ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΔ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 Α & Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΔ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 Α & Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΓΓΛΙΚΑ PAPERS IN BOTH GREEK AND ENGLISH

2

3 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

4

5 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ , Φαξ: Ιστοσελίδα: IΔ' ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Κυριακή, 21/04/2013 ΔΟΚΙΜΙΟ Α, Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: 60 λεπτά Να συμπληρώσετε προσεκτικά το φύλλο απαντήσεων, επιλέγοντας μόνο μία απάντηση για κάθε ερώτηση. Η συμπλήρωση να γίνει με μαύρισμα στο αντίστοιχο κυκλάκι. Κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με 4 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη απάντηση αφαιρείται 1 μονάδα. Απάντηση σε άσκηση με μαύρισμα σε περισσότερα από ένα κυκλάκια θεωρείται λανθασμένη. Επειδή η διόρθωση θα γίνει ηλεκτρονικά, οποιοδήποτε σημάδι ή σβήσιμο καθιστά την απάντηση λανθασμένη. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το χώρο δίπλα από τις ασκήσεις για βοηθητικές πράξεις. Συστήνεται όπως σημειώνετε τις απαντήσεις στο ειδικό έντυπο απαντήσεων στα τελευταία πέντε λεπτά της εξέτασης αφού βεβαιωθείτε ότι οι απαντήσεις είναι τελικές. Παραδείγματα συμπλήρωσης απαντήσεων: 1. Βρείτε το αποτέλεσμα 2+3=? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2 Σωστή συμπλήρωση: Λανθασμένη συμπλήρωση: 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E

6

7 1. Ένας αριθμός έχει τις παρακάτω ιδιότητες: Είναι θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 1 Είναι παράγοντας του 30 Δεν είναι πρώτος αριθμός Δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 Ό αριθμός είναι: Α. -2 Β. 3 Γ. 5 Δ. 10 Ε Ένα αγόρι έφαγε συνολικά 50 μπισκότα. Κάθε μέρα έτρωγε 5 περισσότερα από την προηγούμενη. Πόσα έφαγε την τελευταία μέρα; Α. 20 Β. 15 Γ. 12 Δ. 13 Ε Αν α, β, γ και δ είναι ακέραιοι αριθμοί με α<2β, β<3γ, γ<4δ και δ<100, να βρείτε την μέγιστη τιμή του α. Α Β Γ Δ Ε Ένας πλήρης κύκλος εναλλαγής των χρωματικών ενδείξεων στα φώτα τροχαίας είναι 1 λεπτό. Σε κάθε τέτοιο κύκλο, το κόκκινο είναι αναμμένο για 30 δευτερόλεπτα και το κίτρινο για 5 δευτερόλεπτα. Αν τυχαία αντικρίσουμε τα φανάρια τροχαίας στο δρόμο, η πιθανότητα να είναι πράσινο είναι: 5. Στο πιο κάτω σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο και το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ισόπλευρο. Το μέτρο της γωνίας είναι: Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 1

8 6. Η υπεραγορά «Θαλής» προσφέρει δώρο 2 για κάθε αγορά αξίας 25. Η κ. Αθηνά πλήρωσε στο ταμείο για τα ψώνια του μήνα 368. Ποιο είναι το πραγματικό κόστος των αγορών της κ. Αθηνάς; Α. 400 Β. 356 Γ. 390 Δ. 402 Ε Αν, όπου και ισχύει η σχέση, τότε η τιμή του είναι: Α. 1.5 Β. 2 Γ. 5 Δ. 6 Ε Ένα ορθογώνιο με διαστάσεις 8 cm και 18 cm κόβεται όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα και τα δύο κομμάτια που προκύπτουν τοποθετούνται με τέτοιο τρόπο ώστε να δημιουργηθεί ένα τετράγωνο. Ποια θα είναι η περίμετρος του τετραγώνου; Α. 52 Β. 36 Γ. 48 Δ. 32 Ε Πόσα διαφορετικά ψηφία εμφανίζονται στον περιοδικό αριθμό ; Α. 2 Β. 3 Γ. 4 Δ. 5 Ε Το του 10 είναι ίσο με: Α. Β. Γ. Δ. 2 Ε. 11. Σε μια τάξη 25 μαθητών, 9 μαθητές πάνε ψάρεμα και 10 μαθητές πάνε κυνήγι. Αν 4 μαθητές ασχολούνται και με το ψάρεμα και με το κυνήγι, να βρεθεί ο αριθμός των μαθητών που δεν ασχολούνται ούτε με το ψάρεμα, ούτε με το κυνήγι. Α. 2 Β. 10 Γ. 19 Δ. 6 Ε. 15 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 2

9 12. Τρεις διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί έχουν άθροισμα πολλαπλάσιο του 7. Ποιο είναι το ελάχιστο δυνατό άθροισμά τους; Α. 35 Β. 42 Γ. 49 Δ. 56 Ε Πόσα διαφορετικά τρίγωνα υπάρχουν στο πιο κάτω σχήμα; Α. 16 Β. 7 Γ. 20 Δ. 22 Ε Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται κύκλος με κέντρο το Ο,, ΑΒ//ΓΗ και ΒΖ//ΓΕ. Το μέτρο του μικρότερου τόξου είναι: 15. Να βρεθεί ο επόμενος όρος της ακολουθίας 2, 3, 6, 15, 42, Α. 81 Β. 123 Γ. 57 Δ. 63 Ε. 132 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 3

10 16. Ο Ανδρέας κατασκευάζει ένα κύβο χρησιμοποιώντας μικρούς κύβους πλευράς 1 cm. Κοιτώντας τον κύβο που κατασκεύασε από όλες τις πιθανές οπτικές γωνίες, αντιλαμβάνεται ότι περισσότεροι από τους μισούς μικρούς κύβους δεν είναι ορατοί. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός από μικρούς κύβους που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αυτήν την κατασκευή; Α. 125 Β Γ. 729 Δ Ε Σε ένα αθλητικό σωματείο, 32 αθλητές δεν παίζουν ποδόσφαιρο, 50 αθλητές δεν παίζουν καλαθόσφαιρα και 40 αθλητές παίζουν καλαθόσφαιρα. Πόσοι από αυτούς παίζουν ποδόσφαιρο; Α. 8 Β. 32 Γ. 40 Δ. 50 Ε Στο πιο κάτω σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο με εμβαδό R και το Ε είναι το μέσο της ΓΔ. Να βρεθεί το εμβαδό του σκιασμένου μέρους συναρτήσει του R. 19. Το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών είναι 36. Το γινόμενό τους δεν μπορεί να είναι: Α. 323 Β. 299 Γ. 203 Δ. 155 Ε Ο Γιάννης σκέφτηκε δύο αριθμούς με άθροισμα 20. Το πενταπλάσιο του ενός αριθμού είναι κατά 10 μεγαλύτερο από το τετραπλάσιο του άλλου. Ποιο είναι το γινόμενο των δύο αριθμών; Α. 64 Β. 91 Γ. 100 Δ. 99 Ε. 75 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 4

11 21. Στο πιο κάτω σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο, Μ είναι το μέσο της ΓΔ και ΜΕ//ΒΓ. Τι μέρος του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι το τρίγωνο ΕΒΜ; 22. Η τιμή του γινομένου ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι: 23. Αν και, τότε η τιμή του είναι: Α. Β. Γ. Δ. Ε Αν και, το είναι ίσο με: Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 5

12 25. Αν στον παρακάτω πολλαπλασιασμό οι αριθμοί είναι γραμμένοι στο αριθμητικό σύστημα με βάση β, τότε ο αριθμός β είναι ίσος με: ( ) ( ) Α. 4 Β. 6 Γ. 7 Δ. 8 Ε. 9 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 6

13 CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD 2013 ENGLISH VERSION

14

15 CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 36 Stasinou street, Off. 102, 2003 Strovolos Nicosia, Cyprus Tel , Fax: Website: 14 th CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD Sunday, 21/04/2013 EXAMS PAPER 7 th, 8 th Grade A, B Gymnasium TIME: 60 minutes Fill carefully the answer sheet, by choosing only one answer to each question. The selection must be made by shading the right2answer. Every right answer is graded with 4 points. For each wrong answer 1 point will be lost. If a question is answered by shading more than one answer, the answer will be considered wrong. The correction will be electronically, so any mark will be taken wrong. You can use the space next to the questions to make extra notes. It is recommended that you complete the answer sheet in the last five minutes of the exam, with your final answer. Choose only one of the five proposed answers (A, B, C, D or E) and fill the box for right answer. Example of filling the table of answers: 41. Find the result 2+3=? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2 These fillings are correct and these are incorrect 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E

16

17 1. Which is the number with the following properties? Is a positive integer greater than 1 Is a factor of 30 Is not a prime number Is not a multiple of 3 Α. -2 Β. 3 Γ. 5 Δ. 10 Ε A boy ate a total of 50 cookies. Each day he was eating 5 more than the previous day. How many cookies did he eat in the last day? Α. 20 Β. 15 Γ. 12 Δ. 13 Ε If and are integers such that and, find the maximum value of. Α Β Γ Δ Ε Traffic lights take 1 minute to complete a full cycle of changing colors. In each cycle the red light is on for 30 seconds and the yellow light is on for 5 seconds. Find the probability of getting a green light at a random traffic light. 5. The diagram below shows a square ΑΒΓΔ and an equilateral triangle ΒΓΕ. The measure of angle is: Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 1

18 6. «Thalis» supermarket offers 2 of gifts for every 25 spent at the store. Athina paid for her monthly shopping 368. What was the actual value of her shopping? Α. 400 Β. 356 Γ. 390 Δ. 402 Ε If, where and the relationship is satisfied, then the value of is: Α. 1.5 Β. 2 Γ. 5 Δ. 6 Ε A rectangle with dimensions 8 cm and 18 cm is cut as shown in diagram below. Both pieces are arranged in such a way to create a square. The perimeter of the square is: Α. 52 Β. 36 Γ. 48 Δ. 32 Ε How many different digits appear in the periodic number? Α. 2 Β. 3 Γ. 4 Δ. 5 Ε The of 10 is: Α. Β. Γ. Δ. 2 Ε. 11. In a class of 25 students, 9 of them go fishing and 10 go hunting. If 4 students do both fishing and hunting find the number of students who do neither. Α. 2 Β. 10 Γ. 19 Δ. 6 Ε. 15 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 2

19 12. The sum of three consecutive prime numbers is a multiple of 7. Find the minimum possible sum of these three numbers. Α. 35 Β. 42 Γ. 49 Δ. 56 Ε How many different triangles there exist in the figure below? Α. 16 Β. 7 Γ. 20 Δ. 22 Ε In the figure bellow, O is the center of the circle., ΑΒ//ΓΗ and ΒΖ//ΓΕ. The measure of the smallest arc is: 15. Find the next term of the sequence 2, 3, 6, 15, 42, Α. 81 Β. 123 Γ. 57 Δ. 63 Ε Andrew is constructing a cube using smaller cubes of side 1cm. Looking at the cube that he constructed from all possible angles, he realizes that more than half of the cubes are not visible. What is the minimum number of cubes that were used in the construction? Α. 125 Β Γ. 729 Δ Ε In an athletic union, 32 of the athletes don't play soccer, 50 of the athletes don't play basketball and 40 athletes play basketball. How many of them play football? Α. 8 Β. 32 Γ. 40 Δ. 50 Ε. 58 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 3

20 18. At the following shape ΑΒΓΔ is a rectangle that has area R. Also Ε is the midpoint of ΓΔ. Find the area of the shaded region in terms of R. 19. The sum of two prime numbers is 36. The product of these numbers can t be: Α. 323 Β. 299 Γ. 203 Δ. 155 Ε John thought of two numbers with sum 20. If one of the numbers is multiplied by 5 then it becomes 10 greater than four times the other number. What is the product of the two numbers? Α. 64 Β. 91 Γ. 100 Δ. 99 Ε in the following shape ΑΒΓΔ is a rectangle, Μ is the midpoint of ΓΔ and ΜΕ//ΒΓ.What part of the rectangle ΑΒΓΔ is the triangle ΕΒΜ? Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 4

21 22. The value of the product ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) is: 23. if and, the value of α is: Α. Β. Γ. Δ. Ε if and, then is equal to: 25. If this multiplication problem works base β, then β is equal to: ( ) ( ) Α. 4 Β. 6 Γ. 7 Δ. 8 Ε. 9 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 5