Κ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2019

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Κ ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙ ΠΡΙΛΙΟΥ 2019 ΥΜΝΣΙΟΥ & ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΤ ΣΤ ΕΛΛΗΝΙΚ ΚΙ ΛΙΚ PAPERS IN BOTH GREEK AND ENGLISH

2

3 ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙ 2019 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΚΟΣΗ

4 ΧΡΟΝΟΣ: 60 λεπτά Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Στασίνου 6, ραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλέφωνο: , Φαξ: Κ ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙ Κυριακή, 1 πριλίου 2019 ΟΚΙΜΙΟ ΥΜΝΣΙΟΥ & ΛΥΚΕΙΟΥ Να συμπληρώσετε προσεκτικά το φύλλο απαντήσεων, επιλέγοντας μόνο μία απάντηση για κάθε ερώτηση. Η συμπλήρωση να γίνει με μαύρισμα στον αντίστοιχο κύκλο. Κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με μονάδες. ια κάθε λανθασμένη απάντηση αφαιρείται 1 μονάδα. πάντηση σε άσκηση με μαύρισμα σε περισσότερους από έναν κύκλους θεωρείται λανθασμένη. Επειδή η διόρθωση θα γίνει ηλεκτρονικά, οποιοδήποτε επιπλέον σημάδι ή σβήσιμο μπορεί να καταστήσει την απάντηση λανθασμένη. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον χώρο δίπλα στις ασκήσεις για να κάνετε βοηθητικές πράξεις. Συστήνεται όπως σημειώνετε τις απαντήσεις σας στο ειδικό έντυπο απαντήσεων στα τελευταία πέντε λεπτά της εξέτασης, αφού βεβαιωθείτε ότι οι απαντήσεις σας είναι τελικές. Παραδείγματα συμπλήρωσης απαντήσεων 1. Να υπολογίσετε το άθροισμα Ε. 2 Σωστή συμπλήρωση Λανθασμένη συμπλήρωση

5 υμνασίου & Λυκείου 20 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος Η γραφική παράσταση μιας ευθείας (ε) φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. y (ε) x Μια πιθανή εξίσωση της (ε) μπορεί να είναι η:. y = x +1. y = x 1. y = x. y = 1 x Ε. y =1 x 2. Στο πιο κάτω σχήμα είναι = και =. Η γωνία ισούται με 0. 0 Τότε, η γωνία ισούται με: Ε. 80. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι ίσο με 2019 και η διαφορά τους είναι ίση με Ο μικρότερος από τους δύο αυτούς αριθμούς ισούται με:. 1. 0, ,5 Ε. 1 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 1

6 υμνασίου & Λυκείου 20 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος Το πλήθος των διαγώνιων του πιο κάτω εξάγωνου είναι: Ζ Ε Ε Όταν ένα βαρέλι είναι γεμάτο κατά 70%, τότε περιέχει 0 λίτρα περισσότερα από όταν είναι γεμάτο κατά 0%. Η χωρητικότητα του βαρελιού σε λίτρα είναι: Ε Ο Κώστας τρέχει σε έναν ορεινό δρόμο 8 km/h και χρειάζεται μία ώρα για να φτάσει στην κορυφή. Επιστρέφει από τον ίδιο δρόμο, αλλά τώρα τρέχει με ταχύτητα 12 km/h. Ο χρόνος, σε λεπτά, που χρειάζεται ο Κώστας για να κατέβει το βουνό είναι: Ε Στο πιο κάτω ορθογώνιο έχουμε: Ε = Ζ = Η = Θ = = 6 Ε Θ Ζ Η Το ποσοστό της σκιασμένης επιφάνειας του ορθογωνίου είναι:. 100 % % % % Ε % Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 2

7 υμνασίου & Λυκείου 20 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος ν f(x) = x 1 x και f(a) =2, τότε το f ( a 2) ισούται με:. 9. Η παράσταση ( ) 2. 5 Ε. 1 ισούται με: Ε Στο πιο κάτω σχήμα τα τόξα ΕΗ, ΕΘ, ΕΖ και ı ΕΙ είναι ημικύκλια μέσα στον κύκλο με κέντρο το Ε και ακτίνα 1 cm. Θ Η Ε Ζ t Ι To εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι: 9π. cm 2. 9π cm 2. 77π cm 2. 98π cm 2 Ε. 1π cm Στο πιο κάτω τρίγωνο ο αριθμητικός λόγος του εμβαδού προς την περίμετρο είναι. Έστω, Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών του. Ζ Ε Τότε, στο τρίγωνο ΕΖ ο αριθμητικός λόγος του εμβαδού προς την περίμετρο είναι: Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα Ε. 1

8 υμνασίου & Λυκείου 20 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος Οι αριθμοί 2,, 12, 1, 15, 20 και 21 μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες, ώστε το γινόμενο των αριθμών σε κάθε ομάδα να είναι το ίδιο. Το γινόμενο αυτό είναι ίσο με: Ε Ο νδρέας γράφει εννέα αριθμούς σε αύξουσα σειρά. Ο μέσος όρος των πρώτων πέντε αριθμών είναι 2 και ο μέσος όρος των τελευταίων πέντε αριθμών είναι 51. Εάν ο μεσαίος αριθμός ισούται με τον μέσο όρο των εννέα αριθμών, το άθροισμα όλων των αριθμών είναι: Ε ν οι a, β και γ είναι πραγματικοί αριθμοί και ισχύει (a + β 1) 2 + β + γ 12 + a + γ 5 =0, τότε το a + β + γ ισούται με: Ε Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το: Ε. Κανένα από αυτά 16. ν τότε το ισούται με: 1 x + 1 y = 5 x + y, x y + y x Ε. Κανένα 17. Ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος x, τέτοιος ώστε x < είναι ο: Ε. 8 από αυτά Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα

9 υμνασίου & Λυκείου 20 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος Στο πιο κάτω σχήμα, το τετράγωνο με εμβαδόν 0 cm 2 έχει τις κορυφές του και στη διάμετρο και τις και στην περιφέρεια ενός ημικυκλίου. Το εμβαδόν του ημικυκλίου είναι ίσο με:. 20π cm 2. 25π cm 2. 0π cm 2. 0π cm 2 Ε. 50π cm Έστω x, y θετικοί πραγματικοί αριθμοί. ν x + 1 y =2 και y + 1 x =, τότε η παράσταση ισούται με:.. 2 xy + 1 xy Ε. Κανένα από αυτά 20. Ένας θετικός ακέραιος λέγεται «τυχερός» αν, όταν αφαιρέσουμε από αυτόν τον αριθμό το διπλάσιο κάποιου συγκεκριμένου θετικού διαιρέτη του, μπορούμε να πάρουμε αποτέλεσμα 6. ια παράδειγμα, ο αριθμός 10 είναι «τυχερός», γιατί ο αριθμός 2 είναι διαιρέτης του 10 και =6. Το μεγαλύτερο άθροισμα ψηφίων που μπορεί να έχει ένας «τυχερός» αριθμός είναι: Ε ν A = και B = , τότε το B A ισούται με: Ε. 000 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 5

10 υμνασίου & Λυκείου 20 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος Το άθροισμα όλων των γωνιών, εκτός από μια, ενός κυρτού πολυγώνου ισούται με Τότε, η άλλη γωνία είναι ίση με: Ε. εν μπορεί να προσδιοριστεί 2. ν f(1 x)+2f(x) =x, x R, τότε το f(0) ισούται με: ν a, β, γ, δ φυσικοί αριθμοί, ώστε Ε. 8 2 a 2β 16 γ =8 δ, τότε το a δεν μπορεί να είναι ίσο με: Ε Σε ένα νησί κάθε κάτοικος του λέει πάντα αλήθεια ή λέει πάντα ψέματα. Σε μια συνάντηση μεταξύ των νδρέα, ασίλη, ιώργο, ημήτρη και Ελένης, οι οποίοι είναι κάτοικοι του νησιού, λέχθηκαν τα ακόλουθα: νδρέας : «κριβώς τέσσερις από εμάς λένε ψέματα» ασίλης : «Ο ντρέας είπε ψέματα» ιώργος : «Ο ασίλης είπε ψέματα» ημήτρης : «Ο ιώργος είπε ψέματα» Ελένη : «Ο ημήτρης είπε ψέματα» πό τα πιο πάνω πέντε άτομα, το πλήθος αυτών που λένε ψέματα είναι: Ε. εν μπορεί να προσδιοριστεί Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 6

11 CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD 2019 ENGLISH VERSION

12 Cyprus Mathematical Society 6 Stasinou street, Off. 102, 200 Strovolos, Nicosia Tel: , Fax: cms@cms.org.cy, TIME: 60 minutes 20 th CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD Sunday, April 1 th, 2019 EXAM PAPER 9 th & 10 th GRADE Fill in carefully the answer sheet, by choosing only one answer to each question. The selection must be made by shading the right answer. Every correct answer is graded with points. For each wrong answer, 1 point will be deducted. If a question is answered by shading more than one answer, the answer will be considered wrong. The correction will be made electronically, so any additional mark might be taken as wrong. You can use the space next to the questions to take extra notes. It is recommended that you complete the answer sheet in the last five minutes of the exam, making sure that your answers are final. Examples of filling the answer sheet 1. Find the result Ε. 2 Correct filling Incorrect filling

13 9 th & 10 th Grade 20 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2019 (C Cymnasium & A Lyceum) 1. The graph of a line (ε) is plotted below. y (ε) x Then, a possible equation for (ε) could be:. y = x +1. y = x 1. y = x. y = 1 x Ε. y =1 x 2. In the following figure = and =. Angle is equal to 0. 0 Then, the angle is equal to: Ε. 80. The sum of two numbers is equal to 2019 and their difference is equal to The smaller of the two numbers is equal to:. 1. 0, ,5 Ε. 1 Cyprus Mathematical Society Page 1

14 9 th & 10 th Grade 20 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2019 (C Cymnasium & A Lyceum). The number of diagonals of the following hexagon is: Ζ Ε Ε When a barrel is 70% full, it contains 0 more litres than when it is 0% full. The capacity of the barrel in litres is: Ε Costas runs uphill with a speed of 8 km/h and needs one hour to reach the top. He returns from the same road downhill with a speed of 12 km/h. The time, in minutes, that Costas needs in order to reach the bottom is:. 0 min. 0 min. 5 min. 50 min Ε. 90 min 7. In the following rectangle we have: Ε = Ζ = Η = Θ = = 6 Ε Θ Ζ Η The percentage of the shaded area of the rectangle is:. 100 % % % % Ε % Cyprus Mathematical Society Page 2

15 9 th & 10 th Grade 20 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2019 (C Cymnasium & A Lyceum) 8. If f(x) = x 1 x and f(a) =2, then f ( a 2) is equal to:. 9. The expression ( ) 2. 5 Ε. 1 is equal to: Ε In the following figure the arcs ΕΗ, ΕΘ, ΕΖ and ı ΕΙ are semicircles inside the circle with centre Ε and radius 1 cm. Θ Η Ε Ζ t Ι The shaded area is equal to: 9π. cm 2. 9π cm 2. 77π cm 2. 98π cm 2 Ε. 1π cm In a triangle the arithmetic ratio of its area to its perimeter is. Let, Ε, Ζ be the midpoints of the sides of. Ζ Ε In triangle ΕΖ the arithmetic ratio of its area to its perimeter is: Ε. 0,25 2 Cyprus Mathematical Society Page

16 9 th & 10 th Grade 20 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2019 (C Cymnasium & A Lyceum) 12. The numbers 2,, 12, 1, 15, 20 and 21 can be partitioned into two groups such that the product of the numbers in each group is the same. This product is equal to: Ε Andreas writes nine numbers in ascending order. The average of the first five of those is equal to 2 and the average of the last five of those is equal to 51. If the middle number is equal to the average of the nine numbers, then the sum of all numbers is: Ε If a, β and γ are real numbers such that (a + β 1) 2 + β + γ 12 + a + γ 5 =0, then a + β + γ is equal to: Ε The last digit of the number is: Ε. None of these 16. If then the expression is equal to: 1 x + 1 y = 5 x + y, x y + y x Ε. None 17. The largest integer x, such that x < is: Ε. 8 of these Cyprus Mathematical Society Page

17 9 th & 10 th Grade 20 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2019 (C Cymnasium & A Lyceum) 18. In the following figure, is a square of area 0 cm 2 whose vertices and are on the diameter and whose vertices and on the circumference of a semicircle. The area of the semicircle is:. 20π cm 2. 25π cm 2. 0π cm 2. 0π cm 2 Ε. 50π cm Let x, y be positive real numbers. If x + 1 y =2 and y + 1 x =, then is equal to:.. 2 xy + 1 xy Ε. None of these 20. A positive integer is called lucky if, when we subtract from this number, the double of a particular positive divisor of it, we can get 6 as an answer. For example 10 is lucky, since 2 is a divisor of 10 and =6. The largest sum of digits that a lucky number can have is: Ε If A = and B = , then B A is equal to: Ε. 000 Cyprus Mathematical Society Page 5

18 9 th & 10 th Grade 20 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2019 (C Cymnasium & A Lyceum) 22. The sum of all but one of the angles of a given convex polygon is equal to Then, the other angle is equal to: Ε. It cannot be determined 2. If f(1 x)+2f(x) =x, x R, then f(0) is equal to: If a, β, γ, δ are natural numbers such that Ε. 8 2 a 2β 16 γ =8 δ, then a cannot be equal to: Ε Every inhabitant of a certain island either always tells the truth or always lies. In a meeting of Andreas, Vasilis, George, Demetris and Helen, who are inhabitants of this island, the following were told: Andreas : Exactly four of us are lying Vasilis : Andreas lied George : Vasilis lied Demetris : George lied Helen : Demetris lied The number out of those five people that lie is equal to: Ε. It cannot be determined Cyprus Mathematical Society Page 6