Matematika 2B. (Donekle otesana graa) Miroslav Pavlovi )

Transcript

1 Matematika 2B (Donekle otesana graa) Miroslav Pavlovi ) ) miroslavpvlvc@gmail.com

2 Sadraj 1 Matrice i determinante Operacije sa matricama Inverzna i transponovana matrica Determinante drugog reda Determinante vixeg reda Raquna e inverzne matrice Matrice i linearni operatori 15 3 Sistemi linearnih jednaqina Gausova metoda Matriqna metoda i Kramerovo pravilo Rang matrice i Kroneker{Kapelijev stav Analitiqka geometrija u ravni Jednaqina prave i krunice Elipsa, hiperbola i parabola Geometrijski vektori Koordinatni sistem u prostoru Analitiqka geometrija u prostoru Jednaqina ravni Jednaqina prave Vektorski prostori 37 8 Metriqki prostori Graniqna vrednost niza Vrste skupova u metriqkom prostoru Graniqna vrednost i neprekidnost funkcije Diferencijabilnost Lagraneva teorema Izvod u pravcu i gradijent Izvodi vixeg reda i Tejlorova formula Teorema o implicitnoj funkciji Sistemi jednaqina Teorema o inverznoj funkciji Ekstremne vrednosti Uslovni ekstemumi Diferencijabilnost funkcija iz R n u R m 62

3 3 1 Matrice i determinante Matrica se prepoznaje kao pravougaona xema, npr. Matrica A ima tri vrste (tj. reda): A = 4 6, B = 6, C = [ ]. (1.1) [ 1 3 ], [ 4 6 ], [ 8 1 ], i dve kolone: 1 4, Takva matrica se naziva matricom tipa 3 2. Uopxte, ako matrica ima m vrsta i n kolona jeste matrica tipa (ili: formata) m n. Za oznaqava e,,nepoznate matrice\ koriste se slova sa dvojnim indeksima; npr. matrica tipa 4 3 pixe se kao Krae: X = [a ij ] 4,3 i,j=1 (4 vrste, 3 kolone). Matematiqka definicija matrice glasi: a 11 a 12 a 13 X = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33. a 41 a 42 a 43 Definicija 1.1. Matrica tipa m n je funkcija qiji je domen jednak Dekartovom proizvodu J m J n, gde je J k = {1, 2,..., k}. 1.1 Operacije sa matricama Definixu se tri operacije: sabira e matrica, mnoe e matrica i mnoe e matrice skalarom (brojem). Sabira e. Definixe se sabira e samo matrica istog tipa. Dve matrice istog tipa sabiraju se tako xto se saberu odgovarajui elementi. Tako, npr. meu prethodno napisanim, videti (1.1), matricama A, B, C ne postoje dve koje se mogu sabrati.

4 4 1 MATRICE I DETERMINANTE Zadatak. Malo smeha: odaberite 250 parova matrica tipa 2 3 pa ih saberite. Nula-matrica. To je matrica kojoj su svi elementi jednaki nuli. Oznaqiemo je sa 0. Suprotna matrica. Ako je X = [a ij ], onda se matrica X def = [ a ij ] naziva suprotnom matricom matrice X. Vai formula ( X) = X. Stav 1.2. Neka je M m,n skup svih matrica tipa m n. 1. Operacija sabira a je zatvorena, xto znaqi da zbir dva qlana skupa M m,n pripada tom skupu. 2. Vai zakon asocijativnosti. (Napixite ga.) 3. Vai zakon komutativnosti. (Napixite ga.) 4. X + 0 = 0 + X = X, gde X M m,n, a 0 je tipa m n. 5. Ako X M m,n, onda X M m,n i vai formula X + ( X) = 0 = ( X) + X. Dokaz. Izvedite ga sami. Oduzima e. Definixite ga. Mnoe e matrice skalarom. Ako je A = [a ij ] i λ R, onda je λa = [λa ij ], po definiciji. Drugim reqima, matrica se mnoi skalarom tako xto se svaki element matrice pomnoi tim skalarom. Stav 1.3. Vae sledee formule (gde su X i Y matrice istog tipa, a λ i µ su skalari): 1. λ(x + Y ) = λx + λy, 2. (λ + µ)x = λx + µx, 3. λ(µx) = (λµ)x, 4. 0 X = 0, 5. 1 X = X. Dokaz. Dokaz je jednostavan. Na primer, ako su X = [x ij ] i Y = [y ij ] matrice tipa m n (1 i m, 1 j n), onda je λ(x + Y ) = λ[x ij + y ij ] = [λ(x ij + y ij )] = [λx ij + λy ij ] = [λx ij ] + [λy ij ] = λ[x ij ] + λ[y ij ] = λx + λy. Koristili smo samo definiciju skalarnog mnoe a i zakon distributivnosti realnih brojeva. Mnoe e matrica. Proizvod XY matrice X tipa m n i matrice Y tipa p q definixe se samo u sluqaju da je n = p. Rezultat je matrica tipa m q. Neka je V matrica-vrsta, tj. matrica tipa 1 n a K matrica-kolona, tj. matrica tipa n 1, k 1 V = [ v 1 v 2... ] v n, k 2 K =., k n

5 1.1 Operacije sa matricama 5 onda je, po definiciji, V K = v 1 k 1 + v 2 k v n k n = n v j k j. Dakle, rezultat je broj, koji moemo tretirati kao matricu tipa 1 1. Na primer, ako su B i C matrice s poqetka ovog poglav a (videti (1.1)), onda je j=1 CB = ( 5) 6 + ( 3) 1 = 24. Ako je X matrica tipa m n a K kolona,,visine\ n, onda je proizvod XK kolona visine m: V 1 K V 2 K XK =., V m K gde su V 1 (prva), V 2 (druga),..., V m (posled a) vrste matrice X. Zadatak. Izraqunajte XY ako je X = [ ] , Y = Da li je definisan proizvod Y X? Konaqno, ako je X matrica tipa m n i Y matrica tipa n q, onda je V 1 K 1 V 1 K 2... V 1 K q V 2 K 1 V 2 K 2... V 2 K q.., V m K 1 V m K 2... V m K q gde su V 1, itd., vrste matrice X, a K 1, itd., kolone matrice Y. (Napixite to u sluqaju m = 2, n = 3, q = 2.) Na primer, ako su B i C matrice date u (1.1), onda je BC = = Uporedite rezultat sa proizvodom CB. Proizvod matrica X = [x ij ] m,n 1,1 i Y = [y jk ] n,p 1,1 moe definisati i ovako: XY je matrica U = [u ik ] m,p 1,1, gde je n uik = x ij y jk, (i, k) J m J p. j=1 Jediniqna matrica. To je matrica tipa n n kojoj su na glavnoj dijagonali jedinice a na ostalim mestima nule; tj. I = [a ij ] n,n 1,1, a ij = 1 za i = j i a ij = 0 za i j. Stav 1.4. Sledea tvre a su ispravna (pod uslovom da su izrazi koji se u ima pojav uju definisani): 1. Ako je I jediniqna matrica, onda je IX = X i Y I = Y.

6 6 1 MATRICE I DETERMINANTE 2. Mnoe e matrica nije komutativno. 3. Vai zakon asocijativnosti. 4. Vae zakoni distributivnosti, tj. X(Y + Z) = XY + XZ, i (X + Y )Z = XZ + Y Z. Dokaz. Dokazaemo samo tvre e 3. Neka je X = [x ij ] m,n 1,1, Y = [y jk] n,p 1,1 i Z = [z kl] p,q 1,1. Neka je A = [a ik ] = XY i B = [b jl ] = Y Z, E = (XY )Z i F = X(Y Z). Tada je Dakle, e il = a ik = n x ij y jk i b jl = j=1 p a ik z kl = k=1 n j=1 k=1 p x ij y jk z kl = Isti taj rezultat dobija se raquna em elemenata matrice F. p y jk z kl. k=1 n,p j=1,k=1 x ij y jk z kl. Zadatak. Ispixite navedeni dokaz u sluqaju kada je m = 2, n = 2, p = 2, q = 3. Zadatak. Naite dve matrice, A i B, tipa 2 2 tako da bude AB BA. Zadatak. Dokazati formule (A + I) 2 = A 2 + 2A + I i A 2 I = (A I)(A + I), ) gde je I jediniqna matrica, a A matrica istog tipa. Pita e. Pod kojim uslovima vae formule (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2, A 2 B 2 = (A B)(A + B)? 1.2 Inverzna i transponovana matrica Transponovana matrica matrice A jeste matrica A T koja se od A dobija zamenom uloga vrsta i kolona. Preciznije, prva vrsta matrica A T jednaka je prvoj koloni matrice A, druga drugoj, itd. Dakle, ako A je tipa m n, onda je A T tipa n m. Vae sledee formule: 1. (A + B) T = A T + B T, 2. (A T ) T = A, 3. (AB) T = B T A T, itd. Inverznom matricom (ako postoji) kvadratne matrice A (tj. matrice tipa n n) naziva se matrica B koja zadovo ava uslov AB = BA = I, gde je I jedinqna matrica. Nema svaka matrica inverznu; npr. neka je [ ] 0 0 A = 1 1 ) A 2 def = AA

7 1.2 Inverzna i transponovana matrica 7 i neka je B proizvo na matrica drugog reda (tj. tipa 2 2), [ ] x y B =. u v Tada je [ ] [ ] [ ] 0 0 x y 0 0 AB = = 1 1 u v x + u y + v [ ] Prema tome, AB I, xto znaqi da A nije invertibilna (nema inverznu). Matrica koja ima inverznu naziva se jox regularnom, a ona koja je nema { singularnom. Oznaka. Inverzna matrica regularne matrice oznaqava se sa A 1. Stav 1.5. (a) Ako su matrice X i Y regularne, onda je takva i matrica XY i vai formula (XY ) 1 = Y 1 X 1. ) (b) Ako je X regularna, onda je takva i X 1 i vai formula (X 1 ) 1 = X. Dokaz. Neka je A = XY i B = Y 1 X 1. Tada je AB = (XY )(Y 1 X 1 ) = XY Y 1 X 1 = X(Y Y 1 )X 1 = XIX 1 = XX 1 = I. U dokazu je bitno intervenisao zakon asocijativnosti. Na isti naqin se dokazuje da je BA = I, xto znaqi da je A regularna i da je A 1 = Y 1 X 1. Dokaz tvre a (b) prepuxtamo qitaocu. Digresija: grupe. Neka je R n skup svih regularnih kvadratnih matrica reda n 2. Prema prethodno navedenim stavovima i uzgrednim primedbama, taj skup ima ova svojstva: 1. Ako X R n i Y R n, onda XY R n. 2. Vai zakon asocijativnosti. 3. Postoji E R n takvo da je XE = EX = X. 4. Za svako X R n, onda postoji Y R n takvo da je XY = Y X = E. Ako,,zaboravimo\ da je R n skup matrica ve da je to proizvo an skup S u kome je definisana operacija (X, Y ) XY, X, Y S koja ima svojstvo 1, onda skup S zajedno s tom operacijom zovemo grupoid a operaciju nazivamo zatvorenom. Ako su zadovo eni uslovi 1 i 2, onda je S semigrupa. Ako su ispu eni uslovi 1, 2 i 3, onda se S zove semigrupa sa jedinicom. Element E se zove jedinica i on je jedinstven, xto treba dokazati. Ako su ispu eni svi uslovi od 1 do 4, onda se S zove grupa. Element Y nazivamo inverznim elementom od X; svako X ima jedan jedini,,inverz\ (xto se dokazuje) i oznaqava se sa X 1. Ako u grupi vai zakon komutativnosti, onda se ona naziva komutativnom ili Abelovom grupom. ) Obratite pa u na poredak.

8 8 1 MATRICE I DETERMINANTE 1.3 Determinante drugog reda Neka je data matrica A reda 2, [ ] a b A =. c d Determinanta matrice A jeste broj det A = a c b d def = ad bc. Determinante drugog reda prirodno se pojav uju kod linearnih sistema sistema od dve jednaqine sa dve nepoznate. Neka je dat jedan takav sistem: { a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 (1.2) Ako prvu jednaqinu pomnoimo sa b 2 a drugu sa b 1 i oduzmemo ih, dobiemo jednaqinu (a 1 b 2 a 2 b 1 )x = c 1 b 2 c 2 b 1, tj. gde je x = x, = a 1 b 1 a 2 b 2, x = c 1 b 1 c 2 b 2. Dakle, ako je 0, onda je x = x. Na isti naqin dobijamo y = y, gde je y = a 1 c 1 a 2 c 2. Stav 1.6 (Kramerova teorema). Da bi sistem (1.2) imao jedinstveno rexe e, neophodno je i dovo no da bude 0. Ako je 0, onda se rexe e nalazi po formulama x = x, y = y. Ovaj stav emo dokazati kasnije u opxtijoj formi. Ovde emo samo notirati da on ne sledi,,automatski\ iz prethodne diskusije. Zadatak. teoreme. Zadatak. Sastavite sistem od dve jednaqine sa dve nepoznate pa ga rexite primenom Kramerove Primenom Kramerove teoreme rexite sistem (po (x, y)) { x cos θ y sin θ = a x sin θ + y cos θ = b, gde su a, b i θ,,fiksirani\ realni brojevi.

9 1.4 Determinante vixeg reda 9 Svojstva determinanata Qitalac treba samostalno da dokae sledei stav. Stav 1.7. Determinanta ima ova svojstva: (a) Ako je jedna kolona jednaka nuli, onda je determinanta jednaka nuli. (b) Ako dve kolone zamene mesta, onda determinanta me a znak. (v) Determinanta se mnoi brojem tako xto se jedna kolona pomnoi tim brojem. (g) Ako su dve kolone proporcionalne ili, posebno, jednake, onda je determinanta jednaka nuli. (d) Determinanta ne me a vrednost ako se jedna kolona pepixe a druga izmeni tako xto joj se doda ona prepisana prethodno pomnoena bilo kojim brojem. () Prethodna tvre a ostaju taqna ako se req,,kolona\ zameni reqju,,vrsta". (e) Determinanta jediniqne matrice jednaka je broju 1. Primetimo samo da (d) znaqi: ako λ R, [ ] [ ] a b a b + λa A =, B =, c d c d + λc onda je det B = det A. Inverzna matrica matrice drugog reda Stav 1.8. Da bi matrica [ ] a b A = c d imala inverznu, neophodno je i dovo no da je det A 0. A ako je det A 0, onda je A 1 = 1 [ ] d b. det A c a Zadatak. Tada je Neka je [ ] cos θ sin θ A =. sin θ cos θ [ ] A 1 cos θ sin θ =. sin θ cos θ Zadatak. Nai matricu X iz jednaqine Nai X ako je XA = 2X + B. AX = 2X + B, gde je A = 1.4 Determinante vixeg reda [ ] [ ] , B = Neka je n 2 i P n skup svih permutacija skupa J n = {1, 2,..., n}. Permutacija skupa je uzajamno jednoznaqno preslikava e tog skupa na samog sebe. U sluqaju konaqnog skupa, kao xto je J n, dovo no je da preslikava e bude injektivno pa da bude permutacija. Zajedno sa operacijom komponova a, skup P n qini grupu (videti str. 7). Inverzni element elementa (funkcije) σ P n jednak je inverznoj funkciji σ 1.

10 10 1 MATRICE I DETERMINANTE Inverzija Inverzijom ) permutacije σ nazivamo svaki par (σ i, σ j ) takav da je i < j ali σ i > σ j. ) Npr. permutacija skupa J 4 ima 4 inverzije: (2,1), (4,3), (4,1), (3,1). Broj inverzija permutacije σ oznaqiemo sa Inv(σ). Tvre e 1.9. Vai formula Inv(σ) = Inv(σ 1 ). Dokaz. Ako je (σ i, σ j ) inverzija permutacije σ, onda je (j, i) inverzija permutacije σ 1, tako da svakoj inverziji od σ odgovara jedna inverzija od σ 1 ; i obrnuto. Time je tvre e dokazano. Definicija Neka je A = [a ij ] matrica tipa n n. Broj zove se determinanta matrice A. det A = σ P n ( 1) Inv(σ) n ) a iσi (1.3) Zapazimo da je det A suma od n! sabiraka a svaki od ih ima n qinilaca. Poredak sabiraka je nebitan i moe se odabrati koji god, npr. leksikografski. Sledei stav uspostav a ravnopravnost vrsta i kolona. Stav Determinanta transponovane matrice jednaka je determinanti same matrice. Dokaz. Neka je A = [a ij ] i B = A T. Tada je b ij = a ji, xto znaqi da treba dokazati da je σ P n ( 1) Inv(σ) n a σi i = i=1 i=1 σ P n ( 1) Inv(σ) Neka je ρ = σ 1. Prvo me amo poredak u proizvodu pa dobijamo n a σi i = i=1 Zatim prepisujemo sumu u obliku (uz tvre e 1.9) σ P n ( 1) Inv(σ) n a iρi. i=1 n a σi i = i=1 xto je jednako det A, a to je i trebalo dokazati. ρ P n ( 1) Inv(ρ) n a iσi. i=1 n a iρi, i=1 Zadatak. obliku. Sprovedite navedeni dokaz u sluqaju n = 3 pixui sumu i proizvode u razvijenom Determinanta kao funkcija vektora-kolona Determinantu moemo predstaviti u obliku det(k 1, K 2,..., K n ) = det A, gde su K 1, K 2,..., K n kolone matrice A tipa n n. Stav Ako fiksiramo n 1 kolona, onda je funkcija det linearna kao funkcija preostale kolone. ) To nema veze sa inverznom permutacijom. ) σ i = σ(i) ) Broj ( 1) Inv(σ) zove se signatura permutacije σ.

11 1.4 Determinante vixeg reda 11 To znaqi, npr. da je det(λ 1 K 1 + λ 2 K 1, K 2,...) = λ 1 det(k 1, K 2,...) + λ 2 det(k 1, K 2,...). Stav Determinante bilo kog reda imaju sva svojstva pobrojana u stavu 1.7. Dokaz. (a) Ako izaberemo bilo koju kolonu, onda u sumi (1.3) svaki proizvod sadri taqno jedan element te kolone. (b) Zamena mesta susednih elemenata permutacije zove se transpozicija. Da bi dve (susedne ili nesusedne) kolone zamenile mesta treba izvrxiti neparan broj transpozicija. Tako se pita e svodi na zamenu mesta susednih kolona. Razmotrimo sluqaj prve i druge. Dakle, treba uporediti determinante a 11 a 12 a a 12 a 11 a a 21 a 22 a 23 a 22 a 21 a 23 1 = a 31 a 32 a 33..., 2 = a 31 a 32 a Neka je ρ = (σ 2, σ 1, σ 3,...). Ako uvedemo oznake a 11 = a 12, a 12 = a 11, itd., dobiemo Budui da je 2 = ρ P n ( 1) Inv(ρ) n a iρ i = i=1 n i=1 n a iρ i. i ( 1) Inv (ρ) = ( 1) Inv(σ), zak uqak je tu. (Uradite ovo u sluqaju n = 4.) (v) Ovo svojstvo moete dokazati sami. (g) S obzirom na (v), moemo pretpostaviti da su dve kolone jednake. Kad im zamenimo mesta, determinanta me a znak, te je = ; dakle = 0. (d) Na primer, prvu kolonu pomnoimo brojem λ pa je dodamo drugoj. Tada je, prema stavu 1.12, det(k 1, λk 1 + K 2, K 3,...) = det(k 1, λk 1, K 3,...) + det(k 1, K 2, K 3,...) i=1 a iσi = 0 + det(k 1, K 2, K 3,...). (Ovde smo primenili svojstvo (g).) Svojstva () i (e) moete verifikovati sami. Laplasovo pravilo Neka je data determinanta = det[a ij ] tipa n n. Za svako (i, j) oznaqimo sa M ij determinantu koja se dobija brisa em vrste i kolone koje se seku na tom mestu: to su kolona broj i i vrsta broj j. Ta se determninanta zove minor elementa a ij (ili mesta (i, j)). Broj K ij = ( 1) i+j M ij zove se kofaktor elementa a ij. Stav 1.14 (Laplasovo pravilo). Za svako j {1,..., n} vai formula a za svako i formula = = n a ij K ij, (1.4) i=1 n a ij K ij. (1.5) j=1

12 12 1 MATRICE I DETERMINANTE Ako je j k, onda je i, sliqno, ako je i k, onda je n a ik K ij = 0, (1.6) i=1 n a kj K ij = 0. (1.7) j=1 Pre dokaza, konstatujmo da formula (1.4) predstav a,,razvija e\ determinante po,,j-toj\ koloni. Na primer, ako je n = 3 i j = 1, onda dobijamo a = a 22 a a 32 a 33 a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 + a 31 a 12 a 13 a 22 a 23. (1.8) Dokaz. Qlanovi a 11, a 21,..., a n1 pojav uju se svaki po (n 1)! puta u sumi kojom se definixe determinanta. Kad se ta suma razloi na n suma, gde prva sadri a 11, druga a 21, itd., i uzmu u obzir inverzije, dolazi se do formule (1.4). Uradite to u sluqaju n = 4 ispisujui proizvode u razvijenom obliku, tj. 4 a iσi = a 1σ1 a 2σ2 a 3σ3 a 4σ4, i svih permutacija σ. Formula (1.5) dobija se iz (1.4) transponova em (stav 1.11). i=1 Suma u formuli (1.6) dobijena je iz sume u (1.4) tako xto je j-ta kolona zame ena k-tom kolonom, npr. prva drugom. Pri tome je druga kolona ostala na svom mestu a kofaktori su neprome eni jer u ima uqestvuju elementi van prve kolone. To znaqi da suma u (1.6) predstav a determinantu koja ima dve jednake kolone i zato je jednaka nuli. Formula (1.7) dobija se iz (1.6) transponova em. Formula (1.8) je pogodna za raquna e determinante treeg reda, ali kod determinanti reda 4, 5,... moe dovesti do dugaqkog raquna. U tom sluqaju najbo e je prime ivati mnoe e vrste brojem i dodava e ostalim vrstama tako da se u jednoj koloni pojave 3, 4,... nule. Zadatak. Izraqunajte determinantu petog reda: Trougaone i dijagonalne matrice. Glavna dijagonala matrice je niz (i, i), i = 1,... n. Ako su svi elementi,,ispod\ (ili,,iznad\) glavne dijagonale jednaki nuli, onda se matrica naziva trougaonom. Ako su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli, onda se matrica naziva dijagonalnom. Stav Determinanta trougaone matrica (i, specijalno, dijagonalne) jednaka je proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali

13 1.4 Determinante vixeg reda 13 Dokaz. Neka je, npr. a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 0 a 22 a 23 a 24 a 25 A = 0 0 a 33 a 34 a a 44 a a 55 Razvija em determinante po prvoj koloni dobijamo a 22 a 23 a 24 a 25 det A = a 11 0 a 33 a 34 a a 44 a a 55 Ponav a em istog rasuiva a dobijamo a 33 a 34 a 35 det A = a 11 a 22 0 a 44 a a 55, itd. Tako bismo radili i u sluqaju determinante proizvo nog reda. Determinanta proizvoda dve matrice Stav Ako su A i B,,kvadratne\ matrice istog reda, onda je det(ab) = det A det B. Ovaj emo stav izvesti iz sledeeg, koji je vaan sam po sebi. Stav Neka je A matrica tipa m m, B { matrica tipa n n, C { matrica tipa n m i 0 { nula-matrica tipa m n. Tada je [ ] A 0 det = det A det B. C B Dokaz (indukcijom po m). Neka je A = [a ij ] m i,j=1. Ako je m = 1, onda se traeni rezultat dobija razvija em determinante 1 = a 11 0 C B po prvoj vrsti. Neka je m 2. Tada, opet, razvijamo po prvoj vrsti i dobijamo [ ] A 0 m = det C B = a 11 K 11 + a 12 K a 1m K 1m, [ ] A 0 gde su K 11,... kofaktori elemenata a 11,... u matrici. Svaki od ih ima oblik C B [ ] a def A1 0 = det, B gde je A 1 matrica tipa m 1. Indukcijska pretpostavka kae da je a = det(a 1 ) det B i, dakle, C 1 m = a 11 K 11 det B a 1m K 1m det B, gde je K 11,... kofaktor elementa a 11,... u matrici A. Budui da je, shodno Laplasovom pravilu, to je m = det A det B. Kraj. det A = a 11 K a 1n K 1m,

14 14 1 MATRICE I DETERMINANTE Dokaz stava Bie jasnije ako razmotrimo konkretan sluqaj, npr. n = 3. Neka je a 11 a 12 a a 21 a 22 a D = a 31 a 32 a b 11 b 12 b b 21 b 22 b b 31 b 32 b 33 Shodno stavu 1.17 vai jednakost D = det A det B. S druge strane, ako qetvrtoj koloni dodamo prvu pomnoenu sa b 11 pa, zatim, drugu pomnoenu sa b 21 i, na kraju, treu pomnoenu sa b 31, dobiemo a 11 a 12 a 13 c a 21 a 22 a 23 c D = a 31 a 32 a 33 c b 12 b 13, b 22 b b 32 b 33 gde je c i1 = a i1 b 11 + a i2 b 21 + a i3 b 31. Nastav ajui tako, dobiemo a 11 a 12 a 13 c 11 c 12 c 13 a 21 a 22 a 23 c 21 c 22 c 23 [ ] D = a 31 a 32 a 33 c 31 c 32 c 33 A AB = det. I Zame ujui mesta prve i qetvrte vrste, druge i pete, tree i xeste, dobijamo [ ] D = ( 1) 3 I 0 ) det A AB gde smo primenili stav Kraj. 1.5 Raquna e inverzne matrice = ( 1) 3 det( I) det(ab) = det(ab). Pomou rezultata iz prethodna dva ode ka dokazaemo ovaj stav: Stav Da bi matrica bila regularna, neophodno je i dovo no da je ena determinanta razliqita od nule. Ako je A regularna matrica tipa n n, onda je gde je A 1 = 1 det A adj(a), K 11 K 21 K K 12 K 22 K adj(a) = K 13 K 23 K ) Broj ( 1) 3 potiqe otuda xto smo tri puta me ali mesta vrstama.

15 15 Matrica adj(a) naziva se ad jungovanom matricom matrice A. Obratite pa u da su kofaktori transponovani. Dokaz. Pretpostavimo da postoji matrica B takva daje AB = I. Tada je po stavu 1.16, 1 = det I = det(ab) = det A det B. Odatle sledi da je det A 0. gde je U obrnutom smeru, neka je n = 3, det A 0. Tada je d 11 d 12 d 13 A adj(a) = d 21 d 22 d 23, d 31 d 32 d 13 d 11 = a 11 K 11 + a 12 K 12 + a 13 K 13 d 12 = a 11 K 21 + a 12 K 22 + a 13 K 23, itd. Na osnovu Laplasovog pravila (stav 1.14), vai sledee: d 11 = det A, d 12 = 0, d 13 = 0, d 21 = 0, d 22 = det A, itd., iz qega sledi da je A adj(a) = (det A)I. Na isti naqin se dokazuje da je adj(a) A = (det A)I. Time je dokaz zavrxen. Zadatak. Formirajte jednu singularnu matricu. Zatim joj promenite jedan qlan tako da se dobije regularna matrica; naite inverznu. 2 Matrice i linearni operatori Neka je R n skup matrica kolona duine n. Te kolone pixemo u obliku x = (x 1, x 2,..., x n ) radi uxtede prostora. Definicija 2.1. Preslikava e f : R n R m nazivamo linearnim ako je f(αx+βy) = αf(x)+βf(y) za sve α, β R i x, y R n. Postoji tesna veza izmeu linearnih preslikava a i matrica. Stav 2.2. Neka je A matrica tipa m n. Tada je preslikava e f(x) = Ax linearno. Ovaj stav dokazaete Vi. Primetimo samo da je preslikava e,,dobro\ definisano, jer je a 11 a a 1n x 1 a 21 a a 2n A =.., x = x 2., a m1 a m2... a mn x n iz qega sledi da je proizvod Ax definisan. Stav 2.3. Ako je f : R n R m linearno preslikava e, onda postoji jedna jedina matrica A tipa m n takva da je f(x) = Ax za svako x R n. Dokaz. Definiximo kolone e 1, e 2,..., e n R n na sledei naqin: e 1 =., e 1 2 =.,..., e 0 n =

16 16 2 MATRICE I LINEARNI OPERATORI Svako x R n moe se napisati u obliku x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n. Budui da je f linearno, to je f(x) = x 1 f(e 1 ) + x 2 f(e 2 ) x n f(e n ). Vektor-kolone f(e j ) (1 j n) pripadaju prostoru R m pa se mogu napisati u obliku f(e j ) = a 1j a 2j. a mj. Sledi: gde je f(x) = a 11 x a 1n x n. a m1 x a mn x n = a 11 a a 1n. a m1 a m2... a mn a 11 a a 1n A =.. a m1 a m2... a mn x 1 x 2. x n = Ax, Ako je B = [b ij ] neka matrica takva da je f(x) = Bx, onda je Bx = Ax za svako x R n i, posebno, za x {e 1,..., e n }. Stoga je A = B jer tako kae sledee tvre e, koje ete dokazati Vi. Tvre e 2.4. Proizvod Ae j jednak je j-toj koloni matrice A. Definicija 2.5. Matricu linearnog preslikava a f oznaqavaemo sa [f]. Matrica kompozicije Stav 2.6. Neka su f : R n R m i g : R m R k linearna preslikava a, onda je [g f] = [g][f]. Dokaz. Iz jednakosti (g f)(x) = [g f](x) i (g f)(x) = g(f(x)) = g([f]x) = [g]([f]x) sledi, preko zakona asocijativnosti, da je [g f](x) = ([g][f])x. Sada tvre e 2.4 daje traeni zak uqak. Qitaocu prepuxtamo da dokae sledee formule: [f + g] = [f] + [g], [λf] = λ[f], itd. Proizvod λf definixe se kao: (λf)(x) = λf(x). Belexka 2.7. Jednakost A(Bx) = (AB)x dokazuje se nexto jednostavnije nego A(BC) = (AB)C, gde je C proizvo na matrica. Matrica inverznog preslikava a Pretpostavimo da je f : R n R n linearno preslikava e. Postav a se pita e kakva je veza invertibilnosti tog preslikava a sa invertibilnoxu egove matrice. Odgovor je prost: Stav 2.8. Da bi preslikava e f bilo invertibilno, neophodno je i dovo no da matrica [f] bude invertibilna (tj. regularna). U sluqaju invertibilnosti vai formula [f 1 ] = [f] 1. ( )

17 17 Dokaz. Neka je f invertibilno. Tada postoji linearno preslikava e g : R n R n takvo da je f g = Id = g f, gde je Id identiteta, tj. preslikava e definisano kao Id(x) = x. Prema stavu 2.6, vai formula [f][g] = [Id] = I = [g][f], xto znaqi da je matrica [f] invertibilna i da vai formula ( ). Pretpostavimo, obrnuto, da je matrica [f] invertibilna i definiximo preslikava e g ovako: g(x) = [f] 1 x. Tada je g(f(x)) = [f] 1 ([f]x) = x i f(g(x)) = [f]([f] 1 x) = x, qime je dokaz zavrxen. 3 Sistemi linearnih jednaqina Linearna jednaqina sa nepoznatim x 1, x 2,..., x n ima oblik a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, (3.1) gde su a 1,..., a n brojevi, koji se zovu koeficijenti, b je broj (slobodni qlan) a x 1,..., x n { nepoznate, tj. prazna mesta koja se mogu popuniti (zameniti) brojevima, svaka po jednim. Ako (x 1,..., x n ) zamenimo brojevima (α 1,..., α n ), dobiemo broj d na levoj strani. Ako je d = b, onda emo rei da je n-torka (α 1,..., α n ) rexe e jednaqine. Takoe, kae se da n-torka zadovo ava jednaqinu. Jednaqinu (3.1) moemo zapisati u obliku f(x) = b, gde je f : R n R linearna funkcija. Sistem linearnih jednaqina sa n nepoznatih x 1,..., x n jeste konaqan skup linearnih jednaqina. Rexe e sistema je svaka n-torka koja zadovo ava svaku jednaqinu sistema. Ako sistem nema rexe a, kae se da je nesaglasan, a ako ima { da je saglasan. Ako saglasni sistem ima jedno jedino rexe e, kae se da je odreen, ako ima vixe od jednog { da je neodreen. Ispostav a se da neodreeni sistem ima beskonaqno mnogo rexe a. Jednaqina ax = b Jednaqina ax = b, gde su a i b zadate konstante (koje mi ne vidimo) a x { nepoznata, dovo na je da sagledamo kakva mogu biti rexe a sistema. Naime, pojav uju se tri sluqaja: 1. Ako je a 0, onda jednaqina ima jedinstveno (=jedno i samo jedno= jedno jedino) rexe e: x = b/a. 2. Ako je a = 0 i b 0, onda jednaqina nema rexe a. 3. Ako je a = b = 0, onda je svaki broj α R rexe e, xto znaqi da u ovom sluqaju jednaqina ima beskonaqno mnogo rexe a. Jednaqina ax + by = c Ova jednaqina ima dve nepoznate, x i y, dva koeficijenta, a i b, i slobodni qlan c. Ako je a = b = c = 0, onda je svaki par (α, β) rexe e, jer je 0α + 0β = 0. Ako je a = b = 0 i c 0, onda nema rexe a. Ako je a 0 ili b 0, onda opet ima bezbroj rexe a; geometrijski gledano, u ovom sluqaju jednaqina predstav a pravu liniju u koordinatnom sistemu xoy a, budui da prava ima bezbroj taqaka, vidi se da jednaqina ima bezbroj rexe a. Prema tome, jednaqina ima ili bezbroj rexe a ili nema ni jedno; dakle, ne pojav uje se sluqaj da je rexe e jedinstveno: to svojstvo ima svaki sistem kod koga je broj nepoznatih vei od broja jednaqina.

18 18 3 SISTEMI LINEARNIH JEDNAQINA Sistem od dve jednaqine sa tri nepoznate Razmotrimo sistem sa tri nepoznate x 1, x 2, x 3 : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2. Pod uslovom da je jedan od brojeva a 1j i jedan od brojeva a 2j (j = 1, 2, 3) razliqit od nule, ove jednaqine predstav aju dve ravni u koordinatnom sistemu Ox 1 x 2 x 3. Dve ravni se ne mogu sei u jednoj taqki: ili se ne seku (xto polvlaqi da su paralelne ) ), ili se seku po pravi, ili se poklapaju. To znaqi da u navedenom sluqaju sistem ne moe imati jedinstveno rexe e; takav zak uqak se moe izvesti i u ostalim sluqajevima. 3.1 Gausova metoda Upotrebu Gausove metode pokazaemo, prvo, na primeru sistema od tri jednaqine sa tri nepoznate: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3. (3.2) Definicija 3.1. Sistemi jednaqina su ekvivalentni ako imaju isti skup rexe a. Proverite da li je trojka (1, 2, 1) rexe e sistema 2x 1 x 2 +x 3 = 3 2x 1 + 3x 2 2x 3 = 6 (3.3) x 1 + x 2 +x 3 = 2 Sledei stav pokazuje da neke jednostavne transformacije prevode sistem u emu ekvivalentan. Stav 3.2. Ako izvrximo jednu od sledeih transformacija, dobiemo ekvivalentan sistem: Mnoe e jedne jednaqine brojem razliqitim od nule. Mnoe e jedne jednaqine brojem i dodava e nekoj drugoj (pri qemu se ona koja se mnoi zadrava). Izostav a e jedne od dveju identiqnih jednaqina. Izostav a e jednaqine u kojoj su svi koeficijenti i slobodni qlan jednaki nuli. Promena redosleda jednaqina. Promena redosleda nepoznatih. Dokaz. Pokuxajte sami. ) Paralelnost uk uquje i sluqaj poklapa a.

19 3.1 Gausova metoda 19 Definicija. Nabrojane transformacije se nazivaju elementarnim. Pretpostavimo da je bar jedan od devet koeficijenata a ij u sistemu (3.2) razliqit od nule jer je, u protivnom, sistem lako analizirati: sistem je ili nesaglasan ili neodreen. Neka je a Mnoe em prve jednaqine sa a 21 /a 11 i dodava em drugoj i, zatim, mnoe em sa a 31 /a 11 i dodava em treoj dobijamo novi, ekvivalentan, sistem: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 22x 2 + a 23x 3 = b 2 a 32x 2 + a 33x 3 = b 3. Tako smo dobili,,podsistem\ od dve jednaqine sa dve nepoznate, x 2 i x 3. Ako su svi koeficijenti tog podsistema jednaki nuli, onda se postupak obustav a jer se moe zak uqiti da je sistem ili nesaglasan ili neodreen. Pretpostavimo da je bar jedan od qetiri koeficijenta podsistema, npr. a 22, razliqit od nule. Tada prvi korak postupka prime ujemo na podsistem i dobijamo ekvivalentan, trougaoni, sistem a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 22x 2 + a 23x 3 = b 2 (3.4) a 33x 3 = b 3. Postoja e i jedinstvenost rexe a zavise od posled e jednaqine: rexe e je jedinstveno ako i samo ako je a U tom sluqaju prvo nalazimo x 3, pa rexe e stav amo u drugu jednaqinu, xto nam daje x 2. Na kraju, x 1 i x 2 stav amo u prvu jednaqinu i dobijamo x 1 (sve to u sistemu (3.4)). Determinanta i matrica sistema. Matricom sistema (3.2) nazivamo matricu satav enu od egovih koeficijenata: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Determinata te matrice zove se determinanta sistema. S obzirom na svojstva determinanata, determinanta sistema (3.2) jednaka je determinanti sistema (3.4), a ova je jednaka a 11 a 22 a 33. Imajuu u vidu svu prethodnu diskusiju, zak uqujemo da vai sledei stav: Stav 3.3 (Kramerova teorema). Sistem (3.2) ima jedinstveno rexe e ako i samo ako je egova determinanta razliqita od nule. Na primer, determinanta sistema (3.3) iznosi 5 pa, stoga, sistem ima jedinsteno rexe e. Da li je to (1, 2, 1)? Sistem nazivamo homogenim ako su svi slobodni qlanovi jednaki nuli. Takav sistem uvek ima rexe e (0, 0, 0), koje se naziva trivijalnim. Ostala rexe a, ako postoje, nazivaju se netrivijalnim. Kao neposrednu posledicu Kramerove teoreme imamo sledei stav. Stav 3.4 (Kramerova teorema o homogenim sistemima). Da bi sistem (3.2) imao netrivijalnih rexe a, neophodno je i dovo no da je egova determinanta jednaka nuli. Zadatak. Odredite broj a tako da sistem ax 1 x 2 +x 3 =0 2x 1 + 3x 2 2x 3 =0 x 1 + x 2 +x 3 =0 ima netrivijalnih rexe a pa ga rexite Gausovom metodom. (Prvo stavite treu jednaqinu na prvo mesto.) Belexka 3.5. Sve xto smo zak uqili o sistemu (3.2) vai za proizvo ne sisteme od n jednaqina sa n nepoznatih.

20 20 3 SISTEMI LINEARNIH JEDNAQINA Broj nepoznatih vei od broja jednaqina Dovo no je razmotriti sistem od 3 jednaqine sa 4 nepoznate da bi se shvatilo xta se dogaa u opxtem sluqaju. Dakle, neka je dat sistem a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 = b 3. (3.5) Isk uqujui sluqaj kad su svi koeficijenti jednaki nuli, biramo jedan razliqit od nule, npr. a 11. Tada postupamo isto kao kod sistema (3.2) i dobijamo ekvivalentan sistem a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 = b 1 a 22x 2 + a 23x 3 + a 24x 4 = b 2 a 32x 2 + a 33x 3 + a 34x 4 = b 3. Ako su svi koeficijenti dobijenog podsistema jednaki nuli, onda je podsistem, pa i sistem, ili nesaglasan ili neodreen. Neka je jedan, npr. a 22 razliqit od nule. Tada prime ujemo Gausov korak na podsistem i dobijamo sistem a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 = b 1 a 22x 2 + a 23x 3 + a 24 x 4 = b 2 a 33x 3 + a 34x 4 = b 3. Ovde je postupak okonqan. Jednaqina a 33 x 3 + a 34 x 4 = b 3 (sa nepoznatim x 3 i x 4 ) ili nema rexe a ili ih ima beskonaqno mnogo, xto vai i za sistem (3.6), pa i za sistem (3.5), koji je ekvivalentan sistemu (3.6). Tako bi se diskutovao i proizvo ni sistem koji ima vixe nepoznatih nego jednaqina. Prema tome: Stav 3.6. Ako sistem ima vixe nepoznatih nego jednaqina, onda je on ili nesaglasan ili neodreen. Kad ovaj stav primenimo na homogene sisteme, dolazimo do sledeeg: Stav 3.7. Ako je broj nepoznatih u homogenom sistemu vei od broja jednaqina, onda je sistem neodreen (tj. ima beskonaqno mnogo rexe a). Vixe jednaqina nego nepoznatih Pretpostavimo da je dat sistem od qetiri jednaqine sa tri nepoznate: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 (3.6) a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 a 41 x 1 + a 42 x 2 + a 43 x 3 = b 4. (3.7) Postupamo siqno i ako nismo naixli na jednaqinu sa koeficijentima jednakim nuli, dobiemo ekvivalentni sistem a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 Nastavak je jasan. a 22x 2 + a 23x 3 = b 2 a 33x 3 = b 3 a 43x 3 = b 4.

21 3.2 Matriqna metoda i Kramerovo pravilo 21 Gausov postupak u matriqnom obliku Umesto sa jednaqinama moemo raditi sa vrstama proxirene matrice sistema { matrice siatema kojoj je prik uqena kolona slobodnih qlanova. Uradite sledei primer Gausovom metodom sa pisa em nepoznatih. x 1 + 2x 2 +5x 3 = 9 x 1 x 2 +3x 3 = 2 3x 1 6x 2 x 3 = 25 U matriqnom obliku to ide ovako: Proxirena matrica jednaka je Mnoe em prve vrste sa -1 i dodava em drugoj, zatim, mnoe em sa -3 i dodava em treoj, dobijamo matricu Mnoe em druge vrste ove matrice -4 i dodava em treoj dobijamo Tako dobijamo sistem x 1 + 2x 2 +5x 3 = 9 3x 1 2x 3 = 11 8x 3 = 8 Odavde nalazimo x 3 = 1, 3x = 11, pa x 2 = 3, x = 9, pa x 3 = 1. Dakle, rexe e je (x 1, x 2, x 3 ) = (2, 3, 1). Proverite! 3.2 Matriqna metoda i Kramerovo pravilo Sistem (3.2) moemo napisati u matriqnom obliku gde je A matrica sistema, b 1 Ax = B, x 1 B = b 2, x = x 2. b 3 x 3 Ako je matrica A regularna, onda mnoe em sleva sa A 1 dobijamo rexe e x = A 1 B. Budui da je A 1 = 1 K 11 K 21 K 31 K 12 K 22 K 32, det A K 13 K 23 K 33

22 22 3 SISTEMI LINEARNIH JEDNAQINA gde je K ij kofaktor elementa a ij, dobiemo A 1 B = 1 K 11 b 1 + K 21 b 2 + K 31 b 3 K 12 b 1 + K 22 b 2 + K 32 b 3 = 1 1 2, K 13 b 1 + K 23 b 2 + K 33 b 3 3 gde je = det A, b 1 a 12 a 13 1 = b 2 a 22 a 23 b 3 a 23 a 33, 2 =..., 3 =... Dakle, 1 se dobija kad se prva kolona u determinanti sistema zameni kolonom slobodnih qlanova, 2 { kad se to uqini sa drugom kolonom, itd. Iz prethodnog dolazimo do Kramerovog pravila (videti stav 1.6): Stav 3.8 (Kramerovo pravilo). Ako je determinanta sistema (3.2) (oznaqimo je sa ) razliqita od nule, onda se rexe e nalazi po formulama: x j = j (j = 1, 2, 3). (3.8) Determinanta naziva se i glavnom a ostale { pomonim. Moe se dokazati da je sistem nesaglasan ako je glavna determinanta jednaka nuli i bar jedna od pomonih razliqita od nule. Meutim, ako su sve determinante jednake nuli, to ne znaqi da je sistem neodreen: moe biti neodreen ali moe biti i nesaglasan. To se moe videti na primeru sistema: x 1 + x 2 +x 3 =0 x 1 + x 2 +x 3 =0 x 1 + x 2 +x 3 =a Ako je a = 1, sistem je nesaglasan, a ako je a = 0, neodreen. 3.3 Rang matrice i Kroneker{Kapelijev stav Neka je A matrica tipa m n. Minor reda s matrice A je determinanta koja se nalazi u preseku s vrsta i s kolona. Jasno je mora biti s m i s n. Ako su svi minori reda ρ + 1 (ρ + 1 s) jednaki nuli i bar jedan od minora reda ρ razliqit od nule, onda se kae da je rang matrice A jednak ρ. Krae, mada ma e precizno: rang matrice jednak je najvixem redu minora razliqitih od nule. Najjednostavnije je odrediti rang trougaone ili,,trapezaste\ matrice. Na primer, rang matrice A = jednak je 3 (tj. maksimalan) jer je minor = Stav 3.9. Svaka matrica se moe transformisati u trapezastu pomou elementarnih transformacijama (videti stav 3.2): 1. Mnoe e jedne vrste brojem razliqitim od nule.

23 23 2. Mnoe e jedne vrste brojem i dodava e nekoj drugoj vrsti (pri qemu se ona koja se mnoi prepisuje). 3. Izostav a e jedne od identiqnih vrsta. 4. Izostav a e vrste kojoj su svi qlanovi jednaki nuli. 5. Promena redosleda vrsta. 6. Promena redosleda kolona. Svaka od navedenih transformacija ima svoju inverznu koja transformisanu matricu vraa u prvobitno sta e. Svaka transformacija, osim tree i qetvrte, moe da se primeni na determinante i one koje su razliqite od nule prevodi u razliqite od nule. Korixe em tog svojstva moe se dokazati sledee: Stav Elementarne transformacije ne me aju rang matrice. Stav 3.11 (Kroneker-Kapelijeva teorema). (a) Sistem je saglasan ako i samo ako je rang matrice sistema jednak rangu proxirene matrice. (b) Ako su rangovi jednaki, tada je sistem odreen ako i samo ako je broj nepoznatih jednak rangu. (v) Ako su rangovi jednaki a broj nepoznatih vei od ih, onda je sistem neodreen a broj,,slobodnih\ promen ivih jednak je razlici tih brojeva. 4 Analitiqka geometrija u ravni Pretostavimo da je odabran Dekartov koordinatni sistem Oxy u ravni. Jednaqina nekog skupa, S, taqaka u ravni (,,geometrijskog mesta\ taqaka) je takva jednaqina koju zadovo avaju koordinate taqaka iz S, i samo one. 4.1 Jednaqina prave i krunice Neka je p prava u ravni i neka taqka M 0 (x 0, y 0 ) pripada pravi. Ako je prava,,vertikalna\, tj. paralelna sa y-osom, onda ena jednaqina glasi x = x 0, jer koordinate svake taqke M(x, y) p zadovo avaju tu jednaqinu a koordinate nijedne taqke van prave p ne zadovo avaju. Pretpostavimo da prava nije vertikalna. Neka M(x, y) p, M M 0. Tada je x x 0. Uvedimo oznake x = x x 0 i y = y y 0. (Nacrtajte sliku!) Talesova teorema pokazuje nam da koliqnik y/ x ne zavisi od izbora taqke M p, tj. da je y/ x = k, gde je k neki realan broj. S druge strane, ako M p, tada je y/ x k. To znaqi da M p ako i samo ako je y/ x = k, a ovo znaqi da jednaqina prave glasi y = k x, (4.1) tj. y y 0 = k(x x 0 ) (4.2) (,,jednaqina prave kroz taqku\). Broj k se zove nagib prave. Dakle, ako poznajemo nagib i jednu taqku na pravi, onda poznajemo i enu jednaqinu. Jednaqinu (4.2) moemo napisati kao y = kx + n (4.3) (eksplicitni oblik). Ovde je n,,odseqak\ na y-osi: peciznije, rastoja e od koordinatnog poqetka do preseka prave sa y-osom uzeto sa,,odgovarajuim\ znakom. Postav a se i obrnuto pita e: ako je data neka jednaqina, koji geometrijsku figuru ona predstav a? Moe se dokazati da jednaqina (4.3) predstav a pravu sa nagibom k i odseqkom n na y-osi.

24 24 4 ANALITIQKA GEOMETRIJA U RAVNI Jednaqina prave kroz dve taqke. Nije nuno pamtiti razne oblike jednaqine prave: dovo no je znati nagib i jednu taqku (videti (4.1)). Neka su, recimo date dve razliqite taqke M 1 (x 1, y 1 ) i M 2 (x 2, y 2 ); oznaqimo sa p jedinstvenu pravu koja ih sadri. Ako je x 1 = x 2, onda je p vertikalna pa ena jednaqina glasi x = x 1. Ako nije vertikalna, tada je (nacrtajte sliku) pa jednaqina glasi ili u simetriqnom (kanonskom) obliku, k = y 2 y 1 x 2 x 1 y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ), x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1. Ovde dopuxtamo da je x 2 = x 1 a napisanu relaciju tretiramo kao proporciju. Opxti oblik jednaqine prave. Svaka prava se moe predstaviti u obliku Ax + By + C = 0, A 0 ili B 0, (4.4) koji se zove opxti oblik. I, obrnuto, ovakva jednaqina predstav a pravu. Ako je C 0, onda jednaqinu (4.4), de e em sa C, moemo napisati u obliku x a + y b = 1, koji se nziva segmentnim, jer je a odseqak koji prava gradi na x-osi, i sliqno za b. Jednaqina krunice. Krunica, K, je skup taqaka u ravni takvih da postoji taqka C(x 0, y 0 ) (centar) i broj R > 0 (polupreqnik) sa svojstvom K = {M : d(m, C) = R}, gde je d(m, C) euklidsko rastoja e od M(x, y) do C. Primenom Pitagorine teoreme nalazimo da je d(m, C) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2. Iz toga zak uqujemo da jednaqina krunice glasi (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (4.5) I, obrnuto, jednaqina (4.5) predstav a krunicu sa centrom C(x 0, y 0 ) i polupreqnikom R. gde je Jednaqina krunice moe biti zadata i u obliku x 2 + y 2 ax by c = 0, (4.6) c + a2 4 + b2 4 > 0. Ovaj uslov garantuje da jednaqina zaista predstav a krunicu, a ne jednu taqku ili prazan skup. Zadatak. Odredite centar i polupreqnik krunice (4.6).

25 4.2 Elipsa, hiperbola i parabola Elipsa, hiperbola i parabola Krive drugog reda (elipsa, parabola, hiperbola) mogu se definisati na razne naqine. Evo jednog: Elipsa. Elipsa je geometrijsko mesto taqaka, E, u ravni koje ima to svojstvo da je zbir rastoja a od taqke M E do dve date taqke, F 1 i F 2, ) nezavisan od M. Dakle, d(m, F 1 ) + d(m, F 2 ) = 2a, gde je a pozitivan realan broj. Ako postavimo koordinatni sistem tako da F 1 i F 2 budu na x-osi a koordinatni poqetak na sredini dui F 1 F 2, onda postoji c > 0 tako da F 1 ima koordinate ( c, 0), a F 2 { koordinate (c, 0). Tada jednaqina elipse glasi (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a. (4.7) Da bi ovako definisana elipsa stvarno bila linija, a ne jednoqlan ili prazan skup, neophodno je i dovo no da bude a > c. Tada je jednaqina (4.7) ekvivalentna ovoj: (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2. Budui da su leva i desna strana pozitivne, ovu novu jednaqinu smemo kvadrirati, pa e nova ekvivalentna jednaqina glasiti Jox jedno kvadrira e i sreiva e daje Uvoe em oznake a 2 xc = a (x c) 2 + y 2. (4.8) x 2 a 2 + y2 a 2 c 2 = 1. b = a 2 c 2, dobijamo jednaqinu elipse u,,kanonskom\ obliku: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. Taqke (a, 0), ( a, 0), (0, b), (0, b) nazivaju se temenima elipse. Ako jednaqinu (4.8) napixemo u obliku (x c) 2 + y 2 a 2 c x = c a i sa p oznaqimo pravu x = a 2 /c, onda vidimo da M pripada elipsi ako i samo ako je d(m, F 2 )/d(m, p) = c/a. To znaqi da elipsu moemo definisati i kao skup taqaka u ravni takvih da je koliqnik rastoja a od date taqke i rastoja a od date prave ) konstantan i ma i od jedan. Taj koliqnik se zove ekscentricitet elipse i obiqno se oznaqava sa e. Hiperbola. Hiperbola je skup taqaka u ravni takav da je apsolutna vrednost razlike rastoja a od dve date taqke konstantan. Neka su te dve taqke F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0). Ovog puta je a < c. Postupajui kao u sluqaju elipse, dobijamo jednaqinu x 2 a 2 y2 b 2 = 1, gde je b = c 2 a 2. Hiperbola se, sliqno elipsi, moe definisati kao skup taqaka koje imaju svojstvo da im je koliqnik rastoja a od date taqke i date prave konstantan i vei od jedan. ) Taqke F 1 i F 2 se zovu ie ili fokusi elipse. ) Ta se prava zove vodi a ili direktrisa elipse.

26 26 4 ANALITIQKA GEOMETRIJA U RAVNI Parabola. Parabola je skup taqaka koje imaju svojstvo da im je rastoja e od date taqke jednako rastoja u od date prave. Ako uvedemo koordinatni sistem tako da je ta taqka F (c, 0) a prava x = c, onda e jednaqina parabole glasiti y 2 = 4cx. Taqka F se zove ia ili fokus a prava { vodi a ili direktrisa. Krive drugog reda Pod pojmom,,kriva drugog reda\ podrazumeva se skup taqaka u ravni Oxy qije koordinate zadovoljavaju jednaqinu a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2b 1 x + 2b 2 y + c = 0, (4.9) gde je bar jedan od koeficijenata a 11, a 12, a 22 razliqit od nule. Ovakva jednaqina, pored elipse (i, posebno, krunice), hiperbole i parabole, moe predstav ati: prazan skup (x 2 + y 2 = 1), jednu taqku (x 2 + y 2 = 0), jednu pravu (x 2 = 0), dve prave koje se seku (xy = 0) i dve,,stvarno\ ) paralelne prave (x 2 x = 0). Ispostav a se da jednaqina (4.9) ne moe predstav ati nixta drugo. Ako je a 12 = 0, to je skoro oqigledno: imamo jednaqinu a 11 x 2 + 2b 1 x + a 22 y 2 + 2b 2 y + c = 0, gde je a 11 0 ili a Neka su, recimo, oba razliqiti od nule. Tada kompletira em do kvadrata, dobijamo Stav ajui dolazimo do jednaqine a 11 ( x + b 1 a 11 ) 2 + a22 ( y + b 2 a 22 ) 2 b 2 1 a 11 b2 2 a 22 + c = a 11 x a 22 y 2 1 A = 0. x 1 = x + b 1 a 11, y 1 = y + b 2 a 22, A = b2 1 a 11 + b2 2 a 22 c, a 11 x a 22 y 2 1 = A. (4.10) Ova jednaqina predstav a krivu u koordinatnom sistemu O 1 x 1 y 1, koji je dobijen translacijom sistema Oxy, xto ne me a karakter krive. Jednaqina (4.10) moe predstav ati elipsu, hiperbolu, taqku, dve prave koje se seku ili prazan skup, i nixta drugo. Ako je a 22 0 i a 12 = a 11 = 0, onda niqe jednaqina ( a 22 y + b ) b2 x + c b2 2 = 0, a 22 a 22 koja se uvoe em odgovarajuih smena svodi na jednaqinu oblika y b 1 x + b 0 = 0. Ova jednaqina moe predstav ati parabolu, prazan skup (b 1 = 0, b 0 > 0), jednu pravu (b 1 = 0, b 0 = 0) ili dve stvarno paralelne prave (b 1 = 0, b 0 < 0), i nixta drugo. Dakle, ostaje nam da razmotrimo sluqaj kada je a Rotiraemo koordinatni sistem Oxy tako da dobijemo sistem Ouv u kome jednaqina nee sadrati qlan uz uv. Rotacija ) se uvodi na sledei naqin: ) Pod ovim podrazumevamo da se ne seku. ) A s om i nove koordinate. [ ] x = y [ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ] [ u v ],

27 27 gde je ϕ ugao rotacije. (Proverite u sluqaju ϕ = π/4.) Kada u jednaqini (4.9) x, odnosno y, zamenimo sa u cos ϕ v sin ϕ, odnosno u sin ϕ + v cos ϕ, i obavimo pregled nove jednaqine, videemo da je koeficijent uz uv jednak Odavde dolazimo do jednaqine Primer. Razmotrimo krivu 2a 11 sin ϕ cos ϕ + 2a 22 sin ϕ cos ϕ + 2a 12 (cos 2 ϕ sin 2 ϕ) = ( a 11 + a 22 ) sin 2ϕ + 2a 12 cos 2ϕ. cot 2ϕ = a 11 a 22 2a 12. (4.11) 2x 2 + 2xy + 2y 2 = 1. (4.12) Iz formule rotacija dobijamo cot 2ϕ = 0, pa moemo uzeti ϕ = π/4. Stoga je x = 2 (u v), y = 2 2 (u + v). 2 Zamenom u jednaqini (4.11) dobijamo 3u 2 + v 2 = 1, tj. u 2 a 2 + v2 b 2 = 1, gde je a = 1/ 3, b = 1. Dakle, data kriva je elipsa qija je ma a poluosa a = 1/ 3 a vea b = 1. Kada se vratimo na koordinatni sistem Oxy, videemo da se ma a poluosa nalazi na pravoj y = x a vea na pravoj y = x. Odredite ie i temena ove elipse. Nacrtajte je. Belexka 4.1. Ako nas ne zanimaju metriqka svojstva krive (duina dui, veliqina ugla, itd.) ve samo vrsta krive, onda nam je posao olakxan. Razmotrimo ponovo krivu (4.12). Imamo 2x 2 + 2xy + 2y 2 1 = 2(x 2 + xy) + 2y 2 1 Uvoe em smene u = x + y/2, v = y, dobijamo = 2 ( (x + y/2) 2 y 2 /4 ) +2y 2 1 = 2(x + y/2) 2 + 3y 2 /2 1 = 0. 2u 2 + 3v 2 /2 1 = 0. Na taj naqin, mi smo linearnim invertibilnim operatorom L(x, y) = (x + y/2, y) preslikali datu krivu u elipsu. Moe se dokazati da takav operator ne me a karakter krive, xto znaqi da je data kriva elipsa; ona nije krunica jer je koeficijent uz xy razliqit od nule. 5 Geometrijski vektori Oznaqimo sa E 3 trodimenzioni euklidski prostor, kao skup taqaka, bez koordinatnog sistema. U emu vae kojekakve zakonitosti izraene pomou aksioma i iz ih izvedenih teorema. U te zakonitosti neemo deta no zalaziti, nego emo ih, kad god nam ustrebaju, tretirati oqiglednim { ako su oqigledne. Jedna od priliqno nepreciznih definicija vektora glasi: vektor je orijentisana du ). Dakle, ako su A i B dve razliqite taqke u E 3, onda su tu dva vektora: AB i BA. Da e se definixe jednakost: Vektori su jednaki ako imaju istu duinu, isti pravac i isti smer.,,isti pravac\ znaqi da su prave odreene vektorima paralelne. Da bi se govorilo o smeru, neophodno je ) Druga, preciznija: vektor je ureena dvojka taqaka iz E 3.

28 28 5 GEOMETRIJSKI VEKTORI da vektori imaju isti pravac. Ako su dati vektori u i v istog pravca, onda emo odabrati, recimo, pravu p u na kojoj lei vektor u. Postoje taqke A, B p u takve da je u = AB. Da e, postoji taqka C p u takva da je v = AC. (Nacrtajte!) Ako se taqka A nalazi izmeu B i C, onda vektori u i v imaju suprotan smer; u protivnom, oni su istog smera. Tipiqan primer dva vektora suprotnog smera jesu AB i BA. Inaqe, taqka A je, po definiciji, poqetak a taqka B kraj vektora AB. Budui da ovako definisana jednakost nije jednakost u uobiqajenom smislu ), prinueni smo da kad god definixemo neku operaciju,, recimo sabira e, nad dva vektora, dokazujemo sledeu implikaciju: u = u 1 & v = v 1 = u v = u 1 v 1. (5.1) Kolinearni vektori. Za vektore u 1,..., u n kaemo da su kolinearni ako imaju isti pravac, tj. ako postoji prava kojoj su svi paralelni. Sabira e. Neka su dati vektori u = AB i v. Odaberimo taqku C E 3 takvu da je v = BC. Tada je, po definiciji, u + v = AC. (Nacrtajte sliku i uverite se da je ispu en uslov (5.1).) Dakle, Iz ovoga sledi AB + BC = AC. AB + BA = AA; ali xta je AA kad smo vektorima proglasili orijentisane dui. Tu se uvodi nula-vektor ), 0, koji ima svojstva: u + 0 = 0 + u = u i AA = 0. Nula-vektor je, po definiciji, kolinearan sa svakim vektorom. Kad na ovaj naqin sabiramo vektore, kaemo da ih sabiramo nadoveziva em. Katkad je korisno,,sabira e po dijagonali\. To znaqi sledee. Transliramo vektore tako da im se poklope poqeci i tako doemo do vektora AB i AC. Odaberemo taqku D tako da qetvorougao ABDC bude paralelogram. Tada je AB + AC = AD. (Nacrtajte sliku i dokaite ovu formulu.) Oduzima e. Razlika w = u v definixe se kao vektor koji zadovo ava uslov u = w + v. Takav vektor postoji: ako je u = AB i v = CD, onda je u v = AB + DC. U posebnom sluqaju AB AC = AB + CA = CA + AB = CB. (Nacrtajte trougao ABC i ilustrujte ovu jednakost.) ) U savremenoj matematici izraz,,x = y\ znaqi da x i y oznaqavaju jedan isti objekat. U naxem sluqaju taj se zahtev ne poxtuje. Da bi se zahtev ispoxtovao, pribegava se ovakvoj definiciji: Vektor je skup orijentisanih dui koje imaju istu duinu, isti pravac i isti smer. Kako Vam se to dopada? ) Priroda tog objekta nije bitna; na primer, moemo ga definisati kao par (A, A), gde je A bilo koja taqka iz E 3.

29 29 Suprotni vektori. Neka je dat vektor u. Tada postoji vektor v koji ima istu duinu, isti pravac, ali suprotan smer. Pixe se v = u. Jasno je da je tada ( v) = u, pa se zato moe govoriti da je v suprotan vektoru u, ili da su u i v (meusobno) suprotni. Tipiqan primer: AB = BA. Uverite se da je a b = a + ( b). Mnoe e vektora skalarom. Neka je u 0. Ako je λ pozitivan broj, onda je, po dogovoru, λu vektor sa ovim svojstvima: 1) vektori λu i u istog su pravca i smera, 2) λu = λ u, gde sa v oznaqavamo duinu vektora v. ) Ako je λ < 0, onda je λu vektor sa ovim svojstvima: 1) vektori λu i u istog su pravca a suprotnog smera, 2) λu = λ u. I, na kraju, 0 v def = 0 za svaki vektor v, a λv = 0 za svaki skalar λ. Stav 5.1. Vektori u i v su kolinearni ako i samo ako je u = λv za neko λ R ili v = µu za neko µ R. Skalarni proizvod vektora Ugao izmeu vektora. Ugao izmeu vektora u 0 i v 0, oznaqimo ga sa α = (u, v), jednak je uglu koji grade ima jednaki vektori sa zajedniqkim poqetkom. Iz toga sledi da je 0 α π, kao i da je (v, u) = (u, v). Ugao izmeu vektora AB i BC nije jednak uglu kod temena B u trouglu ABC (qemu je onda jednak?). Ugao α jednak je nuli ako i samo ako su vektori u i v istog smera, a jednak je π ako i samo ako su u i v suprotnog smera. Skalarni proizvod vektora u i v definisan je formulom uv = u v cos α. Ako je bar jedan od vektora u, v jednak 0, onda je, po definiciji uv= 0. Sve u svemu Stav 5.2. uv je broj koji ima sledea svojstva: 1. uv u v. 2. uu = u uv = vu. 4. Vektori u 0 i v 0 meusobno su ortogonalni (pixe se u v) ako i samo ako je uv = Ako je λ R, onda je (λu)v = λ(uv). Stav 5.3 (Zakon distributivnosti). Vai formula a(u + v) = au + av. Dokaz. Neka je a = OA 0. Odaberimo taqke B i C tako da bude u = OB i v = BC. Oznaqimo sa Ox osu odreenu vektorom a ), sa taqkom O kao koordinatnim poqetkom. Svakoj taqki ose pridruujemo realan broj tako da taqki O odgovara broj 0 a taqki A duina vektora OA. Oznaqimo sa B odnosno C ortogonalnu projekciju taqke B odnosno C na osu Ox. Trougao OB B je pravougli, iz qega sledi ) Duina nula-vektora je nula, po dogovoru. Pravac, pa time ni smer, nula-vektora nije pametno definisati. ) Osa odreena vektorom OA jeste prava, s, orijentisana kao OA, koja je nosaq vektora OA, xto znaqi da OA lei na s.