GEODEZIJSKA PRESLIKAVA A

Transcript

1 Univerzitet u Beogradu Matematiqki fakultet MASTER RAD GEODEZIJSKA PRESLIKAVA A student: Rada Mutavi mentor: prof. dr Mirjana ori Beograd 2013.

2 QLANOVI KOMISIJE: prof. dr Mirjana ori dr Sran Vukmirovi dr Miroslava Anti

3 SADRAJ Sadraj 1 Povrxi u E Osnovni pojmovi i definicije Geodezijske linije Opxta jednaqina geodezijskih linija Godezijska krivina Geodezijske krivine parametarskih krivih Liuvilova formula za k g Geodezijski koordinatni sistem Asimptotske linije i konjugovani pravci Gausova krivina Kartografske projekcije i konformna preslikava a povrxi Difeomorfne povrxi Kartografske projekcije Izometrije Konformna preslikava a Stereografska projekcija Geodezijska preslikava a povrxi Osnovne osobine geodezijskih preslikava a Beltramijeva teorema Dinijeva teorema Primeri geodezijskih preslikava a Primer izometrije povrxi u E Gnomonska projekcija Beltramijev primer Diferencijabilne mnogostrukosti Topoloxke i diferencijabilne mnogostrukosti Diferencijabilna preslikava a mnogostrukosti Tangentni prostor Definicija tangentnog prostora Tangentni vektor kao izvod u pravcu Diferencijal glatkog preslikava a Tenzori na mnogostrukosti Vektorsko po e Linearna povezanost Rimanove mnogostrukosti Paralelno pomera e Geodezijske linije Primedbe na definicije geodezijskih linija Geodezijska preslikava a diferencijabilnih mnogostrukosti Afina preslikava a Geodezijska preslikava a mnogostrukosti sa linearnom povezanoxu Levi-Qivita jednaqine geodezijskih preslikava a

4 SADRAJ Geodezijska preslikava a ekvidistantnih mnogostrukosti Indeks pojmova 47 Indeks imena 48 Literatura 51

5

6 Uvod Prvi koji je razmix ao o problemu geodezijskog preslikava a bio je Beltrami i to posmatrajui sluqaj geodezijskog preslikava a povrxi (Rimanove dvodimenzione mnogostrukosti) na Euklidsku ravan E 2. Kasnije, godine, U. Dini je rexio ovaj problem za xiru klasu prostora posmatrajui geodezijska preslikava a dve povrxi. Zatim, godine, Levi-Qivita je naxao osnovnu jednaqinu za rexava e geodezijskog preslikava a izmeu dve n-dimenzione Rimanove mnogostrukosti. On je doxao do problema geodezijskog preslikava a izmeu Rimanovih mnogostrukosti pri prouqava u jednaqina dinamike. Svoj doprinos teoriji geodezijskih preslikava a dali su T. Tomas i H. Vejl koji su naxli neke geometrijske invarijante geodezijskog preslikava a. Teorija geodezijskih preslikava a Rimanovih i prostora linearne povezanosti je od velikog interesa, kako sa teorijske, tako i sa taqke gledixta primena. Kreta e mnogih tipova mehaniqkih sistema, a takoe tela i qestica u gravitacionim i elektromagnetnim po ima, u neprekidnoj sredini, se qesto vrxi po puta ama koje se mogu posmatrati kao geodezijske linije. Tako, na primer, dva Rimanova prostora, koja dopuxtaju uzajamno geodezijsko preslikava e, opisuju procese koji se odvijaju, pri ekvivalentnim spo nim opteree ima, po istim puta ama, ali pri razliqitim energetskim reimima. U novije vreme geodezijska preslikava a Rimanovih prostora i ihova uopxte a su posmatrali N. S. Si ukov, J. Mikex, I. Hinterleitner, V. Kiosak, M. Prvanovi, M. Stankovi. Fundamentalne jednaqine geodezijskih preslikava a su pronaene u nekoliko oblika. Meu ima je posebno vaan sistem diferencijalnih jednaqina Koxijevog tipa. Za te linearne oblike, problem egzistencije i jedinstvenosti rexe a moe se rexiti algebarskim metodama. Oqigledno, egzistencija rexe a tih fundamentalnih jednaqina povlaqi egzistenciju pomenutih preslikava a, tj. na osnovu ih se klasifikuju prostori izmeu kojih se moe uspostaviti geodezijsko preslikava e. Ovaj rad se bavi geodezijskim preslikava ima povrxi u E 3, vezom izmeu geodezijskih i konformnih preslikava a povrxi u E 3, kao i geodezijskim preslikava ima mnogostrukosti sa linearnom povezanoxu. U prvom poglav u dati su osnovni pojmovi i definicije za povrxi u E 3 i izvedene formule koje se koriste u radu. Posebno su posmatrane jednaqine geodezijskih linija na povrxi i formula za geodezijsku krivinu, asimptotski i konjugovani pravci i Gausova krivina. U drugom poglav u opisan je problem matematiqke kartografije, tj. predstav a a dela globusa na ravnoj povrxini. Zatim su posmatrana konformna preslikava a, tj. difeomorfizmi koji quvaju uglove. Ustanov ena je veza izmeu metrika povrxi izmeu kojih postoji konformna korespodencija i u odreenoj parametrizaciji prectav ena stereografska projekcija kao primer konformnog preslikava a. U treem poglav u su prikazane neke qi enice o geodezijskim i konformnim preslikava ima povrxi. Ustanov eno je da se geodezijskim preslikava ima quvaju ko ugovani pravci. Pokazano je da preslikava e povrxi koje je konformno i geodezijsko mora biti izometrija ili sliqnost. Navedene su Beltramijeva i Dinijeva teorema, kao i neki primeri koji su ilustrovani pomou paketa Mathematica. U qetvrtom poglav u su posmatrane diferencijabilne mnogostrukosti. Navedenu su osnovne definicije za mnogostrukosti, diferencijabilna preslikava a izmeu ih, tangentne vektore i prostore, vektorska po a i tangentne vektore na krive na mnogostrukosti. Prirodno su uvedeni Kristofelovi simboli druge vrste pomou linearne povezanosti, za koje u sluqaju Rimanovih

7 mnogostrukosti vae formule kojima su Kristofelovi simboli definisani na povrxi u E 3. Posmatrani su paralelno pomera e i geodezijske linije na mnogostrukosti. U petom poglav u su izvedene Levi-Qivita jednaqine geodezijskih preslikava a mnogostrukosti, koje uspostav aju vezu izmeu komponenata povezanosti mnogostrukosti koje se geodezijski mogu preslikati jedna na drugu. U sekciji 5.4 je uoqena veza metrika ekvidistantnih mnogostrukosti izmeu kojih je uoqeno geodezijsko preslikava e u kanonskom koordinatnom sistemu, xto je deo rada I. Hinterleitner, Special mappings of equidistant spaces.

8

9 6 1 POVRXI U E 3 1 Povrxi u E Osnovni pojmovi i definicije Definicija 1. Parametrizovana elementarna povrx klase C k, k 1 je 1 1 preslikava e x : U E 3 klase C k, gde je U = U(u, v) otvoren podskup od E 2, a x/ u i x/ v su linearno nezavisni vektori na U. Definicija 2. Koordinatna transformacija (klase C k ) je C k difeomorfizam φ : V U, gde su V i U otvoreni skupovi u E 2. Ubudue e se pretpostav ati da su parametrizacije i koordinatne transformacije klase C, ako se ne istakne drugaqije. Ako je x : U E 3 elementarna povrx i φ : V U koordinatna transformacija, tada je x = x φ : V E 3 elementarna povrx i ima istu sliku kao x. Tada kaemo da je povrx x ekvivalentna sa x u odnosu na koordinatnu transformaciju φ. Klasa ekvivalencije parametrizovane elementarne povrxi je (neparametrizovana) elementarna povrx. Parametarske (koordinatne) krive na elementarnoj povrxi x : U E 3 u taqki p = x(a, b) su krive odreene uslovima x(u, b) i x(a, v). ihovi vekori brzina u taqki p su redom x 1 (a, b) = x u, x 2 (a, b) = x (a,b) v. (a,b) Definicija 3. Tangentna ravan na elementarnu povrx x : U E 3 u taqki p = x(a, b) je ravan koja sadri taqku p i paralelna je vektorima x 1 (a, b) i x 2 (a, b). Jediniqna normala na povrx u taqki p = x(a, b) je n(a, b) = x 1(a, b) x 2 (a, b) x 1 (a, b) x 2 (a, b). Vektor X je tangentni vektor na elementarnu povrx x u taqki p = x(a, b), ako je X vektor brzine u taqki p za neku krivu koja pripada povrxi i sadri taqku p, tj. ako za neko ε > 0 postoji kriva c : ( ε, ε) x(u) E 3, tako da je c(0) = p, ċ(0) = X i c(t) = x(u(t), v(t)), gde su u(t) i v(t) klase C 1. Skup tangentnih vektora u taqki p na elementarnu povrx x : U E 3 je vektorski prostor sa bazom {x 1 (a, b), x 2 (a, b)} i oznaqava se sa T p x. Tangentno rasloje e na U se oznaqava sa T U i predstav a disjunktnu uniju tangentnih prostora T p x, p U. Definicija 4. Nad elementarnom povrxi x : U E 3 vektorsko po e je diferencijabilno preslikava e X : U E 3, tako da je za svaku taqku p U, X(p) T x(p) E 3. Moe se pokazati da se delovi sfere S 2 mogu parametrizovati, ali ne postoji parametrizacija cele sfere. Zato je u skladu sa intuicijom potrebno uvesti povrxi na sloeniji naqin. Naime, povrx e biti familija elementarnih povrxi koje se preklapaju, a na preklopu se zahteva da su parametrizacije povezane koordinatnim transformacijama.

10 1.1 Osnovni pojmovi i definicije 7 Oznaqimo sa x 11 (a, b) = 2 x, x u 2 12 (a, b) = izvode drugog reda na povrxi x. 2 x u v, x 21(a, b) = 2 x v u i x 22(a, b) = 2 x v 2 parcijalne Koeficijenti prve i druge osnovne forme povrxi x su funkcije g ij i L ij redom, definisane na U sa g ij = x i, x j, L ij = x ij, n. Negde emo koristiti oznake E := x 1, x 1, F := x 1, x 2, G := x 2, x 2 i e := x 11, n, f := x 12, n, g := x 22, n. Prva osnovna forma I na elementarnoj povrxi x : U E 3 je restrikcija skalarnog proizvoda na E 3 na vektorski prostor T p x, p = x(a, b). Za proizvo ne vektore X, Y T p x (X = X i x i, Y = Y j x j ), I(X, Y ) = g ij X i Y j. Druga osnovna forma II na elementarnoj povrxi x : U E 3 je bilinearna forma na T p x, p = x(a, b), data sa II(X, Y ) = L ij X i Y j. Funkcije g ij i L ij definixu simetriqne matrice u svakoj taqki slike povrxi x. Kristofelovi simboli prve i druge vrste su redom funkcije Γ ijk = 1 2 (g jk;i + g ik;j g ij;k ) i Γ k ij = g kα Γ ijα, (1) gde je g ij;1 = g ij / u, g ij;2 = g ij / v i g ij inverzna matrica matrice g ij, tj. matrica definisana sa g ij g ij = δ j i. U razvijenom obliku, Kristofelovi simboli druge vrste su definisani sa Γ 1 11 = GE u 2F F u + F E v 2(EG F 2 ), Γ 2 11 = 2EF u EE v F E u 2(EG F 2, ) Γ 1 12 = GE v F G u 2(EG F 2 ), Γ2 12 = EG u F E v 2(EG F 2 ), (2) Γ 1 22 = 2GF v GG u F G v 2(EG F 2 ), Γ 1 11 = GE v 2F F v + F G u 2(EG F 2, ) Γ k ij = Γi jk. Vektori x 1, x 2 i n su linearno nezavisni i qine bazu prostora E 3. Imaju sliqnu ulogu kao pokretni reper u sluqaju krive, ali nisu meusobno normalni. Svaki vektor iz E 3 moe biti predstav en kao linearna kombinacija tih vektora. Posebno, za vektore x 11, x 12 i x 22 vai x 11 = Γ 1 11x 1 + Γ 1 12x 2 + en, x 12 = Γ 1 12x 1 + Γ 2 12x 2 + fn, (3) x 22 = Γ 1 22x 1 + Γ 2 22x 2 + gn. Da bi kompletirali prethodne jednaqine, izrazimo vektore n 1 i n 2 u istoj bazi. Oni lee u tangentnoj ravni, pa se izraavaju sa n 1 = p 1 x 1 + p 2 x 2, n 2 = q 1 x 1 + q 2 x 2. Iz e = x 1, n 1 = p 1 E + p 2 F, f = x 1, n 2 = q 1 E + q 2 F, f = x 2, n 1 = p 1 F + p 2 G, g = x 2, n 2 = q 1 F + q 2 G,

11 8 1 POVRXI U E 3 sledi n 1 = n 2 = Jednaqine (4) nazivaju se jednaqinama Vajngartena. ff eg EG F 2 x ef fe 1 + EG F 2 x 2 i gf fg EG F 2 x ff ge 1 + EG F 2 x 2. (4) Uslov integrabilnosti (x ij ) k = (x ik ) j se na osnovu jednaqina (3) moe napisati kao v (Γ1 11x 1 + Γ 1 12x 2 + en) = u (Γ1 12x 1 + Γ 2 12x 2 + fn), v (Γ1 12x 1 + Γ 2 12x 2 + fn) = u (Γ1 22x 1 + Γ 2 22x 2 + gn). Ako u prethodnim jednaqinama x ij izrazimo preko x i i n j (jednaqine (3)), a n i preko x i (jednaqine (4)), poree em koeficijenata uz x 1 i x 2 dobijamo sledee jednaqine (Γ 2 11) v (Γ 2 12) u + Γ 1 11Γ Γ 2 11Γ 2 22 Γ 1 12Γ 2 11 Γ 2 12Γ 2 12 = E eg f 2 EG F 2, (Γ 1 12) u (Γ 1 11) v + Γ 2 12Γ 1 12 Γ 1 11Γ 1 22 = F eg f 2 EG F 2, (Γ 1 22) u (Γ 1 12) v + Γ 1 22Γ Γ 2 22Γ 1 12 Γ 1 12Γ 1 12 Γ 2 12Γ 1 22 = G eg f 2 EG F 2, (5) (Γ 2 12) v (Γ 2 22) u + Γ 1 12Γ 2 12 Γ 1 22Γ 2 11 = F eg f 2 EG F 2. Primetimo da se u ovim jednaqinama koeficijenti druge fundamentalne forme pojav uju samo u kombinaciji (eg f 2 )/(EG F 2 ), xto e biti od znaqaja u da em izvoe u. 1.2 Geodezijske linije Definicija 5. Neka je x : U E 3 elementarna povrx. Kriva na povrxi je kriva c : I E 3 oblika x γ, gde je γ : I U kriva u U. Za krivu c(t) = x(γ(t)) na x, duina luka s(t) je jednoznaqno odreena relacijama ( ) ds 2 = ċ(t) 2 = E dt ( du dt ) 2 + 2F du dv dt dt + G ( ) dv 2. dt Ako je parametar krive c duina luka s, ta parametrizacija je prirodna. Neka je c(s) glatka kriva parametrizovana duinom luka na elementarnoj povrxi x : U E 3. Kriva c ima pokretni reper {T (s), N(s), B(s)}, pri qemu je T (s) = ċ(s) tangentno vektorsko po e, N(s) = T (s)/ T (s) vektorsko po e glavnih normala i B(s) = T (s) N(s) vektorsko po e binormala. Krivina krive c(s) je funkcija k(s) = T (s). Budui da vektori {T, n, n T = S} (S je unutrax a normala), qine orto-normiranu bazu u R 3, vektor c(s), s je prirodni parametar krive c, moemo napisati kao c = k N = 0 T + k n n + k g S, (6)

12 1.2 Geodezijske linije 9 k n i k g su normalna i geodezijska krivina krive c(s). Posmatrajmo problem nalae a krivih na povrxi u E 3 koje su analogne pravama u ravni. Rexe e tog problema su geodezijske linije. Interpretirajui svojstvo da prave linije imaju (u ravni) krivinu nula, imamo sledeu definiciju: Definicija 6. Geodezijska linija na elementarnoj povrxi je kriva parametrizovana duinom luka, qija je geodezijska krivina svugde jednaka nuli. Jednostavan primer geodezijske linije je (deo) prave c(t) = a + bt, a, b R na povrxi, budui da je c = 0. Teorema 1. Neka je x : U E 3 elementarna povrx, U = U(u 1, u 2 ). Tada za proizvo nu krivu c = x(u 1 (s), u 2 (s)) na povrxi parametrizovanu duinom luka vai: k g S = k [ü k + ij Γ k ij u i u j ]x k, k = 1, 2. Dokaz. Zamenom formule x ij = L ij n + k Γ k ijx k u jednaqini d 2 c ds 2 = c = ij x ij u i u j + i x i ü i dobijamo c = k [ü k + ij Γ k ij u i u j ]x k + ( ij L ij u i u j )n. (7) Poree e ove jednaqine sa jednaqinom (6) kompletira dokaz. Na osnovu prethodne teoreme vidimo da je kriva c = x(u 1, u 2 ) geodezijska ako i samo ako vai ü k + ij Γ k ij u i u j = 0, k = 1, 2. (8) Primer 1. [8] Nai geodezijske linije na cilindru x 2 +y 2 = 1 rexava em odgovarajueg sistema diferencijalnih jednaqina. Parametrizujmo cilindar sa σ(u, v) = (cos u, sin u, v). Tada, E = G = 1, F = 0, pa su jednaqine geodezijskih linija ü = v = 0. Zato, u = a + bt, v = c + dt, gde su a, b, c, d konstante. Ako je b = 0, geodezijska linija na cilindru je prava paralelna z-osi. Ako je d = 0, to je krunica paralelna xy-osi. Inaqe, geodezijska linija je kruni heliks. Teorema 2. Kriva c(s) jediniqne brzine na povrxi M je geodezijska kriva ako i samo ako je c normalan na povrx u svakoj taqki (tangentni vektor ċ je paralelan du γ). Dokaz. c = kn = k g S + k n n. c je normalan na povrx ako i samo ako je k g = 0. Primer 2. Posmatrajmo veliki krug c(s) = (sin s, 0, cos s) na S 2. ċ(s) = (cos s, 0, sin s), c(s) = ( sin s, 0, cos s). Normala na S 2 u taqki c(s) je ±c(s), pa je na osnovu prethodne teoreme c geodezijska kriva. Vai i obrat: ako je c geodezijska kriva na S 2, tada je c luk velikog kruga.

13 10 1 POVRXI U E 3 Primer 3. Neka je r(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)) rotaciona povrx generisana krivom jediniqne brzine (f(u), 0, g(u)), f > 0. Tada vai a) Svaki meridijan je geodezijska linija; b) Paralela je geodezijska linija ako i samo ako je tangenta meridijana paralelna osi rotacije u svim taqkama paralele. Poxto je u prirodni parametar za generatornu krivu, prva forma povrxi je (g ij ) = ( f 2 + ġ f 2 ) = ( f 2 a Kristofelovi simboli su nula osim Γ 2 12 = Γ2 21 = f f i Γ1 22 = f f. Geodezijske linije c(s) = r(u(s), v(s)) zadovo avaju sistem jednaqina (8) ), ü ff( v) 2 = 0, (9a) f v + 2 u v = 0. f (9b) a) Meridijani su odreeni sa v = const. Tada su v i v nula, pa je jednaqina (9b) zadovo ena. Du meridijana u = s, pa je u = 1 i ü = 0 i zadovo ena je (9a). b) Paralele su odreene sa u = const. Tada je u = ü = 0. Poxto geodezijska linija c(s) = r(u(s), v(s)) ima jediniqnu brzinu, 1 = c(s) 2 = r r u + u v v 2 = g 22 ( v) 2 = f 2 ( v) 2. Sledi da je v = ± 1 = const, jer je f = f(u), u = const i zadovo ena je jednaqina (9b). Jednaqina f (9a) je zbog f > 0 i v 2 = 1 0 ekvivalentna sa f = 0. Ovo vai ako i samo ako je tangenta f 2 meridijana ( f cos v, f sin v, ġ) paralelna osi rotacije (0, 0, 1) u svakoj taqki paralele. U ravni, prava je odreena taqkom koja joj pripada i pravcem te prave. Sledea teorema pokazuje da je ovo tvre e taqno za proizvo nu geodezijsku liniju. Teorema 3. Neka je p taqka na povrxi M, x : U M i neka je X jediniqni vektor tangentan na M u taqki p. Tada postoji jedinstvena geodezijska linija c : R M, takva da je neko za s 0 R, c(s 0 ) = p i ċ(s 0 ) = X. Teorema 4. Neka je c kriva jediniqne brzine na povrxi M, izmeu taqaka p = c(a) i q = c(b). Ako je c najkraa kriva izmeu taqaka p i q, tada je c geodezijska linija. Obrnuto tvre e nije taqno. Geodezijske linije ne moraju minimizirati rastoja e. Neka su p i q razliqite taqke na sferi S 2, koje nisu dijametralno suprotne. Postoje dve geodezijske linije razliqitih duina koje spajaju p i q, a odgovaraju lukovima velikog kruga, kroz taqke p i q. Primetimo i da najkrai put izmeu suprotnih polova nije jedinstven, kao i da ako iz sfere odstranimo jednu taqku, najkrai put izmeu dve taqke ne mora uvek da postoji, qak i ako postoji geodezijska izmeu ih. Teorema 5. Neka je p taqka na povrxi M. Tada postoji okolina O taqke p takva da proizvo ne dve taqke iz okoline O mogu biti spojene jedinstvenom najkraom geodezijskom linijom, pri qemu je ta geodezijska linija sadrana u okolini O.

14 1.3 Godezijska krivina 11 Jox jedno ekvivalentno tvre e da je kriva c jediniqne brzine na povrxi M geodezijska je da je ona potpuno prava, xto znaqi da je vektorsko po e dc/ds paralelno du krive c. Dokazi navedenih teorema mogu se nai u [1], [7] Opxta jednaqina geodezijskih linija Posmatrajmo sistem jednaqina geodezijskih linija (8) ( ) d2 u du 2 ds 2 = Γ Γ 1 du 12 ds ds d2 v ds 2 = Γ2 11 ( ) du 2 + 2Γ 2 ds 12 du ds dv ds + Γ1 22 dv ds + Γ2 22 ( ) dv 2, ds ( ) dv 2. ds Pomnoimo prvu jednaqinu prethodnog sistema sa dv/ds i od e oduzmimo drugu pomnoenu sa du/ds du d 2 v ds ds 2 dv d 2 ( ) u dv 3 ds ds 2 = Γ (2Γ 1 12 Γ 2 ds 22) du ( ) dv 2 ds ds ( ) du 2 ( ) + (Γ Γ 2 dv du 3 12) ds ds Γ2 11. (10) ds Poxto je dv ds = dv du du ds d ds ( dv du du ds Mnoe em jednaqine (10) sa du, leva strana prethodne jednaqine je ds ) du dv d 2 u ds du ds 2 = du ( d 2 v du du ds du 2 ds ds + dv d 2 ) u du ds 2 d 2 v du 2 = Γ1 22 du dv d 2 u ds du ds 2 = ( ) du 3 d 2 v ds du 2. ( ) ds 3 dobijamo opxtu jednaqinu geodezijskih linija du ( ) dv 3 + (2Γ 1 12 Γ 2 du 22) ( ) dv 2 + (Γ Γ 2 du 12) dv du Γ2 11. (11) Jednaqina (11) je ekvivalentna sistemu jednaqina (8), xto znaqi da je kriva na povrxi geodezijska kriva ako i samo ako zadovo ava jednaqinu (11). 1.3 Godezijska krivina Neka je c(s) kriva na elementarnoj povrxi x : U E 3 parametrizovana duinom luka. Na osnovu jednaqine (6) vai [ ( )] k g = (kn) S = T S = T (n T ) = [n, T, T 1 dx ] = (x u x v ) EG F 2 ds d2 x. ds 2 Sa druge strane je dx ds = x du u ds + x dv v ds i d 2 x ds 2 = x d 2 u u ds 2 + x d 2 v v ds 2 + x uu ( ) du 2 + 2x uv ds du dv ds ds + x vv ( ) dv 2, ds

15 12 1 POVRXI U E 3 xto sa prethodnom formulom uz identitet (a b) (c d) = (a c) (b d) (a d) (b c) daje k g = [ Γ 2 11 ( ) du 3 + (2Γ 2 12 Γ 1 ds 11) Γ 1 22 ( dv ds ( du ds ) 3 + du d 2 v ds ds 2 d2 u dv ds 2 ds Geodezijske krivine parametarskih krivih ) 2 dv ds + (Γ2 22 2Γ 1 12) du ds ( ) dv 2 ds ] EG F 2. (12) Oznaqimo sa s 1 i s 2 prirodne parametre za parametarske krive x(u, v 0 ) i x(u 0, v) redom na elementarnoj povrxi x. Tada je iz prve osnovne forme: du u-koordinatnih krivih: dv = 0, ds 1 du v-koordinatnih krivih: du = 0, ds 2 Dakle, na osnovu formule (12) (k g ) v=v0 = Γ 2 11 (k g ) u=u0 = Γ 1 22 ( du ds 1 ( dv du = 1 ; ds 1 E dv = 1. ds 2 G ds 2 ) 3 EG F EG F 2 = Γ E E ; ) 3 EG F EG F 2 = Γ G G. Sledi da su u-koordinatne krive na povrxi geodezijske krive ako i samo ako je Γ 2 11 = 0, a v-koordinatne krive geodezijske ako i samo ako je Γ 1 22 = 0. Ako su parametarske krive ortogonalne, F = 0, Γ 2 11 = 1 E v 2 G, Γ1 22 = 1 G u 2 E, vai (k g ) v=v0 = E v 2E G ; (13) (k g ) u=u0 = G u 2G E. (14) Liuvilova formula za k g Oznaqimo sa i 1 i i 2 jediniqne vektore du ortogonalnih parametarskih krivih x(u, v 0 ) i x(u 0, v) redom, a sa s 1 i s 2 prirodne parametre du tih krivih redom. Tada je i 1 = dx(u, v 0) ds 1, i 2 = dx(u 0, v) ds 2. Du u-koordinatnih krivih je S = n T = (i 1 i 2 ) i 1 = i 2, a du v-koordinatnih krivih S = (i 1 i 2 ) i 2 = i 1, pa su geodezijske krivine du parametarskih krivih prema jednaqini (6)

16 1.4 Geodezijski koordinatni sistem 13 (k g ) v=v0 = i 2 di 1 ds 1, (k g ) u=u0 = i 1 di 2 ds 2. (15) Posmatrajmo krivu c kroz taqku p na povrxi x, c(s) = x(u(s), v(s)), koja sa krivom v = v 0 zaklapa ugao θ. Tada en jediniqni vektor T zadovo ava jednaqinu Sa druge strane je pa je T = i 1 cos θ + i 2 sin θ = dx(u, v 0) cos θ + dx(u 0, v) sin θ ds 1 ds 2 = x(u, v 0) du cos θ + x(u 0, v) dv sin θ. u ds 1 v ds 2 T = dx(u, v) ds du ds = du cos θ, ds 1 Na osnovu prethodnog vai formula = x du u ds + x v dv ds, dv ds = dv sin θ. ds 2 di α ds = i α u du ds + i α v dv ds = di α ds 1 cos θ + di α ds 2 sin θ, (i = 1, 2), pa diferencira em T du c uz dobijamo dt ds = di 1 ds 1 cos 2 θ + di 1 ds 2 cos θ sin θ + di 2 ds 1 cos θ sin θ + di 2 ds 2 sin 2 θ + S dθ ds, gde je S unutrax a normala na povrx S = i 1 sin θ + i 2 cos θ. Tada na osnovu jednaqine k g = T S i formule (15) vai Formula (16) je poznata kao Liuvilova formula za k g. k g = dθ ds + (k g) v=v0 cos θ + (k g ) u=u0 sin θ. (16) 1.4 Geodezijski koordinatni sistem Pretpostavimo da za krive v = const izabrana familija geodezijskih krivih na povrxi, a ihove ortogonalne trajektorije sa u = const. Na osnovu uslova da su krive v = const geodezijke krive je E v = 0, tj. E = E(u). Metriqka forma tada ima oblik: ds 2 = E(u)du 2 + G(u, v)dv 2. Neka su u = a i v = b dve koordinatne krive iz ortogonalne familije. Neka su A i B preseqne taqke tih krivih redom sa geodezijskom krivom v = c. Tada je rastoja e od A do B B A ds = b a ds b du du = Edu, a

17 14 1 POVRXI U E 3 jer se du krive v = c kao parametar moe uzeti u i ds 2 = E(u)du 2. Vano je primetiti da je ista duina AB du svih geodezijskih linija v = const. Ovo je analogno sluqaju paralelnih pravih u ravni, pa se ortogonalne trajektorije nazivaju geodezijske paralele. Fiksirajmo jednu geodezijsku paralelu i odredimo drugu u = const sa u = s, gde je s rastoja e ove paralele od fiksirane paralele mereno du proizvo ne geodezijske linije v = const. Zato je parameter u geodezijske linije v = const prirodan, du = ds, pa je E = 1. Ovo pokazuje da se za datu familiju geodezijskih linija parametri mogu izabrati tako da metrika ima oblik ds 2 = du 2 + Gdv 2. Parametri u i v se nazivaju geodezijske koordinate. 1.5 Asimptotske linije i konjugovani pravci Definicija 7. Asimptotska linija na elementarnoj povrxi je kriva parametrizovana du- inom luka, qija je normalna krivina svugde jednaka nuli. Neka je c(s) kriva na povrxi x = x(u, v). Tada se na osnovu jednaqine (6) normalna krivina krive c raquna po formuli k n = T n. Diferencira em jednaqine T n = 0 du c dobijamo T n = T ṅ = ẋ ṅ = dx dn ds ds = dx dn ds 2 dx dn = dx dx, gde je dn = n u du + n v dv i dx = x u du + x v dv. Normalna krivina krive c data je jednaqinom k n = (x u n u )du 2 + (x u n v + x v n u )dudv + (x v n v )dv 2 Edu 2 + 2F dudv + Gdv 2 = e ( ) du 2 ds + 2f du dv ds ds + g ( ) dv 2 ds E ( ) du 2 ds + 2F du dv ds ds + G ( ) dv 2 = II(T, T ) I(T, T ). (17) ds Dakle, krive c za koje vai II(T, T ) = 0, T = ċ su asimptotske krive, a odgovarajui pravci su asimptotski pravci. Neka je x(u, v) elementarna povrx i p = x(a, b). Pravci X, Y T p x su konjugovani, ako vai II(X, Y ) = 0. X i Y su tangentni vektori u taqki p, pa je X = α(0) i Y = β(0) za neke krive α i β na povrxi x(u, v), pri qemu je α(0) = β(0) = p. Krive α i β se mogu predstaviti u obliku α(t) = x(α 1 (t), α 2 (t)) i β(t) = x(β 1 (t), β 2 (t)), pa je dα 1 X = x u dt (0) + x dα 2 v dt (0) i Y = x u Pravci X i Y su konjugovani ako vai 0 = II(X, Y ) = ( dα 1 /dt, dα 2 /dt ) ( ) ( e f dβ 1 ) /dt f g dβ 2 /dt = e dα1 dβ 1 ( dα 1 dt dt + f dβ 2 dt dt + dα2 dβ 1 dt dt dβ 1 dt (0) + x dβ 2 v dt (0). ) + g dβ1 dt dβ 2 dt. (18)

18 1.6 Gausova krivina 15 Jednaqina (18) ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Tangentne ravni du krive c = x(u(s), v(s)) na povrxi x(u, v) sa jediniqnom normalom n obrazuju razvojnu povrx D. Neka jednaqine X(s, a) = x(u(s), v(s)) + ay (s) odreuju generatore te povrxi (za fiksirano s). Du generatora, jediniqna normala na tu povrx je n, pa je n dx = 0, gde je dx = dx+da Y +a dy diferencijal preslikava a X, dx : T E 2 T D. Poxto je n dx = 0 i n Y = 0, vai n dy = 0, odakle je i gde je dn = n u du + n v dv. Ako je Y = x u dy 1 e dy1 ds dn Y = 0, ds + x v ( du dy 1 ds + f dv ds ds + dy2 ds dy 2, iz prethodne jednaqne sledi ds ) du + g dy2 dv ds ds ds = 0 xto znaqi da su pravci ċ i Y konjugovani. Drugim reqima: Generatorne linije na razvojnoj povrxi qije tangentno rasloje e qine tangentne ravni du krive c na povrxi imaju du c pravac konjugovan sa pravcem krive c. 1.6 Gausova krivina Ako u jednaqini (17) oznaqimo dv/du = λ, tada je k n = k n (λ) = e + 2fλ + gλ2 E + 2F λ + Gλ 2. Ekstremne vrednosti normalne krivine su glavne krivine i mogu se opisati sa dk n dλ = 0, odnosno (E + 2F λ + Gλ 2 )(f + gλ) (e + 2fλ + gλ 2 )(F + Gλ) = 0. Poxto vai E + 2F λ + Gλ 2 = (E + F λ) + λ(f + Gλ) i e + 2fλ + gλ 2 = (e + fλ) + λ(f + gλ) formula za glavne krivine je Zato k zadovo ava jednaqine k = f + gλ F + Gλ = e + fλ E + F λ. (e ke)du + (f kf )dv = 0 i (f kf )du + (g kg)dv = 0 koje su istovremeno zadovo ene ako i samo ako je Ek e F k f F k f Gk g = 0.

19 16 1 POVRXI U E 3 Iz ove jednaqine izvodimo Gausovu krivinu K = k 1 k 2 = eg f 2 EG F 2. Na osnovu jednaqina (5), vidimo da Gausovu krivina moe izraziti preko koeficijenata prve fundamentalne forme i enih prvih i drugih parcijalnih izvoda (Teorema Egregium). Povrxi kod kojih je Gausova krivina ista u svakoj taqki nazivaju se povrxi konstantne Gausove krivine. Na primer, povrxi qija je Gausova krivina u svakoj taqki nula su razvojne povrxi. Tu spadaju povrxi generisane tangentama na prostornu krivu, konus i cilindar. i- hova zajedniqka osobina je da imaju konstantnu tangentnu ravan du generatrisa. Sve razvojne povrxi u R 3 su pravolinijske povrxi, ali obrat ne vai. Primer je jednograni hiperboloid, jer se tangentna ravan na hiperboloid me a du generatrise.

20 17 2 Kartografske projekcije i konformna preslikava a povrxi 2.1 Difeomorfne povrxi Definicija 8. Funkcija f : S S izmeu povrxi S i S je diferencijabilna u taqki p S ako postoje parametrizacije x : (U E 2 ) S i x : (V E 2 ) S, p x(u), f(p) x(v ) takve da je kompozicija x 1 f x : U V diferencijabilno preslikava e u svakoj taqki iz S. Funkcija f : S S je difeomorfizam, ako je diferencijabilna, bijekcija i en izverz je diferencijabilna funkcija. Dve povrxi su difeomorfne, ako postoji difeomorfizam izmeu ih. Primer 4. Elipsoid E 2 = {(x, y, z) x2 + y2 + z2 = 1} i sfera S 2 su difeomorfni. Odgovarajui a 2 b 2 c 2 difeomorfizam f : S 2 E 2 je f(x, y, z) = (ax, by, cz). Na skupu svih povrxi u E 3 difeomorfizam je relacija ekvivalencije. Difeomorfne povrxi su ekvivalentne u smislu da dele ekvivalentan skup diferencijabilnih funkcija. Ova relacija ekvivalencije je osnova za diferencijalnu topologiju povrxi, ali se na osnovu e ne mogu razlikovati bitna geometrijska svojstva povrxi. 2.2 Kartografske projekcije U matematiqkoj kartografiji prouqava se specijalan sluqaj preslikava a povrxi, projekcije sfere na ravan, koje imaju ulogu kartografske projekcije (mape). Koordinatne karte za povrxi su dobile naziv posle kartografskih mapa. Osnovni problem je predstav a e oblasti R globusa (idealizovanog kao jediniqna sfera S 2 ) na ravnoj povrxi, tj. nai preslikava e γ : (R S 2 ) R 2 koje je injektivno, diferencijabilno i ima diferencijabilan inverz. Takvo preslikava e γ se zove kartografska projekcija. Koordinatna karta sfere x : (U R 2 ) S 2 odreuje kartografsku projekciju sa γ = x 1 i poslediqno, kartografska projekcija odreuje koordinatnu kartu. Prema potrebama kartografije, odreene su vane osobine kartografske projekcije. Idealna kartografska projekcija je ona kod koje su duina, uglovi i povrxina na S 2 projektuju u indentiqne duine, uglove i povrxine za odgovarajui izbor jedinice. Opxtije, takva preslikava a izmeu povrxi se zovu izometrije. Na idealnoj kartografskoj projekciji, mogle bi se videti neke vane geografske osobine - najkrae rastoja e izmeu taqaka bilo bi predstav eno segmentom prave. Jedan od prvih rezultata u matematiqkoj kartografiji dao je Ojler u svom radu iz 1778:

21 18 2 KARTOGRAFSKE PROJEKCIJE I KONFORMNA PRESLIKAVA A POVRXI Teorema 6. Ne postoji idealna kartografska projekcija. Dokaz. Ojlerov dokaz se zasnivao na diferencijalnim jednaqinama koje opisuju "infinitezimalnu sliqnost". Ovde je dovo an sintetiqki argument. Neka je ABC trougao na S 2 formiran od segmenata velikih krugova. Kako su veliki krugovi geodezijske linije na sferi, pri idealnoj kartografskoj projekciji AB, BC i AC bi se projektovali u segmente pravih u ravni. Ipak, zbir uglova u sfernom trouglu je vei od π, dok je zbir uglova trougla u ravni π. Zato idealna kartografska projekcija ne moe da quva uglove, xto je u kontradikciji sa pretpostavkom. Na osnovu prethodne teoreme, ne moe se izabrati kartografska projekcija kod koje su sve navedene metriqke osobine saquvane, ve se po potrebi biraju pojedinaqne mape kod kojih su saquvane neke od osobina. 2.3 Izometrije Definicija 9. Difeomorfizam f : S S je je izometrija, ako za sve p S i v, w T p S vai I p ( v, w) = I f(p) (f p ( v), f p ( w)) Dve povrxi su izometriqne ako postoji izometrija izmeu ih. Osobine povrxi koje se quvaju izometrijama su unutrax e osobine povrxi. Definicija 10. Preslikava e f : (U S) S okoline U taqke p iz S je lokalna izometrija u taqki p, ako postoje okoline W V od p i W od f(p) takve da je f W : W W izometrija. Dve povrxi su lokalno izometriqne ako postoji lokalna izometrija u svakoj taqki za obe povrxi. 2.4 Konformna preslikava a Definicija 11. Difeomorfizam f : S S je konformno preslikava e ako quva uglove, tj. za date dve krive α : ( ε, ε) S i β : ( η, η) S, α(0) = p = β(0), ugao izmeu α (0) i β (0) u T p S je isti kao ugao izmeu f p (α (0)) i f p (β (0)) u T f(p) S. Teorema 7. Difeomorfizam f : S S je konformno preslikava e ako i samo ako postoji funkcija ρ : S R razliqita od nule takva da za sve p S i v, w T p S I p ( v, w) = ρ 2 (p)i f(p) (f p ( v), f p ( w)). Dokaz. Pretpostavimo da je f : S S difeomorfizam i da postoji ne-nula funkcija ρ : S R koja zadovo ava prednodnu jednaqinu. Uporedimo ugao θ izmeu dve krive na S i ugao θ izmeu odgovarajuih krivih na S: cos θ = = I p ( v, w) Ip ( v, v) I p ( w, w) ρ 2 (p)i f(p) (f p ( v), f p ( w)) = cos θ. ρ 2 (p)i f(p) (f p ( v), f p ( v)) ρ 2 (p)i f(p) (f p ( w), f p ( w)) Pretpostavimo sada da je f : S S konformno preslikava e. f je difeomorfizam, pa karta x : (U R 2 ) S odreuje kartu na S, naime f x : (U R 2 ) S. Zato moemo pretpostaviti

22 2.4 Konformna preslikava a 19 da obe povrxi imaju iste lokalne koordinate. Kriva α(t) = x(u(t), v(t)) na S se slika u krivu f α(t) = y(u(t), v(t)) na S. Zbog toga je du f p (x u dt + x dv v dt ) = y du u dt + y dv v dt. Komponente prve forme u taqkama p = x(u, v) i f(p) = y(u, v) oznaqimo redom sa E(u, v), F (u, v), G(u, v) i Ē(u, v), F (u, v), Ḡ(u, v). Pretpostavimo da su v i w jediniqni ortogonalni vektori u T p S. Tada iz I p ( v, w) = 0 sledi I f(p) (f p (v), f p (w)) = 0. Neka je V = f p ( v), W = f p ( w) i V = c 1, W = c 2. Po linearnosti metriqke forme dobijamo 1 2 = = I p ( v, v + w) Ip ( v, v) I p ( v + w, v + w) I f(p) ( V, V + W ) I f(p) ( V, V ) I f(p) ( V + W, V + W = ) c 2 1, c 1 c c 2 2 odakle sledi c 1 = c 2. Definiximo funkciju ρ : S R sa ρ(p) = c 1. Neka je x u = a v + b w u taqki p S; tada je f p (x u ) = a V + b W i Ē = I f(p) (f p (x u ), f p (x u )) = a 2 V V + 2ab V W + b 2 W W = ρ 2 (p)(a 2 + b 2 ) = ρ 2 (p)e. Sliqno je F = ρ 2 (p)f i Ḡ = ρ2 (p)g. Glatkim pomera em ortonormirane baze u okolini taqke p dobijamo ovu vezu komponenata funkcije za sve taqke u okolini p. Definicija 12. Preslikava e f : (U S) S okoline U taqke p iz S na S je lokalno konformno preslikava e u taqki p, ako postoje okoline W U od p i W od f(p) takve da je f W : W W konformno preslikava e. Dve povrxi su lokalno konformne, ako postoji lokalno konformno preslikava e u svakoj taqki obe za obe povrxi. Najvanija osobina konformnih preslikava a data je sledeom teoremom: Teorema 8. Svake dve regularne povrxi su lokalno konformne. Dokaz se zasniva na mogunosti parametrizacije okoline proizvo ne taqke regularne povrxi tako da su koeficijenti prve osnovne forme E = λ 2 (u, v), F = 0, G = λ 2 (u, v). Takve koordinate su izotermalne. Kada se pretpostavi egzistencija izotermalnih koordinata regularne povrxi S, S je lokalno konformna ravni i kompozicijom lokalno konformna bilo kojoj drugoj regularnoj povrxi. Posmatrajmo sledeu parametrizaciju dela sfere S 2 x : ( π, π) ( π 2, π 2 ) S2, x(ϕ, θ) = (cos ϕ cos θ, sin ϕ cos θ, sin θ),

23 20 2 KARTOGRAFSKE PROJEKCIJE I KONFORMNA PRESLIKAVA A POVRXI gde je ϕ geografska duina (longituda) i meri se od Griniqkog meridijana, a θ geografska xirina (latituda) i meri se od ekvatorijalne ravni. Element duine luka je ds 2 = (cos 2 θ)dϕ 2 + dθ 2. Neka je Y : (R S 2 ) R 2 difeomorfizam i d s 2 = Ēdu2 + 2 F dudv + Ḡdv2 element duine luka parametrizacije Y x : (U ( π, π) ( π 2, π 2 )) R2. Tada je na osnovu prethodne teoreme Y konformno preslikava e sfere S 2 bez jednog meridijana na ravan ako je F = 0, Ē = ρ 2 (ϕ, θ) cos 2 θ i Ḡ = ρ2 (ϕ, θ), za neku funkciju ρ na U razliqitu od nule Stereografska projekcija Preslikava e sfere S 2 bez severnog pola na ravan indukovano transformacijom u = ln r 1, ϕ = ϕ 1, gde su (r 1, ϕ 1 ) polarne koordinate u ravni, je konformno preslikava e. Veza izmeu metriqkih formi ravni ds 2 i sfere d s 2 je ds 2 = dr r 2 1dϕ 2 1 = r 2 1(du 2 + dϕ 2 ) = e 2u d s 2. Koordinate na sferi su u = dθ cos θ ( θ = ln tg 2 + π ) + c, 4 ϕ i θ su geografska duina i xirina redom, pa je za c = ln 2a preslikava e dato sa ( θ r 1 = 2a tg 2 + π ), ϕ 1 = ϕ. 4 Ovo preslikava e je stereografska projekcija - projekcija taqaka sfere bez severnog pola iz severnog pola na ravan tangentnu na juni pol. Krugovi na sferi koji sadre severni pol se stereografskom projekcijom slikaju u prave u ravni, a krugovi koji ne sadre severni pol se slikaju u krugove u ravni. Sledei grafik u programskom paketu Mathematica demonstrira kako se meridijan na sferi prethodnim preslikava em slika u pravu liniju u ravni.

24 2.4 Konformna preslikava a 21 Stereografska projekcija Manipulate[ Show[ Module[{φ, θ}, ParametricPlot3D[{Cos[φ]Cos[θ], Sin[φ]Cos[θ], Sin[θ]}, {φ, π, π}, {θ, π/2, π/2}, PlotStyle Directive[Orange, Opacity[0.5], Specularity[White, 10]], Mesh None, Axes False, PlotPoints 30]], ParametricPlot3D[{{Cos[φ]Cos[θ], Sin[φ]Cos[θ], Sin[θ]}}, {θ, 0, 2Pi}], ParametricPlot3D[{{r1[θ]Cos[φ1], r1[θ]sin[φ1], 1}}, {θ, 0, 2Pi}], Graphics3D[{Point[{0, 0, 1}], Dashed, Line[{{0, 0, 1}, {r1[5π/4]cos[φ1], r1[5π/4]sin[φ1], 1}}]}]], Initialization : ( φ1 = φ = π/3; a = 1; r1[θ_]:=2atan[θ/2 + π/4]; )]

25 22 3 GEODEZIJSKA PRESLIKAVA A POVRXI 3 Geodezijska preslikava a povrxi 3.1 Osnovne osobine geodezijskih preslikava a Definicija 13. Za date povrxi S i S, difeomorfizam f : S S se naziva geodezijsko preslikava e povrxi S na povrx S ako f slika bilo koju geodezijsku krivu u S na geodezijsku krivu u S. Ako je S dobijena primenom neke izometrije na S, unutrax a geometrija povrxi nije prome ena. Tada se geodezijske linije na S slikaju na geodezijske linije na S i preslikava e je geodezijsko. Teorema 9. [8] Svaka lokalna izometrija izmeu dve povrxi slika geodezijske linije na jednoj povrxi na geodezijske linije na drugoj povrxi. Dokaz. Neka su S i S dve povrxi, f : S S lokalna izometrija izmeu ih i c geodezijska linija na S. Neka je p taqka na c i x(u, v) parametrizacija od S sa taqkom p u slici. Tada, deo c koji lei u parametrizaciji x ima oblik c(t) = x(u(t), v(t)) sa a t b, gde glatke funkcije u i v zadovo avaju jednaqine ü + Γ 1 11 u 2 + 2Γ 1 12 u v + Γ 1 22 v 2 = 0, v + Γ 2 11 u 2 + 2Γ 2 12 u v + Γ 2 22 v 2 = 0. Funkcije Γ k ij zavise samo od prve fundamentalne forme parametrizacije x, koja je ista kao prva fundamentalna forma parametrizacije f x na S. Tada je c(t) = f(x(u(t), v(t))), a t b geodezijska linija na S, jer zadovo ava sistem jednaqina geodezijskih linija. Znaqi da je c normalno na S u f(p). Kako je ovo taqno za sve taqke p, c je geodezijska linija na S. Sada pretpostavimo da je S slika od S pri homotetiji prostora i neka je k koeficijent homotetije. Tada su metriqki tenzori povrxi povezani sa ḡ ij = k 2 g ij (ḡ kl = 1/k 2 g ij, ḡ ij;k = k 2 g ij;k ), pa su zato Christoffel-ovi simboli koincidentni, Γ k ij = Γk ij (Γk ij = 1 2 l glj (g ij;k + g jk;i g ki;j )). Poslediqno, geodezijske γ na S se slikaju na geodezijske γ na S, gde su parametri duine luka s na γ i s na γ povezani sa s = ks + const. Zajedniqko svojstvo za prethodne primere je da pri uslovu odgovarajue koordinatizacije povrxi imaju iste Kristofelove simbole druge vrste u odgovarajuim taqkama. Takva geodezijska preslikava a se nazivaju trivijalna geodezijska preslikava a. Prirodno, netrivijalna geodezijska preslikava a su od veeg interesa. Teorema 10. [14] Ako je preslikava e f izmeu povrxi S i S geodezijsko i konformno, onda je to preslikava e izometrija ili sliqnost. Dokaz. Posmatrajmo sistem geodezijskih koordinata na S tako da su parametarske krive v = const geodezijske krive na S. Tada je metriqka forma na S ds 2 = du 2 + Gdv 2. Preslikava e f konformno, pa je metriqka forma na S d s = λ(u, v)[du 2 + Gdv 2 ]. Poxto je f geodezijsko preslikava e, slika geodezijskih linija v = const na S mora biti geodezijska linija na S. Uslov za ovo je na osnovu (13) Ē v = λ(u, v) v = 0, tj. λ = λ(u).

26 3.2 Beltramijeva teorema 23 Neka je γ geodezijska linija na S koja seqe v = const pod uglom θ. Tada je ena geodezijske krivina po Liuvilovoj formuli k g = dθ ds + (k g) v=const cos θ + (k g ) u=const sin θ, gde su (k g ) v=const i (k g ) u=const geodezijske krivine parametarskih krivih v = const i u = const redom. Poxto je E = 1 i F = 0 sledi da je (k g ) v=const = 0 i (k g ) u=const = G u. Za geodezijske 2G linije je k g = 0, pa Liuvilova formula postaje odnosno 0 = dθ ds + G u dv 2G ds, dθ + G u dv = 0. 2G Preslikava e f je geodezijsko i konformno, pa je odgovarajua jednaqina na S Dakle, vai G u 0 = dθ + Ḡu 2Ḡdv. G = Ḡu = (λg) u Ḡ λg = λ ug + λg u = G u λg G + λ u λ, odakle je λ u = 0, tj. λ = const. Zato je preslikava e sliqnost, koje postaje izometrija za λ = 1. Teorema 11. Pri geodezijskom preslikava u povrxi quvaju se konjugovani i asimptotski pravci. Dokaz. Dokazaemo ovu teoremu geometrijski. Posmatrajmo krivu c na povrxi S i razvojnu povrx D koja ograniqava S du c. Geodezijsko preslikava e povrxi S na povrx S, krivu c slika na krivu c i razvojnu povrx D na razvojnu povrx D koja ograniqava S du c. Tangente na C i c odgovaraju jedna drugoj pri preslikava u, kao i generatorne linije na D i D. Poxto generatorne linije povrxi D i D imaju pravce konjugovane sa pravcima c i c du tih krivih redom, teorema je dokazana. 3.2 Beltramijeva teorema Posmatrajmo problem koji je Beltrami postavio i delimiqno rexio: nai lokalni uslov na paru povrxi S i S koji garantuje da postoji lokalni difeomorfizam S S koji geodezijske na S slika na geodezijske na S. Beltrami je rexio problem kada je jedna od ih euklidska ravan. Teorema 12. (Beltrami, 1865.) Ako postoji geodezijsko preslikava e sa povrxi S na euklidsku ravan, tada je Gausova krivina povrxi S konstantna. Dokaz. Pretpostavimo da je f : (W S) E 2 geodezijsko preslikava e. Neka je U E 2 otvoren skup koji lei u slici f i neka je x : U E 2 W karta data sa x = f 1. Poxto je f geodezijsko, prave linije u U se slikaju u geodezijske linije na S. Neka je ds 2 = Edu 2 + 2F dudv + Gdv 2 metrika na S. Pretpostavimo da se γ(t) = (u(t), v(t)) slika u geodezijsku liniju x γ(t) na S. Po pretpostavci, γ(t) je deo euklidske prave, tj. au(t) + bv(t) + c = 0,

27 24 3 GEODEZIJSKA PRESLIKAVA A POVRXI za a i b koji nisu istovremeno nula. Poxto je au (t) + bv (t) = 0 i au (t) + bv (t) = 0, vai: ( u v ) u v = 0, pa je u v v u = 0. Opxti uslov da kriva bude geodezijska je na osnovu (12) Γ 2 11(u ) 3 + (2Γ 2 12 Γ 1 11)(u ) 2 v + (Γ Γ 1 12)u (v ) 2 Γ 1 22(v ) 3 = 0. Bira em pojedinaqnih pravih razliqitih nagiba u U za γ(t) dobijamo relacije: Γ 2 11 = 0 = Γ 1 22, 2Γ 2 12 = Γ 1 11, 2Γ 1 12 = Γ Jednaqine (5) koje povezuju Kristofelove simbole i Gausovu krivinu se u ovom sluqaju mogu pojednostaviti: (a) EK = Γ 2 12Γ 2 12 (Γ 2 12) u, (b) F K = (Γ 1 12 ) u (2Γ 2 12 ) v + Γ 1 12 Γ2 12, (v) GK = Γ 1 12Γ 1 12 (Γ 1 12) v, (g) F K = (Γ 2 12 ) v (2Γ 1 12 ) u + Γ 1 12 Γ2 12. Oduzima me (g) od (b) imamo Zato moemo (b) i (g) napisati kao Sada koristimo jednaqine (Γ 1 12) u = (Γ 2 12) v. (b) F K = Γ 1 12Γ 2 12 (Γ 2 12) v, (g) F K = Γ 1 12Γ 2 12 (Γ 1 12) u. (Γ 1 12) uv = (Γ 1 12) vu, i (Γ 2 12) uv = (Γ 2 12) vu. Uzima em parcijalnih izvoda po v u jednaqini (a) i po u u jednaqini (b) imamo (EK) = E v K + EK v = 2Γ 2 v 12(Γ 2 12) v (Γ 2 12) uv, (F K) = F u K + F K u = Γ 1 u 12(Γ 2 12) u + Γ 2 12(Γ 1 12) u (Γ 2 12) uv, pa je EK v F K u + K(E v F u ) = 2Γ 2 12 (Γ2 12 ) v Γ 1 12 (Γ2 12 ) u Γ 2 12 (Γ1 12 ) u. Zamenom (a), (b) i (g) u prethodnoj jednaqini sledi EK v F K u = K(E v F u ) + 2Γ 2 12 (Γ1 12 Γ2 12 F K) Γ 1 12 (Γ2 12 Γ2 12 EK) Γ2 12 (Γ1 12 Γ2 12 F K) = K(E v F u ) + K(Γ 1 12 E Γ2 12 F ). Poxto je Γ 2 11 = 0 i Γ1 11 = 2Γ2 12, moemo napisati Γ 1 12E Γ 2 12F = Γ 1 12 E + Γ2 12 F 2Γ2 12 F Γ2 11 G = Γ 1 12 E + Γ2 12 F (Γ1 11 F + Γ2 11 G) = 1 2 E v (F u 1 2 E v) = E v F u, gde smo iz jednaqina (2) izrazili Γ 1 12 E + Γ2 12 F = E v i Γ 1 11 F + Γ2 11 G = 2F u E v. Zato je EK v F K u = 0. (F K) Raquna em (GK) izvodimo sliqan raqun i dobijamo F K v GK u = 0. U matriqnom v u obliku: ( ) ( ) ( ) E F Kv 0 =. F G K u 0 Poxto je EG F 2 0, sledi da je K u = K v = 0, pa je K konstantno.

28 3.2 Beltramijeva teorema 25 Vai i obrat prethodne teoreme: ako je S povrx konstantne Gausove krivine, tada za svaku taqku p S postoji parametrizacija σ : U S, takva da je za svaku taqku p σ(u), σ 1 : σ(u) U geodezijsko preslikava e. Da bi to dokazali, potrebna je sledea teorema: Teorema 13. ( Minding) Povrxi iste konstantne Gausove krivine su lokalno izometriqne. Pretpostavimo da je S povrx konstantne Gausove krivine. Izometrije i homotetije su geodezijska preslikava a, a pri homotetiji prosora sa koeficijentom k, Gausove krivine povrxi S i ene slike S su povezane sa K = 1 K. Na osnovu ovih qi enica i prethodne teoreme, dovo no k je pokazati da postoji geodezijsko preslikava e 2 sa povrxi S na ravan u tri sluqaja: (i) S je ravan; (ii) S je jediniqna sfera; (iii) S je pseudosfera. Sluqaj (i) je trivijalan. Posmatrajmo sluqaj (ii). Inverz centralne projekcije f sa centrom u koordinatnom poqetku do e hemisfere jediniqne sfere S 2 na ravan z = 1 je parametrizacija otvorenog podskupa S 2 sa osobinom da geodezijske linije na S 2 odgovaraju pravama u karti. Sluqaj (iii) je sloeniji i kao i dokaz teoreme 13, moe se nai u [8].

29 26 3 GEODEZIJSKA PRESLIKAVA A POVRXI 3.3 Dinijeva teorema Za dokaz Dinijeve teoreme, potrebna nam je sledea teorema: Teorema 14. [14] (Tiso) Za svaki difeomorfizam f : S S koji nije konformno preslikava e u svakoj taqki p povrxi S postoji jedinstveno odreen par ortogonalnih pravaca tako da su odgovarajui pravci na S takoe ortogonalni. Dokaz. Neka je x : U E 3 parametrizacija povrxi S u okolini taqke p i neka povrxi S i S imaju iste lokalne koordinate (u, v) u toj okolini, tj. y = x f je odgovarajua parametrizacija povrxi S. Pretpostavimo da vektori X = X i x i i Y = Y i x i iz T ps odreuju dva ortogonalna pravca u taqki p S, a vektori X = Xi y i i Ȳ = Ȳ i y i odgovarajue ortogonalne pravce u p na S. Tada je EX 1 Y 1 + F (X 1 Y 2 + X 2 Y 1 ) + GX 2 Y 2 = 0, odnosno Odgovarajui pravci na S su takoe ortogonalni, dakle (EY 1 + F Y 2 )X 1 + (F Y 1 + GY 2 )X 2 = 0. (19) Ē X 1 Ȳ 1 + F ( X 1 Ȳ 2 + Ȳ 1 X2 ) + Ḡ X 2 Ȳ 2 = 0. Poxto povrxi imaju iste kordinate, vai X 1 = du d s = du ds Zbog toga posled a jednaqina postaje ρ, ρ = ds d s i sliqno za X 2, Ȳ 1 i Ȳ 2. (ĒY 1 + F Y 2 )X 1 + ( F Y 1 + ḠY 2 )X 2 = 0. (20) Eliminacijom X 1 i X 2 iz jednaqina (19) i (20) sledi ( ) (E F Y 1 2 ( ) Y 1 ĒF ) + (EḠ ĒG) + (F Ḡ F G) = 0. (21) Y 2 Ova kvadratna jednaqina odreuje dva ortogonalna pravca (X 1, X 2 ) i (Y 1, Y 2 ) u svakoj taqki. Ako oznaqimo sa P = E F ĒF, 2Q = EḠ ĒG i R = F Ḡ F G, onda vai odnosno Y 2 X 1 X 2 + Y 1 Y 2 = 2Q P i X1 Y 1 X 2 Y 2 = R P, X 1 Y 1 R = X2 Y 2 P = X1 Y 2 + Y 1 X 2. 2Q Zato uslov ortogonalnosti EX 1 Y 1 + F (X 1 Y 2 + Y 1 X 2 ) + GX 2 Y 2 = 0 dobija oblik ER 2F Q + QP = 0, koji je u ovom sluqaju zadovo en. Diskriminanta jednaqine (21) je (EḠ ĒG)2 4(E F ĒF )(F Ḡ ĒG) = (EḠ ĒG)2 4(E F ĒF ) 1 E (F (EḠ ĒG) G(E F ĒF )) = [(EḠ ĒG) 2FE ] 2 (E F ĒF ) + 4 EG F 2 E 2 (E F ĒF )2. Preslikava e nije konformno, pa ne vai E/Ē = F/ F = G/Ḡ. Dakle, EḠ ĒG i E F ĒF nisu istovremeno nula. Poxto je i E 0 i EG F 2 > 0, diskriminanta je uvek pozitivna i koreni jednaqine su realni i razliqiti. Dakle, u svakoj taqki P povrxi S postoje taqno dva ortogonalna pravca takva da su odgovarajui pravci na S takoe ortogonalni.

30 3.3 Dinijeva teorema 27 U. Dini je dokazao: Teorema 15. Postoji geodezijsko preslikava e izmeu povrxi S i S koje nije izometrija ili sliqnost ako i samo ako ihove metrike imaju Liuvilov oblik: ( 1 ds 2 = (U V )(du 2 + dv 2 ) i d s 2 = U 1 ) ( ) du 2 V U + dv2, (22) V gde je U funkcija koja zavisi samo od u i V funkcija koja zavisi samo od v. Dokaz. Neka je f : S S netrivijalno geodezijsko preslikava e. Tada po teoremi Tisoa za svaku taqku P iz S postoji jedinstveno odreen par ortogonalnih pravaca takvih da su odgovarajui pravci na S takoe ortogonalni. Ako su parametarske krive izabrane du tih pravaca, tada su metrike na S i S redom ds 2 = Edu 2 + Gdv 2, i d s 2 = Ēdu2 + Ḡdv2. Opxta jednaqina geodezijskih linija na prvoj povrxi je prema (11) d 2 v du 2 = G u 2E ( ) dv 3 ( Ev + du E G v 2G ) ( ) dv 2 ( Eu + du 2E G ) u dv G du + E v 2G. Opxta jednaqina geodezijskih linija na drugoj povrxi ima analogan oblik. Ako je preslikava e izmeu povrxi geodezijsko, opxte jednaqine geodezijskih linija moraju biti iste, pa je potreban i dovo an uslov da preslikava e bude geodezijsko G u E = Ḡu Ē, E v E G v 2G = Ēv Ē Ḡv 2Ḡ, E u 2E G u 2G = Ēu 2Ē Ḡu Ḡ, E v G = Ēv Ḡ. Iz druge od prethodnih jednaqina dobijamo E 2 G = Ē2 Ḡ U(u), a iz tree G 2 E = Ḡ2 Ḡ V (v), gde je U funcija koja zavisi samo od u i V funkcija koja zavisi samo od v, odakle sledi da je E = ĒU 2 V i G = ḠUV 2. Kada te vrednosti za Ē i Ḡ zamenimo u prvu jednaqinu, dobijamo G u (U V ) = GU u, odakle je G = (U V )V 2 (v),

31 28 3 GEODEZIJSKA PRESLIKAVA A POVRXI gde je V funkcija koja zavisi samo od v. Kada vrednosti za Ē i Ḡ zamenimo u posled u jednaqinu, dobijamo E v (V U) = EV v, odakle je E = (V U)U 2 (u), gde je U funkcija koja zavisi samo od u. Zato su metrike povrxi S i S redom ( ds 2 = (U V )(U 2 du 2 + V 2 1 dv 2 ), d s 2 = V 1 ) ( ) U 2 U U du2 + V 2 V dv2, ili posle odgovarajue transformacije koordinata pa su povrxi S i S Liuvilove. ds 2 = (U V )(du 2 + dv 2 ), d s 2 = ( 1 V 1 U ) ( 1 U du2 + 1 ) V dv2,

32 3.4 Primeri geodezijskih preslikava a Primeri geodezijskih preslikava a 3.5 Primer izometrije povrxi u E 3 Primer 5. Neka je M rotaciona povrx f(u, θ) = (chu cos θ, chu sin θ, u), za sh 1 (1) < u < sh 1 (1) i 0 < θ < 2π. Neka je N kruna zavojnica g(v, φ) = (v cos φ, v sin φ, φ), za 1 < v < 1 i 0 < φ < 2π. Preslikava e (g 1 F f)(u, θ) = (shu, θ) je diferencijabilno i odreuje diferencijabilnu funkciju F : M N, F (f(u, θ)) = g(shu, θ). Primeujemo da je F bijekcija i ima diferencijabilan inverz, dakle difeomorfizam. Metriqka forma za povrx M u odnosu na koordinate (u, θ) je (g ij ) = ( ch 2 u 0 0 ch 2 u a za povrx N u odnosu na koordinate (v, φ) je ( 1 0 ( g ij ) = v 2 Neka je kriva γ : [c, d] M zadata formulom γ(t) = f(u(t), θ(t)). Tada je duina vektora dγ/dt jednaka ch(u(t))( u 2 + θ 2 ) 1/2. S druge strane je (F γ)(t) = g(sh(u(t)), θ(t)). Duina vektora d(f γ)/dt jednaka je takoe (ch 2 (u(t)) u 2 + (1 + sh 2 u(t)) θ 2 ) 1/2 = ch(u(t))( u 2 + θ 2 ) 1/2. Krive γ i F γ su iste duine. Duina krive γ je jednaka d c dγ/dt dt, a duina krive F γ je d c d(f γ)/dt dt. Kako su podintegralne funkcije jednake krive γ i F γ su istih duina. F je difeomorfizam, pa je izometrija. Na primer, meridijani na katenoidu f(u, θ 0 ) = (chu cos θ 0, chu sin θ 0, u) se slikaju u (F f)(u, θ 0 ) = g(shu, θ 0 ) = (shu cos θ 0, shu sin θ 0, θ 0 ), xto su segmenti pravih na helikoidu. Paralela f(0, θ) = (cos θ, sin θ, 0) na katenoidu se slika u (F f)(0, θ) = (0, 0, θ), xto je segment vertikalne prave na helikoidu. Prethodno izvoe e daje da se proizvo ne geodezijske linije povrxi M slikaju u geodezijske linije povrxi N. ), ).

33 30 3 GEODEZIJSKA PRESLIKAVA A POVRXI 3.6 Gnomonska projekcija Prvi netrivijalni primer geodezijski ekvivalentnih metrika dao je Lagran. On je posmatrao centralnu projekciju iz centra sfere S 2 do e polu-sfere na ravan tangentnu na juni pol. Pri toj projekciji geodezijske linije na sferi se slikaju u prave u ravni, budui da su geodezijske linije u obe metrike preseci ravni koje sadre koordinatni poqetak sa povrxi. Ova projekcija se zove gnomonska projekcija. Inverz gnomonske projekcije ima oblik x : R 2 S 2, x(u, v) = 1 (u, v, 1). (23) 1 + u 2 + v2 Slika 1: Inverz gnomonomske projekcije Oznaqimo sa Q(u, v, 1) taqku u ravni tangentnoj na juni pol i posmatrajmo segment u R 3 koji spaja Q i koordinatni poqetak (Slika 1). On prolazi kroz taqku P na sferi, qije su koordinate x(u, v) = P (r, s, t). Iz linearne zavisnosti vektora OP i OQ je (0, 0, 0) = OP OQ = ( s tv, r + tu, rv su). Sledi da je r = tu i s = tv. Iz uslova r 2 + s 2 + t 2 = 1 i t < 0 dobijamo t = 1/ 1 + u 2 + v 2. Na osnovu jednaqine (23), prave ( u ravni tangentnoj na juni pol c(t) = (t, kt+n, 1) se slikaju u velike krugove na S 2 t, c(t) = 1 + u 2 + v, kt + n u 2 + v, 1 ) u 2 + v 2