 4 Δ. 33 Ε Στον πιο κάτω πίνκ ποιοι δύο μθητές προυσίσν την ίδι ποσοστιί ύξηση πό το πρώτο στο δεύτερο διγώνισμ; Μθητής Βθμός Διγωνίσμτος Α Βθμός Διγωνίσμτος Β Ανδρές Μρί Γιώργος Θεοδώρ Α. Μρί κι Γιώργος Β. Μρί κι Θεοδώρ Γ. Ανδρές κι Θεοδώρ Δ. Ανδρές κι Μρί Ε. Ανδρές κι Γιώργος 9. Οι συντετγμένες των σημείων Α, Β κι Ρ φίνοντι στο πιο κάτω σχήμ. Αν ισχύει ΑΒ=ΡΤ κι ΑΒΡΤ, ποιες είνι οι συντετγμένες του σημείου Τ; Α. (, 6) Β. (, 7) Γ. (, 8) Δ. (, 9) Ε. (7, ) Κυπρική Μθημτική Ετιρεί Σελίδ

6 Α & Β Γυμνσίου 15 η Κυπρική Μθημτική Ολυμπιάδ Απρίλιος Αν σε έν ορθογώνιο τρίγωνο τ μήκη δύο πλευρών του είνι 1 κι πιο κάτω θ μπορούσε ν είνι το μήκος της τρίτης πλευράς; Ι 1 II III 3 ποιο πό τ Α. μόνο το Ι Β. μόνο το ΙΙ Γ. μόνο το ΙΙΙ Δ. το Ι κι ΙΙ μόνο Ε. το Ι κι ΙΙΙ μόνο x 6y 11. Αν 7 3y τότε το x 3y είνι ίσο με: Α. 9 Β. 5 Γ. 1 Δ. 4 Ε Δυο δέλφι, η Ιφιγένει κι ο Κώστς πηγίνουν σινεμά μζί με τους γονείς τους, τον πππού κι τη γιγιά τους. Στην τιμή του εισιτηρίου τ πιδιά έχουν 50% έκπτωση, ενώ ο πππούς κι η γιγιά 5% έκπτωση. Αν το εισιτήριο γι τον πππού είνι με την έκπτωση 6, ποιο είνι το συνολικό κόστος των εισιτηρίων σε ευρώ ; Α. 34 Β. 36 Γ. 4 Δ. 46 Ε Ποιος τριψήφιος ριθμός ΑΒΓ (Α ψηφίο εκτοντάδων, Β ψηφίο δεκάδων, Γ ψηφίο μονάδων) πολλπλσιζόμενος με τον διψήφιο ΑΔ (Α ψηφίο δεκάδων, Δ ψηφίο μονάδων) δίνει ως γινόμενο τον ριθμό 014; Α. 53 Β. 19 Γ. 106 Δ. 108 Ε Οι ριθμοί x κι y είνι κέριοι με x+y<11 κι x>6. Ποι είνι η μικρότερη δυντή τιμή της διφοράς x y ; Α. 1 Β. Γ. 4 Δ. Ε Ποιος είνι ο ελάχιστος ριθμός ευθειών, διφορετικών μετξύ τους, σε έν επίπεδο έτσι ώστε ν τέμνοντι σε 6 διφορετικά σημεί; Α. 3 Β. 4 Γ. 5 Δ. 6 Ε Σε μι πρλί η ομπρέλ ενοικιάζετι προς 8 την ημέρ, ν η ημέρ είνι ηλιόλουστη κι προς 3, ν η ημέρ δεν είνι ηλιόλουστη. Αν τ συνολικά έσοδ πό την ενοικίση μις ομπρέλς γι μι εβδομάδ ήτν 46, ν βρείτε πόσες ήτν οι ηλιόλουστες μέρες της εβδομάδς. Α. 6 Β. 5 Γ. 4 Δ. 3 Ε. Κυπρική Μθημτική Ετιρεί Σελίδ 3

7 Α & Β Γυμνσίου 15 η Κυπρική Μθημτική Ολυμπιάδ Απρίλιος Στην πιο κάτω πρόσθεση τ γράμμτ Α, Β, Γ κι Δ ντιπροσωπεύουν τέσσερ διφορετικά ψηφί. Ποιο ψηφίο ντιπροσωπεύει το γράμμ Δ; 6 Γ Δ Γ Γ 4 Α Β Α Β Α. 1 Β. Γ. 5 Δ. 6 Ε Η ηλικί της Ερτώς είνι διπλάσι πό την ηλικί του Νικόλ κι το έν τρίτο της ηλικίς της Χλόης. Αν το άθροισμ των ηλικιών κι των τριών μζί είνι 99 χρόνι, η ηλικί του Νικόλ είνι: Α. 66 Β. Γ. 11 Δ. 33 Ε Αν στον ριθμητή του κλάσμτος 16 9 προσθέσουμε το διπλάσιο του ριθμού κι πό τον προνομστή του κλάσμτος φιρέσουμε το πεντπλάσιο του ίδιου ριθμού, προκύπτει το κλάσμ 3 8. Ποιος είνι ο ριθμός ; Α Β Γ Δ Ε Δίνετι η κολουθί των ριθμών, 3, 6, 15, 4, Ποιος είνι ο επόμενος όρος της κολουθίς; Α. 69 Β. 8 Γ. 13 Δ. 154 Ε Αν ισχύει x 5 y 4 z 0, ποιο ή ποι πό τ πρκάτω είνι πάντοτε ορθά; xy 0 Ι II yz 0 III xz 0 Α. Ι Β. ΙΙ Γ. ΙΙΙ Δ. Ι κι ΙΙ Ε. κνέν Κυπρική Μθημτική Ετιρεί Σελίδ 4

8 Α & Β Γυμνσίου 15 η Κυπρική Μθημτική Ολυμπιάδ Απρίλιος 014. Στο πρκάτω σχήμ δίνοντι: xa//βγ, ΑΒ=ΔΓ, Ν βρείτε το μέτρο της γωνίς. ΒΑˆ x ΒΔˆ Γ 130 κι ΔΒˆ Γ 5. Α. 105 Β. 130 Γ. 135 Δ. 145 Ε Οι τριγωνικοί ριθμοί ορίζοντι με τον κόλουθο τρόπο: Αν η διφορά μετξύ δύο διδοχικών τριγωνικών ριθμών είνι 8, ποιο είνι το γινόμενό τους; Α. 315 Β Γ. 588 Δ Ε Ρίχνουμε τυτόχρον δύο πνομοιότυπ ζάρι μι φορά. Ποι είνι η πιθνότητ το άθροισμ των ενδείξεων ν είνι πρώτος ριθμός; Α Β. 1 Γ Δ. 1 3 Ε Αν κι 1, ποι είνι η τιμή του 11 ; Α. 1 Β. 1 Γ. 10 Δ. 11 Ε. 0 Κυπρική Μθημτική Ετιρεί Σελίδ 5

9 CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD 014 ENGLISH VERSION

10 CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 36 Stasinou street, Off. 10, 003 Strovolos Nicosia, Cyprus Tel , Fax: Website: 15 th CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD Sunday, 06/04/014 EXAMS PAPER 7 th, 8 th Grade A, B Gymnasium TIME: 60 minutes Fill carefully the answer sheet, by choosing only one answer to each question. The selection must be made by shading the rightanswer. Every right answer is graded with 4 points. For each wrong answer 1 point will be lost. If a question is answered by shading more than one answer, the answer will be considered wrong. The correction will be electronically, so any mark will be taken wrong. You can use the space next to the questions to make extra notes. It is recommended that you complete the answer sheet in the last five minutes of the exam, with your final answer. Choose only one of the five proposed answers (A, B, C, D or E) and fill the box for right answer. Example of filling the table of answers: 41. Find the result +3=? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) These fillings are correct and these are incorrect 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E

11 Α & Β Gymnasium 15 th Cyprus Mathematical Olympiad April 014 (7 th & 8 th Grades) 1. Which of the following is equal to 0, ? Α.,38 Β. 0,38 Γ. 0,038 Δ. 0,00038 Ε. 0, In the figure below, a belt which runs over five wheels moves in the direction of the arrows. How many of the wheels are turning clockwise? Α. 1 Β. Γ. 3 Δ. 4 Ε If, β, and γ are integers, the expression (β+γ) is always equal to each of the following except Α. (+β)γ Β. (γ+β) Γ. (β+γ) Δ. (γ+β) Ε. β+γ 4. For any positive integer x, define x by the following equation. x =x+(x 1)+(x )+ ++1 For example, 4 = What is the value of 4 40? Α. Β. 41 Γ. 4 Δ. 8 Ε If and β are negative numbers, which of the following must be negative? Α. β Β. (β) Γ. +β Δ. β Ε. β 6. If S is the sum of the remainders when each number in the list 30, 31, 3,33, 34, 35 is divided by 6, what is the remainder when S is divided by 6? Α. 0 Β. 1 Γ. Δ. 3 Ε. 5 Cyprus Mathematical Society Page 1

12 Α & Β Gymnasium 15 th Cyprus Mathematical Olympiad April 014 (7 th & 8 th Grades) 7. In a class of 78 students 41 are taking French, are taking German and 9 students are taking both French and German. How many students are not enrolled in either course? Α. 6 Β. 15 Γ. 4 Δ. 33 Ε In the table below, which two students had the same per cent of improvement in scores from the first to the second test? Student Score of first test Score of second test Ανδρές Μρί Γιώργος Θεοδώρ Α. Μρί and Γιώργος Β. Μρί and Θεοδώρ Γ. Ανδρές and Θεοδώρ Δ. Ανδρές and Μρί Ε. Ανδρές and Γιώργος 9. The coordinates of points A, B, and Ρ are shown in the figure below. If ΑΒ=ΡΤ and ΑΒΡΤ, what are the coordinates of point T? Α. (, 6) Β. (, 7) Γ. (, 8) Δ. (, 9) Ε. (7, ) Cyprus Mathematical Society Page

13 Α & Β Gymnasium 15 th Cyprus Mathematical Olympiad April 014 (7 th & 8 th Grades) 10. If a right triangle has two sides of lengths 1 and the length of the third side? Ι 1 II III 3 which of the following could be Α. Ι only Β. ΙΙ only Γ. ΙΙΙ only Δ. Ι and ΙΙ only Ε. Ι and ΙΙΙ only 11. If x 6y 7 3y then x 3y is equal to Α. 9 Β. 5 Γ. 1 Δ. 4 Ε Ifigenia and her brother Costas are going to the movies with their parents and their grandfather and their grandmother. The children receive a 50% discount and the grandparents receive a 5% discount. If grandfather s ticket costs (with discount) 6, what is the total cost of the tickets in euros? Α. 34 Β. 36 Γ. 4 Δ. 46 Ε The three digit number ΑΒΓ (A is hundred digit, B is ten digit, Γ is unit digit) is multiplied by the two digit number ΑΔ (A is ten digit, Δ is unit digit) to get 014. The three digit number ΑΒΓ is: Α. 53 Β. 19 Γ. 106 Δ. 108 Ε x and y are integers, x+y<11 and x>6. What is the smallest possible value of x y? Α. 1 Β. Γ. 4 Δ. Ε What is the least number of distinct lines in a plane that can be drawn so that the total number of distinct points of intersection is 6? Α. 3 Β. 4 Γ. 5 Δ. 6 Ε A beach umbrella was rented each day for one week at the rate of 8 per day on days that were sunny and at the rate of 3 per day on days that were not sunny. If the total rental charge for that week was 46, what was the number of sunny days in the week? Α. 6 Β. 5 Γ. 4 Δ. 3 Ε. Cyprus Mathematical Society Page 3

14 Α & Β Gymnasium 15 th Cyprus Mathematical Olympiad April 014 (7 th & 8 th Grades) 17. In the addition problem below Α, Β, Γ and Δ represent four different digits. What digit does Δ represent? 6 Γ Δ Γ Γ 4 ΑΒΑΒ Α. 1 Β. Γ. 5 Δ. 6 Ε Erato s age is twice as Nicolas age and one third of Chloe s age. If the sum of their ages is 99, how old is Nicolas? Α. 66 Β. Γ. 11 Δ. 33 Ε When two times of a number is added to the numerator of the fraction 16 9 and 5 times of the same number is subtracted from the denominator of the fraction, the result is 3 8. What is the number? Α Β Γ Δ Ε Find the next term in the sequence, 3, 6, 15, 4, Α. 69 Β. 8 Γ. 13 Δ. 154 Ε If x 5 y 4 z 0 which of the following must be true? Ι xy 0 II III xz 0 yz 0 Α. Ι only Β. ΙΙ only Γ. ΙΙΙ only Δ. Ι and ΙΙ only Ε. none Cyprus Mathematical Society Page 4

15 Α & Β Gymnasium 15 th Cyprus Mathematical Olympiad April 014 (7 th & 8 th Grades). In the figure below xa//βγ, ΑΒ=ΔΓ, Find the measure of ΒΑˆ x. ΒΔˆ Γ 130 and ΔΒˆ Γ 5. Α. 105 Β. 130 Γ. 135 Δ. 145 Ε Triangular numbers can be represented in the following manner: If the difference between a pair of consecutive triangular numbers is 8 what is their product? Α. 315 Β Γ. 588 Δ Ε A pair of identical dices is tossed once. What is the probability that the pip total is a prime number? Α Β. 1 Γ Δ. 1 3 Ε If and , what is the value of 11? Α. 1 Β. 1 Γ. 10 Δ. 11 Ε. 0 Cyprus Mathematical Society Page 5