ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 11/6/2018

Transcript

1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ /6/8 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 99 Α. Α) Ψευδής Β). Σχολικό βιβλίο Σελ 5 Για παράδειγμα η συνάρτηση, f είναι - αλλά δεν είναι, γνήσια μονότονη όπως φαίνεται και στο σχήμα. Α. Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α. α) Λ β) Λ γ) Σ δ) Σ ε)σ ΘΕΜΑ Β f, Β f f 8 f f Τοπικό Μέγιστο το f στο, f Τ.Μ f συνεχής στο,, άρα f στο, f στο, f συνεχής στο f στο,, άρα f στο,,, άρα f στο, ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Κύπρου 5, τηλ. 997, Γερουλάνου, τηλ ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 9996, ΓΛΥΦΑΔΑ: Λ. Βουλιαγμένης 7 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688

2 Β. f 8 f για κάθε 8 f 6 6 f f Δεν έχει σημεία καμπής Β. (Οριζόντια Ασύμπτωτη ) lim f lim (Οριζόντια Ασύμπτωτη ) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη ) στο lim f lim lim f lim lim f lim Άρα κατακόρυφη ασύμπτωτη η από αριστερά και δεξιά. (Πλάγια ασύμπτωτη) ισχύει f lim f lim lim f lim άρα πλάγια ασύμπτωτη η ψ άρα πλάγια ασύμπτωτη η ψ. Δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο. Δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο στο στο ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Κύπρου 5, τηλ. 997, Γερουλάνου, τηλ ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 9996, ΓΛΥΦΑΔΑ: Λ. Βουλιαγμένης 7 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688

3 Β. Πρόχειρη γραφική παράσταση ΘΕΜΑ Γ Γ. Η περίμετρος του τετραγώνου είναι m, οπότε η πλευρά του θα είναι. Επειδή το παριστάνει μήκος πρέπει να είναι αλλά και 8 που είναι το συνολικά μήκος του σύρματος, άρα 8. Επομένως το εμβαδό του τετραγώνου είναι σύρματος το οποίο είναι 8 κατασκευάζουμε τον κύκλο που έχει μήκος: 8 L πρ 8 πρ ρ m π Οπότε ο κύκλος έχει εμβαδόν: Ε πρ π π π π π Το άθροισμα των εμβαδών των σχημάτων είναι: Ε Γ. Το E ως τριώνυμο του με 6 π π 6 8 π 8 π π 6π 6π π 6 56 π 56 6,,8 6π 6π π α παρουσιάζει ελάχιστο στο 6π και είναι E >, και E,8. Με το υπόλοιπο του ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Κύπρου 5, τηλ. 997, Γερουλάνου, τηλ ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 9996, ΓΛΥΦΑΔΑ: Λ. Βουλιαγμένης 7 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688

4 Τότε η διάμετρος του κύκλου π 8 α δ π Γ. Η Ε είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο 8 π 8 δ R και η πλευρά του τετραγώνου είναι π π, π άρα 6 6 E, E, lim Ε(), + π π π π π αφού E και lim Ε() lim π π + + 6π 6π π Η Ε είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,8 π άρα 6 E,8 E, lim Ε(), π π 8 π π 6 56 π αφού E και lim Ε() lim lim π π 8 8 6π 8 6π 5 E, π και Ε γνησίως φθίνουσα στο, π άρα υπάρχει μοναδικό, π ώστε E 5 5 E,8 π άρα δεν υπάρχει,8 π Τελικά υπάρχει μοναδικό, π E 5 ώστε ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R a f e a f e Για κάθε R έχουμε : a a a f e e e a f e a με E 5 ώστε ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Κύπρου 5, τηλ. 997, Γερουλάνου, τηλ ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 9996, ΓΛΥΦΑΔΑ: Λ. Βουλιαγμένης 7 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688

5 f f a Έχουμε σημείο καμπής το a, fa δηλαδή το a, a Αφού επιπλέον ορίζεται η εξίσωση της εφαπτομένης στο a Δ. a f e f e, R a, f a fa a ολικό ελάχιστο της f. Αφού f a lim f lim e a u Αφού lim e lim e και u a Όμοια : lim lim f lim e a e lim lim e e και a DLH a A συνεπώς a στο,a και f στο a, a u αφού lim e lim e lim e u, a : f συνεχής και άρα fa fa, lim f a, f A υπάρχει, a : f και f άρα f f f f f f f f μοναδικό αφού f σ στο A ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Κύπρου 5, τηλ. 997, Γερουλάνου, τηλ ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 9996, ΓΛΥΦΑΔΑ: Λ. Βουλιαγμένης 7 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688

6 A a, : f συνεχής και άρα f A f a, lim f a, f A υπάρχει a, : f και f στο A f f f f f f f f μοναδικό αφού f στοa έτσι έχουμε τον παραπάνω πίνακα : f,, f στο, και f, και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο ελάχιστο στο Δ. Αν a, f με f ΣΤ f,f a f, a. Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει η ανίσωση f a με a στο και τοπικό g a a e a e a Για κάθε a ga g Δ. Η f είναι κυρτή στο Άρα για κάθε έχω : για κάθε a a g a e a g a e a και g με Η ισότητα ισχύει μόνο στο άρα Θέτουμε u du d Για u u Άρα ga και g a g a e a συνεχής άρα g συνεχής στο, g για κάθε a g a g στο ga για κάθε α,. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο,, f είναι y f f y y f f f d d () d ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Κύπρου 5, τηλ. 997, Γερουλάνου, τηλ ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 9996, ΓΛΥΦΑΔΑ: Λ. Βουλιαγμένης 7 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688

7 d u udu u udu udu 5 u 5 5 Σχόλιο Θεμάτων Το δεύτερο θέμα είναι προσιτό για το μέσο υποψήφιο και επομένως οι μαθητές μπορούν εύκολα να προσεγγίσουν την βάση. Το τρίτο όμως και το τέταρτο θέμα είναι απαιτητικά με αρκετές πράξεις για καλά προετοιμασμένους μαθητές. Τα θέματα ήταν διατυπωμένα με σαφήνεια, κλιμακούμενης δυσκολίας. Συγγραφική Ομάδα Μαθηματικών ΡΟΜΒΟΥ ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗ: Κύπρου 5, τηλ. 997, Γερουλάνου, τηλ ΗΛΙΟΥΠΟΛΗ: Ναυαρίνου, τηλ. 9996, ΓΛΥΦΑΔΑ: Λ. Βουλιαγμένης 7 &Πραξιτέλους, τηλ. 9688