παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο Β(, ), τότε i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii. Να προσδιορίσετε τα a, β R. Για a = και β = 3 iii. Να υπολογίσετε το limf(). iv. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι πάνω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g. v. Να υπολογίσετε το f() lim g() 3 g(3 ) g() vi. Να υπολογίσετε το lim. f() 3 ΑΣΚΗΣΗ η (Παντούλας Περικλής) Δίνεται η συνάρτηση f() = ln( ) a) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. b) να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(,0). c) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α σχηματίζει με τον άξονα γωνία 3 4 rad d) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. e) Να αποδείξετε ότι: i. f() ln lim = 0. f''() ln ii. lim 3 = 9 6. f) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της M(e,f(e))

2 ΑΣΚΗΣΗ 3η (Κανάβης Χρήστος) Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπους f() = ) Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των f, g e 4 και g() = ) Να ορίσετε τη συνάρτηση h= f g. Διέρχεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής από την αρχή των αξόνων; e h() f() 3) Να υπολογίσετε τα όρια: α) lim β) lim[(f() )] γ) lim 0 f()g() 0 4) Δίνεται συνάρτηση q με τύπο q() = f(), 0 e, όπου k πραγματικός αριθμός. Να βρεθεί ln, 0 ο αριθμός k ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο 0. Είναι η συνάρτηση g συνεχής για 0; 5) Αν ισχύει ότι ορισμό της παραγώγου). lim(f() ) 0 = και s() = 6) Να βρεθεί η πρώτη και δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης h. 7) Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(g()). 8) Να δείξετε ότι f () (lnf()) ( ) e g() f(), 0, να βρεθεί ο αριθμός s (0) (με τον, 0 = 4 f() για κάθε > 0. 9) Να βρεθούν η εξισώσεις της εφαπτομένης της C g που είναι κάθετες στην ευθεία με εξίσωση ψ = ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο h() f () = στο σημείο M( o,f ( o )) και το εμβαδόν E( o ) του τριγώνου OAB που σχηματίζεται από την e ευθεία εφαπτομένης και τους άξονες, ψ ψ. Να βρεθεί επίσης ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε( o ) του τριγώνου ΟΑΒ για o =. ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση h, < 0. ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση f(g()), > 0. 3) Δίνεται η συνάρτηση f () = g() + f() + β, R* και a, β R. Αν η εφαπτομένη της e γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο με τετμημένη o = είναι παράλληλη στον άξονα των, και = είναι λύση της εξίσωσης f () = 0, να αποδείξετε ότι a = 8 και β= - 7. Έπειτα για τις τιμές των α και β που βρήκατε να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

3 ΑΣΚΗΣΗ 4η (Κατσίποδας Δημήτρης) Έστω η συνάρτηση f() =, > 0. ( )f(), 0 Στη συνάρτηση g() =, 0 i. Να βρείτε το a R η συνάρτηση g να είναι συνεχής στο o = 0. ii. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο σημείο A(,) είναι κάθετη στη διχοτόμο του ου και 3ου τεταρτημορίου. iii. Από τυχαίο σημείο M(,ψ) της C f φέρνουμε παράλληλες ευθείες στους άξονες και ψ ψ οι οποίες τους τέμνουν στα σημεία Β και Γ αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ για τις οποίες η απόσταση ΒΓ γίνεται ελάχιστη. ΑΣΚΗΣΗ 5η (Κατσίποδας Δημήτρης) Έστω η συνάρτηση f() = α 4α όπου ar. Να αποδείξετε οτι: i. Η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο ii. Το τοπικό ελάχιστο της f είναι μικρότερο από το τοπικό μέγιστο για κάθε τιμή του ar. iii. Υπάρχει ακριβώς μια τιμή o για την οποία η εφαπτομένη της C f στο σημείο M( o, f( o )), έχει το μεγαλύτερο συντελεστή διεύθυνσης. f() f() iv. Να υπολογίσετε το lim. 3 ΑΣΚΗΣΗ 6η (Τσιφάκης Χρήστος) Ένας βιομήχανος μπορεί να στείλει αμέσως σε πελάτες φορτίο 00 τόνων με κέρδος ευρώ τον τόνο.αν καθυστερήσει λίγο καιρό θα προσθέτει στο φορτίο 0 τόνους την εβδομάδα αλλά το κέρδος του θα μειώνεται κατά 000 ευρώ τον τόνο κάθε εβδομάδα από όλο το φορτίο. Πότε πρέπει να στείλει το φορτίο ώστε να έχει το μέγιστο κέρδος; ΑΣΚΗΣΗ 7η (Απόκης Γιώργος) Δίνεται η συνάρτηση f() = e α + α, α > 0.. i) Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση f ( a ) α f ( a ) α f( a ) = 0. ii) Να δείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της C f στο M(0,f(0)) να σχηματίζει γωνία 45 o με τον. iii) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f. iv) Να βρείτε την τιμή του α ώστε το ελάχιστο της f να πάρει τη μέγιστη τιμή του.

4 ΆΣΚΗΣΗ 8η (Κατσίποδας Δημήτρης) Θεωρούμε την συνάρτηση f() = α + β, > 0 και a, β R. i. Να βρείτε τις τιμές των a, β R ώστε να ισχύουν οι σχέσεις f(4) = 5 και f (9) = 3 ii. Για α = και β = να βρείτε α. το όριο lim f() 3 β. Το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο A(3,). ΑΣΚΗΣΗ 9η (Απόκης Γιώργος) Η πλευρά ΑΔ ορθογωνίου οικοπέδου ΑΒΓΔ μεταβλητών διαστάσεων συνορεύει με ένα ποτάμι. Ο ιδιοκτήτης πρόκειται να περιφράξει τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ. Το κόστος για τις πλευρές ΑΒ, ΓΔ είναι 3 ευρώ ανά μέτρο, ενώ για την ΒΓ είναι 4 ευρώ ανά μέτρο. Πώς πρέπει να επιλεγούν οι διαστάσεις του οικοπέδου ώστε αυτό να έχει το μέγιστο εμβαδόν, με δεδομένο ότι ο ιδιοκτήτης θα διαθέσει 0 ευρώ για την περίφραξη; ΑΣΚΗΣΗ 0η (Παντούλας Περικλής) Έστω ότι η ευθεία (ε) : ψ = εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = α 3 + β στο o =.. Να βρείτε τις τιμές των α και β. Για a = και β = i. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στην ευθεία ψ = - 9. ii. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της f ως προς f() iii. Να υπολογίσετε το όριο lim f() iv. Να υπολογίσετε το όριο lim

5 ΑΣΚΗΣΗ η (Απόκης Γιώργος) Δίνεται η συνάρτηση f() =, a, β R. a α) Nα βρείτε τις τιμές του α ώστε το πεδίο ορισμού να είναι A f = R. β) Για τη μεγαλύτερη ακέραια από τις τιμές του α ώστε A f = R, να βρεθεί η τιμή του β ώστε το σημείο Κ(3, 6 ) να ανήκει στη C f. γ) Για α = και β = -: i) Nα μελετήσετε τη μονοτονία, τις θέσεις και το είδος ακροτάτων της f. ii) Nα βρεθούν τα σημεία M, N της C f με τεταγμένη 3. iii) Nα βρεθoύν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων στα σημεία M, N καθώς και το σημείο τομής τους. ΑΣΚΗΣΗ η (Απόκης Γιώργος) Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R για τις οποίες ισχύουν, για κάθε R οι σχέσεις: f() + 3 g() = 9 7 και f() g()= α) Να βρείτε τους τύπους των f, g καθώς και τα κοινά σημεία των C f, C g β) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης h() = f() - 6 g() γ) Να υπολογίσετε το όριο f'() 3 lim 3 g() ΆΣΚΗΣΗ 3η (Κανάβης Χρήστος) Έστω η συνάρτηση f με τύπο f()= - e a a + A) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f B) Αν lim =, να βρεθεί ο αριθμός α. a Για a = a e Γ) Να δείξετε ότι f (- ) + f () = 0 για κάθε R. ln(α + e ) με αζ Δ) Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

6 ΑΣΚΗΣΗ 4η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = και g() = f(), 6, α. Να βρείτε το σημείο στο οποίο η C f τέμνει τον άξονα. β. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο τομής της με τον άξονα. γ. Να βρείτε το ar ώστε η g να είναι συνεχής στο o =. Για a = δ. Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο o = και να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της g στο o = ε. Να προσδιορίσετε τις τιμές του μr ώστε να ισχύει: μ g (-) + μg () + 3 > 0. ΑΣΚΗΣΗ 5η (Απόκης Γιώργος) Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 + a 6 β +, a, βr η οποία παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στις θέσεις = - 3 και =. α) Να βρεθούν οι τιμές των a, βr β) Για a = 3 και β = 6: i) Να βρείτε το σημείο της C f στο οποίο ο ρυθμός μεταβολής της f είναι ο ελάχιστος. ii) Να υπολογίσετε το όριο lim 5 f() f( 5). 6( 5) ΑΣΚΗΣΗ 6η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνεται η συνάρτηση f() = a e β + 5, R και a, βr της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A(0,7). i. Αν η εφαπτομένη της C f στο A(0,7) είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση ψ =, να βρείτε τους a, βr Αν α = και β = ii. Να αποδείξετε ότι f () f () =, με R iii. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα σημείο της γραφικής παράστασης της f,στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα. f() e v. Να αποδείξετε ότι lim 5 = 5 0

7 ΑΣΚΗΣΗ 7η (Κατσίποδας Δημήτρης) a Έστω η συνάρτηση f() = e, R και a, βr, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(,e 3 ) και B(, e). i. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f ii. Να βρεθεί το σημείο τομής της C f με τον άξονα ψ ψ. iii. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο παραπάνω σημείο καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει αυτή με τους άξονες. iv. Να αποδείξετε ότι f () = f () (4+) + 4f(). v. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης για = ΑΣΚΗΣΗ 8η (Ηλίας Καμπελής) Δίνεται η συνάρτηση με f() = a + β με a, βr. i) Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f. 6 ii) Aν f () + f() = 5 και f ( lim 3 ) = 0, να βρείτε τις τιμές των α, β. 5 6 iii) Για a = και β = να βρείτε: α) το πρόσημο της f. β) την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(κ,λ) όπου κ, λ είναι στοιχεία του συνόλου. ΑΣΚΗΣΗ 9η (Παντούλας Περικλής) Έστω f() = + (3 a) (a + 5). Για ποια τιμή του α το άθροισμα τετραγώνων των ριζών της f είναι ελάχιστο; ΑΣΚΗΣΗ 0η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνεται η συνάρτηση f() = e κ ( ), R, κr. α. Να βρεθούν f και f. β. Να βρείτε την τιμή του κr, ώστε να ισχύει f () f () + e κ( ) =. γ. Αν κ =, τότε i. να δείξετε ότι ο άξονας εφάπτεται στην καμπύλη της f στο σημείο M(,f()). ii. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα iii. Να αποδείξετε ότι ισχύει e για κάθε R.

8 ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνεται η συνάρτηση f() = - ln( + ), R i. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Αν a > β >, να δείξετε ότι a > a ln. Θεωρούμε την συνάρτηση g() = f () + λ, R και λr. iii. Να μελετήσετε την g ως προς την μονοτονία iv. Να προσδιορίσετε τις θέσεις και το είδος των τοπικών ακροτάτων της g v. Να βρείτε το λr, ώστε το τοπικό μέγιστο της g να είναι διπλάσιο από το τοπικό ελάχιστο της g ΑΣΚΗΣΗ η (Τσιφάκης Χρήστος) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις φ, f, g με f() = f () = και φ() = f(g()) με g() = ln +, > 0 α) Να δείξετε ότι: g() = φ() = και g () = φ () = β) Να εξετάσετε αν η g() έχει ακρότατα στο διάστημα (0, + ) ln(h ) h g() γ) Να υπολογιστεί η τιμή του ορίου: lim h0 h δ) i) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων (ε ), (ε ) των γραφικών παραστάσεων των φ και f στα σημεία τους Α(,φ()) και Β(,f()) αντίστοιχα ii) Να υπολογιστεί η γωνία που σχηματίζει η (ε ) με τον άξονα '. ΑΣΚΗΣΗ 3η (Apotin) Έστω f() = i) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης f. ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η εφαπτομένη της C f σχηματίζει με τον άξονα οξεία γωνία. iii) Να βρείτε το σημείο της C f στο οποίο η εφαπτομένη της έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης καθώς και την τιμή του ελάχιστου συντελεστή διεύθυνσης.

9 ΑΣΚΗΣΗ 4η (Παντούλας Περικλής) Δίνεται η συνάρτηση f() = ln( + ) + ln( + ) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, την f και την f ii) Να βρείτε τη μονοτονία της f + iii) Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της C f στην αρχή των αξόνων iv) Να προσδιορίσετε το πρόσημο της f v) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και δείξτε ότι η f έχει ολ. ελάχιστο το οποίο να βρείτε vi) Να αποδείξετε ότι ln( + ) + ln( + ) vii) Να λύσετε την εξίσωση ln( + ) + ln( + ) = για κάθε >. 3 6 ΑΣΚΗΣΗ 5η (Παντούλας Περικλής) Δίνεται η συνάρτηση f() = - 3 e a + 7. A) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού α για τις οποίες ισχύει f () f () = 0, για κάθε R. B) Να βρεθεί συναρτήσει του α, η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη o = 0. C) Για a >0 να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β της εφαπτομένης ευθείας με τους άξονες συντεταγμένων. D) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΟΒ που σχηματίζει η εφαπτομένη με τους άξονες για a = 3. ΑΣΚΗΣΗ 6η (Κατσίποδας Δημήτρης) Η θέση ενός υλικού σημείου το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τον τύπο (t) = t 3 + κ t + λt με t[0,0], κ, λ R όπου το t μετριέται σε sec και το σε μέτρα (m) α. Αν την χρονική στιγμή t = sec η ταχύτητα είναι u() = 9 m s και η επιτάχυνση a() = - m s βρείτε τις τιμές των κ, λ R. Για κ = - 9 και λ = 4 να βρείτε:, να β. Πότε το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου είναι 9 m s ; γ. Τα χρονικά διαστήματα κατα τα οποία το σημείο κινείται κατά την θετική ή αρνητική κατεύθυνση. δ. Πότε το σημείο μένει ακίνητο; ε. Πότε η ταχύτητα του σημείου αυξάνεται και πότε μειώνεται; στ. Πότε η ταχύτητα γίνεται ελάχιστη και πότε μέγιστη; ζ. Ποίο το ολικό διάστημα που διένυσε το σημείο στα πρώτα 0 δευτερόλεπτα της κίνησής του; η. Ποιά η μετατόπιση του από την αρχική θέση;

10 ΆΣΚΗΣΗ 7η (Κανάβης Χρήστος) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση στο R με lim g() = και η συνάρτηση f() = 0 A) Να αποδείξετε ότι f () = f() και f () = f() ( + ) f'() ln f() f() B) ) Να δείξετε ότι lim = lim g() g(0) g(0) 0 ) Να υπολογίσετε τα όρια i) f() g() lim ii) g () 0 f() f'() lim iii) 3 g(0) e. f''() f() lim iv) 3 f() lim 0 f() Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση εφαπτομένης της f στο σημείο M( o,f( o )) είναι της μορφής ψ = o e o + o e - o e o. Σε ποια σημεία οι εφαπτόμενες αυτές διέρχονται από την αρχή των αξόνων; Δ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την συνάρτηση f και να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της αυξάνει για κάθε R. ΑΣΚΗΣΗ 8η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνεται η συνάρτηση f() = e a + + a,r και α > 0. Έστω (ε) η εφαπτομένη της C f στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα ψ ψ. α. Να αποδείξετε ότι η (ε) έχει εξίσωση ψ = (α + ) + α + β. Να βρείτε την τιμή του α > 0 για την οποία το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τους άξονες γίνεται ελάχιστο. Για α = γ. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη της C f η οποία να σχηματίζει με τον άξονα αμβλεία γωνία. f() f''() δ. Να υπολογίσετε το όριο lim f'() ln f() f'() ε. Να υπολογίσετε το όριο lim 3 στ. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένη της C f που διέρχεται από το σημείο Α(0, ).

11 ΑΣΚΗΣΗ 9η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνεται η συνάρτηση f() = 9, R και η συνάρτηση g() = f() α. Να υπολογίσετε το όριο lim 9 f'() 3 f(), 9 f'() 3 3 t 3t t lim, 9 t t β. Να υπολογίσετε την τιμή του κ R ώστε η g να είναι συνεχής στο o = 9 γ. Με διαστάσεις και f() κατασκευάζουμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να εκφράσετε την περίμετρο Π και το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου ως συνάρτηση του. δ. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού αυτών των συναρτήσεων. ε. Να βρεθεί για ποιά τιμή του η περίμετρος γίνεται μέγιστη. στ. Να βρεθεί για ποιά τιμή του το εμβαδόν γίνεται μέγιστο. ΑΣΚΗΣΗ 30η (Κανάβης Χρήστος) Δίνεται η συνάρτηση f() = e k, k[0,e] i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iii) Να αποδείξετε ότι f() ln για κάθε R

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια μέση τιμή με το δείγμα Α με παρατηρήσεις τις,3,-,α,-, όπου α ακέραιος. Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. Β) Να βρεθεί ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος που προκύπτει από το αρχικό δείγμα Α προσθέτοντας σε κάθε παρατήρηση τον αριθμό και ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος που προκύπτει από το αρχικό δείγμα πολλαπλασιάζοντας κάθε παρατήρηση με τον αριθμό, όπου η μέση τιμή του αρχικού δείγματος για την περίπτωση που 0. Ποιο από τα δύο αυτά δείγματα είναι περισσότερο ομοιογενές; Άσκηση (Προτάθηκε από Δημήτρη Κατσίποδα) Στον ελλιπή πίνακα που ακολουθεί, παρουσιάζεται η κατανομή συχνοτήτων (απόλυτων, σχετικών κ.τ.λ) των τιμών της θερμοκρασίας σε C, ομαδοποιημένες σε κλάσεις ίσου πλάτους, που σημειώθηκαν κατά την χειμερινή περίοδο σε ν πλήθους ημέρές στην πόλη της Αθήνας. Να βρείτε: α. Τα άκρα των κλάσεων β. Τις σχετικές συχνότητες f i % γ. Τις σχετικές αθροιστικές συχνότητες F i % f f η θέση του ολικού μεγίστου της συνάρτησης Αν 0, όπου 0 f 8 4, R. δ. Τότε να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα των (απόλυτων) συχνοτήτων.

13 Για την τιμή που βρήκατε να υπολογίσετε: ε.i. Το πλήθος των ημερών της χειμερινής περιόδου που σημειώθηκαν θερμοκρασίες από 9 ο C έως ο C ε. ii. Το ποσοστό των ημερών της χειμερινής περιόδου, που σημειώθηκαν θερμοκρασίες πάνω από ο C. (Nα θεωρήσετε ότι οι τιμές της θερμοκρασίας κατανέμονται ομοιόμορφα) Άσκηση 3 (Προτάθηκε από Περικλή Παντούλα) Δίνεται η συνάρτηση f 4s 3, R όπου η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση ενός δείγματος μεγέθους ν. Αν η εφαπτομένη της καμπύλης της f στο σημείο A, f είναι παράλληλη στην ευθεία y 009, τότε: α) Να δείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. β) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο. γ) Αν η f έχει ελάχιστη τιμή ίση με τότε: i) Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του δείγματος. ii) Ποιο είναι το ελάχιστο ποσό κατά το οποίο πρέπει να αυξηθεί η μέση τιμή ώστε το δείγμα να παρουσιάζει ομοιογένεια; iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο Α. Άσκηση 4 (Προτάθηκε από Δημήτρη Κατσίποδα) 3 3a Δίνεται η συνάρτηση f a 3 a, R, a 0. 3 Αν οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f στα σημεία, είναι παράλληλες στον,τότε : α. Να βρείτε τα,. β. Να υπολογίσετε την μέση τιμή των αριθμών f 0, f και γ. Έστω CV ο συντελεστής μεταβολής των f 0, f, f f. και CV ο συντελέστής μεταβολής που προκύπτει όταν αυξήσουμε καθένα από αυτούς τους όρους κατά, να βρείτε την τιμή του a 0 ώστε 3CV CV καθώς και για την τιμή του a που βρήκατε να κρίνετε ποιο δείγμα είναι πιο ομοιογενές.

14 Πηγή: Δ. Γεωργακίλας (Εκδόσεις Τομή). Άσκηση 5 (Προτάθηκε από Δημήτρη Κατσίποδα) Ο βαθμός πρόσβασης του απολυτηρίου 50 μαθητών της Γ λυκείου αναγράφεται στον παρακάτω ελλιπή πίνακα. Αν είναι γνωστό ότι στο κυκλικό διάγραμμα το τόξο που αντιστοιχεί στην τρίτη κλάση είναι 44 ο και 45, τότε: α. Να βρείτε το πλάτος κάθε κλάσης. β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα. γ. Να βρείτε τη διάμεσο δ. Αν από τους παραπάνω μαθητές οι ανώτατες σχολές πάρουν μόνο το 36%, να βρείτε τι βαθμό πρέπει να έχει ένας μαθητής για να επιλεγεί. Άσκηση 6 (Προτάθηκε από Ηλία Καμπέλη) 3 Δίνεται η συνάρτηση f s s, R, και, s η μέση τιμή και η 3 * τυπική απόκλιση αντίστοιχα ενός δείγματος v, θετικών παρατηρήσεων με N. α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν παρουσιάζει ακρότατα, να εξετάσετε το δείγμα ως προς την ομοιογένεια. β) Αν η εφαπτομένη στο σημείο Α(,5) της γραφικής παράστασης της f είναι παράλληλη στον άξονα, τότε να υπολογίσετε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση s του δείγματος. γ) Αν και s = τότε:

15 i. Να βρεθεί μέση τιμή των παρατηρήσεων,,...,, όπου,,..., οι παρατηρήσεις του αρχικού δείγματος. ii. Αν στις μισές παρατηρήσεις προσθέσουμε το 4, να βρεθεί η μέση τιμή του νέου δείγματος. Άσκηση 7 (Προτάθηκε από Δημήτρη Κατσίποδα) Οι δείκτες νοημοσύνης των μαθητών ενός λυκείου ακολουθούν την κανονική κατανομή. Ο ελάχιστος δείκτης του 6% των «εξυπνότερων μαθητών» είναι 08 και ο μέγιστος δείκτης του 6% των «λιγότερο έξυπνων μαθητών» είναι 84. i. Να βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του δείγματος. ii. Να βρείτε το εύρος και την διάμεσο του δείγματος. iii. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έχει δείκτη νοημοσύνης τουλάχιστον 3. iv. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές και αν όχι να βρεθεί η ελάχιστη θετική ακέραια τιμή του c κατά την οποία πρέπει να αυξηθεί ο δείκτης νοημοσύνης κάθε μαθητή, ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές v. Αν 63 μαθητές έχουν δείκτη μεταξύ 7 και 08, να βρεθεί πόσους μαθητές έχει το σχολείο. Άσκηση 8 (Προτάθηκε από Χρήστο Τσιφάκη) 0 μαθητές ενός τμήματος της Γ' λυκείου σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής, πήραν τις παρακάτω βαθμολογίες, 8, 6, 4, 5, 8, 3, 4,7, 3. Α) Να βρείτε τη μέση βαθμολογία και τη μεταβλητότητα των βαθμών. Α) Εξετάστε αν τα γραπτά παρουσιάζουν ομοιογένεια στη βαθμολογία. Β. Ο καθηγητής αποφάσισε να "βοηθήσει" τους μαθητές γι' αυτό σκέφτηκε τα εξής: i) να αυξήσει όλες τις βαθμολογίες κατά μονάδες στο κάθε ένα γραπτό ή ii) να αυξήσει τη βαθμολογία του κάθε γραπτού κατά 0% Πως θα επηρεάσουν τα πιο πάνω σκεπτικά i) ή ii) τη μέση βαθμολογία; Δίνεται 4,0,05.

16 Άσκηση 9 (Προτάθηκε από Χρήστο Τσιφάκη) Το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής Χ των ετήσιων μισθών (σε εκατοντάδες Ευρώ) ενός δείγματος εργαζομένων, ομαδοποιημένης σε κλάσεις ίσου πλάτους, έχει κορυφές τα σημεία: A(0,0), B(40,5), Γ(60,0), Δ(80,0), E(00,30), Z(0, 5 ), H(40,0), Θ (60,0). Η κατακόρυφη γραμμή με εξίσωση =00 διαιρεί το χωρίο που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα σε δύο ισεμβαδικά χωρία. α) Ν αποδείξετε ότι 5 5. β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων της κατανομής. γ) Να υπολογίσετε τις τιμές των μέτρων θέσης της κατανομής. δ) Αν σαν «όριο φτώχιας» θεωρήσουμε τον μισθό των 700 ευρώ, να εκτιμήσετε το ποσοστό επί τοις % των φτωχών του δείγματος. ε) Να χαρακτηρίσετε την κατανομή ως προς την συμμετρία της. Άσκηση 0 (Προτάθηκε από Δημήτρη Κατσίποδα) Μελετούμε τους 80 μαθητές της Γ τάξης ενός λυκείου ως προς το βάρος τους, έτσι : Ομαδοποιούμε τις παρατηρήσεις σε τέσσερις ίσες κλάσεις. Η κεντρική τιμή της πρώτης κλάσης είναι 60 κιλά και το δεξιό άκρο της τρίτης κλάσης είναι 80 κιλά. Οι συχνότητες της πρώτης και της τέταρτης κλάσης είναι ίσες και έχουν άθροισμα την συχνότητα της τρίτης κλάσης. Η συχνότητα της δεύτερης κλάσης είναι διπλάσια της συχνότητας της τρίτης κλάσης i. Να βρείτε τις κλάσεις ii. Να συμπληρώσετε τον πίνακα

17 iii. iv. Να βρείτε την μέση τιμή. Να σχεδιάσετε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων v. Να υπολογίσετε τη διάμεσο του δείγματος vi. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έχουν βάρος τουλάχιστον 7 κιλά. vii. Αν κατά την διάρκεια των χριστουγεννιάτικων διακοπών, κάθε ένα απο τα 3 αγόρια πάρει,5 κιλό και κάθε κορίτσι κιλό, ποια θα είναι η νέα μέση τιμή. Άσκηση (Προτάθηκε από Περικλή Παντούλα) Α. Αν t, t,..., t είναι οι τιμές των παρατηρήσεων μιας μεταβλητής X, να αποδείξετε ότι S. Β. Σε μια πόλη κατά τις απολυτήριες εξετάσεις στο μάθημα της ιστορίας η βαθμολογία t, t,..., t των μαθητών ήταν περίπου κανονική κατανομή. Ο μέσος όρος των τετραγώνων των βαθμών ήταν 48 και ο συντελεστής μεταβλητότητας 6. i) Να βρείτε τον μέσο όρο των βαθμών, την τυπική απόκλιση και την διάμεσο. ii) Αν 0 μαθητές είχαν βαθμολογία πάνω από 6, να βρείτε πόσοι μαθητές συμμετείχαν στις εξετάσεις. Άσκηση (Προτάθηκε από Γιώργο Απόκη) Δίνεται το δείγμα 5,6,7, ab, με a b. Aν ισχύουν 6 και α. Να βρείτε την τυπική απόκλιση του δείγματος β. Να δείξετε ότι ab γ. Να βρείτε τους ab., 50 CV %, 3

18 δ. Για a4, b 8 να βρείτε το συντελεστή μεταβολής του δείγματος που προκύπτει αν διαιρέσουμε κάθε τιμή του δείγματος με το. Άσκηση 3 (Προτάθηκε από Δημήτρη Κατσίποδα) Εξετάσαμε ένα δείγμα μαθητών ως προς το βαθμό που πήραν στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας στις Πανελλήνιες Εξετάσεις και διαπιστώσαμε ότι : Κάτω από 0 πήραν 5 μαθητές Κάτω από 40 πήραν 3 μαθητές Από 40 και πάνω πήρε το 48% των μαθητών Κάτω από 60 πήρε το 76% των μαθητών Ενώ από 80 και πάνω πήρε το 8% των μαθητών. i. Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα πίνακα ii. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που πήρε βαθμό από 50 μέχρι και 70. iii. iv. Να βρείτε τη μέση τιμή της βαθμολογίας των μαθητών και την τυπική απόκλιση. Είναι ομοιογενές το δείγμα; Άσκηση 4 (Προτάθηκε από Γιώργο Απόκη) Ένα δείγμα ομαδοποιήθηκε σε κ κλάσεις, ίσου πλάτους c. Δίνεται το πολύγωνο % i f το οποίο έχει σχήμα τριγώνου.

19 α) Να εκφράσετε το c συναρτήσει του κ. β) Να βρείτε τα c, κ. γ) Αν f % 5, να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα f %. i Άσκηση 5 (Προτάθηκε από Δημήτρη Κατσίποδα) Ρωτήθηκε ένα δείγμα ν οικογενειών σχετικά με τον αριθμό των παιδιών που έχουν. Από τις απαντήσεις τους συντάχθηκε ο πίνακας των αθροιστικών συχνοτήτων α. Να εκφράσετε συναρτήσει του τις συχνότητες,, 3, 4, 5. Αν οι αθροιστικές συχνότητες έχουν μέση τιμή y 34, να βρείτε: i β. Την τιμή του. γ. Πόσες οικογένειες έχουν το πολύ τρία παιδία και πόσες έχουν τουλάχιστον δύο παιδία. δ. Τη μέση τιμή και την διάμεσο δ του αριθμού των παιδιών των οικογενειών. Πηγή: Α. Κανάκης Γ. Μαυρίδης (Εκδόσεις Μαυρίδη) Άσκηση 6 (Προτάθηκε από Ηλία Καμπέλη).

20 Έστω μεταβλητή Χ με παρατηρήσεις t, t,..., t, μέση τιμή 0, a R, και η συνάρτηση t t... t, 0 4 g a, α) Αν η g είναι συνεχής στο 0, να αποδείξετε ότι a. β) Αν η γραφική παράσταση της g διέρχεται από το σημείο Α(3,0), να αποδείξετε ότι ti 00. i γ) Αν t i i f του δείγματος. i, όπου f i οι σχετικές συχνότητες των παρατηρήσεων, να βρεθεί το πλήθος ν Άσκηση 7 (Προτάθηκε από Περικλή Παντούλα) Οι σημερινές ηλικίες των καθηγητών του Μαθηματικού τμήματος Ιωαννίνων έχουν συντελεστή μεταβολής CV 0,08, ενώ πριν 5 χρόνια ο συντελεστής μεταβολής των ηλικιών τους ήταν CV 0,6. Θεωρώντας ότι στο πέρασμα των ετών δεν υπήρχαν μεταβολές στο διδακτικό προσωπικό: α) Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση της σημερινής τους ηλικίας. β) Πριν πόσα χρόνια από σήμερα οι ηλικίες των καθηγητών είχαν για πρώτη φορά ομοιογένεια; γ) Αν το άθροισμα των τετραγώνων των σημερινών ηλικιών είναι 75480, να βρεθεί πόσοι είναι οι καθηγητές του τμήματος. δ) Αν συνταξιοδοτηθεί ένας εκ των καθηγητών και στη θέση του προσληφθεί ένας καθηγητής 30 χρόνια νεότερος, τότε: i) Να βρεθεί η νέα μέση τιμή των ηλικιών. ii) Να βρεθεί το άθροισμα των τετραγώνων των ηλικιών μετά την πρόσληψη του καθηγητή, αν η διακύμανση που προκύπτει είναι 37 iii) Με δεδομένο το προηγούμενο ερώτημα, να εξετάσετε το νέο δείγμα που προκύπτει ως προς την ομοιογένεια.

21 Άσκηση 8 (Προτάθηκε από Δημήτρη Κατσίποδα) Οι χρόνοι σε min που χρειάζονται οι μαθητές μιας γειτονιάς να πάνε στο σχολείο τους έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους με αντίστοιχες συχνότητες 6, 0, 7 και 7. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ,, 3, 4 τα κέντρα των αντίστοιχων κλάσεων. Έστω ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 7, όπου 3 4 με τιμή i. Να αποδείξετε ότι το πλάτος των κλάσεων είναι c= f ii. Να βρείτε τις συχνότητες f i iii. Να βρείτε την τυπική απόκλιση. iv. Να εξετάσετε το δείγμα ως προς την ομοιογένεια. Πηγή: Από φυλλάδιο Δ. Αργυράκη Γ. Κουτσανδρέα Άσκηση 9 (Προτάθηκε από Δημήτρη Κατσίποδα) Ένα εργοστάσιο έχει ν στελέχη και 4ν εργάτες με μισθούς, i,,...,5 σε εκατοντάδες ευρώ, όπου ν θετικός φυσικός. Ο μηνιαίος μισθός κάθε εργάτη είναι 750 ευρώ και κάθε στελέχους 00 ευρώ i. Να βρείτε το μέσο μηνιαίο μισθό όλων των υπαλλήλων. i ii. Υποθέτουμε ότι η τυπική απόκλιση όλων των μισθών είναι 40 ευρώ και ευρώ. Να αποδείξετε οτι το εργοστάσιο απασχολεί 50 εργαζόμενους. 5 ti i iii. Το εργοστάσιο αποφασίζει να αυξήσει τις μηνιαίες αποδοχές των εργατών κατά α ευρώ και να μειώσει τις μηνιαίες αποδοχές των στελεχών κατά β ευρώ, ώστε το μέσο μισθολόγιο να μην υπερβαίνει τα 840 ευρώ. Να αποδείξετε ότι 4a 00. Άσκηση 0 (Προτάθηκε από pito) Δίνονται 0 παρατηρήσεις, από τις οποίες οι 5 είναι ίσες με 3 και οι υπόλοιπες είναι ίσες με ή 6. Έστω κ το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι ίσες με 6.

22 α) Να εκφράσετε τη μέση τιμή και τη διακύμανση των 0 παρατηρήσεων συναρτήσει του κ. β) Να βρείτε για ποια τιμή του κ η διακύμανση γίνεται μέγιστη. γ) Έστω ότι κ=3. Συμπληρώνουμε τις αρχικές 0 παρατηρήσεις με άλλες δύο θετικές και οι παρατηρήσεις έχουν διακύμανση s 6 και συντελεστή μεταβολής CV=0,8. Να βρείτε: i) τις δύο παρατηρήσεις που συμπληρώσαμε, ii) την μικρότερη τιμή του c>0 που πρέπει να προσθέσουμε σε καθεμία από τις παρατηρήσεις, ώστε το δείγμα των αριθμών που θα προκύψουν να είναι ομοιογενές. Πηγή: Β. Παπαδάκης (Εκδόσεις Σαββάλα) Άσκηση (Προτάθηκε από Γιώργο Απόκη) Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές... k. Για τις αθροιστικές συχνότητες ισχύει 3i 7 i,,..., Ni i k. α) Να βρεθούν οι (απόλυτες) συχνότητες i ως συνάρτηση του i, i,... k β) Αν το μέγεθος του δείγματος είναι ν=55, να βρείτε το k. γ) Για k=5, να υπολογίσετε τις συχνότητες, % f F, i,... k i i. Άσκηση (Προτάθηκε από Περικλή Παντούλα) Τα κέρδη (σε ευρώ) μιας αλυσίδας καταστημάτων ειδών διατροφής ακολουθούν περίπου την κανονική κατανομή. Γνωρίζουμε ότι το 84 τοις εκατό των καταστημάτων έχουν κέρδη λιγότερα από 00 ευρώ, ενώ το 97,5 τοις εκατό των καταστημάτων έχουν κέρδη πάνω από 600 ευρώ. α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, την τυπική απόκλιση και τη διάμεσο των κερδών. β) Να υπολογίσετε τη διακύμανση και να προσεγγίσετε το εύρος των κερδών. γ) Μπορεί το σύνολο των καταστημάτων της αλυσίδας να θεωρηθεί ομοιογενές ως προς τα κέρδη; Αν το δείγμα δεν είναι ομοιογενές, κατά ποια σταθερή ποσότητα πρέπει να αυξηθούν τα κέρδη των καταστημάτων για να γίνει το δείγμα ομοιογενές; δ) Αν μια μέρα τα κέρδη όλων των καταστημάτων μειωθούν κατά 0 τοις εκατό, πόσο θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής;

23 Άσκηση 3 (Προτάθηκε από Ηλία Καμπέλη) Tα ψυγεία μιας εταιρείας συντήρησης τροφίμων είναι κατανεμημένα σε 4 κλάσεις σύμφωνα με την θερμοκρασία τους Χ ( ο C) η οποία κυμαίνεται από 4 ο C έως 4 ο C. Αν δεύτερη κλάση έχει 3πλάσιο αριθμό ψυγείων από την πρώτη και η τέταρτη 5πλάσιο της πρώτης τότε: α) Να παρασταθούν τα δεδομένα σε πίνακα συχνοτήτων και να δειχθεί ότι η μέση της 0 θερμοκρασίας των ψυγείων είναι C. β) Έστω ότι η τρίτη κλάση έχει ίδιο αριθμό ψυγείων με την πρώτη. i) Nα υπολογίσετε την διάμεσο θερμοκρασία. ii) Αν γνωρίζουμε ότι η θερμοκρασία 34 ψυγείων είναι μικρότερη των 0,5 ο C, να βρεθεί ο αριθμός των ψυγείων που κατέχει η εταιρεία. Άσκηση 4 (Προτάθηκε από pito) Έστω,,..., θετικές παρατηρήσεις ενός δείγματος με μέση τιμή και τυπική απόκλιση s. f i i i i Θεωρούμε τη συνάρτηση α) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο για. β) Να βρείτε τη τυπική απόκλιση s. η οποία έχει ελάχιστο το 5ν. γ) Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών f, i,,...,. i δ) Θεωρούμε τις παρατηρήσεις y 3 00, i,,...,, οι οποίες έχουν συντελεστή μεταβολής 0,06 y CV και ισχύει i i i yi i) Να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων,,..., είναι ομοιογενές. ii) Να βρείτε το πλήθος ν των παρατηρήσεων. i

24 iii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον yy'. Πηγή: (Βασίλης Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλας) Άσκηση 5 (Προτάθηκε από Χρήστο Τσιφάκη) * Έστω t, t,..., t με N οι τιμές μιας μεταβλητής X ενός δείγματος με διασπορά s Θεωρούμε τη συνάρτηση f t t... t 3. α) Αν f 6400 να βρείτε το μέγεθος του δείγματος. να βρείτε την μέση τιμή του δείγματος. β) Αν f 6000 γ) Να δειχθεί ότι καμία από τις παρατηρήσεις του δείγματος t, t,..., t δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός. Άσκηση 6 (Προτάθηκε από Χρήστο Τσιφάκη) Έστω το δείγμα,,..., με μέση τιμή 4 και συντελεστή μεταβολής CV=5%. Να αποδειχθεί ότι: i) η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι s =.... ii) το κλάσμα A είναι ανεξάρτητο από το μέγεθος v του δείγματος.... iii) υπάρχει παρατήρηση k που βρίσκεται μεταξύ του 3 και 5;. Άσκηση 7 (Προτάθηκε από Δημήτρη Κατσίποδα) Δίνεται ο παρακάτω πίνακας, στον οποίο οι παρατηρήσεις είναι ομαδοποιημένες σε κλάσεις ίσου πλάτους.

25 α. Να αποδείξετε ότι το πλάτος κάθε κλάσης είναι ίσο με. β. Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα γ. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές δ. Να βρείτε την διάμεσο ε. Να βρείτε το πλήθος των παρατηρήσεων που έχουν τιμή τουλάχιστον ίση με. στ. Να βρείτε το ποσοστό των παρατηρήσεων που έχουν τιμή από 6 έως. Άσκηση 8 (Προτάθηκε από apotin) Έστω 4, -3, -, -,,, με 0, οι παρατηρήσεις ενός δείγματος. Α) Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή του δείγματος γίνεται ελάχιστη, όταν και η διάμεσος γίνεται ελάχιστη. Β) Για την τιμή 0 όπου 0 το σημείο που η μέση τιμή γίνεται ελάχιστη, να βρείτε: ) τις παρατηρήσεις του δείγματος ) τη μέση τιμή και τη διάμεσο του δείγματος 3) την τυπική απόκλιση. Πηγή: (Γ. & Μ. Λασκαρίδης, Α. Μουνδρέας, Μ. Πατρινός) Άσκηση 9 (Προτάθηκε από Δημήτρη Κατσίποδα)

26 Σε 0 καταστήματα στην επαρχία συναντήσαμε τις παρακάτω τιμές πωλήσεις ενός προϊόντος (σε λεπτά) 74,78,76,70,80,74,76,78,7,7. Να βρείτε τα παρακάτω μέτρα για το παραπάνω δείγμα: α. Μέση τιμή β. Διάμεσο γ. Εύρος δ. διακύμανση ε. Να κρίνετε αν το παραπάνω δείγμα είναι ομοιογενές. Αν για τα ίδια προϊόντα, από έρευνα σε 5 καταστήματα της Αθήνας, οι τιμές πώλησης (σε λεπτά) βρέθηκε ότι έχουν μέση τιμή 70. Να βρείτε: στ. Τη μέση τιμή πώλησης του προϊόντος για όλα τα καταστήματα της Αθήνας και της επαρχίας. ζ. Ποια πρέπει να είναι η μεγαλύτερη τιμή της τυπικής απόκλισης για την τιμή πώλησης του προϊόντος σε όλα τα καταστήματα, ώστε το συνολικό δείγμα να παραμένει ομοιογενές. Άσκηση 30 (Προτάθηκε από Κανάβη Χρήστο) Σε μια γραπτή εξέταση αγγλικών οι βαθμοί επιτυχίας είναι A,B,C ενώ D o βαθμός αποτυχίας. Τα αποτελέσματα ενός δείγματος 500 μαθητών που εξετάστηκαν γραπτά δίνονται στο παρακάτω κυκλικό διάγραμμα: Να συμπληρώσετε τον πίνακα που ακολουθεί:

27 B. Να σχεδιάσετε το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. Γ. Να βρεθεί ο αριθμός και το ποσοστό των μαθητών που έχουν επιτύχει στις εξετάσεις. Δ. Να βρεθεί ο αριθμός και το ποσοστό των μαθητών που έχουν αποτύχει στις εξετάσεις. Ε. Να βρεθεί ο αριθμός των μαθητών και το ποσοστό που έχει πάρει Β ή C.