MATRICELE DE MASĂ ALE ELEMENTELOR FINITE UZUALE ŞI CONSIDERAłII PRIVIND INTRODUCEREA AMORTIZĂRII

Transcript

1 6. MATRICELE DE MASĂ ALE ELEMENTELOR FINITE UUALE ŞI CONSIDERAłII PRIIND INTRODUCEREA AMORTIĂRII Elmntul fnt Masa3D S consdră un lmnt fnt d tp masă concntrată într-un punct, pntru car drcńl prncpal al momntlor d nrń masc concd cu sstmul d rfrnńă global (Fg..). Elmntul s consdră ataşat modlulu într-un nod I. Acsta ar contrbuń în cuańa d mşcar (.) numa în matrca d masă, ş vntual, ndrct, în matrca d amortzar vâscoasă, prn amortzara d tp Ralgh. Mărml ncsar pntru a dfn complt un lmnt fnt d tp masă concntrată sunt: masa m (M) ş momntl d nrń masc prncpal x, Y ş rspctv z. Pntru un sold car s încadrază în potzl smplfcatoar d ma sus, adcă soldul s consdră rgd ş drcńl prncpal al momntlor d nrń masc corspund sstmulu d rfrnńă global, acst mărm s dtrmnă cu rlańl [4, 7] m ρ d ; Y ( z ) + ( x z ) + ( x ) + ρ d ; ρ d ; ρ d. (.8) Fg..: Elmntul fnt Masa3D. sunt nul. S mnńonază că momntl d nrń masc cntrfugal, fată d sstmul d ax prncpal Y x ρ d ; Y z ρ d ; xz ρ d, (.9)

2 Pntru câtva sold d formă partculară, xprsl d calcul al maslor ş momntlor d nrń masc s przntă în Tablul.4. Matrca d masă a lmntulu în coordonat global st dagonală [ M ] M m m m Y. (.) Tablul.4: Caractrstc nrńal al unor sold d formă partculară. Corpul PozŃa axlor ş notańl gomtrc RlaŃ d calcul Clndru (dsc) cu gaură ( ) m πρt R R m R + R ( ) Y m3( R + R ) + t Blă plnă 4 m π R 3 Y mr 5 3 Parallppd drptunghc pln m ρabc m b + c ( ) Y m a + c ( ) m a + b ( )

3 Tor pln m ρπ Rr Y m R + r 8 ( 4 5 ) 3 m R + r Elmntul fnt Arc3D Lgăturl slab dntr lmntl un structur sau dntr structura modlată ş lmntl d lgătură cu xtrorul, s chvalază prn ntroducra unor forń ş momnt nodal car lucrază asupra modlulu. Acst forń s consdră că au o componntă lastcă dată d matrca d rgdtat ş o componntă dspatvă dată d matrca d amortzar vâscoasă. În programl d fańă s consdră două varant d lmnt lastc dscrt numt în contnuar Arc3D_L ş Arc3D_. Prma varantă corspund unu lmnt lastc cu amortzar vâscoasă car lucrază într două nodur d coordonat dfrt ş st dfnt în sstmul d rfrnńă local al lmntulu. aranta a doua st dfntă drct în sstmul d rfrnńă global ş cl două nodur într car s dfnşt lmntul pot f concdnt. Acastă stuań st întâlntă la îmbnărl cu artculań clndrcă ş sfrcă pntru car s poat modla rgdtata ş amortzara îmbnărlor. Elmntul Arc3D_L Cl două matrc d rgdtat ş amortzar sunt dfnt nńal în sstmul d rfrnńă local, lgat d lmntul fnt. Elmntul fnt s consdră gnrat d două nodur nconcdnt I ş într car xstă numa o componntă d forńă axală ş una d momnt d răsucr (Fg..3).

4 Fg..3: Elmntul fnt tp Arc3D_L. Dn cauza transformărlor d coordonat, în sstmul d rfrnńă global lmntul ar şas componnt al dplasărlor (dplasăr ş rotr) drpt grad d lbrtat nodal. Clor şas grad d lbrtat dn fcar nod, ordonat U, UY, U, R, RY ş R l corspund forńl ş momntl nodal F, FY, F, M, MY ş M. În sstmul d rfrnńă local xz s pot dfn forturl, poztv dacă rspctă snsurl prczat în Fg..3. Pntru dfnra compltă a lmntulu fnt trbu prczat constantl d rgdtat axală k t [N/m] ş d răsucr k r [Nm/rad], prcum ş cofcnń d amortzar vâscoasă la translań c t [Ns/m] ş la răsucr c r [Nms/rad]. Orntara lmntulu s obńn dn coordonatl nodurlor d capăt I ş. S obsrvă că nu st nvo d un nod d orntar doarc forturl sunt orntat în lungul ax x. Spr dosbr d lmntul Bam3D, car ar tot grad d lbrtat, ş pntru car matrca d rgdtat st d rang 6 (s pot rprznta cl şas mşcăr d corp rgd), lmntul Arc3D_L, pntru car kt ş kr ar rangul, dc p lângă cl 6 mşcăr d corp rgd xstă ş 4 mşcăr d mcansm. Dacă acst lmnt s folosşt pntru modl în car unl grad d lbrtat nu sunt prluat d lmntl vcn ş nu sunt blocat atunc pot apar mşcăr ndort d mcansm, dc trbu acordată o atnń dosbtă în folosra lor fcntă. Lgara lmntlor în sr, fără un lmnt d masă ntrmdar, poat conduc la grad d lbrtat fără masă ataşată, dc la matrc d masă sngulară pntru car analza dnamcă nu st posblă fără o sr d corcń numrc car nu sunt nclus în programl przntat în acastă lucrar. Matrcl d rgdtat ş amortzar în coordonat local sunt: kt kt kr kr k A kt k ; (.) t kr kr

5 ct ct cr cr c A ct c. (.) t cr cr Transformara matrclor în sstmul d rfrnńă global s fac cu rlańl T A A K T k T ; T A A C T c T, (.3) în car matrca d transformar T st dfntă d rlańa (.7) ar matrca d rotań (.6) conńn cosnusurl drctoar al unghurlor format d axl d coordonat al clor două sstm d rfrnńă local-global. S obsrvă că numa axa locală ox st unc dfntă axl o ş oz pot ava orc pozń în planul prpndcular p axa ox. Elmntul Arc3D_ Cl două matrc d rgdtat ş amortzar sunt dfnt drct în sstmul d rfrnńă global. Elmntul fnt s consdră gnrat d două nodur I ş car pot f concdnt ş într car xstă toat componntl forturlor, dcuplat într l (Fg..3). În sstmul d rfrnńă global lmntul ar şas componnt al dplasărlor (dplasăr ş rotr) drpt grad d lbrtat. Clor şas grad d lbrtat dn fcar nod, ordonat U, UY, U, R, RY ş R l corspund forńl ş momntl nodal F, FY, F, M, MY ş M. ProprtăŃl lmntulu s dfnsc prn şas constant lastc ş şas cofcnń d amortzar corspunzător fcăru grad d lbrtat. Trbu prczat constantl d rgdtat axală (fańă d cl tr ax al sstmulu d rfrnńă global) k, k ş k [N/m] ş constantl d rgdtat la răsucr k xx, k [Ns/m] ş la răsucr c xx x ş k zz [Nm/rad], prcum ş cofcnń d amortzar vâscoasă la translań c x, c ş c z, c c zz [Nms/rad]. Elmntul Arc3D_, pntru car toat constantl lastc sunt nnul ar rangul 6, dc nu xstă mşcăr d mcansm în lmnt. Elmntul s poat utlza pntru modlara condńlor d margn, adcă rzmăr lastc cu amortzar vâscoasă, a ntracńun lastc ş/sau cu amortzar într componntl unu sstm, tc. La lmtă, dacă toat constantl d rgdtat pntru un lmnt d tp Arc3D_ tnd cătr nfnt, adcă au valor mar în raport cu rstul lmntlor fnt dntr-un modl, atunc lmntul s comportă ca un rgd sau o lgătură rgdă. Dacă rgdtăńl la răsucr sunt nul ş cl axal nfnt, pntru nodur concdnt, s modlază o artculań sfrcă. Dacă două dntr rgdtăńl la răsucr ş cl tr axal sunt nfnt, pntru nodur concdnt, s modlază o artculań clndrcă. z

6 Fg..4: Elmntul fnt tp Arc3D_. Matrcl d rgdtat ş amortzar în coordonat global sunt: kx kx k k kz k z kxx kxx k k kzz k ; (.4) zz K A kx k x k k kz kz kxx kxx k k kzz k zz cx cx c c cz c z cxx cxx c c czz c zz C A. (.5) cx c x c c cz cz cxx cxx c c czz c zz

7 .6. Caractrstc nrńal al modllor cu lmnt fnt DstrbuŃa d masă în modlul cu lmnt fnt st snńală pntru obńnra unu modl dnamc fdl structur analzat. Elmntl fnt, în cazul d fańă lmntl d tp Bam ş Masa, contrbu cu masă dstrbută ş concntrată la masa modlulu cu lmnt fnt. S poat consdra că fcar lmnt fnt, raportat la sstmul d rfrnńă global, st un lmnt dscrt d coordonat, Y ş, caractrzat d o masă propr m ş o matrc d nrń smtrcă (Fg..5), car conńn momntl d nrń masc (mcanc) axal ş cntrfugal [ ], Y,, Y, Y, Y,, Y,,. (.6) Pntru lmntul Bam momntl d nrń masc în coordonat local (adcă în sstmul d rfrnńă prncpal al lmntulu), s obńn dn rlańl d dfnń (.8) ş (.9), rzultă astfl m ρ A L ; ( I I ) ρ L + x, z ; m L ρ L I ;, + m L ρ L I z ; z, + x, ; z, ; xz,. (.7) PozŃa cntrulu d masă al lmntulu s dtrmnă dn coordonatl nodal, adcă I + ; YI + Y Y ; I +. (.8) Fg..5: Aspct nrńal pntru o structură dscrtă, dn bar ş mas concntrat.

8 Dacă matrca d nrń a unu lmnt Bam în coordonat local s notază x, x, xz, l x,, z, xz, z, z, atunc matrca d nrń a lmntulu în coordonat global rzultă [4] T l [ ] [ λ] [ λ], (.9), (.) în car [ λ ] st matrca cosnusurlor drctoar (.6) dntr cl două sstm d rfrnńă. Pntru lmntul d tp Masa, momntl d nrń, nclusv masa, sunt dat d ntrar drct în coordonat global. Un modl cu lmnt fnt poat f vrfcat înant d a fctua o analză ş prn comparara caractrstclor nrńal cu cl al structur p car o rprzntă. În contnuar s przntă modul în car acst proprtăń d nrń pot f calculat folosnd dscrtzara modlulu. D rgulă fnńa dscrtzăr nu nflunńază sszabl rzultatul caractrstcl nrńal al modlulu, dar proptăńl lmntlor, prcum ş datl d matral, au o nflunńă snńală în rzultatul fnal. Dn acst motv s rcomandă vrfcara modlulu cu lmnt fnt înant d fctuara analzlor dnamc ş dn punct d vdr al pozń cntrulu d grutat, al mas total ş a momntlor d nrń mcanc. Programl folost în acastă lucrar calculază ş afşază acst mărm înant d a încp rzolvara propru-zsă. Masa totală a modlulu cu lmnt fnt ş pozńa cntrulu d masă rzultă dn rlańl: M ; m m ; Y M my ; M în car suma s fctuază pntru toat lmntl fnt car nclud masă. m, (.) M Momntl d nrń axal al modlulu, fańă d sstmul d rfrnńă global, s obńn dn rlańl [7] (, + m ( Y ) ( Y, + m ( ) ( + m ( Y ) + ; Y + ;, +. (.) Momntl d nrń cntrfugal al modlulu, fańă d sstmul d rfrnńă global s obńn dn rlańl (, ) Y Y + m Y ; (, ) Y Y + my ; (, ) + m. (.3) Momntl d nrń al modlulu fańă d sstmul d rfrnńă cntral sstmul d rfrnńă global cu orgna în cntrul d grutat al modlulu, s obńn folosnd torma Hugns-Stnr [7], adcă

9 ( ) ( ) ( Y ), M Y + ;, M Y ; Y Y Y, Y M + ;, M Y ; Y Y, M + ;, M. (.4) Dn acst valor formază matrca d nrń fańă d sstmul d rfrnńă cntral, car st lstată ş d programl d calcul în forma [ ], Y,, Y, Y, Y,, Y,,. (.5) Sstmul d rfrnńă prncpal al proprtăńlor nrńal pntru car matrca d nrń ar formă dagonală, (.6) 3 [ ] s obńn dn rzolvara problm d valor ş vctor propr [ ]{ x} λ{ x}. (.7) alorl propr rprzntă momntl d nrń prncpal, ordonat dscrscător 3, ar vctor propr, d normă ucldană untat, sunt cosnusurl drctoar al drcńlor prncpal fańă d sstmul d rfrnńă global. Matrca d amortzar Exstă rlatv puńn tpur d lmnt fnt car gnrază o matrc d amortzar. Acasta, d obc, s dfnşt pntru un lmnt undmnsonal d amortzar vâscoasă. În analza structurală pntru sstm nconsrvatv ş ngroscopc s-au ntrodus ş alt rprzntăr al fctulu d dspar a nrg [7, 8, 3, 38, 39]. D rgulă s consdră rprzntăr obńnut dn dtrmnăr xprmntal, car conduc la o formular matmatcă smplfcată a cuań d mşcar. În contnuar s fac o scurtă trcr în rvstă a acstor rprzntăr. Pntru încput s dscută cazul sstmulu cu un sngur grad d lbrtat doarc acsta st mult ma smplu ş unor cuańl d mşcar s pot dcupla folosnd coordonatl modal. Pntru un sstm cu un grad d lbrtat ş amortzar vâscoasă, forńa dspatvă (d amortzar), s prsupun proporńonală cu vtza, asfl cuańa d mşcar s scr muɺɺ + cuɺ + ku f xt, (.8) în car cofcntul d amortzar vâscoasă c st constant. Est ma comod însă a s lucra cu o amortzar rlatvă, xprmată prn raportul d amortzar (sau fracńuna dn amortzara crtcă) ζ, dfnt ca raport dntr cofcntul c ş cofcntul crtc c cr, car marchază trcra dn rgm

10 osclatoru în rgm aprodc, pntru o încărcar traptă sau mpuls. Exprsa raportulu d amortzar st [3] c c ζ. (.9) c km cr Exstă însă matral, cum ar f d xmplu caucucul, pntru car în rgm armonc, rgdtata k + η, în car η st cofcntul d poat f dtrmnată xprmntal ş s xprmă în complx ( ) amortzar structurală (hstrtcă). Dacă acastă amortzar s ntroduc în cuańa (.8), trmnul c poartă numl d amortzar vâscoasă chvalntă ş rzultă ηk c, (.3) ω und ω st pulsańa forń xtroar. Trbu rńnut că acastă formă d amortzar st valdă doar pntru solctăr armonc. DfrnŃa snńală dntr amortzara vâscoasă ş ca hstrtcă, constă în faptul că nrga dspată p un cclu, dpnd lnar d frcvnńa d osclań, pntru amortzara vâscoasă ş st ndpndntă d frcvnńă, în cazul amortzăr hstrtc. În cazul lmntlor fnt, cuata gnrală (.) pntru sstm ngroscopc st smlară cuań (.8), pntru un grad d lbrtat, în car matrca d amortzar, în cl ma gnral caz, s formază dn [7, 8]: -amortzara proporńonală (Ralgh), ntrodusă artfcal dn ncstăń d dcuplar a cuańlor dfrnńal; -amortzara hstrtcă, ndpndntă d frcvnńa d lucru, dpndntă d matrca d rgdtat globală sau d rgdtata fcaru matral în part; -amortzara gnrată d dvrs tpur d lmnt fnt, cum ar f lmntl d tp Arc3D; -amortzara modală, ntrodusă dn consdrnt practc, d folosr a datlor xprmntal. Dacă s Ńn sama d toat forml amortzăr prczat ma sus, în MEF matrca d amortzar, consdrată proporńonală cu vtza, dvn NMAT [ ] α [ ] ( β β )[ ] β [ ] C M + + K + K + C + C ζ în car: α ş β sunt cofcnń constanń Ralgh; capabl d a ntroduc amortzara hstrtcă; NE, (.3) c j j k j k β c st un cofcnt varabl cu frcvnńa, β j, K j ş NMAT rprzntă cofcntul d amortzar al matralulu j, porńuna dn matrca d rgdtat gnrată d lmntl dn matralul j, ş rspctv numărul total d matral dfrt car partcpă la formara matrc d rgdtat; [ C k ] st matrca d amortzar a lmntulu k, ar NE st numarul total d lmnt fnt; C ζ st o matrc d amortzar dpndntă d frcvnńă, xprmată ndrct prn ntrmdul raportulu d amortzar modală ζ, adcă T { } { } φ C ζ φ ωζ, (.3) în car { φ } st modul propru d vbrań, ar ω st pulsańa propr namortzată corspunzătoar modulu. RlaŃa (.3) a form partcular, funcń d tpul d analză adoptat, ş st prczată sparat în cadrul fcăru program folost în acstă lucrar.