CALCULUL NUMERIC AL CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC

Transcript

1 CLCULUL UMERIC L CÂMPULUI ELECTROMGETIC Calculul corct al câmpulu lctromagntc prsupun cunoaştra unu modl tortc d câmp adcvat. Ecuaţl afrnt acstu modl trbu să satsfacă torml d stnţă ş unctat al soluţlor, ţnând sama d dstrbuţa spato-tmporară a surslor stnt. În urma analz s obţn mărml d star macroscopc ntnstata câmpulu magntc ş nducţa magntcă []. lcătura modlulu st îngrunată d ncstata luăr în consdrar a nlnartăţlor matrallor magntc ş a prdrlor.. LEGILE GEERLE LE CÂMPULUI ELECTROMGETIC Câmpul lctromagntc în orc rgm ş orc sstm fzc concrt st dscrs d lgl gnral. Lângă acsta s ataşază lgl d matral, acsta dn urmă fnd valabl numa în anumt rgmur d dsfăşurar a fnomnlor lctromagntc ş pntru tpur partcular d md matral. Ecuaţl rprzntând lgl gnral vor dtrmna în mod unvoc structura ş voluţa câmpulu lctromagntc numa dacă s prczază condţl d unctat d matral, nţal, la lmtă ş d surs. Studul gnral ş sstmatc al câmpulu lctromagntc în md mobl ş în domn d contnutat ş d ntzm a proprtăţlor fzc local cazul maşnlor lctrc s poat fac cu autorul formlor local al lglor gnral numt al cuaţl lu Mawll, car s compun dn cuaţ d voluţ, d star ş d matral []: rot E t D rot H J t dv D ρ V dv J σ E 5 D ε E 6 µ H 7 und s-a notat: H ntnstata câmpulu magntc, J dnstata curntulu lctrc, D nducţa lctrcă, ntnstata câmpulu lctrc, nducţa magntcă, ε prmtvtata mdulu, µ prmabltata mdulu, σ conductbltata lctrcă ş ρ V dnstata d volum a sarcn. Pntru dscrra câmpurlor magntc crat d curnţ lctrc constanţ, când drvatl după tmp sunt nul, vom ava formull partcular: rot H J 8 dv 9 Calculul numrc al campulu lctromagntc

2 µ H Cunoscând acst formul, valorl surslor, prcum ş condţl lmtă, s poat dtrmna unvoc câmpul magntc. În calcull practc însă utlzara acstor formul scrs sub formă locală st anvooasă. S poat dmonstra că ş în cazurl cl ma gnral un câmp magntc poat f complt dtrmnat cu tr, vntual cu ma puţn funcţ scalar. Pornnd d la cuaţl 8 ş 9 s poat obsrva că rotorul ntnstăţ câmpulu magntc nu st zro, dc ntnstata câmpulu magntc nu poat provn dntr-un potnţal scalar. Dvrgnţa nducţ fnd zro, însamnă că acasta ar puta provn dntr-un potnţal vctor, car satsfac cuaţa: rot întrucât s vrfcă automat: dv dv rot s numşt potnţal magntc vctor al câmpulu magntc. El nu ar o smnfcaţ fzcă mdată, c s utlzază pntru calculul fluulu magntc ş pntru calculul nductvtăţlor. Dn 8, ş rzultă: rot rot µ J car poat f transformată în: S mpun condţa ca: grad dv - µ J dv 5 ca c însamnă că potnţalul magntc vctor nu ar surs. În fnal s găsşt rlaţa: - µ J 6 numtă cuaţa vctorală a lu Posson pntru câmpul magntc.. METODE DE CLCUL DE CÂMP Mtodl d rzolvar a problmlor d câmp s clasfcă în mtod analtc, numrc, grafc, rspctv grafo-analtc ş analogc. Cu autorul mtodlor analtc s obţn soluţ sub formă d funcţ cunoscut, car prmt o bună ntrprtar dn punctul d vdr caltatv a rzultatlor. Mtodl grafc consstă dn trasara grafcă a spctrlor lnlor d câmp ş cpotnţal, ar varanta grafo-analtcă dn apromara form lnlor d câmp prn sgmnt d draptă ş arc d crc. Mtodl analogc utlzază rprzntărl câmpulu p modll unor câmpur d natură fzcă dfrtă. Dzavantaul acstor mtod consstă în numărul rstrâns d confguraţ d câmp în car s pot aplcat. Mtodl numrc s aplcă pntru orc confguraţ d câmp cu o roar car dpnd d mtoda d calcul aplcată ş d capactata calculatorulu utlzat. Dat fnd faptul că prncpall mtod utlzat mtoda dfrnţlor fnt ş mtoda lmntlor fnt ofră soluţ prcs ş dzvoltărl dn domnul tnc d calcul ma als cl rfrtoar la Calculul numrc al campulu lctromagntc

3 capactata d stocar ş vtza d calcul sunt mprsonabl, acst mtod s-au mpus cu clartat în ultm an.. CLCULUL CÂMPULUI ELECTROMGETIC L MŞIILOR ELECTRICE Uzual, calculul câmpulu lctromagntc al maşnlor lctrc nu s poat fac prn luara în consdrar a tuturor proprtăţlor fzc. S adoptă anumt potz smplfcatoar, car însă nu afctază caltatv calculul ş concluzl c rzultă dn l. Ipotzl smplfcatoar utlzat sunt următoarl: maşna lctrcă s consdră nfnt lungă p drcţa prpndculară p scţuna analzată, matrall magntc folost sunt omogn ş zotrop, fctl strz nu sunt consdrat, nducţa magntcă în trorul conturulu maşn st zro, calculul s fac p o scţun plan-parallă, ntnstata câmpulu magntc ş nducţa magntcă nu au componnt prpndcular p scţuna consdrată, potnţalul magntc vctor ş dnstata curntulu lctrc au numa componnt prpndcular p scţuna consdrată. Dn ultml tr potz smplfcatoar rzultă rlaţa smplfcată a cuaţ lu Posson 6 pntru acst caz: 7 z µ J z. METOD DIFEREŢELOR FIITE Mtoda dfrnţlor fnt numtă ş mtoda rţllor s bazază p apromara cuaţlor cu drvat parţal dn catgora acasta fac part ş cuaţa lu Posson cu cuaţ cu dfrnţ fnt algbrc, car conţn valorl z ncunoscut în nodurl un rţl d dscrtzar. Prcza soluţ dpnd d forma ş d pasul rţl aplcat, d prsa d dscrtzar a drvatlor parţal prn dfrnţl fnt, d modul d apromar a condţlor d lmtă ş d procdl numrc d calcul utlzat. castă mtodă s aplcă rlatv smplu în cazul câmpurlor magntc plan-parall, întrucât potnţalul magntc în acst caz ar o sngură componntă spaţală, ca normală la planul câmpulu, conform cuaţ 7 []. Consdrând un câmp plan-parall într-un sstm d coordonat cartzn ş dzvoltând în sr Talor potnţalul, în urul puntulu d coordonat, ş d potnţal s obţn rlaţa:! 8 K! Calculul numrc al campulu lctromagntc

4 Calculul numrc al campulu lctromagntc în car s-au luat în consdrar numa trmn c corspund drvat d ordnul do a funcţ potnţal apromar d ordnul. S consdră în planul O un domnu lmtat d o curbă fgura. S trasază o rţa d drpt parall cu al d coordonat, car acopră întrg domnul. Punctl d ntrscţ al acstor drpt s numsc nodur, ar dstanţa dntr două drpt parall vcn, rspctv s numşt pasul rţl. Pntru smplfcara cuaţlor s consdră o rţa pătratcă, la car paş rţl sunt dntc după cl două a d coordonat: 9 odurl rţl pot f ntroar în cazul în car toat cl patru nodur vcn s găssc în ntrorul domnulu sau p frontra acstua sau d frontră dacă măcar unul dn nodurl vcn s stuază în afara domnulu. Consdrând o rţa pătratcă având 9 ş rfrndu-n la un nod ntror oarcar pntru potnţall dn nodurl vcn acstua stuat smtrc la dstanţa s o obţn p baza rlaţ 8 prsl: Dn acst rlaţ s pot trag drvatl parţal în punctul: Însumând rlaţl s obţn rlaţa: dn car s poat dduc apromara laplacanulu potnţalulu, cunoscută în ltratura d spcaltat sub dnumra formula în cnc punct: Fgura. O rţa ortogonală

5 Ecuaţ lu Posson trbu ataşat condţ d frontră, car pot f d două flur. Condţa d frontră d spţa întâ d tp Drclt mpun valorl potnţalulu p frontra domnulu consdrat. În cl ma mult cazur acastă condţ st omognă, adcă s mpun ca p frontra domnulu valorl potnţalulu să f zro. Condţl d frontră d spţa a doua d tp umann prscru valorl drvat potnţalulu după normala troară la frontră. În unl stuaţ, când s studază doar o part dntr-o maşnă lctrcă d mplu p lungma unu pas polar s ma spcfcă ş condţ d smtr ş d prodctat. Practc în analza câmpulu magntc s scr cuaţa lu Posson în car s-a apromat laplacanul potnţalulu magntc cu formula în cnc punct pntru toat nodurl consdrat. Rzultă un sstm d cuaţ cu atâta cuaţ cât nodur sunt în rţa. Dat fnd faptul că pntru a obţn o prcz bună st nvo d consdrara unu număr însmnat d nodur, acst sstm ar un număr foart mar d cuaţ. P d altă part cuaţl sunt parţal nlnar, căc ntrvn în cuaţa lu Posson prmabltata magntcă µ, o mărm car varază nlnar în funcţ d nducţa magntcă. Dn acst cauz rzolvara sstmulu s poat fac doar aplând la mtodl numrc. csta rzolvă sstmul d cuaţ tratv, un procdu car ncstă tmp îndlungat d calcul. lgortmul d calcul plct st următorul: s nţalzază valorl potnţalulu magntc dn toat punctl. S mpun condţl d frontră, d prodctat ş d smtr. S calculază pntru nodurl aflat în zonl afrnt unor matral fromagntc nducţa magntcă. Dn curba d magntzar a matralulu rspctv s dtrmnă ntnstata câmpulu magntc H afrnt, cu autorul căra s poat calcula prmabltata magntcă. Pntru nodurl aflat în conductoar bobn s calculază dnstata d curnt J afrnt. vând toat acsta dat s poat asambla sstmul d cuaţ, car s rzolvă. Soluţa sstmulu d cuaţ concd cu nol valor al potnţalulu magntc în nodurl rţl. Cu valorl acsta s rcalculază prmabltăţl magntc, s mpun toat condţl dn nou ş s asamblază noul sstm d cuaţ. Paş dscrş trbu rluaţ dn nou până când o condţ d roar mpusă st satsfăcută. Uzual s folosşt una dntr următoarl condţ d roar []: Suma dfrnţlor dntr două valor calculat conscutv în aclaş punct să f ma mcă dcât o valoar mpusă ε: n, m,,, < ε und, rprzntă valoara potnţalulu magntc în punctul, la pasul d calcul. Ca ma mar dfrnţă dntr două valor calculat conscutv pntru toată rţaua să f ma mcă dcât o valoar mpusă:,, < ε 5 ma Calculul numrc al campulu lctromagntc 5

6 5. METOD ELEMETELOR FIITE P baza prncpulu varaţonal problma d câmp dscrsă d cuaţa lu Posson poat f rzolvată conform mtod Ralg-Rtz prn mnmzara un funcţonal p domnul consdrat dn structura maşn. Funcţonala st o valoar, car dpnd d o funcţ. r proprtata ca acl valor al funcţ pntru car a ar un trm sunt tocma soluţl cuaţ Posson satsfăcând ş condţl d frontră mpus. În problma d câmp plan-parall studată, ncunoscuta st funcţa potnţal magntc vctor,, la car s ataşază funcţonala nrg magntcă, prmată prn rlaţa:,, F W m ν J,, dd 6 D und s-a notat rluctvtata magntcă a mdulu cu: ν 7 µ Condţa d mnm pntru acastă funcţonală st dată d: F, 8 fnd numărul nodurlor dn domnul consdrat. Pntru rzolvara numrcă a modlulu matmatc varaţonal al câmpulu lctromagntc st ca ma ndcată folosra mtod lmntlor fnt. Prncpul mtod constă în dscrtzara domnulu d câmp lctromagntc în subdomn dsunct d dmnsun fnt, numt lmnt fnt. În cazul domnlor bdmnsonal s folossc lmnt trungular. Spcfcara funcţlor tral nu s fac p întrgul domnu, c p fcar lmnt fnt în part. Mtoda s compun dn tr tap prncpal. Prma tapă constă în partţonara adcvată a domnulu d câmp în lmnt fnt, ntrconctat clusv în nodurl rţl d dscrtzar. Dmnsunl gomtrc al trungurlor s alg ma rdus în zonl d câmp und sunt ncsar nformaţ ma bogat sau în car s prvd un gradnt ma accntuat al funcţ potnţal întrfrul ş zona dnţlor, tc.. Intrfţl subdomnlor d câmp d md dfrt sunt dlmtat astfl încât l să concdă cu laturl trungurlor d dscrtzar. Tot în acastă tapă st oblgator spcfcara proprtăţlor d matral, a funcţlor d sursă, a condţlor la lmtă ş a clor nţal la nvlul lmntlor sau nodurlor corspunzătoar al rţl d dscrtzar. P lângă acsta trbusc spcfcat condţl d ntrfaţă dntr mdl nomogn, prcum ş condţl d frontră d tp Drclt ş umann. Calculul numrc al campulu lctromagntc 6

7 P frontra întrgulu domnu al maşn s consdră o condţ d tp Drclt sau d spţa întâ omognă, adcă s mpun ca valoara potnţalulu magntc în nodurl d p frontră să f zro. Corspunzător bobn d comandă almntată, s mpun condţl d sursă, adcă s ataşază solnaţl rspctv la subdomnl car conţn scţunl bobnlor, luând în consdrar snsul curntulu. În tapa a doua problma d câmp st studată la nvlul fcăru lmnt, adoptând polnomul d ntrpolar a funcţ d Fgura. Un lmnt trungular potnţal lmntar. S consdră un lmnt trungular dn fgura, având nodurl,,, ş,. Potnţalul magntc poat f prmat prntr-o funcţ lnară d forma:, a b c 9 Potnţall magntc dn vârfurl trungulu formază următorul sstm d cuaţ: a b c a b c a b c d und rzultă prsl pntru cofcnţ a, b ş c: a b c [ ] [ ] [ ] în car suprafaţa lmntulu consdrat st: Înlocund cofcnţ în rlaţa 9 s obţn:, Funcţl d pondraţ, car conţn numa coordonatl nodurlor sunt: Calculul numrc al campulu lctromagntc 7

8 Calculul numrc al campulu lctromagntc 8 vând funcţa ncunoscută, prmată cu funcţl d pondraţ, funcţonala 6, prmată pntru lmntul, va f adusă la forma: }dd J W F m ν 5 F L mulţma tuturor lmntlor car conţn nodul dn rţaua d dscrtzar. În acst caz condţa d mnmzar a funcţonal consdrat s transformă în: F L 6 doarc funcţonala F st funcţ d doar dacă st îndplntă condţa L. În fnal rzultă: d d J d d F ν 7 Dtrmnara rluctvtăţlor magntc prsupun cunoaştra valorlor nducţ magntc p lmntul consdrat. Pntru calculara lor s folossc rlaţl: 8 Componntl nducţ magntc sunt prmat cu autorul prslor: 9 Prn calcul smpl s poat aung la prsa drvat funcţonal:

9 F M M M und cofcnţ sunt prmaţ folosnd următoarl rlaţ: M M M ν ν ν [ ] J [ ] [ ] În tapa fnală s asamblază dn lmntl domnulu nţal funcţonala, scrnd pntru toat lmntl consdrat dn domnu cuaţa. S obţn un sstm d cuaţ lnar d forma: F [ M ] [ TL] [ ] und M st matrca globală a cofcnţlor, vctorul valorlor potnţalulu magntc în nodurl consdrat, ar TL matrca trmnlor lbr. Rzolvând acst sstm d cuaţ ca soluţ s obţn valoara apromată a funcţ d potnţal magntc în nodurl rţl d dscrtzar. castă tapă st ca ma anvooasă ca tmp d calculator ş spaţu d mmor, dtrmnând prformanţl întrgulu program d smular ş prtnzând mloac d calcul putrnc. Pntru rzolvara sstmulu d cuaţ s-a folost mtoda wton-rapson. În faza d postprocssng s pot trasa lnl d câmp, adcă lnl d potnţal magntc vctor constant ş s pot calcula o sr d caractrstc al motorulu studat. Pntru calculul forţlor lctrodnamc s poat aplca mtoda bazată p tnsorul tnsun mawlln. În cazul bdmnsonal matrca corspunzătoar tnsun mawlln st: T µ S poat obsrva faptul, că în acastă rlaţ apar numa componntl nducţ magntc după cl două a d coordonat, mărm car sunt dtrmnat în cursul calcululu d câmp. Prcza dtrmnăr forţlor lctromagntc dpnd în mar măsură d acuratţa calcululu câmpulu lctromagntc fctuat. Luând în consdrar faptul că forţl afrnt unu volum dat sunt transms prn suprafţl trn al volumulu, găsm pntru forţa tangnţală, rspctv pntru ca normală rlaţl: F F - [ - ] S µ [ - ] o S µ o S S Calculul numrc al campulu lctromagntc 9

10 und S ş S sunt suprafţl car mărgnsc volumul consdrat. Mtoda lmntlor fnt s poat aplca pntru orc confguraţ d câmp, având o roar car dpnd numa d fnţa partţ domnulu consdrat ş d posbltăţl calculatorulu utlzat. ctualmnt st algortmul cl ma ds utlzat în analza câmpulu lctromagntc. P plan mondal stă sut d program bazat p acastă mtodă, d la cl spcalzat, d dmnsun rlatv rdus, la cl ggantc, având posbltata abordăr un gam larg d problm d câmp. Dzavantaul mtod constă în faptul că pntru obţnra un prcz mar trbu să s manpulz un număr mar d dat prntr-o mtodă tratvă d durată lungă. stfl poat să apară lmtărl d ardwar al calculatoarlor dsponbl, în ca c prvşt mmora alocablă ş tmpul d calcul. 6. ILIOGRFIE. Mîndru G. Rădulscu M.M.: nalza numrcă a câmpulu lctromagntc, Edtura Daca, Clu, Mocanu C.I.: Tora câmpulu lctromagntc, Edtura Ddactcă ş Pdagogcă, ucurşt 98.. Şora C.: azl lctrotnc, Edtura Ddactcă ş Pdagogcă, ucurşt 98.. Vorl I.. Ivan D.M. Szabó L.: Mtod numrc cu aplcaţ în ngnra lctrcă, Edtura Unvrstăţ dn Orada,. Calculul numrc al campulu lctromagntc