Probabilităţi şi statistică. Nicoleta Breaz - coordonator Lucia Căbulea Ariana Pitea Gheorghe Zbăganu Rodica Tudorache

Transcript

1 roltăţ ş sttstcă Ncolt Brz - coordotor Luc Căul r t Ghorgh Zăgu Rodc Tudorch Io Rs

2 dtur StudIS Is Sos Stf cl Mr r5 Tl/f: 775 Dscrr CI Blotc Nţol Roâ COORDONTOR: NICOLT BRZ Luc Căul r t Ghogh Zăgu Rodc Tudorch Io Rs roltăţ ş sttstcă/ Ncolt Brz Luc Căul r t Ghogh Zăgu Rodc Tudorch Io Rs - Vtr Dor : StudIS Blogr ISBN: I Ncolt Brz II Luc Căul III r t IV Ghogh Zăgu V Rodc Tudorch VI Io Rs Coslr dtorl: Drc dr Scrtr dtorl: Moroşu ul r-rss tr dgtl ş fsr: SC DI CNTR SRL Şos Ştf c Mr r 5 Tl: 7 75 Corght Tot drturl sur cst dţ sut rzrvt utorulu

3 CURINS Itroducr7 Ctolul Tor roltăţlor Forlzr rţlor ltor vt Rlţ îtr vt Câ d vt Câ d roltt5 5 Rgul d clcul cu roltăţ7 Ctolul Vrl ltor7 Vrl ltor dscrt7 Vctor ltor dsol Crctrstc urc soct vrllor ltor6 Fucţ crctrstcă Fucţ grtor d ot5 5 rol rzolvt5 6 rol rous66 Ctolul Lg clsc d roltt rrtţ l vrllor ltor dscrt69 Lg dscrtă uforă69 Lg olă Lg Broull7 Lg olă cu ot gtv Lg gotrcă79 Lg hrgotrcă8 5 Lg osso lg vtlor rr 86 Ctolul Lg clsc d roltt rrtţ l vrllor ltor cotu9 Lg cotuă uforă rctgulră9 Lg orlă Guss-Llc Lg orlă stdrd lg orlă ctrtă rdusă95 Lg log-orlă5 Lg g7 5 Lg t 6 Lg Hlrt-rso 7 Lg Studt t Lg Cuch9 8 Lg Sdcor Lg Fshr 9 Lg Wull Lg oţlă7

4 Ctolul 5 Covrgţ vrllor ltor 5 Covrgţ ro sgură ş covrgţ î roltt 5 Lg l urlor r ş lcţ 7 5 Lg slă7 5 Lg tr8 5 Covrgţ î rrtţ8 5 Tor ltă ctrlă 55 Ctolul 6 Sulr vrllor ltor 6 6 Sulr rrtţlor drtă6 6 lgortul grl: tor d dscour7 6 lgort scl: rrtţ ufor8 Ctolul 7 Sttstcă dscrtvă85 7 rztr dtlor sttstc85 7 Crctrstc urc9 7 Corlţ Rgrs96 Ctolul 8 Tor slcţ 8 Grr vlorlor rtculr l u vrl ltor 8 Vrl d ştor 8 Lg d roltt l vrllor d ştor Ctolul 9 Tor stţ5 9 sttor dlsţ5 9 sttor d ă vrosltt6 Ctolul str r trvl d îcrdr9 For grlă trvlulu d îcrdr 9 Itrvl d îcrdr tru d Itrvl d îcrdr tru dfrţ două d6 Itrvl d îcrdr tru dsrs ş rortul două dsrs9 Ctolul Tor dcz Dcz rc Dcz sttstc Iotz sttstc Tst sttstc 5 Tur d ror 6 Nvl d sfcţ 5 7 U lu6 8 Rlţ dtr roltăţl α ş β9 9 utr uu tst

5 Îcă u lu Tstr şrurlor r Tstr sttstcă şrurlor r Noţu d -vlor5 U lu: sttstcă rrtztă orl7 5 lt lu: sttstcă rrtztă χ9 Ctolul lz rgrs5 Modl d rgrs5 Modlul lr str rtrlor odlulu r tod clor c ătrt55 Modlul lr clsc Guss - Mrov Ifrţ sur sttorlor uu odl lr59 rvzu ş lz rzulttlor u rgrs lr65 Ctolul Sttstcă Bsă ş oţu d tor crdltăţ8 Sttstcă Bsă8 Modlul d crdltt Bűhl89 Blogrf

6

7 Itroducr Tor roltăţlor ş sttstc ttcă s lcă î jortt dolor ştţ îcâd cu ştţl ct ş grşt ş flzâd cu ştţl soco-cooc î scl colo ud stă codţ d rsc ş crttud ş ud st csră dotr uor dcz rguros rgutt U dtr costrucţl d ză î fudtl sttstc ş tor roltăţlor rcu ş î justfcr lcăr cstor î lt do st dtă d lg urlor r toră cuoscută cr î rţ ttculu Jo Broull fd ărută î lucrr ostuă rs cojctd 7 rtr lţ ttc cr u răs clr î tor roltăţlor ş sttstcă î t : d Movr Llc Guss Brtrd ocré Cîşv Luov Mrov Borl Kologorov Glvo D s şcol roâscă d roltăţ fodtă d Octv Ocscu ş rrzttă d u rcu Ghorgh Mhoc ş Mrus Iosfscu dus cotruţ sfctv î dzvoltr cstu dou Crt d fţă îş rou să vă î srjul studţlor cr u c dsclă d studu î cdrul dfrt sclzăr dscl roltăţ ş sttstcă ofrdu-l cstor o gă lrgă d sct tortc îsoţt d l ş lcţ C structură crt s fudtză z trsrzc ctol şs dtr cst fd ddct Tor roltăţlor rsctv şt ctol Sttstc ttc Î Ctolul sut rztt coct d ză l tor roltăţlor rcs rţ ltor vt roltt rgul d clcul cu roltăţ î t c î Ctolul sut ordt oţu rcu vrl ltor crctrstc urc l vrllor ltor fucţ crctrstcă fucţ grtor d ot Î Ctolul sut rztt rcll lg d roltt l vrllor ltor dscrt ş u: lg dscrtă uforă lg olă ş czul său rtculr lg Broull lg olă cu ot gtv ş czul rtculr lg gotrcă lg hrgotrcă ş lg osso lg vtlor rr r î Ctolul sut rztt rcll lg d roltt l vrllor ltor cotu ş u: lg cotuă uforă rctgulră lg orlă Guss-Llc lg log-orlă lg g lg t lg Hlrt-rso lg Studt t ş czul său rtculr lg Cuch lg Sdcor ş lg Fshr lg Wull ş czul său rtculr lg oţlă Ctolul 5 s costruşt î jurul covrgţ d dfrt tur vrllor ltor fd ţot covrgţ ro sgură covrgţ î roltt covrgţ î rrtţ rcu ş lgl urlor r ş tor ltă ctrlă rt frtă tor roltăţlor s îch cu Ctolul 6 ddct lgortlor d sulr vrllor ltor Î Ctolul 7 s studză lt d 7

8 sttstcă dscrtvă ş sct rvd orgzr dtlor cât ş lz cstor uâdu-s cctul odltăţl d rrztr dr ş găsr dvrslor ăr crctrstc Noţul sut îsoţt d l dcvt ş ctul Î Ctolul 8 sut rztt oţu d tor slcţ îcâd cu dscrr grăr uor vlor rtculr l vrllor ltor dscrt su cotu ş cotuâd cu lg d roltt l vrllor d ştor Ctolul 9 coţ o scurtă troducr î tor stţ S rztă cu ult l coctl d sttor dlst ş sttor d ă vrosltt Î Ctolul sut rztt trvll d îcrdr tru rcl rtr sttstc stfl ctolul dutză cu fudtr for grl uu trvl d îcrdr c todă d str sttstcă duă cr sut rztt râd trvlul d îcrdr tru d cluzâd czul câd dsrs st cuoscută rsctv czul rtculr l u roorţ o trvl d îcrdr tru dfrţ două d rsctv trvl d îcrdr tru dsrs ş tru rortul două dsrs tot cst îsoţt d l rctc Ctolul rztă succt tor dcz Sut dscrs oţul d otză sttstcă tst sttstc tur d ror vl d sfcţ utr uu tst -vlor ll sut lut d rctc tstăr şrurlor r î c c rvşt crctrul ltor Î Ctolul sut rztt thc d lză rgrs tât r trdul sctlor tortc cât ş r trdul uor l Î rul rgrf sut trcut î rvstă oţul d ză fd dft dvrs tur d odl d rgrs urâd c î ultl tr rgrf sţul să f loct cu rcădr odlulu lr stfl st rzttă tod clor c ătrt î str rtrlor cuoscuţ uu odl lr ultlu sut rlzt frţ sur sttorlor uu odl lr î otzl clsc Guss-Mrov ctolul îchdu-s cu sct cr ţ d rvzu ş lz rzulttlor u rgrs lr Crt s îch cu Ctolul î cr sut ordt sct cr ţ d sttstc să ş oţu d tor crdltăţ Crt d fţă fost lortă î cdrul roctulu OSDRU/56//S/768 Forr cdrlor ddctc uvrstr ş studţlor î doul utlzăr uor strut odr d rdr-îvăţrvlur tru dscll ttc î vdr crăr d cotţ rfort ş rctc tru ţ uc d cătr u colctv d utor cdr ddctc uvrstr stfl: ctoll ş Luc Căul ctoll ş Rodc Luc-Tudorch ctoll 5 6 ş Ghorghţă Zăgu ctoll 7 ş 8 r t ctoll 9 ş Io Rs rsctv ctoll ş Ncolt Brz Fţt d Fodul Socl uro ş ltt d cătr Mstrul ducţ Crctăr Trtulu ş Sortulu î colorr cu Th Rd ot O ş Co Uvrstt d Bucurşt Uvrstt Thcă d Costrucţ d Bucurşt Uvrstt olthc d Bucurşt Uvrstt d tşt Uvrstt Thcă Ghorgh sch d Iş Uvrstt d Vst d Tşor Uvrstt Duăr d Jos d Glţ Uvrstt Thcă d Cluj-Noc Uvrstt Dcr 98 d 8

9 l-iul roctul cotru î od drct l rlzr octvulu grl l rogrulu Orţol Sctorl d Dzvoltr Rsurslor U OSDRU ş s îscr î doul jor d trvţ Cltt î îvăţăâtul suror roctul r c octv dtr rogrlor d stud l dscllor ttc l crţl ţ uc ş crr d cs ş strut d tdr oortutăţlor d îvăţr vlur volor ducţol octv l cdrlor ddctc ş studţlor lgt d utlzr ttc î îvăţăâtul suror strt ş doctort rcu ş lzr fcctăţ ş rlvţ currcullor ctul l vl d rforţă ş fcţă î vdr dzvoltăr d cuoştţ ş cotţ tru studţ cr îvţă dscl ttc î uvrstăţ rrztă octv scfc d trs î cdrul roctulu Dzvoltr ş rozr currcullor uvrstr l dscllor ttc cofor gţlor d ţ uc lorr ş ltr uu rogr d forr cdrlor ddctc ş studţlor trsţ d uvrstăţl rtr zt dzvoltr ş rozr d currculu crr u z d rsurs ovtv odr ş fucţol tru rdr-îvăţr-vlur î dscll ttc tru îvăţăâtul uvrstr sut octvl scfc cr u c răsus trlul d fţă Forr d cotţ ch d ttcă ş fortcă rsuu crr d ltăţ d cr fcr dvd r vo tru dzvoltr rsolă cluzu soclă ş srţ ţ uc S ot costt îsă că rogrl dscllor d ttcă u u îtotdu î vdr dtfcr ş srjr lvlor ş studţlor otţl tltţ l ttcă Totuş studul ttc volut î gţ âă jug să cct rovocr d folos ol tholog î rocsul d rdr - îvăţr - vlur tru fc ttc trctvă Î cst cott lz flltăţ currcul îsoţtă d lz todlor ş strutlor folost tru dtfcr ş otvr studţlor tltţ l ttcă r ut răsud dootrvă crţlor d să cât ş clor d ltă Vzu tr lug cstu roct rcozză dtrr uor schăr î ordr foulu ttc ult lur: forr uu uăr cât r d r soctăţ î lgătură cu rolul ş locul ttc î ducţ d ză î strucţ ş î dscorrl ştţfc t să îuătăţscă cltt vţ clusv oulrzr uor r dscorr thc ş u u î cr ttc c vstă juct u rol hotărâtor D s s urărşt vdţr o otvţ sold tru îvăţr ş studul ttc l vll d ză ş l vl d rforţă; stulr crtvtăţ ş forr l vtor crctător ttc u ttud dschs fţă d îsuşr sctlor scfc d lt ştţ î scoul rtcăr cu succs î ch t d crctr su ordăr u crctăr tr ş ultdsclr; dtfcr uor for d rgătr dcvtă d ttcă tru vtor studţ dscllor 9

10 ttc î scoul utlzăr l vl d rforţă rtulu ttc î costrur u crr rofsol

11 Ctolul Tor roltăţlor Forlzr rţlor ltor vt Dfţ Rlzr rctcă uu slu d codţ rczt ortă ul d rţă su roă Dfţ r vt vo îţlg orc rzultt l u rţ dsr cr ut su că s- rlzt su că u s- rlzt duă fctur rtulu cosdrt vtl s ot clsfc î: vt sgur; vt osl vt ltor Dfţ vtul sgur st vtul cr s roduc î od olgtoru l fctur u ro ş s otză cu Dfţ vtul osl st vtul cr î od olgtoru u s roduc l fctur u ro ş s otză cu Dfţ 5 vtul ltor st vtul cr ot su u să s rlzz l fctur u ro ş s otză r ltr r B C su r ltr r urt d dc B Dfţ 6 vtul cotrr vtulu s otză Ā ş st vtul c s rlzză u tuc câd u s rlzză vtul Dfţ 7 U vt s uşt: ltr dcă s rlzză c rzultt l u sgur ro; s otză cu cous dcă cst r cu două su ult rzultt l ro cosdrt Dfţ 8 Mulţ tuturor vtlor ltr grt d u rt ltor s uşt sţul vtlor ltr sţul d slcţ ş s otză cu cst ot f ft su ft

12 Osrvţ 9 O log îtr vt ş ulţ rt o scrr ş î grl o rr cood l uor d ş rzultt lgt d coctul d vt stfl vo îţlg vtul sgur c ulţ tuturor vtlor ltr dcă: ş orc vt cous c o suulţ lu D s ut vor dsr ulţ tuturor ărţlor lu cr o otă r stfl că tru u vt cous ut scr î cottul log dtr vt ş ulţ că su lul F u zr cr r cl şs fţ rct r uct d l l 6 S rucă zrul o surfţă lă tdă Dcă otă cu = vtul "rţ fţ cu uct" 6 tuc sţul vtlor ltr tşt rtulu cu u zr st dt r ={ 5 6 } vtul sgur st "rţ fţ cu u uăr d uct 6" vtul osl st "rţ fţ cu 7 uct" Rlţ îtr vt Dfţ Su că vtul lcă vtul B ş scr B dcă rlzr vtulu trg duă s ş rlzr vtulu B Osrvţ B ş B C rzultă C - rortt d trztvtt rlţ d lcr Dfţ Su că vtl ş B sut chvlt gl dcă v sult B ş B Dfţ r rur vtlor ş B vo îţlg vtul ott B cr costă î rlzr cl uţ uu dtr vtl ş B Dorc vtl ş B sut suulţ fort cu vtl ltr l sţulu rzultă că rur vtlor ot f scrsă stfl: B / su B Osrvţ 5 Dcă otă r K ulţ tuturor vtlor soct uu rt ltor v: BK B B couttvtt; B CK B C B C soctvtt;

13 Dcă BK ş B B B vdt ş Dfţ 6 r trscţ vtlor ş B vo îţlg vtul ott B cr costă î rlzr sultă lor vt Itrscţ vtlor ş B ot f scrsă su for: B / ş B Osrvţ 7 u loc rlţl urător: BK B B couttvtt B CK B C B C soctvtt Dcă B K ş B tuc B vdt Ø= Ø Ø = Ø ş K Ø Dfţ 8 Su că vtl ş B sut cotl dcă B Ø dcă rlzr lor sultă st oslă ş su că sut cotl dcă B Ø dcă st oslă rlzr lor sultă vtl ş B sut cotrr uul ltu dcă B ş B Ø dcă rlzr uu costă d rlzr clullt Dfţ 9 S uşt dfrţ vtlor ş B vtul ott - B cr s rlzză tuc câd s rlzză vtul ş u s rlzză vtul B Dfrţ vtlor ot f scrsă su for: B / ş B Osrvţ vdt v B B ş u loc rlţl lu D Morg: B B ş B B ş rsctv grlzărl ; I I I Tor Dcă vtl B C D K tuc sut dvărt urătorl frţ: B = B B = B B = B B v B B = v B = [B - B] v B C = B - C v B C D = C B D I

14 Dfţ vtl ş B sut ddt dcă rlzr uu dd d rlzr clullt ş sut ddt dcă rlzr uu u dd d rlzr clullt O ulţ d vt sut ddt î totltt lor dcă sut ddt cât două cât tr tc tru vtl ddt î totltt lor vo folos ş dur d vt ddt Câ d vt Dfţ O ulţ vdă d vt K s uşt cor dcă stsfc ol: K K BK BK Culul K s uşt câ ft d vt î czul î cr K st u cor Osrvţ Îtr-u câ ft d vt K sut dvărt frţl: B K B K vdt K ş K c Dcă B K tuc B K Dcă ulţ vtlor ltr st uărlă o ulţ K s uşt cor orl su -cor su -lgră î codţl: K K dcă I N I ş K I tuc K K rch K î cr K st u -cor s uşt câ orl câ ft d vt Dfţ Îtr-u câ ft d vt K vtl I K forză u sst colt d vt su o rtţ câulu dcă: j j j

15 Osrvţ vtl ltr corsuzător u ro forză u sst colt d vt cr s uşt sst colt ltr roozţ 5 Dcă corsuzător coţ vt tuc câul d vt Dostrţ tru u rt d rzultt ltr ş r urr tru u vt sgur cous d vt ltr vo v dvrs vt cous d cst duă cu urză: vt cous d cât zro vt ltr vt cous d cât u vt ltr vt cous d cât două vt ltr vt cous d cât vt ltr vt cous d cât vt ltr ş r urr uărul totl d vt l lu K st gl cu C C C C C C C C C Câ d roltt Dfţ otcă roltăţ F K u câ ft d vt S uşt roltt câul cosdrt o fucţ : K R cr stsfc ol: K = B B B K ş B Dfţ S uşt câ ft d roltt trltul { K } ud culul K st u câ ft d roltt r : K R st o roltt K Osrvţ Î czul î cr câul d vt K st ft K st ftă roltt dftă K stsfc ol: K = 5

16 6 I I dcă j Ø j I j K I-o ulţ d dc cl ult uărlă roozţ u loc rlţl: Ø dcă Ø j j j Dostrţ D rlţl Ø = ş Ø = Ø lcâd o d dfţ roltăţ v = Ø = Ø + ş rzultă Ø = D rlţl ş Ø lcâd o d dfţ roltăţ v dcă ş rzultă Dostră r ducţ ttcă tru = = + rlţ st dvărtă cofor o d dfţ roltăţ rsuu rlţ dvărtă tru vt dcă ş dostră tru vt dcă s- folost otz d ducţ ş s- ţut s că Ø Dfţ 5 clscă roltăţ roltt uu vt st glă cu rortul dtr uărul vtlor gl rol fvorl vtulu ş uărul totl l vtlor gl rol ltă forulr: roltt uu vt st rortul îtr uărul czurlor fvorl vtulu ş uărul czurlor osl Osrvţ 6 Cofor cst dfţ u ut stl roltt uu vt c rţ uu câ ft d vt Dfţ clscă s lcă u tuc câd vtl ltr sut gl osl

17 lul 7 Cosdră rţ d rucr uu zr vtl ltr sut gl osl ş v 6 czur osl Notă cu vtul "rţ u fţ cu uăr r d uct 6 " uărul czurlor fvorl vtulu st Dc 6 lul 8 Dtr-o ură cu 5 l urott d l l 5 s trg o lă l îtâlr S cosdră vtl: = oţr uu uăr r; B = oţr uu uăr r; C =oţr uu uăr dvzl r Să clculă roltăţl cstor vt Rzolvr Î cstă rţă ltor uărul totl l czurlor osl st 5 tru uărul czurlor fvorl st 6 dcă { 5 7 } 6 dc 5 5 tru B uărul czurlor fvorl st 7 dcă { } dc B 5 tru C uărul czurlor fvorl st 5 dcă { 6 9 5} 5 dc C 5 5 Rgul d clcul cu roltăţ roltt dfrţ: Dcă B-=B- B K ş B tuc Dostrţ D rlţl B = B - ş B - = Ø lcâd o v B B B roltt rur forul lu ocré: Dcă BK tuc B B B Dostrţ D rlţl B B B ş B B Ø lcâd o v B B B B B 7

18 8 dcă s- folost Grlzr: Dcă sut vt cotl tuc j j j j j roltăţ codţot: Dcă B tuc rortul B B îl u roltt lu codţotă d B ş otă B su B Dostrţ rătă că B stsfc ol roltăţ: B dorc B ş B B B B B B F ş K ş Ø v B B B B B B B B B B B B B B B dcă Ø B B Osrvţ 5 Orcăru câ d vt K î ut tş u câ d roltt codţot { K B } B B B - forul d clcul trscţ două vt ddt r loc o grlzr: dcă sut vt ddt tuc Dcă vtl ş B sut ddt tuc B = ş B B - forul d clcul trscţ două vt ddt Grlzr: Dcă sut vt ddt tuc

19 9 Dcă vtl ş B s codţoză rcroc ş B tuc B B B roltt rur vtlor ddt Dcă sut vt ddt tuc: Dostrţ Folosd rlţl lu D Morg ş ftul că sut vt ddt lcă 5 Igltt lu Bool: sut vt ddt tuc Dostrţ Vrfcă gltt d uţ r ducţ ttcă tru = v dcă ş rzultă rlţ st dvărtă rsuu gltt dvărtă tru - dcă ş dostră tru v succsv dcă s- ţut s d otz d ducţ 6 Forul roltăţ totl: Dcă st u sst colt d vt ş K tuc =

20 Dostrţ D otz că st u sst colt d vt rzultă că Dorc j j j Ø v că j j j Ø v succsv 7 Forul lu Bs: Dcă st u sst colt d vt l câulu K ş K tuc: = Dostrţ Dorc ş v dc dcă s- folost forul roltăţ totl lul 5 Cl 6 d ltr l lftulu scrs fcr u crtoş sut trodus îtr-o ură S cr roltt c trăgâd l îtâlr d 5 or cât u crtoş ş şzâdu-l î ord trgr să oţ cuvâtul LUCI Rzolvr Notă r vtul căutt dc d oţ r trgr succsv cuvâtul LUCI d s otă r = vtul c l r trgr să oţ ltr L; = vtul c l dou trgr să oţ ltr U; = vtul c l tr trgr să oţ ltr C; = vtul c l tr trgr să oţ ltr I; 5 = vtul c l cc trgr să oţ ltr tuc vtul r loc dcă v 5 Rzultă:

21 5 6 5 lul 5 Dcă roltt c u utool să lc î cursă îtr-o dţă frgurosă st d 6 ş dsu d două utool d cst fl cr st roltt c cl uţ uul d utool să lc î cursă îtr-o dţă frgurosă? Rzolvr Dcă otă r ş vtl c rul rsctv l dol utool să lc î cursă ş r vtul căutt dc c cl uţ uul dtr utool să lc î cursă v: r dorc vtl ş sut cotl cl două utool ot să lc î cursă dodtă Cu = = 6 r vtl ş sut ddt îtr l lcr uu utool u dd d lcr su lcr clullt dc = = 6 S oţ că = = 8 lul 5 Tr scţ l u îtrrdr S S S dăşsc lul zlc d roducţ cu roltăţl d rsctv 7; 8 ş 6 Să s clculz roltăţl vtlor: - cl uţ o scţ să dăşscă lul d roducţ B - tot scţl să dăşscă lul d roducţ Rzolvr F vtul c scţ S să dăşscă lul d roducţ v: = dc = = = = 976 B = ş ţâd s d ddţ vtlor v: B = lul 55 O rsă st cosdrtă că stsfc stdrdul d frcţ dcă tr crctrstc sut stsfăcut Dcă cst crctrstc B ş C sut 9 7 stsfăcut cu roltăţl = B = ş C = tuc roltt c să f stsfăcut tot tr crctrstcl s ot vlu cu forul lu Bool stfl s ot scr:

22 B C B C dcă 9 B C 66 lul 56 U sortt d rfă dtr-o utt corclă rov d l tr frc dfrt î roorţ rsctv d l r frcă 6 d l dou frcă ş rstul d l frc tr rodusl d l cl tr frc stsfc stdrdl d frcţ î roorţ d 9% 95% ş rsctv 9% U clt l îtâlr o uctă d sorttul d rfă rsctv Cr st roltt c rodusul să stsfcă stdrdl d frcţ? Cr st roltt c rodusul să f dfct ş să rovă d l r frcă? Rzolvr Notă cu ş vtl c rodusul cuărt să f d l r dou rsctv tr frcă cst tr vt forză u sst colt d vt ş u roltăţl ş 6 Dcă st vtul că rodusul cuărt d clt stsfc stdrdl d frcţ tuc 9 95 ş 9 Folosd forul roltăţ totl s oţ: Folosd forul lu Bs v: = lul 57 U studt solctă o ursă d stud l uvrstăţ Duă trtr ctlor csr cst ot oţ ursă d l uvrstt U su u U Scrţ vtl c corsud urătorlor stuţ : rşt o ursă;

23 rşt cl ult o ursă; c rşt cl uţ o ursă; d rşt cl uţ două urs Rzolvr Burs rtă ot f d l r uvrstt cz î cr clllt u- cordă ursă su d l dou cz î cr r ş tr u- cordă ursă su d l tr cz î cr rl două u- cordă ursă v stfl vtul U U U U U U U U U v două vrt : studtul u rşt c o ursă su studtul rşt o ursă Oţ vtul B U U U c vtul ot f scrs c ruu tr vt : studtul rşt o ursă două urs tr urs stfl C F ud U U U U U U U U U r F U U U d v D F ltfl vtul D st cotrr vtulu B dc D B U U U lul 58 Îtr-u gru d studţ flţ î curs s găssc 6 ft ş 9 ăţ S lg l îtâlr do studţ tru crct trsul Cr st roltt c c do să f : ăţ; ft; c u ăt ş o ftă; d cl uţ u ăt; rul ăt ş dou ftă; f d clş s Rzolvr Notă cu ş vtl lgr uu ăt l r rsctv dou lgr L rul uct v d clcult roltt Îtrucât dou lgr dd d r v : dorc lgâd u ăt răâ î gru studţ îtr cr 8 ăţ vtul d l uctul s scr stfl : B Dc 6 5 B 5 7

24 vtul d l uctul c st C şdr C sut cotl 9 6 Dr / r / d ud C 5 5 oţut ş roltt vtulu d l uctul vtul d l uctul d s ră stfl : D l st cotrr vtulu : B r urr 6 D B vtul d l ultul uct f st 7 7 F Cu cl două vt sut cotl ş dc 7 F lul 59 L u d lcţă rtcă ulţ solvţ îtr cr u tr d străătt roltt c rul studt să roovz st ¾ roltt c l dol să roovz st /5 r tru l trl 5/6 Să s dtr roltăţl c : toţ c tr studţ să roovz; cl uţ uul să roovz ul Rzolvr F vtul roovăr ulu d cătr studtul = vtul d l uctul st r d l uctul st B vtl sut ddt rzulttl clor studţ dzâd uul d clllt dc Folosd rortăţl roltăţ v : B

25 5 [ Ţâd s d ddţ vtlor = v: B lul 5 D ult cotrol sur ctvtăţlor tr gz s rcză că î roorţ d 9% 8% 7% cl tr gz u dclrt rf vâdută L u ou cotrol cos d cotrol solctă 5 d docut rvd ctvtt corclă: d l rul gz 5 d l l dol 5 d l l trl Dtr cst s lg uul l îtâlr tru f vrfct: Cu c roltt docutul ls st corct îrgstrt? Costtâd că st corct cu c roltt l rţ rulu gz? Rzolvr Notă cu vtul c docutul cotrolt să rovă d l rul l dol ş rsctv l trl gz v stfl 5 5 ; 5 5 ; 5 F vtul c docutul cotrolt să f corct tuc / / / rrztă vtul c docutul cotrolt să f corct ştd că l rov d l rul l dol l trl gz r urr : / =9; / =8; / =7 Cu { } st u sst colt d vt lcâd forul roltăţ totl v : / / / lcâd forul lu Bs v :

26 9 / 5 6 / / / rrztă vtul c docutul cotrolt să rovă d l rul gz ştd că fost corct 6

27 Ctolul Vrl ltor Vrl ltor st u d oţul fudtl l tor roltăţlor ş sttstc ttc Î cdrul u crctăr rtl s costtă că îtr vlorl urc ăsurt stă dfrţ chr dcă răâ scht codţl d dsfăşurr l rtulu Dcă rfr l o sgură ăsurător vrl ltor st c ăr cr ă cdrul uu rt ot lu o vlor cuoscută rorc tru u şr d ăsurător vrl ltor st o oţu cr-l crctrzză d două uct d vdr: - crctrzr d uct d vdr ctttv vrl dă forţ rvd vlor urcă ăr ăsurt; - crctrzr d uct d vdr clttv vrl ltor dă forţ rvd frcvţ d rţ u vlor urc îtr-u şr Dcă vlorl urc l uu şr d dt rţ ulţ urlor îtrg su rţol tuc s dfşt o vrlă ltor dscrtă r î czul rtţ vlorlor l ulţ urlor rl s dfşt o vrlă ltor cotuă Vrl ltor dscrt Î cud ftulu că duă rtr uu rt d u uăr r d or trv o ută rgulrtt î rvţ rţ uor rzultt l cstu u s ot rcz codtă cu crttud cr u dtr rzultt v r îtr-o ută roă D cst otv cuvâtul su coctul ltor tru îţls su gâdt î ssul că v d- fc cu rt su fo cr sut guvrt d lg sttstc tuc câd stă u ut grd d crttud rvd rţ uu rzultt su rrţ lu ş u d lg dtrst câd şt cu crttud c rzultt v r su u tru c stfl d rt su fo să f cuoscut ş r urr studt sut ortt ş csr două lucrur ş u: rzulttl osl l rtulu cr ot costtu o ulţ ftă ftă su uărlă su ftă ş uărlă; lg sttstcă su roltăţl cu cr st oslă rţ rzulttlor rtulu cosdrt Î l r ş îtr-u îţls lrg o ăr cr vlor l îtâlr su ltoru dtr-o ulţ orcr oslă s uşt vrlă ltor su îtâlător S ot d ş o dfţ rgurosă 7

28 Dfţ F câul d roltt {Ω K } Nu vrlă ltor d t dscrt o lcţ : Ω R cr vrfcă codţl: r o ulţ cl ult uărlă d vlor; R K Osrvţ Dcă K = Ω tuc st utot îdltă; O vrlă ltor d t dscrt st dc o fucţ uvocă d for : Ω { } R; S oşuşt c vlorl vrl să s otz î ord crscător dcă R = vtl = - = {ω Ω / ω = } K orcr r f = - : { } K st vrs fucţ Dfţ Nu dstruţ su rrtţ vrl ltor d t dscrt tloul d for : ud I sut vlorl osl l I vrl ltor r st roltt cu cr vrl cosdrtă vlor dcă = = I ulţ I utâd f ftă su cl ult uărlă Osrvţ vtl = I forză u sst colt d vt ş I Vrl ltor tru cr ulţ vlorlor st u trvl ft su ft urlor rl st vrlă ltor cotuă For c grlă u vrl ltor rţâd u cls d vrl ltor d t dscrt s uşt lg d roltt dscrtă Dfţ 5 Su că vrll ltor ş Y cr u rsctv j dstruţl ş Y sut ddt dcă I j jj = Y = j = = Y = j j IJ 8

29 Dfţ 6 F vrll ltor Y cr u rsctv dstruţl j ş Y tuc vrl ltor suă +Y rodus Y ş cât I j Y dcă j Y j j IJ j j IJ jj j j J vor v dstruţl Y j rsctv Y j j j IJ j IJ ud j = = Y = j Dfţ 7 S uşt rodus l vrl ltor r costt rlă vrl ltor ottă r : I suă vrl ltor cu costt rlă vrl ltor ottă r : I c utr vrl ltor d ot Z vrl ltor : cu codţ c orţl I să ă I ss Osrvţ 8 u loc rlţl jj Dcă vrll Y sut ddt tuc j I ş j j j J I j j I J Dfţ 9 F { K } u câ d roltt r : R o vrlă ltor Nu fucţ d rrtţ tştă vrl ltor R dcă fucţ F : R [ ] dftă r F = F= R Dcă u stă rcol d cofuz fucţ d rrtţ vrl ltor s otză r F roozţ rortăţ l fucţ d rrtţ R v: j 9

30 F F F F F F F F Dostrţ v succsv F F dcă s- ţut s d rlţ ş s- folost roltt dfrţ F F F F dcă s- folost rlţ dostrtă tror F st dscrscător R dcă F F R Dostrţ F F F F l l F F Dostrţ l l F l l F F RF F st cotuă l stâg î fcr uct R lul S cosdră vrl ltor dscrtă 6 7 : Cr st roltt c să o vlor că su glă cu? Rzolvr tru c să f o vrlă ltor tru c ş 6 7 S oţ soluţ cctlă S clculză

31 roltt crută r trdul vtulu cotrr ş u su lul S du vrll ltor ddt: 6 : ; : Y Să s scr dstruţ vrl Y tru c vlor l lu c v:? 9 c Y Rzolvr tru c ş Y să f vrl ltor s u codţl: ; ; 6 ş o : 6 rzultă vlorl cctl 6 ş = Dc vrll ltor u rrtţl: : ; : Y v : Y : Y : dc + Y = c> 9 corsud stuţ + Y = = 9 9 dcă c = lul Vrl ltor cu dstruţ urător:

32 : 6 F / r fucţ d rrtţ: Grfcul fucţ d rrtţ st: F dcă dcă 6 dcă dcă /6 / Vctor ltor dsol Dfţ F câul d roltt {Ω K } Su că U=Y st vctor ltor dsol d t dscrt dcă lcţ U : Ω R vrfcă codţl: r o ulţ cl ult uărlă d vlor; R Y K Dfţ Nu dstruţ su rrtţ vctorulu ltor Y d t dscrt tloul: Y j j j ud sut vlorl j cr l vctorul ltor Y r Y j j

33 vdt j j IJ = Dfţ Nu fucţ d rrtţ tştă vctorulu ltor R dftă r: dsol fucţ F: F = Y R roozţ rortăţl fucţ d rrtţ uu vctor ltor dsol d t dscrt dcă < ş c<d tuc c Y d F d F c F st dscrscător î rort cu fcr rgut l F l F l F ; l F F st cotuă l stâg î rort cu fcr rgut Osrvţ 5 Dcă Y r fucţ d rrtţ F r vrll ş Y u fucţl d rrtţ F ş rsctv F Y tuc: F l F ş F l F Y lul 6 S cosdră vctorul ltor dscrt Y cu rrtţ dtă î tlul: Y să s dtr rrtţ vrllor Y +Y; să s stlscă dcă ş Y sut ddt su u; 7 c să s clculz F 5 Rzolvr Vrl r rrtţ:

34 : ud 5 5 dcă : 5 6 log vrl Y r rrtţ Y: ud dcă Y: v: +Y: tru vrfcr ddţ vrllor Y fctuă u cotrol d lu: = Y= = 7 r [= Y=] = Cu dduc că ş Y sut ddt 7 7 c F 5 Y 5 [ Y Y ] ==Y= +=Y= = +5 = 5 Dfţ 7 F vrl ltor vâd fucţ d rrtţ F vo su că st vrlă ltor d t cotuu dcă fucţ d rrtţ s ot rrzt su for: F = tdt R Fucţ : R R s uşt dstt d roltt vrl ltor roozţ 8 u loc frţl: R F' = t R < = d d Osrvţ 9 tru o vrlă d t cotuu == dc < = << = = << = d

35 câd F F F' l l st c v dc Dfţ F vctorul ltor Y vâd fucţ d rrtţ F su că Y st u vctor ltor d t cotuu dcă fucţ d rrtţ F s ot u su for: F = s t ds dt R r fucţ : R R s uşt dstt d roltt vctorulu ltor Y Osrvţ Dcă st dstt d roltt tru Y r ş Y dstăţ d roltt tru rsctv Y u loc: R F t R Y D d d D R d d R D 5 d R ; Y d R Dfţ Su că vrll ltor d t cotuu ş Y sut ddt dcă F = F FY R 5 lcţ Fucţ st dstt d î rst roltt dcă ş dd c c lcă dd vrfctă tru Î cst cz fucţ d rrtţ v f dcă dcă 78 F uv dudv dcă 6 dcă dcă cuţ î R su ş ş ş

36 ş dduc d s că fucţl d rrtţ rgl sut rsctv F ; F Y Crctrstc urc soct vrllor ltor F K u câ d roltt ş : R o vrlă ltor Î fr forţlor furzt d fucţ d rrtţ F su chr d rrtţ rolstă dscrtă su cotuă l u vrl ltor d u rl folos tortc ş rctc sut ş forţl cr l coţ ut crctrstc urc vlor d dsrs tr d ătrtcă su dvrs lt ot l lu dsr cstă vrlă ltor Vlor d srţ ttcă Dfţ F {Ω K } u câ orl d roltt ş vrl ltor : Ω R cu dstruţ I S uşt vlor d crctrstc urcă I Osrvţ Dcă I st ftă vlor d stă Dcă I st ft uărlă stă câd sr cr o dfşt st solut covrgtă Dfţ F{Ω K } u câ orl d roltt ş vrl ltor : Ω R d t cotuu R S uşt vlor d vrl crctrstc urcă d Vlor d stă tuc câd tgrl ror cr o dfşt st covrgtă roozţ rortăţl vlor d u loc frţl : R + Y = + Y Y ddt Y = Y Dostrţ 6

37 7 F vrll ltor d t dscrt Y vâd rrtţl J j j j I Y v I I I dcă vrl r rrtţ I ş I Vrl +Y r rrtţ J I j j j Y j j Y Rzultă Y Y J j j j I I J j j j I I J j j J j j dcă s-u folost rlţl j I j ş J j j Vrl Y r rrtţ J I j j j Y dcă ş Y sut ddt v I I J j j j J j j j Y Y rsuu c ş Y sut vrl ltor d t cotuu Dcă otă r Y = + tuc s oţ că Y tru orc R v: d d Y Y Y d ud r schr d vrlă u = / d = du oţ du u du u u du u u Dcă otă r Z = + Y vrl cr r dstt d roltt Z r dstt d roltt vctorulu Y o otă r tuc: d du u u d s Z Y Z

38 t Schă ord d tgrr o schr d vrlă u = t d = dt ş oţ Y u u d du t u u t dt du u u t dt du t t dt u t du dt u u du Y Dcă otă r V = Y cr r dstt d roltt V r dstt d roltt vctorulu Y o ot r tuc d Y V V d u d u u Schă ord d tgrr o fc schr d vrlă / u = t d = udt ş oţ: Y u d du tu u t dt du u u Dsrs tu u t dtdu u u du t t dt Y Y Dfţ 5 F {Ω K } u câ orl d roltt ş vrl ltor : Ω R S uşt dsrs vrţ vrl ltor crctrstc urcă Vr r Vr s uşt tr d ătrtcă Î od lct dsrs r rs Vr Y Z I I N dcă st o vrlă ltor dscrtă su Vr M d dcă st o vrlă ltor R cotuă Dsrs st u dctor urc l grdulu d îrăştr su d dsrsr vlorlor u vrl ltor î jurul vlor d cst roozţ 6rortăţl dsrs Vr Dostrţ Vr Vr R c Y ddt Vr Y Vr Vr Y 8

39 9 Vr dcă s- făcut u clcul forl Folosd rortăţl vlor d ş dfţ dsrs v: Vr Vr c Dcă Y sut ddt v Y Y Clculă Y Vr Vr Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Vr dcă s- ţut s că roozţ 7Igltt lu Cîşv Dcă vrl ltor r vlor d ş dsrs tuc r loc gltt Vr su gltt chvltă cu cst Vr Dostrţ rsuu că st o vrlă ltor d t cotuu vâd dstt d roltt tuc D d d Vr ud / D dorc v că Dc v D D d d oţut că Vr rzultă Vr Folosd roltt vtulu cotrr s oţ ş clltă foră gltăţ: Vr lcţ 8 Dcă st o vrlă ltor dscrtă

40 : 5 tuc dduc că: Vr 7 Vr lcţ 9 Dcă st vrlă ltor cotuă : î rst tuc dduc că: d 5 6 d 6 Vr Vr Mot Dfţ F {Ω K } u câ orl d roltt ş vrl ltor : Ω R S uşt ot ţl oşut d ord l vrl ltor crctrstc urcă Osrvţ tru = v r tru = Vr I Dcă st vrlă d t dscrt vâd rrtţ : I tuc I

41 c Dcă st vrlă d t cotuu R : tuc R d Dfţ S uşt ot ctrt d ord l vrl ltor crctrstc urcă dcă cotuă dscrtă R I d Osrvţ tru = v r tru = Vr Tor Îtr otl ctrt ş otl ţl stă urător rlţ: C Dostrţ v C C C C Osrvţ 5 Î sttstc ttcă s utlzză d rgulă rl tru ot ctrt: Dfţ 6 S uşt otul ţl d ordul rs l vctorulu ltor Y crctrstc urcă s r rs Y dcă Y cotuu dscrt r R s r I J j j s j rs dd Y Dfţ 7 S uşt ot ctrt d ord rs l vctorulu ltor Y crctrstc urcă s r rs Y Y dcă

42 rs r s j Y I jj r s Y R j dd Y dscrt Y cotuu Osrvţ 8 o Y Vr Vr Y Corlţ su covrţă Dfţ 9 S uşt corlţ su covrţ vrllor ltor ş Y crctrstc urcă C Y Y Y dcă C Y Osrvţ C Y Y Y C Y Dcă Y ddt C Y dr u ş rcroc C Vr C jy j jc Y j orcr r f vrll j j ltor ş Y j ş orcr r f costtl rl ş j j C Y C Y orcr r f ş Y Dfţ S uşt cofct d corlţ rltv l vrll ltor ş Y crctrstc urcă r Y= C Y Vr Vr Y Osrvţ Y ddt r Y rcroc u st dvărt; Su că Y sut corlt dcă ry = rortăţ: r Y r Y Y c r Y Y Osrvţ Î rctcă s su că: ş Y sut oztv rfct corlt dcă r Y ; ş Y sut gtv rfct corlt dcă r Y ; ş Y sut utrc oztv su gtv corlt dcă

43 75 r Y su r Y 75 ; ş Y sut sl oztv su gtv corlt dcă r Y 5 su 5 r Y ; Mrgl vlorc dczol fd ls covţol lcţ F Y u vctor ltor dscrt căru rrtţ rolstă st dtă d tlul d jos Clculţ cofctul d corlţ ry Y - - /6 / / / 9/ / /6 / / 8/ / / /6 / 7/ j 6/ 7/ 8/ / Rzolvr z forullor corsuzător dduc dt: Vr [ ] Y Y 5 Vr Y Y [ Y ] 9 6 Y C Y Y Y C Y r Y 95 Vr Vr Y

44 Osrvţ 5 Cofctul d corlţ r Y rrztă r ăsură corlţ su grdulu d ddţă î ss clsc Itrodusă d cătr sttstcul glz K rso î ul 9 c rod l colorăr cstu cu troologul glz F Glto cr vut r d d ăsurr corlţ su dur d vrţ lgtă cstă ăsură grdulu d ddţă fost crtctă îcă d l rţ tru dvrs otv rtr cr ş c că: st ddtă d vlorl vctorulu ltor Y ş c urr u st lclă tru czul vrllor ltor ctttv; u st rcsă î czul ddţ ş l corlăr dorc dcă r Y u stă u răsus ctgorc î ssul ddţ su corlăr; u ot f tsă l ult d două vrl ltor su chr l do su ulţ vctor ltor ft crut d rctcă Dcă l r ocţ dt chr K rso u răsus tru clllt două ocţ u s-u dt răsusur clr dcât duă rţ î 98 tor ttc forţ rzultt rrcl î cst ss oţâd şcol roâscă d ttcă su coducr lu Slvu Guşu troducâd ăsurl troc l ddţ dtr vrl ltor ş vctor ltor î cu o lrgă lcltt tortcă ş rctcă Î cud tuturor crtclor c s-u dus cofctul d corlţ clsc su cofctul Glto-rso st cl frcvt utlzt î rctcă ş tru că st cl slu î utlzr Z uşt vlor d cstu ş s otză cu Z dcă stă vctorul -dsol l căru coot sut vlorl d l cootlor lu Z dcă: Z S uşt trc d covrţă su d corlţ vctorulu Z ş s otză r Z C Z c C Y Dfţ 6 Fd dt vctorul ltor Z : R s C dcă stă trc j j j j Osrvţ 7 tru czul uu vctor ltor dsol u s fc cofuz îtr d rodusulu cootlor ş Y cr st Y ş d vctorulu Y cr st Y Uor trc d corlţ CZ s otză ş cu Z c Dsfăşurt trc d covrţă CZ r for:

45 Vr C C C Vr C C Z C C Vr ş c urr rortăţlor corlţ costtă că trc C Z st strcă d ord d l dfţ cofctulu d corlţ ş d l trc d corlţ dcă tot cootl lu Z sut costt tuc ut troduc trc cofcţlor d corlţ R Z căr foră dzvolttă st: r r r r R Z r r l for l trc d corlţ vctorulu ltoru Z rrztă d ft tl l ăsurăr grdulu d ddţă dtr cootl lu Z cosdrt două cât două lcţ 8 F vrll ltor: : ; : ; : r r căror rrtţ couă ottă j st: j 6 ; 6 ; ; ; 8 ; ; 6 ; 5 6 Să s dtr rrtţl dsol ş udsol l vctorulu ltor trdsol Z ş trcl d corlţ C Z ş R Z Rzolvr v dt rrtţl dsol 8 ; 8 tru ; 8 tru

46 5 6 ; tru ş c urr ut scr urătorl tl d rrtţ dsol: - /8 /8 ¼ - / 5/ / /6 5/6 / /8 /8 ¾ /6 9/6 / / / / j / / r 9/ / r 9/ / d cr s osrvă ş rrtţl udsol rrtţl vrllor ltor cosdrt D cst tl dduc r clcul dt: ; ; Vr ; 5; Vr 55 7 ; ; Vr ; ; C ; r 9 55 ; ; C ; r ; ; 6 8 C ; r 6 7 ş c urr ut scr trcl d corlţ: C Z 6 ş R Z costtâd că ş sut ddt î t c îtr ş su ş stă o ută ddţă chr dcă u st utrcă lt crctrstc urc Dfţ 9 S uşt d u vrl ltor crctrstc urcă M cr vrfcă rlţ: M M 6

47 Osrvţ Dcă F st fucţ d rrtţ ş st cotuă tuc M s dtră d cuţ FM Dcă M ] tuc s M Dfţ S uşt vlor odlă su odul vrl ltor orc uct d locl l dstruţ lu î czul dscrt rsctv l dstăţ d roltt î czul cotuu Osrvţ Dcă stă u sgur uct d locl su că lg lu st uodlă ltfl o u lurodlă Dfţ S uşt str cofctul lu Fschr vrl ltor crctrstc urcă dftă r s Dfţ S uşt cs l vrl ltor crctrstc urcă dftă r Osrvţ 5 Dcă < tuc grfcul dstruţ r u sct turtt ş lg s uşt ltcurtcă Dcă > tuc grfcul dstruţ r u sct scuţt ş lg v f ută ltocurtcă Dcă = tuc rrtţl sut zocurtc Dfţ 6 Dcă st o vrlă ltor cu fucţ d rrtţ F s usc curtl î uăr d tr l lu su l rrtţ lu url ş cu rortăţl: F F F F Osrvă că M F F lul 7 S cosdră vrl ltor : 5 Să s clculz: - Vr 7

48 Rzolvr ; Vr ; 5 ; Vr 56 lul 8 Să s clculz vlor d ş dsrs vrl ltor cr r dstt d roltt dcă ltfl Rzolvr dcă Osrvă că: - dcă ltfl Ţâd s d dfţ v: d d d d d d 7 Vr 6 6 lul 9 F vctorul ltor Y cu dstt d roltt [] [] S cr: î rst să s dtr costt ; să s dtr dstăţl rgl; c să s crctz dcă ş Y sut ddt su u; d să s clculz cofctul d corlţ îtr ş Y Rzolvr d codţl dd d d 5 [] [] Dc 5 î rst 7 6 8

49 d d [] 5 5 [] 5 ltfl d d [] 5 [] Y ltfl c ş Y u sut ddt dorc: Y d dd dd Dc Vr d Y Y d 5 d 5 d Y Y d Y d d 8 5 d Vr Y Y Y Y dd 5 d d 9 5 d C Y Y Y C Y S oţ: r Y Y lul S şt că dcă două vrl ltor ş Y sut ddt tuc cofctul lor d corlţ st ul Rcroc u st dvărtă Ită u vctor ltor dscrt Y î cr ş Y sut ddt ş totuş r

50 Y Rzolvr Clculă rrtţl rgl: : ; Y : v: ; ; Vr ; 5 Y ; Y ; Vr Y ; Y Y : 6 Y= Y - Y r Y lul F o vrlă ltor cr r dstt d roltt dftă r: / Să s dtr odulul ş d Să s clculz otul d ord Rzolvr Cofor dfţ M st vlor tru cr dcă M dcă stă o ftt d vlor odl stut sgtul M s dtră d cuţ F M 5

51 M M Cu F M M d M d Fucţ crctrstcă Fucţ grtor d ot Dfţ F câul d roltt K ş vrll ltor ş Y dft Ω cu vlor rl S uşt vrlă ltor colă Z Y r vlor d cst ottă cu Z st dtă d rlţ Z Y dcă dl ş Y stă Osrvţ Dcă st o vrlă ltor rs t cost s t t R dfşt d s o vrlă ltor ş t cos t s t Dfţ F o vrlă ltor rlă S uşt fucţ crctrstcă lu o fucţ : R C dtă d rlţ t t t t K R cr lct ot f scrsă su for t t d st st d t cotuu d t dscrt roozţ Fucţ crctrstcă r urătorl rortăţ: ş t t R Dcă j j sut vrl ltor ddt î totltt cu fucţl crctrstc t t j tuc fucţ crctrstcă vrl ltor suă j j st t t t j t j t t Dcă Y ş R tuc Y t t Dcă dt ot ţl d orc ord tuc fucţ crctrstcă dt drvt d orc ord ş r loc rlţ r r r r Dostrţ 5

52 ş t t t dcă st d t dscrt ş K K K t t t d d d dcă st d t cotuu R R R vâd î vdr rortăţl vlor d ut scr că t t t t j t t j Tot c urr rortăţlor d v: ty t t t t t t t Y r r r t r r r t Osrvă că t ş rzultă r r r d r Osrvţ 5 Folosr rlţ d l uctul st rcodlă dor tuc câd clculr otlor st coodă r cstă rlţ dcât ord drct d l dfţ cstor lcţ 6 Dcă : tuc 6 t t t t t 6 6 t Dcă : tuc t d Dcă t t : tuc t d t Dfţ 7 F o vrlă ltor rlă dftă câul d roltt K S uşt fucţ grtor d ot dcă t stă fucţ G : R R dtă d rlţ G t G t cr lct ot f scrsă su for t st d t dscrt K G t t d st d t cotuu R cu codţ stţ rslor corsuzător roozţ 8 Fucţ grtor d ot r urătorl rortăţ: t j j t 5

53 G Dcă j j sut ddt î totltt ş u fucţl grtor G j t j st G t j G t j tuc fucţ grtor vrl ltor Dcă Y ş R tuc t GY t G t Dcă dt ot ţl d orc ord tuc fucţ grtor dt drvt d orc ord î uctul zro ş r r G r r lcţ 9 Dcă : tuc 6 t t t t G t 6 6 Dcă : tuc t G t d dcă t t r î cz cotrr u stă Dcă : C t t G t C ' t t '' t t G t ; G t tuc 5 ' '' G ; G 5 rol rzolvt t t lcţ 5 F vrll ltor ddt : : / / / ş Y : / / 6 / Să s scr vrll ltor : Y +Y Y +Y /Y Y Rzolvr

54 roltăţl corsuzător vlorlor lu Y sut clş cu cl corsuzător lu ş rsctv Y v: : / / / : / / / Y : / / Y Y Y Y Y 6 Dorc ş Y sut ddt v că j = j j D lu Y Y Oţ 6 Y : / 6 / / / / / 8 / / /8 dcă Y : / 6 / / 6 7 / / 6 /8 log Y : / 6 / / / / /8 / / / 8 d ud Y : / / / / / 6 /8 Cu ş Y u rrtţl : / / / 6 Y : / / 6 / oţ rrtţ lu + Y : Y : / 6 / / / / / / / 8 / 8 L fl oţ: / : Y / / / /8 / 6 / Y : / 6 5/ 5 /8 lcţ 5 F ş Y două vrl ltor dscrt l căror rrtţ rolst couă j ş rgl ş j sut dt î tlul urător : \ Y - - /8 / /6 /8 / / / 5/8 j /6 / / 5

55 Să s scr vrll ltor ş Y Să s rczz dcă ş Y sut ddt c Să s scr vrll + Y Y Y Y/ Rzolvr D tlul d rrtţ d sus dduc că : ş Y : /8 5 /8 / 6 / / Dcă ş Y r f ddt tuc Y Y c c u r loc îtrucât cdorc 8 6 oţ Y : / 8 / / 6 / / / Y : / 6 / / / / 8 / : Y / / 6 / / /8 / Rrtţl lu ş Y rzultă dt d cl l lu ş Y: : Y : / / lcţ 5 F vrl ltor dscrtă : Să s dtr Să s clculz fucţ d rrtţ lu c Să s clculz roltăţl: Rzolvr Tru să v = ş Rzultă + = ş dcă = / Cu F = rzultă că F = dcă F = = / dcă ] F = = + = = + = /9 dcă ] 55

56 F = = + = + = = + + = 7/9 dcă ] F = = + = + = + = = = 8/9 dcă 5] ş F = dcă > 5 Dc : ; ; ; F 9 7 ; 9 8 5; 9 5 c v < = Φ = <==+==/9 >==5=/9 5<<==+==/9 ==+=+=5=5/ < /<<== su = / = = =/= = lcţ 5 Dtrţ costt R tru c fucţ f dtă jos să f dstt d rrtţ ş o să s dtr fucţ d rrtţ corsuzător Să s clculz d cutll ş vlor odlă vrl ltor vâd dstt d roltt ρ: [/ ] / ] ltfl Rzolvr v / d d ud d d su / / / Rzultă = / ş dc [/ ] [/ ] F t dt t dt / ] / ] / 56

57 Îtrucât F st cotuă vo v F = F+ dc F M ş F M dcă F M cst s rlzză tru d ud / ] şdr M c S osrvă că F/=/ dc c c rzultă d F=/ dcă d ud c Dorc ρ st crscător [/] ş dscrscător /] =/ st uct d sgurul r urr M o lcţ 55 Să s dtr vrll ltor ddt : ş Y : ştd că = ş Y=7 Să s clculz o +Y Vr VrY ş Vr+Y Rzolvr Dorc st o vrlă ltor tru să v +++= dcă =/ tuc = = + = + Cu = rzultă că = log + + = dcă +-= d ud =/ Rzultă că Y= + + = 7 Cu Y = 7 v că = Tlourl d rrtţ l lu ş Y vor f 8 : Y : 5 5 Folosd rortăţl d v +Y = +Y = +Y = + 7 = 5 tru clculr dsrslor v vo să clculă dl lu ş Y cst u tlourl d rrtţ : Y : stfl că ş

58 Y tuc Vr = - = 5- = ş VrY = Y -Y = 6-9 = Cu ş Y sut ddt rzultă că ş ş Y sut ddt ş v Vr+Y = Vr+VrY = Vr+9VrY = +9 = lcţ 56 Să s dtr vrll ltor ş Y l căror rrtţ sut dt colt î tlul d jos ştd că =7 ş VrY= Să s clculz o Y ş Vr-Y \ Y - /5 / /5 /5 j /5 Rzolvr Dorc + = rzultă că M drt = dcă 5 5 dc Cu + = rzultă că Dr + + = dcă 5 D + = ş + = rzultă că 5 5 ş Oţ stfl : Y : stfl dcă +-85= d ud =5 =-7/ Dorc Y ş 5 Y rzultă că 5 9 Vr Y Y Y D otză VrY= stfl că dcă D tloul rrtţ cou j v

59 59 5 : Y ş 5 5 : Y stfl 7 5 Y Dcă =5 Y=-5/7 r dcă =-7/ Y=7/ tru clculr dsrs lu -Y v vo d: Y ] [ Y tru =5 =/7 v -Y= 7 ş ] [ Y dc Y Vr lcţ 57 Să s dtr rtr cr r î rrtţl urător ş să s clculz o ş Vr fd o vrlă ltor vâd rrtţ rsctvă: : N ; [] : ; c ] [] : ltfl Rzolvr D codţ rzultă că tuc 6 ' ' '

60 6 ' ' ' ' stfl Vr = - = -9 = 5 D codţ d rzultă că tuc 6 d d 5 5 d d stfl Vr c D codţ d rzultă că d d Cu u = cov stfl că : d d d d d d 8 9 Vr lcţ 58 F vctorul ltor Y cu Y vrl ltor ddt căru dstt d roltt st Să s dtr: fucţ d rrtţ corsuzător; [ [ Y Rzolvr

61 v dd dc R dd Rzultă d d că rctg rctg dudv du dv F u v u v tuc rctg rctg dudv Y D u v F F F F 6 lcţ 59 F vctorul ltor Y cu dstt d roltt [] [] ltfl Să s dtr costt Să s clculz fucţ d rrtţ F ş fucţl rgl F ş F Y Rzolvr v dd dcă d d d ud v F dd Dcă < su < tuc f= ş dc F= Dcă > ş > tuc F= Dcă [ ] [] v F u vdudv u du vdv Dcă [] ş > v F u vdudv u du vdv Dcă > ş [] oţ u vdudv u du vdv F rzultă că 6

62 6 stfl [] [] [] [] su F Fucţl d rrtţ rgl sut [] F F [] F F Y lcţ 5 F vctorul ltor Y vâd dstt d roltt ltfl Să s clculz: <Y< +Y< +Y /Y <Y = ; Fucţ d rrtţ F ş fucţl d rrtţ rgl F F Y ; c Dstăţl d rrtţ rgl ρ ρ Y ; d Motl oşut d ord s ; Corlţ vrllor ş Y Rzolvr dd Y dd d dd dd Y d dd Y Y d d dd

63 Y / Y Y 6 Y dd d Y dd Y Y dd dd d v F u v dudv / =Y= d Dcă > su < ρ= dc F= Dcă ş v F uv u dudv du v dv Fucţl d rrtţ rgl sut F F ş FY F c Dstăţl d roltt rgl ş Y sut drvtl fucţlor d rrtţ rgl: Y s dd s d s M Y s d d s! s! ud d rortt că! tru N v cov Y Y Y st fucţ g lu ulr ş r d d lcţ 5 F Y u vctor ltor dscrt căru rrtţ rolstă st dtă î tlul d jos Să s clculz cofctul d corlţ ry ş să s scr cuţl drtlor d rgrs \ Y - - / /5 / /5 / / / /5 / / / / /5 j / / / /5

64 6 Rzolvr z forullor corsuzător dduc dt: Y Y Y Y Y Vr Vr 5 Y cov Y Y Y cov Y Vr Vr Y Y r cuţl drtlor d rgrs sut : lcţ 5 Să s dtr fucţ crctrstcă ş fucţ grtor d ot ş o să s clculz ord d l cst otl ş tru urătorl vrl ltor: : ; : Rzolvr v t t t t t t ş

65 t t t t t G t rl două drvt l cstor fucţ sut: ' t t " t t t t ' t t " t t G t G t Oţ ' 5 " ' " 5 G G d ud ' ' G ş " " 5 G cost s t d t t d cost d s t 65 d B cost d cost ' cost B t s t d s t d s t d tb t cost d t Oţ = - t t dcă = ş B = t t t stfl t t t t t o G t d d t t t rl două drvt sut ' t t " 6t t t t t 5 t t ' G t t " G t t Oţ ' ' G ş " " G

66 6 rol rous lcţ 6 S cosdră vctorul ltor Y cu dstt d dc roltt: Să s dtr: ltfl costt rlă ; dstăţl d roltt Y tru vrll ltor Y; c roltăţl Y ş Y lcţ 6 L tru utăţ ltr d orş s ot găs zlc â rosătă cu roltăţl =8 =9 =95 ş rsctv =85 F uărul utăţlor ltr d cl tru l cr s găsşt â rosătă îtr-o z ftă Să s dtr: dstruţ vrl ltor ; vlor d dsrs tr d ătrtcă d ş odul vrl ltor lcţ 6 F Y coordotl uu uct luos c rrztă o ţtă u cr rdr crculr ş cr urză lg uforă doul D = R + r Să s dtr vlor d ş dsrs dstţ Z = Y d l ctrul crulu âă l uctul luos lcţ 6 Folosd gltt lu Cîşv să s rt că + dcă vrl ltor r dstt d roltt dc! dc lcţ 65 roltt c o rsoă să găsscă loc l u hotl st = 8 Î dcursul u lu d zl l hotlul rsctv s-u rztt d rso F uărul rsolor cr u găst loc l hotl d totlul d Să s dtr roltt c: uărul rsolor cr u găst loc l hotl să f curs îtr ş ; uărul rsolor cr u găst loc l hotl să u dăşscă ; c uărul rsolor cr u u găst loc l hotl să f c dcât 5 lcţ 66 F vrll ltor ddt: 66

67 : 6 ş Y : 8 8 Să dtr vrll ltor: +Y; -Y; Y; ; Y ; ; Y ; ; Y; +Y; Y-; lcţ 67 F ş Y două vrl ltor dscrt l căror rrtţ rolst cou ş udsol ş sut dt î tlul d jos: j j Y - - / / / /8 /6 /8 / /8 / /8 /8 / /6 /6 /6 j /8 5/ /8 /8 Scrţ vrll ltor ş Y; rczţ dcă vrll ltor ş Y sut ddt su u ş justfcţ răsusul; c Scrţ vrll ltor: +Y; -Y; Y; Y ; ; Y ; -Y; lcţ 67 F vrll ltor ddt: 5 : ş Y : Clculţ Vr Y Y ş VrY; Cr dtr urătorl ăr ot f clcult ş cr u ş d c? +Y; Vr+Y; +Y; Vr +Y; +Y ; Vr +Y ; Y c Clculţ ărl d l uctul tru cr răsusul st fvorl lcţ 68 Să s dtr î fcr cz vrl ltor ş o să s clculz ş Vr : N > > : N > >! c : [] R d : [] R 67

68 : R R f : R R î rst lcţ 69 F vrll ltor dscrt: : ş Y : Dcă Y ş Y să s 6 dtr rrtţ couă vctorulu ltoru Y î fucţ d R Clculţ o cofctul d corlţ r Y ş rczţ dcă stă vlor l lu tru cr ş Y să f ddt lcţ 6 F Y u vctor ltoru cotuu cu dstt d rrtţ Y > î rst Dtrţ dstt d rrtţ Y ş dstăţl d rrtţ rgl corsuzător ş Y ; Clculţ cofctul d corlţ r Y 68 lcţ 6 Clculţ fucţ crctrstcă ş fucţ grtor d ot tru fcr dtr vrll ltor: : : c : d : ş o vrfcţ dcă otl oţut cl drctă cocd cu cl oţut cu jutorul cstor fucţ lcţ 6 Vrfcţ dcă fucţl urător dfsc rrtţ l uor vrl ltor dscrt ş o clculţ ş Vr tru fcr dtr l l N N!! c

69 Ctolul Lg clsc d roltt rrtţ l vrllor ltor dscrt Itroducr Vo rzt î cst ctol rcll lg d roltt l vrllor ltor dscrt ş u: lg dscrtă uforă lg olă ş czul său rtculr lg Broull lg olă cu ot gtv ş czul rtculr lg gotrcă lg hrgotrcă ş lg osso lg vtlor rr Lg dscrtă uforă Dfţ Vrl ltor dscrtă urză lg dscrtă uforă dcă r tloul rrtţ : ud * Vo su că vrl ltor dtă d forul r o rrtţ dscrtă uforă D tloul rrtţ vrl ltor s osrvă că Tor Dcă vrl ltor r rrtţ dscrtă uforă cu tloul rrtţ tuc vlor d ş dsrs s sut Vr Dostrţ D forull d clcul l d ş dsrs oţ 69

70 7 Vr ] [ d Osrvţ Dorc Vr d rlţ dou v rlţ utlă î dvrs lcţ rctc ş cr rzultă drct ş d gltt lu Cuch-Buovs-Schwrz roozţ Dcă vrl ltor dscrtă r rrtţ uforă cu tloul rrtţ tuc fucţ s crctrstcă st R t t t Dostrţ Cofor forul d clcul tru fucţ crctrstcă v R t t t t d roozţ 5 Dcă vrl ltor dscrtă r rrtţ uforă ş vlorl dcă r tloul rrtţ : tuc

71 7 ; s s Z t t Z t R t t t t Vr t Dostrţ D forull tru oţ 6 Vr D forul oţ tru fucţ crctrstcă s s s cos s s s cos s s cos s cos s s cos s s s cos s cos t Z t t Z t R t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t d Lg olă Lg Broull Dfţ Vrl ltor dscrtă urză lg olă r o rrtţ olă cu rtr ş N dcă vlorl cu roltăţl

72 7 C ud Tloul rrtţ vrl ltor st : C C C C S osrvă că C C lul Dcă sut vt ddt ş r rrztă uărul vtlor cr s rlzză î cdrul u rţ tuc r rrtţ olă cu rtr ş cofor sch lu Broull lul Dcă st u vt lgt d o ută rţă ş roltt c să s roducă câd fctuă o sgură dtă rţ st tuc vrl ltor cr r c vlor uărul rlzărlor lu câd fctuă d or rţ r rrtţ olă cu rtr ş Tor Dcă vrl ltor r rrtţ olă cu rtr ş tuc vlor d ş dsrs s sut Vr Dostrţ Vlor d vrl ltor st C C C C C tru clcul su d sus vo cosdr oloul C C C C C C

73 7 Drvâd oloul d sus oţ ' C C C C C Luâd î rlţ oţ C d ud rzultă că tru clcul dsrs lu vo folos forul ] [ Vr Md vrl st C Îulţ rlţ cu ş oţ C C C C C ' Dcă drvă rlţ d sus dduc că '' ' C Luâd î rlţ d sus dduc că Oţ stfl dsrs lu Vr d roozţ 5 Dcă st odulul vlor c rolă u vrl ltor cu rrtţ olă cu rtr ş tuc ud

74 Dostrţ Dcă st odulul vrl tuc Igltăţl d sus coduc l sstul C C C C d ud rzultă cocluz roozţ d roozţ 6 Dcă vrl ltor r rrtţ olă cu rtr ş tuc fucţ s crctrstcă st t t t R Dostrţ Cofor forul tru fucţ crctrstcă v d t C t t C t t R Tor 7 Dcă vrll ddt ş Y u rrtţ ol cu rtr ş rsctv ş tuc vrl +Y r rrtţ olă cu rtr + ş Dostrţ Dorc vlorl r Y vlorl rzultă că vrl +Y v lu vlorl Vrl +Y r vlor dcă = ş Y= su = ş Y=- su su = ş Y= tuc vo oţ 7

75 75 } { j j j j j j j j j j j j j C C C C C j Y j j Y j j Y j Y folost sus ftul că vtl ş Y sut ddt ş d s utlzt forul j j j C C C cr ot f ddusă glâd cofctul lu d dzvoltărl ş Dc oţut C Y dcă vrl +Y r o rrtţ olă cu rtr + ş Cocluz tor ot f oţută folosd rortt d l fucţ crctrstc cr su că fucţ crctrstcă su două vrl ltor ddt cu fucţl crctrstc t ş R t t r for R t t t t stfl folosd rlţ dduc că fucţ crctrstcă vrl +Y st R t t t t t D rs d sus fucţ c trg cocluz că vrl ltor +Y r rrtţ olă cu rtr + ş d Tor 8 Broull U vt r roltt d rlzr tuc câd fc o sgură dtă rţ d cr st lgt Dcă st uărul d rlzăr l vtulu câd rtă rţ d ortuc l 5 orcr r f Dostrţ Vrl ltor cr r c vlor uărul d rlzăr l vtulu d rolă r rrtţ olă cu rtr ş Cofor Tor

76 v ş Vr Vrl ltor vlor d dsrs ş tr d ătrtcă v v tuc Vr Vr Vo folos cu Igltt lu Câşv tru vrl ş Oţ Dorc l d gltt d sus rzultă gltt 5 d Osrvţ 9 O îuătăţr gltăţ 5 st dtă d tor lu Borl cr su că î codţl Tor 8 r loc rlţ lcţ Î cdrul u rţ vtl ddt u roltăţl d rlzr Să s clculz vlor d ş dsrs uărulu d vt cr s rlzză tuc câd rţ r loc Rzolvr Să otă cu vrl ltor cr r c vlor uărul d vt cr s rlzză î cdrul rţ Vlorl vrl sut roltt c să vlor st cofor sch lu osso sch olă grlztă cofctul lu oloul d Q 6 ud Dcă scr dsfăşurt Q su for 76

77 77 Q 7 tuc tloul rrtţ vrl st : Su tuturor ltlor d l dou tloulu d sus st Îtrdvăr Q Vlor d vrl st Id d dostrţ tor st săător cu c Tor Vo drv oloul Q scrs su cl două for d sus 6 ş 7 Drvâd rlţ 7 oţ ' Q 8 d ud rzultă ' M Q d ltă rt rt drvâd rlţ 6 oţ ' Q 9 r tru dduc ' Q Rzultă că tru clcul dsrs vo clcul îtâ Îulţ rlţ 8 cu ş oţ ' Q

78 78 Drvâd gltt d sus rzultă '' ' Q Q tru dduc d rlţ d sus '' ' Q Q Dc '' '' ' Q Q Q Drvă cu rlţ 9 tru dtr ' ' Q ; oţ '' j j j j j j j j j j j j j j j j j j Q tru oţ d rlţ d sus ] [ ] [ ] [ ] [ '' Q D rlţ ş d rlţ d sus dduc că ] [ Folosd cu rlţl ş rzultă că dsrs lu st ] [ ] [ ] [ Vr O ltă todă slă tru clculul d ş dsrs vrl st urător: să otă cu vrl ltor cr r c vlor dcă s

79 rlzză ş dcă rrtţ tru vrll u s rlzză tru Tlourl d sut : tuc uărul vtlor cr s rlzză st dc d s v f Dorc vrll ltor dsrs vrl v f sut ddt tuc d Vr Vr [ ] tru lg olă st cuoscută ş su ul d lg Broull cu rtrul Vrl ltor cr urză lg Broull cu rtrul dt dor două vlor osl ş cu roltăţl d rlzr =- ş vâd tloul rrtţ : Vlor d ş dsrs vrl sut ş Vr O vrlă ltor cu rrtţ olă cu rtr ş dtă d Dfţ st su vrl ltor ddt cu rrtţ Broull cu clş rtru Lg olă cu ot gtv Lg gotrcă Dfţ Vrl ltor urză lg olă cu ot gtv r rrtţ olă cu ot gtv cu rtr ş * N dcă vlorl cu roltăţl C 79

80 8 ud =- Tloul rrtţ vrl ltor st : C C C lul O rţă s fctuză âă l c d- - rlzr uu vt lgt d Dcă roltt cstu vt câd s fc o sgură dtă rţ st tuc uărul d fctuăr l rţ st vrlă ltor cr r rrtţ olă cu ot gtv cu rtr ş Îtr-dvăr vtul } { s scr c trscţ două vt: î rl - fctuăr l rţ vtul s roduc d - or ş î - fctur rţ s roduc roltt rulu d cst două vt st C cofor sch lu Broull r roltt clu d-l dol st Dc C C Tor Dcă vrl ltor r rrtţ olă cu ot gtv cu rtr ş tuc vlor d ş dsrs s sut Vr Dostrţ Vlor d vrl ltor st C C C C tru clcul su sr d sus or d l dzvoltr î sr d utr fucţ ş u!! tru * N sr olă d sus s scr su for

81 8 C C C C su C C C C Folosd sr d sus cu = osrvă că su tuturor roltăţlor d l dou tloulu rrtţ vrl st Îtr-dvăr C C Nul rrtţ ol cu ot gtv rov d osrvţ că tr C sut tr grl dzvoltăr Rlţ s scr chvlt stfl C Drvâd rlţ oţ C 5 tru = d rlţ 5 dduc C 6 tuc vlor d vrl st folosd rlţ 6 C C tru clcul dsrs vrl vo clcul îtâ ş u

82 8 C C Îulţ rlţ 5 cu ş oţ C r drvr rlţ d sus rzultă C tru = d rlţ oţută dduc C Rzultă tuc că st r dsrs vrl ltor st ] [ Vr d roozţ Dcă vrl ltor r rrtţ olă cu ot gtv cu rtr ş tuc fucţ s crctrstcă st R t t t t 7 Dostrţ Cofor forul tru fucţ crctrstcă v

83 t C t t t t t R t cofor rlţ cr st dvărtă ş tru ur col C d t C t tru lg olă cu ot gtv cu rtrul s uşt lg gotrcă cu rtrul Tloul rrtţ u vrl ltor cu rrtţ gotrcă cu rtrul st urătorul : ud =- Cofor rlţlor ş 7 d dsrs ş fucţ crctrstcă l lu sut t Vr t t R t Lg hrgotrcă Dfţ Vrl ltor urză lg hrgotrcă r * rrtţ hrgotrcă cu rtr ş N dcă ot lu orc vlor îtrgă îtr ş ş C C [ ] C tru clculul d ş dsrs vrl ltor cu rrtţ hrgotrcă vo rsuu fără rstrâg grltt rol că ş dc ş tuc tloul rrtţ vrl st : C C CC C C C C C C C C 8

84 8 S osrvă că su roltăţlor d l dou tloulu d sus st Îtr-dvăr v C C C C C C C C lul Dcă dtr-o ură cr coţ l l ş l gr s trg l u cât u fără îtorcr l trs î ură su s trg l sult r st uărul d l l trs tuc r rrtţ hrgotrcă cu rtr ş cofor sch hrgotrc sch l îtors Tor Dcă vrl ltor r rrtţ hrgotrcă cu rtr ş cu ş tuc vlor d ş dsrs s sut Vr ud Dostrţ Vlor d vrl ltor st C C C C C C C C tru clculul dsrs vo clcul îtâ d vrl ; v C C C C C C C C C C C C C C Dc dsrs lu st

85 85 ] [ Vr Folosd odlul ur d lul vlor d vrl d rolă s ot clcul ş î flul urător Cosdră o ură cu l l ş l gr d cr s trg u cât u l fără îtorcr l î ură ş cosdră vrll ltor tru ud vrl r c vlor uărul d l l oţut l trgr dcă oţ lă lă ş dcă oţ lă gră tru v Dc tloul rrtţ vrl st : tru vrl oţ î ură u răs +- l / / / / Dc tloul rrtţ vrl st : tru vrl v î ură u răs +- l ] / / / / [ ] / / / / [ / /

86 86 săător s rtă că Dc tloul rrtţ vrl st : S rtă î clş od că tot vrll u clş tlou d rrtţ : dş l sut vrl ddt Cu jutorul vrllor vrl s scr dc d vrl st tru dsrs u ut scr că Vr st glă cu Vr dorc vrll u sut ddt d 5 Lg osso lg vtlor rr Dfţ 5 Vrl ltor urză lg osso r rrtţ osso cu rtrul dcă ot lu orc vlor îtrgă oztvă ş! 5

87 87 Tloul rrtţ vrl st!!!! : tru vrfc că su roltăţlor d l dou tloulu d sus st vo folos dzvoltr î sr d utr fucţ f ş u!!! R 5 Folosd rlţ 5 tru v! Tor 5 Dcă vrl ltor r rrtţ osso cu rtrul tuc vlor d ş dsrs s sut Vr 5 Dostrţ Vlor d vrl st!! tru dsrs clculă îtâ d vrl Oţ!!!!! tuc dsrs lu st ] [ Vr d

88 88 roozţ 5 Dcă vrl ltor r rrtţ osso cu rtrul tuc fucţ s crctrstcă st R t t t 5 Dostrţ Folosd forul d clcul d l fucţ crctrstcă v!!! R t t t t t t t d Tor 5 Vrll ltor ddt ş u rrtţ osso cu rtr ş rsctv tuc vrl ltor r rrtţ osso cu rtrul Dostrţ Vrl ltor r c vlor F îtrg tuc v!!!! C j j j j j j j j j j j j j j j j j j Dduc stfl că vrl ltor r rrtţ osso cu rtrul Folosd fucţl crctrstc l vrllor rt cu jutorul forul 5 ş u R t t t t t dduc că fucţ crctrstcă vrl st R t t t t t t t D rs d sus fucţ crctrstc rzultă că vrl r rrtţ osso cu rtrul d Lgătur dtr rrtţ olă ş rrtţ osso st dtă d urător toră

89 Tor 55 F N ft r tru cosdră vrll cr u rrtţ ol cu rtr ş stfl îcât tot să ă cş vlor d tuc r loc rlţ l! 55 Rzolvr Dorc vrll u cş vlor d dduc cofor r rlţ d 5 că vlor d cstor vrl st Dc / tuc oţ l l C l l! dcă rlţ 55 l!! d Osrvţ 56 Rlţ 55 rtă că dcă st sufct d c ş sufct d r tuc ut ro rrtţ olă cu rtr ş r rrtţ osso d rtru D cst otv rrtţ osso s uşt lg vtlor rr Dcă ş 5 tuc rrtţ osso cu rtrul st o uă ror rrtţ ol cu rtr ş lcţ 57 Să s clculz otl ţl ş rcu ş otl ctrt ş tru o vrlă ltor cu rrtţ osso cu rtrul Rzolvr D dostrţ tor 5 şt că r Motul ţl d ordul l trl l vrl st! Dorc vo scr stfl 89

90 9!!!!!! o otul ctrt d ordul l trl st tru otul ţl d ordul l trul v! Dorc 7 6 otul s scr stfl! 6!!! 7! 6! !! 7 o otul ctrt d ordul l trul st

91 Ctolul Lg clsc d roltt rrtţ l vrllor ltor cotu Itroducr Vo rzt î cst ctol rcll lg d roltt l vrllor ltor cotu ş u: lg cotuă uforă rctgulră lg orlă Guss-Llc lg log-orlă lg g lg t lg Hlrt-rso lg Studt t ş czul său rtculr lg Cuch lg Sdcor ş lg Fshr lg Wull ş czul său rtculr lg oţlă Lg cotuă uforă rctgulră Dfţ Vrl ltor urză lg cotuă uforă rctgulră r rrtţ uforă cu rtr ş R dcă dstt s d roltt rrtţ st fucţ f Osrvă că fucţ f st o dstt d roltt dorc f R ş f d d Fucţ d rrtţ vrl st 9

92 9 F Grfcl fucţlor f ş F sut dt î Fgur ş rsctv Fgur Fgur Fgur Tor Dcă vrl ltor r rrtţ uforă cu rtr ş tuc vlor d ş dsrs s sut Vr Dostrţ Vlor d vrl st d d f r dsrs s st d d f Vr d roozţ Fucţ crctrstcă u vrl ltor cu rrtţ uforă cu rtr ş st

93 9 * t R t t t t t Dostrţ tru t v t t t t t t t d d f t r d f d lcţ Să s clculz otl ş tru o vrlă ltor cu rrtţ uforă cu rtr ş Rzolvr Motul ţl d ordul l dol st d d f o otul ţl d ordul l trl st d d f r otul ctrt d ordul l trl st d d f

94 lcţ 5 Vrll ltor ş Y sut ddt r rrtţ uforă trvlul [] r Y r rrtţ uforă trvlul [] Să s clculz dstt d roltt vrl +Y Rzolvr Dcă f ş f sut dstăţl d roltt l vrllor ltor ş rsctv Y tuc f d ş f d Dduc d cst rlţ că rtr vrl sut ş r rtr vrl Y ş tuc dstăţl d roltt vor v for sut f [] [] f [] [] Dorc ş Y sut ddt dstt d roltt vrl +Y st dtă d forul f f f d Osrvă că f tru [] su chvlt [ ] r f tru [] Dc f f tru [ ] [] v urătorl tru czur: Dcă [] tuc [ ] [] dc f Dcă [ tuc [ ] [] [ ] ş f f f d d c Dcă [ tuc [ ] [] [ ] ş f f f d d d Dcă [] tuc [ ] [] [ ] ş f f f d d 9

95 Dc dstt d roltt vrl +Y st fucţ / / f / [ [ [] [] Lg orlă Guss-Llc Lg orlă stdrd lg orlă ctrtă rdusă Dfţ Vrl ltor urză lg orlă Guss-Llc r rrtţ orlă cu rtr ş R dcă dstt s d roltt rrtţ st fucţ f ; R O vrlă ltor cu rrtţ orlă cu rtr ş s otză cu N Fucţ f d sus s uşt dstt d rrtţ orlă su gussă Osrvă că f st o dstt d roltt dorc f R ş f d Îtr-dvăr tru vrfc ult rlţ î tgrl d sus fc schr d vrlă Rzultă că d d Dcă tuc r dcă tuc Oţ stfl f d d d folost sus tgrl lu ulr-osso d / Grfcul fucţ f r foră d cloot vz Fgur Drt d cuţ st ă d str tru cst grfc r tru s oţ vlor ă fucţ f ş u uctl ş sut uct d flu 95

96 Fgur tru ş fucţ f dtă d rlţ dv f ; R Vo su dsr o vrlă ltor cr r c dstt d roltt fucţ că urză lg orlă stdrd su lg orlă ctrtă rdusă tru dtr fucţ d rrtţ F ; u vrl ltor cu rrtţ orlă cu rtr ş vo dtr îtâ fucţ d rrtţ tru o vrlă ltor cu rrtţ orlă stdrd ottă cu F; ş ută fucţ d rrtţ orlă stdrd Cofor rlţ d lgătură dtr f ş F v F ; f t; dt f t; dt f t; dt t / ud dt Fucţ d sus s uşt fucţ tgrlă lu Llc tru vlorl căr sut îtoct tl Dcă vrl ltor urză lg orlă cu rtr ş tuc vrl ltor Y urză lg orlă cu rtr ş Îtr-dvăr dcă F st fucţ d rrtţ vrl Y tuc F Y F ; r dstt d roltt vrl Y st 96

97 97 ; ; / ' R f f F f Dc ; R F F dcă vrl Y urză lg orlă cu rtr ş D ult rlţ ş rlţ oţ ; ; R F F 5 Rzultă stfl că tru vrl ltor cu rrtţ orlă cu rtr ş fucţ d rrtţ st ; ; F F 6 Tor Dcă vrl ltor r rrtţ orlă cu rtr ş tuc vlor d ş dsrs s sut Vr 7 Dostrţ Vlor d vrl ltor st ; d d f Î tgrl d sus vo fc schr d vrlă d ud rzultă ; d d tru rzultă r tru rzultă Dc oţ ; / / / d f d d d Dsrs vrl st ; d d f Vr

98 98 Folosd schr d vrlă d sus oţ / / ' / / / / d d d d d Vr Dduc d c că tr d ătrtcă vrl st d roozţ Dcă vrl ltor r rrtţ orlă cu rtr ş tuc fucţ s crctrstcă st R t t t t 8 Dostrţ Fucţ crctrstcă vrl st ] [ R t d d d d d f t t t t t t t t t t Folosd schr d vrlă u t oţ R t du t t t u t t d roozţ Dcă vrl ltor r rrtţ orlă cu rtr ş r R tuc ; 9

99 99 Dostrţ D rlţ 6 ş cotutt fucţ F dduc că ; ; F F Cofor rlţ 9 oţ dorc fucţ st ră d Osrvţ 5 Dcă luă î rlţ rzultă 997 Rlţ su că ro tot vlorl vrl sut stut î trvlul gltt d st cuoscută su ul d rgul clor şs roozţ 6 Dcă vrl ltor r rrtţ orlă cu rtr ş tuc otl sl ctrt sut!! * N ud 5!! Dostrţ Motul ctrt d ordul st d d f Oţ stfl Vr d f d f

100 tru î tgrl d rlţ vo fc schr d vrlă d ud dduc că d d; o tru rzultă r tru rzultă Oţ tuc d d ' d Dc ddus rlţ d rcurţă Dorc d rlţ d sus rzultă rlţl d roozţ 7 Dcă vrl ltor ddt ş Y u rrtţ orl cu rtr ş rsctv ş tuc vrll +Y ş -Y u rrtţ orl cu rtr ş rsctv ş Dostrţ Vo clcul îtâ dstăţl d roltt tru vrll +Y ş -Y tru czul rtculr ş Dcă otă cu f ş g dstăţl d roltt l vrllor ş Y tuc cofor rlţ v d f g / R Dstt d roltt vrl +Y st

101 / R dz d d d d g f h z z Dduc stfl că +Y urză ş lg orlă cu rtr ş săător tru dstt d roltt vrl ltor -Y oţ / R dz d d d d g f z z Rzultă că -Y urză lg orlă cu rtr ş Î czul grl l vrllor ş Y cu rrtţ orl cu rtr ş rsctv ş ut să fc u clcul săător clu d sus su s ot rţo slu folosd fucţl crctrstc l vrllor Cofor rlţ 8 fucţl crctrstc l vrllor ş Y sut R t t t t t t t tuc fucţ crctrstcă vrl ltor +Y st R t t t t t t S osrvă că st toc fucţ crctrstcă corsuzător lg orl cu rtr ş săător fucţ crctrstcă vrl ltor -Y st

102 ~ t t t t t t R S osrvă că ~ st fucţ crctrstcă corsuzător lg orl cu rtr ş d Lg orlă rrztă czul ltă l ultor lg d roltt stfl ţoă urătorul rzultt d lgătură îtr rrtţ orlă ş rrtţ osso Tor 8 Dcă vrl ltor r rrtţ osso cu rtrul tuc fucţ d rrtţ vrl ltor td cătr fucţ d rrtţ orlă stdrd tru Î otzl Tor 8 s su că vrl ltor stotc orlă st Lgătur dtr rrtţ olă ş rrtţ orlă st dtă î urător toră Tor 9 Movr-Llc Dcă vrl ltor r rrtţ olă cu rtr ş u dd d r r rrtţ orlă stdrd tuc l / d Tor 9 su că tru vlor r l lu ut folos tll lg orl tru studul vrllor ltor cu rrtţ ol tru stă urător rgulă rctcă cr rt să roă rrtţ olă r c orlă: - Dcă tuc ror st fort uă - Dcă 5 tuc ror st cctlă dcă u st vo d r rcz - Dcă 5 tuc u s folosşt cstă ror Tor lu Movr-Llc st u cz rtculr l ş ut Tor ltă ctrlă cr su că fucţ d rrtţ u su d vrl ltor ddt td î codţ dstul d grl cătr fucţ d

103 rrtţ orlă D ft r Tor ltă ctrlă s îţlg u gru d tor cr trtză rol rrtţ ltă sulor d vrl ltor u îtotdu ddt Rzulttul cl grl î czul vrllor ltor ddt st tor lu Ldrg-Fllr Î lcţ st fort utl u cz rtculr l cst tor rztt jos Tor Luov F vrll ltor ddt cu dl ş dsrsl Vr cr u ot ctrt solut d ordul l trl Dcă l ud ş tuc l F ; d rrtţ vrl ltor F ud F st fucţ lcţ S rucă o odă d 56 d or Cr st roltt c uărul d rţ l st să f curs îtr ş? Rzolvr Să otă cu vrl ltor cr r c vlor uărul d rţ l st tuc câd s rucă od d 56 d or Vrl r rrtţ olă cu rtr =56 ş =/ roltt c l o rucr să ră st Î cstă lcţ tru să clculă << Dorc ==8 r 8 tuc r loc rlţ 8 8 Vo folos Tor 9 Movr-Llc ş vo ro rrtţ 8 cu rrtţ orlă stdrd Y Oţ 8 8 Y 95 8 lcţ D cât or tru să rucă u zr corct stfl îcât roltt c tr frcvţ rltv fţ d l uărul =/6 să f cursă îtr - ş st 95 Rzolvr

104 Dcă î rucăr fţ r d or vo dtr stfl îcât să ă loc rlţ 95 5 Rlţ 5 s ot scr stfl Folosd rlţl ş 9 cu tru d rlţ 6 dduc că F Folosd u tl cu vlorl fucţ rzultă că 8 / 5 96 Oţ 598 Dc tru să rucă zrul d 59 d or tru f vrfctă rlţ 5 lcţ O şă roduc o să crculră s st uă dcă dtrul său d st curs îtr 99 c ş c Cr st roltt roducr u s dfct d cătr ş rsctvă ştd că d r rrtţ orlă cu d c ş tr d ătrtcă 5 c? Rzolvr Cofor forul 9 roltt c o să să f uă st 99 d Rzultă tuc că roltt c s să f dfctă st -97=6

105 lcţ O şă roduc o să crculră Câd ş st rgltă dtrul d l slor r rrtţ orlă cu d c ş tr d ătrtcă 8 c S u l îtâlr s frct d şă ş s costtă că d rttcă dtrlor cstor s st c S ot fr că ş s- drglt? Rzolvr F d d d d dtrl clor s ls l îtâlr cst sut vrl ltor ddt cu rrtţ orl cu d c ş tr d ătrtcă 8 tuc vrl d d d d d / r d s rrtţ orlă cu d c ş tr d ătrtcă c Îtr-dvăr v d d d d d d d d d Vr d Vr 6 d Vr d 6 Cofor rgul clor şs rlţ v d d 997 d 997 d ud rzultă că 988 d 997 D cstă ultă rlţ dduc că d vlor î fr trvlulu 988; cu o roltt că d Dc st ro sgur că ş s- dfctt Lg log-orlă Dfţ Vrl ltor urză lg log-orlă logrtcă orlă r rrtţ log-orlă cu rtr ş R dcă dstt s d roltt rrtţ st fucţ l f ; Fucţ f d st o dstt d roltt dorc f R ş f d Îtr-dvăr tru ult rlţ v 5

106 6 l l dt d d f t t Fucţ d rrtţ vrl log-orl cu rtr ş st F tru r tru > st ; l l l l F du dt t dt t f F u u t t ud F; st fucţ d rrtţ orlă stdrd Dduc d ult rlţ că tru vlorl oztv l lu vrl Y l urză lg orlă stdrd Tor Dcă vrl ltor r rrtţ log-orlă cu rtr ş tuc otl ţl d ordul sut * N Dostrţ Cofor forul tru otl ţl d ordul v ] [ ] [ l l d d d d d d d f Notă u / ş oţ u du d

107 D rlţ dduc că d ş dsrs vrl cu rrtţ log-orlă cu rtr ş sut Vr [ ] Lg g Dfţ Vrl ltor urză lg g r rrtţ g cu rtrul dcă dstt s d roltt rrtţ st fucţ f ud d st tgrl lu ulr d l dol t su fucţ g lu ulr Fucţ f d st o dstt d roltt dorc f R ş f d d Î roozţ urător vo rzt câtv rortăţ l fucţ tru dostrţl lor vz [] roozţ Itgrl fucţ lu ulr d R vrfcă urătorl rortăţ: st covrgtă tru > ş dvrgtă tru ; ; * c! N ; d / Tor Dcă vrl ltor r rrtţ g cu rtrul tuc otl ţl d ordul sut 7

108 8 * N Dostrţ Motul ţl d ordul st d d f folost sus rortt d roozţ d D rlţ dduc că d ş dsrs vrl cu rrtţ g cu rtrul sut ] [ Vr Dfţ Vrl ltor urză lg g grlztă r rrtţ g grlztă cu rtr ş dcă dstt s d roltt rrtţ st fucţ f Îtr-u od săător cu dostrţ Tor s rtă urător toră Tor 5 Dcă vrl ltor r rrtţ g grlztă cu rtr ş tuc otl ţl d ordul sut * N 5 dc d ş dsrs s sut ] [ Vr 6

109 roozţ 6 Dcă vrl ltor r rrtţ g grlztă cu rtr ş tuc fucţ s crctrstcă st t t t R 7 Dostrţ tru dtrr fucţ crctrstc vrl vo folos forul cr dă otul d ordul l vrl î fucţ d drvtl fucţ crctrstc c î uctul ş u rcu ş dzvoltr î sr d utr fucţ cr r for urător t t!! t t! Folosd forul 5 tru otl ţl l vrl oţ tru fucţ crctrstcă forul d t t! t! t! t t R D rlţ 7 tru dduc că fucţ crctrstcă u vrl cu rrtţ g cu rtrul st t t t R 8 roozţ 7 Dcă vrll ltor ddt ş Y u rrtţ g cu rtr ş rsctv tuc vrl +Y r rrtţ g cu rtrul + Dostrţ Să otă cu f ş g dstăţl d roltt tru vrll ş Y Dc 9

110 g f Dstt d roltt h vrl +Y st d g f h Dcă tuc d g f d g f h î r tgrlă g= r î dou tgrlă f-= Dcă tuc f tru r g tru Dc g f dcă ] [ ş tuc d d d g f h tru clculul ult tgrl d sus fc schr d vrlă =t dc d=dt; tru rzultă t r tru rzultă t Oţ stfl B dt dt t t h Rzultă că vrl +Y r rrtţ g cu rtrul + Cocluz cst roozţ o ut oţ drct folosd fucţl crctrstc F ş fucţl crctrstc l vrllor ş Y ş u R t t t t t tuc fucţ crctrstcă vrl ltor +Y st R t t t t t

111 Dduc d rlţ oţută că +Y r rrtţ g cu rtrul + d roozţ 8 Dcă vrl ltor urză lg orlă cu rtr ş tuc vrl ltor Y r o rrtţ g cu rtrul / Dostrţ Să otă cu G fucţ d rrtţ vrl Y Dorc Y tuc tru rzultă că Y F tru v / t dt Y G tuc tru dstt d roltt g vrl ltor Y st ' / G g r tru g= Dorc / cofor roozţ d dduc for fucţ g ş u / / g dcă vrl Y r rrtţ g cu rtrul / d lcţ 9 Să s clculz otl ctrt ş tru o vrlă ltor cu rrtţ g cu rtrul Rzolvr Motul ctrt d ordul l trl st

112 d f d f d f d f d f r otul ctrt d ordul l trul st d f d f d f d f d f d f 5 Lg t Dfţ 5 Vrl ltor urză lg t r rrtţ t cu rtr ş dcă dstt s d roltt rrtţ st fucţ B f 5 ud d B st tgrl lu ulr d rul t su fucţ t lu ulr Fucţ f d rlţ 5 st o dstt d roltt dorc R f ş d B d f Î roozţ urător vo rzt câtv rortăţ l fucţ B tru dostrţl lor vz [] roozţ 5 Itgrl lu ulr R d B vrfcă urătorl rortăţ B st covrgtă tru > ş > ş î rst st dvrgtă;

113 ; B B c ; B B d ; B B ; B B f ;! * N B B g ;!!! * N B h ; B B B ; B B j ; dt t t B ; B l s B Tor 5 Dcă vrl ltor r rrtţ t cu rtr ş tuc otl ţl d ordul sut * N 5 Dostrţ Motul ţl d ordul st

114 B B B B B B d B d f cofor roozţ 5 c d D rlţ 5 dduc că d ş dsrs vrl cu rrtţ t cu rtr ş sut ] [ Vr 5 6 Lg Hlrt-rso Dfţ 6 Vrl ltor urză lg Hlrt-rso r rrtţ cu rtrul * N dcă dstt s d roltt rrtţ st fucţ f 6 rtr d Dfţ 6 s usc grd d lrtt stfl că o să su că r rrtţ cu grd d lrtt Fucţ f d rlţ 6 st o dstt d roltt dorc R f ş d d f

115 5 tru vrfcr rlţ d sus fc î tgrl dtă schr d vrlă /= d ud rzultă d=d; dcă tuc r dcă tuc Oţ stfl d d d f Î Fgur 6 sut rrztt grfc fucţl f tru dvrs vlor l rtrulu Fgur 6 Tor 6 Dcă vrl ltor r rrtţ cu grd d lrtt tuc otl ţl d ordul sut * N 6 Dostrţ Motul ţl d ordul st d d f

116 6 Cu cş schr d vrlă d sus folostă tru clculul tgrl d f oţ d d d D rlţ 6 dduc că d ş dsrs vrl cu rrtţ cu grd d lrtt sut ] [ Vr 6 Dfţ 6 Vrl ltor urză lg grlztă r rrtţ grlztă cu rtr ş * N dcă dstt s d roltt rrtţ st fucţ f 6 Îtr-u od săător cu dostrţ Tor 6 s rtă urător toră Tor 6 Dcă vrl ltor r rrtţ grlztă cu rtr ş * N tuc otl ţl d ordul sut * N 65 dc d ş dsrs s sut ] [ Vr 66

117 roozţ 65 Dcă vrl ltor r rrtţ * rtr ş N tuc fucţ s crctrstcă st grlztă cu t t t R 67 Dostrţ Folosd forul d dostţ roozţ 6 oţ t t t!! d t t t R! D rlţ 67 tru dduc că fucţ crctrstcă u vrl cu rrtţ cu grd d lrtt st t t t R 68 Lgăturl dtr rrtţ urătorl două tor ş rrtţ orlă sut rztt î Tor 66 Dcă vrl r rrtţ cu grd d lrtt tuc dstt d roltt vrl td tru cătr dstt d rrtţ orlă stdrd Tor 67 Dcă fcr dtr vrll ltor ddt r rrtţ orlă stdrd tuc vrl ltor r rrtţ cu grd d lrtt roozţ 68 Dcă vrll ltor ddt ş Y u rrtţ cu rsctv grd d lrtt tuc +Y r rrtţ cu + grd d lrtt Dostrţ Să otă cu f ş g dstăţl d roltt l vrllor ş Y dcă v 7

118 8 g f tuc dstt d roltt vrl +Y st d g f h Folosd u rţot săător clu îtâlt î dostrţ roozţ 7 dduc că h r tru oţ d d h Notă =t d ud rzultă d=dt; dcă tuc t r dcă tuc t Oţ B dt t t dt t t h Dduc că +Y r rrtţ cu + grd d lrtt

119 9 Cocluz cst roozţ o ut oţ drct folosd fucţl crctrstc F ş fucţl crctrstc l vrllor ş Y ş u R t t t t t tuc fucţ crctrstcă vrl ltor +Y st R t t t t t Dduc d rlţ oţută că +Y r rrtţ cu + grd d lrtt d 7 Lg Studt t Lg Cuch Dfţ 7 Vrl ltor urză lg Studt t r rrtţ Studt cu rtrul * N dcă dstt s d roltt rrtţ st fucţ R f 7 rtr d Dfţ 7 s usc grd d lrtt stfl că o să su că r rrtţ Studt cu grd d lrtt Fucţ f d rlţ 7 st o dstt d roltt dorc R f ş d f tru vrfc ult rlţ v d d d f

120 Î ult tgrl d sus fc schr d vrlă / d ud rzultă d d Itrvlul [ s trsforă î trvlul [ ş stfl oţ / B d d f Î rlţl d sus folost rortăţl j ş l fucţ B d roozţ 5 ş rortt d fucţ d roozţ Tor 7 Dcă vrl ltor r rrtţ Studt cu grd d lrtt tuc otl ţl d ordul sut!! * N 7 Dostrţ tru otl d ord r sut ul Îtr-dvăr d 7 dorc fucţ f st ră tgrl d sus st covrgtă Dcă tgrl d 7 st dvrgtă dc u r ot ţl d ordul tru otul d ord r cu v

121 d 7 tru clculul ult tgrl folos cş schr d vrlă c c folostă sus tru vrfcr rlţ d f Notă / d ud rzultă d d Itrvlul [ s trsforă î trvlul [ ş stfl oţ d d d Folosd rortăţl fucţ B d roozţ 5 dduc d rlţ d sus B

122 !! Dcă tgrl d rlţ 7 st dvrgtă dc vrl u r ot ţl d ordul d D rlţl 7 dduc că dcă > tuc d vrl st r dcă > tuc dsrs vrl st Vr Lgăturl dtr rrtţ Studt ş rrtţ orlă sut rztt î urătorl două tor Tor 7 Dcă f st dstt d roltt u rrtţ Studt cu grd d lrtt tuc ; l R f f ud ; f st dstt d rrtţ orlă stdrd Tor 7 Dcă fcr dtr vrll ltor ddt r rrtţ orlă cu rtr ş tuc vrl ltor r rrtţ Studt cu grd d lrtt tru lg rrtţ Studt s uşt lg rrtţ Cuch O vrlă ltor cu rrtţ Cuch r dstt d roltt fucţ R f

123 D osrvţl făcut duă dostţ Tor 7 dduc că vrl ltor cu rrtţ Cuch u r c vlor d ş c dsrs 8 Lg Sdcor Lg Fshr Dfţ 8 Vrl ltor urză lg Sdcor r rrtţ Sdcor cu rtr ş * N dcă dstt s d roltt rrtţ st fucţ f 8 rtr ş d Dfţ 8 s usc grd d lrtt stfl că o să su că r rrtţ Sdcor cu ş grd d lrtt Fucţ f d rlţ 8 st o dstt d roltt dorc R f ş d f tru vrfc ult rlţ v d d f Î ult tgrlă d sus fc schr d vrlă / stfl oţ

124 B d d d f Tor 8 Dcă vrl ltor r rrtţ Sdcor cu rtr ş * N tuc otl ţl d ordul sut * N 8 Dostţ Vrl r ot ţl d ordul tru v d d f tru clculul ult tgrl folos cş schr d vrlă c c folostă sus tru vrfcr rlţ d f Notă / ş oţ d

125 5 B d d D rlţ 8 dduc că tru d vrl st r tru dsrs vrl st Vr Lgătur dtr rrtţ orlă ş rrtţ Sdcor st dtă î urător toră Tor 8 Dcă vrll ltor ddt urză lg orlă cu rtr ş tuc vrl ltor

126 6 r rrtţ Sdcor cu rtr ş Dfţ 8 Vrl ltor urză lg Fshr r rrtţ Fshr cu rtr ş * N dcă dstt s d roltt rrtţ st fucţ R f 8 Tor 85 Dcă vrl ltor r rrtţ Sdcor cu rtr ş tuc vrl ltor Y l r o rrtţ Fshr cu rtr ş Dostrţ Dcă otă fucţ d rrtţ cu F tuc fucţ d rrtţ G vrl Y st l l R F Y G Dc dstt d roltt vrl Y st ' ' R f F G g d

127 7 9 Lg Wull Lg oţlă Dfţ 9 Vrl ltor urză lg Wull r rrtţwull cu rtr ş dcă dstt s d roltt rrtţ st fucţ f 9 Fucţ f d 9 st o dstt d roltt dorc R f ş d d f Îtr-dvăr tru vrfcr ult rlţ fc schr d vrlă d ud rzultă / / ş d d tuc d d d f Tor 9 Dcă vrl ltor r rrtţ Wull cu rtr ş tuc vlor d ş dsrs s sut Vr 9 Dostrţ Folosd schr d vrlă d sus oţ tru d vrl d d d tru dsrs lu clculă îtâ d lu v d d

128 tuc dsrs lu st d Vr tru lg rrtţ Wull s uşt lg oţlă rrtţ oţlă d rtru Dc dstt d roltt u vrl ltor cu rrtţ oţlă cu rtrul st f D rlţ 9 rzultă că d ş dsrs u vrl ltor cu rrtţ oţlă cu rtrul sut Vr [ ] dorc Osrvţ 9 Rrtţ oţlă cu rtrul st o rrtţ g grlztă cu rtr ş roozţ 9 Dcă vrl ltor r rrtţ oţlă cu rtrul tuc fucţ s crctrstcă st t t t R 9 Dostrţ D Osrvţ 9 ş rlţ 7 d roozţ 6 dduc că fucţ crctrstcă vrl st dtă d rs d 9 Fucţ crctrstcă s ot clcul ş drct folosd forul d dfţ s v t t tru I oţ t f d t [cos t s t] d cos t d s t d I d t d I 8

129 I cos t d t t s t d cos t t t d ' cos t d ' t s t d cos t d cos t s t t Rzultă stfl rlţ I I d ud oţ că I tru t t I d rlţl d sus dduc I Oţ stfl tru t t t rs t t R d lcţ 95 F vrll ddt ş cu rrtţ oţl cu rtr rsctv Să s dtr dstt d roltt vrl Să s grlzz o rzulttul oţut l czul vrl ltor ddt cu rrtţ oţl cu clş rtru Rzolvr Să otă cu f ş f dstăţl d roltt l vrllor ş dcă f f Dcă tuc dstt d roltt f vrl st tru r tru v f f f d d d Dc fucţ f r for f 9

130 Dcă tuc f r tru oţ f d d Dc dstt d roltt vrl st f tru tr vrl ltor ddt cu rrtţ oţl cu rtrul dstt d roltt vrl st h ş tru v h Dc d d h r ducţ ttcă s rtă că tru vrll ltor ddt cu rrtţ oţl cu rtrul dstt d roltt vrl st fucţ! Rzultă că vrl r o rrtţ g grlztă cu rtr ş

131 Ctolul 5 Covrgţ vrllor ltor 5Covrgţ ro sgură ş covrgţ î roltt F ΩK u sţu rolzt ş u şr d vrl ltor F d s o ltă vrlă ltor C îsă că td l? Dsgur vrll ltor sut fucţ :Ω tru fucţ s şt dj c îsă că covrg l : că ω ω tru orc ω Ω M stă ş oţu d covrgţă uforă: u dcă su ωω ω ω Î tor roltăţlor cst două tur d covrgţă u r sut d folos Stuţ tcă îtîltă î rctc sttstcă st urător: s fc u rt cu rzulttl osl r r Rzulttul oţut l l -ul rt st D lu s rucă u zr dsr cr u şt dcă st corct su flsfct; î cst cz rzulttl sut 56 Nu v cu să rzc rzulttul dr ut sr să roă roltăţl d rţ rzulttulu r dcă fc ul otz cctl D lu dcă cctă că tot vrll ltor u cş rrtţ F ut uăr roctjl f d rţ rzulttulu r ş sr că l u dfră ult d dvărtl roltăţ D ltfl d c ş ort tor roltăţlor Î czul zrulu ostru ut să îl rucă d 6 d or d lu ş să vd dcă frcvţl oţut dfră ult d Dcă d docdtă u şt c îsă r ult s v vd l ctolul rvd trvll d îcrdr ut sr că dcă o să ăr uărul d rucăr l zrulu vo ro d c î c ult d dvărtl vlor r Să forlză uţ cottul v u şr d vrl ltor cr sut dtc rrtzt cu rrtţ cuoscută r F r r Vr să găs url

132 tru cst clculă vlorl că ot Y covrg l dcă cst st rol d ză Nu ut ştt c j : j r Y ş gîd Y să covrgă l î ssul oşut l cuvîtulu dcă să ă loc covrgţ tru orc scru : d lu s-r ut c rzulttul r să ră ru su c ăcr să u ră dş Dr ot că Y covrg l î jortt covîrştor czurlor? Îtr-dvăr ş s îtîlă dcă s dugă şt otz cst st lg urlor r M îtî să lăur c îsă î jortt covîrştor czurlor : îsă ro sgur Dfţ 5 Su că covrg l -ro sgur ş scr s su od dcă l su l f Dcă l su l f su că st u şr - covrgt ro sgur Osrvţ 5 Dcă roltt s suîţlg ut ruţ l ltr s ş scr dor Osrvţ 5 vdt că dcă s covrg l uctul - î ssul oşut l cuvîtulu - tuc L fl d vdt st că dfrţ îtr covrgţ uctulă ş c ro sgură ot f fort r Osrvţ 5 Tot vdt st că lt ro sgură uu şr d vrl ltor u st ucă c u ucă ro sgur Îtr-dvăr s dcă ş Y s tuc ut l fl d să su că s Y s s Osrvţ 55 L fl d vdt st că dorc l su l f l su l f lu 56 F Ω = K = B ω = sω Şrul st dvrgt sgurl uct ω î cr l 5 5

133 covrg sut cl d for ω = Totuş s dorc Su dcă schă uţ ş luă s cst covrg l cu cţ uctlor d for / + Dcă luă d dt cst / 5 / / 5 / tuc s 5 5 lul 57 F Ω = [ K = B[ = Ufor = ăsur Lsgu Ω! ş u şr strct crscător d ur oztv cu rortt că l dr l ş î lus D lu ut lu l su F d [ ] rt zclă lu = d[ + := d : [ + ş = Osrvă că = + D lu dcă l tuc [ l ] [l [l [l l tc [l [l 5 tuc lsu = Ω ş lf = dc l su l su ş l f = Îtr-dvăr lsu d [ d [ d [ r l f d[ = lul 57 st uul tr î cr lt suroră ş c froră u cocd căr lul 58 F sţu rolzt d l lul tror tuc covrg vdt l dc covrg ş s Cu ut dcd dcă d? Î czul cl slu u răsus st dt roozţ 59 F ΩK u sţu rolzt ş vt d K rsuu că sr s u şr d st covrgtă tuc Dostrţ

134 F B Cu B ş sr st covrgtă B Dr şrul d ulţ B st ooto dscrscător dc B cu B = B ş B l B B Dr lsu = l su B B d ud l f lsu Cu lsu lf B = urză că şrul B covrg ro sgur ut lu c ltă s orc vrlă ltor ud st o ulţ gljlă Cl slu să su că d D c rzultă u crtru ortt cu cr ut vrfc dcă roozţ 5 F tru orc > sr Dostrţ F B = ωω : N s u şr d vrl ltor rsuu că st covrgtă tuc s ω u covrg l tuc B = N B ud B =ωω : ω> /N d o ftt d or Cu şrul d ulţ B st crscător B = l B N lcă d ou rortt d cotutt ootoă roltăţ Dr sr / N st covrgtă dc B N = N d ud B = d Osrvţ 5 Codţ d roozţ d sus u st dcît sufctă u ş csră D lu dcă v u şr dscrscător d ulţ cu = / tuc st u şr dscrscător dc r o ltă d for cu = s Dc Cu = ut scr cofor osrvţ că Osrvţ 5 Covrgţl oşut sut dt d o dstţă dcă ut scr că > stă stfl c d cst covrgţ u urător rortt: dcă d orc suşr l lu s ot trg u su-suşr cr st covrgt ş lt s st cş să zc tuc Îr-dvăr dcă l tuc N N N

135 stă u > ş u suşr stfl c d dc d suşrul u ut trg c u su-suşr cr să tdă l Su că cst covrgţ sut toologc Covrgţ ro sgură u st toologcă Îtr-dvăr dcă ută l lul tr 7 î cr şrul u r solut c o ltă ro sgură vd că l r rortt cudtă că d orc suşr l său s ot trg u su-suşr cr covrg l Motvul st că ltfl zs şrul covrg totuş l dr î roltt Dfţ 5 Su că şrul d vrl ltor covrg î roltt l ş scr dcă l D dfţ rzultă dt că u şr d for = covrg î roltt l dcă ş u dcă cst st czul lulu 7 cr rtă cu s r ot c u şr dvrgt ro sgur să covrgă totuş î roltt Covrgţ î roltt st u ult uşor d ult dorc st toologcă: rov d l dstţă roozţ 5 F Y două vrl ltor Df dy = Y tuc fucţ d st o sdstţă sţul LΩK l tuturor vrllor ltor ş î lus v chvlţ d Dostrţ Cu st vdt că + + st clr că d st o sdstţă: dy + dyz = [ Y + Y Z ] Z d ltă rt dcă otă cu Z vrl ltor Y osrvă că dcă ut scr Z = Z ; Z + Z ; Z > Z + Z > d ud Z + Z > 5 o Z ; Z + Z ; Z > Z ; Z > ; Z > d ud Z Z > 5 D 5 ş 5 dduc clştl Z > Z + Z > 5 Să rsuu cu că d D r gltt d l 5 dduc gltt > dcă > d l > = ; şdr d Rcroc dcă tru orc > v că l > = d dou gltt d l 5 rzultă că l su d tru orc > Dr st rtrr dc l d = d 5

136 U cz cr lcă dt covrgţ î roltt st covrgţ î L Dfţ 55 Su că şrul d vrl ltor covrg î ş otă cst lucru cu L dcă l = L l roozţ 56 Dcă L tru u ut tuc Dostrţ tru [ folos gltt vdtă Z > dcă L tuc l - > l tuc st ş vdt: L L Z d : îtr-dvăr = Ir dcă = Osrvţ 57 Totuş dcă d orc suşr l său s ot trg u su-suşr cr covrg l ro sgur Îtr-dvăr lcă roozţ 5 r rocdul dgol ut lg u suşr î ş fl să f covrgtă tru orc > îcît sr Cocluz Îtr cl tr tur d covrgţă stă urătorl lct: L s L s < ş şdr covrgţ î roltt st c slă st d rrct că u stă lt lcţ stfl: -Şrul d l lul 5 covrg st tot dr u î L dc c î L cu -Şrul d l lul 5 covrg î roltt ş î L tru orc < dr u s -Dcă luă = Ω = = Ufor cr covrg uctul l tuc tru orc > ut găs u şr stfl c t că dcă st o vrlă ltor ş [] tuc := dcă < r := l = ss su Igltt orlor su că fucţ st crscător Z Z Z ; Z Z 6

137 L ' tru < dr u covrg căr dcă D lu = 5 Lg l urlor r ş lcţ 5 Lg slă Rv l rol d ză uţtă î rgrful rcdt: ut sr să găs rrtţ u vrl ltor rc dcă făcîd osrvţ sur? ş usă fd rol u r ss tru o codtă u ut fc ult osrvţ sur u vrl ltor c u u Dcă rucă u zr d or o u osrvă o vrlă ltor c u şr d vrl ltor ut cct că cst vrl ltor u cş rrtţ tuc rol cătă ss: v u şr d vrl ltor cr sut dtc rrtzt ş dor să î roă rrtţ z osrvţlor făcut sur lu Nu cuv ut să î clculă rotv d? Î dftv = j u s uşt dg d! Răsusul st: uor d roozţ 5 Lg slă urlor rwlln F u şr d vrl ltor dtc rrtzt ş corlt d L dcă vîd ş ot d ord F = j = Vr j ş f d rcă tuc C u cz rtculr dcă tuc j : cu dl s otză cu f ş s usc frcvţ rltv Dostrţ Ctră vrll: f Y = - tuc Urză - = - = j - = Y Y Y Y Y j Dr Y Y j = cov j = j rvr trţolă: W Lw of Lrg Nurs S uşt ş d d slcţ 7

138 dcă j Dc - L = Y Cocluz: dc cofor cu roozţ 6 d Rzulttul u răî dvărt dcă ruţă l otz corlăr D lu dcă ş Y sut două vrl ltor cu cş rrtţ ş z lor costru şrul = dcă st r ş = Y dcă st r tuc Y v covrg st tot l cr u u că u cocd cu d dr st ş vrlă ltor S ot d l d şrur d vrl ltor dtc rrtzt tru cr d rcă u covrg căr D lu s u dou vrl ltor ş Y s cu jutorul lor s costrust u sr fort dor d ş Y cr u r ltă Csro Osrvţ 5 Lg slă s uşt Tor lu Broull dt rul răsus l îtrr: ut ro rc roltăţl? For s vrlă rttă d sut d st: Frcvţl rltv covrg î roltt l dvărt roltt cst rzultt u st stsfăcător D c tor lu Broull s uşt Lg slă Ftul că covrg î roltt l u îsă d loc că şrul ω covrg l tru tot scrl ω c ăcr că ş cv s îtîlă tru r lor jortt sufct să rv lul 57 dvărt că l coţ u suşr cr covrg l osrvţ 57 dr st jută r uţ dor u rzultt tr cr să sgur că covrg l ro sgur Dcă lă otz c tur jocă o frsă urîtă tuc ut f sgur că dcă tot rtă u rt î ut codţ vo ro orcît d d c dvărtă 5 Chr ş s ş îtîlă 5 Lg tr rţul st să îlocu otz c vrll sut corlt cu otz ult tr că l sut ddt 5 c d ft o rolă d flosof ststc: dcrtă că vtl d roltt u s îtîlă o dscuţ fsctă dr colctă 8

139 F tuc :Ω vctorul cu cootl = Cootl sl j sut rocţl r j Î loc să scr scr r r vtjul st că cu v o sgură vrlă u Itroduc ş fucţ t: dftă r t = r j t = r j+ j 5 cr s uşt shftul coc Dcă otă cu f: r rocţ f = r tuc ut scr = f f t f t f t 5 ud r t îţlg ttt cour d or lu t cu îsăş Scrr r vtjul că rt să coctră sur uu şr Csro î cr r dor două vrl: fucţ f ş shftul t Cu studul uor s şrur s ocuă o dsclă ttcă ută tor rgodcă C să ut lc rzulttl d tor rgodcă r tru vrfct că shftul vrză ăsur st vor dsr rrtţ = - vctorulu st o roltt sţul rodus B 6 Î grl u şt să o clculă dr dcă fc otz sultră că vrll sut ddt ş dtc rrtzt tuc st uşor d văzut că = F ud F st rrtţ couă vrllor ltor 7 L 5 sţul B v că t - = Dcă B r rortt că t - = tuc Dostrţ Tru rătt că t - = B D otv ltr 8 st sufct să vrfcă cst lucru tru u loc d lug = B B B 6 -lgr rodus s dfşt c fd c că -lgră grtă d locur U loc d lug st o ulţ d for B B B ud ulţl B sut orl Mulţ D locurlor st î od vdt stlă l trscţ ft dc B cocd cu U-sstul grt d D 7 t că dcă j sut o roltt u sţu ăsurl tuc = st roltt cu rortt că B B B = B B B Că o s roltt ută roltt rodus stă u st vdt: stţ st dtă d tor lu Kologorov Dcă = = = tuc roltt rodus s otză cu cst st czul ostru 8 Motvul ltr st că dcă două roltăţ dft o cş -lgră cocd u sst d grtor îchs l trscţ ft l -lgr tuc l cocd Î czul d fţă cst sst d grtor st ulţ D locurlor 9

140 Să rrcă că t - = Îtr-dvăr t - t B B B B B + B B B B = Dc t - = F B B B = FFB FB = FB FB = dcă t vrză roltt Lucră cu dctor căc st cood Iotz t - = dv t = Dcă u f î loc d s u îtrr c ut su dsr o fucţ f cr r rortt că f = ft lcă cstă fucţ vctorulu ş v că f = ft = ftt = su scrs lct că f = f = f = c trv î forţă otz ddţ Dc vrl ltor Y = f st ddtă d d vr c Y = f! ş d d vr c Y = f! ş d dcă d tot vrll ltor Dc f st ddtă d dcă ş d f Îsă că Y st ddtă d îsăş Dr tuc st costtă ro sgur Cocluz: dcă t = tuc = costt od cstă costtă frşt u ot f dcît su : dc d Dfţ 5 F ΩK u sţu rolzt Ş f t : Ω Ω ăsurlă Su că t st rgodcă fţă d dcă t - = ş t - = cu sut î cottul frsc l tor rgodc ut lc: Tor 55Tor rgodcă F ΩK u sţu rolzt ş f L ΩK F d s t:ω Ω o fucţ rgodcă tuc f t s f f t f t f = fd Dostrţ st drt d f vdtă ş u o vo d c 9 Ş v cv ult tr dcît srt u Tor 56 F ΩK u sţu rolzt u sţu ăsurl = u şr d vrl ltor : Ω cu rortt că shftul t: st rgodc fţă d rrtţ s = - F f: o fucţ ăsurlă cu rortt că f L ΩK tuc f f t f t f t covrg ro sgur l f 9 Cttorul trst ot găs ult dsr cstă toră c: htt://wdorg/w/rgodc_thor O dostrţ fruosă s ot găs cursul lu I Cuculscu 97 su Tudor Dostrţ orglă utorulu Brhoff 9 st c: htt://wwwclhgov/c/rtcls/mc768/?g=

141 Dostrţ Nu v dcît să lcă tor rgodcă sţul - d vtjul cst forulăr lg tr urlor r st că s ot grlz ş l lt tur d şrur d vrl ltor d lu l lţur Mrov su l rocs stţor C să o îţlg o să î scr cîtv rtculrzăr Corolrul 57 F u şr d vrl ltor d cu vlor îtr-u sţu ăsurl ş f f: o fucţ ăsurlă cu rortt că f L tuc s f f f f 5 Ş cst uţ st fort grl C să îl ut lc r tru să ut clcul rul drt rtculrză l czur clcull D lu dcă vrll ltor sut rl r f dd dor d o ulţ ftă d coot: Corolrul 58 F u şr d vrl ltor d ş f f: o fucţ ăsurlă cu rortt că f L tuc s f f f f 5 vtjul st că cu chr ut clcul rul drt folosd forul d trsort Dcă - = F tuc f = fdf Dcă d lu F r o dstt fţă d ăsur Lsgu tuc f = f dd d O rtculrzr ş r st c cu cr îcut: dcă f = r Corolrul 59 Lg tr urlor r SLLN F u şr d vrl ltor d d L F F rrtţ lor ş = = df tuc covrg s l lul 5 F vrl ltor oztv d ş rrtţ F tuc d gotrcă l covrg s l df l Îtr-dvăr rvr trţolă: Strog Lw of Lrg Nurs

142 logrtîd rs v l l l tuc lt st l Dcă = > lul 5 Md lor rocă covrg l / Îtr-dvăr lul 5 rocs d rîor F u şr d vrl ltor d strct oztv s ş T = r T = + + F Nt = :T < t Nt st u cotorcr uără cît vrl j u ărut îă l otul t N t s tuc Îtr-dvăr Nt = T t < T + Dcă t tuc t T t T ş v clştl î cr tr d stîg ş d drt N t u cş ltă u osltt sttstc: tor lu Glvo Rv l rol ţlă: ut sr să roă rc fucţ d rrtţ u vrl ltor? Dcă dsu d u şr d osrvţ ddt sur răsusul st d Cu codţ să u rol corct Osrvţ ddt sur lu îsă d ft u şr d vrl ltor cr sut ddt dtc rrtzt ş vîd cş rrtţ c lu 5 S dă u zr osl flsfct ş dor să stă roltăţl = = 6 st rzulttul u rucăr zrulu lu 5 S rucă l îtîlr două uct B îtr-u ătrt d ltură L = Sgtul B r o lug ltor [ ] dor să î găs fucţ d rrtţ î otz că l îtîlr îsă că uctl ş B sut vctor ltor ddţ rrtzţ ufor î ătrt Î l czur rol st slră dş cu grd d dfcultt thcă dfrt F u şr d vrl d cu fucţ d rrtţ F Dc F = j Î tşă fucţ d rrtţ rcă ş rătă că covrg l F

143 Dfţ 55 F u şr d vrl ltor d Şrul d vrl ltor F = j j : s uşt fucţ d rrtţ rcă clcultă î roozţ 56 tru orc Y := F sut vrl ltor rrtzt Bol F Dc Y = F VrY = F F Î lus s F F Î cuvt:fucţ d rrtţ rcă covrg ro sgur l dvărt fucţ d rrtţ Dostrţ F Z j = j Vrll Z j sut d rrtzt BolF r F u st ltcv dcît l Z = F d Ş totuş s ot ş Z Z Z cr cofor SLLN covrg s st dvărt că F covrg uctul l F Dr fucţ d rrtţ F: [] st dftă o ulţ uărlă Nu cuv ulţ Ω := ω Ω F ω F tru orc ot să f d roltt că su chr? No vr să stă fucţ d rrtţ F î tot uctl u u îtr-u sgur! D frcr lucrurl u stu ş Nu u că Ω = c c trşză rol dr s ot dostr chr ult: Tor 57 Tor lu Glvo F Δ ω = su F ω F dstţ uforă dtr fucţ d rrtţ rcă duă osrvţ ş dvărt fucţ d rrtţ tuc Δ s Fucţ d rrtţ rcă covrg ro sgur ufor l dvărt fucţ d rrtţ Nu vo d dostrţ cstu rzultt Slă că st fort ult îuătăţtă dcă fucţ d rrtţ F st cotuă U rzultt d ttcă gr st urătorul Tor 58 Tor Kologorov Srov Dcă F st cotuă tuc Cttorul trst ot cosult Tor roltăţlor d Cuculscu 97 su Tudor 98 Su ot vd ult rfrţ c htt://wdorg/w/glvo%%8%9ctll_thorhtt://wdorg/w /Glvo%%8%9Ctll_thor

144 l Δ = 8 Mtod Mot Crlo Mtod s folosşt îtr-o sr d rol ud r clcul r grl tru f ordt dtrst l sut d două tur: clcul d tgrl su rol d otzr Clcul d tgrl Să rsuu că vr să clculă o tgrlă d for I = f d d d f d 55 ud C st u coct d ăsură Lsgu oztvă ş f o fucţ tgrlă cl coct Id st să gră u şr d vctor ltor ddţ rrtzţ ufor î coctul C tuc s f f f Dr cofor forul d trsort f = fdu C C f dd d C Dc lgortul st f dd d = C[s l f f ] C 56 sul u vctor ltor rrtzt ufor îtr-u coct u st u lucru slu Uor îsă st slu: dcă C = [ ][ ][ ] tuc = st uşor d sult: cootl sl sut vrl ltor ddt rrtzt Ufor Tot dl d rogrr R C++ Jv R Mtl cl tc u î dotr cl uţ grtor d ur sudoltor rrtzt Ufor Rvd l lul Urător scvţ su cu s su scrt d dul d rogrr R : sgt<-fucto {=ruf;=ruf;=ruf;=ruf d=srt-^+-^ d} fc sulr strucţu =ruf roduc u vctor d lug cu cootl vrl ltor rrtzt Ufor Cu strucţu > d<-sgt;surd gră d sgt căror l clculă lug o s furzză ul ul r cutlă d d ş cutl tr C C

145 Sgur că st vor d cutll d slcţ s ot răt tot z SLLN că ş cutll d slcţ covrg l dvărtl cutl Cofor SLLN şttă c cst vrl ltor căc st sut! să u osclz r tr ş să d forţ dsr rrtţ vrl ltor = -B Ită rzulttul sulăr d cît lo d sgt M st Qu Md M rd Qu M Osrvă că d rrztă o rrclă stltt: rl două zcl u s schă L fl ş d ut v o d dsr rcz stăr corîd cu lucrur cuoscut: şt că ul sţl l lu st ş ul st Mul rc l lu r să f 8 r ul r f Clculul ct st ro osl d făcut Tortc v d clcult urătorl F = = B + B 57 B B = 58 ud B B B sut uctl ltor rrtzt ufor î ătrtul utt Forl s du tru vrl ltor ddt: B B ş s cr să s clculz cttăţl 57 ş 58 r rv l clcul ăsur Lsgu -dsolă ulţ M = B B []: B + B Ir dou z forul d trsort l clcul tgrl 5

146 = B B ddbddb r cttt s ot clcul ct cu ult fort; tru l dou u stă forul r cudrtur C să v o d d utr tod o ut cor cu todl dtrst d clcul l tgrllor ultl Tot o suă v d făcut duă c luă cît o dvzu fcr ă Dcă dvzu st chdsttă cu d uct vo v d clcult vlor fucţ d tgrt î = 6 d uct Nu sgur că ror v f că! ut cocluzo că st o vrlă ltor cu d 5 ş d 5 D curoztt rztă ş grfcul u fucţ d rrtţ rc duă d ro Clcul d - O rolă fudtlă î ttc lctă st d găs l ş l u fucţ f:c ud C st u dou d stă ult tod dtrst d fc cst lucru cst st doul tor otzăr stă două tur d gort : dtrşt ş rolşt Id d ză lgortlor rolşt st d ruc o lo d uct l îtîlr cu ultă su uţă tlgţă roozţ 59 F f:c o fucţ ărgtă dftă coctul cu tror vd C F u şr d vrl ltor rrtzt ufor î C ş Y = f f Z = f f tuc Y st u şr crscător d vrl ltor Y st u şr dscrscător rul 6

147 covrg ro sgur l sssuf r l dol l ssf f Dcă f st cotuă tuc Y s f ş Z s f Dostrţ F F fucţ d rrtţ vrl ltor f ud UforC Dc F = f = f - -] = f - -]/ C F M = ss f f tuc Y M - = f f M - Dr vrll f sut ddt dc f f M - = f M - f M - f M - = f M - f M - f M - = F M - Cu M st surul sţl FM - < dc F M - Dc Y M - Dr şrul Y fd crscător r o ltă Y Rzultă că Y M - = Dc Y M d ltă rt Y M dorc tot vrll ltor f j u cstă rortt Îsă că Y = M -s Y = M t Dcă fucţ st cotuă u st vo d rcuţ c să f ărgtă: sgur că st dorc orc fucţ cotuă duc coct î coct M ult tuc ul cocd cu surul sţl d urătorul otv: f M = f tuc ulţ C f > M - st dschsă î C dc r tror vd Orc ulţ d tror vd r ăsură oztvă dcă M r rortt cr dfşt surul sţl Dostrr frţlor lgt d su ful sţl st logă d Osrvţ 5 cst st cl slu lgort dorc lucrză î or fără or rfcţor lu duc l lgort gtc Dcă lă ş l u u d or rţîd uctl d ş găst tuc ut v o d dsr rg f ş rg f lul 5 tru vd cît st d tr lgortul să luă o fucţ căr î ut clcul trl d lu f = f:[] Vrfcţ că f = f ½ ½ = ¼ f = uct d sut o ftt frotr ătrtulu utt dr stă u sgur uct d lcă tod Mot Crlo ş să vd c rzultă Duă d sulăr rzultt ul f = î loc d ul f = 87 î loc d 5 uctul d z = î loc d 5 5! ş u uct d d coordot Dcă îsă fc Surul sţl l u fucţ dft u coct d tror vd C st u uăr M cu rortt că f M tru ro toţ M ş ăsur Lsgu ulţ C f > M - st oztvă > Slr ful sţl st u uăr cu rortt că f M tru ro toţ M ş ăsur Lsgu ulţ C f < M + st oztvă > u s cofud cu surul ş ful D lu dcă f = Δ Δ cu Δ dgol ătrtulu utt d l ş Δ clltă dgolă tuc su f = f f = - dr ss su f = ss f f = O otţ tru uctl î cr s găsşt ul su ul 7

148 d sulăr oţ f =965-9 f = 9987 rgf = rgf = D rgulă lgort Mot Crlo u s lcă dcît trs dcă u v ltcv u Vtz d covrgţă l WLLM ş SLLM st dtă d = Vr 5 Covrgţ î rrtţ Sr dosr d covrgţl d ctolul rcdt covrgţ î rrtţ u s rfră c covrgţ vrllor ltor c l c rrtţlor lor roozţ covrg l î rrtţ cu otţ D tru îţlsă î ssul rrtţl vrllor ltor covrg l rrtţ lu D oc oţu d covrgţă st lgtă d o toolog: u şr d rrtţ F r lt F dcă î fr orcăr vcătăţ lu F stă cl ult u uăr ft d tr şrulu Ş tot d oc oţu d vcătt st lgtă d o dstţă: o vcătt uu uct F st o ulţ cr coţ o lă d ctru F ş rză Covrgţ tr Cl folost dstţ sut dt d or: dfg = F - G Rrtţl vrllor ltor sut roltăţ drtă roltăţl sut ăsur ft B Dfrţ două ăsur ft st o ăsură cu s c tru tt ul lucrur ltr: ăsurl ft cu s u sţu ăsurl forză sţu vctorl O ăsură cu s : s ot îtotdu scr su for = ud + ş - rrztă rt oztvă ş rt gtvă ăsur cst st dscour Hh Jord M ult stă o ulţ H 5 cu rortt + = H ş - = \ H r rortt că H \ H tru orc Măsur := s uşt vrţ lu r fucţ dftă r = = H - st o oră: = = ş + + ăsur cu s Vz orc ul d tor ăsur su d lu c: htt://wwwthurdudu/~zhg/sgdmsurdf 5 s uşt ulţ Hh tştă lu Dcă d lu = ud st o ăsură orcr tuc H = > 8

149 Nor s clculză uşor dcă r o dstt fţă d o ăsură dvărtă : rcs dcă = tuc = d 6 D lu dcă F ş G sut două rrtţ dscrt cu clş suort F = j G = j j tuc = j j dstt lu F r f j j c lu G r j j j f j j r dstţ îtr F ş G r f F G = j j j Dfţ 5 F u sţu ăsurl F F ş F roltăţ l Su că F covrg tr l F dcă F F Notă cst lucru r F s F roozţ 5 F u sţu ăsurl Dcă F ş G sut două roltăţ tuc df G [] Dcă dfg = tuc F = G r dcă dfg = tuc stă o ulţ î ş fl îcît F = ş G = Su că F ş G sut sgulr Dcă st o ăsură orcr ş F = f F = f sut roltăţ tuc F s F f L f O codţ sufctă c f să covrgă l f î L st c f să covrg l f - ro sgur Dcă F s F tuc F F Rcroc u st dvărtă C u cz rtculr dcă F ş F sut rrtţ d drt rlă tuc fucţl lor d rrtţ covrg: F -] F-] 7 Dostrţ F = F GDc = F G = = F H ulţ Hh tştă lu tuc = H - = H Dcă = tuc H = FH GH = Dr F ş G sut roltăţ dc FH = ş GH = F F = f f d dc clră chvlţ F s L F f f Itrstă st clltă frţ dorc î grl u st dvărt că dcă f covrg l f ro sgur covrg ş î L vz lul 8 Dr l o stă codţ fort tr c f să covrgă l o dstt d roltt Folosd gltt = + - ş v 6 Notţ = st ccttă d jortt ttclor tru ds ăsur d dstt ş ză rcs ssul st = d tru orc lţ utor folossc î clş sco otţ d = d cr r vtjl dorc tuc cîd clculă tgrl dstt s î fţă : fd fd 7 S oşuşt otţ F î loc d F-] Dcă sut tţ u st c u rcol d cofuz: dcă st o ulţ F îsă roltt lu ş dcă uct F îsă F-] 9

150 d f f d f f = f f f f d d Şrul f f + td -s l st dot d f cr st î L Tor d covrgţă dotă su tuc că ut cout lt cu tgrl: l f f d = l f f d = F F F F F F tru dou frţ vz lul 7 d jos l d lcr lul 5 Dcă st u şr d roltăţ cu rortt că cu > tuc rrtţl Bol covrg tr l osso Îtrdvăr ut lu = ăsur crdl cu suort ulţ urlor turl ş dstăţl f = C f = Vrfcţ că f f! lul 5 F F = tuc F s lul 55 Dcă ş tuc Ufor Ufor lul 56 M grl fll d rrtţ oşut: Gotrc Ng G N tc sut cotu î rtru: G s G; N s N Nu v dcît să vrfcă că dsăţl covrg lul 57 F = ] ş F = ud st ăsur Lsgu F f = Ufor = tuc F F = îtr-dvăr dcă or st glă cu d r dcă \ î rst Totuş F F tru orc ulţ orlă d urătorul otv:rrcă că F F tru orc B F tuc C = B : F F Fl C st u u-sst sgurul lucru cu rol st să rătă că dcă st u şr d ulţ dsjuct cu rortt că F F tuc ş F F F F c c rzultă d F cst u-sst coţ ftul că srl F sut dot d trvll = -] Îtr-dvăr tru su fucţl d rrtţ 5

151 chr cocd: F = F Dcă < < s rtă dt r ducţ că [ ] F = + dc F F - Dc fucţl d rrtţ covrg ufor F - F covrg l tru orc ş totuş F u covrg tr l F lul 58 Dcă F st o rrtţ dscrtă ş G st o rrtţ cotuă tuc F G = dcă ul osl Î coscţă codtă u s ot ro î ssul tr o rrtţ cotuă cu u şr d rrtţ dscrt Î ult stuţ s u rol vluăr otlor u vrl ltor roîdu rrtţ cu lt Sch tlă st Dcă D tuc ot că ş st or covrgţ tr sufctă tru sgur covrgţ otlor? Uor chr ş s îtîlă dr î grl răsusul st gtv Dcă luă d lu F := = vd că dş F s F = u covrg l = rol covrgţ otlor st dfclă 8 Covrgţ slă Covrgţ tr dş c turlă u răsud stsfăcător rollor d sttstcă Tot rrtţl vzl î sttstcă sut rrtţ rc dc sut dscrt lul 57 rtă că u s ot ro rrtţl cotu cu rrtţ dscrt C uţ u î ssul tr Tor lu Glvo su că uor vz sus fucţl d rrtţ rc covrg l dvărt fucţ d rrtţ O d r f să dcrtă că Dfţ 59Dfţ trdră F F u şr d rrtţ drtă F F o ltă rrtţ Su că F F dcă F F tru orc Dr cstă dfţ r două jusur îdouă sros Î rul rîd c să f cv cr corsud tuţ r tru c dcă tuc ş să covrgă l Ş u st ş D lu dcă = 8 Cttorul ot cosult d lu Io Cuculscu Tor roltăţlor Bucurşt ll 998 g

152 dr fucţl d rrtţ sut F = [ ; lt u st o fucţ d rrtţ fdcă u st cotuă l drt f vrut să covrgă l fucţ d rrtţ lu cr st [ Î l dol rîd r f rfrlă o dfţ cr să s otă td ş l lt sţ ăsurl u u l drtă vr să dă u ss d lu ş oţu d covrgţă dcă v d fc cu rrtţ î l su î sţu D c s- ls ltă dfţ r ss sţ grl dr ulţu c cu sţl ucld cr sut cl cuoscut Dfţ 5 F F F rrtţ sţul ucld d B d Su că F covrg sl l F dcă fdf fdf tru orc fucţ cotuă ş ărgtă f 9 Notă cst ft r F F Dcă sut vctor ltor cu rrtţl F ş F î locul otţ F F s folosşt r uz d lj otţ D cr s ctşt covrg î rrtţ l S dt ş otţ D F cr s ctşt covrg î rrtţ l F rortăţl cl ortt l cst oţu sut sttzt î urătorul rzultt Tor orttu roozţ 5 Tor orttu F = d d = B d ş F F roltăţ tuc urătorl rortăţ sut chvlt fdf fdf tru orc f cotuă ş ărgtă fdf fdf tru orc f ufor cotuă ş ărgtă lsu F C FC tru orc ulţ îchsă d v lf F D FD tru orc ulţ dschsă d v l F = F tru orc ulţ cu frotră F- gljlă dcă F \ It =! v v dor tru d = : F F uct d cotutt tru F dor tru d = : F F ud st o ulţ uărlă dsă d Nu vo dostr cstă toră Ul lcţ sut sl ltl loros 9 Mulţ fucţlor rl cotu ş ărgt d s otză cu C d Io Cuculscu Tor roltăţlor su htt://wdorg/w/covrgc_of_surs Sut sut d cărţ cr coţ dostrţ 5

153 Osrvţ 5 Tot uctl tor d sus ot scrs î tr d vrl ltor Dcă î loc d F ş F u ş oţ urătorl crctrzăr chvlt l ftulu că D : f f tru orc f cotuă ş ărgtă f f tru orc f ufor cotuă ş ărgtă lsu C C tru orc ulţ îchsă d v lf D D tru orc ulţ dschsă d v l = tru orc ulţ cu frotră F- gljlă Osrvţ 5 Nu tru să crd că dcă F sut fucţ d rrtţ ş F F tuc ş F st fucţ d rrtţ ll sut uărt: [ sut fucţ d rrtţ cr covrg l l fl ş fucţl d rrtţ tru Ufor dcă F = tc st foul cuoscut c sc to ft su s rd să sr ft Osrvţ 5 Dcă dor să v o fl d roltăţ cr să f rltv coctă d orc şr să s otă trg u suşr Cuch tuc tru c să f tght : tru orc > să st u coct C cu rortt c FC > - tru tot roltăţl F d c fl Tor lu rohorov Rrcă urător coscţă dtă tor orttu: Corolrul 55 F vctor ltor Dcă tuc D Covrgţ î roltt lcă covrgţ î rrtţ Dostrţ Dcă tuc coţ u suşr cr covrg s l Dcă f st o fucţ cotuă tuc f covrg ro sgur l f Dcă f st ş ărgtă tor d covrgţă dotă rtă că f f C v d făcut dcă dor să vrfcă o cojctură d tul F F? Nc u d rţtl d Tor orttu u r să fucţoz Nc ăcr î czul udsol: st uşor d zs vrfcă dcă F covrg l F o ulţ dsă dr gru d făcut stă u strut cr jută î ult czur u fucţ crctrstcă D lu htt://wdorg/w/rohorov%7s_thor 5

154 Dfţ 56 F F o rrtţ d B d Fucţ F : d C dftă r F t = t' df 5 s uşt fucţ crctrstcă lu F U uct d d st u vctor coloă; t st trsusul lu t dc t st rodusul sclr dtr t ş : t = t + t + + t d d Dcă F st rrtţ uu vctor ltor d-dsol tuc scr î loc d F ş z forul d trsort v t = t 5 Fucţ crctrstcă r rortt d f ultlctvă: dcă ş Y sut vctor ddţ tuc +Y = Y Dcă st d clsă C tuc r tot otl ft ş l s ot clcul r drvăr r îsă o rortt sultră cr logul său rl fucţ grtor d ot t = t u o r: c că doul său d dfţ st clş dfrt d rrtţ F ş că crctrzză stfl rrtţ M rcs v roozţ 57 F F ş G două rrtţ d B d cu rortt că F = G tuc F = G Tor d uctt rsuu că F st u şr d rrtţ cu rortt că şrul F st covrgt ş lt s st cotuă î tuc stă o rrtţ F cu rortt că F = ş F F Su î tr d vrl ltor: dcă sut vctor ltor d-dsol ddţ ş cotuă î tuc stă o rrtţ F c D F Nu vo dostr c cstă toră fudtlă Cu jutorul îsă ut răt roozţ 58 Dcă F F ş G G tuc F G FG su clş lucru î tr d vrl ltor dcă D Y D Y ddt d Y tuc Y Y Dcă F F ş G G tuc F G FG î tr d vrl ltor : dcă D Y D Y ddt d Y tuc +Y D +Y D Io Cuculscu Tor roltăţlor su Lucs 97 Chrctrstc fuctos Lodo: Grff 5

155 Dostrţ s rduc l vrfcr ftulu l că FG = F G ş FG = F G d 5 Tor ltă ctrlă văzut că î vrt c slu d îţls Lg urlor r su că dcă sut vrl ltor d tuc d rcă covrg ro sgur l dvărt d = tru stud ăuţt vtz d covrgţă r tru să clculă ăr = > ; dor să şt cît osrvţ -r tru tru c cstă S roltt să f că Dcă scr roltt î cuză s-r scr su for = S > = S Dcă otă cu F rrtţ sulor S tuc roltt rsctvă s-r ut scr = F - + F+ C s-r ut su dsr cstă cttt? S şt că rrtţ su uor vrl ltor ddt st covoluţ rrtţlor trlor Îtrr st: cu s coortă covoluţl d ult rrtţ? Să stud u lu î cr s ot fc clcul Să zc că U tuc vctorul := st rrtzt ufor î cuul [] Dc S = ud = [] : ++ 5 Dcă st uşor d făcut clculul: st voluul slulu S = : ++ cr d rţu d str st /! d voluul cuulu dcă F = Dcă îsă > tuc tru scăzut d l! volul clor sl d ltură cr r făcţ u ds î czul =! Dc = S \ j j cu j = S : > Itrscţ u fl ft d s ulţ d cş foră lcîd rcul cludr ş culdr găs F = C C! 55 5 Ud su s fc tît vr cît C să u v rol d sur scr

156 ! F = C 5 ud + st rt oztvă lu Drvîd sul sut totuş ft găs dstăţl! f = C 5 Î fgur d jos făcut grfcl dstăţlor f j cu j 6 S osrvă cu l cătă o foră scfcă d cloot C s ut cor dstăţl r tru să fc c cst dstăţ să ă cş ă d str dcă să ctră vrll ltor scăzîd d l d stfl oţ sul ctrt S c = S - ud = = ½ Fucţl d rtţ ctrt ott d-hoc cu F c s clculză dt duă foul vdtă F c = F + f c = f + 55 Oţ cc grfc cr s ot cor fdcă u cş ă d str 56

157 Totuş dsrsl td l ft ş că ş dstăţl ctrt vor td l Nu ut să l coră C să fc să ă tot cş dsrs îărţ l tr d ătrtcă lu S cr st ud = Vr = Oţ sul ctrt ş ort S s = 56 cr u fucţl d rrtţ ott cu ş dstăţl = s = F + 57 = = f + 58 M jos făcut grfcl clor cc dstăţ ctrt ş ort S osrvă cu s stlzză 57

158 C st lt? Să luă u cz rtculr î cr chr ut fc clcul: să zc că sut tot rrtzt oţl stdrd Vrfcţ dt r ducţ că f + =! 59 cu = = dc cofor cu 8 v + = f ++ dcă + =! 5 Dcă st r + + dv oztv dc ut ruţ l dctorlcă forul lu Strlg! ş v + = Trcîd l ltă v l = l l = l = L

159 Logrtă: ll = l l Dzvoltă logrtul î sr l+t = t t / + t / t / + ş v ll = l = l = - / Cocluz Şrul dstăţlor ctrt ş ort covrg î czul î cr sut rrtzt l fucţ = cst chr st o dstt st dstt rrtţ ol stdrd N! tţ: lt uu şr d dstăţ u st olgtoru o dstt duă cu ut covg cu dstăţl f = [] / cr covrg l! vrfct u cz rtculr Tor 5Tor ltă ctrlă loclă Dcă dstt couă vrllor ltor d d L st ărgtă tuc dstăţl l S sulor ctrt ş ort s = covrg l dstt rrtţ orl stdrd : Î coscţă cofor roozţ 5 S s N 5 frţ st vllă îtr-u cott ş grl u dcă ut dostr că stă u îcîd d l cr st o ărgtă Dostrţ dăşşt cu ult cdrul cstu ul C chr st trst o ot găs d lu î Y tohorov Y Rozov rolt Thor Srgr lt dostrţ rct s ot găs Itrt cu Googl Dr dcă vrll ltor sut dscrt tuc rol loclă u r ss S ot dostr u rzultt sl 59

160 Tor 5Tor Ltă Ctrlă TLC F u şr d vrl ltor d d L F = ş = Vr tuc Scrsă lct frţ st că D N t l Osrvţ 5 Fucţ d rrtţ rrtţ N s otză cu ş st tltă d st d cu u s folosc tll dorc tot softurl ttc o clculză Dc dt = t dt Dostrţ Dcă cctă tor d covrgţă fucţlor crctrstc dostrţ st slă F Y = - vrll ctrt ş t = ty fucţ lor crctrstcă Şt d l rortăţl fucţlor crctrstc că dcă Y sut d L tuc st drvlă d două or N trsză că drvlă d două t or î : dc ut scr t = + t + + ott ud ot st o fucţ cotuă ş o = Dr = = Y = ş = - Y = - t Dc t = + ot Clculă fucţ crctrstcă lu s ottă cu : t = t Y Y t t t t = = o tuc l t = [ t t l t o ]= t t t l o t = 6

161 t Dr fucţ t = st fucţ crctrstcă rrtţ orl stdrd Tor st dostrtă d lu d lcr: lul 5 Rrtţ olă Dcă tuc S Bol Dcă st dstul d r ut ro S cu TLC stfl: v = = Dc S = S S şt că dcă ror st fort uă rztă u grfc cu dfrţl dtr fucţ d rrtţ rrtţ Bol ş c rrtţ N = N 6 clcult tru [] O sut vlorl lu r O vlorl dfrţ dtr cl două fucţ d rrtţ Mul st c d 5 Dc îsă lu u cz tr cu = stuţ s sch 6

162 Dfrţ dtr roltăţ ot dăş c c st s lcţ st că cu = ş roltt c Bol să vlorl su 5 st r : 6575 C să f lclă ror orlă tru c tot roltăţl = să f c Dcă rodusul st c dş st r tuc st rfrlă ror cu rrtţ osso 6

163 Ctolul 6 Sulr vrllor ltor Î dotr clcultorlor stă d ult grtor d ur ltor cr sulză dstul d u şr d vrl ltor rrtzt Ufor sul o vrlă ltor îsă c z cstu grtor d ur ltor să s costruscă vrl ltor vîd o rrtţ dtă Forl rol s-r u ş: s dă o vrlă ltor UUfor ş o fucţ d rrtţ F Să s costruscă o fucţ f stfl c fucţ d rrtţ vrl ltor = fu să f F Su grl s du vrl ltor U j j d rrtzt Ufor ş s cr să s costruscă o fucţ f: c î ş fl îcît vrl ltor = fu U să ă fucţ d rrtţ F stă ult d d rogrr cr fc cst lucru î czul rrtţlor clsc D lu î R du d rogrr grtut cr s ot dscărc d trt stă osltt sulăr ş u u cl uţ urătorlor rrtţ Rrtţ Nul î R rtr t t olă o Cuch cuch chsq otlă F f g g gotrcă go hrgotrcă hr log-orlă lor logstcă logs gtv olă o orlă or osso os trg l dtr-o ură cu l l ş l gr; st uărul d l l Rrtţ logstcă r fucţ d rrtţ st rr folostă Î codfcr R =ror roduc o vrl ltor N rtrul l dol rrztă tr d ătrtcă ş u vrţ Uor s fc cofuz 6

164 Studt t uforă uf Wull wull Wlcoo wlco tru gr u vctor cu coot d cu cst rrtţ s u î fţ ulu lor d R ltr r o s u uărul d vrl ltor dort ş rtr rrtţ D lu: =ror; : st u vctor cu d coot rrtzt N =ro; [] : st u vctor cu coot rrtzt Bol =ro6; [] : st u vctor cu coot rrtzt Ng =rhr66; [] : st u vctor cu coot Hrgotrc66 Îtrr st cu gră o vrl ltor cu o rrtţ cr u fc rt d cl sult d dl d rogrr? 6 Sulr rrtţlor drtă lgortul grl: tod cutl Cu ut folos o vrlă U Ufor tru sul o vrlă ltor cu o rrtţ dtă? Să rsuu tru îcut că fucţ d rrtţ lu st jctvă M rcs rsuu că stă u trvl I stfl c F: I [] să f jctvă Cu st ş crscător frşt că r tru c F să f ş cotuă dcă r f dscotuă îtr-u uct tuc g s IF u r coţ trvlul F- F Dcă vr să l clculă fucţ d rrtţ u tru dstt u d r tru cutl vz jos u Q D lu =or;=dor;z=qor v roduc url = 87 căc / = 87 = 977 = cu = ş z = -68 = - 6

165 Osrvţ fudtlă st că vrl ltor = F - U r ct fucţ d rrtţ F cst st lgortul vrs fucţ d rrtţ Îtr-dvăr dcă [] tuc ţîd s d otz că U Ufor U = [] v = F - U = FF - U F dc = U F = F 6 Î grl fucţl d rrtţ u sut jctv Dcă d lu Ufor tuc F = dor vlorl / cu st o stuţ tcă tru rrtţl dscrt Dr chr dcă rrtţ st cotuă osl c F să u f jctvă D lu dcă Ufor[][] tuc F st costtă trvlul []vrfcţ: F = / C s ot slv î cst cz d lgortul tror? Id st să îlocu vrs cu cutl Dfţ 6 F F o fucţ d rrtţ O cutlă s st orc fucţ rlă Q = Q F dftă cu rortt că FQu- u FQu u Dcă F st vrslă stă o ucă cutlă u vrs lu F : Q = F - Dcă u ot st o ftt D lu dcă Bol ½ = Ufor tuc F = ½ tru [ Vrfcţ că orc fucţ d for Qu = ½ u + ½ cu st o cutlă roozţ 6 F F: [] o fucţ d rrtţ ş Q: o cutlă s F U o vrlă ltor rrtztă Ufor tuc = QU st o vrlă ltor vîd fucţ d rrtţ F Dostrţ Osrvă că orc cutlă st o fucţ crscător Îtr-dvăr dcă u<v tuc Qu Qv dorc î cz cotrr Qu > Qv FQu FQv u FQu- FQv v u v rătă că U < F QU U F ş v f sufct tru că tuc rzultă că U < F QU U F d ud cu U Ufor dduc că QU = F rsuu QU tuc FQU F Dr d dfţ cutl U FQU dc U F dostrt că QU U F 6 Să rsuu cu că QU > tuc FQU F Dr tot d dfţ cutl U FQU dc U Fşdr QU > U F Trcîd l coltrăv că QU U < F 6 D 6 ş 6 dduc că U < F QU U F d 65

166 Două sut czurl tr cr trsză î clcul: cutlă froră ş cutl suroră Cutl froră ottă cu Q - s dfşt r rlţ Q u = suf < u = ff u 6 r c suroră ottă cu Q + s dfşt r Q + u = suf u = ff > u 65 roozţ 6 Fucţl dft r rlţl 6 ş 65 sut cutl Orc ltă cutlă Q st cursă îtr l: Q Q Q + Dostrţ D dfţ surulu v urătorl lucrur vdt FQ u < u FQ u + u > FQ + u u FQ + u + > u > Trcîd l ltă cu dduc că FQ u u FQ u + u ş FQ + u u FQ + u + u Dr F st cotuă l drt dc l fucţ vrfcă dfţ cutld lul 6 Dcă Ufor tuc F = ½ tru [ Cutll froră ş suroră sut Q u = ½ u Q + u = [½ u = [u] dc = [U] st o vrlă ltor cu rrtţ crută lul 65 Dcă Ufor tuc Q + u = + [u] = + [U] lul 66 Dcă otl tuc F = st chr jctvă d l l dc Q + = Q - = F - Q = - l u ut u = - l U Dr U ş U u cş rrtţ Ufor dc ut l fl d să u = - l U lul 67 Dcă Ng tuc F = []+ ud ş = lu O cutlă s st Qu = lu Dc = l st o l vrlă ltor cu rrtţ crută lul 68 Î grl dcă rrtţ F st dscrtă F cu < < < tuc cutll sut Q + u = s u s s u s s u ş u u u Q u ] s s ] s s ] ud s = s = + s = + + s 66

167 Dc vrl ltor = s U s s r ct rrtţ F Ită u scrt î R cr clculză cutl u rrtţ dscrt c st vctorul cr cot vlorl vrl ltor ; st vctorul cr curd roltăţl c să s cst vlor vctor u lug Vctorul o st rutr cr tru făcută tru c url să f us î ord crscător r F st rrtţ roru-zsă; cu scrsă coc Vctorul s curd sul s = + ++ Itrst st cît d slu st d găst locul lu u: strucţu whchs >= u roduc ulţ Ju = : s u căr s rul lt = Ju = Q + u cutl<-fuctou {o=ordr #sortz tru c s ot s u f ord F=rd[o][o]; =F[]; =F[] #clculz sul rtl s=; for :lgth{s[]=su[:]} #cut locul lu u v=whchs>=u;=v; =[] } lr fucţ s fc cu strucţu =cutlu U lu cocrt: să s sulz = vrl ltor vîd rrtţ 6 F = =;=c- 6;=c/;u=ruf =u;for : {[]=cutlu[]} tru vrfc dcă folos strucţu tl cr rtă rrtţ rcă uu vctor : su fcr vlor dfrtă cr o vctorul s scr uărul d rţ cl vlor frcvţ solută Î czul ostru v: tl

168 Vlorl frcvţlor solut corsud clor tortc cr r f trut să f Dc s luzl stă tod d vrfcr curtţ odlululu dt d o rrtţ : d lu tod lot 5 tru vlor rltv c l lug vctorlor ş lgortul st stsfăcător ş rd ot f folost îă l Dcă îsă vctor u lug r r îc să ră ror d şă ş d ltă rt vtz lu scd st ş orl D c dcă s ot r f să f folosţ lgort rz zţ dvrs l rrtţ cr s ot oţ d rrtţ uforă rol st d clcul cutl dcă rrtţ F u st ărt dscrtă ş cu suortul fort dtr-o ulţ cu uăr c d lt Chr dcă v fucţ d rrtţ F dtă rtr-o forulă ltcă d lu F = F + F cu F = F = G F = + - u v forul tru clcul vrs F - u î czul d sus r tru rzolvtă cuţ + - = u <u< cr st o cuţ trscdtă tru ş d dlă r tru să fc o dscrtzr lu F Îlocu fucţ d rrtţ F cu rrtţ F d = ud st F F F F F F u uăr r ş lcă lgortul cutl tru cstă rrtţ vtul u lgort odfct î cr îlocu fucţ F d cu o l olgolă cr uşt uctl d coordot j F j j Sgur că rd d rcz lgort scl zţ rortăţ l rrtţlor Două sut orţl ortt cr s fc cu rrtţl: tur ş covoluţ Dfţ 69 F F j j o ulţ d rrtţ drtă ş f j j ur oztv ş d suă tuc rrtţ F = F + + F s uşt tură d F Dcă j F j sut vrl ltor ddt tuc rrtţ su lor S= + + st F F F D lu dcă F = F + F cu F = F = G tuc F st o tură d oţlă cu G Osrvţ st că dcă şt să sulă vrll tuc sulă uşor vrll cu rrtţ F ş S cu rrtţ F F F fără trc r tod sudovrs tru S u v c cot dr u st solut vdt cu costru 5 Chr î R stă strucţu lot 68

169 roozţ 6 F j F j cu j ş f J o vrlă ltor ddtă d j j cu rrtţ J tuc vrl := J r rrtţ F = j F j Dostrţ j = J = J j J j F j J ; d j j j j Dc rvd l lul ostru cu F = G + G lgortul ct st: sulă vrl J Dcă J = sulă = G r dcă J= sulă = G Duă cu s vd î scrtul urător cr folosşt fucţ cutl d rgrful tror tur<-fucto # sulză vrl ltor +g {=c;r=c- <-r # sulză vrl ltor ;<-rg # sulză vrl ltor G z<-rd # s forză cu l o trc z d t = # s ţlzză for : {u=ruf # s grză o vrlă ltor U Ufor j=cutlur # s grză vrl ltor J []=z[j] # = zj } # s sulză vrl ltor } N ut covg că st ş dcă îcrcă ult vrt d tru = v vrl rrtzt G; tru = ½ st o tură cu odr gl r tru = v dor vrl rrtzt Scrtul urător fc cît 5 d sulăr d fcr t ş o fc grfcul clor tr fucţ d rrtţ rc cr r tru să s cu cl dvărt t=:5;t=t/5 o=tur5;o=sorto =tur55;=sort u=tur5;u=sortu lotott="l";lstcol="rd"; lsutcol="lu" j 69

170 lul 6 Să rsuu că u v ccs l u softwr rfort dr vr să sulă o vrlă ltor G cu uăr îtrg Cu fc? Soluţ Vrll j = - lu j / sut rrtzt Dr G = oţl covoluttă cu îsăş d or Dc soluţ st Dr dcă vr să sulă N ş u v dcît u softwr d ză? Frşt st sufct să sulă Y N ş o să u = + Y Dr cu sulă o orlă stdrd? lgortul cutl u dă dcît o ror tru că u ut clcul ct c ăcr fucţ crctrstcă rrtţ N cu tît uţ să ă clculă ş cutl ut fc o ror uă st dvărt dr st cr t roozţ 6 Mtod Bo Mullr F UV Ufor două vrl ltor ddt tuc vrll = su lv Y = cosu lv sut două vrl ltor ddt rrtzt N Dc Y N j l U j 7

171 Dostrţ v d rătt că dcă f: st o fucţ cotuă ş ărgtă D forul d trsort tuc fy = f dd f Y f l u cos l u s dudv 66 Fc schr d vrlă l u cosv l u sv 67 Rzultă + = lu d ud u 68 sv l u cosv D Icoul st u l u = Du v cosv l u sv u u l u Ig ulţ [] [] r cstă trsforr st \ {}Cu uctul {}st o ulţ gljlă fţă d ăsur Lsgu î l dduc d rlţ 68 că u dd = dudv dudv = dd = u dd dc rlţ 66 dv f l u cosv l u s v dudv = f ct c c tru vrfctd dd 69 r tod Bo Mullr s grză vrl ltor orl folosd dor două vrl ufor rrtzt st vdt o r slfcr stă ş o todă ctă d sul rrtţ osso fără clcul cutll Uor st rdă roozţ 6 F U Ufor u şr d vrl ltor d F N = : U U U < - 6 tuc N oso Dostrţ 7

172 lu F = ş T = + + tuc sut d rrtzt otl Logrtîd rs d 6 v N = : T > Dc N = = T > = - r dcă tuc N = = T T + > = T T + = T + > T > Dr T G dc t t T > t =!! t! t 6 t t Rzultă că T + > t T > t = dostrt chr! ult: că dcă u Nt = : T > t tuc Nt ossot 6 d Dc dcă dor să sulă d lu N osso îulţ u şr d vrl ltor ufor rrtzt îă cîd rodusul lor dv c dcît / Dcă tru cst lucru fost vo d vrl ltor tuc dclră că N = - Î sttstc Bsă r frcvt rrtţ Bt Dcă ş sut ur îtrg ş cst rrtţ s ot sul fără s clcul cutll roozţ 6 F U j j Ufor ddt Sortă cst vrl ltor su for U < U < < U tuc U Bt + Dostrţ F = ct dtr vrll ltor U j sut c dcît vdt = C Să osrvă că vtul U s ot scr su for + Cu ulţl j j sut dsjuct găs că fucţ d rrtţ lu U st U = C + C ++ C cr st ct fucţ d rrtţ u vrl ltor Bt+ Dstt s st f = C 6 lul 65 Să sulz o vrlă ltor Bt cu = + = Sulă vrl ufor ş l sortă; o luă c d zc Dcă v l dsozţ u rogr d sort u c o rolă D lu î R scvţ r f: u = ruf;u=sortu;=u[] 6 rocsul stochstc Nt t s uşt rocsul osso d tstt S ot dostr că l st cu crştr ddt dcă dcă t < t < < t tuc vrll ltor Nt N t - Nt N t - Nt - sut ddt 7

173 Sulr rrtţlor d dsol 6 lgortul grl: tor d dscour Id d ză st urător: orc rrtţ d-dsolă s ot scr c rodusul dtr o roltt drtă ş ult roltăţ d trcr tru îţlg să stud urătorul lu slu U uct ltor dsol Z = + Y îl scr c uăr col st slu Z 8 tuc Dcă = - tuc Y ot lu două vlor 8 ş rrtţ s codţotă d ftul că = - s o scr uz d otţ dr sugstv Y = - log v Y = Y = ş î sfîrşt Y = tru -l gr sulă îtî r cootă cu lgortul cutl o v tru vrt: dcă = - su = sulă Y dcă = sulă Y r dcă = u Y = Id st că = Y = j = = Y = j = tru fcr vlor lu v o ltă rrtţ tru Y rrtţ codţotă Gră ş o dzîd d vlor lu sulă Y cu rrtţ codţotă Y = Forl cst lucru s ot grlz stfl: lgortul grl F Z = Y F u vctor ltor Să rsuu că rrtţ lu st ş că stă o fl d rrtţ F Q cu rortt că Y B = Q B tuc rrtţ vctorulu Z st Q Fl d roltăţ Q s uşt rrtţ lu Y codţotă d U od tutv d o ot st F Y U od ş tutv st să scr Q = F Y = cst st otţ d sttstcă v d lăurt c îsă roltt codţotă Y B Dcă st dscrtă u c o rolă: Y B = Y B ud = = > Dr dcă st cotuă v o rolă dorc YB = u r ss 7

174 Dfţ 6 roltt codţotă d codţotă F ΩK u sţu rolzt Y: Ω F : Ω două vrl ltor cu vlor î sţ ăsurl ş FF F B F tuc df Y B = B Y Dcă U: Ω st o vrlă ltor cu ot d ord tuc df U = U = : ăsurlă ş ărgtă S dostrză că d codţotă stă ş că î cz că U r ş ot d ord r urător rortt d ot U - U h h: ăsurlă c [h] < Md codţotă r tr rortăţ ortt cr s folossc î rctcă: - Dcă ş Y sut ddt tuc [hy ] = hy l ddţă u cotză codţor Cu o vrlă ltor costtă st ddtă d orc ltă vrlă ltor dduc că dcă st costtă [hy ] = hy - [h ] = h ş grl [hy ] = h[y ] fucţl -ăsurl s coortă rcu costtl c h st o fucţ ăsurlă ş ărgtă - [[Z Y] ] = [Z ] rortt d trtvtt Î rtculr dcă = costt od v [[Z Y]] = [Z] Dc su că rrtţ lu Y st Q îă su că h dq tru orc fucţ ăsurlă h: 6 U lt od d scr clş lucru d ult or cood st h Q d 6 [hy ] = [hy ] = Rlţ s ot rlug l fucţ d două vrl h Q d 6 [hy ] = Îtr-dvăr forul 6 st dtă dcă h = fg o s rlugşt l dctor d ulţ d for h = B ; fl ulţlor C tru cr forul st dvărtă st u u sst dc cstă fl coţ -lgr F tc stţ rrtţlor codţot st dtă d: Tor 6 Tor d dztgrr F o roltt F ud = ş F = F = F tuc stă o roltt d trcr d l l F ottă cu Q î ş fl îcît = Q Nu vo dostr cstă toră S găsşt î ull d tor roltăţlor d lu G Cucu C Tudor Tor roltăţlor dtur 7

175 cd Bucurşt 98 su I Cuculscu Tor roltăţlor dtur LL Bucurşt 998 Su s ot căut trt Dsstgrto Thor lcă Iortt st să lăur c su tor ş să îţlg cu s Dfţ 6 F ş F F sţ ăsurl O fucţ Q: F [] s uşt roltt d trcr d l l F dcă lcţ Q B st ăsurlă tru orc B F lcţ B Q B st o roltt F tru orc ut gîd o roltt d trcr ş ltfl: c o colcţ d roltăţ F Q Codţ st u thcă tru s ut fc clcul lul 6 Fll clsc d rrtţ d drtă ot f gîdt c fd roltăţ d trcr: Q = otl st o roltt d trcr d l l Q = Bol st o roltt d trcr d l [] l tc rodusul dtr o roltt ş u d trcr d l l F s dfşt stfl: Dfţ 65 F ş FF două sţ ăsurl o roltt ş Q o roltt d trcr d l l F tuc Q st o roltt F C F dftă r QC = Q C d 6 ud C = F C Dcă osrvă că C = C tuc ut scr forul c QC = dq d 65 C stfl oţ o forulă d tgrr fţă d roltt rodus Dfr î cst od rodusulu st otvtă d urătorul rzultt cr justfcă lgortul grl roozţ 66 F Z = Y u vctor ltor cu vlor î sţul ăsurl F F Dcă st rrtţ lu ş Q st rrtţ lu Y codţotă d tuc rrtţ lu Z st Q Dostrţ F f:f o fucţ ăsurlă v f d Q f dq d = h d ud h = f dq = 75

176 Cu st rrtţ lu forul d trsort su că d h Dr h = f dq h = = [fy ] cofor cu dc h = [[fy ]] = fy rortt d trtvtt şdr fy = f d Q Cu gltt st vllă tru orc f ăsurlă ş ărgtă rzultă că rrtţ lu Z = Y st Q Scrr sttstcă cst roozţ st F Y = F F Y 66 rcul st îulţ rrtţ lu cu rrtţ lu Y codţotă d vtjul st că forul s ot grlz FYZ = F F Y F Z Y 67 Î grl v F F F F 68 stă două stuţ î cr lcr lgortulu u u rol: Czul dscrt z z z z Să s sulz u vctor ltor Z ud z j z j d sut vctor d dsol tuc forul 68 rv l d d d d 69 z j = = d = d = Czul solut cotuu cu rsuu că vctorul d - dsol Z r dstt f Z tuc s vrfcă dt că ş rrtţl F u dstăţ ott f cr s clculză stfl: îtî clculă dstăţl clor d vctor d dsu d st dt că f fz d d d d o u d d - f f d d d d d f - f f f - f f - Dcă folos otţl sttstc forull dv uşor d îţls d 76

177 f f d d d f f d d f 77 d f f f 6 lul 67 Să s sulz u vctor rrtzt Multol ; 7 Soluţ Rrtţ ultolă Multol ; st o rrtţ dsolă dscrtă dftă r dstăţl dscrt! =!!! c Î czul cst dscrt ut să ruţă l tor ş să sulă vctorul ostru Z c orc vrlă ltor dscrtă: codfcă cuv vctorul d lu îl gîd că r f u uăr scrs î z + ş o lcă tod cutl Î czul rtculr d sus v d fc cu o vrlă ltor cu + coot S ot dr u vă sfătusc Dr dcă ţ s d trrtr rolstcă cst rrtţ s trg cu rvr l dtr-o ură cu l d culor dfrt ură î cr j st roorţ llor d culor j! s vrfcă dt că Bol Bol Bol tc Î czul ostru cocrt Bol ; Bol /9 r = Scvţ d strucţu cr sulză î R N = s vctor st =;=;=/-;N= =ron;=ron-;=-- ;=cd; [] 8 69 [] 5 7 [] 8 7 [] 6 [5] 6 [6] [7] 6 [8] [9] 69 [] 69

178 lul 68 Să s sulz u vctor UforC ud C st sfr trdsolă utră d rză : C = z + + z Soluţ t că u vctor s uşt rrtzt ufor îtr-u coct d d volu ul dcă B = B C / C O dfţ ltrtvă st că dstt s f = C ud = / C c st ăsur Lsgu dsolă Î czul ostru f z = C z - dorc voluul sfr st / Folos forull 6 M îtî f C zddz Itgrl cst rrztă r scţu r sfră făcută r uctul ; scţu r foră d crc cu rz r = f f o C z scţu făcut î sfră cr st trvlul [- dc v f f f f z z dc r st dc dz ; tgrl st lug Dc v î cocluz ] rcl r tru să sulă duă r dstt Cu vlor lu = stfl oţută sulă duă dou Găs = ş cu ş stfl găsţ sulă S ot fc dr cstă t ş l clculul cutllor s rd ult d rcz ot loc ş d d lul 69 Să s sulz u vctor N 9 78

179 Soluţ Î grl dcă N r tuc s dostrză uşor r folosd fucţ crctrstcă su c grtor d ot că N ş N r r Î czul ostru = = = = r = 5 Î R st fort slu: u=;u=;sg=;sg=;r=5;n= =rornusg;u=u+r**sg/sg =rornusg*srt-r^; cd [] [] [] [] 6 85 [5] [6] [7] [8] [9] [] Î fgur lăturtă vd rzulttul 5 d sulăr tru dsu r lgortul grl u st stsfăcător c tru sulr vctorlor ltor orl dorc forull d clcul tru j j- dv tot colct 79

180 6 lgort scl: rrtţ ufor rol 6 F C o ulţ coctă d volu C > Să s sulz u vctor UforC văzut că lgortul grl u r dfcultăţ chr î czurl sl D lu chr ş tru o ulţ slă cu r f slul C = Δ = z [] : + + z ud dstăţl sut uşor d clcult v rol: f = 6 C f 6 f dou gru f L r dstt uşor d clcult cutl l lgortul cctr / rsgr Id st să gră vctor ltor ufo rrtzţ îtr-o ulţ r ud st cood d făcut cst ş să rţ dor c vctor cr sut C Cl cood st să clud C îtr-u hrrlld [ ][ ] Forl rzulttul st urătorul: roozţ 6 F C două coct d ăsură oztvă ş f u şr d vctor ltor d rrtzţ UforC F N = f : C ş Z = N tuc Z UforC Dostrţ F = C tuc N = = - dc roltt c u r codtă î C st F B C o ulţ orlă tuc Z B = N B = B N = B Cj B N j j Cj C = C B C = B C B C / / B C ct c vo Vtz lgortulu dd vdt d rortul dtr voluul lu C ş voluul lu Î czul C = Δ ut lu = [] c u s ot Cu rortul dtr volu st /6 şttă c î jur d o şs d uctl grt Ufor să f ş î C Chr ş ş st: duă d sulăr ruşt să r d d or î 8

181 N=;=rufN;=rufN;=rufN;s=++ v=whchs<;f=lgthv =:f;=:f;=:f for :f {[]=[v[]];[]=[v[]];[]=[v[]]} =cd; [] [] [] [] [5] [6] [7] [8] [9] [] [] [] [] [] [5] [6] [7] [8] [9] [] [] [] [] Dcă îsă dsu slulu î loc să f r 7 tuc voluul său r /7! = /5 D d sulăr r fort rol c c u să u f î ulţ dortă v ş o vst uă: dcă C st u sl tuc stă lgort rz cr grză vctor rrtzţ ufor colo l s zză urător dscorr roozţ 6 Sulr rdă vctorlor rrtzţ ufor îtr-u sl F + vrl ltor d j j + rrtzt otl F S su lor ş j Y j = tuc vctorul Y = Y j j st rrtzt UforΔ S ud Δ = [] :

182 Dostrţ F f : o fucţ ăsurlă ş ărgtă v d clcult fy î srţ că rzulttul v f! fd D forul d trsort v fy = s f [ d d d c s st su s s s Fc schr d vrl = /s = /s = /s + = s Jcoul st D D s g ulţ [ [ r st Δ [ dc tgrl dv s [ fy = f s sd d d ds = f dd d dou tgrlă st! d s s ds dcă ct c dor căc Î grl o ulţ s uşt sl dsol dcă st vlo covă u ulţ d + uct ş dcă î lus r trorul vd D lu tru = orc trugh BC st u sl cu codţ c u cuv cl tr uct să f colr Î sţu orc ttrdru BCD st sl dcă u cuv cl tru uct sut colr Fruusţ st că slul S = S cu vîrfurl + s ot dscr îtotdu su for S = : Δ 6 Ş d c s vd c v d făcut tru sul u vctor ufor rrtzt colo: sulă vctor ltor rrtzţ ufo î Δ lul 6 Să s sulz u vctor ltor rrtzt UC ud C st trughul BC Soluţ F c fl clor tr uct tuc = c ud j sut d ş otl 8

183 M stă u cz î cr sut orocoş: dcă NC tuc folos urătorul truc: roozţ 65 F C o trc oztv dftă ş o trc strcă cu rortt că = C F Y NI dcă u vctor orl stdrd cu tot cootl d N tuc = Y + st u vctor rrtzt NC Dostrţ vdt st orl = ş cov = covy + = covy = = d C să costru costru scr trc C l for dgol C = ODO ud O st trc vctorlor ror cr sut ortogol D st trc dgolă cr cu vlorl ror îlocu D cu D - dcă cu trc cr dgolă r rdăcl ătrt l vlorlor ror ş u = O D O Dcă v u softwr cr î str să clculz vctor ror u c o rolă Ită d lu o fucţ î R ct cst lucru #sulr u rrtt orl -dsol orl<-fuctoucov {=lgthu;jor=gcov;vl=jor[[]] # vl sut vlorl ror vc=jor[[]] # vc r vctor ror =^;dg=:;dg=dg-dg;ddg=c for : {dg[]=srtvl[]} =vc%*%dg%*%tvc u=ror;=%*%u+u } Fucţ s lză r cod =orluc tru o l st vo d vctorul u = l dlor s d trc d covrţă C Ită u lu:sulă vctor ltor NC cu = ş C = 9 6 = :; d = c= for : {[]=orluc}; 8

184 [] [] [] [] [] [] [] [5] [6] [7] [8] [9] []

185 Ctolul 7 Sttstcă dscrtvă Itroducr Sttstc dscrtvă st rur sttstc c s ocuă cu rztr orgzr ş trrtr u colct d dt Dscrr cstor forţ s ot fc grfc r lst grfc lr d dstruţ tc su r dctor sttstc d dă tr tc 7 rztr dtlor sttstc lz sttstcă uu fo îc cu sttstc forlă culgr dtlor sur foulu rsctv ş îrgstrr dtlor Dtl sut o lzt ş trrtt cu jutorul sttstc ttc Dfţ 7 r oulţ sttstcă oulţ s îţlg orc ulţ cr forză octul u lz sttstc ltl u oulţ sttstc s usc utăţ sttstc su dvz Crctrstc st trăsătur couă utăţlor u oulţ sttstc Vlor urcă crctrstc s uşt vrlă ltor D lu dcă rfr l rrtţ cooţlor u ch d fotl duă îălţ costtă că ulţ sortvlor forză oulţ sttstcă fcr fotlst st o utt sttstcă ş îlţ st crctrstc studtă Mttc o oulţ sttstcă st o rtţ u ulţ ={ } suulţl fd cls Utăţl sttstc cr cou o clsă sut ls z u rlţ d chvlţă cr rrztă crctrstc oulţ Crctrstcl ot f clttv su ctttv Crctrstcl ctttv ot f ăsurt folosd ur rl Itgrr dtlor ctttv î tt r ut vtj dr tll sttstc rt rlzr uor corţ Î tlul 7 v forţl rvd durt d vţ î Roâ rod cofor Isttutulu Nţol d Sttstcă rztt su for d tl vdţdu-s stfl sctl ortt l dtlor Osrvă stfl că cst vlor crşt îcâd cu ul duă o scădr sfctvă 85

186 ul Durt d d vt Tlul 7 Rrztr grfcă rlztă tru studr schărlor su tru corr vrllor sttstc s uşt grfc stă ult stfl d rrztăr Rrztr cu to folosşt to vrtcl su orzotl căror lug solzză vlorl vrl sttstc Btol vrtcl s folossc d oc tru crctrstc cr vrză î t Îtr tol coscutv s lsă d rgulă u sţu d juătt d utt Fgur 7 st rrztr cu to tru dtl d tlul Fgur 7 86

187 Rrztr cu to orzotl rztă vrt dtt d lu rrztr coot Dgr cu to grut furzză o todă d rztr ărţlor coot l uu îtrg fără rlzr u corţ cu îtrgul Dcă rfr l dtl d Tlul 7 rvd structur oult d ur rurl dt furzt d Tlul 7 ul Ur% Rurl% Isttutul Nţol d Sttstcă s oţ rrztr cu to orzotl coot d fgur Rurl% Ur% Fgur 7 87

188 Grfcul lr orţu st fort d sgt d drtă c s oţ r ur rchlor d vlor corsuzător l u rch d vrl dfrt Î tlul 7 sut rztt dtl furzt d Isttutul Nţol d Sttstcă rvd totlul uărulu d grţ î rod -8 Totl ul grţ Tlul 7 tru cst tl rlzt grfcul lr orţu d fgur 7 Totl grţ Fgur 7 Dgr crculră rtă dscour uu îtrg î ărţl sl coot l s ră c roct d totl ş sut rrztt r sgt d crc ughurl l ctru vâd ăsur gl cu roctul corsuzător d 6 Fgur 7 rtă structur chltullor d doul crctrdzvoltr d uctul d vdr l surslor d fţr î Roâ î 88

189 Fodur tr 8% Fodur d l ugt % lt surs % Utăţ cooc 8% Utăţ cooc Fodur d l ugt Fodur tr lt surs Fgur 7 Î cotur vo rfr l dstruţ ş rrztr lor r dgr ş tl Dfţ 7 O vrlă sttstcă s uşt dscrtă dcă u ot lu dcât vlor zolt î trvlul său d vrţ s uşt cotuă dcă ot lu tot vlorl osl î trvlul său d vrţ C lu d vrlă dscrtă ut rfr l uărul ctollor u cărţ uărul rtcollor rodus d o frcă tc tru czul cotuu ut d c lu îălţ u rso or sosr uu tr tc N rfr î cotur l czul vrl cotu Să cosdră u şto d d gjţ l căror slru rut rt î l l îcutul lu ur coduc l dtl d tlul Tlul 7 O dscrr rcsă sr sttstc oţut s rlzză r costrur uu tl l frcvţlor î cr osrvţl sut clsfct î rort cu uărul utăţlor sttstc cr s flă îtr ut lt Tlul 75 rztă frcvţl tru dtl tror rvd slrl stfl rgl clslor d vlor 8; 95 d tlul 75 sut ltl su rgl cls d vlor Md rttcă ltlor u cls s uşt 89

190 jlocul su vlor ctrlă cls Dfrţ dtr c r ş c că rg s uşt dou su ltud Frcvţ solută st dtă Ltl cls Mjlocul cls Frcvţ solută Frcvţ rltvă% Frcvţ cuultă solută Frcvţ cuultă rltvă% [8; [95; 5 6 [; [5; [; [55; [7; [85; Tlul 75 d uărul utăţlor sttstc flt îtr ltl u cls r c rltvă st rortul dtr frcvţ solută ş uărul totl l utăţlor sttstc Î czul î cr u st rczt r frcvţă s îţlg frcvţă rltvă Mulţ frcvţlor solut su rltv îruă cu clsl lor forză frcvţ dstruţ Frcvţ cuultă u cls st su frcvţlor âă l cls rsctvă clsl fd ordot crscător Î grl st dctă utlzr - cls d vlor Hstogr st o rrztr cu to fără sţu îtr cst rztă rgl clslor orzotlă ş frcvţl c vrtclă Hstogr tru dtl d tlul 7 st rzttă fgur Fgur 75 9

191 olgoul frcvţlor st u grfc lr orţu jlocl clslor fd rrztt orzotlă ş frcvţl c vrtclă Fcr jloc r o frcvţă rctă rtr-u uct uctl coscutv s usc r sgt d drtă rzultâd olgoul frcvţlor Fgur 76 rztă olgoul frcvţlor tru dtl d tlul 7 scslor s-u folost rotujr tru d dor două zcl Frcvţ% Fgur 76 olgoul frcvţlor cuult st u grfc lr orţu cr s rlzză slr cu olgoul frcvţlor sgur schr fd c c î locul frcvţlor r frcvţl cuult 7 Crctrstc urc N vo rfr cu l dscrr forţlor folosd dctor sttstc Î cst ss stă două r ctgor: ăsur l tdţ ctrl d d od tc ş ăsur l vrţ su îrăştr ltud tr tc Î cotur rztă rcl dctor tdţ ctrl Îtr-o dstruţ rfr l vrlă cotuă cls cu c r vlor frcvţ st cls odlă r jlocul cst st od vrl Î tlul 75 cls odlă st [95; r od st 5 Să rfr cu l o ulţ d dt d slcţ vrlă dscrtă od st vlor cu frcvţ ă Să cosdră o gruă fortă d d studţ cr susţ u tst l ttcă oţâdu-s rzulttl d tlul 8 c od st 8 Dfţ 7 tru czul dscrt d u ulţ dtl d slcţ sut ordot crscător st vlor d jloc +/ dcă st r ş d clor două vlor d jloc / + /+ dcă st r 9

192 D lu d ulţ 5689 st 8 r tru s oţ d += Not Frcvţ solută Frcvţ rltvă% Tlul 7 Dfţ 7 tru o vrlă cotuă cls cu frcvţ c că c r rortt că frcvţ cuultă soctă st r dcât fd uărul totl d cls s uşt cls d Notâd cu uărul totl d cls d d dstruţ f frcvţ tru cls [ - F frcvţ cuultă tru cls [ - ş [ j- j cls odlă fctuâd o trolr oţ urător Dfţ 7 Îtr-o dstruţ vlor d st dtă d rlţ d = +h ud h = - - F - <5 ; F >5 5 F tru dtl d tlul 85 cls dă st [;5 r d 5 st d =+5 = 5 Dfţ 7 Mdd slcţ u ulţ s dfşt r f 9

193 D lu dcă lst d rţur î l tru ctrl trc st urător: costul du l u ctrl st Dcă sut vlorl dstct l lu r st frcvţ lu forul s rscr Notâd f = rzultă f "d odrtă" Dfţ 75 Cosdră u tl l frcvţlor cu cls Dcă * * * sut jlocl clslor frcvţl lor solut ş f f f frcvţl lor rltv tuc d dstruţ st * rcs * f tru dtl d tlul 75 d st S osrvă că d u dă o g coltă dtlor d slcţ su dstruţ D lu ulţl { } { } { } u cş d dr u structur dfrt cst st otvul 9

194 tru cr sut trodus ăsur l vrţ cr să rt grdul d îrăştr dtlor î jurul d Dfţ 76 tru o vrlă dscrtă dfrţ dtr c r ş c că vlor slcţ s uşt ltud tru o vrlă cotuă ltud st dfrţ dtr lt suroră cls cu cl r rg ş lt froră cls cu cl c rg Dfţ 77 F dt d slcţ vâd d tr d s dfşt r rlţ Să cosdră urătorl dt d slcţ: 5 Md lor st 5 6 î t c tr d r vlor ltfl sus vlorl d slcţ dfră î d cu fţă d d 6 F vlorl dstct l lu vâd d r frcvţ lu tuc Notâd cu f = frcvţ rltvă rzultă f tru dtl d tlul 7 tr d st Dfţ 78 F o vrlă cotuă cu u tl l frcvţlor cu cls Dcă * * * sut jlocl clslor frcvţl lor solut ş f f f frcvţl lor rltv tuc tr d st 9

195 dcă * * f tru tlul 75 clculă tr d ş oţ vlor Dfţ 79 F dt d slcţ cu d Dsrs s dfşt stfl st tr d slcţ rcă stdrd F vlorl dstct l lu cu d r frcvţ lu Forul tru clculul dsrs dv Dcă frcvţ rltvă st f = rzultă f Dsrs corsuzător dtlor d tlul 7 st î t c tr stdrd st 67 95

196 Dfţ 7 F o vrlă cotuă cu u tl l frcvţlor cu cls Dcă * * * sut jlocl clslor frcvţl lor solut ş f f f frcvţl lor rltv tuc d dstruţ st * rcs * f 575 tru dtl d tlul 75 dsrs st r tr st 55 7 Corlţ Rgrs Lgătur dtr două su ult vrl ortă ul d corlţ Cou cst s ot rzt su ult for c slă fd rlţ f ud f st o fucţ d vrl gltt c rtă că lu î corsud o vlor dtrtă lu M jos sut rztt otl l lgră ş gotr oţut d zc studţ Nr crt Not lgră Not gotr Tlul 7 96

197 Vo rorgz dtl d sus su for uu tl cu două trăr stfl: otl l lgră sut rrztt scslor r cl l gotr c ordotlor Y Tlul 7 Vo dc stţ uu studt c ot corsuzător uu ătrt rtr-u uct stut î trorul cstu D lu studtul cu otl 7 ş 8 s v rgăs î ătrtul 78 cst tlou s uşt tlou d corlţ Osrvă că î grl crştr otlor l lgră st îsoţtă d crţtr otlor l gotr stfl îtr cst vrl stă o corlţ oztvă uctl d trorul tloulu d corlţ s gruză î jurul u dgol ătrtulu dc s ot fr că v o corlţ lră Î fgurl 7 ş 7 rrztt grfc î rort cu ţ Y î rort cu Fgur 7 97

198 Fgur 7 ş Y s usc fucţ d rgrs Î fgurl d sus grfcl lor s gruză î jurul r sctor Î fgur 7 v rgrs lu sur lu r î fgur 7 rgrs lu sur lu tru fr dlor să cosdră VY u vctor î l ş Y fd vrl ltor Sttstc sut trsţ d stuţ î cr vctorul V u uăr ft d vlor vj vj j j vcorul vâd cootl j Notâd V v j j v j ş j Tlul 7 s uşt tl d corlţ j Y Tlul 7 u loc urătorl rlţ: 98

199 j j j ; j j ; j j j rsctv s usc roltăţ rgl ş rrztă roltt c j rsctv Y rtu orc vlor clllt vrl Slr cu vlorl d tru vrll udsol s dfsc cl tru vrll dsol Dcă otă r s rs j j j oţ c vlor rtculr: j j j j j j j cr s otză d oc r ş rsctv l fd coordotl ctrulu d grutt Motl ctrt s dfsc r: r s r s rs Y j j Motl ctrt d ordul l dol u dur scl î tor roltăţlor stfl s otză cu ş rrztă dsrs lu ott st dsrs lu Y Dcă otă r Y codţotă d st covrţ vrllor ş Y j j j vlor d lu Y j oţ odul d coortr l vrl tuc câd Y vlor j vâd î vdr tot vlorl j r j răâ f dvrsl d codţot rfrtor l crctrzză odul d vrţ l vrl tru Y j ft 99

200 f Y S ot crctrz cstă vrţ tr-o rlţ stfl c f j Y j să f ă fd otul d ordul l dol Î grl s îcrcă o rr d for Y stfl c Y să f ă vâd î vdr că Y j j j ş drvâd î rort cu s oţ drt d rgrs ott r d corlţ Y Y cofctul

201 Ctolul 8 Tor slcţ Itroducr Tor slcţ s- dzvoltt dtortă cstăţlor rctc Î ult stuţ r cstt d oţ forţ rlvt dsr ulţ cu uăr r d lt stâd osltt rlă d stud fcr lt î rt Î cst czur s ot o slcţ şto d ulţ î d c forţ oţută st utlă tru îtrg oulţ studtă Nuros lcţ u codus l o otrvt căr u şto dă forţ utl dsr îtrg ulţ ş că ăsură c slcţ crşt c volu dtl oţut sut d c î c fdl 8 Grr vlorlor rtculr l u vrl ltor Sulr u vrl ltor st utlztă tât î sttstcă rocd d ştor cât ş î odlr stochstcă cstă sulr s ot rlz cu jutorul uor oct zr rultă su lgortzr grăr uor vlor urc clcultor Clcultorl d c î c rfort u dtrt î rcl ortr sr c d dou todă Î c c rvşt clsfcr stă grtor d vrl ltor ufor rrtzt ş ufor rrtzt ultl costrudu-s î grl z clor d r ctgor Vrl ltor dscrt ufor rrtzt F o vrlă ltor dscrtă Sulr cst vrl ltor utlzză o fucţ g : I I ud I st ulţ urlor îtrg rrztt î clcultor ord d l vlorl ţl ş folosd s grză o scvţă d ur Şrul st rodc dorc I st ftă cst grtor st sufct d u dcă rod lu st r î rort cu uărul d vlor grt ş vlorl grt u sut scvţl corlt dcă scvţ d vlor succsv grt ocuă sţul d dsu cst două codţ ot f îdlt rtr-o lgr dcvtă fucţ g Mtodl cogruţl sut cl utlzt l s zză o rlţ d rcurţă d for rlţ d rcurţă g f od

202 ud f : I I st cood să lg fucţ lră f c c fd vlor îtrg Mtod grză vlor curs îtr ş - otv tru cr s lg cât r tru = v grtor d ordul îtâ Î cst cz =687 c= = su =98 c=9999 =997 sut câtv stur d vlor dcvt Vrl ltor cotu Sulr u vrl ltor cotu ufor [] s rlzză r grr d vlor îtrg ufor rrtzt ulţ { -} ş r îărţr lor r - tru o vrlă ltor ufor rrtztă s grză vlor d ulţ { -} cr s îrt l O vrlă ltor ufor rrtztă s grză cu jutorul u vrl ltor Y ufor rrtztă duă cr s fctuză schr d vrlă Y Î cl c urză vo rfr l tod vrsăr fucţ d rrtţ F o vrlă ltor vâd drt fucţ d rrtţ F : R [] tuc vrs s dfşt c F - ={R F u} u[] rzultâd stfl o osltt d lgortzr î vdr sulăr vrl tru dvrs rrtţ cocrt s oţ dvrş lgort Rrtţ dscrt F o vrlă ltor dscrtă : cstă vrlă r fucţ d rrtţ F ; F F ; tuc vrs fucţ d rrtţ s dtră stfl: F u or d cât or F u F ud F lgortul d sulr costă î grr u vlor u ufor rrtzt î ş î dtrr dclu stfl îcât F u F lul 8 Să cosdră o vrlă ltor olă cu fucţ d rrtţ

203 F ; C ot f sultă r costrur tlulu soct fucţ d rrtţ ş lcr tod clsc d căutr O ltă osltt st d sul trgrl cu rvr ş d uăr d cât or s roduc vtul d roltt Î cst ss s cosdră N cl c uăr turl tru cr N ş N sut turl ş s costruşt tlul corsuzător cu vlorl t t t t t t lul 8 F cu o vrlă ltor gotrcă vâd fucţ d rrtţ ; F ud ot f sultă r lcr odlulu clsc d căutr su r sulr vrl ltor cu jutorul od truct î ş fl îcât roltt rţ vlor s f r c st s f stfl vrl rtă l cât îcrcr s oţ st r dtă Rrtţl cotu Î stuţ î cr s cuoşt rs vrs fucţ d rrtţ s ot utlz for grlă lgortulu Î cz cotrr s utlzză lgortul scfc rrtţlor dscrt Î rll s dtră trvlul F F c coţ u clculâdu-s * u F F F Fc rczr că c * rrztă vlor oţută ş u lul 8 F o vrlă ltor oţlă cu fucţ d rrtţ F Ivrs lu F st F u l u r u st ufor rrtztă î stfl ş u st ufor rrtztă î rzultâd stfl dt lgortul d sulr

204 lul 8 F o vrlă ltor Wull cu fucţ d rrtţ F că vrs fucţ F st F lgortul d sulr s dudcc uşor z ftulu u l u lul 85 N rfr cu l sulr vrl ltor orl rrtzt rcs l tod ztă tor ltă ctrlă Cofor cst dcă N tuc şrul Z st covrgt î rrtţ cătr Z N Să cosdră ş tuc oţ Z tru lgortul d sulr dv slu îtrucât Z 6 lul 86 Grr vrllor lor cu rrtţ orlă stdrd ş Studt s zză lgătur 8 Vrl d ştor Fol d tură studl socologc u coscrt tod sodjulu rol cr s u st d dtr crctrstc u oulţ fortă d N dvz r rs rzulttlor oţut r rţ dt s usc vlor d ştor r oulţ st dstruţ tortcă Dcă oulţ st ftă su ot f cosdrtă ftă sgur todă d crctr tru dtrr crctrstclor dstruţ tortc st tod slcţ sodjl d o clş lucru s rlzză ş tru u uăr ft d dvz cotrolul tdog rlzt u uăr c d cooţ u ch Dfţ 8 O sucolctvtt u colctvtăţ crctt s uşt slcţ su sodj Nuărul ltlor slcţ st voluul slcţ Dfţ 8 Vlorl oţut tru dvz cr tră î slcţ rvd crctrstc d usc dt d slcţ rltv l crctrstc tru o slcţ d volu vo ot dtl d slcţ cu

205 Dfţ 8 Dtl d slcţ sut vlorl uor vrl ltor cr s vor u vrl d slcţ rcursul îtrgulu ctol vo v î vdr otţl ţot î dfţ troră Dfţ 8 O fucţ d vrl d slcţ căr vlor dv cuoscută câd vrll d slcţ sut îlocut r vlorl d slcţ s uşt sttstcă Sodjul st orţ d colctr ltlor uu şto d oulţ sttstcă tă stă sodj cu rvr roull câd ltul trs d oulţ cosdrtă st rtrodus î colctv ît d fctur u o trgr su sodj fără rvr Colctr ltlor d şto coduc l rlzr ultor tur d sodj Sodjul ur ltor s oţ cd utăţl sttstc u cş roltt d f ls d şto sut chrol Dcă s rstlşt u rcu s fctuză u sodj drjt Î czul î cr oulţ tă st îărţtă î gruur strtur î rort cu o crctrstcă rstltă v u sodj t cst ot f d ult flur: sodj strtfct sl fără rvr sodj strtfct tc î două fz s lg îtâ r strtur d cl dj stt r duă c s fc trgr ltor d fcr strt Dcă d fcr strt tc s trg u uăr d utăţ ls stfl îcât rortul dtr voluul ştoulu d strt ş voluul strtulu să cocdă cu rortul dtr voluul ştoulu grl ş voluul totl l oulţ s rlzză u sodj strtfct roorţol U sodj î cr voluul ştoulu u st ft ţl ş rlucrr cotuă âă câd u ut vt s rlzză s uşt sodj scvţl Crctr ş rfcţor todlor d lză dtlor rtl rvd u ut fo dd d voluul ştoulu ls Dtl ot f ordot duă ut crtr sr lu: otul d t ş locul î cr s- rodus foul frcvţ rţ cstu Dfţ 85 Frcvţ solută rrztă uărul d rţ l uu rzultt î cl rt fctut sur ştoulu î t c frcvţ rltvă f st rortul dtr frcvţ solută ş voluul ştoulu stă tr odur î cr ot f orgzt rzulttl l ăsurătorlor rul dtr cst st ud f fd voluul ştoulu frcvţl solut l rţ 5

206 vlorlor corsuzător r f sut frcvţl rltv cl d l dol r f f Să rsuu cu că ăsurătorl ot f grut î trvl d vlor d lug glă fcăru trvl corsuzâdu- u rrztt ˆ Î cstă stuţ frcvţl solut soct fcăru trvl sut gl cu uărul d vlor l crctrstc ăsurt î trvlul rsctv r stfl cl d l trl t d sr sttstcă ş u ˆ ˆ ˆ f Dosr fţă d cl d l dol t costă î ftul că î sr r rrztţ trvllor F crctrstc tă ot f crctrztă r : f f * su r fucţ rcă d rrtţ ottă F tru srl d rl două ctgor cst r for * F f j j tru ultul t fucţ rcă d rrtţ st dtă d l * F l f j f l l j d fd uărul trvllor l l r d lug cstor trvl st uşor d rrct ftul că fucţ rcă d rrtţ st logul fucţ d rrtţ u vrl ltor dscrt ft Dtortă dvrstăţ ărlor oţut ş c sut csr lz ş orgzr dtlor Tdţl d grur ş îrăştr î jurul u tdţ s ăsoră cu dctor cr s dfsc slr cu c dfţ ctolul 8 d c u î vo rt Dfţ 86 Md d slcţ otul d ord st dftă r rlţ j j Dcă j rrztă vlor osrvtă vrl j vlor urcă cst sttstc st 6

207 j j Dfţ 87 Motul ctrt d slcţ d ordul r st dt d rlţ r r j j otţ cr o vo folos ş tru vlor otulu d slcţ d ord r r r j j Rzultă d c vlor dsrs d slcţ s j j Î rgrful urător vo dostr rortăţ rvd d d slcţ ş dsrs lul 88 Să cosdră u şto d d clţ uu gz ltr N rou să stud frcvţ cu cr clţ fc l l srvcl gzulu d- lugul u sătăâ ş să crctă chltull lur Y î zc d l l clţlor tru chzţor d rodus d gzul rsctv Dtl d slcţ sut urătorl î ord î cr u fost oţut: : 566; Y : Dtl d slcţ tru crctrstc u 6 vlor dstct rzultâd stfl tru cst dstruţ rcă 5 6 : 6 Î czul lu Y vo fc o grur dtlor d slcţ corsuzător î trvll rzultâd î cst od urător dstruţ rcă Y : 6 Mdl d slcţ l clor două crctrstc sut: Y

208 tru otl ctrt d slcţ d ordul l dol oţ: j j Y Y j Fucţl d rrtţ d slcţ l clor două crctrstc sut: rsctv ; ; 5 ; * 7 F ; 7 5; 9 5 6; 6 8

209 ; 75 85; 85 95; * F Y 95 5; 5 5; ; 6 Rrtţ sttstc dsol N îdrtă cu tţ sur oulţlor sttstc cr u două crctrstc ctttv su clttv Să cosdră ş Y crctrstc ctttv l u oulţ tru cr s-u dtrt vlorl r rsctv s F j frcvţl solut l czurlor tru cr ş Y j r j s fd otul slcţ î od vdt rlţ j Frcvţl rltv f j r s r s j sut f j ş sut trcut îtr-u tl d corlţ săător j u trc cu r l ş s colo Dfţ 89 Motul d slcţ d ordul î rort cu ş Y st dt d rlţl: r s r fj f j ud f f j ş f s j r s r fj f j j r f j Dfţ 8 Motul d slcţ d ord h î rort cu d ord î rort cu Y s dfşt r 9

210 r s h h fj j j Motl ctrt h s dfsc î od săător Dfţ 8 Motul ctrt t d ordul l dol r s fj j j rrztă covrţ d slcţ î t c cofctul d corlţ st s s fd dsrsl d slcţ l clor două vrl s s dvdul Cofctul d corlţ rrztă d ft o ăsură ddţ clor două vrl ş Y 8 Lg d roltt l vrllor d ştor rcul fudtl l sttstc ttc fră că frcvţ rtlă d rţ uu vt covrg cătr frcvţ tortcă dtort lu Broull Tor 8 Broull F uărul d rţ l uu vt î rt ddt ş roltt d rlzr cstu vt î fcr rţă Dcă f st frcvţ rltvă d rţ cstu vtulu tuc şrul f covrg î roltt cătr Dostrţ Dorc f st o vrlă olă şdr ş Vr u loc urătorl rlţ vâd î vdr gltt lu Cîşv: f D l f d M D c rzultă că

211 cstă toră rt dor vlur drctă roltăţ d roducr uu vt Câd rfr l o vrlă ltor tru oţr d forţ glol tru să fc l l tor lu Glvo * Tor 8 F F fucţ d rrtţ sttstc ş F fucţ d rrtţ d slcţ corsuzător u slcţ roull d volu tuc * l F F tru dostrţ îdruă cttorul sr lucrr [] Torl d covrgţă rtă codţl î cr rrtţ sttstcă rcă td cătr c tortcă cst d ură u st cuoscută d cl ult or utâd f rctă dor cu jutorul otlor d dfrt ord l vrl cosdrt Î cstă stuţ r îsă rol d stud î c ăsură dvrsl otl d slcţ covrg cătr otl tortc Tru să rcză că vlorl vrl rzultt d ăsurător sut d s vrl ltor ut vrl d slcţ l dd d ştoul ls şdr otl d slcţ dv l râdul lor vrl ltor Dcă st o vrlă ltor tă rtr-o slcţ d volu oţută rtr-u sodj ur ltor cr r otl ş dsrs Vr tuc vrll d slcţ sut ddt u cş rrtţ c ş vrl ţlă clş ot ş cş dsrs Tor 8 Dcă rrtţ tortcă u vrl st orlă d d ş dsrs tuc dstruţ d d slcţ oţută r sodj ur ltor st d s orlă Dostrţ Vrll d slcţ sut ddt ş orl rrtzt Folosd otţl uţt l îcutul rgrfulu d d slcţ f st o coţ lră d vrl rrtzt orl şdr r tot rrtţ orlă rtr fd îsă urător: M M f M f ;

212 Vr Vr f f d Osrvţ 8 Î czul u sr sttstc d rul t dscrs tror dsrs d r vlor Tor 85 F j j j j j slcţ ddt d oulţ orl N j j ş j j dl d slcţ tuc vrl Y j j j j rsctv j j j st d s orlă d rtr j j j Dostrţ lcâd tor rcdtă rzultă că j j N j Vrl Y fd j coţ lră d vrl orl rrtzt st tot orl rrtztă clcul săător clor d tor troră coducâd l dtrr rtrlor să d Tor 86 Dcă N ş rrztă vrl d slcţ oţut r sodj ur ltor tuc Y Dostrţ Cosdră Y ş N u loc rlţl: F Y Y f Y u Dorc FY du ş rzultă că Y Fucţ crctrstcă lu Y rtă că st vrlă d d

213 o slcţ oţută r sodj ur ltor dtr-o oulţ crctrztă d o rrtţ orlă rdusă ş j o rtc ortoorlă tuc vrll V j j j j sut ddt ş orl rrtzt d rtr ş Tor 87 F t Dostrţ t Dcă V V V V dorc V ş trc st ortoorlă u loc rlţl: t t t t V j V V V j j j Fucţ crctrstcă vctorulu V dv succsv: t v t V t t t d d R t t d t t Vrl V j s socză fucţ crctrstcă urător t j V t j t t j t j t j t cst lucru rtă că V j sut orl rdus rrtzt vâd î vdr că fucţ crctrstcă vctorulu V st chr rodusul fucţlor crctrstc l vrllor coot rzultă că V j sut vrl ddt d st o slcţ oţută r sodj ur ltor dtr-o oulţ crctrztă d o dstruţ orlă rdusă tuc vrll: U Tor 88 Dcă t

214 V U N ş V sut ddt Î lus Dostrţ U st o coţ lră d vrl ddt dtc rrtzt şdr U st orl rrtztă cu rtr: U Vr U Vr Vr Să cosdră cu o trc ortoorlă î cr ş V V V V vâd î vdr tor troră V j N gltăţl V j V j coduc l cocluz că V d Tor 89 F o slcţ oţută r sodj ur ltor dtr-o oulţ orl dstrută cu rtr ş tuc: U N V Dostrţ Notâd Y rzultă că Y N Cocluz rzultă uşor vrfcâd codţl d tor troră r trdul vrllor jutător trodus d

215 Ctolul 9 Tor stţ 9 sttor dlsţ Să cosdră o vrlă ltor căr lg d roltt coţ u rtru θ F vrl ltor ddt cr u cş dstruţ c ş lg o ută fucţ t cr o vo utlz c sttor l lu θ; cu lt cuvt dcă dsu d vlorl oţut rtl uărul t v f cosdrt c sttor l rtrulu θ Dfţ 9 t s uşt sttor dlst l rtrulu θ dcă d lu t st glă cu θ tru orc vlor oslă lu θ lul 9 F µ d lu tuc t st u sttor dlst l lu µ fdcă î od clr d vrl ltor st glă cu lul 9 F µ d lu ş σ dsrs lu tru u ft otă văzut î lul tror că st u sttor dlst l d µ Î cltt d sttor l dsrs lu ut lg S U clcul lgrc ltr covg că d vrl ltor S st glă cu cst rtă că S u st sttor dlst; dduc îsă dt că d lu S 5

216 st glă cu dc S st sttor dlst tru dsrs Cu lt cuvt dcă dsu d vlorl rtl vo st dsrs r 9 sttor d ă vrosltt f dstt d roltt u vrl ltor î cr θ st rtrul cr urză să f stt Să rsuu că v l dsozţ vlorl rtl l lu oţut î ur u slcţ d volu F ; Dfţ 9 Fucţ L ; f ; f ; s uşt fucţ d vrosltt Dfţ 9 U sttor d ă vrosltt st u sttor cr zză L c fucţ d θ lul 9 Să cosdră dstt oţlă ; f ; Fucţ d vrosltt st L Drvt lu L c fucţ d θ st glă cu Dduc dt că L îş tg uul tru şdr sttorul d ă vrosltt l rtrulu θ d lg oţlă st 6

217 lul 9 Să cosdră vrl cu dstt uforă f ; 7 ; rst Ţâd s d tur cst vrl vlorl rtl stsfc codţ Fucţ d vrosltt st L ; Vlor st cu tât r cu cât θ st c Dtortă codţlor us c că vlor oslă lu st r urr sttorul d ă vrosltt st lul 95 Să cosdră vrl ltor cu dstt f ; Fucţ d vrosltt st L ; rst ; Drvt lu L c fucţ d θ st glă cu l Fucţ L îş tg uul tru l l dc sttorul d ă vrosltt st î cst cz l l lul 96 F o vrlă orlă cu dstt Fucţ d vrosltt st f ; /

218 L / S costtă dt că îş tg uul tru Dc sttorul d ă vrosltt st Să osrvă că cocd cu d vrl dc sttorul d ă vrosltt st toc sttorul dlst dsr cr fost vor î lul 9 lul 97 Să cosdră o vrlă orlă cu dstt Fucţ d vrosltt st cu îş tg uul tru L f ; / / / dc sttorul d ă vrosltt st î cst cz / 8

219 Ctolul str r trvl d îcrdr Itroducr stţ uctulă uu rtru cuoscut l vlul u oulţ dş costtu o forţ î lgătură cu cst u ot f utlztă fără v o g ş sur ăr rolstc ror d str r stfl cstt stăr uu rtru r ş utul trvl d îcrdr Î ctolul d fţă vo rzt for grlă trvlulu d îcrdr rs trvlulu d îcrdr tru d clusv czul rtculr l u roorţ trvl d îcrdr tru dfrţ două d trvl d îcrdr tru dsrs ş rsctv trvl d îcrdr tru rortul două dsrs tot rcursul ctolulu v f rztt dor czul câd ştoul s forză z u slcţ sl ltor fortă r trgr ddt For grlă trvlulu d îcrdr F o oulţ sttstcă vrl sttstcă studtă r trdul u slcţ sl d volu fortă r trgr ddt ş u rtru cuoscut soct vrl tru cr s vâd dstt d oţ z slcţ sttorul roltt f Dfţ S uşt trvl d îcrdr tru rtrul trvlul cuoscut cu vlul d sfcţ h h susctl d coţ vlor lu cu o roltt ud h ş h h f h roltt dtă r rzultă d lg d 9

220 Duă osrvr sttstcă ştoulu slcţ cl două lt l trvlulu sus ţot ot f dtrt urc Itrvlul cr îcdrză rtrul r rortt că coră vlor î d czur Cu cât vlul d sfcţ st c cu tât r şs r d s fl î cl trvl d rgulă 5 roltt st roltt d grtr trvlulu vlorl cctt fd d rgulă st 95 Osrvţ Oţr clor două lt l trvlulu s rlzză su tru o ltă vrlă ord d l ftul că tru ltor d lg d roltt cuoscută căr rs îl coţ s ot dtr z lg d roltt cuoscut două vlor rtculr stfl îcât să ă loc rlţ: ş f d forulă c s ot scr r rtfc ttc stfl: h h f d Osrvţ Dcă sttorul st u sttor ctrt dlst dc trvlul d îcrdr st strc î rort cu vo v h ş h ud rrztă ror ltă d str su foră solută stfl trvlul d îcrdr s ot scr: f d ud st d oc roorţolă cu dsrs sttorulu r urr s scr d for z roltt ş ror ltă costtu îruă o ăsură rcz stăr rtrulu r D rgulă cst s fză ror stfl: R 5% ş 5% 5

221 z cstor rtr cz v rzult dsu ştoulu r cr s sgură rcz dortă folosd î cst sco forul z î cr s v vd că dsrs sttorulu dd ş d voluul l slcţ r z dd d vlul d sfcţ stlt ş d lg d roltt lctă Itrvl d îcrdr tru d Vo cosdr î cl c urză czul câd rtrul cuoscut cr dor să-l stă r trvl d îcrdr st d u vrl ltor roozţ Itrvlul d îcrdr tru d u vrl c urză lg orlă N cu IR cuoscut ş cuoscut st d for z z cu z z ud st d d slcţ corsuzător uu şto oţut r trgr ltor ddt st vlul d sfcţ r z st cutl d ord rrtţ orl stdrd dtă r fucţ d rrtţ fucţ tgrlă dt t Llc - Guss Dostrţ Îtrucât N r d d slcţ st d for trgrl fd ddt urză că N ş drt v că vrl

222 Z urză lg orlă stdrd ctrtă ş rdusă N Î coscţă fd dt u rg d sfcţ 5 vo găs două ur z ş z stfl îcât: z z dt z z z z t ud st fucţ d rrtţ lg orl stdrd Llc-Guss dt t l căr vlor sut tlt M drt r rtfc d clcul folosd roltt uor vt chvlt v că: z z dt z z z z t tru ft s ot dtr o ftt d ur z ş z stfl îcât z z îsă tru o rcz cât uă trvlulu d îcrdr v trs u trvl d lug ă or cst s oţ tru czul câd z z r urr v z z dt z z z z t Î cst cz z s dtră d rlţ z z cu z z dcă z c c îsă că z z st cutl d ord rrtţ orl stdrd r urr trvlul st dt r forul z z d

223 Osrvţ Vlorl fucţ d rrtţ Llc - Guss t dt sut tlt dcă tru roltt ulră vo găs î tl vlor cutl z z îsă stă ş tl cr rztă t ~ vlorl fucţ dt cz î cr z st corsuzător vlor Osrvţ Folosd otţ: z s ot scr trvlul d îcrdr c u cz rtculr l forul fd sttor dlst ş u: Dtrr fctvă clor două lt rsuu cuoştr rs ttc sttorulu ş ror d ătrtc d str fcr vrd d l u t d sodj l ltul c fd rztt dor czul uu sodj ltor slu cu trgr ddt Cu cât lug trvlul d îcrdr rsctv vlul d sfcţ sut c cu tât stţ rtrulu cuoscut st uă Osrvţ tru slcţ d volu r trvlul d îcrdr tru d rczt î roozţ st vllă ş tru czul î cr vrl urză o lg orcr d roltt dtortă Tor ltă ctrlă lul 5 Să rsuu că dsu d vlorl u vrl N oţut rtr-o slcţ slă cu trgr ddt d volu 5 ş d d 55 octvul fd cl d st d l vlul oulţ cuoscută rtr-u trvl d îcrdr d 95% Soluţ Îtrucât 5 oţ d z 96 ş drt tru 95% d czur

224 r urr î 95% d czur trvlul v cor vlor cuoscută rtrulu roozţ 6 Itrvlul d îcrdr d t tru d u vrl c urză lg orlă N cu IR cuoscut ş s s cuoscut st d for t t cu t s t s ud st d d slcţ corsuzător uu şto oţut r trgr ltor ddt s st stţ solut corctă lu st vlul d sfcţ r t st cutl d ord rrtţ Studt cu - grd d lrtt Dostrţ Cofor lglor d roltt l vrllor d ştor tuc câd N vrl T urză lg Studt cu - grd d s lrtt îtrucât s oţ c rort îtr două vrl ddt o vrlă c urză lg orlă stdrd ş rdclul u lt vrl d t rorttă l uărul grdlor d lrtt rocdâd c î czul câd st cuoscut s oţ trvlul d îcrdr corsuzător d lul 7 Să cosdră str rtr-u trvl d îcrdr d t 98% ot d d rrtţ orlă ord d l urătorl dt: Soluţ Îtrucât 6 oţ d t 65 z slcţ v s ş drt î 98% d czur

225 r urr î 98% d czur trvlul 9 - v cor vlor cuoscută rtrulu Osrvţ 8 tru slcţ d volu r dfrţ îtr vlorl cutllor rrtţ Studt ş cl l rrtţ orl stdrd st gljlă D s st gljlă ş dfrţ dtr sttorul solut corct s forul cu îlocut d 5 ş sttorul r urr s ot utlz roozţ 9 tru slcţ d volu r trvlul d îcrdr d t tru d u vrl c urză lg Broull d rtru cusocut st d for ˆ z ˆ ˆ ˆ ˆ z ˆ ud ˆ st d d slcţ corsuzător uu şto oţut r trgr ltor ddt st vlul d sfcţ r z st cutl d ord rrtţ orl stdrd Dostrţ Md u vrl ltor c urză lg Broull d rtru cuoscut r tru slcţ d volu r cofor Osrvţ o rrtţ rotv orlă cu d glă cu ş tr d ătrtcă ˆ ˆ rotv glă cu r urr lcâd roozţ s oţ trvlul dort d O stfl d d ră d ft roorţ d dvz dtr-o oulţ cr u o ută crctrstcă ş st trttă c d u vrl cu vlorl ş r vlor otâd vlor vrl tru dvz cr u cstă crctrstcă

226 lul L u sodj lctorl d d rso chstot s- u rouţt î fvor uu cddt scoul fd dtrr uu trvl d îcrdr d t 95% tru roctul d lgător fvorl clu cddt Soluţ Î 95% d czur trvlul v f dcă - 96 r urr î 95% d czur roctul fvorl cddtulu v f rotv îtr % ş 5% Itrvl d îcrdr tru dfrţ două d Vo cosdr î cl c urză rol dtrăr trvllor d îcrdr tru dfrţ două d utlă î czul î cr dor să v o forţ rvd dfrţ d coortt u vrl d l o oulţ l lt roozţ F două oulţ studt î rort cu vrl tru r oulţ vrl fd d tul N r tru dou d tul N cu cuoscut rsctv cuoscut F d s două slcţ zt trgr ddt d volu ş rsctv d cl două oulţ cu dl d slcţ tru u vl d sfcţ trvlul d îcrdr tru dfrţ clor două d st d for z z ud z Dostrţ st cutl d ord rrtţ orl stdrd Vrl ltor stdrd d Z urză lg orlă lul Vo dtr trvlul d îcrdr d t 95% tru dfrţ dlor u vrl î două oulţ dfrt î cr s rsuu 6

227 că rrtţl vrl sut orl d d cuoscut rsctv ş dsrs cuoscut ord d l slcţl d volu 7 ş rsctv 8 d d ş rsctv Soluţ Î 95% d czur trvlul v f roozţ F două oulţ studt î rort cu vrl tru r oulţ vrl fd d tul N r tru dou d tul N cu cuoscut rsctv cuoscut dr gl F d s două slcţ zt trgr ddt d volu ş rsctv d cl două oulţ cu dl d slcţ ş sttor solut corcţ dsrslor s s tru u vl d sfcţ trvlul d îcrdr tru dfrţ clor două d st d for t S t S ud t st cutl d ord s s grd d lrtt r S rrtţ Studt cu Dostrţ Vrl ltor T grd d lrtt d S urză lg Studt cu lul Î vdr corăr coorttulu u vrl î două oulţ orl vâd cş dsrs s u rol dtrăr uu trvl d îcrdr d t 95% tru dfrţ dlor vrl î cl 7

228 două oulţ ord d l două stur d dt d volu ş cu dl 5 ş rsctv ş s s Soluţ Î 95% d czur trvlul v f 5 t S 5 t S cu t t ş S roozţ 5 F două oulţ studt î rort cu vrl tru r oulţ vrl fd d tul N r tru dou d tul N cu cuoscut rsctv cuoscut ş dfrt F d s două slcţ zt trgr ddt d volu ş rsctv d cl două oulţ cu dl d slcţ ş sttor solut corcţ dsrslor s s tru u vl d sfcţ trvlul d îcrdr tru dfrţ clor două d st d for t s s s s t ud t st cutl d ord c lrtt ud c rrtţ Studt cu grd d r s c s s Dostrţ Vrl ltor T grd d lrtt d s s urză lg Studt cu 8

229 lul 6 Î vdr corăr coorttulu u vrl î două oulţ orl vâd dsrs dfrt s u rol dtrăr uu trvl d îcrdr d t 95% tru dfrţ dlor vrl î cl două oulţ ord d l două stur d dt d volu ş cu dl 5 ş rsctv ş s s Soluţ Î 95% d czur trvlul v f 5 t 5 t S cu rlţ t dtrt d tru 975 c c 9 cu c 9 9 ş dtrt d Osrvţ 7 Dcă voluul slcţlor st r s ot cosdr că vrll ltor utlzt î roozţ ş roozţ 5 u rrtţ orlă folosdu-s stfl forul î cr s stză r otl ctrt d ord corsuzător clor două slcţ D s tru slcţ r forul s ot utlz ş tru oulţ î cr rrtţ vrl u st orlă Itrvl d îcrdr tru dsrs ş rortul două dsrs U lt rtru cr s ot st r trvl d îcrdr st dsrs vrţ u vrl D s duă cu s- utut osrv î rgrful tror tru oţ stţ rvd dfrţ două d st utl să v forţ dsr rortul dtr dsrsl corsuzător tuc câd l u s cuosc sct c vor f rztt î cst rgrf roozţ Itrvlul d îcrdr d t tru dsrs u N cu IR cuoscut ş vrl c urză lg orlă cuoscut st d for 9

230 s s ud s st stţ solut corctă lu tru o slcţ d volu ztă st vlul d sfcţ r ş trgr ddt lrtt sut cutll d ord ş l rrtţ cu - grd d Dostrţ Îtrucât cofor lglor d roltt l vrllor d ştor cu o suă d ătrt d vrl ltor ddt d d ş rrtţ orlă r o rrtţ d t cu - grd d lrtt v că s vrl urză lg cu - grd d lrtt r urr tru u vl d sfcţ găs două ur ş stfl îcât Dcă lg ş cutll d ord ş l rrtţ cu - grd d lrtt s oţ d ud r rtfc d clcul rzultă trvlul dort d lul Î vdr stăr vrltăţ uu strut d ăsurr s u rol dtrăr uu trvl d îcrdr d t 98% tru ord d l 5 ăsurător ddt rsuus c fd trs dtr-o rrtţ orlă tru cr s- clcult s

231 Soluţ 5 5 Î 98% d czur trvlul v f 99 ud 8 ş 97 rzultă d cu vlorl tlt l lg 99 roozţ F două oulţ studt î rort cu vrl tru r oulţ vrl fd d tul N r tru dou d tul N cu cuoscut rsctv cuoscut F d s două slcţ zt trgr ddt d volu ş rsctv d cl două oulţ cu dl d slcţ ş sttor solut corcţ dsrslor s s tru u vl d sfcţ trvlul d îcrdr tru rortul clor două dsrs v f f s s f s s ud f ş f sut cutll d ord rrtţ Fshr-Sdcor cu ş grd d lrtt ş l Dostrţ Cu rortul două vrl d t v că vrl s st o vrlă d t Fshr F urză lg Fshr cu s ş grd d lrtt ş rţoâd c î roozţ troră s oţ trvlul dort d lul Î vdr corăr coorttulu u vrl î două oulţ orl s u îtâ rol dtrăr uu trvl d îcrdr d t 95% tru rortul dsrslor î cl două oulţ ord d l două stur d dt fcr d volu ş cu s ş s

232 Soluţ Î 95% d czur trvlul st f 9975 f 95 cu f 59 dtrt d cu vlorl tlt l lg Fshr 9975 ş f f 9975

233 Ctolul Tor dcz Dcz rc Î vţ d z cu z sut voţ să luă dcz ortt su uţ ortt l fcr s Câd trvrsă strd rtr-u loc rs culg î od rc câtv forţ dstţ âă l cl rot vhcul vtz cu cr s ro d o tc o luă dcz d trvrs D fcr dtă suă rscul c dcz să f grştă ş uor dcz chr st grştă Dcz sttstc Fr d utool F tru să cur o r cttt d vlo ş r d ls îtr ărcl ş Ît d lu o dcz fr tstză vlo d t ş vlo d t vâd l dsozţ ăsurătorl cr rzultă î ur tstărlor fr dcd că vlol sut suror cstă dcz s zză tstr uu uăr d vlo cr r forţ lucrurlor st c î rort cu uărul r d vlo cr vor f cuărt r urr stă rscul c dcz să f grştă ot f ăsurt cst rsc? Truful tor sttstc dczlor costă toc î osltt d ăsur grdul d rsc î tr uor roltăţ octv rlucrâd sttstc rzulttl urc l ăsurătorlor sttstc fr F ot couc grulu că roltt c dcz să f grştă st că dcât să zc 5 Tâd s d toţ fctor lcţ grul ot dcd că rscul st cctl Dcă roltt c dcz să f grştă st r r grul ot cr tst sultr su ot lu î cosdrr rtr sultr Câd dcd să trvrsă strd rtr-u loc rs ctoă z uor roltăţ suctv ş dc grdul d rsc st rct î od suctv Câd v l dsozţ rzulttl urc l uor rt tor sttstcă dczlor rt să ăsur grdul d rsc soct u dcz î tr uor roltăţ octv

234 Î cl c urză vo rzt ut tod d clcul stfl d roltăţ octv ş lct d rc grdul d rsc soct u dcz Mtod d cst t vor f lct l tstr şrurlor r cu scoul d dcd dcă sut ltor Iotz sttstc Îtr-o ccţu lrgă r otză sttstcă îţlg o otză sur uu fo ltor ut forul d lu otz sur tur dstruţ u vrl ltor: orlă olă osso tc Su dcă tur dstruţ st rcztă ut forul otz sur vlorlor urc l rtrlor cr trv î structur lg rsctv d roltt Iotz cr urză să f tsttă s otză cu H st csr să forulă ş otză ltrtvă ottă cu H Dcă d lu H st otz că u ut rtru r o vlor urcă tuc H ot f otz că r o lt vlor urcă lt lu r ut f otz H : ; cu lt cuvt H ot f ur ş slu otz că H st flsă U tst sttstc r r d rcod cctr otz H ş dc rsgr lu H su rsgr lu H ş dc cctr lu H Tst sttstc U tst sttstc s zză u rt î ur căru su otz H ut dduc vlor urcă u sttstc Î sţul vlorlor cr l ot lu vo zol o suulţ ută zo crtcă tstulu Dcă vlor urcă lu furztă d rt rţ zo crtc vo dcd că rsg otz H ş cctă otz H ; î cz cotrr cctă H ş rsg H Îtrucât rzulttul rtulu st fluţt d fctor ltor dcz ostră u st fllă: ot f rotă 5 Tur d ror Să rsuu că H st dvărtă dr că î cud cstu ft dtortă fctorlor ltor vlor lu oţută î ur rtulu rţ zo crtc No vo dcd să rsg otz H dr cstă dcz v f vdt grştă Î cst cz s su c cos o ror d t I

235 Clltă ror oslă st d cct otz H câd î rltt st flsă; cst s îtâlă câd dş H st flsă vlor lu î ur rtulu s lsză î fr zo crtc Î cst cz v d fc cu o ror d t II 6 Nvl d sfcţ roltt d cot o ror d t I s otză cu α ş s uşt vl d sfcţ l tstulu Dcă d lu α=5 ş lcă tstul d d or î rotv 5 d czur vo rsg î od rot otz H roltt d cot o ror d t II s otză cu β Dsgur că dor să roctă tst tru cr roltăţl d ror α ş β să f c Î ut stuţ s cută zr su α + β Î lt czur s fză vlul d sfcţ α ş s cută tstul tru cr β să f ă Î czur col rtr cr ş tstr şrurlor r clculul lu β st dfcl su chr osl ş că s fză dor vlul d sfcţ α cst cosdrţ sut lfct î urătorul lu Cosdră o ută dstruţ d roltt căr foră o cuoşt dr î structur căr tr u rtru cuoscut θ F H : θ= θ ş f K zo crtcă tstulu v K H st dvrt K Îtrucât dstruţ d roltt st colt scfctă roltt d sus ot f clcultă F H : θ= θ tuc K H st fls K H st dvrt K D ou dstruţ d roltt st colt scfctă dc roltt β ot f ş clcultă F H : θ θ cu K D dt cst rtrul θ u st scfct dc clculul lu β st dfcl su chr osl 5

236 7 U lu Notă cu tul dtr două slzăr succsv l uu cotor Ggr D studul dztgrăr rdoctv s şt că vrl ltor r dstt oţlă: t t f t rst ud θ st u rtru cr dd d tur trlulu rdoctv U fzc dorşt să tstz vlor lu θ tru u ut trl rdoctv D ut cosdrt tortc su rtl l şt că θ ot lu f vlor f vlor ; tuţ fzculu fvorzză vlor şdr s tstză otz: H : î rzţ otz ltrtv: H : tru sltt răr vo rsuu că s fc o sgură osrvţ sur vrl cu lt cuvt s ăsoră lug uu sgur trvl d t dtr două sctlţ coscutv l cotorulu Ggr; dsgur că î rctcă tstr s v z ult stfl d osrvţ Notă cu vlor ăsurtă lu lg drt zoă crtcă tstulu trvlul + cst îsă că: Dcă > vo rsg otz H ş vo cct otz H ; Dcă < vo cct otz H ş vo rsg otz H ş dc Să clculă vlul d sfcţ l tstulu v H dvrt tru θ= dstt d roltt st f t t t t f dt dt t 6 şdr roltt d cot o ror d tul I d rsg î od rot otz H st glă cu Să clculă cu roltt d cot o ror d tul II dcă d cct rot otz H c c st totu cu rsg rot otz H H dvrt tru θ= dstt d roltt st

237 ş tuc v f t t t Dsgur roltt u ror d tul II st r dr cst s lcă r ftul că tstul ostru s zză o sgur osrvţ st utlă o trrtr gotrcă ftlor d sus tru θ= grfcul dstăţ d roltt st schţt î fgur d jos Zo crtcă st trvlul + d O roltt c osrvţ să rţă zo crtc st glă cu r surfţ dltt d grfc ş dsur zo crtc Nvlul d sfcţ α st gl cu cstă r tru θ= v grfcul d jos: 7

238 Zo crtcă st trvlul ] r roltt β st glă cu r dlttă d grfc ş dsur zo crtc Să costru cu lt tst cu clş vl d sfcţ dr î cr rgu crtcă să f u trvl d for cst îsă să dtră uărul > stfl îcât Codţ d sus s trscr î for chvltă: d ud s ot dduc =7 Î cst codţ roltt u ror d tul II v f dt 9 Costtă cu că roltt β st r dcât î stuţ rcdtă r urr tstul tror zt zo crtcă st suror Itrrtr gotrcă î czul l dol s dduc d urătorl grfc 7 t 8

239 Nvlul d sfcţ α st gl cu r surfţ stut dsur zo crtc Grfcul corsud vlor θ= roltt β st glă cu r surfţ stut dsur zo crtc Grfcul st trst tru vlor θ= 8 Rlţ dtr roltăţl α ş β Î fcr stuţ cocrtă st ortt să şt cr dtr cl două ror osl r roduc cl r rjudc ş să lză roltt d cot c ror Itutv st clr că dcă s cşorză vlor lu α v crşt vlor lu β ş vrs cst ft ot f lustrt gotrc î codţl lulu d scţu troră Să rluă otzl: H : ; H : rfrtor l rtrul O d dstt d roltt t t f t t lg drt zo crtcă tstulu u trvl d for ud 9

240 Î cstă fgură st trst grfcul dstăţ tru θ= Nvlul d sfcţ α cocd cu r d su grfc l drt lu c tru θ= grfcul dstăţ d roltt st trst î fgur d sus; roltt β cocd cu r surfţ d su grfc l stâg lu c st clr că lgr lu c dtră vlorl lu α ş β cşor α îsă ut uctul c sr drt; vdt că ş îl vo ăr β Ivrs -l cşor β îsă ut uctul c sr stâg c c îl ărşt α O rctcă ds îtâltă î stuţ cocrt st c d f u ut vl d sfcţ d oc α= 5 su α= α= ; o dtr tstl cu cst vl α s cută uul tru cr β să f cât c cu utţă Itutv st clr că dcă uărul d osrvţ cr s zză tstul crşt tuc β scd; îsă u uăr sort d osrvţ ot gj costur sultr cosdrl 9 utr uu tst Să cosdră d ou dstt d roltt f t t t t

241 Vo tst otz H : ; î rzt otz ltrtv H : cr v îlocu otz ltrtvă θ= cosdrtă tror Cosdră drt zoă crtcă trvlul c c îsă c vlul d sfcţ st α= D dt cst otz ltrtvă H u scfcă o vlor cuoscută lu θ ş îcât u ut dc o vlor urcă roltăţ β; ut îsă dtr rs lu β c fucţ d vrl Îtr-dvăr st roltt c să rţă zo crtc câd vlor rtrulu st θ t dt t şdr roltt c o să cctă î od rot c vlor rtrulu uărul câd dvărt vlor st θ v f glă cu Î grl fucţ s uşt fucţ d utr tstulu su utr tstulu cstă fucţ dscr roltt c tstul să rsgă otz H tuc câd st rotă Î czul lulu d sus v: ; grfcul cst fucţ st schţt jos tru fcr vlor θ rtrulu fucţ d utr θ dscr roltt c să rţă zo crtc; î rtculr = Dcă θ = vlor rotă st rssă cu roltt 7 r dcă θ =5 cş vlor rotă st rssă cu roltt 6