qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj"

Θεόφιλος Μιχαλολιάκος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 qwφιertyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz Τάξη : Γ Λυκείου ΦΥΛΛΑΔΙΟ 6 : Θεώρημα Rolle cvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ Θεώρημα μέσης τιμής Συνέπειες θεωρήματος μέσης τιμής ωυdfghjργklαzcvbnβφδγωmζqwert 39ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ λκοθξyuiύασφdfghjklzcvbnmqwerty uiopaβsdfghjklzcεrυtγyεuνiιoαpasdf ghjklzcηvbnασφδmqwertασδyuiopa sdfασδφγθμκcvυξσφbnmσφγqwθeξ τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzcv ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgασργκο ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdfghjk lzσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp asdfghjklzcvbnmqwertyuiopasdγαε ορlzcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ αεργαγρqwertyuiopasdfghjklzασδφ mοιηξηωχψφσuioψασεφγvbnmqwer tyuiopasdfghjklzcvbnmqwertyuiopσ

2 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 3ln (1,) Να δείξετε ότι η εξίσωση 6 1 από δύο πραγματικές ρίζες., έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα, δε μπορεί να έχει περισσότερες 3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση -ημ-συν = έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες Να δείξετε ότι η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα στο (,3)., κ,λ R, έχει μία 5. Αν f(1)=1, να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζα. f () f () έχει μία τουλάχιστον θετική 6. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,], f() > για κάθε [1,] και f(1)f () f (1)f( ). Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (1,). τέτοιο ώστε f ( ) f ( )f ( ) 7. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [1,3], παραγωγίσιμη στο (1,3) με 3f(1)=f(3)+6. Να δείξετε ότι υπάρχει (1,3 ) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο,f ( ) M, να διέρχεται από το σημείο Α(, ). 8. Δίνεται η συνάρτηση f, άρτια και παραγωγίσιμη στο [ -,]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (-,) τέτοιο ώστε f ( ) ημξ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R. α. Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον μια ρίζα της f. β. Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f περιέχεται το πολύ μια ρίζα της f. 1. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [-8,8], παραγωγίσιμη στο (-8,8) και f(-8) = f(8) =. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (-8,8) τέτοιο ώστε f ( ) f( ξ). 11. Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[α,β] με α> και f(α)=f(β)=. Να δείξετε ότι : α) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β) τέτοιο ώστε ξf (ξ)=f(ξ). β) Αν f () για κάθε (α,β) τότε το ξ είναι μοναδικό. γ) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) διέρχεται

3 από την αρχή των αξόνων. 1. Τρεις πόλεις Α, Β, Γ βρίσκονται κατά μήκος ενός αυτοκινητόδρομου με αποστάσεις ΑΒ= km, ΒΓ = 4 km και ΑΓ=6 km. Ένα αυτοκίνητο κινούμενο συνεχώς ξεκινά από την πόλη Α, περνάει από την πόλη Β μετά από 3 ώρες και φθάνει στην πόλη Γ σε 6 ώρες. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγμές που διαφέρουν κατά 3 ώρες, έτσι ώστε το αυτοκίνητο τη μία χρονική στιγμή είχε διπλάσια ταχύτητα απ ό,τι την άλλη (η συνάρτηση που εκφράζει το διάστημα συναρτήσει του χρόνου είναι συνεχής και παραγωγίσιμη. (Υπόδειξη : Θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση g(t) = s(t+3) s(t)) (Εξετάσεις ΑΣΕΠ 9 Μαθηματικών) 13. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R με f() για κάθε R τέτοια ώστε f () 3 lim 8 και επίσης f (1) f () f (1) f () f (1). 4 α) Να βρείτε το f() β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση Cf της f έχει μία τουλάχιστον οριζόντια εφαπτομένη. f (4) f ()i 14. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R. Αν ο μιγαδικός αριθμός w i R, να δείξετε ότι υπάρχει ξ (,4) τέτοιο ώστε τα σημεία Α(f(ξ),ξ), Β( f ( ), 1), Ο(,) να είναι συνευθειακά. 15. Έστω f : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f() για κάθε R. Αν ισχύει f () 4 4f ( ) για κάθε R. Να δείξετε ότι : α) υπάρχει 1 (,1) τέτοιο ώστε f ( 1) β) υπάρχει ξ (-1,1) τέτοιο ώστε f ( ) 16. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R. Οι μιγαδικοί αριθμοί f (1) f () i w 1, w f (3) 3i είναι ρίζες της εξίσωσης z 4z, α R. Να δείξετε ότι : α) η εξίσωση f()= έχει τουλάχιστον ρίζες στο (1,3) β) υπάρχει ξ (1,3) τέτοιο ώστε f ( ) 17. Έστω f : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f συνεχή στο R και f() f(4). Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο της f () Α(,f()) είναι παράλληλη στην ευθεία η : f (4) y 1. Να f (4) δείξετε ότι : α) υπάρχει ξ (,4) τέτοιο ώστε f(ξ) f (ξ) f (ξ) β) η εξίσωση f() f () - 1 έχει μία τολάχιστον λύση στο (,4). 3

4 18. Να δείξετε ότι : ln( ) ln( ) α) εφα < < εφβ, < α < β < β), < α β < γ) ln(1 ), > Να αποδείξετε ότι e e π e. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) f ( ) f ( ) με f ( ), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε 3 3 f ( ). 1. Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Aν η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(α,f(α)) τέμνει τη Cf στο Β(β,f(β)), με β > α, να δείξετε ότι : α) η f δεν είναι 1 1 β) υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε f ( ).. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο [α,β] συνάρτηση f για την οποία ισχύουν f(α)=β+4α, f(β)=α+4β. Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ1, ξ, ξ3 (α,β) τέτοια ώστε f ( 1) f ( ) f ( ξ ) 9 ξ Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,6] για την οποία ισχύει f(4)=f()+f(6). Να δείξετε ότι υπάρχει (,6) τέτοιο ώστε f ( ). 4. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,3] με f(1)= και -3 f () (1,3). Να δείξετε ότι f (3) 4. 1 για κάθε 5. Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο [1,], παραγωγίσιμη στο (1,) με f(1) = και f() = 4. Nα δείξετε ότι : α) υπάρχει (1,) τέτοιο ώστε f() = (3-) β) υπάρχουν ξ1, ξ (1,) τέτοια ώστε ( ) f ( ) 4. f 1 6. Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με f ( ) 3f ( ) για κάθε R. f( ) α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g( ) 3 είναι σταθερή στο R. β) Να βρείτε τη συνάρτηση f αν είναι γνωστό ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(,1). e 4

5 7. Για τη συνάρτηση f : R R, ισχύει f ( ) f ( ) 1 ( ) α,β R. Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή στο R. β για κάθε 8. Να αποδείξετε ότι ( ρ) ρ ( ρ ρ ) για κάθε R. 9. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f για την οποία ισχύει 1 f () ( 3)f () e, για κάθε R και f()=e. 3. Να βρείτε συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το R, για την οποία ισχύουν f () ( 1) f () f () 1 και f() =. (Εξετάσεις ΑΣΕΠ 6 Μαθηματικών) 31. Δίνεται η συνάρτηση f : R R δύο φορές παραγωγίσιμη με f() = f ()=1 και f ()f () [f ()] f () f (), R. Να αποδείξετε ότι : 1 α) f ()f () e, για κάθε R β) f () e, για κάθε R γ) f () e, για κάθε R 3. Να βρείτε παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (,+ ) R τέτοια ώστε f(y)=f()+f(y) για κάθε, y R και f (1) Δίνονται οι συναρτήσεις f, g δύο φορές παραγωγίσιμες στο R με f () g () για κάθε R. Αν f(1) = f (1)= και g(1)= g (1) = 1, να δείξετε ότι f() g() =. 34. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει f(+y) = f()+f(y)+y+y για κάθε,y R και f ()=. 35. Έστω f : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f(1)=1, f()= 1, f(3)= και f (4). Να δείξετε ότι : α) υπάρχει (1,3 ) τέτοιο ώστε f ( ) β) υπάρχει (1,4 ) τέτοιο ώστε f ( ) f (ξ) 36. Έστω f : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f ( 1)=1 και f ( )= και f () 3 lim. ξ α)να δείξετε ότι υπάρχει ξ (, 1) τέτοιο ώστε f ( ) e β) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο Α(,f()) γ) η εξίσωση f () f () έχει μία τουλάχιστον λύση στο (,) 5

6 37. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R με f() για κάθε R και f(1) f()= f(3) f(4). Να δείξετε ότι : α) υπάρχει ξ1 [1,] τέτοιο ώστε f ( 1) f (1) f () β) υπάρχει ξ (1,4) τέτοιο ώστε f ( ) 38. Έστω f : [λ,1] R, παραγωγίσιμη με f () 3 για κάθε [λ,1], f(λ)= (λ+1) 3, f(1)=8. α) Να βρείτε την τιμή του λ R β) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ R τέτοιο ώστε f ( ) f( ) Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R και ο μιγαδικός αριθμός z με z R τέτοιος 1 1 ώστε z f (1) και z f (). z z α) Να δείξετε z 1 β) Να δείξετε ότι f () f (1) γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (1,) τέτοιο ώστε f( ) f ( ) 1 4. Έστω f συνεχής στο [α,β] και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) με f συνεχή στο (α,β). Αν ισχύει f(α)=f(β)= και υπάρχουν γ, δ (α,β) με γ<δ και f(γ)<<f(δ), να δείξετε ότι : α) Υπάρχει (α,β) τέτοιο ώστε f()= β) Yπάρχουν ξ1, ξ (α,β) τέτοια ώστε f ( 1) και f ( ) γ) Υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β) τέτοιο ώστε f ( ) Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R με f() για κάθε R. Αν f ( ) 1 f () f(1 ) e για κάθε R, να βρείτε τον τύπο της f. και 4. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο (,+ ) για την οποία ισχύει f(1)= και η εφαπτομένη που διέρχεται από το τυχαίο σημείο Μ(,f()) της Cf τέμνει τους άξονες και y y στα σημεία Α, Β αντίστοιχα, έτσι ώστε το Μ να είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. 6

Σχετικά έγγραφα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qwφιertyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz