Κ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2019

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Κ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 019 Β & Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΓΓΛΙΚΑ PAPERS IN BOTH GREEK AND ENGLISH

2

3 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 019 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

4 ΧΡΟΝΟΣ: 60 λεπτά Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Στασίνου 36, Γραφ. 10, Στρόβολος 003, Λευκωσία Τηλέφωνο: , Φαξ: Κ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Κυριακή, 14 Απριλίου 019 ΔΟΚΙΜΙΟ Β & Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να συμπληρώσετε προσεκτικά το φύλλο απαντήσεων, επιλέγοντας μόνο μία απάντηση για κάθε ερώτηση. Η συμπλήρωση να γίνει με μαύρισμα στον αντίστοιχο κύκλο. Κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με 4 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη απάντηση αφαιρείται 1 μονάδα. Απάντηση σε άσκηση με μαύρισμα σε περισσότερα από έναν κύκλο θεωρείται λανθασμένη. Επειδή η διόρθωση θα γίνει ηλεκτρονικά, οποιοδήποτε σημάδι ή σβήσιμο καθιστά την απάντηση λανθασμένη. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον χώρο δίπλα από τις ασκήσεις για βοηθητικές πρα- ξεις. Συστήνεται όπως σημειώνετε τις απαντήσεις στο ειδικό έντυπο απαντήσεων στα τελευταία πέντε λεπτά της εξέτασης, αφού βεβαιωθείτε ότι οι απαντήσεις είναι τελικές. Παραδείγματα συμπλήρωσης απαντήσεων 1. Να υπολογίσετε το άθροισμα Β. 5 Γ. 4 Δ. 3 Ε. Σωστή συμπλήρωση Λανθασμένη συμπλήρωση

5 Β & Γ Λυκείου 0 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος Αν ημx συνx = a και ημx = β, όπου β 0, τότε ισχύει: a =1 β Β. a =1+β Γ. a =1 β Δ. a =1+β Ε. Κανένα από τα προηγούμενα. Το ορθόκεντρο του τριγώνου που ορίζουν οι ευθείες x =0,y =0και x + y =1είναι το σημείο: ( 1, 1 ) Β. (0, 0) Γ. ( 1 3, 1 ) 3 ( 1 4, 1 ) Δ. Ε. (1, 1) 4 3. Δίνεται περιττή συνάρτηση f : R R. Τότε, η συνάρτηση f είναι: Περιττή Β. Άρτια Γ. Ούτε άρτια, ούτε περιττή Δ. Άρτια και περιττή Ε. Κανένα από τα προηγούμενα 4. Δίνονται πραγματικοί αριθμοί x, y, τέτοιοι ώστε x >y. Από τις πιο κάτω ανισότητες i. x>y ii. x + y>0 iii. x > y iv. x >y v. x + y>0 ισχύει πάντα η: i. Β. ii. Γ. iii. Δ. iv. Ε. v. 5. Αν f : R R η συνάρτηση με τύπο f(x) =6 x, τότε ο τύπος της αντίστροφης f 1 είναι: f 1 (x) = 1 Β. f 1 (x) = 1 Γ. f 1 (x) = 6 x 6 x 6+x Δ. f 1 (x) = 6+x Ε. f 1 (x) =6+x 6. Δίνεται η συνάρτηση f : Z Z, για την οποία ισχύουν οι ιδιότητες: i. f(1) = 0 ii. f(m + n) =f(m)+f(n) + 3(4mn 1) Τότε, η τιμή f(9) ισούται με: 408 Β. 409 Γ. 410 Δ. 411 Ε. 41 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 1

6 Β & Γ Λυκείου 0 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος Το Σ είναι το σύνολο όλων των σημείων (x, y) ενός ορθογωνίου συστήματος αξόνων που ικανοποιούν τις παρακάτω ανισώσεις: 1 x 4 1 y 4 y x y x + y x Το σύνορο του συνόλου Σ είναι ένα πολύγωνο με: 3 πλευρές Β. 4 πλευρές Γ. 5 πλευρές Δ. 6 πλευρές Ε. 7 πλευρές 8. Οι θετικοί αριθμοί a,β, γ είναι διαδοχικοί όροι Γεωμετρικής Προόδου με λόγο λ. Τότε, η ανίσωση γ < 4β 3a ισχύει, όταν: 1 < λ < 3 Β. λ > 3 Γ. 0 < λ < 1 Δ. λ > 1 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα 9. Στο πιο κάτω σχήμα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο με διαστάσεις ΑΒ =4cm και ΑΔ =cm. Δ Ζ Γ Π Τ Α Ε Β Τα σημεία Ε, Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΓΔ, αντίστοιχα. Τα τμήματα ΖΠ, ΖΤ είναι εφαπτόμενα τμήματα στα ημικύκλια διαμέτρου ΑΕ, ΕΒ, αντίστοιχα. Το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους του πενταγώνου ΑΠΖΤΒ, που βρίσκεται εκτός των ημικυκλίων, είναι: 3π cm Β. 5 cm Δ. (5 π) cm Ε. ( ) 5 4 π cm Γ. ( 8 3 π ) cm Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα

7 Β & Γ Λυκείου 0 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος Η μέγιστη τιμή στο R της παράστασης x +6x +7+ x + 1x +7 είναι: 7 Β. 8 Γ. 9 Δ. 10 Ε Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβσυνβ ημγσυνγ = 0 Αν Β = Γ, τότε για τις πλευρές α, β, γ του τριγώνου ΑΒΓ ισχύει: α = β + γ Β. α < β Γ. α = γ Δ. α > β + γ Ε. Κανένα από τα προηγούμενα 1. Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται ότι 0 < ϑ < π 4 του κύκλου στο σημείο και ότι η ευθεία ΑΓ είναι εφαπτομένη Γ ϑ Β Ο ϑ Α Να εκφράσετε τον λόγο ΟΓ ΟΒ τεμϑ συναρτήσει του ϑ. στεμϑ Β. Γ. εφϑ Δ. σφϑ Ε. π 4ϑ Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 3

8 Β & Γ Λυκείου 0 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος Αν α, β, γ μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί, τότε το πλήθος των τριάδων (α, β, γ) που ικανοποιούν το σύστημα είναι ίσο με: α =1 β β =5 γ γ = α 1 Β. Γ. 3 Δ. 4 Ε. Άπειρο 14. Στο πιο κάτω σχήμα, φαίνεται ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΑΒΓΔ σε κύκλο (Ο,R) τέτοιο, ώστε ΓΔ = ΓΒ = R, ΑΔ = 11 και ΑΒ =7. Δ 11 Ο R Γ R Α 7 Β Η ακτίνα του κύκλου είναι: 31 Β. 5 Γ. 3 3 Δ. 6 Ε Η τιμή του x, που επαληθεύει την εξίσωση είναι: ( ) 9 7 ln +ln 10 ( ) 4 +3ln 5 ( ) 81 = ln x, 80 Β. 4 Γ. 6 Δ. 8 Ε Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 6 και Ρ εσωτερικό σημείο του τριγώνου τέτοιο, ώστε οι αποστάσεις του από δύο πλευρές του τριγώνου να είναι 1 και 3. Η απόσταση του Ρ από την τρίτη πλευρά του τριγώνου είναι: 3 Β. 1 Γ Δ. Ε. 1 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 4

9 Β & Γ Λυκείου 0 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος Αν f(x +y, x y) =xy, x, y R, τότε το f(x, y) ισούται με: x y 8 Β. x y 4 Γ. x y Δ. x + y Ε. x + y Αν x, y, c είναι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε x c και x y 1, τότε η μέγιστη δυνατή τιμή του y x είναι: c +1 Β. c +1 Γ. c +1 Δ. (c + 1) Ε. c 19. Στο πιο κάτω σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο και το Κ εσωτερικό σημείο του, με ΚΑ =4, ΚΒ =6και ΚΓ =5. Α Β 4 6 Κ 5 Δ Γ To ΚΔ ισούται με: Β. 3 Γ. 5 Δ. 6 Ε Αν η εξίσωση (3x) + (7 3 1 p 15)x +4=0 έχει διπλή ρίζα, τότε η τιμή του p είναι ίση με: 1. Η περίοδος της συνάρτησης f με τύπο 1 Β. Γ. 1 Δ. Ε. 1 3 f(x) =ημ 4 x + συν 4 x, x R είναι: π 4 π Β. Γ. π 3π Δ. Ε. π Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 5

10 Β & Γ Λυκείου 0 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 019. Στο ορθογώνιο που φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα, τα τρία μη σκιασμένα τρίγωνα έχουν εμβαδά, 3 και 4, αντίστοιχα. 3 4 Το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου ισούται με: 5 Β. 6 Γ. 7 Δ. 8 Ε Στο πιο κάτω σχήμα, σημειώνονται δύο σημεία Α και Β στο 7 7 πλέγμα. Β Α Αν ένα σημείο Γ είναι ένα από τα υπόλοιπα σημεία του πλέγματος, τότε το πλήθος των επιλογών που έχουμε για το σημείο Γ, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ που σχηματίζεται να είναι οξυγώνιο, ισούται με: 8 Β. 14 Γ. 18 Δ. 0 Ε. 30 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 6

11 Β & Γ Λυκείου 0 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος Σε ένα παιχνίδι του τύπου «Μάντεψε το πλήθος των βόλων που υπάρχουν στο δοχείο», οι παίκτες καλούνται να δώσουν μια εκτίμηση. Κερδίζει ο παίκτης που η εκτίμηση του είναι πιο κοντά στο ακριβές πλήθος των βόλων που υπάρχουν στο δοχείο. Απονέμονται βραβεία ανάλογα με το πόσο κοντά είναι η εκτίμηση. Τα αποτελέσματα για μια τέτοια περίπτωση παιχνιδιού φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Θέση στην κατάταξη Εκτίμηση Όνομα Παίκτη 1 15 Άννα 140 Βασίλης 3 14 Γιώργος 4 11 Δήμητρα 5 10 Ελένη Το πλήθος των βόλων που υπήρχαν στο δοχείο ήταν: 19 Β. 130 Γ. 131 Δ. 13 Ε Το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών ακεραίων (κ, λ), για τα οποία κ, λ 0 και κ 3 + λ κλ = 15 ισούται με: 1 Β. 3 Γ. 5 Δ. 6 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 7

12

13 CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD 019 ENGLISH VERSION

14 Cyprus Mathematical Society 36 Stasinou street, Off. 10, 003 Strovolos, Nicosia Tel: , Fax: TIME: 60 minutes 0 th CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD Sunday, April 14 th, 019 EXAM PAPER 11 th & 1 th GRADE Fill in carefully the answer sheet, by choosing only one answer to each question. The selection must be made by shading the right answer. Every correct answer is graded with 4 points. For each wrong answer, 1 point will be deducted. If a question is answered by shading more than one answer, the answer will be considered wrong. The correction will be made electronically, so any additional mark might be taken as wrong. You can use the space next to the questions to take extra notes. It is recommended that you complete the answer sheet in the last five minutes of the exam, making sure that your answers are final. Examples of filling the answer sheet 1. Find the result Β. 5 Γ. 4 Δ. 3 Ε. Correct filling Incorrect filling

15 11 th & 1 th Grade (B & C Lyceum) 0 th Cyprus Mathematical Olympiad April Given that sin x cos x = a and sin x = β, where β 0. Then: a =1 β Β. a =1+β Γ. a =1 β Δ. a =1+β Ε. None of the previous. The orthocentre of the triangle determined by the lines x =0,y =0and x + y =1is the point: ( 1, 1 ) Β. (0, 0) Γ. ( 1 3, 1 ) 3 3. Given the odd function f : R R. Then, the function f is: ( 1 4, 1 ) Δ. Ε. (1, 1) 4 Odd Β. Even Γ. Neither even, nor odd Δ. Even and odd Ε. None of the previous 4. Let x, y be real numbers, such that x >y. From the following inequalities i. x>y ii. x + y>0 iii. x > y iv. x >y v. x + y>0 the one which is always true is: i. Β. ii. Γ. iii. Δ. iv. Ε. v. 5. If f : R R is the function with formula f(x) =6 x, then the formula of the inverse f 1 is: f 1 (x) = 1 Β. f 1 (x) = 1 Γ. f 1 (x) = 6 x 6 x 6+x Δ. f 1 (x) = 6+x Ε. f 1 (x) =6+x 6. Consider the function f : Z Z with the following properties: i. f(1) = 0 ii. f(m + n) =f(m)+f(n) + 3(4mn 1) Then, the value f(9) is equal to: 408 Β. 409 Γ. 410 Δ. 411 Ε. 41 Cyprus Mathematical Society Page 1

16 11 th & 1 th Grade (B & C Lyceum) 0 th Cyprus Mathematical Olympiad April The set Σ is the set of all points (x, y) in a rectangular system of axes which satisfy the following inequalities: 1 x 4 1 y 4 y x y x + y x The boundary of the set Σ is a polygon with: 3 sides Β. 4 sides Γ. 5 sides Δ. 6 sides Ε. 7 sides 8. The positive numbers a, β, γ are consecutive terms of a Geometric Progression with ratio λ. Then, the inequality γ<4β 3a is true, when: 1 <λ<3 Β. λ>3 Γ. 0 <λ<1 Δ. λ>1 Ε. None of the previous 9. In the figure below, the quadrilateral ΑΒΓΔ is a rectangle with dimensions ΑΒ =4cm and ΑΔ =cm. Δ Ζ Γ Π Τ Α Ε Β The points Ε, Ζ are the midpoints of the sides ΑΒ, ΓΔ, respectively. The segments ΖΠ, ΖΤ are tangents to the semicircles with diameter ΑΕ, ΕΒ, respectively. The area of the shaded part of the pentagon ΑΠΖΤΒ, that lies outside the semicircles, is: ( 3π 8 cm Β. 5 cm 3 π ) Γ. cm ( ) 5 Δ. (5 π) cm Ε. 4 π cm Cyprus Mathematical Society Page

17 11 th & 1 th Grade (B & C Lyceum) 0 th Cyprus Mathematical Olympiad April The maximum value in R of the expression x +6x +7+ x + 1x +7 is: 7 Β. 8 Γ. 9 Δ. 10 Ε In a triangle ΑΒΓ it is true that: sin Β cos Β sin Γ cos Γ =0 Given that Β Γ, then for the sides α, β, γ of the triangle ΑΒΓ it is true that: α = β + γ Β. α<β Γ. α = γ Δ. α >β + γ Ε. None of the previous 1. In the figure below, we have 0 <ϑ< π 4 the point and that the line ΑΓ is tangent to the circle at Γ ϑ Β Ο ϑ Α Express the ratio ΟΓ ΟΒ sec ϑ in terms of ϑ. csc ϑ Β. Γ. tan ϑ Δ. cot ϑ Ε. π 4ϑ Cyprus Mathematical Society Page 3

18 11 th & 1 th Grade (B & C Lyceum) 0 th Cyprus Mathematical Olympiad April If α, β, γ are non-negative integers, then the number of triples (α, β, γ) that satisfy the system is equal to: α =1 β β =5 γ γ = α 1 Β. Γ. 3 Δ. 4 Ε. Infinite 14. In the figure below, we have an inscribed quadrilateral ΑΒΓΔ in a circle (Ο,R), such that ΓΔ = ΓΒ = R, ΑΔ = 11 and ΑΒ =7. Δ 11 Ο R Γ R Α 7 Β The radius of the circle is: 31 Β. 5 Γ. 3 3 Δ. 6 Ε The value of x, that satisfies the equation is: ( ) 9 7 ln +ln 10 ( ) 4 +3ln 5 ( ) 81 = ln x, 80 Β. 4 Γ. 6 Δ. 8 Ε Consider an equilateral triangle of side 6 and an internal point Ρ of the triangle, such that the distances from two sides of the triangle are 1 and 3. The distance of Ρ from the third side of the triangle is: 3 Β. 1 Γ Δ. Ε. 1 Cyprus Mathematical Society Page 4

19 11 th & 1 th Grade (B & C Lyceum) 0 th Cyprus Mathematical Olympiad April If f(x +y, x y) =xy, x, y R, then f(x, y) is equal to: x y 8 Β. x y 4 Γ. x y Δ. x + y Ε. x + y If x, y, c are real numbers, such that x c and x y 1, then the maximum possible value of y x is: c +1 Β. c +1 Γ. c +1 Δ. (c + 1) Ε. c 19. In the figure below, ΑΒΓΔ is a rectangle and Κ is an internal point of it, with ΚΑ =4, ΚΒ =6and ΚΓ =5. Α Β 4 6 Κ 5 Δ Γ Then, ΚΔ is equal to: Β. 3 Γ. 5 Δ. 6 Ε If the equation (3x) + (7 3 1 p 15)x +4=0 haw a double root, then the value of p is equal to: 1 Β. Γ. 1 Δ. Ε The period of the function f with formula f(x) =sin 4 x + cos 4 x, x R is: π 4 π Β. Γ. π 3π Δ. Ε. π Cyprus Mathematical Society Page 5

20 11 th & 1 th Grade (B & C Lyceum) 0 th Cyprus Mathematical Olympiad April 019. In the rectangle of the figure below, the three non-shaded triangles have areas, 3 and 4, respectively. 3 4 The area of the shaded triangle is equal to: 5 Β. 6 Γ. 7 Δ. 8 Ε In the figure below, two points Α and Β are denoted on the 7 7 grid. Β Α If a point Γ is one of the rest points of the grid, then the number of choices for selecting the point Γ, so that the triangle ΑΒΓ be acute, is equal to: 8 Β. 14 Γ. 18 Δ. 0 Ε. 30 Cyprus Mathematical Society Page 6

21 11 th & 1 th Grade (B & C Lyceum) 0 th Cyprus Mathematical Olympiad April In a game of the type Guess the number of marbles in the jar, the players are asked to give an estimation. The winner is the player with the nearest estimation of the number of marbles in the jar. Prizes are awarded according to the proximity of the estimation. The results of one case of this game are shown in the table below. Position in the ranking Estimation Name of the Player The number of marbles in the jar was: 1 15 Anna 140 Vasilis 3 14 Giorgos 4 11 Dimitra 5 10 Eleni 19 Β. 130 Γ. 131 Δ. 13 Ε The number of ordered pairs of integers (κ, λ), with κ, λ 0 and κ 3 + λ κλ = 15 is equal to: 1 Β. 3 Γ. 5 Δ. 6 Ε. None of the previous Cyprus Mathematical Society Page 7

22